resolución de problemas

PROPUESTA DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS

CienCias BsiCasVicerectora Acadmica de Pregrado

Material Docentes Matemtica I

ProPuesta de resolucin de Problemas

Material de apoyo para docentes de Matemtica I de INACAP

Elaborado por el rea de Ciencias Bsicas de laVicerectora Acadmica de Pregrado

Casa CentralSanta Clara 684, Santiago, Chile

Material de uso exclusivo para docentes de INACAP

Primera versinSeptiembre 2013

Contenidos

PresentacinPara qu y por qu de esta propuesta?, 1

antecedentesQu es la Matemtica?... Una reflexin necesaria, 4

Qu es un problema?, 6

ProPuesta de ProblemasAspectos generales, 8

Problemas de Nmeros, 9

Problemas de lgebra, 20

Problemas de Proporcionalidad y Porcentaje, 28

Problemas de Funciones, 36

bibliografa, 47

1ProPuesta de resolucin de Problemas

Presentacin

Para qu y por qu de esta propuesta?

La renovacin curricular que realiza INACAP promueve el desarrollo de competencias transversales, vinculando a la asignatura de Matemtica I, la competencia genrica de Resolucin de Problemas. En el contexto de la asignatura, esta competencia busca que los alumnos puedan resolver situaciones problemticas mediante estrategias que involucran la utilizacin de sus conocimientos matemticos, un aspecto relevante del

aprendizaje de las matemticas, que implica movilizar conocimientos adquiridos en contextos de enseanza, a situaciones cotidianas o de inters para el desarrollo de su especialidad.

La OCDE1 reconoce que la adquisicin de conocimientos especficos es importante, pero que la aplicacin de este conocimiento en contextos productivos, depende de manera decisiva de la adquisicin de competencias ms amplias. El proyecto PISA2 de la OCDE (2003), que evala las destrezas y conocimientos de los alumnos en matemtica, lo hace de acuerdo a su capa-cidad para resolver problemas: Los alumnos no pueden aprender en la escuela todo aquello que necesitarn saber en su vida adulta. Por tanto, lo que necesitan adquirir son los requisitos previos para un aprendizaje futuro provechoso3 . La resolucin de problemas es considerado un aspecto clave para posibilitar los aprendizajes futuros. A partir de las evaluaciones inter-nacionales, muchos pases, incluido Chile, han incorporado la resolucin de problema como una actividad central en sus propuestas curriculares escolares, mientras que en el mbito de la educacin tcnica profesional, a nivel superior, se reconoce la necesidad que los programas profesionales se centren en la habilidad de transferir competencias como la solucin de prob-lemas o el trabajo en equipo- a contextos profesionales4.

El asunto, entonces, no radica en cual es el mejor camino para ensear, sino lo que realmente son las matemticas (Hersh, 1976)

1 Organizacin para la Cooperacin y el Desarrollo Econmico.2 Proyecto Internacional para la Produccin de Indicadores de rendimiento de los Alumnos, 2003.3 Marcos tericos de PISA, 2003; p.184 Educacin Tcnico Profesional y Mercado Laboral en Chile (P. Meller y J.J. Brunner, 2009, p. 85)

En el mbito de la enseanza esto describe un problema importante, cmo se puede desar-rollar la competencia de resolucin de problemas?, especficamente cmo hacer que los es-tudiantes activen sus conocimientos matemticos para elaborar estrategias que les permitan resolver problemas?

Existen propuestas que se sustentan en la enseanza de reglas heursticas1 indicaciones y sugerencias que supuestamente permitiran resolver todo tipo de problemas matemticos- las que centran su atencin en las deficiencias metacognitivas de los estudiantes: la dificultad para planificar, regular y evaluar su propio pensamiento. Sin embargo, estas propuestas presentan limitaciones importantes, dada la imposibilidad de establecer reglas generales que sirvan para cualquier tipo de problema matemtico, adems de generar un fenmeno didctico en que se tiende a desplazar el estudio de la matemtica por el de tratar ensear a aprender a aprender, sin que quede claro como se puede lograr aquello.

La propuesta que presentamos a continuacin no interviene el problema en ese sentido, sino que lo aborda desde una perspectiva epistemolgica, la necesidad de introducir la resolu-cin de problemas como una actividad fundamental en el estudio de la matemtica.

En distintas pocas la investigacin matemtica ha sido impulsada por la necesidad de re-solver problemas prcticos, cientficos, filosficos, artsticos, matemticos, etc. Sin embargo, la importancia de la resolucin de problemas en el desarrollo matemtico no se ve reflejada en la enseanza, que aparece desalineada de los fundamentos de la disciplina.

El modelo tradicional de enseanza de la matemtica reduce el aprendizaje a una acumu-lacin de conceptos y habilidades, que el estudiante debe dominar por memorizacin y me-canizacin, lo que provoca que la matemtica sea percibida como un cuerpo de conocimiento esttico y descontextualizado de las situaciones prcticas que les podran dar sentido y vida.

El enfoque usual de enseanza suele restringir la actividad del estudiante a la aplicacin de frmulas y tcnicas, un conocimiento matemtico utilitario, que se presenta desprovisto de significados y de contexto. La resolucin de problemas adopta la forma de ejercicios de apli-cacin, cuyo propsito es acotado. La ausencia de un verdadero trabajo matemtico provoca que nuestros estudiantes no desarrollen ciertas habilidades que son fundamentales para la comprensin de la matemtica.

La actividad de resolucin de problemas permite generar procesos que van ms all del mem-orizar y aplicar frmulas matemticas para la obtencin de un resultado, promueve el uso de la intuicin, los procesos de construccin, la utilizacin de medios de prueba, el desarrollo de la abstraccin y la bsqueda de generalizacin, aspectos esenciales para lograr un aprendizaje matemtico adecuado.

Esta propuesta recoge la premisa que nuestros estudiantes pueden aprender matemtica bajo un enfoque constructivista, en el que acten como matemticos en ciernes, viviendo los pro-cesos que subyacen a la creacin matemtica, a travs de la resolucin de problemas.

5 Como plantear y resolver problemas, Polya 1945.


La propuesta intenta mostrar cmo introducir actividades de resolucin de problemas en cier-tos momentos del estudio de la matemtica, entregando sugerencias didcticas que describan los procesos implicados. Se promueve como un material complementario para el docente, un con-junto de problemas que puede introducir en las instancias sugeridas y en virtud de su propio diseo de enseanza.

Es importante aclarar que esta propuesta no es metodolgica, sino una invitacin a mirar la matemtica y su enseanza desde un ngulo distinto.


Lo invitamos a preguntarse Qu es la matemtica?... es posible que le resulte difcil completar una respuesta, pero es seguro que puede sealar algunos elementos car-actersticos que definan su nocin de esta disciplina. Quizs estar de acuerdo o no en que la matemtica es un lenguaje, una estructura lgica, un cuerpo de cono-cimientos sobre los nmeros y el espacio, una herramienta para interpretar la reali-dad, un instrumento til para ciertas aplicaciones, etc.

De cualquier forma, su concepcin de la matemtica incide en el modelo docente que orienta su prctica de enseanza, el papel que asume para el profesor y el alumno, el tipo de tareas que propone, la forma de evaluar, los textos que utiliza, etc. Tambin determina la funcin que le asigna a la resolucin de problemas en el proceso de enseanza. Para entender cual es lugar en el que queremos situar la resolucin de problemas es necesario distinguir primero las concepciones de la matemtica que actualmente rigen la enseanza.

Por un lado, se puede identificar un punto de vista instrumental, que considerada a la matemtica como una disciplina til, una coleccin de hechos, reglas y habilidades, que tienen su razn de ser en las aplicaciones a las cuales pueden servir. Esta visin de la matemtica establece un modelo docente denominado tecnicismo, en que ensear matemtica se asocia a ensear tcnicas algortmicas. La actividad matemtica queda restringida a la obtencin de resultados, mientras que la resolucin de problemas se relega al final del proceso de ense-anza, tomando la forma de problemas de aplicacin, que pretenden justificar la matemtica aprendida.

antecedentes

Qu es la Matemtica?... Una reflexin necesaria

No se puede abordar el tema de la enseanza y aprendizaje de la matemticas sin preguntarse al mismo tiempo qu son las matemticas (Yves Chevallard, 1997)


Es esta matemtica la que necesitan nuestros alumnos?... Por cierto que las aplicaciones de la matemtica son muy importantes en el contexto de la formacin profesional, pero difcilmente se puede sostener el estudio de la matemtica en un ambiente donde los conceptos matemti-cos surgen en el aula descontextualizados y sin sentido, a la espera de ser aplicados una promesa vaga que a veces se diluye en el tiempo-. Como un antecedente se puede mencionar que en la historia de la matemtica culturas como la de los Babilonios y Egipcios florecieron y se destacaron en muchos aspectos durante miles de aos, pero su visin instrumental de la matemtica nos les permiti avanzar a la par, llegando apenas a desarrollar una aritmtica y lgebra rudimentaria, un conjunto de recetas basadas en casos particulares.

