relaciones entre la música y las matemáticas

8/3/2019 Relaciones entre la Música y las Matemáticas

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Relaciones entre la Música y las Matemáticas

Introducción

Es común escuchar que “hay Matemática en la Música porque cuando se abre una partitura ésta está llena de

numeritos”, es decir, de los números del compás y las digitaciones. Obviamente esta observación es muy simple. Sedice que hay Matemática en la Música, que la Música y la Matemática están muy relacionadas. Pero ¿hay Matemáticaen la Música? ¿Están relacionadas? ¿Qué relación existe entre la Música y la Matemática?

Hay desde luego similitudes innegables como que ambas tienen algo de mágico, son tan abstractas que parecenpertenecer a otro mundo y sin embargo tienen gran poder en este mundo, la música afecta al que escucha y lasmatemáticas tienen múltiples aplicaciones prácticas. Una parte de las matemáticas estudia los números, sus patrones yformas y estos elementos son inherentes a la ciencia, la composición y la ejecución de la música.

Leibniz describe a la Música como "un ejercicio inconsciente en la Aritmética". Esta afirmación quizás se podría justificar sobre la base de que el músico intérprete cuenta los tiempos del compás cuando comienza a estudiar unaobra pero después de un tiempo de tocarla, ya no está contando conscientemente sino que deja fluir la magia de laMúsica. Sin embargo casi todos los "elementos externos" de la Música se definen numéricamente: 12 notas poroctava; compás de 3/4, 7/8,...; 5 líneas en el pentagrama; n decibeles; semitono de raíz duodécima de dos; altura de440 hz; lo horizontal y lo vertical en la textura musical; arriba y abajo en la escala; etc.

En tiempos de la antigua Grecia, la Música no sólo se consideró como una expresión artística de las Matemáticas sinoque su estudio y análisis estuvo siempre ligado a la Teoría de los Números y a la Astrología. De hecho, para losgriegos la teoría matemática de la música formaba parte de una teoría general conocida como la Armonía del Cosmo.Pitágoras y sus discípulos, Platón, Aristógenes, Aristóteles y Claudio Ptolomeo fueron algunos de los filósofos yastrólogos más relevantes que profundizaron en los intervalos musicales como fuente de nociones matemáticas y deimportantes extrapolaciones científicas y cosmológica

En la Edad Media la Música estaba agrupada con la Aritmética, la Geometría y la Astronomía en el Cuadrivio. LaMúsica no se consideraba un arte en el sentido moderno sino una ciencia aliada con la Matemática y la Física (laAcústica). Matemáticas un poco más elevadas se utilizaron en el cálculo de intervalos, el cual requería el uso delogaritmos, y los problemas del temperamento requerían del uso de fracciones continuas.

La música cambia su textura y carácter según el lugar y la época. Puede ser cristalina o densa, sentimental oexplosiva. Por su parte, las matemáticas son directas, nunca alteran su carácter. La música se crea a partir de algofísico, instrumentos de todo tipo de materiales la producen. Las matemáticas son, sobre todo, abstracciones que nonecesitan ni siquiera papel y lápiz. El mundo actual no podría concebirse sin ellas, ¿cómo haber llegado a latecnología y a todos los inventos modernos sin las matemáticas?

La música está cargada de emociones, es alegre o triste, suave o agresiva, puede ser espiritual, estética, religiosa perono podemos hablar de un teorema “triste” o de una demostración “agresiva”.

Tanto el matemático como el músico se encuentran ocupados resolviendo problemas o componiendo o interpretando,enseñando a alumnos sin detenerse a pensar que ambos están entregados a disciplinas que son paradigmas de loabstracto.

Los Pitagóricos

En la época de los antiguos griegos, Pitágoras y los pitagóricos (siglo VI a.C) fueron los primeros en desarrollar unadivisión del curriculum llamado quadrivium en donde la música se consideraba una disciplina matemática quemanejaba relaciones de números, razones y proporciones. Esta división se mantuvo durante la Edad Media, por lo queera necesario el estudio de ambas disciplinas. El quadrivium (aritmética, música, geometría y astronomía), con elagregado del trivium (gramática, retórica y dialéctica), se convirtieron en las siete artes liberales, pero la posición dela música como un subconjunto de las matemáticas permaneció durante la Edad Media.

Las siete artes las dividían en “saberes exactos”(Quatrivium o Matemáticas) y “sabereshumanos” (Trivium).



Pitágoras

Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 adC - 507 adC) fue uno de los filósofos griegos más sabios de laAntigüedad. Fundó su propia escuela de pensamiento, la Escuela pitagórica, que afirmaba que la estructura del

universo era aritmética y geométrica, a partir de lo cual las matemáticas se convirtieron en una disciplina fundamentalpara toda investigación científica. Como consecuencia, esta escuela se distinguió por estudiar y desarrollar loscampos de las matemáticas, aritmética, geometría, astronomía y música entre otros.

Se dice que Pitágoras acuñó la palabra matemáticas, que significa “lo que esaprendido”. Él describe un sistema de ideas que busca unificar los fenómenos delmundo físico y del mundo espiritual en términos de números, en particular, en términosde razones y proporciones de enteros. Se creía que, por ejemplo, las órbitas de loscuerpos celestiales que giraban alrededor de la Tierra producían sonidos quearmonizaban entre sí dando lugar a un sonido bello al que nombraban “la música de las esferas”.

Pitágoras estudió la naturaleza de los sonidos musicales. La música griega existíamucho antes, era esencialmente melódica más que armónica y era microtonal, es decir, su escala contenía muchosmás sonidos que la escala de doce sonidos del mundo occidental.

Pitágoras consideraba que la esencia última de la realidad se expresaba a través de números. Los números eran elmedio para percibir lo que de otra forma podría permanecer inalcanzable tanto para el intelecto como para lossentidos y como consecuencia trató de explicar matemáticamente la escala musical, que entonces era un gran misteriopara los hombres. Estaba convencido de que los intervalos entre las notas de una octava podían ser representadasmediante números y en ello trabajó durante gran parte de su vida.

Como los pitagóricos veían que las propiedades y relaciones de la armonía musical están determinadas por losnúmeros y que todas las cosas están también conformadas según los números y que estos son lo primero en toda lanaturaleza, pensaron que las relaciones de los números son las relaciones de todas las cosas y que el cielo entero es

armonía y número.

La armonía de las esferas

Los pitagóricos fueron los primeros en definir el Cosmos como una serie de esferas perfectas que describían órbitascirculares. Pitágoras sostenía que los 7 planetas (Mercurio, Venus, La Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, incluyendo elSol), al describir sus órbitas, emitían unos sonidos, las notas musicales que creaban lo que él llamó la Armonía de lasEsferas.

Para sus seguidores, los pitagóricos, las distancias entre los planetas -las esferas- tenían las mismas proporciones queexistían entre los sonidos de la escala musical que eran considerados entonces como "armónicos" o consonantes.Cada esfera producía el sonido que un proyectil hace al cortar el aire. Las esferas más cercanas daban tonos graves,mientras que las más alejadas daban tonos agudos. Todos estos sonidos se combinaban en una hermosa armonía: la

música de las esferas.



Cuenta la leyenda que cierto día, mientras Pitágoras paseaba por la calle escuchó unos golpeteos rítmicos que lellamaron poderosamente la atención. El ruido procedía de una herrería cercana hasta la cual el sabio de Samos seaproximó, atraído por la musicalidad de los golpes de los martillos sobre el yunque. Estuvo allí bastante rato,observando cómo trabajaban los herreros y cómo utilizaban sus herramientas, y se dio cuenta de que el sonido variabasegún el tamaño de los martillos. Así Pitágoras descubrió la relación numérica entre las notas musicales, las mismasnotas musicales que emitían los 7 planetas al girar alrededor de la Tierra.

No todos los pensadores de la antigüedad creyeron en la música de las esferas. Aristóteles, en su libro Del cielo, nególa existencia del universo sonoro propuesto por Platón: "La teoría de que el movimiento de las estrellas produce unaarmonía, es decir, sonidos que revelan una concordancia, a pesar de la gracia y la originalidad con que ha sidopresentada, no por ello deja de ser falsa."

Sin embargo, las ideas que tuvieron la mayor influencia fueron los mitos de Platón. Así, pensadores como Cicerón,Arístides Quintilianus y Tolomeo apoyaron la teoría de la música de las esferas.

La creencia en algunas religiones de la existencia de ángeles en el universo junto con la música de las esferas dioorigen a lo que se conoció como "música celeste". Esta era la música producida por los ángeles que se representó enmuchas obras de arte de la Edad Media y del Renacimiento.

