¿Qué es relatividad general?

Al hablar sobre relatividad especial, inmediatamente viene a la cabeza la idea de longitudes que sufren la contracción de Lorentz o tiempos que se dilatan. También sugiere la ecuación

y la aparición de un espacio de cuatro dimensiones en el cual una de ellas es el tiempo. Cuando se habla de relatividad general, en cambio, la idea que surge es la gravitación, la desviación de la luz en los campos gravitatorios y los agujeros negros. A simple vista no parece que esto sea más general que lo anterior sino más bien un caso particular en el cual aparecen campos gravitatorios. ¿Dónde, pues está la generalización?

Veremos que un campo gravitatorio es un lugar especial donde el espacio y el tiempo están curvados bajo la acción de la materia. Aquí es donde la relatividad generaliza, ya que la parte especial se dedica a analizar solamente los fenómenos en espacios planos. Un espacio plano es, desde el punto de vista matemático, un caso particular de espacio en donde la curvatura es cero. Por tanto, si elaboramos una teoría que se funde en los mismos principios que la relatividad especial, pero esta vez aplicada en un espacio curvo, obtenemos una teoría más general, matemáticamente hablando. No obstante, desde el punto de vista físico esta parte se confina en campos gravitatorios, de ahí el equívoco de pensar que la teoría general de la relatividad no sea una teoría aplicable en cualquier caso. Aparte de esto, se trata de desarrollar leyes físicas que gobiernen los fenómenos independientemente del lugar y observador que los presencien. Eso es precisamente lo que pretende la teoría tensorial, razón por la cual también se denomina relatividad general.

El fundamento de esta parte de la ciencia, desarrollada como todo el mundo sabe por el ingeniero suizo Albert Einstein, se fundamenta en un postulado de equivalencia entre gravedad y sistemas acelerados. Este principio tiene dos enunciados, uno “débil” y otro “fuerte”. Ambas denominaciones parecen algo misteriosas ya que no hay razón aparente para haberlas llamado así. Veamos en qué consisten.

El principio de equivalencia

En mecánica clásica existe el concepto de masa inercial, enunciado por Newton y que constituye la constante de proporcionalidad entre la fuerza aplicada a un cuerpo y la aceleración que éste adquiere. Llamemos a esta masa de manera que, habitualmente, la ecuación de Newton se escribe como:

Formalmente, este fenómeno no tiene nada que ver con la atracción gravitatoria. De hecho, la fuerza que actúa sobre el cuerpo en cuestión no tiene por qué ser debida a ninguna gravedad sino a cualquier otro fenómeno. La ley de la gravitación de Newton, no obstante, parece que alude nuevamente a la masa, de manera que ésta no cumple aquí ningún factor de proporcionalidad entre fuerza y aceleración sino como agente sensible al campo gravitatorio (dicho sea de paso, algunos autores emplean el término “gravitacional”, que es un barbarismo resultado de una mala traducción del término inglés gravitational). De esa manera,

en donde se ha expresado como la masa responsable de la atracción que el cuerpo sufre en dicho campo. Con ello queremos dar a entender al lector que no existe razón alguna por la cual ambas masas deban coincidir, por tratarse de fenómenos físicos completamente diferentes. No obstante, cuidadosos experimentos revelaron no sólo la proporcionalidad entre estas dos

masas diferentes (inercial y gravitatoria), sino su exacta coincidencia con elevada precisión. Esto hizo pensar a Einstein que una aceleración debida a cualquier motivo era equivalente a la aparición de un campo gravitatorio. Supongamos que un autobús ha quedado estacionado en una rampa descendente. Un viajero que no repare en la posición que ha adoptado el vehículo puede concluir que éste se encuentra frenando. Esto es lo que dice el principio de equivalencia “débil”:cualquier aceleración puede ser considerada como un campo gravitatorio actuando sobre el cuerpo. En el caso inverso, un autobús que frena sería, pues, equivalente a un autobús inclinado en un campo de este tipo.

Más atrevido es aún el “principio fuerte”, puesto que éste dice que un cuerpo en caída libre en un campo gravitatorio es equivalente a como si éste no existiese en absoluto.

Esto puede parecer absurdo, ya que según sabemos por mecánica clásica, un cuerpo en caída libre es aquel que, precisamente, está siendo sometido a una fuerza, y por tanto, a una aceleración. Parece que el principio de equivalencia sugiere que hay igualdad entre los fenómenos cuando éstos son dispares, identificando el movimiento con el reposo. Está claro que el autobús que frena está en movimiento y que si se para en una cuesta está en reposo. La caída libre es indudablemente un movimiento acelerado, fuera del reposo desde el punto de vista clásico y aquí se pretende decir que sí lo está. Parece que esto no tiene sentido; hay, no obstante, cosas importantes que puntualizar.

En primer lugar, existen serias diferencias entre una caída libre y un cuerpo que se está acelerando. Cualquier observador es capaz de detectar esto. Baste para ello comparar los dos casos siguientes: disponemos de una mesa sobre la que situaremos algunas piezas de cristalería frágil. En el primer caso la mesa se encuentra en el interior de un automóvil que acelera uniformemente. Está claro que nuestro objeto peligra porque se verá sometido a fuerzas de inercia que lo harán caer al suelo. Sin embargo ahora se coloca en un ascensor y se cortan los cables que lo sujetan al techo. Indudablemente, al llegar al suelo, la cristalería se hará añicos, pero durante la caída libre todas las piezas de ésta quedarán flotando y en reposo las unas de las otras. Suponga el lector que se monta en una conocida atracción de feria consistente en una plataforma con asientos y que se deja caer en el vacío guiada por un raíl vertical. Si en esas circunstancias se sostiene un libro con la mano, en el momento de la caída libre, si éste se suelta, permanecería flotando en reposo junto a nosotros. Aparentemente esta caída está libre de inercia, es un estado real de reposo. Alguien puede preguntarse por qué la gente chilla cuando cae si se encuentra en reposo. La respuesta no pertenece a la física sino más bien a la biología. El cuerpo humano está tan acostumbrado a la gravedad que cuando se priva de ésta, sus órganos internos flotan, provocando esa sensación, desagradable para unos y excitante para otros, que supone la caída libre.

Una razón más consiste en los laboratorios de ingravidez artificial a la que se someten quienes van a ser astronautas. Éstos consisten en un avión que, manteniendo una velocidad horizontal constante, realizan de pronto una bajada en donde la componente vertical de su movimiento es una caída libre (una parábola en definitiva) que hace que todos los objetos floten libremente. Si se sitúan un par de ellos a una determinada distancia, ésta permanece inalterada mientras dura la trayectoria descendente del avión.

Por consiguiente, estos hechos reafirman la veracidad del principio de equivalencia. Pese a todo, existen objeciones en su contra, puesto que hay hechos que hacen diferir un campo gravitatorio de una fuerza de otro origen. Por ejemplo, el campo decrece con la distancia y tiende a ser nulo en el infinito, cosa que no ocurre si, por ejemplo, empujamos un cohete por medio de motores de combustión. También sucede que la gravedad es un fenómeno con simetría central, lo que tampoco ocurre con todas las fuerzas.

Si evitamos entrar en la discusión sobre la forma geométrica del campo, parece que la aplicación del principio de equivalencia da, por lo general, unos buenos resultados que han sido refrendados por la experiencia. Aparte de esto, las ecuaciones en relatividad general aluden a un espacio curvo con independencia de su origen, de forma que una aceleración lineal puede también ser expresada mediante éstas sin la necesidad imprescindible de tener que acudir a un campo de fuerzas centrales.

Sistemas no inerciales

En relatividad especial se emplean sistemas de referencia inerciales que, como sabemos, son aquellos que se mueven con velocidad relativa constante entre sí.

Es fácil imaginar dos sistemas inerciales en donde existen objetos en reposo en cada uno de ellos. Eso se debe a que, como sabemos bien por mecánica clásica, un cuerpo en equilibrio puede llevar velocidad rectilínea y uniforme. Imaginemos, por ejemplo, un vagón de tren caminando por una vía y con estas características. Dentro podríamos organizar una torre de piezas de cristalería de las más caras sin temor a que éstas se cayesen al suelo y se estrellaran. Incluso, aunque ese tren fuese a más de trescientos kilómetros por hora. ¿Qué circunstancias nos pueden hacer temer por la seguridad de estas piezas? Básicamente tres: un frenazo, que el tren acelere, o que tome una curva cerrada, situaciones que sí harían peligrar las copas de cristal Estas tres circunstancias tienen en común la existencia de aceleraciones.

En relatividad especial, hay dos situaciones equivalentes: La del observador del andén que ve pasar al tren a velocidad , o la del pasajero que considera al tren en el que viaja en reposo y que es el andén quién se desplaza a velocidad – . Ambos puntos de vista son correctos y en ellos se basa, como hemos visto, toda la teoría.

Podemos estar tentados de hacer un nuevo símil, pero esta vez con sistemas acelerados. Supongamos el mismo caso del tren, salvo que ahora éste arranca desde la estación desde velocidad cero y acelera con valor a hasta alcanzar una velocidad . Si pensamos que podemos invertir la situación y pensar que, para el viajero que está en el tren éste se halla en reposo y que es el andén el que acelera con - , veremos que hay algo que no funciona en el razonamiento. El propio viajero siente el tirón de la aceleración, la torre de copas que habíamos colocado sobre la mesa se desplomará, mientras que el observador del andén no ve ni siente nada anormal a su alrededor. Caso de haber construido su propia torre en el andén a ésta no le ocurrirá nada en el momento en el cual el tren arranque; en definitiva, no parece que el fenómeno sea simétrico, lo que sí sucede en sistemas inerciales. Una de las razones fundamentales es que al aplicar una aceleración se está suministrando energía. Esta energía actúa sobre el tren y no sobre el observador ni el resto del andén. Fijémonos en que, caso de conservarse la simetría, ¡la energía debería aplicarse a la Tierra entera!.

Si deseamos crear un sistema acelerado S’ con sentido realista, no basta imaginar unos ejes coordenados matemáticos y suponer que todo el sistema de referencia se mueva con aceleración respecto de S; esto no es física. Para crear ese sistema S’ habría que unir o anclar todos sus puntos mediante barras infinitamente rígidas (concepto ideal de sólido rígido). Sobre este sistema debería actuar, igualmente, una fuerza que se aplique a todos sus puntos simultáneamente.

Todas estas condiciones son, de hecho, imposibles en la práctica. Aunque unamos los puntos de S’ y los anclemos (por ejemplo las chapas de acero que forman el tren), la realidad es que la fuerza no se puede aplicar simultáneamente en todos los puntos de un objeto. Aún cuando se pudiese hacer así, otro observador situado en un sistema de referencia diferente apreciaría, como ya sabemos por relatividad especial, una diferencia de tiempos en los inicios de las fuerzas. Para comprender mejor esto, supongamos una barra tal como se indica en la figura 8.1, y sobre la cual está actuando una aceleración, concretamente sobre el punto A. Aunque la barra no puede ser rígida, como ya se ha dicho, supondremos un caso hipotético en el cual la transmisión de esta aceleración se hará de manera instantánea para el sistema acelerado S’. Situando dos relojes en A y B respectivamente, se tiene que:

. (8.1)

Ahora nos interesa saber qué observa S. Para ello aplicaremos las ecuaciones de Lorentz (2.1) para la transformación de tiempos, y sustituyendo en (8.1):

. (8.2)

Esta fórmula nos da un resultado interesante, puesto que nos confirma, como era de esperar, que para el observador de S, el instante de la aplicación de fuerzas a lo largo de la barra no es instantáneo sino que se propaga por ésta con una velocidad . Podemos visualizar este pulso como una onda o, simplemente, como un objeto que se desplazase de A hasta B.

