CAPITULO 6METODO DE LAS DEFORMACIONES ANGULARES6.1 GENERALIDADESEl mtodo de las deformaciones angulares que se desarrolla en este captulo, y tambin conocido con el nombre de slope-deflection method, o tambin de Deflexin de la pendiente.Como proceso orgnico fue presentado en 1915 por el profesor George Q. Maney(1). Tiene como antecedente inmediatos al libro publicado por Axel Bendixen(2), as como un trabajo expuesto por Mohr en 1892(3)En las estructuras continuas o aporticadas con alto grado de hiperestaticidad existe un gran nmero de incgnitas redundantes y si se aplica alguno de los mtodos energticos o el de las fuerzas habr una incgnita por cada redundante resultando muy tediosa la resolucin del sistema de ecuaciones simultaneas planteadas, salvo que se tenga la probabilidad de resolver el sistema de ecuacin por computacin electrnica: un mtodo que reduzca la cantidad de ecuaciones simultaneas fue decisivo. Tal es el mtodo que aqu se expone que en muchos casos es de muy alta eficiencia Con este mtodo las incgnitas redundantes son primero expresadas en funcin de ciertas deformaciones bsicas, deformaciones que se calculan planteando ecuaciones de equilibrio esttico; Los valores asid terminados para las deformaciones son reemplazadas en las expresiones originales para las redundantes en trminos de tales deformaciones.

(1) G.A Maney, Secondary stresses and other problems in rigid frames. A anew method of solution.- Studies in Engineering N1, Universite of Minnesota, Marzo 1915.W.M.Wilson y G.A.Maney, The wind stresses in the steel frames of office buildings (Bull N 80 Eng. Experiment Station, University of Illinois 1915)(2) Axel Bendixen, ! Die Mthode der Alpha- Gleichungen zur Berechnung von Rahmenkonstionen; Berlin, ed. Springer verlag, 1914.(3) Otto Mohr, Zivilingenieur (Dic. 1892-Enero 1893)

Por ejemplo el prtico de la figura 6.1 (a) es de 6to grado de hiperestaticidad (externa nicamente) y para poder calcular directamente las redundantes se necesita plantear un sistema de 6 ecuaciones: Segn el mtodo de las deformaciones angulares para este caso se razona as1. La nica deformacin angular que se presenta en el giro del nudo 2, Fig.6.1 (b); consideramos pues 2 como la deformacin o incgnita bsica.2. Si suponemos que el nudo 2 esta momentneamente sujeto se tendr los tres elementos de la estructura perfectamente empotradas en sus extremos; pueden calcularse los momentos de empotramiento perfecto (Mi2 y M1i, siendo i= 1, 3, 4) tratando separadamente cada uno de los elementos como si fueran piezas perfectamente empotradas en sus extremos. En cada extremo el momento verdadero final o real difiere del momento de empotramiento perfecto nicamente por la influencia del giro del nudo 2.3. Se plantean las expresiones para los momentos en los extremos debidos al giro del nudo 2; en general tales expresiones, en el presente caso conforme veremos ms adelante, son:Mi2 = Ki2 2I = 1, 3, 4

M2i = K2i 24. Superponiendo en cada extreme de elemento el momento de empotramiento perfecto con el momento correccin por el giro 2, se tienen los verdaderos momentos finalesMi2 = Mi2 + Mi2M2i = M2i + M2i5. Para calcular el valor de 2 es posible plantear la ecuacin de equilibrio esttico en el nudo 2, es decir que la suma de todas los pares o momentos en los extremos de los elementos all concurrentes debe ser igual a cero: De donde:Es decir que:6.2 Convencin de Signos.- En la aplicacin de este mtodo se seguir la siguiente convencin de signos:1. El giro o rotacin de un nudo o el de un elemento ser positivo si es en el sentido horario2. El momento resistente o reaccin (Ver Ejm. 1.4.3),es decir, el par que el nudo o extremo aplica al elemento ser positivo si es del sentido horario3. El esfuerzo cortante (ver Ejm 1.4.4) ser positivo si considerando la suma de las fuerzas que quedan antes de la seccin, la resultante apunta hacia arriba en elementos horizontales o hacia la izquierda en elementos verticales6.3 Ecuaciones fundamentales.- Consideremos un elemento ij, Fig 6.2, que forma parte de una estructura aporticada: el elemento es de seccin variable, con empotramientos elaticos en sus extremos, sujeto a la accin de un sitemade cargas cuaqluiera: debido a las cargas en el elemento y en los dems que conforman la estructura y las caractersticas fsicas del conjunto, este elemento se traslada a la posicin ij, producindose desplazamientos y giros. Se generan en los extremos los momentos o pares Mij y Mji, las fuerzas cortantes Qij y Qjiy las fuerzas normales Nij y Nji que los nodos i y j aplican respectivamente al elemento: Omitiendo las deformaciones longitudinales de los elementos por efecto de las fuerzas normales podemos considerar que los desplazamientos horizontales ui y uj son iguales entre si; consideremos asi mismo que las fuerzas cortantes y normales correspondan a la posicin original del elemento prescindiendo de las deformaciones y desplazamientos que se generan.Debido a la diferencia de desplazamientos verticales de los extremos, el elemento gira el Angulo ij:

Hacemos uno de los nfasis nicamente en los casos o aspectos que resulte mecnicos para evitar con fusiones o para lograr una mayor precisin.La posicin deformada ij la consideramos como la superposicin de las situaciones que se indican en la fig. 6.3, de lo que tendremos

(6.2)

Donde: y Son los momentos de empotramiento perfecto o momentos primarios que podemos obtenerlos de la tabla n4 para los elementos de seccin constante o de las tablas n21 o 29 (Volumen II) y de las figuras que aparecen en el anexo B de este volumen, para secciones variables

Es el par que al aplicarse en el extremo i produce el giro en ese extremo, y genera en el extremo opuesto el par .estos momentos los obtenemos adaptando a este caso las expresiones (3.2.8); as:y Similarmente a los momentos anteriores los obtenemos adaptando dos expresiones (3.2.9); tendremos:y Son los momentos que se generan por el desplazamiento relativo entre los extremos; los obtenemos adaptando las expresiones (3.2.1) y (3.2.2); asReemplazando estas igualdades en las (6.2) llegamos a las ecuaciones fundamentales tambin llamadas ecuaciones de GULDAN

(6.3)

A las que y son los factores de forma de 2a especie en los extremos i y j, es decir la rigidez angular en dichos extremos; es la constante de la barra, o sea el factor de forma de 2a especie del elemento; y son los factores de giro en los extremos que tienen como expresiones

Podemos transformar las igualdades (6.3) con el fin de utilizar los factores reducidos. Recordemos (5.3.6.3) que:Tendremos(6.4)

En las que los factores de forma reducidos de 2a especie , y , y en consecuencia los factores de giro reducidos y , se obtiene utilizando las tablas N 9 o 12 y la N 32 (Volumen II).Para el caso de elementos de seccin con factor de inercia EI constante,y , las ecuaciones (6.4) se transforman en:

(6.5)

Expresiones llamadas Ecuaciones de Mohr o ecuaciones fundamentales del mtodo de Wilson y Maney, en las que es la rigidez relativa del elemento ij. Aunque en mayor rigor, y tal como la denominan muchos autores, la rigidez relativa incluye el factor 4E en elementos de seccin constante, puesto que para elementos de seccin variable son equivalentes 6.4 Indeterminacin cinemtica.-Las ecuaciones fundamentales nos indican que si para cada elemento de una estructura continua o aporticada conocemos las deformaciones angulares y de sus extremos, y el giro del elemento, la estructura quedara resuelta. Es pues del mayor inters como se produzcan esas deformaciones angulares de nudos y barras, deformaciones que denominamos incgnitas bsicas en el metrado.Por definicin se dice que una estructura es isogeometrica cuando es posible conocer geomtricamente en forma directa los giros y desplazamientos de sus nudos. Cuando ello no es posible se dice que es hipergeometrico o cinematicamente indeterminado.Dada una estructura aporticada para determinar su grado de hipergeometria hay que analizar cules son los giros de los nudos o extremos de elementos, y cuales los desplazamientos relativos entre tales extremos, que sean geomtricamente independientes unos de otros. La suma de estos giros y desplazamientos da el grado de hipergeometria de la estructura.

En la figura 6.4