resolución de problemas y competencias...

JORNADA PROVINCIAL SOBRE COMPETENCIAS BÁSICAS EN MATEMÁTICAS SECUNDARIA. Delegación de Educación, Centros del Profesorado de Cádiz, 22 de Marzo de 2007. Código: 061105MA165

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Resolución de Problemas y Competencias Básicas

Gómez-Chacón, I. Mª Facultad de CC. Matemáticas

Universidad Complutense de Madrid, España E-mail: [email protected]

1. Introducción Son varios los intentos y las líneas de trabajo, reflexión e investigación, que se han desarrollado en las últimas décadas para promover un proceso de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas más adecuado a las necesidades actuales. Entre las contribuciones más relevantes se encuentran la que conocemos como didáctica basada en la Resolución de Problemas, o en el currículo fundamentado en ella.

Una de las novedades en las Matemáticas del nuevo Decreto para Educación Secundaria Obligatoria1 en España es la inclusión en todos lo cursos de un bloque de contenidos comunes que constituyen el eje transversal vertebrador de los conocimientos matemáticos que abarca. Este bloque hace referencia expresa, entre otros, a un tema básico del currículo: la Resolución de Problemas.

La Resolución de Problemas es un tópico de tal amplitud y con unas fronteras tan extensas que ha parecido conveniente señalar con más precisión qué parte de este amplísimo campo puede ser tratada durante la Enseñanza Secundaria. Así en el Decreto se ha señalado el punto de vista formativo de la Resolución de Problemas: “Capaz de activar las capacidades básicas del individuo, como son leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo, revisarlo, adaptarlo, generar hipótesis, verificar el ámbito de validez de la solución, etc.” (RD1631/2006, p: 550). Se sitúa como el centro sobre el que gravita la actividad matemática en general. También, se pone de relieve en este bloque la importancia de los factores afectivos en la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas.

Coincidimos con la perspectiva señalada, ya que la Resolución de Problemas no sólo tiene que ser un objetivo general del área, sino un instrumento metodológico importante para desarrollar aspectos que puedan ayudar a que la Matemática resulte más formativa y motivadora para los estudiantes. Y bajo este enfoque desarrollamos lo que aquí exponemos. Así, vamos a entender la preparación o formación matemática en los términos que lo hace el proyecto OC/DE PISA (2000: 71) como la capacidad para identificar, comprender e implicarse en las Matemáticas y emitir juicios con fundamento acerca del papel que juegan las Matemáticas como elemento necesario para la vida privada, laboral y social, actual y futura de un individuo, como ciudadano constructivo, comprometido y capaz de razonar.

La formación matemática implica la capacidad de hacer uso de las destrezas y conocimientos matemáticos y no sólo la de conocerlos dentro de un currículo escolar. En esta línea trataremos de hacer una aportación, al tema que nos convoca, Resolución de problemas y Competencias.

El esquema que vamos a seguir es el siguiente: primero se situará las finalidades de la Resolución de Problemas en el currículo, segundo se abordará la interacción entre 1 Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre 2006 por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria (BOE 5 de enero 2007, nº 5, p. 677-773.


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competencias básicas y Resolución de problemas. En los apartados cuatro y cinco se situará la Resolución de problemas como contenido y objeto de enseñanza (modelos y formas de actuación del profesor). Y por último se desarrollarán ejemplos y tareas a realizar en el aula, poniendo de manifiesto algunas cuestiones sobre la contribución de la Resolución de Problemas a las Competencias Básicas.

2. Los problemas y la enseñanza de las Matemáticas Desde nuestro punto de vista, y así va a quedar reflejado a los largo de este artículo, el objetivo principal de la inclusión de la Resolución de Problemas en el currículo de Matemáticas es que el alumnado aprenda a pensar matemáticamente.

El matemático húngaro G. Polya (1954) decía al respecto:

“En primer lugar, quiero dejar claro sobre cuál debe ser el primer y primordial objetivo de la enseñanza de las Matemáticas, sobre todo en la escuela secundaria: enseñar a pensar. Esto significa que el profesor no debe sólo proporcionar informaciones sino que también debe hacer que los alumnos desarrollen la habilidad de utilizar las informaciones recibidas, insistiendo sobre el saber hacer, sobre actitudes favorables, sobre hábitos mentales deseables.

Pero debo precisar dos puntos:

a) El pensamiento de que hablo no es soñar con los ojos abiertos, sino un ‘pensar dirigido hacia el objetivo o un pensar voluntario’... Este pensamiento, es una aproximación, puede ser identificado con la Resolución de Problemas. En cualquier caso considero la Resolución de Problemas como la principal finalidad escolar.

b) El pensamiento matemático no es puramente ‘formal’, no se preocupa sólo de los axiomas, definiciones, pruebas rigurosas; muchas otras cosas le pertenecen: generalizar a partir de casos observados con argumentos inductivos; o por analogía, reconocer un concepto matemático en una situación concreta y saber extraerlo de ella.

El profesor tiene muchas oportunidades para habituar a sus alumnos a estos procesos informales de un gran valor: enseñamos a probar con cualquier medio, pero también a conjeturar... El saber hacer, en Matemáticas, es la habilidad de resolver problemas, de encontrar pruebas, de criticar argumentos favorables, de usar el lenguaje matemático con fluidez, de reconocer conceptos matemáticos en situaciones concretas,...”

Este texto expresa bastante bien qué significa que el alumno aprenda a pensar matemáticamente. El proceso de Resolución de Problemas, al igual que expresa Polya, no lo concebimos como un procedimiento paso a paso, ni como una respuesta que hay que encontrar. La habilidad para resolver problemas se desarrolla familiarizándose con los procesos adecuados, y éstos son más importantes que los resultados.

Insistimos en que en la enseñanza matemática en la educación inicial serían más apropiados los contenidos que de una forma más eficaz contribuyan a acercar al estudiante a lo que es más genuino de la actividad matemática, al método y a la forma típica del razonamiento y creación matemática. Y para medir esta eficacia es necesario considerar, antes que al objeto matemático en sí mismo, al sujeto, al estudiante, con sus características psicológicas y ambientales peculiares, con sus intereses específicos. Teniendo en cuenta este criterio fundamental, en las próximas secciones trataremos de pormenorizar algunos de los objetos matemáticos que nos parecen más adecuados para


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la formación de los estudiantes desde una concepción heurística de la enseñanza de la matemática como saber de método2.

3. Resolución de problemas y competencias básicas Venimos insistiendo en la importancia de cultivar en el alumnado de Secundaria el saber hacer matemático como una de las finalidades de la educación matemática en su etapa obligatoria. Estas finalidades en el nuevo Decreto de enseñanzas mínimas están planteadas y concretizadas en competencias.

Actualmente, la noción de competencia ocupa no sólo en España, sino también en las reformas educativas de otros países un lugar central. Esta aproximación demanda que los estudiantes adquieran las competencias disciplinares y transversales ligadas a los dominios de experiencia para la vida. En las situaciones de aprendizaje se pone el acento en el "saber hacer" y en la movilización de conocimientos en situaciones complejas.

