MÉTODO “DABEJA”

PARA CONSTRUIR POLIGONOS REGULARES

Y TRIÁNGULOS

EQUILÁTEROS, ISÓSCELES

Y ESCALENOS

• Construcciones con regla y compás: En Grecia, los Elementos de Euclides fueron el primer modelo de sistema axiomático.

• se preocuparon de construir sistemáticamente cada figura que imaginaban. Para tal fin crearon herramientas, entre ellos regla, compás especiales para trisecar ángulos.

• POLIGONOS REGULARES :Los polígonos que tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales se llaman polígonos regulares.

• Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus vértices miden lo mismo (60°)

• Triángulo isósceles: Tiene dos lados iguales

• Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos son distintos.

• OBJETIVO Construir polígonos regulares de n-lados a través de puntos coordenados y ordenados en el plano cartesiano para aplicar diversos contenidos del pensamiento espacial

Surge de la necesidad de graficar en el tablero polígonos sin necesidad de emplear el compás y rotados respectos de la horizontal en diversos puntos cartesianos.

• El poco empleo que se da a los números reales en las construcciones geométricas permitiendo así que el concepto de continuidad de los números reales se olvide por la falta de práctica.

• La falta de utilización de herramientas de cálculo numérico como las calculadoras científicas y el papel milimetrado para facilitar las operaciones básicas y la graficación de figuras en el plano con mayor exactitud.

El no encontrar un método diferente al de regla, compás y transportador para la construcción de triángulos y polígonos regulares, que estuvieran en diferentes posiciones en el plano cartesiano.

Construir un triángulo equilátero si:

P1=(x1, y1) L=a cm.0 ≤ θ ≤ 360º ω= (360/n), n= al número de lados.

Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano, empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por P2=(x2, y2) y P3=(x3, y3) siguiendo el siguiente proceso:

CONSTRUCCION DEL TRIANGULO EQUILATERO.

Para n= 3, entonces ω= (360/3), ω= 120º

x2 – x1 = LCos θ x2 = LCos θ + x1 y2 - y1 = LSen θy2 = LSen θ + y1

punto, P2=(x2, y2)para las coordenadas del punto

P3(x3, y3)x3 – x2 = LCos (θ+ ω) x3 = LCos (θ+ ω) + x2 y y3 – y2 = LSen (θ+ ω) y3 = LSen (θ+ ω) + y2

• Definición. Todo polígono regular de n-lados tiene n-puntos coordenados y ordenados, P1(x1, y1) P2(x2, y2), P3(x3, y3), P4(x4, y4), P5(x5, y5), Pn-2(xn-2, yn-2). Pn-1(xn-1, yn-1), Pn(xn, yn). Los cuales surgen a partir de:

• Xn = LCos (θ+ k ω) + xn-1 • yn = LSen (θ+ k ω) + yn-1

• Con K= n-2, 0 ≤ θ ≤ 360º respecto a la horizontal ω= (360/n), n= al número de lados y LЄ R

• Para construir un polígono regular de tres lados n= 3, ω= (360/3)=120º

• L=A unidades P1=(x1, y1)

DEMOSTRACION:

1212

1212

1212

1212

12121212

YASENYXACOSX

SENAYYACOSXX

ASENYYACOSXX

SENA

YYCOS

A

XX

YYYYXXXX

DEMOSTRACION:

DEMOSTRACION:

2323

2323

2323

23232323

YASENYXACOSX

ASENYYACOSXX

SENA

YYCOS

A

XX

YYYYXXXX

3131

3131

1313

31133113

22

22

YASENYXACOSX

ASENYYACOSXX

SENA

YYCOS

A

XX

YYYYXXXX

DEMOSTRACION:

DEMOSTRACION:

Angulo de rotación respecto horizonte

l21ppSea:

21pplll 1211 cpcp

l221211 ppcppc

Segmento proyectado

De y se obtiene:

Trazamos y

Se obtiene

lll llll 13113322 cpcppppp l

lllll331221 ppcppc

Se tiene:

º180

º180,º180

33

2211

l

ll

suplementarios

211 ppc

Y ,1321l ppp

1322 ppp l

l2132 ppp

,3213l ppp

,2133 ppp ll3211 ppp l

(1) 180º11 l (2) 180º22 l (3) 180º33 l

(4) 180º123 l

(5) 180º231 l

(6) 180º312 l

tiene,se riossuplementa ángulosPor

tiene,se p punto el Desde 2

tiene,se p punto el Desde 3

mente,respectiva , (4)y (3)y (6)y (2) (5),y (1) Igualando

DEMOSTRACION:

(7)

213

23111

ll

ll

(8)

321

31222

ll

ll

(9)

312

12333

ll

ll

(8)y (7) (9),y (7) (9),y (8) Sumando

(10) 2 32121lll

(11) 2 32132lll

(12) 2 32131lll

(12)y (11) (12),y (10) (11),y (10) Igualando

DEMOSTRACION:

(15)

2 2

(14)

2 2

(13)

2 2

21

321321

32

321321

31

321321

ll

llllll

ll

llllll

ll

llllll

º360

º120

º.60

º180

.

concluye se (15)y (14) (13), De

321

321

332211

321

321

321

lll

lll

lll

lll

DEMOSTRACION:

Construir un cuadrado sí:P1(x1, y1) L=a cm. 0 ≤ θ ≤ 360ºhorizontal. ω= (360/n), n= alnúmero de lados.