Otro punto de vista de la matemtica es el formalismo, que relaciona la matemtica con conjuntos de axiomas, definiciones y teoremas, que deben ser demostrados a travs del ra-zonamiento deductivo. En esta concepcin no tiene ninguna relevancia que son los objetos matemticos, ni su relacin con el mundo fsico, lo que importa es la forma en que ellos se relacionan. Desde esta perspectiva la matemtica se concibe como un juego formal despro-visto de significado. Esta prescindencia con el mundo real permiti dotar a la disciplina de la independencia necesaria que la llev a evolucionar.

Esta forma de concebir la matemtica ha generado un modelo docente denominado teori-cismo, que plantea que ensear matemtica es mostrar teoras solidificadas. La enseanza se trivializa a exponer saberes ya producidos y el aprendizaje a ser capaz de reproducirlos. Desde esta perspectiva la resolucin de problemas tiene poca cabida en la enseanza.

Ciertamente la matemtica formal es un aspecto a desarrollar, pero la lgica y la exposicin prstina de los teoremas solo es posible porque el matemtico, antes de poder llegar a enunciar y demostrar, tuvo que involucrar la intuicin, la invencin, la experimentacin y los medios de prueba, procesos que aparecen ocultos en la exposicin formal de la matemtica, pero que son la esencia de la creacin matemtica. No se puede imponer una formulacin abstracta de la matemtica sin hacer que el estudiante pueda vivir la experiencia de construir su cono-cimiento.

Por sobre todas las cosas la inventiva matemtica tuvo que activarse a partir de problemas (prcticos o tericos) y todo lo que el matemtico hizo, incluido los caminos errados, le permi-tieron llegar a comprender y enunciar la propiedad matemtica en juego, la demostracin for-mal permite comprobar lo que la intuicin pudo reconocer a priori. La claridad y la precisin del formalismo matemtico es en realidad una meta, mientras que la intuicin y la construc-cin es la partida de todo trabajo matemtico.

Esta propuesta recoge un concepto de la matemtica que incluye los procesos de creacin matemtica y vincula el aprendizaje con la prctica de desarrollar matemticas. Se reconoce que la resolucin de problemas es la actividad que permite activar la invencin matemtica y que en su desarrollo el estudiante debe actuar como un matemtico en ciernes, que recolecta informacin, descubre relaciones, plantea conjeturas, busca medios para probar sus resultados, abstrae, generaliza, etc. Una actividad con sentido que le permita apropiarse del conocimiento matemtico.


El papel que los docentes otorgan a la resolucin de problemas depende de lo que ellos entiendan por problema, conceptualizacin que est estrechamente relacio-nada con sus creencias respecto de lo que es ensear y aprender matemtica. Los problemas que aparecen en los textos de matemtica, por lo general, describen situaciones rutinarias, cuya va de solucin se desprende del tratamiento previo de los contenidos y es por tanto conocida, admiten el empleo de procesos mecanizados de solu-cin y se ajustan mejor a la nocin de ejercicio que de problema.

Un ejercicio implica trabajar en casos idnticos o muy similares a otros que ya fueron resuel-tos, por lo que el estudiante puede acceder de forma inmediata a los mtodos que le permitan resolver la situacin. Los ejercicios buscan que el estudiante adquiera ciertas destrezas en el uso de las tcnicas, por medio de la repeticin de los mtodos involucrados.

En cambio un problema matemtico, segn Klipatrick (1985) se identifica como un problema que requiere conocimientos matemticos para resolverlo y para el cual no existe un camino directo o inmediato para obtener su solucin o soluciones

Los problemas son situaciones no rutinarias, que admiten ms de una estrategia de solucin y en las que no se tiene, al menos de forma inicial, los medios para resolverlos. El sujeto que se enfrenta a un problema reconoce que en la tarea no se logra vislumbrar un camino obvio de solucin, es necesario explorar distintas estrategias y establecer nuevos mtodos de resolucin.

antecedentes

Qu es un problema?

virtualmente todos los problemas que se le plantean a los estudiantes en sus estudios de las matemticas no son realmente problemas, sino ejercicios que pueden ser resueltos en un corto tiempo. (Schoenfeld, 1983)


Existe cierta dificultad para identificar si una situacin es un ejercicio o un problema, ya que depende del esfuerzo que signifique la tarea involucrada para cada persona.

Mientras que para algunos estudiantes el problema anterior se reconoce como un simple ejer-cicio de aplicacin de sistemas de ecuaciones, para otros, que no tienen este conocimiento, puede significar un problema genuino, que activa la bsqueda de estrategias aritmticas, alge-braicas o de otro tipo.

El problema puede ser resuelto de varias formas, dependiendo de los conocimientos previos de cada alumno y de la manera en que visualice la situacin. Basta mencionar algunas de las posibles estrategias de resolucin:

Mtodo pictrico: Utiliza dibujos que representen a los animales y que le permita contarlos hasta completar el nmero requerido.

Mtodo de ensayo y error: Escoge un nmero arbitrario de gallinas y cerdos y cuenta el nmero de cabezas y patas, a partir de esto comienza una estimacin del nmero de gallinas y cerdos necesarios para cumplir con la cantidad requerida. Tambin puede utilizar una tabla en que sistemticamente registra los datos y busca la solucin.

Mtodo algebraico: Realiza una formulacin algebraica del problema. Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones

192 4 60

x yx y+ =+ =

Mtodo grfico: El sistema anterior se resuelve de manera grfica.


problema o ejercicio?

Pedro y Mara visitaron una granja el fin de semana donde se cran gallinas y cerdos. Pedro observ que en total haba 19 cabezas, mientras que Mara dijo que haba 60 patas Cuntas gallinas y cuntos cerdos haba en la granja?

Esta propuesta contiene un conjunto de problemas matemticos, en los que se de-scribe su propsito, los procesos de la actividad matemtica que podra activar, el momento de enseanza en el que pueden ser planteados, las sugerencias didcticas para su implementacin y las posibles estrategias involucradas en su resolucin. Se insta al docente a mantener una postura de mediador, transfiriendo a los estudi-

antes la tarea de intentar resolverlos. Debe involucrar a los alumnos en el problema, devolvi-ndoles constantemente la funcin de proponer y desarrollar las estrategias para su solucin. Cuando sea necesario pueden modificar algunas variables de la situacin que permita a los estudiantes redirigir sus intentos, sin que ello implique presentarles la respuesta. Finalmente el docente debe realizar la institucionalizacin del saber involucrado, partiendo desde las mis-mas producciones de los estudiantes, presentando generalizaciones y formalizando cuando sea requerido.

Se sugiere el trabajo en grupos, de manera que las acciones emprendidas puedan ser discuti-das y las conjeturas y estrategias formuladas se sujeten a la validacin de sus integrantes. El aprendizaje en la resolucin de problemas no se reduce solo al objeto matemtico involucrado, incluso, aunque algunos estudiantes no logren responder por s mismo al problema, el estar implicado en el proceso les permite un acercamiento y comprensin que no tendran al traba-jar de forma individual.

Es necesario recalcar que esta propuesta es un material complementario para el docente, que pretende guiar la incorporacin de actividades de resolucin de problemas en sus procesos de enseanza de la matemtica.

ProPuesta de Problemas

Aspectos generales

Estudiar matemticas no debe ser otra cosa que pensar en la solucin de problemas (Luis Santal, 1985)


Propsitos asociados al problema

Este problema plantea la necesidad de la descomposicin en factores primos como medio eficiente de resolucin. Proponer este tipo de situaciones al comienzo del estudio del tema de nmeros permitira al estudiante visualizar la importancia prctica de la factorizacin prima.

Tratamiento del problema y sugerencias didcticas

Es posible que los estudiantes se planteen como primera estrategia la bsqueda exhaustiva de la solucin, pero que no lleguen a determinar los nmeros de esta manera. Una segunda estrategia podra ser considerar casos ms simples, que complejizan de forma progresiva hasta determinar el patrn que les permite concluir la solucin.