En nuestra propuesta, entendemos la competencia como “una capacidad de respuesta eficaz de cara a un conjunto de situaciones no rutinarias o no estereotipadas. Responde a un conjunto de conocimientos movilizables de cara a situaciones complejas” (Perrenoud, 1999). Esta capacidad de actuar eficazmente en tipos definidos de situaciones está apoyada en los conocimientos, pero no se agota en ellos. Debemos poner en juego muchos recursos complementarios de forma coordinada aparte de los conocimientos. El concepto de competencia incluye tanto los saberes (conocimientos teóricos) como las habilidades (conocimientos prácticos o aplicativos) y las actitudes (compromisos personales).

Al focalizar en las competencias se busca propiciar una cultura escolar en la que los saberes no constituyen un bagaje inerte, sino una forma dinámica de construcción de acuerdo con la actividad de la persona que la adquiere. La competencia no se opone al saber, ni a los contenidos, ni a las disciplinas, únicamente pone el acento en la movilización de los saberes en situación3.

En el nuevo Decreto se han enunciado las finalidades educativas en forma de ocho competencias básicas:

1. Competencia en comunicación lingüística. 2. Competencia matemática. 3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. 4. Tratamiento de la información y competencia digital. 5. Competencia social y ciudadana. 6. Competencia cultural y artística. 7. Competencia para aprender a aprender. 8. Autonomía e iniciativa personal.

Hay competencias transversales y otras competencias que pueden nacer de una disciplina concreta pero que son transferidas a otros ámbitos en los que adquieren también funcionalidad. Así, pues en cada materia, y en particular en Matemáticas, se

2 El lector interesado también puede consultar otros trabajos nuestros recientes en los que hemos profundizado en este aspecto (Gómez-Chacón, I. Mª (2006) “La matemática un saber de método en el proceso educativo inicial”. En Actas de las Jornadas de la Asociación Castellano-Leonesa de profesores de Matemáticas “Miguel de Guzmán”. 3 Se puede consultar AA.VV (2002) Educación para la ciudadanía: Un enfoque basado en el desarrollo de competencias transversales. Apuntes IEPS. Narcea: Madrid.


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incluyen referencias explícitas acerca de su contribución a aquellas competencias básicas a las se orienta en mayor medida.

En el documento hay formulada explícitamente una competencia matemática, definida como “la capacidad para utilizar distintas formas de pensamiento matemático, con objeto de interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella”.

La educación matemática a través de la explicitación de estas competencias subraya una serie de sub-competencias. Entre otras las siguientes:

- Competencia de Resolución de Problemas.

- Competencia en el conocimiento y manejo de elementos matemáticos básicos.

- Competencia crítica.

- Competencias informativas, argumentativas y comunicativas.

- Competencias afectivas o emocionales y actitudinales.

todas ellas competencias básicas para un aprendizaje eficaz de la matemática.

En el Cuadro 1 se resumen la contribución de la materia de Matemáticas a la adquisición de las competencias básicas. El documento, en unos casos nos orienta indicándonos contenidos específicos de la disciplina como son los de Geometría para contribuir a la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico o la competencia cultural y artística; en otros, nos indica procesos del quehacer matemático o la Resolución de Problemas como contribución a determinadas competencias, por ejemplo, la competencia en comunicación lingüística o la competencia para aprender a aprender, y en otros casos pone de manifiesto saberes actitudinales propios del quehacer matemático que contribuyen al desarrollo de estas competencias transversales como es por ejemplo la autonomía e iniciativa personal.

Además, de esta insistencia en precisar contenidos, procesos y saberes actitudes conviene señalar que en el documento también se indica que no todas las formas de enseñar Matemáticas contribuyen por igual a la adquisición de la competencia matemática. Se apuesta por un estilo de enseñanza que ponga el énfasis en la funcionalidad de los aprendizajes, su utilidad para comprender el mundo que nos rodea y en la resolución de un problema. Se argumenta que estos enfoques determinan la posibilidad real de aplicar las Matemáticas a diferentes campos de conocimiento o a distintas situaciones de la vida cotidiana.

Por tanto, en esta línea que plantea el documento de mínimos y tal como se ha enunciado en el título de la ponencia vamos a plantear ejemplificaciones de cómo un profesor puede trabajar en el aula la Resolución de Problemas y su contribución al desarrollo de competencias básicas.

Ahora bien, antes de describir estos ejemplos, vamos a pararnos en qué modelos hay para enseñar la Resolución de Problemas y qué le concierne al profesor en su actuación de enseñar.


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Cuadro 1. Contribución de la materia a la adquisición de las competencias básica.

Competencias básicas Contribución de la asignatura de

Matemáticas Competencia en comunicación lingüística Todos los bloques de contenido.

Tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico. Expresión oral y escrita en la formulación y expresión de las ideas. Procesos de comprensión en la Resolución de Problemas. Procesos de argumentación.

Competencia matemática

Toda la disciplina. Priorización de estilo de enseñanza.

Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico

Formas, relaciones y estructuras geométricas. Visión espacial. Transferencia de formas y representaciones entre el plano y el espacio. Modelización.

Tratamiento de la información y competencia digital

La utilización de los lenguajes gráfico y estadístico para la comprensión en medios de comunicación. Interacción entre los distintos tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico como forma de ligar el tratamiento de la información. Dominio tecnológico y digital.

Competencia social y ciudadana

Matemáticas para describir fenómenos sociales. Análisis funcional y Estadística. Tratamientos de los errores. Procesos de Resolución de Problemas.

Competencia cultural y artística La Matemática es expresión universal de la cultura. Geometría. Valor de la belleza en las estructuras. Valores de sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonomía y el apasionamiento estético.

Competencia para aprender a aprender Técnicas heurísticas. Actitudes de perseverancia, autonomía, sistematización, reflexión crítica, eficacia.

Autonomía e iniciativa personal Resolución de problemas. Planificar estrategias, procesos de toma de decisiones. Actitudes de perseverancia, autonomía, sistematización, reflexión crítica.

4. Modelos de Resolución de Problemas

Enseñar a resolver problemas es para muchos profesores de Matemáticas, una tarea nada fácil que demanda un método especial. La estrategia usual de enseñanza –exposición, ejemplos ilustrativos, ejercicios rutinarios- no es la más adecuada cuando el


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interés se quiere desplazar desde aprender cómo hacer tareas tipo, a aprender sobre el proceso de exploración y aplicación de las Matemáticas.

Nos gustaría decir que hay un método ideal para resolver problemas, pero por desgracia esto no es así.

Este ha sido un tema que ha preocupado a bastantes matemáticos a lo largo de la historia. La primera aportación importante al tema fue hecha por el matemático-filósofo francés Descartes (1596-1650), en su pequeño tratado Reglas para la dirección del espíritu da unas recomendaciones para pensar mejor. En el año 1926 Wallas publica sus investigaciones en su libro The Art of Thought sus experiencias y conclusiones sobre la Resolución de Problemas. Se fundamenta en el análisis de los escritos de grandes matemáticos como Poincaré, Halmiton, Gauss, Hadamard..., llegando a la conclusión que en la resolución de problemas se pueden distinguir cuatro momentos o fases: preparación, incubación, iluminación, verificación. Estas cuatro fases están basadas en introspección de corte psicológico, y desafortunadamente están bastante alejadas del espacio escolar, sin embargo han sido la base para autores posteriores preocupados por el tema. Entre ellos destacamos a G. Polya.

