Introducción a la Relatividad General

Beca de Colaboración (MEC)

Curso 2008/2009

David Fernández Álvarez

Tutor: Fernando Chamizo Lorente (UAM)

Introduccion a la Relatividad General

David Fernandez Alvarez

1. Antes de nada

Me decidı a pedir una Beca de Colaboracion del Ministerio de Ciencia eInnovacion alrededor del 15 de septiembre de 2008. Para formalizar la soli-citud necesitaba un proyecto y que este fuera aprobado y puntuado por elDepartamento de Matematicas. A pesar de la tiranıa del calendario, lo queverdaderamente me preocupaba era encontrar un tema y un tutor y no ne-cesariamente por ese orden. Yo tenıa claro que tenıa que ser en GeometrıaDiferencial (todavıa no habıa descubierto la Geometrıa Algebraica) y poresas fechas yo estaba estudiando como usar los grupos de Lie para resolverEcuaciones Diferenciales. Aunque es un tema fascinante y asombrosamen-te bello me apetecıa cambiar a un tema completamente distinto. Ademas,dos anos antes curse una asignatura muy divertida de Libre Configuracionllamada Fısica del Universo e impartida por la profesora Carmen Arago enla que nos mostro como la densidad media de la materia y la Teorıa de laRelatividad General determinan que la geometrıa del Universo solo podıa seruna esfera, un plano o una silla de montar. En posteriores asignaturas deLibre Configuracion escribı un trabajo en el que me convencıa de este hechopartiendo de las hipotesis de Friedmann y usando algunas ideas de la Re-latividad General. Sin embargo, como matematico en potencia, ese trabajoaunque satisfactorio, me producıa cierta sensacion amarga ya que era muycualitativo y fui muy cuidadoso en evitar cualquier ecuacion. Por tanto, pa-recıa que el tema estaba mas o menos claro. Ahora, el problema era que tutorelegir. Me imagino la sorpresa de Fernando Chamizo al recibir un correo deuna persona que no conocıa ni personalmente ni como alumno y que le pedıaque le dirigiera un trabajito en Geometrıa Diferencial a uno de los mayoresespecialistas en Teorıa de Numeros (aunque gran amante de la Geometrıa).En mi defensa declarare que justo el ano anterior Chamizo habıa impartidoel curso en Geometrıa mas avanzado de la Licenciatura (Geometrıa IV) y

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durante dos anos dedico la asignatura de Seminario a la Relatividad Generaly cuestiones de Cosmologıa.

Por desgracia, a lo largo de la carrera nunca tuve a Fernando como pro-fesor. Una lastima, hablan maravillas de el. Aunque quizas no deba ser tancategorico porque tiene la buena costumbre de redactar los cursos que im-parte en LATEX y todas las promociones han estudiado las asignaturas deTopologıa, Algebra II y Calculo III (por citar unas pocas) con sus apuntesmilagrosamente salvadores. Leyendo estas notas, aparte de aprender la asig-natura, te da la impresion de estar estudiando las cuestiones mas fascinantes,divertidas e importantes de las Matematicas. Esta fue la razon principal porla que elegı a Fernando como tutor. Y aunque suene a peloteo puedo decirque es una de las mejores cosas que he hecho porque he aprendido muchısimo,mas en que en casi todas las asignaturas de la carrera.

A pesar de los rigores del calendario logre formalizar la solicitud en el pla-zo y a mediados de Noviembre me informaron de que el Proyecto !!RelatividadGeneral y cuestiones de Cosmologıa"" era lo suficientemente interesante comopara invertir el dinero de los contribuyentes en el. El programa de traba-jo previsto se dividıa en tres grandes bloques, a saber: Calculo Tensorial,Relatividad General y Cosmologıa. El objetivo era terminar con el delicadoTeorema de la Singularidad de Hawking. Ademas, la dinamica del mismoconsistıa en que el profesor me mandarıa leer ciertos temas, sobre todo desus apuntes de Seminario y Geometrıa IV y yo lo escribirıa a mi forma yen LATEX. Tras esto, el lo leerıa y lo corregirıa. La recopilacion de estasentregas es lo que el amable lector tiene en sus manos. Por tanto, no es unaobra erudita (ni nunca pretendio serlo), tan solo algunos temas pensados,rumiados y madurados en la cabeza de un estudiante de ultimo ano de Li-cenciatura. Ademas, por suerte, Fernando me permitıa ir a mi ritmo (casisiempre lento, rozando lo reumatico) y como me entretuve demasiado con elCalculo Tensorial (que me parecio un arcano) apenas vimos nada de Cosmo-logıa. Mea culpa. De todas formas, desde aquı le agradezco su paciencia ysu comprension en un ano, como es el ultimo, en el que algunos momentoste sientes desbordado. Ademas de, por supuesto, su paciencia franciscana encorregirme todos los errores imaginables que cometıa en LATEX.

Como no pretendo que este prologo rivalice en extension con el de Recol-tes et Semailles de Grothendieck solo me queda escribir que esta beca fue

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una experiencia maravillosa en la que me divertı mucho y aprendı mas. Solome queda agradecer a Fernando Chamizo sus consejos, correcciones, apuntes,paciencia, bonhomıa, atencion, compromiso y preocupacion. Gracias, Profe-sor.

Madrid, octubre de 2009

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2. Sobre la Historia de los Tensores

La palabra tensor fue introducida por William Rowan Hamilton en 1846,para designar lo que actualmente se conoce como modulo. No fue hasta 1899cuando Waldemar Voigt uso esta palabra en su acepcion actual. Etimologi-camente tensor proviene del latin tensus, participio pasado de tendere, cuyosignificado es ’estirar, extender’. Por ultimo, cabe senalar que la teorıa de laelasticidad fue una de las primeras ramas de la Ciencia donde se usaron lostensores.

La teorıa de tensores fue desarrollada alrededor de 1890 por GregorioRicci-Curbastro bajo el tıtulo de Geometrıa diferencial absoluta, y se hizoaccesible a muchos matematicos gracias a la publicacion del texto clasico deTullio Levi-Civita en 1900. Sin embargo, el Calculo Tensorial tuvo que es-perar hasta 1915 para ser visto como un arma potentısima, cuando Einsteinbaso en el su Teorıa de la Relatividad General. A partir de entonces, los ten-sores se utilizan tambien dentro de otros campos, por ejemplo, la mecanicade medios continuos (vease tensor de esfuerzos o elasticidad lineal). Incluso,recientemente, se han utilizado en el estudio de problemas tecnicos tales co-mo el de la interconexion de maquinas electricas.

Una de las principales caracterısticas de los tensores es que sus propieda-des son indepedientes de los sistemas de referencia usados para determinarlos.Por tanto, constituyen una herramienta ideal para el estudio de las leyes na-turales.

3. Tensores

Una de las posibilidades para comenzar el estudio de los tensores consisteen un enfoque axiomatico. Se parte de dos espacios vectoriales de dimensionesn y p y les asociamos un espacio de np dimensiones, de forma que a cada par(!x, !y) le hacemos corresponder el elemento !x! !y. Esta aplicacion debera serdistributiva respecto a la suma, asociativa con respecto a escalares y ademasla suma directa de las bases de estos dos espacios vectoriales forman una basedel nuevo espacio vectorial. Una vez hecho esto, se generalizarıa a un numerofinito de espacios vectoriales. Aunque este enfoque axiomatico es bastante

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atractivo, siguiendolo perderıamos una de las principales caracterısticas delos tensores: generalizan de manera natural algunos de los objetos habitualesestudiados en Algebra Lineal.

Sea V un espacio vectorial de dimension finita sobre R, sabemos que todaslas aplicaciones lineales: f : V " R se expresan en coordenadas como:

f

!

"""#

!

"""#

x1

x2...

xm

$

%%%&

$

%%%&= (a1, a2, ..., am)

!

"""#

x1

x2...

xn

$

%%%&= a1x1 + a2x2 + · · · + amxm

Por otra parte, es un hecho bien conocido que todas las funciones bili-neales de V # V en R, es decir, todas las funciones que toman dos vectoresy devuelven un numero real son de la forma:

f

!

"""#

!

"""#

x1

x2...

xm

$

%%%&,

!

"""#

y1

y2...

ym

$

%%%&

$

%%%&= (x1, x2, · · · , xm)

'

()a11 · · · a1m...

. . ....

am1 · · · amm

*

+,

!

"""#

y1

y2...

ym

$

%%%&

Sin embargo, si ahora queremos considerar las aplicaciones que tomantres vectores y nos devuelven un numero real las tendrıamos que representarmediante una matriz tridimensional, con cuatro vectores ya necesitarıamosuna matriz tetradimensional siendo este un objeto que ni nos podemos ima-ginar. Problema que se agravarıa en dimensiones aun mayores.

No obstante, aunque estos objetos sean ajenos a nuestra experiencia sen-sible, nada nos impide estudiarlas y basadas en ellas descubrir teorıas de laNaturaleza tan fundamentales como la Relatividad General.

Definicion Sean V1, V2, ...Vn, W espacios vectoriales de dimension finita.Se dice que f : V1 # V2 # ...# Vn " W es una aplicacion multilineal si paratodo 1 $ i $ n:

(i) f (!v1, ...,"!vi, ...,!vn) = "f (!v1, ...,!vi, ...,!vn) con " % R

(ii) f (!v1, ...,!vi + !v!i, ...,!vn) = f (!v1, ...,!vi, ..., !vn) + f (!v1, ...,!v!i, ...,!vn)

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No obstante, entre este amplısimo conjunto, las que mas nos van a intere-sar (debido a sus aplicaciones) son aquellas en las que las variables tengan lamisma naturaleza. Es decir: V1 = V2 = · · · = Vn. Daremos un nombre a lasaplicaciones multilineales que ademas de ser todas las variables del mismotipo tengan como espacio de llegada R:

Definicion Se llama tensor n veces covariante a cualquier aplicacion mul-

tilineal de la forma T : V #nveces-./0· · · #V " R.