El mtodo general para resolver este tipo de problema de forma eficiente es la descomposicin en factores primos. Se debe instar a los alumnos a desarrollarla y a concluir por ellos mismo la utilidad que esto les puede otorgar para la solucin al problema. La siguiente tabla muestra esta descompsicin:


Problema N1

Encuentra dos nmeros enteros positivos cuyo producto sea un milln y ninguno de los dos nmeros incluya ceros en su representacin.2

Problemas de nmeros

6 Problema propuesto en Principios y mtodos de la resolucin de problemas en el aprendizaje de las matemticas, Santos (1997, p. 123).

2 2

3 3

6 6

10 2 5

100 2 5

1000 2 5

1000000 2 5

=

=

=

=

1000000 2 500000 2 250000 2 125000 2 62500 2 31250 2 15625 5 3125 5 625 5 125 5 25 5 5 5

1

Por tanto 6 61000000 2 5= , de todas las combinaciones posibles para escribir este nmero como producto de dos nmeros que no contengan ceros en su representacin, cada nmero

no puede contener 2 y 5 a la vez. Luego los nmeros deben ser 62 64= y 65 15625= .

Se sugiere al profesor que posteriormente complemente este problema con otras situaciones de aplicacin de la factorizacin prima, como por ejemplo proponer la simplificacin de una fraccin en la que la factorizacin resulta ms til que la bsqueda de divisores comunes, como por ejemplo la simplificacin:

3 2 2

2 3 23528 2 3 7 25292 32 3 7

= =



Generalmente, las situaciones que se proponen a los alumnos se acotan a la ejecucin de tcni-cas o mtodos para su solucin, pocas veces se les pide responder a cuestiones de naturaleza tec-nolgica3 o terica. En este problema, a los estudiantes se les pide responder por qu y cmo es posible adivinar el nmero de palitos que quedan en la caja, lo que los llevar en ltima instan-

cia a considerar la descomposicin de nmeros en la forma 22 1 010 10 10n

na a a a+ + + +a partir de la cual puedan trabajar con los dgitos de cada nmero. Despus de este primer acercamiento con la descomposicin en suma de potencias de base 10, es posible profundizar otros aspectos que habitualmente no reciben explicacin, como por ejemplo la justificacin de los criterios de divisibilidad.


En una fase de accin, es natural que los alumnos intenten replicar el experimento, deben disponer de las cajas y es recomendable que todas ellas tengan distinta cantidad de palitos en su interior.

N de palitos en la caja

N que quedan la primera vez

Suma de los dgitos N que quedan la 2 vez

30 27 9 1830 25 7 1830 19 10 930 12 3 9

A partir de los resultados comenzara una fase de formulacin, en que tenderan a reconocer que el resultado es siempre un mltiplo de 9.


Problema N2

El profesor toma una caja de fsforos que contenga menos de 30 palitos, se la pasa a un alumno y le pide que saque todos los palitos que quiera, que cuente cuantos quedaron en la caja, sume los dgitos de ese nmero y vuelva a sacar de la caja esa cantidad de fsforos. El profesor toma la caja se la lleva al odo, la sacude varias veces y sin abrir la caja es capaz de adivinar la cantidad exactamente de palitos que quedaron en la caja. Puede repetir la operacin con dos o tres alumnos y luego pedir que expliquen matemticamente la situacin.

7 En la teora antropolgica de lo didctico (TAD), las tecnologas se entienden como un discurso que permite justificar racio-nalmente la forma en que acta una tcnica.

Pero an queda determinar como el profesor reconoce que mltiplo de nueve corresponde a los fsforos que estn en la caja. La explicacin es que el profesor, al sacudir la caja en su odo, va tanteando por el sonido que hacen los palitos dentro de la caja: si suena poco debe ser 9 fsforos, si se la caja hace ms ruido sern 18.

Aunque la conjetura de los alumnos resulte correcta y se compruebe empricamente, es nece-sario llevarlos a la etapa de validacin. El profesor debe plantear preguntas tales como por qu el resultado es siempre un mltiplo de 9?, cul es la explicacin matemtica?

En este proceso de validacin es necesario que los alumnos generalicen la situacin, utili-zando una notacin para cualquier nmero de dos cifras. Se puede hacer notar que la cantidad de palitos que quedan no dependen del nmero inicial de fsforos en la caja, sino de cuntos quedan la primera vez. Supongamos que la primera vez quedan ab fsforos, su expresin matemtica es

con

Como a esa cantidad se le resta la suma de sus dgitos, quedara

Lo que permite establecer, de forma general, que el resultado es siempre un mltiplo de 9.

La descomposicin en potencias de base 10 se instala como una herramienta que permite justificar ciertas propiedades de los nmeros, lo que se puede profundizar planteando la fun-damentacin matemtica de las reglas de divisibilidad.

Por ejemplo, un criterio de divisibilidad dice que un nmero entero es divisible por 3 si la suma de sus dgitos es mltiplo de 3, lo que puede ser comprobado con la descomposicin en suma de potencias de base 10. Veamos el caso particular de un nmero de cuatro dgitos abcd, de cuya descomposicin se tiene

Se observa que el nmero se descompuso en dos sumandos, el primero mltiplo de 3, solo basta que el segundo trmino a b c d+ + + sea mltiplo de 3 para que el nmero abcd sea divisible por 3.

10a b + ,a b

3 210 10 101000 100 10(999 1) (99 1) (9 1)

( 999 99 9) ( )3( 333 33 3) ( )

abcd a b c da b c da b c da b c a b c da b c a b c d

= + + += + + += + + + + + += + + + + + += + + + + + +


10 ( ) 10 9a b a b a b a b a + + = + =


En este problema se recurre a la visualizacin como herramienta para determinar el valor al que convergen las series geomtricas involucradas. A travs de una representacin figural es posible identificar el valor de las sumas infinitas implicadas en el problema. Tambin se puede recurrir a una comprobacin aritmtica y a la bsqueda de una frmula general.


Sera recomendable activar la discusin respecto de si estas suman convergen o divergen, lo que deberan acompaar con argumentos matemticos.

Despus de escribir las sumas involucradas se deben buscar estrategias para sumar los infini-tos trminos. Es probable que la accin de los estudiantes se reduzca a sumar algunos trmi-nos e intentar inferir el valor al cual tienden las sumas.

El resultado de algunas sumas parciales podra inducir al estudiante a afirmar que la primera persona se acerca pero no llega nunca al otro lado de la calle, ya que el numerador es siempre menor al denominador en las fraccin resultante

1 1 1 72 4 8 81 1 1 1 152 4 8 16 161 1 1 1 1 312 4 8 16 32 32

+ + =

+ + + =

+ + + + =


Problema N3

Si para cruzar una calle una persona recorre la mitad, luego la mitad de la mitad, despus la mitad de la mitad de la mitad, si as continua indefinidamente lograr cruzar la calle?Si otra persona lo hace recorriendo un cuarto del camino, luego avanza un cuarto del cuarto que ya recorri, y luego un cuarto de lo anterior, si sigue de esa forma qu parte de la calle lograr recorrer?

Del mismo modo, la sumas parciales del segundo caso

Mostrara que la segunda persona solo puede alcanzar a cubrir una parte de la calle.

Es necesario plantear al estudiante preguntas que lo lleven a precisar o justificar claramente sus afirmaciones, dado que los argumentos anteriores tienen no resultan conluyentes. El pro-fesor puede preguntar cunto le falta a la primera persona para llegar al otro lado?, qu parte alcanza a recorrer la segunda?...

El tratamiento aritmtico no le permite responder claramente a estas preguntas, debe buscar otros medios. Se puede proponer la siguiente figura

y esperar que los estudiantes concluyan que

La primera persona logra cruzar la calle. Para la segunda persona la suma es

Se puede sugerir la bsqueda de otra figura que les permita visualizar el valor de esta suma. Se les puede ayudar sealando que intenten hacer una descomposicin similar a la del cuadrado pero con un tringulo de Sierpinska.

1 1 1 214 16 64 641 1 1 1 824 16 64 256 256

+ + =

+ + + =

2 31 1 1 1 1 1 12 4 8 2 2 2

+ + + = + + + =

2 31 1 1 1 1 14 16 64 4 4 4

+ + + = + + + =


Un momento de observacin puede llevar a reconocer que la parte blanca est compuesta por tringulos que son la cuarta parte del tringulo ms grande y que en su conjunto equivalen a la tercera parte de toda la figura, por tanto:

2 31 1 1 14 4 4 3

+ + + =

Lo que implica que la segunda persona podr recorrer como mximo la tercera parte de la calle.

