representaciones simbolicas y algoritmos

2 PRELIMINARES

Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2010. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 11,737 ejemplares.

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA

Director General Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil Director Académico Profr. Julio Alfonso Martínez Romero Director de Administración y Finanzas C.P. Jesús Urbano Limón Tapia Director de Planeación Mtro. Pedro Hernández Peña MATEMÁTICAS 1 Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2009 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Segunda edición 2010. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite.

COMISIÓN ELABORADORA: EQUIPO TÉCNICOEQUIPO TÉCNICOEQUIPO TÉCNICOEQUIPO TÉCNICO

Coordinación general:Coordinación general:Coordinación general:Coordinación general: Luz María Grijalva Díaz

Elaboradores disciplinares:Elaboradores disciplinares:Elaboradores disciplinares:Elaboradores disciplinares: Alma Lorenia Valenzuela Chávez Matemáticas 1

Nydia Gabriela Estrella Química 1 Luz María Grijalva Díaz Introducción a las Ciencias Sociales Diego Navarro Gil Taller de Lectura y Redacción 1

María del Socorro Salas Meneses Ética y Valores 1 María Enedina Duarte Camacho Informática 1

Moisés Galaz Duarte Lengua Adicional al Español 1 Gabriela Rivera Ramos Orientación Educativa 1

Revisión Disciplinaria: Guadalupe Borgo Valdez Jesús Rolando Gutiérrez Duarte Corrección de Estilo: Flora Inés Cabrera Fregoso Diseño: Joaquín Rivas Samaniego Grupo Editorial: Bernardino Huerta Valdez Cynthia Deyanira Meneses Avalos Francisco Peralta Varela Joaquín Rivas Samaniego Coordinación Técnica: Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri Coordinación General: Profr. Julio Alfonso Martínez Romero

3 PRELIMINARES

Ubicación Curricular

DATOS DEL ALUMNODATOS DEL ALUMNODATOS DEL ALUMNODATOS DEL ALUMNO

Nombre: _______________________________________________________________

Plantel: __________________________________________________________________

Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________

E-mail: _________________________________________________________________

Domicilio: ______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

COMPONENTE:

FORMACIÓN BÁSICA

CAMPO DE CONOCIMIENTO: MATEMÁTICAS

HORAS SEMANALES:

05

CRÉDITOS: 10

4 PRELIMINARES

5 PRELIMINARES

Presentación .................................................................................................................................................... 7 Mapa conceptual............................................................................................................................................. 8 BLOQUE 1. RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS ...................................... 9 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia didáctica didáctica didáctica didáctica 1111. Conociendo los números ........................................................................................ 10

Diferentes formas de representar números............................................................................................. 11 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia didáctica didáctica didáctica didáctica 2222. Jerarquía de operaciones ....................................................................................... 23

Símbolos de agrupación .......................................................................................................................... 24 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia didáctica didáctica didáctica didáctica 3333. Expresiones algebraicas ......................................................................................... 27

Lenguaje algebraico ................................................................................................................................ 28 BLOQUE 2: UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES ........................................................... 35 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidáctica 1idáctica 1idáctica 1idáctica 1. Los números reales ................................................................................................. 36

Los números Naturales ............................................................................................................................ 38 Los números Enteros ............................................................................................................................... 38 Los números Racionales ......................................................................................................................... 39 Los números Irracionales......................................................................................................................... 40 Propiedades de los números Reales ...................................................................................................... 43 Operaciones de números enteros ........................................................................................................... 48 Operaciones con números racionales .................................................................................................... 56

Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidáctica 2idáctica 2idáctica 2idáctica 2. Razones y proporciones ........................................................................................ 62 Razones ................................................................................................................................................... 64 Proporciones ............................................................................................................................................ 66

BLOQUE 3: REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS ..................................................... 71 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidáctica 1idáctica 1idáctica 1idáctica 1. Sucesiones y series................................................................................................. 72

Sucesiones ............................................................................................................................................... 74 Series ........................................................................................................................................................ 83

BLOQUE 4: REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I ................................................... 91 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidáctica1idáctica1idáctica1idáctica1. Polinomios de una variable ...................................................................................... 92

Leyes de los exponentes ......................................................................................................................... 93 Polinomios ................................................................................................................................................ 94 Operaciones con polinomios ................................................................................................................... 95 Productos Notables ............................................................................................................................... 101

Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidáctica 2idáctica 2idáctica 2idáctica 2. Factorización de polinomios ................................................................................. 108 Factorización .......................................................................................................................................... 109

BLOQUE 5: REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II ................................................ 117 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidácticaidácticaidácticaidáctica 1111. Continuación de Factorización de polinomios ..................................................... 118

Continuación de Factorización .............................................................................................................. 119 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidáctica 2idáctica 2idáctica 2idáctica 2. Fracciones algebraicas ......................................................................................... 127

Multiplicación de fracciones .................................................................................................................. 128 División de fracciones ............................................................................................................................ 131

BLOQUE 6: RESUELVE ECUACIONES LINEALES I ..................................................................... 135 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidáctica 1idáctica 1idáctica 1idáctica 1. Ecuaciones lineales ............................................................................................... 136

Despeje de ecuaciones lineales ............................................................................................................ 137 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidáctica 2idáctica 2idáctica 2idáctica 2. Relación de la ecuación de primer grado con la función lineal ........................... 153

Construcción de gráficas a partir de ecuaciones lineales .................................................................... 154 Construcción de la gráfica de la función lineal ..................................................................................... 159

Índice

6 PRELIMINARES

BLOQUE 7: RESUELVE ECUACIONES LINEALES II .................................................................... 169 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidáctica 1idáctica 1idáctica 1idáctica 1. Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (2x2) ........................... 170

Interpretación gráfica ............................................................................................................................. 172 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidáctica 2idáctica 2idáctica 2idáctica 2. Métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas .......... 180

Métodos de Reducción.......................................................................................................................... 182 Método numérico de Determinantes (Regla de Cramer) ...................................................................... 198

BLOQUE 8: RESUELVE ECUACIONES LINEALES III ................................................................... 207 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidáctica 1idáctica 1idáctica 1idáctica 1. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (3 x 3) ..................................... 208

Interpretación gráfica ............................................................................................................................. 212 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidáctica 2idáctica 2idáctica 2idáctica 2. Métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas ........... 216

Métodos de Reducción.......................................................................................................................... 217 Método numérico de Determinantes ..................................................................................................... 223

BLOQUE 9: RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I ............................................................ 237 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidáctica 1idáctica 1idáctica 1idáctica 1. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita .............................................. 238

Métodos algebraicos de resolución de ecuaciones de segundo grado .............................................. 242 Secuencia Secuencia Secuencia Secuencia ddddidáctica idáctica idáctica idáctica 2222. Funciones cuadráticas .......................................................................................... 265

Gráfica de la función cuadrática ............................................................................................................ 267 Aplicaciones de la función cuadrática ................................................................................................... 286

Glosario ....................................................................................................................................................... 291 Bibliografía ................................................................................................................................................... 294

Índice (continuación)

7 PRELIMINARES

El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura de: Matemáticas 1, está diseñado considerando el modelo de

competencias y el enfoque centrado en el Aprendizaje, respondiendo así a las nuevas disposiciones establecidas

en la Reforma Integral de la Educación Media Superior implementada a nivel nacional. La estructura de este

material didáctico integra competencias genéricas y disciplinares básicas que desarrollarás con aprendizajes

múltiples, que permitirán apropiarte del conocimiento en forma crítica, analítica y propositiva.

Con la mediación del maestro(a), este módulo te guiará a una nueva experiencia, a un reto: construir tu propio

conocimiento.

Es un documento guía que se verá enriquecido con las orientaciones y aportaciones de tu maestro (a), para

cumplir con su cometido final, y como alumno profundices con autonomía, disciplina científica e interés intelectual,

en tu propio conocimiento.

Tu institución, el Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, ha trabajado fuerte y sin límite alguno, para

entregarte un módulo perfectible y a la vez, de la calidad que lo requiere la Reforma, la Sociedad Mundial y sobre

todo tú como alumno (a).

Presentación

la cual consta de

MATEMÁTICAS 1MATEMÁTICAS 1MATEMÁTICAS 1MATEMÁTICAS 1

ÁLGEBRAÁLGEBRAÁLGEBRAÁLGEBRA

RESOLVER PROBLEMAS

Introducción al Álgebra Polinomios de una variable

Despeje de ecuaciones lineales

Sistemas de dos ecuaciones con dos

incógnitas

• Conocer los números • La jerarquía de las operaciones

• Expresiones algebraicas

• Los números reales y sus propiedades

• Razones y proporciones

• Series y sucesiones

• Leyes de los exponentes

• Operaciones con exponentes

• Productos notables • Factorización • Simplificación de fracciones

• Formas de la ecuación lineal

• Relación de la ecuación lineal con la función lineal

• Graficas de ecuaciones y funciones lineales

Interpretación gráfica Métodos de solución

Reducción Numérico

• Suma o resta • Sustitución • Igualación

• Determinantes (Regla de Cramer)

Sistemas de tres ecuaciones con tres

incógnitas

Ecuaciones de segundo grado de una incógnita

Graficación

Métodos algebraicos

• Despeje • Factorización • Fórmula general

contiene

con el fin de

para ello requiere adquirir conocimientos de

Requieren de se necesita contiene Se resuelve mediante

los cuales son

y se dividen en

se divide en es

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

Unidades de competencia: Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagrama o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.

Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o

gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada

uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar

información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina

entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,

definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera

reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con

los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 8 horas

10 RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS

Secuencia didáctica 1. Conociendo los números.

Inicio

Evaluación

Actividad: 1 Producto: Cuestionario. Puntaje:

Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal

Identifica las estrategias aplicadas por su profesor de matemáticas en secundaria.

Reconoce las estrategias utilizadas por los profesores de matemáticas en secundaria y distingue la aplicación de las matemáticas en su entorno.

Se compromete con actitud propositiva a reflexionar el cuestionario que se le plantea.

Autoevaluación C MC NC

Calificación otorgada por el docente

Actividad: 1 Lee cuidadosamente las siguientes preguntas y contesta según tu proceder y el de tus profesores de Matemáticas de secundaria.

1. ¿Se te dificultan las Matemáticas? Si es así, describe por qué 2. ¿De qué forma aplicas las Matemáticas en tu entorno? 3. ¿Qué tipo de apoyos didácticos utilizaban tus profesores de Matemáticas en sus clases y cómo los

usaban?

4. Marca con una la frecuencia con que el profesor utilizaba las siguientes estrategias.

Estrategias Siempre Casi siempre Casi nunca Nunca

Tareas individuales

Tareas en equipo

Exposición por parte del docente

Exposición por parte del alumno

Investigación

Proyectos

Mapas conceptuales

Resumen

Solución de casos

Lluvia de ideas

Portafolio de evidencias

5. ¿Qué cambiarías de la clase de Matemáticas para que fuera más significativa para ti?

11 BLOQUE 1

Desarrollo Diferentes formas de representar números.

La necesidad de contar se originó en tiempos primitivos, el hombre requería contar en aquellos tiempos sus pertenencias como: las piezas de caza, los utensilios, los miembros de la tribu, entre otras más. Algunas investigaciones antropológicas han encontrado muescas ordenadas talladas en paredes rocosas que son evidencia de numeración antigua.

Existen vestigios de diferentes tipos de numeración, algunos de los cuales se presentan a continuación.

CIVILIZACIÓN SIMBOLOGÍA

Numeración Antigua Egipcia

Numeración Romana I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Numeración Antigua Griega

Numeración Antigua Griega durante el siglo III A.C.

Numeración Maya

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16 17

18

19


Evaluación

Actividad: 2 Producto: Complementación de la tabla. Puntaje:


Conoce la forma de los números de algunas culturas antiguas

Ubica los nombres y formas de algunos números antiguos. Realiza la escritura y la identificación de algunos números antiguos.

Acepta la dificultad de la expresión de los números de algunas culturas antiguas. Aprecia la necesidad de utilizar un sistema de numerología más práctico.



Actividad: 2

CIVILIZACIÓN NÚMERO REPRESENTACIÓN

Numeración Antigua Griega

durante el siglo III A.C.

Numeración Maya 14

Numeración Antigua Griega 6860

Numeración Egipcia 10141

MCMXCIX

Completa la tabla, determinando la civilización, el número o la representación correspondiente

13 BLOQUE 1

La complejidad con la que se escribían los números hizo necesaria una nueva escritura: los números indoarábigos. Los números son necesarios en todo lo que nos rodea, los utilizamos en el hogar, la industria, la agricultura, el comercio, etc., sobre todo en el comercio, dado que definitivamente somos una sociedad de consumo en la que se requiere estar al tanto de ofertas, rebajas, cambios monetarios y de cómo fluctúa la economía en nuestro país. El porcentaje juega un papel muy importante en el manejo de cantidades, éste es una de las expresiones matemáticas más utilizadas. En los medios de comunicación existe una diversidad de formas de expresar porcentajes y constantemente los encontraremos en gráficas y tablas. Durante los Censos Económicos1 864 plantas potabilizadoras de agua

se recopiló información de y 632 plantas tratadoras. De ahí se concluye que para cuidar

este recurso se requiere de la capacitación de hombres y mujeres en la captación, tratamiento y suministro de agua. Otro resultado indica que de las 96,803 personas que laboran en el sector, 84.8% son hombres y 15.2%, mujeres.

Las funciones que realizan los trabajadores son de mantenimiento a las redes de distribución de agua, control de calidad del agua potable, estudios de impacto en medioambiente, emisión y cobro de recibos, así como diversos trabajos administrativos y contables.

Ejemplos como éste, existen muchos en los medios de comunicación. Es muy necesario entender el uso de los porcentajes e interpretarlos y sobre todo saber calcularlos, debido a que en cualquier momento podemos requerir de ellos.

Cuando una persona invierte el 10 % de su sueldo en pagar el plan de su telefonía celular, se gasta $10 de cada $100 que gana. Se puede expresar el tanto por ciento

como una fracción que tiene denominador 100, en este caso sería10010

, que significa 10

de cada 100, y como sabemos, cualquier fracción se puede expresar en forma decimal realizando la operación de división.

1 http://cuentame.inegi.gob.mx/economia/parque/Agua.html

Datos curiosos Existe una numeración especial que usan los

comerciantes para que el cliente no conozca el

precio real del producto y a su vez esté presente en la mercancía, le llaman el

código oculto, el cual consiste en elegir una palabra de 10 letras

diferentes y asignarle los números dígitos.

http://cuentame.inegi.gob.mx/economia/parque/noLink�




http://search.live.com/images/results.aspx?q=oferta&FORM=ZZIR7�


Todo lo anterior se puede resumir en la siguiente tabla.

Porcentaje Se lee Fracción Decimal Significado

15 % Quince por ciento 15/100 0.15 15 de cada 100

50 % Cincuenta por ciento 50/100 0.5 50 de cada 100

6 % Seis por ciento 6/100 0.06 6 de cada 100

Para calcular el porcentaje de cantidades sólo es necesario multiplicar el porcentaje (en su

expresión decimal) por la cantidad, como por ejemplo:

El 38% del alumnado de una preparatoria de Ciudad Obregón son mujeres, si su población total

es de 1230 ¿cuántas mujeres hay?

El resultado a este problema se obtiene convirtiendo primero 38% a su expresión decimal y esto

se obtiene dividiendo 38 entre 100, para posteriormente multiplicarlo por 1230 obteniendo así la

cantidad de mujeres que hay.

4.467)38.0(123038.010038

==

Por lo que resulta que hay 467 alumnas en esa preparatoria.

Sitios Web recomendados:

En la siguiente página de Internet puedes practicar la obtención de porcentajes.

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Porcentajes_mprevelles/Cal

culo_porcentajes.htm

http://search.live.com/images/results.aspx?q=porcentaje&FORM=ZZIR18�

15 BLOQUE 1

Evaluación

Actividad: 3 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:


Identifica la existencia de los números decimales en la aplicación de porcentajes.

Realiza la obtención de porcentajes. Se interesa en cómo se relacionan los decimales con su vida diaria.



Actividad: 3

1. En el colegio se llevarán a cabo los eventos deportivos y en uno de los planteles el 25 % del

alumnado practica algún deporte; si el plantel tiene 1620 alumnos. ¿Cuántos alumnos pueden

participar en algún evento deportivo?

2. El precio de una blusa es $320 y el impuesto al valor agregado es del 15 %. ¿Cuál es el valor total de

la blusa?

3. Gustavo fue a comprar un libro que costaba $420 y cuando pasó a la caja le dijeron que tenía

descuento y sólo pagó $352.80. ¿A qué porcentaje corresponde el descuento aplicado?

4. La caja de ahorros de la empresa donde trabaja Sandra le ofrece un 5% anual para los $ 8000 que

tiene ahorrados. ¿Qué interés obtendrá Sandra por su capital en un año?

Encuentra la solución de cada uno de los siguientes problemas.


Para transformar una fracción a decimal es muy sencillo, sólo es necesario llevar a cabo la división, pero para convertir de decimal a fracción es necesario primero identificar el tipo de decimal para después decidir qué procedimiento utilizar. Ejemplo:

5.0105

=

29.4100429

=

76.02519

=

61.7...1666.7643

==

81.4...8181.41153

==

A continuación se nombrará y ejemplificará cada uno de los diferentes decimales y sus trasformaciones a fracción. 1. Decimales finitos: Son aquéllos cuya cifra decimal tiene fin. Ejemplo: 5.25, 0.006, 3.575, 0.1, 4.94 Para convertir cada uno de ellos a fracción se requiere eliminar el punto, dividiendo entre 10 si termina en décimas, en 100 si termina en centésimas, entre 1000 si termina en milésimas, y así sucesivamente; y posteriormente simplificar la fracción obtenida, si acaso es simplificable.

101

1.0 =

421

100525

25.5 ==

50247

100494

94.4 ==

40143

10003575

575.3 ==

50003

100006

0006.0 ==

Algunas cantidades conocidas expresadas con decimales son:

Masa del electrón:

uma101.9 28−× Cantidad de pesticidas permitidos en agua potable:

lt/mg0005.0

Gravedad promedio en la tierra:

2s/m8.9

Densidad del Helio: ml/g126.0

17 BLOQUE 1

Verifica cada uno de estos resultados en tu calculadora.

2. Decimales infinitos. Son aquéllos con cifras decimales que no tienen fin, es decir que siguen infinitamente; éstos pueden ser infinitos periódicos o semiperiódicos.

Decimales infinitos periódicos. Son aquéllos que tienen una o más cifras decimales repetidas infinitamente, formando así el periodo.

Para convertir a fracción este tipo de números, se requiere eliminar la extensión decimal y realizar un proceso de conversión. A continuación se muestra este proceso.

Ejemplos: Convertir los siguientes números con extensión decimal a fracción.

1) 3.0

Proceso Transformación Se expresa el número en su forma infinita ...333.03.0 = Se le asigna una letra al número ...333.0n = Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 10

...333.3n10 =

Para eliminar la extensión se realiza una resta de los números anteriores

Se realiza el despeje y la simplificación, si es posible 31

93

n ==

2) 6.2


...666.26n10 =



924

n ==

24n9

...666.2n

...666.26n10

=

=−=

3n9

...333.0n

...333.3n10

=

=−=


3) 25.4


...2525.425n100 =


421n99

...2525.4n

...2525.425n100

=

=−=


421n =

4) 324.0

Proceso Transformación

Se expresa el número en su forma infinita ...324324.0324.0 = Se le asigna una letra al número ...324324.0n =

Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 1000

...324324.324n1000 =


324n999

...324324.0n

...324324.324n1000

=

=−=


999324

n ==


Decimales infinitos semiperiódicos. Son decimales que aparecen con una o más cifras antes del periodo. Las cifras que no son periódicas se llaman antiperiodo.

Este caso es similar al proceso anterior, sólo que se requiere buscar la forma de obtener la misma extensión decimal, para esto se multiplicará el número por 10, 100, 1000, etc. dependiendo del antiperiodo y se realizarán combinaciones de sustracción, como se verá en los siguientes ejemplos.

19 BLOQUE 1

Ejemplos:

1) 51.0

Proceso Transformación Se expresa el número en su forma infinita ...1555.051.0 = Se le asigna una letra al número ...1555.0n = Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 100, debido a que hasta ahí llega la primera cifra del periodo

...555.15n100 =

Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 10, debido a que hasta ahí llega el antiperiodo.

...555.1n10 =


14n90

...555.1n10

...555.15n100

=

=−=


9014

n ==

2) 225.0

Proceso Transformación Se expresa el número en su forma infinita ...25222.0225.0 = Se le asigna una letra al número ...25222.0n = Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 1000, debido a que hasta ahí llega la primera cifra del periodo

...222.252n1000 =


...222.25n100 =



n =

227n900

...222.25n100

...222.252n1000

=

=−=


3) 4515.0

Proceso Transformación Se expresa el número en su forma infinita ...154545.04515.0 = Se le asigna una letra al número ...154545.0n = Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 10000, debido a que hasta ahí llega el primer periodo

...4545.1545n10000 =


...4545.15n100 =



99001530

n ==

4) 64.2

Proceso Transformación Se expresa el número en su forma infinita ...4666.264.2 = Se le asigna una letra al número ...4666.2n = Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 100, debido a que hasta ahí llega el primer periodo

...666.246n100 =


...666.24n10 =


222n90

...666.24n10

...666.246n100

=

=−=


90222

n ==

3. Decimales infinitos no periódicos. Son aquéllos cuya extensión decimal no se acaba y no se repiten; en este caso, estos números no se pueden convertir en fracción. Los decimales infinitos no periódicos se manejarán en el próximo bloque.


1530n9900

...4545.15n100

...4545.1545n10000

=

=−=

21 BLOQUE 1

Evaluación

Actividad: 4 Producto: Ejercicios de conversión. Puntaje:


Identifica la necesidad de expresar en diferentes formas los números decimales.

Obtiene la conversión de los números decimales en sus diferentes formas de expresión. Realiza la comprobación (con la calculadora) de las operaciones obtenidas en la actividad.

Reconoce el proceso de transformación de los decimales. Aprecia el uso adecuado de la calculadora en el proceso de aprendizaje.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el

docente

Actividad: 4

De fracciones a decimales.

1) =5

2 2) =

5

7

3) =31

4) =10011

5) =225

82 6) =

90

41

7) =9

14 8) =

10

47

De decimales a fracciones. 1) =52.0

2) =45.0

3) =5.7

4) =152.0

5) =210.2

6) =2961.1

Realiza las siguientes conversiones, de fracción a decimal y de decimal a fracción y comprueba cada uno de los resultados en tu calculadora.


Cierre

Evaluación

Actividad: 5 Producto: Reporte de investigación. Puntaje:

Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce los decimales y porcentajes.

Realiza una búsqueda de información que contenga números decimales, que provengan de fuentes de investigación. Analiza porcentajes de situaciones o casos investigados.

Formula juicios de la información obtenida de las fuentes de consultadas.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Actividad: 5

Recomendaciones: las fuentes pueden ser del INEGI, SHCP, SECTUR, etc

De diferentes fuentes oficiales, recoleta información relevante en tu vida cotidiana, que contenga números decimales y porcentajes. Coméntala en clase y entrega un reporte de tu investigación.

23 BLOQUE 1

Secuencia didáctica 2. Jerarquía de operaciones.

Inicio

Evaluación

Actividad: 1 Producto: Solución de problemas con operaciones. Puntaje:

Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica la jerarquía de las operaciones de los números (reales).

Aplica las operaciones entre los diferentes tipos de números.

Reconoce la importancia de la jerarquía de las operaciones y del uso de la calculadora.



Actividad: 1

1) 34 − • =+15 2) )27( − • =− 96

3) 310 + • =− )64( 4) )24( + • =− )311(

5) ÷+148 =− )92( 6) )24( + =−÷ 26

Realiza las siguientes operaciones sin usar calculadora y, posteriormente, úsala para verificar su resultado. Comparte tu trabajo con tus compañeros y comenten las diferencias.


Desarrollo Símbolos de agrupación. Ciertas expresiones incluyen símbolos de agrupación “( )”, “[ ]”, “{ }” que, dependiendo de su ordenamiento, es necesario expresarlas correctamente o pueden llevar a resultados diferentes. Los signos y símbolos usados en lenguaje matemático tienen una función análoga a los signos de puntuación usados en el lenguaje común; por ejemplo en la siguiente frase. “María dijo el psicólogo es incoherente en su comportamiento” María dijo, el psicólogo es incoherente en su comportamiento María, dijo el psicólogo, es incoherente en su comportamiento Con esto se comprueba que las oraciones son diametralmente opuestas en significado. Para realizar operaciones entre varios números, es necesario llevar un orden. Si existen paréntesis se efectúa primero la operación que esté contenida en éstos; si no, se requiere darle prioridad a la potenciación, seguida de la multiplicación y la división, y por último, a la suma y resta.

Si existen paréntesis anidados, la operación se efectúa de adentro hacia fuera.

Si existen dos operaciones de la misma jerarquía, las operaciones se efectúan de izquierda a

derecha.

Ejemplos:

1) 35 + • 2728 =−

2) )35( + • 6228 =−

3) 35 + • 23)28( =−

4) )35( + • 48)28( =−

5) [ ] =

−++ 34

318

)2(376 [ ] =

−++ 34

318

676 [ ] =

−+ 34

318

136 { } =−+ 34678 { } =380 240

René Descartes (1619 D C)

Crea la geometría analítica, contribuyó a crear la “Edad

de la Razón”

25 BLOQUE 1

Evaluación

Actividad: 2 Producto: Ejercicios de solución. Puntaje:


Identifica la jerarquía de las operaciones de los números (reales).

Aplica las operaciones entre los diferentes tipos de números.

Aprecia la jerarquía de las operaciones para un resultado correcto.



Actividad: 2

1) =−÷+ 53618 2) ( )[ ]{ }=−÷+ 53618 3) ( )[ ]{ }=−− 1210232 4) ( ) ( )[ ]{ }=−÷÷− 6510441223 5) ( )( )[ ]=−−÷− 681041223

Realiza las siguientes operaciones siguiendo la jerarquía de las mismas.


Cierre

Evaluación

Actividad: 3 Producto: Ejercicios de operación. Puntaje:


Reafirma el uso de la calculadora.

Realiza una práctica en la calculadora para determinar el orden de las operaciones. Ejecuta ejercicios que requieran un orden operacional.

Aprecia la calculadora como una herramienta de apoyo en su aprendizaje.



Sitios Web recomendados: En las siguientes páginas de Internet puedes practicar más sobre la jerarquía de las operaciones. http://www.appletpie.com/apie/apiedemo/ejercicio_jerarquia_de_op_.html http://www.genmagic.net/mates4/jerarquia_opera_c.swf

Actividad: 3

Introduce los datos de la actividad anterior en tu calculadora para verificar los resultados

27 BLOQUE 1

Secuencia didáctica 3. Expresiones algebraicas.

Inicio

Evaluación Actividad: 1 Producto: Cuestionario. Puntaje:


Identifica el concepto de Álgebra.

Describe sus conocimientos sobre el Álgebra

Reconoce sus conocimientos previos sobre Álgebra.

Muestra disposición para exteriorizar sus conocimientos previos.


docente

Actividad: 1

1. ¿Qué es Álgebra? 2. ¿Cómo la aplicaste en tus clases de matemáticas? 3. Escribe, al menos, tres expresiones algebraicas que recuerdes de tus clases de secundaria. 4. Describe cómo las utilizarías en tu vida cotidiana.

Responde las siguientes preguntas apoyándote de tus conocimientos previos de secundaria.


Desarrollo Lenguaje algebraico En un juego, Carmen, Nilsa, Alma, Sandra, Nora y Letty se comunican en ese orden lo siguiente: Carmen le dice un número a Nilsa; Nilsa le suma 6 y se lo dice a Alma; Alma le resta 2 y se lo dice a Sandra; Sandra lo multiplica por 4 y se lo dice a Nora; Nora le resta 8 y se lo dice a Letty, finalmente esta última tiene que “adivinar” qué número le dio Carmen a Nilsa. El problema para Letty además de adivinar es recordar todas las operaciones que se hicieron en el transcurso del juego, así que decide hacer una fórmula para recordar el proceso mientras adivina el número inicial, y lo hace de la siguiente forma.

Letty le pone letra al primer número proporcionado por Carmen C

Nilsa le suma 6 C+6 Alma le resta 2 C+6 – 2 Sandra lo multiplica por 4 4( C +6 – 2 ) Nora le resta 8 4( C +6 – 2 ) – 8

De esta forma, para Letty es más fácil adivinar, porque expresa todas las operaciones mediante una fórmula en que fue sustituyendo números.

L=4( C +6 – 2 ) – 8

Así es que si Nora le comunica a Letty el número 38, para ella es más fácil adivinar usando la fórmula. En el transcurso de la historia de la humanidad, los individuos han ido construyendo diferentes lenguas como el español, el inglés o el francés, entre muchos otros, con la principal finalidad de lograr la comunicación. Ahora bien, en el desarrollo de las matemáticas, el lenguaje algebraico ha sido herramienta fundamental, cuya aplicación es necesaria para facilitar el procedimiento en la solución de problemas.

Para facilitar el proceso se debe convertir el lenguaje verbal al lenguaje algebraico y viceversa, teniendo en cuenta que las operaciones fundamentales de adición (suma), sustracción (resta), multiplicación y división se expresan con palabras especiales tales como: Suma: Gana, aumenta, más, se incrementa, crece, etc. Resta: Diferencia, menos, disminuye, baja, pierde, decrece, etc. Multiplicación: Producto, dos veces, doble o duplo, triple, cuádruplo, etc.

División: Dividido por, cociente, razón, mitad, tercera parte, semi, etc. También en un problema algebraico la palabra “es”, “resulta”, “se obtiene” etc., es dada por el símbolo de la igualdad (=). Como se observó, al trasladar del lenguaje verbal al lenguaje algebraico, se requiere el uso del alfabeto y los números, los cuales adquieren nombres especiales, como son: Literal. Se refiere a nombrar con una letra del alfabeto a una variable y sirven para representar números desconocidos.

¿Sabías que… La palabra Álgebra tiene origen de la palabra árabe “Al-jabru “, originada por el matemático Al-khwarizmi.

Al-khwarizmi.

29 BLOQUE 1

Expresión algebraica. Es una combinación de números y/o literales por medio de operaciones matemáticas. Una expresión algebraica puede estar compuesta de:

La siguiente tabla contiene algunas expresiones comunes utilizadas en Álgebra.

Lenguaje verbal Lenguaje algebraico

Un número aumentado en 4 4x +

La semisuma de dos números 2

nm+

La diferencia de dos números ba −

El cociente de dos números aumentado en 2 2yx+

Un número par n2

El producto de dos números xy

La suma de tres números consecutivos )2n()1n(n ++++

El triple de un número a3

La edad del padre hace 5 años 5x −

La edad de María es el quíntuplo de la edad de Daniel d5m =

El producto de los cuadrados de dos números 22yx

El cubo de la suma de dos números ( )3ba +

La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de dos números 22 yx +

Coeficiente Término algebraico

Exponente Variable

2x3


Actividad: 2


Un número disminuido en 12

2

nm+

La tercera parte de un número menos el cuádruplo del mismo

yx

yx+−

El 45% de una mezcla

El producto de los cubos de dos números aumentado en 9

La suma de dos números pares consecutivos

Susana es cuatro años menor que Manuel

Seis veces un número disminuido en 15 es – 18

Carolina tiene el triple de la mitad de la edad de Saúl

22 yx −

3 2 xx +

Completa la siguiente tabla, escribiendo el lenguaje verbal o algebraico, según sea el caso.

31 BLOQUE 1

Evaluación



Traduce de lenguaje verbal a lenguaje algebraico y viceversa.

Analiza y practica el traslado del lenguaje verbal al lenguaje algebraico.

Reconoce la facilidad de manejo de situaciones al momento de asignarles variables.


docente

A continuación se mostrarán ejemplos más estructurados y relacionados con algunas situaciones que has visto en algún momento de tu vida cotidiana; primero se manejarán paso a paso para obtener como último resultado la expresión algebraica que los modela, y posteriormente notarás que el planteamiento de los problemas es más directo, que a fin de cuentas eso es lo que tendrás que lograr. En algunos casos deberás apoyarte en dibujos para poder visualizar mejor el planteamiento. Ejemplos. 1. La edad de Moisés el triple de la edad de Lucía y la suma de sus edades es 68. ¿Qué edad tiene cada uno?

Lenguaje verbal Lenguaje algebraico La edad de Lucía x

La edad de Moisés es el triple que la de Lucía 3x La suma de sus edades x + 3x

La suma de sus edades es 68 x + 3x = 68

2. Lourdes y Alfonso tienen un total de $ 342 en sus alcancías. Si Alfonso tiene $105

más que Lourdes ¿cuánto dinero tiene cada uno?


El dinero de Lourdes m Alfonso tiene $105 más que Lourdes m +105 El dinero de Lourdes más el dinero de Alfonso m + m +105

El total de dinero de Lourdes y Alfonso es $342 m + m +105 = 342

3. ¿Cuál es el perímetro de un terreno rectangular, si su longitud es el triple que su anchura?


Anchura del terreno x

La longitud del terreno (triple de la anchura) 3x

El perímetro del terreno 2(x) + 2(3x)

Ada Loveace (1815 – 1852)

Fue la primera programadora en la historia de las computadoras. Ella escribió las instrucciones para la "máquina analítica" de Charles

Babbage.


Como se observa en los tres ejemplos anteriores, la expresión que resolvería cada uno de los problemas está dada en el último renglón de cada recuadro, pero a diferencia del ejemplo 1 y 2, el ejemplo 3 no tiene una solución única. Comenta con tus compañeros esta situación. Con un poco de práctica te darás cuenta que no es necesario ir formando la expresión algebraica de forma tan detallada como se hizo en los ejemplos, irás adquiriendo la habilidad para expresarla de forma directa. Como por ejemplo. 1. La tercera parte de un número es 7 unidades menor que la mitad de él. Si “x” representa al número, entonces la expresión algebraica es:

72x

3x

−=

2. Una persona realizó dos inversiones de un total de $10,000. En una de las inversiones obtuvo un 10% de utilidad,

pero en la otra obtuvo una pérdida de 13%. Si la pérdida neta fue de $ 495, ¿qué cantidad tenía en cada inversión?

Primera inversión Segunda inversión

x x000,10 − Ganancia de la primera inversión Pérdida de la segunda inversión x1.0 )x000,10(13.0 −

Pérdida neta 495x1.0)x000,10(13.0 =−−

3. Una enfermera mezcló 50 onzas de una solución de sal al 8 % con 40 onzas de la misma solución al 5 % de la

misma solución. ¿Cuál es el porcentaje de sal en la mezcla?

)90(100

x)40(05.0)50(08.0 =+

50 onzas 40 onzas

0.08 (50) 0.05 (40)

Solución al 8%

Solución al 5% + =

90 onzas

Solución al x %

100x

(90) Cantidad de sal

33 BLOQUE 1

Posteriormente, podrás resolver estos problemas, pero por ahora lo más importante es que adquieras la habilidad de cambiar del lenguaje verbal al lenguaje algebraico.

Cierre

Actividad: 3

1. En una máquina de golosinas sólo se pueden depositar monedas de $5 y de $10, si hay 100 monedas que suman $720 ¿cuántas monedas de cada denominación hay en la máquina?

2. Una computadora costó $12,000. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es el 20% de dicho

precio? 3. Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida, una de $52 el kilo y otra de $35 el kilo. Si la combinación

pesa 5 kilos y la vende a $46 el kilo ¿Cuántos kilos de cada clase forma la mezcla?

4. José tiene actualmente 31

de la edad de su padre. Dentro de diez años tendrá la mitad de la edad

correspondiente de su padre. ¿Cuál es la edad actual de José? 5. La base de una pintura al óleo rectangular es de 5 pulgadas menor que el doble de su altura, y el

perímetro es de 62 pulgadas. ¿Qué dimensiones tiene el cuadro?

Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones


Evaluación



Traduce de lenguaje cotidiano a lenguaje algebraico

Realiza ejercicios de situaciones que se modelarán con expresiones algebraicas

Reconoce la facilidad de manejo de situaciones al momento de asignarles variables.


docente

Gottfried Wilhem Leibnitz (1646 - 1716)

Físico, filósofo y matemático alemán. Construyó una máquina

para multiplicar.

“No entiendes realmente algo a menos que seas capaz de explicárselo a tu abuela.”

Albert Einstein

Utiliza magnitudes y números Reales

Unidades de competencia: Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. Identifica las características presentes en tablas gráficas, mapas, diagrama o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.










36 UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES

Secuencia didáctica 1. Los números reales.

Inicio

Evaluación Actividad: 1 Producto: Registro de acuerdos. Puntaje:


Identifica la diversidad de números. Clasificación de los números.

Expresa con claridad la notación numérica. Interioriza en sus conocimientos previos para expresarlos.

Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales. Muestra disposición para integrar las ideas expresadas. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.

Coevaluación C MC NC Calificación otorgada por el

docente

Actividad: 1 Realiza la siguiente actividad en equipo.

