rios de tinta matemÁticas

DISTRIBUCIÓN GRATUITAPROHIBIDA SU VENTA

Seguramente, has escuchado que las matemáticas están en todos lados… y es verdad. El lenguaje matemático es universal y posibilita expresar magnitudes, pesos, temperaturas, ecuaciones y fórmulas necesarias en la vida diaria. Este libro es una herramienta pedagógica para comprender los contenidos que abordarás durante el curso y fortalecer tus habilidades matemáticas a través del cálculo algebraico, el estudio de la geometría, la probabilidad y el manejo de la información. En este camino hacia el conocimiento, te acompañará tu profesor, con su guía y con tu libro Matemáticas 1, conseguirás desarrollar tus habilidades, actitudes y aptitudes en esta fascinante asignatura.

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1

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SecundariaMATEMÁTICAS 1

Carlos Armando Cuevas VallejoYani Betancourt GonzalezMa. del Socorro Cervantes EstradaCarolina Rubí Real OrtegaArturo Rodríguez Espinosa

MAT1_PORTADA_final.indd 1 30/04/12 14:25

Dirección generalJorge Velasco y Félix

Dirección editorialMa. Georgina Adame Moreno

EdiciónJessica Martín del Campo Novoa

Apoyo editorialEdurne Uriarte SantillánManuel Edmundo Meza Coriche

Revisión y corrección técnicaJorge Alberto Limón JiménezSonia Ibarra Martínez

Diseño y portadaS. Gabriela Badillo Hernández FormaciónBlack Blue, Impresión y Diseño, S.A. de C.V.Gabriela Ortiz Nava

Investigación iconográficaJosé Francisco Corona DuránGabriela Ortiz Nava

ColaboradoresCorrección de estiloDavid Gutiérrez GómezVíctor Rubén Caro Hernández

Lecturas de producciónCarlos Sánchez

IlustracionesTikiliki Ilustración: David Octavio Yáñez Rivas Samantha Gasca MéndezLuxola arte: Carlos Ortega Contreras Ma. del Carmen Gutiérrez Cornejo Alejandro Herrerías SilvaNora Millán JaramilloFrancisco de Anda

Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.Impreso en México.

Agradecimiento A los archivos fotográficos de los museos y las entidades públicas que nos han proporcionado material iconográfico.

La editorial está a disposición de los poseedores de los derechos eventuales de fuentes bibliográficas e iconográficas no identificadas.

AutoresCarlos Armando Cuevas VallejoCentro de Investigaciones y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav) Yani Betancourt Gonzalez Ma. del Socorro Cervantes Estrada Carolina Rubí Real OrtegaArturo Rodríguez Espinosa

Matemáticas 1Primera edición

Ríos de Tinta, 2012D.R.© Ríos de Tinta S.A. de C.V.

ISBN: 978-607-7586-26-5

Morelos 16, piso 5. CentroC.P. 06040, México, D. F.Teléfono (55) 51404900, ext. 31957www.riosdetinta.com

Miembro de la Cámara Nacional de laIndustria Editorial Mexicana.Registro número: 3483.

Matemáticas 1Se terminó de imprimir en mayo de 2012,

en Edamsa, Av. Hidalgo 111, Fracc. San Nicolás Tolentino,

C.P. 09850, México, D.F.

Yani Betancourt Gonzalez • Ma. del Socorro Cervantes Estrada • Carolina Rubí Real Ortega • Arturo Rodríguez Espinosa

Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional

(Cinvestav)

Carlos Armando Cuevas Vallejo

4

ALUMNOSE

l libro que tienes entre tus manos tiene como

propósito presentarte herramientas fl exibles

y plantearte problemas matemáticos para que

construyas y desarrolles conocimientos que te

ayudarán en tu vida cotidiana y en tus cursos posterio-

res de Matemáticas. Cada contenido considera aspectos

que tienen que ver con la refl exión, el análisis, la formu-

lación de preguntas y la búsqueda de respuestas.

Es posible que te hayas preguntado alguna vez: ¿para

qué son útiles las matemáticas? ¿Se pueden utilizar en

la vida cotidiana? A lo largo del curso comprobarás que

las matemáticas son una herramienta fundamental para

resolver una gran cantidad de inquietudes y dudas.

Desde hace miles de años los seres humanos hemos

buscado respuesta a las interrogantes que nos permi-

tan explicarnos el porqué de las cosas, de nosotros

mismos y del universo; las matemáticas nos han brin-

dado algunas respuestas, quizá algunas de ellas sean

las más certeras. Por otra parte, la facultad de pensar

y discernir es exclusiva del ser humano, por eso son

Palabrasa los

4

dirigidas

5

importantes las matemáticas, pues te ayudan a estructurar el pensamiento

y a establecer relaciones lógicas, esenciales para el razonamiento, fundamen-

tadas en cifras y cálculos.

Las actividades de este libro te apoyarán en el desarrollo de tus com-

petencias matemáticas, pues plantearás y resolverás diferentes tipos de

problemas, interpretarás y compartirás información matemática, explicarás

y justifi carás soluciones a situaciones relacionadas con la vida cotidiana,

utilizando fórmulas y algoritmos matemáticos.

Tendrás, además, elementos para distinguir e interpretar la información

que diariamente recibes a través de los medios de comunicación y las tec-

nologías digitales (calculadoras, teléfonos y computadoras), pues se trata

de herramientas que te ayudan a realizar cálculos y a almacenar gran

cantidad de información.

Cuando trabajes con tu libro, recuerda que si bien el aprendizaje es indi-

vidual, tanto tu maestro como tus compañeros estarán a tu lado para com-

partir, refl exionar, cuestionar y hacer que tus logros sean cada vez mayores.

La experiencia para resolver con prontitud y efi cacia problemas mate-

máticos es una habilidad que irás adquiriendo, para lo cual la refl exión y

la práctica constantes serán los elementos que te permitirán desarrollar

tus competencias en esta materia.

Palabras

66

PROFESORESL

ograr que nuestros alumnos se interesen y

aprecien esta asignatura es un trabajo cotidiano

y permanente, que requiere de todas y cada una

de las herramientas disponibles. Esta obra es

una propuesta que contribuye a despertar y fortalecer el

interés de sus alumnos en las matemáticas, pues incor-

pora ejemplos para modelar situaciones en contextos

acordes a la realidad, además de ofrecer recursos que

permitirán llevar a sus alumnos a erigir su construcción

de conocimiento de las matemáticas de una manera

amena, práctica y clara.

A lo largo de la obra pueden encontrar vínculos con

otras asignaturas, con la fi nalidad de promover que sus

estudiantes apliquen y utilicen los aprendizajes logrados en

cada una de ellas, para que, de esta manera, amplíen su

acción social y comunicativa y enriquezcan su compren-

sión del mundo y de la sociedad.

El aprendizaje de las matemáticas requiere de un

trabajo sistemático en el que su intervención y experien-

cia como docentes es esencial. A su cargo está el diseñar

y aplicar actividades didácticas que favorezcan la adqui-

sición de los conocimientos, así como el desarrollo de

Palabrasdirigidas a los

6

7

las habilidades y actitudes necesarias para que los alumnos comprendan

que las matemáticas son una necesidad, no una imposición. En Matemáticas 1

encontrarán algunas sugerencias que los orientarán para aprovechar las

tecnologías de la información y la comunicación en el desarrollo de la materia.

Con seguridad, a partir de éstas podrán ampliar y proponer actividades

nuevas y diferentes.

Cada eje temático que se encuentra en los cinco bloques tiene como

propósito coadyuvar al desarrollo de las competencias matemáticas que

sus alumnos deben lograr:

1. Resolver problemas de manera autónoma.

2. Comunicar información matemática.

3. Validar procedimientos y resultados.

4. Manejar técnicas efi cientemente.

Es conveniente que compartan con los alumnos sus propias actividades de

lectura y resolución de problemas, y que aporten, al igual que ellos, sus

opiniones y experiencias en las actividades cotidianas, ya que el ejemplo

que pueden darles representa una valiosa fuente de enseñanza, que se

complementa con las actividades didácticas que realicen para la consecución

de los aprendizajes.

Palabras

8

PARA TRABAJAR CON TU LIBRO

Es importante que analices su estructura y que sepas que se divide en cinco bloques y

cada bloque, a su vez, en lecciones que se organizan de la siguiente manera:

En la sección Para comenzar se presenta una actividad breve que te permite recordar algunos conocimientos y refl exionar sobre posibles maneras de resolver un problema.

Las lecciones están conformadas por actividades que te permi-ten practicar y formalizar el conocimiento.

Cada lección comienza con un texto para introducir el tema que se estudiará.

Número de bloque

Aprendizajes esperados

Ejes

Temas

9

Refl exionaSon actividades en las que refl exiona-rás y responderás algunas preguntas acerca de los temas estudiados. Es importante que se resuelvan todas, pues te ayudarán a saber si has aprendido lo que necesitas para seguir avanzando.

También cuentas con una sección Para resolver en la que se proponen ejercicios con los que refl exionarás sobre los temas estudiados.

Por último, la sección Para terminar es una actividad que reúne en una situación problemática lo que estudiaste durante la lección.

LecturaliaAquí encontrarás sugerencias de lecturas que puedes aprovechar para desarrollar tus conocimientos y tu imaginación científi ca.

RetoSon actividades con las que demos-trarás qué tanto has aprendido en algunas lecciones.

Además, a lo largo de cada bloque encontrarás las siguientes secciones:

TIC En este espacio encontrarás sugeren-cias para hacer ejercicios, consultar lecturas en línea y diversas fuentes de información en Internet.

Para saber másLas curiosidades de esta sección son un apoyo para ampliar tus conocimientos. Esta sección te ofrece informa-ción adicional sobre los temas de cada lección.

Tarea en casa Esta sección contiene ejercicios y problemas para que sigas ejercitando los temas de las lecciones en casa.

10

IconosAntes de realizar las actividades, guíate con los siguientes iconos; debes saber si trabajarás de manera individual, en parejas, en equipo o en grupo.

Historia de las palabrasCada palabra tiene un origen. Con seguridad, te sorprenderás al conocer algunas de las historias sobre la etimología y evolución de las palabras que esta sección ofrece.

AforismosSe trata de una cápsula en la que encontrarás frases relacionadas con las matemáticas y el pensamiento científi co, de fi lósofos, músicos, arquitectos. Esta información te ayudará a comprender mejor el pensamiento matemático y su relación con otros campos de conocimiento.

Defi nicionesSon defi niciones o conceptos en los que se resu-men algunos temas. Son una guía y acompaña-miento, ya que te ayudarán a reforzar los conteni-dos que ya construiste a través de la refl exión.

EvaluaciónAl fi nal de cada bloque podrás, con la ayuda de tu profesor, comprobar qué has aprendido y en qué debes mejorar.

Matemáticas históricas Esta sección contiene información acerca de personajes, acontecimien-tos y descubrimientos relevantes en la historia de las matemáticas.

Individual

Parejas

Equipo

Grupo

11

ÍNDICEBLOQUE 1 14

SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

LECCIÓN 1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa 16

Fracciones y decimales en una repartición 17

Fracciones decimales 17

De número decimal a fracción 18

LECCIÓN 2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones 20

¿Todos los números se pueden ubicar en la recta numérica? 21

La recta numérica 22

Números decimales en la recta numérica 23

LECCIÓN 3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones 25

Problemas con suma y resta de fracciones 26

Métodos para sumar o restar dos fracciones con distinto denominador 27

LECCIÓN 4 Construcción de sucesiones de números o de fi guras a partir de una regla dada. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que defi nen las reglas de sucesiones 30

Sucesiones con progresión aritmética 31

LECCIÓN 9Identifi cación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles 67

Registro de resultados con juegos de azar 67

EVALUACIÓN 70

BLOQUE 2 72 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

LECCIÓN 1Formulación de criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos 74

Números divisibles y no divisibles 75

Números primos 79

LECCIÓN 2Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo 82

Problemas y factores primos: m. c. d. y m. c. m. 83

LECCIÓN 3Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos 88

Problemas aditivos con fracciones y decimales 89

LECCIÓN 4Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos 92

Problemas con multiplicacióny división de fracciones 93

Sucesiones fi gurativas 32

Sucesiones con progresión geométrica 34

LECCIÓN 5 Explicación del signifi cado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar 38

Fórmula para calcular el perímetro 38

¿Cómo se escriben las fórmulas? 39

Letras que representan números en las fórmulas 40

FORMA, ESPACIO Y MEDIDALECCIÓN 6Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso de juego de geometría 44

Trazo de triángulos 45

Triángulos a la medida 47

Trazo de cuadriláteros 48

Trazo de rombos 51

Trazo de trapecios 52

LECCIÓN 7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo 53

Mediatrices 54

Bisectrices 57

Medianas de los triángulos 59

Alturas de los triángulos 60

MANEJO DE LA INFORMACIÓN

LECCIÓN 8Resolución de problemas de reparto proporcional 63

Problemas de reparto

proporcional 63

12

FORMA, ESPACIO Y MEDIDALECCIÓN 5Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo 97

Mediatrices y bisectrices de algunas fi guras geométricas 98

LECCIÓN 6Justifi cación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de fi guras 105

Perímetro de cuadrados y rectángulos 106

Área de triángulos 107

Perímetro y área de polígonos 109

Área del trapecio y el paralelogramo 110


LECCIÓN 7Identifi cación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo "valor faltante" en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios 113

Magnitudes y proporciones 114

Magnitudes directamente proporcionales 116

EVALUACIÓN 120


LECCIÓN 1Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división de números decimales en distintos contextos utilizando el algoritmo convencional 124

Multiplicación de un número natural por un número decimal 125

Multiplicación de dos números decimales 126

División de un número natural por un número decimal 127

División de un número decimal por un número natural 129

División de un número decimal por otro decimal 130

LECCIÓN 2Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b y ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b, c números naturales, decimales o fracciones 131

¿Qué representan las letras? 132

Ecuación de primer grado 134

FORMA, ESPACIO Y MEDIDALECCIÓN 3Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informacioneS. Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella 138