G. Polya en 1945 en su libro How to solve it (traducido al castellano con el título Cómo plantear y resolver problemas) distingue cuatro fases en la Resolución de Problemas: comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y comprobar la solución. Asimismo, nos orienta respecto a los procesos que sigue una persona en el intento de resolver un problema.

El libro de Polya tuvo una enorme influencia en el campo de la Resolución de Problemas, pero no hay que olvidar a otros autores, que sobre todo en los años ochenta se estudiaron con bastante profundidad algunas formas de proceder para resolver bien un problema (Burton, Mason y Stacey, 1982/1988; Guzmán, 1986; Schoenfeld, 1987).

De los anteriores autores citados, nos detendremos en el modelo de Burton, Mason y Stacey descrito en su libro Pensar matemáticamente por su significatividad para el desarrollo de problemas complejos en Secundaria y porque puede ser un adecuado modelo de instrucción.

Las fases de este modelo son:

Fase inicial o de Abordaje, concebida como la fase en la que el resolutor trata de comprender de qué se trata el problema, qué es lo que nos pide. Una característica positiva de esta fase es hacer una buena representación del problema para poder atacarlo mejor y los procesos de particularización y generalización. Esta es una fase crucial para lograr la solución del problema.

Fase de Ataque, considerada como la más importante para llegar a buen término. El resolutor intenta sus conjeturas, las prueba y justifica y las reformula si es necesario, tratando de reconducir el proceso y ensayar nuevos caminos.

Fase de Revisión, esta fase conlleva tres momentos revisión, reflexión y extensión. Se busca regular los razonamientos, volver sobre los pasos y decidir alternativas. Se reflexiona para estudiar otras alternativas y se toma el problema como un eslabón más en la cadena continua que supone desarrollar destrezas, habilidades y conocimiento para resolver problemas.

Lo más importante que consideramos del modelo que plantean estos autores es la concepción que nos presentan de la Resolución de Problemas como actividad de investigación. De acuerdo con ellos los factores que más influyen en una efectividad


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mayor del razonamiento matemático son el conocimiento de los contenidos matemáticos, la competencia en el uso de los procesos de investigación matemática (señalan cuatro como principales particularización, generalización, conjetura y justificación) y la confianza en el dominio de los estados emocionales y psicológicos.

Los métodos expuestos anteriormente para resolver un problema no son infalibles, pero en muchas ocasiones nos pueden ayudar a regular y ejercitar nuestros procesos de pensamiento como resolutores, y también como profesores nos permiten establecer unos diseños de instrucción adecuados. Pasamos en la sección siguiente a especificar el rol del profesor a la hora de enseñar a resolver problemas.

5. Papel del profesorado a la hora de enseñar a resolver problemas El papel del profesor en el aprendizaje de la Resolución de Problemas comienza por la experiencia personal de “hacer Matemáticas”. Nada puede reemplazar esta experiencia. En este nivel de empezar por uno mismo, el profesor deberá comenzar tomando conciencia de la disciplina, mediante la activación de procesos específicos del quehacer matemático y la toma de conciencia de procesos internos personales en este aprendizaje experiencial.

Ahora bien, al profesor le concierne de forma específica acompañar a otros a aprender. Por tanto, su rol en lo que se refiere a la Resolución de Problemas va a tener que ver con:

- Ayudar al alumnado a aceptar los retos: un problema cuando se plantea puede suponer un gran desafío para el alumno.

- Enseñar las Matemáticas cargadas de relaciones y como conocimiento a encontrar. Es conocido el hecho que se aprende más rápido y se retiene más tiempo cuando se establecen conexiones. La profundidad de la fijación no es más que la propiedad de conectarse con la realidad vivida. Se trata de que lo que se va aprendiendo sirva para conectar diversos campos de conocimiento y que permitan al aprendiz hacer descubrimientos propios.

- Crear un ambiente de confianza en la clase que prepare a los alumnos a enfrentarse a situaciones no familiares y que les ayude a no sentirse demasiado agobiados, angustiados, ansiosos cuando se bloquean.

- Establecer una posibilidad real de que el alumno vaya verdaderamente creando Matemáticas, favoreciendo que los alumnos desarrollen sus propias ideas para encontrar una solución y ayudarles, cuando sea necesario, sin darles directamente la respuesta.

- Propiciar un marco en el que los alumnos puedan reflexionar acerca de los procesos en que están inmersos (pensar, discutir, comunicar, escribir sobre) y, de esta forma, aprender de la experiencia.

- Explicitar y comunicar a los alumnos los procesos involucrados cuando se hacen y aplican las Matemáticas, de manera que puedan adquirir un vocabulario que les ayude a pensar y aprender sobre ello. Los alumnos aprenden mucho más eficazmente cuando el profesor dirige explícitamente su atención a las estrategias y procesos implicados en la Resolución de Problemas.

No deseamos finalizar este apartado sin insistir en lo trascendental de la creación de un ambiente de confianza en la clase, ya que en la Resolución de Problemas tan importante


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como el método a seguir son las consideraciones afectivas (Gómez-Chacón, 2000). Para resolver un problema es crucial que el resolutor:

a) desee encontrar la solución

b) sienta que se encuentra dentro de sus posibilidades, y

c) crea que efectivamente puede atacar el problema con sus armas mentales.

Ayudar a los estudiantes a ser consciente de su propia dinámica de aprendizaje es incrementar su competencia emocional y dar apoyo a sus necesidades de aprendizaje. Estamos de acuerdo con la tesis de Polya para quien “enseñar a resolver problemas es una educación de la voluntad”.

6. Ejemplificaciones de actividades y problemas Hasta aquí hemos presentado los nuevos cambios legislativos en lo que concierne a la Enseñanza Secundaria, de forma específica lo referido a Resolución de Problemas y competencias básicas. Hemos tratado de exponer algunos de los conocimientos básicos que un profesor que desee abordar la Resolución de Problemas necesita tener en cuenta. En este apartado, trataremos de propiciar una base experimental para las observaciones que anteriormente he hecho. Por lo tanto ofreceré ejemplos y tareas a realizar en el aula. A partir de esos ejemplos, retomaremos algunas cuestiones que nos interesa destacar respecto a la contribución de la Resolución de Problemas a las competencias básicas. El criterio que nos ha marcado la selección de las actividades ha sido el énfasis en cómo acompañar al estudiante en el desarrollo de procesos de pensamiento matemático y en los bloqueos afectivos que se producen al resolver problemas. Por tanto, este apartado se estructurará en los siguientes subapartados:

- Procesos de pensamiento matemático.

- Competencias afectivas, emocionales y actitudinales.

- Matemáticas cargadas de relaciones y como conocimiento a encontrar.

A la ahora de presentar los problemas especificaremos tipo de actuación del profesor, competencia en Resolución de Problemas y competencias básicas a la que puede contribuir.

