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Matemática Básica Olga Carabús

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA

FACULTAD DE TECNOLOGÍA Y CIENCIAS APLICADAS CÁTEDRA ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Secretaría de Ciencia y Tecnología – Editorial Científica Universitaria ISBN: 978-987-1341-53-5

1

Repasando lo aprendido...

...con una propuesta autoinstruccional

Te propongo un rápido repaso en matemática básica, que te será de suma

ut i l idad para f i jar los conocimientos dados. Sólo te br indo una guía de estudio

que te permit i rá recordar lo más esencial . Ordenamos el repaso en dos

capítu los:

I – Expresiones Algebraicas

I I– Función

La propuesta es:

1) Repasamos juntos y resolvemos los ejerc ic ios propuestos para

expresiones algebraicas y funciones, cotejando con la resolución dada en

este impreso

2) Resuelve después los ejerc ic ios de autoevaluación que f iguran a part i r de

la página 44 y controla con las c laves de corrección.

3) Si real izas más del 80% de los ejercic ios, ¡ fe l ic i taciones!. Si e l porcentaje

de acier to es menor, preocúpate y hazlos de nuevo.

I–EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Recordemos la def inic ión de expresión algebraica:

“expresión algebraica es una combinación cualquiera de números expresados

por letras o por letras y ci f ras, s i y sólo si estos números están vinculados un

número f in i to de veces por la adición, la sustracción, la mult ip l icación, la

d iv is ión, la potenciación y la radicación”.

Ejemplos:

3 x4–2 x3 y + 10 x2 y2 –2 x y3 +y4

4 x – 2 _ 3

x +1 x – 1

Las expresiones algebraicas enteras ( las que sólo cont ienen las





2

operaciones de suma, sustracción, mult ip l icación y potenciación de

exponente entero no negat ivo, o sea las operaciones l lamadas “enteras”) se

div iden en monomios y pol inomios.

Ejemplo:

3 x2 y es un monomio

2 x3 y + 6 x y2 – 3 x y es un pol inomio

RAÍZ DE UN POLINOMIO

Se l lama raíz de un pol inomio en x a todo numero que escr i to en el lugar

de x hace que el valor numérico del pol inomio sea cero.

Si P(a) = 0; a es raíz de P(x)

MULTIPLICIDAD DE UNA RAÍZ

Dado el pol inomio P(x) ; s i a es raíz del pol inomio y P(x) es div is ib le por

(x – a)k pero no es div is ible por (x – a) k + 1 se expresa que a es raíz múlt ip le y

que su mult ip l ic idad es k.

FACTOREO

Factorear un pol inomio es presentar lo como una mult ip l icación de

expresiones algebraicas enteras.

Con estos conceptos en claro, ya puedes abordar los ejercic ios que s iguen:





3

EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS

1) Encuentra el resul tado de las operaciones indicadas

a) (x3 –5 x2 +7 x – 2) + (–2 x4 +2 x3 + 8 x2 – 5 x + 6)

b ) 4 ( x 3 – 2 x – 1 / 2 )

c ) 2 ( x 3 + 6 x 2 – 5 x – 3 ) – 3 ( x 3 – x 2 + 6 x – 3 )

d ) ( x 3 – 5 x 2 + 7 x – 3 ) ( x 2 – 3 x + 5 )

e ) ( 1 – 2 x + 3 x 2 – 5 x 3 ) ( 5 + 4 x – 2 x 2 + x 3 )

2) Encuentra el resul tado de las operaciones indicadas

a ) ( x 5 + 3 x 4 + 2 x 3 – x + 2 ) : ( 2 x 3 – x + 1 )

b ) ( x 3 – 2 x 2 – 3 x + 1 ) : ( x 2 – 3 x + 2 )

3) Calcula los cocientes de las div is iones indicadas

a ) ( 3 x 4 + 6 x 3 – x + 1 ) : ( x + 2 )

b ) ( x 4 – 3 ) : ( x – 2 )

c ) ( x 5 + 3 x – 2 ) : ( x – 1 )

4) Indica s i e l d iv idendo es div is ib le por e l d iv isor, s in efectuar la div is ión

a ) ( 3 x 4 – 2 x 3 + 6 x – 3 ) : ( x – 3 )

b ) ( 6 x 3 + 2 x 2 – 3 x – 5 0 ) : ( x – 2 )

c ) ( x 3 – 5 x 2 + 3 x + 1 ) : ( x – 1 )

5) Calcula el valor numérico P(a) en los s iguientes pol inomios

a ) P ( x ) = x 4 – x 2 – 6 p a r a a = – 2

b ) P ( x ) = x 3 + x 2 + x + 1 p a r a a = 1

c ) P ( x ) = x 5 – x 3 + 6 x – 3 p a r a a = – 1

6) Aver igua s i 2 es raíz del s iguiente pol inomio

P(x) = 3 x2– 5 x– 2

7) Encuentra las raíces del pol inomio p(x) = x2 – 2 x





4

8) Encuentra el pol inomio de cuarto grado cuyas raíces son 2, 3, –2, –1 y el

valor del coef ic iente de cuarto grado es 2.

9) Encuentra el pol inomio P(x) de tercer grado cuyas raíces son los números 1,

2, –2 s iendo

a) P(0) =2

b) P(0)=12

10) Simpl i f ica las fracciones racionales

a) 1 6 x 4 – 1

4 x 2 + 1

b) x – 9

x

1 + 3

x

11) Calcula el resto de dividi r 4x3+2x–10 por

a) x–3

b) x+3

c) x–1

12)Determina el valor de a para que el pol inomio

4 x 3 + a x 2 + 3 x – ( 3 a + 1 )

sea divis ib le por x+2

13) Determina los coef ic ientes a, b y c para que el pol inomio x3+ax2+bx+c sea

div is ib le por x, por x – 2 y por x + 2

14) Calcula

a) x5–32

x–2





5

b) x4–256

x+4

c) x4–256

x–4

d) x4+ 81

x+3

e) x4+ 625

x – 5

15) Factorea los siguientes pol inomios

a ) 6 x y 3 – 3 x 2 y 2 – 1 8 x 3 y

b ) 2 5 x 5 + 1 5 x 4 – 5 x 3

16) Factorea

a ) a x – b x – a y + b y

b ) x y – x z + u y – u z

c ) 2 x – 2 y + 2 – x z + y z – z

d ) 2 x y – 6 x + 5 y 2 – 1 5 y

17) Factorea:

