riesgo e incertidumbre en problemas con multiples objetivos (1)

RIESGO E INCERTIDUMBRE EN PROBLEMAS CON

MLTIPLES OBJETIVOS. CASO DE ESTUDIO: QUEBRADA LA IGUAN

Catalina Gez Arango

Tesis de Grado presentada como requisito parcial para optar al ttulo de

Magster en Ingeniera Recursos Hidrulicos

Directores Ricardo Agustn Smith Quintero, I.C., M.Sc., Ph. D.

Gloria Patricia Jaramillo lvarez, I.C., Ph. D.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLN

FACULTAD DE MINAS POSGRADO DE RECURSOS HIDRULICOS

2007

A mis padres, Rosita y Gustavo y a mi hermana Claudia Cristina

AGRADECIMIENTOS

A mi familia por haberme apoyado durante toda la vida y especialmente a mi

mam por brindarme su apoyo ilimitado. A Andrs Acero por estar a mi lado y apoyarme. A los profesores Ricardo Smith y Patricia Jaramillo por haberme dado la

oportunidad de trabajar a su lado, por sus aportes y por haber confiado en mi. A los profesores del posgrado Germn Poveda, Jaime Ignacio Vlez, Mauricio

Toro, Maria Victoria Vlez, Oscar Mesa por sus aportes a mi formacin acadmica.

A mis compaeros de cohorte por hacer del posgrado algo inolvidable y

especialmente a Julin Morales por su ayuda incondicional. A mis amigos y compaeros del posgrado, Paola Andrea Arias, Olver

Hernndez, Felipe Quintero, Sara Vieira, Lina Ceballos, Yuley Cardona, Carlos Restrepo y Mario Jimnez, por darme nimo para terminar y por toda la colaboracin que me brindaron.

A mis amigos y compaeros del trabajo, Juan Carlos Restrepo, Fernando

Clad, Julieta Tamayo y Paola Andrea Muoz, por su infinita paciencia. A la Direccin de Investigaciones sede Medelln (DIME), por facilitar los

recursos para la elaboracin del proyecto Desarrollo de tcnicas para el manejo de incertidumbre e imprecisin en problemas de decisin con mltiples objetivos, dentro del cual se enmarca el presente trabajo.

TABLA DE CONTENIDO

Captulo 1 INTRODUCCIN............................................................................................... 1-2 1.1. GENERALIDADES..................................................................................... 1-2 1.2. OBJETIVOS............................................................................................... 1-6

1.2.1. Objetivo General................................................................................ 1-6 1.2.2. Objetivos Especficos......................................................................... 1-6

1.3. CONTENIDO.............................................................................................. 1-7

Captulo 2 MARCO TERICO............................................................................................ 2-1 2.1. TCNICAS DE ANLISIS MULTIOBJETIVO............................................. 2-1 2.2. CERTEZA, RIESGO E INCERTIDUMBRE................................................ 2-3 2.3. MANEJO DE LA INCERTIDUMBRE EN TOMA DE DECISIONES............ 2-5

2.3.1. Mtodos Multiobjetivo Estocsticos Explcitos. Mtodos Probabilsticos........................................................................................... 2-7 2.3.2. Criterios de Riesgo e Incertidumbre................................................... 2-12 2.3.3. Mtodos Multiobjetivo Estocsticos Implcitos. Simulacin de Monte Carlo.............................................................................................................. 2-16 2.3.4. Anlisis de Sensibilidad....................................................................... 2-19 2.3.5. Escenarios........................................................................................... 2-22

Captulo 3 MTODOS MULTIOBJETIVO ESTOCSTICOS EXPLCITOS. PROTRADE - PROBABILISTIC TRADEOFF DEVELOPMENT.......................................... 3-1 3.1. INTRODUCCIN........................................................................................ 3-1 3.2. PROGRAMACIN MULTIOBJETIVO ESTOCSTICA.............................. 3-1

3.2.1. Comparacin entre valores de los objetivos para una solucin factible........................................................................................................... 3-3 3.2.2. Comparacin de soluciones considerando un solo objetivo............... 3-3 3.2.3. Soluciones -ptimo-Paretianas......................................................... 3-6 3.2.4. Relacin entre soluciones -ptimo-Paretianas................................ 3-7

3.3. MTODO PROTRADE............................................................................... 3-9 3.3.1. Definir el problema.............................................................................. 3-10

3.3.2. Rango de las funciones objetivo................................ 3-11 3.3.3. Funcin objetivo sustituta inicial...................................................... 3-11 3.3.4. Solucin inicial.................................................... 3-12 3.3.5. Elegir la funcin de utilidad....................................................... 3-12 3.3.6. Redefinir la funcin objetivo sustituta.................................................. 3-12 3.3.7. Generar una solucin alternativa..................................................... 3-13 3.3.8. Generar un vector V1................................................................... 3-14 3.3.9. Pregunta para el decisor............................. 3-14 3.3.10. Seleccionar la funcin objetivo ms insatisfactoria........................... 3-14 3.3.11. Redefinir el espacio de soluciones factible......................... 3-15 3.3.12. Generar la nueva funcin objetivo sustituta........................ 3-15

Captulo 4 CASO DE ESTUDIO: QUEBRADA LA IGUAN............................................. 4-1 4.1. INTRODUCCIN........................................................................................ 4-1 4.2. LOCALIZACIN DE LA MICROCUENCA DE LA QUEBRADA LA IGUAN............................................................................................................. 4-1 4.3. SITUACIN AMBIENTAL DE LA CUENCA............................................... 4-2 4.4. ZONIFICACIN AMBIENTAL.................................................................... 4-4 4.5. APLICACIN DEL MTODO PROTRADE. 4-7

4.5.1. Suposiciones iniciales......................................................................... 4-8 4.5.2. Formulacin del problema................................................................... 4-10 4.5.3. Parmetros de las funciones objetivo y de las restricciones............... 4-14 4.5.4. Implementacin del PROTRADE........................................................ 4-21

4.6. RESULTADOS. 4-32 4.7. ANLISIS DE RESULTADOS... 4-45 4.8. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MTODO.. 4-48

4.8.1. Ventajas......................................................................... 4-48 4.8.2. Desventajas................................................................... 4-49

Captulo 5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES....................... 5-1 5.1. CONCLUSIONES....................................................................................... 5-1 5.2. RECOMENDACIONES.............................................................................. 5-3

Captulo 6 BIBLIOGRAFA................................................................................................. 6-1

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1. Funciones de distribucin de probabilidades para dos objetivos... 3-2

Figura 3.2. Funciones de probabilidad acumulada para dos objetivos normalizados G1(x*) y G2(x*) 3-3

Figura 3.3. Dominancia estocstica de segundo orden 3-4 Figura 3.4. Criterio de -Robustez... 3-5 Figura 3.5. Criterio de - Beneficios.................. 3-5 Figura 3.6. Relaciones entre soluciones ptimo-paretianas 3-7 Figura 3.7. Curvas -ptimo-paretianas en un problema multiobjetivo

estocstico... 3-8 Figura 3.8. Diagrama de flujo del mtodo PROTRADE 3-10 Figura 4.1. Localizacin geogrfica de la microcuenca de la quebrada La

Iguan dentro del Valle de Aburr... 4-3 Figura 4.2. Zonificacin de la parte baja de la microcuenca de la Q. La

Iguan... 4-6 Figura 4.3. Funciones de utilidad a) lineal-indiferente b) exponencial-

averso... 4-25

LISTA DE TABLAS

Tabla 4.1. Costo de establecimiento de un cultivo de Cebolla por hectrea 4-15

Tabla 4.2. Costo de establecimiento de un cultivo de Zanahoria por hectrea ... 4-16

Tabla 4.3. Costo de establecimiento de un cultivo de Lechuga por hectrea ... 4-17

Tabla 4.4. Parmetros de los cultivos seleccionados.. 4-18 Tabla 4.5. Parmetros de la construccin de viviendas.. 4-19 Tabla 4.6. Parmetros de las especies forestales seleccionadas. 4-20 Tabla 4.7. Parmetros del costo de implementacin (miles de pesos). 4-20 Tabla 4.8. Parmetros a variar para implementar el PROTRADE. 4-21 Tabla 4.9. Resultados obtenidos para el objetivo 1.. 4-33 Tabla 4.10. Resultados obtenidos para el objetivo 2.. 4-35 Tabla 4.11. Resultados obtenidos para el objetivo 3.. 4-37 Tabla 4.12. Resultados obtenidos para el objetivo 4.. 4-39 Tabla 4.13. Cambios en el vector solucin para un decisor indiferente al

riesgo. 4-41 Tabla 4.14. Cambios en el vector solucin para un decisor averso al

riesgo. 4-43

Captulo 1 INTRODUCCIN

1-1

Captulo 1

INTRODUCCIN

1.1. GENERALIDADES En las ltimas dcadas, se ha incrementado la necesidad de identificar y

considerar simultneamente varios objetivos en el anlisis y la solucin de algunos problemas, en particular aquellos que se derivan del estudio de sistemas de gran escala. En los procesos de toma de decisiones ya ni siquiera se habla de consideraciones mono objetivas, la consideracin tradicional de un solo objetivo econmico es algo del remoto pasado en ciencias de la decisin. Los problemas de toma de decisiones hoy en da son tan complejos y requieren de visiones integrales de todo el problema, que pensar en soportar las decisiones asociadas a estos problemas con base en un solo objetivo sera una consideracin demasiado simplista. Inclusive si el proceso de toma de decisiones se realiza en un ambiente meramente econmico, las caractersticas de riesgo e incertidumbre, las altas dinmicas de mercados, la volatilidad en los precios y la presencia de competidores, entre otros, hacen que se requiera de la consideracin de mltiples objetivos para soportar adecuadamente cualquier proceso de toma de decisiones. Nadie toma hoy en da una decisin basado nicamente en un nico criterio asociado a la relacin costo beneficio.

Debido a que, en general, los objetivos a ser considerados en un problema

de toma de decisiones estn en competencia directa, es imposible obtener simultneamente los valores ptimos de todos los objetivos. Buscar valores ptimos debe sustituirse ahora por buscar una solucin satisfactoria. El significado en este caso de satisfactoria, est asociado directamente con los intereses de la persona o del grupo de personas (decisor o decisores) responsables por la toma de decisiones y de quienes ellos representan (pblicos o privados). En los procesos de toma de decisiones con mltiples objetivos se debe entonces tener en consideracin la estructura de preferencias del decisor o los decisores, lo cual representa una componente subjetiva en el proceso de toma de decisiones.