Por consiguiente, cualquier fuerza se aplica en un punto, y desde éste, se transmite al resto del cuerpo. Lo cierto es que en el propio sistema S’ hay puntos que van a una velocidad y otros que lo hacen con otra distinta porque en la práctica, la barra es elástica y habrá una distribución de velocidades. Visto de esta manera, S’ sería un sistema de sistemas, un conjunto de infinitos sistemas inerciales que se mueven unos respecto de otros con diferentes velocidades. Con esta visión, no sería de extrañar que dentro del propio sistema acelerado S’ no haya concordancia de tiempos ni longitudes. La relatividad especial se crea exclusivamente a partir de sistemas inerciales. Estos otros tendrán que ser necesariamente derivados de los anteriores.

Realicemos un nuevo experimento mental. Para mayor claridad, primero lo haremos con un volante que, posteriormente transformaremos en un disco. En el centro de dicho volante colocaremos un observador A. Sea R el radio del volante, de forma que uno de sus puntos se moverá a velocidad perpendicular al radio R (fig. 8.2).

Aplicando los principios de la mecánica relativista, podemos instalar un sistema inercial en dicho punto del volante, de forma que coincida instantáneamente con el movimiento. Este artifico es semejante al empleado en mecánica clásica cuando se define el centro instantáneo de rotación de un cilindro que rueda sobre una superficie. En un momento infinitamente pequeño se puede considerar que el cilindro gira alrededor de un eje que coincide con la generatriz apoyada sobre el plano. De la misma manera, colocaremos sistemas de referencia inerciales instantáneos (SRII) a lo largo del volante y compararemos losresultados que miden estos observadores.

Sea el elemento de arco del volante que se mueve a velocidad . En otro punto del volante la velocidad ha cambiado de dirección, pero su módulo permanece constante, de manera que allí

instalaremos un nuevo SRII. Por tanto, todos los diferenciales de arco coinciden con la dirección del movimiento en cada punto, y en cada SRII su propio sufre una contracción de Lorentz de idéntico valor. Si es el perímetro del volante en reposo, el observador de A mediría un perímetro contraído de valor:

. (8.3)

Según este resultado, el volante ha encogido haciéndose más pequeño. Parecería lógico pensar pues, que el radio del volante hubiese disminuido consecuentemente en la misma proporción. No obstante, hay una contradicción, puesto que dicho radio permanece perpendicular al vector en todo el trayecto y, por consiguiente, no puede sufrir contracción de Lorentz alguna. Si R es el mismo para el volante en reposo que para el volante en movimiento R’, parece que la ecuación (8.3) representa un fenómeno incompatible, es decir, que mediríamos una relación de perímetro a radio inferior a 2π. Sin embargo, observando la figura 8.3, podemos comprobar que esta situación corresponde a un espacio positivamente curvado. Como se ve claramente, el perímetro de una circunferencia es inferior en este caso a 2πR, dado que el radio se mide sobre la superficie de una esfera. De esta manera, la ecuación (8.3) expresa simplemente la longitud del perímetro contraido en función del perímetro en reposo en un espacio curvado, con lo que R se conserva.

Un espacio también puede estar negativamente curvado, de forma que el observador situado en tal tipo de espacio mediría una relación entre el perímetro y el radio superior a 2π(fig. 8.4).

Una vez hemos sacado la primera conclusión sobre sistemas no inerciales, es decir, que producen una curvatura en el espacio, vamos a analizar qué sucede con las mediciones del tiempo. Para ello bastará con situar un reloj a distancia igual al radio, que gira con el volante. Tal como hemos dicho, el reloj, al girar, irá ocupando diferentes SRII, todos ellos con la misma velocidad tangencial ( ), y como en la dilatación del tiempo es indiferente la dirección y sentido del movimiento, el reloj

siempre retrasará de acuerdo con la ecuación (2.14). Si en lugar de un volante tuviésemos un disco rígido, a medida que nos alejásemos del centro, al ser la velocidad angular constante, aumentará y con ello el retraso del reloj. Esto nos indica que, aúnque el disco sea rígido, la

lectura de los relojes a lo largo de un radio no coincide:

, (8.4)

siendo el tiempo medido a una distancia del centro del disco y el medido en el centro del disco, teóricamente en reposo. Nótese que γ es función de la velocidad radial y ésta, a su vez, de la posición del reloj.

Llegamos a la conclusión de que en un sistema acelerado no se pueden sincronizar los relojes y éstos tendrán diferentes medidas según en qué lugar se encuentren situados en el sistema no inercial.

Para verlo de una forma gráfica, en la animación 8.1 podemos ver que, al girar el disco, se “curva”. Este curvado no debe entenderse, en modo alguno, como que el disco de deforma sino que es un esquema para visualizar una dimensión oculta. En la 8.2 vemos el mismo caso pero añadiendo el tiempo, que se ralentiza en la periferia al aplicar energía al disco.

Anim. 8.1

Anim. 8.2

Notación en relatividad general

Una cuestión básica será la notación a emplear. Para empezar, recordaremos el tensor de Minkowski, resaltando que el -1 del coeficiente métrico nos indica que no estamos en un espacio euclideo.

(8.5)

Cuando hablamos de relatividad especial dijimos que el uso de la unidad imaginaria se había abandonado. La razón es que con el uso de los tensores, ésta es inecesaria. Por ejemplo, un cierto vector A tiene componentes covariantes y contravariantes en un espacio de Minkowski dadas por:

. (8.6)

La notación empleada será en adelante de índices latinos (i, j, k, etc.) para componentes espaciales e índices griegos (µ, ν, etc.) para componentes referidas indistintamente a espacio o tiempo. Reservaremos el cero para componentes exclusivamente temporales. Así, pues, en la ecuación (8.6) vemos que las componentes espaciales covariantes son iguales a las contravariantes , pero las temporales y tienen signos opuestos. Eso hace que el módulo

del vector, dado por tenga su parte temporal negativa. Es decir, que unas componentes covariantes y contravariantes de signo contrario hacen el mismo efecto que la unidad imaginaria. Por citar otro ejemplo, será la cuadrivelocidad (2.21), cuya parte temporal es γ , en este caso se tendrá:

(8.7)

Un operador que emplearemos será nabla:

, (8.8)

que adecuado a un espacio de cuatro dimensiones presentará también un término temporal. En notación matricial, sus componentes covariantes son:

(8.9)

indicando el cuadrado que estamos en cuatro dimensiones. Hay que hace una pequeña salvedad con este operador, y es que, por razones de cálculo, es mejor convenir en que la componente temporal negativa sea la covariante en lugar de la contravariante, como en el resto de los vectores. Mediante el empleo de la notación que hemos dicho, nabla quedará expresada con índices griegos, indicando cualquiera de las componentes, ya sea espacial o temporal:

(8.10)

De esta forma puede expresarse la divergencia de un vector o tensor como:

. (8.11)

Estas cinco expresiones son formas diferentes de decir la misma cosa. Solamente recordar que éstas se hallan expresadas en un espacio de Minkowski plano. En un espacio curvo recordemos que habrá que sustituir la derivada simple por la covariante.

Para terminar la lección hagamos un ejercicio simple de desglose de componentes a fin de que quede clara la notación de índices latinos y griegos. Sea la expresión:

. (8.12)

En ella hay tres índices griegos. Cada uno de ellos representa una coordenada temporal (el 0) y tres espaciales (i, j, k). Supongamos que este cociente está dentro de una ecuación en donde los tres índices están repetidos. Eso supone una suma, y la expresión se puede desglosar primero sobre δ: (0, )

En esta ecuación hemos puesto un solo término espacial (el ) para no complicar excesivamente el ejercicio. El alumno puede añadir otros dos términos, si lo desea, en y . A continuación se desglosa µ:

y por último ν:

.

Esta expresión es idéntica a (8.12). Por simplicidad no hemos añadido los términos en y pero, aún así, se puede comprobar la eficacia de expresarlo con (8.12). Este desglose es, sin embargo, bastante frecuente en relatividad general y se recomienda tener destreza en su uso.

La aproximación newtoniana

Según lo expuesto en la anterior lección, podemos concluir que un sistema no inercial produce una curvatura en el espaciotiempo. Parece que la sencillez de las ecuaciones de la teoría especial de la relatividad no se van a poder seguir manteniendo puesto que ahora nos encontramos con un espacio curvado. Cuando Einstein se enfrentó al problema halló que, por fortuna, ya existían matemáticos que habían desarrollado una teoría sobre espacios curvos lo suficientemente extensa y detallada como para poder ser aplicada a la física. Los espacios curvos de Riemann dejaban de ser una mera entelequia matemática para convertirse en una realidad física.

Naturalmente, al pensar en espacios curvos, la primera idea que acude a la cabeza es la del tensor métrico, puesto que éste es, precisamente, quien mide esta propiedad del espacio. No todo el espacio es curvo, ya que, según lo visto, este problema se presentaba al tratar con sistemas no inerciales; los cuerpos que se mueven a velocidad constante no curvan el espaciotiempo. Una rueda giratoria como la de la animación 8.1 produce esta curvatura, pero aún hay más; si aplicamos el principio de equivalencia postulado por Einstein, nos encontramos con que un campo gravitatorio creado por una masa en reposo también debe curvar el espaciotiempo en el que se halla.

Supongamos un espacio vacío en donde las masas más próximas estén a años-luz de distancia. Podemos, entonces, suponer que el campo gravitatorio en este lugar es prácticamente nulo. Si esto es así, no hay razón alguna para suponer que el espacio no sea plano y entonces se puede aplicar la relación métrica con un tensor métrico típico de espacio plano dado por (4.5), cuyos coeficientes son, como se puede ver, constantes.

Antes de proseguir, recordemos una vez más los convenios que hemos adoptado: los índices en el espacio tridimensional son latinos ( , , ,...) mientras que los griegos (α, β, γ,...) se reservan para el de cuatro dimensiones, englobando, naturalmente, estos últimos a los espaciales. El tensor métrico de un espacio plano se representa por ,(tensor de Minkowski) y tomaremos en adelante la coordenada como .

Antes de comenzar recordemos algunas propiedades de teoría de campos. En particular la fórmula de Poisson:

(8.13)

Dado que φ es un escalar, la primera aplicación de nabla producirá un vector (gradiente), que es un tensor de orden uno. La segunda aplicación de nabla crea la divergencia de ese mismo tensor, al que llamaremos T. Lo único que hay que hacer, como ya se ha dicho con anterioridad, es que en un espacio curvo hay que sustituir las derivadas simples por covariantes (recordemos que la notación de éstas es con un punto y coma), es decir:

(8.14)

Dicho esto, proseguimos con el razonamiento. En ese punto elegido del espacio (plano por estar alejado de la materia), las ecuaciones relativistas se reducen a la relatividad especial, y que ya han sido tratadas. Supongamos ahora que nos aproximamos desde ese espacio plano a una cierta masa que está creando un campo gravitatorio. En tal caso, por superposición, podremos poner que a las componentes del tensor métrico plano se les añade un nuevo término que da lugar a la componente del tensor en el espacio curvo creado por la masa, es decir,

, (8.15)

en donde se ha supuesto que, suficientemente lejos de la masa, el segundo sumando será mucho menor que la componente plana . Dado que las son constantes (-1, 1, 1, 1), si derivamos el tensor respecto a la coordenada , será lo mismo que derivar . Con un razonamiento algo complejo, se puede demostrar la siguiente relación:

,

donde es el gradiente, como sabemos, un vector. Esta ecuación se puede comparar con la de Newton de la mecánica clásica que nos dice que:

,

(8.16)

donde se ha hecho igual a la aceleración de la gravedad (nótese la tipografía diferente para no confundirla con el tensor métrico). Igualando, identificando componentes, y operando se obtiene:

de donde

,

obteniendo de (8.15) el tensor métrico:

. (8.17)

que nos permite calcular el coeficiente en función del potencial gravitatorio φ. A partir de este punto tenemos varias situaciones que se estudiarán a continuación.