Se puede plantear una comprobacin aritmtica de estos resultados, recurriendo al siguiente argu-mento

:

Restando se tiene

21 12 2

S = +

312

+

2

1/2

1 12 2

S

+

=

312

+

( )

+

1 12 21 12 2

1

S S

S

S

=

=

=


De manera general, si 2 3S r r r= + + + entonces multiplicando por r y restando se tiene

Para todo { }1r

El alumno podr comprobar que

Como sugerencia, para seguir trabajando la visualizacin en los alumnos, el profesor puede proponerles que descubran la propiedad matemtica que describen las siguientes figuras4:

2 3

2 3( )

(1 )

1

S r r r

rS r rS r r

rSr

= + + + = + + =

=

2 31

1 1 1 1414 4 4 314

+ + + = =


8 En los libros de Roger Nelsen Proofs Without Words (vol. I y II) se puede encontrar gran variedad de estas figuras.


El nmero e es uno de los nmeros ms importantes en matemticas, est presente en los logaritmos naturales, en los modelos de crecimiento y decrecimiento y en muchas otras aplica-ciones. Sin embargo, su aparicin en la enseanza casi nunca se justifica, afectando el sentido que el estudiante le otorga al estudio de los objetos matemticos en los que interviene este nmero.

El nmero e apareci a principios del siglo XVII en torno al estudio de los logaritmos y del trabajo de Jacob Bernoulli sobre inters compuesto. Este problema plantea la reconstruccin del nmero e en ese mbito, aportando un contexto y significado en la emergencia de este nmero.


Es poco usual que una inversin reciba un 100% de inters anual sobre el capital, pero este valor es conveniente para nuestro propsito.

Invertir 1 peso al 100% anual genera 1 peso de ganancia, con lo que se tendra 2 pesos al final del ao. Si en vez de eso, reinvirtiramos el dinero cada 6 meses, en cada semestre aplicaramos un 50% de inters. El primer semestre tendramos una ganancia de 0, 5 pesos, reinvertimos entonces 1,5 pesos, ganando 0,75 pesos en los siguientes seis meses, con esto obtendramos la suma de 2,25 pesos al cabo del ao.

Repitiendo los clculos obtendramos 2,37 pesos reinvirtiendo cada 4 meses y 2,44 cada 3 meses. Como se observa en la medida en que reinvertimos en perodos ms cortos de tiem-po el monto es cada vez mayor, pero se detiene o sigue creciendo indefinidamente?

Podramos sugerir el clculo de los montos en perodos an ms breves, siguiendo la misma estrategia anterior o buscando una frmula para el monto.


Problema N4

Cunto dinero obtenemos al invertir $1, a un inters del 100% anual, al cabo de un ao? Y si pudiramos reinvertir el dinero en perodos cada vez ms breves (2 veces al ao, 3 veces, 6 veces, todos los meses, cada semana, todos los das, a cada segundo, etc.), Cunto dinero podramos ganar? Crecera ilimitadamente hasta hacernos millonarios?

Los siguientes clculos pueden describir esta frmula

Dinero al cabo de un ao:

Capital: 1

Ganancia: 1

Total al cabo del ao:

Dinero si se reinvierte dos veces en el ao

Capital: 1

Ganancia al cabo de 6 meses:

Capital a reinvertir:

Ganancia al cabo del ao:

Total al cabo del ao:

Por tanto, $1 al 100% anual reinvertido n veces al ao genera al cabo del ao el monto:

Esta expresin es el trmino general de una sucesin de nmeros reales

Encontrar los montos en distintos perodos es determinar algunos trminos de esta sucesin.

La siguiente tabla muestra algunos de estos valores.

( )111 1 1

1 + = +

1211

2+

1 112 2 +

21 1 1 11 1 12 2 2 2

+ + + = +

11n

n +

{ } 11n

na n

= +


Perodo de inversin

N de inver-siones al ao

Monto al cabo de un ao

1 vez al ao 1

Cada 6 meses 2

Cada 4 meses 3

Cada 3 meses 4

Cada mes 12

Cada da 365

Cada minuto 525.600

Cada segundo 31.536.000

En los trminos de la sucesin comienza a repetirse los dgitos, lo que lleva a concluir que la sucesin tiende a un valor lmite. Este valor lmite es el que conocemos como nmero e.

El nmero e corresponde al lmite de la sucesin { } 11n

na n

= +

, que al introducir la no-tacin de lmite puede ser descrito como

Esto implica que al invertir $1 al 100% anual, capitalizable de manera continua, se obtiene el monto lmite de e pesos al cabo del ao.

1

111 21

a = + =

2

211 2,252

a = + =

3

311 2,37037037...3

a = + =

4

411 2,44140625...4

a = + =

12

1211 2,61303529...

12a = + =

365

36511 2,714567482...

365a = + =

525600

52560011 2,718279243...

525600a = + =

31536000

3153600011 2,718281793...

31536000a = + =

2,71828182845904...e =

1lim 1n

ne

n = +



La eleccin de mtodos aritmticos por sobre los algebraicos se sostiene, muchas veces, por la tendencia de los alumnos a juzgar la pertinencia de sus estrategias de acuerdo a criterios de eficacia y no de eficiencia. Si el estudiante cree que un mtodo aritmtico es suficiente para resolver el problema, persistir en su utilizacin aunque reconozca que su aplicacin resulta ineficiente.

Este problema plantea una situacin que puede ser resuelta aritmticamente, una serie de clculos, por ensayo y error, les permitira encontrar algunos de los posibles resultados, sin embargo una formulacin algebraica del problema permitir refinar la bsqueda aritmtica. Con esto se pretende que el estudiante reconozca la utilidad y potencia de la modelizacin algebraica de los problemas.


Proponga el problema, propiciando la discusin y formulacin de estrategias, sin intervenir en el diseo o elaboracin de sus propuestas. Es probable que los estudiantes comiencen la bsqueda exhaustiva de las soluciones. Podra proponerles llevar un registro como el siguiente:

Largo Ancho rea Permetro = 1 2 2 6 NO SI

... hasta que se cumpla rea = permetro.


Problema N5

Encontrar todos los rectngulos cuyas medidas de sus lados estn dadas en nmeros enteros (positivos) y cuya rea y permetro sean numricamente iguales.5

Problemas de lgebra


Al encontrar una solucin, por ejemplo Largo = 3 y Ancho = 6, es posible que los estudiantes cesen la bsqueda. Ser necesario instarlos a preguntase si existen otras soluciones.

Establecer luego una instancia de debate en la que los estudiantes expongan sus soluciones y anlicen la eficiencia de los mtodos utilizados.

Proponga la utilizacin de variables para representar el largo y el ancho del rectngulo. Si el largo es a y el ancho es b, pregunte si es posible obtener una expresin que relacione el rea con el permetro.

La relacin sera

Al analizar esta igualdad se reconoce que b debe ser un entero mayor que 2.

La formulacin algebraica no permite encontrar los valores por si misma, pero si establecer una relacin de dependencia y ciertas restricciones para una bsqueda aritmtica ms restrin-gida. Las soluciones enteras para a y b son

b = 3 a = 6

b = 6 a = 3

b = 4 a = 4

An queda por discutir porqu no es posible obtener ms soluciones, se deja propuesto.

rea = permetro2 2

2 2( 2) 2

22

a b a bab a ba b b

bab

= + = =

=



El problema admite un tratamiento aritmtico, que puede ser optimizado por la descom-posicin en factores primos, pero tambin admite una formulacin algebraica. Lo interesante es establecer una reflexin sobre la utilidad de cada uno de estos mtodos.


Pregunta abierta. Qu nmeros creen, aproximadamente, ustedes que son los de estas pginas?

Es posible que los estudiantes intenten, por ensayo y error, determinar un rango en el que se encuentre la solucin, por ejemplo entre las pginas 50 y 60, ya que 50 50 2500 = y 60 60 3600 = .

Podrn combinar como ellos quieran, pero resulta ms eficiente si descartan algunos casos. Usando el concepto de mltiplo, se puede descartar 55 56 y 54 55, porque terminan en 0. Quedaran por analizar, los productos 51 52, 5354, 5657 y 5859, que terminan en 2.

Como el valor est prximo al valor medio entre 50 y 60, entonces puede ser 53 y 54 o 56 y 57; Se multiplican y se comprueba el resultado.