1-2

En muchos de los problemas de ingeniera se deben tomar decisiones en condiciones de escasez o limitada informacin, en donde el comportamiento de varias de las variables involucradas en la estimacin de los parmetros del modelo de toma de decisiones, es incierto. Tradicionalmente estos parmetros se han asumido como conocidos en el momento de resolver el problema y, por tanto, constantes a la hora de resolverlo. Sin embargo, esta es una consideracin demasiado simplista y reduccionista del verdadero problema de toma de decisiones que est embebido en un mundo incierto y estas incertidumbres se deben considerar de alguna manera en la bsqueda de soluciones de ese problema. Si el problema de optimizacin es el resultado de la representacin mediante un modelo de una situacin real en la que hemos de tomar una decisin, es muy frecuente que se desconozcan los valores de algunos de los parmetros que intervienen en l (Caballero et al., 1998). Este desconocimiento da lugar a que las decisiones que se tomen con respecto al problema que se quiere resolver, se presenten en un entorno de riesgo o incertidumbre.

La incertidumbre se presenta debido a razones como por ejemplo,

crecimiento de la demanda, elasticidad de precios, comportamientos de los diferentes mercados, condiciones de la naturaleza, fiabilidad de equipos, tasas de inflacin, crecimiento econmico, regulaciones ambientales, opinin pblica, entre otras. La incertidumbre es algo inherente a los procesos de decisin, y por ello no se puede eliminar.

Difcilmente existe un problema de toma de decisiones en la vida real que

no se encuentre en un ambiente de incertidumbre, o, lo que es lo mismo, que se encuentre en un ambiente de certeza en donde todo se pueda asumir como absolutamente conocido. Debido a las dificultades en la consideracin de incertidumbre en los procesos de toma de decisin, es que muchos de estos procesos se asumen en ambientes de certeza, lo cual obviamente genera incertidumbre en la misma decisin que finalmente se tome. La representacin de la incertidumbre en los procesos de toma de decisiones se hace generalmente mediante el modelamiento probabilstico o estocstico de las variables inciertas. Muchos han sido los procedimientos estocsticos para la consideracin de incertidumbres en investigacin de operaciones, aunque la inmensa mayora de ellos asociados a decisiones mono objetivas y muy pocos de ellos relacionados con decisiones multiobjetivo. En general se habla de riesgo cuando el modelo probabilstico o estocstico a ser utilizado para representar el comportamiento de


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la variable incierta es conocido, y se habla de incertidumbre cuando ese modelo no es conocido.

En el campo de toma de decisiones hay mltiples ejemplos de la presencia

de la incertidumbre. En algunos anlisis la incertidumbre se considera explcitamente, en otros casos se incluye de manera implcita en el anlisis, pero en la mayora de los casos es completamente ignorada. Incluso cuando la incertidumbre es considerada, la mayora de los decisores prefieren el uso de evaluadores nicos del comportamiento del sistema basados tpicamente en el valor esperado del evaluador. Sin embargo, la consideracin adecuada de la incertidumbre lleva a la consideracin de varios criterios, por ejemplo la consideracin del valor esperado del evaluador y la reduccin del riesgo de tener un mal valor de ese evaluador, lo cual llevara a plantear el problema de toma de decisiones bajo incertidumbre en un contexto de mltiples criterios, agregando complejidad al proceso de toma de decisiones. Tcnicas como la simulacin de Monte Carlo pueden dar funciones de distribucin de probabilidades del evaluador en lugar de valores puntuales del mismo.

Realmente han sido muy pocos los desarrollos y propuestas en

Programacin Multiobjetivo Estocstica, especialmente con verdaderas consecuencias prcticas de gran aplicabilidad. Este es un campo de trabajo en investigacin de operaciones sobre el cual an queda mucho por explorar. Se puede decir que el anlisis multicriterio ya puede constituir por s mismo una herramienta de manejo de incertidumbre, al minimizar criterios que pueden constituir amenazas futuras.

Las cuencas hidrogrficas son sistemas cuya conservacin implica el

manejo de complejos factores de ndole ecolgica, tcnica, socio-econmica, cultural y poltica. As, en una cuenca hidrogrfica pueden existir al mismo tiempo muchos usos competitivos por el espacio disponible, tales como: econmicos (actividades productivas), sociales (necesidad de vivienda, empleo, entre otras), y ambientales (conservacin del ambiente, disminucin de la erosin, entre otras). Todos estos usos son de gran importancia, y el planificador debe decidir o sugerir la ocupacin y las actividades por desarrollar en la cuenca, de tal manera que esos usos sean satisfechos en alguna medida, es decir, debe hacerse una planificacin integral de la cuenca usando herramientas adecuadas para ese efecto (Smith et al, 2000). As, el conocimiento de las incertidumbres es til para tomar decisiones racionales, para diseos de costo efectivo, para operar sistemas


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con seguridad y para mejorar el conocimiento de los riesgos y fiabilidad del aprovechamiento de los recursos hidrulicos (Bender, 2002).

En Colombia la planificacin de las cuencas hidrogrficas, en la mayora de

los casos, no se hace de una manera integral. En muchas ocasiones la planificacin de cuencas se hace bajo la ptica del especialista que la propone: si es un economista ignorar en gran medida los efectos ambientales y sociales de las medidas tomadas, y si es un conservacionista las medidas que asuma limitarn cualquier medida productiva en la cuenca. No slo no se dispone de una herramienta de planificacin que incluya diferentes aspectos, sino que en muchas ocasiones tampoco se dispone de herramientas que midan el verdadero efecto asociado a la medida propuesta (Smith et al, 2000).

De est manera, en los procesos de decisin en problemas relacionados

con la planificacin de recursos hidrulicos, se deben tener en cuenta varios factores, dentro de los cuales se pueden mencionar algunos como: existe un espacio objetivo complejo, la identificacin del decisor o los decisores no es una tarea fcil, los proyectos que se quieren implementar requieren de fondos pblicos, los recursos hdricos son irremplazables por otros recursos, los beneficios son difciles de estimar debido a las diferentes cantidades de beneficios secundarios que no son de fcil cuantificacin, los procesos de planificacin son sistemas dinmicos, entre otros factores.

Es indiscutible entonces la necesidad de considerar el desarrollo y la

aplicacin de metodologas, que apoyen a los analistas en la toma de decisiones, bajo entornos de riesgo e incertidumbre. Por sta razn, en la planificacin integral de cuencas para seleccionar la alternativa mas adecuada se propone como herramienta el uso de los mtodos de anlisis multiobjetivo, considerando objetivos sociales, ambientales, econmicos y otros, en forma simultnea.

El ejercicio de formular un plan integral de ordenamiento y manejo de una

microcuenca se basa fundamentalmente en un proceso de zonificacin de la cuenca, lo cual involucra la consideracin de una gran cantidad de informacin espacial o georeferenciada de la cuenca (UNAL et al., 2002). Mediante el proceso de zonificacin se llega a una serie de productos parciales representados en un conjunto de mapas para cada caso, como por ejemplo mapas de uso actual, uso potencial, riesgo (sismo, inundaciones, movimientos en masa), retiros,


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restricciones de uso, zona urbana y de expansin urbana, hasta llegar al producto final representado por la zonificacin propuesta para la microcuenca.

Con este trabajo, se espera presentar una metodologa para la toma de

decisiones dentro de los procesos de ordenamiento de una cuenca hidrogrfica, adems de una aplicacin al caso especfico de ordenamiento de la parte baja de la microcuenca de la quebrada La Iguan. Esta aplicacin estar basada en la informacin obtenida a partir del Diseo de la Metodologa para la Formulacin de los Planes Integrales de Ordenamiento y Manejo de Microcuencas - PIOM - y su aplicacin en la parte baja de la cuenca hidrogrfica de la quebrada La Iguan , trabajo que realiz la Universidad Nacional de Colombia, sede Medelln, en unin con el Instituto Mi Ro y Corantioquia. As, con la metodologa escogida ser necesario plantear diferentes alternativas de uso del espacio de acuerdo con la informacin obtenida a partir del PIOM, formular diferentes objetivos (econmicos, sociales, entre otros) y finalmente aplicar la tcnica mutiobjetivo en la cual se pueda representar de alguna forma la incertidumbre asociada al desconocimiento de algunos de los factores que estn involucrados en el proceso de decisin.

Los resultados generados por este trabajo tendrn una aplicacin en

sectores en los cuales es importante tomar decisiones, como por ejemplo el sector elctrico, agrcola, social, de servicios, entre muchos otros.

1.2. OBJETIVOS

1.2.1. Objetivo General Implementar una metodologa de toma de decisiones con anlisis

multiobjetivo bajo consideraciones de riesgo e incertidumbre en el ordenamiento de la parte baja de la microcuenca de la quebrada La Iguan.

1.2.2. Objetivos Especficos

Revisar el estado del arte con respecto a la toma de decisiones cuando se presentan mltiples objetivos e incertidumbre.

Analizar los diferentes mtodos encontrados y hacer agrupaciones de las

propuestas metodolgicas.


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Proponer una metodologa que sirva para realizar el ordenamiento de la parte baja de la microcuenca de la quebrada La Iguan.

Formular un problema de anlisis multiobjetivo que sirva para representar el

problema de la asignacin de recursos en la microcuenca de la quebrada La Iguan.

Aplicar el procedimiento propuesto en el ordenamiento de la parte baja de la

microcuenca de la quebrada La Iguan. 1.3. CONTENIDO

En el Captulo 2 se presenta una revisin de la literatura de los diferentes

mtodos encontrados para abordar el tema de la optimizacin multiobjetivo bajo entornos de riesgo e incertidumbre. En el Captulo 3 se describe la metodologa elegida para utilizar en el problema de asignacin de uso del suelo en una cuenca. En el Captulo 4 se presenta la aplicacin de la metodologa seleccionada como una propuesta de zonificacin para la parte baja de la cuenca de la quebrada La Iguan. Finalmente en el Captulo 5 se presentan las conclusiones y algunas recomendaciones.

