EL ENFOQUE CENTRADO EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS Y LA DIDCTICA DE LA MATEMTICAGustavo Cruz Ampuero - 20 de Noviembre de 2014En la actualidad, las concepciones y creencias del profesor han cobrado importancia en la interpretacin de las decisiones pedaggicas que toma. As, respecto de la importancia de este tema, Flores[1]afirma:Desde este paradigma basado en el pensamiento del profesor, se considera, pues, que la conducta cognitiva del profesor est guiada por el sistema personal de creencias y valores, que le confieren sentido a dicha conducta. Por su carcter inconsciente e impreciso, Clark y Peterson (1986), entre otros, dicen que hay que ayudar al docente a describir explcitamente el marco de referencia constituido por sus concepciones y creencias sobre la enseanza y aprendizaje.Thompson (1992) y Ernest (1989a) destacan la importancia que tienen adems las creencias sobre las matemticas para los profesores de matemticas, y junto con Cooney y Shealy (1994) y Ponte (1992), indican que la formacin de profesores debe tomar en consideracin la explicitacin y cambio de concepciones de los estudiantes para profesor de matemticas.En particular, las concepciones acerca de la matemtica que tiene el profesor tienen un papel fundamental en las decisiones pedaggicas que toma: para programar su curso, elegir y priorizar temas, tareas; para determinar la ruta de su sesin de aprendizaje; y, para determinar qu y cmo evaluar el rea.Las concepciones son un tipo de conocimiento no siempre evidente para cada individuo (implcito) que recoge lo que el sujeto cree o considera que es algo. Moreano[2], citando a Remesal afirma: la concepcin de un individuo acerca de una porcin de la realidad, tanto fsica como social, es el sistema organizado de creencias acerca de esa misma porcin de la realidad, entendidas estas como las aseveraciones y relaciones que el individuo toma como ciertas en cada momento determinado de su vida, que se originan y desarrollan a travs de las experiencias e interacciones Remesal (2006, p. 67).Skemp (1978) citado por Vilanova, nos presenta dos concepciones acerca de la matemtica:una distincin entre matemtica instrumental y matemtica relacional, en base al tipo de concepcin que cada una refleja. El conocimiento instrumental de la matemtica, es conocimiento de un conjunto de "planes preestablecidos" para desarrollar tareas matemticas. La caracterstica de estos "planes" es que prescriben procedimientos paso a paso a ser seguidos en el desarrollo de una tarea dada, en los cuales cada paso determina el siguiente. El conocimiento relacional de la matemtica, en contraste, est caracterizado por la posesin de estructuras conceptuales que permiten a quien las posee construir diferentes planes para desarrollar una tarea asignada. En el aprendizaje relacional los medios se independizan de los fines a partir del aprendizaje de principios inclusores adecuados para usarse en una multitud de situaciones o tareas[3].

Por su parte Godino[4], muestra los siguientes tipos de concepciones acerca de la matemtica por parte de los profesores:Concepcin idealista-platnica: considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemticas de forma axiomtica. Se supone que una vez adquirida esta base, ser fcil que el alumno por s solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten. Segn esta visin no se puede ser capaz de aplicar las matemticas, salvo en casos muy triviales, si no se cuenta con un buen fundamento matemtico. La matemtica pura y la aplicada seran dos disciplinas distintas; y las estructuras matemticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad. Las aplicaciones de las matemticas seran un "apndice" en el estudio de las matemticas, de modo que no se produciran ningn perjuicio si este apndice no es tenido en cuenta por el estudiante. (Pg. 20)

Concepcin constructivista: consideran que debe haber una estrecha relacin entre las matemticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el currculo. Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemticas antes de que les sea presentada. Los alumnos deberan ser capaces de ver cmo cada parte de las matemticas satisfacen una cierta necesidad. (Pg. 20 -21)