Además, hay que tener en cuenta que estas ideas fueron tomadas también en otros campos como la Astronomía: para

su concepción del universo, Kepler se apoyó en los mitos de Platón y en el sistema de Copérnico que planteaba que elSol era el centro en torno al cual giraban los planetas. Kepler postulaba que el modelo del universo estaba basado enla geometría: entre las órbitas de los seis planetas conocidos (Saturno, Júpiter, Marte, Tierra, Venus y Mercurio)estaban inscritos los cinco sólidos perfectos mencionados por Platón (cubo, tetraedro, dodecaedro, icosaedro yoctaedro)

Kepler estudió cuidadosamente las órbitas de los planetas paraestablecer una relación entre el movimiento de estos cuerpos celestescon la teoría musical a la que se refirió como de Tolomeo, pero quehabía sido planteada por Gioseffo Zarlino. Finalmente, en su libroHarmonices Mundi, postuló que las velocidades angulares de cadaplaneta producían sonidos consonantes. Asumida esta creencia,escribió seis melodías: cada una correspondía a un planeta diferente.Al combinarse, estas melodías podían producir cuatro acordes

distintos, siendo uno de ellos el acorde producido en el momento de lacreación y otro el que marcaría el momento del fin del universo.

La teoría de Pitágoras

Para estos incipientes científicos, los números eran los verdaderos principios o esencias de las cosas, con lo que no esde extrañar que llegaran a una mística matemática que les llevara a considerar la armonía y la música comoactividades purificadoras del alma. Esta creencia les llevó a entregarse a los estudios musicales, dando lugar aldescubrimiento de que las proporciones entre las notas musicales y las longitudes de las cuerdas que las producen sonisomorfas a proporciones existentes entre los números enteros. Así descubrirían los teoremas sobre cuerdas y seconcentrarían en el estudio de las matemáticas motivados por la labor purificadora de las matemáticas al estar enrelación con la música.

Fue Pitágoras quien descubrió que existía una relación numérica entre tonos que sonaban “armónicos” y fue elprimero en darse cuenta de que la música, siendo uno de los medios esenciales de comunicación y placer, podía sermedida por medio de razones de enteros. Sabemos que el sonido producido al tocar una cuerda depende de la



longitud, grosor y tensión de la misma. Entendemos que cualquiera de estas variables afecta la frecuencia devibración de la cuerda. Lo que Pitágoras descubrió es que al dividir la cuerda en ciertas proporciones era capaz deproducir sonidos placenteros al oído. Eso era una maravillosa confirmación de su teoría.

Pitágoras estaba influenciado por sus conocimientos sobre las medias (aritmética, geométrica y armónica) y elmisticismo de los números naturales, especialmente los cuatro primeros (tetrakis). Había experimentado que cuerdascon longitudes de razones 1:2 (los extremos 1 y 2), 2:3 (media armónica de 1 y 2), y 3:4 (media aritmética de 1 y 2)producían combinaciones de sonidos agradables y construyó una escala a partir de estas proporciones. A estosintervalos los llamó diapasón, diapente y diatesaron. Hoy los llamamos octava, quinta y cuarta porque corresponden aesas notas de la escala pitagórica diatónica (do, re, mi, fa, sol, la, si, do). Los pitagóricos no sabían nada de ondassonoras y de frecuencias. De hecho, la regla que establece que la frecuencia está relacionada con la longitud de lacuerda no fue formulada hasta el siglo XVII, cuando el franciscano fray Marin Mersenne definió algunas reglas sobrela frecuencia de una cuerda vibrando.

La razón por la cual encontramos a estos intervalos más agradables que otros tiene que ver con la física de la cuerdatocada. Cuando una cuerda de 36 cm se rasga, no sólo se produce una onda de 36 cm, sino que además se forman dosondas de 18 cm, tres de 12, cuatro de 9, y así sucesivamente. La cuerda vibra en mitades, tercios, cuartos, etcétera. Ycada vibración subsidiaria produce “armónicos”, estas longitudes de onda producen una secuencia de armónicos, 1/2,1/3, 1/4... de la longitud de la cuerda. Los sonidos son más agudos y mucho más suaves que el sonido de la cuerdacompleta (llamada “la fundamental”) y generalmente la gente no los escucha pero son los que hacen que losinstrumentos musicales suenen diferentes entre sí. Ya que Do y Sol, a una distancia de quinta, comparten muchos delos mismos armónicos, estos sonidos se mezclan produciendo un resultado agradable.

Una de las enseñanzas clave de la escuela pitagórica era que los números lo eran todo y nada se podía concebir ocrear sin éstos. Había un número especialmente venerado, el 10, al igual que la tetractys, siendo la suma de 1, 2, 3, y4. La tetractys era el símbolo sagrado de los pitagóricos, un triángulo de cuatro hileras representando las dimensionesde la experiencia. 1 punto • 2 línea • • 3 plano • • • 4 sólido • • • •

En el caso de la música simbolizaba las proporciones entre las notas empezando porla proporción 1:2 para la octava. Los experimentos de Pitágoras con el monocordiollevaron a un método de afinación con intervalos en razón de enteros conocido comola afinación pitagórica. La escala producida por esta afinación se llamó escalapitagórica diatónica y fue usada durante muchos años en el mundo occidental. Sederiva del monocordio y de acuerdo con la doctrina pitagórica, todos sus intervalospueden ser expresados como razones de enteros. Existen diferencias de afinación

entre esta escala y la escala temperada usada actualmente.

Números y belleza eran uno. El mundo físico y el emocional podían serdescritos con números sencillos y existía una relación armónica entretodos los fenómenos perceptibles.



Las relaciones entre los sonidos

La notación modal y los modelos rítmicos

Como la polifonía medieval se iba haciendo cada vez más y más compleja, los compositores tenían que encontraralgún medio de indicar cómo encajaban las voces y los sonidos de los instrumentos musicales.

Lo que necesitaban era un sistema de notación que mostrara los valores relativos de las notas dentro de una únicalínea melódica. El desarrollo de ese sistema, fue una de las realizaciones más significativas de la escuela de NotreDame.

Relaciones entre sonidos

En la música es muy importante la relación que existe entre la frecuencia de los distintos sonidos, a esta relación se lellama intervalo. Los intervalos musicales pueden medirse en términos de la relación de frecuencias de los sonidos,aunque en música reciben nombres propios cuya correspondencia física depende del tipo de escala utilizada.

Los más importantes, por su simplicidad y su importancia a la hora de construir la escala musical, son:

La octava. Cuando la cuerda medía un medio del total, el sonido se repetía, pero más agudo. La octava es loque correspondería a un salto de ocho teclas blancas del piano; o mejor dicho, una octava es la repetición deun sonido con una cuerda con la mitad de longitud, por tanto, otra nota armoniosa. Su frecuencia es doble.

La quinta es otro intervalo entre notas que seobtiene con una cuerda de largura dos terciosde la inicial. Su frecuencia es de tres mediosdel sonido inicial. Corresponde a un salto de

cinco teclas blancas en un piano. La cuarta es, como las anteriores, otro

intervalo entre notas que se obtiene con unacuerda de largura tres cuartos de la inicial. Sufrecuencia es cuatro tercios de la nota inicial.

El siguiente esquema muestra un fragmento del teclado de piano, a cada tecla le corresponde una nota musical. Laúltima columna indica la frecuencia correspondiente (en Hertz):



En este esquema se puede ver que las teclas forman grupos de 12 (7 blancas y 5 negras), y estos grupos se repiten deizquierda a derecha. Cada octava tecla blanca cierra un grupo y abre el otro, y por eso la distancia musical entre esasteclas se llama octava (normalmente se llama octava también el mismo grupo de 12 teclas), y su escala es igual a 2:1 -esto es, la frecuencia de la misma nota de siguiente octava es el doble, y la de octava anterior es la mitad. La distanciade dos octavas le corresponde a la relación de frecuencias de 4:1, tres octavas - 8:1 etc.: para sumar distanciastenemos que multiplicar las relaciones de frecuencias. La nota "La" (o "A") es la nota de etalón - su frecuencia es 440Hz.

Así a partir de un sonido original obtenemos diferentes notas armoniosas. Haciendo un pequeño esquema nosaclararemos mejor:

Nota Frecuencia Long. cuerdaOriginal F L

Octava justa 2f (1/2)LQuinta mayor (3/2)f (2/3)LCuarta justa (4/3)f (3/4)L

Tercera mayor (5/4)f (4/5)L

Tercera menor (6/5)f (5/6)L

si suponemos que la nota inicial es el do, entonces, la octava, quinta y cuarta son las notas:

Nota base Cuarta Quinta OctavaDo Fa Sol Do (1 octava más alta)

que corresponden a la cuarta, quinta y octava notas respectivamente de la escala diatónica (las teclas blancas delpiano), que veremos un poco más adelante.