6.1. Procesos de pensamiento matemático Con los alumnos hay que trabajar la toma de conciencia de los procesos que actúan en la Resolución de Problemas. Señalamos como más representativos: la particularización, la generalización, la conjetura y la justificación o demostración. Aquí vamos a prestar atención a los procesos de argumentación y prueba y, dentro de ellos a procesos que tienen que ver con la elaboración de imágenes mentales.

Adquirir una conciencia clara tiene un alto significado: se trata de un puente que concreta áreas distintas de conocimiento, información, experiencia, percepción y sensaciones, unos con otros y con el mundo exterior.

Veamos un primer ejemplo:


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1. Ejemplo de problema sobre procesos de argumentación y prueba

Actuación del profesor

Explicitar y comunicar a los alumnos los procesos involucrados en la Resolución de Problemas.

Competencias en Resolución de Problemas

Observar diagramas. Relacionar distintos lenguajes.

Procesos de prueba y argumentación.

Competencias básicas

Competencia social y ciudadana.

Competencia en comunicación lingüística.

Autonomía e iniciativa personal.

Enunciado Observa el siguiente diagrama. Fíjate que expresa una afirmación matemática. Es una afirmación sobre la relación entre las pendientes de las tres diagonales. Escribe de qué afirmación se trata. Y ahora intenta responder a la siguiente cuestión: ¿Qué movimiento puede hacer el punto P de tal forma que preserve dicha relación?

Mason, Burton y Stacey (1988) son de los autores que más han trabajado los procesos de pensamiento matemático esenciales para la Resolución de Problemas. Y uno de ellos ha sido la demostración. Demostrar se ve como desarrollo de la convicción, en el cual uno trata de convencerse a sí mismo, luego a un amigo, y finalmente a un escéptico razonable. Pensamos que para la enseñanza de la prueba a los alumnos de Secundaria esta secuencia puede ser considerada como un método útil de pensamiento. En ella se favorecen habilidades como la argumentación, la justificación y la discusión, además de reconocerse la importancia de lo social como una fuerza externa que intenta refinar los ‘argumentos’, y como el lugar en el cual residen la convicción y la demostración: una demostración es lo que es aceptado por la comunidad a la que es mostrada.

Con ejemplos como este desde el aprendizaje de la Resolución de Problemas se contribuye a las competencias básicas de autonomía e iniciativa personal y a la competencia social y ciudadana. Se tratará de visibilizar as través del proceso de demostración cómo las personas pasan de acatar una autoridad externa y comienzan el desarrollo de la autoría de sus propios razonamientos. Siempre dentro de una norma comunitaria con formas y estructuras “aceptables” como es el caso de las demostraciones en Matemáticas Pasamos a comentar la respuesta. Una afirmación es que a/b ≤ (a + c)/(b + d) ≤ c/d. Afirmar esto implica algunos supuestos sobre las cantidades a, b, c y d. Al preguntarnos cómo podemos mover el punto P y conservar la relación dada, encontramos algunas respuestas a estos supuestos. Y vemos que es necesario como mínimo suponer que a/b ≤ c/d. Se puede plantear el problema con software para Geometría dinámica y formularle la pregunta se si P puede dejar de ser el vértice del triángulo. También se le puede


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incluir medidas en el diagrama de tal forma que puedes mover el punto P y se observa como varían las cantidades e incluso se aprecia el caso degenerado cuando P esta en la diagonal o si la rebasa.

Consideramos como algo esencial en el entrenamiento en la Resolución de Problemas la observación y análisis de diagramas. Los estudiantes cuando trabajan con textos matemáticos, bien ofrecidos por el profesor o que están en sus libros de texto tienen que interpretar y comprender estos diagramas. Los diagramas tienen una estructura. En muchos casos los diagramas parecen particulares, sean genéricos de algún modo. Expresan relaciones en algunos casos importantes y en otros irrelevantes.

Las características importantes de un diagrama se revelan a menudo al preguntarse a uno mismo: “¿Qué se permite cambiar y de qué forma? ¿Qué debe permanecer invariante a pesar de esos cambios?”. A menudo, hay incluso un orden específico a la hora de dibujar los distintos elementos (como se hace en la Geometría dinámica). Es conveniente indagar cómo ven los estudiantes el diagrama, si lo ven como un caso específico y particular, o como una representación del caso general. Detenerse en cómo se experimenta la generalidad a través de un único diagrama o las posibles consecuencias y ayudas en la animación del diagrama. Pasamos a describir otro ejemplo que nos ayude a desarrollar esto.

2. Ejemplo de problema sobre el desarrollo de imágenes mentales


Explicitar y comunicar a los alumnos los procesos involucrados en la Resolución de Problemas.

Competencias en Resolución de problemas

Observar diagramas. Uso de imágenes mentales.



Enunciado Describe lo que ves. Ahora cierra los ojos e imagínatelo. Prepara un mensaje para enviar a un amigo por correo electrónico, en el que des adecuadas instrucciones para que tu amigo que no puede verlo lo dibuje correctamente.

Di lo que ves es un recurso útil para usar en situaciones físicas, pantallas electrónicas, posters matemáticos, diagramas, colecciones de ejercicios, e incluso con ejercicios solos. A través de esta actividad se logra que los alumnos describan un objeto y aprendan a expresarse clara y concisamente. A través, de escuchar lo que otros ‘dicen ver’, ellos descubren que trabajando juntos se pueden enriquecer más, que trabajando ellos solos. Además, en los procesos de Resolución de Problemas tanto el de comprensión del problema o como en los procesos de justificación los procesos de distinguir, apreciar y discernir son esenciales. Discernir a través de nuestras imágenes,


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ésta es la base de lo que queremos hacer. Aun con una simple expresión, a veces es asombroso lo que aparentemente lo que los alumnos no ven.

El significado de estas imágenes se puede trabajar a más niveles de profundidad. Por ejemplo, la siguiente actividad:

3. Ejemplo: Y ahora, ¿qué ves?

Cubre con tu mano derecha la imagen de la derecha y pregunte qué ves en la imagen izquierda. Una vez que hayas mirado, haz a la inversa tapa la imagen de la izquierda y mira la imagen situada a la derecha. Ahora no cubras ninguna de los dos. Trata de mirar la imagen de la derecha en el plano, tal como puedes haber mirado la de la derecha y la imagen situada en la izquierda como una proyección del cubo. ¿Qué tienes que hacer con tu atención para conseguir estos cambios?

Esta actividad propicia en el estudiante tener la experiencia de cambios de atención, aspecto esencial en el aprendizaje de conceptos. Por ejemplo, en la actividad anterior el alumno puede tomar conciencia de qué vio, expresándoselo así mismo. Además, le hace pararse sobre la formación del cubo y de su proyección.

Asimismo, este ejercicio nos da una muestra de lo que Pierre y Dina van Hiele, y otros autores posteriores (van Hiele 1986) señalaban en su investigación como “niveles” de pensamiento geométrico. Desde el punto de vista de la utilidad no son vistos como niveles sino más bien como diferentes formas de estructuras de atención. En algunas ocasiones le prestamos atención al conjunto, otras a los detalles, otras nos fijamos en las relaciones que guardan estos detalles y otras veces nos fijamos en las propiedades: relaciones que definen o especifican qué es lo que vemos y es la manera en la que los caracterizamos y clasificamos. Estas relaciones no son ni mucho menos exclusivas, a menudo cambian rápidamente de una a otra o incluso se dan al mismo tiempo con respecto a diferentes aspectos. Por ejemplo, el dibujo de la primera tarea podría no haber sido la proyección de un marco de un cubo dado que faltaban algunos bordes, sino que podría haber sido la proyección de un cubo sólido.