Actualmente, las investigaciones acerca de las concepciones acerca de la matemtica han tomado mucha importancia y permiten entender las razones por la que los profesores toman decisiones pedaggicas. As, un profesor instrumentalista, se preocupar por ensear prescriptivamente a sus alumnos los procedimientos de una manera amplia, rigurosa y detallada. Teniendo mucha atencin en cul procedimiento es mejor para cada caso y en la aplicacin, por parte de los alumnos, tal y como se les ense. Esto por sobre la enseanza de las nociones matemticas a la base, las situaciones reales en las que se presenta y los lmites de estas nociones.Por ejemplo: un profesor que trabaja en lgebra los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas con sus estudiantes -desde una concepcin Instrumental- partir presentndoles a sus alumnos los sistemas ms elementales y se preocupar de ensearles los distintos procedimientos de resolucin para los sistemas de ecuaciones y de que sus estudiantes ganen pericia en usarlos de manera rpida, en sistemas de ecuaciones cada vez ms operativamente complejos. Preocupndose que siempre sean sistemas compatibles y determinados pues lo que le importa es que sus estudiantes dominen los mtodos de resolucin de sistemas y que estos tengan respuestas vlidas (de preferencia, siempre una sola respuesta). Por su parte, un profesor con una concepcin platnica priorizara los analtico y subvalorara los mtodos grficos, por particulares y poco rigurosos.Por otro lado, un profesor relacional, priorizar el sentido del asunto: en qu situaciones se da, qu significa, cmo se representa. Incluso los lmites de la nocin: cundo es vlida, hasta dnde, cundo no.Por ejemplo, para el caso de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas desde una concepcin relacional- se trabajara de una manera ms inductiva las propiedades y las ecuaciones y la manera de emplearlas para deducir una forma de resolver los sistemas. Desde una concepcin constructivista, un docente, presentara situaciones realistas en las que se puede emplear sistemas de ecuaciones para representarlas; haciendo nfasis en el sentido, en lo que representan. En las diversas representaciones: verbal, analtica, grfica. Propondra sistemas de distinto tipo: compatibles y determinados, pero tambin, compatibles indeterminados e incompatibles. Vera, a partir de la situacin lo que significa cada uno de estos tipos y el significado de la soluciones (una, infinitas, ninguna).Sobre la concepcin constructivista de la matemtica, Godino[5]seala:En esta visin, las aplicaciones, tanto externas como internas, deberan preceder y seguir a la creacin de las matemticas; stas deben aparecer como una respuesta natural y espontnea de la mente y el genio humano a los problemas que se presentan en el entorno fsico, biolgico y social en que el hombre vive. Los estudiantes deben ver, por s mismos, que la axiomatizacin, la generalizacin y la abstraccin de las matemticas son necesarias con el fin de comprender los problemas de la naturaleza y la sociedad. A las personas partidarias de esta visin de las matemticas y su enseanza les gustara poder comenzar con algunos problemas de la naturaleza y la sociedad y construir las estructuras fundamentales de las matemticas a partir de ellas. De este modo se presentara a los alumnos la estrecha relacin entre las matemticas y sus aplicaciones.

Pero, qu significa saber matemtica?, tomando a Bohrquez, encontramos que desde una posicin instrumentalista, Thompson seala que, saber matemtica es equivalente a ser hbil en desarrollar procedimientos e identificar los conceptos bsicos de la disciplina. Mientras que si el docente entiende a la matemtica como una construccin social y cultural, entonces, saber matemtica es hacer matemtica.Como se puede apreciar, las concepciones acerca de la matemtica influyen grandemente en la tarea del profesor, por lo que es importante tomarla en cuenta en la formacin inicial y en servicio. Asimismo, estudios ms recientes han encontrado que es posible modificar estas concepciones tanto durante la formacin inicial, como la formacin en servicio. Sin embargo, la concepcin acerca de la matemtica que posee el profesor est acompaada de concepciones acerca del aprendizaje, lo que influye tambin en su labor docente, como por ejemplo en la formulacin de las metas de aprendizaje, la secuencia didctica y la metodologa que emplea. Llegando hasta las actividades que desarrolla en las clases, las ayudas didcticas (recursos y materiales) que emplea y los tiempos que le da a cada actividad.Respecto del aprendizaje, hay diferentes concepciones respecto a ste; desde el asociacionismo (conductismo), pasando por el procesamiento de la informacin, hasta el constructivismo. Cada una de estas posturas da como resultado decisiones pedaggicas que toma el profesor al momento de planificar, implementar o evaluar. Al respecto, Flores seala sobre el constructivismo psicolgico considera que las competencias y concepciones son construidas por los estudiantes. Aprender matemticas es construirlas, hacer. Esta construccin es planteada como respuesta a un conflicto cognitivo por los psiclogos constructivistas sociales (Pg. 57).Entonces, a manera de resumen, encontramos que el docente se encuentra en una compleja situacin, pues debe lograr que sus alumnos aprendan matemtica. Pero, entendiendo el aprendizaje desde una concepcin particular, por un lado. Y, por el otro, entendiendo la matemtica desde la propia concepcin que l tiene de la misma.