Captulo 2 MARCO TERICO

2-1

Captulo 2

MARCO TERICO

2.1. TCNICAS DE ANLISIS MULTIOBJETIVO

El anlisis multiobjetivo se trata de un problema de optimizacin donde, en vez de encontrar el valor ptimo para un solo objetivo, se quiere encontrar la mejor solucin para un grupo de objetivos. Esto se puede representar matemticamente de la siguiente manera:

Maximizar z(x) = [z1(x),z2(x),...., zp(x)]

Sujeto a x X

Donde, z(x) representa la funcin objetivo compuesta por el grupo de objetivos que se desean optimizar, el conjunto S el espacio factible y x el vector de variables de decisin.

Muchos problemas del mundo real son multiobjetivos porque consideran varios objetivos que deben ser optimizados simultneamente. Los decisores quieren identificar las mejores alternativas en un conjunto de alternativas. Para ello, inicialmente se hablaba de funciones objetivo con variables de decisin y una serie de restricciones, asumiendo que los datos para el problema dado eran conocidos perfectamente. Sin embargo, esto no es un supuesto muy real en problemas multiobjetivo donde muchos de los coeficientes y parmetros son variables aleatorias, ms que cantidades fijas. Una razn importante por la que no se conocen perfectamente estos datos, es porque muchos de ellos representan informacin sobre el futuro, por lo que no se pueden conocer con certeza.

Los anlisis sobre la planificacin, inversin, operacin y manejo de proyectos se basan en consideraciones, por ejemplo, de objetivos econmicos, ambientales, regionales y sociales. Este cambio hacia valores sociales y normas,


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por ejemplo, ha incitado la promulgacin de leyes que regulan el uso y la administracin de los recursos naturales con referencias explcitas a mltiples objetivos (Goicoechea et al., 1982). Segn lo anterior, es necesario asumir que las decisiones que se toman con respecto a un problema en particular, sin importar si son tomadas por una o varias personas, frecuentemente incluyen objetivos que se encuentran en conflicto (Ehrgott y Gandibleux, 2002). La legislacin ambiental colombiana hace referencia explcita a la necesidad de considerar mltiples objetivos en varios procesos de toma de decisiones como en el Diagnstico Ambiental de Alternativas.

As, los intentos de incluir objetivos econmicos, ambientales, sociales o de otro carcter, explcitamente en los modelos de toma de decisiones incluyen el uso de herramientas de anlisis multiobjetivo. Muchos son los mtodos disponibles en anlisis multiobjetivo, llamados tambin mtodos multicriterio o mltiatributo, algunos de ellos basados en la transformacin de los objetivos a una escala de valoracin diferente a la monetaria (utilidades, valores, energa y otros), otros basados en la evaluacin de la distancia a una solucin ideal multiobjetivo, otros basados en consideraciones de trade off o de intercambio entre objetivos y muchos otros basados en combinaciones de los mtodos anteriores. Para una descripcin detallada de los mtodos de anlisis multiobjetivo el lector se puede dirigir al libro de Smith y otros (2000).

Existe una gran gama de mtodos clsicos de anlisis multiobjetivo, como factores ponderantes (Zadeh, 1963), mtodo de las restricciones (Haimes et al., 1971), programacin por compromiso (Zeleny, 1973) con diferentes mtricas y programacin por metas (Charnes y Cooper, 1963), entre otros. Para problemas de carcter discreto, son reconocidos los mtodos: ELECTRE I, II y IV (Roy, 1968), funcin de utilidad multicriterio (Goicochea et al, 1982) y promedios ponderados (Goicochea et al, 1982). Estos mtodos consideran certidumbre en la informacin.

Muchos han sido los procedimientos estocsticos para la consideracin del riesgo y la incertidumbre en investigacin de operaciones, aunque la inmensa mayora de ellos asociados a decisiones mono objetivas y muy pocos de ellos relacionados con decisiones multiobjetivo. Algunos de estos mtodos, consideran explcitamente el modelamiento del riesgo y la incertidumbre en el modelo de toma de decisiones multiobjetivo como el mtodo PROTRADE (Goicoechea et al, 1982) el cual involucra incertidumbre en las variables de decisin usando programacin


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estocstica multiobjetivo. Otros consideran los aspectos de incertidumbre en la evaluacin de los criterios o proponen criterios que de alguna manera evalan aspectos relacionados con la incertidumbre (Ku, 1995). Otros proponen consideraciones implcitas del manejo de la incertidumbre en el modelo de toma de decisiones multiobjetivo haciendo uso de mtodos de Monte Carlo para generar series temporales de las variables inciertas. En los mtodos multiatributos de teora de la utilidad, de Keeney y Raiffa (1976), la incertidumbre es representada usando probabilidades de distribucin y las alternativas son evaluadas en base a su utilidad esperada (Lahdelma et al, 2002).

2.2. CERTEZA, RIESGO E INCERTIDUMBRE

Los procesos de toma de decisin se pueden modelar en ambientes de certeza, riesgo e incertidumbre. Una decisin se toma en un ambiente de certeza cuando se asume que todo es conocido o puede estimarse con seguridad. Se dice que la decisin se hace bajo riesgo en los casos en los cuales hay elementos aleatorios con probabilidades conocidas. Si estas son desconocidas se dice que la toma de decisiones se hace bajo incertidumbre.

Cuando se desconoce cual ser el estado futuro de la naturaleza, es factible considerar posibles estados 1, 2,..., e e identificar las probabilidades de ocurrencia P(1), P(2), ..., P(e) respectivas, aunque esto ltimo no siempre puede lograrse. Cuando se pueden establecer las probabilidades de ocurrencia, se dice que la decisin se hace bajo riesgo, de lo contrario se dice que la decisin se hace bajo incertidumbre.

Ahora la funcin objetivo no tendr un nico valor, sino que tendr tantos valores como estados se consideren. Una funcin Zj(x) representa los retornos de una alternativa factible x en el caso de que se presente cierto estado de la naturaleza j. En el caso discreto Zij representa el retorno que se obtendra si se presenta el estado de la naturaleza j y se toma la decisin Ai.

Incertidumbre es un trmino genrico para describir algo que no es conocido, porque ocurre en el futuro o tiene un impacto que es desconocido (Ku, 1995). El trmino incertidumbre ha sido usado para referirse a algo desconocido que no se puede resolver determinsticamente o algo desconocido que solo se puede resolver a travs del tiempo. Schweppe et al. (1989) definen la


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incertidumbre como cantidades o eventos que estn ms all del conocimiento previo o del control del decisor. Paraskevopoulos et al. (1991) atribuyen los orgenes de la incertidumbre a errores en la especificacin, estimacin estadstica de relaciones y suposicin de variables exgenas. La incertidumbre surge debido a la informacin incompleta como puede ser contradicciones en fuentes de informacin, imprecisiones lingsticas, ambigedad o simplemente falta de informacin. Tal informacin incompleta tambin puede provenir de simplificaciones y aproximaciones que es necesario considerar para hacer los modelos manejables. La incertidumbre algunas veces se refiere a la aleatoriedad en la naturaleza o variabilidad en los datos.

En la literatura, los trminos incertidumbre y riesgo son, con frecuencia, usados indiferentemente. Knight (1921) fue el primero en diferenciar entre el riesgo como cuantificable y la incertidumbre como no cuantificable. Strangert (1977, p. 35) interpreta a Knight como sigue: la incertidumbre se refiere a una percepcin no estructurada de lo incierto, mientras que el riesgo se refiere a la situacin en la cual a cada alternativa se le ha asignado un resultado y a cada posible resultado una probabilidad. El concepto de Strangert de incertidumbre pura, fue introducido alrededor de 1950 donde los posibles resultados son dados sin asignarles ninguna probabilidad de ocurrencia. Segn las definiciones de Knight, Barbier y Pearce (1990) el riesgo denota probabilidades ampliamente cuantificables, mientras que la incertidumbre se refiere a contextos en los que las probabilidades no son conocidas. Este mismo concepto se plantea en Smith y otros (2000) que hablan de riesgo cuando el modelo probabilstico o estocstico a ser utilizado para representar el comportamiento de la variable incierta es conocido, y hablan de incertidumbre cuando ese modelo no es conocido. Hertz y Thomas (1984) asocian el riesgo con la carencia de previsibilidad acerca de la estructura del problema, resultados o consecuencias en la decisin o planeacin, mientras que la incertidumbre implica la carencia de previsibilidad acerca de todos los elementos de la estructura del problema. Chapman y Cooper (1983) consideran que el riesgo es la implicacin indeseable debida a la incertidumbre. El riesgo tambin puede entenderse como el enfoque hacia los malos resultados, por ejemplo, cuando algo puede salir mal. Choobineh y Behrens (1992) consideran la incertidumbre como la manifestacin de las consecuencias desconocidas producto de un cambio y el riesgo como las consecuencias de tomar una accin en la presencia de incertidumbre. Desde una perspectiva ingenieril, Merrill y Wood (1991) observan la relacin causal entre riesgo e incertidumbre: la incertidumbre


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se refiere a factores fuera de control y no conocidos con certidumbre, mientras que el riesgo es un peligro que se corre como producto de la incertidumbre.

Las incertidumbres reflejan nuestra carencia de perfecto entendimiento de los fenmenos y procesos (Yen, 2002). En anlisis de recursos hidrulicos, diseo y administracin, las incertidumbres pueden emerger de las siguientes fuentes (Yen, 2002):

Incertidumbres naturales asociadas con la aleatoriedad inherente a los procesos naturales.

Incertidumbre del modelo que refleja la inhabilidad del modelo de simulacin o la tcnica de diseo para representar el comportamiento fsico real del sistema.

Incertidumbres en los parmetros del modelo resultantes de la inhabilidad para cuantificar con precisin los parmetros de entrada.

Incertidumbres en los datos incluyendo (a) errores de medida, (b) inconsistencia y no homogeneidad en los datos, (c) errores de manejo y trascripcin de los datos y (d) representatividad inadecuada de la muestra debido a limitaciones espaciales y temporales.

Incertidumbres operacionales incluidas aquellas asociadas con la construccin, manufactura, mantenimiento y otros factores humanos que no se tienen en cuenta durante la modelacin o el proceso de diseo.

