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‘Relatividad y Cosmologıa’ 4o¯ Fısicas Octubre 2009

Perspectiva sobre Relatividad General Mariano Santander

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Malentendidos y leyendas urbanas sobre la relatividad general

En gran parte las leyendas urbanas sobre la relatividad general son las que rodean tambien a la relatividadespecial. Pero tienen algun caracter distintivo.

• Es una teorıa casi puramente matematica, cuyos efectos observables son despreciablesHasta 1960 muchos fısicos podrıan suscribir esta frase. Aunque tres efectos la confirmaban en elsistema solar, la concordancia era buena pero no mucho mas. En los ultimos 40 anos esta situacionha dado un cambio radical, y actualmente hay muchos mas efectos observados, y la concordanciaentre algunas predicciones y algunas observaciones astronomicas es impresionante

• Es una teorıa irrelevante por completo para la vida cotidiana Actualmente falso. Lascorrecciones gravitatorias al GPS son mucho mayores que las debidas a la RE, y por tanto laRelatividad General es necesaria alli.

• Como su nombre indica, es una teorıa mas general que la relatividad espacial Ambiguo, yfısicamente incorrecto. La relatividad Especial establece un marco de como es el espacio-tiempo, ya este marco deben atenerse las teorıas que describen interacciones concretas: electromagnetismo,gravitacion, etc. La relatividad general es una teorıa relativista (compatible con la relatividadespecial) de la gravitacion.

• Si Einstein no la hubiera encontrado en 1915, no lo habrıa hecho ninguna otra personaen los siguientes 20 o 30 anos Predecir el pasado no tiene merito. Pero, a diferencia de laRelatividad Especial, parece casi seguro que de no haberse embarcado Einstein entre 1908 y 1915en encontrar una teorıa relativista de la gravitacion, podrıan haber pasado 20, 30 o 40 anos hastaque algun otro lo hubiera hecho.

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Hechos ‘probados’ sobre la relatividad general

• En 1915 no habıa ninguna discrepancia importante entre las observaciones astronomicasy las predicciones de la gravitacion newtoniana Cierto. La unica discrepancia resenable era lade la precesion anomala del perihelio de Mercurio, que es extremadamente pequena (43 segundosde arco/siglo anomala, frente a la precesion total del orden de 5500 arcseconds/siglo, de los cualeslos restantes se explican correctamente por la teorıa newtoniana.

• Es una teorıa especulativa, en la que apenas pueden hacerse experimentos Cierto, des-graciadamente, es la Naturaleza quien determina que experimentos pueden hacerse y cuales no.Simplemente, no es posible crear en el laboratorio un campo gravitatorio ‘a medida’. De maneraque en la mayorıa de los casos dependemos solo de observaciones.

? Pero las observaciones pueden falsar la teorıa Popper ...

• Las matematicas necesarias para enunciar esta teorıa son extremadamente complica-das y no es posible evitarlas Es cierto que para un estudio completo, el calculo diferencialabsoluto es imprescindible. Entender bien todos los objetos matematicos que describen el campogravitatorio (metrica, conexion, tensor de curvatura) es perfectamente posible pero no es cosa quepueda hacerse en un plis plas. Varios libros de texto recientes (Hartle, Schutz) exploran una in-teresantısima vıa, que reduce mucho los requerimientos puramente matematicos sin comprometerdemasiado la comprension fısica. En este (semi)curso seguiremos esta vıa.

• Actualmente se trata de una teorıa cuyas predicciones estan corroboradas por observa-ciones, algunas con impresionante precision Cierto. Veremos mas adelante ejemplos.

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¿Es absoluto el Tiempo? No, segun las Relatividades (Especial y General) de Einstein

• Einstein (1905) Relatividad Especial y Einstein (1915) Relatividad General. El Tiempoen la Naturaleza no es absoluto en el sentido Newtoniano.

• Si no hay campo gravitatorio entonces

? El valor maximo posible para este tiempo propio τ0 corresponde al observador que semueve sin aceleracion, entre los sucesos inicial y final.

? Cualquier otro observador que se mueva de otra manera, registra un tiempo propio τ ,menor que τ0 y dado por:

dτ =√

1 − v2/c2 dτ0 ≈ (1 − v2

2c2) dτ0

• Si ademas hay campo gravitatorio entonces

? El valor maximo posible para este tiempo propio τ0 corresponde al observador que semueve en caıda libre entre los sucesos inicial y final.

? Ademas del efecto debido a la velocidad, dos observadores en reposo relativo en uncampo gravitatorio registran valores diferentes de tiempo propio entre dos sucesosdados, dependiendo de que posicion ocupen. Estar mas arriba en un campo gravitatorio daun tiempo propio mayor

dτ2 ≈√

1 +2Φ21

c2dτ1 ≈ (1 +

gh21c2

)dτ1

? Cuestion conceptualmente fundamental La existencia de un campo gravitatorio conducetambien inevitablemente a la abolicion del Tiempo absoluto.