Si ahora le planteáramos la siguiente actividad y le preguntáramos de nuevo qué ves (Cfr. Ejemplo de nuevo que ves).

La fuerza Gestalt con la que rellenamos detalles para hacer que algo sea familiar es muy fuerte. Aquí es difícil no ver dos cubos como si se vieran a través de agujeros circulares en una pared blanca. Mostramos este ejemplo porque lo que debe suceder en la mente del que comienza aprender a resolver problemas matemáticos respecto a los esquemas operativos necesarios es algo semejante a la reestructuración que se da con algunos experimentos visuales de la Gestalt. Son nuevos surcos en la mente que se manifiestan tan útiles que se adoptan sin esfuerzo ninguno. Para ver estas imágenes se procede de


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forma global. El estudiante tiene que rellenar los espacios y los detalles para tener una comprensión global de la imagen y de la situación.

4. Ejemplo: Di de nuevo qué ves

La observación no es sólo algo que las personas hacemos de manera automática. Podemos practicar sensibilizándonos con la observación para la enseñanza de la Resolución de Problemas. El aprendizaje de las Matemáticas puede verse como el hecho de sensibilizarse con la observación de formas concretas (ver oportunidades para entender el mundo de forma matemática, reconocer una técnica apropiada en un contexto o una situación nueva). Pasamos a continuación a exponer otro ejemplo. Este problema nos permite integrar lo que venimos exponiendo y afianzar la competencia lingüística mediante el trabajo con dos tipos de lenguaje el geométrico y algebraico.

5. Ejemplo de problema sobre expresión con vocabulario y símbolos matemáticos


Propiciar un marco en el que los alumnos puedan reflexionar acerca de los procesos en que están inmersos.

Competencias en Resolución de problemas

Relacionar distintos lenguajes.



Enunciado Aquí tienes tres ejemplos de un modelo con números consecutivos: 1 x 2 x 3 + 2 = 6 + 2= 8 = 23 2 x 3 x 4 + 3 = 24 + 3= 27 = 33 3 x 4 x 5 + 4 = 60 + 4= 64 = 43 ¿Qué puedes conjeturar sobre la relación de estos números? Verifica mediante expresión algebraica la regla general que cumplen.

Cuando se nos propone un problema de cualquier tipo, comenzamos el acercamiento a él mediante una representación inicial de los elementos que intervienen en la situación. Esa representación inicial es muy decisiva en el éxito de la tarea a realizar y está condicionada por los conocimientos que la persona posee. No por los conocimientos s modo de una masa amorfa, sino por las estructuras en que éstos se presentan, por los denominados esquemas mentales en que se configuran.


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Un esquema es una constelación de conocimientos que se van agrupando a través de repetidas experiencias por razón de sus relaciones y su efectividad conjunta para aclarar diversas situaciones-problema con un aire común. El esquema contiene mucha más información que la mera yuxtaposición de las partes, dado que está estrechamente con la memoria de experiencias previas (Guzmán, 1991).

En el problema anterior el estudiante necesita para resolverlo los esquemas operativos modelos de procedimiento del paso de la Aritmética al Álgebra: expresión de números consecutivos, desarrollos de trinomios, polinómicos y sus representaciones visuales.

La conjetura vendría dada por:

x x +1( ) x + 2( )+ x +1( )= x +1( )3

Y las formas de verificación serían x x +1( ) x + 2( )+ x +1( ) = x 3 + 2x 2 + x 2 + 2x + x +1

= x 3 + 3x 2 + 3x +1

= x +1( )3

O expresado así: x x +1( ) x + 2( )+ x +1( )

= x x + 2( ) x +1( )+1 x +1( )= x x + 2( )+1[ ] x +1( )= x 2 + 2x +1[ ] x +1( )= x +1( ) x +1( )[ ] x +1( )= x +1( )3

Visualmente la resolución del problema sería:

Este problema se podría plantear dando esta última imagen al estudiante y pedirle que a partir de la imagen intente escribir la fórmula correspondiente y enunciar el problema.


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Estamos convencidos que tiene muchos beneficios educativos activar en los estudiantes el procesamiento de imágenes; necesitan trabajar sobre estas, no sólo observarlas. Necesitan profundizar en las reacciones superficiales.

6.2. Competencias afectivas, emocionales, actitudinales

En estos últimos años, desde la teoría de las inteligencias múltiples y desde la de la inteligencia emocional, se ha puesto de manifiesto la necesidad de considerar el desarrollo de la inteligencia interpersonal y la intrapersonal como reto educativo y prestar especial atención a las múltiples influencias que las emociones tienen en el proceso educativo.

La introducción de la inteligencia emocional en la discusión de la educación matemática permite valorar el papel facilitador o debilitador de las emociones en el aprendizaje, y destacar la calidad emocional de las interacciones en clase como una influencia significativa en lo que se aprende. Por tanto, consideramos determinante la alfabetización emocional de los estudiantes en los siguientes términos: como proceso educativo, continuo y permanente, que pretende potenciar el desarrollo emocional a la vez que el desarrollo cognitivo, como aspectos clave en el desarrollo integral de la persona. Para ello se propone el desarrollo de conocimientos y habilidades sobre las emociones con objeto de capacitar al individuo para afrontar mejor los retos que se le plantean en la vida cotidiana. Todo ello tiene como finalidad aumentar el bienestar personal y social de los alumnos; que confíen en sus capacidades y consideren que pueden aprender; que atribuyan sus éxitos a factores que están bajo su control y que se enfrenten a las tareas como metas estimulantes que exigen esfuerzo y cuya resolución produce satisfacción (Gómez-Chacón, 2000).

La persona alfabetizada emocionalmente es aquélla que ha desarrollado la inteligencia emocional y las competencias afectivas y que tiene muy en cuenta los sentimientos y emociones propios y ajenos. La alfabetización emocional engloba habilidades tales como el control de los impulsos y fobias en relación a las áreas de conocimiento (lo cual permite desarrollar la necesaria atención para que se logre el aprendizaje), la autoconciencia, la motivación, el entusiasmo, la perseverancia, la empatía, la agilidad mental, etc. Es decir, la competencia emocional o afectiva constituye una meta-habilidad que determina el grado de destreza que alcanzaremos en el dominio de todas nuestras facultades.

De cara al desarrollo de competencias emocionales de los estudiantes en Matemáticas nos hemos centrado en las áreas de competencia siguiente:

• Autoconsciencia: reconocimiento de reacciones emocionales y sentimientos, temperamento y estilo de aprendizaje. • Autorregulación: control de los impulsos, organización y utilización • Ansiedad: modificar la conducta neurótica (ansiedad) caracterizada por un miedo excesivo a cometer faltas, un pánico importante cuando falla la memoria y una ignorancia sobre cómo persistir en la Resolución de Problemas. Al ser una conducta neurótica se asocia a una disminución en el grado de atención, a la interferencia en la recogida de información desde la memoria y a una menor eficacia en el razonamiento. • Relaciones o interacciones: habilidades sociales, trabajo en equipo y toma de decisiones.


