LICEO NAVAL C. DE C. MANUEL CLAVERO Trigonometria 4º

RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTANGULOS Si en un triángulo rectángulo se conoce un lado y uno de los ángulos agudos, se podrá calcular los lados restantes, del modo siguiente: Se divide el lado que se quiere calcular (incógnita) entre el lado que se conoce (dato), determinando así una razón trigonométrica del ángulo dado, despejando de esta igualdad el lado que se quiere calcular. 1er CASO : (Conocido un ángulo agudo y la hipotenusa)

θ= Senhx

⇒ x = hSenθ

θ= Coshy

⇒ y = hCosθ

2do CASO : (Conocido un ángulo agudo y su cateto adyacente)

θ= Tgax

⇒ x = aTgθ

θ= Secay

⇒ y = aSecθ

3er CASO : (Conocido un ángulo agudo y su cateto opuesto)

θ= Ctgax

⇒ x = aCtgθ

θ= Cscay

⇒ y = aCscθ

AREAS DE REGIONES TRIANGULARES PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:

PARA TODO TRIÁNGULO:

PRACTICA DIRIGIDA 01. Hallar “x”

A) aCosαTgθ B) aCosαCtgθ C) aSenαTgθ D) aSenαCtgθ E) aCscαTgθ 02. Expresar el área de un triángulo en función de

su hipotenusa “a” y uno de sus ángulos agudos ”θ”

A) a2SenθCosθ/2 B) a2SenθTgθ/4 C) a2Sen2θ/2 D) a2TgθCscθ E) a2Cos2θCtgθ/4 03. En un triángulo rectángulo la altura relativa a

la hipotenusa es “h” y uno de los ángulos agudos es “θ” expresar la hipotenusa en términos de h y θ

A) h(Senθ+Cosθ) B) h(Secθ+Cscθ) C) h(Tgθ+Ctgθ) D) hSenθ.Cosθ E) 2hTgθ 04. En un triángulo rectángulo de hipotenusa “2a”

el ángulos formado por la altura y mediana relativa a la hipotenusa es “θ”, la altura viene dada por A) aTgθ B) aCosθ C) aSenθ D) aCtgθ E) aCscθ

05. Calcular “x”

h x

y θ

a

x y

θ

a

x

y

θ

θ

c b

a

S

2ab

S =

θθ= Cos.Sen2

cS

2

θ= Sen2

abS a

b

θ

S

a

x α

θ

α θ x

a

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A) aCscθSenα B) aSenθCscθ C) a/2CscθSenα D) a/2SenθCscα E) 2aSenθSenα 06. En un triángulo ABC recto en B, la mediana

CM y el cateto BA forman un ángulo “θ” entonces Tgθ es:

A) 2TgA B) 2CtgA C) 2TgC D) TgA+TgC E) 2(TgC+CtgA) 07. De la figura, calcular: “Ctgθ - Tgθ”

A) 1/2 B) 1 C) 3/2 D) 2/3 E) 0

08. Hallar “x”

A) aTgαTgθ B) aCtgαCtgθ C) aTgαCtgθ D) aCtgαTgθ E) aTgαSecθ

09. Calcular el área de la región triangular A) abSenθ B) 2abSenθ C) abCosθ

D) θCos2

ab E) θSen

2ab

10. Calcular “a/b” en función de “x”

A) Sen2x B) 2Senx C) Sen3x D) 2Cos2x E) Tg2x 11. Las bases de un trapecio isósceles son B y b

si los lados no paralelos forman con la base mayor un ángulo “θ”. Hallar el área del trapecio

A) θ

+Tg

2hB

B) θ

+Cos

2bB 22

C) θSen2

Bb D) θ

+

Tg4

bB 22

E) N.A.

12. Calcular “x” en función de α, β y a A) a(Ctgα-Tgβ) B) a(Ctgβ-Tgα) C) a(Tgα-Tgβ) D) a(Tgβ-Tgα) E) a(Ctgβ-Ctgα) 13. Del gráfico calcular: “Tgα” A) Tgθ+1 B) Tgθ-1 C) Ctgθ+1 D) Ctgθ-1 E) Tgθ+Ctgθ 14. Calcular el perímetro del triángulo rectángulo,

sabiendo que uno de sus ángulos agudos es “θ” y de cateto adyacente “a”

A) a(Senθ+Cosθ+1) B) a(Secθ+Tgθ+1) C) a(Cscθ+Ctgθ+1) D) a(Secθ+Tgθ) E) a(Cscθ+Ctgθ) 15. Hallar “x”