Sin embargo, no serıa muy logico detener este proceso de generalizacionque estamos realizando llegados a este concepto, al igual que en Calculo nonos detuvimos cuando llegamos a las aplicaciones de la forma f : R3 " R yconseguimos dar sentido a aplicaciones de la forma: f : R3 " R2 &= R#R. Eneste contexto de los tensores nos gustarıa poder trabajar con aplicaciones dela forma f : V#V#· · ·#V " V o incluso f : V#V#· · ·#V " V#V#· · ·#V .Para conseguir comprender este tipo de aplicaciones debemos recordar unhecho obvio de Algebra Lineal: si multiplicamos un vector columna por unvector fila (es decir, por un elemento del espacio dual) se obtiene un numeroreal. De esta forma, a cada f : V # V # · · · # V " V se le puede asociarT : V " # V # V # · · · # V " R dada por T (#, !v1, ..., !vn) = #(f(!v1, ..., !vn))para cada # % V ". Ademas, por el isomorfismo de cada espacio vectorial consu dual, la correspondencia anterior es biyectiva. Ası, llegamos al conceptoque generaliza la gran mayorıa de los personajes aparecidos en el Curso deAlgebra Lineal:

Definicion Se llama tensor r veces contrainvariante y s veces covariante

o tensor de tipo (r, s) a una aplicacion multilineal T : V " #rveces-./0· · · #V " # V #

sveces-./0· · · #V " R.

Por tanto, un tensor n veces covariante es un tensor de tipo (0, n) y untensor de tipo (n, 0) es un vector n veces contrainvariante como cabrıa espe-rar. Ademas, por convenio, una constante es un tensor de tipo (0,0).

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Llegados a este punto, de nuestra experiencia sabemos que una formade conocer propiedades de objetos recien definidos es considerar el conjuntode todos los objetos del mismo tipo y esperar que posean algun tipo deestructura. Como era de esperar, los tensores poseen una estructura bastanterica:

Proposicion 3.1 El conjunto de todos los tensores de tipo (r, s) tiene es-tructura de espacio vectorial.

Por tanto, como dicho espacio vectorial posee una base, todo tensor sepodra expresar de manera unica como combinacion lineal de esos elementosde la base, obteniendose ası unas coordenadas que vamos a llamar compo-nentes de un tensor:

Definicion Supongamos que B = {!e1, ..., !en} es una base de V y la base

dual es B" =1

#1, ..., #m2' V ". Se llaman componentes de un tensor, T,

de tipo (r, s), en estas bases a los numeros reales

T i1i2...irj1j2...js

= T3#i1 , ..., #ir ,!ej1 , ...,!ejs

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Ahora bien, como el conjunto de tensores de tipo (r, s) forman un espaciovectorial, las operaciones de suma y resta de tensores y multiplicacion porescalares esta bien definida y se efectuan de la manera obvia. Sin embargo,¿Existe la operacion multiplicacion de tensores?

Definicion Si T es un tensor de tipo (r, s) y S es un tensor de tipo (u, v),se llama producto tensorial de T y S al tensor T ( S de tipo (r + u, s + v)cuyo valor en ! = (#1, ..., ˜#r+u, !v1, ..., !vs+v) es

(T ( S)(!) = T3#1, ..., #r,!v1, ...,!vs

4· S

3tilde#r+1, ..., ˜#r+u,!vs+1, ...,!vs+v

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Antes de pasar a la ultima operacion caracterıstica de los tensores vamosa simplificar la notacion usada para los tensores y que es lo que hace difıcilel aprendizaje. Para ello, vamos a aprender un truco que se debe a Einsteinquien siempre estuvo muy orgulloso de el. Para verlo, vamos a empezar conun ejemplo:

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Sea !v un vector tridimensional expresado en cierta base {gi}. Luego, po-demos escribir:

v = v1g1 + v2g2 + v3g3 =35

i=1

vigi

Sin embargo, observese que el ındice mudo i esta repetido. Ademas, los valoresque toma (i = 1, 2, 3) ya los sabemos por el contexto. Ası que, sin perdidade informacion, podemos desechar el sumatorio y escribir simplemente:

v = vigi

El criterio de sumacion de Einstein consiste precisamente en eso: en so-breentender un sumatorio cada vez que un subındice aparece tambien comosuperındice:

Notacion

Siempre que en un monomio figure dos veces el mismo ındice, una vez comosuperior y otra como inferior, se debe, salvo que se avise lo contrario, sumarlos monomios obtenidos dando a este ındice todos los valores posibles.

Una vez que ya hemos adoptado esta convencion podemos a pasar a de-finir la contraccion de dos tensores que es una operacion totalmente natural.Por ejemplo, ai

kblj representa un tensor (2,2) pero si igualamos l y k y apli-

camos el convenio de Einstein se obtiene el tensor aikb

jk que representa un

vector (1,1).

Por tanto, la contraccion es una operacion que consiste en igualar un ındi-ce y subındice y sumar en ellos. De esta forma, el rango del tensor se reducepor 2 y es una operacion que se encuentra bien definida ya que no dependede la base en la que se lleva a cabo. Como comentario final, observese que elconvenio de considerar una constante como un tensor de tipo (0,0) era natu-ral, ya que corresponde -por ejemplo- a la contraccion del producto tensorialde un tensor (0,1) por otro (1,0).

Llegados a este punto y teniendo en cuenta el contexto en el que estamostrabajando, debemos preguntarnos si los tensores nos van a permitir hacerGeometrıa. La pregunta, como no podıa ser de otra forma va a ser afirmativa,pero antes hagamos un poco de historia. Uno de los objetivos fundamentales

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del curso de Geometrıa III fue introducir el concepto de estructura diferen-ciable para decidir si una funcion definida sobre una variedad era suave, esdecir, una cuestion de Analisis. El salto cualitativo lo dabamos gracias a quedespues de definir los campos de vectores y campos de formas lineales, era-mos capaces de definir correctamente el campo de formas cuadraticas. Comoaprendimos en Geometrıa I, las formas bilineales simetricas y definidas posi-tivas nos permiten hacer Geometrıa pues nos dan distancias y angulos.

Por tanto, teniendo en cuenta que existen campos de tensores, de formaslineales y de formas cuadraticas, nuestro objetivo va a ser dotar de sentidoa la expresion campo de tensores y encontrar un tipo de tensores que nospermitan responder cuestiones geometricas.

Una forma de llenar la variedad de tensores, uno en cada plano tangentey conservando cierta suavidad entre ellos, es definir el fibrado tangente y en-tonces ya podrıamos hablar de tensores proximos. Sin embargo, aunque estecamino es mas directo e invariante deberıamos introducirnos en la Teorıa defibrados. Por tanto, vamos a proceder como hicimos en Geometrıa III:

Definicion Sea M una variedad n-dimensional. Un campo tensorial C#

de tipo (r, s) en M , o simplemente un tensor de tipo (r, s) en M es una aplica-cion que asigna a cada punto p %M un tensor de tipo (r, s) con V = TP (m),V " = T "

p (M) y que en cada carta tiene componentes C#.

Como hemos escrito mas arriba, queremos hacer Geometrıa con la ayudade los tensores. Por tanto, estamos especialmente interesados en los tensores(0,2) que nos van a permitir medir. Sin embargo, existe un detalle importan-te para lo que va a venir despues: los fısicos prefieren cambiar la condicionde ser definido positivo por otra mas debil de no degeneracion. Es decir, si!PQ · !PQ < 0 debemos interpretar que no se puede alcanzar el punto Q par-

tiendo de P. Una vez hecho este aviso ya podemos definir uno de los actoresprincipales de esta obra:

Definicion Se dice que G es un tensor metrico si es un tensor dos ve-ces covariante y sus componentes gij forman una matriz simetrica no singular.

Y ahora ya tiene sentido la

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Definicion Un campo tensorial C# de tensores metricos en una variedadM se dice que es una metrica.

Ahora bien, las componentes de un tensor T de tipo (r, s) en una variedaddefinen en cada carta (U,$ = (x1, ..., xn)) funciones C# de U en R dadas por

p % U " T (p)

6dxi1 , ..., dxir ,

%

%xj1

7777p, ...,%

%xjs

7777p

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Habitualmente expresaremos estas componentes en terminos de las fun-ciones coordenadas, que a su vez dependen del punto p. Sin embargo, siempreque trabajamos con cartas nos asalta la misma pregunta ¿Como afectan loscambios de carta a las componentes de un tensor?

Sean dos cartas (U,$ = (x1, ..., xn)), (v, & = (y1, ..., yn)) que se solapan,la funcion $ )&$1 pasa de (y1, ..., yn) a (x1, ..., xn). Ademas, en cada carta setendran campos %x1 , ..., %xm , dx1, ..., dxm si usamos $ y %y1 , ..., %ym , dy1, ..., dym

si utilizamos & y que dan las bases del espacio tangente y cotangente respec-tivamente.

Antes de responder a la pregunta, dos formulas usadas hasta la saciedaden Geometrıa III:

Proposicion 3.2 Con la notacion anterior:

(i) %yj =%xi

%yj%xi

(ii) dyi =%yi

%xjdxj

Estas relaciones prueban que para cualquier tensor:

T9dyi1 , ..., dyir , %yj1 , ..., %yjs

:

Coincide con

T

;%yi1

%xkdxk, ...,

%yir

%xkdxk,

%xl

%yj1%xl , ...,

%xl

%yjs%xl

<

Luego, cuando cambiamos de carta las componentes de un tensor de tipo(r, s) en una variedad cambian por la formula:

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Si1...irj1...js

=

;%yi1

%xk1· %yi2

%xk2· · · %yir

%xkr

<·;

%xl1

%yj1· %xl2

%yj2· · · %xls

%yjs

<T k1...kr

l1...ls

Esta formula es tan caracterıstica de los tensores que algunos libros deFısica definen tensores y campos de vectores como conjuntos de numeros ofunciones que cumplen esta regla de transformacion.