Construcción de polígonos 139

LECCIÓN 4Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares 146

Perímetro de un polígono regular 147

Área de un polígono regular 148


LECCIÓN 5Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas 152

El uso de la escala para trazar mapas 153

Reducción a escala de imágenes 153

LECCIÓN 6Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verifi cación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias 158

Registro de frecuencias 159

LECCIÓN 7Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa 163

Registro de informaciónen una tabla de frecuencias 164

Frecuencia absoluta 165

Frecuencia relativa 168

EVALUACIÓN 170


LECCIÓN 1Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos 174

Números positivos y negativos 175

FORMA, ESPACIO Y MEDIDALECCIÓN 2Construcción de círculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas 178

Construcción de círculos 179

Cuerdas y circunferencias 184

13

LECCIÓN 3Justifi cación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo Explicitación del número � (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro 188

¿Cómo calcular la medida de una circunferencia? 189

Cálculo de las medidas de un círculo 191


LECCIÓN 4Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios 195

Aplicación de la regla de tres 196

LECCIÓN 5Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala 199

Reproducción a escala 200

Factor inverso de proporcionalidad 202

LECCIÓN 6Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verifi car los resultados 206

Problemas de conteo 206

LECCIÓN 7Lectura de información representada en gráfi cas de barras y circulares. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfi ca más adecuada 211

Representación gráfi ca de la información 212

Gráfi cas circulares 213

Gráfi cas de barras 214

EVALUACIÓN 216


LECCIÓN 1Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros 220

Operaciones con enteros positivos y negativos 221

LECCIÓN 2Uso de la notación científi ca para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas 227

Operaciones con cantidades muy grandes o muy pequeñas 228

Operaciones con notación científi ca 229

LECCIÓN 3Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales 234

Volumen expresado como potencia 235

Base y exponente 236

Raíz cuadrada por aproximaciones sucesivas 237

LECCIÓN 4Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética 241

Sucesión con progresión aritmética 242

Término general de una sucesión con progresión aritmética 246

FORMA, ESPACIO Y MEDIDALECCIÓN 5Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas 249

Problemas: cálculo del perímetro y el área de círculos 250


LECCIÓN 6Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple 252

Problemas 253

La regla de tres compuesta 255

EVALUACIÓN 258

ANEXOS 260

BIBLIOGRAFÍA PARA EL ALUMNO 262

BIBLIOGRAFÍAPARA EL PROFESOR 263

EVALUACIÓN

14

Aprendizajes esperadosDurante este bloque serás capaz de: Convertir números fraccionarios a decimales y viceversa. Conocer y utilizar las convenciones para representar

números fraccionarios y decimales en la recta numérica. Representar sucesiones de números o de fi guras a partir

de una regla dada y viceversa.

1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

1.4 Construcción de sucesiones de números o de fi -guras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que defi nen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de nú-meros y de fi guras.

1.5 Explicación del signifi cado de fórmulas geomé-tricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las al-turas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

1.8 Resolución de problemas de reparto propor-cional.

1.9 Identifi cación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

TEMA SUBTEMA

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

1Números y sistemas de numeración

1BL

OQ

UE

Problemas aditivos

Patrones y ecuaciones

Figuras y cuerpos

Proporcionalidad y funciones

Nociones de probabilidad

2

3

4

5

6

7

8

9

EVALUACIÓN

BLOQUE 1 • 15

La arquitectura y las matemáticas están íntimamente ligadas; por ejemplo, en el diseño y construcción de un rascacielos se utilizan patrones y proporciones, y cada parte de la estructura representa una fracción respecto a la totalidad del edifi cio. Si el edifi cio de la fi gura consta de nueve secciones y en cada sección hay cinco pisos, ¿se podría decir qué fracción representa cada piso respecto a cada sección? ¿Y con respecto a todo el edifi cio?

BLOQUE 1 • 15

La arquitectura y las matemáticas están íntimamente ligadas; por ejemplo, en el diseño y construcción de un rascacielos se utilizan patrones y proporciones, y cada parte de la estructura representa una fracción respecto a la totalidad del edifi cio. Si el edifi cio de la fi gura consta de nueve secciones y en cada sección hay cinco pisos, ¿se podría decir qué fracción del edifi cio representa cada piso?

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ÉRIC

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16 NÚMEROS Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN

CONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES Y NO DECIMALES A SU ESCRITURA DECIMAL Y VICEVERSA

LECCIÓN 1

PARA COMENZAR

Lee la siguiente situación y coméntala con tus compañeros.

La señora Lupita hizo una lista de las frutas y verduras que necesita comprar en el mercado. Sin embargo, como tiene una lesión en el hombro derecho, no puede cargar más de cuatro kilo-gramos, así que debe pensar muy bien antes de comprar, para que la mer-cancía no rebase esta cantidad y no ponga en riesgo su salud.

Responde las preguntas.

LISTA3.5 kg de jitomate Cuatro kilogramos de naranjas 1 1

2 kg de calabacitas Dos kilogramos de zanahorias4 kg de papa 1 4 kg de ajoMedio kilogramo de aguacate 2 1

2 kg de tomate verde

LISTA

a. Si la señora Lupita desea saber cuánto pesarán todas sus compras, ¿qué necesita hacer?

b. ¿Cómo puede representar la señora Lupita medio kilogramo en fracción y en decimal?c. La señora Lupita compra 2 1

2 kg de tomate verde y se da cuenta que requiere de 3.5 kg para su guiso. ¿Cuánto tomate más tiene que comprar?

d. De acuerdo con la lista, ¿de cuántas formas distintas se representa un número?e. ¿Cuánto pagaría por 3 1

2 kg de jitomate si cada kilogramo cuesta 15 pesos?f. ¿Qué propósito tiene que expresar una cantidad como fracción?

Con la guía de tu profesor comparte las respuestas con tus compañeros.

Si compramos un envase de jugo de 3 4 de litro, ¿es posible verter esa cantidad de líqui-

do en tres frascos de 225 mililitros cada uno? ¿Quedará jugo en el envase original o se podrá vaciar todo? Si esto último fuera posible, ¿los tres frascos quedarían al ras o

habría espacio para un poco más de jugo? Es posible que en ocasiones te enfrentes a pro-blemas similares. Este tipo de preguntas justifi can la necesidad de conocer que existen diferentes maneras de representar una fracción, pues 225 mililitros representan también una fracción de un litro, y esto nos conduce a un nuevo problema: si las formas de representación no son compatibles entre sí para efectuar sumas y restas, necesariamente debemos aprender a convertir una forma de representación a la otra y viceversa. En esta lección aprenderás a efectuar la conversión entre ambas formas de expresar una fracción.

BLOQUE 1 • 17

Cuando un reparto se es-cribe como fracción, se tiene enel numerador lo que se reparte yen el denominador el total.

Cuando un reparto se es-

Una fracción es un cociente formado por dos números enteros: un denominador y un numerador. El denominador es el número de partes en las que se divide la unidad, mientras que el numerador el número de partes que se toman de ella.

Una fracción es un cociente formado por dos números

Fracciones y decimales en una repartición

Para operar con los números se requiere que estén en una representación apropiada. Copia en tu cuaderno la tabla obtenida de la lista de la señora Lupita y completa con las representa-ciones equivalentes de cada número.

Es importante conocer y refl exionar acerca de las diversas representaciones de los números, como los que apare-cen en la lista de la señora Lupita.

REFLEXIONA Para poder sumar, multiplicar o restar números, éstos deben estar en una misma representación, ¿cuál?

Registra tus ideas y coméntalas con el grupo para llegar a un acuerdo. Con la guía de su profesor lleguen a una conclusión.

Palabras División Decimal Fracción3.5

Cuatro 1 4

Dos

4.0

Un medioPeso total=

En la lista de compras de la señora Lupita aparecen algunas cantidades en forma de fracción:

a. En el caso de los ajos que compró la señora Lupita, ¿qué relación existe entre el numerador y el denominador?

b. ¿Qué representa el numerador? c. ¿Qué representa el denominador?

La señora Lupita también compró una bolsa de canicas para sus nietos, hizo algunas cuentas y concluyó que debía repartirlas así: a Manuel le tocan 2, a Juan 13

38 y a Roberto las sobrantes.

a. En total, ¿cuántas canicas compró la señora Lupita?b. ¿Cuántas canicas recibió Roberto?c. Expresa en forma de fracción la parte de las canicas que le tocaron a Roberto.

Comparte tus respuestas con el resto de los equipos, y, con la guía del profesor lleguen a una conclusión.


18

El sistema de numeración decimal es posicional; esto quiere decir que la posición que una cifra ocupa en una cantidad determina su valor. Para leer números decimales, debes identifi car primero la posición que ocupa cada cifra en la cantidad después del entero a partir del punto decimal. En el ejemplo de las semillas, la fracción equivalente es 1 4 , es decir: 0.25 = 1

4 . ¿Cómo piensas que se llegó a ese resultado? ¿Qué número es múltiplo de 25 y de 100?

¿Se puede decir que el muchacho que compró semillas de gira-sol pidió un cuarto de kilogramo?, ¿por qué? ¿Cuándo la división es exacta?, ¿cuándo no lo es?Con tu calculadora, haz las ope-

raciones siguientes para:

1. Comprobar que 0.12 = 12 99

.

2. Convertir, las siguientes frac-ciones a números decimales.

Con tu calculadora, haz las ope-TIC

33 2456

= =496 7295

= 23 234

98 745

=

De número decimal a fracción

Fracciones decimales

Las fracciones decimales son aqué-llas cuyo denominador es 10 o un múltiplo de 10; por ejemplo, las del problema de la página anterior: 6

20 .

Las fracciones decimales son aqué-

Con la guía de su profesor, analicen de nuevo el problema de la señora lupita y respondan: ¿Cuáles son fracciones decimales? De las fracciones 3

10 , 4 5 , 6

100 , 3 9 , ¿cuáles son

fracciones decimales y por qué? ¿Cómo distingues a una fracción decimal de otras

fracciones?

En una tienda de materias primas, donde venden fruta seca, cacahuates, pepitas y otras semillas, un muchacho le pide al tendero 1

4kg de semillas de girasol; pero su báscula sólo

puede pesar gramos. ¿Qué operación tendrá que realizar para poder calcular el peso exac-to de semillas de girasol que le pidieron? Expresa tu respuesta en número decimal.

Con la guía de tu profesor comparte tus respuestas con un compañero; si son diferentes, comparen las operaciones realizadas y, corrijan los errores para llegar a un resultado común.

Números decimales aproximadosMariana acompaña a su mamá al supermercado; al pagar, la cajera le pregunta a su mamá si le gustaría que su cuenta se redondeara, la cantidad total a pagar era de $245.50

¿Qué cantidad pagó la mamá de Mariana si aceptó redondear? ¿Qué procedimiento se utiliza para redondear?

mill

ares

cent

enas

dece

nas

unid

ades

.

deci

mal

es

cent

ésim

asm

ilési

mas

.

4 5 6 7 . 6 2 1

BLOQUE 1 • 19

Ernesto tiene un puesto de frutas. Una mañana le pidieron varios platos de fruta, así que compró 3 3

4 kilogramos de piña, 5 1 4 de sandía; 2 kilos y

medio de fresa y 2.6 kilogramos de trocitos de melón. El tendero le preguntó si quería una

bolsa o dos y le advirtió que cada bolsa soporta 13.8 kilogramos. ¿Cuántas bolsas necesita Ernes-to?, ¿cómo se puede determinar esto? ¿Cómo se podría representar con una fracción lo quese puede cargar en una bolsa?

PARA TERMINAR

En la siguiente tabla se muestran algunas cantidades que se desea redondear a tres cifras signifi cativas. Utiliza tu calculadora científi ca para llevar a cabo la actividad.

a. Oprime tres veces la tecla MOD

b. Oprime la tecla 1

c. Oprime la tecla 3 (este número indica cuántas cifras signifi -cativas tomará la calculadora)

Ahora ingresa la primer cantidad, la tecla con el signo “=”, escribe el resultado obtenido en la columna de redondeo de la tabla de la derecha:

Analiza cada uno de los números y su redondeo, ¿qué característica debe tener la cuarta cifra para que la terce-ra aumente su valor?

¿Qué característica debe tener la cuarta cifra para que la tercera cifra no aumente su valor?

Utiliza las respuestas anteriores para completar la tabla de la derecha

Con ayuda de tu profesor compartan sus respuestas con el resto de sus compañeros y de manera grupal obtengan el procedimiento para llevar a cabo el redondeo.

En la actividad anterior se realizó el redondeo de cifras, ahora ana-lizaremos cómo realizar el truncamiento de cifras, para ello es nece-sario que analices la tabla que se presenta y contestes las preguntas.

¿Es importante el valor de la tercera cifra para poder truncar?

¿Qué número obtienes al truncar a cuatro dígitos el número 3.14159265?

Con ayuda de tu profesor comparte tus respuestas con el resto de tus compañeros y de manera grupal obtengan el procedimiento para truncar de cifras:

NúmerosRedondeo a tres

cifras signifi cativas4.2539 4.2544.25284.25174.25064.25554.25344.25634.25724.25914.2530

NúmerosRedondeo a dos

cifras signifi cativas3.1412.3451.2500.267

cantidadCantidad truncada

dos cifras1.2569 1.25

2.368027 2.36

0.32169 0.32

0.059 0.05

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20 NÚMEROS Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN

a. ¿Qué necesitas para conocer tu peso? ¿Cómo averiguarías cuál es tu estatura?b. ¿El instrumento que utilizan los albañiles para medir paredes y los carpinteros

para diseñar muebles es el mismo?c. ¿Qué tienen en común los instrumentos de medida que aparecen a continuación?d. ¿Cuál consideras que es el

elemento matemático común en todos los instru-mentos de medición?

e. ¿Por qué existen diferentes instrumentos para medir?

f. ¿Recuerdas qué es una escala numérica y cuál es su función?

Comenta las respuestas con tus compañeros.

Material: Dos metros de papel estraza, una cartulina, regla, color rojo y cinta métrica.