Esta ordenación de los sonidos musicales ha sido fruto de un largo proceso. Desde la elección de un sonido base, apartir del cual construir el resto, a la determinación del intervalo que hay entre una nota y la siguiente.Así, una escala es una serie de notas ordenadas de forma ascendente o descendente, donde a la primera de las notas sela llama tónica.

Escala musical occidental (actual)

Se llama escala musical a la sucesión de sonidos constitutivos de un sistema (tonalidad) que se suceden regularmenteen sentido ascendente o descendente, y todos ellos con relación a una nota que da nombre a la escala, o tónica.La sucesión de sonidos en una escala es por movimiento conjunto, y se hace según las leyes de la tonalidad.

El origen de la escala musicalLa escala actual (escala occidental) es el resultado de un largo proceso de aprendizaje de las notas. Los pitagóricosconstruyeron un aparato llamado monocordio que se componía de una tabla, una cuerda tensa y una tabla máspequeña que se iba moviendo por la grande.

La construcción de la escala musicalLa escala diatónica es la formación de una escala a partir de las distancias de tono y semitono. Son las más conocidasy usadas y la mayoría de ellas están formadas por siete notas, pero las hay también de seis u ocho.



Ordenadas las notas así: do, re, mi, fa, sol, la, si, y al añadirle un octavo sonido, de nuevo do, hemos formado unaescala diatónica:

I

II III IV V VI VII VIIIdo re mi fa sol la si do

Pero, ¿cómo se pueden encontrar las notas de nuestra escala musical a partir de una nota base (tónica)?. Se puedehacer un proceso repetitivo a partir de esta nota, utilizando las quintas y las octavas:

Lo que queremos hacer es encontrar notas armoniosas con la nota base que se encuentren entre la nota original y suoctava.

Supondremos que la nota original tiene una frecuencia f. Entonces, la octava tendrá frecuencia 2f.

Queremos encontrar notas que tengan frecuencia entre f y 2f. La primera que tenemos es la quinta, la frecuencia es (3/2)*f. Corresponde a una cuerda de longitud 2/3

la inicial.

El siguiente paso es encontrar la quinta de la quinta. La frecuencia será (3/2)*(3/2)*f=(9/4)*f. El problema

es que esa nota tiene una frecuencia más grande que 2f. Lo que hacemos es encontrar una nota una

octava más abajo. Es decir, una nota con frecuencia (9/8)*f.

Si vamos repitiendo el proceso obtenemos las notas siguientes:- f - (3/2)*f

- (9/8)*f . Después de haber descendido una octava.- (3/2)*(9/8)*f = (27/16)*f - (3/2)*(27/16)*f = (81/32)*f. Como la frecuencia es más grande que 2f, descendemos una octava y obtenemos

(81/64)*f - (3/2)*(81/64)*f = (243/128)*f

Hemos obtenido 7 notas, contando la octava, que podemos ordenar de frecuencia más pequeña a más grande de laforma siguiente:

Nota

Base f

9/8·f

81/64 ·f Quinta 3/2·f

27/16·f

243/128·

Octava 2·f

De esta forma hemos obtenido 6 notas dentro de una octava. Pero si nos fijamos en la razón de frecuencias de unanota y la anterior, parece que hay un agujero entre (81/64)*f y (3/2)*f. Curiosamente entre estos dos valores seencuentra (4/3)*f, que corresponde a lo que hemos llamado cuarta.

(9/8):1=9/8 1,125 (81/64):(9/8)=9/8 1,125



(3/2):(81/64)=32/27 1,185

(27/16):(3/2)=9/8 1,125

(243/128):(27/16)=9/8 1,125

2:(243/128)=256/243 1,053

Añadiendo la cuarta, nos queda una escala de 7 notas con estas razones entre las frecuencias: (en la columna de laderecha hemos puesto el nombre de la nota que correspondería si la nota base fuese el do):

Frecuencia Razón nota anterior

Tónica F Do

Segunda 9/8·f 9/8=1,125 Re

Tercera 81/64·f 9/8=1,125 Mi

Cuarta 4/3·f 256/243=1,053 Fa

Quinta 3/2·f 9/8=1,125 SolSexta 27/16·f 9/8=1,125 La

Séptima 243/128·f 9/8=1,125 Si

Octava 2f 256/243=1,053 Do

Estas son las 7 notas de la escala diatónica (que se corresponden a las teclas blancas del piano), la octava es la mismaque la anterior una octava más alta. De cualquier forma, en una octava se utilizan 12 notas. Las 5 notas restantes sesimbolizan añadiendo a la derecha el carácter # (sostenido) o b (bemol).

Podemos ver que hay dos razones diferentes: el tono 9/8 y el semitono 256/243. La pregunta que nos hacemos es qué

relación hay entre las dos razones. Se puede ver que dos semitonos hacen casi un tono (256/243)2 =1,109, pero no esexactamente el mismo.

Si ahora utilizásemos las cuartas para ir encontrando nuevas notas armoniosas, comenzarían a salir las "teclas negras"del piano, es decir, los sostenidos y los bemoles. Cuando la escala queda completa con 12 notas (las teclas negras ylas blancas), esto es lo que se llama la escala cromática .

El pentagrama

En música la representación gráfica de los sonidos se hace por medio de unos símbolos (las notas), que se escriben

sobre una pauta llamada pentagrama. El pentagrama es una manera de realizar una notación musical de tal modo

que la misma sea fácilmente transmisible a otras personas. Esto significa que así como las letras del alfabeto se

juntan para formar una frase, de la misma manera los símbolos musicales se juntan en el pentagrama para formar

una canción que puede ser interpretada por un instrumento musical o cantada por la voz del ser humano.

Un típico pentagrama en clave de Sol:

Básicamente los pentagramas están formados por un conjunto de cinco líneas dispuestas de forma paralela. A laizquierda del conjunto de líneas aparece un símbolo distintivo llamado "clave". Esta clave es la que determinará a quénota musical corresponde cada uno de los símbolos musicales que aparecen en el pentagrama. En el gráfico anterior



encontramos un símbolo que identifica a la "clave de Sol": . Existe una variedad considerable de claves en otras

notas como Do y Fa , por ejemplo. Como vemos a continuación, el símbolo de la clave de Fa es:

Un pentagrama en clave de Fa:

La interpretación del pentagrama

Las notas musicales que aparecen dentro del pentagrama pueden colocarse justo encima de alguna de las líneas o enlos espacios entre las mismas. Según la clave que corresponda (Sol, Do, Fa, etc.) y la ubicación específica entre laslíneas, cada símbolo musical nos brindará información sobre una única nota. La duración en el tiempo de la mismavendrá dada por las características del símbolo musical utilizado.

La nota, gracias a su aspecto y su posición, permite definir simultáneamente tres parámetros:- La posición vertical de la nota define su altura (aguda o grave). Cuanto más arriba se sitúe la nota sobre las líneas olos espacios del pentagrama, más aguda será.- La posición horizontal de la nota define cuando es emitida. Así, el eje horizontal del pentagrama define una escalade tiempo creciente desde la izquierda hacia la derecha. Si existiesen dos notas en la misma columna, estaríanemitidas simultáneamente.- La forma de la nota define su duración. Duraciones estándar de notas están definidas en solfeo; cada una es dosveces más corta que la siguiente. Así, se tiene:

La redonda , blanca , negra , corchea , semicorchea , fusa , etc.Así, una blanca es dos veces más corta que una redonda, una negra dos veces más corta que una blanca...

La escala temperada

Como un tono no es exactamente dos semitonos, había lugares donde los intervalos eran más grandes o más pequeñosque en otros lugares. Esto daba problemas para afinar instrumentos con intervalos fijos como el piano o la guitarra. Espara esto que se creó la escala temperada.

El temperamento es la forma musical de mantener series dentro de un espacio definido. La transición de la afinaciónpitagórica a la temperada tomó siglos, y ocurrió de una manera paralela al cambio en la relación entre música ymatemáticas.En el siglo XII, compositores e intérpretes el querer separarse de la tradición pitagórica crearon nuevos estilos y tiposde música como el canto monódico gregoriano que poco a poco fue evolucionando en música polifónica condiferentes instrumentos y voces.

La creación de composiciones más complejas llevó a experimentar con afinaciones alternativas y temperamentos; losexperimentos de afinación derivaron en un cambio de la afinación pitagórica llamada la afinación justa. Las nuevasafinaciones seguían utilizando las matemáticas para calcular los intervalos, pero no necesariamente seguían losprincipios pitagóricos. Ahora eran utilizadas de una forma práctica y no como un fin; este cambio de actitud causódesacuerdo entre los matemáticos, quienes querían una adherencia estricta a sus fórmulas, y los músicos quebuscaban reglas fáciles de aplicar. De hecho, los músicos empezaron a basarse más en su oído y menos en el

monocordio.