El enfoque centrado en la resolucin de ProblemasEl mundo en que vivimos presenta como caracterstica esencial el cambio. Incluso algunos estudiosos afirman que, a pesar de las diferencias especficas de cada sociedad, en la actualidad el cambio es lo nico que permanece como una constante. Asimismo, tambin podemos identificar otras caractersticas relevantes de nuestro tiempo, como son el avance de la ciencia y la creciente presencia de la tecnologa en casi todos los mbitos de la vida cotidiana.Por esa razn, la escuela entendida como la institucin encargada y especializada en la formacin de personas-- debe prepararnos para enfrentar los innumerables retos que plantea un mundo en constante cambio. Al respecto, los expertos coinciden en que las nuevas generaciones deben ser capaces tanto de solucionar situaciones problemticas novedosas (problemas) como de seguir aprendiendo de manera permanente y autnoma. Esto, desde una ptica ms amplia, est inscrito en la meta de la escuela de educar integralmente a las personas (lo que tambin puede ser visto desde la perspectiva de formar ciudadanos)[6].En ese sentido, consideramos que la educacin matemtica es un derecho, en la medida en que aporta a la formacin de los ciudadanos y los prepara para desenvolverse adecuadamente en la sociedad. Por ello, la educacin matemtica constituye parte fundamental de la formacin general bsica que debe recibir todo estudiante de la Educacin Bsica Regular (EBR). En este caso especfico, el aporte a la formacin se focaliza en procurar que cada estudiante sea capaz de usar la matemtica de manera consciente y deliberada para cumplir las metas que se ha planteado.Por otro lado, el conocimiento matemtico se relaciona directamente con un conjunto de capacidades a ser desarrolladas, como son la bsqueda y establecimiento de nuevas relaciones; la proposicin y verificacin de conjeturas; la elaboracin y revisin de argumentos fundamentados y la formulacin y resolucin de situaciones problemticas.Asimismo, creemos que tambin es necesario promover en los estudiantes determinadas actitudes. Entre ellas se pueden destacar la curiosidad, la bsqueda de la verdad, la persistencia, la creatividad, la minuciosidad, la valoracin del trabajo en equipo y la motivacin por el logro, entre otras[7].En la actualidad, la matemtica es entendida como una ciencia en permanente cambio y expansin y no una disciplina rgida y acabada. Asimismo, desde una perspectiva histrica, podemos comprobar que la ciencia matemtica se ha desarrollado de manera paulatina, respondiendo, en cada tiempo y sociedad, a los problemas concretos que se presentan.Es decir, la matemtica avanza gracias a los intentos por dar respuesta de manera colectiva o individualmente- a problemas reales que se le presentan a cada colectivo o cultura[8]. En ese sentido, afirmamos que el conocimiento matemtico es un producto social, y no solo un conjunto de conocimientos e ideas preexistentes, desconectados del medio. A continuacin, revisaremos algunos temas que consideramos fundamentales, relacionados con la matemtica y la educacin matemtica.Hace algn tiempo, Paul Halmos se preguntaba en qu consiste la matemtica.Consiste en aprender axiomas, teoremas, definiciones, frmulas, mtodos?. La matemtica afirmaba Halmos no podra existir sin esos ingredientes, que le son esenciales; sin embargo, el matemtico hngaro razonaba que es posible argir que ninguno de esos ingredientes est en el corazn del tema y que la principal razn para la existencia de los matemticos es resolver problemas. Con este raciocinio, concluy que la matemtica realmente consiste en problemas y soluciones: Pienso que los problemas son el corazn de las matemticas.El tiempo se ha encargado de confirmar la importancia y validez de esta propuesta, pues en la actualidad existe cada vez ms consenso en torno a llamarcompetenteen matemtica a la persona que es capaz de resolver problemas.En efecto, hoy la resolucin de problemas es considerada como el proceso ms importante de la educacin matemtica. Como se sabe, este enfoque surgi en los aos ochenta del siglo pasado, a partir de la propuesta del National Council of Teacher of Mathematics (NCTM)[9].Qu entendemos por Problema:Si bien la resolucin de problemas ha sido considerada siempre una parte importante de la educacin matemtica, es preciso definir lo que se entiende actualmente por problema. As, en la actualidad, se dice que un sujeto (individual o colectivo) se encuentra frente a un problema cuando se le presenta una situacin inicial insatisfactoria o incompleta; cuando se tiene, tambin, una situacin satisfactoria o completa a la que se quiere llegar, y no se conoce un procedimiento o camino para ir de la primera a la segunda situacin. Es decir, un problema es una situacin ante la cual el sujeto no tiene un camino conocido o automtico para resolverlo.

Qu entendemos por problema

Consecuentemente, la visin de la resolucin de problemas[10]ha variado desde:1)la tradicional enseanza para resolver problemas (que consiste en la enseanza de una gran variedad de problemas, dirigida a que los estudiantes resuelvan gran cantidad y variedad de problemas a fin de que pudieran resolver los problemas planteados en los libros y los exmenes);2)pasando luego por los importantes aportes de la enseanza sobre la resolucin de problemas (en la que se incorpora el aprendizaje de las estrategias heursticas);3)hasta llegar a la enseanza a travs de la resolucin de problemas.Visiones sobre la resolucin de problemasEnseanza para resolver problemasEnseanza sobre la resolucin de problemasEnseanza a travs de la resolucin de problemas

La meta es ensear una gran cantidad de problemas con el objetivo de que el estudiante pueda aprender la forma en que se resuelve cada uno de los problemas que aparecen en los libros y exmenes.La meta es ensear acerca de los problemas, los pasos para resolverlos, las estrategias heursticas, formas de representar las situaciones planteadas, etc.La meta es emplear a los problemas como la situacin ideal para construir nuevas nociones matemticas. Al enfrentarse a problemas convenientemente seleccionados por el docente, el estudiante se ver necesitado de descubrir y emplear ciertas nociones matemticas.