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES EN LA RECTA NUMÉRICA A PARTIR DE DISTINTAS INFORMACIONES

LECCIÓN 2

El comercio es la actividad económica más importante de nuestro país, según el Censo Económico 2009 realizado por el inegi; los principales productos que comercializamos son los que produce el campo: frutas, verduras y semillas. Si

vas a un mercado, tianguis o tienda de autoservicio podrás notar que estos produc-tos se venden según su peso, por ejemplo, dos kilogramos de manzana, un kilogramo de sandía o 100 gramos de nuez. Sin embargo, en ocasiones, las personas desean más de un kilogramo de sandía, un kilogramo y medio, por ejemplo, ¿a cuántas sandías equivale? La respuesta dependerá de cuánto pese cada sandía; en kilogramo y medio quizás sean 1

3 de sandía. El estudio de esta lección, te permitirá ubicar las fracciones decimales en una recta numérica.

Báscula colgante.

Báscula vertical.

Cinta métrica.

Flexómetro.Flexómetro.

PARA COMENZAR

Observa los siguientes instrumentos de medición y después responde las preguntas.

BLOQUE 1 • 21

Asesorados por su profesor, realicen la siguiente actividad.

a. Verifi quen que el suelo esté limpio y peguen en él la otra cara del papel estraza que utilizaron en la actividad anterior.

b. Tracen dos líneas, una en cada extremo del papel.c. Colóquense al otro lado de las marcas que trazaron y lancen una moneda tra-

tando de que ésta quede entre las líneas trazadas y sin salir del papel.d. ¿Cómo se puede precisar la ubicación de la moneda con respecto a la línea de

salida sin usar una cinta métrica? Discutan con su equipo las posibles respuestas.e. Tracen una marca sobre el papel indicando el lugar donde cayó la moneda.f. Retiren la moneda y doblen el papel a la mitad. ¿Se puede precisar ahora dónde

cayó la moneda?g. Vuelve a doblar por la mitad varias veces hasta que algún doblez coincida lo

más posible con la marca de la moneda.h. ¿A qué distancia entre los dos segmentos cayó la moneda?

Cuando señalaron las primeras marcas en el juego, establecieron la longitud sobre la que iban a trabajar. Después, la siguiente marca fraccionó este segmento, ¿cómo se

expresa la mitad de la unidad en matemáticas?

¿Todos los números se pueden ubicar en la recta numérica?

Con la guía de tu profesor, formen equipos de cinco integrantes y realicen la si-guiente actividad:

a. Cada equipo escoja un espacio en la pared del salón en el que puedan colocar dos pliegos de papel estraza. Procuren colocarlos desde el suelo.

b. Por equipo, elijan una unidad de medición de longitud y con ella tracen y dividan una línea con marcas de acuerdo a la medida seleccionada.

c. Por turnos, cada integrante del equipo se colocará junto al papel estraza.d. Anoten las mediciones en su cuaderno y contesten las siguientes preguntas.

¿Las marcas de cada estatura coincidieron con la escala elegida? Si no coincidieron, ¿qué pueden hacer? ¿Es posible medir siempre de manera exacta con la escala elegida?

Guiados por su profesor, comenten sus resultados en el grupo y lleguen a un acuerdo.


22

Fracciones propias. Numerador menorque denominador¿Qué signifi ca que el numerador sea menor que el denominador? y ¿por qué es impor-tante considerarlo para trazar una recta?

Jaime es costurero y quiere dividir una cinta de tela en ocho partes. ¿Cómo debe divi-dirla? De esas ocho secciones, necesita cinco, pues le encargaron hacer unos moños. ¿Cómo se representa en fracciones lo que utilizó Jaime para los moños?

a. Traza un segmento de recta en tu cuaderno y ubica la fracción, que acabas de establecer.

b. ¿En cuántas partes tuviste que dividir el segmento?c. A partir de la primera marca, ¿cuántas marcas contaste para situar la fracción?d. Si la fracción fuera ahora 7

9 , ¿te serviría la división anterior para situar esta nueva fracción?

Con la guía de tu profesor, discute con tus compañeros las respuestas.

¿Se pueden situar en una recta numérica los números enteros, decimales y fracciona-rios?, ¿por qué? En la actividad anterior, la línea con la escala elegida simula una recta numérica. ¿Cómo se dividen las rectas numéricas? ¿Cómo podrías elaborar otras rectas numéricas? Observa la siguiente línea:

0 1

a. Guiados por su profesor, comenten las siguientes preguntas: ¿Es una recta numérica? Si la divides en cuatro partes iguales, ¿la distancia entre cada una de las

divisiones será la misma en todos los casos? Si divides la línea en diez, ¿cuál sería la distancia?

b. Escribe en tu cuaderno la representación numérica y el nombre de cada parte cuando la unidad se divide en cinco, seis, siete, ocho, nueve y once.

La recta numérica

BLOQUE 1 • 23

En tu cuaderno, realiza lo que se te indica.

Fracciones impropias. Numerador mayorque denominador¿Qué sucede cuando el numerador es mayor que el denominador? ¿Cómo se represen-ta la fracción 13

5? Cuando el numerador es mayor que el denominador, la fracción se

expresa como fracción mixta, es decir, se efectúa la división indicada en fracción y se escribe la fracción resultante después del mayor entero encontrado, por ejemplo, 13 5

= 2 3 5

.

a. Traza una recta y ubica la fracción 18 5 .

¿Cuál fue la fracción mixta que resultó de esta fracción impropia? ¿En cuántos enteros tuviste que dividir el segmento? ¿Cuántas divisiones tuviste que hacer para ubicar la fracción después del

entero?b. Compara el resultado con tu compañero.

¿Fue el mismo resultado que el tuyo? Si fue diferente, ¿en qué lo fue?

c. Sin importar la longitud del segmento elegido, ¿se podría suponer que el resul-tado es el mismo?

Comenten con su profesor sus conclusiones.

También los números decimales pueden ser convertidos en fracción; por ejemplo, al número 0.5 corresponde el valor de 1

2 . Por tratarse de una fracción decimal, ¿en cuán-tas partes será necesario dividir el segmento de una recta numérica?

Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno.

a. Traza un segmento de recta en tu cuaderno y ubica el número 0.4.b. Convierte a decimales las fracciones 3

5 y 2 3 . Traza dos rectas numéricas de la

misma longitud que la anterior y representa el resultado en ellas.c. De las tres fracciones decimales que ubicaste, ¿cuál de ellas es la mayor y cuál

la menor, de acuerdo con su representación gráfi ca?d. ¿Cómo se determina esto a partir del segmento de recta?

Comenten con su profesor sus resultados.

Números decimales en la recta numérica


24

Con la guía de su maestro, formen equipos de tres integrantes y asignen a cada uno un número del 1 al 3.

a. El alumno 1 propondrá un número entero; después, el alumno 2 propon-drá otro entero.

b. El alumno 3 pensará un número que esté entre los dos enteros propuestos.

c. Repitan la actividad dos veces.

¿Se podrá encontrar un número entero entre otros dos que se propongan?

d. Intercambien el orden y repitan la actividad con la siguiente modifi ca-ción.

e. El alumno 1 propondrá una fracción; después, el alumno 2 propondrá otra fracción.

f. El alumno 3 propondrá un número entre las dos fracciones propuestas.

g. Repitan la actividad al menos dos veces más.

¿Siempre se podrá encontrar un número entre dos que propongan?

h. Realicen la misma actividad, pero ahora utilizando números decimales. Anoten sus resultados.

i. Con base en los resultados respondan las siguientes preguntas:

¿Se puede encontrar una fórmula para dicho número?

¿Importa que el número sea entero, fracción o decimal para la fórmula encontrada?

j. Con base en lo anterior podrías enunciar una regla: entre dos números cualesquiera siempre ______________.

Con la guía de su profesor, compartan sus repuestas con el resto de los equipos y lleguen a conclusiones comunes.

PARA TERMINAR

Para una aventura con números: El diablo de los números, de Hans Magnus Enzersberger, escritor alemán. Encuéntralo en librerías y bibliotecas, editado por Siruela (Madrid, 2009). Puedes consultar el libro en línea en: http://www.librosmaravillosos.com/eldiablodelosnumeros/capitulo04.html

Para una aventura con números: El diablo de los números, de Hans

LECTURALIA

, de Hans Magnus Enzersberger, escritor alemán. Encuéntralo en librerías y bibliotecas, editado por Siruela (Madrid, 2009). Puedes consultar el

, de Hans

25

RESOLUCIÓN Y PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS QUE IMPLIQUEN MÁS DE UNA OPERACIÓN DE SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Material: Tijeras y dos hojas tamaño carta.

LECCIÓN 3

PROBLEMAS ADITIVOS

¿Puede la unidad ser algo distinto a 1? ¿Cuánto es un tercio de la mitad de la mitad? Éstas y más preguntas surgieron desde que el hombre tuvo la necesidad de re-partir objetos o alimentos. Por ejemplo, los comerciantes necesitaban medir telas,

madera; pesar especias y otros productos; y los gobiernos, medir terrenos y territo-rios para cobrar impuestos. Como las medidas no siempre resultan números enteros, aparecieron en forma natural las fracciones, que son parte de la unidad. ¿Cómo cal-culamos el peso total de mercancías cuando las cantidades no son números enteros? ¿Cuánto suma 1

2 kilogramo de jamón y 3 4 de queso manchego? En esta lección

resolverás y plantearás problemas que impliquen sumar y restar fracciones.

PARA COMENZAR

Lee el siguiente ejemplo y después contesta las preguntas.

Una empresa dedicada a la venta de terrenos tiene disponibles varios lotes del mismo tamaño, que pueden ser vendidos en su totalidad o por partes. Adriana acompañó a su papá a conocer los lotes y le enseñaron un mapa con ellos:

Del lote número 1, un cliente sólo se interesa por la mitad, ¿cómo se representa en fracción esta parte?

¿En cuántas partes fue seccionado el lote núme-ro 2 y qué fracción representa cada sección?

¿A qué lote corresponde la suma de las siguientes fracciones: 1

2 + 1 4 + 1

4 ? Si tomas tres secciones del lote 4 y una sección del lote 2, ¿qué resultado se obtiene?

Si sumas dos secciones del lote 2 y seis secciones del lote 4, ¿cuál es el resultado?

Comenta tus respuestas con tus compañeros, con la guía de tu maestro.

1)

2)

3)

4)

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26

Problemas con suma y resta de fracciones

En la actualidad contamos con diversos instrumentos de medición para cualquier necesi-dad que se nos presente. Sin embargo, en ocasiones, cuando es necesario conocer una medida y no se cuenta con el instrumento requerido se deben tomar otro tipo de acciones.

¿Qué se puede hacer para estimar de manera aproximada una medida? ¿Qué se puede emplear en lugar del instrumento de medición original?

Imagina que el pizarrón de tu salón se va a trasladar a uno más pequeño que el tuyo. Lo adecuado es medirlo y medir también el nuevo salón para ver si cabe, pero si no se tiene una cinta métrica a la mano y hay que tomar una decisión, ¿qué se puede hacer?

Con la guía de tu maestro, reúnete con un compañero y lleva a cabo la siguiente actividad.

Con un lápiz o una pluma mide el largo y el ancho del pizarrón. Expresa tu resultado en fracción.

¿Cómo se puede emplear la pluma para efectuar la medición? ¿Cuántas veces cupo la pluma al medir el pizarrón? ¿Quedó espacio sin medir? ¿Qué se puede hacer si la pluma no cabe un número exacto de veces?

En vez del pizarrón, puedes optar por medir la mesa del maestro o una ventana del salón. Anota las mediciones en tu cuaderno.

Si te queda un espacio sobrante sin medir, coloca una marca a la mitad de la pluma y mide dicho espacio. Si vuelve a quedar un sobrante coloca una marca a la mitad de la mitad y así sucesivamente hasta que logres una precisión aceptable en tu medición.

¿Cuántas divisiones tuviste que hacer hasta obtener una medida más precisa? ¿Todas las parejas obtuvieron los mismos resultados? Si no fue así, ¿cuál fue la causa? Si la pluma es la unidad de medida, ¿qué fracciones obtuviste respecto a

esta unidad cada vez que hacías una nueva división? Expresa el resultado de la medición con el número entero de veces que

corresponda más la fracción que se haya obtenido fi nalmente.

Con la guía de tu maestro, compartan sus comentarios y observaciones con el resto del grupo.

En una clase de manualidades, la maestra lleva una bolsa con cuentas de colores para hacer pulseras y collares. Antonia recibe la tercera parte, Ana dos novenas partes y Esther una sexta parte. El resto se lo reparten las demás alumnas.

BLOQUE 1 • 27

Completa la siguiente regla: Cuando se tienen dos fracciones con el mismo denominador para restarlas o sumarlas basta sumar o restar los .

Completa la siguiente regla: Cuando se tienen dos fracciones con el mismo denominador para

Ana y Esther deciden abandonar el taller y le venden sus cuentas a Antonia.

¿Puedes decir cuánto tiene ahora Antonia? ¿Tiene más cuentas o menos cuentas que el resto de las alumnas? ¿Qué operación se debe efectuar para contestar la primera pregunta?

Cuando llega a su casa, Antonia le regala algunas cuentas a sus hijas, pues al igual que su mamá, también quieren aprender a hacer pulseras. La mayor, Tina, recibe tres octavas partes de las cuentas que lleva su mamá, mientras que a Lilí le toca una quinta parte.

Finalmente, ¿con qué parte se quedó Antonia del total de cuentas que la maestra repartió al principio?

¿Qué operación se requiere efectuar para determinar esto?

Lilí está estudiando fracciones en su escuela, ¿cómo representaría en fracciones lo que Ana y Esther le vendieron a su mamá? ¿Cómo representaría lo que su mamá les regaló a ella y a su hermana Tina?

Con la guía de tu maestro, compartan sus comentarios y observaciones con el resto del grupo.

Para poder hacer una suma o resta de fracciones con distinto denominador es necesario primero convertirlas a fracciones equivalentes con el mismo denomina-dor para luego aplicar la regla anterior.

¿Qué operación debes aplicar entre los denominadores para encontrar uno común?

• Suma • División• Multiplicación

Una vez que se haya encontrado el denominador común para realizar las operaciones de suma o resta de fracciones, éste se divide entre cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica por cada uno de sus numeradores, los números que re-sulten se suman o restan según lo indique la operación.