4. Sımbolos de Christo!el, derivada covarian-te y geodesicas.

El curso de Geometrıa III termino con la definicion de variedad semirie-manniana, es decir, una variedad dotada de una metrica. No obstante, biensabemos que si queremos hacer Geometrıa necesitamos un producto escalar,es decir, un tensor simetrico de tipo (0,2). Sin embargo, siguiendo a los fısi-cos, vamos a cambiar la condicion de ser definido positivo por otra mas debilde no degeneracion. Es decir, si !PQ · !PQ < 0 debemos interpretar que nose puede alcanzar el punto Q partiendo de P . Esto nos obliga a distinguir aaquellas variedades dotadas de una metrica definida positiva:

Definicion

Una variedad riemanniana es una variedad semiriemanniana cuya metrica esdefinida positiva.

Por tanto, esta claro que en nuestro intento de hacer Geometrıa en con-textos mas generales que subconjuntos de R3 vamos a trabajar en estos tiposde variedades. Una de las cuestiones que nos gustarıa definir es la distanciaentre dos puntos de una variedad.

Una condicion intuitivamente clara para definir correctamente esta dis-tancia es que los dos puntos se encuentren en la misma componente conexa.Ahora bien, ¿Como definir esta nocion en este contexto general? Podemosusar dM(p, q) = {L(c)| c es C# a trozos con c(0) = p y c(1) = q}.

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Pero esta definicion conlleva problemas topologicos. Por ejemplo, si con-sideramos la variedad R2 \ {(1, 1)} y los puntos (0, 0) y (2, 2) ocurre unfenomeno de ocultamiento. Sin embargo, estos problemas quedan solucio-nados si pedimos que la variedad, con la topologıa metrica, sea un espaciotopologico completo o bien si nos limitamos a trabajar localmente. No obs-tante, los problemas no terminan aquı ya que observando la definicion dadadebemos estudiar que significa la longitud de una curva. Siguiendo la nocionintroducida en el curso de Geometrıa II, el camino parece claro:

Definicion

Sea c : [a, b]"M una curva parametrizada en una variedad riemanniana Mdotada con una metrica G. Se define su longitud de arco entre c(a) y c(b)como:

L(c) =

= b

a

>G (c!(t), c!(t))

Una vez que ya hemos dado sentido a la expresion L(c) que aparece en ladefinicion de distancia tambien es claro que dicha definicion depende de lacurva escogida para ir de un punto a otro. Si nos encontramos en la variedadR2 -con la metrica usual- y queremos saber la distancia del punto (0, 0) al(1, 0) es claro que esta distancia es 1, utilizando la distancia en la recta realaprendida en Calculo I. Sin embargo, si no tenemos cuidado, con la defini-cion recien introducida se pueden obtener respuestas como 1+

*2 si primero

vamos al punto (1, 1) y despues bajamos hasta el (1, 0) o '/2 si seguimos lasemicircunferencia de radio 1/2 y centro (1/2, 0) y, por supuesto, podemosobtener respuestas aun mas extravagantes si usamos curvas mas complicadas.En este caso concreto sabemos que la curva elegida debe ser una recta, pero¿Y en contextos mas generales como toros, esferas o el conjunto de todaslas rectas afines? ¿Como estar seguros de que la curva escogida nos va a dar(cuando calculemos su longitud) el mınimo numero? Llegados a este puntonos planteamos dos preguntas:

(i) ¿Que curvas sobre una determinada variedad semiriemanniana nosdan la distancia mınima?

(ii) ¿Como calcularlas?

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La primera es facil ya que la respuesta son las geodesicas. La respuesta ala segunda pregunta nos la va a proporcionar la propia Naturaleza y nos vaa introducir en el Calculo de Variaciones. Uno de los Principios mas impor-tantes y omnipresentes en toda la Fısica es el Principio de Mınima Accionque dice, hablando sin mucho cuidado, que localmente la Naturaleza elige lastrayectorias tales que la suma de todas las energıas en las mismas sea mıni-ma. Ya en Matematicas, la estrategia consiste en buscar una funcion queminimice un determinado funcional (una integral) conocido como la accion.Para ser conscientes de la potencia del Calculo de Variaciones y como nosva a ayudar a resolver nuestro problema enunciamos uno de los Teoremascentrales en este area:

Proposicion 4.1 Dados a, b % R y !c,!d % Rn. Sea

A =1

F =9q1, ..., qn)

77 qj % C2([a, b]), F (a) = !c, F (b) = !d2

Supongamos que? b

a L con L=L3t, F (t), F (t)

4alcanza un maximo o un mıni-

mo en A para cierta F , entonces F es solucion de las ecuaciones de Euler-Lagrange:

d

dt

;%L%qk

<=

%L%qk

k = 1, ..., n

Demostracion

Si la integral alcanza un extremo en C para F = F0(t) entonces para otrafuncion ( = ((t) como F pero con ((a) = ((b) = !0 se cumple que la funcion

f()) =? b

a L3t, f0(t) + )((t), F0(t) + )((t)

4dt

alcanza un punto crıtico en ) = 0. Por Calculo I sabemos, por tanto, quef !(0) = 0. Derivando bajo el signo de la integral e integrando por partes:

0 =

= b

a

;%L%qk

(k +%L%qk

(k

<=

= b

a

;%L%qk

+ d

dt

;%L%qk

<<(k

donde (k son las componentes de (. Como estas son arbitrarias, la unicaforma de que la integral anterior sea 0 es que se cumplan las ecuaciones deEuler-Lagrange. !

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En el caso de que L provenga de una metrica, es posible escribir unaformula general para las ecuaciones de Euler-Lagrange que va a ser impor-tante a nivel teorico pero no tanto a nivel practico. Para hacer mas legibledicha formula vamos a introducir el siguiente convenio:

%f

%xk, f,k

Y ya podemos introducir la formula anunciada:

Lema 4.2 Si L=gij qiqj con gij las componentes de una metrica G. Entonceslas ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes son:

qk + "kij q

iqj = 0

Pero, ¿Como se definen los "kij que aparecen en la formula?

Definicion

Sea (gij) la matriz formada por las componentes de una metrica G y sea (gij)su matriz inversa. Se llaman sımbolos de Christo#el a

"kij =

1

2gmk (gmi,j + gjm,i + gij,m)

Los gij son las componentes de un tensor dos veces contravariante. Sinembargo, los sımbolos de Christo#el no son componentes de ningun tensorya que al cambiar de carta no cumplen la tensorialidad.

Una vez que hemos llegado al concepto de sımbolos de Christo#el, comogeometras, debemos hacernos la pregunta ¿Que significado geometrico po-seen? Antes de responder a la pregunta planteada y teniendo en cuenta lamotivacion mecanica introducida, sabemos que las partıculas que van a tra-zar las geodesicas son lo que en Fısica se conoce con el nombre de partıculaslibres, es decir, partıculas no sometidas a fuerzas: !F = 0. Por la Segunda Leyde Newton esto implica que !a = 0 y como !a = d2x

d2t , las geodesicas seran las

trayectorias que solucionan el sistema de EDO´s: d2xd2t = 0. No obstante, esto

solo es valido en Rn. Luego, para que estas ideas nos valgan en contextosmas generales (variedades semiriemannianas) debemos definir algo ası como

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una derivada de campos, mas teniendo en cuenta que en tales variedadeshemos definido campos de tensores, llegamos a que vamos a tener que definiruna derivada sobre campos de tensores. No obstante, vayamos por partes.Primero analicemos la situacion en Rm.

Sea una carta de la estructura de variedad: ($ = (x1, ..., xm,U) , $$1) laparametrizacion asociada y !V un campo de vectores dado en esta carta por!V = vi%i. Segun la definicion de vector tangente, %i = !!"1

!xi . Luego, podemos

escribir: !V = vi !!"1

!xi . Como la variedad en la que nos encontramos es Rm,podemos aplicar la Regla de la Cadena aprendida en Calculo II:

%!V

%xj=

% !V i

%xj

%$$1

%xi+

%2$$1

%xj%xiV i

Fijadas i y j, la derivada parcial segunda !2!"1

!xj!xi tiene m coordenadas, porlo que es un elemento de Rm que podemos considerar del espacio tangente(porque Rm es isomorfo a el) y, por tanto, se expresa como cierta combinacionlineal de las %i, escribamos:

%2$$1

%xj%xi= Ck

ij%k

Por la igualdad de las derivadas segundas se tiene el

Lema 4.3Ck

ij = Ckji (1)

Y sustituyendo en lo anterior:

%!V

%xj=

6% !V k

%xj+ Ck

ijVi

8%k

Luego, los Ckij son las componentes de la derivada %i con respecto a la j-

esima variable, es decir, son los numeros que expresan la variacion de la baseal cambiar el punto. Sin embargo, la eleccion de los Ck

ij parece, en principio,bastante arbitraria. Las cosas cambian si tenemos una metrica que se deberespetar como es nuestro caso ya que, no lo olvidemos, queremos trabajar enuna variedad semiriemanniana. Dada una metrica G y fijados i y j, G (%i, %j)asigna a cada punto de la carta un numero real, es decir, es una funcion y se

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debe derivar de la manera habitual. No obstante, hay que tener cuidado alderivar %i y %j ya que se escriben en terminos de los Ck

ij. Ademas, queremosque esta nueva derivada sea compatible con la del Calculo ordinario y quese cumpla una regla del producto para G, analoga a la del producto escalar

usual:3< !f,!g >

4!=< !f !,!g > + < !f,!g! >. Luego, nos vemos forzados a

pedir:%

%xkG (%i, %j) = G

9C l

ik%l, %j

:+ G

9%i, C

ljk%l

:(2)

Es decir,gij,k = C l

ikglj + C ljkgil (3)

Ahora bien, gracias a (2) y al lema 0.3 los C lij quedan totalmente carac-

terizados y son unos viejos conocidos:

Proposicion 4.4 Las unicas cantidades C lij que verifican simultaneamente

(2) y el lema 0.3 son los sımbolos de Christo!el. Es decir: Ckij = "k

ij

Demostracion

Como los ındices i,j y k son arbitrarios, podemos permutarlos a nuestraconveniencia y teniendo en cuenta gij,k = C l

ikglj + C ljkgil es facil ver:

9gij,k + C l

ikglj + C ljkgil

:+

9gjk,i + C l

jiglk + C lkigjl

:+

9gki,j + C l

kjgli + C lijgkl

:= 0

Y, usando la simetrıa de los C lik podemos simplificarlo de la forma siguiente:

gij,k + gjk,i + gki,j = 2C likglj

Como gljgjm = *ml si multiplicamos por gjm obtenemos:

1

2gjm (gij,k + gjk,i + gki,j) = Cm

ik

Que es justamente la definicion dada de los sımbolos de Christo#el.!