a ) x 4 + 8 x 2 + 1 6

b ) a 4 – 1 0 a 2 + 2 5

c ) 4 x 2 + 1 2 x 4 + 9 x 6

18) Factorea

a ) x 9 + 6 x 6 + 1 2 x 3 + 8

b ) 8 y 6 – 3 6 x y 4 + 5 4 x 2 y 2 – 2 7 x 3

c ) 1 2 5 x 6 – 2 5 x 4 y + 5 x 2 y 2 – 1 y 3

8 4 6 2 7

19) Factorea





6

a ) 1 6 – y 2

b ) 1 6 9 y 6 – 6 4 x 4

20) Factorea

a ) 1 6 9 x 4 – 4 9

b ) y 5 + 3 2

RESOLUCIÓN

1)

a ) – 2 x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 4

b ) 4 x 3 – 8 x – 2

c ) 2 x 3 + 1 2 x 2 – 1 0 x – 6 – 3 x 3 + 3 x 2 – 1 8 x + 9 =

= – x 3 + 1 5 x 2 – 2 8 x + 3

d ) x 3 – 5 x 2 + 7 x – 3

x 2 – 3 x + 5

x 5 – 5 x 4 + 7 x 3 – 3 x 2

– 3 x 4 + 1 5 x 3 – 2 1 x 2 + 9 x

5 x 3 – 2 5 x 2 + 3 5 x – 1 5

x 5 – 8 x 4 + 2 7 x 3 – 4 9 x 2 + 4 3 x – 1 5

e ) 1 – 2 x + 3 x 2 – 5 x 3

5 + 4 x – 2 x 2 + x 3

5 – 1 0 x + 1 5 x 2 – 2 5 x 3

4 x – 8 x 2 + 1 2 x 3 – 2 0 x 4





7

– 2 x 2 + 4 x 3 – 6 x 4 + 1 0 x 5

x 3 – 2 x 4 + 3 x 5 – 5 x 6

5 – 6 x + 5 x 2 – 8 x 3 – 2 8 x 4 + 1 3 x 5 – 5 x 6

2)

a) x5 + 3 x4 + 2 x3 – x + 2 2 x3 – x + 1

– x5 + 1 x3 – 1 x2 1 x2 + 3 x + 5

2 2 2 2 4

3 x4 + 5 x3 – 1 x2 – x + 2

2 2

– 3 x4 + 3 x2 – 3 x

2 2

5 x3 + x2 – 5 x + 2

2 2

–5 x3 + 5 x – 5

2 4 4

x2 – 5 x + 3

4 4

b)

x3 – 2 x2 – 3 x + 1 x2 – 3 x + 2

– x3 + 3 x2 – 2 x x + 1

x2 – 5 x + 1

– x2 + 3 x – 2

–2 x – 1

3–

a)





8

3 6 0 –1 1

–2 – 6 0 0 2

3 0 0 –1 3

Cociente : 3 x3 –1

Resto : 3

b)

1 0 0 0 –3

2 2 4 8 16

1 2 4 8 13

Cociente: x3 +2 x2 + 4 x + 8

Resto : 13

c)

1 0 0 0 3 –2

1 1 1 1 1 4

1 1 1 1 4 2

Cociente:x4 + x3 +x2 + x + 4

Resto: 2

4–

a) 3 (3)4 – 2 (3)3 + 6 (3) – 3 =

= 243 – 54 + 18 – 3

= 204





9

El d iv idendo no es div is ible por el d iv isor

b) 6 (2)3 + 2 ( 2 )2 – 3 ( 2 ) – 50 =

= 48 + 8 – 6 – 50

= 0

El d iv idendo es div is ib le por el d iv isor

c) (1)3 – 5 (1)2 + 3 (1) + 1 =

= 1 – 5 + 3 + 1

= 0

El d iv idendo es div is ib le por el d iv isor

5)

a) P(– 2 ) = (– 2)4 – ( –2 )2 – 6

= 16 – 4 – 6

= 6 P(– 2) = 6

b) P(1) = 13 +12 + 1 + 1

= 4 P(1) = 4

c) P(– 1) = (– 1 )5 – (– 1 )3 + 6 ( – 1) – 3

= – 1 + 1 – 6 – 3

= – 9 P (– 1 )= – 9

6) P(2) = 3 (2)2 – 5 (2) – 2

= 12 – 10 – 2

= 0

∴P(2) = 0; 2 es raíz del pol inomio.

7) x2 – 2 x = x ( x – 2 )

para que P(x) se haga cero: x=0 ∨ x – 2 = 0

las raíces son: x = 0 y x = 2





10

8) Siendo P(x) de enésimo grado o sea de la forma

P(x) = a0 xn + a1 xn – 1 + a2 xn – 2 + . . .+ an

Y siendo x1; x2 ; . . . . ; xn sus raíces

P(x) = a0 (x– x1 ) ( x – x2) . . . (x – xn)

El pol inomio buscado es entonces:

P(x) = 2 (x – 2) (x – 3 )( x + 2 ) ( x + 1 )

P(x) = 2 (x2 – 5 x + 6 ) ( x2 + 3 x + 2 )

P(x) = 2 x4 – 4 x3 _ 14 x2 +16 x + 24

9) P(x) = a0 (x – 1)( x – 2 ) ( x + 2 )

= a0 ( x2 – 3 x + 2 ) ( x + 2 )

= a0 ( x3 +2x2– 3 x2 + 2 x + 4 )

= a0 x3 – a0 x2 –4 a0 x + 4 a0

a) P(0) = 2

4a0 = 2

a0 = 1/2

P(x) = 1 /2 x3 – 1/2 x2 – 2 x + 2

b) P(0) = 12

4 a0 = 12

a0 = 3

P(x) = 3 x3 – 3 x2 – 12 x + 12

10)

a) 16 x4 – 1 = (4 x2 + 1 ) ( 4 x2 – 1 ) = (2x + 1)( 2 x – 1 )

4 x2 + 1 4 x2 + 1

b) x – 9 x2 – 9

x = x = ( x + 3 )( x – 3 ) = x – 3





11

1 + 3 x + 3 x + 3

x x

11)

a) 4 (3)3 + 2 (3) – 10 = 108 + 6 – 10

= 104

b) 4 (– 3 )3 + 2 ( – 3 ) – 10 = – 108 –6 – 10

= – 124

c) 4 ( 1 )3 + 2 ( 1 ) – 10 = – 4

12)

4 ( –2) 3 + a ( –2 )2 + 3 ( –2 ) – ( 3 a + 1 ) = 0

– 32 + 4 a – 6 – 3 a – 1 = 0

a – 39 = 0

a = 39

a = 39

13) Para que sea div is ib le por x: c = 0

Para que sea div is ib le por x – 2 :

23 + a 22 + b 2 + c = 0

8 + 4 a + 2 b + c = 0

c = 0

4 a + 2 b = – 8 (1)

Para que sea divis ib le por x + 2 :