Para poder hacer una suma o resta de fracciones con distinto denominador

Métodos para sumar o restar dos fracciones con distinto denominador


28

×

×

Método abreviadoMultiplica los denominadores para obtener el denominador de la fracción resultante.

5 3

+ 8 7

= ? 21

Multiplica el denominador de la segunda fracción por el numerador de la primera para obtener el primer sumando o minuendo.

5 3

+ 8 7

= 35 21

Para obtener dos fracciones equivalentes con el mismo denominador, se multiplica el numerador y el denominador de la primera fracción, por el denominador de la segunda fracción; luego, se multiplica el numera-dor y el denominador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción.

3 5

+ 4 7

= 3 5

× 7 7

+ 4 7

× 5 5

= 3 × 7 5 × 7

+ 4 × 5 7 × 5

= 21 35

+ 20 35

Resuelve las siguientes sumas de fracciones y describe el método que utilizaste:

• 2 3

+ 3 6

= • 5 3

+ 3 2

= • 4 5

− 1 2

=

• 3 4

− 2 6

= • 7 5

− 1 2

= • 8 4

− 3 2

=

BLOQUE 1 • 29

Coloca el signo correspondiente después del primer sumando o minuendo obtenido.

5 3

+ 8 7

= 35 + ? 21

Multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda para obtener el segundo sumando o minuendo.

5 3

+ 8 7

= 35 + 24 21

Efectúa la suma o resta para concluir la operación.

Con la guía de tu maestro, reúnete con cuatro compañeros para resolver el problema. Al fi nal, compara los resultados con los demás equipos.

El tío de Josefi na es chef repostero y la siguiente es la lista de los ingredientes que se necesitan para prepa-rar un pastel de chocolate para cinco personas.

¿Cómo quedaría la lista de ingredientes si se prepara un pastel para 15 personas?

¿Cuánto pesarán todos los ingredientes que se necesitan para preparar un pastel para 15 personas?

PARA TERMINAR

×

1 4 kg de chocolate en tableta200 g de mantequilla 1

5 kg de almendras trituradas100 g de azúcar en polvo1 1 2 kg de harina 3

4 kg de huevo

RECETAS

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CONSTRUCCIÓN DE SUCESIONES DE NÚMEROS O DE FIGURAS A PARTIR DE UNA REGLA DADA. FORMULACIÓN EN LENGUAJE COMÚN DE EXPRESIONES GENERALES QUE DEFINEN LAS REGLAS DE SUCESIONES

LECCIÓN 4

Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de números u objetos que cumple una regla determinada. La sucesiones son útiles, por ejemplo para estimar y anticipar la cantidad que se ahorrará en un tiempo determinado o

bien cuando necesitamos saber cuánto tiempo tardaremos en llegar a nuestro des-tino si utilizamos un transporte como el metro o tren, suponiendo que éste haga paradas cada dos minutos en sucesión, es decir, la primera parada a los dos minutos, la segunda a los cuatro y la tercera a los seis; si nuestro destino está en la parada número 8, ¿cuánto tiempo tardaremos en llegar? Las sucesiones numéricas están en todos los ámbitos, y es posible reconocerlas en materias como Biología y Geografía, en las que se describen procesos de crecimiento físico de algunas bacterias y animales, o sociales, cuando una población tiene un ritmo de crecimiento defi nido.

PARA COMENZAR

Lee el siguiente problema y resuelve las preguntas.

Elena quiere comprarse una computadora y decidió ahorrar cinco pesos diarios hasta juntar la cantidad que necesita: $2 500.00. Ella hizo una tabla como la que se mues-tra a continuación, ayúdala a completarla:

Número de días Cantidad de pesos ahorrados

Primer día

Segundo día

Tercer día

30 PATRONES Y ECUACIONES

BLOQUE 1 • 31

a. ¿Cómo aumenta el número de rombos de una fi gura a otra?

Al considerar el número de rombos que tiene cada fi gura, podemos escribir una secuencia numérica.

b. Escribe en la línea los números que hacen falta:

3, , 9, , ,…

c. ¿Cómo se puede obtener el número de rombos que tendrá la fi gura 6?

El número tres aparece primero, ya que es el número de rombos que tiene la fi gura 1 de la primera secuencia, o bien, es el número que ocupa la primera posición de la misma secuencia. ¿De qué manera se puede calcular el número de rombos que tendrá una fi gura a partir de su posición en la secuencia?

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

Observa las siguientes secuencias de fi guras.

Una sucesión con progresión aritmé-tica es una sucesión de números que se obtie-ne al sumar un número fi jo al anterior para obtener el siguiente. El número fi jo se llama “diferencia” y se representa con la letra d.

Una sucesión con

a. Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

Si Elena ahorra cinco pesos diarios, ¿cuánto dinero tendrá el tercer día? ¿Cuánto dinero tendrá en una semana? ¿Cuánto dinero ahorrará en 15 días? Si ahorra durante un año, ¿cuánto dinero tendrá al fi nal? ¿Cuánto tiempo tardará en juntar el dinero que necesita? Escribe el procedimiento que permite calcular el número de pesos que ahorra de acuerdo con el número de días que transcurren.

Escribe cómo aumenta diariamente la cantidad que ahorra durante 10 días.

Con la guía de tu maestro, comenta las preguntas y tus respuestas con el grupo.

Sucesiones con progresión aritmética


32

PARA RESOLVER

Analiza las siguientes sucesiones numéricas y contesta las preguntas:

a. 5, 8, 11, 14, 17, …b. 3, 8, 13, 18, 23, …

¿Cuál es la diferencia entre dos números continuos de la sucesión del inciso a? ¿Cuál es la diferencia de un número a otro en la sucesión del inciso b? Determinen cómo se generan los números de las sucesiones anteriores.

Con la guía de su maestro, comenten las respuestas con sus compañeros.

Observen las siguientes secuencias de fi guras y dibujen las que hacen falta:

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5

Sucesiones fi gurativas

a. ¿Cuántas estrellas debe tener la fi gura 5?b. Escribe una secuencia numérica diferente a la secuencia mostrada.c. ¿Cómo se puede obtener el número de estrellas que tendrá una fi gura a partir

del número de la fi gura anterior?

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

BLOQUE 1 • 33

Las sucesiones numéricas que se muestran enseguida se relacionan con las que están incluidas en la tabla, complétalas:

6, 12, , 24, , , … 5, , 15, , 25, 30, … 4, , 12, 16, , , … 1, 3, 5, , 9, 11, , …

De acuerdo con los resultados, comenta con tus compañeros lo siguiente.Si agregamos más columnas a las tablas anteriores y las nombramos como "fi gura

6", "fi gura 7", "fi gura 8", etcétera:

a. ¿A partir del número de la fi gura cómo se puede obtener el número de corazo-nes que tendrá la fi gura 10?

b. Describe cuál es el procedimiento que se debe llevar a cabo para calcular cuántas fl ores tendrá la fi gura 7.

c. Los esquemas que aparecen a continuación nos ayudan a obtener el número de cruces o caritas que tendrá cualquier fi gura, complétalos:

Núm. de cruces Núm. de la fi gura

Núm. de la fi gura1

Núm. de caritas

=

=

×

× −

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5


34

Con la asesoría de su maestro, reúnanse en equipos de cuatro o cinco integrantes, lean el siguiente texto y después contesten en su cuaderno lo que se pide.

Alberto es un científi co que quiere observar cómo se reproducen las bacterias. En la primera hora tenía dos bacterias; en la segunda, cuatro; en la tercera, ocho; en la cuar-ta, 16, etcétera.

a. Completen la tabla y contesten las preguntas en su cuaderno.

¿Cuántas bacterias habrá en la quinta y en la sexta hora? Describan cómo se puede conocer el número de bacterias que habrá el

séptimo día. ¿Cómo se puede calcular el número de bacterias que habrá el décimo día a

partir del número de bacterias del día anterior? ¿Después de cuántas horas Alberto tendrá más de 1 000 bacterias?

Horas Transcurridas Número de bacterias

1 2

2 2 × 2 = ________

3 2 × 2 × 2 = ________

4 2 × 2 × 2 × 2 = ________

Las sucesiones geométricas se utilizan frecuentemente en biología, pues éstas permiten saber cómo crece la población de animales o bacterias en un espacio y tiempo determi-nado. Por ejemplo, se puede calcular cuántos animales habrá en un tiempo determinado, así es más fácil diseñar estrategias para ayudar a su conservación; también se puede saber cuántas bacterias habrá en una hora o dos, con la fi nalidad de analizar cómo es el crecimiento de esos organismos y poder erradicarlos si es que ocasionan algún daño al ser humano.

Sucesiones con progresión geométrica

BLOQUE 1 • 35

a. Ayuda a don Toño a completar la siguiente tabla. Escribe el número de conejos según corresponda.

Lee el siguiente texto con atención y después realiza lo que se pide.

Mes Cantidad de conejos

4 256

7

9

11

b. Contesta las preguntas en tu cuaderno.

¿Cuántos conejos tendrá en el sexto mes? ¿Cuántos conejos tendrá don Toño después de ocho meses? ¿Qué observas entre el número de conejos de un mes con respecto a los del

siguiente mes?

c. Completa el siguiente párrafo.

Si en el séptimo mes don Toño tuviera conejos, en el octavo mes tendría

y en el noveno mes , de tal forma que el número de conejos del mes anterior se para obtener los del siguiente mes.

Don Toño tiene una granja de conejos. En una tabla registra mensualmente la cantidad de conejos que tiene, ya que quiere observar cómo crece el número de conejos, porque quiere criarlos y venderlos. Observó que el primer mes tenía cuatro conejos; el segundo, 16; el tercero, 64, y así, sucesivamente.

Observen que el número de bacterias se incrementó de manera considerable. Por ejem-plo, la cantidad que había en la segunda hora se duplicó en la tercera hora; la cantidad de la tercera hora se duplicó en la cuarta hora, y así sucesivamente.

Con la guía de su profesor, comenten sus respuestas con el grupo.


36

Leonardo de Pisa (1170-1250), también cono-cido como Fibonacci, fue uno de los matemá-ticos medievales más importantes de su época.

Desarrolló el sistema de numeración decimal que actualmente utilizamos, donde aparecen por prime-ra vez las nueve cifras hindúes y el cero inventado por los mayas. Leonardo publicó en 1202 el Liber abaci (el libro del ábaco o de los cálculos), estableció reglas para realizar las operaciones con enteros y con fracciones; creó la regla de tres, simple y compuesta; desarrolló normas para calcular la raíz cuadrada de un número; aplicó sus conocimientos al comercio y a la conversión de pesos y medidas. Fibonacci es conocido por la sucesión numérica (1, 1, 2, 3, 5, 8,

13, 21, 34, 55, 89...). La sucesión empieza con dos números uno y el resultado siguiente se obtiene de la suma de los dos números anteriores. De esta for-ma, el tres se obtiene de sumar dos más uno, el cinco resulta de la suma de tres más dos, y así suce-sivamente. Uno de los problemas más conocidos es el “problema de los conejos”:

Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engen-dra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?

MATEMÁTICAS HISTÓRICAS

11

1

1+6+10+4

1+5+6+1

1+4+3

1+3+1

1+2

1+1

1

1

1

1 4

5

6

10 10

4

5

1

11

1

1

6 15 20 15 6 1

7 21 35 35 21 7

1

1

1

2

33

1

1

2

3

5

8

13

21

Séptimo mes16 384

Octavo mes Noveno mes

× ______ × ______

¿En qué mes don Toño tendrá más de 1 000 000 conejos? Con la guía de tu profesor, comenta tus respuestas con el resto de tus compañeros.

En una sucesión con progresión geométrica cada uno de los números se ob-tiene multiplicando el número anterior por una cantidad constante que se denomina razón.

En una sucesión con

d. Completa el siguiente esquema con base en la información del párrafo anterior.

BLOQUE 1 • 37

PARA RESOLVER

En parejas, observen las diferentes sucesiones y contesten las preguntas.

a. 3, 9, 27, 81,...b. 5, 25, 125, 625,...

¿Cuál sería el siguiente término en cada sucesión? ¿Qué número aparecería en la décima posición de la sucesión? ¿Cuál es el procedimiento que nos permite obtener el siguiente

término de la sucesión? ¿Qué número aparecerá en la octava posición de la sucesión de números? ¿Qué tipo de progresión tiene cada una de las sucesiones?

Con la guía de tu profesor, comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

Tarea en casa

Realiza los siguientes ejercicios en tu cuaderno para practicar sucesiones con progresión geométrica.

a. Observa las sucesiones y complétalas con el número que falta en cada caso. 2, 6, 18, 54, . 5, 10, 20, 40, .

b. Construye una sucesión con progresión geométrica.

Con la guía de tu profesor, compara los resultados con tus compañeros.

Con la calculadora puedes cons-truir fácilmente sucesiones con progresión geométrica. Elige un número y multiplícalo por sí mismo las veces que desees. Cada resultado es un elemento de la sucesión.

TIC

PARA TERMINAR

Con la guía de su maestro, reúnanse en equi-pos de tres o cuatro integrantes y realicen la siguiente actividad.

a. Establezcan diferentes sucesiones: aritméticas o geométricas, con palillos de madera.

b. Dibujen en su cuaderno las sucesiones que construyó cada uno de los equipos.

c. Escriban preguntas acerca de las sucesiones.

Asesorados por su profesor, compartan la acti-vidad y coméntenla entre todos.

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38

Material: Un cordel de 2 m o 3 m de largo, tijeras y cinta métrica.