Sugiera realizar la factorizacin prima, si es que ninguno lo ha realizado. Obtendr:

3192 = 2223719

Probando combinaciones de factores cuyo producto est entre 50 y 60, se reducir los casos a los nmeros 56 = 2227 y 57 = 319.

Fomente la discusin sobre la eficiencia de esta estrategia en relacin con la anterior.

Sugiera la utilizacin de un smbolo literal para describir el problema de forma algebraica. Si x es el nmero de una de las pginas podras encontrar una expresin algebraica que represente el problema?, recuerda que son pginas seguidas.


Problema N6

Un libro se abre al azar. El producto de los nmeros de las dos pginas en que se abri el libro es 3192. Cules son los nmeros de las pginas en que se abri el libro? 6


Se obtiene las ecuaciones ( 1) 3192x x + = o ( 1) 3192x x = .

Resolviendo una de las ecuaciones cuadrtica equivalentes se obtiene el nmero de las pginas del libro

La solucin pertinente es 56x = . La respuesta son las pginas 56 y 57.

2

( 1) 31923192 0

( 56)( 57) 056 0 57 056 57

x xx xx x

x xx x

+ =

+ = + = = + == =



Al comenzar el estudio del lgebra, los estudiantes traen consigo las nociones y enfoques que usaban en la aritmtica. Es habitual que muchos de nuestros estudiantes sigan usando los mtodos que les funcionaban en la aritmtica, sin embargo la complejidad creciente de las organizaciones matemticas que se les presenta, comienza a limitar fuertemente el abanico de problemas que pueden llegar a resolver con este tipo de estrategias.

Este problema aborda articuladamente el pasaje de la aritmtica al lgebra, proponiendo el estudio de las soluciones de una ecuacin diofntica lineal8 como el eslabn entre la aritm-tica y el lgebra. La primera situacin admite una solucin aritmtica, mientras que la segunda requiere una modelizacin algebraica para plantear sus soluciones.

En el desarrollo del problema los estudiantes debern explorar, buscar representaciones, es-tablecer conjeturas, validarlas, construir modelos, lo que constituye una oportunidad para desarrollar una actividad matemtica que va ms all de la adquisicin de un conocimiento.


Al abordar el problema A), una estrategia puramente aritmtica implicara probar con distinto nmero de filas de cada pared, hasta encontrar la que cumple con el total de cermicos uti-lizados. As podran encontrar algunas soluciones, como por ejemplo 1 y 22, ya que 1 fila de 6 cermicos de Antonio ms 22 filas de 8 cermicos de Claudio hacen un total de 182 cermi-cos. Tambin pueden buscar los mltiplos de 6 y de 8 y ver aquellos que sumen 182.

Es posible que los alumnos encuentren otras soluciones, aunque les resultar difcil juzgar si lograron encontrar todas las posibles soluciones.


Problema N7

a) Dos obreros de la construccin, Antonio y Claudio, revisten paredes rectangulares con cermicos. La pared de Antonio tiene 6 cermicos en la base y la pared de Claudio tiene 8 cermicos en la base. Si entre las dos paredes se utilizan 182 cermicos Cuntas filas de cermicos puede tener cada pared?

b) Si la pared de Antonio tiene 6 cermicos en la base y la pared de Claudio tiene 8 cermicos en la base. y la pared de Antonio tiene 40 cermicos ms que la de Claudio Cuntas filas de cermicos puede tener cada pared? 7

11 Problema propuesto en el libro Entre aritmtica y lgebra: un camino que atraviesa los niveles primario y secundario Barrio, Lalanne y Petich (2010).

12 Ecuaciones del tipo ax + by = c.

Se requiere una generalizacin de la situacin lo que puede ser activado por algn tipo de representacin o por la comprensin de la tarea involucrada en la bsqueda anterior.

El problema se modeliza mediante la ecuacin 6 8 182x y+ = .

Las soluciones se pueden determinar listando todos los pares ordenados que satisfacen la ecuacin o por dependencia de una variable respecto de la otra. De hecho la relacin:

permite establecer las restricciones para x e y , con ,x y + .

La ecuacin tiene un nmero finito de soluciones enteras, dadas por:

La parte B) del problema puede admitir la bsqueda aritmtica de algunas soluciones, repetir ciertas estrategias, como por ejemplo buscar los mltiplos de 6 y de 8 y reconocer aquellos donde la diferencia es 40. Sin embargo, los alumnos tendrn dificultades para estimar el nmero de soluciones posibles. Ser necesario modelizar la situacin a travs de la ecuacin 6 8 40x y = y establecer la relacin de dependencia

La que permite reconocer que hay infinitas soluciones

Al observar la regularidad en los pares ordenados se puede plantear la solucin general

182 68

xy =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1,22 , 5,19 , 9,16 , 13,13 , 17,10 , 21,7 , 25,4 , 29,1 S =

3 54

y x=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 8,1 , 12,4 , 16,7 , 20,10 , 24,13 , 28,16 ,... S =

{ }(4 4,3 2) /S n n n += +



Cuando abordamos las temticas relacionadas con lgebra, esperamos que nuestros alumnos usen este conocimiento en los problemas que se les presenta, sin embargo, algunos recurren a la aritmtica, otros manipulan las representaciones icnicas y otros incluso los objetos tan-gibles, como medio para construir una respuesta.

En la resolucin de un problema el estudiante construye lo que se denomina un espacio de trabajo matemtico10, que le otorga elementos tericos y tcnicos para la elaboracin de una estrategia de solucin. Cada alumno construye un espacio propio, de acuerdo al conjunto de creencias que tiene sobre de los objetos matemticos involucrados, creencias que definen su forma de actuar, las herramientas que utilizar y los argumentos que aceptar, creencias que se constituyen en verdaderos paradigmas sobre los que sostienen el trabajo matemtico.

Muchas veces, los paradigmas en que estn situados los estudiantes no concuerdan con los paradigmas del profesor. En el caso del lgebra, se reconocen 4 paradigmas: uno bsico, que involucra la experimentacin con los objetos tangibles, otro que recurre a la aritmtica para resolver los problemas, otro que responde al lgebra elemental y uno ms elevado que utiliza la lgica y conjuntos. Es difcil pretender que un alumno, cuyo paradigma dominante es el de la aritmtica, elabore sus respuestas desde el lgebra elemental, lo ms probable es que se re-sista al uso del lgebra como herramienta para resolver problemas o que use inadecuadamente artefactos de la aritmtica en mbitos algebraicos. Este problema muestra los paradigmas so-bre los cuales un alumno puede responder a la pregunta formulada y su utilidad en contextos de enseanza.


Es difcil que este problema pueda ser abordado desde el paradigma ms elemental, resulta complicado trabajarlo con elementos concretos. De todos modos, de aparecer, el trabajo desde este paradigma se caracterizara por la falta de abstraccin y la ausencia de lenguaje matemti-co.


Problema N8

Cierto gaviln atac un palomar. Las palomas eran valientes y lo rechazaron. Maltrecho su orgullo, al huir, l dice Adis cien palomas, implicando con ello que slo en su nmero radicaba su fuerza. Pero una paloma le contesta: Nosotras, ms nosotras, ms la mitad de nosotras, ms la cuarta parte de nosotras, ms usted seor gaviln, s somos cien. cuntas son las palomas son?.9

13 Problema que aparece en el artculo Elementos para una aproximacin epistemolgica a un espacio de trabajo algebraico, Mena y Morales (2011).

14 Kuzniak (2011)

Los alumnos que se posicionan desde el paradigma de la aritmtica abordaran el problema como una cuestin de nmeros. La solucin se buscara por ensayo y error, comprobando que se cumplan las condiciones del problema. El enunciado permite inferir que el nmero buscado debe ser un nmero natural mltiplo de 4, se contina la bsqueda hasta encontrar la solucin o hasta agotar todos los casos. Si se reconoce que el nmero debe ser menor a 40, ya que es el primer mltiplo de 4 que en la suma excede a 100, la bsqueda se acota y rpidamente es posible llegar a comprobar que el nmero de palomas debe ser 36.