Por tanto, ya hemos encontrado el significado geometrico a los sımbolosde Christo#el en Rm. Sin embargo, hay un problema para generalizar todala construccion anterior a subvariedades inmersas en Rn y es que, en general,!"V!xj no pertenece al espacio tangente y, por tanto, no se puede escribir comocombinacion lineal de los %k. La solucion obvia es suprimir las componentes

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normales y considerar unicamente la proyeccion sobre el espacio tangente.Fısicamente, esto significa que como las fuerzas normales a las ligaduras noefectuan trabajo, podemos no considerarlas. Por tanto, ya nos encontramosen condiciones de dar la

Definicion

Sea una variedad semiriemanniana con un campo de vectores que en ciertacarta (U ,$ = (x1, ..., xn)) se expresa como V i%i. Se llama derivada covariantede V a un tensor de tipo (1,1), que denotaremos -V cuyas componentes son:

V i,j = V i

,j + "ikjV

k

Y se llama derivada covariante respecto de xi al campo de vectores -jV =V i

,j%i.

Para ver que -jV es un tensor de tipo (1,1) (lo que no esta muy claro trasla definicion) se comprueba la tensorialidad. Ademas, tambien se cumple parala derivada covariante una especie de regla del producto pero con el productotensorial:

Lema 4.5 Sean S y T tensores. Entonces:

(-S ( T ) = (-S ( T ) + (S (-T )

Ademas, esto tambien es cierto si en vez de ser el producto tensorialla operacion, queremos la derivada covariante de la contraccion entre dostensores. Para facilitar esta operacion se suele usar el lema de Ricci:

Lema 4.6 (Lema de Ricci) Se verifica *ij;k = gij;k = gij

;k = 0.

Ahora bien, teniendo en cuenta que una forma de definir los vectores enGeometrıa III era como velocidades a traves de caminos, va a ser muy in-teresante dotar de significado a la derivada covariante a lo largo de caminosen analogıa con la derivada direccional del Calculo II:

Definicion

17

Sea + una curva diferenciable en una variedad semiriemanniana conectandodos puntos p y q, y sea !V un campo de vectores definido en la imagen de +.Se llama derivada covariante de !V a lo largo de + a:

D!V

d"=

;DV k

d"+ "k

ijVi dxj

d"

<%k

Si D"Vd# =0 se dice que !V es un transporte paralelo a lo largo de + (o que !V (p)

se transporta paralelamente en !V (q) a lo largo de +).

Siguiendo con nuestra actitud vamos a buscar un significado mas geometri-co a la derivada covariante a lo largo de una curva. Sea M una hipersuperficiede Rn+1. Dada una curva parametrizada en M , considerada como funcion:c : I ' R " Rn+1 y un campo vectorial definido en su imagen V (c(t))sean tangentes a M , su derivada -coordenada a coordenada- no lo es ne-cesariamente. Por ello consideramos su proyeccion ortogonal sobre Tc(t)(M)visto como hiperplano de Rn+1. Este proceso de derivar y proyectar tiene laspropiedades (3) y (1). Como ambas propiedades definıan completamente laderivada covariante, entonces DV/dt se puede interpretar como la proyeccionortogonal de la derivada del campo de vectores (evaluado en la curva) sobreel hiperplano tangente y las geodesicas son las curvas tales que la derivadade sus vectores tangentes es siempre un vector normal.

No obstante, si pensamos de nuevo en terminos mecanicos, si + : [a, b]"M representa la trayectoria de una partıcula en funcion del tiempo, entonces!V = d$

d# es un campo de vectores a lo largo de + que representa la velocidad

y D"Vd# es la aceleracion dentro de la variedad. La ecuacion de movimiento de

las partıculas libres debe cumplir que esta derivada se anule al no haber fuer-zas externas. Mas estas trayectorias son las geodesicas. Por tanto, podemosadoptar esta nueva definicion de geodesica:

Definicion

Se dice que una curva en una variedad semiriemanniana es una geodesica sise cumple la ecuacion:

d2xk

d2"+ "k

ij

dxi

d"

dxj

d"= 0

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Es decir, es la trayectoria para la que el transporte paralelo es 0. Losteoremas de existencia y unicidad de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias nospermiten afirmar que dado un punto en una variedad existe exactamente unageodesica si hemos especificado el vector tangente inicial. Fısicamente, estosignifica que desde cada punto de la variedad podemos lanzar una partıculaen cada direccion y la velocidad inicial determina su movimiento. Ademas,la parametrizacion es importante, ya que si paramentrizasemos la curva demanera no homogenea la velocidad cambiarıa y, por tanto, la aceleracion noserıa nula y existirıan fuerzas externas. Esto es lo que afirma el

Lema 4.7 Sea M una variedad semiriemanniana con metrica G y sea !v(")el vector tangente de una geodesica en funcion de su parametro.Entonces G (!v("),!v(")) es constante.

5. La metrica de Schwarzschild

Cuando analizamos las ecuaciones de campo de la Relatividad Generalque Einstein publico en 1915 y que tienen la forma:

Rµ% = Gµ%

lo primero que se observa es que son no lineales y, por tanto, muy difıcilesde resolver. Incluso Einstein en su propio trabajo las resuelve de una manera

19

aproximada. El primero que encontro una solucion fue Karl Schwarzschild en1918 en las trincheras de la Primera Guerra Mundial. A pesar de ser direc-tor del Observatorio Astrofısico de Potsdam, se alisto voluntariamente en elejercito aleman para servir en el frente ruso. Por desgracia, no pudo disfrutarde su exito ya que murio poco despues de una enfermedad de la piel con-traıda en el frente. Schwarzschild se dio cuenta de que el campo de tensoresmetricos representa el campo gravitacional estatico, con simetrıa esferica, enel espacio-tiempo vacıo que rodea un cuerpo esferico y ademas masivo. Porejemplo, una estrella.

Para llegar a su solucion, Schwarzschild hizo las siguientes suposiciones:

(i) El campo es estatico.(ii) El campo posee simetrıa esferica.(iii) El espacio-tiempo es vacıo.(iv) El espacio-tiempo es asintoticamente plano.

Ademas, tambien supuso que podıa parametrizar el espacio-tiempo me-diante las coordenadas (t, r,,,$) donde t es la coordenada temporal, r es unacoordenada radial y tanto , como $ son coordenadas angulares.

De aquı Schwarzschild dedujo que

A(r)dt2 + B(r)

c2dr2 + r2

c2d,2 + r2 sen2 ,

c2d$2

Es una metrica que cumple las ecuaciones de Campo que, ademas, deter-minaran las funciones A(r) y B(r).

El hecho de que ninguna de las gµ% dependan de t expresa la suposicion(i) y (ii) se manifiesta en que las superficies dadas por r y t tienen la metricar2(d,2 + sen2 ,d$2) que es la metrica en la esfera bidimensional. La suposi-cion (iii) significa que tanto A(r) como B(r) se pueden encontrar usando lasecuaciones de campo del espacio-tiempo vacıo. Es decir, Rµ% = 0. Por ulti-mo, la ultima suposicion da condiciones de contorno sobre A y B: A(r)" c2

y B(r) " 1 cuando r " .. Por tanto, introducimos esta metrica en lasecuaciones de campo del espacio-tiempo vacıo y obtenemos:

Definicion

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Sea m = R # R3 \ {!0} con las funciones coordenadas (t,r,,,$) siendo r,,,$las coordenadas esfericas habituales. Se llama metrica de Schwarzschild a

+31+ r0

r

4dt2 + c$2

31+ r0

r

4$1

dr2 + c$2r2d,2 + c$2r2 sen2 ,d,

donde r0 es una constante que se llama radio de Schwarzschild, que fısica-mente representa 2Gm/c2 con G la constante de gravitacion universal y mla masa.

Como primer apunte, cabe destacar que aparte de la previsible singula-ridad en r0 = 0 existe otra en r = r0. La primera pregunta, muy natural,es ¿Por que no sentimos esta singularidad? Debido a que en el Sistema In-ternacional G = 6, 67 · 10$11Nm2/kg2 y c = 2, 9979 · 108m/s para que lanotaramos, la Tierra -por ejemplo- deberıa ser una canica. Sin embargo, estasingularidad no es solo un ente matematico sino que tambien posee realidadfısica, como veremos.

Antes de nada, vamos a definir unos objetos que nos van a interesar apartir de ahora:

Definicion

Se dice que + es una geodesica nula en una variedad semiriemanniana conmetrica G si G(+!, +!) = 0 y se dice que es una geodesica temporal siG(+!, +!) < 0. En este ultimo caso, cuando G(+!, +!) = +1 se dice que esta pa-rametrizada por el tiempo propio.

Uno de los mayores exitos conseguidos por la Relatividad General fueexplicar por que, en cierto modo, varıan los ejes de la elipse dentro del planode la eclıptica. Mediciones precisas en el siglo XIX confirmaron este hechopero al ser estos errores casi inapreciables, los astronomos lo considerabanuna discordancia entre teorıa y realidad, propia de cualquier Teorıa Fısica.Incluso algunos astronomos fantasearon con la idea de que existiera un pla-neta entre el Sol y Mercurio que llamaron Vulcano. Lo que nadie puso nuncaen duda fue la Teorıa de la Gravitacion de Newton. Aunque la Teorıa de laRelatividad General fue poco valorada entre los fısicos cuando se publico, laexplicacion de la precesion del perihelio de Mercurio hizo que muchos cientıfi-cos se esforzaran por entenderla.