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Ayudar a los estudiantes a ser consciente de su propia dinámica de aprendizaje y sus reacciones emocionales cuando resuelven los problemas contribuye a fortalecer el ambiente de confianza en la clase.

A continuación vamos a plantear uno de los recursos que el profesorado puede utilizar en el aula de Matemáticas. Un instrumento para la autorregulación de la reacciones emocionales por parte de los estudiantes y para que el profesor pueda diagnosticar las reacciones emocionales de los estudiantes.

Para evaluar la Resolución de Problemas y para realizar el diagnóstico interacción cognición-afecto podemos utilizar distintas técnicas: entrevistas, parrillas de observación, cuestionarios, instrumentos de autoevaluación, etc. En este caso proponemos el uso de la Gráfica emocional. Consta de seis cuestiones, tres referidas a sentimientos y reacciones emocionales y tres relacionadas con aspectos de transferencia y de aprendizaje en el taller y en la vida cotidiana (Cuadro 2). Después de cada problema o actividad matemática se les pasaba a los y las estudiantes. La utilización del instrumento tiene como objetivo recoger información a través de la gráfica de las reacciones afectivas de los estudiantes (magnitud, dirección, consciencia y control de las emociones) y origen de las mismas (dinámica de interacción entre los factores afectivos y cognitivos). Las dimensiones de magnitud, dirección y consciencia quedan explicitadas a través de los trazos que efectúa el alumno al dibujar la gráfica de su emoción y a través de la anotación que realiza sobre las exigencias cognitivas necesarias para resolver la tarea propuesta.

Además, el profesor puede completar y contrastar la información que aporta el alumno mediante una entrevista. Principalmente el objetivo de esta entrevista es el de confirmar los aspectos que habíamos detectado, sobre todo las reacciones emocionales que aparecen más explícitas e iterativas en la vivencia del sujeto. Se busca una mayor explicitación, por parte del sujeto, de su origen; y una toma de conciencia, por parte de éste, para su posterior regulación y control de la emoción. Cuadro 2. Instrumento: Gráfica emocional

Nombre Fecha 1. Cómo te sientes después de acabar el problema:

Muy satisfecho Satisfecho Insatisfecho Muy insatisfecho

2. Cuenta brevemente por qué te sientes así.

3. Representa mediante una gráfica tus sentimientos, tus reacciones en el proceso de resolución de este problema.

4. ¿Te recuerda alguna de las situaciones que trabajas fuera del Instituto (en tu casa, en la calle, etc…)? Comenta brevemente tu respuesta.

5. Lo que has aprendido en este problema ¿te sirve para tu vida diaria?

6. ¿Puedes aportar sugerencias para completar esta actividad?


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Por ejemplo, tomemos el caso de Adrián (Cuadro 3). Adrián es un alumno con dificultades de aprendizaje en matemática, perteneciente a un programa de diversificación curricular. En los datos que se recogieron sobre las reacciones emocionales, origen de las mismas, en las prácticas de clase durante un período de cuatro meses al desarrollar distintos Módulos de Aprendizaje (18 sesiones de aula) aparecen diversos orígenes: la experiencia pasada de aprendizaje escolar en relación a la matemática y al profesorado; la organización del conocimiento, habilidades Matemáticas (respecto a la obtención de la información matemática, respecto al procesamiento de la información, respecto de la memoria matemática); efecto del hecho de que la actividad corresponde a una parte de la matemática que le desagrada; al estado de ánimo con que inicia las clases; creencias de la matemática como tipo de conocimiento; creencias vinculadas al hecho de que es necesario tener unas características personales para trabajar la matemática.

Cuadro 3. Gráfica emocional de la actividad Geometría de los envasados.

A través del estudio del instrumento de las gráficas emocionales del estudiante se pudo detecta: ¿A qué se deben las interrupciones (los cortes o saltos) en la interacción afecto-cognición? ¿Cómo se articulan con el proceso de Resolución de Problemas? En la realización de las mismas se pone de manifiesto la dirección, magnitud, consciencia de las emociones del alumno. Realizando el seguimiento de varías sesiones y teniendo en cuenta lo explicitado en las gráficas emocionales se podría decir que la tendencia de este estudiante con respecto a los cortes o cambios de dirección de la interacción entre afecto y cognición son los siguientes:

De la dirección positiva a negativa. Los cambios de dirección negativa en los primeros contactos con la actividad matemática se deben a: cuando tiene que leer el enunciado, ante la comprensión del enunciado; al ver la portada de la actividad o materiales manipulativos que tiene que utilizar; ante la primera visión global de la tarea. A lo largo del proceso de resolución estos cambios son debidos al desconocimiento de los modos y medios para trabajar con hechos específicos de matemática (conocimiento de convenciones, criterios, metodologías...); a la ausencia u olvido de conocimientos teóricos y de estructura; a la dificultad del razonamiento con símbolos matemáticos y relaciones espaciales; a la búsqueda de relaciones y conexiones de los elementos matemáticos del problema con los conocimientos adquiridos; a perseverar en la búsqueda de una estrategia; a procesos de justificación, verificación y de extensión del problema; a los cambios propios de nivel de dificultad de la tarea; al esfuerzo requerido por estos cambios, y al esfuerzo propio de la consolidación y verbalización de lo


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aprendido; a su visión de la matemática y a experiencias que le evocan su vivencia escolar anterior.

Las huellas de emoción negativa recogidas durante las sesiones de aula en estos casos son rechazos, resistencias, protestas, agresividades, disgusto, malhumor, irritaciones, miedo distracciones, bloqueos, paralizaciones, come la cabeza (situación de ansiedad), aburrimiento, indecisiones e inseguridades, apatía y pasotismo.

En relación a la dirección de negativa a positiva, los cambios están vinculados, también, a diversidad de motivos, los cuales, consideramos que se podrían aglutinar en los siguientes aspectos: cuando utiliza procedimientos que habitualmente trabaja en el taller de ebanistería, como dibujar o medir, que le facilitan la captura de la estructura del problema; cuando se ha dado una retención de información matemática y es capaz de recuperar y transferirla; en momentos de intuición o hallazgo de la solución; cuando recibe soporte cognitivo y afectivo de la profesora o de alguno de sus compañeros; en momentos de consciencia y regulación de sus emociones; cuando es capaz de identificar y aceptar el error; cuando es capaz de avanzar por sí mismo y es soporte para otros; ante los propios logros y competencia en la tarea. En último término, esta dirección de la emoción está condicionada a su visión de la tarea matemática.

En el desarrollo de tipo afectivo se recomienda que el profesor tenga un tipo de actuación de modelo de conducta metacognitiva (Schoenfeld, 1987) y metaafectiva (Gómez-Chacón, 2000) que favorezca elementos de flexibilidad, persistencia, actitud interrogativa, gusto por la investigación, capacidad para explicitar sus procesos mentales tanto en sus aspectos cognitivos, como afectivos, etc. Indiscutiblemente esta forma de actuación daría significado a la componente de razonamiento que reclama la Resolución de Problemas e incidirá en la superación de creencias limitativas a la hora de trabajar la resolución de problemas.