Desde el paradigma del lgebra elemental, el nmero de palomas es representado por un literal (incgnita), el estudiante debe ser capaz de traducir el enunciado a una formulacin algebraica y aplicar las tcnicas para resolver la ecuacin

Aunque los estudiantes no tienen los conocimientos para situarse desde un paradigma de mayor abstraccin, el problema an puede ser analizado desde la lgica. En este paradigma la ecuacin es una funcin proposicional que contiene una igualdad, las incgnitas son las variables de la funcin proposicional y sus soluciones un subconjutno de , para los cuales la funcin proposicional se transforma en una proposicin verdadera. Esta ecuacin sera la funcin proposicional

y su solucin el conjunto { } { }/ ( ) es 36S x p x V= =

Este ltimo paradigma puede proveer de sentido a situaciones difciles de interpretar desde el paradigma del lgebra elemental. Por ejemplo, si se les plantea las siguientes ecuaciones

2( 1) 1 1x x x+ = + + y 2( 1) 1 2x x x+ + = + +

Al reducir las ecuaciones con tcnicas del lgebra elemental se tiene que

y

Lo que para muchos alumnos no tiene mayor sentido.

Visto como funciones proposicionales ( ) : 2( 1) 1 1p x x x x+ = + + es verdadera para todo x , mientras que ( ) :2( 1) 1 2q x x x x+ + = + + es falsa para todo x , por tanto la primera tiene solucin S = y la segunda tiene como solucin al conjutno vaco S = .

1 1002 4x xx x+ + + + =

( ) : 1 1002 4x xp x x x+ + + + =

2( 1) 1 11 1

x x x+ = + +=

2( 1) 1 21 2

x x x+ = + +=



En el contexto escolar la nocin de proporcionalidad se admite como evidente y se suele ensear sin justificacin matemtica. Su tratamiento se acota al mbito de la aritmtica y se sustenta sobre la denominada regla de tres, un algoritmo que impide a los estudiantes comprender la naturaleza matemtica de la relacin de proporcionalidad y que es aplicado de forma indiscriminada, incluso en situaciones que no la requieren.

La organizacin matemtica clsica con la que se aborda los problemas de proporcionalidad gira en torno a la regla de tres, pero la falta de sentido que provoca, evidencia la necesidad de evolucionar hacia otras organizaciones matemticas. Una de ellas es la modelizacin algebraica, que justifica la proporcionalidad a travs del cociente contante y la otra la modelizacin funcional, que relaciona la proporcionalidad con un modelo lineal.

El propsito de este problema es modelizar, por medio de una funcin lineal, una situacin en la que interviene proporcionalidad. La situacin ofrece al estudiante el estudio de tcnicas y elementos tecnolgicos y tericos, que le permitira una comprensin ms amplia de este concepto.


Problema N9

El dibujo que se presenta es un rompecabezas denominado tangram. Se pide construir un rompecabezas ms grande pero preservando todas las formas, de modo que la parte que mide 4, deber medir 7 en el nuevo rompecabezas.11

6 5 2 6 7

5 2

4 2 5

Problemas de ProPorcionalidad y Porcentaje

15 Situacin Didctica planteada por Guy Brousseau (1987).


Un aspecto importante de esta situacin es que siempre posibilita la validacin de los resulta-dos. Al juntar las piezas se puede verificar si el rompecabezas que construyeron mantiene la forma. En la fase de accin, los estudiantes tenderan a aplicar una estrategia aditiva. Pasar de una medida de 4 a una de 7, implicara sumar 3 a todas las otras medidas.

Pero se verifica fcilmente que estas medidas no mantienen la forma de la figura, al juntar las nuevas piezas no forman un cuadrado. La estrategia aditiva puede plantearse de distinta manera, pero todas se mostrn inadecuadas al tratar de armar el puzzle.

En ese momento los alumnos tenderan a reconocer la proporcionalidad que subyace al prob-lema, pero en vez de fomentar el uso de la regla de tres, se puede aprovechar de introducir la utilizacin de un operador multiplicativo que conduzca a la determinacin de la funcin lineal involucrada.

El docente podra partir de la estrategia aditiva 3 + y preguntar, de qu otra manera podemos ampliar de 4 a 7 cm? Es posible que el estudiante no reconozca que en la transfor-macin puede intervenir un operador multiplicativo,

Que el operador multiplicativo sea una fraccin y no un entero resulta complejo para los alumnos. El docente puede intervenir preguntando de qu forma se podra cambiar de 4 a 8 cm. Inmediatamente los estudiantes relacionaran la transformacin con una multiplicacin, el problema se reduce a encontrar la constante que interviene en la multiplicacin que trans-forma 4 en 7. La estrategia multiplicativa implicara los siguientes resultados:

4 4 3 72 2 3 55 5 3 86 6 3 97 7 3 10

+ = + = + = + = + =

74

74 4 7472 2 3,5475 5 8,75476 6 10,5477 7 12,254

=

=

=

=

=


La relacin de proporcionalidad entre las medidas de la figura original y la construida, implica una relacin de dependencia que queda descrita por la funcin lineal

De esta manera es posible justificar matemticamente la proporcionalidad, que permite se-alar que dos variables x e y son proporcionales cuando existe una constante k > 0 , tal que

Esto es equivalente a establecer que son proporcionales cuando se relacionan de forma lineal.

Por ltimo, sera conveniente que el profesor exponga otras situaciones en las que se resuelva problemas de proporcionalidad por medio de la funcin lineal. Por ejemplo, si una mquina demora 12 minutos en producir 5 tornillos, si trabaja de igual manera, cunto demora en fabricar 2, 7, 12, 31 y 43 tornillos?

La funcin lineal involucrada sera ( ) 2,4f x x= . En vez de resolver 5 problemas de regla de tres, la solucin sera

7( )4

f x x=

y k x=

(2) 2,4 2 4,8(7) 2,4 7 16,8(12) 2,4 12 28,8(31) 2,4 31 74,4(43) 2,4 43 103,2

fffff

= == == == == =



En este problema se plantea una situacin en que el uso de proporciones para el clculo de porcentaje presenta limitaciones importante en la formulacin del problema y su solucin. Se propone la utilizacin de la expresin decimal del porcentaje y su uso como operador multi-plicativo, como medio eficiente de solucin.


Inicialmente algunos alumnos creern que la solucin es trivial. Si se aument el precio en un 10%, luego en un 20%, despus disminuye 10%, parece obvio que volver al precio incial implica disminuir un 20% el ltimo mes. Un anlisis ms riguroso del problema llevar al estudiante a descartar la interpretacin aditiva que hace de los procentajes. Los valores sobre los que se aplica un aumento o disminucin porcentual en cada mes van cambiando.

El hecho que el valor inicial de las acciones sea desconocido plantea una dificultad para el clculo de porcentaje a travs de proporciones.

Precio Mes de Enero 110%Precio Inicial 100%

El estudiante est acostumbrado a que en una proporcin 3 de los trminos sean conocidos, pero aqu conoce solo dos valores.

Para plantear la proporcin el alumno debera reconocer y activar el uso de incgnitas y par-metros. El precio del Mes de Enero sera la incgnita x, mientras que el Precio Incial sera un parmetro P. La distincin entre incgnita y parmetro es fundamental para proceder con claridad en los siguientes clculos, el estudiante debe comprender que aunque se utilizan literales para ambos precios, solo se debe buscar el valor de uno de ellos, manteniendo el otro literal como una constante. Las proporciones que se deben plantear para cada mes son:


Problema N10

El precio de las acciones de una empresa aumenta sucesivamente, un 10% en el mes de enero, valor que aumenta un 20% en febrero, en marzo esta cantidad disminuye un 10% y en abril vuelve a disminuir, en qu porcentaje disminuye el precio en el mes de abril para que las acciones terminen valiendo los mismo que al comienzo?

Es decir el ltimo mes debi disminuir aproximadamente en un 16%.

El desarrollo anterior est dado en trminos de un precio incial cualquiera P. El alumno po-dra haber ocupado un valor particular como precio incial, obteniendo el mismo resultado.

Para este problema el clculo de porcentaje a travs de proporciones resulta complejo. Usar la representacin decimal de porcentaje como operador multiplicativo resulta ms efectivo. Suponiendo un precio incial P y x la expresin decimal del porcentaje aplicado en el ltimo mes, toda la operacin puede resumir en una sola expresin

1,1 1,2 0,9 x P P =

Al resolver se tiene

Este resultado indica que para volver al precio incial, en el ltimo mes la disminucin debe ser de 16% aproximadamente.

110 1,1100

120 1,2 1,1 1,321,1 100

90 0,9 1,32 1,1881,32 100

1001,188 100

x x PP

x x P x PPx x P x P

PP x Px

P

= =

= = =

= = =

= =1,188 P

84%x

1,1 1,2 0,91,188 1

11,1880,84

x P Px

x

x

=

=

=



La pregunta involucra un anlisis de lo particular a lo general. La respuesta, inferida de casos particualres, debe ser validada a travs de una generalizacin algebraica. El problema tiene la finalidad de activar en el alumno la formulacin de conjeturas y de procesos de prueba para su validacin.