Dilatación del tiempo en un campo gravitatorio

En la unidad 4 se demostró la relación entre tiempo universal y tiempo propio mediante la ecuación (4.6):

, (4.6)

Sustituyendo el coeficiente dado por (8.17) resulta:

, (8.18)

donde se ha desarrollado la raíz en serie. Ahora entraremos en casos especiales, dependiendo éstos de la función que adopte el potencial gravitatorio φ. Para un campo constante (que sería, por ejemplo, la aceleración constante de un cohete), se tendría:

(8.19)

y sustituyendo en (8.18):

. (8.20)

Esta ecuación nos indica que en un campo gravitatorio aparece una dilatación del tiempo, ya que el tiempo propio en uno de sus puntos siempre será inferior al universal, . Recordemos que el tiempo universal es aquel que transcurre lejos de la presencia de gravedad.

El segundo caso a analizar será el campo gravitatorio de un cuerpo esférico (planeta, estrella, etc.). Ahora, la aceleración de la gravedad, , es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia con las siguientes consecuencias:

dando una dilatación del tiempo:

(8.21)

El tercer caso incluye una corrección cuando el objeto a estudiar se desplaza por el campo a una velocidad . En este caso se puede demostrar que la dilatación del tiempo vale:

(8.22)

Una de las maneras de comprobar la dilatación del tiempo es mediante el desplazamiento de las líneas espectrales hacia el extremo rojo del espectro. Ello se debe a que, si el tiempo va más lento en un campo gravitatorio, las frecuencias de las oscilaciones deberán ser igualmente más lentas. Eso supone el desplazamiento que hemos citado. Estos desplazamientos de frecuencias se han podido medir en el Sol. No obstante, al realizar las medidas por primera vez se comprobó con sorpresa que los desplazamientos se producían hacia el azul en lugar de hacia el rojo. La razón es que éstas se efectuaron en el centro del disco solar, lugar en el que aparece un fenómeno que enmascara la dilatación temporal debida al campo gravitatorio. Este fenómeno consiste en la proyección violenta de protuberancias que, naturalmente, se mueven con sentido hacia la tierra. Dado que el desplazamiento frecuencial debido al campo gravitatorio es mucho más pequeño que el debido al movimiento, la velocidad del material emitido por el sol hacia la tierra produce un corrimiento de las bandas muy superior al debido al campo, resultando un desplazamiento hacia el azul. No obstante, al medir la longitud de onda de la radiación emitida en los bordes del disco, donde no aparecen proyecciones en dirección a la tierra, se comprobó, efectivamente, la existencia del desplazamiento hacia el rojo esperado.

En 1965 se realizó también un experimento para comprobar el desplazamiento hacia el rojo producido por el campo gravitatorio terrestre. Se realizó en Harvard y consistió en una torre de cuya base partía un rayo luminoso en dirección ascendente. Una medición precisa de la frecuencia detectó un corrimiento de la frecuencia en la magnitud predicha por la relatividad.

Ejemplo . Un edificio tiene diez plantas. En el bajo ha nacido una persona al mismo tiempo que lo ha hecho otra en el último piso. Ambos llegan a vivir 80 años. Calcular cuánto más ha envejecido el del ático respecto del otro.

Supondremos una altura media de pisos de 2,5 m, con lo que la diferencia de alturas será de 25 m. También supondremos que la mayor parte de la vida la han pasado a esa diferencia de alturas. Por último, aplicaremos que la gravedad disminuye en relación a la altura:

Por aplicación directa de (8.21):

,

obteniendo los tiempos propios correspondientes al bajo ( = radio de la Tierra) y al ático ( '=+25). Siendo 80 años=2,5´109 segundos, la diferencia de tiempos propios da un resultado:

En la siguiente animación se ilustra el efecto de la dilatación del tiempo en un campo gravitatorio. Se ha exagerado la diferencia de marcha de los relojes según su posición en el campo para que se pueda apreciar bien. Cuanto menor es la distancia al planeta, más lento es el movimiento de los relojes.

Anim. 8.3

Velocidad de la luz en un campo gravitatorio

También es importante destacar una última propiedad en los campos gravitatorios, y se trata de la no constancia de la velocidad de la luz. El postulado fundamental de la relatividad especial acerca de la constancia de dicha velocidad no se cumple en sistemas no inerciales. Para demostrarlo volveremos a la ecuación (4.2). Para un espacio de Minkowski, sus ídices deberían ser griegos:

y la vamos a desarrollar, desglosándola en términos en 0 (tiempo) y latinos (espacio):

.

Sustituiremos dx0 por d(ct), y particularizaremos esta ecuación para el caso de un rayo luminoso, es decir, haciendo τ=0, o lo que es lo mismo, =0 como se dijo en relatividad:

, (8.23)

pero ahora el móvil es la propia luz, resultando que el espacio recorrido por unidad de tiempo, es la propia velocidad de la luz, pero medida en este sistema no inercial, a la cual

llamaremos . Entonces se tiene que el cuadrado del módulo de se puede obtener por producto escalar de consigo mismo:

. (8.24)

Si ahora se divide (8.23) por se ve que el segundo sumando es, precisamente, (8.24), que

sustituiremos por . Despejando ésta se obtiene la velocidad de la luz en un campo

gravitatorio:

. (8.25)

o también, según (8.17), y aproximando igual que en (8.18):

. (8.26)

Si el campo está creado por una masa, en el infinito no hay campo, con lo que la velocidad de la luz en ese punto será la habitual . Podemos entonces comparar la diferencia de velocidades de la luz medida en un campo newtoniano y fuera de él escribiendo el potencial entre un radio y el infinito, es decir,

,

de donde, sustituyendo en (8.26):

. (8.27)

Este resultado arroja una curiosa conclusión, si nos diese por preguntar qué sucedería si dispusiéramos de una masa lo suficientemente concentrada como para que:

. (8.28)

En tal caso (8.27) indica una velocidad de la luz nula. Más adelante volveremos sobre este tema, y despejaremos el radio de esta ecuación, llamado de Schwarzschild:

(8.29)

Densidad de materia y el tensor de Ricci

Existe una deducción para campos débiles y constantes que muestra la existencia de una relación entre el potencial gravitatorio y el tensor de Ricci. No podemos entrar en la demostración ya que se necesitan conocimientos de álgebra tensorial que no hemos dado. A título informativo diremos que esta relación es:

, (8.30)

ya que más adelante la vamos a necesitar. En definitiva, nos está diciendo que existe una estrecha relación entre la curvatura (componente del tensor de curvatura de Ricci) y la materia o energía, siendo más acusada cuanto más densidad (ρ) exista. Para ilustrar este resultado vamos a observar la animación 8.4:

Anim 8.4

Siempre tomado en sentido simbólico, ya que el espacio se deforma según una dimensión que no vemos, la bola produce una curvatura en el espaciotiempo a medida que pasa. Ésta se manifiesta como una ondulación para el espacio y un ralentizado para el tiempo. Dado que en relatividad especial se demostró la equivalencia entre masa y energía, se obtendrían los mismos resultados si en lugar de una masa, aplicásemos energía. En la siguiente animación se puede ver que el hecho de necender una hoguera, la energía de la misma ralentizaría un reloj.

Anim 8.5

Si tenemos varios excursionistas cerca de un fuego de campamento, los que están más próximos al mismo envejecen más lentamente que los que están lejos. Puede que alguien piense que esto es un revolucionario método para conservar la juventud pero, en la práctica, la diferencia de tiempos es tan mínima que sería improbable hacerse millonario con el invento.

El tensor Energía-Impulso

Este tensor se introdujo entre los años 1908 y 1911 con la idea de generalizar otros tensores que tenían que ver con la distribución de energía en el espacio. Este ente, con naturaleza que casi podríamos calificar de monstruosa, engloba en sí todo tipo de energía existente, concretamente mecánica, electromagnética y masa, ya que cualquier otra forma posible de ésta se puede reducir una de estas tres. Básicamente, la idea fun-damental se expresa mediante la figura 8.5. En ella se puede ver un espacio tridimensional en cuyo seno aparece una superficie que es atravesada por un flujo de partículas, materiales o no (moléculas, electrones, fotones, neutrinos, etc.). Al tratarse de un gas, el movimiento de estas partículas se produce al azar, y podremos expresar una cantidad de movimiento global del sistema como la suma de las cantidades parciales de cada molécula gaseosa, es decir:

. (8.31)

Dado el carácter vectorial de esta suma, no se puede en general, sumar los módulos de las velocidades y multiplicar por la masa total, puesto que habrá partículas moviéndose en direcciones opuestas y se compensarán, dando una suma nula. No obstante, este sería el tratamiento que se daría a un sólido rígido. Supongamos dos moléculas un gas encerrado en un cubo, y que éstas se desplazan con velocidades idénticas en módulo pero sentidos contrarios. Ambas llegan a las paredes opuestas del recipiente y las golpean. En este caso, la acción de las dos moléculas no puede considerarse nula en forma alguna, ya que las paredes sufren un empuje real que se traduce en presión.

La energía de una partícula es, como sabemos, el producto escalar de su cantidad de movimiento por la velocidad, esto es para el caso clásico, y para el relativista, donde y son los cuadrivectores cantidad de movimiento y velocidad. Aplicaremos la expresión ya conocida del producto escalar ; los índices griegos indica que estamos en un espacio de Minkowski de cuatro dimensiones:

.

La componente covariante de la 4-cantidad de movimiento se puede poner en función de la contravariante como aparece en la ecuación (3.35). Después usaremos la definición de descrita en 2.13 que, recordemos era . En este caso, supondremos que los cuerpos viajan a velocidades moderadas, pudiendo poner la masa simplemente ρ (se despreciará el efecto relativista del aumento de la masa):

. (8.32)

Sabemos también, por relativida especial, que E=mc2, luego igualanado (8.32) a esta cantidad se tiene finalmente:

. (8.33)

Es corriente, en relatividad general, usar densidades de masa ρ en lugar de masas. Las ecuaciones son las mismas, salvo que se refieren a la unidad de volumen. También se habló en el apartado §3.11 del producto contraído de dos tensores. Este producto ofrece parejas de valores del tipo producto escalar, esto es, que una de las magnitudes tiene subíndice (componente covariante) y la otra un superíndice (componente contravariante). El propio producto escalar es un producto contraído. En cambio, en el primer miembro de (8.33) aparecen las componentes con superíncides ambas. Este caso corresponde al llamado producto interno o diádico, y da lugar a un tensor de orden superior que, en este caso, llamaremos . Es decir, que por definición:

. (8.34)

Para el sistema con infinidad de partículas de la figura (8.5), cada partícula posee, en general, una velocidad, por lo que pondremos:

, (8.35)

que será, asimismo, la definición formal del Tensor de Energía-impulso. (El nombre correcto en español debería ser Energía-cantidad de movimiento, pero el segundo término resulta excesivamente largo y lo abreviaremos como impulso, al ser éste homogéneo con la cantidad de movimiento). Se puede demostrar que la divergencia de este tensor es nula:

, (8.36)

Cálculo de las componentes del tensor Energía-impulso

Para calcular las componentes y idel tensor recurriremos a algunas aproximaciones. Fundamentalmente supondremos, como antes ya hicimos, que la velocidad de las partículas es muy inferior a la de la luz. Emplearemos la letra para ésta, , y siendo en tal caso 1, la componente contravariante cero de la cuadrivelocidad será simplemente . (ver 2.21). Particularizando ahora (8.35) para 0 y teniendo en cuenta lo dicho:

. (8.37)

Ahora pasaremos a la componente :

, (8.38)

donde se ha hecho = ya que las componentes espaciales de la velocidad serán aproximadamente iguales a la velocidad clásica para esta aproximación.Por último, pasemos a las componentes espaciales del tensor :

(8.39)

Un sencillo razonamiento nos permitirá calcular los sumatorios de (8.38) y de (8.39). Para ello nos fijaremos en la figura 8.6. En ella se han reunido, simplemente, todos los vectores velocidad de las diferentes partículas del fluido en un mismo origen.