21

Vamos a probar que las orbitas de la metrica de Schwarzschild son casielıpticas y coinciden con el balanceo del perihelio observado experimental-mente. Para ello, vamos a estudiar la relacion entre las coordenadas r y $:

Proposicion 5.1 Las geodesicas de la metrica de Schwarzschild incluidas enel plano , = '/2 verifican que r y $ estan relacionadas mediante:

;dr

d$

<= Ar4 + Br3 + r2 + r0r

donde A y B son constantes que dependen de las condiciones iniciales y der0.

Ahora bien, el cambio de variables u = 1/r en la Proposicion anterior da:

(u!)2 = A + Bu+ u2 + r0u3

Como el perihelio (up) y el afelio (uaf ) son los puntos mas extremos, laderivada en estos dos puntos se debe anular. Por tanto, (u + up)(u + uaf )dividen al polinomio del segundo miembro. Por la formula de Viete parapolinomios cubicos, hallamos la tercera raız y podemos obtener la expresionanterior como:

u!

±>

P (u)= 1, donde P (u) = (u+ up)(u+ uaf )(u+ r0(u + uaf + up))

Y el signo sera positivo si u es creciente (u! > 0) y negativo en caso contrario.

Partiendo del afelio actual, al pasar al perihelio, u crece mientras quecuando se pasa del perihelio anterior al afelio presente, u decrece. Si integra-mos la EDO obtenida:

$af,ant + $per =

= up

uaf

du>P (u)

, $af,sig + $per =

= uaf

up

du

+>

P (u)

Sumando ambas formulas calculamos la variacion del angulo entre dos pe-rihelios consecutivos:

% =2

= up

uaf

du>P (u)

+ 2'

Con los datos astronomicos a nuestra disposicion y con la ayuda de un orde-nador, si calculamos numericamente esta integral obtenemos:

% = 5, 04 · 10$7

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Y teniendo en cuenta que Mercurio tarda en dar una vuelta alrededor del Sol0.24 anos, llegamos a la conclusion de que la variacion secular de la orbitade Mercurio sera:

2, 10 · 10$4rad = 43, 32!!

Que se ajusta con gran exactitud a los datos recogidos experimentalmentepor los astronomos.

Sin embargo, lo que quizas validara la Teorıa de la Relatividad General(por lo menos para el gran publico) fue su prediccion de que los rayos lumi-nosos se curvarıan en un campo gravitatorio y que fue comprobada por SirArthur Eddington. Aparte de secretario de la Royal Astronomical Society deInglaterra, Eddington era cuaquero y, por tanto, sus creencias pacifistas leimpedıan formar parte del ejercito britanico, lo cual estaba castigado con pe-na de carcel. Para evitarlo, la Universidad de Cambridge alego que no podıaser carne de canon porque tenıa encomendado un deber cıvico: liderar unaexpedicion para observar el eclipse solar de 1919 y probar la Teorıa de Eins-tein. Por suerte, Eddington pudo levantar un campamento en la Isla Prıncipey Andrew Crommelin hizo lo propio en Sobral, Brasil.

Aunque el 29 de mayo de 1919 amanecio con nubes lluviosas cubriendo elcielo, a la una y media Eddington pudo fotografiar las estrellas. Cuatro mesesdespues los equipos pudieron analizar los datos cuidadosamente en Londresy comparando las fotografıas con otras tomadas meses antes en Inglaterracon el mismo telescopio, confirmaron la prediccion de Einstein. El 22 de Sep-tiembre de 1919, Einstein recibio un telegrama de H. Lorentz informandolede las buenas nuevas. Cuentan que Max Planck paso toda la noche en velaesperando resultados a lo que Einstein -siempre ironico- comento !!Si hubie-ra entendido de verdad la teorıa de la Realatividad general, se habrıa ido adormir como yo hice"".

Sin embargo, no fue hasta el 6 de noviembre de 1919 cuando se conocio lanoticia en una reunion conjunta de la Royal Society y la Royal AstronomicalSociety en Londres. Allı Sir Frank Dyson anuncio: !!tras un minucioso estudiode las placas, estoy en condiciones de decir que sin ninguna duda confirmanla prediccion de Einstein. Se ha obtenido un resultado muy claro de que la luzse desvıa de acuerdo con la ley de la gravedad de Einstein"". A continuacion, elPremio Nobel J.J. Thomson solo pudo anadir !![es] uno de los mayores logros

23

de la historia del pensamiento humano. No es el descubrimiento de una islaapartada, sino de todo un continente de nuevas ideas cientıficas. Sin dudaes el mayor descubrimiento relacionado con la gravedad desde que Newtonenuncio sus principios"". Para comprender la fama mundial que adquirio Eins-tein solo hace falta recordar como titulo el Times de Londres al dıa siguiente:!!Revolucion en la ciencia-Nueva teorıa del universo-Desbancadas las ideas deNewton-Trascendental declaracion-Espacio distorsionado."" Como se observa,los periodicos no se preocuparon por ofrecer a sus lectores la informacion masveraz y contrastada. No es de extranar que el New York Times enviara rapi-damente a su experto de golf para que cubriera esta revolucionaria noticia.Aunque la curvatura de la luz que predice la Teorıa de la Relatividad Generalha sido confirmada ya muchas veces, investigaciones recientes indican que nose pudo verificar a partir de las fotografıas tomadas por los dos equipos.

Para estudiar la curvatura de la luz, lo primero que debemos hacer esestudiar las geodesicas nulas que nos dan las trayectorias de los fotones. Nopodemos usar el tiempo propio - (el tiempo que registrarıamos si viajaramosa lo largo de la geodesica) como parametro ası que w sera un parametro afına lo largo de la geodesica y los puntos denotaran derivadas con respecto a w.Utilizando las ecuaciones de Euer-Lagrange:

d

dw

;%L

%xµ

<+ %L

xµ= 0

donde

L (x&, x&) =1

2gµ% x

µx%

=1

2

3c2(1+ 2m/r)t2 + (1+ 2m/r)$1r2 + r2

3, + sen2 ,$2

44

Debido a la simetrıa esferica, no perdemos generalidad si suponemos quelos fotones se mueven en el plano ecuatorial , = '/2. Para este valor de , ypara µ = 2, la tercera de las ecuaciones de Euler-Lagrange se satisface y lasegunda (correspondiente a µ = 1) se reduce a:

;1+ 2m

r

<$1

r +mc2

r2t2 +

;1+ 2m

r

<$2 m

r2r2 + r$2 + r$2 = 0

Como t y $ son coordenadas cıclicas:

%L/% t = cte %L/%$ = cte

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Integrando: ;1+ 2m

r

<t = k

r2$ = h

Donde k y h son las constantes de integracion. Observando la segunda ecua-cion, es claro que es analoga a la ecuacion de la conservacion del momentoangular. Como estamos usando geodesicas nulas, llegamos a que con , = '/2:

c2(1+ 2m/r)t2 + (1+ 2m/r)$1r2 + r2$2 = 0

Si ahora sustituimos en esta ecuacion los valores obtenidos para $ y t yhacemos el cambio de variables u = 1/r, obtenemos la ecuacion que describela trayectoria de un foton viajando en el plano ecuatorial:

;du

d$

<2

+ u2 = F +2GM

c2u3

Cuando M esta proximo a cero, podemos escribir:

;du

d$

<2

+ u2 = F

Siendo una solucion particular:

u = u0 sin $ or 0 = r sin $

Donde u20 = 1/r2

0 = F . Esta solucion representa el camino rectilıneo quetraza un foton que parte del infinito en la direccion $ = 0 y vuelve al infinitoen la direccion $ = '. El punto de la trayectoria mas proximo al origen esr0 y viene dada por $ = '/2. Sin embargo, cuando M no es despreciable, lasituacion es muy distinta. En este caso, debemos utilizar la ecuacion:

;du

d$

<2

+ u2 = F +2GM

c2u3

Y si hacemos el cambio de notacion ) , 2GM/c2, obtenemos:

;du

d$

<2

+ u2 = F + )u3

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A partir de ahora vamos a centrarnos en valores de r significativamente masgrandes que ) y de esta forma tratar el segundo termino del segundo miembrocomo una correccion relativista de la ecuacion que describe el espacio-tiempoplano e ignorar potencias de ). Si u0 es el valor de u para el que se encuentramas cerca del origen, entonces du/d$ = 0. Ası que el valor de la constante Fes ;

du

d$

<2

+ u2 = u20(1+ u0)) + )u3

Por tanto, esta ecuacion deberıa tener una solucion parecida a la obtenidapara un espacio-tiempo plano. Tomamos:

u = u0 sin $ + )v

donde v es una funcion de $ que deberemos determinar y recordemos queu = u0 sen $ corresponde a la recta horizontal y = 1/u0. Ademas, u = u0 sin $corresponde a la recta horizontal y = 1/u0. Sustituyendo en la ecuacionanterior y eliminando los terminos de ):

2dv

d$cos $ + 2v sen $ = u2

0(sen3 $+ 1)

Que puede ser reescrito de la forma:

dv(sec $)

d$cos $ =

1

2u2

0

9sec $ tan $+ sen $+ sec2 $

:

Integrando:

v =1

2u2

0

91 + cos2 $+ sen $) + A cos $

Donde A es una constante de integracion. Para determinar su valor, impone-mos la condicion de que el foton provenga del infinito en la direccion $ = 0.Es decir, debemos pedir que cuando $ = 0, v = 0. Ası que A = +u2

0 y nosqueda:

u = u0

;1+ 1

2)u0

<sen $ +

1

2)u2

0 (1+ cos $)2

Sin embargo, no podemos esperar que el foton regrese al infinito en la direc-cion ' pero sı en una direccion ' +( para un angulo ( pequeno. Escribiendou = 0 y $ = '+( en la ecuacion anterior, ignorando las potencias cuadradas