(– 2 )3 + a ( – 2 )2 + b ( – 2) + c = 0

–8 + 4 a – 2 b + c = 0

c = 0

4 a – 2 b = 8 (2)

De (1) y (2) :

4 a + 2 b = – 8





12

4 a – 2 b = 8

Sumando miembro a miembro

8 a = 0 a = 0

Restando miembro a miembro

4 b = –16 b= – 4

14) a) x5 –32 = x4 + 2 x3 + 4 x2 + 8 x + 16

x – 2

x5 –32 es div is ible por x – 2

1 0 0 0 0 –32

2 2 4 8 16 32

1 2 4 8 16 0

b) x4 – 256 = x3 – 4 x2 + 16 x – 64

x + 4

x4 – 256 es div is ible por x + 4

1 0 0 0 –256

–4 –4 16 –64 256

1 –4 16 –64 0

c) x4 – 256 = x3 + 4 x2 + 16 x + 64

x – 4

x4 – 256 es div is ible por x – 4





13

1 0 0 0 –256

4 4 16 64 256

1 4 16 64 0

d) x4 + 81 = x3 - 3x2 + 9x – 27 + 162

x + 3 x + 3

x4 + 81 no es div is ib le por x + 3

1 0 0 0 81

-3 -3 9 - 27 81

1 -3 9 -27 162

e) x4 + 625 = x3 -5x2 + 25 x + 125 + 1050

x – 5 x – 5

x4 + 625 no es divis ib le por x – 5

1 0 0 0 625

5 5 25 125 625

1 5 25 125 1050

15) Sacamos factor común (pr imer caso)

a) 6 x y3 – 3 x2 y2 – 18 x3 y = 3 x y ( 2 y2 – x y – 6 x2 )

b) 25 x5 + 15 x4 – 5 x3 = 5 x3 ( 5 x2 + 3 x – 1 )





14

16) Formamos grupos de igual número de términos con un factor

común en cada uno de el los (segundo caso).

a) a x – b x – a y + b y = ( a x – b x ) + ( – a y + b y )

= x (a – b ) + y ( – a + b )

= x ( a – b ) – y ( a – b )

= (x – y ) ( a – b )

b) x y – x z + u y – u z = ( x y – x z ) + ( u y – u z )

= x ( y – z ) + u (y – z )

= (x + u ) ( y – z )

c) 2 x – 2 y + 2 – x z + y z – z = ( 2 x – 2 y + 2 )+(– x z + y z –z)

= 2 ( x – y + 1 ) + z ( – x + y – 1 )

= 2 ( x – y + 1 ) – z (x – y + 1 )

= ( 2 – z) ( x – y + 1 )

d) 2 x y – 6 x + 5 y2 – 15 y = (2 x y – 6 x ) + ( 5 y2 – 15 y )

= 2 x ( y – 3 ) + 5 y ( y – 3 )

= ( 2 x + 5 y ) ( y – 3 )

17) Tenemos aquí t r inomios cuadrados perfectos

a) x4 + 8 x2 + 16 = ( x2 + 4 )2

( x2 ) 2= x4 ; 42 = 16

2 x2 4 = 8 x2

b) a2 – 10 a2 + 25 = ( a2 – 5)2

( a2 ) 2 = a4 ; 52 = 25

2 a2 5 = 10 a2

c) 4 x2 + 12 x4 + 9 x6 = ( 2 x + 3 x3 )2

( 2 x )2 = 4 x2 ; ( 3 x3 )2 = 9 x6

2 . 2 x . 3 x3 = 12 x4





15

18) Tenemos aquí cuatr inomios cubos perfectos

a) x9 + 6 x6 + 12 x3 + 8 = ( x3 + 2 )3

( x3 ) 3 = x9 3( x3 ) 2 . 2 = 6 x6

23 = 8 3. x3 .4 = 12 x3

b) 8 y6 –36 x y4 + 54 x2 y2 – 27 x3 = ( 2 y2 – 3 x )3

( 2 y2 )3 = 8 y6 3 ( 2 y2 ) 2 3 x = 36 x y4

( 3 x ) 3 = 27 x3 3 ( 2 y2 ) 9 x2 = 54 x2 y2

c)125 x6 – 25 x4 y + 5 x2 – 1 y3 = ( 5/2 x2 – 1/27 y3 )3

8 4 6 27

( 5 / 2 x2 )3 = 125 / 8 x6 3 ( 5 / 2 x2 )2 1 / 3 y = 25 / 4 x4 y

( 1 / 3 y )3 = 1 /27 y3 3 ( 5 / 2 x2 ) ( 1 / 3 y )2 = 5 /6 x2 y2

19) Tenemos aquí di ferencias de cuadrados

a) 16 – y2 = ( 4 + y ) ( 4 – y )

b) 169 y6 – 64 x4 = ( 13 y3 + 8 x2 ) ( 13 y3 – 8 x2 )

20) Tenemos sumas y potencias de igual grado

a) La di ferencia de potencias de igual grado es s iempre div is ib le por la

d i ferencia de sus bases.

169 x4 – 49 = ( 13 x2 – 7 ) ( 13 x2 + 7 )

la d i ferencia de potencias de igual grado es div is ible por la suma de sus bases

s i e l exponente es par.

169 x4 – 49 = ( 13 x2 + 7 ) ( 13 x2 – 7 )

b) La suma de potencias de igual grado es div is ible por la suma de sus bases s i

e l exponente es impar.





16

y5 + 32 = ( y + 2 ) ( y4 – 2 y3 + 8 y + 16 )





17

I I - Función

Tomando como concepto de función al s iguiente:

“Una relac ión es función s i y solo s i a cada elemento del dominio le corresponde

un único elemento de la imagen o codominio” , aceptamos que en una función

entran “en juego” los s iguientes elementos:

a) A, e l conjunto de part ida que cont iene el dominio

b) B, e l conjunto de l legada;

c) Y= f(x) , la relación funcional

Un ejemplo:

A=C , B=ℜ ; y=2x

o sea:

F={(x,y) / x ε ℜ , y ε ℜ ∧ y =2x}

Con DF= ℜ CF= ℜ (Dominio y codominio respect ivamente)

Representando a la misma en un sis tema de ejes de coordenadas cartes ianas:

R

N

M

M(0,0) ε F ;N(1;2) ε F ; R(2;4) ε F

En general: P(x;2x) ε F





18

En al práct ica, puedes real izar la tabla de valores como sigue:

x

Y = 2x

0

1

2

–1

–2

0

2

4

–2

_ 4

Si A es el dominio, B es el conjunto de l legada y F la función, la notación:

F: A B se lee:

“ la función apl ica al conjunto A en el conjunto B”

Función inyectiva: una función es inyect iva s i y sólo s i a elementos dist intos

del dominio corresponden elementos dist intos de la imagen.