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Panorama de la Teorıa de la Relatividad General (1915)

• Gravitacion Newtoniana Exitos repetidos y abrumadores

? Necesitaba aceptar dos molestos fantasmas: accion a distancia y Espacio absoluto.

? Aceptacion lenta; exitos impresionantes: Mareas, precesion de los equinocios, orbitasplanetarias, descubrimiento de Neptuno, . . .

• Einstein comenzo a preocuparse del efecto de la gravedad sobre la luz tras establecer larelatividad Especial. Se referıa a la idea que se le ocurrio en 1908 como ‘la idea mas feliz de mivida’: Un cuerpo en caıda libre no siente su peso

? Principio de equivalencia Guıa para la estructura matematica de una teorıa de la gravitacion

? Incorpora el Principio de Galileo La proporcionalidad exacta de mI y mG pasa a ser unaconsecuencia del principio de equivalencia, y no una propiedad fısica sin razon aparente.

• El tiempo propio que mide un reloj en reposo depende tambien de su posicion cuandohay un campo gravitatorio

? En un campo gravitatorio, el Espacio-Tiempo es curvo Analogıa con una esfera.

• Relacion basica

∆τ2 ≈√

1 +2∆Φ21

c2∆τ1

donde interviene la diferencia de potencial gravitatorio Newtoniano en los dos puntos.

• ¿Como se mueve un objeto en caıda libre en un campo gravitatorio entre dos sucesosdados? De la manera que haga maximo su tiempo propio. Eliminacion de las fuerzas.

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Panorama y Tests de la Teorıa de la Relatividad General

• Tres Tests clasicos

? Desplazamiento gravitatorio hacia el rojo

? Precesion del perihelio de las orbitas planetarias

? Deflexion de la luz en un campo gravitatorio

• Durante los primeros 50 anos (entre 1915 y 1965) no hubo posibilidad real de ir en lascomprobaciones experimentales mas alla de estas tres predicciones basicas

• Otras predicciones eran de efectos cuya cuantıa les colocaba mas alla de las posibilidadesexperimentales. Retraso del eco de radar, Precesion geodesica, Precesion de Lense–Thirring(arrastre de los sistemas inerciales), Ondas gravitatorias.

• Ahora la situacion ha cambiado radicalmente

• A partir de 1970, los avances tecnologicos llegaron al borde de la region en que estosefectos pueden ser observados. Ası

? Comprobaciones directas de los efectos gravitatorios de ‘dilatacion’ del tiempo:Experimentos de Hafele-Keating, Vessot-Levine, . . .

? Retraso del Eco de Radar Medido en Venus, en la Viking (Shapiro); comprobacion recienteen el paso de la Huygens/Cassini por Jupiter y por Saturno (en 2003).

• En otras predicciones que conceptualmente son importantes, en 2009 creemos estarcerca de la comprobacion directa Precesion Geodesica y de Lense-Thirring de un giroscopoen orbita (Gravity Probe B, en curso), Ondas gravitatorias, . . .

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¿Cual es el nivel de comprobacion experimental de las ideas basicas?

• Igualdad de Masa Inercial y Masa Gravitatoria Discrepancia relativa

Galileo (1610, pendulo) < 2 × 10−3

Newton (1680, pendulo) < 10−3

Eotvos (1890, 1908, balanza de torsion) < 5 × 10−8, < 3 × 10−9

Dicke (1964, balanza de torsion, Sol) < 3 × 10−11

Braginski (1971, balanza de torsion, Sol) < 9 × 10−13

Koester (1976, caida libre de neutrones) < 3 × 10−4

Adelberger (2000, Eot-Wash), < 10−13

Experiencias en curso o previstas

APOLLO (Lunar Laser ranging), 10−14?

STEP (caıda libre en ISS) entre 10−15 y 10−17?

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¿Cual es el nivel de comprobacion experimental de las ideas basicas?

• Dilatacion ‘gravitatoria’ del tiempo ∆νexp/∆νteorAdams, Moore (1925, desplazamiento al rojo de las lineas del H en Sirio) entre 0,2 y 0,5

Popper (1954, desplazamiento al rojo de las lineas del H en 40 Eridani B) 1,2 ± 0,3

Pound y Rebka (1960, desplazamiento al rojo de rayos γ, Mossbauer) 1,05 ± 0,1

Hafele y Keating (1972, relojes de cesio en un avion) 0,9 ± 0,1

Alley (1979, relojes de cesio en un avion) 1 ± 0,02

Vessot y Levine (1979, reloj de maser de H en un cohete) 1 ± 0,002

• Deflexion de la luz por el campo gravitatorio del Sol Desviacion predicha: 1.75”

Eddington (1919, Sobral y Principe) 1,98 ± 0,16, 1,16 ± 0,4

Univ de Texas (1973, Mauritania) 1,66 ± 0,19

• Deflexion de ondas de radio de 3C279 por el campo gravitatorio del Sol θexp/θteorRadiotelescopio de Owens Valley (1970, Linea de base 1.07 km), 1,01 ± 0,11

Westerbork (1975, 1Km) 1,04 ± 0,03

Interferometrıa de base muy grande (VLBI) (1991, 10000 km) 1,0001 ± 0,0001

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¿Cual es el nivel de comprobacion experimental de las ideas basicas?