En el siglo XVIII, músicos como Juan Sebastián Bach empezar a afinar sus instrumentos usando el temperamento, esdecir, una escala en la que los doce sonidos fueran afinados sin diferencia entre un fa sostenido y un sol bemol. Lacomplejidad de las modulaciones lo necesitaba.Juan Sebastian Bach compuso el clave bien temperado, que consiste en 24 piezas en las doce tonalidades, usando elmodo mayor y menor de cada una de ellas, demostrando de esta manera las posibilidades de modulación creadas poruna afinación igual.

La cantidad de notas que tiene esta escala es la misma, pero la forma de afinación es diferente. En la escalatemperada, la razón entre la frecuencia de una nota y la anterior es siempre constante.

Si llamamos r a esta razón, se cumplirá que las frecuencias formaran una progresión geométrica del tipo:

f, f·r, f· r2, f· r3, f·r4, ..., f·r12 = 2·f

de lo que se deduce que r12 = 2, de donde r = = 1,059...

Esta escala resuelve los problemas de afinación, pero no podemos olvidar que las notas más armoniosas eran las quese había encontrado mediante el método geométrico, es decir las de la escala cromática. Instrumentos sin intervalosfijos como violines, contrabajos, etc. pueden utilizar la afinación de la escala cromática.

La escala natural

El oído humano tiene una "construcción" tal, que los sonidos cuyas frecuencias están en la proporción simple (2/1,3/2, 4/3 etc), suenan juntos de una manera agradable. Por otro lado, casi todos los procesos físicos que producen

sonidos, además de la frecuencia principal (o el tono básico) producen también "armónicas", es decir, las frecuenciasque son dos, tres, cuatro -una cantidad entera- veces más altas. El conjunto de las armónicas constituye el timbre quees único para cada instrumento musical.

Escogeremos como base la frecuencia de 55 Hertz (esta frecuencia es absolutamente arbitraria, la única razón es quenos lleve a la frecuencia 440 Hertz que es un etalón musical contemporáneo) y vamos a multiplicarla por 2, 3, 4, etc.Obtendremos la siguiente serie:

55; 110, 165; 220, 275, 330, 385; 440, 495, 550, 605, 660, 715, 770, 825; 880

Colocaremos estas frecuencias en sus octavas correspondientes, y arreglaremos la serie en forma de una tabla:

Octava 1 55Octava 2 110 165Octava 3 220 275 330 385Octava 4 440 495 550 605 660 715 770 825Octava 5 880

A B C D E F G H

Observamos que la segunda octava tiene dos notas, la tercera - cuatro, y la cuarta - ocho, eso es, ¡una octava completa

natural! Ahora vamos a calcular las distancias entre las notas:



440 8:9 495 9:10 550 10:11 605 11:12 660A4 B4 C5 D5 E51:1 9:8 5:4 11:8 3:2

12:13 715 13:14 770 14:15 825 15:16 880F5 G5 H5 A513:8 7:4 15:8 2:1

En las celdas superiores intermedias se indica las distancias entre las frecuencias vecinas, y en las celdas inferiores,las distancias con respeto a la frecuencia principal, que en nuestro ejemplo es 440 Hz. La numeración de octavas (4-a

o 5-a) corresponde al estándard contemporáneo.El producto de todas las relaciones intermedias es igual a 2, esto es, a una octava. La serie ordenada de esta manera se

conoce como escala. La escala que acabamos de construir se conoce como escala natural.La distancia musical entre la nota principal y la segunda armónica es 2/1 - una octava. La distancia musical entre lasegunda y la tercera armónica en la música se llama quinta, le corresponde la relacion de frecuencias 3/2. En nuestra

escala es la distancia entre las notas A4 y E5. La distancia entre la 3-a y 4-a armónica es cuarta -con la relación 4/3-,como entre las notas E5 y A5. Estos son distancias o intervalos fundamentales en la música.

Simetría y recursividad

Un procedimiento básico para obtener cohesión en una pieza de música es la reafirmación de una secuencia desonidos una y otra vez, de una forma variada, para evitar la monotonía y dar carácter a la composición.

Algunas de las técnicas usadas para dar unidad a una composición, están basadas en el plano geométrico ya que lastransformaciones musicales están íntimamente relacionadas con las transformaciones geométricas básicas.

Transformaciones geométricas como la rotación, la traslación y la reflexión las encontramos en la mayoría de lasmelodías populares y el análisis de las obras maestras musicales nos llevará a encontrarlas.

Así, una frase musical tendrá motivos que se repiten en forma idéntica o se repiten en forma más aguda o más grave;en otras ocasiones, en vez de subir, bajan o retroceden. Este es un recurso muy utilizado, aunque normalmente no loasociamos con las Matemáticas.

Aritmética modular

Una de las cosas más necesarias para que la música "funcione" es que tenga unidad. Es claro que una cantidad desonidos que se relacionen entre sí sin nada que los relacione (digamos las esquilas de un hato de ovejas, superpuestas

al murmullo de un rio, mientras pasa un helicóptero y al lado otro excursionista tiene la radio demasiado alta), va aser difícil de percibir como experiencia musical unitaria, aunque puede admitirse que haya quien disfrute de talexperiencia sonora.

Necesitamos más bien algo que nos haga pensar que la obra se relaciona consigo misma, que cada momento queoímos, se relaciona con los que hemos oído o los que nos quedan por oír — las formas en que se puede conseguir estoson incontables, y no excluyen el contraste — .

Dentro de las formas más primitivas — que está lejos de significar toscas — de conseguir esto, tenemos la repeticiónde una línea melódica no demasiado larga. Esta repetición aportará unidad a la obra, logrando que nuestro oídoalcance satisfacción. Esta práctica es el origen, por ejemplo, de todas las formas musicales basadas en el ostinato.

Lo malo de este procedimiento es que puede, fácilmente, producir demasiada unidad, y acabar resultando aburrido.



Otra de las posibilidades para crear unidad es limitar el rango de frecuencias con que trabajamos: en lugar de empleartodo el espectro de frecuencias comprendido entre los 40 y los 20.000 Htz que abarca el oído humano, limitamosestas frecuencias a unas pocas. Así, elegimos unas pocas frecuencias con las que trabajar, y formamos escalas.

El intervalo de octava, por motivos en parte físicos (es singularmente presente en la naturaleza) y en parte biológicos(el registro de mujeres y hombres cuando cantan juntos difiere normalmente en esa cantidad), acaba dominando laelección de esas frecuencias, de forma que lo usual en todas las culturas es que dentro de una octava se elijan ciertasfrecuencias y se repitan en todas las demás. Los pocos casos en que eso no ha sido exacto es cuando se ha dispuestode instrumentos — las steel drums tropicales, por ejemplo — , cuyo rendimiento difiere en cada octava.

Con esto se llega a que las escalas se han tratado de una forma que, a partir de ahora, denominaremos modular . Siobservamos un reloj, no nos parece ilógico que después de las doce venga la una. O a quien juegue a las cartas,tampoco le parecerá extraño que en la baraja francesa después de la reina y el rey vengan el as y el dos. Son casos,por así decirlo, en que imponemos un orden pero no un principio y un fin.

Observemos una escala diatónica normal.

Podemos observar que se ha optado por representarla en círculo. A todos nos han hecho en el colegio aprender "do, remi, fa, sol, la, si, DO". Por tanto es sensato adoptar una disposición circular que represente esta modularidad.

Aquí podemos observar lo mismo con una escala cromática.

Volvamos ahora a cómo usar repeticiones y aportar además de unidad, variedad. Para nuestro ejemplo, digamos queel fragmento melódico que deseamos repetir es DO- RE- MI- SOL, que represento a continuación como una figurageométrica dentro de la escala diatónica.



Una primera posibilidad consistiría en lo que llamamos transportar , que consistiría en repetir las mismas distanciasdesde una nota diferente, si comenzamos desde RE, que es la siguiente a DO, tenemos que:

La siguiente a RE, es MI

La siguiente a MI, es FA

La siguiente a SOL, es LA

De forma que nuestro D0-RE-MI-SOL, se transforma en RE- MI- FA- LA. El oído se sorprende ante lo nuevo,reconoce el parentesco y queda satisfecho, lo que es una suerte porque es un procedimiento de construcción melódicaque ha marcado la inmensa mayoría de la música, de, por ejemplo, Bach — un caso diáfano es la invención número1 — o Mozart.

Es una operación equivalente a un giro, si seguimos con nuestra analogía visual.