Función suryectiva: una función es suryect iva s i y sólo si todo elemento del

conjunto de l legada es un elemento correspondiente de algún elemento del

dominio.

Función biyectiva : una función es biyect iva s i y sólo s i es inyect iva y

suryect iva.

Función de primer grado de una variable:

y = a x + b de ℜ ℜ ; su gráf ica es una recta

Ecuación de primer grado con una incógnita:

a x + b = 0 ; una solución o raíz

Ecuación de primer grado con dos incógnitas:





19

a x + b y + c = 0 ; inf in i tas soluciones ( todos los puntos que

pertenecen a

y = – a x – c )

b d

Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

a x+ b y+ c = 0

a ’x+ b’y+ c = 0

Si hay solución común el s is tema es compatib le

Si no hay solución común el s istema es incompatible

Si las soluciones son inf in i tas o sea las ecuaciones son equivalentes, el

s is tema es indeterminado.

Un s is tema de dos ecuaciones de pr imer grado con dos incógnitas, se puede

resolver por cuatro métodos:

Método de sust i tuc ión

Método de igualación

Método de reducción por suma o resta

Método por determinantes

Funciones de segundo grado de una variable:

y = a x2 + bx + c de ℜ en ℜ con a ≠ 0

Ecuación de segundo grado:

a x2 + bx + c = 0 con a ≠ 0





20

Se resuelve con la fórmula:

x = –b ± √ b2– 4ac

2a

Las raíces son dos: x1 y x2 y se ver i f ica

x1 + x2 = –b

a

x1 • .x2 = c

a

EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS

1) Indica y just i f ica en que caso la asignación x 1 def ine una función de A

en B: x

a) A=ℜ ∧ B = ℜ b) A=ℜ – {0} ∧ B = Q

c) A=ℜ – {0} ∧ B=ℜ– {0} d) A=ℜ ∧ B = ℜ– {0}

2) Ídem para x x2 – 1 en los s iguientes casos:

x – 1

a) A = ℜ ∧ B= ℜ b) A = ℜ – {1} ∧ B = ℜ

c) A = Z – {1} ∧ B = Q d) A={ – 2; –1; 0; 2} ∧ B = Z – {1}





21

3) ¿Cuáles de las s iguientes gráf icas que representan funciones de

[–2,2] en [0,2]?

a) b)

2

2

-2 2 -2 2

c) d)

2 2

-2 2 -2 2





22

e) f )

2

2

-2 2 -2 2

4) ¿Cuáles de los siguientes gráf icos representan funciones de ℜ en ℜ?

a) b)





23

c) d)

e) f )

5) ¿Cuáles de las s iguientes relaciones en ℜ x ℜ es una función?

a) {(x,y) / x2 + y2 = 1 }

b) { (x,y) /y = 1 }

c) {(x,y) / x > 1}

d) {(x,y) / x3 – 2 y2 + 1 = 0 }

6– Representa en un s is tema de coordenadas cartes ianas las s iguientes

funciones de ℜ x ℜ





24

a) x = – 2

b) y = 4 x + 1

c) y = x

d) y = x

e) y = [x] (entero de x)

f ) y = 4 x2

7) Encuentra los siguientes valores de las funciones

a) y = 6 x – 5 para x = 1, x = – 2; x = 1 / 2

b) y = 3 x – 2 para x = 0, x = 3, x = – 1 / 9

c) f (x) = x2 + x – 1 ; f (1) ; f (–2); f(3)

d) S(t) = 5 t2 – 7 t + 4; S(–2); S(0) ; S(2)

8) Dadas las s iguientes funciones indica el dominio de las mismas.

a) y = – 3 + x

b) y= x2 – 3

2

c) y = ( 4 x + 5 ) ( x – 7 )

d) g(x) = √ x2 – 4

e) f (x) = 2 x

x2 – 9

f ) h(x) = x + 1

x2 – 3 x + 2

9) ¿ En qué casos la f : A B con f(x) = x2 – 5 admite función inversa?

a) A = ℜ ∧ B = ℜ





25

b) A = { x / x ε ℜ+ } ∧ B = ℜ

c) A = ℜ ∧ B = [5, + ∞ )

d) A = [0, + ∞ ) ∧ B = [ 5; + ∞ )

10) Si f(x) = x3 + 2 ¿Cuál de los s iguientes pares ordenados pertenecen al

gráf ico de f – 1?

a) ( 0 ; 0 )

b) ( 0 ; 2 )

c) ( 1 ; –1 )

d) (–1 ; 1 )

e) ( –2 ; 0 )

11) En cada uno de los casos anal iza s i la función es inyect iva, suryect iva,

b iyect iva.

a) f : ℜ ℜ : x x

b) f : ℜ ℜ : x x2

c) f : { x / x ε ℜ ∧ x ≥ 0} ℜ : x x2

d) f : {x / x ε ℜ ∧ x ≥ 0 } { y/y ε ℜ ∧ y ≥ 0 } : x x2

12) En cada uno de los siguientes casos anal izar s i la función cuya

representación gráf ica se da es inyect iva, suryect iva o biyect iva.

a) b)





26

c) d)

13) Resuelve las s iguientes ecuaciones:

a) 5 x – 3 = 2 x + 1

b) ( x + 2 )2 – ( x + 3 ) ( x + 2 ) = ( x + 2 ) ( 2 – x ) + ( x – 1 )2

c) x – 1 – x – 2 + x + 3 = 0

2 5 3

14) Resuelve los s iguientes s istemas

a) 3 x – y = 3

x + y = 1

b) 2 / 3 x + 1 / 2 y = – 1

3 / 4 x – 1 / 2 y = 1 / 4

c) –2 x + 4 y = 2

x – 2 y = –1

d) 3 x + 2 y = 5

2 x – y = 0

e) 4 x + y = 3

2 x – y = 2





27

15) Resuelve gráf icamente los s iguientes s is temas:

a) 2 x + y = 7 b) 3 x – 2 y = 7

4 x + 2 y = 2 2 x + y = 7

c) 2 x + y = 3 d) 4 x – 7 y = 0

4 x + 2 y = 6 x – 4 y = 0

16) Representa gráf icamente las s iguientes funciones:

a ) y = (x – 3 )2

b) y = x2 – 4

c) y = – x2 + 2

d) y = 3 ( x – 1 ) ( x + 3 )

e) y = – 2 x ( x – 1 )

f ) y = x2 – 2 x + 4

17) Escr ibe la función y = a x2 + b x + c para la s iguiente gráf ica:

x = 2

(0;3)

1 3

18) Resuelve las s iguientes ecuaciones de segundo grado:

a) 4 x2 – 49 = 0





28

b) 64 x2 – 1 = 0

c) 3 x2 + 5 x = 0

d) 2 x2 – 8 x + 6 = 0

e) x2 – 2 x – 3 = 0

f ) x2 + 4 x = 5

g) x2 + 4 x = 0

h) 12 x2 + 12 = 25 x

19) Escr ibe la ecuación de segundo grado sabiendo que sus raíces son:

a) (1; – 1 / 4 )

b) ( –1 / 2 ; 2 / 3 )

20 )La suma de las raíces de una ecuación de segundo grado es 1 y e l producto

de las mismas es –2.