Aquí se aprecia que la distribución de direcciones y módulos es al azar. Está claro que la suma vectorial de las tiende a cero a medida que se añaden más y más vectores porque es la suma de números positivos y negativos al azar. Lo mismo pasa para el

producto de dos velocidades cualquiera puesto que el azar direccional se mantiene y suponemos siempre que .

; ,

y como consecuencia,

(8.40)

En el caso en que = , estamos en la componente Tii, y la componente no será nula ya que en la ecuación (8.39) el producto · , al ser un cuadrado, será siempre positivo y no se cancelará. Por tanto:

(8.41)

(El paréntesis en los superíndices se ha puesto para recordar que no hay una suma sobre dicho índice aunque esté repetido). Si recordamos la ecuación (6.18) del párrafo §6.4, se dedujo que la presión de un gas cuyas moléculas poseen una velocidad media según un eje coordenado era:

,

resultado que, comparado con (8.41) nos permite concluir que:

. (8.42)

Por tanto, incluyendo (8.37) se puede poner el tensor completo como:

, (8.43)

o bien, poniendo las componentes explícitamente:

(8.44)

siendo la delta de Kronecker definida en (3.7). Este es el caso en el cual la materia se encuentra en reposo respecto del observador. Cuando observador y materia no se encuentran en reposo relativo, las componentes del tensor se convierten en:

. (8.45)

Aunque el tensor sigue siendo simétrico, nótese que no tiene, en general, por qué ser diagonal (es decir, con ceros en las componentes no situadas en la diagonal). Esto se ve intuitivamente si, al considerar que el observador se desplaza, volvemos a la figura 8.6. Ahora la estrella de vectores no es isótropa sino que aparece una dirección preferente (la del desplazamiento relativo del observador) y los sumatorios no se anularían.

También hay que decir que la deducción que hemos hecho es solamente para energía mecánica. Existe otro desarrollo para la energía electromagnética a través del llamado tensor de Faraday, llegando al tensor de energía electromagnético. La forma es similar a (8.43) y es, en realidad el tensor de energía-impulso, aunque referido esta vez al electromagnetismo. Eso hace que se añada un término más a (8.45) que vamos a omitir por su complejidad y que no añade interés especial, por lo que lo llamaremos simplemente . Pondremos finalmente los dos dos términos, mecánico y electromagnético:

,

quedando el tensor completamente definido.

Las ecuaciones de Einstein

Antes de entrar en la demostración, partiremos de lo que se dijo en la unidad 4, concretamente en el apartado §4.10, recomendando al alumno que vuelva a leerlo. Aquí se definía un tensor derivado del de Riemann, cumpliendo que su divergencia covariante era nula. Dado que el tensor de Riemann es único, este nuevo tensor también lo será. Escribiremos nuevamente (4.16) eliminando el último sumando. De momento, no entraremos en la razón de ello, simplemente admitamos que este término lineal no aportaría en principio grandes cambios. Más adelante veremos que no es así.

. (8.46)

La demostración que nos queda es algo laboriosa y, si el estudiante lo desea, puede ir directamente a las expresiones (8.51) a (8.53), que son las formas de escribir la ecuación de Einstein. Se podía haber puesto la frase: ...se puede demostrar que..., pero la razón de incluir la demostración es que ésta raramente se encuentra en los libros de relatividad, o bien lo está de una forma oscura y muy poco convincente. De esta manera el alumno puede disponer de una demostración comprensible.

Partiremos de la hipótesis de que , con lo que estas componentes espaciales se pueden despreciar, obteniendo:

, ,

Multiplicamos ambos miembros por el tensor métrico produciendo suma respecto a estos índices:

(8.47)

Según el álgebra tensorial, como es el tensor conjugado, el producto de ambos da la matriz unidad, es decir, . Al repetirse el índice , indica que hay una suma respecto de dicho índice. En el primer miembro aparece una expresión que es el escalar de Ricci (ver apartado §4.8):

,

,

e igualando:

(8.48)

Ahora vamos a hacer algún desarrollo auxilair, recordando el convenio de letras griegas y latinas:

,

y sustituyendo en (8.48):

.

Si el lector ha repasado el apartado 4.8, verá que, según la ecuación (4.13), , escalar de Ricci, que también está en el segundo miembro. Eso permite simplificar:

,

y multiplicando por y recordando que :

. (8.49)

Ahora tomaremos la ecuación (8.46) y haremos una operación de subir índices (ver apartado §3.15), particularizando después para la componente 00, con lo cual podemos sustituir el segundo sumando del segundo miembro por (8.49), en donde aplicaremos también la subida de índices:

,

o también, uniendo los dos últimos miembros y eliminando :

,

y ahora aplicaremos la ecuación de la lección anterior, (8.30). También introduciremos (8.37), sacando que:

.

Sustituyendo en la anterior:

(8.50)

Dijimos antes, y se demostró en capítulos anteriores, que el tensor que se define en (8.46) debe ser único, es decir, que cualquier otro posible debe ser una combinación lineal de éste.

También se dijo que la divergencia covariante de debe ser nula, lo cual también se cumple para por (8.36). Si las componentes 00 de y coinciden, resulta lógico pensar que la ecuación se verificará para el resto de las componentes, puesto que si no lo hiciese, significaría que y serían tensores diferentes, en contra de la unicidad. Escribiremos:

, (8.51)

que se conoce como Ecuación de Einstein. También se puede poner en función del tensor de Einstein, que se definió en el apartado §4.9, quedando de forma comprimida, teniendo en cuenta que el primer miembro de (8.51) es, precisamente, este tensor:

. (8.52)

Otra forma de plantear esta ecuación consiste despejar el tensor de Ricci:

, (8.53)

Por supuesto, la llamada Ecuación de Einstein es un sistema de numerosas ecuaciones, ya que, además de particularizar para los índices µ y ν, también existen otras dos formas más con dichos índices bajados (dos veces covariantes).

Como hemos indicado antes, el tensor de energía-impulso posee otro término electromagnético (que hemos omitido por simplicidad). Esto es conceptualmente importante ya que nos dice que la curvatura del espaciotiempo no solamente es debida a la presencia de una masa sino que una concentración de energía en forma de radiación también producirá ese efecto.

La solución de Schwarzschild

Las soluciones de las ecuaciones de Einstein deben hacerse mediante tanteo. El problema que se trata de resolver es, en líneas generales, el de una masa de forma esférica que creará un campo, evidentemente simétrico. En ese caso, consideraremos el vacío circundando a esta masa y en él podremos aplicar las ecuaciones correspondientes. Lo primero que haremos será expresar el campo en coordenadas esféricas, ya que, debido a la simetría del fenómeno, se podrán adoptar simplificaciones importantes. Usaremos el criterio siguiente:

(8.54)

con lo que la métrica de este espacio vendrá dada mediante (4.10). En esta ecuación, los términos que tengan θ φ se podrán eliminar, ya que cuando θ y φ tengan signos contrarios no se conservaría la simetría, en contra de la hipótesis. También consideraremos el fenómeno como estático, definido como una simetría con relación al tiempo, manteniéndose el fenómeno al invertir la flecha de éste. Eso nos permite eliminar también los términos que tengan , manteniendo únicamente ( )2. Por tanto, el elemento de arco en esféricas lo expresaremos como:

, (8.55)

siendo y dos funciones que tenemos que determinar. Schwarzschild probó para estas funciones soluciones del tipo:

. (8.56)

La razón es que cuando estemos lo suficientemente lejos de la masa, la métrica deberá ser lo más parecida a un espacio minkowskiano plano, cuyo tensor se citó en (8.5), es decirm que tanto como deberán ser la unidad para . Para resolver este problema, hay que conocer el tensor de Ricci, el cual se despeja de la ecuación de Einstein (8.53). Las condiciones a imponer son que, estando en un punto del espacio exterior a la masa, tendremos el vacío, siendo ρ=0 (densidad nula) y presión nula =0. En ese caso, (8.53) queda simplemente como:

La ecuación parece engañosamente sencilla, pero entraña algunos cálculos que omitiremos. Simplemente diremos que, de igualar el tensor de Ricci a cero, resultan ser las funciones:

, (8.57)

en donde es el radio de Schwarzschild, citado ya en la lección 2, ecuación (8.29). Queda, pues, la métrica:

,

(8.58)

constituyendo la solución de Schwarzschild buscada.

Geodésicas en la métrica de Schwarzschild

1 Orbitas planetarias

Una de las cuestiones que se plantean al tratar un campo gravitatorio creado por una masa (una estrella, por ejemplo) es determinar las trayectorias de los objetos situados en él. Como ya sabemos por la unidad 4, estas trayectorias serán curvas geodésicas, y estarán determinadas por la ecuación (4.7):

, (4.7)

siendo las coordenadas gausianas del espacio que consideramos. El tema a considerar entraña un cierto nivel de complejidad matemático, de forma que solamente trataremos algunos rudimentos. Por ejemplo, esta ecuación se puede transformar finalmente en la siguiente:

, (8.59)

en donde aparecen las siguientes transformaciones y magnitudes. En primer lugar es la inversa de la coordenada esférica r , es decir, =1/ . φ la coordenada de esféricas que ya conocemos, la masa y representa el momento angular por unidad de masa, que también se puede expresar, teniendo presente que sabemos por mecánica que = , como la velocidad angular multiplicada por :

,

en donde se ha aproximada el momento de inercia del cuerpo en órbita con masa concentrada en un punto. La integración de (8.56) es también complicada y la vamos a omitir. Simplemente citaremos la solución final:

, (8.60)

que representa una elipse de excentricidad ε. La curva se ilustra en la fig. 8.7. Si hacemos abstracción del parámetro σ, es decir, si hacemos σ=1, (8.60) constituiría la forma de órbita habitual de la mecánica newtoniana. Como sabemos, en uno de los focos de estas elipses se encuentra el centro de atracción. Cada vez que φ gira 2π se reproduce el mismo valor de y, por consiguiente, del radio =1/ .Sin embargo, el parámetro σ no es la unidad, sino que tiene por valor:

. (8.61)

y al girar el ángulo 2π no se nos reproduce el mismo valor de , lo que supone que la posición del cuerpo orbital, al dar una vuelta completa, no coincide con la inicial. Esta situación se ilustra en la figura (8.8).

Cuando el término de corrección es pequeño, se puede considerar σ 1, lo que hace que las órbitas sean de tipo clásico (fig. 8.7). Esto se da para masas pequeñas o bien para grandes. Al ser

= , la situación clásica se favorece para planetas más alejados del Sol, haciendo que el efecto

relativista no se aprecie lo más mínimo. No obstante, en el caso de Mercurio, por ejemplo, en donde la distancia al Sol es muy inferior a la del resto de los planetas, este término es más significativo haciendo que la órbita no se cierre cada vez que φ gire una vuelta completa por ser el periodo de (8.60) ligeramente superior a 2π. La ecuación (8.61) también dice que cuando la masa es grande el efecto relativista se incrementa. Al final de este párrafo se comentarán los resultados que se han obtenido con estrellas de neutrones.