1. Haz una lista en tu cuaderno de los nombres y tipos de números que conoces. 2. Con respeto y tolerancia, intercambien opiniones acerca de los números que conoce cada uno de los

integrantes del equipo y anota los números que piensen que están correctos.

Nombre del número Representación numérica

37 BLOQUE 2

Actividad: 2 En equipo, intercambia opiniones con tus compañeros acerca de la utilidad y aplicación de los diferentes números. Anota a continuación la lista que acordaron en el equipo.

Nombre del número Ejemplo de aplicación

Desarrollo

Evaluación

Actividad: 2 Producto: Registro de observaciones. Puntaje:


Identifica los números. Identifica la utilidad de los números.

Ubica la aplicación de los números en el hogar.

Aprecia el uso y aplicación de los números en su vida cotidiana. Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.


docente


Los números Naturales. Los números surgieron de la necesidad de contar pertenencias, objetos, personas, etc. Cuando contamos objetos se inicia con 1, luego 2, 3, 4, etc. ¿Qué tan grande es este conjunto de números?, imaginemos que estamos en la playa y tomamos una pizca de arena y la colocamos en nuestra mano, podríamos contar el número de granos de arena que tenemos sin ninguna dificultad. Pues bien, podríamos contar, por dar un ejemplo 34 granos de arena, iniciando la cuenta en 1, 2, 3, 4, …., 34. Pero luego imaginemos que quisiéramos contar una cantidad mayor de granos de arena, el proceso sería laborioso, pero al fin de cuenta no imposible; algo similar se tiene con las estrellas, pero en este caso sería imposible el contarlas todas. Esto nos da una idea de lo que es el infinito, debido a que el conjunto de números naturales no tiene fin. Existe una polémica acerca de considerar al cero como elemento de los números naturales; como se inventaron para contar objetos, ¿Qué representaría el cero?, precisamente eso, la ausencia de objetos dirían los especialistas en teoría de conjuntos (probabilidad y lógica), entonces algunos consideran al cero como elemento de los números naturales, y otros más conservadores como los especialistas en teoría de números que no lo reconocen como tal así es que no lo incluyen. El conjunto de números que se utilizará es el de mayor tendencia: el conjunto en el que se excluye el cero como uno de sus elementos. Los números naturales se representan con la letra N y su notación de conjunto es:

Los números Enteros. Estos son conocidos como números deudos, dado que nacen como una necesidad de representar deudas. Estos son usados para ubicar posiciones de objetos con respecto a un punto de referencia, como por ejemplo, cuando se quiere ubicar un objeto por encima o debajo del nivel del mar para operaciones prácticas, los que están por encima del nivel del mar serían los números positivos y los que están por debajo del nivel del mar son los números negativos. Estos números tienen las siguientes características: son infinitos, numerables y sirven para contar unidades completas, es decir, podemos tomar dos números consecutivos y no existe un número intermedio. Al igual que los números naturales, estos no tienen fin, tanto hacia la derecha como a la izquierda. El conjunto se describe de la siguiente forma: { }....,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6....,Z −−−−−−=

N { }....,6,5,4,3,2,1=

¿Sabías que… la cruz roja utiliza un símbolo + y no una cruz en su emblema? La explicación matemática a esto es que los griegos daban mucha importancia a los números y símbolos, en este caso el símbolo más (+) significaba "vida", así pues es sinónimo de la acción que representa la cruz roja.

39 BLOQUE 2

Los números Racionales. Investigando los jeroglíficos de diferentes civilizaciones como los egipcios, babilonios, griegos, entre otros, se encontró que dichas civilizaciones conocieron las fracciones desde tiempos muy remotos; al analizar los jeroglíficos egipcios se encontró que las utilizaban para la construcción y la agrimensura. Los números racionales se expresan como el cociente de dos números enteros, de ahí que se le denomine con la letra Q por “quotient”, que significa “cociente”. El término “racional” proviene de “razón”. Al número racional se le conoce como fracción, porque puede ser expresado con numerador y denominador de números enteros, a excepción del cero como denominador. Por ejemplo:

,0,6,45

,23

− etc. En las dos primeras fracciones se observa de forma clara la

estructura de fracción. Recordemos que cualquier número entero se puede escribir como una fracción con denominador 1, por ejemplo, el 6 se puede representar de la siguiente forma. Así que al generalizar la definición en su forma de fracción de los números racionales, tendríamos que expresarlo de la siguiente forma: También se sabe que cuando tenemos un número fraccionario podemos realizar la división entre el numerador y el denominador, como en los siguientes ejemplos. Como se ve en los ejemplos, los números se expresan con desarrollo decimal y pueden ser finitos, como en el caso a) y b), o infinitos periódicos como en el caso c), d) y e). De aquí que, se enuncia la definición de números racionales con base en la forma de su desarrollo decimal.

Q

≠∈∈= 0b,Zb,Za

ba

40.1....0444.14547

)e

571428.3.....285714285714.3725

)d

6.1....66666.135

)c

5.021

)b

0.6616

)a

==

==

==

=

==

23

Numerador

Denominador

16

6 = Numerador

Denominador

Pitágoras de Samos (580 – 500 A C)

Fue un metafísico, moral, religioso y científico. El saber geométrico de los pitagóricos

estaba en la geometría elemental.


Los números racionales (Q): Son números con desarrollo decimal finito o infinito periódico. Javier fue a comprar 2/3 de kilo de Carne para asar, pero Karla, la dependienta del lugar, le dijo que no podía darle esa cantidad, Javier extrañado porque sabía que tenían suficiente producto se molestó al recibir la respuesta de Karla, se quedó pensando por que la negativa de su solicitud. ¿Cuál fue el motivo por el que Karla no podía darle la cantidad de carne que Javier pedía?

Los números Irracionales. Los antiguos griegos notaron que la recta no estaba completa con los números Racionales, al identificar ciertos puntos en ella a los cuales sólo se podían aproximar con fracciones. El filósofo matemático Pitágoras de Samos, quien estudiando el triángulo rectángulo encontró que dichos números no pueden ser expresados como un cociente, se estaba enfrentando a otro tipo de números que por ser “desconocidos” desconcertaron de manera alarmante a los estudiosos dado que muchas suposiciones y demostraciones geométricas eran falsas o incompletas, incluso llegaron a contemplar mantenerlo en secreto porque contradecían su doctrina. Hasta el siglo XVI fue cuando consideraron llamar número irracional a los números con desarrollo decimal infinito no periódico. Algunos de ellos se pueden encontrar al resolver un problema. Como por ejemplo.

....97931415265348.3

....59047182818284.2e

....074422495703.13

....734142135623.12

=π==

=

Como se observa en los ejemplos, el desarrollo decimal que presentan estos números es infinito no periódico y con base a la definición planteada en los números racionales, no podríamos expresarlos como un cociente de dos números enteros. Analizando todos los conjuntos que se mencionaron anteriormente, se observa que los Naturales están incluidos en los números Enteros, y éstos a su vez están incluidos en los Racionales. Pero ellos no tienen ninguna relación con los Irracionales, pues bien, todos ellos forman parte de los números Reales, como se muestra en el siguiente diagrama.

R

I Q

Z

N

¿Sabías que…

Fue el filósofo y matemático Euclides

de Megara quien demostró que el número irracional

2 no puede expresarse como un

número racional.

Johan Lambert (1761 D C)

Dice que el numero Pi es irracional.

41 BLOQUE 2

Evaluación



Identifica elementos de los subconjuntos de los números reales. Ubicar los números reales.

Esboza en una gráfica los números reales.

Acepta la variedad de los números.


docente

Ejemplos. 1. Juan, es estudiante de primer año de arquitectura, y quiere comprobar que la medida de la

altura que tiene dividida entre la medida de su ombligo a los pies, cumple con el número áureo, el cual es un número irracional.

2. Al contar el número de niños que asistieron para ir a un paseo escolar, la maestra utiliza números naturales.

Actividad: 3 Identifica los siguientes números con la letra “N” si son naturales, “Z” para los enteros, con “Q” a los Racionales, con “I” si son Irracionales. Completa la tabla colocando un número del conjunto indicado. Represéntalos en la recta numérica.

Número 4 - 6 34

10 21

−

Conjunto I Z Q

Gráfica

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

http://search.live.com/images/results.aspx?q=+ni%c3%b1os+de+paseo+escolar&FORM=ZZIR15�


3. Una persona que se traslada de un piso a otro en un edificio, donde los pisos que están por

encima de la planta baja serían los positivos y los que se encuentran por debajo de la planta baja, serían los negativos.

4. Don Javier requiere repartir $ 2565.00 entre sus 4 hijos para que compren material para sus estudios.

Evaluación

Actividad: 4 Producto: Registro de observaciones. Puntaje:


Concepto de los números Reales. Identifica la utilidad de los números Reales.

Ubica la aplicación de los números Reales en el hogar. Expresa correctamente la notación de conjunto de los números Reales.

Aprecia el uso y aplicación de los números en su vida cotidiana.

Se compromete con sí mismo a buscar la utilidad de los números Reales en su vida cotidiana.

Admite la importancia de los números Reales para expresar todo tipo de magnitudes (variables, constantes, discretas o continuas).


docente

Actividad: 4 Observa dentro y fuera de tu casa para que enlistes los elementos que se relacionan con los números Reales, anota la lista en el siguiente espacio determinando a qué conjunto pertenece, N, Z, Q, I.

http://search.live.com/images/results.aspx?q=pisos+de+un+edificio�

43 BLOQUE 2

Evaluación

Actividad: 5 Producto: Tabla de clasificación. Puntaje:


Identifica los subconjuntos de números Reales. Identifica la utilidad y aplicación de los números.

Ubica la aplicación de los números en el hogar. Relaciona los subconjuntos de los números reales con las aplicaciones.

Aprecia el uso y aplicación de los números en su vida cotidiana. Disposición para integrar las ideas expresadas. Respeta a los integrantes del grupo en el proceso de comunicación.


docente

Propiedades de los números Reales. El deporte es una actividad muy importante en nuestras vidas, nos proporciona salud, vitalidad, integración social y retos. En los deportes existen reglas que permiten organizar a los jugadores, así como también, establecer roles y condiciones en las que se llevarán a cabo, como la medida de los espacios en los que se desarrollan y el tipo de aditamentos.

Actividad: 5 Comenta en el grupo el resultado de tus observaciones y anota en el siguiente espacio los elementos que te resulten más interesantes, además marca con al conjunto(s) al cual pertenece cada ejemplo.

EJEMPLOS N Z Q I R


Evaluación

Actividad: 6 Producto: Texto. Puntaje:


Reconoce la importancia de las reglas

Aplica el reglamento en el deporte

Muestra respeto a las reglas


docente

Como se observa, las reglas dan la pauta a seguir en muchas actividades; de igual forma, las Matemáticas no son la excepción. Existen “reglas” en los números reales que permiten realizar operaciones, se les conocen como propiedades de los números reales.

A continuación se enuncian algunas de las propiedades de los números reales, tomando en cuenta que Rcyb,a ∈ , esto se lee, a, b y c pertenecen a los números reales.

Actividad: 6 Escribe en el siguiente espacio las reglas más importantes de tu deporte favorito.

45 BLOQUE 2

Propiedad Operación Definición Significado Ejemplo

Cerradura

Suma

Multiplicación

R)ba( ∈+

R)ab( ∈

El resultado de sumar o multiplicar dos números reales, también es número real.

R853 ∈=+

R24)6)(4( ∈=

Conmutativa

Suma

Multiplicación

abba +=+ baab =

El orden al sumar o multiplicar los números reales, no afecta el resultado.

5335 +=+ (2)(9)(9)(2)=

Asociativa

Suma

Multiplicación

)cb(ac)ba( ++=++

)bc(ac)ab( =

No importa el orden al asociar la suma o multiplicación de tres o más números reales, el resultado siempre será el mismo.

)23(62)36( ++=++

[ ] [ ])7)(4(57)4)(5( =

Neutro

Suma

Multiplicación

a0a =+

a)1)(a( =

Si a un número real se le suma el cero (neutro aditivo), se queda igual. Si un número real se multiplica por 1 (neutro multiplicativo), se queda igual.

808 =+

13)1)(13( =

Inverso

Suma

Multiplicación

0)a(a =−+

1a1

)a( =

Si a un número se le suma su inverso, se obtiene como resultado el 0 (neutro aditivo). Si un número se multiplica por su inverso multiplicativo, se obtiene como resultado 1 (neutro multiplicativo).

0)9(9 =−+

121

)2( =

Distributiva Suma

respecto a la multiplicación

acab)cb(a +=+ El factor se distribuye a cada sumando

)4)(5()3)(5()43(5 +=+

Todas las propiedades antes mencionadas se utilizan en operaciones, pero en pocas ocasiones se perciben. También se usan otras propiedades de los números reales que se denominan propiedades de la igualdad de los números reales, las cuales son:


Propiedad Definición Significado

Aditiva Si ba = , entonces, cbca +=+

Si dos números son iguales, podemos sumar un mismo número a ambos lados de la igualdad y ésta se sigue cumpliendo.

Multiplicativa Si ba = , entonces, bcac = Si dos números son iguales, podemos multiplicar un mismo número a ambos lados de la igualdad y ésta se sigue cumpliendo.

Reflexiva aa = Un número es igual a sí mismo.

Simétrica Si ba = , entonces, ab = Si tenemos la igualdad de dos números, podemos cambiar el lado izquierdo con el derecho y no afectaría la igualdad.

Transitiva Si cbyba == , entonces, ca =

Si tenemos dos igualdades y uno de los términos es el mismo para las dos igualdades, entonces podemos establecer una igualdad entre los términos restantes.

A continuación se mostrarán algunos ejemplos en donde puedes visualizar las propiedades de la igualdad. Reflexiva. Esta es una de las propiedades que se podría decir que es “obvia”, en el sentido de que un elemento es igual a sí mismo. Una persona es igual a ella misma y a nadie más. Simétrica. La simetría se encuentra en la naturaleza, pero un ejemplo muy claro es cuando tenemos el resultado de una ecuación, y muchas veces el alumno tiene duda de cómo reportar el resultado, sin tomar en cuenta que es la misma.

5x = sería lo mismo si se dejara como x5 = Transitiva. Si el peso de 5 botellas es igual al peso de 2 libros, y el peso de estos 2 libros equivale al peso de una caja de regalo, entonces decimos que las 5 botellas pesan lo mismo que la caja de regalo.

http://search.msn.es/images/results.aspx?q=espejo�

47 BLOQUE 2

Otras propiedades muy importantes son: Aditiva. Si se pone en una balanza dos libros que pesan lo mismo, al añadirle una manzana de igual peso en ambos lados, la balanza sigue en equilibrio. Multiplicativa. Si ahora se tiene una balanza en equilibrio con dos objetos, y recordando que la multiplicación es la simplificación de la suma, entonces, multiplicar por dos a ambos lados significaría tener el mismo objeto dos veces por lo que resultaría la balanza en equilibrio.

Actividad: 7 Realiza el siguiente crucigrama utilizando las propiedades de los números reales.

1 2

3 4 5 6 7 8 9


Evaluación

Actividad: 7 Producto: Crucigrama. Puntaje:


Identifica las propiedades de los números reales.

Selecciona los ejemplos correspondientes a las propiedades de los números reales.

Realiza con veracidad el crucigrama.


docente

Operaciones con números enteros. Desde la infancia, los niños realizan operaciones fundamentales, para comprar algún dulce, para intercambiar canicas, para hacer reparticiones equitativas en los juegos; pero a medida que avanzan en las operaciones, parecieran ser complicadas, pero no lo es tanto, sólo es conocer a fondo las operaciones fundamentales y darles el orden correcto. Un ejemplo muy divertido y que causa mucha polémica es el siguiente problema.

“Tres amigos comen en un restaurante, el mesero les comunica que el importe de su cuenta es de 30 pesos, por lo que cada uno aporta 10 pesos. Sin embargo, el mesero regresa y ofrece una disculpa porque al revisar la cuenta el dueño del restaurante descubre que existe un error y que en realidad deberían pagar 25 pesos, por lo que el mesero les regresa 5 pesos; los amigos deciden repartirlos de la siguiente manera: 1 peso para cada uno de ellos y 2 pesos para el mesero como propina. Uno de los amigos al analizar la situación descubre que falta un peso y argumenta que seguramente el dueño se quedó con él; esta es la forma en que hizo su cuenta:

Actividad: 7 (continuación)

Horizontales:

1) ( )( ) 212 = es un ejemplo de…

3) R)5( ∈+π es un ejemplo de la propiedad… 4) Al multiplicar ambos lados de una igualdad ésta se

conserva.

5) 043

43

=

−+ ejemplifica a la propiedad…

6) Al sumar el cero a cualquier número real, éste no se modifica.

8) )3(2)x(2)3x(2 +=+ , ejemplo de la propiedad… 9) Es la propiedad que permite cambiar el orden en que se

asocia al sumar o multiplicar tres o más números reales sin que el resultado cambie.

Verticales: 2) Es la propiedad aditiva que

permite cambiar el orden de los sumandos sin que la respuesta se vea afectada.

7) En 6266x3 +=+− se está aplicando la propiedad…

49 BLOQUE 2

Cada uno de nosotros dio 10 pesos, pero como nos regresaron 1, entonces aportamos 9 cada uno, lo que representa 27 pesos en total, más 2 que le dimos al mesero da como resultado 29, de manera que falta 1 peso.”

Esta situación es confusa porque están planteando el problema de dos formas diferentes. ¿Cuál es la justificación para encontrar el peso perdido?

Evaluación

Actividad: 8 Producto: Descripción. Puntaje:


Interpreta el lenguaje verbal. Contrasta diferentes planteamientos de problemas con números enteros.

Descubre y explica la importancia del planteamiento de los números enteros.


docente

Esto ayuda a priorizar las operaciones fundamentales, por lo que se requiere repasarlas y salvar las dificultades que puedas tener en el transcurso de tu vida académica. Las operaciones de suma y resta de números enteros es la más usada en nuestras vidas, como los siguientes ejemplos. Juan se encuentra a su prima Sofía y entre la plática, le pregunta. - Oye Juan, ¿y mi tío cómo se encuentra de salud? - Bien, afortunadamente salió de la gripa tan fuerte que lo tenía en cama. -¿Mi tío Pedro es mayor que mi mamá verdad?, ¿cuántos años tiene? -Déjame ver, mmm mi papá nació en Octubre de 1945.

Actividad: 8

Escribe cuál es la justificación para encontrar el peso perdido.


Este es un caso claro en el que se realiza la resta sin tener que formalizar la operación, y ejemplos como éste se tienen todos los días sin darse cuenta. A continuación se plantea una serie de problemas en los que tendrás que utilizar las operaciones fundamentales de suma y resta para conocer su respuesta.

Evaluación



Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas.

Emplea las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas en la resolución de problemas tipo.

Aprecia la importancia del rol que juegan las operaciones aritméticas en ejemplos de la vida cotidiana.


docente

Actividad: 9 Lee con cuidado cada una de las situaciones que se te plantean y realiza las operaciones correspondientes para conocer la respuesta correcta.

1. Santiago estaba haciendo un recuento de sus gastos, recordó que tenía en un principio $5689,

posteriormente le pagaron $1453 que le debían, tuvo que pagar $2561 en deudas, compró un regalo a su novia, el cual le costó $562 y pagó $2500 en asistencia debido a que estudia en Tijuana. ¿Cuánto le quedó para sus gastos personales?

2. Sandra se casó teniendo 24 años en 1994. ¿En qué año cumplirá 85 años? ¿Qué edad tiene ahora

mismo? 3. Uno de los operadores de transporte de la línea “La Costa”, realiza su recorrido a Bahía Kino 4 veces en

viaje redondo, transportando en promedio 35 personas, de las cuales 12 son de medio boleto y el resto de boleto entero, cada boleto cuesta $ 100. ¿Cuánto tendrá que entregar el conductor al cabo de su jornada?

4. En un edificio, los pisos se enumeran como sigue: planta baja, 1er. piso, 2do. piso, etc. Luis está

buscando a un amigo, pero no sabe exactamente en qué piso está trabajando, así que decide buscarlo según su intuición, siguió esta secuencia: primero decide ir de la planta baja al tercer piso, luego baja dos, sube 5 y finalmente baja 4 y ahí lo encontró, ¿en qué piso se encuentra trabajando su amigo?

5. Un día de invierno la temperatura en la madrugada era de 7º C. Durante la mañana subió 13º C, en la

tarde descendió 6º C y en la noche bajó 4º C. ¿Qué temperatura había en la noche?

51 BLOQUE 2

Si se te dificultaron algunos problemas de la actividad anterior, puede ser debido a que no leíste con detenimiento, o bien por tener dificultades en las operaciones fundamentales; para superarlas se repasarán algunas operaciones de suma y resta, sobre todo para observar el signo del resultado de cada una de ellas. Suma: La suma de dos números positivos es positivo y la suma de dos números negativos resulta negativo. Ejemplos: 1) 1257 =+

2) 12)5(7 −=−+− recordando lo visto en la secundaria, lo podemos visualizar como 1257 −=−−

Resta: Esta se lleva a cabo entre dos números de signos diferentes. Ejemplos: 1) 257 =−

2) 257 −=+−

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

−13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Actividad: 10

Efectúa las operaciones indicadas. 1) =++++ 106334585 2) =−−−− 541874 3) =−+−− 263912643 4) =+−−+− 121431525 5) La dueña de una pequeña empresa de comida registra las entradas y salidas de efectivo durante la última semana del mes.

Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Entrada $ 1256 $ 156 $ 2210 $ 0 $ 2158 $ 1116 $ 1325 Salida $ 324 $ 316 $ 536 $ 123 $ 538 $ 560 $ 478

¿Cuánto quedó en efectivo en caja para inicio de la siguiente semana? 6) Un submarino está sumergido a 257 m bajo el nivel del mar, disparó un cohete en forma vertical y subió 650 m. ¿A qué altura sobre el nivel del mar llegó el cohete? 7) A Sandra su papá le proporcionó una tarjeta de crédito con un saldo a favor de $2500, con la condición de que no gastara más de lo que había depositado, en caso contrario, ella tendrá que pagar. Sandra cuenta con $1436 en efectivo, también para utilizarlo en sus compras.

Artículo Precio Blusa Aeropostal $ 450 Pantalón Levis $ 560 Mochila para computadora $ 750 Tenis Vans $ 650 Útiles escolares $356

¿Tendrá Sandra que pagar de su dinero a la tarjeta?, si es así, ¿cuánto dinero le quedará? 8) Si te ofrecieran aumentar el sueldo en forma sucesiva $500 cada quincena o $1,500 cada mes ¿qué escogerías? Justifica tu respuesta. 9) Problema curioso: ¿Cómo podemos medir 9 minutos con dos relojes de arena de 4 y 7 minutos?

53 BLOQUE 2

Evaluación

Actividad: 10 Producto: Solución de problemas. Puntaje:


Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas.

Emplea las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas en la resolución de problemas tipo.

Aprecia la importancia del rol que juegan las operaciones aritméticas en ejemplos de la vida cotidiana.


docente

También existen situaciones en las que no importa el signo del número sino la cantidad que representa, como por ejemplo: Jaime se encuentra en una disyuntiva, su jefe le habló por teléfono y le dijo que colocara el reglamento de la empresa a 2m de una fotografía que está colocada en la pared de su oficina, el problema que tiene es que no proporcionó información de colocarlo a la derecha o izquierda. En este caso, sólo se le proporcionó la distancia, sin ningún sentido. Si se representa este problema en la recta se tendrá una situación especial, llamada valor absoluto. El valor absoluto de un número es su distancia al número cero en la recta numérica. Se simboliza mediante las barras

con el número en su interior.

Ejemplos: 1) 55 =

2) 77 =−

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−3 −2 −1 0 1 2 3


3) 00 =

4) 99 =−

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Actividad: 11 En los casinos venden tarjetas para jugar en las máquinas de azar. Una persona tiene un saldo de 10 dólares en su tarjeta y decide jugar de un dólar a la vez, si sólo tiene tiempo de jugar 5 veces y en cada ocasión gana o pierde el dólar apostado.

1. Escribe 6 posibles maneras de que se desarrolle el juego. 2. Realiza el recorrido de los 6 juegos en la recta numérica.

55 BLOQUE 2

Evaluación

Actividad: 11 Producto: Representación gráfica. Puntaje:


Ubica en la recta numérica: números Reales y sus simétricos, considerando el concepto de valor absoluto.

Establece hipótesis para el desarrollo del juego.

Se interesa en el proceso de soluciones posibles. Acepta la presencia de las Matemáticas en el juego azaroso.


docente

Evaluación

Actividad: 12 Producto: Ejercicios. Puntaje:


Identifica el concepto de valor absoluto.

Practica ejercicios de valor absoluto.

Muestra interés en la realización de ejercicios.


docente

Actividad: 12 Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones.

1) =2

2) =−19

3) =−1910

4) =−− 314

5) =−188

6) =+ 234

7) =− 420

8) =−− 3419

9) =− 5621

10) =−− 1332


Operaciones con números racionales. Te darás cuenta que en este segundo bloque has estado repasando temas que viste en la secundaria, sobre todo en operaciones básicas. Ahora se retomarán las operaciones con racionales, también conocidos como fracciones. En los próximos bloques requerirás generalizar estas operaciones, es decir, no sólo con números sino con literales. Un problema muy conocido que puedes encontrar en el libro El hombre que calculaba es, “los 35 camellos”.

Hacía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurrió una aventura digna de ser referida, en la cual mi compañero Beremís puso en práctica, con gran talento, sus habilidades de eximio algebrista. Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos. Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas: - ¡No puede ser! - ¡Esto es un robo! - ¡No acepto! El inteligente Beremís trató de informarse de que se trataba. - Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones?

Evaluación

Actividad: 13 Producto: Diseño de problema. Puntaje:


Reconoce las operaciones con números racionales en problemas comunes.

Diseña ejemplos con operaciones de números racionales.

Muestra creatividad en el diseño del problema.


docente

Actividad: 13

Elabora un problema parecido al de los 35 camellos el cual se resuelva con fracciones diferentes.

57 BLOQUE 2

Adición o suma de racionales.

Recordando la estructura que tienen lo racionales, ba

donde bya son números enteros y b no puede ser cero. A

continuación se ejemplificarán cada uno de los casos de suma de fracciones. Igual denominador.

bca

bc

ba +

=+

Ejemplos:

1) 7

137

9479

74

=+

=+

2) 58

5113

511

53

=+−

=+−

3) 37

325

32

35 −

=−−

=−−

Diferente denominador.

bdbcad

dc

ba +

=+

Ejemplos:

1) 1522

)3)(5()5)(2()3)(4(

32

54

=+

=+

2) 6391

)9)(7()7)(5()9)(14(

95

714 −

=+−

=+−

Como te darás cuenta, en los dos casos anteriores, los denominadores no son términos que tengan algún divisor en común (a excepción del 1), y aplicar la técnica de multiplicar cruzado los números para encontrar la respuesta es muy sencillo. En el caso de que sus denominadores tengan factores en común se obtiene el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de ellos.

Sitios Web recomendados: Este sitio es en donde encontrarás el libro El hombre que calculaba http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/capitulo03.html

Eudoxo de Cnido (406 a 315 A C )

Establece la teoría de la semejanza


Ejemplos:

1) 1514

15)2)(1()4)(3(

152

54

=+

=+

2) 2411

24)5)(3()1)(4(

85

61 −

=+−

=+−

En cuanto a la multiplicación y división de fracciones el procedimiento a seguir es el siguiente: Multiplicación. Se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador, para obtener el numerador y el denominador respectivamente. Se puede multiplicar directo y simplificar la operación después, si es posible, o bien, si tienen factores que se puedan simplificar con anterioridad antes de llevar a cabo la operación, en este caso, primero se eliminan y después se multiplica. Ejemplos:

1) 4027

)8)(5()9)(3(

89

53

−=−

=⋅−

2) 109

4036

)8)(5()9)(4(

89

54

===

o bien

División. En el caso de la división de dos fracciones, se cruzan las multiplicaciones. Al igual que la multiplicación una vez hecho el cruce, se puede simplificar primero antes de llevar a cabo la multiplicación. Ejemplos:

1) 356

)7)(5()3)(2(

37

52

==÷ o bien, si está expresada como cociente de fracciones

2) 152

456

)5)(9()3)(2(

35

92

===÷ o bien

3)

109

)2)(4)(5()9)(4(

89

54

==

3

1

3

1

)3)(3)(2(

)2)(3(

2923

−=−

=−

=−

152

)5)(3)(3()3)(2(

35

92

==÷

31

31

)3)(3)(2()2)(3(

2923

−=−

=−

=−

Recuerda la ley de los signos para la multiplicación y división.

( )( ) +=++ +=+

+

( )( ) +=−− +=−

−

( )( ) −=−+ −=−

+

( )( ) −=+− −=+

−

59 BLOQUE 2

Actividad: 14 Resuelve las siguientes operaciones simplificando la respuesta en caso de ser posible.

1) =+117

113

2) =+−89

57

3) =++−− 332

81

53

4) =−+43

85

203

5) =++−2253

754

1502

6) =

25

83

7) =÷−229

113

8) =

−

1011

45

9) ( ) =

−

−

− 5

151

64

43

10) =

310245

11) =

++

−−

32

1

32

1

32

1

32

1


Evaluación



Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones con fracciones.

Practica ejercicios de operaciones con fracciones.

Muestra interés en la realización de ejercicios.


docente

Cierre

Actividad: 15

Analiza con detenimiento los siguientes problemas y resuélvelos.

1. Sonia tenía 8 tazas de harina para hornear pastel, si tiene que echar 213 tazas en un recipiente y

312 en otro. ¿Cuántas tazas de harina le quedan?

2. Alejandra está siguiendo una dieta para adelgazar. El primer mes bajó 312

kilos, el segundo perdió

511

kilos, el tercero recuperó 8

5 kilos y el cuarto mes perdió 2

12 . Si su peso inicial fue de 78 kilos,

¿cuánto pesó al finalizar el cuarto mes?

3. Se presentaron aspirantes a 3 carreras en la universidad para realizar el examen de admisión, 4625

de ellos quieren ingresar a Ingeniería Industrial en Sistemas (IIS), 23

10 de ellos desean ingresar a

Ingeniería Industrial Administrador (IIA) y los 60 restantes que representan 461

quieren ingresar a

geología.

a) ¿Cuántos alumnos en total se presentaron al examen?

b) ¿Cuántos alumnos aspiran a las carreras de IIS e IIA?

61 BLOQUE 2


4. El profesor de deporte requiere sustituir los balones de futbol por estar en mal estado, si

hay 10 balones nuevos más que los viejos, y estos 10 son 41

del total, ¿Cuántos balones

viejos había?

5. Diego prometió estudiar 8 horas en la semana de exámenes, si hasta ahora ha estudiado 323 .

¿Cuántas horas más tiene que estudiar?

6. Luz María confeccionará un vestido y compró 412 m de tela, el primer día ocupó 2

11 m, el segundo

día ocupó 83 m, si todavía le falta 8

11 m para terminar, ¿Cuánto más tiene que comprar para terminar

el vestido?

Evaluación



Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones con fracciones.

Emplea las propiedades fundamentales de las operaciones con fracciones en la resolución de problemas tipo.

Aprecia la importancia del rol que juegan las operaciones con fracciones en ejemplos de la vida cotidiana.


docente


Secuencia didáctica 2. Razones y proporciones.

Inicio

Actividad: 1

Observa el video “El número de oro, φ (Phi), la divina proporción” y trae a la clase la siguiente lista de elementos.

1. Una cinta métrica. 2. Una flor (margarita, rosa, girasol, etc.) que cumpla con los números de Fibonacci. O bien,

cualquier otro objeto de la naturaleza que lo cumpla. 3. En equipo de 5 personas, reportar los datos siguientes.

Objeto Número de Fibonacci

4. Realizar las siguientes medidas de tu cuerpo y reportarlo en la siguiente tabla.

Lugares de medición Medida en centímetros

Estatura

Longitud de los brazos extendidos

Anchura mayor de los hombros

Del codo a la punta de la mano

Del codo al ángulo de la axila

Longitud del pie

Del Pie hasta debajo de la rodilla

Desde la parte inferior de la barbilla a la nariz

Desde el nacimiento del pelo a las cejas

Desde el pie hasta el ombligo

La altura entre la distancia desde el pie hasta el ombligo

63 BLOQUE 2


5. Verifica las medidas que establece el arquitecto Marcus Vitruvio Pollio.

Proporciones Resultado

Longitud de los brazos extendidos es igual estatura

Anchura mayor de los hombros es 41

de la estatura

Del codo a la punta de la mano es 51

de la estatura

Del codo al ángulo de la axila es 81 de la estatura

Del pie hasta debajo de la rodilla 41 de la estatura

Desde la parte inferior de la barbilla a la nariz es igual desde el nacimiento del pelo a las cejas

Evaluación

Actividad: 1 Producto: Registro de observaciones y mediciones. Puntaje:


Identifica formas distintas de comparación y relación entre números reales, tales como: razones, proporciones y variaciones.

Selecciona elementos que cumplen con la serie de Fibonacci. Realiza mediciones para la asignación de proporciones.

Se compromete a proporcionar los materiales para la actividad. Reconoce la existencia de las matemáticas en la naturaleza.


docente

Sitios Web recomendados: El video lo puedes encontrar en http://www.youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc


Desarrollo Razones. En la naturaleza hay múltiples coincidencias matemáticas incluso en el cuerpo humano. Te habrás dado cuenta, que en el último ejercicio de la parte cuatro de la actividad anterior, que es muy cercano al número áureo del cual se habló en el video.

...618034.12

51=

+=Φ

Otro ejemplo de este número tan especial se encuentra en las espirales de la piña del pino.

También en el caracol y en otros animales.

Se ha estado comentando sobre la razón y proporción, ahora se formalizará esta información.

Razón. Es una comparación de dos cantidades semejantes. Por lo general se expresa como cociente de las cantidades.

Ejemplo. Diego puede leer 350 palabras por minuto y un lector promedio lee 250 palabras por minuto. ¿Cuánto más rápido lee Diego? Para poder encontrar la relación, se divide:

57

250350

=

Esto es, por cada 5 palabras que lee un lector promedio, Diego lee 7.

65 BLOQUE 2

Las comparaciones pueden ser denotadas de diferentes formas.

1) 5:7

2) 57 ÷

3) 57

4) 7 a 5

Las comparaciones por medio de una razón están limitadas a cantidades del mismo tipo. Por ejemplo, para expresar la relación entre 9 m y 35 cm ambas cantidades deben escribirse en términos de la misma unidad. Entonces, la forma que deben ser relacionadas es m35.0:m9 , por convencionalismo y además como están expresadas en la misma

unidad, se eliminan las unidades y se expresa 35.0:9 .

Como la razón también es una fracción, se pueden utilizar todas las operaciones y propiedades de éstas.

Actividad: 2

Analiza con detenimiento los siguientes problemas y resuélvelos.

1. Entre Socorro y Nidia juntaron $3500 para hacerle un presente a su amiga que se casará

próximamente. Si Nidia aportó $1500. ¿Cuál es la razón entre lo aportado por Socorro y lo aportado por Nidia para el regalo?

2. En una carrera de relevos, Abel corre un tramo de 120 m y Héctor corre un segundo tramo de 140

m. ¿Cuál es la razón entre la distancia recorrida por Abel y la recorrida por Héctor?

3. Para pintar una casa se mezcló pintura blanca con pintura verde. Si se utilizaron 3 galones de pintura blanca y 2 galones de pintura verde. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de pinturas usadas?

4. En un examen hay 25 preguntas de correspondencia y 10 preguntas de desarrollo. ¿Cuál es la razón

entre la cantidad de preguntas de desarrollo y las de correspondencia?


Evaluación



Interpreta la razón en problemas de la vida cotidiana.

Analiza ejemplos de la vida cotidiana para establecer relaciones entre varios elementos.

Aprecia la utilidad de los modelos matemáticos para describir situaciones que se resuelven con proporciones.


docente

Proporciones.

Proporción. Es la igualdad de dos razones.

Proporción directa. Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.

Cuando se tiene una relación dos elementos entre cuyas cantidades prevalece una razón, utilizando proporciones se pueden calcular cantidades que no estén contempladas.

Ejemplo 1.

En un laboratorio de Fisiología, al medir durante cierto tiempo los litros de sangre que bombea el corazón de una persona cuyo peso es de 70 kg, se obtuvieron los siguientes datos:

Litros de sangre que bombea al corazón 20 35 50 60

Tiempo en minutos 4 7 10 12

Se observa en la tabla que a medida que aumenta el tiempo, aumentan los litros de sangre que bombea el corazón. Y viceversa, a medida que disminuye el tiempo, disminuye el bombeo de sangre.

Al tomar las comparaciones se tienen las siguientes razones.

5420

= , 5735

= , 51050

= , 51260

=

Como las razones son constantes, podemos igualar los cocientes, así se construyen las proporciones.

735

420

= , 1260

1050

= y otras posibles combinaciones.

Dos o más cantidades son directamente proporcionales cuando su cociente es constante o igual.