La respuesta incial de los estudiantes puede ser diversa, lo relevante es que sus afirmaciones sean respaldas con evidencias que vayan ms all a la exhibicin de un caso particular. Se pu-ede proponer comparar los porcentajes para valores

a b=

a b<

a b>

Las respuestas seguirn siendo inferencias basadas en situaciones puntuales, es necesario exi-gir un medio de prueba general. Los alumnos debern expresar el clculo de porcentaje de forma algebraica

El a% de b es igual a

El b% de a es igual a

Esto permite establecer que de manera general el a% de b es igual al b% de a.

Finalmente, se puede vincular este resultado con situaciones en contexto, por ejemplo, si a un artculo se le hace un descuento del 30% y adems debe pagar impuesto (IVA 19%), qu prefieres, que se te aplique el descuento primero y despus el IVA o al revs?

100 100a abb =

100 100b aba =


Problema N11

Qu es mayor el a% de b, o el b% de a?


Un fenmeno didctico muy relevante en el estudio de la matemtica es la atomizacin de los temas matemticos en los programas de estudio. Es habitual encontrar una desarticulacin en las organizaciones matemticas, que incide en su razn de ser, conceptos matemticos que se relacionan entre si aparecen desvinculados. Es el caso de los conceptos de potencia, raz y logartmo, que estn tratados como temas separados, pero que en su gnesis escolar pueden ser planteados desde un mismo tipo de situacin.

El objetivo del problema no es tratar de responder inmediatamente a cada pregunta, sino justificar la aparicin de los conceptos de potencia, raz y logaritmo, enfatizando su origen comn. Las respuestas se pueden obtener al profundizar el estudio de cada uno de estos ob-jetos matemticos.


Cada una de las preguntas implica una formulacin ba c= , donde la base a correponde al porcentaje aplicado en cada mes, el exponente b el tiempo en meses y c el porcentaje respecto del precio incial. Lo que cambia en cada caso es el lugar de la incgnita, lo cual permite definir los conceptos de potencia, raz y logaritmo.


Problema N12

a) Cada mes el precio de un artculo se disminuye un 10% respecto del valor del mes anterior. Qu porcentaje del precio inicial del artculo queda al cabo de 2 aos?b) Si al cabo de 4 meses el artculo se redujo a un 6,25% de su precio incial, cunto disminuy de forma contante cada mes?c) Si el precio del artculo aumenta mensualmente un 2%, Al cabo de cuntos meses el precio habr aumentado un 35% respecto del precio inicial?

Despus de mostrar el origen comn y la relacin entre estos conceptos, es necesario respond-er a los cuestionamientos propios de cada uno, cmo se calculan? cules son sus propie-dades?, etc., que puede deivar en el estudio de organizaciones matemticas independientes.



El tema de funciones suele ser presentado a travs de una exposicin abstracta y un trata-miento esencialmente algebraico, que no enfatiza su carcter de herramienta de modelizacin matemtica, til en la resolucin de problemas matemticos. La modelizacin es una activi-dad que justifica y da sentido al estudio de las funciones.

Este problema es una situacin de modelizacin en contexto geomtrico, que puede ser propuesta en el momento del encuentro con la organizacin matemtica de funciones, con el propsito de proveer de sentido al estudio de este objeto matemtico. Su desarrollo, adems, permitira introducir el uso de distintas representaciones semiticas para las funciones.


Problema N13

Un agricultor dispone de un terreno triangular, como se presenta en la figura, cuyos catetos y miden ambos 11 metros. Dentro de este terreno debe construir un cerco rectangular, En qu punto del lado debe fijar uno de los vrtices de manera que la superficie al interior del cerco sea mxima?12

ABC rectngulo en A

A B

C

P

D

E

Problemas de Funciones

16 Problema adaptado de La nocin de funcin: anlisis epistemolgico y didctico, Ruiz L. (1998, p. 207).


Los estudiantes se enfrentan a un problema en que disponen de un dibujo, lo que les permite visualizar la variacin del rea del rectngulo en funcin de la variacin de uno de sus lados. En principio, es posible que trabajen solo con el dibujo y de forma concreta, intentando en-contrar por bsqueda exhaustiva las medidas que maximizan el rea.

Esta estrategia podra no otorgarles el resultado que buscan, lo que permitira establecer la necesidad de activar el proceso de construccin de un modelo matemtico. Se puede interve-nir proponiendo la utilizacin de una variable que represente la longitud de uno de los lados del rectngulo y preguntar luego si es posible obtener una expresin matemtica para el rea del rectngulo.

Para construir el modelo matemtico los estudiantes se pueden apoyar en su conocimiento de geometra, transformando la frmula A b h= en la funcin matemtica

A partir de ah, se puede plantear el trabajo de representaciones y su utilidad para la solucin del problema, estableciendo la tarea de completar una tabla con los valores x y A(x).

P P

P

P

x

( ) (11 )A x x x=


x A(x)1234

En este momento se puede propiciar la discusin de los conceptos de imagen, pre-imagen, dominio, recorrido y la definicin de funcin.

La representacin tabular puede entregar al alumno una idea del comportamiento de la fun-cin, que le sugiera el valor de x donde el rea es mxima. Sin embargo, sera conveniente plantear la limitacin de la representacin tabular como medio para establecer la respuesta de manera exacta y preguntar a los estudiantes de que otra forma se puede representar una fun-cin. Puede surgir entonces el uso de la representacin grfica

Al identificar la grfica de la funcin cuadrtica con la parbola se puede fomentar la dis-cusin respecto de la obtencin del valor de la abscisa relacionada con el vrtice, que podra reconocerse como el punto medio de los valores donde la grfica intersecta al eje x, esto es

Para que el rectngulo tenga rea mxima P debe estar ubicado en el punto medio del seg-mento BC. La figura corresponde a un cuadrado de lado 5,5.

0 11 5,52

x += =


y

x


Este problema plantea la necesidad de modelar situaciones de proporcionalidad a travs de la composicin de funciones lineales. Su discusin podra dotar a la composicin de funciones de un significado y utilidad que el estudiante podra reconocer fcilmente, adems de poner en trminos prcticos la exigencia de explicitar el dominio de la funcin involucrada. Este problema puede ser propuesto a los alumnos en el momento del estudio de composicin de funciones y de dominio y recorrido.


Es posible que los estudiantes realicen la siguiente formulacin algebraica

donde asumen que 5 gallinas debe ser equivalente a 5G , una expresin en que el literal es utilizado como etiqueta y no como variable, es decir la letra G hace referencia a los objetos (gallinas) y no la caracterstica medible de esos objetos (nmero de gallinas). Las expresiones anteriores son incorrectas, al despejar y reemplazar G = 5, 5 gallinas no equivalen a 6 conejos,

sino 4,16 .

El problema implica una relacin de proporcionalidad

5 64 3G CC P=

=

5 55 6 5 4,166 6

G C C G C= = = =

56

GC= 4

3CP=


Problema N14

En una cierta colectividad indgena, donde no se utiliza dinero para comprar, se establecen las siguientes equivalencias para realizar cambios: por 5 gallinas se obtienen 6 conejos, mientras que por 4 conejos se obtienen 3 patos.13 a) Una persona quiere cambiar gallinas por patos. Puedes encontrar la relacin que determine, de manera general la equivalencia entre el nmero de gallinas y el nmero de patos?

b) Podras determinar en esta situacin una funcin matemtica?

17 Adaptacin del problema propuesto en el libro La nocin de funcin: anlisis epistemolgico y didctico, Ruiz L. (1998, p. 209).

El tratamiento aritmtico de las proporciones, al cual estn acostumbrados los alumnos, re-sulta imposible en este contexto, ya que el uso de variables requiere expresar la dependencia de una en trminos de la otra, lo que implica la construccin de las funciones lineales

Reemplazar la expresin de C en P involucra una composicin de funciones

La relacin 910

P G= implica que por cada 10 gallinas se obtienen 9 patos.

La relacin anterior es una funcin que requiere an precisar su dominio, de manera que las imgenes seanvalores enteros.

Si 9( )10

f x x= entonces el dominio de la funcin se restringe a los mtiplos naturales de 10.