Otra forma en que podríamos haber hecho esto es numerando las notas:

Do=0

Re=1

Mi=2 Fa=3

Sol=4

La=5

Si=6

Con lo que nuestro DO- RE- MI- SOL, se convierte en [0, 1, 2, 4].

Puesto que la diferencia entre 0 y 1 (do y re, a donde queremos transportar el fragmento) es uno, no tenemos más queañadir 1 a cada miembro de esta hilera de números para conseguir [1, 2, 3, 5], que al retraducir, nos da RE- MI- SOL-LA. Los músicos quizá puedan pensar que es más difícil hacerlo así, pero es un procedimiento que conviene conocer.

Es obvio que para un transporte ascendente debemos sumar, y para uno desdendente, restar.

Hay sin embargo, un problema con este procedimiento. Supongamos que quiero transportar el fragmento a FA. Ladiferencia entre DO y FA es 3, con lo que [0, 1, 2, 4], se convertiría en [3, 4, 5, 7]. Y resulta que 7 no lo tenemosdefinido en la tabla anterior.

La solución es restar 7 (el número de notas de esta escala) de todo número mayor o igual que 7, tantas veces comosea necesario hasta obtener un número entre 0 y 6. De la misma forma, si en algún momento obtuviésemos resultadosnegativos, habría que sumar 7, hasta conseguir lo mismo.

En otras escalas de un número diferente de notas, los resultados serían distintos en el transporte. En la escalacromática, DO- RE- MI- SOL se convertiría en RE- MI- FA#- LA. En los grafismos,



se convertiría en

Y, obviamente, en el procedimiento numérico, hay que numerar de 0 a 11, y restar o sumar doces en consecuencia.

Técnicas de transformación

Una de las ventajas que nos proporcionaba el transporte era la de provocar simultáneamente unidad y variedad. Esevidente que cualquier técnica de este tipo nos va a resultar extraordinariamente útil, por su economía.

La primera técnica se denomina inversión o movimiento contrario. Consiste en respetar el perfil melódico, peroinvertir la dirección del intervalo. Es decir: los saltos melódicos ascendentes los convertimos en descendentes yviceversa.

El ejemplo que veníamos usando era DO- RE- MI- SOL. DO- RE y RE- MI son segundas ascendentes, así contestaremos con segundas descendentes, DO-SI y SI-LA. MI- SOL es una tercera ascendente, así quecontestaremos con una tercera descendente desde LA, LA- FA, así que la inversión será DO- SI- LA- FA

Dentro de nuestra analogía gráfica, significa que



se convierte en

que, como podemos observar, es claramente la figura simétrica al original.

Numéricamente, expresábamos DO- RE- MI- SOL como [0, 1, 2, 4]. ¿Podemos a partir de estas cifras calcular lainversión?

Sí. Vamos a restar cada uno de estos elementos de 7, que es el número de notas de la escala que hemos elegidoemplear.

7-0=7

7-1=6

7-2=5

7-4=3

Con lo que nos queda [7, 6, 5, 3].

Volvemos a encontrarnos con que 7 no está definido. Y la solución es la misma que para el transporte: restamos 7 (oel número de notas que tenga la escala) tantas veces como sea necesario hasta encontrarnos con un número entre 0 y 6

(o entre 0 y el número de notas de la escala). Con lo que nos queda [0, 6, 5, 4], o sea, DO- SI- LA- FA.

Lógicamente, podemos combinar la inversión y el transporte, de forma que obtenemos una buena cantidad deversiones del material original, que cumplen simultáneamente el objetivo de proporcionar unidad y variedad.

Hay también que decir que estos procedimientos se aplican empleando el sentido común. Hay materiales quefuncionan especialmente bien o especialmente mal al someterlos a la inversión a a cualquier otra de lastransformaciones. No hay ni que decir que el compositor empleará los que funcionen bien.

El siguiente procedimiento se denomina retrogradación. Hasta ahora, nos ha sido cómodo ignorar que las notas quehemos elegido tienen un determinado orden. Ahora necesitamos tenerlo en cuenta. En forma de notas, no hayproblema: DO- RE- MI- SOL en su orden normal de lectura aporta toda la información.

En forma gráfica, podemos indicar el orden empleando una flecha.



Y en forma numérica, sigue valiendo el orden normal de lectura.

Pues bien, la retrogradación va a consistir en comenzar desde la última nota hasta alcanzar la primera, o, sí seprefiere, en leer de derecha a izquierda las notas.

DO-RE- MI- SOL se convierte en SOL- MI- RE DO.

se convierte en

Y [0, 1, 2, 4] se convierte en [4, 2, 1, 0]

La última técnica de transformación temática se denomina inversión retrógrada, y consiste en la aplicación de lainversión y la retrogradación simultáneamente. El orden en que se apliquen es irrelevante, puesto que nos saldrá lamisma estructura interválica, aunque transportada, según empecemos por una u otra.

DO- RE- MI- SOL se convierte en FA- LA-SI-DO

En forma gráfica, aplicamos la simetría y cambiamos el orden de lectura.



Y, numéricamente, [0, 1, 2, 4], se convierte en [4, 6, 7, 0].

Disponemos entonces, para un material melódico dado, de cuatro versiones:

1. La forma original, que representamos por O.

2. La forma invertida, que representamos con una I.

3. La forma retrograda, que representamos con una R.4. La forma sometida a inversión retrógrada, que representamos con IR.

Cada una de estas cuatro versiones puede ser sometida a transporte, de forma que disponemos de 28 (7*4, número denotas de la escala multiplicado por el número de versiones) posibilidades de uso. Más, de hecho, si podemos cambiarla escala de referencia.

Ejemplos de aritmética modular

La Fuga es un procedimiento de construcción musical o forma musical que se podría definir como una composiciónpolifónica basada en el contrapunto entre varias voces. Su principal característica se basa en su estructura ya que las

voces o partes del arreglo reproducen sucesivamente el mismo tema en imitación de las otras en diferentestonalidades.

Johann Sebastian Bach es el más destacado; llevó la fuga a su apogeo en su obra El arte de la fuga (1749-1750).Durante los siguientes siglos se "redescubrió" la fuga; casos famosos son la Gran Fuga para cuarteto, opus 133 (1825)de Beethoven, y los 24 preludios y fugas opus 87 de Shostakovich.

Johann Sebastian Bach (1685-1750)

El arte de la fuga 2

El arte de la fuga 6

El compositor polaco Chopin describió la fuga como “lógica pura”. Era un gran admirador de la obra de Bach ysiguiendo sus pasos, aplicó el principio del contraste, alternando los modos mayor y menor, en su obra 24 preludios.

Frederic Chopin (1810-1849)

http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_06_07/io5/public_html/Ejemplos/bach%20-%20bwv%201080%20-%20el%20arte%20de%20la%20fuga%202.mp3






Aunque teóricamente daría igual qué tonalidad se eligiese (los 12 semitonos son iguales), puede que el pianista,inconscientemente, no toque todos con el mismo ánimo pues la distribución de teclas negras y blancas varía en cadacaso.

Las tonalidades de estos preludios de Chopin siguen el orden: Do mayor, La menor, Sol mayor, Mi menor, Re mayor,etc. ¿Qué orden es este?

Podemos disponer estas 24 tonalidades en un reloj. La parte externa indica el modo mayor y la interna el modomenor. Así expuesto, se ve claramente que Chopin sigue “el ciclo de quintas”. Es decir, cada nueva tonalidad está 7semitonos más arriba que la tonalidad anterior del mismo modo. Matemáticamente, esto equivale a sumar 7 ensentido horario.

Repetición y simetrías

La repetición es, probablemente, el procedimiento más usado en música, de hecho, la repetición constante puedecausar un efecto hipnótico. También puede provocar una adaptación del oído, como cuando dejamos de percibir elsonido de una lámpara fluorescente.

La repetición no continúa indefinidamente en su manifestación física, pero nos ofrece una imagen del infinito que en

potencia contiene.

Las oberturas de Rossini son un ejemplo de traslación melódica, en dichas obras las frases se repiten, cada vez conmás intensidad (crescendo), provocando la expectativa de continuación. El climax se alcanza rompiendo la traslación.

Rossini compuso algunas de las obras más conocidas de todo el repertorio operístico.Una curiosidad de su obra es que recorre las principales ciudades italianas presentandosus óperas, pero en esta época se producen muchos de sus conocidos "pasticcios", oautoplagios que se producían porque tenía que componer numerosas obras cada año y,no estando las ciudades italianas especialmente bien comunicadas, se dedicaba a cortary pegar trozos completos de óperas anteriores para presentarlas en el siguiente lugar de

estreno.