Leonardo Pisano Fibonacci (1170 – 1250)

Introduce los números de Fibonacci y la serie de

Fibonacci. Aproximó las raíces cúbicas obteniendo una respuesta que en la

notación decimal es correcta en 9 dígitos.

67 BLOQUE 2

Para comprobar una proporción es necesario reordenarla utilizando la regla de 3 simple directa que dice, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Ésta se obtiene a partir de las propiedades de los números reales (multiplicativa e inverso multiplicativo), que posteriormente se abordará con detenimiento en el tema de despejes de ecuaciones.

cbad =

Cuando se desea obtener información a partir de una proporción se requiere de la conocida regla de 3 simple. Ejemplo 2. Un saco de papas pesa 40 kg, entonces dos sacos de papas pesan 80 kg. De un cargamento de papas con 1040 kg ¿Cuántos sacos se podrán hacer?

Número de sacos 1 2 ... x ... Peso en kg 40 80 ... 1040 ...

En este caso se establecen las proporciones

1040x

802

401

==

Cualquier relación que se tome cumple con la misma razón, así que se elige en este caso:

1040x

401

=

En este momento aplicamos la regla de 3 simple

2640

)1040)(1(x ==

La proporcionalidad directa se observa de la siguiente forma.

2(40)

2(1)

26(40)

26(1)

Número de sacos 1 2 ... 26 ... Peso en kg 40 80 ... 1040 ...

dc

ba=

db

ca

→→


Proporción inversa. Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. En este caso si se tiene:

La regla a utilizar es la regla de 3 simple inversa.

cdab =

Ejemplo 1. Si 3 hombres necesitan 24 días para enyesar una casa, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

Hombres 3 6 9 ... 18 Días 24 12 8 ... x

Se utiliza la regla de 3 simple inversa para comprobar los datos obtenidos en la tabla y de la misma forma obtener el dato faltante.

Utilizando el mismo procedimiento para resolver el problema, se tiene:

( )( ) ( )( )( )( )

x4

x18

243

x18243

=

=

=

La proporcionalidad inversa se visualiza mejor de la siguiente forma.

21

(24)

2(3)

3(3)

Hombres 3 6 9 ... 18 Días 24 12 8 ... 4

31

(24)

6(3)

61

(24)

“Un Matemático que no es también algo de poeta, nunca será un matemático completo.”

Karl Weierstrass

db

ca

→→

1224

63

→→

7272

)12)(6()24)(3(

==

7272

)8)(9()24)(3(

==

824

93

→→

1224

63

→→

69 BLOQUE 2

Cierre

Actividad: 3

Resuelve en equipo los siguientes problemas. 1. Si 4 kilos de plátanos cuestan $50, completa la siguiente tabla:

Kilos 2 4.5 8 9.5 12 Precio $75 $140.60

2. Considerando que 8 operarios efectúan un trabajo en 24 días, completa la siguiente tabla:

Operarios 4 6 12

Días 64 8 3. Una cuatrimoto en Puerto Peñasco recorre 120 metros en 4 minutos. ¿Qué distancia recorre en 2

minutos si mantiene su velocidad constante? 4. 14 albañiles efectúan un trabajo en 10 días. ¿Cuánto demorarían 42 albañiles trabajando la misma

cantidad de horas diarias, con el mismo ritmo de trabajo? 5. Una llave que arroja 12 litros por segundo de agua, demora 10 horas en llenar una piscina. ¿Cuánto

demora una llave que da 20 litros por segundo? 6. A María le heredaron un terreno rectangular y le ofrecen elegir uno de 30 m de frente y 18 metros de

fondo. Si puede cambiar las dimensiones del terreno, pero no el área, ¿cuál deberá ser el fondo si ella pide que el frente sea de 40 m?

7. En un plano, cuya escala es 1 : 100, una puerta mide 2 mm. de ancho por 3.2 mm. ¿Cuáles son las

medidas verdaderas de la puerta? 8. Calcula el valor de 4 huevos si una docena cuesta $54. 9. Un automóvil recorre en 3 hrs. una distancia de 252 km. ¿Cuánto recorrerá en 6 horas si va a la misma

velocidad? 10. En un sembrado hay 25.000 árboles de aguacates. Si de cada 50 se pierden 6, ¿cuántos árboles en

total se perderán? 11. Las estadísticas muestran que de cada 30 fumadores compulsivos 5 adquieren enfermedad pulmonar

antes de los 50 años. Si en una ciudad hay 24.000 fumadores compulsivos, ¿cuántos casos de enfermedad pulmonar se producirán?

12. El profesor califica proporcionalmente al número de reactivos correctos que han obtenido los alumnos. Si Luis con 32 reactivos correctos obtuvo 6 de calificación, ¿Cuánto obtuvo Alma que tenía 40 correctos?


Evaluación



Identifica formas diferentes de comparación y relación entre números reales, tales como: razones, proporciones y variaciones. Comprende el significado de razón y proporción. Reconoce modelos de variación proporcional directa e inversa.

Utiliza modelos de variación proporcional directa e inversa. Aplica reglas que subyacen a una serie de fenómenos que involucran a las razones y proporciones.

Aprecia la utilidad de los modelos matemáticos para describir situaciones donde las magnitudes mantienen relaciones de variación proporcional, directa o inversa. Muestra disposición para integrar las ideas expresadas. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.


docente

Realiza sumas y sucesiones de números











72 REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS

Secuencia didáctica 1. Sucesiones y series.

Inicio

1. Encuentra el siguiente término de cada unas de las secuencias de números y escríbelo en el cuadro

correspondiente.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2. Aquiles que está a 10 km de la tortuga, es 10 veces más veloz que ella. ¿Conseguirá alcanzarla? Reflexiona sobre la oración anterior y contesta la pregunta justificando la respuesta.

3. La diagonal del ortoedro formado por n cubos consecutivos es:

3d =

Actividad: 1

,...,16,9,4,1

,...,15,11,7,3

,...,28,21,14,7

,...,16,8,4,2,1

,...,30,40,50,60

,...,811

,271

,91

,...,1,0,1,0,1,0

Analiza con detenimiento cada una de las partes de esta actividad y responde correctamente.

,...,4,3,2,1

73 BLOQUE 3

6d =

11d =

¿Cuál es el valor de la medida de la diagonal del siguiente ortoedro?

Evaluación



Identifica la dependencia entre una secuencia de números.

Determina los números subsecuentes de secuencias de números.

Realiza la actividad con interés.


docente


18d =


Luis Villalba, compositor y crítico musical español (1873-1921), establece que música es la sucesión de una o varias series simultáneas de sonidos concertados, modulados y ritmados según el número, en orden a la expresión o emoción, así sentimental como estética.

El concepto más actual de la música según algunos serialistas la sitúa como un arreglo ordenado de sonidos simples de distinta frecuencia en sucesión (melodía), sonidos en combinación (armonía) y sonidos (y silencios) en sucesión temporal (ritmo).

Desarrollo Como habrás observado en el video del “número de oro” del bloque anterior, se habla de una secuencia de números que está presente en la naturaleza, las obras de arte, la música, la composición molecular, el universo, entre otras. Es por ello que es importante observar el comportamiento y estudiar las secuencias de números. Sucesiones. Una sucesión es un conjunto de números ordenados u otras cantidades que son llamados términos, y éstos se obtienen mediante la aplicación de una regla. Ejemplos. a) ...,5,4,3,2,1 b) ...,11,9,7,5,3 c) ...,35,30,25,20,15 d) 1,2,3,4,5 e) 34,29,24,19,14

f) ,...641

,321

,161

,81

,41

,21

Como se muestra en los ejemplos, existen sucesiones finitas e infinitas. Se dice que una sucesión es finita, cuando posee un número fijo de términos, e infinita, cuando no tiene un número fijo de términos, es decir no tiene fin. Los incisos a), b), c) y f) son sucesiones infinitas, y los puntos suspensivos que acompañan a la serie, además de indicar que sigue hasta el infinito la sucesión, llevan el mismo patrón de comportamiento. Los incisos d) y e) son sucesiones finitas. La forma de distinguir a cada término de una sucesión es con la letra “ a ”, de tal manera que al primer término se le

denomina 1a , al segundo término 2a , el tercer término 3a , y así sucesivamente, al término en general se le nombra el

n-ésimo término y es na , por lo que la sucesión de términos ordenada quedaría:

,...a,...,a,a,a n321 Si se conoce la expresión que proporciona el n-ésimo término, se pueden encontrar todos los demás sustituyendo el número de término en la expresión, como se muestra a continuación.

75 BLOQUE 3

Ejemplo 1. Encontrar los cinco primeros términos de la sucesión cuyo n-ésimo término sea 3n8an −=

Número de Término (n)

Fórmula Resultado

1 ( ) 318a1 −= 5

2 ( ) 328a2 −= 13

3 ( ) 338a3 −= 21

4 ( ) 348a4 −= 29

5 ( ) 358a5 −= 37

La sucesión ordenada es: 5, 13, 21, 29, 37, … Ejemplo 2. Encontrar el vigésimo quinto término de la sucesión anterior.

En otras ocasiones el término general de la sucesión no se conoce, pero éste se puede calcular a partir del primer término 1a , junto con una regla para determinar cualquier término 1na + del término anterior 2a , con la condición de

1n ≥ . En este caso se dice que la sucesión es recursiva y a la expresión se le llama fórmula de recurrencia. Ejemplo 3. Encuentra los primeros cuatro términos de la sucesión definida por 5a1 = y ( )3naa n1n ++=+

n Fórmula Resultado

1 ( ) 9315a 2 =++= 9

2 ( ) 14329a 3 =++= 14

3 ( ) 203314a 4 =++= 20

Los primeros cuatro términos de la sucesión son: 5, 9, 14, 20

( )197a

3258a

3n8a

25

25

n

=−=

−=

“Para Tales... la cuestión primaria no era qué sabemos, sino cómo lo sabemos.”

Aristóteles


Actividad: 2

Utiliza la calculadora para resolver las siguientes sucesiones.

1. Encuentra los primeros cinco términos de la sucesión.

a) ( )nn 32a = b) ( )nn 3a −=

c) 2n32

an −=

d) n

2nan

+=

2. Encuentra los primeros cuatro términos de las sucesiones infinitas recursivas, definidas para cada caso.

a) 3a1 = y 4a2a n1n −=+

b) 4a1 = y n1n a5a −=+

c) 3a1 = y 2naa n1n −=+

3. Encuentra el término indicado en cada una de las siguientes sucesiones.

a) ( )nn 1a −= , 7a

b) ( )2

n

n n2

a−

= , 9a

c) ( ) n2n 2a −= , 3a

77 BLOQUE 3

Evaluación



Identifica la forma del n-ésimo término de una sucesión.

Aplica la fórmula del n-ésimo término para encontrar términos específicos de una sucesión.

Aprecia la facilidad para encontrar términos específicos a partir de la fórmula del n-ésimo término de una sucesión.


docente

Deducción del término general. También se puede dar el caso de no tener información del n-ésimo término de una sucesión, de tal manera, que observando el comportamiento de cada uno de los términos puede encontrarse la regla a la cual se sujetan. Ejemplo 1. Dada la siguiente sucesión infinita de números pares, encontrar el término n-ésimo.

n 1 2 3 4 5 …

na 2 4 6 8 10 …

Como se observa en la tabla, n es la ubicación que le corresponde a cada término de la sucesión y cada uno de los términos de la sucesión son el doble de su ubicación, por lo que el término en general es:

n2an =

Ejemplo 2. En el caso de la sucesión infinita de números impares, el n-ésimo término se construiría de la siguiente forma.

n 1 2 3 4 5 …

na 1 3 5 7 9 … En esta sucesión, sus términos son una unidad menos que el doble de su ubicación, por lo que el n-ésimo término está dado por la fórmula:

1n2an −= Ejemplo 3. Ahora se encontrará el n-ésimo término de una sucesión que no es tan conocida como las anteriores.

n 1 2 3 4 5 …

na 1 5 9 13 17 … En esta sucesión no es tan fácil encontrar el comportamiento ni la relación de la ubicación con cada término. Aunque los términos de la sucesión van creciendo de cuatro en cuatro, la fórmula del n-ésimo término debe depender de la ubicación, así es que se tienen que relacionar. Para ello debes utilizar tus habilidades de Aritmética para poder hallarla.


En este caso la relación está dada por: 3n4an −=

Ejemplo 4. También se pueden establecer sucesiones más elaboradas, como:

n 1 2 3 4 5 …

na 0 3 8 15 24 …

El crecimiento que tienen los términos de la sucesión no son constantes, es decir, del primer término al segundo hubo un aumento de 3, del segundo al tercero hubo un aumento de 5, del tercero al cuarto subió 7, del cuarto al quinto subió 9, por ello, se puede pensar que están involucradas las potencias, así que si se piensa en términos de potencias, cada término es igual a la ubicación elevada al cuadrado disminuida en una unidad.

1na 2n −=

Actividad: 3

Encuentra el término general de cada una de las siguientes sucesiones.

a) ...,14,10,6,2

b) ...,19,12,7,4

c) ...,10,7,4,1

d) ...,12,9,6,3

e) ...,15,11,7,3

f) ...,16,9,4,1

g) ...,27,8,1

h) ...,13,9,5

i) ...,25,19,13,7

j) ...,91

,41

,1

79 BLOQUE 3

Evaluación



Identifica la dependencia de los términos de una sucesión.

Construye la fórmula del n-ésimo término de sucesiones.

Aprecia la utilidad de expresar matemáticamente regularidades y patrones.


docente

Sucesión o progresión aritmética. Es la sucesión cuyos términos, después del primero, se forman sumando un número fijo, de tal forma que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera es una constante y a ésta se le llama diferencia de la progresión y se denota con la letra “d”. A continuación se ejemplificarán algunas sucesiones aritméticas. Ejemplo 1. Se establecerá el comportamiento de la sucesión ...,29,23,17,11,5 , para comprender la definición de sucesión aritmética. La diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es 6d = La fórmula de la sucesión aritmética es:

( )d1naa 1n −+=


1 6)11(5a1 −+= 5

2 6)12(5a2 −+= 11

3 6)13(5a3 −+= 17

4 6)14(5a4 −+= 23

5 6)15(5a5 −+= 29

… … …


Evaluación



Identifica sucesiones aritméticas.

Aplica las fórmulas correspondientes para hallar el modelo del n-ésimo término que caracteriza a una sucesión aritmética.

Aprecia la facilidad en la utilización de la fórmula para encontrar el n-ésimo término de una sucesión aritmética.


docente

Actividad: 4

Encuentra el término que se pide en cada una de las siguientes sucesiones.

1. Encuentra el 12vo. término de la sucesión aritmética 5, 13, 21,… 2. Encuentra el 18vo. término de la sucesión aritmética, 9, 7, 5,… 3. Encuentra el término 24 de la sucesión aritmética 3, 8, 13,… 4. Encuentra el término 16 de la sucesión 11, 9, 7,…

5. Encuentra el término 14 de la progresión aritmética ...,31

,31

,1 −−

81 BLOQUE 3

Evaluación



Identifica e interpreta sucesiones aritméticas.

Aplica la fórmula de sucesión aritmética. Muestra interés en la aplicación de la fórmula de sucesión aritmética.


docente

Actividad: 5 Resuelve los siguientes problemas. 1. Un teatro tiene 30 filas, 15 asientos en la primera fila, 17 asientos en la segunda fila, 19 en la

tercera, y así sucesivamente, ¿cuántos asientos hay en la fila 30? 2. El piso del patio de una casa tiene forma de trapecio y se construyó con 20 hileras de ladrillos. Si en la

primera hilera tiene 14 ladrillos y la veinteava tiene 33 ladrillos, ¿cuántos ladrillos tendrá la 15va. hilera?

3. Un objeto que cae libremente recorre 4.9 metros durante el primer segundo, 14.7 durante el siguiente, 24.5 durante el tercero, y así sucesivamente, ¿qué distancia recorre durante el décimo segundo?


Sucesión o progresión geométrica. Es la sucesión cuyos términos, después del primero, se forman multiplicando por un número fijo, de tal forma que la división de dos términos sucesivos cualesquiera es una constante que se denomina razón (r). El término general se obtiene mediante la fórmula:

1n1n raa −=

Ejemplo 1. Para encontrar el n-ésimo término de la sucesión geométrica 2, 4, 8, 16, …, primero se debe encontrar la razón. Al dividir dos términos consecutivos obtenemos siempre el mismo valor constante.

224= 2

48= 2

816

= es decir, la razón es 2r =


1 ( ) 111 22a −= 2

2 ( ) 122 22a −= 4

3 ( ) 133 22a −= 8

4 ( ) 144 22a −= 16

… … …

n-ésimo ( ) 1nn 22a −=

… … …

Actividad: 6 Encuentra el término que se pide de las siguientes sucesiones.

1. Encuentra el 6to. término de la sucesión geométrica 4, 12, 36,…

2. Encuentra el 9no. término de la sucesión geométrica, 3, 5, 15, 45,…

3. Encuentra el término 14 de la sucesión geométrica 3, 9, 27, 81,…

4. Encuentra el término 8 de la sucesión 1, – 2, 4, –8,…

5. Encuentra el término 5 de la progresión geométrica 16, 8, 4,…

83 BLOQUE 3

Evaluación



Identifica sucesiones geométricas.

Aplica las fórmulas correspondientes para hallar el modelo del n-ésimo término que caracteriza a una sucesión geométrica.

Aprecia la facilidad en la utilización de la fórmula para encontrar el n-ésimo término de una sucesión geométrica.


docente

Series A la suma de los términos de una sucesión se le denomina Serie. Puede ser una suma finita o infinita según sea el número de términos que se toman.

n321 a,...,a,a,a ó ...a,a,a,a ,4321

La notación que se utiliza para expresar una serie, es la letra mayúscula griega Sigma ∑, como se muestra a

continuación.

∑=

++++=n

1kn321k a...aaaa

k es el índice de la sumatoria, 1 y n son los valores mínimo y máximo de la variable, también se puede llevar a cabo una sumatoria parcial en donde se puede sumar una parte de la sucesión.

∑=

++ ++++=n

mkn2m1mmk a...aaaa

Ejemplos. Calcular las siguientes series.

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1055747372717k75

1k

=++++=∑=

2. 357777775

1k

=++++=∑=

3. ( ) ( ) ( ) ( ) 17262524232k2 22226

3k

2 =+++=∑=

Sitios Web recomendados: Consulta el siguiente sitio para ampliar tus conocimientos. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0101-01/ed99-0101-01.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0101-01/ed99-0101-01.html�


Evaluación



Identifica los componentes de la sumatoria de términos.

Aplica la notación sumatoria para encontrar su valor.

Aprecia la notación sumatoria como parte de los conocimientos a desarrollar.


docente

Actividad: 7 Calcula las siguientes series.

1. ( ) =−∑=

6

1k

2k3

2. =∑=

4

1k

3k

3. =∑=

6

3k k1

4. ( ) =∑=

4

1k

k125.0

5. ( ) =−∑=

4

1k

k3

6. =∑=

9

5k

2

85 BLOQUE 3

Evaluación



Identifica e interpreta sucesiones aritméticas.

Aplica la fórmula de sucesión aritmética. Muestra interés en la aplicación de la fórmula de sucesión aritmética.


docente

Actividad: 8 Resuelve los siguientes problemas. 1. En una cuenta de ahorro, Julio depositó $1000 al final del primer año. El banco

agrega el 5% de interés capitalizable cada año. ¿Cuánto dinero habría al finalizar 13 años?

2. Un auto recorre 36 m en un minuto; 12 m al siguiente minuto; 4 m al siguiente y así sucesivamente.

¿Cuánta distancia habrá recorrido al finalizar 11 minutos?

3. Una persona tiene 2 padres (1a. generación atrás), 4 abuelos (2a. generación atrás), 8 bisabuelos y así sucesivamente. ¿Cuántos ancestros tendría 13 generaciones atrás?

4. Una bola se deja caer desde una altura de 24 m. El primer rebote alcanza una altura de 12 m; el segundo, 6 m y así sucesivamente. ¿Cuál es la distancia total que ha recorrido la bola al final del quinto rebote? (Importante: La caída inicial de la bola es especial porque la bola sólo baja, a diferencia de cada rebote en que sube y después baja.)

5. En una competencia de ciclismo, dos participantes se preparan. El primero comienza con 1000 metros, y todos los días agrega 1000 metros más, en tanto que el segundo empieza con 200 metros y cada día duplica lo hecho el día anterior. ¿Cuántos metros recorre cada uno el décimo día?


Series aritméticas y geométricas. Series aritméticas. La suma (S) de los n términos de una sucesión aritmética finita está dada por la expresión:

( )n1

n

1kk aa

2n

a +=∑=

, es decir, ( )n1n321 aa2n

a...aaa +=++++ , y para mayor facilidad la fórmula se escribe:

( )n1n aa2n

S +=

Ejemplo 1. Encontrar la suma de los primeros 10 términos de la sucesión 7, 15, 23,… Primero se obtiene el 10mo. término de la sucesión aritmética.

( )( )

79a

81107a

d1naa

10

10

1n

=−+=−+=

Ahora se aplica la fórmula de la serie.

( )

( )430S

7972

10S

aa2n

S

10

10

n1n

=

+=

+=

Ejemplo 2. Dada la progresión aritmética 5, 12, 19, 26,…, encontrar la suma de los primeros 12 términos. Se obtiene el 12vo. término de la sucesión aritmética.

( )( )

82a

71125a

d1naa

12

12

1n

=−+=−+=


( )

( )522S

8252

12S

aa2n

S

12

12

n1n

=

+=

+=

Series geométricas. La suma (S) de los n términos de una sucesión geométrica finita está dada por la expresión:

( )r1

r1aa

n1

n

1kk −

−=∑

=

, es decir, ( )r1r1a

a...aaan

1n321 −

−=++++ , y para mayor facilidad la fórmula se escribe:

( )r1r1a

Sn

1n −

−=

87 BLOQUE 3

Ejemplo1. Encontrar la suma de los primeros 10 términos de la sucesión 3, 6, 12,… Primero se obtiene el 10mo. término de la sucesión geométrica.

( )1536a

23a

raa

10

11010

1n1n

==

=−

−


( )

( )

3069S21213

S

r1r1a

S

10

10

10

n1

n

=−−

=

−−

=

Ejemplo 2. Dada la progresión geométrica 5, 15, 45, 135,…, encontrar la suma de los primeros 8 términos. Se obtiene el 8vo. término de la sucesión geométrica.

( )10935a

35a

raa

8

188

1n1n

==

=−

−


( )

( )

16400S31315

S

r1r1a

S

8

8

8

n1

n

=−−

=

−−

=

Lo más importante de estas series es su aplicación en problemas reales, como los siguientes. 1. Carolina compró una casa y pagará mensualmente $3000 durante el primer año, y cada año se aumentará la

mensualidad en $200. ¿Cuánto pagará en total al cabo de los 10 años? La sucesión aritmética de pago mensual es: $3000, $3200, $3400,… Sólo que habrá que estructurar una nueva secuencia por año y ésta es: $36000, $38400, $40800,… El 10mo. término de la sucesión aritmética anual es:

( )( )

57600a

240011036000a

d1naa

10

10

1n

=−+=

−+=

"Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo"

Galileo Galilei



( )

( )468000S

57600360002

10S

aa2n

S

10

10

n1n

=

+=

+=

Carolina pagará al cabo de 10 años $468000. 2. En un cultivo de bacterias, el número de ellas se triplica cada día en ciertas condiciones de temperatura, nutrición

y humedad. Si hay 1200 bacterias al final del primer día, ¿Cuántas habrá al final del 6 días? La razón de crecimiento r es 3, por lo que el 6to. día crecerían:

( )291600a

31200a

raa

6

166

1n1n

==

=−

−

Ahora se aplica la fórmula de la serie para poder encontrar cuántas habrá en total al cabo de los 6 días.

( )

( )

436800S31

311200S

r1r1a

S

6

6

6

n1

n

=−−

=

−−

=

Al final del sexto día habrá 436800 bacterias.

89 BLOQUE 3

Cierre

Actividad: 9 Resuelve los siguientes problemas. 1. Una de las secciones de un auditorio tiene 6 hileras de asientos. Si la primera tiene 15

asientos, la segunda 13, la tercera 11, y así sucesivamente, hallar la capacidad de la sección.

2. Si Abel empieza ahorrando $15 pesos y cada día ahorra $5 más, ¿cuánto habrá ahorrado al terminar el 30vo. día?

3. Jaime gana un salario anual de $9000 en la empresa donde labora. Su jefe le ha prometido un

aumento de $1300 cada año, durante los siguientes 5 años. ¿Cuánto ganará en total durante esos 5 años?

4. El valor de un automóvil se deprecia un 10% cada año, si el precio de un automóvil es de $120,000.

¿Cuál sería su valor al cabo de 5 años? 5. En una ciudad de 354,470 habitantes, la población crece a razón de 1.2% cada año. Estima la

población dentro de 20 años. 6. Una persona invierte $80,500 al 5% de interés capitalizable. ¿Qué cantidad de dinero recibirá el

inversionista al final de 4 años?


Evaluación



Reconoce términos de sucesiones y series aritméticas y geométricas.

Aplica las sucesiones y series aritméticas y geométricas.

Aprecia la utilidad y aplicabilidad de las series y sucesiones aritméticas y geométricas.


docente

Realiza transformaciones algebraicas I








reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los

que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.


92 REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I

Secuencia didáctica 1. Polinomios de una variable.

Inicio

Evaluación



Identificar las leyes de los exponentes

Distingue las diferentes leyes de los exponentes.

Se interesa en la obtención del desarrollo de las leyes de los exponentes


docente

Actividad: 1 Completa la siguiente tabla.

Expresión Base(s) Exponente(s) Desarrollo Resultado

36 6 3 666 ⋅⋅ 216

42− 4 2222 ⋅⋅⋅−

( )42− 2− 4

23 77 ⋅ 3 y 2 77777 ⋅⋅⋅⋅

5

8

44

4 44444

44444444⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

( )235 5 3 y 2 ( )( ) ( )( )55555555 33 ⋅⋅⋅⋅=

( )452 ⋅ 2 y 5 4

3

52

3

52

52

52

93 BLOQUE 4

Desarrollo Leyes de los exponentes.

Actividad: 2 Realiza la siguiente actividad en equipo y tomando como base la actividad anterior, determina las leyes de los exponentes.

Nombre Condiciones Ley Ejemplo de demostración Interpretación

Producto de potencias Nmn,

Ra

∈∈

nmnm aaa +=⋅

523

veces2veces3

23

44

44.44444

=

=⋅⋅⋅⋅=⋅

+

En la multiplicación de dos bases iguales, los exponentes se suman

Potencia de potencias Nmn,

Ra

∈∈

( ) nmnm aa ⋅=

Potencia de un producto Nmn,

Ra

∈∈

( ) mmm baba ⋅=⋅

Potencia de un cociente Nm0b

Rb,a

∈≠∈

m

mm

ba

ba

=

División de potencias de igual base

Nmn,0a

Ra

∈≠∈

nmn

m

aaa −=

Potencia cero

Nm0a

Ra

∈≠∈

1aaaa 0mm

m

m

=== −

Potencia negativa Nmn,0b,a

Rb,a

∈≠∈

m

n

n

m

ab

ba

=−

−

Evaluación



Identificar las leyes de los exponentes

Distingue las diferentes leyes de los exponentes. Demuestra las leyes de los exponentes.

Se interesa en la demostración de las leyes de los exponentes. Muestra disposición al realizar la actividad.


docente


Polinomios. Polinomio. Es una expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.

Nombre Definición Ejemplos

Monomio (mono=uno). Expresión algebraica que consta de un solo término

3xy4

Binomio (bi=dos) Expresión algebraica que consta de dos términos

2a5ab6 +

Trinomio (tri=tres) Expresión algebraica que consta de tres términos 1xx3 2 −+

Polinomio (poli=varios)

Expresión algebraica que consta de dos o más términos. El binomio y el trinomio son casos especiales de polinomios.

z9yx 22 −

b3ab7a2 2 ++− 5xx2x 23 +++

Grado de un polinomio. Es la suma mayor de los exponentes de cada término algebraico.

Actividad: 3

Completa la siguiente tabla. Expresión Nombre Grado

yx3yxxy3xy4 343 −++ Polinomio 5 524 a5ba3 +

52ba8

n3nm10mn7 62 ++−

5xx2x 23 +++

3322 ba41ab5

2ba32 ++

Evaluación



Clasifica el grado y tipo de polinomios.

Diferencia los tipos y grados de polinomios.

Admite la necesidad de la clasificación de polinomios para su uso posterior.


docente

xy5yx6yx2 433 −+−

Términos

Grado: 3+4=7

95 BLOQUE 4

Operaciones con polinomios. Suma de polinomios. Para llevar a cabo la suma de polinomios es necesario identificar los términos semejantes, es decir, los términos que tengan las mismas variables con iguales exponentes, para así poder sumar dichos términos. Ejemplo 1. Marco Antonio es el supervisor en una compañía que distribuye carnes frías y debe realizar el inventario del mes, para ello, tiene que contar los productos que hay en almacén y compararlos con los productos que había en el inventario anterior y los que salieron a la venta; los productos que tiene que contar son: paquetes de salchicha, jamón, quesos, entre otros. Si a cada producto se le asigna una variable, se tendría la siguiente expresión.

z8zzzzzzzz

y6yyyyyy

x4xxxx

=+++++++=+++++

=+++

En otras palabras, los productos que hay en existencia en el almacén son:

z8y6x4 ++

Existen varios métodos para sumar, pero realmente se basan en lo mismo, en identificar los términos semejantes y reducirlos. Uno de ellos es el método que todos aprenden en la primaria, en donde se acomodan las unidades, decenas, centenas, etc.

482

94

532 +

De la misma forma se acomodan los términos de un polinomio, acomodando los términos semejantes.

= 4 = 6 = 8

+ + +

+ + + + +

+ + + + + + +

PAQUETES EN ALMACÉN


Ejemplo 2. Para sumar los polinomios

6x5x3x7 23 +++ y 2xx9 2 −−

Se acomodan de la siguiente forma:

4x4x12x7

2xx9

6x5x3x7

23

2

23

+++

−−

++++

Otra forma, es hacerlo directo.

( ) ( ) 4x4x12x72xx96x5x3x7 23223 +++=−−++++

El resultado 4x4x12x7 23 +++ ya no se puede reducir porque no tiene términos de igual variable con la igual potencia (semejantes).

Actividad: 4

I. Reduce las siguientes expresiones, realizando las operaciones correspondientes.

1) =−−+−++ yx12y3x7x9y5x2yx 22

2) =++−+− 3202531123523 3) =+−−++ xCosxSen8xCos3xSen5xCos2xSen 22

4) =+−++− xy27

ab61

ab32

xy25

ab43

xy21

5) =+−−+− 222222 xyz6yzxzxy7xyz5zxy3yzx2

97 BLOQUE 4


II. Encuentra el perímetro de las siguientes figuras.

1)

2)

3)

4)

1x23x2 −+

2/3-2m 11/2m9/5 +

93m +

4r +

123r +

4s2 −

5-4s

4s73s2 +−

1s +


Evaluación



Identifica las operaciones de suma y resta de polinomios.

Ejecuta sumas y restas de polinomios. Calcula perímetros de figuras geométricas.

Reflexiona respecto a la ventaja de realizar diferentes operaciones básicas con polinomios.

Reconoce sus errores en los procedimientos algebraicos y busca solucionarlos.


docente


5)

6)

3t2t 2 −+

11t5t 2 −+

2t 2 +

19a- 2 +

217a2

3 + 2

17-2a

429a5

3a 2 −− 443a 2 −

419a2

1 +−

99 BLOQUE 4

Multiplicación o producto de polinomios. Al igual que la suma en la primaria, también aprendieron a multiplicar mediante un algoritmo. Uno de los métodos para multiplicar polinomios, parecido al que aprendieron es:

6x5x6x35

6x9x15

x14x21x35

3x7

2x3x5

23

2

23

2

−−+−

−+−

−+−

−−×+−

La forma que es más usada en este nivel académico, es empleando la propiedad distributiva, se dice que se multiplican término a término. Posteriormente se reducen los términos semejantes, obteniéndose así el resultado final. ( )( ) 6x5x6x356x14x9x21x15x353x72x3x5 232232 −−+−=−−++−−=−−+− Pareciera que el proceso anterior es mucho más largo que el primer método, pero no es así, porque puedes realizar las multiplicaciones sin necesidad de separarlas por pasos, quedando así únicamente el último paso del segundo método.

Glosario: Algoritmo. Secuencia de pasos que permite hallar la solución de un ejercicio o problema.

( )( ) 232 x15x353x72x3x5 −−=−−+−

( )( ) x9x21x15x353x72x3x5 2232 ++−−=−−+−

( )( ) 6x14x9x21x15x353x72x3x5 2232 −−++−−=−−+−

Actividad: 5 Efectúa los siguientes productos y simplifica términos semejantes.

1) ( )( ) =+−− 324 ca5abc41a3

2) ( )( ) =−+ 4xy2yx3yx3 3242

3) =

−+

nnm

16

27m

16

9n

9

4 222


Evaluación



Identifica operaciones de multiplicación de polinomios.

Ejecuta multiplicaciones de polinomios.



docente


4) ( )( ) =−+ 4m4m

5) ( )( ) =++− a2b6b6a2

6) ( )( ) =+−−− a4b7b7a4

7) ( )( ) =+− 4a7a

8) ( )( ) =−+ y3xy5x

9) ( )( ) =+− b3a2b4a2

10) ( ) =+ 2b5a4

11) ( ) =−22 y2x3

12) =

+

2

b21

a3

13) ( ) =− 33x

14) ( ) =+ 33a2

15) ( ) =− 3y5x

16) =

+

+ y

43

x21

y43

x21

17) ( )( ) =+− b7a2b3a4

18) ( )( ) =−+ 3xy21xy7

101 BLOQUE 4

Productos Notables.

Dentro de los productos de polinomios existen productos notables1, reciben este nombre aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Los productos notables más conocidos son: Nombre Binomios conjugados Representación algebraica

( )( ) 22 bababa −=−+

Representación gráfica

Regla El producto de dos binomios conjugados es el cuadrado del término de signos iguales menos el cuadrado del término de signos diferentes.

1 http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables

Nombre Binomio al cuadrado Representación algebraica ( ) 222 bab2aba ++=+


Regla El cuadrado de un binomio es: el cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

a b

a

b

=

Área = ( )2ba +

2b

ab

ab =

2a

+

+

ab2 2b

a b

b

a - b =

Área = ( )( )baba −+

=

a + b

a - b a

a

2b

a - b

a


Nombre Binomios con un término común

Representación algebraica ( )( ) bca)cb(acaba 2 +++=++


Regla El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común más el producto de la suma de los términos no comunes con el término común más el producto de los términos no comunes.

Nombre Binomio al cubo Representación algebraica ( ) 32233 bab3ba3aba +++=+


Regla El binomio al cubo es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

Ejemplo1. Se desea realizar el producto de los factores ( )( )2x7x −+ . Al observar los factores se identifica el tipo de producto notable al cual pertenece, éstos son binomios con un término común, por lo tanto se usa:

( )( ) bca)cb(acaba 2 +++=++

( )( ) ( ) ( )( )14x5x

27x27x2x7x2

2

−+=

−+−+=−+

.

a b

a

c

a b a2

bc ac

( )( ) ( ) bcacbacabaÁrea 2 +++++=

a b

a

b a + b

b

a2 b

ab2

ab2

a3 b3

a2 b

a2 b

ab2

( ) 32233 bab3ba3abaVolumen ++++=

103 BLOQUE 4

Ejemplo 2. Realizar el producto de los factores ( )( )3m53m5 ++ . Se observa que los factores son idénticos, por lo cual se pueden expresar como binomio al cuadrado, como se muestra a continuación.

( )( ) ( )23m53m53m5 −=++

Para resolverlo sólo se toma la expresión del binomio al cuadrado para poder desarrollar el producto notable, para así, poder utilizar la expresión:

( ) 222 bab2aba ++=+

( ) ( ) ( )( ) ( )9m30m25

33m52m53m52

222

+−=

−+−+=−

Ejemplo 3. Desarrollar el producto de los factores ( )32x3 − . El binomio anterior, pertenece a binomio al cubo, por lo tanto se utiliza para desarrollar el producto la siguiente representación algebraica:

( ) 32233 bab3ba3aba +++=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )8x36x54x27

22x332x33x32x323

32233

−+−=

−+−+−+=−

Ejemplo 4. Los factores ( )( )11y11y −+ se identifican como binomios conjugados, debido a que su diferencia radica en tan sólo un signo, por lo que se resuelve de la siguiente forma: Se utiliza la representación correspondiente a binomios conjugados.

( )( ) 22 bababa −=−+

( )( ) ( ) ( )121y

11y11y11y2

22

−=

−=−+

Primero se eleva al cuadrado el término que tiene igual signo y posteriormente se le resta el término que tiene diferente signo, elevado al cuadrado. Es conveniente acomodar primero los términos en cada uno de los ejemplos anteriores, para que se visualice mejor a qué producto notable pertenece.


