repaso de geometrÍa mÉtrica plana 1. hallar el ......los puntos a(-1, 3) y b(3, -3), son vértices...
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REPASO DE GEOMETRÍA MÉTRICA PLANA 1. Hal lar e l s imétr ico del punto A(3, - 2) respecto de M(- 2, 5).
2. Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
3. Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los vectores y sean: a. Perpendiculares.
b. Paralelos. 3 Formen un ángulo de 60°.
4. Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?
x1 = 7 y1 = 4 x2 = 5 y2 = 0
x3 = −1 y3 = 2
A(7, 4) B(5, 0) C(−1, 2)
No válida
5. Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).
S i O es el centro de la c ircunferencia las distancias de O a A, B, C y D deben ser iguales
6. Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).
Recuerda que se cumple:
En este caso se cumple:
7. Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale: a. 90°
b. 0°
c. 45°
Las dos soluciones son vál idas
8. Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).
9. Calcula x para que el vector ( )xu ,21=�
sea unitario
2
3
4
31
4
11
2
1 222
2
±=→=→=+→=+
= xxxxu�
(las dos soluciones son válidas)
10. ¿Qué ángulo forman los vectores ( ) ( )3,41,3 −=−= vyu
��? ¿Y los vectores
( ) ( )5,11,3 −−=−= wys��
?
( )
( ) ´´06,30´7º277´´94,29´52º82º360,
´´94,29´52º8265
4cos
65
1
260
2
2610
2
5)1()1(3
5)1()1(3cos
2222
=−=
→=→=
==⋅
=+−⋅−+
−⋅−+−⋅=
⋅
⋅=
ws
ws
ws
��
��
��
ββ
β
( )
( ) ( )
( ) ´´1,54´33º161´´82,5´26º18º180,
´´82,5´26º1810
3cos
10
3
510
15
3413
3143),(cos
2222
=−=
→=→=
−=
⋅
−=
−+⋅+−
−⋅+⋅−=
⋅
⋅=
vu
vu
vuvu
��
��
����
αα
11. Calcula el producto escalar de ( ) vyu��
4,3= , sabiendo que 4=v�
y el ángulo que forman es de 30º
( )
3102
345º30cos
5434,3 22
=⋅⋅=⋅⋅=⋅→
=+=→=
vuvu
uu
����
��
12. Calcula un vector ortogonal a ( )8,6=u
� y que sea unitario.
13. Calcula x para que los vectores ( ) ( )xvyu ,14,3 ==��
sean: a. Ortogonales
( ) ( )4
3043,14,30 −=→=+=⋅→=⋅ xxxvu
��
b. Paralelos
3
44
1
3=→=→ x
xalesproporcionsonvyu
��
c. Formen un ángulo de 60º
( )
( ) ( )
( )
( ) 2
1
34,21.5
36,9334,2
2
1
12,015
48,0312,0
0119639
2525649636125162494
154322
1
143
43º60cos
22
21
2
2222
2
2222
≠−+
−−=
=−+⋅
−−=
→=++
+=++→+⋅=++⋅
+⋅=+⋅→=+⋅+
+=
válidanox
válidax
xx
xxxxxx
xxx
x
14. Dados los puntos A (2, 1); B (6,3); C(7,1) y D(3, -1) Demuestra que el polígono ABCD es un rectángulo y calcula su perímetro y su área.