EXPLICACIÓN DEL SIGNIFICADO DE FÓRMULAS GEOMÉTRICAS, AL CONSIDERAR LAS LITERALES COMO NÚMEROS GENERALES CON LOS QUE ES POSIBLE OPERAR

PATRONES Y ECUACIONES

LECCIÓN 5

Contar y calcular trayectorias, perímetros y velocidades son acciones que realizamos todos los días. Sin darnos cuenta, utilizamos las matemáticas para casi cualquier cosa; por ejemplo, si decidimos decorar o proteger alguna superfi cie, cuando compramos un mantel para la mesa,

al vendedor le especifi camos el largo de tela que vamos a comprar, pero los rollos de tela vienen con determinado ancho, y no es el mismo para todas las telas. Si conocemos la superfi cie que vamos a cubrir, en el momento que el vendedor nos dice el ancho de la tela elegida, una rápida operación nos puede indicar, aunque sea de manera aproximada, la cantidad de tela que debemos comprar. Empleamos el pensamiento algebraico para tomar mejores decisiones al manejar cantidades cuyo valor se desconoce, empleando letras para representar dichas cantidades. Seguramente, en prima-ria estudiaste algunas fórmulas para calcular perímetros y áreas; en esta lección comprenderás cómo se establecen las fórmulas para calcular perímetros y entenderás también cómo se deducen.

PARA COMENZAR

Lee con atención el siguiente ejemplo y contesta las preguntas.

María tiene un restaurante y quiere adornar sus manteles con listones de color para celebrar las fi estas patrias. Sin embargo no sabe cuántos metros de listones comprar, pues tiene 25 manteles que miden 1.35 metros por cada lado.

a. ¿Cuántos metros de listón necesita para cada mantel?b. ¿Cuántos metros de listón necesita para todos sus manteles?c. Si los rollos de listón son de 50 centímetros, ¿cuántos deberá comprar?,

¿le quedará algún sobrante de listón?

Con la supervisión del profesor, comenta tus respuestas con el grupo.

Lee las instrucciones y responde lo que se te pide.

En el siguiente esquema aparece el recorrido que sigue Martha de su casa al metro y del metro a la escuela.

Fórmula para calcular el perímetro

BLOQUE 1 • 39

¿Cuál es la distancia que recorre Martha de su casa a la escuela cuando viaja en metro?

Si los segmentos de color azul representan el trayecto que puede llevar a cabo en trans-porte público y el de color verde el que puede recorrer en taxi:

¿Cuál es la distancia del recorrido de color verde?

Si esa distancia la representamos con la letra “r”, ¿cómo se puede expresar la distancia que recorrería Martha en total si viaja primero de su casa a la escuela en transporte público y regresa de la escuela a su casa en taxi?

Con la guía del profesor, discute con tus compañeros tus respuestas.

Para conocer cuánto mide el contorno de un triángulo es necesario calcular su perímetro; éste se puede determinar sumando la longitud de sus lados, o utilizando fórmulas que nos permitan simplifi car la operación. Por ejemplo, l x 3, que signifi ca que todos los lados miden lo mismo y que para obtener el perímetro sólo basta multiplicar la medida por tres.

m m

m

g g

h

cb

a

Las longitudes de los lados en los triángulos que se muestran a continuación se des-conocen, por tal motivo, este dato se representa con letras. Obsérvalos y responde en tu cuaderno lo que se pregunta:

¿Cómo se escriben las fórmulas?

Edifi cio donde vive Martha. Secundaria donde estudia Martha.


40

l + l + l + l

¿Cómo representarías la fórmula para obtener el perímetro de un rectángulo si no conoces sus lados?

¿Te parece lógica la fórmula?, ¿por qué?

a. Analiza las fórmulas y fi guras.

¿Cuáles fórmulas representan un procedimiento para calcular el área? ¿Qué signifi ca la letra l ? ¿A qué se refi eren las letras a y b?

b × a 2

b × a

Letras que representan números en las fórmulas

Euclides fue un matemático griego que vivió en el siglo 300 a. n. e. Es conocido como el padre de la geometría, y su libro más im-

portante, Los elementos, es un documento asom-broso donde desarrolla con gran método la lógica matemática y la geometría a partir de cinco pos-tulados básicos. Destaca en el trabajo de Euclides su alto compromiso con los números y el rigor metodológico con el que realizó su trabajo, lo cual ha permitido que su pensamiento se mantenga vigente hasta nuestros días. Su geometría ha sido de gran utilidad para la física, la astronomía, la química y la ingeniería. Se cuenta que en una ocasión mientras enseñaba en la escuela de Alejan-dría, un alumno le preguntó qué ganaría al demos-trar un problema, y Euclides le pidió a un esclavo que diera tres monedas al muchacho, “ya que quiere ganar algo con lo que aprende”.quiere ganar algo con lo que aprende”.

uclides fue un matemático griego que vivió MATEMÁTICAS HISTÓRICAS

a. Indica qué tipo de triángulo es en cada caso.

b. En el segundo triángulo, ¿qué signifi ca que las letras sean iguales?

c. Si la fórmula para calcular el perímetro del segundo triángulo es m + m + m, anota las fórmu-las para calcular los perímetros de los otros dos triángulos.

BLOQUE 1 • 41

El salón mide metros de largo y de ancho. Para calcular el perímetro, es necesario .

a. Si un rectángulo mide a centímetros de largo y b centímetros de ancho, ¿cuál sería la expresión que representa al perímetro de dicha fi gura?

b. Completa lo siguiente y responde las preguntas: Si el largo del rectángulo está representado con la letra , y el ancho,

con la letra . Entonces el perímetro del rectángulo se puede expresar

como:

P = + + +

c. Como las letras a y b representan cualquier número, la suma que completaste representa el procedimiento que se debe seguir para calcular el perímetro de cualquier rectángulo. Ahora bien, ¿cómo se puede escribir el procedimiento para obtener el perímetro de un rectángulo usando una suma y una multiplicación?

a

b

La palabra perímetro signifi ca en griego “la medida de alrededor”. El cálculo del perímetro varía para cada fi gura y es el resultado de la suma de todos sus lados. En el siglo XVIII se utilizaba también la palabra ámbito para referirse a los lindes o límites que cercan un es-pacio, y en geometría designaba también la medida o magnitud de la línea o líneas que encierran una fi gura plana.

HISTORIA DE LAS PALABRAS

Asesorados por su profesor, comenten entre ustedes por qué estas fórmulas sirven para obtener el perímetro o el área de estas fi guras.

Cuando se desconoce el valor de una cantidad, ésta se puede representar con letras. El siguiente rectángulo se tomó del croquis de un salón de clases, analízalo y después res-ponde lo que se indica.


42

PARA RESOLVER

A continuación se presenta una tabla con diferentes fi guras geométricas, analízalas y responde lo que se pide para cada una de ellas.

a. Construye la fórmula del perímetro para cada una de las siguientes fi guras.

b. ¿Por qué en algunas fi guras se repiten las letras?c. ¿Conoces alguna otra manera de expresar una fórmula? Explica cuál.

Con la ayuda de tu profesor, analiza tus respuestas y las de tus compañeros.

x

x

w w

z

z

m

v

va

a

p

nn

zz

v

va

a

d

e

f

g

d

e

f

g

BLOQUE 1 • 43

PARA TERMINAR

Alejandra hará un dibujo sobre papel pellón en su clase de manualidades, para adornar el contorno decidió utilizar hilo de colores y listón:

Si cada lado del papel pellón que Alejandra utilizó mide 30 cm, ¿cuántos metros de hilo deberá comprar?

¿Qué operación se llevó a cabo para saberlo? ¿Podemos usar otra operación?, ¿cuál? ¿Cuál es la fórmula que permite calcular el perímetro del cuadrado?

Con la guía del profesor, comenta tus respuestas con tus compañeros.

Con ayuda del profesor, lleven a cabo la siguiente actividad.

a. Formen equipos de tres personas y con una cinta métrica midan la longitud de los cuatro lados de una ventana del salón para obtener su perímetro.

b. Después, hagan el cálculo con la fórmula correspondiente.

c. Comparen la medida que obtuvie-ron a partir de la medición de cada lado de la ventana con la que calcularon con la fórmula.

d. Después, midan la longitud de los lados de su salón de clase y calcu-len el perímetro por medio de los dos métodos revisados.

Guiados por su profesor, comenten los resultados con otros equipos.

Lee el siguiente problema y contesta las preguntas.

44

Materiales: Regla, compás, transportador y cinco hojas tamaño carta.

TRAZO DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS MEDIANTE EL USO DE JUEGO DE GEOMETRÍA

FORM

A , E

SPAC

IO Y

MED

IDA

LECCIÓN 6

FIGURAS Y CUERPOS

En actividades como las que desempeña un diseñador de moda o un arquitecto, se utilizan instrumentos para realizar trazos y para hacer mediciones, de esta manera el diseñador confecciona y el arquitecto construye planos a escala de

lo que será un inmueble. ¿Qué instrumentos imaginas que utilizan el diseñador y el arquitecto? Entre los trazos que se efectúan podemos encontrar triángulos, cuadra-dos, rectángulos y círculos, ya sea en una blusa, una falda, un plano a escala de una casa o un edifi cio; todos ellos se construyen y manufacturan a través de los trazos de los cuerpos geométricos mencionados, y en su elaboración se pueden utilizar instru-mentos como regla, compás, transportador y escuadras. ¿Sabes utilizar estos ins-trumentos para construir un cuerpo geométrico? ¿Qué fi guras puedes trazar con un compás y una regla? En esta lección estudiarás cómo se trazan los triángulos y cuadriláteros con ayuda estas herramientas.

PARA COMENZAR

Roberto es diseñador de modas y le pidieron que elaborara una blusa. Analiza el patrón de corte que dibujó sobre la tela.

a. Contesta las preguntas.

¿Puedes identifi car cuántos triángulos y cuadriláteros hay en cada patrón? ¿Qué instrumentos puede usar Roberto para construir los triángulos y los cuadriláteros?, ¿por qué?

¿Cómo harías para construir con regla y compás un ángulo exacto de 90°?

Si te dan un segmento recto, ¿cuántos triángulos puedes trazar con ese segmento como lado?

¿Cómo trazarías con regla y transportador un rectán-gulo?

Con la guía de tu profesor, comenta tus respuestas con tus compañeros.

BLOQUE 1 • 45

Observa la casa en la que vive Susana y contesta las preguntas.

Para que un arquitecto pueda diseñar una casa con un techo de dos aguas, necesita hacer algunos cálculos y trazos geométricos.

¿A qué fi gura geométrica se parece el segundo nivel de la casa vista de frente? ¿Cómo medirías los lados del techo? ¿Qué herramienta utilizarías para hacerlo? ¿Cómo es el ángulo que se forma entre los lados del techo? ¿Qué instrumento podrías utilizar para medir el ángulo? Si uno de los lados del techo mide 3 m y el otro 4 m, y el ángulo entre ellos

es de 135°, ¿cómo determinarías la longitud del ancho de la fi gura que forma el segundo nivel?

No puedes medir directamente en la casa, y no conoces la distancia que existe entre el punto A y el punto B. De acuerdo con esta información, ¿cómo calcu-larías la base de dicha fi gura?


Usa tu juego de geometría para reproducir el triángulo a escala 1 m: 1 cm en tu cua-derno. Sigue los pasos enunciados a continuación:

a. Marca un punto en cualquier lugar de la hoja con tu lápiz. Éste será el punto A.b. Traza en cualquier dirección un segmento de recta de longitud mayor a 5 cm a

partir del punto A. Donde termine el segmento se marcará el punto D.c. Alinea el transportador con el segmento AD y fi ja el centro en el punto A. Después,

marca un punto con tu lápiz a 135°, contados desde la línea; éste será el punto E.d. Traza con la regla un segmento de línea mayor a 4 cm que parta de A y pase por E.

Trazo de triángulos

A B

C

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

46

Compara tu fi gura con la de otro compañero, ¿se parecen?, ¿son diferentes?, ¿por qué?

Para determinar cuánto mide el ancho del techo de la casa de Susana, contesta lo si-guiente en tu cuaderno.

¿Cuánto mide el lado BC del triángulo que trazaste? De acuerdo con la escala establecida al inicio de la actividad, ¿cuánto medirá

en metros el ancho del techo de la casa de Susana? ¿Se pueden medir ángulos de izquierda a derecha con el transportador?, ¿y

de derecha a izquierda?

Asesorados por tu profesor, comenta tus respuestas con tus compañeros.

En la actividad anterior pudiste observar que la regla y el transportador permiten trazar distintas fi guras geométricas, como un triángulo. Además, estos instrumentos ayudan a medir las dimensiones de los lados y los ángulos de una fi gura geométrica.

Una línea recta es una fi gura de una dimensión que no tiene espesor y se extiende infinitamente en ambas direcciones, y no tiene curvas. Un segmento de recta es una parte de la recta comprendida entre dos puntos.

Una línea recta es una fi gura de una

e. Del lado donde se encuentra el punto D, mide con la regla 3 cm a partir del punto A y marca el punto B. En el otro segmento de línea mide 4 cm a partir del punto A y marca el punto C.

f. Por último, une los puntos B y C, con tu regla.

Observa los triángulos siguientes y contesta: ¿la fi gura que trazaste se parece a una de las fi guras siguientes?

A

C

B

3 cm

4 cm

A

C

B

3 cm4 cm

BLOQUE 1 • 47

Triángulos a la medida

Cuando se trata de medir ángu-los, un instrumento útil es el transportador. Mejora tu habili-dad para medir ángulos practi-cando en el sitio Web: http://www.educaplus.org/play-10-Transporta-dor.html

TIC

Hiparco de Nicea (190-120 a. n. e.) fue un astrónomo, geógra-fo y matemático griego. Rea-

lizó el primer catálogo de estrellas, calculó con gran precisión los equinoc-cios y la distancia que existe entre la Tierra y la Luna. Inventó la trigonome-tría, que consiste en relacionar las me-didas angulares con las lineales. A Hi-parco debemos la invención de un objeto muy importante para el cálculo y la geometría: el transportador. Para hacerlo, construyó una tabla de cuerdas donde relacionó los lados y los ángulos de todo triángulo plano.

iparco de Nicea (190-120 a. n. MATEMÁTICAS HISTÓRICAS

Con la guía de su profesor, realicen en parejas la siguiente actividad. Anoten las res-puestas, los acuerdos y las construcciones geométricas en su cuaderno.

Triángulo 1

a. Determinen qué instrumentos del juego de geometría utiliza-rían para construir un triangulo con dos lados iguales y el ángulo entre ellos igual a 45°.

b. Discutan y propongan un procedimiento para la construcción del triángulo del inciso a con los instrumentos que seleccionaron.

c. Construyan el triángulo del inciso a bajo el procedimiento propuesto en el inciso b, ¿llegaron al triángulo deseado? Si algo falló, revisen el proceso de construcción. ¿Cuánto miden los lados y los ángulos del triángulo que construiste?