Escr ibe la ecuación y calcula esas raíces.

21) Representa gráf icamente, en forma aproximada, las s iguientes ecuaciones:

a) y = x4

b) y = – x4

c) y = 2 x3

d) y = – 2 x3

e) y = x3 – 1

f ) y = x4 – 4 x2

22) Determina los valores de b para que la ecuación

x2 + b x + 6 = 0

a) tenga dos soluciones reales

b) tenga una raíz doble

c) no tenga soluciones reales

23) Factorea los siguientes pol inomios:

a) x2 – 5 x + 6





29

b) x2 + 4 x + 3

c) x2 – 4 x + 3

24) Estudia el s igno de las expresiones:

a) x2 – 25

b) 4 x2 + 9

c) 3 x2 – 5 x

25) En una caramelera hay caramelos. A Jorge le doy la mitad de los

caramelos, la tercera parte de los que quedan a Rosa, y la cuarta parte de los

que quedan le doy a Diana. En la caramelera quedan aún 6 caramelos. ¿Cuántos

había antes de invi tar a mis amigos?

26) En el corral hay patos y cerdos. Cuento 20 cabezas y 52 patas ¿ Cuántos

patos y cerdos hay en el corral?

RESOLUCION

1) Anal izamos si la as ignación x 1 def ine una función en

x

cada caso dado.

Teniendo en cuenta que la d iv is ión por cero no existe, es x = 0 no perteneciente

al dominio de la asignación dada.

Para los casos a) , b) y d) la as ignación x 1 no es función.

x

Para el caso c) s í es función.

Si se completara la asignación dada con

x 1/x s i x ≠ 0

0 0

e l dominio será R y la asignación es función de ℜ ℜ

2– Anal izamos la relac ión x x2 – 1 y observamos que debemos

x – 1

exceptuar a x = 1 para evi tar la d iv is ión por cero.





30

Entonces la presente asignación es función de

ℜ – {1} ℜ

Por lo tanto para el caso a) no es función; para el caso b) sí es función; para el

caso c) es función de Z – {1} Q

En el caso d) no es función porque cero no t iene imagen en B.

3) a) Sí ; [– 2; 2 ] es el dominio ; [0; 2] es el conjunto de l legada; y para cada

elemento del dominio le corresponde un único elemento en la imagen.

b) Sí ; ídem anter ior .

c) Sí

d) Sí

e) No; porque [0; 2 ) no t iene imagen en [0;2]

f ) No; porque para cada x que pertenece a [–2;2] le corresponde dos valores en

la imagen

4) No todos los gráf icos representan funciones de ℜ ℜ .

En a) se t iene una función ℜ ℜ+ + {0}

En c) se t iene una función de ℜ ℜ+ – {0}

En f) una función de ℜ ( – ∞ ; a]

En b) , d) y e) son funciones

Gráf icamente, s i t razamos una recta vert ical por cualquier punto del e je x, la

misma corta en un solo punto a la gráf ica.

5) a) { (x,y) / x2 + y2 = 1 }

La re lación x2 + y2 = 1 se escr ibe también de la forma

y = ± √1 – x2. De aquí comprobamos que a cada valor de x de ℜ le

corresponde dos valores de y .

Por lo tanto no es función.

b) Sí es una función. Aquí todos los valores de y son iguales a 1. Tenemos una

función constante.

c)No es función porque para cada x hay inf in i tos y en el p lano.

d){(x ; y) / x3 – 2 y + 1 = 0 }

x3 – 2 y + 1 = 0 se puede escr ibir como y = 1 + x3

2

Entonces para cada x le corresponde un valor de y. Es una función de

ℜ ℜ .





31

6)

a) b)

-2

c) d)





32

e) f )

°

° ° ° 1 2 3 4

7) a) y = 6 x – 5 ; y1 = 1 ; y– 2 = – 17 ; y ½ = – 2

b) 3 x – 2 ; y 0 = –2 ; y 3 = 3 x 3 – 2=7 ; y – 1 / 9 = –7/3

c) f(x) = x2 + x – 1 ; f (1) = 1 ; f (–2) = 1 ; f (3) = 11

d) S(t) = 5 t2 – 7 t + 4 ; S(–2) = 30 ; S(0) = 4 ; S(2) = 10

8)a) y = –3 + x ; D = ℜ .

Real izando la gráf ica se comprueba fáci lmente

b) y = x2 – 3 ; D =ℜ

2

c) y = ( 4 x + 5 ) ( x – 7 ) ; D = ℜ

d) g(x) = √ x2 – 4 ; x2 = 4 ; x≥ 2 ; x ≥ –2 ó x ≥ 2

e) f (x) = 2 x ; x ≠ 3 x ≠ –3 ;

x2 – 9

D = ( – ∞ ; – 3 ) U ( –3; 3) U ( 3 ; + ∞ )

f ) h(x) = x + 1 ; x + 1 = x + 1





33

x2 – 3 x + 2 x2 – 3 x + 2 (x – 1 ) (x – 2 )

D = (–∞ ; 1 ) U ( 1 ; 2) U ( 2; +∞ )

9) f (x) = x2 – 5 t iene como dominio a ℜ y codominio a [–5 +∞ ) .

Por lo tanto para los casos:

a) No t iene inversa

b) No t iene inversa

c) No t iene inversa, y

d) Sí; t iene inversa

En el caso d) ¿ la función es biyect iva?. Traza la gráf ica.

3

10) f– 1 (x) = √x – 2

Pertenecen a la f – 1 los pares que la ver i f ican

3

( 0; 0 ) ∉ f – 1 pues no la ver i f ica ya que 0≠ √ 0 – 2

( 0; 2 ) ∉ f – 1

( 1;–1 ) ε f – 1

(–1; 1 ) ∉ f – 1

(– 2; 0 ) ∉ f – 1

11)

a) f : ℜ ℜ : x x; es inyect iva; para números reales dist intos le

corresponden reales dist intos. Es suryect iva: el codominio es ℜ . Por lo tanto es

biyect iva.

b) f : ℜ ℜ : x x2 ; No es inyect iva: – 2 ≠ 2 ;(– 2 )2 =(+ 2 )2 . No es

suryect iva. Su codominio es [0 ; + ∞ ) . No es biyect iva

c) f : { x / x ε ℜ ∧ x ≥ 0 } → ℜ :x x2 . Es inyect iva : a cada x le corresponde

un y d is t into. No es suryect iva: su codominio es [0;+ ∞ ) .No es biyect iva.

d) f : { x / x ε ℜ ∧ x≥ 0 } { y / y ε ℜ ∧ y ≥ 0} x x2 .