Como vemos en la tabla precedente, la funcin que cumple la resolucin de problemas ha variado considerablemente a partir de los avances que se han dado en la educacin matemtica.En el caso de la primera visin enseanza para resolver problemas-- nos encontramos ante una visin que ms que ensear (en el sentido amplio y actual del trmino), busca entrenar a los estudiantes para que se aprendan las formas de resolucin de los problemas tipo. Obtenindose como producto, en el mejor de los casos, que el estudiante solo puede hacer lo que se le ha enseado (aplicar recetas) y no enfrentarse a verdaderos problemas[11].En el caso de la segunda visin --ensear sobre los problemassubrayamos su principal aporte: la importancia concedida a que el estudiante vaya desarrollando estrategias de resolucin, ample su concepcin de matemtica y desarrolle sus capacidades matemticas.En el caso de la tercera visin ensear a travs de los problemas, tambin conocida como el ABP, Aprendizaje Basado en Problemas-- la resolucin de problemas se convierte en el contexto ideal para la presentacin, justificacin, construccin y robustecimiento de las nociones matemticas, dejando de lado ese limitado rol de problema de aplicacin del contenido previamente enseado.No obstante, se debe precisar que segn lo que se quiere lograr en particular es decir, segn cul sea la meta de aprendizaje- alguna de estas visiones podra ser ms adecuada que otra.Cmo se resuelve un problemaEn relacin a este punto, el matemtico hngaro George Polya, autor del fundamental libro Cmoplantear y resolver problemasy reconocido como el padre de la heurstica moderna introdujo las estrategias de resolucin de problemas (estrategias heursticas) y una propuesta general para resolver los problemas. As, Polya propuso 4 pasos:

Los cuatro pasos de Polya para la de resolucin de problemas

Este planteamiento es complementado con las propuestas de Alan Schoenfeld, quien adiciona a las heursticas ms elementos, llamados por l aspectos, para la resolucin de problemas. Entonces, tenemos:Recursos (conocimientos matemticos)Heursticas (estrategias para la resolucin de problemas)Control (mecanismo metacognitivo que direcciona el proceso de resolucin de problemas)Sistema de creencias acerca de la matemtica (es el marco que limita las posibilidades de lo que puede ser vlido para una persona en la resolucin de un problema de matemtica. Lo que se puede hacer, o no)El quehacer matemticoEste es el nombre que recibe la actividad que despliegan los profesionales en la matemtica los matemticos-- cuando se encuentran desarrollando su ciencia; es decir, cuando estn dedicados a la labor de producir nuevo conocimiento matemtico. En ese sentido, el quehacer matemtico es uno de los aportes fundamentales que la matemtica como ciencia puede hacer a la formacin bsica de cualquier ciudadano, siempre y cuando consideremos que el quehacer matemtico promueve el desarrollo de actitudes y capacidades intelectuales fundamentales o relevantes.Cmo debera ser, entonces, el proceso de aprender matemtica? Mejor, dejemos esta explicacin a Miguel de Guzmn:Cmo debera tener lugar el proceso de aprendizaje matemtico a cualquier nivel? De una forma semejante a la que el hombre ha seguido en su creacin de las ideas matemticas, de modo parecido al que el matemtico activo utiliza al enfrentarse con el problema de matematizacin de la parcela de la realidad de la que se ocupa.Se trata, en primer lugar, de ponernos en contacto con la realidad matematizable que ha dado lugar a los conceptos matemticos que queremos explorar con nuestros alumnos. Puestos con nuestros estudiantes delante de las situaciones-problema en las que tuvo lugar la gestacin de las ideas con las que queremos ocuparnos, deberemos tratar de estimular su bsqueda autnoma, su propio descubrimiento paulatino de estructurasmatemticas sencillas, de problemas interesantes relacionados con tales situaciones que surgen de modo natural.[12]Comparacin entre la Matemtica Instrumental y la Matemtica RelacionalComo hemos vista al principio de este documento, las concepciones acerca de la matemtica son realmente determinantes para las decisiones pedaggicas que toma el profesor. Sin embargo, es preciso precisar que si bien estas concepciones pueden ser modificadas, su cambio no es algo muy sencillo, entre otros por las ventajas que presenta. En ese sentido, presentamos un cuadro comparativo elaborado a partir de la propuesta del propio Skemp, citado por Godino[13]:Ventajas de la matemtica instrumentalVentajas de la matemticarelacional