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y cubicas de ( y )( y usando sen(( + ') / ' y cos(' + () = +1, llegamos ala expresion:

0 = +u20( + 22

0 01 ( = 2)u0

Ası que debido al campo gravitatorio creado por la masa M , el foton esdesviado un angulo de

( = 2)u0 = 4GM/r0c2

Observando la formula es claro que la desviacion es inversamente propor-cional al parametro r0. En el caso de que la luz se vea sometida por el campogravitatorio del Sol, el valor mınimo de r0 se toma cuando se encuentra en lasuperficie solar, es decir, el radio solar. Tomando una aproximacion de estevalor, la formula deducida nos da un valor de 1, 75!! para una desviacion totaloriginada y finalizada en el infinito y que coincide con los valores obtenidosexperimentalmente

Por ultimo, vamos a estudiar uno de los objetos mas fascinantes y miste-riosos de la Ciencia y que se deducen de la Teorıa de la Relatividad General:los agujeros negros. La primera persona que considero este tipo de cuerposfue el astronomo aficionado John Mitchell. En 1783 Mitchell envio a HenryCavendish un calculo, basado en la gravedad newtoniana, en el que demostra-ba que una esfera con la misma densidad que el Sol pero quinientas veces masgrande ejercerıa una atraccion tan poderosa que !!toda luz emitida desde talcuerpo deberıa volver a el"". Pierre Simon de Laplace llego independientemen-te a la misma conclusion en 1795 y basandose en este argumento afirmo que!!es posible, por tanto, que los cuerpos mas luminosos del universo sean in-visibles por esta causa"". Anos y siglos despues, estos objetos poblaron lasmentes mas fantasiosas y algunas de las paginas mas increıbles de las no-velas de Ciencia-ficcion. Sin embargo, en 1967 John A. Wheeler bautizo aestos objetos como agujeros negros. Como el mismo escribe: !!El advenimien-to de la expresion agujero negro en 1967 fue terminologicamente trivial, peropsicologicamente poderosa. Despues de que este nombre fuera introducido,mas y mas astronomos y astrofısicos comenzaron a darse cuenta de que losagujeros negros puedan no ser una invencion de la imaginacion sino objetosastronomicos en cuya busqueda merecerıa la pena gastar tiempo y dinero"".

Hoy en dıa tenemos pruebas razonablemente buenas que apoyan la exis-tencia de los agujeros negros. La llegada a la Astronomıa de los rayos X fue

27

lo que mas contribuyo a detectarlos. En diciembre de 1971, el observatorio derayos X Uhuru, en orbita alrededor de la Tierra, detecto un pulso de rayos Xdel objeto Cygnus X-1. Una busqueda mediante radiotelescopio en la regiondel cielo proxima a la fuente condujo en ese mismo ano al descubrimientode una fuente de ondas de radio. En 1972 ya se tenıa claro que la fuente deondas de radio debıa ser identificada con un objeto que no se podıa observarmediante telescopios opticos. Ya se sabıa que esa estrella visible se movıa enorbita alrededor de un objeto invisible con un periodo de revolucion de 5,6dıas y que tenıa una masa superior a las 10 masas solares.

Como hemos escrito mas arriba, el lımite inferior para r es o bien rB

(correspondiente a la frontera del objeto)o 2m = 2GM/c2 dependiendo decual se alcance primero cuando r decrece. Si se alcanza primero 2m estamosante un agujero negro. Para un objeto de masa M , 2GM/c2 se conoce conel nombre de radio de Schwarzschild. Ademas, es claro que las coordenadas(t, r, ,,$) no son adecuadas cuando r $ 2m. Por tanto, debemos introducirnuevas coordenadas.

Mantenemos r, , y $ pero sustituimos t por

v , ct + r + 2m log(r/2m+ 1) (4)

Que son las coordenadas de Eddington-Finkelstein. Es facil ver que el ele-mento de lınea es

c2d- 2 = (1+ 2m/r)dv2 + 2dvdr + r2d,2 + r2 sen2 $2

Y por tanto, como ninguna de las componentes del tensor metrico se haceinfinito, son validas para toda v y para r > rB y tambien si rB < 2m.

A partir del elemento de lınea, calculamos las geodesicas radiales nulas:

;1+ 2m

r

< ;dv

dr

<2

+ 2dv

dr= 0

Y de aquı deducimos que o bien

dv

dr= 0 (5)

28

O biendv

dr=

2

1+ 2m/r(6)

Ademas, si derivamos la ecuacion (2)

dv

dr= c

dt

dr+

1

1+ 2m/r

Ası que dv/dr = 0 implica que cdt/dr = +1/(1 + 2m/r) que es negativopara r > 2m mientras que si dv/dr = 2/(1 + 2m/r) obtenemos cdt/dr =1/1 + 2m/r) que es positivo en la region r > 2m. Por tanto, podemos con-cluir que la ecuacion (3) da las geodesicas nulas que entran mientras que laecuacion (4) da las que salen, al menos en la region r > 2m.

Ahora bien, si integramos (3), que es una EDO de variables separadas,obtenemos:

v = A , cte

Mientras que la integracion de (4) da

v = 2r + 4m log | r +m | +B, B , cte

Llegados a este punto, cabe preguntarse que ocurre con los fotones. Si unfoton empieza en la region r > 2m puede viajar hacia dentro y cruzar el ho-rizonte en r = 2m. Sin embargo, un foton que comienza en r < 2m no puedeviajar hacia afuera y estara siempre confinado en la region r < 2m. Ası queen un objeto masivo con rB < 2m la luz no podra escapar. Por tanto, unobservador exterior no podra ver el objeto pero sı podra detectarlo a travesdel campo gravitacional que produce.

Desde un punto de vista mas humano, si una persona tuviera la desgraciade caer dentro de un agujero negro, tan solo tardarıa una fraccion de segundoen atravesar el horizonte de sucesos. Mientras lo atraviesa, verıa la luz que hasido capturada tal vez hace miles de anos orbitando en el agujero negro. Elultimo milisegundo no serıa demasiado agradable. Las fuerzas gravitatoriasserıan tan grandes que aplastarıan los atomos de su cuerpo. Sin embargo,un observador exterior, verıa la luz emitida por el cuerpo del desdichadoque serıa dilatada por la gravedad, de manera que parecerıa congelado en eltiempo. Para el resto del Universo, la persona todavıa estarıa flotando sobreel agujero negro, inmovil.

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6. Las ecuaciones de campo de Einstein

Llegados a este punto en el que nos hemos familiarizado con el AlgebraTensorial y hemos introducido los conceptos fundamentales de la Relativi-dad General, queremos investigar las implicaciones y predicciones que nosaporta esta nueva teorıa. Si observamos la Historia de la Fısica esta plagadade teorıas validas hasta que una nueva teorıa explicaba de una manera masexacta y natural los hechos observados y ademas predecıa fenomenos queeran refrendados por la experiencia. La Fısica de Newton, basada en partıcu-las puntuales y fuerzas, habıa conseguido edificar de manera firme la Fısicaque hasta principios del siglo XX se conocıa.

Sin embargo, existıan fenomenos que aunque apoyados en la Fısica new-toniana, eran cuanto menos desconcertantes. Por ejemplo, la Ley de la Gra-vitacion Universal de Newton predecıa que todas las partıculas sometidas alcampo gravitatorio sufrirıan identicas aceleraciones, independientemente dela masa que tuvieran. La clave estaba en que la masa inercial (la que apa-rece en la Segunda Ley de Newton) y la masa gravitatoria (la que figura enla Ley de la Gravitacion) fueran iguales. La idea revolucionaria de Einsteinfue darse cuenta de que estos fenomenos no los producen fuerzas misteriosasque solo se sienten sino que se deben a una deformacion del espaciotiempo.Mediante esta idea genial, el fısico aleman era capaz de explicar el fenomenoanteriormente relatado de una manera tremendamente elegante. En segundolugar, la misma razon se aplica para para deducir la accion de la gravedadsobre los fotones, lo cual abre una nueva perspectiva que la Fısica Clasicano alcanza. Por ultimo (y quizas fuera esta la razon mas importante paraEinstein), si aceptamos que nuestro universo fısico es una variedad con ciertametrica podemos usar el sistema de referencia que nosotros deseemos, inclusono inercial. Luego, Einstein necesitaba unas ecuaciones que permitieran estu-diar la gravitacion de forma independiente al observador, explicaran hechosya observados y cubiertos por la Teorıa newtoniana y predijeran fenomenosverificables que convencieran a los numerosos escepticos de que su teorıa ex-plicaba de forma natural y completa la Gravitacion.

A pesar de que muchos libros afirmen que una de las ideas fundamentalesde la Teorıa de la Relatividad es que la Geometrıa le dice a la masa comoha de moverse y la masa determina la Geometrıa, esta idea ya se encuentrapresente en la Teorıa de la Gravitacion de Newton, aunque quizas no de una

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manera explıcita. Si observamos con atencion, en la gravitacion newtonianase ve como el campo gravitatorio influye en el comportamiento de la ma-teria y, recıprocamente, como la materia determina el campo gravitatorio.Esta ultima parte la podemos expresar mediante una de las ecuaciones masfamosas de las Matematicas: la ecuacion de Poisson

%$ = 4'G.

Donde V es un potencial gravitatorio. Que el campo gravitatorio influyeen la materia se puede expresar mediante la identidad

a = +-V

Sin embargo, lo podemos expresar de manera mas clara y geometrica, sa-biendo que a partir del potencial gravitatorio se puede construir una metricade Jacobi de tal forma que las trayectorias que describıa la partıcula por ac-cion del potencial sean ahora geodesicas de esta metrica. Ademas, cabe des-tacar que la Ley de la Gravitacion de Newton es valida para cuerpos extensosy en puntos tales que r 2= 0. Sin embargo, cabe preguntarnos ¿Que ocurre conel campo gravitatorio al que esta sometida una partıcula puntual cuando loconsideramos en el punto que ocupa? Gracias al lenguaje de las distribucionespodemos escribir

%V = +m*0

Donde m es la masa de la partıcula. Luego, podemos medir de manerainequıvoca la masa del objeto considerado.

