resumen sistemas newtonianos

7/24/2019 Resumen Sistemas Newtonianos

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Sistemas Newtonianos

Unidad 1

Mtodos Numricos

Permite resolver, analizar y graficar diversos modelos fsicos que muchas veces no tienen resolucin analtica

simple, clculos complejos.

Discretizacin temporal:se aprovecha la propiedad de que muchas de las magnitudes fsicas son funciones

continuas del tiempo, por ejemplo, la posicin. Luego:

Si se quiere representar una funcin en el intervalo , se discretiza el tiempo usando un espaciado

pequeo Luego

Luego en vez de buscar los infinitos valores reales que existen en un intervalo, se buscan los valores de

Derivadas discretas:Se tiene que Luego para

Se puede demostrar que la derivada centrada es ms precisa que las que la anteceden.

Mtodo de Verlet:

a partir de los dos primeros valores de la posicin (alternativamente, a partir

de ) se puede obtener la posicin en cualquier instante

Interseccin con algn valor:

se busca el intervalo en el que la funcin pasa de estar sobre el valor deseado,

para estar bajo tal valor (o viceversa). Luego:


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Unidad 2

Mtodos Experimentales

La fsica se basa en el mtodo cientfico: observaciones de un fenmeno natural, etapa de razonamiento (se

postulan hiptesis), experimentos para verificar predicciones. Luego es lgica la importancia de las correctas

mediciones de ciertas cantidades fsicas importantes en los sistemas newtonianos (fuerza, posicin, tiempo).

Sensor de fuerzas Strain gage):

posee una pequea lmina metlica que se deforma al aplicar una fuerza

(cambia de espesor), y con ello vara la resistencia. El sensor entrega un voltaje proporcional al cambio de

resistencia, espesor y, con ello, a la fuerza aplicada. La salida de voltaje vara entre 0V y 5V y, dependiendo de

las fuerzas que se quiera medir, existen dos rangos de medicin: La frmula de transformacin

es la siguiente:

Tratamiento estadstico:

en general, si se toma un buen nmero de medidas, los valores suelen tener una

forma analtica precisa formando una distribucin Gaussiana (normal). La que se representa por:

A mayor cantidad de datos, mejor estimacin. En una distribucin Gaussiana se tiene:

Errores de medicin:

Sistemticos: imperfeccin en el proceso de medicin. Se dice que los errores van en una direccin. Se

minimizan con un anlisis cuidadoso del sistema y mtodos alternativos de medicin.

Aleatorios: fortuitos, intrnsecos al sistema. Se minimizan tomando muchas mediciones. Van en ambas

direccin y tienden a compensarse.


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Tratamiento de errores:

Error absoluto: valor de la desviacin estndar.

Error relativo: cuociente entre el error absoluto y el valor medio.

Sean dos cantidades representadas por Luego;

Tarjeta de adquisicin de datos:

Velocidad mxima:10.000 datos/segundo.

Hay ocho vas de seal anloga, se pueden usar de dos modos:

Simple: voltaje respecto a una referencia comn, se pueden usar ocho independiente.

Diferencial: se mide diferencia de voltaje entre canales vecinos, se pueden usar cuatro pares independientes.

Resolucin:12 bits.

Rango de entrada: entre

Rango de


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Unidad 3

Sistemas extendidos

La mecnica newtoniana de sistemas compuestos se basa en cuatro principios:

1. Si un cuerpo en reposo no interacta con el entorno, seguir en reposo.

2. El cambio de momentum es proporcional a la fuerza aplicada y la duracin de la aplicacin.

3. Ley de accin y reaccin.

4. Principio de Superposicin: fuerzas aditivas en sentido vectorial.

Los criterios para definir un sistema obedecen a la simplicidad para responder ciertas preguntas.

Tipos de sistemas:

1. Disgregados.

2. Lquidos (gran cohesin, gran movimiento molecular).

3. Elsticos (molculas vecinas se mantienen en contacto, mas sus distancias varan).

4. Slidos indeformables.

Masa y centro de masa: la masa es una cantidad aditiva, imaginamos un cuerpo dividido en n celdas de

determinada masa. Luego Si el sistema se distribuye de tal modo que la celda est en la posicin

Energa potencial gravitacional de un cuerpo: la energa potencial gravitacional de un cuerpo se puede

obtener a partir de la altura del centro de masa.

Centro de masa de centros de masas: si se tiene el centro de masa de un sistema A y de un sistema B. El

centro de masa del sistema total viene dado por:

Momentum de un sistema extendido:

El movimiento del centro de masa est determinado exclusivamente por las fuerzas externas. Adems

Donde es la aceleracin del centro de masa.