E s i n y e c t i v a . E s s u r y e c t i v a . E s b i y e c t i v a .

12) a) no es inyect iva. Para x ∧ – x le corresponde la misma imagen. No es

suryect iva: R t iene elementos que no se corresponden con los elementos del





34

dominio. No es biyect iva.

b) Es inyect iva. Es suryect iva. Es biyect iva.

c) Es inyect iva. No es suryect iva. No es biyect iva.

d) No es inyect iva : existen valores de x d is t intos que t ienen la misma imagen.

Es suryect iva. No es biyect iva.

13) a) 5 x – 3 = 2 x + 1

5 x – 2 x = 1 + 3

3 x = 4

x = 4 / 3

b) ( x + 2 )2 – ( x + 3 ) ( x – 2 ) = ( x + 2 ) ( 2 – x ) + ( x – 1 )2

x2 + 4 x + 4 – x2 – x + 6 = 2 x + 4 – x2 – 2 x + x2 – 2 x + 1

3 x + 2 x = 5 – 6 – 4

5 x = – 5

x = 1

c) x – 1 – x – 2 + x + 3 = 0

2 5 3

15 x – 15 – 6 x + 12 + 4 x + 12 = 0

30

13 x + 9 = 0

x = – 9 / 13

14) a) 3 x – y = 3

x + y = 1

Resolvamos el s is tema apl icando el método de sust i tuc ión:

y = 1 – x de la segunda ecuación

Reemplazamos en la pr imera:

3 x – ( 1 – x ) = 3

3 x + x = 3 + 1

4 x = 4

x = 1

Reemplazando en:

y = 1 – x





35

y = 1 – 1

y = 0

Apl icamos el método de igualación:

2 / 3 x + 1 / 2 y = – 1

3 / 4 x – 1 / 2 y = 1 / 4

4 x + 3 y = – 6 y = – 6 – 4 x

3 x – 2 y = 1 3

y = 3 x – 1

2

–6 – 4 x = 3 x – 1

3 2

–12 – 8 x = 9 x – 3

–17 x = 9

x = – 9 / 17

Reemplazamos el valor de x encontrado en cualquiera de las igualdades que dan

el valor de y en función de x se obt iene el valor de y. Por e jemplo, s i

reemplazamos en la segunda igualdad se t iene:

y = 3 (–9 / 17) – 1

2

y= – 22 / 17

c) – 2 x + 4 y = 2

x – 2 y = 1

Apl icamos el método de reducción por suma o resta

–2 x + 4 y = 2

2 x – 4 y = 2

Sumando miembro a miembro l legamos a 0 = 4

En efecto el s istema no es otro que el s iguiente:





36

– ( 2 x – 4 y) = 2

2 x – 4 y = 2

El s is tema es incompat ib le: las soluciones de la pr imera ecuación no son las de

la segunda.

d) 3 x + 2 y = 5

2 x – y = 0

6 x + 4 y = 10

6 x – 3 y = 0

Restando miembro a miembro:

7 y = 10 ∴ y = 10 / 7

3 x + 2 y = 5

4 x – 2 y = 0

Sumando miembro a miembro:

7 x = 5 ∴ x = 5 / 7

e) 4 x + y = 3

2 x – y = 2

Apl icamos el método de igualación:

y = 3 – 4 x

y = 2 x – 2

3 – 4 x = 2 x – 2

– 6 x = – 5 ∴ x = 5 / 6

Remplazando en alguna igualdad que da a y en función de x se t iene el valor de

y. Por ejemplo, en la segunda:

y = 2 . 5 / 6 – 2 ∴y = –1 / 3

15) Representando en un s is tema de coordenadas cartes ianas cada ecuación





37

del s istema, podemos hal lar gráf icamente la solución del mismo.

a)

y = 7 – 2 x

y = 2 – 4 x

2

El s is tema es incompat ib le ya que las rectas no se cortan.

b)

(3,1)





38

Representamos: y = 3 x – 7

2

y = 7 – 2 x

( 3 ; 1 ) es el punto de intersección y sus coordenadas son las soluciones del

s is tema.

c)

Representamos : y = 3 – 2 x

y = 6 –4 x

2

Las dos rectas están

superpuestas: e l s is tema es

indeterminado.

d)

Representamos : y = 4 / 7 x

y = 1 / 4 x

La intersección es ( 0; 0 )

16)Todas las gráf icas son parábolas

a) y = ( x – 3 )2 ; y = x2 – 6 x + 9

Como a > 0 las ramas van hacia

arr iba

( 3 ; 0 ) intersección con el e je x

x v = – b / 2 a ; x v = 3 , y v = 0





39

b)

y = x2 – 4 ; a > 0 : las ramas van

arr iba.

y = ( x – 2 ) ( x + 2 ) ; se anula

para x = 2 y x = –2.

Los puntos de intersección son

(–2; 0 ) y ( 2 ; 0 )

xv= 0 ; yv =–4 ; (0; –4) vért ice

c)

y = –x2 + 2 ; a <0 : las ramas van

hacia abajo

y = –( x2 – 2 )= –( x + √2 ) ( x–√2 )

(– 2 ; 0 ) ( 2 ; 0 ) : puntos de

intersección con el e je x

x v = 0 ; y v = 2 ; ( 0 ; 0 ) vér t ice

de la parábola.





40

d)

y = 3 ( x – 1 ) ( x + 3 ) ; a > 0 ; las

ramas van hacia arr iba.

(1; 0 ) , ( –3 ; 0 ) puntos de

intersección con el e je x.

y = 3 x2 + 6 x – 9 ;

x v = –1 ; y v = –12

e)

y = –2 x ( x – 1 ) ; a < 0 : las ramas

están hacia abajo

( 0 ; 0 ) ( 1 ; 0 ) , puntos de intersección

con el e je x.

y = – 2 x2 + 2 x ; xv = 1 / 2 ; yv = 1 / 2

f )

y = x2 – 2 x + 4 ; a > 0 : las ramas

están hacia arr iba.

x v = 1 ; y v = 3

Corta al e je y, en y = 4





41

17) Los punto (0;3) ;(1;0) ; (3;0) sat is facen a y = a x2 + b x + c.