Por comodidad vamos a tomar =0(es decir, adecuando las coordenadas para que la elipse quede con su eje mayor paralelo a OX), con lo que se produce un máximo de (o mínimo de ) para φ=0. El valor volverá a ser máximo cuando el argumento del coseno difiera 2π respecto del anterior, es decir:

.

Por consiguiente, φ >2π. Este ángulo difiere de 2π en la cantidad:

. (8.62)

El efecto que hemos comentado se conoce como precesión del perihelio. El resultado, aunque puede parecer sorprendente no lo es tanto si tenemos en cuenta que el planeta se está moviendo en un espacio curvado. Como ejemplo, piense el lector en un cuenco semiesférico en el cual se suelta una bola con dirección arbitraria. Debido a la curvatura de la superficie, la bola describe una trayectoria exactamente igual a la presentada en la fig. 8.8, lo que demuestra una vez más que el espacio está, efectivamente, curvado. La expresión (8.62) corresponde, con un sorprendente grado de exactitud, a las mediciones experimentales sobre la precesión del perihelio de Mercurio. No obstante, la demostración más espectacular de la relatividad general se ha producido en los últimos años al descubrir sistemas binarios de estrellas de neutrones. Mientras que Mercurio precesa solamente 0,12º por siglo es de esperar que un cuerpo tan extremadamente denso como una estrella de neutrones tenga una precesión enorme. En efecto, el sistema binario PSR 1913+16 está formado por dos de estas estrellas y la medida de la precesión de su órbita ha respondido fielmente al resultado que la relatividad general predice con 4,2 grados cada año.

La siguiente animación ilustra, aunque de forma algo exagerada, el efecto de la precesión del perihelio.

Anim 8.6

2 Deflexión de la luz en campos gravitatorios

Se trata ahora de determinar la forma que adopta un rayo luminoso que penetra en un campo gravitatorio. El llamado principio de Fermat dice que un rayo luminoso, y en general de cualquier partícula sin masa, describe una trayectoria en un espacio curvo determinada por una geodésica. A primera vista parece que se podría proceder como en el apartado anterior, aplicando (4.7). Sin embargo, no se puede aplicar esta ecuación para un rayo luminoso porque en tal caso el tiempo propio es nulo y =0. Para estos casos, y ya lo hemos hecho otras veces, se aplica directamente la ecuación de la métrica (en este caso la de Schwarzschild 8.58) con =0. En lugar de considerar el espacio entero, tomaremos como simplificación el plano

ecuatorial, donde θ=π/2 (y entonces senπ/2=1), y al ser θ constante θ=0. Con todo ello quedará (8.55) como:

.

Según la métrica de Schwarzschild, =-1/ , y dividiendo por φ2 se tiene:

, (8.63)

que es la ecuación de partida. Antes de seguir tenemos que definir el llamado parámetro de impacto , que es la relación entre el momento cinético y la componente 0 del cuadrivector cantidad de movimiento . Este último es conocido por relatividad especial como o / según las ecuaciones (2.37) y (2.39), con lo que queda:

, (8.64)

ya que en el límite, cuando la masa tiende a cero (como en el caso de la luz) toma un valor finito determinado por la cantidad / . Con esta definición, se puede demostrar que la ecuación (8.63) se puede simplificar como

,

donde se ha hecho igual que antes =1/ . Vamos a estudiar el caso de un espacio plano ya que éste nos da una interpretación intuitiva de lo que significa el parámetro de impacto. En este

caso =1, quedando:

.

La solución de esta ecuación es trivial, si hacemos = , = con lo que:

.

Haciendo =senα se llega a la identidad α=φ. Por tanto =senφ:

. (8.65)

Pero esta ecuación en coordenadas polares no es otra que la de una recta cuya ecuación

cartesiana es = (véase fig. 8.9), puesto que

para φ=π/2 , y la trayectoria de un rayo luminoso en un espacio plano es una recta, como era de esperar. De esta manera tenemos un valor útil para el parámetro de impacto, con una interpretación física muy clara, tratándose de la distancia del rayo al centro de la masa (ver la figura).

En un espacio curvo con una métrica de Schwarzschild se tiene que =1-2 / 2, en donde se ha sustituido 1/ = . La resolución no es tan trivial, resultando:

. (8.66)

La ecuación se representa en la figura 8.10. Para φ=π/2 nos encontramos con una distancia , que resulta ser menor que el parámetro de impacto :

,

cuyo significado es muy claro, sucediendo que ahora el rayo luminoso está más cerca de la masa que en el caso de un espacio plano. Eso hace que la trayectoria no sea recta sino curva (ver figura). El ángulo desviado se puede calcular, resultando ser:

.

Cuando la luz pasa muy cerca del objeto se puede suponer que el parámetro de impacto es, aproximadamente, igual al radio de éste, es decir:

(8.67)

A. Eddington realizó el experimento de la medida de la deflexión de la luz empleando el Sol como campo gravitatorio. Dado que una estrella posee una luminosidad muy inferior al Sol se aprovechó la

ocultación de éste por un eclipse. El resultado de la medición coincidió con una gran precisión con el dado por (8.67).

Un objeto cósmico, como puede ser una galaxia, desvía mediante su campo gravitatorio la luz de los objetos que se encuentran tras ella a lo largo de su perímetro, creando un efecto semejante a la refracción (fig. 8.11). En la figura 8.12 se puede apreciar este fenómeno; la desviación que experimenta la luz produce una deformación que presenta un marcado efecto circular, lo cual se conoce como lente gravitatoria.

Colapso gravitatorio

En la unidad 7 se habló de los últimos estadios de una estrella que ha consumido su combustible. También se explicó cómo se produce una compresión de los productos resultantes de la fusión nuclear hasta formar una estrella de materia degenerada que, según su masa, podía terminar como una enana blanca o como una estrella de neutrones.

También se dedujo la masa máxima que pueden tener estas estrellas de neutrones, lo que hace surgir la pregunta de qué sucedería en el caso de tener una masa superior a ésta. Para poder contestar la cuestión sería necesario analizar las condiciones de equilibrio hidrostático del gas de neutrones formado, que, dada su elevada densidad necesitará la aplicación de la relatividad general. El problema a resolver es semejante a la solución de Schwarzschild, excepto que en aquel caso se plantearon las ecuaciones de Einstein en el vacío, igualando a cero el tensor de Ricci. Ahora, por el contrario, hay presencia de materia, lo que nos llevaría a unas nuevas ecuaciones donde ρ≠0. El desarrollo teórico implica varias páginas, aparte de el tratamiento de las ecuaciones de Einstein en presencia de materia, que no hemos visto.

Baste en este curso con una pequeña discusión cualitativa, basándonos en el hecho de que la presencia de materia o energía curva el espaciotiempo. Es interesante destacar un aspecto que, a menudo, se malentiende o se interpreta al revés. Cuando tenemos un gas dentro de un recinto cerrado, una olla a presión por ejemplo, es sabido que a medida que la presión de la olla aumenta, lo hace igualmente el riesgo de explosión. Es decir, que una presión alta (o lo que es lo mismo, una concentración alta de energía) tiende a expandir un gas. Viciados por esta realidad, se suele creer que al aplicar la relatividad general, los resultados van a ser paralelos, es decir, que puede parecer que una concentración alta de energía produzca una expansión del espacio. Esto es un error, y es justamente lo contrario: una energía alta producirá una curvatura pronunciada del espacio.

Aplicado esto a una estrella de neutrones, según avanza la compresión, la materia responde generando una presión que trata de contrarrestarla. Sin embargo, ese incremento en la presión supone un aumento de la componente del tensor de energía-impulso con el resultado de una

curvatura aún mayor que acelera más aún la compresión. El proceso resulta, así, un círculo vicioso del que la materia no puede escapar, produciéndose inevitablemente el colapso gravitatorio. El fenómeno se asemeja a un trozo estirado de goma donde se acumulan trozos de plomo en su centro. Según aumenta el peso, la goma irá cediendo hasta formar un embudo. Los trozos de plomo continúan manteniendo su forma y estructura habitual, aunque un observador diminuto que se encuentre sobre la superficie de goma del globo los viese desaparecer. De igual manera, un observador que se encontrase dentro del radio de Schwarzschild podría contemplar la estrella de neutrones funcionando igual que antes sin violación alguna del principio de exclusión.

Este fenómeno es lo que se conoce como un agujero negro, y podemos ver u n símil de lo que sucede en la animación 8.7:

Anim. 8.7

Agujeros negros

La métrica de Schwarzschild dada por la ecuación (8.58) ofrece unas consecuencias que fascinan hoy en día a un gran número de personas. Supongamos que se desea analizar este resultado aplicándolo a una estrella con simetría esférica. En ese caso, tanto dqcomo dfno deben afectar el resultado, por lo que habrá que hacer θ= φ=0 en (8.58), y poniendo igualmente =- τ, obtendremos el tiempo propio:

. (8.68)

Ahora vamos a suponer que la masa está totalmente concentrada en un punto, fenómeno que se conoce con el nombre de singularidad. Por tanto habrá una superficie esférica matemática que se encuentra fuera de la masa y que dista del centro de atracción. Recordando lo que se dijo en el párrafo §8.7 acerca de la no constancia de la velocidad de la luz en campos gravitatorios, se dedujo que a una distancia la velocidad de ésta era nula. Esto ya indica que en las proximidades de esta distancia los fenómenos habituales comienzan a tener un comportamiento singular. Veamos el porqué de esto según un razonamiento físico. En el apartado anterior al citado, esto es §8.6, se habló del fenómeno de la dilatación del tiempo en un campo gravitatorio, y que éste es mayor cuanto mayor sea la magnitud del campo. Pues bien, en el caso de un agujero negro, la dilatación del tiempo adquiere una dimensión tan

formidable que es capaz de detener el tiempo completamente a la distancia . Recordemos que en el apartado §8.7 habíamos realizado la derivada del espacio con respecto a la coordenada tiempo universal , que es el tiempo de un observador lejano (donde la influencia del campo es despreciable), luego la luz se detiene desde el punto de vista de un observador lejano. Si queremos saber qué vería un segundo observador montado sobre un fotón, la derivada que habrá que hacer será respecto del tiempo propio, que es el que marca un reloj en cualquier punto dentro del campo. Si lo hiciésemos, nos encontraríamos con que para él la luz no se detiene, lo que nos indica que ambas percepciones de la realidad no coinciden para observadores diferentes.

En una métrica de Schwarzschild es posible calcular la forma que adquiere un rayo luminoso sin más que seguir un razonamiento paralelo al de la lección anterior. Se llega con ello a una ecuación que hay que integrar por procedimientos numéricos, dando como resultado que la trayectoria de un rayo luminoso en las proximidades de un agujero negro es como muestra la figura 8.13. En ellas podemos ver que un fotón describe una espiral u cae dentro del agujero negro, lugar del cual no vuelve a salir. Nuestra pregunta es si esto concuerda con lo que sabemos por mecánica clásica respecto a la velocidad de escape de un cuerpo en un campo gravitatorio. Se sabe que para que una masa pueda abandonar un campo gravitatorio, debe poseer una velocidad de escape tal que su energía cinética sea superior a la energía potencial del campo, es decir:

,

ya que la gravedad es = / . Sustituyendo nuevamente el radio rpor el de Schwarzschild (8.29), teniendo presente que la masa men esta ecuación es la que ahora hemos llamado , obtenemos una velocidad de escape

.

Por debajo del radio , la velocidad siempre debería ser superior a para poder abandonar el campo, cosa, como sabemos, imposible. Eso significa que esta masa determina una superficie esférica de radio , denominada horizonte de sucesos, desde cuyo interior no es posible que salga nada, ni siquiera la luz, razón por la que se le llamó a este objeto agujero negro.