2.3. MANEJO DE LA INCERTIDUMBRE EN TOMA DE DECISIONES

En los casos especficos de mltiples objetivos, la consideracin de los aspectos de incertidumbre en los procesos de toma de decisiones se ha manejado de maneras muy clsicas. Tradicionalmente cuando se habla de incertidumbre en los procesos de toma de decisiones se refiere a variables y procesos asociados nicamente con la toma de decisiones, tales como condiciones de financiamiento, estructuras de preferencias, riesgo en la decisin, entre otras. En este caso, se asume que variables inciertas asociadas con los diferentes objetivos han sido analizadas en la respectiva evaluacin de esos objetivos. Por ejemplo, si uno de los objetivos es la satisfaccin adecuada de la demanda de un producto, la


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incertidumbre en la disponibilidad de agua se analiza en la evaluacin de este objetivo y no en el proceso de toma de decisiones. Esta es una manera muy limitada de considerar la incertidumbre pues variables inciertas de diferentes objetivos pueden estar relacionadas y tendran un contexto muy distinto cuando se consideran de manera conjunta que cuando se consideran de manera individual. Adems, siempre se querr saber como variables inciertas asociadas a los diferentes objetivos pueden afectar la decisin final. Este no es un problema fcil que requiere de mayor trabajo.

Desde la llamada ciencia de la decisin se han desarrollado propuestas sobre el manejo de la incertidumbre en problemas de decisin. Sin embargo, en los mtodos hasta ahora desarrollados, no es claro como realizar el tratamiento de la incertidumbre inherente a casi todos los procesos de toma de decisin. Generalmente se hace considerando posibles escenarios de ocurrencia de ciertas variables del problema o realizando anlisis de sensibilidad sobre ciertas variables crticas. Adems, considerando que el criterio de eleccin es nico, como por ejemplo elegir la alternativa de menor costo. Algunas opciones de manejo de incertidumbre son:

Mtodos Multiobjetivo Estocsticos Explcitos. Mtodos Probabilsticos. Criterios de riesgo e incertidumbre. Mtodos Multiobjetivo Estocsticos Implcitos. Simulacin de Monte Carlo. Anlisis de sensibilidad. Escenarios.

Para un conocimiento en detalle de stas y otras metodologas en el tratamiento del riesgo y la incertidumbre se pueden consultar en las siguientes referencias: Ang y Tang, 1975; Goicoechea et al, 1982; Cooper et al, 2004; Ku, 1995; Orcun et al, 2001; Liu, 2001; Smith et al, 2000; Bender, 2002; Yen, 2002; Dai et al, 2003; Aouni et al, 2004; Sakawa et al, 2004; Botterhuis y McCaffrey, 2003; Goicoechea y Muoz, 2000.

Los tres ltimos mtodos no son realmente metodologas formales de considerar aspectos de riesgo e incertidumbre en procesos de toma de decisiones multiobjetivo. Estos mtodos corresponden a procesos que tratan de aportar elementos para reducir la incertidumbre en la toma de decisiones. Por ejemplo, cuando se realiza un anlisis de sensibilidad se trata de mirar en qu rangos de variacin de los parmetros la decisin no se ve afectada, dando de esta manera


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una idea sobre el nivel de incertidumbre alrededor de ciertos valores de esos parmetros.

El desarrollo de sta tesis se concentra en la primera clasificacin (Mtodos Multiobjetivo Estocsticos Explcitos - Mtodos Probabilsticos), ya que se refiere a procesos formales de consideracin del riesgo y la incertidumbre, por lo que se explicar mas detalladamente en el Captulo 3, una metodologa perteneciente a este grupo, la cual ser aplicada al caso de ordenamiento de la parte baja de la quebrada La Iguan.

2.3.1. Mtodos Multiobjetivo Estocsticos Explcitos. Mtodos probabilsticos

Para resolver problemas en los que se desconocen los valores de algunos de los parmetros que intervienen en el mismo (situaciones de riesgo o de incertidumbre), es posible adoptar distintas soluciones. En determinadas circunstancias, y con base en la informacin disponible acerca de ellos, es posible sustituir estos valores por una estimacin de los mismos, una medicin no exacta de su valor esperado o bien tratar estos parmetros como variables aleatorias (Caballero et al, 1998).

La programacin estocstica analiza la resolucin de problemas de programacin matemtica en los que algunos parmetros son desconocidos pero se conoce la distribucin de probabilidad asociada a ellos y, por tanto, las situaciones que se analizan mediante la misma son situaciones de riesgo. (Caballero et al, 1998). Prkopa (1995) define la programacin estocstica como la resolucin de problemas de programacin matemtica en los que algunos o todos los parmetros son variables aleatorias. (Caballero et al, 1998)

El tratamiento probabilstico es adecuado en el caso de incertidumbres a corto plazo, con sucesos de alta frecuencia. El elevado costo del error, en caso de tomarse una decisin incorrecta basada en probabilidades que luego no se cumplen, hace que sea imprescindible encontrar mtodos efectivos de tratar estas incertidumbres a largo plazo.

La programacin estocstica es una de las reas de investigacin de operaciones ms retadoras e interesantes. Pretende tratar la incertidumbre con


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modelos de toma de decisiones de una manera coherente y sistemtica (Stancu-Minasian, 1990). Los procedimientos estocsticos en donde para el caso de mltiples objetivos se maximizan los valores esperados, a menudo involucran varianzas muy grandes e inaceptables. Se requiere de procedimientos de toma de decisiones estocsticos que consideren mltiples objetivos de manera explcita. De esta manera se pudiera decir que una nueva rama de la investigacin de operaciones se ha ido consolidando lentamente: la programacin estocstica con varias funciones objetivo.

El problema de toma de decisiones con mltiples funciones objetivo y en un ambiente de incertidumbre con un tratamiento estocstico se encuentra en la literatura en varios contextos. Lau (1980) considera el problema del repartidor de peridicos con tres funciones objetivos: maximizar los beneficios netos esperados, maximizar la utilidad esperada y maximizar la probabilidad de lograr un beneficio. Teghem y Kunsch (1985) consideran dos problemas de planificacin energtica. Muchos ejemplos de toma de decisiones en las reas de, por ejemplo, planificacin de la produccin, planificacin de la operacin, y problemas de asignacin, que han sido propuestos en la literatura en una estructura multicriterio determinstica, seran resueltos de manera ms apropiada mediante el uso de procedimientos estocsticos multiobjetivo. Charnes y Cooper (1966) y Hendrix y Stedry (1974) ya mostraban aplicaciones de programacin meta probabilstica hace ms de 30 aos.

Aunque en aos recientes ha habido un inters creciente en los problemas de programacin estocsticos y de programacin matemtica con mltiples funciones objetivos, el campo de la programacin estocstica con mltiples funciones objetivos ha sido prcticamente olvidado en la literatura. La mayora de los mtodos que se encuentran son generalizaciones de mtodos utilizados para resolver problemas determinsticos o de programacin estocstica, no son mtodos especficamente desarrollados para darle solucin a problemas de programacin estocstica con mltiples objetivos. La solucin de problemas de programacin estocstica con mltiples funciones objetivo puede obtenerse de las siguientes maneras (Stancu-Minasian, 1990):

Buscando reemplazar el problema de programacin estocstica con mltiples funciones objetivos por un problema determinstico equivalente con mltiples funciones objetivo (siguiendo procedimientos que se usan en procedimientos de programacin estocsticos con un solo criterio), y usando entonces un


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mtodo conocido (no estocstico) de anlisis multiobjetivo para darle solucin al problema.

Buscando reducir el problema a un problema estocstico con una sola funcin objetivo (usando funciones sntesis, matrices de distancia, programacin meta, entre otras), y usando entonces un mtodo de programacin estocstica de un solo criterio.

Se reconoce que la solucin de problemas de programacin matemtica con varias funciones objetivo determinsticas enfrenta varias dificultades debido al hecho de que el vector de soluciones no esta nicamente definido (Stancu-Minasian, 1990). Igualmente aparecen dificultades al resolver problemas de programacin estocsticos con una sola funcin objetivo tenindose que recurrir a modelos estocsticos relativamente simples. Se explica entonces que la solucin de problemas de programacin estocstica con mltiples funciones objetivo se enfrente con dificultades casi irresolubles y ambigedades.

El planteamiento de problemas de programacin estocstica con mltiples funciones objetivo requiere el replanteamiento de muchos de los conceptos de los problemas de programacin multiobjetivo determinstica. En el caso estocstico los logros, las metas, las restricciones e incluso la definicin del conjunto de soluciones eficientes involucran la consideracin de probabilidades de logros. Las restricciones se plantean ahora como la probabilidad de que se cumplan. Una solucin pertenece al conjunto de soluciones eficiente con cierto nivel de probabilidad. Por ejemplo, se dice que el conjunto de soluciones estocsticas eficientes a un nivel de probabilidad (llamado S) se define como:

S = {x / xD, Fi(Zi(x)) = , i=1,2, ..., r , no existe otro x` D tal que Fi(Zi(x`)) = para todo i=1,2,....,r , Zi(x`) Zi(x) para todo i=1, 2, ...,r y al menos para un i0, Zi0(x`) > Zi0(x)}

En donde x representa el vector de variables de decisin, Zi(x) la i-ava funcin objetivo, r el nmero de funciones objetivo, D el espacio de soluciones factibles y Fi() la i-ava funcin acumulada de probabilidades.

Incluso el problema de toma de decisiones en grupo se puede plantear en un entorno estocstico considerando que los pesos de las funciones objetivos son


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variables aleatorias ya que los diferentes miembros del grupo pueden asignar varios pesos a las funciones objetivos individuales.

En el marco de las dos aproximaciones presentadas arriba para la solucin de problemas de programacin estocstica con mltiples funciones objetivo se han propuesto, entre otros, los siguientes mtodos (Stancu-Minasian, 1990): problema estocstico de Chebyshev, problema de programacin estocstica de divisin de funciones objetivos, programacin estocstica meta, programacin estocstica de mltiples soluciones de mnimo riesgo, mtodos interactivos y modelos de criterios de mltiples divisiones de funciones objetivo.

Contini (1968) fue uno de los primeros en proponer una versin de programacin meta estocstica en donde consideraba que la relacin entre las funciones objetivo y las variables de decisin era una relacin lineal que inclua un termino aleatorio (random noise) normalmente distribuido con media cero y matriz de covarianza V. En el procedimiento propuesto se propone un vector meta Y conformado por los niveles requeridos de las funciones objetivo, y se trata de determinar el vector de variables de decisin que maximizan la probabilidad de que el vector de logros de las funciones objetivo pertenezca a Y. Varias propuestas adicionales se han hecho en la literatura a este mtodo de programacin meta estocstica (Chobot, 1973; Stancu-Minasian y Tigan, 1988; Stancu-Minasian, 1990).