1) ( )( ) =−+ 4x3x 2) ( ) =+ 32a 3) ( )( ) =+−−− bab5a 4) ( ) =− 2au 5) ( )( ) =++ 1xy71xy7 6) ( )( ) =++ 1m21m2 7) ( )( ) =+− 1n33n2 8) ( )( ) =−+ axax 9) ( )( ) =−+ b7ab8a 10) ( )( ) =++ 4a11a 11) ( ) =+ 27x 12) ( )( ) =−+ 5x5x 13) ( )( ) =+− 7x57x5

14) ( )( ) =−+ 2x5x

Actividad: 6

Efectúa los siguientes productos notables utilizando la regla que corresponda.

105 BLOQUE 4

15) ( )( ) =−− 2y52y5

16) ( ) =− 31x2

17) ( )( ) =+− 7a7a

18) ( ) =+ 3y2x

19) ( )( ) =+− n3m2n3m2

20) ( ) =+ 35x

21) ( ) =+ 22s3

22) =

−2

y21

x

23) ( )( ) =−+ 1a21a2

24) ( )( ) =−− 4x62x6

25) ( ) =+ 33z2


Evaluación



Identifica el producto de binomio, aplicando patrones de productos notables.

Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicaciones de binomios.

Reflexiona respecto a la ventaja de realizar diversas transformaciones algebraicas para simplificar o interpretar resultados.



docente


Es común que en la solución de problemas cotidianos se utilicen expresiones algebraicas en las que se requiere aplicar operaciones fundamentales entre polinomios, como se muestra a continuación Ejemplo 1. Natalia es dueña de un predio rectangular cuyo largo es tres veces el ancho, y desea construir una refresquería de dimensiones cuadradas de 6m de lado. Natalia desea saber cuánta superficie libre le quedará después de construir. La superficie del predio es: ( )( ) 2x3xx3 = La superficie de la refresquería es: ( )( ) 3666 =

Por lo que la superficie restante es: 36x3 2 − Ejemplo 2. Se desea construir una caja con un cartón cuadrado y se elabora recortando cuadrados en las esquinas de 5 cm de lado, como se muestra en la figura. Para expresar el volumen de la caja se procede de la siguiente manera:

El volumen de la caja es: lado x lado x altura. La expresión algebraica que lo modela es: Volumen= ( )( )( )510x10x −−

Volumen= ( )100x20x5 2 +−

Volumen = 500x100x5 2 +−

6m

6m x

3x

x

x

5 5

5

5

x – 10

x – 10 x – 10

x – 10

107 BLOQUE 4

Cierre

Actividad: 7 En equipo encuentra la expresión algebraica que modela los siguientes problemas y desarrolla las expresiones encontradas. 1. La suma de dos números es 14 y la suma de sus cuadrados es 97.

2. Valeria tiene 5 años más que Héctor y la suma de los cuadrados de sus edades disminuida en 15 es

322. 3. La longitud de una sala excede al ancho en 4 m, si el ancho se aumenta 2m y el largo se duplica, el

área será el tripe que la original. 4. La sección amarilla vende su espacio rectangular por cm2, los anunciantes deben incluir en los

anuncios un margen de 1 cm por cada lado. Una tienda de autoservicio contrata regularmente un anuncio de 375 cm2 (impresión y márgenes). Expresa el área de la impresión.

5. Se compraron dos piezas de tela que juntas miden 9 m, el metro de cada pieza costó lo mismo que

los cuadrados de los metros comprados de cada pieza y además una costó 4 veces lo que la otra.

Evaluación



Interpreta los problemas para obtener expresiones algebraicas. Identifica el tipo de expresiones obtenidas.

Propone estrategias para la representación de los problemas. Utiliza productos notables para el desarrollo de las expresiones.

Aprecia el uso de polinomios en el planteamiento de problemas.

Propone maneras creativas de solucionar un problema.

Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales.

Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.


docente

1

1


Secuencia didáctica 2. Factorización de polinomios.

Inicio

Muescas encontradas en el hueso de Ishango, datan de más de 20,000 años, hecho que algunos arqueólogos interpretan como la prueba del conocimiento de los números primos, debido a que las muescas encontradas parecen aislar los números primos: 11, 13, 17 y 19.

Actividad: 1 En equipo, analicen las siguientes preguntas y al llegar a una conclusión anoten su respuesta en el espacio correspondiente.

1. ¿Qué son los números primos?

2. ¿Cómo se obtienen los números primos?

3. Encuentra los números primos menores de 100.

4. Si el número 24 puede ser expresado en la multiplicación de los números primos 2 y 3, debido a que ( )( )( )( )322224 = . Expresa los siguientes números en sus factores primos.

6= 8= 36= 42= 54= 165=

Sabías que… El hueso de Ishango es un largo hueso marrón, más específicamente, el peroné de un babuino, con un cuarzo incrustado en uno de sus extremos. Se piensa que se utilizaba para realizar conteos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Ishango_bone.jpg�

109 BLOQUE 4

Evaluación



Define los números primos. Analiza propuestas para la obtención de los números primos. Propone formas de encontrar los números primos.


Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas.



docente

Desarrollo Así como los números se pueden descomponer en multiplicaciones de números primos, que comúnmente llamamos factores primos, los polinomios también son susceptibles de expresarlos en factores, es decir, expresarlos en la multiplicación de varias expresiones algebraicas más sencillas. Factorización. Al proceso de expresar a los polinomios en factores se le denomina Factorización, y dependiendo del tipo de expresión que se desea factorizar es la técnica a utilizar. A continuación se mencionarán las técnicas más utilizadas a este nivel. Factor común. Consiste en extraer la expresión algebraica que esté presente en cada uno de los términos de una expresión más compleja, como se muestra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 1. Para factorizar la expresión x18x12 2 + Se descompone en:

x332xx322x18x12 2 ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+ Por lo que el factor que está presente en los dos términos algebraicos es:

x32 ⋅⋅ La técnica que se utiliza para factorizar por factor común, es extraer el máximo número de factores que estén presentes en los términos para expresarla como una multiplicación de factores, como se muestra a continuación.

( ) ( )3x2x63x2x32x18x12 2 +=+⋅⋅⋅⋅=+ Al observar el resultado, se concluye que la Factorización por factor común proporciona un monomio por un polinomio.


La Factorización es el proceso inverso de la multiplicación de polinomios, en particular de los productos notables.

A continuación se mostrarán ejemplos de Factorización por factor común.

1. ( )8x9972x81 +=+

2. ( )3yyy3y2 −=−

3. ( )2aa14a28a14 2 +=+

4. ( )2x5x5x10x25 223 +=+

5. ( )x5y4yx4yx20yx16 2222342 −=−

6. ( )1nm2mn4nm8nm8nm16nm32 23222443 +−=+−

7. ( )22222232 cb2ab7c5a5cba10ba35ca25 −+−=−+−

8.

−+=−+ xy23

x52

y4xy59

yx1027

yx2518

xy5

36 22232

Si notaste en los ejemplos anteriores, el número que se extrajo es el que comúnmente se llama Máximo Común Divisor que viste en la secundaria, y además, las variables son aquellas que tienen la menor potencia o exponente.

Actividad: 2 En equipo, factoricen las siguientes expresiones algebraicas y comenten las dificultades que se presentaron.

1. =++ qnqyqx

2. =−++ 22nm39m52mn13n26

3. =+ 24 x54x6

4. =−+− 432 x9x12x15x12

5. =+ nm18mn42 22

6. =−−+ 22333554 ba203

ba4

18ba

827

ba169

7. =+− x4x12x20 34

8. =+− 42222543 cab25cba5cba10

9. =−+−− 326333 sr2s4sr8sr16

10. =−− 242252 xc12xc25xc5

Evaluación



Comprende las técnicas de extracción de factor común simple y por agrupación.

Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de Factorización.

Propone maneras creativas de solucionar los ejercicios.




docente

111 BLOQUE 4

Diferencia de cuadrados. En la secuencia anterior, se trabajó con los binomios conjugados y su producto da como resultado diferencia de cuadrados.

( )( ) 22 axaxax −=−+

Así que se puede escribir: ( )( )axaxax 22 −+=−

La diferencia de cuadrados tiene como requisito, poseer dos términos, uno positivo y el otro negativo, además, tener potencias pares, cuadradas, cuartas, sextas, etc. Ejemplo 1.

Para factorizar 22 y9x16 − se necesita representar cada término como expresiones elevadas al cuadrado.

=− 22 y9x16 ( ) ( )22 y3x4 − Como las bases de las expresiones elevadas al cuadrado son 4x y 3y éstas serán los términos de los binomios conjugados, en donde 4x representará al término de signos iguales y 3y a los términos de signos diferentes, como se muestra a continuación. Realiza los productos de ambos resultados para que compruebes que las dos opciones son factorizaciones que provienen de la misma diferencia de cuadrados. Como observamos en el ejemplo anterior, dos son las opciones de Factorización, pero convencionalmente se toma sólo un resultado y es el positivo. Como antes se mencionó, las potencias pueden ser pares, ahora se ejemplificará con diferencias de cuadrados que poseen exponentes pares mayores que dos. Ejemplo 2.

Al igual que en el ejemplo anterior, 36u144 6 − requiere ser expresado como potencias cuadradas.

( ) ( )2236 6u1236u144 −=− Ahora se expresan los binomios conjugados, tomando únicamente uno de los dos resultados posibles, el positivo.

( )( )6u126u1236u144 336 −+=−

signos positivos

signos negativos

( )( )

( )( )

−−+−

−+=−

y3x4y3x4

y3x4y3x4

y9x16 22

Eratósthenes de Cirene

(276 – 194 A C) Trabajó en geometría y en números primos. Ideó un

método con el cual pudo medir la longitud de la circunferencia

de la tierra.



1. =−16a2

2. =− 2y4

3. =−1nm 22

4. =− 22 s9r25

5. =−121x4

6. =− 22 b169a81

7. =+− 49c9 6

8. =− 9x1625 2

9. =+− 22 y6449

x49

10. =− 6422

4

zyx121y9x36

Evaluación



Comprende las técnicas de Factorización basadas en productos notables, como es la diferencia de cuadrados.

Utiliza las técnicas para encontrar la Factorización de diferencia de cuadrados.





docente

113 BLOQUE 4

Trinomios cuadrados perfectos. Este tipo de trinomios son perfectos porque provienen de desarrollar un binomio al cuadrado ( ) 222 bab2aba ++=+ Visto de otra forma, el trinomio tiene que cumplir los siguientes requisitos para poder expresarse como un binomio al cuadrado. Ejemplo 1.

Para factorizar 9x12x4 2 ++ es necesario extraer las raíces del primer y tercer término y al duplicar la multiplicación de sus raíces debe dar como resultado x12 , sólo así se podrá expresar como un binomio al cuadrado.

Los términos deben tener raíz cuadrada exacta, recordando que una raíz cuadrada puede tener dos posibles resultados.

El doble producto de las raíces debe cumplir con el término de en medio del trinomio, dependiendo del signo de este término, se eligen las raíces.

ab2b±a±

22 bab2a ++

Coincide el doble producto con el término de en medio, y como es positivo, se eligen las raíces del mismo signo, conviene más elegir las positivas.

Sólo ahora que se comprobaron las condiciones se puede expresar como:

( )22 3x29x12x4 +=++

Nótese que los términos que forman al binomio al cuadrado son las raíces encontradas.

9x12x4 2 ++

x2± 3±

x12


Ejemplo 2 Ahora, al factorizar 25x10x2 +− y verificar las condiciones, su Factorización queda:


1. =++ 49x14x2

2. =+− 100y20y2

3. =+− 25x20x4 2

4. =+− 22 y9xy6x

5. =++ 22 b36ab60a25

6. =+− 41xx2

7. =++161

m21

m2

8. =+− 224 y25yx40x16

9. =+− 2r25r204

10. =++ 422 y16x9xy24

En este caso se requiere elegir las raíces de diferente signo para que coincida también el signo del término de en medio.

La Factorización queda:

( )22 5x25x10x −=+−

Nótese que los términos que forman al binomio al cuadrado son las raíces encontradas pero con diferente signo.

25x10x2 +−

x± 5±

x10−

115 BLOQUE 4

Evaluación



Comprende las técnicas de Factorización basadas en productos notables, como son los trinomios cuadrados perfectos

Utiliza las técnicas para encontrar la Factorización de trinomios cuadrados perfectos.

Propone maneras creativas de solucionar los ejercicios. Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.


docente

Cierre

Actividad: 5 Factoriza las siguientes expresiones algebraicas, e identifica la técnica utilizada al factorizar.

Polinomio Factorización Nombre de la técnica

utilizada

=++− zyx18xyz3zyx27yx9 254322

=+−+ xCos11xCos33xCos44xCos22 532

=−121m2 ( ) ( ) ( ) ( ) =+−+−+−+ yxx15yxyxy2yxxy5

=+− 422 y25xy30x9

=−1x4925 6

=−−+ 32232 ab32ba16ab28ba12

=−−+ 6655544 pm521

pnm307

pmn1514

nm2528

=+− 22 nmn2m

=− 36x4

=−+− bc1033

ab5

44cba

3022

cba1511 423232

=++ 25x40x16 2


Evaluación



Comprende las técnicas de Factorización basadas en productos notables. Distingue las diferentes formas de Factorización.

Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de Factorización. Establece relaciones entre procesos inversos al multiplicar y factorizar.

Reconoce sus errores en los procedimientos algebraicos y busca solucionarlos. Considera a la Factorización como un proceso que facilita procesos algebraicos.


docente

Realiza transformaciones algebraicas II

Unidades de competencia: Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico. Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o









118 REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II

Secuencia didáctica 1. Continuación de Factorización de polinomios.

Inicio

Actividad: 1

1. Desarrolla los siguientes factores:

( )( ) =−+ 5x23x ( )( ) =+− 1x42x3

2. Analizando el desarrollo de los binomios anteriores, describe una técnica para factorizar 20xx2 −−

3. Factoriza el polinomio anterior y comprueba la técnica que escribiste. 4. Describe una técnica para factorizar 21x29x10 2 −+ 5. Factoriza el polinomio anterior y comprueba la técnica que escribiste.

En equipo, analicen las siguientes preguntas y al llegar a una conclusión anoten su respuesta en el espacio correspondiente.

119 BLOQUE 5

Evaluación



Comprende la multiplicación de polinomios en particular de productos notables.

Establece relaciones entre procesos inversos al multiplicar y factorizar. Formula técnicas de Factorización.





docente

Desarrollo

Continuación de factorización. Como el nombre de la secuencia lo dice, es la continuación de la Factorización de polinomios. En la secuencia anterior se desarrollaron las técnicas para factorizar diferencias de cuadrados, factor común y trinomios cuadrados perfectos. Ahora se desarrollarán técnicas para los trinomios que no son cuadrados perfectos.

Los trinomios que se factorizarán son los de la forma cbxax2 ++ Este trinomio proviene del producto de dos binomios. A este trinomio se le conoce como expresión cuadrática, donde:

2ax es el término de segundo grado o cuadrático bx es el término lineal c es el término independiente Primero se abordará el caso en donde 1a =

Trinomios de la forma cbxx2 ++ Analizando los siguientes ejemplos se desarrollará la técnica para factorizar este tipo de trinomios. Ejemplo1. Siguiendo la regla en el producto de ( )( )4x3x ++ , se obtiene:

( )( ) ( ) ( )( )12x7x

43x43x4x3x2

2

++=

+++=++ .

Para encontrar el proceso inverso (Factorización), se requiere encontrar dos números que multiplicados den el término independiente y sumados o restados proporcionen el coeficiente del término lineal.

“La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles"

Descartes


Para factorizar 12x7x2 ++ se debe hallar dos números que multiplicados den 12 y sumados den 7. Para expresar la Factorización, se acomodan en los factores el término igual, que en este caso es x, y los números encontrados, como se muestra a continuación:

( )( )4x3x12x7x2 ++=++ Realiza el producto de los factores encontrados para que compruebes que la Factorización está bien realizada. Ejemplo 2.

Ahora se factorizará la expresión 24x10x 2 +− Se tiene que encontrar dos números que multiplicados den 24 y que sumados den –10. Por lo que la Factorización resulta:

( )( )6x4x24x10x2 −−=+− También se podría expresar como,

( )( )4x6x24x10x2 −−=+− Esto debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación, que en otras palabras se le conoce como “el orden de los factores no altera el producto”. A medida que practiques las factorizaciones de este tipo, visualizarás con mayor rapidez los números que cumplen con las dos condiciones, posiblemente los encuentres antes de buscar los números probables.

Números probables Multiplicados Sumados 1, 24 ( )( ) 24241 = 25241 =+

– 1, – 24 ( )( ) 24241 =−− 25241 −=−−

2, 12 ( )( ) 24122 = 14122 =+

– 2, – 12 ( )( ) 24122 =−− 14122 −=−−

3, 8 ( )( ) 2483 = 1183 =+

– 3, – 8 ( )( ) 2483 =−− 1183 −=−−

4, 6 ( )( ) 2464 = 1064 =+

– 4, – 6 ( )( ) 2464 =−− 1064 −=−−

Esta es la única pareja que cumple con las dos condiciones

Números probables Multiplicados Sumados 3 , 4 ( )( ) 1243 = 743 =+

– 3, – 4 ( )( ) 1243 =−− 743 −=−−


121 BLOQUE 5

Ejemplo 3.

Para factorizar 35x2x 2 −+ , se tiene que encontrar dos números que multiplicados den 35− y restados den 2. ¿Por qué ahora se dice restados? Por la simple razón de que la multiplicación debe ser 35− , para ello, tendría que ser un número negativo y el otro positivo, y al ser de diferente signo ya no sería una suma sino una resta. La Factorización se expresa:

( )( )7x5x35x2x2 +−=−+ Ejemplo 4.

Para factorizar 13x12x 2 −− , se tiene que buscar dos números que multiplicados den 13− y restados 12− . Sin necesidad de hacer la tabla de los números probables, la única pareja que cumple con las dos condiciones es 13− y 1, quedando de esta forma la Factorización.

( )( )1x13x13x12x2 +−=−−

“No podemos resolver problemas usando el mismo tipo de pensamiento que usamos cuando los creamos.”

Albert Einstein


Números probables Multiplicados Restados

1, – 35 ( )( ) 35351 −=− 34351 −=−

– 1, 35 ( )( ) 35351 −=− 34351 =+−

5, – 7 ( )( ) 3575 −=− 275 −=−

– 5, 7 ( )( ) 3575 −=− 275 =+−


Evaluación



Comprende las técnicas de Factorización basadas en productos notables, como son los trinomios de la forma

cbxx2 ++ .

Utiliza las técnicas para encontrar la Factorización de trinomios de la forma

cbxx2 ++ . Aplica de forma correcta las leyes de los signos y la descomposición de números.



docente

Actividad: 2

1. =++ 63x16x2

2. =−− 36x5x2

3. =+− 132y23y2

4. =−− 66m5m2

5. =−+ 20a8a2

6. =−+ x3x2 2

7. =−− y354y2

8. =+− 52x17x2

9. =−+ 40u6u2

10. =++ 14x9x2

En equipo, factoricen las siguientes expresiones algebraicas y comenten las dificultades que se presentaron.

123 BLOQUE 5

Trinomios de la forma cbxax2 ++ , con 1,0a ≠ Este tipo de polinomios son generados al multiplicar binomios de diferentes términos, como: ( )( )( )( ) 10x7x125x42x3

10x8x15x125x42x32

2

−+=+−

−−+=+−

Analizando los coeficientes obtenidos, 12 se obtuvo de multiplicar ( )( )43

7 se obtuvo de sumar los productos ( )( ) ( )( )4253 −+

10− se obtuvo de multiplicar ( )( )52−

Todo con base en los coeficientes de los binomios. A continuación se generaliza el trinomio para obtener la técnica que se utilizará en este tipo de factorizaciones.

( )( )gxfexdcbxax2 ++=++

( )( )fda =

( )( ) ( )( )fegdb +=

( )( )gec =

Ejemplo 1.

Para factorizar 6x13x5 2 −− se requiere encontrar los coeficientes f,e,d y g , los cuales se obtienen con los posibles factores de los coeficientes conocidos del trinomio, como se muestra a continucación.

Dos números que multiplicados den 5 da como opciones:

5d = y 1f = 5d −= y 1f −=

1d = y 5f = 1d −= y 5f −=

Ambas opciones con el mismo signo.

( )( )fd5 =

( )( ) ( )( )fegd13 +=−

( )( )ge6 =−

Por facilidad primero se buscarán los extremos

Euclides (365 – 300 A C)

Fue quien escribió la famosa obra titulada “Los elementos Geométricos” compuesta de

13 libros.


Dos números que multiplicados den 6− da como opciones:

3e = y 2g −= 3e −= y 2g =

2e −= y 3f = 2e = y 3f −=

6e −= y 1f = 6e = y 1f −=

1e = y 6f −= 1e −= y 6f =

El término de en medio sirve para comprobar las posibles asignaciones que se le den a f,e,d y g . Ahora se asignarán 4 opciones para realizar la Factorización. Si 5d = , 1f = , 3e = y 2g −= los factores se expresan, Como se ve en la operación anterior, resultó 4− y debía de ser 13− , por lo que la asignación propuesta para los coeficientes de los binomios es incorrecta, debe de probarse con otra asignación. Ahora se probará con la siguiente asignación. Si 5d = , 1f = , 2e = y 3g −= los factores se expresan, Como cumple con que la suma de los productos de los extremos y medios es 13− , entonces se encontró la asignación correcta. Por lo que se puede expresar la Factorización.

( )( )3x2x56x13x5 2 −+=−−

Pero debe de cumplir con que la suma del producto de extremos y medios es igual a 13−

( )( )fe

( )( )gd

6

10−

( )( ) ( )( )2x3x5gxfedx −+=++

( )( ) ( )( ) 4610fegd −=+−=+

Pero debe de cumplir con que la suma del producto de extremos y medios es igual a 13− ( )( )fe

( )( )gd 15−

2

( )( ) ( )( )3x2x5gxfedx −+=++

( )( ) ( )( ) 13215fegd −=+−=+

125 BLOQUE 5

Evaluación



Comprende las técnicas de Factorización basadas en productos notables, como son los trinomios de la forma

cbxax2 ++ .

Utiliza las técnicas para encontrar la Factorización de trinomios de la forma

cbxax2 ++ . Aplica de forma correcta las leyes de los signos y la descomposición de números.



docente

Actividad: 3

1. =−− 3x14x5 2

2. =+− 3x10x8 2

3. =−+ 10xx3 2

4. =+− 4x13x3 2

5. =−+ 10y3y4 2

6. =−+ 15u23u14 2

7. =+− 2x11x9 2

8. =+− 10t19t6 2

9. =+− 16m20m6 2

10. =−− 7x2x5 2

En equipo, factoricen las siguientes expresiones algebraicas y comenten las dificultades que se presentaron.


Cierre

Evaluación



Comprende las técnicas de Factorización basadas en productos notables. Distingue las diferentes formas de Factorización.

Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de Factorización. Establece relaciones entre procesos inversos al multiplicar y factorizar.

Reconoce sus errores en los procedimientos algebraicos y busca solucionarlos. Aprecia a la Factorización como un proceso que facilita procesos algebraicos.


docente

Actividad: 4

1. =−− 22 y3xy4x4

2. =−− 90xx2

3. =+− 12m7m2

4. =−− 1x6x7 2

5. =+− 422 y25xy30x9

6. =−− 3x13x10 2

7. =+− 5y17y6 2

8. =+− 22 y20xy9x

9. =−− 22 nmnm2

10. =+− 22 yxy6x8

11. =+− 22 yxy6x8

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

127 BLOQUE 5

Secuencia didáctica 2. Fracciones algebraicas.

Inicio

Evaluación



Reconoce la forma correcta de simplificar fracciones.

Realiza descomposición de números. Efectúa simplificaciones correctamente.

Reconoce sus errores en los procedimientos algebraicos y busca solucionarlos. Aprecia a la Factorización como un proceso que facilita procesos algebraicos.


docente

1) =525630

2) =

−

4528

1415

II. Coloca en el cuadro “V” si es verdadera o “F” si es falsa la simplificación aplicada en cada una de las siguientes fracciones.

Actividad: 1

I. Encuentra los factores primos de las siguientes fracciones, para simplificarlas.

ba

nbna

bnan

==

cb

caba

caba

=++

=++

( )( )

( )( )b74

b743b74bb74b3

−+

=−−+−

baa

baa

ba 233

+=+

=+

ax2

a5x52

a5x52 −

=−

=−

( )( )( )

( )( )( )

( )b74b74

b74b3ab74b3a

b74b3ab74b3a

−+

=−−+−

=−−+−

1)

2)

3)

4)

5)

6)


Desarrollo Fracción algebraica. Es un cociente que posee expresiones algebraicas, tanto en el numerador como en el denominador. Debido a que en planteamientos posteriores de problemas cotidianos se encontrarán múltiples expresiones tan complejas como lo son las fracciones algebraicas, es muy importante simplificarlas.

Para poder simplificar las expresiones algebraicas, en la mayoría de los casos, se requiere de la Factorización.

El principio fundamental de una fracción es:

Si cada miembro de una fracción se multiplica o se divide por una cantidad diferente de cero, el valor de la fracción no se altera.

bnan

ba=

nbna

ba

÷÷

=

También en las fracciones se tienen que considerar los signos, tanto de la fracción, del numerador y denominador. A continuación se visualizan las diferentes formas de presentar a los signos.

1) ba

ba

ba

ba −

−=−

−=−−

=

2) b

aba

ba

−=

−=−

Multiplicación de fracciones.

Recordando, las fracciones se multiplican multiplicando numerador con numerador y denominador con denominador.

bdac

dc

ba

=⋅

Ejemplo 1.

Para simplificar la fracción: 10x3x

25x2

2

−−−

, es necesario expresarla como producto, y esto se logrará mediante la

Factorización.

( )( )( )( )2x5x

5x5x10x3x

25x2

2

+−+−

=−−

−

129 BLOQUE 5

Una de las condiciones para poder eliminar el término igual, tanto en el numerador como en el denominador, es que sea una cantidad diferente de cero, debido a eso:

Si 5x ≠ entonces se puede llevar a cabo la eliminación.

Ejemplo 2.

Ahora al simplificar las fracciones

++−−

+−−

6x5x10x13x3

15x8x9x

2

2

2

2

es necesario convertirlas a sus factores.

( )( )( )( )( )( )( )( )2x3x3x5x

5x2x33x3x6x5x10x13x3

15x8x9x

2

2

2

2

++−−−+−+

=

++−−

+−−

, para poder eliminar los términos iguales en el numerador y

denominador, tiene que considerarse que 3,3,5x −≠ , puesto que estos valores hacen el denominador cero. El valor de 2x −= también convierte el denominador en cero, lo cual provoca que la fracción no exista, pero no sería un condicionante para la eliminación.

Así que tomando en cuenta estos valores, se puede hacer la eliminación.

Ejemplo 3.

En este caso, el denominador es un monomio por lo que habrá que factorizar sólo el numerador

( )2

2342

2

23456

x59x2x4x3x7x5

x5x45x10x20x15x35 +−+−

=+−+−

La condición es 0x ≠ , por lo que eliminando el término queda:

( )( )( )( )

( )( )( )( ) 2x

5x2x5x5x5x

2x5x5x5x

++

=+−+−

=+−+−

( )( )( )( )( )( )( )( ) 2x

2x32x3x3x5x5x2x33x3x

++

=++−−−+−+

( )9x2x4x3x7

x59x2x4x3x7x5 234

2

2342

+−+−=+−+−


Evaluación Actividad: 2 Producto: Ejercicios. Puntaje:


Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes, susceptibles de ser simplificadas.

Utiliza una o varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en factores. Obtiene factores comunes, factorizando con las técnicas aprendidas y reduce éstos.

Actúa de manera propositiva al resolver los ejercicios planteados.


docente

Actividad: 2

1. =+

234

254635

zyx6zyx18zyx12

2. =++++

x10x7xx2x7x3

23

234

3. =

−+−+

−+−+

s9s8s6s5s

24s2s63s2s

23

2

2

2

4. =

−−

+−+

8a54a

8a6a24-7a5a

2

2

5. =

−−+−

+−−−

6t11t26t19t3

2t73t2t32t

2

2

2

2

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

131 BLOQUE 5

División de fracciones.

Para dividir las fracciones, se multiplica como se muestra a continuación.

bcad

dc

ba

=÷ ó bcad

dcba

=

Para poder eliminar términos iguales es necesario efectuar la división y las factorizaciones, o si se desea primero factorizar y posteriormente hacer la división. El punto es que sólo cuando todos los términos están expresados como multiplicación se puede llevar a cabo la eliminación.

Ejemplo 1.

Para simplificar la expresión 5x11x26x7x2

5x4x3xx2

2

2

2

2

++++

÷−+−+

, se llevará a cabo la división.

( )( )( )( )6x7x25x4x

5x11x23xx25x11x26x7x2

5x4x3xx2

22

22

2

2

2

2

++−+++−+

=++++

÷−+−+

Ahora se realizan las factorizaciones correspondientes.

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )2x3x21x5x

5x1x21x3x26x7x25x4x5x11x23xx2

22

22

++−+++−+

=++−+++−+

La condición para hacer la eliminación: 23,1,5x −−≠

( )( )( )( )( )( )( )( ) 2x

1x22x3x21x5x5x1x21x3x2

++

=++−+++−+

Sitios Web recomendados: Revisa el siguiente sitio para que practiques tus conocimientos. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/tema3_ccss_eda05/entrada.htm


Evaluación



Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes, susceptibles de ser simplificadas. Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores comunes y la división de polinomios.

Utiliza una o varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en factores. Obtiene y reduce factores comunes, factorizando con las técnicas aprendidas. Ejecuta divisiones entre polinomios.

Actúa de manera propositiva al resolver los ejercicios planteados.


docente

Actividad: 3

1. =−−

−−÷

−+

++

90a11a2

50a15a2

8a7a

40a21a2

2

2

2

2

2. =++−+

÷+−+−

6x5x2x3x2

3x10x31x5x6

2

2

2

2

3. =+−−−

÷++−+

2x7x36xx

2x5x21xx6

2

2

2

2

4. =+−+

÷+−

x90x1027x6x

15x59x

2

22

=−−−−

÷−+−+

35n9n2

21n11n2

5n5n4

3n16n122

2

2

2

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

133 BLOQUE 5

Cierre

Actividad: 4

2. =−+

÷−−

−16x

x21x2120xxx35x7

2

2

2

2

3. =

−−

−−

x20x5xx

1xx12x3

2

2

2

2

4. =−+−+

÷−−−+

20x3x24x23x6

21x8x43x16x12

2

2

2

2

5. =

+−

−++

15x525x5

5x18x9x2

6. =

+++

+−−

−+

4m4mm4m

mm8m2m

16mm2m

2

2

23

2

2

2

En equipo, simplifiquen las siguientes fracciones algebraicas.

1. =

−+−+

−−−

2xx62x7x15

1x251x3x10

2

2

2

2


Evaluación



Identifica diferentes operaciones algebraicas, susceptibles de ser simplificadas mediante la eliminación de factores. Reconoce las condiciones para que se lleve a cabo una eliminación.

Utiliza una o varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en factores. Obtiene y reduce factores comunes, factorizando con las técnicas aprendidas. Ejecuta divisiones entre polinomios. Escribe expresiones racionales en forma simplificada utilizando factores comunes y la división de polinomios.

Actúa de manera propositiva al resolver los ejercicios planteados. Propone maneras creativas de solucionar los ejercicios. Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.


docente


8. =

−++

−+−+

+−+

2x9x5x18x6

3x5x22x9x5

x4x62xx6

2

2

2

2

2

2

9. =−−−−

÷+−+−

18x7x18x3x

72x17x48x14x

2

2

2

2

10. =−+−+

÷

−−−

−+−

14x5x40x6x

63x2x100x

4x36x13x

2

2

2

2

2

2

7. =

−−−−

−+−−

−−++

8x2x3x2x

15x2x4x3x

7x6x10x7x

2

2

2

2

2

2

Resuelve ecuaciones lineales I










136 RESUELVE ECUACIONES LINEALES I

Secuencia didáctica 1. Ecuaciones lineales.

Inicio

Actividad: 1

1. Alicia y Arturo tienen un total de $342 en sus alcancías. Si Arturo tiene $105 más que Alicia, ¿cuánto

dinero tiene cada uno?

2. La edad de Jacinto es el doble de la edad de Perla y entre los dos tienen 48 años. Encuentra la edad

de cada uno.

3. Grafica la recta 6y2x3 =+

4. GIGANTE ofrece un 50% de descuento al precio marcado de un artículo y aún así obtiene una utilidad de un 8%. Si le cuesta $15.60 cada artículo, ¿cuál debe ser el precio marcado?

Analiza las siguientes preguntas y contesta correctamente cada una de ellas.

137

BLOQUE 6

Evaluación



Identifica los conocimientos previos que posee de ecuaciones lineales. Analiza y modela situaciones empleando ecuaciones lineales.

Aplica diversas técnicas para resolver ecuaciones lineales.

Aprecia la importancia de la conexión de sus conocimientos de secundaria con los actuales.


docente

Desarrollo

Despeje de ecuaciones lineales. En bloques anteriores has encontrado cómo un problema cotidiano lo puedes representar con lenguaje algebraico y viceversa, también manejaste el uso de tablas y comportamientos recurrentes en series y sucesiones; todo este conocimiento se verá reflejado en el presente tema, ya que a partir de aquí, empezarás a resolver problemas, no sólo a plantearlos y representarlos, sino a darles solución. Para ello se requiere una serie de conceptos que deben ser familiares para ti, dado que son temas impartidos en secundaria. Para iniciar enunciaremos la definición de ecuación. Ecuación. Es una igualdad que se cumple para algunos valores o letras. Como por ejemplo:

85x =+ Para que sea verdadera esta ecuación el único valor que puede tomar x es 3, entonces decimos que la solución a esta ecuación es 3x = . Se dice que la solución «satisface» a la ecuación, cuando se sustituye su valor y se verifica la igualdad.

88

853

==+

Los elementos de una ecuación son:

1. Miembros. 2. Términos. 3. Incógnitas. 4. Grado. 5. Solución

1. Miembros. Son cada una de las expresiones que aparecen en ambos lados del símbolo igual.

El rey Hicso Ekenenre Apopi (1600 A.C.)

Escribió el principal texto matemático egipcio, el papiro de rhind. Éste contiene lo esencial del saber

matemático egipcio, contiene unas reglas para cálculos de adiciones y

sustracciones de ecuaciones, ecuaciones de primer grado,

problemas de aritmética y otras cosas.

16x32x5 +=+

Primer miembro

Segundo miembro


2. Términos. Son los sumandos que forman a cada uno de los miembros de la ecuación. 3. Incógnita(s). Es el valor desconocido que se pretende encontrar, y puede haber una o más de ellas, también

conocidas como variables o literales. Dependiendo del número de letras distintas se dice que es de una, dos, tres, o más incógnitas. 4. Grado. Es el mayor grado de los monomios que forman a sus miembros. En este caso es de primer grado, porque ambos miembros poseen al 1 como exponente, sólo que por convencionalismo no se escribe. 5. Solución. Es el valor que puede tomar la incógnita para que la igualdad se establezca, dependiendo del grado y

del número de las incógnitas, pueden ser varias soluciones. La solución para esta ecuación es:

7x = Puesto que al sustituir el valor encontrado en la incógnita de la ecuación se cumple la igualdad.

16x32x5 +=+

Términos

16x32x5 +=+

Primer grado

16x32x5 +=+

( ) ( ) 1673275 +=+

1621235 +=+

3737 =

16x32x5 +=+

Una incógnita

139

BLOQUE 6

A las ecuaciones de primer grado se les conoce como ecuaciones lineales. Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones lineales.

1) 18x23x5 +−=− 4) 2

2m3

4n +=

−

2) 32

x21

31

x43

+=−

5) v6u2v4u3 +−=−

3) )3x(5)1x2(4 +=− 6) 5y7x2 −=− Las tres primeras son ejemplos de ecuaciones lineales con una incógnita y los últimos tres son ejemplos de ecuaciones lineales con dos incógnitas. La representación general de una ecuación lineal es: 0BAx =+ con la condición de que 0A ≠ . Por supuesto que ésta es la representación más simplificada que se puede tener en una ecuación; como observaste en los ejemplos anteriores, la(s) incógnita(s) pueden estar en ambos miembros de la ecuación y además, poseer paréntesis y denominadores. Para resolver las ecuaciones lineales con una incógnita, es recomendable seguir los siguientes pasos.

1. Quitar paréntesis. 2. Quitar denominadores. 3. Agrupar los términos que posean la incógnita en un miembro y los términos independientes en el otro. 4. Reducir los términos semejantes. 5. Despejar la variable.

Para llevar a cabo estos pasos, se requiere de las propiedades de los números reales que manejaste en el segundo bloque, a continuación se justificará paso a paso el despeje de una ecuación utilizando las propiedades de los números reales y posteriormente se explicará la técnica que se utiliza en el despeje sin necesidad de utilizar las propiedades. Utilizaremos la ecuación que nos sirvió de modelo para explicar los elementos de una ecuación.