Reemplazando se obt iene:

c=3

a + b + c = 0

3a +3b + c = 0

Resolviendo el s is tema se t ienen los valores de:

a= 1; b= –4; c= 3

Por lo tanto la función es:

y =x2 – 4 x + 3

18) a) 4 x2 – 49 =0

4x2 = 49

x2 = 49 /4

∴x1 = 7/2

x2 = –7/2

b) 64 x2 – 1 = 0

64 x2 = 1

x2 = 1/64

∴x1 = 1/8

x2 = –1/8

c) 3 x2 + 5 x = 0 ; x (3 x + 5 ) = 0

∴x1 = 0

3 x + 5 = 0; ∴ x2=–5/3

d) 2 x2 – 8 x + 6 = 0

Apl icamos la formula de resolución:

x= – b ± √ b2 – 4 a c

2 a





42

Obtenemos x1= 3 ; x2 =1

e) x2 – 2 x – 3 = 0

Apl icamos la misma formula obtenemos x1= 3 y x2= –1

f ) x2 + 4 x = 5 ; x2 + 4 x – 5 = 0

Apl icando la misma formula obtenemos x1=1 y x2= –5

g) x2 + 4 x = 0 ; x ( x + 4 ) = 0

x1= 0

x2 = –4

h) 12 x2 +12 = 25 x ; 12x2 – 25 x + 12 = 0

Apl icando la formula de resolución obtenemos:

x1 = 4/3

x2 = 3/4

19) a) x1 + x2 = 3 / 4

x1 . x2 = –1/4

La ecuación es: x2– 3 / 4 x – 1 / 4 = 0

o también: 4 x2 – 3x – 1 = 0

b) x1+ x2 = 1/6

x1 . x2 = –1/3

La ecuación es: x2– 1/6 x – 1/ 3 = 0;

o también: 6 x2 – x – 2 = 0

20 ) x1 + x2 = 1

x1 . x2 = –2

La ecuación es : x2 – x – 2 = 0





43

Apl icamos la formula de resolución, obtenemos los valores:

x1 = 2 y x2 = –1

2 1 ) a ) P a r a v a l o r e s o p u e s t o s d e x

c o r r e s p o n d e n v a l o r e s i g u a l e s y

p o s i t i v o s d e y .

La gráf ica está en el 1° y 2°

cuadrantes.( 0; 0 ) sat is face la

ecuación, entonces, por e l or igen.

Con algunos valores tentamos su

gráf ica.

b) y= –4 x4

La gráf ica es simétr ica de

la anter ior con respecto del

e je x.

c)y= 2 x3 Si x>0 ; y >0

x<0 ; y <0

x= 0; y =0

La gráf ica está en el pr imer y

tercer cuadrante. Tentamos la

gráf ica.





44

d)y= –2 x3

L a g r á f i c a e s t a e n e l

s e g u n d o y c u a r t o

c u a d r a n t e .

Es s imétr ica con respecto

del eje x.

e)y = x3 – 1

y= (x – 1 ) (x2 + x + 1 )

x – 1 = 0 ; x2 + x + 1 = 0

x1= 1 ; x2 + x + 1 = 0 no t iene

raíces reales. (1;0) es

intersección con el e je y. (0;–1)

con el e je x.

Si x>0 ; y >0 . Si x <0 ; y <0.

Si 0<x<1; y<0

f ) y = x4 – 4 x2

y = x2 ( x2 – 4 )

y = x.x (x+2) (x–2); los puntos

(0;0) , (–2;0) , (2;0) son las

intersecciones con x.

Con algunos valores tentamos la

gráf ica.





45

22) a) Part iendo de la formula

x= – b ± √ b2 – 4 a c

2 a

b2 – 4 a c > 0 ; b2 – 24 > 0; b2 > 24 ; b > √ 24; b > 2 √ 3

Es entonces: b > 2 √ 3 ó b < – 2 √ 3

b) b2 – 4 a c =0; b2 – 24 = 0 b2 = 24 ; b = √ 24 ; b = 2√ 3

b= 2√ 3 ó b = – 2 √ 3

c) b2 – 4 a c <0 ; b2 – 24< 0 b2 < 24 ; b < 2 √ 3 ; – 2 √ 3< b < 2 √ 3

23) a) x2 – 5 x + 6 = ( x – 2 )( x – 3 ) ; 2 y 3 son las raíces.

b) x2 + 4 x + 3 = ( x + 1 ) ( x + 3 )

c) x2 – 4 x + 3 = ( x – 1 ) ( x – 3 )

24) a) y = x2 – 25

y= (x + 5 ) ( x – 5 ) ; x= –5 ó x = 5 cuando y = 0

Las ramas van hacia arr iba

–5 < x < 5 ; y < 0

x < –5 ó x > 5 ; y > 0

b) y = 4 x2 + 9

y = 4 ( x2 + 9 / 4 )

Las ramas van hacia arr iba; no hay valores reales de x que hagan cero a y. Para

todo x ε ℜ ; y >0.

c) y = 3 x2 – 5 x ; y = x ( 3 x – 5 )

y= 0 s i x = 0 ó x = 5/ 3





46

x < 0; y > 0

0< x < 5/3 ; y < 0

x > 5/3 ; y >0

25) x= número de caramelos

x/2 = caramelos para Jorge

Quedan: x – x / 2 = x / 2 caramelos

1/3(x/2) = x/6 caramelos para Rosa

Quedan : x – x / 2 – x / 6 = x / 3 caramelos

1/4(x/3) = x/12 : caramelos para Diana

Quedan: x /3 – x / 12 = 6

4 x – x = 6

12

3 x = 72 ∴ x = 24

Respuesta: Hay 24 caramelos

26) x= número de patos

y= número de cerdos

Formamos el s iguiente s istema de ecuaciones:

x + y = 20

2 x + 4 y = 52

De la pr imera ecuación:

x = 20 – y





47

Reemplazando en la segunda:

2 ( 20 – y ) + 4 y = 52

40 – 2 y + 4 y = 52

2 y = 12 ∴ y = 6

como x = 20 – y ∴ x = 14

Respuesta: Hay 14 patos y 6 cerdos.