La simetría en música es, sin duda, un caso muy especial. El propio concepto de ritmoa menudo va ligado a la repetición de un determinado sonido o composición, perodonde podemos descubrir curiosas simetrías es en el análisis de las vibracionesemitidas por los diferentes instrumentos. Unas simetrías en el propio pentagrama en elque se ha creado una composición pueden conducir a curiosos efectos auditivos.

Existen interesantes ejemplos en la música clásica: Bach ("Preludio"), Scarlatti ("Sonata en G mayor"), Schumann("Lotosblume"), Wagner ("Die Meiestersinger")... En la mayoría de estos casos encontramos distribuciones de lasnotas generadas por traslación o simetría bilateral o giros de media vuelta.

¿Qué pasaría si invirtiéramos toda una partitura?. En general resultaría una composición absurda. Pero hay casos en

los que la nueva melodía invertida sí que se puede interpretar. Un bello ejemplo es el "Scherzo-Duetto" de Mozartpara dos violines: la obra la pueden interpretar a la vez dos violinistas, cada uno de los cuales lee la partitura en unsentido diferente.



El sonido en términos matemáticos

En este trabajo se trata la relación entre las Matemáticas y la Música desde una vista totalmente teórica matemática.Se analiza las contribuciones que sobre el sonido han realizado muchos grandes matemáticos a lo largo de la historiay en especial en los siglos XVII, XVIII y XIX.

Se centra fundamentalmente en el problema de las cuerdas vibrantes y en la discusión que tal problema suscitó entrelos matemáticos de cada época. Desde Brook Taylor a principios del XVIII hasta la resolución final del problema porparte de Joseph Fourier ya bien avanzado el siglo XIX, cuando se produjo un interesante debate en el que participaronentre otros, Johann Bernoulli y especialmente su hijo, Daniel, Leonhard Euler, Jean-le-Rond D’Alembert, J. L.Lagrange y L. Dirichlet.

El índice del trabajo se resume en:

1 Introducción

2 Preliminares: El sonido

3 La vibración fundamental de B. Taylor 4 Vibración de las cuerdas sonoras5 El método de D’Alembert. Reflexión de ondas

6 El método de Fourier. Las Leyes de Mersenne

7 Timbre

8 Vibración en los tubos sonoros

9 Vibraciones de varillas, placas y membranas2 Preliminares: El sonido10 La propagación del sonido

De la notación musical a la notación matemática

Introducción histórica, la teoría de conjuntos en música

Después de Brahms, la tonalidad en la música occidental empezó a descomponerse. Mientras que antes loscompositores se basaban en un tono y área específica alrededor del cual organizar las notas (por ejemplo, unconcierto en Do Sostenido Menor), la idea de una estructura tonal de base había quedado trasnochada entrando en elsiglo XX.

Los compositores necesitaron un nuevo sistema para organizar sus tonos. Arnold Schoenberg encabezó elmovimiento empezando a escribir música atonal en 1908. Hacia 1923 había desarrollado completamente un sistemade "12 tonos" bajo el cual el compositor organiza las 12 notas en una fila ordenada que somete a diversasmanipulaciones para generar el contenido tonal de la composición. Este sistema es conocido como 'serialismo'.

La Teoría Musical de Conjuntos no es lo mismo que el serialismo, pero ambas comparten muchos métodos e ideas.La Teoría de Conjuntos contempla la definición de conjuntos de notas y organiza la música alrededor de estos

conjuntos y sus distintas manipulaciones. El análisis de las clases de estos conjuntos es el resultado de los esfuerzosde los teóricos de la música por revelar los sistemas que compositores como Schoenberg y sus seguidores usaron paraorganizar el contenido tonal en sus trabajos. Ten presente que los conjuntos y sus clases determinan únicamente elcontenido tonal; los compositores continúan libres de modificar cualquier otro aspecto musical de acuerdo con susdeseos artísticos.

En su día, Mozart, Haydn, y Beethoven fueron englobados colectivamente como "La Escuela Vienesa" de loscompositores. Las ideas de Schoenberg sobre la música fueron tan poco ortodoxas y cambiaron tan radicalmente lafaz de la historia de la música, que junto con dos de sus discípulos en Viena, Alban Berg y Anton Webern, sonconocidos como "La Segunda Escuela Vienesa".

Ejemplo práctico

La primera idea que surge es tomar una melodía, asignar una notación matemática para ella y de este modo llevarla allenguaje de conjuntos y observar diferentes comportamientos y propiedades que pueda tener determinada obra, o tal



vez, qué operaciones se pueden realizar con éste conjunto para formar un nuevo conjunto que me ofrezca una nuevamelodía.

Los elementos que inicialmente tendremos en cuenta serán: el orden dentro de la partitura, la altura específica y laduración de cada nota musical, para lo cual organizaremos ternas ordenadas (a,b,c) que representan los elementosanteriormente mencionados respectivamente.

Construcción de los conjuntos

A continuación se va a proceder a construir los tres conjuntos que acabamos de definir en la terna, para ello sedefinen los siguientes conjuntos:

Conjunto O que determinará el orden

Conjunto A que determinará la altura

Conjunto D que determinará la duración

Primeramente, el conjunto O vendrá dado por el número de elementos de que conste la terna, así:

Para construir el conjunto A, que determina la altura de la terna ordenada, se consideran las alturas específicas queroduce un piano, así DO1 es la nota más grave y DO8 la más aguda como muestra la siguiente tabla:



De este modo, le asignamos a cada altura específica un número natural como muestra la tabla anterior, luego tenemosque:

Del mismo modo, para el conjunto D que define la duración de la terna, se asigna a cada figura musical un númeronatural de este modo:

Así tenemos:

Luego podemos decir:

El conjunto M

Con esto es posible formar un gran conjunto, que sería el conjunto referencial, con todas las posibles combinacionesde ternas ordenadas. Se podría empezar con un referencial que involucre una cantidad no mayor de 500 notas, y así se

obtendría un conjunto de 467.500 ternas para trabajar. Este conjunto se denomina conjunto referencial musical (M)para una cantidad n de notas.

Sean O, A y D los conjuntos determinados por la asignación de orden, alturay duración de una obra musicalrespectivamente, donde:

El conjunto M se define como:



M = O x A x D

Ejemplo

Tomaremos un fragmento de un compás de una melodía determinada, para describir cómo le asignamos una notaciónmatemática. Tenemos por ejemplo el siguiente fragmento:

En la figura tenemos la parte inicial (primer compás) de una partitura, en este caso en 4/4 y con su armadura que notala tonalidad de la melodía (ya se vió en apartados anteriores el sistema temperado), en este caso será Do mayor.

Se puede apreciar que existen dos notas diferentes, Mi y Re, cada una con una duración de corchea que serán dosternas diferentes que vendrán definidas por (1,29,9) y (2,27,9). De este modo podemos establecer ternas diferentespara cada nota que se ha de interpretar en determinada obra musical.

De lo anterior se obtiene que para cada altura es posible asignar 11 duraciones diferentes, lo que da como resultado935 combinaciones diferentes; ahora bien, la primera coordenada indica el orden de cada nota, lo cual nos permiteconocer la cantidad de notas que se interpretan en alguna obra; teniendo en cuenta esto último podemos encontrarmelodías a una sola voz de 250, 300 o más notas.

Algunas funciones frecuentes en la composición musical

Ya se han visto en un apartado anterior las técnicas de transformación más frecuentes a la hora de interpretar y decomponer una obra musical; ahora se van a volver a ver algunas de ellas pero como funciones aplicadas a losconjuntos que se acaban de describir.

Función de transportar

Transportar hace referencia a la alteración de las frecuencias en un rango determinado, así la función de transportarque afecta a cada nota se producirá de modo tal que dicha nota tomará valores a una distanica no mayor de 11unidades, así por ejemplo RE7 no puede convertirse en un RE6 o en RE8; así se define la función de transportar (T):

A continuación se ve un ejemplo gráfico de como afectaría esta función en un segmento de una obra:

Función de octavar

Cuando se habla de octavar una nota, se está haciendo referencia al hecho de duplicar la frecuencia de ésta, así la notaque se producirá es la misma pero con una mayor agudeza; por ejemplo la octava superior de MI4 es MI5 y la octava



inferior es MI3. Así octavar una nota será sumar o restar 12 unidades a ésta, luego se define la función octavar (O)así:

A continuación se ve un ejemplo gráfico de como afectaría esta función en un segmento de una obra:

Función de inversión

La inversión es el cambio de posición de las ternas de P, es decir, que para un conjunto P de orden n se realiza lasiguiente operación, la terna (1,b1,c1) pasará a tomar la posición n, la terna (2,b2,c2) tomará la posición n-1, la terna(3,b3,c3) tomará la posición n-2 y así sucesivamente hasta la terna (n,an,bn) que tomará la posición 1. Así, se definela función de inversión (I):

Conclusión

Con las funciones anteriormente mencionadas se pueden transformar melodías en otras nuevas y tener unaherramienta para la composición de piezas musicales después de un proceso de selección adecuado de ternasordenadas.