Despeje de la ecuación Propiedad de los Números Reales aplicada

16x32x5 +=+ Ecuación original

216x322x5 −+=−+ Se desea eliminar del primer miembro el 2, así que se utiliza la propiedad aditiva para sumar 2− a ambos miembros.

216x30x5 −+=+ Como el 2− es el inverso aditivo de 2, se obtiene el neutro aditivo.

216x3x5 −+= Siendo 0 el neutro aditivo al operarlo con x5 , éste queda igual.

14x3x5 += Se realiza la operación entre los términos independientes.

“La música es el placer que el alma experimenta contando sin darse cuenta de que cuenta.”

Leibnitz


x314x3x3x5 −+=− Se utiliza la propiedad aditiva de nuevo, para sumar x3− a ambos miembros de la ecuación.

14x3x3x3x5 +−=− Se aplica la propiedad conmutativa de la suma para invertir el lugar tanto de 14 como de x3− .

140x3x5 +=− Como x3− es el inverso aditivo de x3 , se obtiene el neutro aditivo.

14x3x5 =− Al operar el neutro aditivo con 14 , éste queda igual.

14x2 = Se realiza la reducción de términos semejantes.

1421

x221

=

Se aplica la propiedad multiplicativa, para multiplicar por 21 a ambos

miembros de la ecuación.

1421

x1

=⋅ Al ser 21 el inverso multiplicativo de 2 , se obtiene el neutro multiplicativo

1421

x

= Y cuando se opera el neutro multiplicativo con x, ésta permanece igual.

7x = Por último, se lleva a cabo la operación entre 21 y 14

El proceso anterior es extenso, pero es necesario que lo conozcas para que comprendas por qué se despeja en forma reducida sólo utilizando algunos de los pasos del cuadro anterior, de hecho, los pasos que se requieren para un despeje corto son los que están sombreados, y aún así se pueden reducir más. A continuación se muestra la forma de simplificación corta.

Despeje de la ecuación Descripción

16x32x5 +=+ Ecuación original.

216x3x5 −+= Como el 2 en la ecuación original estaba sumando pasa al segundo miembro restando.

14x3x5 += Se realiza la resta.

14x3x5 =− El x3 estaba sumando en el segundo miembro, por lo que pasa al primero restando.

14x2 = Se realiza la reducción de términos semejantes.

214

x = El coeficiente de la x está multiplicando pasa dividiendo.

7x = Se realiza la división para así encontrar la solución.

141

BLOQUE 6

Si eres más hábil con las operaciones puedes hacer el proceso mucho más corto todavía, piénsalo. Siempre lo más importante de las matemáticas es poder aplicarlas y que le encuentres sentido a lo que representan, así que tomaremos varios ejemplos aplicados para practicar el despeje de las ecuaciones y al mismo tiempo irás desarrollando más habilidades en el planteamiento de problemas. En los siguientes ejemplos visualizarás el planteamiento de problemas así como despejes de ecuaciones lineales, éstos irán desde lo más sencillo hasta lo complejo. Ejemplo 1. Entre Said y Raymundo van a comprar una bolsa de canicas que cuesta $56, pero Said tiene $12 menos que Raymundo. ¿Cuánto tiene cada uno?

Para resolver este problema es necesario asignar la variable. x : Es el dinero que tiene Raymundo

12x − : Es el dinero que tiene Said Entre los dos comprarán una bolsa de canicas que cuesta $56, entonces el planteamiento del problema con la variable asignada se expresa de la siguiente forma:

5612xx =−+ Esta es una de las ecuaciones más sencillas, no posee paréntesis ni denominadores, por lo que procederemos a despejarla.


5612xx =−+ Ecuación original.

1256x2 += Se reducen términos semejantes y 12− pasa al otro lado de la igualdad sumando.

68x2 = Se realiza la suma de los términos del segundo miembro.

2

68x = El coeficiente de la variable pasa dividiendo.

34x = Se efectúa la división, obteniéndose así el resultado.

Además del resultado que tienes, debes de interpretarlo y solucionar el problema real. Al sustituir el valor encontrado en la asignación de la variable, se obtiene que: Raymundo tiene $34 y Said tiene $22.

Demócrito (460 – 370 A C)

Es más conocido por su Teoría Atómica, pone como realidades primordiales a los átomos y al vacío. Encontró la fórmula del volumen del cono y de una pirámide.


Ejemplo 2. La edad de Carolina es la mitad de la de Emily; la de Valeria es el triple que la de Carolina y la edad de Angélica es el doble de la de Valeria. Si las cuatro edades suman 60, ¿qué edad tiene cada una? Cuando se tienen relaciones de multiplicación entre los elementos del problema, en este caso las edades de las chicas, es recomendable asignarle la variable a la más pequeña, de esta forma la ecuación que se obtiene es más sencilla. y : Edad de Carolina

y2 : Edad de Emily y3 : Edad de Valeria

)y3(2 : Edad de Angélica Dado que la suma de las edades es 60, entonces, el planteamiento del problema se expresa así:

60y6y3y2y =+++ Resolviendo la ecuación lineal.


60y6y3y2y =+++ Ecuación original.

60y12 = Se reducen términos semejantes.

1260

y = El coeficiente de la variable pasa dividiendo.

5y = Se efectúa la división, obteniéndose así el resultado.

Del resultado tenemos que: Carolina tiene 5 años de edad, Emily tiene 10 años, Valeria tiene 15 años y Angélica tiene 30 años. Ejemplo 3. -¡Javier!, -le dice Mónica a su esposo-, ganas $7700 mensuales y este mes le invertiste a tu auto el triple de la mitad de lo que me diste a mí menos $200. ¿Pues qué es lo que tiene tu auto? –Si Javier repartió su dinero entre el coche y lo que le dio a su esposa, ¿cuánto repartió a cada uno? Asignación de la variable. w : Dinero que le dio a Mónica

2002w

3 −

: Dinero que invirtió en el auto

El planteamiento del problema es:

77002002w

3w =−

+

143

BLOQUE 6

Resolviendo la ecuación.


77002002w

3w =−

+ Ecuación original.

77002002w3

w =−+ Se recomienda primero eliminar paréntesis.

20077002w5

+= Se reducen términos semejantes y 200− se pasa al otro lado de la igualdad sumando.

79002w5= Se efectúa la suma.

( )

579002

w = El 2 que está dividiendo a la variable se pasa multiplicando y el 5 que la está multiplicando pasa dividiendo.

3160w = Se efectúan las operaciones y se obtiene el resultado.

Por lo tanto Javier le dio a su esposa $3160 e invirtió en su auto $4540. Tendrá mucho que explicar…. Ejemplo 4. Los ingenieros de una constructora están planeando una casa-habitación, tienen diseñado un plano en donde el largo de una sala-comedor de forma rectangular es el doble de su ancho. Pero están viendo la conveniencia de aumentar 2m las dimensiones de ésta y así el área aumentará 28m2. Hallar las medidas del largo y ancho de la sala-comedor original.

Asignando variables.

x : La medida del ancho x2 : La medida del largo

Las medidas modificadas.

2x + : La medida del ancho 2x2 + : La medida del largo

Ahora, las áreas se ven modificadas de la siguiente forma

área modificada = área original + 28

( )( ) ( )( ) 28x2x2x22x +=++


Resolviendo la ecuación.


( )( ) ( )( ) 28x2x2x22x +=++ Ecuación original.

28x24x4x2x2 22 +=+++ Se recomienda primero eliminar los símbolos de agrupación.

428x2x4x2x2 22 −=−++ 2x2 que está en el segundo miembro pasa restando al primero y 4 que

está en el primer miembro de la ecuación pasa restando al segundo.

24x6 = Se reducen términos semejantes.

624

x = El 6 que está multiplicando a la variable pasa dividiendo.

4x = Se efectúan la división y se obtiene el resultado.

Las medidas originales de la sala-comedor son: el ancho es de 4 m y el largo es de 8m.

Ejemplo 5.

La siguiente lectura1

1

es importante, para entender la relación de las Matemáticas con la Química.

Un poco más acerca de la contaminación del aire…

Un “contaminante” es una sustancia que está “fuera de lugar”. Un buen ejemplo de ello puede ser el caso del gas ozono (O3). Cuando este gas se encuentra en el aire que respiramos, es decir, bajo los 25 kilómetros de altura habituales, es un contaminante que tiene un efecto dañino para la salud, por lo que en esa circunstancia se le conoce como “ozono malo”. Pero el mismo gas, cuando está en la estratósfera, forma la capa que protege de los rayos ultravioletas del Sol a todas las formas de vida en la Tierra, siendo considerado, en este caso, como “ozono bueno”.

Un lugar importante en la contaminación de la atmósfera es ocupado por las emisiones gaseosas resultantes de la combustión de los combustibles fósiles: gas natural, petróleo diesel, gasolina y queroseno. Estos gases contaminantes son de naturaleza muy diversa. Los contaminantes más comunes son el dióxido de carbono (CO2), el monóxido de carbono (CO), y los óxidos de nitrógeno (NO), en particular NO y NO2.

http://www.educarchile.cl/portal.base/web/vercontenido.aspx?guid=4ea990dc-6549-4549-8b8b-9db8c0cc6d8d&id=133094

http://www.educarchile.cl/portal.base/web/vercontenido.aspx?guid=4ea990dc-6549-4549-8b8b-9db8c0cc6d8d&id=133094�

145

BLOQUE 6

Clasificación de los contaminantes:

Generalmente, se distingue entre contaminantes primarios y secundarios del aire. Los primeros son emitidos como tales, mientras que los contaminantes secundarios se forman en complejas reacciones que ocurren en la atmósfera y en las que intervienen, frecuentemente, el oxígeno atmosférico y la radiación solar.

La Purificación del aire: respuesta necesaria a su contaminación

La purificación del aire es un proceso complejo. Los gases contaminantes son dispersados y diluidos por el movimiento de grandes masas de aire (vientos, corrientes de convección, etc.) y los contaminantes gaseosos más solubles en agua disminuyen su concentración atmosférica a través de diversos fenómenos climáticos (formación de neblina y lluvias, principalmente), pero también suelen contaminar los suelos y aguas.

Hemos dicho que el aire contiene cerca de una quinta parte en volumen de oxígeno, pero en el caso de las ciudades donde existe una gran contaminación, es necesario enriquecer el aire con más oxígeno. Una forma de poder hacerlo es disminuyendo la tala de árboles y creando más áreas verdes, que favorezcan el consumo de anhídrido carbónico y la formación de oxígeno….


El ejemplo de contaminación del aire es el dióxido de azufre, que al combinarse con el oxígeno del aire se produce trióxido de azufre, y éste, al combinarse con la humedad atmosférica, ocasiona lo que conocemos como lluvia ácida, la cual ocasiona grandes daños.

422322 SOHOHSOOSO →+→+

Para que se lleve a cabo esta reacción tiene que cumplirse la Ley de Conservación de la materia, que significa que la cantidad de reactivos que se utilizan debe ser igual a la cantidad de productos obtenidos. En el caso de 322 SOOSO →+ no se cumple con la Ley de conservación de la materia, porque de las sustancias reactivas hay cuatro átomos de Oxígeno, mientras que en el producto hay sólo tres. Para ello se requiere balancear la reacción y con ecuaciones lineales se puede realizar. Si se le asignan coeficientes a las sustancias, podemos observar la reacción de la siguiente forma:

322 cSObOaSO →+ Observamos la reacción, el azufre no se modifica, entra y sale con la misma cantidad de átomos, así que en ese caso

ca = , en cuanto al Oxígeno quedaría b2a2 + reaccionan y salen c3 , así que tenemos la ecuación:

c3b2a2 =+ Como ca = se le puede asignar cualquier cantidad, si 8a = , entonces la ecuación queda:

( ) ( )83b282 =+

24b216 =+ 1624b2 −=

8b2 = 4b =

Al sustituir los valores obtenemos la reacción balanceada.

322 cSObOaSO →+

322 SO8O4SO8 →+

Dióxido + Oxígeno de Azufre

Trióxido + Agua de Azufre

Ácido sulfúrico (lluvia ácida)

147

BLOQUE 6

Ejemplo 6. Gilberto es empleado de una empresa de servicio de paquetería; un día sus compañeros le plantearon un problema y le pagarían una cantidad de dinero si lograba resolverlo, fue tanto el alboroto, que empezaron a hacer apuestas entre ellos para ver si lograría solucionarlo. El problema planteado fue el siguiente: En el almacén hay dos paquetes que pesan 40 Kg. y 120 Kg., entre ellos hay una distancia de 2 pies (ver Fig. 1). Él debe levantar los paquetes al mismo tiempo, y la condición es utilizar su fuerza y no hacer uso de maquinaria especializada para levantamiento de carga. Gilberto meditó un rato y finalmente aceptó. Todos estaban a la expectativa observándolo; se dirigió al taller, encontró una barra de metal liviana pero resistente de 13 pies de largo, colocó la barra por debajo de los paquetes, utilizó un soporte en forma de yunque y levantó los paquetes. Era tanto el asombro de sus compañeros que empezaron a cuestionarle cómo lo hizo y lo único que les contesto fue, -dame una palanca y un punto de apoyo y moveré el mundo, Arquímedes lo dijo-, y tranquilamente se fue con el dinero que ganó. ¿Cómo resolvió el problema? Existe una ley en física que se llama la Ley de las palancas, y consiste en equilibrar fuerzas con el uso de palancas o barras. Como lo muestra la figura 2. Donde, 1w y 2w son los pesos de los objetos, 1d y 2d son sus respectivas distancias al punto de apoyo. La ley de las palancas basándose en la figura anterior dice:

2211 dwdw =

Fig. 1 2 pies

120 Kg. 40 Kg.

1d 2d

1w2w

Fig. 2

Thales de Mileto (640 – 560 A C)

Se le atribuyen los 5 teoremas de la Geometría

elemental. Como astrónomo, predijo el eclipse total de sol

visible en Asia Menor, se cree que descubrió la Osa

Menor, Creía que el año tenía 365 días, entre otros

descubrimientos importantes.


Así que el problema que tuvo que resolver Gilberto fue el siguiente: Si conocía su peso, que es de 90 Kg., el peso de las cajas, la separación entre ellas y la longitud de la barra que utilizaría, sólo requirió resolver una ecuación para saber dónde colocaría el punto de apoyo y poder levantar los paquetes. Utilizando la ley de las palancas, la ecuación que representa a este problema es:

( ) ( ) ( )x13120x1140x90 −+−=

Y se encuentra la solución despejando la variable como se ha visto en los problemas anteriores, primero eliminando paréntesis, como se muestra a continuación:

x1201560x40440x90 −+−= 1560440x120x40x90 +=++

2000x250 =

250

2000x =

8x = Por lo tanto, Gilberto sólo tenía que colocarse al final de la barra y el punto de apoyo colocarlo a 8 pies de él.

Primero practicarás un poco los despejes antes de resolver las aplicaciones.

x

120 Kg. 40 Kg.

11 – x

13 – x

Sitios Web recomendados: Ingresa a este sitio, ahí encontrarás múltiples ejercicios y problemas resueltos. http://algebrabaldor.webcindario.com/index.htm

http://algebrabaldor.webcindario.com/index.htm�

149

BLOQUE 6

Actividad: 2

1. 94x =+ 8. 67x3=

2. 4x66x2 +=− 9. 6w7

12=

3. 23

41

x32

=− 10. 3

2n4

6n +=

−

4. 32

x21

31

x43

+=−

11. )2x)(3x8()1x4)(1x2( −−=+−

5. )3x(5)1x2(4 +=− 12. 12

3x3

1x−=

−−

−

6. 17x)1x( 22 =−+ 13. 2)5x(32

)1x(21

=+−+

7. )3y(5y2)1y2(3 −=−− 14. )2x(5x3)1x(2x +−=−−

En equipo resuelvan las siguientes ecuaciones lineales y comenten las dificultades que se les presenten.


Evaluación Actividad: 2 Producto: Ejercicios. Puntaje:


Describe técnicas para resolver ecuaciones de una variable.

Aplica diversas técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable.

Asume una actitud de apertura que favorece la solución de los ejercicios. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.


docente

Cierre

Actividad: 3

1. Agustín tiene 12 monedas menos que Enrique y entre ambos tienen 78 monedas ¿Cuántas monedas tiene cada uno?

2. El perímetro de un rectángulo es 108 cm, si el largo es el triple que el ancho, ¿cuáles son las

dimensiones del rectángulo? 3. El precio de venta de una mochila es de $448 luego de aplicar un 20% de descuento. ¿Cuál es el

precio regular de la mochila? 4. Un agente de ventas visitó 20 clientes en tres días. Si el segundo día visitó uno más que en el

primero y en el tercer día a tres más que en el segundo. ¿Cuántas visitas efectuó cada día?

En equipo, expresa la ecuación que modela cada uno de los siguientes problemas y despeja cada una de las ecuaciones encontradas para que des solución a éstos.

151

BLOQUE 6


6. Entre Fátima y Julissa pesan 45 Kg. Si en un subibaja Fátima se sitúa a 4 pies del punto de apoyo y

Julissa a 6 pies del mismo, quedan en equilibrio. ¿Cuál es el peso de ambas niñas? 7. Beto enyesa una pared en 8 horas y Nacho lo hace en 12 horas, ¿en cuánto tiempo pueden

enyesar juntos la pared?

8. Sofía tiene actualmente la mitad de la edad de Aarón, y dentro de doce años tendrá 75

de la que

Aarón tenga entonces. ¿Cuáles son sus edades actuales?

5. Jaime está construyendo una casa de dos plantas, compró un tramo de varilla de

media pulgada y recortó 32 del tramo para utilizarlo en un castillo; después recortó la

mitad del sobrante y éste equivale a la longitud original del tramo disminuido en 10 m ¿Cuánto mide el tramo de varilla que compró Jaime?


Evaluación



Analiza y modela situaciones empleando ecuaciones lineales. Describe técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable.

Aplica diversas técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable. Formula y soluciona, con técnicas algebraicas, en situaciones que se representan mediante ecuaciones lineales.

Aprecia la utilidad de las ecuaciones lineales en la representación de problemas. Propone maneras creativas de solucionar un problema. Asume una actitud de apertura que favorece la solución de problemas.


docente


10. Luly mezcló 50 onzas de una solución de yodo al 48% con 30 onzas de una solución al 72% de la

misma sustancia. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la mezcla?

9. Dos automóviles que se encuentran a una distancia de 294 kilómetros entre sí, se dirigen uno hacia el otro con una diferencia de velocidades de 20 kilómetros por hora y se encontrarán dentro de una hora y media. ¿Cuál es la velocidad de cada automóvil?

153

BLOQUE 6

Secuencia didáctica 2. Relación de la ecuación de primer grado con la función lineal.

Inicio

Actividad: 1

2. ¿Qué valores satisfacen la ecuación anterior?, ¿serían los únicos? 3. Si tu respuesta anterior fue negativa, enuncia 10 resultados posibles que cumplan con la ecuación

anterior. 4. En la siguiente tabla, representa los valores que obtuviste.

Primer número

Segundo número

5. En una gráfica, representa los valores de la tabla.

Analiza las siguientes preguntas y contesta correctamente cada una de ellas. 1. Si dos números sumados dan como resultado 24, ¿Qué ecuación representa esta

oración?


Evaluación



Identifica una ecuación lineal. Ubica la sustitución de valores en la ecuación lineal. Ubica puntos en el plano cartesiano.

Construye ecuaciones lineales para solucionar diversas situaciones. Traza la gráfica de una ecuación lineal. Contrasta valores de una ecuación lineal.

Aprecia el conocimiento previo de bloques anteriores. Posee una actitud positiva en el desarrollo de la actividad.


docente

Desarrollo Construcción de gráficas a partir de ecuaciones lineales. En la primera secuencia de este bloque se ejemplificó algunas ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, como la siguiente.

06y3x2 =++ Aquí observamos la forma general:

0CByAx =++

Con 0A ≠ y 0B ≠ . Estas ecuaciones se obtienen a partir de la relación entre las variables “ x ” y “ y ”, estas relaciones se encuentran en múltiples problemas.

Ejemplo 1. Don Agustín posee varias hectáreas y le dijo a su hijo, -mira Gustavo, te voy a dar un terrenito aquí en mis tierras para que levantes tu casa; tengo 160 m de cerco para que elijas las medidas que gustes, ¡eso sí!, respeta que sea rectangular y utilices todo el cerco que te ofrezco; empieza a decidir para que cerques el lugar, luego lo verifico y le hablo al notario- ¿qué decisión tomará Gustavo? Gustavo tiene varias alternativas, como el cerco mide 160 m, entonces debe considerar un rectángulo de 160 m de perímetro. El perímetro de un rectángulo se obtiene al sumar todos sus lados, por lo que la expresión algebraica que lo modela es:

Perímetro = y2x2yxyx +=+++

x

y

155

BLOQUE 6

Como el perímetro es la longitud del cerco y éste es de 160 m, entonces la expresión obtenida es:

160y2x2 =+ La siguiente ecuación se puede simplificar en una ecuación que es equivalente, porque ambos miembros se pueden dividir entre dos, así que se obtiene:

80yx =+

De esta manera, es más sencillo encontrar los valores tanto de x como de y . Como una variable depende de la otra, es decir, si 20x = entonces forzosamente “ y ” debe ser igual a 60 para que sumados den 80, y así ir probando con diferentes parejas de números. Una opción es despejar una variable como se muestra a continuación.

x80y −=

Y de esta forma es más sencillo darle valores a la “x”, sustituirlos y así encontrar sus respectivos valores de “y”. De esta manera se puede encontrar una serie de parejas de valores “x” y “y” para acomodarla en la siguiente tabla.

x y 5 75

10 70 15 65 20 60 25 55 30 50 35 45 40 40 45 35 50 30 55 25 60 20 65 15 70 10 75 5

Así Gustavo puede tomar dos ejemplos de ellos para verificar si cumple con la longitud del cerco que le dio su papá.

50

30

50

30

45

35

45

35 René Descartes (1596-1650)


Como son muchos los resultados, Gustavo tendrá que pensar muy bien qué medidas deberá de elegir. Utilizando este problema como guía, se puede trazar una gráfica que modele estos puntos, como lo hacías en la secundaria, en el plano cartesiano2

80yx =+

, en donde el eje horizontal es el eje de las “x” y el eje vertical es el eje de la “y”. A la variable “x” se le denomina Variable independiente, porque su valor es asignado por la persona que está realizando la gráfica, y a la variable “y” se le conoce como variable dependiente, porque su valor depende o está en función del valor asignado a x, como se obtuvo en la tabla de datos anterior. Como se observa en ella, el comportamiento de los puntos describe una línea recta, con ella también se reafirma que proviene de una ecuación lineal de dos incógnitas. Cuando se realiza el despeje de , se visualiza mejor la dependencia de las variables.

x80y −=

A esta expresión también se le conoce como función, porque el valor de “y” está en función o depende del valor que tome “x”. Más adelante se verá con mayor detenimiento lo que es una función.

2 Las coordenadas cartesianas son un sistema de referencia respecto de un eje (recta), dos ejes (plano), o tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) “x” y “y” se denominan respectivamente abscisa y ordenada, y se representan como (x, y). http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas

-10 -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

-15

-10

-5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

x

y

¿Sabías que…

Se denominan coordenadas cartesianas

en honor a René Descartes, el célebre filósofo y matemático

francés que quiso fundamentar su

pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un «punto de partida» sobre

el cual edificar todo el conocimiento

157

BLOQUE 6

Actividad: 2

1. Un automóvil está en el restaurante de la Pintada a 50 Km. de Hermosillo y empieza a moverse a

velocidad constante de 80 hrKm rumbo a Cd. Obregón. Si se toma como punto de partida a

Hermosillo, la ecuación que modela este problema es:

50t80d +=

Donde d es la distancia a la que se encuentra de Hermosillo y t el tiempo transcurrido. a) Completa la siguiente tabla.

t (hr)

d (Km)

0 0.5 1

1.5 2

2.5 3

3.5 b) Traza la gráfica con los datos que obtuviste en la tabla.

-2 -1 1 2 3 4

-150

-100

-50

50

100

150

200

250

300

350

400

t (hr)

d (Km)

Analiza el siguiente problema y responde lo que se te pide.



d) El tiempo es una variable continua, es decir, podemos tomar valores que están entre 0 y 0.5, o entre cualquier otro intervalo de tiempo que se quiera, ¿cómo cambiaría la gráfica que trazaste si consideras que el tiempo es continuo?, grafica el problema tomando la continuidad del tiempo y además, que el auto se detiene al llegar a Cd. Obregón.

e) ¿Para qué valores del tiempo no tiene sentido este problema?, justifica tu respuesta. f) ¿Para qué valores de la distancia no tiene sentido este problema?, justifica tu respuesta.

2. En el problema anterior analizaste varios aspectos, como es transformar una gráfica de puntos a una continua y sobre todo, la relación que existe entre una función lineal y una ecuación de primer grado, ¿en qué inciso se dio esta relación?, y ¿cómo surgió ésta?

-2 -1 1 2 3 4

-150

-100

-50

50

100

150

200

250

300

350

400

t (hr)

d (Km)

c) Si Cd. Obregón se encuentra a 252 Km. de Hermosillo, ¿cuánto tiempo tardó en llegar?

159

BLOQUE 6

Evaluación

Actividad: 2 Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica la relación entre funciones y ecuaciones lineales.

Transita de ecuaciones a funciones lineales, y viceversa, al modelar y solucionar diversas situaciones.

Aprecia las representaciones gráficas de funciones como instrumento de análisis visual de su comportamiento. Aprecia la utilidad de las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones, para simplificar procesos y obtener soluciones precisas.


docente

Construcción de la gráfica de la función lineal. Anteriormente se ha hablado sobre función, ahora se explicará con detenimiento lo que es una función. El concepto de función implica la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos; esta relación se establece mediante una regla de asociación que puede ser verbal o matemática, como por ejemplo: 1. La temperatura en el ambiente a lo largo de un día depende de la hora; es decir, cada instante de tiempo está

asociada a una temperatura.

2. Cuando se desea llenar de agua un tanque, el nivel del agua depende del tiempo transcurrido. Si el nivel del agua

cambia uniformemente a razón de mincm10 , y el tanque tiene una altura de 85 cm. entonces la relación que

existe entre el nivel y el tiempo se da con la siguiente expresión:

t10h =

3. El pago de un refrigerador está en función del plan de pago mensual que ofrece una tienda departamental. Si se considera a la ecuación lineal de dos incógnitas 0CByAx =++ , y se despeja “y”, se observa mejor la relación que tienen las variables.

0CByAx =++

CAxBy −−=

B

CAxy

−−=

BC

xBA

y −−=


Ejemplo 1. Si se tiene la ecuación 06y3x2 =+− , al despejarla se puede encontrar mejor la relación que existe entre las variables.

2x3

2y

3

6x

3

2y

3

6x2y

6x2y3

06y3x2

+=

−−

−−=

−−−

=

−−=−=+−

Se puede decir que la variable “y” está en función de “x” porque existe una relación o asociación entre ellas, si a cada

valor de “x” que asignes, lo multiplicas por 32 y le sumas 2, vas a obtener un único valor de “y”.

De aquí se puede visualizar la definición de función, la cual es: Función. Es la regla de asociación o correspondencia entre los conjuntos X y Y, de tal forma que cada elemento de un conjunto X se asocia con exactamente un elemento del conjunto Y. Con esto decimos que los elementos “y” del conjunto Y, están en función de los elementos “x” del conjunto X, esto queda más claro en esta notación.

)x(fy =

Así que la función 2x32

y += se puede reescribir como:

2x32

)x(f +=

Este tipo de formas de expresar una función lineal y otras que no son lineales, las abordarás con mayor detenimiento en asignaturas posteriores, en ellas realizarás gráficas más complejas y encontrarás más aplicaciones y propiedades de las funciones. A continuación, mediante un ejemplo, se analizarán otros aspectos que posee la función lineal. Ejemplo 2. Se desea llenar de agua una piscina que tiene inicialmente un nivel de 1m, la llave con que se llenará logrará subir el

nivel uniformemente a razón de 21

metro por hora, si la piscina tiene una altura de 5 m, entonces la relación que existe

entre el nivel y el tiempo se da con la siguiente expresión:

1t21

h +=

161

BLOQUE 6

Uno de los métodos para graficar consiste en darle valores al tiempo y encontrar los respectivos valores de la altura.

t h 0 1 1 1.5 2 2 3 2.5 4 3 5 3.5 6 4 7 4.5

8 5

La gráfica del problema es:

En la gráfica se observa cómo la línea empieza en 1, ya que contenía en un inicio 1 m de agua y además, termina en 5, debido a que en 8 horas transcurridas la piscina se llenaría.

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

t (hr)

h(m)


Ahora se descontextualiza la función, es decir, sin tomar en cuenta las limitantes del tiempo y altura, la gráfica se tomaría de la función lineal sin restricciones, utilizando valores negativos.

1t21

h +=

Analizando esta gráfica y observando los valores de la función se darán cuenta que:

a) 21

es la razón de crecimiento de la gráfica, ésta se relaciona con el grado de inclinación de la recta, esto es, por

una unidad que se avanza el eje vertical, en el eje horizontal se avanzan dos.

b) 1 es donde se intersecta la gráfica con el eje vertical. Debido a este análisis se puede generalizar la función lineal y graficar sin necesidad de llevar a cabo una tabla.

La función lineal es de la forma BC

xBA

y −−= , si se hace

BA

m −= BC

b −=

Entonces se obtiene la forma:

bmxy +=

A “m” se le conoce con el nombre de pendiente y representa la inclinación de la línea recta, y “b” se denomina la ordenada en el origen, la cual representa la intersección de la línea recta con el eje vertical. Ahora se tomará otro ejemplo para visualizar esta nueva forma de graficar, utilizando la pendiente y la ordenada en el origen, esto es, usando “m” y “b”.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

t (hr)

h(m)

163

BLOQUE 6

Ejemplo 3. Graficar la función 6x3y +−=

3m −= 6b =

Primero se ubica “b” en el eje vertical.

Para graficar una recta sólo se necesitan dos puntos para trazar la línea, por lo que el otro punto se grafica a partir del punto encontrado utilizando la pendiente, o sea “m”.

13

3m−

=−= , esto significa que por cada 3 unidades que va hacia abajo en el eje vertical avanza 1 unidad hacia la

derecha en el eje horizontal.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


Evaluación

Actividad: 3 Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce la ecuación en dos variables bmxy += como

forma de la función lineal. Identifica los parámetros m y b para determinar el comportamiento de la gráfica de una función lineal.

Utiliza los parámetros “m” y “b” para determinar el comportamiento de la gráfica de una variable lineal. Transita de ecuaciones a funciones lineales.

Aprecia las representaciones gráficas de funciones como instrumento de análisis visual de su comportamiento.


docente

Actividad: 3

1) 08y2x3 =−− 4) 018y3x4 =−−

2) 03yx =−+ 5) 07yx5 =−+ 3) 020y4x7 =++− 6) 09y2x3 =−−

Grafica las siguientes ecuaciones lineales utilizando la pendiente y la ordenada en el origen.

165

BLOQUE 6

Actividad: 4

Una máquina que costó $60,000 se deprecia linealmente $5,000 al año, la ecuación que modela el valor de la máquina en función del tiempo es:

t000,5000,60V −=

a) ¿Cuánto vale la máquina al transcurrir un año?

b) ¿Cuánto vale al transcurrir 2.5 años?

c) ¿Cuánto vale al transcurrir 10 meses?

d) ¿En qué tiempo la máquina pierde la mitad de su precio original?

e) ¿En qué tiempo vale $10,000?

Analiza el siguiente problema y responde lo que se te pide.


Evaluación

Actividad: 4 Producto: Cuestionarios. Puntaje:


Reconoce la ecuación en dos variables bmxy += como

forma de la función lineal. Reconoce diversas técnicas para graficar.

Transita de ecuaciones a funciones lineales, y viceversa, al modelar y solucionar diversas situaciones. Aplica diversas técnicas para graficar la función lineal.

Reconoce la importancia de la conexión entre funciones lineales y ecuaciones lineales, para examinar y solucionar situaciones. Aprecia la utilidad de las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones, para simplificar procesos y obtener soluciones precisas. Propone maneras creativas de solucionar problemas.


docente


g) ¿En qué tiempo V=0? h) Grafica los valores que encontraste en los incisos f) y g), después une los dos puntos para que

traces la función.

f) Para 0t = , ¿cuánto vale la máquina?

167

BLOQUE 6

Cierre

Actividad: 5

1. Una radiodifusora cobra 6 dólares por transmitir los primeros 5 spots comerciales y por cada spot adicional cobra 1.5 dólares.

a) Construir la función que relaciona los costos con el número de spots.

b) Trazar la gráfica correspondiente.

c) Los requerimientos de las empresas A, B y C son de 10, 15 y 17 spots diarios, respectivamente, ¿cuánto deberán pagar por este servicio?

d) ¿Cuántos spots puede contratar una empresa si dispone de 15 dólares diarios?

Analiza los siguientes problemas y responde lo que se te pide.


Evaluación



Reconoce la ecuación en dos variables bmxy += como

forma de la función lineal. Reconoce diversas técnicas para graficar.

Transita de ecuaciones a funciones lineales, y viceversa, al modelar y solucionar diversas situaciones. Aplica diversas técnicas para graficar la función lineal.

Aprecia la utilidad de las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones, para simplificar procesos y obtener soluciones precisas. Asume una actitud de apertura que favorece la solución de problemas.


docente


a) Construye la función que relaciona el precio con el plan mensual. b) ¿Cuánto pagaría a 3, 6, 12, 18 meses? c) Una persona piensa pagar a crédito hasta $5000, ¿qué plan mensual le convendría? d) Elabora la gráfica.

2. El costo de contado de un refrigerador es de $4000, el precio de crédito es adicionarle $120 de intereses mensuales.

Resuelve ecuaciones lineales II

Unidades de competencia: Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagrama o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico. Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.


170 RESUELVE ECUACIONES LINEALES II

Secuencia didáctica 1. Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (2 x 2).

Inicio

Actividad: 1

Una empresa va a comprar trajes sastre como uniforme en dos de sus departamentos y además algunas empleadas decidieron comprar blusas como complemento, todas al mismo precio. En el departamento de Recursos Humanos compraron 5 trajes y 8 blusas que costaron $6490, y en el departamento de Contabilidad compraron 9 trajes y 6 blusas por las que pagaron $9330. ¿Cuál es el precio unitario de cada prenda? a) Determina las dos ecuaciones que representan la compra de cada departamento. b) Grafica cada una de las ecuaciones encontradas. c) ¿Cómo ubicarías la solución del problema en la gráfica?


171

BLOQUE 7

Evaluación



Describe los conocimientos previos que posee de ecuaciones lineales. Explica un método de solución de ecuaciones lineales.

Analiza y modela situaciones empleando ecuaciones lineales. Grafica ecuaciones lineales.

Muestra disposición al realizar la actividad.




e) Describe el método que mencionaste en el inciso anterior.

d) ¿Qué método algebraico conoces para resolver este problema?


Desarrollo Interpretación gráfica. En el bloque anterior conociste las ecuaciones lineales, solución de problemas y su representación gráfica. Existen problemas más estructurados que implican varias situaciones y se requiere utilizar más de una ecuación. Con el siguiente problema se iniciará el desarrollo de los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2). Ejemplo 1. Teresa invirtió parte de su dinero al 9% y el resto al 14% y le arrojó un ingreso total de $2765. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso habría totalizado $3215. Para encontrar la cantidad de dinero que había en cada una de las inversiones, primero se debe encontrar las ecuaciones que modelan las dos situaciones. La asignación de variables es: x : Primera cantidad de dinero invertida y : Segunda cantidad de dinero invertida

De la inversión original se deriva la ecuación 2765y10014

x100

9=+ . Para eliminar los

denominadores se multiplica por 100 ambos miembros de la ecuación, quedando la ecuación:

500,276y14x9 =+

De la inversión intercambiada se obtiene la ecuación 3215y100

9x

10014

=+ , y eliminando

los denominadores la ecuación se transforma en:

500,321y9x14 =+

El sistema 2 x 2 que modela este problema involucra ambas ecuaciones y se simboliza de la siguiente manera:

=+=+

500,321y9x14

5000,276y14x9

A este sistema también se le conoce como ecuaciones simultáneas, porque la solución a éste debe cumplirse para ambas. También en la gráfica se refleja la simultaneidad debido a que se trazan las líneas en un mismo Plano Cartesiano. Utilizando cualquiera de los métodos de graficación para ecuaciones lineales que se abordaron en el bloque anterior (tabla, pendiente-ordenada en el origen, intersección de ejes), se tiene la siguiente gráfica.

Hipócrates de Quios (Hacia el 460 A C)

Es el primero en redactar unos Elementos, es decir, un tratado

sistemático de matemáticas. .

http://search.live.com/images/results.aspx?q=inversi%c3%b3n&FORM=ZZIR20�

173

BLOQUE 7

Las líneas rectas se cortan en un punto el cual es parte de ambas, es decir, ese punto es el que satisface las dos ecuaciones, por lo que sería la solución al problema. El punto encontrado es una pareja de coordenadas (x, y) que se ubica en el plano cartesiano. En este caso no se pueden localizar los valores exactos. Sólo observando la gráfica, se alcanzaría una aproximación de éstos. Para encontrar la solución se requieren métodos algebraicos para obtener con exactitud la solución. Posteriormente se abordarán estos métodos.