65

C G=34

P C=

( ) ( ) 6 3 6 9( ) ( )5 4 5 10

P C G P C G P G G G = = = =

( ) { }10 /Dom f n n=



La matemtica se ha desarrollado por seres humanos, cuya actividad ha estado determinada por factores histricos y culturales, a travs de prcticas sociales que han favorecido la con-struccin del conocimiento matemtico. Una de las prcticas, que est en relacin con el concepto de funcin, es la prediccin. La necesidad de adelantarse de forma racional a los acontecimientos, ha llevado al hombre a generar modelos matemticos que permitan predecir los resultados asociados a una situacin.

Este problema plantea una actividad de prediccin, en que es necesario establecer qu tipo de modelo matemtico est implicado. A los argumentos, grficos o algebraicos se propone sumar estrategias de tipo variacional, que permitirn identificar el grado del polinomio invo-lucrado. Esta problema permite vincular la nocin de variacin en el contexto del estudio de funciones con el estudio futuro del concepto de derivada.


Para identificar el nmero mximo de porciones de acuerdo a la cantidad de cortes, los alum-nos pueden seguir valindose del dibujo.


Problema N15

Suponga que debe cortar una pizza con cierto nmero de cortes tratando de obtener la mayor cantidad de porciones posible. No importa si las porciones son distintas, como se muestra a continuacin.14

1 corte 2 cortes 3 cortes 2 porciones 4 porciones 7 porciones

a) Cuntas porciones como mximo se puede obtener con 50 cortes?b) Encuentre una frmula que permita predecir el nmero mximo de porciones que se obtienen al hacer x cortes.

18 Problema propuesto en matemticas ests ah?, (Paenza, p. 47)

N de cortes N mximo de porciones

0 11 22 43 74 115 16 6 22

Se podra seguir as hasta llegar a 50 cortes. Pero si preguntamos por el nmero de porciones con 728 cortes, la estrategia muestra sus limitaciones. Se requiere una frmula que permita predecir el nmero de porciones en funcin del nmero de cortes, qu funcin ser?

Es necesario reconocer el tipo de funcin. Los alumnos pueden intentar graficar los valores de la tabla como pares ordenados o plantear un tipo de funcin (polinomial) y buscar el valor de sus coeficientes a travs de un sistema de ecuaciones. De forma alternativa, proponemos el estudio variacional de la funcin.

A medida que se realizan cortes la pizza queda dividida en ms partes, cuntas ms?...La siguiente tabla permite mostrar este incremento


Diferencia

0 11 2 12 4 23 7 34 11 45 16 5 6 22 6

Se observa que esta diferencia tambin se incrementa con el nmero de cortes y que esa se-gunda diferencia ahora es constante



Diferencia Diferencia de las diferencias

0 11 2 12 4 2 13 7 3 14 11 4 15 16 5 1 6 22 6 1

Observemos como este comportamiento se repite en el caso de una funcin cuadrtica, por

ejemplo con 2( )f x x=

x ( )f x f ( )f 0 11 2 12 4 3 23 9 5 24 16 7 25 25 9 2 6 36 11 2

En esta funcin cuadrtica las diferencias de diferencias tambin son contantes, lo que per-mite inferir que la funcin que permite relacionar el nmero mximo de porciones con el nmero de cortes debe ser una funcin cuadrtica. studiemos el comportamiento variacional

de la funcin cuadrtica general 2( )f x ax bx c= + +

x ( )f x f ( )f 0 c1 a+b+c a+b2 4a+2b+c 3a+b 2a3 9a+3b+c 5a+b 2a4 16a+4b+c 7a+b 2a5 25a+5b+c 9a+b 2a 6 36a+6b+c 11a+b 2a


Para la funcin cuadrtica siempre se tiene que las segundas diferencias son contantes con ( ) 2f a = , lo que la caracteriza y permite reconocerla.

Si consideramos adems que (0)f c= , al mirar la tabla de las porciones de pizza se tiene que

( ) 2 1f a = = , por tanto 12

a = y que (0) 1f c= = .

Basta reemplazar en la funcin en cualquier valor para encontrar el valor de b . Por ejemplo,

Luego la funcin que establece la relacin entre el nmero de cortes y el nmero mximo de porciones de pizza es

Podemos determinar que con 50 cortes se obtiene un mximo de 1276 porciones

2

(1) 21 1 1 1 22

12

f

b

b

=

+ + =

=

21 1( ) 12 2

f x x x= + +

21 1( ) 50 50 1 12762 2

f x = + + =



Para responder la pregunta, es necesario modelar matemticamente el nmero de movimien-tos para pasar de la primera a la tercera torre. Resolver el problema implica experimentar, in-ferir y construir. El modelo matemtico puede ser inferido a partir de algunos resultados par-ciales o puede ser construido a travs de la bsqueda de la frmula de una sucesin recursiva.


La bsqueda comenzar con la experimentacin para casos particulares, con 2, 3 o 4 discos quizs. para sistematizar los resultados sugiera completar una tabla con el nmero de discos y el nmero de movimientos involucrado.

A modo de ejemplo, los movimientos para el caso 3n = discos son


Problema N16

De acuerdo a una leyenda india, los sacerdotes de un templo deban transferir una torre compuesta de 64 frgiles discos de oro, desde una parte del templo hasta otra, moviendo un disco a la vez. Todos los discos son de distinto tamao y por su fragilidad, nunca puede colocarse un disco ms grande sobre otro ms pequeo. Adems solo existe una torre intermedia en donde se pueden colocar los discos en forma temporal. La leyenda dice que el mundo terminar antes que los sacerdotes terminen su trabajo, tendr sentido esta afirmacin?

Al completar la tabla hasta 5n = se tiene

N de discos N movimientos1 12 33 74 155 31

En la tabla se puede observar la siguiente regularidad. El nmero de movimientos de cada fila se obtiene sumando al nmero anterior una potencia de 2:

N de discos N movimientos1 12 33 74 155 31

Infiriendo el trmino ensimo es

Se requiere estabelcer la fmula para esta suma. De manera algebraica se puede multilicar por 2 y luego restar.

Como el problema era traspasar 64 discos, el nmero de movimientos requeridos es

Teniendo en cuenta que un ao tiene 31.556.926 segundos y que cada movimiento se realiza en un segundo, los sacerdotes demoraran algo menos de 585 mil millones de aos (varias veces la edad del universo).

1

2

3

4

2 2

4 2

8 2

16 2

+ =

+ =

+ =

+ =

2 3 4 11 2 2 2 2 2nnS= + + + + + +

2 2nS =22+ 32+ 42+ 12n+ + 2

1 2

n

nS

+

= + 22+ 32+ 42+ 12n+ +( )

2 1nnS

=

6464

64

2 118446744073709551615

SS

=

=


Bibliografa

barrio, e., lalanne, l. & Petich, a.

2010 Entre aritmtica y lgebra: un camino que atraviesa los niveles primario y se-cundario. Ediciones Novedades Educativas.

chevallard, Y., bosch, m. & gascn, J.

1997 Estudiar Matemticas. El eslabn perdido entre la enseanza y el aprendizaje. Barcelona: Horsori.

cantoral, r., molina, J., snchez, m.

2005 Socioepistemologa de la Prediccin. En Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa (Vol 18, pp. 463-468). Mxico.

courant, r. & robbins, h.

1979 Qu es la matemtica?. Madrid: Aguilar.

crillY, t.

2012 50 cosas que hay que saber sobre matemticas. Barcelona: Ariel.

gascn, J.

2011 Qu problema se plantea el enfoque por competencias? Un anlisis desde la teo-ra antropolgica de lo didctico. Recherches en Didactique des Mathmatiques, Vol.31, n1 pp. 9-50.

Kline, m.

2009 Matemticas para los estudiantes de humanidades. Mxico: Fondo de Cultura Econmica.


KuzniaK, a.

2011 El espacio de Trabajo Matemtico y su Gnesis. Annales de Didactique et de Sciences Cogni-tives, volumen 16 p.9-24. IREM de Strasbourg.

mena, m. & morales m.

2011 Elementos para una aproximacin epistemolgica a un espacio de trabajo algebraico. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil.

Nelsen, R.

1993 Proofs Without Words. Exercises in Visual Thinking.

PolYa, g.

1981 Como plantear y resolver problemas. Mxico D. F.: Trillas.

ruiz, r., esPinoza, l., glvez, g., barbe, J. & olfos, r.

2010 Anlisis didctico en torno a la proporcionalidad en los distintos niveles de enseanza del sistema educativo. XIII jornadas nacionales de Educacin Matemtica, Via del Mar-Chile. SOCHIEM.

santos, l.

1997 Principios y mtodos de la resolucin de problemas en el aprendizaje de las matemticas. Mxi-co D. F.: Iberoamrica.


resolución de problemas

Documents