1. Es usualmente ms fcil de aprender; por ejemplo, es difcil entender relacionalmente la multiplicacin de dos nmeros negativos, o la divisin de fracciones, mientras que reglas como Menos por menos, ms y para dividir por una fraccin, multiplicas en cruz se recuerdan con facilidad.1. Es ms adaptable a nuevas tareas. Al saber no slo qu mtodo funciona sino tambin por qu, el nio puede adaptar los mtodos a los nuevos problemas, mientras que si slo tiene comprensin instrumental necesita aprender un mtodo diferente para cada nueva clase de problemas.

2. Debido a que se requieren menos conocimientos, permite proporcionar la respuesta correcta de manera ms rpida y fiable que la que se consigue mediante un pensamiento relacional.2. Las matemticas relacionales son ms fciles de recordar, aunque son ms difciles de aprender. Ciertamente es ms fcil que los alumnos aprendan que el rea de un tringulo = (1/2) base x altura, que aprender por qu eso es as. Ahora bien, tienen que aprender reglas separadas para los tringulos, rectngulos, paralelogramos, trapecios; mientras que la comprensin relacional consiste en parte en ver todas estas frmulas con relacin al rea del rectngulo. Si se sabe cmo estn interrelacionadas se pueden recordar mejor que como partes desconectadas. Hay ms cosas que aprender las conexiones y las reglas separadas- pero el resultado, una vez aprendido, es ms duradero.

Como se puede apreciar en el cuadro anterior, la visin de la matemtica relacional contrasta con la visin instrumental que es la ms extendida entre los docentessegn la cual el manejo de informacin, definiciones y procedimientos son el objetivo central de la formacin matemtica.En contraposicin, podra decirse que la concepcin relacional es naturalmente compatible con el enfoque centrado en la resolucin de problemas. As, desde esta concepcin queda claro que el mero conocimiento de la informacin sobre un tpico matemtico no asegura la resolucin de los problemas de dicho tpico, sino que es necesario el trabajo de un conjunto de aspectos que llevarn al estudiante a ser competentes matemticamente. Esto quiere decir que hay que ser capaz de poner en uso dichos conocimientos en situaciones problemticas. Asimismo, podemos afirmar que los aprendizajes de un sujeto no estn circunscritos a lo que le ensearon en la clase, pues estos aprendizajes pueden ser adaptados a diversas situaciones y contextos, segn las necesidades de cada persona. Es decir, se logran aprendizajes funcionales y transferibles.Sobre la didctica de la matemticaLa didctica de la matemtica es un concepto complejo que se ha estudiado y redefinido varias veces. As, Isabel Vargas la define de la siguiente manera:Ciencia del desarrollo de planificaciones realizadas en la enseanza de las matemticas. Los objetos que intervienen son: estudiantes, contenidos matemticos y agentes educativos. Sus fuentes de investigacin son los alumnos, situaciones de enseanza-aprendizaje, puesta en juego de una situacin didctica y los fenmenos didcticos.Tiene como objetivo observar la produccin de los alumnos y analizarla desde tres puntos de vista: estructura matemtica, estructura curricular y estructura cognitiva y operacional.[14]Por su parte, Vergnaud, citado por DAmore, dice lo siguiente, en relacin a la didctica:Se necesita descartar todo esquema reduccionista: la didctica no es reducible ni al conocimiento de una disciplina ni a la psicologa, ni a la pedagoga, ni a la historia, ni a la epistemologa. Supone todo eso, pero no se le puede reducir; tiene su identidad, sus problemas, sus mtodos. Este es ahora un punto aceptado por los investigadores que se hallan empeados en este camino[15]Asimismo, Fandio Pinilla, tambin citado por DAmore, presenta la siguiente reflexin:La investigacin en didctica tiene por lo tanto objetivos requeridos con base en necesidades, con base en exigencias concretas que se pueden expresar por ejemplo a travs de las siguientes preguntas: Qu se debe hacer y saber para hacer ms eficaz la enseanza? Cmo aprenden los estudiantes? Cules son los instrumentos metodolgicos para adaptar la enseanza a las capacidades individuales? Cmo valorar la eficacia de la eleccin metodolgica? Cmo y con cules instrumentos evaluar?