−8000 −4000 4000 8000 12000 16000 20000 24000 28000 32000

−8000

−4000

4000

8000

12000

16000

20000

24000

x

y

Actividad: 2

a)

=−+=+−

07y2x

07y3x2 b)

=++=−+

013y4x14

06y2x7

Resuelve los siguientes ejercicios. I. Traza las gráficas de los siguientes sistemas.


.

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

56

7

x

ya) b)

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

56

7

x

y


II. Analiza las siguientes gráficas y contesta lo que se te pide. 1. ¿En qué punto se cortan las rectas de la gráfica del inciso a)? 2. ¿En qué punto se cortan las rectas de la gráfica del inciso b)? 3. ¿Qué podrías decir de las soluciones de ambos sistemas? 4. ¿Cómo describirías la gráfica de un sistema 2x2 con una infinidad de soluciones? Traza la gráfica

que describiste.

c)

=−+−=+−

08y2x6

04yx3 d)

=++=−−

04y4x

012yx4

175

BLOQUE 7

Evaluación

Actividad: 2 Producto: Ejercicios y cuestionario. Puntaje:


Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2) mediante las gráficas de funciones lineales.

Resuelve sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando métodos gráficos. Realiza gráficas de sistemas de 2 x 2.

Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta, al realizar la actividad.



−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

56

7

x

y

a)

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

56

7

x

yb)

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

56

7

x

yc)

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

56

7

x

y

d)

Actividad: 3

Realiza la siguiente actividad en equipo. Coloca en el paréntesis que se encuentra en cada sistema, la letra que corresponda a la gráfica que lo describe.


Evaluación

Actividad: 2 Producto: Ejercicios de relacionar. Puntaje:


Identifica diferentes gráficas de sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2.

Distingue las ecuaciones lineales 2 x 2 y sus gráficas.

Realiza la actividad con apertura y buena disposición.

Coevaluación C MC NC


Como te habrás dado cuenta, la gráfica revela el comportamiento de las ecuaciones, y en ocasiones, su solución. Clasificación de sistemas. Los sistemas se clasifican dependiendo del tipo de solución. 1. Solución única. Ocurre cuando se cortan las rectas en un punto, al sistema se le

conoce como Consistente. 2. Solución nula. Ocurre cuando las rectas son paralelas, el sistema se denomina

Inconsistente. 3. Solución múltiple. Ocurre cuando las dos rectas coinciden en cada uno de sus

puntos, los cuales son una infinidad. Las rectas están sobrepuestas y al sistema se le llama Dependiente.

“El progreso y el

perfeccionamiento de las matemáticas están íntimamente ligados a

la prosperidad del Estado.”

Napoleón I


( )

=++=−−

010yx4

02y4x3 ( )

=+=−

0yx3

0y2x5

( )

=−=+

3x8y14

y721x4 ( )

−=+−

=−−

23

y41

x43

02y31

x

177

BLOQUE 7

Cierre

Actividad: 4

CLASIFICACIÓN SISTEMAS

Sistema Solución

Consistentes Única

Inconsistentes Nula

Dependientes Múltiple

II. Toma los 10 sistemas anteriores y completa la siguiente tabla considerando que los

coeficientes del sistema 2 x 2 en general se expresan

=++=++

0

0

222

111

cybxa

cybxa

CLASIFICACIÓN DEL SISTEMA

SISTEMA COCIENTES

=++=++

0cybxa

0cybxa

222

111 2

1

aa

2

1

bb

2

1

cc

Realiza lo que se te pide en cada sección de la actividad. I. Identifica de los 10 sistemas de las actividades 2 y 3, cuáles son consistentes,

inconsistentes y dependientes, luego escríbelos en el espacio correspondiente.



III. Compara los cocientes de los coeficientes de cada sistema y contesta las siguientes

preguntas. a) ¿Cómo son los cocientes de los sistemas dependientes?

179

BLOQUE 7

Evaluación

Actividad: 4 Producto: Complementación de tablas. Puntaje:


Identifica los sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2.

Clasifica el tipo de sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 y su solución. Deduce la clasificación de sistema con base en sus coeficientes.

Muestra disposición para el análisis y clasificación de los sistemas.



Actividad: 4 (continuación) b) ¿Cómo son los cocientes de los sistemas inconsistentes? c) ¿Cómo son los cocientes de los sistemas consistentes? d) Escribe las condiciones que deben cumplir los cocientes de los coeficientes del sistema en general,

=++=++

0cybxa

0cybxa

222

111 , para determinar cuándo es consistente (solución única), inconsistente (solución

nula) y dependiente (solución múltiple).


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

56

7

x

y

Actividad: 1

La solución al sistema

=−−=−+

013yx5

07y2x se observa en la gráfica.

a) ¿Cuál es el valor de “x” y “y”, según la gráfica? b) Sustituye los valores obtenidos en las ecuaciones

para verificar que satisface el sistema y anota en este espacio las operaciones.

c) Multiplica la segunda ecuación por dos y súmale la primera ecuación, anota las operaciones en este

espacio.

Analiza la siguiente gráfica y contesta lo que se te pide.

Secuencia didáctica 2. Métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones

con dos incógnitas.

Inicio

181

BLOQUE 7

Evaluación



Identifica los sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2.

Obtiene la solución de un sistema 2 x 2 mediante la gráfica. Deduce la clasificación de sistema con base en sus coeficientes.

Muestra disposición y apertura al realizar la actividad.




e) Despeja el resultado obtenido del inciso anterior. f) ¿Cómo obtendrías el otro valor?

d) ¿Qué tipo de resultado obtuviste?


Los métodos de solución algebraicos y numéricos, son procedimientos que ayudan a resolver con exactitud un sistema de ecuaciones, es decir, es encontrar una pareja de valores que al sustituirlos en cualquiera de las ecuaciones del sistema éstas se satisfacen. Los métodos que se desarrollarán en este bloque son los métodos algebraicos de Reducción y el método numérico de Determinantes. En los métodos algebraicos, como su nombre lo indica, se utilizan procesos algebraicos, como son: la suma o resta de polinomios, simplificación de términos semejantes, despejes de variables, así como la sustitución de las mismas, entre otros. El método numérico de Determinantes requiere cambiar el sistema y expresarlo únicamente con números, el cual se soluciona con la ayuda de la Aritmética. Métodos de Reducción. Éstos consisten en simplificar el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a una ecuación con una incógnita, de tal manera, que se pueda despejar y encontrar el valor de una de ellas para posteriormente sustituirlo y encontrar el valor restante. Los métodos de reducción son: Suma o Resta, Sustitución e Igualación. Suma o resta. Como se mostró en la secuencia anterior, la gráfica de un sistema no siempre es suficiente para encontrar su solución, por ello, se requiere de utilizar métodos que permitan encontrarla con exactitud, a continuación, con los siguientes ejemplos se representará el método de suma o resta. Ejemplo 1. Un salón de belleza cobra $630 por hacer reflejos y $450 por maquillaje. En el mes de Agosto registró haber efectuado 107 servicios entre reflejos y maquillaje, que representaron un ingreso de $61110. ¿Cuántos servicios de cada uno llevó a cabo? Para resolverlo primero se requiere expresar el sistema de ecuaciones que lo representa. Asignación de variables. x : Número de reflejos.

y : Número de maquillajes.

=+=+

61110y450x630

107yx

El método de suma o resta consiste en convertir el sistema de 2 x 2, en una ecuación lineal con una incógnita que puedas despejar, se logra mediante los siguientes pasos:

El éxito no se logra con

la suerte, es el resultado de un

esfuerzo constante.

Dominio público

http://search.live.com/images/results.aspx?q=reflejos+en+cabello�

183

BLOQUE 7

A continuación se etiquetarán las ecuaciones del sistema para ayudar en la explicación del método.

=+=+

)B(61110y450x630

)A(107yx

1. Se elige una de las variables para eliminarla, en este caso se elegirá la variable “y” (cualquiera que elijas te llevará

a la misma solución). 2. Para eliminar “y” se necesita tener el mismo coeficiente con signo contrario, para poder restarse, para ello se

multiplica la ecuación A por 450− , quedando de la siguiente forma:

61110y450x630

48150y450x450

=+−=−−

3. Se efectúa la reducción de términos.

12960x180

61110y450x630

48150y450x450

=

=+−=−−

Quedando así una ecuación con una incógnita. 4. Se despeja la variable para encontrar su valor.

72x180

12960x

=

=

5. Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones originales, para así obtener una ecuación de

una incógnita y poder despejarla. En este caso se elige la ecuación A, porque es más sencilla de sustituirla.

107yx =+

107y72 =+

72107y −=

35y =

6. La solución 72x = y 35y = ; la interpretación de la solución es:


El salón en el mes de Agosto realizó 72 reflejos y 35 maquillajes. Es recomendable sustituir los valores encontrados en ambas ecuaciones para comprobar que la solución es correcta. La gráfica de este sistema es la siguiente: Ejemplo 2.

Resolver el sistema

=+−=−+

033v2u5

02v3u2 por el método de suma o resta.

1. Se etiquetan las ecuaciones.

=+−=−+

)B(033v2u5

)A(02v3u2

2. Se elige la variable u para eliminar, así que se requiere que ambas

ecuaciones tengan el mismo coeficiente con signo contrario, para ello se multiplica la ecuación A por – 5 y la ecuación B por 2, como se muestra a continuación.

066v4u10

010v15u10

=+−=+−−

3. Ahora se lleva a cabo la reducción de términos semejantes.

076v19

066v4u10

010v15u10

=+−

=+−=+−−

-30 -20 -10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

-40

-30

-20

-10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

x

y

Recomendación.

Para que se facilite la aplicación de cualquier

método algebraico, elimina paréntesis y

denominadores de los sistemas de ecuaciones.

185

BLOQUE 7

4. Se despeja la ecuación.

4v1976

v

76v19

=−−

=

−=−

5. Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones originales, en esta ocasión se sustituirá en A y posteriormente se despejará la ecuación obtenida.

( )

5u210

u

10u2

010u2

0212u2

0243u2

02v3u2

−=

−=

−==+=−+=−+=−+

6. La solución es 5u −= y 4v =

Sitios Web recomendados: En el siguiente sitio podrás bajar el graficador Winplot, el cual te ayudará a graficar los sistemas de ecuaciones y así comprobar las soluciones de éstos. http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

Hipatia (370 – 415)

Filósofa, astrónoma y matemática, contribuyó a la

invención de aparatos como el aerómetro y construyó el astrolabio. Defensora del heliocentrismo (teoría que defiende que la tierra gira

alrededor del sol).

http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html�


Actividad: 2

1.

−=−−=+

22y4x2

7yx

2.

=−=+

3y5x6

39y5x8

Resuelve los siguientes sistemas por el método de suma o resta.

187

BLOQUE 7

Evaluación



Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2), mediante el método de suma o resta.

Resuelve sistemas de ecuaciones de 2 x 2 empleando el método de suma o resta.

Asume una actitud de apertura que favorece la solución de los ejercicios. Reconoce sus errores en los métodos algebraicos y busca solucionarlos.




3.

−=+−=−

5y2x7

1y8x9

4.

−=−−

=+

9y45

x34

3y41

x32


Sustitución. Como su nombre lo dice, el método de sustitución consiste en despejar una variable de una de las ecuaciones y sustituir en la otra, a continuación se muestra el método de sustitución con los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Un hombre rema río abajo a una velocidad de h

Km13 y río arriba hKm3 . Hallar la velocidad del bote en agua

tranquila y la velocidad del río. Asignación de variables. x : Velocidad del bote en agua tranquila. y : Velocidad del río. Cuando el bote va río abajo, la velocidad que lleva el río está a su favor; la ecuación que representa esta situación es:

13yx =+

Cuando el bote va río arriba, va remando contra corriente, porque la velocidad del río hace disminuir su velocidad; la ecuación que lo describe es:

3yx =−

Por lo tanto el sistema que describe al problema es:

=−=+

3yx

13yx

“Las abejas..., en virtud de una cierta intuición

geométrica..., saben que el hexágono es mayor que el

cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de

material.”

Papus de Alejandría

http://search.live.com/images/results.aspx?q=hombre+remando&FORM=ZZIR11�

189

BLOQUE 7

Para resolver el sistema por el método de sustitución se seguirán los siguientes pasos: 1. Primero se etiqueta el sistema.

=−=+

)B(3yx

)A(13yx

2. Ahora se elige una ecuación para despejar una de las variables, en este caso elegiremos despejar x en la

ecuación A.

y13x

13yx

−==+

3. Como todavía no se ha transformado en una ecuación con una incógnita, se toma el despeje y se sustituye en la

ecuación que no se ha utilizado, es decir, se sustituye en B.

3yy13

3yx

=−−=−

4. Se reducen los términos semejantes y se despeja la variable.

5y2

10y

10y2

133y2

3y213

=−−

=

−=−−=−

=−

5. Se sustituye el valor encontrado en el primer despeje que se hizo de la otra variable (paso 2), para encontrar su

valor.

8x

513x

y13x

=−=−=

6. Por lo que la solución es 8x = y 5y = , tenemos que el bote rema a una velocidad de h

Km8 y la velocidad del

río es hKm3 .

Ejemplo 2.

Para resolver el sistema ( )( )

=+=+

x75y2

y22x3 , primero se eliminan los paréntesis y se acomoda el sistema.

=++−=+−

→

=+=+

010y2x7

06y2x3

x710y2

y26x3


Para resolverlo por el método de sustitución, se desarrollan los siguientes pasos. 1. Se etiqueta el sistema.

( )( )

=++−=+−

B010y2x7

A06y2x3

2. Se elige la ecuación B para despejar “y”.

210x7

y

10x7y2

010y2x7

−=

−==++−

3. Se sustituye el despeje en la ecuación A.

062

10x72x3

06y2x3

=+

−−

=+−

4. Se elimina el paréntesis y se reducen términos semejantes.

4x4

16x

16x4

016x4

0610x7x3

=−−

=

−=−=+−=++−

5. Se sustituye el valor encontrado en el primer despeje (paso 2), y se encuentra el valor de la variable restante.

( )

9y2

1047y

210x7

y

=

−=

−=

6. La solución es 4x = y 9y = . Sustituye los valores en el sistema para que compruebes que lo satisface.

191

BLOQUE 7

Actividad: 3

1.

−=+−=+

9y6x5

13y4x3

2.

=+−=−7z5w3

4zw2

Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución.


Evaluación



Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2), mediante el método de sustitución.

Resuelve sistemas de ecuaciones de 2 x 2 empleando el método de sustitución.

Asume una actitud de apertura que favorece la solución de los ejercicios. Reconoce sus errores en los métodos algebraicos y busca solucionarlos.




3.

=−=−−

1t15s7

8t6s

4.

−=

=

13x

3y

5x

4y

193

BLOQUE 7

Igualación. Este método consiste en despejar la misma variable de las dos ecuaciones e igualarlas. De igual forma que los métodos anteriores, se tomarán ejemplos para describir el método. Ejemplo 1. Un punto de apoyo se sitúa, de tal manera, que dos paquetes de 60Kg. y 120 Kg. se equilibren. Si se le agregan 30 Kg. de peso al de 60 Kg., la carga de 120 Kg. debe recorrerse a 1 m. más de distancia del punto de apoyo para mantenerse en equilibrio. Hallar la distancia original entre ambas cargas.

Asignación de variables.

1d : Distancia del paquete de 60 Kg. al punto de apoyo.

2d : Distancia del paquete de 120 Kg. al punto de apoyo.

El sistema de ecuaciones queda.

( )

+==

1d120d90

d120d60

21

21

El método de igualación consiste en despejar la misma variable de las dos ecuaciones, así que aprovechando la forma que tiene el sistema se despejará 1d . A continuación se presenta el proceso. 1. Se etiquetan las ecuaciones.

( )( ) ( )

+==

B1d120d90

Ad120d60

21

21

2. Se despeja de la ecuación A la variable 1d .

21

21

d2d60

d120d

=

=

3. Se despeja de la ecuación B la variable 1d .

( )( )

( )3

1d4d

901d120

d

1d120d90

21

21

21

+=

+=

+=

d 2d

60Kg 120 Kg

d


4. Se igualan los dos despejes.

( )3

1d4d2 2

2

+=

5. Se quitan paréntesis y se realiza el despeje de 2d .

( )

2d

4d2

4d4d6

4d4d6

1d4d6

2

2

22

22

22

===−

+=+=

6. Se sustituye el valor de 2d en cualquiera de los despejes, en este caso se elige el despeje del paso 2.

( )4d

22d60

d120d

1

1

21

==

=

7. La distancia original entre las cargas es la suma de las distancias al punto de apoyo por lo que la solución al

problema es:

6d

24d

ddd 21

=+=+=

La separación que hay entre ellas es de 6 m.

195

BLOQUE 7

Ejemplo 2.

Resolver el sistema

=−

−=−

3y31

x87

4y65

x43

por el método de igualación.

1. Se eliminan los denominadores de ambas ecuaciones, multiplicando por el M.C.M. de cada una de ellas.

( )

( )

=−−=−

→

=−

−=−

72y8x21

48y10x9

243y31

x87

124y65

x43

2. Se etiqueta el sistema

( )( )

=−−=−

B72y8x21

A48y10x9

3. Se elige la variable “ x ” para despejarla de las dos ecuaciones.

2172y8

x9

48y10x

72y8x2148y10x9

72y8x2148y10x9

+=

−=

+=−==−−=−

4. Se igualan los dos despejes y se despeja la variable.

( ) ( )

12y

1656y138

1008648y72y210

648y721008y210

72y8948y102121

72y89

48y10

==

+=−+=−+=−

+=

−

5. Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de los despejes del paso 3.

( )

8x9

481210x

948y10

x

=

−=

−=

6. La solución del sistema es: 8x = y 12y =

Sólo el que no hace nada, no se equivoca.

Dominio público


Actividad: 4

1.

=+=−

5y2x3

0yx

2.

=−=−

5zw2

7z3w4

3.

=+=+

4t5s

3t3s2

Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación.

197

BLOQUE 7

Evaluación



Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2), mediante el método de igualación.

Resuelve sistemas de ecuaciones de 2 x 2 empleando el método de igualación.

Muestra una buena disposición al realizar los ejercicios. Reconoce sus errores en los métodos algebraicos y busca solucionarlos.


docente


4.

=+

=−

214

y32

x72

2029

y41

x52


Método numérico de Determinantes (Regla de Cramer).

La regla de Cramer es un teorema en Álgebra Lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor de Gabriel Cramer, quien publicó la Regla en su Introductión à l´anályse deslingnes courbes algébriques de 17501

El método de determinantes tiene importancia teórica debido a que es muy explícito para la solución de sistemas.

.

Se describirá el método utilizando la forma general del sistema 2 x 2, como se presenta a continuación.

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

El método de determinantes requiere expresar los coeficientes del sistema en forma ordenada, como se muestra a continuación.

2

1

22

11

c

c

ba

ba

Donde la primera columna representa los coeficientes de la variable “x”, la segunda columna representa los coeficientes de la variable “y”, y la tercer columna representa las constantes, además, la primera fila corresponde a la primera ecuación y la segunda fila corresponde a la segunda ecuación.

A este arreglo numérico se le conoce como Matriz, y puede ser cuadrado o rectangular.

El determinante de una matriz cuadrada (2 x 2) es el valor asociado a la matriz, como se muestra a continuación.

Si la matriz es

dc

ba , entonces, el determinante se obtiene de la siguiente forma ( ) ( )bcaddc

ba−=

Para resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se requiere obtener tres tipos de determinantes de la

matriz

2

1

22

11

c

c

ba

ba .

1 http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer

Gabriel Cramer (1704-1752)

2

1

22

11

c

c

ba

ba

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer�

199

BLOQUE 7

1. El determinante del sistema, que se forma con los coeficientes de las incógnitas.

( ) ( )212122

11 abbaba

baD −==

2. El determinante de la variable x, que se forma sustituyendo en el determinante del sistema los coeficientes de la x por las constantes.

( ) ( )212122

11x cbbc

bc

bcD −==

3. El determinante de la variable y, que se forma sustituyendo en el determinante del sistema los coeficientes de la

“y” por las constantes.

( ) ( )212122

11y acca

ca

caD −==

Una vez obtenidos los tres determinantes, las variables se obtienen mediante los cocientes:

DD

x x= D

Dy y=

Ejemplo 1.

Para resolver el sistema

=−−=−+

010y2x3

08yx5 mediante el método de determinantes, primero se acomodan los términos

constantes en el segundo miembro de cada ecuación, como se muestra a continuación:

=−=+

10y2x3

8yx5

Las variables deben quedar acomodadas en el primer miembro y las constantes en el segundo miembro.


Ahora, se desarrollan los siguientes pasos. 1. Se expresa el sistema en su forma matricial.

− 10

8

23

15

2. Se obtienen los determinantes.

( )( ) ( )( ) 13310312523

15D −=−−=−−=

−=

( )( ) ( )( ) 26101610128210

18Dx −=−−=−−=

−=

( )( ) ( )( ) 26245038105103

85Dy =−=−==

3. Se sustituyen en los cocientes para obtener el valor de las variables.

21326

DD

x x =−−

== 213

26D

Dy y −=

−==

La solución al sistema es 2x = y 2y −= . Ejemplo 2. Sofía es estudiante de Agronomía, solicitó una beca de estudio y para conservarla tiene que cursar tres materias de Naturales y dos de Humanidades equivalentes a 36 créditos en segundo semestre; mientras que para el tercer semestre, deberá cursar cuatro de Naturales y tres de Humanidades los cuales son 50 créditos. ¿Cuántos créditos tiene cada área? Asignación de variables. m : Créditos del área de Naturales. n : Créditos del área de Humanidades. El sistema queda de la siguiente forma:

=+=+

50n3m4

36n2m3

Y su forma matricial queda:

50

36

34

23

http://search.msn.es/images/results.aspx?q=Estudiante&FORM=ZZIR30�

201

BLOQUE 7

Ahora se obtendrán los determinantes correspondientes.

( )( ) ( )( ) 189423334

23D =−=−==

( )( ) ( )( ) 8100108502336350

236Dm =−=−==

( )( ) ( )( ) 6144150436503504

363Dn =−=−==

Se sustituyen en los cocientes para obtener el valor de las variables.

818

DD

m m === 616

DD

n n ===

Por lo tanto, las asignaturas del área de Naturales valen 8 créditos y las del área de Humanidades 6 créditos.

Actividad: 5

1.

−=+−=−

2s4r

18s9r9

2.

−=−−=+

30y5x

14yx

Resuelve los siguientes sistemas por el método de determinantes.


Evaluación



Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2), mediante el método de determinantes.

Resuelve sistemas de ecuaciones de 2 x 2 empleando el método de determinantes.

Aprecia la facilidad del método de determinantes. Reconoce sus errores en los métodos algebraicos y busca solucionarlos.


docente


3.

=−−

−=+

9q45

p34

3q41

p32

4.

=+−−=−3y8x5

1y6x5

203

BLOQUE 7

Cierre

Actividad: 6

1. Un avión recorre 2400 millas para llegar a una ciudad. De ida llevaba el viento a favor y tardó 4 horas en llegar, pero de regreso, con el viento en contra, demoró 6 horas. ¿Cuál es la velocidad del avión y la velocidad del viento?

2. El triple de un número supera en 1 a otro, mientras que el quíntuplo del primero es 4 unidades menor que el doble del segundo. Encuentra ambos números.

Escribe el sistema que representa a cada uno de los problemas y resuélvelos con cualquiera de los métodos de solución.



3. Hace 5 años la edad de un muchacho era un quinto de la que tenía su padre, y dentro de 10 años el hijo tendrá la mitad de la edad de su padre. Determina las edades actuales.

4. En la tienda de autoservicio, 10 paquetes de maíz y 7 de chícharos cuestan 12.53 dólares, mientras

que 7 de maíz y 9 de chícharos cuestan 12.52 dólares. Encuentra el precio por paquete de cada producto.

205

BLOQUE 7


6. Si se le resta 2 al numerador de una fracción y se suma 1 al denominador, su valor resulta ser 21

.

Pero, si se resta 7 al numerador y suma 2 al denominador resulta 31

. Encuentra la fracción.

5. Si 3 veces el recorrido de Abel más 4 veces el recorrido de Pablo es igual a 60 vueltas, mientras que 2 veces el recorrido de Abel es igual al recorrido de Pablo más 7 vuelta ¿Cuántas vueltas da Abel y Pablo a la pista del deportivo?


Evaluación



Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2), mediante diferentes métodos. Ubica e interpreta soluciones diversas utilizando sistemas 2 x 2.

Expresa y soluciona situaciones diversas utilizando sistemas 2 x 2. Aplica los sistemas de ecuaciones de 2 x 2 empleando métodos algebraicos. Construye ideas y argumentos relativos a la solución y aplicación de sistemas de ecuaciones.

Aprecia la diversidad y efectividad de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones 2 x 2.

Asume una actitud de apertura que favorece la solución de los ejercicios.

Reconoce sus errores en los métodos algebraicos y busca solucionarlos.


docente

Resuelve ecuaciones lineales III










208 RESUELVE ECUACIONES LINEALES III

Secuencia didáctica 1. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (3 x 3).

Inicio

Actividad: 1

1. Uno de los teoremas más importantes de los triángulos es que la suma de la medida de los ángulos

interiores de un triángulo es de 180º. El ángulo más pequeño del triángulo es 32

del ángulo de

tamaño mediano. El ángulo más grande es 30º menor que 3 veces el ángulo mediano. ¿Cuál es el sistema de ecuaciones que modelan las tres situaciones diferentes de la que se compone este problema?

2. Si el método de suma o resta consiste en reducir el sistema de 2 x 2 por eliminación de una variable a una ecuación lineal de una incógnita, para poder despejar. ¿Cómo describirías el método de suma o resta para el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas?

3. Si el método de sustitución consiste en reducir el sistema 2 x 2 despejando una variable y

sustituyendo en otra ecuación, para reducirlo a una ecuación lineal con una incógnita. ¿Cómo describirías el método de sustitución para el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas?


209

BLOQUE 8

Evaluación



Identifica sus conocimientos previos sobre los métodos de solución algebraica.

Infiere sobre los métodos de solución de tres ecuaciones con tres incógnitas a partir de los métodos de solución algebraica de los sistemas 2 x 2.

Muestra disposición al realizar la actividad.


docente

Desarrollo Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas describen tres situaciones en un mismo problema, dichas situaciones tienen que ir encaminadas a describir las mismas variables, como por ejemplo: Encontrar tres números tales que la suma del primero y el segundo excede en 18 al tercer número; la suma del primero y el tercero excede en 78 al segundo, y la suma del segundo y el tercero excede en 102 al primero. Asignación de variables. x : Primer número. y : Segundo número. z : Tercero número. El sistema se expresa como:

+=++=++=+

102xzy

78yzx

18zyx

Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas tienen forma similar al sistema de 2 x 2.

=++=++=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

Al igual que en el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, también existen sistemas que son consistentes (solución única), inconsistentes (solución nula) y dependientes (solución múltiple), por ejemplo:

Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor y la electricidad: la voluntad.

Dominio público


Ejemplo 1.

La solución del sistema

=++−=+−=−+

102zyx

78zyx

18zyxes 48x = , 60y = y 90z = . Deben satisfacer el sistema, esto es, al sustituir

los valores en el sistema se debe cumplir la igualdad.

( ) ( ) ( )1818

18906048

18zyx

==−+=−+

( ) ( ) ( )7878

78906048

78zyx

==+−=+−

( ) ( ) ( )102102

102906048

102zyx

==++−=++−

De esta forma se comprueba que la solución al sistema es correcta. En este caso se dice que es un sistema consistente, con solución única. Ejemplo 2.

El sistema

=+−−−=−+−=−+

12z9y3x6

4z3yx2

8z6y2x4 tiene una infinidad de soluciones, algunas de ellas son:

0x = 1y −= 1z =

4x = 3y = 5z =

1x −= 1y = 1z =

Sustitución de la primera solución.

( ) ( ) ( )88

8161204

8z6y2x4

−=−−=−−+−=−+

( ) ( ) ( )44

413102

4z3yx2

−=−−=−−+−=−+

( ) ( ) ( )1212

12191306

12z9y3x6

==+−−−=+−−

Sustitución de la segunda solución.

( ) ( ) ( )88

8563244

8z6y2x4

−=−−=−+−=−+

( ) ( ) ( )44

453342

4z3yx2

−=−−=−+−=−+

( ) ( ) ( )1212

12593346

12z9y3x6

==+−−=+−−

Sustitución de la primera solución.

( ) ( ) ( )88

8161214

8z6y2x4

−=−−=−+−−=−+

( ) ( ) ( )44

413112

4z3yx2

−=−−=−+−−=−+

( ) ( ) ( )1212

12191316

12z9y3x6

==+−−−=+−−

En este caso es un sistema dependiente con solución múltiple. Ejemplo 3.

El sistema

=+−=−+−=+−

10z3y3x6

8z2y2x4

3zyx2no tiene solución, y esto se puede verificar cuando se aborden los métodos de solución

algebraica.

211

BLOQUE 8

Evaluación

Actividad: 2 Producto: Clasificación. Puntaje:


Explica la clasificación de los sistemas 3 x 3, con base en sus coeficientes.

Clasifica el tipo de sistema de ecuaciones lineales 3 x 3 y su solución. Deduce la clasificación de sistema con base en sus coeficientes.

Se interesa por realizar la actividad con eficiencia.


docente

Actividad: 2 Considerando la clasificación de los sistemas 2 x 2 con base en sus coeficientes. Escribe las condiciones que deben cumplir los cocientes de los coeficientes del

sistema

=++=++=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa para determinar cuándo es consistente (solución

única), inconsistente (solución nula) y dependiente (solución múltiple).


Interpretación gráfica. Una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio como se muestra en la figura. A diferencia del plano cartesiano de dos dimensiones (eje horizontal y vertical), el plano cartesiano ubica las tres dimensiones. Lo mismo sucede en el cine, cuando se presenta una película en 3D (tres dimensiones), en la que se percibe la profundidad y da la sensación de estar dentro de ella. Para ubicar los puntos del plano que representa una ecuación, es necesario despejar una variable (dependiente) y sustituir valores en las otras dos variables (independientes); esta forma de graficarla es muy laboriosa. En niveles posteriores aprenderás formas más fáciles para llevar a cabo la graficación manual. También puedes hacer uso de programas de graficación como es el graficador Winplot para que visualices los planos. A continuación se presenta la gráfica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Ejemplo 1.

Para que visualices mejor la gráfica del sistema

=++−=+−=++

10z3yx3

5z2y2x

6zyxse presentarán los planos de las ecuaciones por

separado. La gráfica de 6zyx =++ es:

xy

z

x

y

z

213

BLOQUE 8

La gráfica de 5z2y2x =+− es: La gráfica de la ecuación 10z3yx3 =++− es:

Por lo tanto la gráfica del sistema

=++−=+−=++

10z3yx3

5z2y2x

6zyxse logra al sobreponer los planos de cada una de las ecuaciones

que lo conforman, y la intersección de ellos daría como resultado las coordenadas del punto que satisfacen al sistema, esto es, proporciona la solución de éste:

x

y

z

x

y

z


Cierre

x

y

z

Solución del sistema

Actividad: 3

I. Proporciona un ejemplo de cada uno de los sistemas. 1. Sistema consistente (solución única). 2. Sistema inconsistente (solución nula). 3. Sistema dependiente (solución múltiple).

215

BLOQUE 8

Evaluación

Actividad: 3 Producto: Ejemplos. Puntaje:


Reconoce la clasificación de los sistemas 3 x 3.

Propone ejemplos de sistemas 3 x 3 de acuerdo a su clasificación. Esboza las gráficas de sistemas 3 x 3 de acuerdo a su clasificación.

Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta, al realizar la actividad.


docente

Actividad 3 continuación: II. Realiza un ejemplo gráfico de los siguientes sistemas.

1. Sistema inconsistente.

2. Sistema dependiente.


Secuencia didáctica 2. Métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres

incógnitas.

Inicio

Actividad: 1 En equipo, escribe el sistema de ecuaciones que modela cada uno de los siguientes problemas.

1. La suma de tres números es 37. El menor disminuido en 1 equivale a un tercio de la suma del

mayor y el mediano; la diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 13. Encontrar los números.

2. Entre Álvaro, Javier y Carmen tienen 140 pesos. Carmen tiene la mitad de lo que tiene Álvaro, y

Álvaro tiene 10 pesos más que Javier ¿Cuánto tiene cada uno? 3. Encontrar tres números tales que la suma del primero y el segundo excede en 3 al doble del tercer

número; la suma del primero y el tercero es igual al segundo, y la suma del segundo y el tercero excede en 14 al primero.

4. Si Adrián le da un peso a Carlos, ambos tiene lo mismo; si Beatriz tuviera un peso menos, tendría lo

mismo que Carlos, y si Adrián tuviera cinco pesos más, tendría tanto como el doble de lo que tiene Carlos. ¿Cuánto tiene cada uno?

5. Si al doble de la edad de Marco se suma la edad de José, se obtiene la edad de Jorge aumentada

en 32 años. Si al tercio de la edad de José se suma el doble de la de Jorge, se obtiene la de Marco aumentada en 9 años, y el tercio de la suma de las edades de Marco y José es un año menos que la edad de Jorge. Encuentra las edades de cada uno de ellos.

217

BLOQUE 8

Evaluación

Actividad: 1 Producto: Problemas. Puntaje:


Identifica las ecuaciones lineales.

Analiza y modela situaciones para formar sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Aprecia la utilidad de los sistemas 3 x 3.


docente

Desarrollo Los métodos para resolver los sistemas 2 x 2 (Reducción y Determinantes), también se aplican en los sistemas de 3 x 3, un poco más estructurados pero el principio es el mismo. Los métodos de Reducción (suma o resta, sustitución e igualación) consisten en reducir el sistema de 3x3 a un sistema de 2x2, y posteriormente, reducirlo a una ecuación lineal de una incógnita, la cual es despejada para encontrar el primer valor y después se va sustituyendo para encontrar el segundo y tercer valor. El método de Determinantes es básicamente el mismo, a excepción de un aumento en las filas de cada uno de los determinantes, éste se verá más adelante. A continuación se desarrollarán los métodos para poder dar solución a los problemas que se plantearon en la actividad 1. Métodos de Reducción. Suma o resta. Se ejemplificará el método siguiendo el desarrollo de un ejemplo, en éste se mostrará cómo se va reduciendo el sistema de 3 x 3 a un sistema de 2 x 2, para finalmente reducirlo a una ecuación lineal de una incógnita. Ejemplo.


−=−−=++−−=−+

6z7y4x4

4z3y8x2

1z5y4x6se seguirán los siguientes pasos:

1. Se etiquetan las ecuaciones para que sean más fáciles de identificarlas.

−=−−=++−−=−+

)C(6z7y4x4

)B(4z3y8x2

)A(1z5y4x6

2. Elegir una de las variables para eliminar. En este caso se elige la “y” por ser la más sencilla de eliminar.


3. Se elige la ecuación A y C para eliminar “y” realizando la suma o resta correspondiente en cada uno de los términos.

7z12x10

6z7y4x4

1z5y4x6

−=−

−=−−−=−+

4. Se elige la ecuación B y la ecuación C, ésta última se multiplica por dos para poder eliminar “y”.

8z11x6

12z14y8x8

4z3y8x2

−=−

−=−−=++−

5. Se toman las dos ecuaciones para formar un nuevo sistema. Se etiquetan de igual manera las ecuaciones del

nuevo sistema.

−=−−=−

)E(8z11x6

)D(7z12x10

6. Se elige la variable “x” para eliminar, multiplicando la ecuación D por 3 y la

ecuación E por – 5 y procediendo a sumar o restar en cada término.

19z19

40z55x30

21z36x30

=

=+−−=−

7. Se despeja la variable z.

1z1919

z

19z19

=

=

=

8. Obtenido el primer valor, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema 2 x 2, en este caso elegiremos la ecuación D para llevar a cabo la sustitución para encontrar el valor de x.

21

x

105

x

5x10

127x10

7)1(12x10

7z12x10

=

=

=+−=

−=−−=−

¿Sabías que… muchos artistas se interesaron por las matemáticas y muchos matemáticos por el arte?

219

BLOQUE 8

9. Se sustituyen los dos valores encontrados en cualquiera de las tres ecuaciones del sistema 3 x 3, para encontrar el valor de la variable restante. En este caso se elegirá la ecuación A.

( )

41

y

1y4

531y4

15y43

115y421

6

1z5y4x6

=

=+−−=

−=−+

−=−+

−=−+

Por lo que el resultado del sistema es:

21

x = 41

y = 1z =

El punto solución se expresa:

1,

41

,21

A continuación se tomará el mismo sistema de suma o resta para desarrollar los métodos posteriores y así puedas decidir el método que más se te facilita. Sustitución. Este método consiste en despejar una de las variables de una ecuación y sustituirla en las otras dos para poder construir el sistema 2 x 2, posteriormente se seguirá con el método de sustitución de 2 x 2 para encontrar el valor de la primer variable e ir sustituyendo posteriormente en las demás y así encontrar los valores de las variables faltantes. Ejemplo.