PROPOSICIÓN: La composición de las funciones T, O e I definidas sobre un conjunto P (conjunto definido a partirde la notación musical) es conmutativo. Es decir, sea t una terna ordenada de P, entonces:



Ejemplos históricos de las Matemáticas en la Música

Es prácticamente desconocida la aplicación de algunos conceptos matemáticos a otros aspectos de la Música comoson el análisis, los aspectos estéticos, la composición y la Teoría Matemática de la Música. A continuación veamoscómo algunos matemáticos y músicos han aplicado conceptos matemáticos en la Música a lo largo de la historia.

Mozart

Wolfgang Amadeus Mozart nació en (Salzburgo, actual Austria; 27 deenero de 1756 - Viena; 5 de diciembre de 1791), es considerado como unode los más grandes compositores de música clásica del mundo occidental. Apesar de que murió muy joven (apenas a los 35 años), nos ha legado unaobra tan importante que abarca todos los géneros musicales de su época.Según el testimonio de sus contemporáneos era, tanto al piano como alviolín y la viola, un virtuoso.

Mozart, en 1777, a los escasos 21 años de edad, escribió un "Juego de

Dados Musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin sermúsico ni saber nada de composición". Escribió 176 compasesadecuadamente y los puso en dos tablas de 88 elementos cada una:

El juego comienza lanzando los dos dados, de tal manera que tenemos 11 números posibles (del 2 al 12) y hacemos 8tiradas obteniendo distintos compases excepto los de la última columna que son iguales (éstos últimos con dosposibilidades: una para la repetición y otra para continuar con la segunda tabla. La segunda tabla es igual a la primeraexcepto que tiene otros 88 compases con los de la última columna idénticos.

Así, mediante un simple cálculo, utilizando conceptos del Álgebra Superior, se tienen 1114 valses diferentes, es decir,aproximadamente 3.797498335832 (10e14) valses diferentes. Si se toca cada vals, con repetición de la primera parte,en 30 segundos, se requerirían de 30(11e14) segundos, es decir, 131,857,581,105 días aproximadamente, o bien,361,253,646 años aproximadamente en tocarlos todos uno tras de otro ininterrumpidamente. Es decir, un estrenomundial de una obra de Mozart cada 30 segundos a lo largo de ¡361 millones de años! (Recuérdese que la antiguaedad de piedra comenzó hace unos 35,000 años).

Juego de los dados

Mozart era un aficionado a la matemática y su enorme talento se mostró una vez más. Con este juego tan sencillo¡dejó la imposibilidad de que intérprete alguno pudiera tocar su obra completa o de que alguna compañía de discos lagrabara!

Aún más, nos muestra qué poca idea tenemos de los números grandes como 30(11e14). Existieron y existencompositores que creen que ya todo está agotado con la armonía tradicional, y que por lo tanto hay que buscar unnuevo estilo de música. (Mozart, para este juego, solamente utilizó 176 compases). Aún en estos días, con

http://www.dpye.iimas.unam.mx/mozart/juegoDadosMozart/menuInicio.html

http://www.dpye.iimas.unam.mx/mozart/juegoDadosMozart/menuInicio.html



computadoras y Combinatoria no se podría manejar una pequeña porción de motives musicales puesto que lacantidad de clases de isomorfismo es exorbitante. Por ejemplo, la formula de Fripertinger da un número de órbitasafines de 72 elementos motívicos, que es del orden de 10e36. El número de estrellas en una galaxia está estimado en10e11. Así, el universo musical es un serio competidor contra el universo físico. También, el uso de métodosestadísticos es requerido para atender la enorme variedad de casos. Ni siquiera las computadoras de la próximageneración podrían manejar todos los casos.

“Yáechik había dicho una vez que llegaría un día, dentro de tal vez miles de años, en el que los seres humanos

hablarán con música, y Yárchik lo repite siempre con la misma seguridad. Dice que la música contiene mucha más

información que las simples notas. Y que no es una cuestión de simples sentimientos, sino de matemáticas. Que sólo

hace falta que el cerebro desarrolle la capacidad de producir y leer esa información. Que algunos, como Mozart,

podían hacerlo, y que en su música siguen vivos los mensajes, esperando las mentes que lleguen a ser capaces deleerlos” (Gonzalo Moure, “El síndrome de Mozart”, Edciones SM, 2003,pág.57).

La marcha turca

George Birkhoff

George David Birkhoff (1884-1944) fue el más importante matemáticoestadounidense del siglo XX.

En 1924 George David Birkhoff (quien trabajó brillantemente en el Problemade los tres cuerpos, Ecuaciones Diferenciales, Teoría General de Relatividadentre otras áreas, miembro honorario de la Sociedad Matemática Mexicana ycontribuyente al desarrollo cultural de México) retoma unas ideas que habíatenido años atrás pero que no desarrolló por dedicarse exclusivamente aestudios puramente matemáticos.

Pensó que la melodía dependía del orden de las notas escuchadas por el oído.Le pareció que podrían establecerse unas relaciones de orden, guardadas por las notas, y así poder escoger lasmejores melodías.

Para él, el problema fundamental de la Estética era el de determinar, para una clase de objetos, las característicasespecíficas de las cuales depende el valor estético. Birkhoff considera que hay tres fases consecutivas para laexperiencia estética: primero, un esfuerzo preliminar de atención, el cual es necesario para percibir el objeto y que esproporcional a la complejidad C del objeto; segundo, una sensación placentera o medida estética M la cualrecompensa este esfuerzo preliminar; y tercero, una certificación de que el objeto posee una armonía, simetría u ordenO el cual parece una condición necesaria, si no es que suficiente, para la experiencia estética.

Así, Birkhoff propone la fórmula M=O/C mediante la cual expresa la medida estética como el efecto de la densidadde las relaciones de orden comparadas con la complejidad.El mismo inquiere lo atrevido de esta fórmula y proporciona algunas justificaciones históricas.

La Estética trata del placer estético y con los objetos que lo producen. Así es que tenemos clases de objetos los cualespueden ser comparados con respecto a su valor estético (los de clases diferentes no pueden ser comparados). Luego,el problema fundamental de la Estética Analítica es el de determinar los factores estéticos y su importancia relativa.

Percibir un objeto estético requiere de ciertos ajustes y la sensación de esfuerzo o tensión que acompaña siempre a lapercepción aparece como la suma de las tensiones a los diversos ajustes automáticos. Así, si A, B, C,... representanestos ajustes, cada uno con tensiones a,b,c,... y si éstas se realizan r,s,t,... veces podemos considerar la sumaC=ra+sb+tc+... como la complejidad.

Por otro lado, el orden O corresponde a ciertas asociaciones que intervienen en el acto de percepción. Por ejemplo, lasimetría sería una asociación. Si L,M,N,... son asociaciones de varios tipos, cada una con índices de sensaciónl,m,n,... las cuales ocurren u,v,w,... veces, entonces podemos considerar el total de sensaciones (positivo o negativo

http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_06_07/io5/public_html/Ejemplos/mozart_marcha_turca.mp3

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O=ul+vm+wn+... como el orden del objeto. Así, la estimación intuitiva de la cantidad de orden O inherente al objetoestético, comparado con su complejidad C, nos proporciona su medida estética.

Obviamente esta teoría matemática solo puede aplicarse a objetos cuyos factores estéticos sean esencialmentematemáticos o formales. Hay otros factores que están más allá de esta teoría, como por ejemplo, las asociacionesacerca del significado de un poema hermoso.

También aplica su fórmula a los acordes diatónicos, armonía y melodía así como a la calidad musical en la poesía. Enel caso musical, su teoría está basada en las relaciones de orden entre las notas y puesto que la apreciación de talesrelaciones continuamente cambia y se desarrolla, no trata de formar una teoría definitiva de la medida estética que seaválida para el futuro o el pasado. Más bien, considera que el problema principal de la forma musical es el de que dadoun conjunto de recursos musicales debemos determinar hasta qué grado las relaciones de orden entre las notas de unacomposición constituyen una base eficiente dedisfrute musical.

Leibniz

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1 de julio, 1646 - 14 de noviembre, 1716) fue un filósofo, matemático, jurista ypolítico alemán, de origen sorbio, nacido en Leipzig en julio de 1646.

Educado en leyes y filosofía, Leibniz jugó un importante papel en la políticay diplomacia europea de su época. Ocupa un lugar igualmente grande en lahistoria de la Filosofía y en la de las Matemáticas. Descubrió el cálculoinfinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que sehalla desde entonces en uso general. También inventó el sistema binario, enque se basan casi todas las arquitecturas de computación actuales.