• Retraso de la luz (retraso del eco de radar) ∆τexp/∆τteorShapiro (1968, 1971; eco en Mercurio y Venus) 1,02 ± 0,05

Reasenberg y Shapiro (1979, eco en la Viking) 1,00 ± 0,02

Bertotti et al. (2003, paso de la Cassini-Huygens por Jupiter) 1,00000 ± 10−5

• Precesion del perihelio Valor observado vs. Valor Predicho en arcsec/siglo

Valor residual descontado el efecto de la precesion de los equinocios (≈ 5000 arcsec/siglo paraMercurio) y de las perturbaciones de los demas planetas (≈ 500 arcsec/siglo para Mercurio)

Mercurio 43,1 ± 0,1 42, 98

Venus 8,65 8,62

Tierra 3,85 3,84

Marte 1,36 1,35

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¿Cual es el nivel de comprobacion experimental de las ideas basicas?

• La evolucion temporal de la verificacion experimental de algunos aspectos basicosdurante el S. XX

? a) El principio de equivalencia debil

? b) Algunas predicciones de la Relatividad General: la deflexion de la luz y el retraso del ecode radar

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El sistema de Posicionamiento Global GPS

• El sistema de Posicionamiento Global GPS

? Veinticuatro satelites en 6 orbitas excentricas

Altitud media: ≈ 20000 km

Velocidad media: ≈ 14000 km/h.

• Desde cada punto de la Tierra, en cualquier ins-tante deben verse al menos 4 de estos satelites.

• Cada satelite lleva un reloj atomico y un emisorque emite senales codificadas de manera especıfica quecontienen el instante de la emision.

? El receptor recibe estas senales con un retraso quedepende de su posicion (desconocida) y de las posi-ciones de los satelites en el momento de la emision(conocidas con mucha precision).

? Los retrasos relativos entre las senales procedentes de cuatro satelites son suficientespara determinar la posicion del receptor.

• ¿Es necesario tener en cuenta los efectos de la Relatividad para el funcionamiento delsistema GPS?

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El sistema de posicionamiento Global GPS

• Discrepancia relativa entre las medidas de duracion propia entre los relojes atomicos abordo de los satelites y los de la Tierra es debida a dos causas:

Efecto de altitud (gravitatorio): discrepancia relativa 5,3 × 10−10

Efecto de velocidad (relatividad especial): ” −0,8 × 10−10

Efecto neto total: ” 4,6 × 10−10 (38 µs por dıa)

? Estas discrepancias son muy superiores a la precision de los relojes atomicos que se usanen los propios satelites, y a los de las estaciones terrestres de contraste.

• En 1 µs la luz recorre 300 m

? Para mantener la precision espacial que se requiere de este sistema (determinarla posicion con error del orden de 1 m o menos), las correcciones relativistas sonimprescindibles, y deben hacerse muy frecuentemente.

? Cuando se diseno el sistema la necesidad de efectuar correcciones relativistas no eraapreciada por todos. Pero cuando se realizaron las primeras pruebas los escepticos hubieronde rendirse a la evidencia.

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Algunas predicciones de la RG sin comprobacion directa aun

• Actualmente hay en curso varios proyectos para la comprobacion de algunas prediccionesde la Relatividad General Dos ejemplos, ambos importantes:

• Ondas Gravitatorias Consecuencia inevitable de las ecuaciones de Einstein. Muy difıciles dedetectar.

? Muy debiles Explosion de una supernova en el centro de la Galaxia producirıa una ondagravitatoria cuyo efecto en la Tierra serıa modificar la distancia entre dos masas test separadas1 km en 10−16 m, que es una distancia subnuclear!.

? La potencia total que el sistema Sol-Jupiter emite al espacio en forma de ondas gravi-tatorias se estima del orden de unos 2 Kw.

• La RG predice dos tipos de precesion del momento angular de una esfera perfecta situadaen un campo gravitatorio. (La teorıa Newtoniana predice que en un campo gravitatorio externo,el momento angular de un solido rotante que sea perfectamente esferico no muestra ningunaprecesion)

? De Sitter Precesion geodesica, debida a la curvatura del 3-espacio. Esta presente aunque lafuente del campo no rote. (De Sitter propuso (1917) observarla en el movimiento de la Luna,lo que se lleva haciendo con los datos del eco de radar, con precision 2 %).

? Lense-Thirring Precesion adicional que se produce solo cuando la fuente del campo rota. Aveces se denomina arrastre de los sistemas inerciales por el cuerpo que rota.

? Ambos efectos son muy pequenos Valores esperados para la precesion:Geodesica o de De Sitter: 6,6” por anoLense-Thirring (o arrastre del sistema inercial): 0,042” por ano.

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