Entre los mtodos interactivos Goicochea y otros (1982) propusieron el mtodo PROTRADE (Probabilstic Tradeoff Development), el cual se considera que es un equivalente estocstico del mtodo determinstico STEM. Es un mtodo interactivo que establece un dilogo entre el usuario y el modelo, dndole al decisor la opcin de realizar el proceso de bsqueda de la solucin eficiente modificando las condiciones iniciales de acuerdo con los resultados parciales que se van obteniendo. Durante las interacciones el decisor puede mejorar los valores obtenidos para una funcin objetivo como tambin la probabilidad de alcanzar ese objetivo o ambos. Este mtodo tiene la ventaja de ser interactivo y de estar referido a un problema muy general, considerando restricciones no lineales y funciones de distribucin de probabilidades generales para los coeficientes de los objetivos lineales.

Teghem (1990) propuso otro mtodo estocstico interactivo, llamado STRANGE (Estrategia para Generacin Nuclear de Electricidad), el cual usa


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anlisis paramtrico para proveer informacin detallada de una gran cantidad de soluciones eficientes. Leclercq (1982) consider un problema multiobjetivo donde los coeficientes son variables aleatorias y algunas de las restricciones contienen variables aleatorias. El algoritmo de solucin consiste de una serie de alternaciones entre estados computacionales y de decisin (Wu, 1997).

Marcotte y Soland (1986) proporcionaron un algoritmo interactivo de ramas y lmites para optimizacin estocstica multiobjetivo. Urli y Nadeau (1990) formularon un modelo general de programacin lineal multiobjetivo para la situacin cuando los decisores posean slo informacin incompleta sobre los parmetros estocsticos. El algoritmo contiene un nmero de modos para la transformacin de objetivos y restricciones estocsticos para obtener un equivalente determinstico de una formulacin de programacin lineal multiobjetivo que pueda ser resuelta mediante un mtodo interactivo (Wu, 1997).

La programacin estocstica con restricciones aleatorias (Chance Constraint Programming - CCP) es otro tipo de programacin matemtica que incorpora elementos estocsticos dentro de las funciones de restriccin (Birge, 1997). Charnes y Cooper (1959) introducen el CCP como medida para manipular la aleatoriedad de la incertidumbre en los datos (Botterhuis y McCaffrey, 2003). Los modelos chance constrained apuntan a mantener las decisiones del estado uno con un inters mayor en la confiabilidad de la decisin. La situacin de decisin es modelada mediante un modelo de programacin lineal, donde algunas de las entradas son variables aleatorias resultando as restricciones aleatorias en el modelo. La aproximacin mediante el mtodo de chance constrained requiere que estas desigualdades se cumplan con una cierta (alta) probabilidad. Las dificultades para los modelos chance constrained vienen del clculo de las probabilidades incluidas en el modelo (Kall y Mayer, 1994).

Kall (1982) seala que la eleccin de un mtodo de resolucin u otro para resolver problemas de programacin estocstica depende del tipo de problema que se pretenda resolver y deber de realizarse con base a las caractersticas del problema y a las preferencias del decisor. Incluso, se puede considerar la posibilidad de combinar ms de un criterio para poder recoger aspectos deseables de la solucin al problema, pero, en general, no es posible ordenar estos conceptos. En el caso multiobjetivo, la resolucin de estos problemas debe realizarse teniendo en cuenta al mismo tiempo el carcter estocstico y el


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multiobjetivo del problema, lo que implica que la obtencin de soluciones sea ms complicada (Caballero et al, 1998).

Como se puede ver de la revisin de literatura sobre programacin estocstica multiobjetivo, la gran abrumadora mayora de los esfuerzos para la solucin de problemas de programacin estocstica con mltiples funciones objetivos estn orientados a obtener determinsticos equivalentes del problema y luego solucionarlo mediante el uso de un mtodo tradicional de anlisis multiobjetivo.

2.3.2. Criterios de riesgo e incertidumbre

Los criterios de robustez, vulnerabilidad y satisfaccin entre otros, pueden ser evaluados en ambientes de incertidumbre. Si se conoce la distribucin de probabilidades de los estados de la naturaleza (condicin de riesgo) se puede calcular el valor esperado de los diferentes criterios que se asumen son inciertos. Esta sera una manera de considerar la incertidumbre en un problema de toma de decisiones de anlisis multiobjetivo. Una vez estimado los valores esperados de los criterios se puede proceder a usar un mtodo de anlisis multiobjetivo determinstico para el proceso de toma de decisiones. Sin embargo, este tipo de enfoque determinista mediante el uso de valores medios suelen conducir a resultados que subestiman las valoraciones realizadas, y tiene inconvenientes adicionales, como el que el decisor no conozca el rango de incertidumbre de los resultados, y por ello no pueda incorporar sus preferencias respecto al riesgo. Este tipo de procedimientos no tiene en cuenta la variabilidad del criterio incierto. Los procedimientos estocsticos en donde, para el caso de mltiples objetivos, se maximizan los valores esperados a menudo involucran varianzas muy grandes e inaceptables.

Es debido a las limitaciones de la consideracin de valores esperados de los criterios inciertos que han sido introducidos otros criterios, que igualmente pueden ser estimados en ambientes de riesgo e incertidumbre, adems, describen otros comportamientos del criterio en consideracin, como por ejemplo aspectos relacionados con su vulnerabilidad, variabilidad, robustez y otros (Smith y otros, 2000). Un criterio incierto, en donde se conoce la distribucin de probabilidades de los estados de la naturaleza, puede entonces ser reemplazado en el proceso de toma de decisiones por un conjunto de criterios que describen adecuadamente su


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comportamiento (valor esperado, varianza y otros), todos ellos estimados considerando esa distribucin de probabilidades.

El riesgo se puede valorar de distintas formas, pero las ms usuales son la robustez y la flexibilidad. Por robustez se entiende la probabilidad de que para diversos escenarios, los atributos de la solucin adoptada no se alejen excesivamente de los de la solucin ptima, por lo que, cualquiera que sea el suceso real futuro, la alternativa se comportar bien. La flexibilidad, por su parte, es la capacidad para responder al cambio de forma eficiente.

El anlisis de riesgos se lleva a cabo mediante la formulacin y resolucin de un juego contra la naturaleza. Es decir, se evala el comportamiento de las posibles estrategias ante los distintos estados que pueda adoptar la naturaleza y se escoge una de ellas mediante la aplicacin de un criterio de decisin en presencia de incertidumbre. El anlisis de riesgos permite adems incorporar las preferencias de los decisores frente al riesgo. Segn el comportamiento frente al riesgo del decisor, se escoger el criterio de seleccin ms adecuado. En general, la estrategia de decisin ms utilizada es la de escoger aquella solucin cuyo mximo arrepentimiento bajo cada escenario es el mnimo de todas las estrategias (criterio de Savage), que es coherente con un carcter conservador del decisor. Este criterio tiene una interpretacin interesante dentro del marco multicriterio, ya que el arrepentimiento generado por una estrategia frente a cada escenario puede asimilarse a la distancia de esa solucin respecto al ideal para ese escenario. Esta distancia, a su vez, puede calcularse por distintas mtricas, segn se busque una solucin de mxima eficiencia o de mximo equilibrio. La eleccin de estas mtricas, y sus implicaciones respecto a la actitud frente al riesgo de los decisores, es un campo de gran inters para investigacin. Otros criterios para el anlisis de riesgos se presentan en Smith y otros (2000).

Incluso cuando no se conoce la distribucin de probabilidades (ambiente de incertidumbre) y se debe tomar la decisin conociendo que ciertos criterios son inciertos, hay criterios propuestos que tratan de evaluar la incertidumbre en el proceso de toma de decisiones como la minimizacin del mximo arrepentimiento (Pereira, 1995; Smith y otros, 2000). Estos criterios son de suma importancia ya que el no conocimiento de la distribucin de probabilidades de los estados de la naturaleza es una condicin bastante comn en la prctica.


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En ocasiones no solo nos interesa representar el comportamiento de las alternativas representando adecuadamente los criterios inciertos mediante el uso de criterios adicionales que representan su comportamiento inherente (valor esperado, varianza y otros), sino adems usar otras caractersticas que se consideran deseables en los procesos de decisin que se toman en ambientes cada vez ms inciertos y de la ms alta responsabilidad (Ku, 1995). Estas caractersticas adicionales reflejan el comportamiento de las alternativas bajo condiciones normalmente no contempladas, como, por ejemplo, la capacidad de adaptarse a consideraciones no contempladas, o la capacidad de responder a cambios que no pueden predecirse o la capacidad de retornar a su situacin normal ante cambios en las condiciones del entorno. Estos criterios adicionales nos darn informacin valiosa sobre las alternativas en el momento de tomar las decisiones, especialmente en esos ambientes de gran incertidumbre. En este sentido se han propuesto un conjunto de criterios como flexibilidad, adaptabilidad, recuperabilidad, elasticidad y otros.

Muchos son los criterios propuestos en la literatura para evaluar los procesos de toma de decisiones bajo ambientes de riesgo e incertidumbre (Smith et al, 2000). Aunque hay una preocupacin creciente por usar un conjunto de criterios que representen adecuadamente los procesos de toma de decisiones en ambientes de riesgo e incertidumbre, realmente muy poco trabajo se ha hecho en este sentido en el campo de ciencias de la decisin. Hace falta mucho trabajo, no solo en la propuesta de criterios sino adems en la manera como pueden ser estimados o calculados. Pereira (1995) clasifica los criterios para apoyar complejos procesos de toma de decisiones como: criterios de valor esperado, criterios de vulnerabilidad, criterios de robustez, criterios de satisfaccin y combinacin Pareto-ptimas de estos criterios. Cada criterio permite integrar en una sola funcin, valores que toman las funciones objetivo de los estados de la naturaleza considerados, es decir, permite valorar el comportamiento global de las alternativas respecto a todos los estados de la naturaleza (Smith et al., 2000).

Tal vez uno de los trabajos ms relevantes en la propuesta de criterios adecuados para soportar procesos de toma de decisiones en ambientes de riesgo e incertidumbre lo hizo Ku (1995), aunque se qued corta en llegar a propuestas de cmo se pueden calcular o estimar muchos de los criterios propuestos por ella. Los criterios ms sobresalientes propuestos por Ku (1995) para caracterizar una alternativa ante una situacin de incertidumbre son:


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Flexibilidad: Se refiere a la capacidad del proyecto de responder a cambios que no pueden predecirse.