Ahora trazaremos la trayectoria de un rayo luminoso, pero de una manera mucho más sencilla, haciendo que éste incida perpendicularmente al horizonte de sucesos. Al tratarse de un rayo luminoso sabemos que τ=0, y sustituyendo este valor en la ecuación (8.68) se tiene:

, (8.69)

que nos da la ecuación de la línea de universo del rayo luminoso estudiado. Si calculamos su tangente (derivada de t respecto a r) obtendremos:

(8.70)

Vamos a dibujar un croquis de la situación (figura 8.14):

Fig. 8.14: Recorrido de un rayo luminoso desde r1 a r2.

Si queremos saber el tiempo que tarda la luz en recorrer el espacio entre y medido por un observador lejano, se podrá obtener por integración de (8.70):

,

y si , y :

. (8.71)

Vemos que cuando la distancia el tiempo tiende a infinito, es decir, que el rayo luminoso no puede alcanzar nunca el horizonte de sucesos, lo que resulta coherente con el resultado anterior que nos decía que la luz tiene una velocidad aparente nula al llegar a este punto. En definitiva, para el caso del objeto que caiga hacia el agujero negro con velocidad inferior a la de la luz, éste será visto por el observador externo avanzar cada vez más lentamente en forma asintótica, alcanzando el horizonte de sucesos al cabo de un tiempo infinito. Si el objeto en caída enviase una onda luminosa hacia el exterior, según se aproxima al agujero, el efecto Doppler debido a la dilatación temporal del campo gravitatorio produciría un enrojecimiento de la señal, cuya frecuencia se iría haciendo cada vez menor hasta desaparecer. La animación siguiente ilustra este fenómeno:

Anim 8.8

Los conos de luz dentro de un agujero negro

Antes de iniciar este tema se recomienda repasar el apartado de la unidad 2 §2.8 (el cono de luz) para tener los conceptos nuevamente frescos. A modo de síntesis, recordaremos que en un diagrama de Minkowski, el cono de luz representaba rayos luminosos (superficie del cono que forma 45º con el plano XY). Dentro del cono, en la parte superior, está el futuro y el pasado en el cono inferior.

Dicho esto rescribiremos (8.70):

. (8.72)

Si en cada punto entre y trazamos un cono de luz, (8.72) será la pendiente de dicho cono.

Para una distancia , ( )/d ≈1(45º), siendo los conos de luz los habituales, es decir, con pendiente 1(ver fig. 8.15). Según son los valores de más próximos a la pendiente es cada vez mayor. Los conos de luz se afilan hasta degenerar en una línea vertical (pendiente infinita) para = , según predice (8.72).

Llegado a este punto, la dilatación del tiempo hace que este acontecimiento consuma toda la historia del universo. Sin embargo, podemos seguir sacando conclusiones a partir de (10.72), puesto que la línea de universo de la luz no concluye en este lugar. A partir de aquí sucede algo aún más sorprendente, si cabe, porque al ser < , el cociente es mayor que la unidad y el coeficiente métrico cambia de signo como vamos a ver. Si observamos la ecuación de la métrica del agujero negro (8.68), la cantidad (1- / ), que era hasta ahora positiva, produce un cambio de signo de ambos sumandos, tanto el espacial como el temporal . Sin embargo, el de τ no cambia, haciendo que los dos sumandos del segundo miembro inviertan sus papeles. Se decía en relatividad especial que las cantidades cuyos cuadrados poseen signo negativo corresponden a intervalos de tiempo, mientras que los positivos son espaciales. Claramente la situación ha dado la vuelta y ahora el sumando en resulta ser de tipo espacial mientras que el de lo es temporal. El universo, por decirlo así, se ha invertido, y dentro del agujero negro ¡lo que antes era espacio ahora es tiempo! Los conos de luz estarán girados π/2 para que los intervalos de tipo espacial y temporal estén colocados correctamente. Habremos, pues, de ordenar los ejes tal como se indica en la figura 8.15, y si volvemos a escribir (8.68) haciendo y , a fin de identificar estas magnitudes con espacio y tiempo, se obtiene una nueva métrica, girada 90º en relación a la anterior:

,

de donde, al hacer τ=0 para un rayo luminoso:

. (8.73)

En la figura 8.15 se han indicado las nuevas coordenadas en rojo. Al traspasar el horizonte de sucesos, y siendo = , la pendiente es nula, esto es, horizontal, lo que produce un cono de luz completamente aplastado, degenerado en un plano. Eso significa que todo el cono está en el interior del agujero negro y carece de conexiones causales con el exterior. El cono aplastado degenerado en un plano carece de pasado. Poco a poco, según crece la pendiente, el cono se estrecha y para =0(pendiente infinita) vuelve a degenerar, como lo hizo fuera del horizonte de sucesos, en una recta. Hecho esto se alcanza el origen o centro del agujero negro, lugar en el cual el tiempo deja de existir.

Todo esto puede parecer absurdo, no obstante, hay que tener en cuenta que un objeto que desaparece tras el horizonte de sucesos deja de estar conectado causalmente con el resto del universo, de forma que puede suceder cualquier cosa, siempre que ello sea coherente con su nuevo entorno, es decir, el interior del agujero negro en nuestro caso.

Pero las cosas son completamente diferentes cuando es el observador del objeto en caída libre quien las ve. Aplicando el principio de equivalencia, este observador en caída libre se encuentra en un sistema inercial. Su espacio ligado es perfectamente plano y la llegada al horizonte de sucesos no debe constituir ningún acontecimiento especial. Estando en caída libre, podemos hacer coincidir un SRII en cada punto de su movimiento, estando en reposo respecto de dicho sistema auxiliar. El tiempo que marca su reloj coincide con el tiempo propio del sistema en cada punto. Se pueden establecer, entonces, las siguientes diferencias:

• La velocidad medida por un observador del campo, exterior al agujero negro supone la derivada respecto del tiempo universal.

• La velocidad del objeto medida desde un sistema inercial que se mueva hacia el agujero negro supone la derivada respecto del tiempo propio.

En definitiva, el viajero que contemplase el fenomeno cayendo él mismo al agujero negro alcanzaria rápidamente el centro del mismo, momento en el cual el tiempo dejaría de existir. No obstante, al atracesar el horizonte de sucesos que, como hemos dicho, no representa ningún fenómeno singular, vería tras él acelerarse el ritmo de todos los relojes del universo hasta consumir la eternidad entera. Dicho en otras palabras, al entrar al otro lado del horizonte, el universo que deja atrás ha muerto de viejo hace ya miles de millones de años.

Vertido de materia dentro de un agujero negro

El observador externo observa una dilatación del tiempo en el objeto que cae hacia el agujero negro. Eso hace que la velocidad aparente de éste sea cada vez menor. Recordemos que la propia luz va siendo más lenta según entra en el área de influencia del objeto. Sin embargo, desde el punto de vista de quien cae, las cosas son diametralmente opuestas. Lejos de sentir una ralentización del movimiento, nota que el agujero negro lo atrae cada vez con más fuerza. Puede demostrarse que su velocidad se acelera hasta una magnitud próxima a la velocidad de la luz.

Este fenómeno es el responsable de que la materia que cae hacia un agujero negro adquiera una formidable energía como consecuencia de la gravedad, provocando una fricción entre las partículas que genera emisiones de rayos X, así como la eyección de chorros enormes de materia originado por explosiones. Este hecho ha sido observado en algunos núcleos galácticos, como, por ejemplo NGC 4261, y que se ilustra en la figura 8.16.

Estos chorros son muy característicos y proyectan materia hasta millones de kilómetros de distancia. También se han observado estas fuentes de radiación X, que delatan la presencia de enormes aceleraciones de la materia y que son indicios de la existencia de los agujeros negros, objetos que, en un principio se consideraron totalmente teóricos y consecuencia de la teoría general de la relatividad. Hoy en día se cree que su existencia es totalmente real.

En el espacio exterior se han detectado agujeros negros en constelaciones como la del Cisne (Cygnus). A menudo los agujeros negros aparecen como compañeros de otras estrellas a las cuales roba parte de su masa. Al caer ésta sobre el agujero se produce una colosal emisión de energía provocada por la fricción de las partículas antes de la caída, lo que produce el desprendimiento de los rayos X anteriormente citados. Estas fuentes de radiación, aunque en algunos casos pueden provenir de estrellas de neutrones, en otros casos la relación de masa y

diámetro del fenómeno es tal que hacen sospechar la presencia de un agujero negro.

Se ha supuesto que existen estos agujeros negros en los centros de las galaxias porque, al medir los espectros de las zonas colindantes se han observado desplazamientos enormes de las rayas espectrales, tanto hacia el rojo (alejamiento) como hacia el azul (acercamiento), lo que significa grandes masas en rotación con velocidades orbitales enormes alrededor de un cuerpo extremadamente masivo, dando a entender la presencia de un campo

gravitatorio de proporciones comparables a un agujero negro. En la figura 8.17 puede verse uno de estos espectros.

El centro del agujero presenta graves problemas puesto que dejan la historia del móvil en caída libre inconclusa. Por esa razón se denomina a éste singularidad espaciotemporal. En vista de los problemas que acarrearía una singularidad de este tipo sin que existiera un horizonte de sucesos que la cubra, el físico británico R. Penrose ha enunciado un principio conocido como la censura cósmica, que dice que no pueden existir singularidades desnudas y que éstas deben estar rodeadas por un horizonte de sucesos.

Radiación Hawking

Se ha dicho que un agujero negro no deja escapar ni tan siquiera la luz pero, no obstante, es posible que emitan algún tipo de energía. Hay dos razones fundamentales para creer esto. La primera se basa en la creación de pares partícula-antipartícula en el vacío. Estos pares se forman en tiempos muy pequeños, pero puede suceder que alguno se origine en las proximidades de un agujero negro. Entonces, si la antipartícula atravesase el horizonte de sucesos, dejaría libre una partícula que “escaparía” del agujero. Lo indicamos entre comillas puesto que es evidente que nunca estuvo dentro, sin embargo, desde un lugar lejano, daría la sensación de haber sido emitida por éste. También podemos recurrir a la mecánica cuántica, concretamente al efecto túnel comentado en la unidad 5. Bajo este punto de vista, una partícula prisionera en el interior del agujero negro tendría una cierta probabilidad de ser emitida. Al haber tal cantidad de masa, lo más probable es que un buen número de estas partículas escapase (ahora sí hablando con propiedad), produciendo la llamada radiación Hawking. Esta radiación acabaría por consumir la totalidad de la masa del agujero, diciendo en este caso que éste se ha evaporado. Dado que, a mayor masa, la probabilidad de escape es menor, el ritmo de emisión de radiación Hawking se acelera a medida que el cuerpo va perdiendo masa, pudiendo terminar la fase de evaporación en un estallido. Este fenómeno tiene, empero, muchas objeciones. Por ejemplo, en el proceso estadístico pueden caer partículas, no sólo antipartículas, que restablecerían la masa interior; además, esto debe suceder en un lugar muy próximo al horizonte de sucesos, en donde el tiempo transcurre tan lentamente que podrían pasar millones de años entre dos caídas sucesivas de partículas.

Agujeros negros en rotación

Cuando se habló de las estrellas de neutrones se dijo que éstas poseen un momento angular. Es de suponer, pues, que los agujeros negros conserven esta propiedad tras el colapso. A tales agujeros negros se los denomina de Kerr.La métrica de estos objetos es laboriosa de resolver, admitiéndose unos coeficientes métricos y :

;

siendo

,

y , que es el momento angular por unidad de masa del que hablamos en lecciones anteriores. Las sigularidades del agujero negro, es decir, el horizonte de sucesos, se obtenían

de igualar a cero e infinito respectivamente y , con lo que queda, después de algunas operaciones:

, y (8.74)

La situación difiere del caso de un agujero negro en reposo, ya que aquí se produce una solución doble; hay dos ecuaciones que determinan dos superficies diferentes, es decir, dos horizontes de sucesos distintos. La primera ecuación es un elipsoide y la segunda una esfera

interior al elipsoide (ver figura 8.18)

El espacio comprendido entre ambas superficies se denomina ergosfera. Nótese que cada solución es doble (una con suma y otra con diferencia), representándose éstas por y respectivamente, lo que da lugar, a su vez, a dos esferas diferentes, una interior a la otra (figura 8.18), lo que ilustra la complejidad de este caso.