Con la guía de tu profesor, contesten en grupo:

¿Cuántos de sus compañeros realizaron una construcción parecida a la suya? ¿Utilizaron instrumentos diferentes a los que ustedes emplearon?

Triángulo 2

a. Ordenen las instrucciones y después construyan el triángulo que se indica:

Abre el compás 10 cm y fíjalo en A, marca el punto C sobre la línea que va de A a G. Traza una línea mayor a 10 cm que inicia en A

y pasa por G. Completa el triángulo trazando con la regla una

línea de B a C. Marca los puntos A y B con una distancia entre

ellos de 10 cm y traza una línea entre ellos. Alinea el transportador con la línea de A a B, fi ja en el

centro en A y dibuja el punto G a un ángulo de 55°. ¿Qué tipo de triángulo construiste? ¿Tus compañeros de grupo lograron construir el

mismo triángulo? ¿Qué instrumentos del juego de geometría utilizaron?

Con la ayuda de su profesor, refl exionen acerca de los procedimientos que siguieron y los resultados obtenidos.


48

Contesta las siguientes preguntas.

a. ¿Qué procedimiento creen que Federico utiliza para trazar los rectángulos que serán su patrón para construir los marcos?

b. ¿Qué instrumentos utilizarán para diseñar el rectángulo en una hoja de papel?c. ¿Cuánto debe medir el lado mayor de cada rectángulo si el lado menor es igual a

3 cm y el marco debe medir 15 cm?d. ¿Cómo imaginan que Federico construye un rectángulo con regla, transportador

y compás?

15 cm

3 cmFederico, el dueño de la carpintería, para construir cada marco necesita conocer:

El ancho de cada rectángulo, que debe ser igual a 3 cm. La longitud de los lados exteriores del cuadro, que debe ser igual a 15 cm.

Los rectángulos y cuadrados son fi guras que se utilizan con frecuencia para trazar el diseño de objetos tan diversos como faldas, sillas y hasta marcos para las obras que puedes observar en los museos o en la sala de tu casa.

Para llevar a cabo la siguiente actividad. Necesitas un juego de geometría. Si es necesario, pidan ayuda a su profesor.

En la carpintería El Astro Rey se construyen marcos de madera para obras de arte, como el de Poblanas, del pintor Carl Nebel, que se muestra en la imagen.

Trazo de cuadriláteros

BLOQUE 1 • 49

Ayuda a Federico a trazar los rectángulos para formar el marco de la imagen de la pági-na anterior. Trabajen en pareja, lean con atención y bajo la guía de su profesor realicen lo que se pide.

a. ¿De cuántos rectángulos se compone el marco de madera?, ¿son iguales?b. ¿Qué longitud deben tener los lados mayores de cada rectángulo del marco de

madera? ¿Con cuál trazo iniciarías para construir un rectángulo? c. Federico inicia trazando el lado mayor del rectángulo, aunque también acepta

que se puede iniciar trazando el lado menor. Realiza en tu libreta el trazo que Federico hizo y en cada extremo del segmento marca un punto, a uno llámale A y al otro B.

d. Federico regularmente utiliza el transportador para trazar dos segmentos de recta perpendiculares entre sí, pero no lo encuentra, ¿cómo los trazarías con el segmento AB , con una regla y un compás?

e. Para trazar el lado menor sobre el punto A, necesitamos un segmento de recta perpendicular al lado mayor del rectángulo que ya tienes trazado. Con la regla, traza una línea perpendicular del segmento AB de 5 cm hacia

arriba y 5cm hacia abajo. Marca sobre la línea del segmento AB los puntos C y D a los lados del punto A.

f. Abre tu compás y fíjalo en C, por encima de A traza un segmento de círculo; hagan lo mismo en el punto D sin cambiar la amplitud del compás. En el cruce de los segmentos de círculo trazados, marca el punto E; por último, traza una línea que pase por los puntos A y E.

g. ¿Cuánto mide el ángulo entre el segmento AB y la línea que pasa por los puntos A y E?, ¿son perpendiculares?

h. Ahora traza el lado menor sobre el punto A, recuerda que mide 3 cm. Compara tu construcción con la de la imagen que aparece a continuación, ¿son equivalentes?

E

D

3 cm

A C B

Los rectángulos son cuadriláteros con lados paralelos iguales. Sus cuatro ángulos miden 90°.

Los rectángulos son cuadriláteros Comparte tus respuestas con el resto del grupo. Consulta con el profesor las dudas que tengas.


50

i. Haz lo mismo para trazar el lado menor del rectángulo sobre el punto B. Al fi nal, con tu regla une los puntos que correspondan para formar el rectángulo deseado.

Con la asesoría de tu profesor, compara con otros compañeros tu construcción.

En los días de febrero, cuando el viento sopla con más ímpetu, en muchos lugares del país, como en Tlaxcala, se llevan a cabo competencias de cometas o papalotes

Este año los hermanos Cervantes van a competir con un papalote que tiene la forma que se muestra en seguida.

¿Qué fi guras geométricas reconoces en el papalote?

Para construir el papalote, los hermanos Cervantes primero trazan sobre papel los cuer-pos geométricos.

¿Qué instrumentos utilizaron? ¿Qué procedimiento siguieron?

Describe en tu cuaderno el procedimiento que piensas siguieron los hermanos Cervantes.

Papalote de los hermanos Cervantes.

El rombo es un cuadrilátero con todos sus lados iguales y sus ángulos son iguales dos a dos, lo que difi ere con los cuadrados y rectángulos cuyos ángulos son iguales. El trapecio es un cuadrilátero irregular con dos de sus lados paralelos.

El rombo es un cuadrilátero con todos

BLOQUE 1 • 51

Los hermanos Cervantes saben que el compás es de mucha ayuda para construir un rombo, ¿concuerdas con esta afi rmación?, ¿por qué?

Construye un rombo en tu cuaderno, con base en el procedimiento que siguieron los hermanos Cervantes:

a. Traza un círculo completo con el compás. b. Al centro del círculo nómbralo A. Sobre la circunferencia, marca los puntos B y

C, y traza los segmentos AB y AC ; éstos son los primeros dos lados del rombo, ¿por qué?

c. Al unir dos vértices opuestos de un rombo se forman dos fi guras iguales, ¿qué fi guras geométricas son?

El segmento que une a los dos vértices opuestos es común a las dos fi guras geométricas. En este caso el segmento común es BC, tracen sobre él su punto medio. ¿Cómo trazarías el punto medio de un segmento con regla y compás?

d. Para trazar el punto medio de un segmento puede hacerse lo siguiente: se abre el compás igual al tamaño del segmento, se fi ja la punta del compás en uno de los extremos el segmento y se traza el círculo. Se hace lo mismo en el otro extremo del segmento. Se pone la regla sobre los dos cruces de los círculos y se traza el punto donde se cruzan la regla y el segmento.

e. Una vez trazado el punto medio del segmento BC, al que se llama D, se traza una línea que pasa por A y D.

¿Qué faltaría para completar el rom-bo? Recuerda que el compás te permite trazar longitudes iguales.

Los trazos hechos por los hermanos Cervantes se muestran en la si-guiente imagen. ¿Coin-ciden con los que tra-zaste?

Rombo.

B

A D

C

E

Trazo de rombos


52

Para terminar su papalote, los hermanos Cervantes necesitan trazar un trapecio. ¿Qué características tiene el trapecio?

Los hermanos Cervantes han observado que al trazar rectas perpendiculares que pasan por los extremos de lado menor del trapecio se forman algunas fi guras geométri-cas conocidas

La regla y la escuadra o cartabón son instrumentos útiles para tra-zar construcciones geométricas, por ejemplo, una paralela a una línea en un punto dado o una per-pendicular. En el sitio www.dis-fruta lasmatematicas.com/geo-metria/construir-regla-cartabon.html podrás ver cómo realizar estas construcciones.

La regla y la escuadra o cartabón TIC

¿Qué fi guras geométricas se forman? ¿Qué tipo de triángulos se forman?

PARA TERMINAR

Lleva a cabo la siguiente actividad. Pide ayu-da a tu maestro si lo consideras necesario.

¿Podrías construir un rectángulo por medio de un triángulo?, ¿cuál?, ¿cómo lo harías?

¿Qué fi guras geométricas conocidas puedes formar con estos triángulos?

Atiende a las siguientes sugerencias:

a. Traza un triángulo isósceles de cualquier tamaño, de modo que el ángulo entre los lados iguales sea de 72°.

b. Recorta el triángulo y cálcalo para formar otros cuatro triángulos iguales a éste.

c. Recorta los triángulos.

¿Qué fi guras geométricas conocidas puedes formar con estos triángulos?

d. Compara tu fi gura con la de tus compañeros.

e. Traza un hexágono utilizando el mismo procedimiento, pero antes responde la pregunta: ¿de cuántos grados deberá ser ahora el ángulo entre los lados iguales del triángulo isósceles?

Con la Asesoría de tu profesor, verifi ca con tus compañeros tus respuestas.

Trazo de trapecios

Construyan el trapecio a través de las fi guras geométricas conocidas y comparen sus construcciones con las de otros equipos.

FORM

A , E

SPAC

IO Y

MED

IDA

LECCIÓN 7 TRAZO Y ANÁLISIS DE LAS PROPIEDADES DE LAS ALTURAS, MEDIANAS, MEDIATRICES Y BISECTRICES EN UN TRIÁNGULO

Material: Hojas de papel de diferentes colores, regla, escuadra y transportador.

Observa las siguientes imágenes y contesta las preguntas.

Sobre un restirador se diseñan las construcciones urbanas como edifi cios y puentes. Observa a tu alrededor, ¿qué estructuras hay?, ¿qué sostiene el techo de tu escuela o de tu casa?, ¿qué formas geométricas reconoces? Edifi cios, puentes

y carreteras requieren del ingenio y cálculo de profesionales de la arquitectura y la ingeniería para soportar el peso, mantenerse en pie y protegernos del exterior. Todas estas construcciones tienen una estructura y, aunque no siempre puede observarse a simple vista, están construidas con fi guras geométricas. Desde el siglo xix los arquitectos han trabajado en la resistencia de las construcciones a partir de triángulos. Esta técnica se llama “triangulación” y la encontramos en las modernas estructuras de algunos puentes de hierro que además de ahorrar material, los hacen más ligeros.

PARA COMENZAR

53FIGURAS Y CUERPOS

¿Qué fi gura geométrica se utilizó para construir las estructuras? ¿Cuáles son los diferentes triángulos que conoces?

Con guía de tu profesor, comenta con tus compañeros qué triángulos conoces y cuáles son sus características.

Sala de máquinas de la Isla, Nantes. Edifi cio Hearst Tower, New York.

54


Pocas palabras pueden defi nir a un mismo tiempo: ritmo, sentido de la orientación y buen trazo, como la palabra compás. Ésta proviene del latín vulgar compassare, y signifi ca “medir distancias contan-do pasos”. El verbo passare indica movimiento, ir, y es una palabra compuesta, integrada por com (con) y passus (paso). El compás es un instrumento empleado para medir distancias y realizar trazos de curvas regulares y circunferencias. Es también sinónimo de la palabra brújula, un instrumento que se emplea conocer para la dirección geográfi ca. En la música, la palabra compás designa el ritmo.

Pocas palabras pueden defi nir a un mismo tiempo: ritmo, sentido de la orientación y buen trazo, como


Mediatriz de un segmentoCon la asesoría de tu profesor, realiza las siguientes actividades.

a. Toma una hoja y mediante el doblado de papel marca un segmento de recta, ¿cómo ubicarías el punto medio de este segmento? Encuéntralo y marca ese punto con tu lápiz.

La mediatriz de un segmento de recta es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de éste y lo divide en dos partes iguales.

La

Mediatrices

Triángulo Descripción de sus ángulos Descripción de sus lados

Equilátero

Traza los triángulos que nombraron y, en una tabla como la siguiente, registren la medida de los lados y los ángulos de cada triángulo.

b. Comenta con tus compañeros por qué podemos decir que ese es el punto medio del segmento y escribe la conclusión a la que llegaron.

c. Dobla nuevamente el papel en sentido opuesto, de manera que una línea perpendicular cruce el primer segmento por la mitad.

d. Los siguientes trazos con regla y compás son parte del proceso de construcción de la mediatriz de un segmento, descríbelos con tus propias palabras:

BLOQUE 1 • 55

Comenta tus respuestas con tus compañeros de grupo. Pidan orientación a su profesor si tiene dudas sobre cómo resolver este ejercicio.

Pasos Descripción

1.

2.

3.

4.

5.

A B

A B

A B

A B

A B


56

Las mediatrices del triánguloCon la supervisión de tu profesor, lleva a cabo la siguiente actividad. Antes de comenzar lee con atención los pasos que debes seguir.

El punto de intersección de las mediatrices se denomina circuncentro. El punto de intersección de las

a. Usa tres hojas de papel de diferentes colores para trazar, por medio de dobleces, tres triángu-los: un equilátero, un isósceles y un escaleno. Después, tracen sus lados con un lápiz.

b. Traza la mediatriz de cada uno de los tres lados de los tres triángulos. Recuerden hacerlo por medio de dobleces. Observa el ejemplo.

¿Qué observas en común al marcar las mediatrices de los diferentes triángulos?

¿Crees que ese punto en el que se intersectan siempre está dentro del triángulo?, ¿por qué?

c. Traza un triángulo en tu cuaderno para que con el uso del compás y la regla construyas las mediatrices de cada uno de sus lados. Determina si se puede construir un círculo con centro en el circuncentro, de

tal forma que pase por los vértices del triángulo que trazaste.

Comenta tus resultados con tus compañeros. Pidan ayuda a su maestro si tienen dudas.