−=−−=++−−=−+

6z7y4x4

4z3y8x2


1. Se etiquetan las ecuaciones para que sean más fáciles de identificarlas.

−=−−=++−−=−+

)C(6z7y4x4

)B(4z3y8x2

)A(1z5y4x6

2. Se despeja la variable x de la ecuación C.

4z7y46

x

z7y46x4

6z7y4x4

++−=

++−=−=−−


3. Se sustituye el valor del despeje en la ecuación A y B, para conformar el sistema de 2 x 2.

16z11y20

2z10y8z21y1218

1z5y42

z21y1218

1z5y42

z7y463

1z5y44

z7y466

1z5y4x6

=+−=−+++−

−=−+++−

−=−+

++−

−=−+

++−

−=−+

2zy12

8z6y16z7y46

4z3y82

z7y46

4z3y82

z7y461

4z3y84

z7y462

4z3y8x2

=−=++−−

=++−−

=++

++−−

=++

++−−

=++−

4. Se expresa el sistema y se etiquetan las ecuaciones.

=−=+

)E(2zy12

)D(16z11y20

5. Se despeja la variable “z” de la ecuación E.

y122z

y122z

2zy12

+−=−=−

=−

6. Se sustituye el despeje en la ecuación D.

( )

41

y

15238

y

38y152

16y13222y20

16y12211y20

16z11y20

=

=

==+−=+−+=+

7. Se sustituye el valor encontrado en el despeje del paso 5.

1z

32z41

122z

y122z

=+−=

+−=

+−=

Anaxágoras de Clazomenae (499 – 428 A C)

Fue encarcelado por decir que el sol no era un Dios y

que la luna reflejaba la luz del sol. Mientras permanecía en prisión trató de solucionar el problema de la cuadratura

del círculo, encontró un cuadrado con el área igual a

la obtenida por un círculo.

221

BLOQUE 8

8. Se sustituyen los valores de “y” y “z” encontrados en el despeje del paso 2.

( )

21

x

42

x

4716

x

4

1741

46x

4z7y46

x

=

=

++−=

+

+−

=

++−=

Por lo que el resultado del sistema es:

21

x = 41

y = 1z =

De la misma forma que fue en el método de suma o resta. Igualación. El método de igualación consiste en despejar la misma variable de las tres ecuaciones para hacer dos igualaciones, de esta forma se construye el sistema 2 x 2, que posteriormente se puede resolver por el método algebraico de igualación para sistemas de 2 x 2. Ejemplo.


−=−−=++−−=−+

6z7y4x4

4z3y8x2


1. Se etiquetan las ecuaciones para que sea más fácil identificarlas.

−=−−=++−−=−+

)C(6z7y4x4

)B(4z3y8x2

)A(1z5y4x6

2. Se despeja la variable “y” de las tres ecuaciones.

4z5x61

y

z5x61y4

1z5y4x6

+−−=

+−−=−=−+

8z3x24

y

z3x24y8

4z3y8x2

−+=

−+==++−

4z7x46

y

z7x46y4

6z7y4x4

−+−−

=

+−−=−−=−−

René Descartes. Cierta vez observó una mosca deambular por el techo de la habitación e ideó como escribir un recorrido con una ecuación. Pensó la forma de aplicar el álgebra a la geometría y la geometría al álgebra.


3. Se igualan por parejas los despejes para formar dos ecuaciones, en este caso se iguala el primer y segundo despeje y se desarrolla; posteriormente, se igualan el primer y tercer despeje, y de igual forma se desarrolla.

( )

6z13x14

24z3z10x2x12

z3x24z10x122

z3x24z5x6128

z3x248

4z5x61

8

8z3x24

4z5x61

=+−+=++−−

−+=+−−−+=+−−

−+

=

+−−

−+=

+−−

7z12x10

16z7z5x4x6

z7x46z5x614

z7x464

4z5x61

4

4z7x46

4z5x61

=+−+=++−−

−+=+−−

−+−−

=

+−−

−+−−

=+−−

4. Se forma el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y se etiquetan las ecuaciones.

=+−=+−

)E(7z12x10

)D(6z13x14

5. Se despeja de ambas ecuaciones la misma variable, en este caso se despejará la variable z.

13x146

z

x146z13

6z13x14

+=

+==+−

12x107

z

x107z12

7z12x10

+=

+==+−

6. Se igualan los dos despejes.

( ) ( )

21

x

3819

x

19x38

7291x130x168

x13091x16872

x10713x1461212

x10713

x146

=

=

=−=−+=++=+

+=

+

223

BLOQUE 8

7. Se sustituye el valor del la variable x en cualquiera de los despejes del paso 5, en este caso elegiremos el primer despeje.

1z13

76z

1321

146z

13x146

z

=

+=

+

=

+=

8. Se sustituyen los dos valores encontrados en cualquiera de los despejes del

paso 2 para encontrar el valor de la variable y.

( )

41

y

4531

y

4

1521

61y

4z5x61

y

=

+−−=

+

−−

=

+−−=

9. Por lo que el resultado del sistema es:

21

x = 41

y = 1z =

Dependiendo del tipo del sistema y de tus habilidades en la utilización de los métodos puedes hacer combinaciones de ellos, esto es, puedes iniciar con sustitución y terminar con suma o resta, o viceversa; también puedes combinarlos con los de igualación. Tú decidirás cuál es el método o combinación más adecuada para resolver los sistemas. Método numérico de Determinantes. Éste se aplica de igual forma que en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, sólo hay un ligero cambio en la forma de resolver los determinantes de cada una de las variables y el sistema, pero prácticamente es la misma metodología. Se tomará el mismo ejemplo que en el anterior para que realices la comparación de métodos.

Platón (427 – 347 A C)

Creía que era imposible estudiar la Filosofía sin el conocimiento previo

de las matemáticas. Hizo colocar a la entrada de la Academia, su frase célebre y signtificativa: “no entres

aquí si no eres geómetra”. Le dio un orden lógico a la geometría. Se debe

a platón la mayor claridad de las definiciones, axiomas y postulados.


Ejemplo.


−=−−=++−−=−+

6z7y4x4

4z3y8x2


1. Se verifica que esté acomodado el sistema, si no es así hay que acomodar las variables en el primer miembro y la constante en el segundo miembro de las ecuaciones. En este caso ya están acomodadas.

2. Se expresa la forma matricial del sistema, como se muestra a continuación.

−

−

−−−

−

6

4

1

744

382

546

3. Se expresan los determinantes del sistema y las variables.

744

382

546

D

−−−

−=

746

384

541

Dx

−−−

−−=

764

342

516

Dy

−−−

−−=

644

482

146

Dz

−−−

−=

4. Para resolver cada uno de los determinantes, se deben repetir en cada uno de ellos las dos primeras filas y resolver el determinante como se muestra a continuación.

( ) ( ) 152489632648288

482

146

644

482

146

Dz −=+−−−+−−=

−−−−

−−

=

( ) ( ) 3814108801260168

342

516

764

342

516

Dy −=−−−−−−−=

−−−−−

−−−

=

( ) ( ) 7611212240728056

384

541

746

384

541

Dx −=−+−−+=−−−−−

−−

=

( ) ( ) 15256721604840336

382

546

744

382

546

D −=+−−−+−−=

−−−−

−−

=

225

BLOQUE 8

5. Se realizan los cocientes para encontrar el valor de las variables.

21

15276

DD

x x =−−

==

41

15238

D

Dy y =

−−

==

1152152

DD

z z =−−

==

6. Por lo que el resultado del sistema es:

21

x = 41

y = 1z =

Como te habrás dado cuenta, todos los métodos resultaron con la misma solución, cual debe de ser, tu elegirás el más conveniente para ti. Por lo pronto en la siguiente actividad se te proponen varios sistemas para que los practiques.

Actividad: 2 Resuelve los siguientes sistemas 3 x 3, utilizando cualquiera de los métodos algebraicos. Se te recomienda que varíes los métodos para que los practiques.

=−−−−=++

=−+

1zy6x2

4zy5x3

7z2y3x

.1


−=++−=+−−

=−+

5z2y7x4

10zy4x3

1zy5x2

.2

=++−−=++−

=+−

9z5y8x4

9z9y7x3

3zy6x2

.3


227

BLOQUE 8


=+−=−+−=+−

12zyx10

7z2y3x

4zy2x4

.4

=++−=−−

=−+

1z8y4x

5z10yx2

1z2y2x3

.5


=−−

=++

=++

21zy5x6

31z4y10x2

53zy3x3

.6

=+−=+=+−−

0z3y4x3

0z2x6

0zy4x3

.7


229

BLOQUE 8

Evaluación



Comprende los métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Utiliza los métodos de solución algebraicos y numéricos para resolver un sistema de 3 x 3.

Aprecia la simplicidad de los métodos de solución para resolver sistemas de 3 x 3.


docente


−=++−=+−

=−+

6z20y3x6

7z5y6x8

0z10y9x10

.8


Cierre

Actividad: 3 En equipo, plantea el sistema que representa a cada uno de los siguientes problemas y resuélvelos por alguno de los métodos de solución.

1. Al comprar 1 Kg. de plátanos, 1 Kg. de papas y 1 litro de aceite pagué $47. El aceite cuesta el

cuádruple que el kilo de papas. El kilo de plátanos y el kilo de papas juntos, cuestan la mitad que el litro de aceite más $5. ¿Cuál es el costo de cada artículo?

2. La suma de tres números es 37. El menor disminuido en 1 equivale a un tercio de la suma del

mayor y el mediano; la diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 13. Encontrar los números.

231

BLOQUE 8

Actividad: 3 (continuación) 3. Entre Álvaro, Javier y Carmen tienen 140 pesos. Carmen tiene la mitad de lo que tiene Álvaro,

y Álvaro tiene 10 pesos más que Javier ¿Cuánto tiene cada uno? 4. Tony, Ana y Sebastián fueron a comer pizza. Entre Tony y Sebastián comieron el doble que Ana. Ana

comió el doble que Sebastián. Entre los tres se terminaron una pizza. ¿Qué porción de pizza comió cada uno?



5. Encontrar tres números tales que la suma del primero y el segundo excede en 18 al tercer

número; la suma del primero y el tercero excede en 78 al segundo, y la suma del segundo y el tercero excede en 102 al primero.

6. Calcula el volumen del prisma rectangular si: 5 veces el largo más 2 veces el ancho menos 3 veces la

altura es igual a 8 cm. El doble de la altura, más el largo, menos el ancho es igual a 13 cm; 3 veces el ancho, menos 2 veces la altura más el doble del largo es igual a 5 cm.

233

BLOQUE 8


7. Si Adrián le da un peso a Carlos, ambos tiene lo mismo; si Beatriz tuviera un peso menos, tendría lo mismo que Carlos, y si Adrián tuviera cinco pesos más, tendría tanto como el doble de lo que tiene Carlos. ¿Cuánto tiene cada uno?

8. Alicia acumuló 255 puntos en tres exámenes de Química. La suma de las calificaciones del primer y

segundo examen exceden al tercero en 55, y la calificación del tercer examen excede a la del primero en 20, ¿qué calificación obtuvo en cada examen?



9. Si al doble de la edad de Marco se suma la edad de José, se obtiene la edad de Jorge aumentada en 32 años. Si al tercio de la edad de José se suma el doble de la de Jorge, se obtiene la de Marco aumentada en 9 años, y el tercio de la suma de las edades de Marco y José es un año menos que la edad de Jorge. Encuentra las edades de cada uno de ellos.

10. Jaime le dijo a Mario, -Se me cayó mi agenda al agua y sólo puedo leer las primeras cifras de tu número telefónico, que son 6728; las últimas se han borrado-. Mario, a quien le gustan mucho las matemáticas, le respondió, -Te falta un número de tres cifras; para encontrarlo, la cifra de las unidades menos la de las decenas más la de las centenas es igual a 3. El triple de la cifra de las unidades más la de las decenas es igual a la de las centenas menos 1. La cifra de las decenas menos la de las centenas más cuatro veces la de las unidades es igual a 2. Resuelve el sistema y encontrarás mi número-.

235

BLOQUE 8

Evaluación



Ubica e interpreta situaciones diversas utilizando sistemas 3 x 3.

Aplica los métodos de solución para resolver sistemas 3 x 3.

Aprecia la diversidad y efectividad de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones 3 x 3.

Asume una actitud de apertura que favorece la solución de los ejercicios.



docente

Resuelve ecuaciones cuadráticas I

Unidades de competencia:

Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico. Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o









238 RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I

Secuencia didáctica 1. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Inicio

x +5

x

Actividad: 1

1. En la siguiente figura, ¿cuál es el valor de x, si con los datos se obtiene un área que mide 24cm2?

2. ¿Qué proceso utilizaste para resolver el problema anterior? 3. En la siguiente figura, ¿cuánto vale x, si el área mide 40 cm2?

4. Compara los dos problemas anteriores y explica qué dificultades encontraste para poder

resolverlos

II. Observa el ejemplo para que completes la siguiente tabla.

Ecuación Factorización Solución

012x8x2 =+− ( )( ) 02x6x =−− 6x = ó 2x =

016x2 =−

0x7x2 =+

025x10x2 =+−

03x2x2 =−+

04x7x2 2 =−+

9 x +9

x + 2

I. Analiza y responde las siguientes preguntas.

239

BLOQUE 9

Evaluación



Identifica la solución de una ecuación cuadrática expresada en factores.

Obtiene la solución de los factores que componen a una ecuación cuadrática.

Aprecia los conocimientos previos para identificar la solución de ecuaciones cuadráticas.


docente

Desarrollo

Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita también son conocidas como ecuaciones cuadráticas, y su forma general es:

0cbxax2 =++ con 0a ≠

Sus componentes son:

Como te habrás dado cuenta en la tabla de la primera actividad, el término lineal puede excluirse, así como el término independiente, pero como su condición lo dice, no se puede prescindir del término cuadrático. La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas. Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas. En el siguiente cuadro sinóptico visualizarás su estructura.

Completas: 0cbxax2 =++

Incompletas

Clasificación de las ecuaciones cuadráticas

Puras: 0cax2 =+

Mixtas: 0bxax2 =+

bx

c Término independiente

Término lineal

Término cuadrático 2ax


Evaluación



Identifica ecuaciones completas e incompletas de segundo grado de una variable.

Distingue las ecuaciones completas e incompletas de segundo grado con una variable.

Aprecia los conocimientos de Álgebra que le facilitan realizar la actividad con eficiencia.


docente

Actividad: 2 Transforma las siguientes ecuaciones quitando los paréntesis y simplificando términos semejantes, para que las clasifiques en completas o incompletas (puras o mixtas).

Ecuación original Ecuación modificada Clasificación

( )( ) 115x5x =−+

( )( ) 32n92n6n +−=−−

( )( ) 19x3x2x +=+−

( )4x8x2

4x−−

=+

( ) ( ) ( ) 431x71x7x 222 +−=++−

( ) ( ) 352yy5yy2 =++−

2a1a

3a23a

−−

=−−

241

BLOQUE 9

Pareciera que las ecuaciones que desarrollaste en la actividad anterior no tienen sentido práctico, a continuación se te presentarán algunos ejemplos aplicados, en donde la ecuación que los modela es muy parecida a alguna de ellas. Los siguientes ejemplos son ejercicios del libro Álgebra de Baldor. 1. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Hallar los números.

x : Primer número. x9 − : Segundo número. ( ) 53x9x 22 =−+

2. Un número positivo es los 53 de otro y su producto es 2160. Hallar los números.

y : Número mayor.

y53

: Número menor. 2160y53

y =

3. Antonio tiene 3 años más que Jaime y el cuadrado de la edad de Antonio, aumentado en

el cuadrado de la edad de Jaime, equivale a 317 años. Hallar ambas edades.

z : Edad de A. 3z − : Edad de B. ( ) 3173zz 22 =−+

4. Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los

números.

a : Número menor. a3 : Número mayor. ( ) 1800aa3 22 =−

5. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumentara en

4 m, el área sería el doble. Hallar las dimensiones de la sala.

x : Longitud de la sala. 4x − : Ancho de la sala. ( )( ) ( )( )[ ]4xx2x4x −=+

6. Un comerciante compró cierto número de sacos de azúcar por 1000 bolívares. Si hubiera

comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5 bolívares menos. ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno?

x : Número de sacos que compró.

10x + : Número de sacos que hubiera comprado.

x1000

: Costo de cada saco que compró.

5x

1000− : Costo de cada saco si hubiera comprado 10 más.

( ) 10005x

100010x =

−+

http://search.msn.es/images/results.aspx?q=ni%c3%b1os&FORM=ZZIR11�

http://search.msn.es/images/results.aspx?q=suma+de+numeros&FORM=ZZIR20�

http://search.msn.es/images/results.aspx?q=sala&FORM=ZZIR10�

http://search.msn.es/images/results.aspx?q=sacos+de+azucar&FORM=ZZIR10�


7. Un hombre compró cierto número de naranjas por $1.50. Se comió 5 naranjas y

vendiendo las restantes a 1 cvo. más de lo que le costó cada una, recuperó lo que había gastado. ¿Cuántas naranjas compró y a qué precio?

x : Número de naranjas.

5x − : Número de naranjas que le quedaron.

x150

: Precio de cada naranja en cvs.

1x

150+ : Precio de venta.

( ) 1501x

1505x =

+−

8. Se han comprado dos piezas de tela que juntas miden 20 m; el metro de cada

pieza costó un número de pesos igual al número de metros de la pieza. Si una pieza costó 9 veces lo que la otra, ¿Cuál era la longitud de cada pieza? x : Longitud de la primera pieza.

x20 − : Longitud de la segunda pieza. 2x : Costo total de la primera pieza. ( )2x20 − : Costo total de la segunda pieza.

( ) 22 x9x20 =−

Para resolver las ecuaciones cuadráticas se requiere aplicar algunos métodos algebraicos, los cuales varían, dependiendo del tipo de ecuación que se presente. Métodos algebraicos de resolución de ecuaciones de segundo grado. La solución de una ecuación cuadrática es el valor de la incógnita que al sustituirla en la ecuación la satisface, es decir, se cumple la igualdad. Por lo general una ecuación cuadrática tiene dos soluciones, y en ocasiones sólo una, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. La ecuación cuadrática 035x2x2 =−− tiene dos soluciones, 7x = ó 5x −= , porque al sustituirlas en la ecuación, ésta se satisface.

( ) ( )

00

0351449

035727

035x2x2

2

==−−=−−

=−−

( ) ( )

00

0351025

035525

035x2x2

2

==−+=−−−−

=−−

243

BLOQUE 9

Ejemplo 2. La ecuación cuadrática 09x6x2 =+− tiene una solución, 3x =

( ) ( )

00

09189

09363

09x6x2

2

==+−=+−

=+−

A las soluciones también se les conoce como raíces de la ecuación. Para encontrar con exactitud las soluciones de una ecuación cuadrática, primero se estudiarán las raíces o soluciones de las ecuaciones incompletas por su simplicidad, y posteriormente las raíces de las ecuaciones completas. Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas. Recordando, las ecuaciones incompletas se dividen en puras y mixtas. Solución de ecuaciones puras. Las ecuaciones puras carecen de término lineal, por lo que se puede llevar a cabo el despeje de la ecuación, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo. Encontrar las raíces de la ecuación 016x2 =− Este tipo de ecuaciones se pueden resolver despejando la ecuación, dado que tenemos un sólo término con variable, por lo que el despeje se lleva a cabo de la siguiente forma.

4x

16x

16x

016x2

2

±=±=

=

=−

Las raíces de la ecuación son: 4x1 = ó 4x2 −= Éstas también se pueden expresar como conjunto solución: { }4,4Cs −= El conjunto solución consiste en expresar las soluciones separadas por comas y encerradas entre llaves; no es necesario guardar orden entre los elementos del conjunto. A continuación se generalizará el método, partiendo de la forma que tienen las ecuaciones puras en general.

ac

x

ac

x

cax

0cax

2

2

2

−±=

−=

−=

=+


Las raíces de la ecuación resultarían:

ac

x1 −= ac

x2 −−=

El conjunto solución se expresa:

−−−=ac

,ac

Cs

Solución de ecuaciones mixtas. Las ecuaciones mixtas carecen del término independiente, así que la opción de solución es la Factorización por factor común, como se muestra en el siguiente ejemplo. Para resolver la ecuación 0x7x3 2 =− , se factoriza la variable.

( ) 07x3x

0x7x3 2

=−=−

Como el resultado de la Factorización es una multiplicación cuyo producto es cero, sólo pueden pasar dos cosas, que 0x = ó 07x3 =− . Como se observa, ya se tiene la primera solución, y la segunda se despeja de la ecuación lineal, como se muestra a continuación.

37

x

7x3

07x3

=

==−

Las raíces de la ecuación son:

0x1 = ó 3

7x 2 =

El conjunto solución es:

=

37

,0Cs

Generalizando el proceso, se toma la ecuación mixta 0bxax 2 =+ y se lleva a cabo la Factorización.

( ) 0baxx

0bxax2

=+=+

0x = ó

ab

x

bax

0bax

−=

−==+

Las raíces de la ecuación son: 0x1 = ó a

bx 2 −=

Y el conjunto solución queda expresado como:

−=

ab

,0Cs

245

BLOQUE 9

Evaluación



Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas.

Aplica las técnicas algebraicas de despeje o extracción de factor común para resolver las ecuaciones incompletas.

Aprecia la utilidad de utilizar métodos específicos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.


docente

Actividad: 3 Resuelve las ecuaciones puras y mixtas que identificaste en la actividad 2, utiliza este espacio para que realices las operaciones.


A continuación, se elegirán las ecuaciones puras y mixtas de los problemas aplicados 2, 4 y 5, que se plantearon como ejemplos en el desarrollo de esta secuencia, con el objetivo de desarrollar los métodos y darles solución.

2. Un número positivo es los 5

3 de otro y su producto es 2160. Hallar los números.

y : Número mayor.

y53

: Número menor

.

( )( )

60y

3600y

3600y3

10800y

3

52160y

2160y5

3

2160y5

3y

2

2

2

2

±=±=

=

=

=

=

=

La solución de la ecuación es: 60y1 −= ó 60y 2 −= El problema aplicado descarta el número negativo, por lo tanto, el número mayor es 60 y el número menor es 36.

4. Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los números.

a : Número menor.

a3 : Número mayor.

( )

15a

225a

225a8

1800a

1800a8

1800aa9

1800aa3

2

2

2

22

22

±=±=

=

=

=

=−

=−

La solución de la ecuación es: 15a1 = ó 15a 2 −= En este caso no se tiene ninguna condición para los números, se toman ambas soluciones para analizarlas y descubrir la respuesta correcta. 1) Si se toma al número menor como 15 , el mayor sería 45 . Esta afirmación es verdadera. 2) Si se toma al número menor como 15− , el número mayor sería 45− . Esta afirmación es falsa, dado que

15− es mayor que 45− . Por lo tanto, los números buscados son 15 y 45 .

247

BLOQUE 9

5. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumentara en 4 m.

el área sería el doble. Hallar las dimensiones de la sala.

x : Longitud de la sala. 4x − : Ancho de la sala.

( )( ) ( )( )[ ]

( ) 012xx

0x12x

0x8x2x4x

x8x2x4x

4xx2x4x

2

22

22

=+−=+−

=+−+

−=+

−=+

Las soluciones de la ecuación son: 0x1 = ó 12x 2 = Como la sala no puede tener longitud cero, se descarta la primera solución, entonces, la longitud de la sala es 12 m y el ancho 8 m.

012x =+−

12x

12x

=−=−

ó 0x =

Actividad: 4 En equipo, elaboren tres problemas aplicados que se planteen con ecuaciones cuadráticas puras, y tres problemas con ecuaciones cuadráticas mixtas.


Evaluación

Actividad: 4 Producto: Diseño de problemas. Puntaje:


Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas incompletas.

Diseña aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas incompletas.

Se compromete con el equipo para realizar la actividad. Escucha con atención las aportaciones de sus compañeros.


docente

Solución de ecuaciones cuadráticas completas. Las ecuaciones cuadráticas completas, se pueden resolver por varios métodos que se derivan de la Factorización, por ello, es muy importante que repases el bloque de Factorización de trinomios. Los métodos son: 1. Factorización de trinomios. 2. Completar el trinomio cuadrado perfecto. 3. Fórmula general.

A continuación se desarrollarán cada uno de los métodos. Factorización de trinomios. Para utilizar este método se requiere que el trinomio sea factorizable, es decir, encontrar los números enteros que cumplan las condiciones del proceso de Factorización, como por ejemplo: Ejemplo 1. Para encontrar la solución de la ecuación 063x16x2 =++ , se pide encontrar dos números que multiplicados den 63 y sumados 16.

( )( ) 07x9x

063x16x2

=++=++

Al igual que en el método de solución para ecuaciones mixtas, hay dos posibilidades cuando el producto de dos números es cero, cualquiera de los factores pueden ser cero, por lo tanto se tiene la siguiente separación:

9x

09x

−==+

ó 7x

07x

−==+

Las raíces de la ecuación son: 9x1 −= ó 7x 2 −= Y el conjunto solución se expresa como: { }7,9Cs −−=

249

BLOQUE 9

Ejemplo 2. Resolver la ecuación 015u23u14 2 =−+ Recuerda que para factorizar esta ecuación debes buscar la colocación exacta de una combinación de números, primero buscar los posibles números que multiplicados den 14 , y después los posibles números que multiplicados den 15− , para poder hacer las combinaciones.

015u23u14 2 =−+ ( )( ) 01u215u7 =−−

715

u

15u7

015u7

−=

−==+

ó

21

u

1u2

01u2

=

==−

Las raíces de la ecuación son: 7

15u1 −= ó

2

1u2 =

Y el conjunto solución se expresa como:

−=

21

,7

15Cs

Actividad: 5 Resuelve los problemas aplicados 1, 3, 6, 7 y 8 que se plantearon como ejemplos en el desarrollo de esta secuencia.


Evaluación



Identifica el método de Factorización para problemas aplicados que se modelan con ecuaciones cuadráticas.

Aplica el método de Factorización para resolver problemas aplicados de ecuaciones cuadráticas.

Demuestra interés para resolver los problemas aplicados. Aprecia la importancia de los métodos de solución para solucionar problemas aplicados.


docente

Completar trinomio cuadrado perfecto. En la sección anterior se resolvieron ejemplos sencillos de Factorización, pero en ocasiones las ecuaciones son más complicadas de factorizar, es decir, no es tan sencillo encontrar las combinaciones de números enteros que cumplan con las condiciones debido a que frecuentemente no son números enteros, pero aún así, se pueden expresar como factores. Para resolver este tipo de ecuaciones se utilizará el método de completar trinomio cuadrado perfecto. Recordando, el trinomio cuadrado perfecto proviene de desarrollar un binomio al cuadrado, como se muestra a continuación. Entonces, si se desea hacer el proceso inverso (Factorizar), recuerda que se tienen que verificar las condiciones para que resulte un binomio al cuadrado, como lo viste en el bloque 4, por ejemplo:

Al factorizar 025y20y4 2 =+− , primero se verifica si es o no trinomio cuadrado perfecto. La ecuación anterior quedaría expresada como:

( ) 05y2

025y20y42

2

=−

=+−

El cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

( ) 9x12x43x2 22 +−=−

Si cumple con la condición de ser el doble producto, y además, las raíces se deben elegir de signo contrario, para que el producto sea negativo.

y2± 5±

y20−

025y20y4 2 =+−

251

BLOQUE 9

Para resolverla se despeja la variable quitando primero el cuadrado, eso se logra al aplicar raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación, obteniéndose así:

( )

25

y

5y2

05y2

05y2

05y2 2

=

==−±=−

=−

El ejemplo anterior sirvió para visualizar cómo se puede factorizar una ecuación que es un trinomio cuadrado perfecto, pero cuando no lo es, es más complicado de factorizar por los métodos anteriores; en estos casos, se recomienda completar el trinomio cuadrado perfecto, esto es, forzar al trinomio para que cumpla con ser cuadrado perfecto. A continuación se mostrarán ejemplos en los cuales la ecuación no cumple con ser trinomio cuadrado perfecto y hay que completarlo.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación 011x24x4 2 =+− Como se observa, el término independiente no tiene raíz cuadrada exacta, por lo que no cumpliría con ser trinomio cuadrado perfecto. Para hacerlo más sencillo, se divide la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático.

0411

x6x

40

411x24x4

2

2

=+−

=+−

Se envía el nuevo término independiente al segundo miembro de la ecuación.

411

x6x2 −=−

Aplicando la propiedad aditiva, se suma a ambos miembros de la ecuación un término que ayude a que el primer miembro sea un trinomio cuadrado perfecto. Para ello se suma la mitad del término lineal elevado al cuadrado a los dos lados de la igualdad, como se muestra a continuación.

425

9x6x

9411

9x6x

26

411

26

x6x

2

2

222

=+−

+−=+−

−+−=

−+−

El primer miembro de la ecuación ya es un trinomio cuadrado perfecto, debido a que cumple con que el doble producto de las raíces del término cuadrático e independiente es igual al término lineal, por lo que se puede expresar el binomio al cuadrado.

( )4

253x 2 =−

Nicolás Copérnico (1473 – 1543)

“La tierra es el centro del Universo; el Sol, la Luna y los cinco planteas son

satélites que giran diariamente en torno a nuestra majestuosa tierra en un

círculo perfecto. Más allá se encuentran las estrellas fijas, que todo lo rodean.

Éstas son las verdades fundamentales que escribió el gran Claudio Tolomeo

hace más de mil quinientos años y que son evidentes para los sentidos”.


Una vez expresado el binomio al cuadrado, se despeja para encontrar la solución.

( )

25

3x

25

3x

425

3x

425

3x 2

±=

±=−

±=−

=−

Las soluciones de la ecuación son:

211

x

25

3x

1

1

=

+=

21

x

25

3x

2

2

=

−=


=21

,211

Cs

Con el siguiente ejemplo se presentan, de forma más sintetizada, los pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto, con el fin de observar mejor el proceso. Ejemplo 2. Para resolver la ecuación 08x5x3 2 =−− .

222

22

2

2

2

65

38

65

x35

x

235

38

235

x35

x

38

x35

x

038

x35

x

+=

+−

+=

+−

=−

=−−

611

65

x

611

65

x

36121

65

x

36121

65

x

3625

38

3625

x35

x

2

2

±=

±=−

±=−

=

−

+=+−

253

BLOQUE 9

Las soluciones de la ecuación son:

38

x

616

x

611

65

x

1

1

1

=

=

+=

1x66

x

611

65

x

2

2

2

−=

−=

−=


−= 1,38

Cs

Para comprobar la solución se sustituyen los valores en la ecuación y se verifica que se cumple la igualdad, otra forma de comprobación es desarrollar los factores que se forman con las soluciones, como se muestra a continuación:

( )

( )

08x5x3

08x8x3x3

0338

x38

xx3

038

x38

xx

01x38

x

2

2

2

2

=−−

=−−+

=

−−+

=−−+

=+

−

Actividad: 6 Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completando trinomio cuadrado perfecto. 1. 06x3x2 =−−

2. 09x2x3 2 =−+ 3. 02x3x2 2 =+−− 4. 07x5x3 2 =−−


Evaluación



Comprende el método de completar trinomio cuadrado perfecto para solucionar ecuaciones cuadráticas completas.

Utiliza el método de completar trinomio cuadrado perfecto para solucionar ecuaciones cuadráticas completas.

Aprecia la utilidad de utilizar el método de completar trinomio cuadrado perfecto para resolver ecuaciones cuadráticas.

Realiza con empeño la actividad.


docente

Fórmula general. Este método se deriva del anterior, debido a que se completa el trinomio cuadrado perfecto con la ecuación general de segundo grado, obteniéndose así la fórmula general, como se muestra a continuación.

a2ac4bb

x

a2ac4b

a2b

x

a2ac4b

a2b

x

a4ac4b

a2b

x

a4bac4

a2b

x

a4b

ac

a2b

x

a2b

ac

a2b

xab

x

2ab

ac

2ab

xab

x

ac

xab

x

0ac

xab

x

a0

acbxax

0cbxax

2

2

2

2

2

2

22

2

22

222

22

2

2

2

2

2

−±−=

−±−=

−±=+

−±=+

+−=

+

+−=

+

+−=

++

+−=

++

−=+

=++

=++

=++

255

BLOQUE 9

Ésta última es la llamada fórmula general, en la que sólo es necesario sustituir los coeficientes de la ecuación y se obtienen las soluciones utilizando aritmética.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación 025x20x4 2 =+− utilizando la fórmula general. Primero se identifican los coeficientes de los términos de la ecuación y después se sustituyen en la fórmula.

25c

20b

4a

=−=

=

( ) ( ) ( )( )( )

25

x

820

x

8020

x

840040020

x

42

25442020x

a2ac4bb

x

2

2

=

=

±=

−±=

−−±−−=

−±−=

La solución de la ecuación es 25

x =

Ejemplo 2. Resolver la ecuación 08y5y3 2 =−−

8c

5b

3a

−=−=

=

( ) ( ) ( )( )( )

6

115y

6

1215y

6

96255y

32

83455y

a2

ac4bby

2

2

±=

±=

+±=

−−−±−−=

−±−=

a2ac4bb

x2 −±−

=


Las soluciones o raíces de la ecuación son:

3

8y

6

16y

6

115y

1

1

1

=

=

+=

ó

1y6

6y

6

115y

2

2

2

−=

−=

−=

Ejemplo 3. Resolver la ecuación 04x7x2 2 =++

4c

7b

2a

===

( ) ( )( )( )

4177

x

432497

x

22

42477x

a2ac4bb

x

2

2

±−=

−±−=

−±−=

−±−=

Las soluciones o raíces de la ecuación son:

4177

x1

+−= ó

4177

x2

−−=

Como habrás observado en los ejemplos anteriores, éstos tienen una o dos soluciones.

El tipo de solución de una ecuación cuadrática depende del término ac4b2 − , llamado discriminante. Analizando el discriminante, se tiene las siguientes opciones de solución. 1. Si 0ac4b2 >− se obtienen dos raíces reales diferentes. 2. Si 0ac4b2 =− se obtienen dos raíces reales iguales (una solución). 3. Si 0ac4b2 <− se obtienen dos raíces imaginarias diferentes. Pero, ¿que son las raíces reales e imaginarias? Las raíces reales son números que pertenecen al conjunto de los números reales, éstos se estudiaron en el bloque 2. Ejemplo de ellos son:

11,3,0,21,5,3 −

¿Sabías que…

En 1777, Leonhard Euler

definió a 1− =i (por imaginario)

257

BLOQUE 9

Las raíces imaginarias son números que no son reales. Éstos provienen de raíces pares de números negativos. Como por ejemplo:

64 32,8,4,1 −−−−

Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo.

Los números complejos están formados por una parte real y una parte imaginaria, y tienen la siguiente forma.

Donde “a” es la parte real, y bi es la parte imaginaria, por lo tanto, las ecuaciones con discriminante negativo poseerán parte imaginaria.

Ejemplo 4. Resolver la ecuación 020x4x2 =+−

20c

4b

1a

=−=

=

Las soluciones de la ecuación son dos números complejos.

ó

i 2= –1

a+bi

( ) ( ) ( )( )( )

42x2

84x

2644

x

280164

x

12

201444x

a2ac4bb

x

2

2

±=

±=

−±=

−±=

−−±−−=

−±−=

i

i

Leonard Euler (1777 D C)

Matemático suizo simboliza la raíz cuadrada de -1 con la letra

i de imaginario.

i 42x1 += i 42x1 −=

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero�


Evaluación



Identifica raíces reales y complejas de ecuaciones cuadráticas.

Clasifica la naturaleza de las soluciones de ecuaciones cuadráticas.

Aprecia la utilidad de conocer con anticipación la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática.


docente

Actividad: 7 Sin resolver las ecuaciones, determina la naturaleza de las raíces mediante el discriminante de éstas.

1. 036x5x2 =−− 2. 7x5x2 =+− 3. 08x3x2 =−− 4. 05x2x3 2 =+− 5. x1710x6 2 =+ 6. 012x11x5 2 =−− 7. 0 5x7x2 2 =−− 8. 01x5x3 2 =+− 9. 1 x5x5 2 +−= 10. x83x4 2 =−−

259

BLOQUE 9

Evaluación



Comprende el método de solución de la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Aplica la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Comenta la facilidad de la fórmula general para resolver cualquier tipo de ecuaciones cuadráticas.


docente

Actividad: 8 En equipo, resuelvan las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula general y verifiquen los resultados.

1. 246x2 2 =+ 2. 08x6x2 =++

3. 0x3x18 2 =+ 4. 032y12y2 =+−

5. 0147x3 2 =+ 6. 016m20m40 2 =+−

7. 020k10k2 =−+ 8. 030tt2 =−−

9. 036x60x25 2 =++ 10. 018x

21

x2 =−+


Actividad: 9 Completa la tabla expresando los factores de la ecuación, y coloca en el paréntesis el número que corresponda a la ecuación correcta.