6.3. Matemáticas cargadas de relaciones y como conocimiento a encontrar Una forma acertada de trabajar las competencias básicas desde la Resolución de Problemas es enseñar las Matemáticas cargadas de relaciones y como conocimiento a encontrar. Desde sus inicios en las contribuciones Miguel de Guzmán sobre Resolución de Problemas de se subraya de forma reiterada el enseñar las Matemáticas no sólo cargadas de relaciones, sino también presentando las Matemáticas en su enseñanza como una actividad, no como un cuerpo de doctrina terminado listo para ser exhibido. Nos decía “la creación o invención es la fase de la actividad matemática que mayor placer comporta. Privamos a nuestros alumnos de este placer cuando presentamos la matemática al modo de una aburrida guía de museo” (Guzmán, 1985: 34).

La Resolución de Problemas se puede enfocar muy bien desde la formulación de problemas de la vida diaria. La idea es aprender Matemáticas aplicándolas. PISA, el último Decreto a través de las competencias básicas pone el énfasis en medir la capacidad de los alumnos para aplicar conocimientos y habilidades en la vida diaria (por ejemplo, tomar decisiones sobre su propia vida personal, o comprender los problemas mundiales).

Los promotores más conocidos de la Matemática Realista son un grupo de profesores e investigadores holandeses del Freudenthal Institut de la Universidad de Utrecht. Los principios del Enfoque Realista de la Educación Matemática son los siguientes: prestar mucha atención, por parte del alumnado, a la re-invención; progresar gradualmente entre diferentes niveles de abstracción; guiarse por el desarrollo histórico-genético, y partir de situaciones reales para desarrollar el aprendizaje matemático.


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Cuadro 4. Proceso de modelización matemática

Las actividades que hemos diseñado y que presentamos aquí intentan partir de cuestiones del entorno, de forma que el proceso de resolución de problema por parte del alumno pase, a ser posible, gracias a la Modelización y la re-invención guiada.

La modelización matemática es el proceso de describir en términos matemáticos un fenómeno real, obteniendo resultados matemáticos y la evaluación e interpretación Matemáticas de una situación real. La Figura 1 puede expresar este proceso.

El proceso de modelización matemática se puede describir en varios pasos. Para alumnos como los de Secundaria, el número de pasos puede ser mínimo:

1. Identificar un problema real. 2. Identificar factores importantes y representar estos factores en términos matemáticos. 3. Usar análisis matemáticos para obtener resultados matemáticos. 4. Interpretar y evaluar los resultados matemáticos y ver cómo afectan al mundo real.

A los estudiantes de Secundaria, una vez que han hecho la experiencia, se les puede explicar el Cuadro 4 y desarrollar un debate con ellos sobre qué implican los procesos de modelización para que se apropien del proceso. En algunos casos, la dificultad que se detecta con estos alumnos es que tienden a resistirse a la simplificación, exclamaciones como: “pero qué hay que hacer ahora…” son muy comunes. Es importante mantener la discusión, es decir ayudar a la re-invención guiada. Normalmente, los procesos de modelización son una sombra de la realidad. No obstante, para alentar el trabajo de los estudiantes conviene hacer alguna introducción histórica de modelos que han ayudado al avance de la historia y de los fenómenos científicos: predicciones de desastres, viajes espaciales, etc…

Pasamos a continuación a presentar dos módulos de aprendizaje diseñados desde estas características:

Situación del Mundo Real

Modelo Matemático

Conclusiones Matemáticas Conclusiones

Predicciones

Interpretación

Análisis

Interpretación

Traslación


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1. Modelando el empaquetado de latas de refresco Ésta es una actividad que ha estado inspirada en los materiales de Mathematics: Modeling Our World: Course 2, desarrollado por el Consortium for Mathematics and Its Applications (COMAP). Fue trabajada con los alumnos que se preparan para profesores de Matemáticas, en la asignatura Metodología Matemática, de la Facultad de CC. Matemáticas de la Universidad Complutense en el curso 2004-20054. Este módulo de aprendizaje tiene como objetivo trabajar contenidos de geometría y

desarrollar en los estudiantes competencia social y ciudadana. Para ello hemos tomado el tópico Latas de refresco5 (http://www.mat.ucm.es/~imgomezc/motivacion-proyecto1.htm) y hemos elegido tres profesiones: un comerciante, un fabricante y un publicista. Se pone de manifiesto la matematización que surge en los distintos problemas que se les plantean a estos profesionales en relación a las latas de refresco. En este Proyecto usa la modelización matemática para describir y mejorar la eficacia del envasado y empaquetado de latas de refresco. El primer modelado es el envasado de la lata y el segundo el empaquetado de esas latas.

Es un módulo de aprendizaje para ser utilizado a partir de un nivel de 3º de ESO. Cada alumno (o grupo de alumnos) puede identificarse con uno de los profesionales y resolver los problemas que se plantean. Después se puede hacer un debate entre todos

los alumnos de la clase donde se pongan de manifiesto los distintos puntos de vista según profesionales y los modelos matemáticos que se generan. Incluye una guía del profesor se harán sugerencias sobre metodologías a trabajar.

2. El Álgebra y los problemas

Proyecto: Zambúllete!!! Esta página está pensada para trabajar con alumnos de 4º de ESO la Resolución de Problemas una vez que han adquirido conocimientos sobre

4 El proyecto tiene un formato WebQuest. La metodología del modelo WebQuest está orientada a la indagación e investigación guiada en Internet. En el diseño de esta actividad para WebQuest trabajaron las alumnas: Beatriz Hernández y Elena Giménez. 5 El módulo está publicado en mi página web http://www.mat.ucm.es/~imgomezc/motivacion-proyecto1.htm y en Gómez-Chacón, I. Mª (Ed.) (2006) Aprendiendo a Enseñar. WebQuest Matemáticas, CD-ROM. Acciones formativas de la Universidad Complutense para la Construcción del Espacio Europeo de Educación Superior. Madrid: Departamento de Álgebra, Facultad de Ciencias Matemáticas, Universidad Complutense. En este CD-ROM se puede consultar algunos proyectos para trabajar matemática realista destinados a Secundaria.


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ecuaciones y sistemas de ecuaciones. No se pretende, por tanto, que el alumno se inicie en el currículo de 4º de ESO sobre ecuaciones y sistemas, sino que afiance y amplíe los conocimientos adquiridos en clase. Respecto al tema de Resolución de Problemas se explica con detalle la realización, análisis y evaluación de los protocolos en el proceso de la realización de problemas y se le ejercita a los alumnos en la práctica de los mismos. Así se favorece la competencia de autonomía y conocimiento propio ayudándoles a conocer sus formas de pensar y sus bloqueos. Para el modelo de instrucción se utilizará el modelo de Resolución de Problemas de Mason, Burton y Stacey descrito en el apartado 4 de este artículo.