En este caso se puede demostrar que la singularidad espaciotemporal, que en los agujeros estáticos era el punto central de la esfera, ahora es un anillo de radio / . También citaremos una propiedad más, que consiste en hacer en (8.74)

lo que producirá un número imaginario. En tal caso se supone que no existe horizonte de sucesos, quedando al desnudo la singularidad. Este problema, ya hemos dicho en el apartado §8.18, que fue solucionado por Penrose con su ley de censura cósmica. En la siguiente animación puede verse un agujero negro en rotación, y que, llegada una velocidad crítica de rotación se evapora su horizonte de sucesos, mostrando la singularidad.

Anim 8.9

Túneles en el espaciotiempo

Puede también demostrarse que, a través de la singularidad anular, un agujero negro en rotación puede conectarse con otro diferente. Teóricamente, un objeto que atravesase un agujero negro de Kerr por el centro de la sigularidad anular, podría emerger en el interior de otro con el cual esté conectado. Eso ha hecho fantasear sobre la posibilidad de que un objeto pueda introducirse en una zona determinada del universo e irrumpir en otra diferente. No obstante, eso no puede suceder, puesto que supondría que el objeto tendría que atravesar en sentido emergente el horizonte de sucesos del segundo agujero.

Existe, al menos a nivel teórico, otra posibilidad para superar esta barrera. En la figura 8.15 se había representado la disposición de conos de luz al aproximarse a un agujero negro, y nos fijaremos especialmente en el momento en que atraviesa el horizonte de sucesos, invirtiéndose

los intervalos temporales en espaciales y viceversa. El centro del agujero representa una singularidad situada en el futuro mientras que, en ese espaciotiempo, los acontecimientos se iniciarían justamente en el horizonte de sucesos, momento en el cual se produce la

desconexión causal con el exterior. Si representamos únicamente esta parte interna del agujero negro en dos ejes ( ) obtenemos la parte superior de la figura 8.19. Por simetría, estableceremos una singularidad pasada en la parte inferior, que tiene una interpretación simétrica y opuesta a un agujero negro (figura 10.13). Ahora el horizonte de sucesos constituye una barrera que deja salir todo, materia y energía, no permitiendo entrar nada. Este objeto se denomina, por contraposición, agujero blanco. Supongamos que un agujero negro en rotación estuviese acoplado con un agujero blanco. En tal caso, un objeto que penetrase al interior de un agujero negro en rotación podría ser arrojado hacia fuera por el correspondiente agujero blanco situado al otro lado. Esta posibilidad dio origen a objetos harto especulativos denominados agujeros de gusano, introducidos por el físico Kip Thorne, y que serían túneles construidos en el espaciotiempo, permitiendo desplazamientos, tanto espaciales como temporales. Dicho sea de paso, el modelo de Kip Thorne fue

construido con el único motivo de dar un aspecto científico a la novela de Carl Sagan “Contact”, a petición de este último.En la figura (8.20) se ha representado, en forma esquemática, la trayectoria que seguiría una nave espacial que penetrase a través de un agujero negro en rotación acoplado con otro blanco. Hasta la fecha no se han encontrado entes de este tipo en el universo, ni tampoco agujeros blancos por lo que su presente interés no pasa de ser una cuestión meramente académica. Lo más parecido a un agujero blanco es una burbuja inflacionaria, que se estudiará en la unidad 11 y el propio universo.

Aparte de este tipo de agujeros negros, existen modelos con carga eléctrica (llamados de Reissner-Nordström). También en este caso, la carga actúa como una forma más de energía adicional, curvando más el espacio y haciendo que el horizonte de sucesos se contraiga.

Los agujeros de gusano no solamente serían túneles espaciales sino también temporales, es decir, que serían máquinas del tiempo para viajar entre épocas diferentes. Existe, empero, un

problema asociado a este ipo de viajes en el tiempo, especialmente cuando se trata de viajes al pasado ya que, a diferencia del espacio, el tiempo posee una flecha y se producirían paradojas que se tratarán debidamente en la última unidad de este curso.

Métrica de Robertson-Walker

Las ecuaciones deducidas en las lecciones anteriores sólo son válidas para situaciones de objetos con simetría esférica. Para el caso que nos ocupa a continuación, el modelo no resulta válido. Se trata de encontrar la solución de la ecuación de Einstein en una masa homogénea e isótropa, y que representa, en realidad, el universo.

Vamos a partir de un primer supuesto, en el cual, en un espacio tridimensional y euclídeo hay una esfera de radio Σ. La ecuación de ésta será:

,

o bien:

. (8.75)

Si queremos calcular el elemento de arco en dicho espacio, por ser éste euclídeo, sabemos que su forma general es:

, (8.76)

diferenciando:

pero si queremos referir este arco a aquellos contenidos en la superficie de la esfera,

deberemos poner en función de e . Sustituimos por (8.75), sustituyendo :

,

con lo que el arco se expresará como:

A continuación veremos el resultado de hacer lo mismo con un plano, que tomaremos por

comodidad =0. En este caso

,

y entonces:

.

Ambos casos representan respectivamente superficies con curvatura positiva y nula. Un tercer caso consistiría en representar una superficie tal como el hiperboloide:

,

en cuyo caso, y operando de la misma manera se llegaría a que:

.

Podemos poner los tres casos condensados mediante el parámetro , que tomaría los valores 1, 0, y -1 respectivamente para la esfera, el plano y el hiperboloide:

,

obteniendo:

.

El modelo de Robertson-Walker propone que el espacio del universo se halla curvado en un

hiperespacio de cuatro dimensiones puramente espaciales , , y . De esta manera crearemos un universo de Minkowski en cinco dimensiones, cuatro espaciales y una temporal. Bajo estas condiciones el elemento de arco relativista viene generalizado mediante:

,

siendo esta ecuación una ampliación de (4.3) para un espacio de cinco dimensiones. No obstante, la hipótesis desde la que partiremos consistirá en suponer que el espacio tridimensional se curva en este hiperespacio tetradimensional euclídeo, formando una hipercuádrica que será, por extensión:

, (8.77)

y , por razonamientos análogos:

. (8.78)

Puede aducirse que no hay motivos para pensar que la hipersuperficie que forma el universo no pueda ser de otro tipo, por ejemplo, un toro. No obstante, dado que el espacio se curva por la acción de la materia y la energía, y que éstas se pueden considerar uniformemente repartidas a lo largo del universo, no es descabellado pensar que el espacio conforme una hipersuperficie regularmente positiva o negativa, es decir, una hipercuádrica. En el caso de un toro aparecen puntos con curvatura positiva y otros negativa, lo que no parece coherente con las ideas anteriores. Sin embargo no se puede afirmar categóricamente que el espacio no pueda formar un hipertoro o cualquier otro tipo de hipersuperficie por la acción de energía no contenida en nuestro universo o exterior a éste. Aunque pueda parecer una idea fantástica, lo cierto es que en cosmología ninguna idea debe ser desechada, puesto que nuestros conocimientos no son lo suficientemente extensos. En cualquier caso, lo que se propone a continuación es simplemente un modelo, aunque ampliamente admitido.

Para un universo isótropo vuelve a ser conveniente expresar las ecuaciones en coordenadas esféricas. La forma que adopta en dicho sistema es:

(8.79)

donde representa el radio polar tridimensional y Σ, como antes, el radio fijo de la hiperesfera. También expresaremos el intervalo de longitud (tridimensional) en esféricas, que tiene por valor:

. (8.80)

Sustituyendo (8.79):

,

que nos conduce a la métrca de Robertson-Walker:

(8.81)

Aquí se ha introducido el parámetro σ que representa las coordenadas comóviles definidas en la primera unidad, ecuación (1.2), σ= /Σ.Los coeficientes del tensor métrico se expresarán identificando:

(8.82)

Ecuaciones de Friedmann

Ahora hay que encontrar las soluciones correspondientes de las ecuaciones de Einstein con el tensor métrico (8.82). Primeramente calcularemos las componentes del tensor de energía-impulso mediante la ecuación (8.45).

En esta ecuación primeramente bajaremos los índices, en cuanto a las componentes de la cuadrivelocidad elegiremos un observador en reposo, es decir, con unas componentes para la

cuadrivelocidad = , =0 igual que se hizo en el apartado §8.10, porque al ser la velocidad nula, γ≈1, como ya sabemos.

Veamos la componente

Las y serán , que es ., las son nulas porque es la velocidad clásica, tomada igual a cero por estar el observador en reposo. En cuanto a es -1 como dice (8.82):

Ahora se calcula , , y con los mismos supuestos, y teniendo en cuenta una vez más (8.82):

,

Resumiendo:

(8.83)

Lo siguiente sería calcular el tensor de Einstein, previa obtención del de Ricci. El cálculo de este último se hace mediante los símbolos de Chistoffel. La demostración es extremadamente compleja y solamente consiste en operar, lo que la hace muy poco interesante. El resultado de todo ello es:

, , (8.84)

Lo siguiente es construir la ecuación de Einstein (8.52) (con índices bajados):

igualando componentes 00 y entre (8.83) y (8.84), obteniendo los siguientes resultados:

(8.85)

(para componente 00), y

(8.86)

para la componente . En cuanto al resto de las componentes y dan la mismas ecuaciones que (8.86), por lo que no es necesario considerarlas. Las dos relaciones (8.85) y (8.86) constituyen las llamadas ecuaciones de Friedmann, debidas al físico ruso Alexandr Friedmann. La consecuencia más sobresaliente de estas ecuaciones, deducidas a partir de la relatividad general, es la de llevar implícita la expansión del universo por depender de la derivada de Σ respecto al tiempo, implicando que el radio del universo no se mantiene constante. Concretamente (8.85) nos dice que el ritmo de expansión depende linealmente de la densidad de materia o energía del universo ρ.

Ecuación de fluidos

Junto con las ecuaciones de Friedmann existe también una solución a las Ecuaciones de Einstein, resultado de la conservación de la energía. Sin entrar en detalles sobre la demostración, que no viene al caso, diremos que la ecuación de fluidos adopta la forma:

, (8.87)

en donde sí es importante recordar que ρ es la densidad, ya sea de masa o de energía y la presión. Su integración es muy simple si hacemos:

=αρ 2, (8.88)

algo que siempre es cierto, como sabemos, puesto que de las ecuaciones (6.19) y (6.20) se desprende que, estando la energía cinética y la masa relacionadas mediante la ecuación relativista = 2, entonces ε= 2, indicando que α=2/3 para el caso no relativista y α=1/3 para el ultrarrelativista. También se puede añadir un tercer caso cuando el universo está dominado por la materia, siendo en ese caso , o bien α=0. El resultado final de la integración resulta ser:

. (8.89)

en donde se ha expresado la densidad como una proporcionalidad. Eso será suficiente para demostraciones posteriores de cosmología.