Robustez: Es la capacidad del proyecto de soportar satisfactoriamente todos los posibles estados de la naturaleza previstos.

Vulnerabilidad: Es la capacidad del proyecto de soportar satisfactoriamente cambios que pueden predecirse.

Adaptabilidad: Se refiere a la capacidad del proyecto de responder a cambios que pueden predecirse.

Elasticidad: Es la capacidad del proyecto de retornar a su situacin normal ante cambios en las condiciones del entorno.

Liquidez: Es la facilidad de transicin desde una situacin dada en un periodo de tiempo a una situacin deseada en el prximo perodo de tiempo.

Plasticidad: Se refiere a la capacidad del proyecto de permanecer en una misma situacin sin permitir transformaciones.

Algunos criterios son muy utilizados como los que se basan en valor esperado o en vulnerabilidad, mientras que otros constituyen propuestas novedosas que describen caractersticas interesantes para los procesos de toma de decisiones. En los esquemas actuales de toma de decisiones en ambientes cada vez ms inciertos, los criterios como flexibilidad, adaptabilidad, liquidez y otros adquieren mayor relevancia y es necesario definir formas para su clculo y uso.

Uno de los problemas tpicos en la estimacin o clculo de estos criterios es que se disponga de la informacin que se requiere. Esto normalmente no es el caso y representa una gran limitante para su uso.


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2.3.3. Mtodos Multiobjetivo Estocsticos Implcitos. Simulacin de Monte Carlo

Hay muchos mtodos cuantitativos para incorporar incertidumbre en los anlisis de toma de decisiones. El mtodo ms comnmente utilizado en ingeniera es el que se conoce con el nombre de simulacin de Monte Carlo (Grayman, 2005). Este mtodo nombrado de esta manera por la capital de Mnaco donde son famosos sus casinos, usa el concepto de aleatoriedad como parte del concepto de simulacin. En general, un modelo determinstico es utilizado para representar un proceso y se aplica a muchas iteraciones con los valores de los parmetros definidos a partir de una funcin de distribucin de probabilidades para cada iteracin, en lugar de solo escoger el mejor estimado de los parmetros. Los resultados de este anlisis pueden entonces expresarse en trminos probabilsticos. La simulacin de Monte Carlo es especialmente atractiva debido a su facilidad de uso.

De acuerdo con Grayman (2005), la aplicacin adecuada de la simulacin de Monte Carlo requiere que:

Todas las fuentes de incertidumbre involucradas en el problema sean identificadas.

Las variables ms importantes que deban ser modeladas probabilsticamente sean determinadas.

Se asignen distribuciones de probabilidades a esas variables (se identifiquen y se estimen sus parmetros).

Los mtodos de Anlisis Multiobjetivo estocsticos Implcitos separan el problema de toma de decisiones de la consideracin de incertidumbre. Bsicamente ellos generan series sintticas de las variables o de los criterios inciertos con los cuales se pueden estimar varias caractersticas de los criterios (valor esperado, varianza y otros) que se agregan al conjunto de criterios con los cuales se tomar la decisin usando algn mtodo de anlisis multiobjetivo determinstico.

Para la representacin estocstica o probabilstica de las variables aleatorias se usan registros histricos de esa variable y sigue un procedimiento estndar de modelamiento para escoger, estimar y probar el modelo probabilstico


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o estocstico a ser utilizado para la generacin de series sintticas. Una de las tcnicas ms utilizadas con este propsito es la simulacin de Monte Carlo.

La simulacin de Monte Carlo es una tcnica estocstica usada para resolver problemas matemticos. Los mtodos de Monte Carlo generan valores aleatorios para crear escenarios diferentes del problema en estudio. Los mtodos de Monte Carlo comprenden una variedad de tcnicas que brindan la posibilidad de soluciones de problemas de ndole fsico o matemtico, mediante pruebas aleatorias sucesivas. Dicho de otra manera, estas tcnicas permiten encontrar la solucin de un problema numrico empleando experimentos de muestreo artificial, mediante la generacin de nmeros con una distribucin de probabilidad determinada que simula los resultados de una variable fsica. Estas tcnicas combinan conceptos estadsticos con la virtud que tienen los computadores para realizar clculos de manera rpida.

La tcnica de simulacin de Monte Carlo, en principio, genera valores aleatorios de parmetros de entrada estocsticos de acuerdo con sus respectivas caractersticas probabilsticas. Se genera un gran nmero de conjuntos de parmetros, para calcular la salida correspondiente del modelo y de esta manera poder determinar algunas caractersticas estadsticas de la salida del modelo (Yen, 2002).

La simulacin es una tcnica muy poderosa y ampliamente utilizada para analizar y estudiar sistemas complejos. Se puede definir como la tcnica que imita el funcionamiento de un sistema del mundo real cuando evoluciona en el tiempo.

Un modelo de simulacin comnmente toma la forma de un conjunto de hiptesis acerca del funcionamiento del sistema, expresado como relaciones matemticas o lgicas entre los objetos de inters del sistema. En contraste con las soluciones matemticas exactas disponibles en la mayora de los modelos analticos, el proceso de simulacin incluye la ejecucin del modelo a travs del tiempo para generar muestras representativas de las mediciones del desempeo o funcionamiento. En este aspecto, se puede considerar a la simulacin como un experimento de muestreo acerca del sistema real, cuyos resultados son puntos de muestra.

La simulacin de Monte Carlo fue creada para resolver integrales que no se pueden resolver por mtodos analticos: para resolver estas integrales se usaron


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nmeros aleatorios. Posteriormente se utiliz para cualquier esquema que emplee nmeros aleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conocidas, el cual es usado para resolver ciertos problemas estocsticos.

Por lo tanto es un proceso computacional que utiliza nmeros aleatorios para derivar una salida, por lo que en vez de tener entradas con puntos dados, se asignan distribuciones de probabilidad a alguna o todas las variables de entrada. Esto generar una distribucin de probabilidad para una salida despus de una corrida de la simulacin.

El mtodo de anlisis multiobjetivo estocstico implcito reconoce que algunos de los criterios a considerar son criterios inciertos y que sta incertidumbre se debe involucrar en el anlisis. La propuesta en este caso es modelar mediante un procedimiento de simulacin de Monte Carlo el comportamiento de los criterios inciertos ajustndole a estos criterios mediante algn procedimiento una distribucin de probabilidades. Una vez que se tienen los modelos probabilsticos seleccionados y estimados se utilizan para generar series sintticas de esos criterios, las cuales se pueden utilizar para calcular parmetros estadsticos de los criterios como media, varianza, coeficiente de variacin y otros que pueden ahora incluirse en el proceso de toma de decisiones con algn mtodo de anlisis multicriterio.

El mtodo es entonces bastante simple y se puede describir en los siguientes pasos:

1. Se identifican los criterios inciertos.

2. Se ajusta y estima una funcin de distribucin de probabilidades usando informacin histrica de los criterios o mediante algn procedimiento adecuado.

3. Usando la funcin de distribucin de probabilidades ajustada a los criterios inciertos, esta se usa ahora para generar un conjunto de series sintticas de valores de los criterios.

4. Usando las series de valores de los criterios generadas sintticamente se calculan los principales estadsticos de esas series.


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5. Se usan los estadsticos calculados del paso anterior como criterios en el proceso de toma de decisiones multicriterio usando un mtodo apropiado.

El punto crucial entonces es la definicin de la funcin de distribucin de probabilidades y cmo se usa esa distribucin para generar nmeros aleatorios que puedan usarse en el proceso de toma de decisiones siguiendo el procedimiento antes descrito.

2.3.4. Anlisis de sensibilidad

La manera ms comn de incorporar la incertidumbre es el anlisis de sensibilidad de los parmetros ms significativos. Generalmente se asume que se da un cambio en el valor de una variable y el resto sigue igual. Entonces se evalan los efectos de cada posible cambio. Por ejemplo, en un problema de inversin financiera esto sera observar como cambia la estrategia de inversin elegida ante diferentes factores que iran varindose uno a uno, como por ejemplo las tasas de intereses, o el presupuesto, entre otros. As, puede estimarse la sensibilidad de la solucin escogida con cada factor en forma individual. El principal problema de este enfoque es, que la consideracin de cambios aislados en los parmetros no es una hiptesis realista, adems de que no existe una forma clara de valorar los resultados arrojados por el anlisis y se evalan casi de forma cualitativa, ms que cuantitativa. La inclusin de varios objetivos simultneamente es an ms compleja y poco estudiada.

Desde una perspectiva tcnica, el anlisis de sensibilidad tiene como objeto examinar el efecto en los resultados, como consecuencia de cambios en los parmetros del modelo (Belton y Stewart, 2003). Tal definicin o concepcin del anlisis de sensibilidad evidencia el enfoque que tradicionalmente se le ha dado, a tal punto que la mayora de paquetes computacionales proporcionan ayudas grficas que ilustran las consecuencias de haber cambiado en determinado porcentaje el valor de uno o varios parmetros. Esto hace que el anlisis de sensibilidad se efecte de manera comn a partir de ensayo y error.

Otro aspecto evidenciado en el anlisis de sensibilidad es que prcticamente se carece de estudios que analicen las caractersticas propias de cada mtodo, quiz por la gran cantidad de ellos, o por la dificultad de hacer un


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anlisis sobre ellos, es decir, que exploten las posibilidades funcionales para identificar patrones de invariabilidad de la respuesta.

Un punto importante sobre el anlisis de sensibilidad est relacionado sobre la justificacin de la bsqueda de soluciones robustas a travs de ste. Uno de los elementos que justifican esa bsqueda est asociado con el desarrollo sostenible en donde se asume que los costos de las decisiones de hoy no deben heredarse a las generaciones futuras. Ante un problema de toma de decisin bajo mltiples objetivos, el concepto de sostenibilidad exige redefinir un marco terico diferente, incluyendo una redefinicin de las metodologas en el proceso de toma de decisiones. Esto implica redistribuir el papel de los grupos pblicos y de inters en la gestin de los recursos, seleccionar las prioridades respecto a los objetivos y manejar la incertidumbre asumiendo riesgos. Todo lo anterior es una tarea bastante compleja e incierta. Ante la imposibilidad de estar seguros de que nuestra decisin es la correcta, surge la importancia de una solucin robusta mas que la tpica solucin de compromiso. Se propone combinar los objetivos, la estructura de preferencias y el anlisis de sensibilidad de la solucin multiobjetivo para seleccionar una solucin robusta, es decir, una solucin menos sensible a cambios en los objetivos y estructura de preferencias.