Einstein fue de las pocas personas que en su epoca se dieron cuenta deestas ideas sutiles y busco una ecuacion analoga a la de Newton que expre-sara la forma en que la metrica responde a la energıa y al momento. Portanto, Einstein anhelaba un operador de segundo orden que actuara sobreel potencial gravitatorio en el primer miembro y en el segundo, una medidade la distribucion de masa. Ademas, la generalizacion relativista deberıa te-ner la forma de una igualdad entre tensores para que fuera independiente delsistema de coordenadas elegido. Para ello, busco una ecuacion que expresara:

Tensor dependiendo de la curvatura = Tensor dependiendo del momento(y la energıa)

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Volviendo a la ecuacion de Poisson, la podemos escribir como %V =4'G.. El termino . es la razon entre la masa y el volumen. Para un observadorinercial con velocidad v, estas cantidades se transforman (por la dilatacionde la masa y contraccion del espacio) como

m +" m! =m*

1+ v2V ol +" V ol! = V ol(

*1+ v2)

Ası pues .! = ./(1 + v2) y como en las transformaciones de Lorentz!t!t! = 1%

1$v2 podemos esperar que . sea la componente de un tensor dos vecescontravariante que, como la masa es lo mismo que la energıa y esta es unacomponente del cuadrimomento, medira cierta densidad del cuadrimomento.Tal tensor, llamado tensor de energıa-momento y que denotaremos como Ttiene su analogo en Mecanica de Fluidos: el tensor de esfuerzos. Por esa razon,a partir de ahora, lo llamararemos ası.

Si consideramos la lınea de mundo (x0(-), ..., x3(-)) de una partıcula ma-terial podemos definir su cuadrimomento, como en Relatividad Especial, di-ciendo que es el vector m!U donde !U es la cuadrivelocidad U' = dx'(-)/d- .Ahora bien, en un medio continuo compuesto por muchas partıculas tendre-mos infinitos cuadrimomentos infinitesimales y el tensor de esfuerzos midesu densidad. Luego, sus componentes se definen como

T'( = densidad de la componente ( del cuadrimomento en la superficietridimensional x( , cte.

En vista de su importancia queremos saber mas sobre este tensor, con laventaja de que tenemos la intuicion fısica. Se puede demostrar que T'(

;( = 0que nos dice que la variacion del cuadrimomento en un cubo infinitesimalalrededor de un punto p es nulo. Es decir, el cuadrimomento se conserva.Por otra parte, tambien se cumple que T'( = T (' que quiere decir que loscuadrimomentos estan compensados globalmente, ya que, de lo contrario ydebido al par de fuerzas, en las caras adyacentes del cubo se producirıa ungiro que lleva a una velocidad angular infinita del elemento fluido girandosobre sı mismo.

Por otra parte, teniendo en mente el ejemplo de la esfera bidimensional,sabemos que el transporte paralelo de un vector alrededor de un paralelo-gramo en un espacio curvado nos da una transformacion del vector. Ahorabien, la transformacion resultante depende de la curvatura total encerrada

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dentro de la figura en cuestion. No obstante, parece evidente que esta ideahay que tratarla con mucho cuidado porque tenemos el concepto de la cur-vatura de una curva (gracias al triedro de Frenet) y en una superficie (porel Teorema de Gauss-Bonnet). Sin embargo, es natural preguntarse, ¿Comopodemos generalizar el concepto de curvatura a mas dimensiones? En parti-cular a dimension 4 que es lo que tiene importancia para nosotros desde elpunto de vista fısico. Una primera idea es considerar la descripcion local dela curvatura en cada punto. Aunque hay muchas formas de introducir el ob-jeto matematico que generaliza la curvatura en cualquier dimension, vamosa optar por una exposicion mas cualitativa que nos diga que tiene que ser yalgunas propiedades de tal ente matematico.

Primeramente, consideramos el transporte paralelo alrededor de un pa-ralelogramo infinitesimal. Como el espaciotiempo parece plano en regionessuficientemente pequenas, el paralelogramo en cuestion esta determinado pordos vectores (infinitesimales) Aµ y B% . Ahora supongamos que transporta-mos paralelamente un vector V µ, primero en la direccion de Aµ, despues enla de B% , para volver por Aµ y B% al punto de partida. Ademas, sabemos quela accion del transporte paralelo es independiente de las coordenadas, ası quedeberıa ser un tensor que nos diga como cambia el vector cuando vuelve alpunto inicial. Por otra parte, sera una aplicacion lineal, luego involucrara unındice superior y otro inferior. Mas como depende de los vectores A y B quedefinen el paralelogramo tendrıa que contar con dos ındices inferiores adicio-nales para contraer con Aµ y B% . Por ultimo, el tensor debe ser antisimetricoen estos dos ındices ya que si realizamos esta operacion corresponde a reco-rrer el paralelogramo en sentido opuesto y es logico esperar que el resultadoapareciera con un signo menos. Por ultimo, el tensor deberıa ser antisimetricoen estos dos ındices ya que intercambiar los vectores corresponde a recorrerel paralelogramo en sentido opuesto y deberıa dar el inverso de la respuestaoriginal. Esto es consistente con el hecho de que la transformacion deberıaanularse si A y B son el mismo vector.

Por tanto, hemos llegado a que la expresion para el cambio *V ) queexperimenta el vector cuando lo transportamos paralelamente alrededor delparalelogramo deberıa ser de la forma

*V ) = R)&µ%V

&AµB%

Donde R)&µ% es un tensor (1,3) conocido como el tensor de curvatura o

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mas comunmente, el tensor de Riemann y cuyas componentes podemos es-cribir de la forma:

Rijkl = "i

jl,k + "ijk,l + "i

nk"njl + "i

nl"njk

Ahora bien, para determinar el Tensor de Riemann necesitarıamos n4

numeros, cantidad que es una barbaridad si, como deseamos, lo hallamos endimension 4 al tener que determinar ¡256 coeficientes! Luego, una estrategiaes definir un tensor equivalente y buscar simetrıas que reduzcan este numeroescalofriante.

Definimos el tensor (0,4) cuyas componentes son

Rijkl = ginRnjkl

Podemos decir que las componentes de Rijkl se obtienen al multiplicar lascomponentes del Tensor de Riemann por una matriz no singular. Por tanto,no se pierde informacion. Ahora enunciamos propiedades de antisimetrıa delobjeto y que las permutaciones cıclicas de los ultimos tres ındices se anulan:

Proposicion 6.1 Sea Rijkl como antes. Entonces

(i) Rijkl = +Rjikl = +Rijlk = Rklij

(ii) Rijkl + Riljk + Riklj = 0

Gracias al apartado (i) de la proposicion, podemos pensar el Tensor deRiemann como una matriz simetrica R[ij][kl] donde los pares ij y kl se puedenver como ındices individuales. Recordemos que una matriz simetrica m #m tiene m(m + 1)/2 componentes independientes mientras que una matrizantisimetrica n # n tiene n(n + 1)/2 componentes independientes. Luego,llegamos a que tenemos

1

2{1

2n(n+ 1)}{1

2n(n+ 1) + 1} =

1

8(n4 + 2n3 + 3n2 + 2n)

componentes independientes. Con el segundo apartado en mente, no es difıcilver que un tensor antisimetrico de ındice 4 posee n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/4!terminos. Por tanto, utilizando las simetrıas recogidas en la Proposicion he-mos reducido el numero de componentes independientes a

1

8(n4 + 2n3 + 3n2 + 2n)+ 1

24n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) =

1

12n2(n2 + 1)

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en el Tensor de Riemann. Recordemos que nosotros estamos interesados eneste tensor para medir la curvatura del espaciotiempo que es una variedadtetradimensional. Por tanto, con esta Proposicion en nuestro poder necesita-mos determinar 20 cantidades. Ahora bien, aparte de por esta simplificacion,la Proposicion enunciada es muy importante porque se puede probar que, engeneral, no hay nuevas relaciones lineales entre las componentes Rijkl que nose deduzcan de las recogidas en la misma. No obstante, hay algunas relacio-nes entre sus derivadas covariantes que desempenaran un papel importanteen la Teorıa de la Relatividad General. Aunque vamos a escribir el siguienteresultado en terminos de Ri

jkl, para Rijkl el resultado serıa identico:

Proposicion 6.2 (Identidades de Bianchi) Sean Rijkl las componentes del

Tensor de Riemann. entonces

Rijkl;m + Ri

jmk;l + Rijlm;k = 0

Llegados a este punto y aunque la reduccion haya sido drastica, aunes insuficiente. Computacionalmente, 20 coeficientes estan fuera de nuestroalcance. Por tanto, vamos a definir un nuevo tensor de la manera obvia: con-trayendo.

Definicion

Se llama tensor de Ricci al tensor de tipo (0,2) cuyas componentes son

Rij = Rkikj

y Tensor de Ricci contravariante al tensor de tipo (2,0) de componentesRij = giagjbRab. Por ultimo se llama curvatura escalar a la funcion

R = gijRij

Observese que por la propia definicion, el valor de R en un punto no de-pende de la carta usada por ser un tensor de tipo (0,0). Ademas, el Tensorde Ricci, en sus dos formas, es simetrico y cierta suma de sus derivadas cova-riantes admite una sencilla formula que sera muy util en calculos posteriores:

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Proposicion 6.3 Con las definicones anteriores, se verifica:

(i) Rij = Rji.

(ii) Rij = Rji.

(iii) Rij;j = 1

2gijR,j.