Raíces de la ecuación Factores Ecuación

1. 4x1 −= , 9x2 = ( )( ) 09x4x =−+ ( ) 0x7x2 =−

2. 32

x1 = , 1x2 −= ( ) 016x40x25 2 =++

3. 54

x −= ( ) 029x30x9 2 =+−

4. 0x1 = , 7x2 = ( ) 016x9 2 =−

5. i21x1 += , i21x2 −= ( ) 02xx3 2 =−+

6. 31x1 += , 31x2 −= ( ) 018xx4 2 =−−

7. i32

35

x1 += , i32

35

x2 −= ( ) 036x5x1 2 =−−

8. i234

x1 += , i234

x2 −= ( ) 0x3x2 2 =+

9. 49

x1 = , 2x2 −= ( ) 02x2x2 =−−

10. 34

x1 −= , 34

x2 = ( ) 05x2x2 =+−

11. 0x1 = , 23

x2 −= ( ) 052x24x9 2 =+−

12.

6x1 = , 7x2 = ( ) 042x13x2 =+−

261

BLOQUE 9

Evaluación

Actividad: 9 Producto: Completar la tabla. Puntaje sugerido:


Identifica raíces reales y complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas.

Construye ecuaciones a partir de la solución de éstas.

Se interesa por realizar la actividad de forma efectiva.



docente

Cierre

1 Los ejercicios 1-7, fueron tomados del libro Algebra Elemental de Gobran.

Sitios Web recomendados: Entra a este sitio para que compruebes los resultados que obtuviste al solucionar las ecuaciones cuadráticas. http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas-solucionador.html

Actividad: 10 En equipo, escriban la ecuación cuadrática que describe cada uno de los siguientes problemas1 y resuélvanlos por alguno de los métodos algebraicos. 1. La suma de dos números es 28 y la de sus cuadrados es 16 menos que el triple del

producto de los números. Encuentra los números.

2. Una excursión geológica costó $120 dólares. Si hubieran ido 3 estudiantes más, el costo por estudiante habría sido de $2 menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la excursión?

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas-solucionador.html�

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas-solucionador.html�


Actividad: 10 (continuación) 3. Un hombre pintó una casa por $800 dólares. El trabajo le llevó 20 horas menos de lo

que se suponía y entonces ganó $2 más por hora de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que pintaría la casa?

4. Un hombre desea construir una caja metálica abierta. La caja debe tener una base cuadrada, los

lados de 9 pulgadas de altura y una capacidad de 5184 pulgadas cúbicas. Determine el tamaño de la pieza cuadrada de metal que debe comprar para construir la caja.

5. Un equipo de remeros puede recorrer 12 millas río abajo y regresar en un total de 5 horas. Si la

velocidad de la corriente es de 1 milla por hora, encuentre la velocidad a la que puede remar el equipo en aguas tranquilas.

263

BLOQUE 9


6. El porcentaje de utilidad de un traje fue igual al precio de costo en dólares. Si el traje se

vendió a $144, ¿Cuál fue el precio de costo del traje? 7. Encuentra las dimensiones de un terreno rectangular que tiene un perímetro de 858m y un área de

45200m2. 8. Se quiere cercar un terreno rectangular de 5376m2. ¿Cuántos metros de cerca de alambre se

necesitan para cercarlo, si su largo es el doble del ancho?


Evaluación



Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas.

Representa y soluciona situaciones con ecuaciones cuadráticas.

Aprecia la aplicabilidad de las ecuaciones cuadráticas para representar y resolver diversas situaciones.

Reconoce la importancia de colaborar en equipo para la solucionar problemas prácticos.


docente


9. Determina las medidas de un rectángulo que en la base mide 4cm más que el ancho y su área es de 192m2.

10. Cuando Fátima se casó con Raúl, él tenía 6 años más que ella, si el cuadrado de la edad de Raúl

aumentado al cuadrado de la edad de Fátima equivale a 1476. ¿Qué edad tenían cuando se casaron?

265

BLOQUE 9

Secuencia didáctica 2. Funciones cuadráticas.

Inicio

Actividad: 1

x y -2 -1 0 1 2 3

II. Analiza las funciones y sus gráficas, para que contestes las preguntas correspondientes.

( ) 42xy 2 +−= ( ) 42xy 2 +−−=

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

I. Completa la tabla de valores para que grafiques la función ( ) 31x2y 2 −−=

x

y


1. ¿Qué diferencia encuentras entre las dos funciones presentadas?

2. De acuerdo a esa diferencia, ¿qué sucede con sus gráficas?

3. ¿Cuál es el punto más bajo de la gráfica de la izquierda?, ¿cuál es el punto más alto de la gráfica de la derecha?

( ) 43xy 2 −+= ( ) 43x4y 2 −+= ( ) 43x21

y 2 −+=

4. ¿Qué diferencia encuentras entre las tres funciones presentadas?

5. De acuerdo a esa diferencia, ¿qué sucede con sus gráficas?

6. ¿Cuál es el punto más bajo de las tres gráficas?, ¿cómo se relaciona éste con las funciones?

7. Si te ubicas en el punto más bajo de cada una de las funciones y recorres una unidad a la derecha y a la

izquierda: a) ¿Cuántas unidades recorres hacia arriba en la primera gráfica, hasta encontrar un punto de la función?

b) ¿Cuántas unidades recorres hacia arriba en la segunda gráfica, hasta encontrar un punto de la función? c) ¿Cuántas unidades recorres hacia arriba en la tercera gráfica, hasta encontrar un punto de la función?

8. ¿Cómo relacionas los resultados de los incisos anteriores con las funciones?

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y


267

BLOQUE 9

Evaluación

Actividad 1: Producto: Complementación de la tabla y cuestionario. Puntaje:


Identifica el efecto que tienen los parámetros en el ancho y concavidad de la parábola.

Distingue el comportamiento de las gráficas a través de los parámetros.

Aprecia a los parámetros como instrumento de análisis visual del comportamiento de funciones cuadráticas.


docente

Desarrollo En el bloque 5 se definió el concepto de función, que en otras palabras, es la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos, de tal manera que a cada elemento del primer conjunto se asocia o corresponde un elemento del segundo conjunto; si la relación se establece mediante una expresión de segundo grado, entonces se le llama función cuadrática, como se muestra a continuación.

cbxax)x(f 2 ++= ó cbxaxy 2 ++= con 0ac,b,a ≠ℜ∈ Una función cuadrática describe en su gráfica lo que se conoce como Parábola, a continuación se abordarán los tipos de graficación para que visualices la forma de la parábola. Gráfica de la función cuadrática. Existen varios métodos para graficar y visualizar el comportamiento de una función cuadrática, el método más conocido es la tabulación, es decir, la obtención de una tabla de valores correspondiente a la función. También está la forma paramétrica, que se basa en valores específicos que posee la función y por último, la intersección con los ejes, la cual es muy limitada cuando la función no se intersecta lo suficiente como para realizar la gráfica. Graficación por tabulación. Ejemplo 1.

Graficar la función 3x4xy 2 ++= Para trazar la gráfica de esta función, se encontrarán algunos puntos que servirán de guía para dibujarla, éstos se encontrarán sustituyendo valores en la variable independiente (x), para encontrar los correspondientes valores de la variable dependiente (y). Anteriormente se dijo que la variable independiente recibía su nombre porque los valores asignados son decisión de quien va a graficarla. Para encontrar los correspondientes valores de “y”, se sustituirán cada uno de los valores asignados a la variable independiente en la función, obteniéndose así, los puntos de guía para trazar la gráfica, como se muestra a continuación.

Apolonio de Perga (262 – 190 A C)

Fue conocido como “El gran geómetra”, su famoso libro

“Secciones Cónicas”, introdujo los términos

Parábola, Elipse e Hipérbola.


Utiliza tu calculadora para verificar que los datos de la tabla son correctos. La gráfica queda de la siguiente forma: - Ejemplo 2.

Para graficar la función x4xy 2 +−= , se toman los siguientes valores y la gráfica queda de la siguiente forma.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

x y –5 8 –4 3 –3 0 –2 –1 –1 0 0 3 1 8

x y –1 –5 0 0 1 3 2 4 3 3 4 0 5 –5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

269

BLOQUE 9

En la actividad 1 se plantearon algunas preguntas que tenían que ver con la ubicación y la dirección de la parábola, esto es, dónde se encontraban los puntos más altos y bajos, y hacia dónde estaba dirigida la parábola, hacia arriba o hacia abajo. Esto va encaminado a construir una forma más rápida de graficación, para ello, es necesario identificar algunos elementos importantes que se visualizarán en la siguiente figura.

El vértice es el punto por donde pasa el eje de simetría de la parábola; dependiendo de su concavidad, éste es el punto más alto o más bajo de la parábola. Al vértice se le asignan coordenadas especiales para poder distinguirlo de cualquier otro punto de la parábola, a la coordenada “x” se le asigna la letra “h”, y a la de “y” se le asigna la letra “k”.

)k,h(V Encontrar el vértice es una de las preguntas más concurridas en la aplicación de la parábola, como por ejemplo:

1. La trayectoria que sigue un proyectil al ser lanzado es una parábola. Aquí interesaría saber ¿cuál es la altura máxima a la que llega el proyectil?, ¿qué distancia tiene cuando toca el suelo? o preguntas particulares de la ubicación del proyectil en algún momento especial.

Vértice

Ramas de la Parábola

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


2. En el salto de un motociclista, éste tiene que calcular con mucha precisión la distancia que debe recorrer para

poder llegar al lugar deseado, para ello tiene que ubicar el punto más alto al que va a llegar, para saber qué distancia va a recorrer, por supuesto que también tiene que considerar la velocidad, el impulso, la inclinación de las rampas, entre otras más.

3. Los arquitectos diseñan puentes en forma de parábolas, porque además de lo estético, éstas tienen varias propiedades que favorecen a la resistencia de la construcción.

Son muchas las aplicaciones que se pueden dar a la parábola, pero requiere de un mayor conocimiento de sus elementos y propiedades. En asignaturas posteriores conocerás la parábola desde un punto de vista geométrico y conocerás todos sus elementos.

Las ramas de la parábola indican su orientación y ésta depende a su vez del signo del coeficiente cuadrático, como lo habrás notado en la actividad 1.

Tomando la función cuadrática en general cbxaxy 2 ++= , entonces: 1. Si 0a > , la parábola tiene las ramas hacia arriba, en este caso se dice que es cóncava hacia arriba. 2. Si 0a < , la parábola tiene las ramas hacia abajo, en este caso se dice que es cóncava hacia abajo.

Con la siguiente actividad irás conociendo más sobre la ubicación del vértice y las diferentes formas de la parábola.

271

BLOQUE 9

Actividad: 2

Observa el ejemplo para que completes la tabla.

Forma ordinaria De la forma ordinaria a

la forma general Tabla de valores

Gráfica Vértice

( ) 13x2y 2 +−=

( ) 13x2y 2 +−=

19x12x2y

118x12x2y

1)9x6x(2y

2

2

2

+−=

++−=

++−=

x y 1 9 2 3 3 1 4 3 5 9

V(3,1)

( ) 52xy 2 −+=

x y

( )24x21

y +−=

x y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


Evaluación

Actividad 2: Producto: Complementación de la tabla. Puntaje:


Reconoce la gráfica de una función cuadrática. Ubica las coordenadas del vértice de una parábola a través de la gráfica.

Realiza la gráfica de una función cuadrática.

Se interesa por realizar la actividad con eficiencia.


docente


Forma ordinaria De la forma ordinaria

a la forma general Tabla de valores

Gráfica Vértice

( ) 11x3y 2 +−=

x y

( ) 72x41

y 2 ++−=

x y

273

BLOQUE 9

Graficación por medio de parámetros. Como te habrás dado cuenta en la actividad 2, la función cuadrática tiene dos formas, la forma ordinaria que es la que se expresa con el binomio al cuadrado y la forma general que es donde se explicita el trinomio.

Forma ordinaria: ( ) khxay 2 +−=

Forma general: cbxaxy 2 ++= La forma ordinaria permite extraer las coordenadas del vértice (h, k) de forma directa. Si no te diste cuenta, compara las funciones ordinarias de la actividad 2 con el vértice que expresaste de la gráfica. Cuando se toma la forma ordinaria para graficar, se dice que se grafica mediante parámetros, porque se toman los valores de a, h y k como parámetros para determinar el comportamiento de la función y esbozar la gráfica. Con los siguientes ejemplos se explicará la graficación de la función cuadrática mediante parámetros. Ejemplo 1. Para graficar la función ( ) 54x2y 2 −−= , se analizan los parámetros y cómo influyen en la gráfica.

1. 2a = , eso significa que se abre hacia arriba por ser positivo. 2. 4h = , es la primera coordenada del vértice. 3. 5k −= , es la segunda coordenada del vértice.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Para empezar a graficar, primero se coloca el vértice en el plano cartesiano.

Ubicándose en el vértice, se desplaza una unidad a la derecha y a la izquierda, para subir dos unidades en ambos lados, esto es, subir el valor del parámetro a.


Y finalmente se traza la gráfica.

Ejemplo 2.

Graficar la función ( ) 72x21

y 2 ++−=

1. 21

a −= , eso significa que se abre hacia abajo por ser negativo.

2. 2h −= , es la primera coordenada del vértice. 3. 7k = , es la segunda coordenada del vértice.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

A partir del vértice se desplaza una unidad a la derecha, una unidad a la izquierda y media unidad hacia abajo.

Se ubica el vértice.

¿Sabías que…

Las Olimpiadas Internacionales de

Matemáticas se iniciaron como

competencias en Hungría en 1894, se les

denominó "Competencias Eötuös",

quedando claro su carácter competitivo?

275

BLOQUE 9

Se traza la gráfica.

Como se ha visto en esta sección, la forma de graficar con parámetros depende de la forma ordinaria de la función, el problema está cuando se tiene que graficar una función cuadrática que esté expresada en su forma general. Para ello se requiere cambiar de trinomio a un binomio al cuadrado y eso sucede únicamente si éste es trinomio cuadrado perfecto, de no ser así, se tendrá que completar. Ejemplo 3.

Graficar la función 1x4xy 2 ++= Visualizando a la función como una ecuación de dos variables, el proceso de completar trinomio cuadrado perfecto sería el mismo.

Proceso de completar trinomio cuadrado perfecto

Descripción

1x4xy 2 ++= Se verifica que el coeficiente del término cuadrático sea 1, de no ser así, se divide toda la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático.

x4x1y 2 +=− Se pasa el término independiente al primer miembro de la ecuación.

4x4x41y 2 ++=+− Se suma a ambos miembros la mitad del término lineal elevado al cuadrado.

( )22x3y +=+ Se expresa el binomio al cuadrado en el segundo miembro, y a su vez se reducen términos semejantes en el primer miembro.

( ) 32xy 2 −+= Se despeja “y”, pasando el término independiente al segundo miembro, quedando así la forma ordinaria.

De la forma ordinaria se deduce que: 1a = y ( )3,2V −−

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y


Por lo que la gráfica queda.

Para evitar todo este proceso, de la forma general de la función cuadrática se deducirá la forma ordinaria y así, obtener las fórmulas de las coordenadas del vértice.

a4b

ca2

bxay

a4bac4

a2b

xay

a4bac4

a2b

xay

a4bac4

a2b

xay

a2b

xa4

bac4ay

a2b

xa4

bac

ay

a2b

xab

xa2

bac

ay

2ab

xab

x2ab

ac

ay

xab

xac

ay

ac

xab

xay

acbxax

ay

cbxaxy

22

22

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

−+

+=

−+

+=

−+

+=

−+

+=

+=

−−

+=+−

++=

+−

++=

+−

+=−

++=

++=

++=

De aquí se deduce que a2

bh −= y

a4b

ck2

−= , por lo que el vértice es:

−−

a4b

c,a2

bV

2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

¿Sabías que…

En Grecia en los años 500-000 A.C. se

adquiere en toda su pureza el concepto de número y se descubren los números irracionales por medio de un caso particular del célebre

Teorema de Pitágoras?

277

BLOQUE 9

Actividad: 3 Grafica las siguientes funciones utilizando los parámetros a, h y k.

1. 2x6y =

2. 5xy 2 +=

3. 9)1x(2y 2 +−=

4. 2)3x(61

y 2 −+−=

5. 6)4x(y 2 +−−=

6. 14x10x5y 2 −−−=

7. 40x16x2y 2 ++=

8. 32x12xy 2 ++=


Evaluación

Actividad 3: Producto: Ejercicios. Puntaje:


Comprende el método de graficación por parámetros de funciones cuadráticas en su forma general y ordinaria.

Emplea el método de graficación por parámetros para bosquejar la gráfica de funciones cuadráticas.

Aprecia la facilidad del método de graficación por parámetros para esbozar la gráfica de funciones cuadráticas.


docente

Graficación por intersección de ejes. Para encontrar la intersección con el eje de las abscisas (X), debe cumplirse que 0y = . Y para ubicar el corte con el eje de las ordenadas (Y) forzosamente 0x = . Para graficar la función cuadrática utilizando la intersección con los ejes, se debe tomar en cuenta las siguientes opciones. 1. Cuando la función corta a los ejes en tres puntos.

2. Cuando la función corta a los ejes en dos puntos.

x

y

x

y

x

y

x

y

279

BLOQUE 9

3. Cuando la función corta a los ejes en un punto.

Al hacer 0x = ó 0y = , se transforma la función en una ecuación que habrá que resolver. Lo anterior se representará en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1.

Graficar 12x5x2y 2 −+= encontrando la intersección con los ejes. Primero se encontrarán las intersecciones con el eje de las abscisas (X). A éstas se les conocen como los ceros o raíces de la función. Si 0y = , entonces la función queda:

12x5x20 2 −+=

Obteniéndose una ecuación cuadrática, que por comodidad, se resolverá por la Fórmula General.

12c

5b

2a

−===

( ) ( ) ( )( )( )

4115

x

41215

x

496255

x

22

122455x

a2ac4bb

x

2

2

±−=

±−=

+±−=

−−±−=

−±−=

23

x

46

x

4115

x

1

1

1

=

=

+−=

4x416

x

4115

x

1

1

2

−=

−=

−−=

x

y

x

y


Las coordenadas de los puntos que intersectan al eje de las abscisas son:

0,

23 y ( )0,4−

Para encontrar la intersección con el eje de las ordenadas, se hará 0x = , por lo tanto se tiene:

( ) ( )12y

120502y 2

−=−+=

Las coordenadas del punto que intersecta al eje de las ordenadas es: ( )12,0 −

Como te habrás dado cuenta, el vértice no se encuentra utilizando este método, tendrías que apoyarte en las fórmulas vistas en el método de completar trinomio cuadrado perfecto para hallar el vértice y poder determinar hasta dónde baja la función.

( )( )( )

( )125.15,25.18

121,

45

V

245

12,22

5V

a4b

c,a2

bV

2

2

−−=

−−

−−−

−−

Ahora se dibujan los puntos para trazar la gráfica.

-6 -4 -2 2 4 6 8 10

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2x

y

-6 -4 -2 2 4 6 8 10

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2x

y

281

BLOQUE 9

Ejemplo 2. Graficar la ecuación 36x24x4y 2 −+−= Cuando 0y = , se tiene que resolver la ecuación cuadrática.

36x24x40 2 −+−=

36c

24b

4a

−==−=

( ) ( ) ( )( )( )

3x8

024x

857657624

x

42

36442424x

a2ac4bb

x

2

2

=−±−

=

−−±−

=

−−−−±−

=

−±−=

Las coordenadas del único punto que corta al eje de las abscisas son ( )0,3 ; como no existe otro punto que corte con

el eje de las X, entonces, el punto ( )0,3 tiene que ser el vértice. Si 0x = , entonces se obtiene el resultado:

( ) ( )36y

3602404y 2

−=−+−=

El punto donde se intersecta con el eje de las ordenadas es: ( )36,0 −

-12 -8 -4 4 8 12

-36

-32

-28

-24

-20

-16

-12

-8

-4

4x

y

Zenón de Elea (490 – 430 A C)

Inventó la demostración llamada ad/absurdum (del Absurdo), que tomaba por

hipótesis las afirmaciones del adversario y que por medio

de hábiles deducciones conduce al adversario a

aceptar la tesis contradictoria.


Ejemplo 3.

Graficar la ecuación 18x8xy 2 ++= Haciendo 0y = , se tiene:

18x8x0 2 ++=

18c

8b

1a

===

( ) ( ) ( )( )( )

288

x

272648

x

12

181488x

a2ac4bb

x

2

2

−±−=

−±−=

−±−=

−±−=

Esto significa que sus raíces son complejas, con parte real e imaginaria, por lo que no existe un número real en el eje de las abscisas que pertenezca también a la función, en otras palabras, la función no corta al eje de las X.

Cuando 0x = , el valor encontrado es: ( ) ( )18y

18080y 2

=++=

El punto de corte con el eje de las ordenadas es: ( )18,0

( )( )( )

( )2,4V

148

18,12

8V

a4b

c,a2

bV

2

2

−−

−−−

−−

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

x

y

Con un punto no se puede trazar la gráfica de la parábola, por lo que se requiere conocer las coordenadas del vértice.

283

BLOQUE 9

Ejemplo 4.

Graficar 2x21

y =

Si 0y = , entonces:

x0

x0

x21

0

2

2

==

=

Se ha encontrado el punto que corta a los dos ejes y coincide con ser el vértice, por lo que se debe apoyar en la graficación paramétrica o en la obtención de más puntos para poder graficarla.

Como notarás, el método para graficar funciones cuadráticas ubicando los cortes con los ejes, puede ser poco práctico, sin embargo, en problemas aplicados es donde tiene mayor utilidad.

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Actividad: 4 En equipo, contesten las siguientes preguntas.

1. ¿Cómo se podría determinar el número de raíces o ceros de una función cuadrática sin graficarla?

2. Antonio encuentra que si su compañía produce x artículos diarios, el costo está dado por la ecuación 2x002.0x8.0420C +−= , ¿cuántos artículos se deben producir diariamente para que el costo sea

mínimo?, ¿cuál sería ese costo mínimo?



3. Una persona lanza verticalmente hacia arriba una pelota desde lo alto de un edificio, y la altura en cada instante de tiempo la describe la función

45t80t16H 2 ++−= . a) ¿Cuál es el tiempo en que la pelota tarda en alcanzar la altura máxima?

b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

c) ¿Cuál es la altura del edificio?

d) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar el suelo?

e) Traza la gráfica de la altura de la pelota al trascurrir el tiempo.

4. La utilidad mensual en miles de dólares de una compañía se expresa mediante la función 37x24x2U 2 −+−= , donde x representa el número de artículos, en cientos, que se producen y

venden en un mes. a) ¿Cuál es la cantidad de artículos que la compañía debe producir y vender por mes para que la

utilidad sea máxima? b) ¿Cuál es el monto de la utilidad máxima?

285

BLOQUE 9

Evaluación

Actividad 4: Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:


Identifica la relación entre funciones y ecuaciones cuadráticas.

Representa y resuelve situaciones mediante ecuaciones y funciones cuadráticas.

Aprecia la importancia de la conexión entre funciones y ecuaciones cuadráticas, para examinar y solucionar situaciones. Escucha con atención las aportaciones de tus compañeros.


docente


c) ¿Con cuántos artículos producidos y vendidos no se tiene utilidad alguna?

d) Si se producen y venden 750 artículos mensuales, ¿cuánta utilidad se genera?

e) Traza la gráfica de la utilidad.


Aplicaciones de la función cuadrática. La utilidad de la función cuadrática es básicamente para encontrar puntos máximos o mínimos, y de algunas posiciones de puntos en particular. Como se muestra en el siguiente ejemplo. Un fabricante de cajas de cartón recibió un pedido para construir cajas abiertas de bases cuadradas con una altura de 5 cm, de tal manera que tengan diferente capacidad. El fabricante logra elaborar las cajas recortando cuadros de 5 cm de lado, en las esquinas de las hojas cuadradas de cartón. ¿Cuáles son los volúmenes de las cajas construidas con las hojas de cartón cuadradas de diferentes dimensiones de que dispone el fabricante?

El volumen de la caja es: (lado)( lado)(altura) La expresión algebraica que describe el volumen (y) es: ( )( )( )510x10xy −−=

( )100x20x5y 2 +−=

500x100x5y 2 +−= Ésta es una función que proporciona todos los posibles volúmenes de las cajas. La función proviene de un binomio al cuadrado, se puede aprovechar esta situación y plantear la forma ordinaria de la función cuadrática.

( )210x5y −= El vértice de la función cuadrática es )0,10(V y el coeficiente del término cuadrático proporciona la abertura, el cual es 5a = La gráfica del volumen se visualiza de la siguiente forma:

x

x

5 5

5

5

x – 10

x – 10 x – 10

x – 10

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-7-6-5-4-3-2-1

123456789

1011

x

y

287

BLOQUE 9

Conociendo la función y la gráfica, se pueden contestar varios cuestionamientos de interés como por ejemplo: 1. El volumen mínimo es cero, y no tiene volumen máximo. 2. La parte izquierda de la gráfica no tendría sentido, dado que “x” representa la longitud del cuadrado de cartón de

donde se elaborará la caja y como 10x − es el largo y ancho de la caja, las cantidades menores de 10 proporcionarían longitudes negativas, por lo que en el sentido práctico, sólo se tomaría la gráfica del vértice a la derecha.

3. Si se desea saber en particular el tamaño del cuadrado de cartón que el fabricante debe utilizar para una caja con volumen 8000 cm3, se sustituye este valor en la función y se despeja x, como se muestra a continuación.

( )( )

( )

( )

x4010

10x1600

10x1600

10x5

8000

10x58000

10x5y

2

2

2

2

=±−=±

−=

−=

−=

−=

50x

4010x

1

1

=+=

30x

4010x

1

2

−=−=

Por tratarse de una longitud la que se busca, se descarta el valor negativo, por lo tanto, la longitud del cuadrado que se utilizará para elaborar una caja de 8000 cm3, debe ser de 50 cm.

4. Si se desea conocer el volumen que contendrá una caja elaborada de un cuadro de 80 cm de longitud, se tendrá que resolver la siguiente ecuación. La cual se forma sustituyendo el valor deseado en x.

( )( )( )

24500y

705y

10805y

10x5y

2

2

2

==

−=

−=

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-7-6-5-4-3-2-1

123456789

1011

x

y

El volumen que contendrá la caja es de 24500 cm3.

Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867)

Ingeniero y matemático francés. Fundador de la moderna

geometría proyectiva.


Éstos son algunos ejemplos de las interrogantes que puedes encontrar en problemas que se modelan con funciones cuadráticas.

Cierre

Actividad: 5 Plantea los siguientes problemas con una función cuadrática y resuelve las preguntas correspondientes.

1. Los cuadernos que produce Ricardo en su fábrica tienen un costo de $16 cada uno. Él calcula que si

vende a x pesos cada cuaderno, podrá vender aproximadamente x200 − a la semana. a) ¿Cuál es la utilidad semanal máxima que Ricardo tendrá al vender a x pesos cada cuaderno? b) ¿Cuánta es la utilidad que tendrá?

2. Patricia desea construir un jardín de forma rectangular al pie de su ventana, ella posee 10 m de

alambre para cercarlo y sólo lo hará en tres de sus lados. a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el jardín tenga área máxima? b) ¿Cuál es el área máxima?

3. Santiago se encuentra sentado en las gradas del estadio de béisbol, él cachó una pelota y la devolvió

a los jugadores. La trayectoria de la pelota se describe mediante la función 7tt81

h 2 ++−= , donde h

es la altura medida en metros, y t el tiempo medido en segundos. a) ¿En cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar su altura máxima? b) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada? c) Si nadie la pudo cachar, ¿en qué momento toca el suelo? d) ¿A qué altura se hallaba Santiago?

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BLOQUE 9


4. Don Saúl sembrará un poco de maíz en su parcela, y tiene 63 m de cerco para proteger la siembra del ganado, si el terreno en el que sembrará es de forma rectangular.

a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones que proporcionarán la mayor área de siembra? b) ¿Cuál es la máxima área?

5. Se cercará un corral rectangular con dos cercas interiores para que contenga 3 partes iguales, en las

que se colocarán tres tipos de ganado diferente. Si se tiene un total de 240 m de cerco, ¿cuáles son las dimensiones del corral para que su área sea máxima?

6. La suma de dos números es 24, encuentra dichos números con la condición de que su producto sea

máximo.


Evaluación

Actividad 5: Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:


Comprende la aplicación de las funciones cuadráticas para examinar y resolver situaciones.

Aplica las funciones y ecuaciones cuadráticas para plantear y resolver situaciones.

Pone en práctica los conocimientos adquiridos de las funciones cuadráticas y de los bloques anteriores, para plantear y resolver situaciones.


docente

Sitios Web recomendados: Entra a los siguientes sitios y utilízalos para enriquecer tus conocimientos. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/vertice.htm http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Marcela%20Martinez/funcion_cuadratica_caracteristicas_nuevo.htm http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Externos/fcuadraticas/paginas/aplicaciones1.htm

¿Sabías que… Los pueblos de

Babilonia, Sumeria, Egipto y Creta durante

los años 2500-1800 A.C. tuvieron las

siguientes aportaciones a la Aritmética: las

tablas matemáticas babilónicas que

contienen cuadrados, cubos, inversos y tablas

de multiplicación de números?

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/vertice.htm�

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm�

http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Marcela%20Martinez/funcion_cuadratica_caracteristicas_nuevo.htm�

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Glosario Algoritmo. Secuencia de pasos que permite hallar la solución de un ejercicio o problema. Base. Un número utilizado varias veces como factor. Binomio. Una expresión algebraica que contiene exactamente dos términos. Binomio al cubo. Es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. Coeficiente (numérico). El número que aparece como factor en una expresión. Conjunto solución. El conjunto de números que hacen verdadera una proposición Constante. Un símbolo cuyo valor no cambia en un problema determinado. Coordenadas. La abscisa “x” y la ordenada “y” de un punto (x,y) en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares. Cuadrado. La palabra usada para representar el resultado de elevar un número o un polinomio a la segunda potencia. Cuadrado de un binomio. El cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. Cuadrado perfecto. Un entero que es el cuadrado de otro entero o un polinomio que es el cuadrado de otro polinomio. Cubo. La palabra que designa el resultado de elevar un número o un polinomio a la tercera potencia. Decimales finitos. Son aquéllos cuya cifra decimal tiene fin.

Decimales infinitos. Son aquéllos con cifras decimales que no tienen fin.

Decimales infinitos no periodicos. Son aquéllos cuya extensión decimal no se acaba y no se repiten.

Decimales infinitos periodicos. Son aquéllos que tienen una o más cifras decimales repetidas infinitamente, formando así el periodo.

Decimales infinitos semiperioditos. . Son decimales que aparecen con una o más cifras antes del periodo.

Denominador. Es la parte de la fracción que nos indica las partes iguales en los que se divide la unidad. Diferencia. Es el resultado de quitar al minuendo del sustraendo Dígito. Cualquiera de los diez números 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9. Discriminante. El valor de la expresión ac4b2 − en donde a, b y c son los coeficientes de una ecuación de segundo grado. Ecuación. Una proposición que establece que dos expresiones, de las cuales por lo menos una contiene una incógnita, son iguales.


Ecuación cuadrática completa. Se da siempre que los coeficientes de la incógnita y el término independiente sean diferentes de cero. Ecuación cuadrática incompleta. Es cuando el coeficiente del término lineal y del independiente son cero o al menos uno de ellos es igual a cero. Ecuaciones consistentes. Un sistema de n ecuaciones de primer grado con n incógnitas que tiene solución única. Ecuación cuadrática (segundo grado). Una ecuación que puede escribirse en la forma 0cbxax2 =++ , en donde a, b y c son números reales y .0a ≠ Ecuación de primer grado con una incógnita. Una ecuación que puede escribirse en la forma ax + b = 0, la incógnita aparece a la primera potencia. Ecuaciones dependientes. Un sistema de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas que tiene un número infinito de soluciones. Están relacionadas de tal forma que una puede obtenerse de la otra mediante la multiplicación de cada término por una constante adecuada. Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución. Ecuaciones inconsistentes. Un sistema de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas que no tienen solución común (solución nula). Exponente. El número escrito arriba y a la derecha de otro número (base) que indica el número de veces que la base se toma como factor en un producto. Expresión. Un número, o letra, o una combinación de ambos obtenida mediante operaciones algebraicas. Expresión algebraica. Es una combinación de números y/o literales por medio de operaciones matemáticas. Expresión aritmética. Es la combinación de números y operaciones básicas. Factor común. Consiste en extraer la expresión algebraica que esté presente en cada uno de los términos de una expresión más compleja, Función. Es la regla de asociación o correspondencia entre los conjuntos X y Y, de tal forma que cada elemento de un conjunto X se asocia con exactamente un elemento del conjunto Y. Factor común. Un número o expresión algebraica que es factor de dos o más términos. Factores primos. Son números primos que dividen a un número compuesto. Factorizar. Descomponer una expresión en sus factores. Fórmula general. Fórmula que se utiliza para encontrar las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado,

a2ac4bb

x2 −±−

=

Fracción. El cociente indicado de dos números o expresiones; si la fracción es ba

, “a” se llama el numerador y “b” el

denominador. Fracciones equivalentes. Fracciones que representan el mismo valor, aunque tanto el numerador como el denominador sean diferentes.

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Función. Es la relación entre dos conjuntos de pares ordenados, con la propiedad de que a cada elemento del primer conjunto llamado dominio le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto llamado rango o imagen . Gráfica (de una ecuación). Lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Grado de un polinomio. Es la suma mayor de los exponentes de cada término algebraico. Monomio. Expresión que contiene un término. Numerador. Es la parte de la fracción que nos indica la cantidad que se toma de la unidad. Número entero. Todo elemento del conjunto {...,–4,–3,–2,–1,0,1,2,3,4,...}.

Número racional: Son números de la forma ba

donde bya son enteros y b es diferente de cero, además tienen

expansión decimal finita o periódica infinita. Número irracional. Es aquél que no puede expresarse como el cociente de dos enteros. Número natural. Todo elemento del conjunto {1,2,3,4,5,6,....} Número primo. Entero positivo mayor que uno que no tiene más divisores que el mismo y la unidad. Número racional. Es aquél que puede expresarse como el cociente de dos enteros (fracción). Números reales. El conjunto de números que comprende a todos los números racionales y a todos los números irracionales. Origen. Punto de referencia O(0,0) en un sistema de coordenadas. Ortoedro. Paralelepípedo en el que todas sus caras son rectángulos perpendiculares entre sí. Polinomio. Es una expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos. Proporción. La proposición que expresa la igualdad de dos razones. Raíz de una ecuación. Un valor de la incógnita que satisface la ecuación. Razón. Relación que existe entre dos cantidades. La división indicada de una cantidad entre otra. Recíproco. Un número es el recíproco de otro si el producto de ambos es 1. Serie. Es la suma de los términos de una sucesión. Sucesión. Es un conjunto de números ordenados u otras cantidades. Sustracción. Es cuando se compara el minuendo y el sustraendo. Sustraendo. Es la cantidad menor en la operación de sustracción. Término. Una expresión que consta de un número, letra o de una combinación de ambos empleando sólo las operaciones de multiplicación y división. Trinomio cuadrado perfecto. Es el resultado de elevar un binomio al cuadrado.


Bibliografía ARGUDIN, Yolanda. Educación Basada en Competencias, nociones y antecedentes. Editorial Trillas. México,

2006. BALDOR, Aurelio, Álgebra. Grupo Editorial Patria. México, 2008. BUSTAMANTE, Alfonso. et. al. Matemáticas 1. Ed. Trillas. México, 2008. CATALANO, Ana. Diseño curricular en normas de competencias laboral: conceptos y orientaciones

metodológicas. Banco Internacional de Desarrollo. Buenos Aires. Argentina, 2004. CUÉLLAR, Juan. Matemáticas I para Bachillerato. Mc Graw Hill. México. 2004. CUESTA, Vilvaldo. et. al. Álgebra, con enfoque en Competencias. Book Mart, México, 2008. Dirección General de Educación Tecnológica Industrial (DGTI). Compendio de Secuencias Didácticas. Primera

Edición. México, 2005. DE OTEYZA, Elena. Conocimientos fundamentales de Matemáticas, Álgebra. Pearson Educación. México, 2006. GOBRÁN, Alfonse. Algebra Elemental. Grupo Editorial Iberoamérica. México, 1990. IBÁÑEZ, Patricia y García, Gerardo. Matemáticas 1. Thompson Learning. México, 2005. LÓPEZ, Rebeca y Gómez, María. Matemáticas 1, con enfoque en Competencias. Book Mart, México 2008. MIGUEL DIAZ, Mario. Modalidades de enseñanza centradas en el desarrollo de competencias orientaciones

para promover el cambio metodológico en el espacio europeo de educación superior. Ediciones Universidad de Oviedo. España, 2006.

PULIDO, Antonio. Matemáticas 1. Inova Educativa. México, 2005.

representaciones simbolicas y algoritmos

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