El decisor, suele ser un individuo que asume la responsabilidad de identificar bajo su punto de vista, la estructura de preferencias de una sociedad a la que representa. Si elige una alternativa muy robusta, es muy probable que la mayor parte de esa sociedad se sienta satisfecha con la decisin tomada, pues cubrir un amplio rango de preferencias diversas.

En el proceso de decisin debe darse especial atencin, no slo a la forma en que se ha obtenido las preferencias, ni a los modelos tericos que se ha seguido, sino tambin a la estabilidad de los resultados a los cambios de los valores de los parmetros de preferencia que se estn usando. En estos casos, una pequea diferencia en los parmetros puede derivar en un ordenamiento inverso de las alternativas evaluadas. Normalmente, el anlisis de sensibilidad se realiza variando los parmetros y observando qu tanto cambian los resultados. El problema radica en que sta es una valoracin ms cualitativa que cuantitativa.

El anlisis de sensibilidad tradicional evala la sensibilidad de la solucin escogida a cada variable incierta individualmente, lo que puede hacerse en un tiempo proporcional al nmero de variables a ser consideradas. Sin embargo, uno


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tambin podra estar interesado en efectos de cambios de combinaciones de variables. Por ejemplo, una estrategia podra ser perfectamente robusta respecto a cada variable considerada individualmente, pero un cambio en una combinacin particular de dos o ms variables podra afectarla severamente. Pero buscar el efecto del cambio en todas las combinaciones posibles requiere un tiempo que crece en forma exponencial con el nmero de variables a ser considerados. Bsicamente lo que debe buscarse son las variables a las que la solucin es ms vulnerable. Este problema puede ser susceptible de abordar a travs de evaluaciones combinatoriales mediante Algoritmos Genticos (Goldberg, 1989), cuyas cadenas binarias corresponden a la serie de variables inciertas: 0 corresponde a no cambio y 1 a un cierto cambio (pueden usarse representaciones ms amplias). Adems de que permite un anlisis de sensibilidad mucho ms amplio que el tradicional, esto tambin podra permitir darle valoraciones especficas a las alternativas que se midieran mediante el ndice de su robustez.

Jaramillo (1999) desarroll mecanismos de valoracin mediante un ndice de robustez como la probabilidad de que un conjunto de combinaciones de pesos, elegidos aleatoriamente, conduzcan a escoger esa alternativa como mejor alternativa, y un ndice de estabilidad estimando la vulnerabilidad de la alternativa seleccionada por el mtodo en cuestin como la mejor, a continuar precediendo la clasificacin, ante cambios en la estructura de preferencias en cualquier direccin. La robustez de una alternativa tiene relacin directa con la cantidad de combinaciones posibles de los pesos que conducen a escoger esa alternativa como mejor alternativa. Los anlisis de sensibilidad buscan soluciones robustas aunque no haya una definicin clara de este trmino. La estabilidad es una caracterstica complementaria de la robustez. La estabilidad puede compararse con la situacin de un sujeto ante un abismo Qu tan cerca se encuentra del abismo?. Bajo este punto de vista, dos procesos en los que se usan diferentes combinaciones de parmetros pueden conducir a elegir la misma alternativa, pero un resultado puede ser ms estable que otro. Son escasas las situaciones en las que el decisor se encuentra absolutamente seguro de los pesos que l valor. Una alta estabilidad de la decisin tomada le indica que puede implementarla con confianza, a pesar de su vacilacin a la hora de expresar sus preferencias, ya que puede esperarse que los verdaderos pesos correspondientes a sus preferencias, imposibles de estimar en la realidad, no estn demasiado lejos de los asignados por l explcitamente (Jaramillo, 1999). Este tipo de valoracin parece prometedora pero se requiere validarla en casos de aplicacin reales, mejorar la capacidad de generalizarlo en un nmero no limitado de objetivos (en la actualidad


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se encuentra limitado a tres) y adoptarla para ms mtodos multicriterio como por ejemplo los ELECTRE.

Surge la importancia de buscar soluciones robustas a las preferencias imprecisas del decisor. Entre ms robusta la alternativa a implementar, mayor probabilidad de que estructuras de preferencias en otro tiempo, o de otros decisores, o de las generaciones futuras (desarrollo sostenible) conlleven a la seleccin de la misma alternativa elegida en la actualidad. En la literatura tcnica no se encuentra ningn elemento que ayude a cuantificar la sensibilidad de la solucin encontrada por los mtodos de anlisis multiobjetivo.

2.3.5. Escenarios

Los escenarios son una herramienta estratgica utilizada de manera sistemtica por diferentes instituciones. Los escenarios son herramientas para tratar de entender qu puede pasar en el futuro. Los escenarios son una herramienta que permite considerar las incertidumbres de largo plazo cuando se disea una estrategia o se desarrolla un plan. Los escenarios representan una serie de futuros posibles contra los cuales se pueden probar las estrategias de una organizacin, buscando, por ejemplo, estrategias robustas que se comporten adecuadamente en todos los escenarios, o estrategias adecuadas para ciertos escenarios. Los escenarios por s solos no disean estrategias o responden preguntas, pero si ayudan a responderlas considerando las incertidumbres de largo plazo representadas por los futuros posibles consignados en ellos. La construccin de los escenarios es, en general, un proceso independiente de la construccin de las estrategias de una organizacin.

Los escenarios describen el futuro como un conjunto de posibilidades que cubran conjuntamente el abanico completo de los futuros posibles. Se define un escenario como la descripcin de los cambios que se pueden producir en un cierto conjunto de variables o parmetros hasta el horizonte considerado, y que estn fuera del control de los decisores. El conjunto de escenarios debe ser amplio y coherente, englobando todos los posibles desarrollos futuros de un sistema. Aunque por otra parte, tambin es recomendable no generar un nmero elevado de los mismos, con el fin de facilitar su manejo y comprensin por parte de los decisores. En realidad, al estar interrelacionados generalmente muchos de los


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parmetros, los desarrollos hipotticos del conjunto se pueden agrupar en un nmero pequeo de escenarios coherentes.

Como se pude ver, en primera instancia se definen los escenarios y luego se usan en el contexto estratgico de la organizacin para el diseo de estrategias o la construccin de planes para la organizacin. Los escenarios, por ejemplo, usados en ese contexto, ayudan a responder preguntas como:

Que haramos si tal cosa pasara? Qu haramos si los precios del petrleo subieran? Qu haramos si el conflicto armado en Colombia se prolonga? Cul sera el impacto de ciertos desarrollos tecnolgicos? Cul debera ser nuestra respuesta?

Los escenarios presentan como ventaja adicional el que por s mismos contribuyen a que los decisores entiendan mejor el papel de las incertidumbres de largo plazo y aprendan a tomar decisiones ms informadas en este contexto incierto al revelar nuevas oportunidades y amenazas estratgicas. Su inconveniente principal es que son difciles de validar y utilizar, teniendo en cuenta que hay que evaluar en ellos las consecuencias de situaciones imaginarias a muy largo plazo.

Los escenarios son utilizados en algunas de sus formas desde principios de la dcada de los aos 60. Tal vez la empresa ms famosa por su uso y que ms ha contribuido al desarrollo de la herramienta es Shell. Los libros ms conocidos sobre escenarios han sido escritos por ex - funcionarios de Shell, y la metodologa actualmente aceptada como estndar para el diseo de escenarios ha sido propuesta por ellos. Esta herramienta le ha permitido a Shell reconocer importantes cambios en el futuro antes de que ocurrieran, tales como las crisis energticas de los aos 1973 y 1979, el crecimiento en la conservacin de energa y la cada en la demanda por petrleo, la evolucin del movimiento ambientalista, y los cambios ocurridos en Rusia. Aunque la temporalidad y la cuantificacin de estos eventos o tendencias no siempre fueron correctas, los escenarios a menudo fueron bastante claros sobre los resultados e implicaciones de esos cambios o tendencias.

Una evaluacin retrospectiva sobre el uso de escenarios en Shell concluye que los escenarios han servido fundamentalmente para cambiar como los


2-24

gerentes y administradores de la empresa ven y entienden su mundo. Fuera de lo anterior, no se ha podido demostrar con evidencias reales que el Grupo Shell, como un todo, haya cambiado su comportamiento o haya desarrollado ms capacidad de adaptacin, debido al uso de escenarios. Como mximo se estableci en el Grupo un vnculo ms bien dbil entre el conocimiento por adelantado que brindan los escenarios y las decisiones de negocios que se hicieron. Shell contina realizando sistemticamente ejercicios de escenarios, tiene un equipo de trabajo altamente capacitado dedicado de manera exclusiva a este trabajo, y cada ejercicio de escenarios le toma alrededor de dos aos para su realizacin.

En Colombia hay pocas experiencias sobre el diseo de escenarios y su uso como herramienta estratgica. En 1998 se realiz en el pas el ejercicio de escenarios conocido como Destino Colombia, el cual lleg a proponer cuatro escenarios futuros para el pas. Este ejercicio pretenda un uso de los escenarios distinto al ejercicio de escenarios energticos para Colombia. En Destino Colombia se presentan los posibles futuros en los que se puede encaminar el pas y se muestra que hay claramente uno de ellos que es el ms conveniente para el pas. Se trata entonces de usar estos resultados como herramienta en foros de discusin para lograr que se hagan los esfuerzos que se requieren para que el pas efectivamente se encamine por ese futuro ms adecuado. La Unidad de Planeacin Minero Energtica - UPME (2002), realiz el trabajo llamado "Futuros para una energa sostenible en Colombia" el cual fue un ejercicio de escenarios orientado a definir unos escenarios energticos de desarrollo para el pas con un horizonte hasta el ao 2020. Este trabajo buscaba indicar las incertidumbres de largo plazo en este sector de tal manera que pudieran ser tenidas en cuenta en el diseo de las estrategias de desarrollo del mismo.

Captulo 3 PROTRADE PROBABILISTIC TRADEOFF DEVELOPMENT

3-1

Captulo 3

MTODOS MULTIOBJETIVO ESTOCSTICOS EXPLCITOS. PROTRADE PROBABILISTIC

TRADEOFF DEVELOPMENT

3.1. INTRODUCCIN

De la revisin de literatura realizada en el Captulo 2 sobre programacin estocstica multiobjetivo, la gran abrumadora mayora de los esfuerzos para la solucin de problemas de programacin estocstica con mltiples funciones objetivos estn orientados a obtener determinsticos equivalentes del problema y luego solucionarlo mediante el uso de un mtodo tradicional de anlisis multiobjetivo.