Por ultimo estableceremos una simplificacion en el calculo del tensor deRicci. Para ello probaremos una identidad para cierta suma de los sımbolosde Christo#el:

Lema 6.4 En cada carta se cumple la identidad

"kik =

3log

>| g |

4

,i

donde g es el determinante de la matriz de componentes de la metrica.

Llegados a este punto y teniendo en cuenta que la metrica es la gene-ralizacion del potencial clasico, para que el tensor desconocido del primermiembro guarde la analogıa con la ecuacion de Poisson, tenemos que pedirque contenga (a lo mas) derivadas segundas de los g'( y que sea lineal enellas. De los tensores que hemos visto (el Tensor de Riemann, el de Ricci, lacurvatura escalar y la propia metrica) tienen estas propiedades. Como T esdos veces contravariante, podemos probar con R'(, Rg'( y g'( o cualquiercombinacion lineal de ellos. Es decir, si llamamos G al tensor buscado, vamosa probar con

G'( = "1R'( + "2Rg'( + "3g

'(

de hecho, se puede enunciar un Teorema afirmando que estos son los unicostensores de tipo (2,0) simetricos, dependiendo de todas las componentes de lametrica, sus derivadas y derivadas segundas y lineal en estas ultimas. ComoT'(

;( = 0. De la Proposicion (0.3) se sigue que "2 = +#12 . Ademas, si queremos

que el espacio plano de Minkowski sea solucion en un Universo vacıo de masay energıa (en particular, T = 0), se tiene que "3 = 0. En definitiva:

R'( + 1

2Rg'( = kT'(

donde k es una constante.

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Y a esta ecuacion se la conoce como las ecuaciones de campo de Einstein.No obstante, nos falta por determinar la constante k y, en particular, la rela-cion que guarda con la gravitacion universal. La clave es darse cuenta de quepara campos gravitatorios debiles y velocidades pequenas debemos recuperarla Teorıa Clasica de Newton. Es decir, deberıamos recuperar la ecuacion dePoisson considerando la componente 00. Ası que estamos interesados en:

R00 = k(T00 +1

2Tg00)

Ademas, vamos a usar un sistema de coordenadas cartesiano tal quegµ% = /µ% + hµ% donde los productos de hµ% pueden ser obviados y tam-bien supondremos la condicion quasi-estatica. Ahora bien, vamos a suponerque nuestro campo gravitacional debil se asemeja a un fluido perfecto cuyaspartıculas tienen (en nuestro sistema de coordenadas) velocidades v que sonpequenas comparadas con la velocidad de la luz en el vacıo, ası que tomamos+ = (1 + v2/c2)$1/2. Para distribuciones mas clasicas (agua, el Sol o un gassometido a altas presiones) p/c2 3 ., ası que tomamos el tensor de esfuerzos

Tµ% = .uµu%

Esto da T = .c2 y la ecuacion de partida se convierte en

R00 = k.(u0u0 +1

2c2g00)

Pero cuando u0 es aproximadamente la velocidad de la luz en el vacıo yg00 / 1 tenemos

R00 /1

2k.c2 (7)

Por la definicion del tensor de Riemann en coordenadas:

R00 = %0"µ0µ + %µ"µ

00 + "%0µ"µ

%0 + "%00"

µ%µ

Sin embargo, en nuestro sistema de coordenadas los "µ%& son pequenos.

Por tanto, podemos ignorar los dos ultimos terminos de la ecuacion anteriory usando la condicion quasi-estatica:

R00 / +%i"i00

Con los resultados obtenidos, no es difıcil probar que se tiene la siguienteaproximacion

"i00 =

1

2*ij%jh00

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Ası que (1) se reduce a

+1

2*ij%i%jh00 /

1

2k.c2

Pero *ij%i%j = % y tambien, no es difıcil probar que h00 = 2V/c2 dondeV es el potencial gravitatorio, ası que podemos escribir

%V / +1

2kc4

Ası que la unica posibilidad para que ambas teorıas sean consistentes esque

k = 8'G

Ahora bien, aunque esta deduccion es la que aparece normalmente enlos libros de Fısica a continuacion vamos a obtener las ecuaciones de campode Einstein de una manera tremendamente elegante utilizando el Calculo deVariaciones.

Recordemos que cuando estudiamos las geodesicas las definimos comoaquellas trayectorias que unen dos puntos fijos y dan valores extremos de loque podrıamos llamar energıa total que deben satisfacer las ecuaciones deEuler-Lagrange. Ahora bien, parece claro que para desviar las partıculas desus trayectorias naturales rectilıneas, necesitamos grandes masas y energıas.Es decir, cuesta curvar el espaciotiempo. Pensemos en una banda elastica.Parece natural esperar que el espaciotiempo elija su geometrıa de maneraque la curvatura total sea mınima en cada region. Matematicamente, si B esuna region del espaciotiempo, por ejemplo, una bola tetradimensional, entretodas las posibles metricas cuyas componentes y sus derivadas primeras estanfijadas en %B (el analogo a los extremos fijos de las geodesicas) tenemos quebuscar la que minimiza

I =

=

B

R!

donde R es la curvatura escalar y ! el elemento de volumen. Hilbert se diocuenta de que las ecuaciones de Euler-Lagrange para este problema son, pre-cisamente, las ecuaciones de campo (en el vacıo). Ademas, si se anade a Run lagrangiano que corresponde a cierta situacion fısica entonces se deducenlas ecuaciones de campo generales vistas mas arriba.

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Partimos de que si I = I(g00, g01, ..., g33) alcanza un extremo para lametrica de componentes g'(, la funcion f(0) = I(g00+0/00, g01+0/01, ..., g33+0/33) debe cumplir f !(0) = 0 cualesquiera que sean /00, ..., /33 funciones enel espaciotiempo tales que ellas y sus derivadas parciales primeras se anulenen %B. Con el objetivo de aligerar la notacion, si F depende de la metricaescribiremos

*F =

;d

d0

<

*=0

F (g00 + 0/00, g01 + 0/01, ..., g33 + 0/33)

En particular *g'( = µ'(. Llegados a este punto ya podemos enunciarel resultado fundamental. Sin embargo, para descargar la prueba del mismo,vamos primero a demostrar un lema auxiliar que es parecido al Teorema dela Divergencia:

Lema 6.5 Sea M una variedad compacta y orientable con borde y sea V uncampo de vectores en M que es nulo en %M , entonces

?M V i

;i ! = 0 donde !es el elemento de volumen

Demostracion

Derivando 3>| g |V i

4

,i=

>| g |

;V i

,i +g,i

2gV i

<

y empleando el Lema 5.4, el termino del ultimo parentesis es V i,i +"k

ikVi =

V i;i. Ahora consideramos la forma diferencial:

/ =n5

i=1

(+1)i$1>| g |V idx1 4 · · ·dxi$1 4 dxi+1 4 · · ·dxn

!Segun lo anterior y la

Proposicion 6.6 Sea (M, G) una variedad semiriemanniana orientable. Su-ponagamos que empleando la carta (U,$ = (x1, ..., xn)) las componentes de Gson gij, entonces 1 =

>| det(gij) |dx1 4 · · ·4 dxn es el elemento de volumen

en U .

Se cumple que dµ = V i;i! y por el Teorema de Stokes

?M V i

;i! =?

+M i"µ =0.

Y por fin llegamos al resultado deseado:

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Teorema 6.7 (Hilbert) Si I =?

B R! y para cierta metrica *I = 0 entoncesdicha metrica resuelve

R'( + 1

2Rg'( = 0

Demostracion

A partir de R = R'(g'( y ! =>| g |dx0dx1dx2dx3 podemos escribir:

*I =

=

B

*(R>| g |)dx0dx1dx2dx3

=

=

B

*(R'(g'(>| g |)dx0dx1dx2dx3

=

=

B

3(*R'()g'(

>| g | + R'(*(g'(

>| g |)

4dx0dx1dx2dx3

Ahora bien, si probamos que

g'(*R'( =3g'(*"#

'( + g'#*"('(

4

;#(8)

entonces el primer sumando no contribuye a la integral por el Lema anteriory se tiene

*I =

=

B

R'(*(>| g |)dx0dx1dx2dx3

Para cada ( y 2 la expresion g'µgµ% es constante (o 0 o 1). Entonces(*g'µ)gµ% + g'µ/µ% = 0 y de aquı *g'( = +g'µg(%/µ% . Ademas, %g/%gµ% esel cofactor µ2, esto es, ggµ% , de donde *

>| g | = 1/2 | g |$1/2 ggµ%/µ% . En

definitiva:

*3g'(

>| g |

4= (+g'µg(% +

1

2gµ%)

>| g |/µ%

Sustituyendo en la integral anterior, como las funciones /µ% son arbitra-rias, *I = 0 equivale a las ecuaciones de campo en el vacıo.

Luego solo nos queda probar (2). Por el Lema de Ricci, es consecuenciade

*Rµ% = (*"#µ%);# + (*"#

µ#);% (9)

Vamos a ver que al cambiar de sistemas de coordenadas x' +" x!' lossımbolos de Christo#el cumplen

"!#µ% =%x!#

%x$

%x'

%x!µ%x(

%x!%"$

'( +%x!#

%x$

%2x$

%x!µ%x!%

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Y como el ultimo sumando no depende de la metrica, *"#µ% se transforma

como un tensor. Una vez que sabemos que el segundo miembro de (3) es untensor basta comprobar la identidad en alguna carta. Como sabemos que siM es una variedad semiriemanniana y p uno de su puntos, entonces existe unacarta tal que las derivadas parciales primeras de las componentes del tensormetrico se anulan en p, podemos afirmar que las derivadas covariantes sonderivadas usuales en p y los sımbolos de Christo#el son nulos en ese punto.Usando la definicion concluimos (*Rµ%) (p) =

9*"#

µ%

:#(p)+

9*"#

µ#

:%(p). !

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Referencias

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http://www.uam.es/personal pdi/ciencias/fchamizo/geomiv/apgeomiv08.pdf/,2008.

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[10] SCHUTZ, B.F.: A first course in General Relativity, CambridgeUniversity Press, 1995.

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