A) mSenαSenβ B) mSenαCosβ C) mCosαCosβ D) mCosαSenβ E) mTgαCtgβ

16. De la figura, hallar “x”

θ

θ

a x

θ

α

b

a

θ

x

x

b

a

α

β x

a

θ

α

β

α

x

m

x

n

n

α β

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A) n(Ctgα+Ctgβ) B) n(Ctgα+Ctgβ+1) C) n(Tgα+Tgβ+1) D) n(Ctgα+Tgβ) E) n(Tgα+Ctgβ) 17. Hallar “x” en: A) aTgθCosα B) aTgαCosθ C) aCtgαSecθ D) aTgαSecθ E) aTgθSecα 18. Hallar “x”

A) mCosθSenθ B) mCosθSen2θ C) mCosθ D) mCos3θ E) mCos2θSenθ

19. Hallar “x”

A) RTgθ B) R(Ctgθ+1) C) RCtgθ D) R(Tgθ+1) E) R(Senθ+1)

20. Hallar “x”

A) aSenθ+bCosθ B) aCosθ+bSenθ C) aSenθ-bCosθ D) aCosθ-bSenθ E) a(Cosθ-Senθ)

21. En un triángulo ABC (acutángulo), se traza la

altura BH y la mediana AM , las cuales se

intersectan en un punto “P” si: nBP = y

∢CAM = θ. Hallar AC.

A) nCscθ B) nCtgθ C) nTgθ

D) 2nSecθ E) N.A.

22. De la figura, hallar “x” en términos de a, β y θ A) 2aSenβCosθ B) 2aTgβCosθ C) 2aSenβSecθ D) 2aTgβSecθ E) 2aCtgβSecθ 23. Hallar “x”

A) ba

ab+

B) ba3ab

+ C)

baba

−+

D) 2

ba + E) 3

2ba

+

24. Hallar “Tgθ”

A) bCosxaSenx

b+

B) bSenxa

bCosx+

C) bCosxa

bSenx+

D) bCosxa

aSenx+

E) bCosxaSenx + 25. Hallar “x” en términos de “α” y “θ” A) aTgθSen2θ B) aTgθSec2θ C) aSenθCos2θ D) aSenθSen2θ E) aCosθSec2θ

a

x

θ α

2θ x

R

θ x

m

a

b

x

θ

a

x

θ

β

30° 30° b a

x

x

θ

a

b

a

x θ

θ

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26. Del gráfico, hallar : AC

A) mSenx + nSeny B) mCosx + nSeny C) nSenx + mCosy D) mCosx + nCosy E) mSeny + nCosx

27. Del gráfico, hallar “Tgx” en función de θ. Si ABCD es un cuadrado

A) Tgθ - 1 B) Tgθ + 1 C) Ctgθ - 1 D) Ctgθ + 1 E) 1 – Tgθ

28. Del gráfico determine AE en función de m, α.

A) mSenα B) mCosα C) m(Senα + Cosα) D) m(Tgα + Ctgα) E) m(Senα - Cosα)

29. Del gráfico mostrado, calcular : E = θα

TgTg

A) 1 B) 6 C) 1/6 D) 3 E) 1/3

30. Del gráfico, hallar CD en función de m y θ

A) m(Cosθ + Senθ) B) m(Cosθ - Senθ) C) m(Senθ - Cosθ) D) m(Cosθ + 2Senθ) E) mSenθ.Cosθ

31. Del gráfico, calcular : E = α+

θ+αCsc1

CtgCtg

A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 3 E) 1/3

32. Del gráfico, calcular el mínimo valor de AC A) a B) 2a C) 3a D) 4a E) 5a 33. Del grafico, hallar: Cosθ.Cos3θ

A) 1 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/2 E) 1/8

34. De acuerdo al grafico mostrado, hallar “x” en

función de los datos mostrados.

A) ba

ab+

B) ba2ab

+ C)

ba2b2

+

D) ba2a2

+ E) 2

2)ba( 22 +

35. Del grafico, hallar : 2

1SS

A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 3/2 E) 2/3

36. Hallar: “Tgθ”

A) 1 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/2 E) 2

A

B

C

m n

x y

A D

B C

E

x θ

A E

B D

C

m

α

θ α

θ

45º A B

D

C

m

2α O1 O

B

A θ

α

a

A

B

C

A O B

D

C

θ

45º

a x

b

A

B

C

D

37º 45º

6

5 2 S1

S2

A

4

D

C

G

F B

6 E

θ