En este captulo se presentan inicialmente algunas generalidades sobre la programacin multiobjetivo estocstica y luego se muestra de manera detallada el mtodo PROTRADE desarrollado por Goicochea y otros (1982), que es un procedimiento para la solucin de problemas de programacin estocstica explcita de mltiples objetivos y que adems ser la metodologa a implementar en el caso de estudio del Captulo 4.

3.2. PROGRAMACIN MULTIOBJETIVO ESTOCSTICA

Cuando se tiene un problema de optimizacin con mltiples objetivos, es posible que algunos de sus parmetros sean variables estocsticas. Por ejemplo, si se tiene el siguiente problema con p objetivos estocsticos:

Maximizar z(x) = [z1(x),z2(x),...., zp(x)]


3-2

Sujeto a las restricciones gl(x) bl , i=1,...m (que constituyen el espacio factible S).

Donde cada objetivo es una funcin lineal o no lineal zi(x), i =1,....,p, cuyos parmetros pueden ser variables aleatorias que siguen alguna funcin de probabilidad conocida y E[z(x) ] = [E[z1(x)], E[z2(x)],...., E[zp(x)]].

Para cada solucin x* factible al problema, cada objetivo i toma valores aleatorios zi(x*), que siguen una funcin de distribucin de probabilidad. Por ejemplo, si se contar con solo dos objetivos, la solucin x* podra dar como resultado las siguientes funciones de distribucin acumulada para los objetivos:

Figura 3.1. Funciones de distribucin de probabilidades para dos objetivos

La solucin x* tambin podra representarse por un conjunto de vectores del tipo [zi(x*),Gi(x*),(1-i)*] para diferentes valores de i, donde zi(x*) es el valor del objetivo i en las unidades originales, tal que P(Zi Zi (x*))= (1-i)*; es decir (1-i)* es la probabilidad de alcanzar al menos Zi(x*); Gi(x*) es el valor normalizado de Zi(x*), as:

3.1 min

imax

i

imax

ii ZZ

*)(ZZ*)(G

=

xx (3.1)

Donde Zimax y Zimin son valores mximos y mnimos de referencia para cada objetivo i. La normalizacin de los valores de los objetivos es necesaria con fin de

Z1

1

0.50

Z1(x*)

F

Z2

1

0.50

Z2(x*)

F


3-3

compararlos entre s, ya que, usualmente los objetivos se representan en diferentes unidades.

3.2.1. Comparacin entre valores de los objetivos para una solucin factible

Dada una solucin factible x*, es de esperarse que las funciones de probabilidad acumulada de algunos objetivos tengan atributos ms convenientes que para otros, e incluso, es posible que esas conveniencias slo se cumplan para algunos valores de , mientras que para otros valores de no. Lo anterior se representa en la Figura 3.2. En esta figura la funcin de los valores G1 se representa en negro y la de G2 en azul. El objetivo 1 es ms conveniente que el 2 en el rango (0, 1) y el objetivo 2 lo es en el rango (1,1).

G

1

1

G1(x*)

F

G2(x*)

Figura 3.2.Funciones de probabilidad acumulada para dos objetivos normalizados G1(x*) y G2(x*)

3.2.2. Comparacin de soluciones considerando un solo objetivo

Cuando se considera un solo objetivo, la solucin x* puede valorarse segn algunos atributos de su desempeo respecto a Z, as:

Valor esperado: Si la funcin objetivo se desea maximizar, entre mayor valor esperado de z(x*) mejor es x*.


3-4

Beneficios

Pr

oba

bilid

ad

%

Frecuencias Acumuladas

Alternativa 1

Alternativa 2

Desviacin estndar: Entre menor desviacin estndar de z(x*) mejor es x*.

Combinando los dos anteriores: Entre mayor (valor esperado/ desviacin) mejor es x*.

Dominancia estocstica de primer grado: Cuando se comparan las curvas de frecuencias acumuladas de dos alternativas x* y x, la mejor solucin es aquella cuya funcin es totalmente inferior a la otra y se dice que domina a esta ltima.

Dominancia estocstica de segundo grado: Cuando se comparan las curvas de frecuencias acumuladas de dos alternativas y una domina en un rango de valores de los beneficios y la otra alternativa domina en otro rango (Ver Figura 3.3), la mejor alternativa es la que domina en un tramo ms largo de la curva.

Figura 3.3. Dominancia estocstica de segundo orden

MaxiMin. Entre mayor logro Z,tal que P(Z


3-5

Alternativa 2

Alternativa 1

Beneficios

1

F

P1()

P2()

Figura 3.4. Criterio de -Robustez

-Beneficios: Para un dado por el decisor, entre mayor valor Z(x*), tal que P(Z Z(x*)) = (1-) mejor es x*.

Beneficios

1

F

Z2(x*) Z1(x*)

Figura 3.5. Criterio de - Beneficios

Otros criterios bajo incertidumbre de inters son el arrepentimiento, mximo arrepentimiento y satisfaccin.

Los anteriores criterios permiten comparar diferentes soluciones considerando un solo objetivo. Tericamente, la solucin con mayor valor


3-6

esperado, menor desviacin estndar, mayor dominancia estocstica, etc. es la mejor. Suele suceder que la solucin con mayor valor esperado, no es la de menor desviacin, o la de mayor dominancia estocstica, por lo que desde este punto de vista un problema con un objetivo bajo incertidumbre puede verse como un problema multicriterio donde los criterios son los criterios de incertidumbre elegidos por el decisor para valorar las soluciones.

3.2.3. Soluciones -ptimo-Paretianas

En un problema multiobjetivo determinstico, las mejores soluciones son las soluciones ptimo-Paretianas o no dominadas, localizadas en la llamada Frontera de Pareto. Una solucin ptimo-paretiana x0 es aquella solucin factible para la cual no existe ninguna solucin x1 factible, que la supere (o sea igual) en todos los objetivos. El conjunto de soluciones no dominadas u ptimo-pareatianas puede definirse, para el caso en que todos los objetivos se estn maximizando, como el conjunto S dado por S = { x: xX, no existe otra solucin x X, tal que Zi(x)>Zi(x) para algn i {1,2,,p} y Zk(x) Zk(x) para todo k i, en donde X es el espacio de soluciones posibles} (Goicochea y otros, 1982). En trminos de objetivos, si x es una solucin ptimo-paretiana, significa que, en el conjunto factible, no se puede mejorar estrictamente un objetivo, salvo si se acepta que disminuya al menos en otro.

En un problema multiobjetivo estocstico, la definicin de solucin optimo-paretiana es mucho ms compleja, porque una solucin x no tiene un nico desempeo respecto a un objetivo i. Para un vector particular = (1, 2,..., p), (tal que para cada objetivo i, P(Zi Zi (x)) = (1-i), una alternativa puede dominar a otras, pero no necesariamente las domina para otro conjunto de valores . Por lo tanto la definicin de soluciones ptimo-paretianas se extiende al concepto de soluciones -ptimo-paretianas. Una solucin -ptimo-paretiana x0 (factible) es aquella para la cual, dado un vector = (1, 2,..., p), no existe ninguna solucin x1 (factible), que la supere (o sea igual) en los valores Zi de todos los objetivos, siendo P(Zi Zi (x))= (1-i)). El conjunto de soluciones -ptimo-pareatianas puede definirse, para el caso en que todos los objetivos se estn maximizando, como el conjunto S dado por S = { x: x X, no existe otra solucin x X, tal que Zi(x)>Zi(x) para algn i {1,2,,p} y Zk(x) Zk(x) para todo k i, en donde X el espacio de soluciones posibles, y P(Zi Zi(x))= (1-i)}. En trminos de


3-7

objetivos, si x es una solucin -ptimo-paretiana, significa que, en el conjunto factible, no se puede mejorar estrictamente el logro en un objetivo, salvo si se acepta que disminuya al menos el logro de otro objetivo o se aumente el riesgo asumido, reflejado en , en ese mismo objetivo o en otro objetivo.

No existe entonces, una nica frontera de Pareto, sino que para cada posible vector las mejores soluciones son las soluciones -ptimo-paretianas. La solucin a elegir puede ser entonces cualquier solucin -ptimo-paretiana, donde el vector , elegido por el decisor, es definido a partir de su actitud hacia el riesgo. Son entonces las valoraciones subjetivas que permiten esa eleccin, las preferencias relativas entre objetivos, y el riesgo que el decisor est dispuesto a asumir. Esta estructura de preferencias suele ser imposible de definir al principio del proceso, sin un aprendizaje previo, un conocimiento de las posibilidades e intercambios posibles entre objetivos del problema.

3.2.4. Relacin entre soluciones -ptimo-Paretianas

En un problema multiobjetivo determinstico, dada una solucin actual ptimo-paretiana x0, si a partir de esta, deseo encontrar otra solucin ptimo- paretiana x1 mejor respecto al objetivo k, tiene que ser a expensas de disminuir los logros por lo menos en otro objetivo i k. En la Figura 3.6 se presenta este intercambio.

Figura 3.6. Relaciones entre soluciones ptimo-paretianas

Zmax Z1(x)

Z2(x)

Zj-1

+ Zj


3-8

1

Z21

F2

Z2(v.a) Z21

2

Z22

y son 1- pareto

y son 2- pareto

Z11 Z11 Z1(v.a)

1

2

Z12

F1

Z1

Z2

1

2

3

1> 2 1-1 < 1- 2

A mayor mayores valores de Z pero ms riesgo

Curvas -Pareto

En el problema MO estocstico, dada una solucin actual 0-ptimo-paretiana x0 a la que estn asociadas funciones de probabilidad acumulada F0 = (F10, F20,..., Fp0) para los diferentes objetivos, si deseo encontrar otra alternativa 0-ptimo-paretiana x1 que le supere en logro de un objetivo i, tiene que ser a expensas de desmejorar en otro objetivo i k el valor de Zi, tal que P(Zi Zi(x1)) (1- 0i).

Pero en un problema MO estocstico, a partir de una solucin 0-ptimo-paretiana, tambin se puede obtener una sol

riesgo e incertidumbre en problemas con multiples objetivos (1)

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