EJERCICIO DE AUTOEVALUACION

1) El producto de las fracciones algebraicas s iguientes

x2– 8 x + 16 . x2 + 2 x – 5 es:

x2 + 3 x – 10 x2 – 16

a) x –4

b) x + 4

c) x – 2

x + 5

d) (x – 4)(x-1)

x + 5

e) x + 5

x – 5

2) ¿Cuál es el resul tado de simpl i f icar la f racción x2 –16 ?

x2– 5x + 4

a) x – 1

x + 1





48

b) x + 4

x – 1

c) x + 4

x + 1

d) x + 4

e) x – 4

x – 2

3) ¿ Para cuál de los s iguientes valores de a , (x – a ) d iv ide al pol inomio

P(x) = x3– 5x2 + 7 x – 3 ?

a) 0

b) 3

c) –1

d) –3

e) 2

4) Dado el pol inomio P(x)= x3 +2 x + c, ¿cuál debe ser el valor de c, para que _1sea raíz de dicho pol inomio?

a) 0

b) –3

c) 4

d) 1

e) 3

5) ¿Cuál debe ser e l valor c para que x + 3 sea uno de los factores del

pol inomio P(x) = – 3 x2 + 2 c – 5 ?

a) – 16

b) – 38

c) 16

d) 38





49

e) 0

7) Dado un pol inomio de grado tres (3) , cuyas raíces son dos complejas y una

real ¿ Cuántos puntos de intersección t iene la gráf ica del pol inomio con el e je x?

a) 3

b) 2

c) 1

d) n inguna

8) Dado p(x) = (x2 – 9 ) ( x + 3 ) ( x2 + 4 x + 3 ) , la raíz

a1 = – 3 ¿de qué mult ip l ic idad es?

a) 3

b) 2

c) 1

d) 0

e) 5

9)El resto de div idir el pol inomio P(x) = (x – 3 ) 5 + x4 – 3 x3

por x – 3 es:

a) 0

b) –10

c) – 1

d) 7

e) 9

10) El pol inomio de grado tres (3) cuyas raíces son –2; 0 y 2, que t iene por

coefic iente pr incipal el número 4, es:

a) 4 x3 – 16 x + 16

b) 4 x3 + 16 x2 + 16 x

c) 4 x3 – 16 x2 + 16 x

d) 4 x3 + 16 x2 + 16

e) n inguno de los anter iores

11) Dado P(x) = x3 – 6 x2 + 3 x + 10 = (x – 5 )(x – 2 ) ( x – a) ,

e l valor de a es:





50

a) –2

b) –1

c) –3

d) 3

e) 1

12) ¿Cuál de las siguientes div is iones es exacta?

a) ( x5 + 32 ) : ( x – 2 )

b) ( x6 + 64 ) : ( x – 2 )

c) ( x5 + 32 ) : ( x + 2 )

d) ( 27 – x3 ) : (3 + x )

e) ( x3 – 27 ) : ( x + 3 )

13) Dada una ecuación de segundo grado cuyas raíces son a1 =3 y a2 = –15.

¿Cuál es la ecuación?

a) x2 +15 x – 45 = 0

b) x2 +12 x = 45

c) x2 +18 x = 45

d) x2 – 12 x – 45 = 0

e) x2 – 18 x + 45 = 0

14) Dada la relac ión x x2– 1 ; def in ida en A B es:

x – 1

a) una función de A en B si A= ℜ y B = ℜ

b) una función de A en B si A =Z – {1} y B = Q

c) una función de A en B si la regla fuese:

x x2–1 s i x ≠ 1

x – 1

x 5 s i x = 1

x 2 s i x = 1





51

d) No es función si la regla fuese:

x x2 – 1 s i x ≠ 1

x - 1

x 2 s i x = 2

15) Dada la función x3 – 8 def in ida en ℜ ℜ t iene por función

3

inversa a:

a) y = 3 x + 8

b) y = √ x3 + 8

3

c) y = 3 x3 + 8

3 d) y = √3 x + 8

3 e) y = √3 x3 + 8

16) ¿Cual de las siguientes re lac iones en R R const i tuye una función?

a) { (x ; y) / x2 + y2 = 1 }

b) { (x ; y) / x = 0 }

c) { (x ; y) / y ≤ 2 x }

d) { (x ; y) / y > x2 }

17) Si una gráf ica representa a la función y = 2 x2 + b x + c, ¿Cuál de las

s iguientes condiciones se cumple ? (xv > 0; yv < 0)

a) b > 0

c > 0

b) b < 0

c < 0

c) b = 0





52

c > 0

d) b < 0

c > 0

e) b > 0

c < 0

18) ¿Cuál es la solución del s is tema de ecuaciones?

1 / 2 x = 2 – 1 / 3 y

2 x + 1 = y

a) x = 27/7; y = 10/7

b) no t iene solución

c) t iene inf in i tas soluciones

d) x= 10/7 ; y = 27/7

e) n inguna de las anter iores

19) Dentro de c inco años Juan tendrá el doble de la edad de Car los. Hace un

año Juan tenía el tr ip le de la edad de Car los. ¿Cuál es la edad de Juan?

a) 19 años

b) 27 años

c) 31 años

d) 36 años

e) n inguna es correcta

20) Si la solución del s is tema

x + y = 3

x + b y = 4

es (x ; y )= ( 1 ; 2) , entonces ¿Cuál es el valor de b?





53

a) 2/3

b) – 3/2

c) 3/2

d) 5/3

e) – 5/2





54

CLAVE DE CORRECCIÓN

1) d) 11) b)

2) b) 12) c)

3) b) 13) b)

4) e) 14) b)

5) c) 15) d)

6) d) 16) b)

7) c) 17) e)

8) a) 18) d)

9) a) 19) a)

10) e) 20) c)





55

Para pensar:

1) Si los lados de un rectángulo se alargan 2cm cada uno, el perímetro vale

24cm. Sabiendo además que la d i ferencia de los lados es de 2

centímetros,¿cuánto miden los lados del rectángulo?

2) Dos números suman 44.Si al mayor lo d iv id imos en tres y al segundo en

cuatro, los nuevos números obtenidos se di ferencian en 3 unidades. ¿Cuáles

son estos números?

3) Un padre, para est imular a su hi jo a que estudie matemát icas, promete

dar le $30 por cada ejerc ic io bien resuel to pero, por cada uno que esté mal, el

h i jo le dará $20. Ya van por e l e jerc ic io 26 y el muchacho recibe de su padre

$380.¿Cuántos ejerc ic ios ha resuelto b ien y cuántos mal?

4) Un avión de vuelo s in motor( avión velero) t iene una velocidad de caída Y

relacionada con la velocidad X del avión guía en el momento de ser sol tado

(ambas en m/s) . Esta relación viene dada por

Y= -1/ 160 x2 + 1/ 4 x – 3/2

¿A qué velocidad debe ir e l avión guía para que el avión velero se mantenga

el mayor t iempo posible en el a ire? (velocidad de caída mínima)

5) Cier to proyect i l , después de ser lanzado, alcanzó una al tura de 213 km.

Su trayector ia fue paraból ica, yendo a caer a 14 km de la base de

lanzamiento. ¿Cuál es la ecuación de la trayector ia?

repasando lo aprendido con una propuesta autoinstruccionaleditorial.unca.edu.ar/publicacione on...

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