En 1966, el ingeniero mexicano Heberto Castillo, inventó la tridilosa, una estructura tridimensional que es, en esencia, una estructura formada con

triángulos, sumamente resistente y ligera. Este invento reemplaza trabes y losas de concreto reforzado de los siste-mas convencionales, lo que produce ahorros considerables en concreto y acero. Puedes observar estas estructuras en edifi cios como el Hotel de México, en la Ciudad de Mé-xico; en el Hotel Morelia Misión en Michoacán y en el edifi cio Biosfera 2, en Arizona, Estados Unidos. También se ha utilizado en puentes donde pasan camiones muy pesados y cuya estructura, sin embargo, puede ser levan-tada por dos personas, una en cada extremo.


tada por dos personas, una en cada extremo.

BLOQUE 1 • 57

La bisectriz de un ángulo es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. La

Bisectrices de ángulosCon la guía de tu maestro, reúnete con un compañero para llevar a cabo la siguiente actividad.

a. Tracen un ángulo, por medio del doblado de papel, y nombren al vértice y a sus lados, con las letras D, E y F. ¿Cómo harían un doblez que divida en dos

partes iguales al <DEF ? Coméntelo con sus compañeros.

b. Tracen la recta que divide al <DEF en dos ángulos iguales y nómbrenla con la letra G, midan con su transportador los ángulos <DG y <GF. ¿Cómo son entre sí los ángulos que trazaron? De acuerdo con lo anterior, ¿cómo defi nirían la

recta G?

D

E

F

Con la guía de tu profesor, realiza la siguiente actividad.

a. Ordena correctamente los pasos para construir la bisectriz de un ángulo ponien-do los números del 1 al 6 en los cuadros de color rojo. Para verifi car que lo hayas hecho correctamente, realiza los trazos en tu cuaderno.

A

B

C

A

B

C

Bisectrices


58

A

B

C

b. Ahora, escribe en tu cuaderno los pasos que describan el procedimiento que se debe llevar a cabo para construir la bisectriz de un ángulo.

A

B

C

A

B

C

A

B

C

Bisectrices del triánguloContinúen trabajando en parejas.

a. Tracen otros tres triángulos diferentes, e identifi quen las bisectrices mediante el doblado de papel. Después, marquen la bisectriz de cada uno de los tres ángulos de cada triángulo.

¿ Qué observan en común entre las bisectrices que marcaron con dobleces en cada uno de los diferentes triángulos?

b. Determinen si es posible construir un círculo con centro en el incentro que pase por los puntos de intersección entre las bisec-trices que construyeron y los lados de los triángulos.

c. Después, contrasten sus acuerdos con la información del recuadro.

Con el apoyo de su profesor, comenten sus respuestas con sus compañeros.

BLOQUE 1 • 59

El punto de intersección de las bisectrices de un triángulo se llama incentro. El punto de intersección de las bisectrices de un triángulo se llama

A AA

a

a

a

b

b bc c c

C

B BBC

C

Observa la siguiente fi gura:

a. Mide con una regla los segmentos AD y DB, ¿qué observas? ¿Qué puedes decir acerca del segmento AB y el punto D? ¿Cómo puedes describir al segmento DC?

b. Ahora bien, ¿cómo se puede construir un segmento que vaya del punto medio de uno de los lados del triángulo al vértice opuesto?

c. Describe con tus propias palabras el proceso que nos permi-te construir dicho segmento.

d. Construye en tu cuaderno tres triángulos diferentes y traza las medianas de cada uno de sus lados. ¿Qué observas en particular?

Observa el ∆DEF: ¿Cómo se denotan los segmentos que son las medianas del triángulo?

e. Mide con tu regla los segmentos DH, DB y BH, ¿qué observas?

f. Ahora mide los segmentos IE, IB y BE, así como también los segmentos GF, GB y BF. ¿Qué puedes concluir al respecto?


La mediana es el segmento de recta, trazado desde un vértice del triángulo hasta el punto medio del lado opuesto.

La

"De un trazo nace la arquitectura".

Oscar Niemeyer (1907), arquitecto brasileño.

¿Cuál consideras que es la rela-ción entre los trazos y la arqui-tectura?

"De un trazo nace la arquitectura".

AFORISMOS

A

BD

C

G

E

H

I

D

B

G

E

H

I

D

B

Medianas de los triángulos

B

F


60

Alturas de los triángulos

El punto en el que se intersecan las medianas es el centro de gravedad de los triángulos y se llama baricentro. El punto en el que se intersecan las medianas es el centro de gravedad de los triángulos y se llama

A A

a

a

c

c

b b

CC

D D

E

EF

F

B

B

A

a

c b

C

DE

F

B

Triangular es una forma de colocar las piezas de una estructura o armazón, de modo que formen triángulos. En geología y en topografía se utiliza para conectar, por medio de triángu-los, puntos determinados de una región para trazar el plano de ésta. La triangulación es un método muy antiguo en geometría e implica el uso de la trigonometría para determinar posi-ciones de puntos, medidas de distancias o áreas de fi guras. La estructura más famosa del mun-do de este tipo es la torre Eiffel, que se encuen-tra en París, Francia, y que fue realizada por el ingeniero Alexandre G. Eiffel. A medida que la torre se eleva, los pilares se giran hacia el in-terior, hasta unirse en un solo elemento articu-lado. Cuenta con escaleras y elevadores, y en su recorrido se alzan tres plataformas a distin-tos niveles, cada una con un mirador.

Triangular es una forma de colocar las piezas Triangular es una forma de colocar las piezas Triangular

PARA SABER MÁS

Antonio, un alumno de primer grado de secundaria, usó la escuadra para trazar las alturas de un triángulo, observa con atención:

Primero ubica el ángulo que mide 90° en la escuadra y después, ¿qué observas que hace?

¿Cómo debe ponerse la escuadra considerando que se va trazar la altura de cada uno de los lados?

¿Debe pasar por un punto en particular?, ¿cuál?

Describe con tus propias palabras cómo se puede defi nir la altura de un triángulo.

B C

A

B C

A

B C

A

Torre Eiffel, París.

BLOQUE 1 • 61

a. Con ayuda de tu escuadra, traza las alturas en el siguiente triángulos partiendo de los puntos de intersección A, B y C hacia el lado opuesto de cada punto:

Con la supervisión del profesor, comenta tus observaciones con tus compañeros y lleguen a conclusiones comunes.

La altura de un triángulo es el seg-mento de recta perpendicular trazado desde un vértice hasta el lado opuesto o a su pro-longación.

La

El punto de intersección de las alturas de los triángulos se denomina ortocentro. El punto de intersección de las alturas de los triángulos se denomina

A

ab

c B

C

A

a

b c

BC

A

a

b cB

C

A

B

C


62

Con base en las alturas que trazaron en la página anterior respondan. ¿Qué observan entre los diferentes ortocentros de las alturas que trazaron?

Con la guía de su profesor comenten sus respuestas.

El circuncentro es el centro del círculo circunscrito al triángulo. Observa:

El incentro es el centro del círculo inscrito en el triángulo.

PARA SABER MÁS

Poner la liga: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/rectasnotables/rnotables0.htm#intro

Descarga las escenas del inte-ractivo realiza las actividades complementarias.

Poner la liga: TIC

PARA TERMINAR

Con la guía de tu profesor, realiza las siguientes actividades.

a. Traza en tu cuaderno los puntos notables de diferentes triángulos y determina en qué tipo de triángulos éstos pasan por una misma recta cuando están alineados.

b. Investiga sobre la recta de Euler y comenta con tus compañeros cuál es la característica principal de esta recta.

63

LECCIÓN 8

MAN

EJO

DE

LA IN

FORM

ACIÓ

N

Materiales: Una calculadora simple, hojas de papel, regla, escuadra, modelos construi-dos a escala como carros o aviones, conociendo su escala.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE REPARTO PROPORCIONAL

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES

Desde tiempos antiguos, el ser humano ha tenido la necesidad de repartir bienes; por ejemplo, cuando los padres heredan a sus hijos, la repartición suele hacerse en partes iguales. Sin embargo, no todos los repartos se hacen de esta manera; en el

mundo de los grandes negocios, por ejemplo, los inversionistas esperan que el reparto de las ganancias se haga de acuerdo con la cantidad invertida, es decir, de manera proporcio-nal. ¿Cómo infi eres que se hacen estos repartos? ¿Será justo repartir la misma cantidad de ganancias a todos los inversionistas? ¿Qué tal si algunos de ellos invirtieron menos que otros? ¿Se te ocurre alguna manera de hacer la repartición de manera justa? ¿Existe alguna operación matemática que nos ayude a repartir? En esta lección estudiarás cómo se reali-zan los repartos proporcionales a partir de la resolución de problemas.

PARA COMENZAR

Lee la situación de don Antonio y resuelve las preguntas.Don Antonio, un agricultor chiapaneco, murió y no hizo testamento. Tenía cinco hijos dedicados a diferentes actividades relacionadas con el negocio familiar. Cuando su padre murió, los hijos deci-dieron repartir las 500 hectáreas de tierra de siembra que poseía, de acuerdo con el número de años que cada uno había trabajado con don Antonio. Andrea, la hija mayor, había trabajado 15 años; Ja-cinto, 10 años; Lucía, 5 años; Mauricio, 7 años y Jorge, 3 años.

¿Qué criterio utilizaron los hijos de don Antonio para repartirse las hectáreas de tierra? ¿Quién deduces que recibirá mayor cantidad de tierra?, ¿por qué? ¿Cuánto suman los años trabajados por todos los hijos? Andrea, la hija mayor, obtuvo 187.5 hectáreas, ¿puedes deducir cómo se calculó este resultado? ¿Qué extensión de tierra recibió cada uno de los demás hermanos?

Con la guía de tu maestro, comenta tus respuestas con tus compañeros.

Con supervisión del profesor, reúnanse en parejas y resuelvan la siguiente actividad.

En la escuela secundaria “Benito Juárez” se hicieron votaciones para elegir a los 12 estudiantes del nuevo comité estudiantil 2011-2012, que debe estar integrado por representantes

Problemas de reparto proporcional


64

de cada planilla de acuerdo con la proporción de votos. La competencia fue reñida y la contienda entre las tres planillas arrojó los siguientes resultados.

Los integrantes del comité estudiantil salien-te contaron los votos; sin embargo, no lograron ponerse de acuerdo sobre el número de repre-sentantes a los que cada planilla tiene derecho. Ayuda a los compañeros a distribuir de manera justa a sus representantes.

¿Cómo harías la distribución? ¿Cuántos representantes crees que le corresponden a cada planilla,

de acuerdo con los votos obtenidos?

REFLEXIONA En la primera lección de este bloque se revisó que la división puede entenderse como un reparto, ¿crees que sea útil recurrir a una división? ¿Cómo aplicarías la división en el problema anterior?

Analiza cómo hicieron los alumnos para elegir el número de representantes de cada planilla. Anota las respuestas en tu cuaderno.

a. La planilla roja obtuvo ___ votos de 348, es decir, 174 348 = 1

2 .

b. ¿Por qué podemos simplifi car 174 348 como 1

2 ?

c. ¿Cuántos votos de los 348 obtuvo la planilla azul?

d. Escribe la razón entre el número de votos ganados y el total de votos.

e. ¿Cuántos votos de los 348 obtuvo la planilla verde? Escribe la proporción de

votos entre el número de votos ganados y el total de votos.

f. ¿Qué expresa cada razón obtenida?

g. ¿Cómo podríamos interpretar cada razón para solucionar nuestro problema?

Con la guía de su profesor, comparen sus resultados.

Si la planilla roja se llevó 1 2 de la elección o 1

2 de los 12 representantes, esto signifi -

ca que el número de representantes será 1 2 × ( ) = 6.

¿Cuántos representantes obtuvo la planilla azul?

¿Cuántos representantes obtuvo la planilla verde?

Planilla Votos

Roja 174

Azul 58

Verde 116

Total de votos 348

Planilla Operaciones

Roja 174 ✕ 12

348 =

Azul ( ) ✕ =

Verde ( ) ✕ =

BLOQUE 1 • 65

En el arte de la proporción, el Hombre de Vitruvio es el más reconocido. En un famoso

dibujo que Leonardo da Vinci rea-lizó en el siglo , se representa una figura masculina desnuda en dos posiciones sobrepuestas de brazos y piernas. La fi gura está inscrita en un círculo y un cuadrado. Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano que Leonardo rea-lizó a partir de los textos del arqui-tecto romano Vitruvio, de ahí su

nombre. A este dibujo también se le conoce como el “canon de las proporciones humanas”. Al-gunas de las relaciones que Leo-nardo apuntó en el dibujo son: “Una palma equivale al ancho de cuatro dedos; un pie equivale al ancho de cuatro palmas (30.48 cm); un antebrazo equivale al an-cho de seis palmas; la altura de un hombre son cuatro antebrazos (24 palmas); un paso es igual a un antebrazo".


Con la supervisión de tu profesor, realiza lo que se indica a continuación.

a. Con base en la información de la tabla de la página anterior, completa la siguiente tabla con las operaciones que realizaste

b. Contesta las siguientes preguntas. ¿Qué números se mantuvieron constantes en

cada una de las tres operaciones que realizaste?

A la razón que debe aparecer en las tres operaciones de la tabla es decir 12 348 , se le

conoce como constante de proporcionalidad y resulta de gran utilidad para resolver problemas de este tipo.

¿Cómo se determina la constante de proporcionalidad?

Planilla Operaciones

Roja 174 ✕ 12

348 =

Azul ( ) ✕ =

Verde ( ) ✕ =

Al cociente que defi ne la relación entre dos números se le conoce con el nombre de razón. A la igualdad entre dos razones, se le conoce como proporción.

Ejemplo 12 348

y x 174

son dos razones, mientras que

12 348

= x 174

expresa una proporción.

Al cociente que defi ne la relación

Tarea en casaTarea en casa

Resuelve el siguiente problema como tarea.Muchas cosas, como los juguetes, se hacen a escala o con cierta proporción al objeto real, es muy probable que tengas uno en casa.

Un artesano fabricó 360 pulseras con cuentas de madera y consiguió que cuatro pequeñas tiendas de su localidad distribuyeran su producto. La tienda El porvenir adquirió la mitad de la producción, El regalo feliz adquirió una tercera parte y Detalles y novedades tomó una sexta parte.

a. ¿Con qué parte de la producción se quedó Regalos Lucy?b. ¿Cuántas pulseras le compró la tienda Detalles y novedades?c. ¿El porvenir adquirió más o menos pulseras que El regalo feliz y Detalles y nove-

dades juntos?