Energa cintica por rotacin en torno a ejes fijos: consideramos un slido rotando con velocidad angular

en torno a un eje fijo. Luego: I

Donde I representa el momento angular (grado de porfa de los slidos ante variaciones de su movimiento

angular). Se tiene que:


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Unidad 4A

Esttica

Conocimiento emprico, posee dos restricciones fundamentales:

1. Para que el centro de masa no se mueva (o permanezca con velocidad constante) la suma de las fuerzas

externas debe ser nula.

2. Para que un objeto no rote se exige que el torque neto sea nulo.

Torque:fuerza de palanca asociado a una fuerza. Se define el torque de una fuerza aplicada en un punto P

(donde representa el vector que une el eje de rotacin con P) como = , luego = . Los

torques que inducen giros en el sentido anti-horario se consideran positivos, y los que inducen giros en el

sentido horario se consideran negativos.

Torque debido a la gravedad:

Para que un sistema est en equilibrio esttico, se requiere:

1.

2.

Unidad 4B

Energa cintica de rotacin

Conservacin de la energa para una partcula:

Para el caso en el que el trabajo slo depende de la posicin inicial y final (fuerzas conservativas, la trayectoria

no es relevante). Se tiene:

Para el caso general (actan fuerzas no conservativas):

Las fuerzas internas no realizan trabajo.

Si se cambia el sistema de referencias de un cuerpo rgido, la posicin del centro de masa vara con respecto

al origen, no as con respecto al cuerpo mismo.

Teorema de Steiner o de los ejes paralelos: si se conoce el momento de inercia con respecto a

determinado eje, este teorema permite calcular el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo al

inicial. Si M es la masa del cuerpo y R el desplazamiento del eje, se tiene:


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Unidad 4C - Torque y momento angular

Momento angular de un slido rgido: si se tiene un sistema de partculas de masas , posiciones y

velocidades El momento angular del sistema corresponde a la suma de los momentos angulares de cada

una de las partculas.

Se tiene un slido rgido que gira en torno a un punto fijo O y se descompone el slido en N partculas

individuales y luego se hace tender N hacia infinito. Si la distancia de cada partcula al punto fijo es constante

, la velocidad angular , se tiene que la rapidez de cada punto viene dada por . Luego:

Ecuacin de torque para un slido rgido:

Las fuerzas internas de un sistema no ejercen torque sobre s mismo.

Unidad 4D

Movimiento de rodadura

Los movimientos de rodadura sin resbalamiento implican que los puntos que se encuentran en contacto de la

rueda y el plano estn en reposo instantneo.

Matemticamente se tiene que

Rotaciones en torno a un eje fijo: la ecuacin de torque puede aplicarse con respecto a cualquier eje de rotacin,

para rodaduras puede ser razonable utilizarla con respecto al punto de contacto rueda-plano. Luego:

Consideraciones geomtricas y ecuaciones cinemticas:

Energa en rodadura perfecta:se la rueda evoluciona desde una configuracin A hasta una configuracin B.

En general se trabaja con fuerzas conservativas, para tales casos se igualan las energas cinticas y

gravitatorias. Pero, a diferencia de las situaciones tradicionales, se utiliza en lugar de


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Unidad 5A

Oscilaciones

Movimiento circunferencial uniforme: se caracteriza por tener un radio R constante y rapidez uniforme. Es

natural emplear coordenadas polares para definir la posicin, la cual queda completamente definida por

Por otro lado, como la tasa de cambio del ngulo es constante, se tiene:

Donde R representa la amplitud del movimiento, se denomina fase y el ngulo inicial lo llamaremos

constante de fase. El movimiento es peridico con

Para este caso representa la velocidad angular, donde .

Movimiento armnico simple: corresponden a movimientos que estn definidos por la ecuacin:

(movimiento elstico definido por la Ley de Hooke , por ejemplo) Si definimos esa constante como

, se tiene que las soluciones de la ecuacin de movimiento de ese sistema son:

De donde definimos:

Ejemplos de movimiento armnico simple M.A.S.):

Resorte ideal: se tiene un resorte ideal de constante elstica k, atado a una masa m (Origen del sistema

situado en el punto de equilibrio del resorte en cuestin):

Luego es independiente de las condiciones iniciales, luego el periodo de cualquier oscilacin de una

determinada masa en este resorte ser el mismo.