Ondas gravitatorias

En este apartado vamos a hacer las aproximaciones de campo débil. En la aproximación newtoniana, párrafo §8.5 se consideró el tensor métrico descompuesto en la forma

, siendo 1. Este tensor tiene una parte “plana” , y el pequeño término de curvatura adicional . Existe una demostración más o menos extensa que relaciona esta parte curva del tensor, esto es, el , con el tensor de Ricci, adoptando la forma:

, (8.90)

en donde representa el operador D’Alembertiano (que no es otra cosa que una divergencia en un espacio minkowskiano de cuatro dimensiones). En el vacío, la ecuación de Einstein se reduce a =0, de manera que (10.95) se convierte en:

,

que es la forma clásica de una ecuación de onda. En un caso unidimensional se tiene:

. (8.91)

Estas ondas se desplazan, por tanto, a una velocidad . La magnitud que sufre un movimiento armónico es , que representa las desviaciones de las componentes del tensor métrico respecto de la planitud. Las llamadas así ondas gravitatorias constituyen una ondulación del espacio. Se puede comparar a un corcho plano que flota en la superficie de un lago. Dado que el corcho no aprecia la tercera dimensión (la altura), por ser plano, las ondas que se forman en la superficie del agua se curvan hacia una dimensión desconocida. En nuestro universo estas ondas se pueden detectar por los efectos que producen en el espacio y en el tiempo. Son, pese a todo, muy débiles y hasta ahora no se han podido conseguir resultados espectaculares. No obstante son alentadores experimentos realizados con cuerpos del espacio exterior como púlsares, más concretamente NP 0532 en la Nebulosa del Cangrejo, que se espera, sea una fuente de radiación gravitatoria de aproximadamente 380 Hz.

El hecho de que el espacio se curve y forme estas ondas ha dado pie para pensar que nuestro universo puede estar inmerso en un hiper-universo de cinco dimensiones (cuatro espaciales y una temporal), que se ha señalado al principio de este capítulo como la métrica de Robertson-Walker. Huelga insistir en que no es necesario imponer la existencia de una cuarta dimensión espacial para tener un espacio curvo de tres dimensiones pero, en cualquier caso, ambos modelos son, desde el punto de vista físico y práctico, equivalentes. La animación adjunta ilustra una onda gravitatoria exagerada.

Anim 8.10

Hay que destacar que puede parecer que el planeta se deforma. Incluso se podría llegar a pensar que una onda de este tipo podría llegar a fracturarlo si fuese lo suficientemente intensa. Eso NO es así. El planeta no sufre deformación alguna ya que quien lo hace es el espacio en el cual se halla inmerso. Una onda gravitatoria muy intensa podría llegar a estirarlo una cantidad considerable pero el planeta no llegaría a enterarse de ello porque la curvatura se produce en una dimensión que no vemos. La animación es un simple esquema y no debe entenderse en modo alguno que se podría llegar a filmar con una cámara de vídeo semejante cosa.

Resumen

La teoría general de la relatividad se fundamenta en el principio de equivalencia, que auna los conceptos de fuerzas de inercia y gravitación, haciéndolos equivalentes. Al igual que la relatividad especial trata de sistemas inerciales, la teoría general lo hace con los no inerciales o acelerados. De esta manera se llega a la conclusión de que una aceleración curva el espacio y el tiempo y, dado que un campo gravitatorio implica una fuerza central creada por una masa, la aplicación del principio de equivalencia lleva a pensar que la materia hace que el espaciotiempo se curve.

Mediante una aproximación newtoniana, que supone que las ecuaciones de la gravitación de Newton son correctas, la relatividad general deduce que un campo gravitatorio produce una dilatación de el tiempo y que ésta es mayor cuanto mayor es la intensidad del campo. También supone esto que un observador externo mide para la luz velocidades diferentes, llegando a ser nula cuando se llega a una distancia del centro de atracción dado por:

,

llamado radio de Schwarzschild.

Aunque las deducciones sobre la curvatura del espaciotiempo se hacen a partir de la masa, teniendo en cuenta que la relatividad especial nos habla sobre la equivalencia entre masa y energía, la conclusión final es que cualquier forma de energía curvará el espacio y el tiempo.

El formalismo matemático de la teoría general se plasma en las ecuaciones de Einstein, cuya expresión general es:

.

En esta ecuación hay dos términos. El de la izquierda, formado por el tensor de Einstein G, del que ya se habló en álgebra tensorial, y que nos habla de la curvatura del espaciotiempo a través del tensor de Ricci, y el término de la derecha formado por unas constantes y el tensor T, llamado de energía-impulso. Este tensor aglutina todas las formas de energía posibles que puedan existir en un punto determinado del espacio. En nuestro caso hemos calculado las componentes de la parte mecánica en un caso sencillo en el cual el observador se halla en reposo, encontrando una forma para el tensor:

,

y en cuyas componentes intervienen la densidad ρ para la parte temporal y la presión para las espaciales.

Einstein no integra esta ecuación, un trabajo que queda a cargo de algunos matemáticos. Uno de ellos, Schwarzschild encuentra una solución general del tipo:

,

A partir de aquí se pueden deducir diversas situaciones como, por ejemplo, la forma de las órbitas planetarias o la desviación de la luz por un campo gravitatorio. En el primer caso, se deduce que los planetas no describen órbitas perfectamente elípticas sino que los ejes de la elipse giran progresivamente produciendo un fenómeno llamado precesión del perihelio. y cuyo valor es:

.

Aquí se puede ver que el efecto es más acusado cuando la masa del cuerpo orbital es grande o (momento angular por unidad de masa) es pequeño (proximidad del cuerpo al centro de atracción). En el segundo caso, la luz sufre una deflexión en un campo gravitatorio, tomando por valor:

.

Este desvío tiene una cierta semejanza con la refracción de la luz en cuerpos sólidos, dando lugar a que se formen lentes por efecto de la gravedad (lentes grevitatorias). Este efecto ha sido observado por los telecopios.

Otra de las consecuencias de la teoría general de la relatividad es el fenómeno de los agujeros negros. Esto sucede siempre que el colapso gravitatorio de una estrella de lugar a una masa puntual. En tales circunstancias, la métrica de Schwarzschild se convierte en:

,

dando algunas consecuencias sorprendentes. A una distancia dada por el radio de Schwarzschild se define una superficie esférica denominada horizonte de sucesos de suerte que un fotón o cualquier cuerpo que toque esta superficie será atraído hacia el interior sin posibilidad de poder volver a salir ya que el agujero negro es un cuerpo tan denso que ni siquiera la luz puede escapar de él. La dilatación del tiempo es tan grande que en el horizonte de sucesos el tiempo llega a detenerse. Dentro del agujero negro, los conos de luz giran 90º haciendo que lo que antes era espacio ahora sea tiempo y viceversa. El centro del agujero negro es un lugar extraño donde el tiempo y el espacio no existen, razón por la cual se le llama singularidad espaciotemporal.

Los agujeros negros aceleran la materia cuando ésta se desploma hacia su interior hasta velocidades próximas a la de la luz, produciendo una fricción tan grande que hace que se emita radiación en la zona de los rayos X. Esto crea grandes chorros que recorren millones de kilómetros.

Hay agujeros negros en rotación con singularidades anulares y horizontes de sucesos múltiples. También se piensa que un agujero negro se halla acoplado a través de esta singularidad con otro y si este otro fuese un agujero blanco, que es justamente lo opuesto a un agujero negro, es decir, un objeto en el cual no puede entrar nada, ambos podrían formar un túnel que atravesaría el espacio y viajaría en el tiempo.

La última aplicación de las ecuaciones de Einstein es la métrica del universo, conocida como de Robertson-Walker. En este caso se supone el universo inmerso en un espacio de cinco dimensiones: cuatro espaciales y una temporal. En este caso se tiene la expresión:

y deducidas a partir de ella, están las ecuaciones de Friedmann

, ,

que serán de gran interés en cosmología.

Las relatividad general también pronostica que las variaciones de campos gravitatorios pueden producir ondas gravitatorias. Así como en una onda electromagnética las magnitudes que varían son el campo eléctrico y el magnético, en este caso es el propio espacio y el tiempo quienes oscilan.

Glosario

Agujero negro : Cuerpo extremadamente denso de cuyo campo gravitatorio no puede escapar ni siquiera la luz.

Agujero blanco: Cuerpo que, inversamente al agujero negro, deja salir todo lo que hay su interior pero no puede penetrar nada en él.

Radiación Hawking: Radiación que, teóricamente, puede emitir las inmediaciones de un agujero negro por efecto túnel, haciendo que éste se evapore.

Singularidad: Lugar en el cual las ecuaciones de la relatividad general no tienen aplicación al no existir tiempo ni espacio.

Tensor de energía-impulso: Tensor que aglutina toda forma de energía.

Horizonte de sucesos: Superficie esférica que envuelve un agujero negro y que constituye un lugar de no retorno. Cualquier objeto dentro del horizonte de sucesos no puede salir al exterior.

Radio de Schwarzschild: Radio del horizonte de sucesos.

Principio de equivalencia: Postulado fundamental de la teoría general de la relatividad consistente en la equivalencia entre sistemas acelerados y campos gravitatorios.

Parámetro de impacto: Distancia de un rayo luminoso al centro de atracción gravitatorio.

Lente gravitatoria: Efecto producido por una masa gravitatoria al desviar la luz.

Onda gravitatoria: Alteración oscilante que sufre el espacio y el tiempo debido a la variación de un campo gravitatorio.

Ejercicios

Propondremos a continuación dos ejercicios.

1. Un cohete acelera uniformemente desde una estación espacial, fuera del campo gravitatorio terrestre con a=20 m s-2 durante 3.000 s. Calcular el desfase de los relojes que se habrá producido entre los de los tripulantes del cohete y los de la estación espacial.

Resolución:

Una aceleración constante se puede considerar, según el principio de equivalencia, igual a un campo gravitatorio con constante, cuyo potencial será: . Dado que el cohete es quien está sometido al campo, los relojes de abordo sufrirán una dilatación del tiempo. Sabemos que

,

siendo el tiempo universal, es decir, medido en donde no hay campo, y τ el medido, por

consiguiente en el cohete. El desfase lo mediremos como = - τ, es decir:

.

Desde la estación espacial se ve al cohete alejarse con aceleración uniforme, pudiendo escribir las ecuaciones de la cinemática clásica para calcular el espacio que se recorre:

2. Un espaciotiempo está definido mediante el siguiente tensor métrico en esféricas:

a. Hallar la expresión general para la velocidad radial de la luz (independiente de los ángulos θ y φ) en el campo.

b. Determinar, si es que los hay, los lugares en los cuales un observador lejano vería detenerse un rayo luminoso.

c. Demostrar que este universo así descrito posee un agujero negro en forma anular y dibujar los dos horizontes de sucesos, interno y externo, indicando la magnitud de su radio.

Resolución:

La métrica de este espaciotiempo será:

.

Podemos poner esta métrica de forma más explícita hallando las raíces de la ecuación

y entonces quedará, teniendo también en cuenta que, al ser un rayo de luz radial, no habrá componentes según θ y φ:

.

Sabemos que en un universo estático (tensor métrico diagonal) la velocidad de la luz se calcula como:

,

que nos indica la anulación de en círculos de radios = 1y = 2. Cuando > 2 ambos términos ( - 1) y ( - 2) son positivos produciendo una velocidad de la luz real junto con unos coeficientes métricos < 0y > 0 1 < < 2, en tales circunstancias el producto de los factores ( - 1) ( - 2) < 0, haciendo que se inviertan de signo los coeficientes métricos > 0 y < 0, lo que supone la inversión del tiempo en espacio y viceversa, funcionando el volumen comprendido entre las esferas de radio 1 y 2 como un agujero negro. Por último, para < 1los signos de los paréntesis son ambos negativos y su producto, por consiguiente, positivo. En la zona interna < 1el tiempo y el espacio no invierten sus papeles y no hay agujero negro, siendo consecuentemente, dichas esferas, los dos horizontes de sucesos.