[16]En la actualidad, los estudios de didctica tambin coinciden al plantear la necesidad de entender a la matemtica desde una concepcin relacional; asimismo, reconocen la fundamental importancia de la resolucin de problemas y plantean el quehacer matemtico como un elemento clave para la formacin de los estudiantes (Schoenfeld[17], Santos Trigo[18]).En conjunto, se busca desarrollar en los estudiantes actitudes, habilidades y nociones matemticas que les permitan resolver situaciones problemticas en diversos contextos, ms all del ambiente escolar, mediante un trabajo que apunte a que el estudiante construya aprendizajes funcionales que se constituyan en herramientas para un adecuado desempeo en su medio (y no solo en los exmenes de matemtica durante su formacin escolar).Sobre la demanda cognitivaLa demanda cognitiva puede ser descrita como la caracterizacin que se hace de las tareas que se proponen al estudiante, segn la complejidad de los procesos cognitivos involucrados en la resolucin de dicha tarea. Tambin podra decirse que la demanda cognitiva clasifica las tareas asignadas al estudiante segn el tipo de pensamiento que le exige la resolucin de dicha tarea.Para poder clasificar a los diferentes tipos de demanda cognitiva, se puede considerar tambin la posibilidad de transferir lo aprendido; es decir, la posibilidad de adaptacin del nuevo aprendizaje a diversas situaciones o contextos.Respecto de las categoras, algunos estudios identifican procesos de baja, media y alta demanda cognitiva (TIMSS). Otros, aunque las mencionan con otro nombre (Tipos de Competencia), identifican tareas de diferentes tipos: Reproduccin, Conexiones y Reflexin (PISA). A continuacin se presenta la clasificacin presentada por Stein (2000), que presenta dos niveles[19]:-Las tareas de baja demanda cognitivaestn constituidas tanto por la memorizacin/evocacin de datos, smbolos, terminologa, como por la ejecucin de los llamados procedimientos sin conexiones. Por lo comn, son las tareas rutinarias que se aprenden por repeticin. Por ejemplo, el aprendizaje mediante la ejercitacin del algoritmo para calcular por escrito la suma de varios nmeros presentados uno bajo el otro (sin contexto) u otros procedimientos, generalmente de clculo[20]. En todo este conjunto de tareas, la caracterstica comn es que para su ejecucin no es necesaria la comprensin de las nociones matemticas involucradas, ni las razones, contextos o lmites de su uso. Solo es necesario aprender el procedimiento para ejecutarlas.-Las tareas de alta demanda cognitivason aquellas que implican, por parte del estudiante, la comprensin de las situaciones propuestas, relacionarlas con aprendizajes anteriores, representarlas de alguna otra manera, adaptar lo aprendido, evaluar la pertinencia de aplicar algn procedimiento, elaborar un nuevo producto (o forma de hacer algo), etc. Dentro de este tipo de tareas se incluyen: los procedimientos con conexiones (con contexto), la resolucin de problemas no rutinarios, el establecimiento y verificacin de conjeturas, la generalizacin, la construccin de definiciones o propiedades y el hacer matemtica (usar la matemtica en situaciones, segn los propios fines del estudiante).Se presenta, a continuacin, un cuadro con algunos ejemplos de cada uno de estos dos tipos de tareas:Tareas de baja demanda cognitivaTareas de alta demanda cognitiva