(el material completo desarrollado en html de este módulo está publicado en htpp://www.mat.ucm.es/imgomezc)6.

En este módulo también se trabaja aspectos de matematización, mediante problemas basados en contextos reales, en los cuales el alumno tendrá que identificar las características de una situación problemática que se puede resolver utilizando las Matemáticas, y activar las actitudes matemáticas pertinentes para dar con la solución. Esto requerirá diferentes destrezas,

entre ellas: razonamiento y pensamiento, argumentación, comunicación, construcción de modelos, planteamiento y solución del problema, representación, y utilización.

En varios problemas de este proyecto se trabaja explícitamente sobre estrategias de Resolución de Problemas como son: métodos de recuento sistemático, técnicas inductivas a través del método de diferencias y la observación de pautas y generalización en la Resolución de Problemas algebraicos y aritméticos.

Con este tipo de proyectos en los que se plantean problemas basados en contextos reales, los alumnos tienen que trabajar operaciones y lenguaje técnico, simbólico y formal. Y desarrollar tres tipos de destrezas:

• Las destrezas de reproducción hacen referencia a la reproducción de los conocimientos ya practicados, tales como el reconocimiento de tipos de procesos y problemas matemáticos familiares y la realización de operaciones habituales. • Las destrezas de conexión exigen que los alumnos vayan más allá de los problemas habituales, realicen interpretaciones y establezcan interrelaciones en diversas situaciones, pero todavía en contextos relativamente conocidos.

• Las destrezas de reflexión implican perspicacia y reflexión por parte del alumno, así como creatividad a la hora de identificar los elementos matemáticos de un problema y establecer interrelaciones. Dichos problemas son a menudo complejos y en algunos casos les cuesta bastante su resolución.

Además del desarrollo estas destrezas, hemos constado como este tipo de actividades les ayudan a los estudiantes a internalizar metas de aprendizaje, y son un estímulo y

6 Este proyecto pertenece a una colección de materiales elaborados en la experiencia piloto de Metodología Matemática, coordinada por Gómez-Chacón en la Facultad de CC. Matemáticas de la Universidad Complutense en el curso 2006-2007. Las alumnas que han contribuido a su desarrollo son: Paloma Álvarez, Isabel Moreno y Ana Zamorano.


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camino para desarrollar su motivación para hacer Matemáticas. 7. Conclusión En este apartado de conclusiones queremos poner de manifiesto nuestra apuesta por un enfoque basado en la Resolución de Problemas. No obstante, somos conscientes que la realización de un enfoque como el que aquí proponemos son muchos los escollos que enseguida nos salen al paso. Unos son de tipo personal, otros de tipo estructural y, entre todos, pueden constituir una barrera que no lo haga viable o que haga difícil su implementación. Desde la experiencia de llevarlo a la práctica señalamos algunos:

- La actitud personal del enseñante. Se requiere una actitud abierta ante el quehacer matemático y ante los procesos que se van generando en el aula, puesto que hay que combinar adecuadamente el modelaje matemático, el conocer reflexivo, el aprendizaje como acción y la intencionalidad que se pretende en el aprendizaje. En muchos casos, la formación inicial que ha recibido el profesor no ha combinado estas componentes, lo que plantea en muchos casos una mayor inseguridad personal para implementarlo.

- La enseñanza heurística exige una preparación mucho más concienzuda que la de la clásica lección magistral, con sus ejercicios complementarios. Requiere tratar de acercarse al desarrollo genético de las ideas matemáticas, preocuparse por la estrategia de comunicación a los alumnos, comprender dónde se generan los obstáculos de comprensión en los estudiantes.

- Las estructuras educativas. Cuando un profesor de Secundaria trata de poner en práctica este enfoque tropieza con obstáculos de carácter estructural como son el examen de acceso a la universidad:

“Un curso de orientación heurística exige un tipo de control muy distinto del que se suele llevar a cabo ordinariamente. El examen sobre contenidos de tipo tradicional está probablemente de sobra, ya que el contacto permanente con el método exige proporcionar un conocimiento del alumno mucho más certero. Un control de la penetración de los métodos de pensamiento y de la maestría del alumno en utilizarlos sí que puede estar en orden y proporcionar un estímulo complentario” (Guzmán 1985).

Pese a ser conscientes de las dificultades anteriormente expresadas, al desarrollar esta ponencia hemos pretendido por una parte, poner de relieve la importancia y la insistencia de trabajar de forma explícita los procesos esenciales en la Resolución de Problemas y poner de manifiesto la contribución que el razonamiento matemático puede hacer al desarrollo de las competencias básicas; y de otra, indicar la necesidad de la educación de los afectos y de la voluntad de alumno, para lo cual la toma de conciencia es esencial. Ahora bien, esto no se pude hacer de forma aislada sino que requiere diferentes clases de conocimientos (es decir, dominio específico de la materia, conocimiento metacognitivo, conocimiento metaafectivo, conocimiento metavolitivo), habilidades, y creencias de una forma integrada.

Y por último, indicar que este enfoque de la matemática que hemos presentado como un saber de método más que un mero saber de contenidos, se presta muy bien a un tratamiento interactivo a todos los niveles, a través de los diversos recursos informáticos (programas de cálculo simbólico, presentaciones interactivas en el ordenador, en internet, etc...) y audiovisuales (vídeo, televisión,...) que hoy tenemos a nuestra disposición y que apenas hemos comenzado a explotar a nivel didáctico.


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Referencias Gardner, H. (1994) Estructuras de la mente. La teoría de las inteligencias múltiples.

F.C.E. México.

Goleman, D. (1996) Inteligencia emocional. Kairós. Barcelona.

Gómez-Chacón, I. Mª (2000) Matemática emocional. Los afectos en el aprendizaje matemático. Narcea, Madrid.

Gómez-Chacón, I: Mª (1992) Los juegos de estrategia en el currículum de Matemáticas. Narcea. Madrid

Gómez-Chacón, I. Mª (2001) Matemáticas en la red. Internet en el aula de Secundaria. Narcea. Madrid.

Guzmán, M. de (1984) El papel de la matemática en el proceso educativo inicial, Enseñanza de las Ciencias, 91-95.

Guzmán, M. de (1985) Enfoque heurístico de la enseñanza matemática. En Aspectos Didácticos de Matemáticas, 1. Zaragoza: Instituto de Ciencias de las Educación Universidad de Zaragoza.

Guzmán, M. de (1986) Aventuras matemáticas. Labor. Barcelona.

Mason, J.; Burton, Stacey, K. (1988) Pensar matemáticamente. Labor. Barcelona. (obra original de 1982).

Perrenoud, P. (1999) Construire des compétences, tout un programme. Entrevue. Vie pédagogique, Dossier faire acquérir des compétences à l´école, septembre-octobre, 16-20.

Polya, G. (1945) How to solve it. Doubledoy. New York.

Polya, G. (1954) Mathematic and plausible reasoning. Vol. I. II. Pricenton University Press. Princenton.

Schoenfeld, A. H. (1987) Mathematical Problem Solving. Academic Press INC. New York.

van Hiele, P. (1986) Structure and Insight: a theory of mathematics education, Academic Press, Orlando.

resolución de problemas y competencias...

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