Pndulo simple: cuerpo puntual de masa colgando de un hilo ideal indeformable sin masa, formando un

ngulo con la vertical. Luego:

Entonces para ngulos pequeos podemos asumir un movimiento armnico simple:

Pndulo fsico: pndulo real que no puede ser aproximado como una masa puntual. Posee una masa M y una

distancia d entre el eje de rotacin y el centro de gravedad, I es el momento de inercia con respecto al punto

de apoyo. Luego la ecuacin diferencial queda definida por: Finalmente:


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Unidad 5B - Amortiguamiento

En general, se puede representar la fuerza que ejerce un fluido sobre un objeto en movimiento como

Esta funcin depende del rgimen de velocidades, densidad del fluido, propiedades

termodinmicas, geometra del cuerpo. Existen dos situaciones en los que la funcin toma valores bastante

particulares:

1. Movimientos lentos, fuerzas viscosas:

2. Movimientos rpidos, fuerzas turbulentas:

Frenado de una esfera sin gravedad): consideramos una esfera de masa m rodeada de aire, en ausencia de

gravedad donde suponemos una fuerza de amortiguamiento del tipo viscoso, con En t=0, su

velocidad es . Luego se tiene que:

Las soluciones de la ecuacin diferencial son:

Luego si t tiende a infinito, la esfera no avanzar ms de .Cada vertical por gravedad donde acta roce viscoso:

Fuerzas de arrastre:

Fuerza de Stokes: se considera una esfera inmersa en un fluido viscoso que fluye lentamente, la fuerza que

ejerce el fluido sobre la esfera queda definida por:

Fuerza de Rayleigh:

Cada vertical por gravedad donde acta roce turbulento:

Se considera un roce turbulento definido por y el objeto que cae de masa m.

Oscilaciones amortiguadas roce viscoso):

movimientos oscilatorios definidos por ecuaciones del tipoLas soluciones de esa ecuacin diferencial son:

Para el caso particular de un resorte de constante elstica k atado a una masa m, en presencia de roce viscoso

Se tiene: y .

Corresponden a movimientos oscilatorios en los que la amplitud va decreciendo continuamente hasta

estabilizarse en el punto de equilibrio.


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Pndulo formado por un globo roce viscoso): se considera un globo de masa m atado a una cuerda ideal

de longitud L formando un ngulo con la vertical, el roce viscoso es de la forma , se puede suponer

que corresponde a una oscilacin amortiguada para ngulos pequeos. Las ecuaciones son las siguientes:

Luego, la posicin queda definida por:

Unidad 5C

Oscilaciones forzadas

Corresponde a un sistema oscilatorio que posee forzaje con una dependencia explcita en el tiempo, si este

forzaje tiene una frecuencia particular el movimiento oscilatorio ser amplificado. Tal frecuencia es

denominada frecuencia natural de vibracin o frecuencia de resonancia

Anlisis matemtico: se considera un sistema oscilante con roce viscoso de la forma , con una

fuerza de forzaje . Luego la ecuacin de fuerzas es la siguiente:

Cuya solucin es la siguiente:

El primer trmino corresponde a un transiente, luego de un tiempo decae a cero y el movimiento slo depende

del segundo trmino. Luego es la diferencia de fase entre la solucin estacionaria y el forzaje. Para ciertos

valores de se producen los valores mximos en estas ecuaciones y la amplitud aumenta considerablemente.


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Unidad 6A

Ondas mecnicas: modos propagativos

Se manifiestan sobre cuerpos continuos que pueden ser deformados punto a punto, existen varias

manifestaciones de este tipo de ondas.

Oscilacin colectiva: todo el cuerpo oscila colectivamente con amplitud dependiente de la posicin.

Propagacin de pulsos: perturbacin localizada que se propaga casi sin deformacin.

Arreglo de varillas:se considera un sistema compuesto de un hilo que posee una gran cantidad de varillas

soldadas transversalmente por el centro de estas ltimas, la masa de cada varilla es m, el largo L y el

momento de inercia I. Ahora bien, si se gira una varilla ejercer un torque sobre las varillas vecinas, se puede

probar que el torque sobre la varilla viene dado por Donde es una constante que

depende de las propiedades del hilo y corresponde al ngulo que forma la varilla con respecto a la

posicin de equilibrio. Luego:

Se realiza el paso inverso de la discretizacin donde es la distancia entre varillas. Luego:

Cuerda: se considera una cuerda de masa m y largo L sometida a una tensin T. La cuerda es levemente

extensible y puede deformarse verticalmente. De manera anloga

al caso, si definimos la deformacin vertical de la cuerda en el punto x en el instante t, obtenemos:

Soluciones de DAlembert

se tiene que las siguientes ecuaciones son solucin de la ecuacin de ondas:


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Unidad 6B

Ondas estacionarias

Todos los medios poseen algn grado de flexibilidad en cuanto pueden experimentar pequeas

deformaciones longitudinales (a lo largo del cuerpo) o transversales (normales al cuerpo).

