Repùblica Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la

Educación Superior Universidad tecnológica “Antonio José de sucre

Estado-Lara.

Erasmo josè toledo.

Junio 2015

Aplicar Derivadas en el Cálculo de Velocidad y Aceleración de un Objeto que se Mueve en Línea Recta

• Supóngase que una partícula que se mueve a lo largo del eje x a una velocidad vi al tiempo ti, y una velocidad vf tiempo tf, como se muestra en la figura

• Decimos:• a) Una "partícula" que se mueve de P a Q tiene velocidad vi en t = ti

y velocidad vf en t = tf.• b) Grafica velocidad-tiempo para la partícula moviéndose en una

línea recta.• La pendiente de la línea recta que conecta P y Q es la aceleración

promedio en el intervalo de tiempo ∆t= tf - ti.• La aceleración promedio de la partícula en el intervalo de tiempo  t

= tf - ti• se define como el cociente  v/ t, donde  v = vf-vi es el cambio de la

velocidad en este intervalo de tiempo:

• La aceleración tiene dimensiones de longitud dividida por (tiempo)2, o L/T2.

• Algunas de las unidades comunes de aceleración son metros por segundo por segundo (m/s2) y pies por segundo por segundo (pies/s2).

• De la misma forma que con la velocidad se pueden emplear los signos positivo y negativo para indicar la dirección de la aceleración cuando el movimiento que se analiza es unidimensional.

• En algunas situaciones el valor de la aceleración promedio puede ser diferente sobre intervalos de tiempo distintos.

• Por ese motivo, es útil definir la aceleración instantánea como el límite de la aceleración promedio cuando t se acerca a cero.

• Este concepto es similar a la definición de velocidad instantánea estudiado, la aceleración instantánea será:

• (2.3.3)

• Es decir, la aceleración instantánea es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo, la cual por definición, es la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo

• Se puede interpretar la derivada de la velocidad respecto del tiempo como la tasa de cambio de la velocidad. Si a es positiva, la aceleración está en la dirección x positiva, pero, si a es negativa indica que la aceleración está en la dirección x negativa.

• A partir de ahora se empleará el término aceleración con el significado de aceleración instantánea.

• Puesto que v = dx/dt, la aceleración también puede escribirse:

•

• (2.3.4)

• La aceleración instantánea puede obtenerse de la gráfica velocidad-tiempo.

• a) En cada instante, la aceleración en la gráfica a contra t.• b) Iguala la pendiente de la línea tangente a la curva de v contra t.• Es decir, en un momento unidimensional, la aceleración es igual a la segunda

derivada de la coordenada x en relación con el tiempo.• La aceleración en cualquier tiempo es la pendiente de la gráfica

velocidad-tiempo en ese tiempo.

Funciones implícita

• Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero. Y cuando hablamos:

• Derivadas de funciones implícitas. Decimos que Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

• x'=1.• En general y'≠1.• Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Derivada de Orden Superior

• Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podríamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

• Si la derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

• de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los órdenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas.

• Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son:

Para derivadas de orden superior es de forma similar, así por ejemplo tendríamos las siguientes derivadas:

• Ejemplo

• Derivando

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

• Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

• f( x1 ) < f( x2 ).• Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se

deduce que f(x1) < f(x2).• Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si

para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).

• Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos

• Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico .

• Si hablamos del Criterio de la Primera Derivada decimos Sea f una función en c:

• f(c) es un máximo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es menor o igual a f(c) para todo x en (a,b).

• f(c) es un mínimo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es mayor o igual f(c) para todo x en (a,b).

• decimos que la teorema Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo cuando x = c, entonces:

• f’(c) = 0, ó• f’(c) no está definida• Esto es, c es un número crítico (valor crítico) de f.

• Notas:• 1) El teorema anterior afirma que si una

función f tiene un máximo o mínimo relativo en x = c, c tiene que ser un número crítico (valor crítico) de f.

• 2) Los puntos críticos son los únicos en los que pueden aparecer los extremos relativos (máximos y mínimos relativos). Esto significa, que no todo punto crítico va a ser un máximo o mínimo relativo.

Concavidad y Criterio de la derivada Segunda

• Hablamos de Concavidad cuando f presenta concavidad positiva en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) > f'(a)(x-a) + f(a).

• La función presenta concavidad positiva en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por encima" de la recta tangente a f(x) en el punto a.

• f presenta concavidad negativa en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) < f'(a)(x-a) + f(a).

• •

• La función presenta concavidad negativa en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por debajo" de la recta tangente a f(x) en el punto a.

•

• Decimos que la Derivada segunda de una función f(x) a la derivada de la derivada de dicha función. Notación: f''(x).Este concepto se puede extender a la derivada n-ésima de una función.

Problemas Máximos y Mínimos

• 1.- f(x) = x3 − 3x + 2• f'(x) = 3x2 − 3 = 0 x = − 1 x = 1• Candidatos a extremos: − 1 y 1.• f''(x) = 6x• f''(−1) = −6 < 0 Máximo• f''(1) = 6 > 0 Mínimo• f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4• f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0• Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)•

• 2.- • Candidatos a extremos: − 1 y 1.

• f"( − 1) = 6 > 0 Mínimo• f"(1) = − 6 < 0 Máximo• f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2• f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2• Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)

Formas Indeterminadas

• Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

• El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

• Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.