Con supervisión de tu maestro, comparte tus respuestas en clase.


66

Tarea en casaTarea en casa

Resuelve el siguiente problema como tarea.El tenista Rafael Nadal actualmente tiene el mejor

porcentaje de victorias en el tenis. De 608 juegos ofi ciales ha ganado 503 y perdido 105.

Expresa con fracción la relación entre los

juegos ganados y los perdidos. ¿A qué porcentaje corresponde cada caso?

Con la asesoría de tu profesor, comparte tus resultados en clase.

Con la guía de tu profesor, reúnanse con un compañero para resolver el siguiente problema.

En las elecciones de un estado cuya población de votantes es de 2 000 000, un candi-dato obtuvo 63% de votos contra 21% de otro partido. Aunque el candidato de mayor votación ganó las elecciones, algunos opositores dicen que su triunfo no fue represen-tativo porque sólo votó 43% de la población. ¿Qué es lo primero que deben saber para resolver este problema? ¿Los datos proporcionados son sufi cientes?

a. Expresa como fracción el porcentaje de personas que acudió a votar. ¿Cómo se interpreta esta cantidad? ¿Qué se está “repartiendo”?

b. Es necesario saber cuántas personas representan 43% de la población. Calcula 43% de 2 000 000.

c. El número obtenido corresponde a las personas que acudieron a votar. Con este total, ¿cómo se repartieron los votos los dos partidos?

d. Expresa como fracción el porcentaje de votos que obtuvo cada partido. ¿Cómo se interpretan estas cantidades? ¿Cómo es el reparto?

e. Sí calculas el número de personas que votaron por el candidato mayoritario, ¿tienen razón los inconformes al decir que el triunfo no es representativo?

Con la guía de su profesor, comparen los resultados de la actividad anterior con sus compañe-ros de todo el grupo. En caso de no tener los mismos resultados, verifi quen su procedimiento.

Puedes usar tu calculadora para conocer rá-pidamente el porcentaje de un número, por ejemplo, para calcular 15% de 525 presiona la siguiente secuencia de teclas.

Visita el siguiente sitio en Internet para que practiques el cálculo de porcentajes:

http://www.disfrutalasmatematicas com/numeros/porcentajes-menu.html

Puedes usar tu calculadora para conocer rá-TIC

Resuelve el siguiente problema. Arturo trabajó en una papelería durante las vacaciones. Acudieron tantos clientes duran-te la tercera semana que no se daba abasto e invitó a su hermano Ángel para que lo ayudara. Por hacerse cargo de la papelería durante cuatro semanas Arturo recibió $1 300.

¿Cómo debe repartirse el dinero si Ángel sólo trabajó una semana?

Elaboren un cuadro en el que desglosen el costo por semana.

Con la ayuda del profesor, comparte tus res-puestas y tu tabla con el resto del grupo.

PARA TERMINAR

67

MAN

EJO

DE

LA IN

FORM

ACIÓ

N

Registro de resultados con juegos de azar

IDENTIFICACIÓN Y PRÁCTICA DE JUEGOS DE AZAR SENCILLOS Y REGISTRO DE LOS RESULTADOS. ELECCIÓN DE ESTRATEGIAS EN FUNCIÓN DEL ANÁLISIS DE RESULTADOS POSIBLES

IDENTIFICACIÓN Y PRÁCTICA DE JUEGOS DE AZAR LECCIÓN 9

NOCIONES DE PROBABILIDAD

Con la guía, de tu profesor reúnete con tres de tus compañeros para llevar a cabo el siguiente juego, considera las reglas:

a. Cada participante debe colocar una fi cha en el inicio del tablero. Decidan entre los integrantes del equipo el turno de juego que corresponde a cada uno.

Si lanzas una moneda, ¿podrías asegurar que caerá águila? Imagínate un mundo en que el fuera posible predecirlo todo, entonces no sería emocionante jugar si sabes quién va a ganar siempre. ¿Quién ganará en la lotería de la feria? ¿Cuál

será la combinación ganadora de algún sorteo? En los juegos de azar la posibilidad de ganar o perder no depende de la destreza del jugador, sino exclusivamente del azar. En esta lección estudiarás un poco más acerca de este procedimiento matemático.

PARA COMENZAR

Con la guía de su profesor, reúnanse en parejas y realicen la siguiente actividad.

a. Dibujen en su cuaderno dos columnas, una para anotar quién gana o quién pierde y la otra para el resultado del volado: “S” para sol y “A” para águila.

b. Por turnos, cada uno lanzará una moneda 10 veces y el otro tratará de predecir qué cara de la moneda caerá.

c. Al fi nal se suma el número de águilas y soles que aparecieron. Se intercambian los papeles, para repetir la actividad.

Contesten las siguientes preguntas. ¿Cuántos soles cayeron en los 20 volados? ¿Cuántas águilas cayeron en los 20 volados? ¿Algún resultado aparece más que otro?, ¿cuál? Sumen los totales de águilas y los totales de soles de todas las parejas del grupo. ¿Cuántos soles cayeron en todos los volados? ¿Cuántas águilas cayeron en todos los volados?


68

Resultado del lanzamiento del dado

Número de lanzamientos

1er turno

2do turno

3er

turno4to

turno

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Es posible que la palabra dado tenga su origen en el árabe clásico al zar, aunque también se piensa que deriva del latín datum, que se rela-ciona con algo “dado” o “jugado”. Era común que se hicieran de marfi l o hueso y se cree que son de origen asiático. Sorprende la cantidad de sociedades antiguas que conocían los dados y juegos de azar. Por ejemplo, en el Mahabha-rata, texto épico-religio-so hindú, ya aparecen menciones del juego de dados. También se uti-lizaron en Grecia y en Roma, donde se le lla-maba álea, que proviene de “aleatorio”, al azar.

Es posible que la palabra dado tenga su origen dado tenga su origen dado


b. Cada jugador deberá lanzar el dado respetando la posición que le corresponde.c. Avanza en el tablero de acuerdo con el resultado del lanzamiento del dado y

anótalo en la tabla.d. Si en el lanzamiento el dado cae en 1, 2 o 3, el jugador avanza una casilla más.e. Gana el jugador que llegue primero a la meta.

Dado numantino, s. l a.n.e.

BLOQUE 1 • 69

f. Después de completar la tabla contesta las siguientes preguntas:

¿Cómo se puede saber quién ganó viendo los resultados de la tabla? ¿De qué forma se puede saber quién quedó más lejos de la meta? ¿Cómo deduces quién lleva la primera posición en el lanzamiento 15? ¿Es verdad que después que sale un 6 es más fácil que salga otro 6 que un 2?, ¿por qué?

Al conjunto de todos los resultados posibles de un fenómeno o juego se le llama espacio muestral.

Al conjunto de todos

PARA TERMINAR

Con la guía de tu profesor, reúnanse en equipos de cuatro personas y realicen la siguiente actividad.

a. Coloquen cuatro canicas de color azul, negro, blanco, rojo en una caja obscura.

b. Saquen una canica y registren el color que salió en la tabla.

c. Regresen la canica a la caja y repitan el paso anterior 20 veces, registrando en la tabla el color obtenido cada vez.

d. Con ayuda de la tabla que elaboraste en tu libreta contesten cada una de las preguntas.

¿Cuántas veces salió la canica roja? ¿Cuántas veces salió la canica blanca? ¿Cuántas veces salió la canica azul? ¿Cuántas veces salió la canica negra? Si la actividad se repitiera 40 veces, ¿cuántas

veces saldría cada color de canica? Si se hace 60 veces la actividad, ¿cuántas

veces saldría cada color de canica?

Con la supervisión de tu profesor, comenten con la clase los resultados que obtuvieron.

Tiros Roja Blanca Azul Negra123456789

1011121314151617181920

Unas décadas antes de la Revolución francesa, en el siglo , nació en Normandía Pierre-Simon Laplace (1749-1827), matemático,

físico y astrónomo francés. Su obra más importante es el Tratado de mecánica celeste, que es un compendio de toda la astronomía de su época, donde perfecciona el modelo de Newton. Laplace es recordado como uno de los máximos científi cos de todos los tiempos por su gran habilidad matemática. Entre otras cosas, con-

tribuyó a la teoría de la probabilidad con la Regla de sucesión, que es una fórmula que utilizó para expresar la probabilidad de que el Sol saliera por el horizonte. Laplace decía que la fórmula podía aplicarse en todos los casos donde no sabemos nada, o donde lo que conocíamos podía ser sustituido por lo que no. Toda-vía se utiliza para estimar la probabilidad de que un evento ocurra si sabemos cuál será el lugar del evento, aun cuando sólo tengamos pocas muestras de él.


Evaluación

70

Lee y contesta las preguntas como se indica en cada caso.

Números y sistemas de numeración

1.1 Observa la imagen

PREGUNTA 1 Determina cuál es la fracción que representa la parte sombreada. Marca la respuesta correcta.

a) 5 12

b) 3 7

c) 3 12

d) 3 8

PREGUNTA 2 ¿A qué número decimal corresponde dicha fracción?

1.2 Se han elegido dos números, que son 1 3

y 0.5

PREGUNTA 3 Traza una recta numérica en tu cuaderno y ubica los números.

PREGUNTA 4 De los números que se muestran a continuación, ¿cuáles se encuentran dentro de ese segmento? Circula la respuesta correcta.

a) 0.4 y 3 5

b) 3 5

y 0.375

c) 0.45 y 23 50

d) 1 4

y 0.375

Problemas aditivos

1.3 Maribel, Rosario y Jesús decidieron poner un negocio de papelería. Cada uno invirtió $20 000, $30 000 y $50 000, respectivamente.

PREGUNTA 5 ¿Qué parte de las ganancias le co-rresponde a cada uno? Circula la respuesta correcta.

a) 1 3

cada uno

b) Maribel: 1 5

, Rosario: 1 3

y Jesús: 1 2

c) Maribel: 1 5

, Rosario: 1 3

y Jesús: 1 2

d) Maribel: 2 10

, Rosario: 3 10

y Jesús: 5 10

CC

C C

Patrones y ecuaciones

1.4 Una agencia de empleos ofreció tres solicitudes el primer día, nueve el segundo día y ochenta y uno el cuarto día.

PREGUNTA 6 Si el incremento diario de solicitudes adopta la forma de una sucesión, ¿cuán-tas solicitudes ofreció el tercer día?

PREGUNTA 7 ¿De qué tipo de sucesión se trata?

1.5 Analiza la secuencia.

PREGUNTA 8 ¿Por cuántos elementos estará con-formada la fi gura 4?

Subraya la respuesta correcta.

a) 16 b) 24 c) 20 d) 28

1.6 Observa el rombo.

Figura 4.

Figura 1. Figura 2.

Figura 3.

BLOQUE 1 • 71

PREGUNTA 9 ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular su perímetro? Subraya la respuesta correcta.

a) 2c b) 4c c) c + c + c d) 3c

1.7 Si se quiere cercar un terreno que mide 123.56 m de largo y 54.78 m de ancho.

PREGUNTA 10 ¿Cuántos metros debe cubrir la cerca?

Figuras y cuerpos

1.8 Analiza la siguiente información.

a) Se traza el segmento AB que mida 4 cm, luego el segmento AC perpendicular al segmento AB, el cual debe medir 5 cm; posteriormente, se unen los puntos CB.

b) Se traza el segmento AB y se construye la media-triz, luego se ubica el punto medio O, se traza el segmento del punto O a C que mida 5 cm. Al fi -nalizar se trazan los segmentos CA y CB.

c) Se traza el segmento AB que mida 4 cm, se traza un segmento BC perpendicular al segmento AB, el cual debe medir 5 cm; posteriormente, se unen los puntos CA.

d) Se traza el segmento AB que mida 4 cm y se construye su mediatriz, se apoya el compás en el punto medio del segmento AB con una medida de 5 cm y se corta la mediatriz, dando origen al punto C; por último, se une el punto C con el punto A y luego con el punto B, originando los segmentos CA y CB.

PREGUNTA 11 ¿Cuál de estos procedimientos des-cribe la construcción de un triángu-lo ABC isósceles cuyas medidas son 4 cm de base y 5 cm de altura? Circula la respuesta correcta.

1.9 Los puntos de intersección de las medianas, mediatrices, bisectrices y alturas de un trián-gulo, se denominan baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro, respectivamente.

PREGUNTA 12 ¿En cuál triángulo el baricentro, circuncentro, ortocentro e incentro se ubican en el mismo punto? Su-braya la respuesta correcta.

a) Isósceles b) Obtusángulo c) Equilátero d) Escaleno

Proporcionalidad y funciones

1.10 La tabla que se muestra a continuación contiene información sobre el contenido energético por porción de una barra de manzana y canela de 100 g adicionada con vitaminas:

Contenido energético 346 kJ (81 kcal)

Grasas (lípidos) 1.4 g

Sodio 12.9 mg

Hidratos de carbono 16.2 g

Fibra dietética 1.6 g

Proteínas 1.0 g

PREGUNTA 13 ¿Cuáles son las fracciones que re-presentan el contenido de grasas, sodio y fi bra dietética en cada barra? Circula la respuesta correcta.

a) 14 10

, 129 100

y 16 10

b) 7 15

, 43 500

y 8 5

c) 14 10

, 129 10

y 8 5

d) 7 5

, 129 10

y 16 10

Nociones de probabilidad

1.11 Lalo y María compran un juego de mesa, al tirar el dado repetidas veces se observan los siguien-tes resultados:

PREGUNTA 14 ¿Cuál de las siguientes aseveraciones describe mejor la importancia de la tabla?

a) Nos muestra el total de lanzamientos.

b) Nos indica cuántas caras tiene el dado.

c) Nos permite conocer la tenden-cia de cada número a salir.

d) Nos evita llevar el conteo de lanzamientos mentalmente.

número lanzamientos1 32 23 54 15 26 4

total 17

rios de tinta matemÁticas

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