Memorizacin:de datos: = 3,14de frmulas: rea= base x alturade definiciones: nmero impar es aquel que no es divisible entre dos.

Procedimientos sin conexiones:Calcula:245 + 78 + 2 983Halla el promedio de los siguientes nmeros:11; 12; 31; 46;Procedimiento con conexiones:Telefnica ha lanzado un celular post pago a S/. 25,00 mensuales. T deseas saber el costo en nuevos soles. Cmo realizaras esta tarea?

Resolucin de problemas no rutinarios:Tengo 3 monedas. Cunto dinero tengo?Completa: 1; 1; 2; 3; 5; 8; Construye un cuadriltero que tenga tres de sus lados iguales y el cuarto lado diferente.

La importancia de la demanda cognitiva en las tareas que se presentan en la clase de Matemtica estriba en que sta puede hacer la diferencia entre que los estudiantes accedan a una comprensin superficial o la comprensin profunda de las nociones matemticas.Es decir, las tareas de baja demanda cognitiva por lo general estn enfocadas a que el estudiante aprenda el cmo se hace y no el para qu, por qu o en qu condiciones se puede hacer, etc. Esto dara como resultado que los estudiantes accedieran a una comprensin superficial de los conceptos matemticos; es decir, que manejen procedimientos sin entender de qu se trata y que, finalmente, los confundan u olviden.Por otro lado, las tareas de alta demanda cognitiva aportan a la comprensin profunda, pues estn dirigidas a que los estudiantes construyan la nocin matemtica que subyace, soporta y justifica una actividad, por ejemplo, de clculo. Las tareas de alta demanda cognitiva estn dirigidas a que el estudiante aprenda el por qu, para qu y cundo usar un aprendizaje.La resolucin de problemas como estrategia metodolgicaUn elemento que consideramos imprescindible en el proceso de enseanza-aprendizaje de la matemtica, es la resolucin de problemas. Esta actividad, realizada adecuadamente en las sesiones de aprendizaje, propicia la construccin de aprendizajes significativos, pues al resolver problemas, los estudiantes encuentran el lugar de cada nocin matemtica, tanto en el medio que los rodea como entre las nociones matemticas que maneja. Adems, encuentra un ms profundo significado de las nociones matemticas involucradas, ya que es posible identificar la relacin entre los aprendizajes, su sentido en la realidad y, por tanto, encontrar la finalidad de su aprendizaje.Por tanto, la actividad que realiza un estudiante es comparable al quehacer de los propios matemticos cuando llevan a cabo sus investigaciones, ya que:Investiga y trata de resolver problemas, predice su solucin (formula conjeturas)Trata de probar que su solucin es correctaConstruye modelos matemticosUsa el lenguaje y conceptos matemticos, incluso podra crear sus propias teorasIntercambia sus ideas con otros y reconoce cules de estas ideas son correctas conforme a la cultura matemtica, y entre todas ellas elige las que le sean tiles.ReferenciasBOHRQUEZ, Luis (2013).Cambio de concepciones de un grupo de futuros profesores de matemtica sobre su gestin del proceso de enseanza-aprendizaje en un ambiente de aprendizaje fundamentado en la resolucin de problemas. Disponible en Internet:http://www.centroedumatematica.com/memorias-icemacyc/126-506-3-DR-C.pdf

CUETO, Santiago, Cecilia RAMREZ, Juan LEN y Oscar PAIN (2003) Oportunidades de aprendizaje y rendimiento en matemtica en una muestra de estudiantes de sexto grado de primaria de Lima. Lima: Grupo de Anlisis para el Desarrollo (GRADE), 2003. Documento de trabajo 43. 99 p.http://www.grade.org.pe/download/pubs/ddt/ddt43.pdf

CRUZ, Gustavo (2010)Propuesta Pedaggica para el rea de Matemtica del Nivel Primario.Programa Construyendo Escuelas Exitosas - IPAE EDYGE. Plan PIENSO

D AMORE, B. (2006).Didctica de la matemtica. Bogot: Cooperativa Editorial Magisterio, Universidad de Bologna, 2006. 470p.

DELGADO, J. (1997).Cuestiones de didctica de la matemtica: conceptos y procedimientos en la educacin polimodal y superior. Rosario: Homo Sapiens Ediciones.

FLORES, Pablo. (1995)Concepciones y Creencias de los Futuros Profesores sobre las Matemticas, su Enseanza y Aprendizaje. Evolucin Durante las Prcticas de Enseanza. Disponible en Internet:http://www.ugr.es/~pflores/textos/aRTICULOS/Tesis/Tesis.pdf

GODINO, J. D., Batanero, C. y Font, V. (2003).Fundamentos de la enseanza y el aprendizaje de las matemticas. Departamento de Didctica de las Matemticas. Universidad de Granada. ISBN: 84-932510-6-2. Disponible en Internet:http://www.ugr.es/local/jgodino/

GODINO, J. (2003).Didctica de las Matemticas para Maestros.http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/9_didactica_maestros.pdf

GODINO, J. (2003). Matemticas para Maestros.http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/8_matematicas_maestros.pdf

MOREANO, G. Asmad, U. Cruz, G y Cuglievan, G.Concepciones sobre la enseanza de Matemtica en un grupo de docentes de primaria de escuelas estatales de Lima. Revista de Psicologa de la Pontificia Universidad Catlica del Per. Vol.XXVI (2) 2008. Disponible en Internet:file:///C:/Users/gcruz/Downloads/1064-4108-1-PB.pdf

PONTE, Joo Pedro da.Las creencias y concepciones de maestros como un tema fundamental en formacin de maestros(1999). Disponible en:http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/docs-sp/Las%20creencias.doc

PISA (2006). Pisa 2006:Marco de la evaluacin. Ministerio de educacin y ciencia.http://www.ince.mec.es/marcosteoricospisa2006.pdf

POLYA, G. (1965).Cmo plantear y resolver problemas.Mxico: Trillas. 215p.

SANTOS, L. M. (1992).Resolucin de problemas: el trabajo de Alan Schoenfeld. Una propuesta a considerar en el aprendizaje de las matemticas. Educacin Matemtica, vol. 4, (2),16-24. Grupo Editorial Iberoamericana

STEEN, L. A. (1990).Alfabetizacin Matemtica.Stolaf. Daedalus, 119, (2), 211 231.http://www.stolaf.edu/people/steen/Papers/numeracy.html

STEEN, L. A. (1998).La enseanza agradable de la Matemtica. Mxico, D. F.: MSEB / Limusa. 240p.