Con estos datos se encuentran los puntos restantes en el planocartesiano, empleando númerosreales cuyas coordenadas estarándadas por, P2(x2, y2), P3(x3, y3) P4(x4,y4) siguiendo el siguienteproceso:

•CONSTRUCCION DEL CUADRADO

n= 4, entonces ω= (360/4), ω= 90ºx2=LCos θ + x1 y2= LSen θ + y1, P2(x2, y2)

x3=LCos (θ+ ω)+x2, y3=LSen (θ+ ω)+ y2, P3(x3, y3) x4=LCos(θ+ 2ω)+x3, y4=LSen (θ+ 2ω)+y3,

P4(x4,y4)

Encontrando los demás puntos para graficar cualquier cuadrado.

Construir un pentágono sí: P1(x1, y1) L = a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º Horizontal.ω= (360/n), n= al número de lados.Con estos datos se encuentran los puntosrestantes en el plano cartesiano, empleandonúmeros reales cuyas coordenadas estarándadas por P2(x2, y2), P3(x3, y3), P4(x4, y4) y P5(x5 , y5).

Siguiendo el siguiente proceso:

•CONSTRUCCION DE UN PENTAGONO REGULAR.

n= 5 entonces ω= (360/5), ω= 72º

x2=LCos θ + x1 y2= LSen θ + y1, P2(x2, y2)

x3=LCos (θ+ ω)+x2, y3=LSen (θ+ ω)+ y2, P3(x3, y3) x4=LCos(θ+ 2ω)+x3, y4=LSen (θ+ 2ω)+y3, P4(x4,y4)

x5=LCos(θ+ 3ω)+x4, y5=LSen(θ+ 2ω)+y4,P5(x5, y5)

Encontrando los demás puntos para graficarcualquier pentágono.

Luego, con los demás polígonos regulares de más lados se pueden construir siguiendo el mismo método. Generalizando así:

Para construir cualquier polígono regular de n-lados partiendo de P1(x1,y1) L=a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º Horizontal. ω= (360/n), n= al número de lados, entonces para la consecución de cada punto se tendrá:

GENERALIZACION PARA N-LADOS

Para las componentes en el eje horizontal X (abscisas),

x2 = LCos θ + x2-1 x2 = LCos θ + x1

x3 = LCos (θ+ ω) +x3-1 x3=LCos (θ+ ω) + x2

x4=LCos (θ+ 2ω)+x4-1 x4=LCos (θ+ 2ω) + x3

x5 = LCos (θ+ 3ω)+x5-1 x5=LCos (θ+ 3ω) + x4..

.

Xn = LCos (θ+ k ω) + xn-1

GENERALIZACION PARA N-LADOS

De igual forma para las componentes en y (ordenadas),

y2 =LSen θ + x2-1 y2 =LSen θ + y1

y3 =LSen (θ+ ω) + y3-1 y3 =LSen (θ+ ω) + y2

y4 =LSen (θ+ 2ω) + y4-1 y4 =LSen (θ+ 2ω) +y3

y5 =LSen (θ+ 3ω) + y5-1 y5 =LSen (θ+ 3ω) +y4

.

.

.

yn = LSen (θ+ k ω) + yn-1

Encontrando los puntos respectivos denotados por:

P2=(x2, y2), P3=(x3, y3), P4=(x4,y4),…Pn=(xn,yn).

GENERALIZACION PARA N-LADOS

P1=(x1, y1) L1y2= a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º 0<ω<180º ω≠ 120º ángulo suplementario

respecto a los lados L1y3

Con estos datos se encuentran los dospuntos restantes en el plano cartesiano,empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por

P2=(x2, y2) y P3=(x3, y3) con el siguiente proceso:

x2 – x1 = LCos θ y y2 - y1 = LSen θ x2 = LCos θ + x1 y y2 = LSen θ + y1

punto P2=(x2, y2) Luego,x3–x2 =LCos(θ+ ω) y y3-y2 =LSen (θ+ ω) x3 =LCos(θ+ ω)+x2 y y3 =LSen(θ+ ω)+y2

punto P3=(x3, y3)

CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ISOSCELES

Valor distancia entre dos puntos

180= 2+ω´ y 180= ω+ω´ luego,

2 + ω´ = ω + ω´

2ωα

CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ISOSCELES

223

223 yyxx 3L

Variante: Para encontrar el valor del lado tres L3 y el ángulo α en el triángulo isósceles se hace necesario abordar las siguientes fórmulas conocidas:

Valor del ángulo α, propiedad de los Triángulos isósceles

Para construir un triángulo escaleno también existen variantes pero se conserva el principio del método:

Sea P1=(x1, y1) L1= a cm. L2=b cm.

a ≠ b. 0 ≤ θ ≤ 360º y 0<ω<180º Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano, empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P2=(x2, y2) y P3=(x3, y3) con el siguiente proceso:

CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ESCALENO

x2 – x1 = L1Cos θ y y2 - y1 = L1Sen θ

x2 = LCos θ + x1 y y2=LSenθ + y1

entonces, P2=(x2, y2) Luego,

x3–x1 =L2Cos(θ+ω) y y3-y1=L2Sen(θ+ω)

x3=L2Cos(θ+ ω)+x2 y y3=L2Sen(θ+ω)+y2

así, P3=(x3, y3)

Variante: Para encontrar el valor del lado tres L3 y el ángulo α en el triángulo isósceles se hace necesario abordar las siguientes fórmulas conocidas

CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ESCALENO

• Distancia entre

dos puntos.

CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ESCALENO

2232

23 yyxx 3L

3Lsenω

2Lα sen

Para el ángulo α se emplea la ley de senos, respecto a ω, los lados L2 y L3

3L

ω sen2L1senα

Y para el ángulo φ, la propiedad fundamental de ángulos internos de un triángulo

φ + α+ ω´ = 180º φ = 180º-(α+ ω´ )

FIN

MÉTODO “DABEJA”

GRACIAS

DANIEL BEJARANO SEGURALicenciado en Matemáticas y Física

dabejase@yahoo.es