( ) ( ) ( )
−
−
=→±=→=→=
−+→
=+
−=→
=+
=+
=+→=
=+→=+→=⋅→⊥
5
3,
5
4
5
3,
5
4:
5
3
5
41
16
251
4
3
1
4
3
1
043
11
04308608,6,:,
2
2
2
2222
22
Soluciones
yxxxx
yx
xy
yx
yx
yxw
yxyxyxuwcumplequeyxwBuscamos
∓
�
���
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 22222 101005202124,(),(
0442,12,4
0442,42,1
;2,1;2,4
;;;
uCDABDAdBAdalturabaseÁrea
BCAB
DCAD
BCADDCAB
BCABDCADBCADDCABlaresperpendicuesconcurrentladoslosy
dosadosparalelosserdebenopuestosladoslosrectángulounesSi
==⋅=−+⋅+=⋅=⋅=⋅=
⊥→=−=−⋅
⊥→=−=⋅−
=−===
⊥⊥==→
15. Los puntos A (-1, -2); B (1,1); C(4,0) son tres coordenadas de un paralelogramo, calcula las coordenadas del cuarto vértice. Si llamamos D al cuarto vértice hay que considerar tres posibliidades: paralelogramo ABCD; paralelogramo ABDC; paralelogramo ACBD
a) ABCD sea paralelogramo. D (a, b) DCAB = (2, 3)=(4-a, -b) a=2; b=-3
b) ABDC sea paralelogramo
D (a, b) CDAB = (2, 3)=(a-4, b) a=6; b=3
c) ACBD sea paralelogramo
D (a, b) DBAC = (5, 2)=(1-a, 1-b) a=-4; b=-1
16. Halla las coordenadas de los puntos medios y del baricentro del triángulo de vértices A (0, 0); B (3,1); C(1,5).
( )
=
++++
=
++
=
++
=
++
2,3
4
3
510,
3
130
2
5,
2
1
2
50,
2
10
3,22
51,
2
13
2
1,
2
3
2
10,
2
30
G
P
N
M
17. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5).
B
C
A
D
D (2, -3)
D (6, 3) B
D
A
C
D (-4, -1) C
B
A
D
18. De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.
19. Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y C(6, 3).
20. Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.
21. Hallar la ecuación de la recta r que pasa por A(1,5) y es paralela a la recta s: 2x + y + 2 =0.
22. Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.
23. La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y - 13 = 0. Calcula m y n.
24. Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.
25. Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r : 8x - y - 1 = 0 y pasa por el punto P(-3,2).
26. Halla el punto simétrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r : 2 x + y - 12 =0
27. Una recta de ecuación r : x + 2y - 9 = 0 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A tiene por coordenadas (2,1). Hallar las coordenadas del otro extremo.
28. Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r : 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?
29. Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por la rectas:
30. Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones: a.
b.
c.
d.
31. Se tiene el paralelogramo ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(-3, 2) y D(-1, -2). Calcular su área.
32. Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my -8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.
33. Dado el triángulo A(-1, -1), B(7, 5), C(2, 7); calcular las ecuaciones de las alturas y determinar el ortocentro del triángulo.
34. Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r : 5x - 7y + 12 = 0 y dista 4 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?
35. De la recta r se sabe que pasa por el punto A(2,1) y un vector director es (-2, 4). Determina la ecuación de la recta en todas las formas que conozcas.
36. Dada la recta 2x-3y+1=0 escríbela en forma vectorial, paramétrica, contínua y punto pendiente.
37. Dadas las rectas 2x-3y+1=0 ax+(a-1)y-2(a+2)=0, calcual el valor de a para que sean:
a. paralelas
( )( )