VILANOVA, Silvia; Rocerau, Mara C.; Oliver, M. Isabel; Vecino, Susana; Medina, Perla; Astiz, Mercedes; Valdez, Guillermo y Alvarez, Estella. (2001)Concepciones y creencias sobre la matemtica. Una experiencia con docentes de 3er. Ciclo de la Educacin General Bsica. Argentina. Disponible en Internet:http://www.rieoei.org/experiencias9.htm

[1]Flores, Pablo. Concepciones y Creencias de los Futuros Profesores sobre las Matemticas, su Enseanza y Aprendizaje. Evolucin Durante Las Prcticas De Enseanza[2]Moreano, G. et. al. Concepciones sobre la enseanza de Matemtica en un grupo de docentes de primaria de escuelas estatales de Lima. (2008)[3]Vilanova, S. et al. Concepciones y creencias sobre la matemtica. Una experiencia con docentes de 3er. Ciclo de la Educacin General Bsica[4]Godino, J., et. al Fundamentos de la Enseanza y el Aprendizaje de las Matemticas para Maestros[5]dem, Pg. 21[6]Tambin puede entenderse como la respuesta a la aspiracin a formar personas capaces de desenvolverse adecuadamente en la sociedad y aportar al desarrollo de la misma teniendo como teln de fondo el desarrollo sostenible y la democracia.[7]El conocimiento matemtico no es concebido como la repeticin de relaciones establecidas previamente por otros matemticos, de la aplicacin descontextualizada de algoritmos o de la repeticin de demostraciones elaboradas por otros.[8]Los ejemplos histricos son numerosos. Solo como ilustracin mencionamos que nuestros antepasados que vivieron en la poca de esplendor de la Cultura Nazca (Siglos I-IV d.C.), tuvieron que hacer matemtica para poder dar forma a las notables y conocidas Lneas de Nazca. Estas lneas, trazadas con sorprendente maestra, nos evidencian que los miembros de esta comunidad manejaron --entre otras-- nociones de medicin, geometra y proporcionalidad, adems de tcnicas para plasmar dichas nociones en proporciones gigantescas. As, se tiene que una de las lneas rectas que compone la figura del Pjaro Gigante, que tiene una longitud aproximada de 300 metros, ostenta una desviacin de solo 10 centmetros, lo que es un logro tecnolgico sorprendente.[9]Organismo impulsor del llamado Enfoque centrado en la resolucin de problemas.[10]GARCA CRUZ, Juan Antonio. La Didctica de las Matemticas: una visin general. Disponible en Internet enhttp://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm[11]Que no se vaya a entender que se descarta totalmente el valor de esta visin. Es decir, puede ser necesaria para el momento de prepararse para una prueba de seleccin. Por ejemplo, para prepararse para un examen de seleccin universitaria especfico. Pero esta preparacin tiene sentido y tendr resultados- luego de haber pasado por otras fases previas y fundamentales.[12]DE GUZMN, Miguel. Tendencias innovadoras en educacin matemtica OEI para la Educacin, la Ciencia y la Cultura. Consultado: 12 de marzo 2010.http://www.oei.es/edumat.htm[13]GODINO J. et al. Fundamentos de la enseanza y el aprendizaje de las matemticas para maestros, Pg. 59. Disponible en Internet en:http://matesup.utalca.cl/modelos/articulos/fundamentos.pdf[14]VARGAS CALVERT, Isabel M. DIDCTICA I DE LA MATEMTICA.http://mat.uv.cl/profesores/apuntes/archivos_publicos/7543144551_art_Didcactica%20de%20la%20matematica.doc[15]DMORE, Bruno. Didctica de la matemtica. Bogot, Cooperativa Editorial magisterio, Universidad de Bologna, 2006.Pg. 48.[16]dem, Pgs. 47 y 48[17]SCHOENFELD, Alan. Mathematical Problem Solving. New York: Academic Press, 1985[18]SANTOS TRIGO, Luz Manuel. Principios y mtodos de la resolucin de problemas en el aprendizaje de las matemticas. Grupo editorial Iberoamericano, Mxico, 1996.[19]Adaptado de:http://blog.pucp.edu.pe/item/15934 y de:http://www.grade.org.pe/download/pubs/ddt/ddt43.pdf[20]30 Por tratarse de una propuesta para el nivel primario, solo se presentan ejemplos sobre contenidos asociados a la primaria. No se vaya a entender que el contenido, o la complejidad del mismo, determina la pertenencia de una actividad a esta categora. Presentamos, a continuacin algunos ejemplos para los niveles secundario y superior. Algunas tareas de baja demanda cognitiva: aprenderse los casos de factorizacin, el procedimiento para una divisin de polinomios, el procedimiento para levantar la indeterminacin de un lmite finito, mediante la factorizacin y la cancelacin del factor presente en el numerador y denominador, etc.