Ondas armnicas: se considera una cuerda que en t=0 se ha deformado en forma sinusoidal tal que

Los nodos corresponden a los puntos tales que Adems representa la

longitud de onda. Para t>0 se tiene (caso general):

Ondas largas: nmero de onda pequeo, periodo largo y baja frecuencia.

Ondas cortas: nmero de onda grande, perodo corto y alta frecuencia.

Ondas en cuerdas con un borde en x=0 y extremo fijo: se considera un pulso u onda que se acerca

desde la izquierda hacia un punto de empotramiento y en t=0 alcanza el punto x=0. Luego

La perturbacin se refleja en x=0 invirtiendo su forma y manteniendo todos los

dems parmetros. Entonces la ecuacin para cualquier t es la siguiente: .

Ondas en cuerdas con un borde en x=0 y extremo mvil: nuevamente la perturbacin viajera se refleja

en x=0, pero esta vez retrocede manteniendo su forma completamente. Se puede demostrar que

Ondas estacionarias: corresponden a ondas que se generan en cuerdas finitas empotradas en uno de sus

extremos. Son de laforma:

Donde la amplitud de la onda estacionaria en los antinodos es el doble de la original.

El nmero de onda, la longitud de onda, la frecuencia angular y el perodo se mantienen invariantes con

respecto a las ondas originales.

Modos normales en una cuerda finita cuerda de largo L):

Ambos extremos fijos:

Un extremo fijo y uno libre:

Ambos extremos libres:


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Unidad 7A

Presin colisional

Cuando una partcula con cierto momentum rebota en una superficie, esta experimenta un cambio de

momentum. Si se tiene una lluvia de partculas que inciden con un ngulo respecto a la vertical sobre una

superficie plana, la fuerza colisional queda definida por:

Presin colisional:

Fuerza colisional de un chorro de partculas que cae por gravedad:

Sea h la altura desde la cual se deja caer el chorro de partculas, por conservacin de la energa se tiene que

Luego .

Fuerza media: se considera una fuerza variable en el tiempo, se discretiza el intervalo de accin de la fuerza

y se obtienen N valores de la fuerza en instantes uniformemente espaciados. Definimos la fuerza media por:

Impulso: se define como:

Rebotes en una placa inclinada: se considera el sistema de la imagen:

Si el chorro de partculas es lanzado desde una altura h. Se tiene:


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Unidad 7B

Hidrosttica y Principio de Arqumedes

El anlisis mecnico de los fluidos se puede dividir en:

Hidrosttica: esttica de fluidos.

Dinmica de fluidos: estudio de cmo las fuerzas actan sobre un fluido en movimiento.

El hecho de que un fluido est en reposo implica que al considerar cualquier volumen pequeo del mismo, el

promedio de las velocidades de todos los constituyentes elementales es nulo, No quiere decir que las

partculas estn quietas.

Presin: la fuerza que ejerce un fluido sobre la pared del recipiente que la contiene, dividido por el rea de

esta, es una cantidad fsica llamada presin, es escalar y en un fluido homogneo es constante independiente

del espacio. La presencia de esta implica que los elementos constituyentes del fluido no se encuentran en

reposo y poseen una rapidez caracterstica que se relaciona con la temperatura ( ).

Dependencia de P con la profundidad de un fluido: se considera un fluido dentro de un recipiente, sea A

un punto ubicado a una profundidad d dentro del fluido, sea B un punto ubicado a una profundidad (d+h)

dentro del fluido. Adems sea la densidad del fluido. Luego se tiene que:

Ley de Pascal: un cambio de presin aplicado a un fluido es transmitido a cada punto del fluido y a las

paredes del contenedor. Se aplica en las gatas hidrulicas, donde se emplea la relacin

Principio de Arqumedes: un objeto sumergido en un lquido siente una fuerza de empuje igual al peso del

fluido desplazado por el objeto que tiende a reducir el peso aparente.

Luego la ecuacin de movimiento queda definida por:

Para el caso en que el objeto est sumergido parcialmente se tiene la relacin:


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Problemas:

Inicialmente el cono

est en reposo, luego igualamos el peso y el empuje.

Cuando se agrega la arena, nuevamente se tiene un sistema en equilibrio, pero el volumen desplazado es

mayor, igualamos nuevamente el peso y el empuje.

Luego la variacin de la masa es

Finalmente

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