+−
≠
=→=+−→−=−→+−
≠−
−=
25
22
1
5
2
2
5
20322312
22
1
1
32aaaaa
aaa
b. perpendiculares
( ) ( ) 303033201320´´ =→=+−→=+−→=−⋅−+⋅→=⋅+⋅ aaaaaaBBAA
38. Determina el valor de m para que las rectas mx+y=12, 4x-3y=m+1 sean paralelas. Después halla su distancia.
( )
( ) ( )usAdsrd
yxsyxyxs
Ayxsiyxyxr
otralaaciadissucalcualseyelasdeunadepuntouneligeseciadissuCalcularPara
cumpleSemmm
m
15
107
912
189312),(),(
019123
1341
3
434
8,38303634123
4
:tantan
13
4
12
3
1
3
443
1
12
3
1
4
22=
+
+⋅−−⋅==
=+−≡→−=−→+−=−≡
−→=→−=→=−+−→=+−≡
+−
≠−
→−=→=−→+
≠−
=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 5222122
41
0102422841224
4
1
2
2
4
1
2
2
41
22
4,21,2
+−=→−−=−→−−
=−
=−+→+−=−→−−=−−
=−
−
−=
−
−→
+=
−=→
−+=→
xyExplícitaxyPendientePuntoxy
yxGeneralyxyxyx
yxVectorial
ty
txasParamétric
tOXVectorial
( )( )
( ) ( )
( )3
1
3
2
3
2
3
211
3
21
2
1
3
1
2
1
3
1
21
31
2,31,1
1,11013211
2,30132
+=→−=−→−=−→−
=−
−=
−→
+=
+=→
+=→
→=→=+−→=→
=→=+−
xyExplícitaxyPendientePuntoxyyx
yxVectorial
ty
txasParamétric
tOXVectorial
AyyxvalorelxadamosleAPunto
uldireccionavectoryx
�
39. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(1,-2) y B(3,0). Hallar también el ángulo que forma esta mediatriz con el eje de abscisas.
40. Halla el área del paralelogramo ABCD sabiendo que la ecuación del lado AB es x-2y=0, la ecuación del lado AD es 3x+y=0 y las coordenadas del punto C son (3,5)
41. Calcula las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(2,3) y forman un ángulo de 45º con la recta 3x-4y+7=0
( ) ( )
( )
( )
−=
−⋅−→
−⋅−=−≡′→−=→−=→+−=+→+
−−=
−=−≡→=→−=−→−=+→+
−=
→
→+
−±=→
+
−
±=→
+
−±=→
⋅+
−=→
′⋅+
′−=
→
=′=+−≡
−=−≡
17
171
27
13
7
1173434
34
341
27377343434
341
34
341
4
344
34
1
4
31
4
3
1
4
31
4
3
11
º45
:º45
4
30743
2.33,2
espendientessusdeproductoelaresperpendiclsonsoluciónrectasdosLas
xypmmmmm
m
xypmmmmm
m
m
mm
m
m
m
m
m
mm
mmtg
cumplenpendientessusdeángulounformanrectasdosLas
mesyxtrectaladependienteLa
xmyppendientepuntoformaenescribimoslappedidarectaLaP
42. Dados los puntos A(4,-2) y B(10,0) hallar el punto de la bisectriz del 2º y 4º cuadrante que equidista de ambos puntos
B
C
A
D
( )
( )
( )
( ) ( )( )
2
22
2214
7
752
5
720
21
70203513
,),(
3,131076
3
072
03
sec
0727010302
0,00006203
02
secint
u
DCladoAdCDdalturabaseÁrea
Dyxxx
xy
yx
yx
DCyADladoslosdeciónirtelaesDpuntoEl
yxDCKKKyxDC
CporpasayABaparaleloesDCladoEl
Ayxxxyxyx
yxA
rectaslasdeciónerlaesApuntoEl
=⋅
=⋅=−+
+⋅−⋅−++
=⋅=⋅=
−→=→−=→
=++
−=→
=+−
=+
→
=+−≡→=→=+−→=+−≡
→
→=→=→=+→=→
=+
=−≡
( )
( )
( )
)º4º2sec(
º135110
0022
001222022
2,2
1,22
02,
2
31
cuadranteydeltrizbilaesobtenidamediatrizla
tgesyxdePendienteLa
yxmyxm
CCCyxm
normalvectoresAB
Mm
=→−=→−=+
=+≡→=+≡→
=→=+−⋅+⋅→=++≡→
=
−=
+−+
≡
αα
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )10,10108082010044816
1024
,,tan
,º4º2sec
2222
2222
−→=→=→++−=+−++−→
→+−=+−+−→
=→
−
Pttttttttt
tttt
BPdAPdsByAdeequidisquePpuntoslosBuscamos
ttPformaladeescuadranteydeltrizbiladepuntoUn
43. Dados los puntos A(2,1), B(-3,5) y C(4,m), calcular el valor de m para que el triángulo ABC tenga de área 6 unidades cuadradas
44. Halla las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A(1,-2) distan dos unidades del punto B(3,1)
( )
( )
029125012
29
12
5:02
12
5
12
5:
12
5125912444
1
324
1
322
1
21322),(
02:12
22
2
2
22
=−−→=−−→=−−−
=→−=−→+−=+
→+
−=→
+
−=→
+
−−−=→=
=−−−→−=+→
yxyxryxr
válidasoluciónmmmmm
m
m
m
m
m
mmrBd
mymxrxmypendientepuntoformaenrectalaEscribemos
45. Halla los puntos de la recta 7x-y-28= que distan 5 unidades de la recta 3x-4y-12=0
( )
( )
( )( )
( )7,552055
7,3320552055
20555
100255
43
122874355),(
287,2870287:
22
Pxx
Pxxx
xxxx
sPd
xxPesrdecualquierapuntounxyyxr
→=→−=
−→=→+−=→+−±=
→+−=→+−
=→+
−−−=→=
−→−=→=−−
46. Calcula las coordenadas del punto P situado en la recta x+y-15=0 que equidiste de las rectas
y-2=0, 3y=4x-6
( )
( )
( )( )22,77142517565
3
16,
3
29
3
29
12
11611612517565
517565
5175655
51713
34
61534
10
2155),(),(
0634:02:
15,15015:
2222
−→−=→−=→+−=−
→==→=→−=−
→−±=−
−=−→−
=−→+
−−−=
+
−−=→=
=−−=−
−→−=→=−+
Pxxxx
Pxxxxxx
xxx
xxxx
tPdsPd
yxtys
xxPesrdecualquierapuntounxyyxr
B(-3,5) A(2,1)
C(4,m)
h ( ) ( ) ( )),(
411523,
2
16
22
ABladoCdhaltura
uBAdbase
alturabaseÁrea
=
=−+−−==
⋅==
( )
( )
( )3,431235
5
9,4
5
91235
12351235641
3541
2
1
41
35
54
1354401354
1305240544,5
1,2
22
−→−=→−=+
→=→=+
→±=+→=+→=+
⋅
+=
+
−⋅+⋅=→=−+≡
−=→=++⋅→=++≡→
−=≡
Cmm
Cmmmm
m
mmhyxABLado
KKKyxABldireccionaesAB
AAB
47. Las rectas r:3x+4y-5=0 y s:ax+7y+2=0 forman un ángulo cuyo seno vale 3/5. Calcula a
( ) ( )
( )VÁLIDASOLUCIÓNSÍa
VÁLIDASOLUCIÓNSÍa
aa
aaaaa
a
aa
a
a
a
a
a
a
sen
→=+
+=→=
→=→=
→=−⋅
→=−→++=+
→+
++=→
+
+=→
+
+=→
+⋅+
⋅=
=
−=→=
25
1004;
49576
2872424
49
2840
0247
01687784168978416
49
784168916
49
2834
495
283
5
4
49169
7,4,3
5
4
5
4
5
31cos
5
3
222
2
2
222
2
αα
48. Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos A(1,4) B(-3,4) y C(-1,0).
49. Un hexágono regular tiene su centro en el origen de coordenadas y uno de sus lados sobre
la recta x+y+5=0. Halla su área.
B(-3,4) A(1,4)
C(-1,0)
h ( ) ( ) ( )
),(
44413,
2
1
22
ABladoCdhaltura
uBAdbase
alturabaseÁrea
=
=−+−−==
⋅=
( )
( )
2
22
4242
1
201
1101044
404040,4
4,1
uÁrea
hxABladoxABLado
KKKxABldireccionaesAB
AAB
=⋅⋅=
=+
−−=→=−≡→=+−≡
=→=+−→=+−≡→
−=≡
C(0,0)
a r
s: x+y+5=0
( )( )
2
2
222
22
2
3253
375
3
2515
6
5015
2
2
5
3
506
2
3
50
3
50
3
50
6
100
2
25
4
3
2
25
422
5
,
2
5
2
500,0,0
uapotemaPerímetro
Área
ladorr
rrr
rr
rectángulotriángulounformanapotemalayradiodelmitadlaradioel
tacircunscrinciacircunfereladeradioaligualesladoelregularhexágonoelEn
sdaapotema
====
⋅⋅
=⋅
=
=→=→==
→=→=−→
+
=
→
→
=++
==