Durante el siglo XVII y principios del XVIII prevalecieron los conceptos de"ingenio" y "buen gusto". En éste último está implícito un esfuerzo deatención, luego un juicio estético intuitivo dependiendo del buen gusto yfinalmente el análisis.

Leibniz pudo admitir las percepciones y juicios estéticos como parte delsaber y definió la Música como el contar sin saber que se está contando.Esto último concuerda con el concepto de Birkhoff en el sentido de que la densidad de ciertas relaciones ordenadasentre las notas consideradas intuitivamente, miden el efecto estético.

De Crousaz, Rameau y D'Alembert

De Crousaz escribe, que el buen gusto nos hace apreciar, al principio, por sensaciones, aquello que la razón hubieraaprobado.Rameau observó que una nota musical está compuesta por un sonido fundamental y varias parciales, y que las notasque difieren por una octava son similares en cuanto a su efecto estético y pueden considerarse casi idénticas. Estoshechos conducen al entendimiento de la música occidental.

Fue d'Alembert quien dio una clara presentación del trabajo de Rameau (el cual es cualitativo, a diferencia deltratamiento cuantitativo de Birkhoff). Así, el grado de armonicidad es distinto del agrado o medida estética. Porejemplo, el unísono y la octava son los más armoniosos de los intervalos pero no los más agradables

Euler

Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre de 1783 en SanPetersburgo, Rusia. Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Probablemente fue uno de los más grandesmatemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes.



Perdió la vista de un ojo durante un experimento en óptica, y en 1766 la vista del otro, ya de mayor. Pasó los últimosaños de su vida ciego, pero siguió trabajando. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos yartículos en cualquier campo del saber, solo equiparable a Gauss.

Posiblemente es el matemático más prolífico de la historia. Muchos trabajos selos dictó a su hijo mayor cuando ya estaba ciego. A pesar de que su actividadde publicación era incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al añoen su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), la mayor parte de suobra completa está sin publicar.

Euler, en 1739, desarrolló una teoría de consonancia basada en la leypitagórica. Entre más pequeños sean los números que expresan la relación devibración de dos notas, éstas serán más consonantes.

De ésta forma, Euler estableció un criterio de armonicidad de cualquier intervalo o acorde que concuerda con loshechos observados. Es interesante que Euler formulara una ley cuantitativa para la medida de la armonicidad.

Así, el concepto general de Euler acerca de la naturaleza del goce estético concuerda completamente con el deBirkhoff, que en palabras de Helmholtz años después, establecían que entre más fácilmente percibamos el orden quecaracteriza a los objetos contemplados, estos parecerán más simples y perfectos, y más fácil y gozosamente losreconoceremos. Un orden que cuesta trabajo descubrir, aunque ciertamente nos halague, asociará cierto grado dedesgaste y tristeza.

Fibonacci

Leonardo de Pisa o Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 - 1250), también llamado Fibonacci, fue unmatemático italiano, famoso por la invención de la sucesión de Fibonacci, surgida como consecuencia del estudio delcrecimiento de las poblaciones de conejos, y por su papel en la popularización del sistema de numeración posicional

en base 10 (o decimal) en Europa.

Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo paraestudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo, regresando cerca de 1200.

En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en elLiber Abaci (libro del ábaco o libro de los cálculos). Sobrevive lasegunda edición del año 1228. Contenía casi todo el conocimientoaritmético y algebraico de esa época y jugó un papel fundamental enel desarrollo de la matemática occidental, pues a través de él, los

europeos se familiarizaron con el sistema numérico indo arábigo.Contenía muchísimos ejemplos. Veamos uno de ellos, reformuladode la siguiente manera: suponga que los conejos no se reproducendurante su primer mes de vida, pero que a partir del segundo mescada pareja de conejos produce un nuevo par. Suponga que ningúnconejo muere. Si comenzamos con un par de conejos, ¿cuántas parejas de conejos hay a los doce meses y en general alos n meses? La sucesión de las parejas adultas es de la forma:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...

es decir, la sucesión dada por la fórmula u1=u2=1 y un=un-1+un-2 para n mayor o igual que 2. Esta sucesión se llamasucesión de Fibonacci y sus términos números de Fibonacci. Si consideramos bn=un+1/un como el cociente decrecimiento, obtendremos unasucesión, cuyo límite cuando n tiende a infinito es 1.618034...



Este número, juega un papel muy importante en la Geometríay en la Estética. Si dividimos un segmento de recta AB en unpunto C tal que AB:AC=AC:CB tal división se llama seccióno razón áurea (Kepler la llamó proporción divina). Si AB=1 yAC=x entonces x2+x-1=0. Luego x=.618034.... Así, la partemayor de cualquier longitud, dividida en razón áurea, es iguala la longitud total multiplicada por .618034....

El número áureo, también denominado “número de oro”,“número dorado”, “sección áurea”, “razón áurea”, “razóndorada”, “media áurea”, “proporción áurea”, “divina proporción”, representado por la letra griega Φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:

El número áureo en la Música

Autores como Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros,compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (apropósito) con la sección áurea. También aparece en lasestructuras formales de las sonatas de Mozart, en la QuintaSinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý(estos compositores probablemente compusieron estasrelaciones de manera inconsciente, basándose en equilibriosde masas sonoras).

Estudios realizados acerca de la Quinta sinfonía de Beethoven (1770-1827) muestran como el tema principal incluidoa lo largo de la obra, está separado por un número de compases que pertenece a la sucesión. También en variassonatas para piano de Mozart (1756-1791) la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la máscercana posible a la razón áurea.

Relaciones matemáticas de este estilo se han encontrado también en la coral situada al final de Kunst der Fuge deJohann Sebastian Bach (1685-1750). En ella determinados motivos se repiten, por disminución a escalas menores,una y otra vez con distintas variaciones dentro de una región mayor de la pieza. Así, por ejemplo, varias voces repitenal doble de velocidad la melodía de la voz principal.

El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, paraorganizar las partes (unidades formales).

El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al númeroáureo y a la secuencia Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma estáncantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además lavoz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número áureo.

Lateralus

http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_06_07/io5/public_html/Ejemplos/tool%20-%20lateralus.mp3

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Bartok

Béla Bartók (Nagyszentmiklós, Hungría -actualmente Sânnicolau Mare, Rumanía-, 25 de marzo de 1881- NuevaYork, 26 de septiembre de 1945) fue un compositor, pianista e investigador de música folclórica de Europa del Este.Bartók fue uno de los fundadores del campo de la etnomusicología, el estudio de la música folclórica y la música deculturas no occidentales.

Bela Bartok, alrededor de 1915 desarrolló un método para integrartodos los elementos de la música (escalas, estructuras de acordes conlos motivos melódicos apropiados, proporciones de longitud, tanto dela obra en general como los de la exposición, desarrollo, reexposición,frases de conexión entre movimientos etc.) basado en la razón áurea.

Bartok escribió que seguía a la naturaleza en la composición y que fueguiado indirectamente por fenómenos naturales para descubrir estasregularidades. Constantemente aumentaba su colección de plantas,insectos y especimenes minerales. El girasol era su planta favorita y seponía muy feliz cuando encontraba piñas de abeto en su escritorio.

Consideraba que la música folclórica también era un fenómeno de lanaturaleza y que sus formaciones se desarrollaban tan espontáneamentecomo otros organismos vivientes: las flores, los animales, etc. Por estosu música le recuerda al oyente de escenas naturales. Por ejemplo, el girasol tiene 34 pétalos y sus espirales tienen losvalores 21, 34, 55, 89,144.

Su uso de los acordes también está basado en los números de Fibonacci. Por ejemplo, en semitonos, 2 es una segundamayor, 3 es una tercera menor, 5 es una cuarta, 8 es una sexta menor y 13 es una octava aumentada, etc. CuandoBartok utiliza acordes en un movimiento cromático, coloca la tercera menor sobre la cuarta justa de tal forma que elacorde adquiere la forma 8:5:3 y considerando una tercera menor, superponiéndole una cuarta seguida de otra terceramenor se obtiene su acorde característico mayor-menor.

El Allegro Bárbaro es otra composición para piano solo en la cual Bartok utiliza los números de Fibonacci 2, 3, 5, 8,y 13 en diversas ocasiones, a diferencia de la música tradicional la cual utiliza 8 compases en casi todos los temas ymúltiplos de 2 en los motivos y frases. También utiliza su círculo de tonalidades y la duración de la pieza es de 3minutos.

Allegro bárbaro

Conclusiones

Y bien, ¿qué relación existe entre la Música y la Matemática? Es decir, ¿qué conexión o correspondencia existe?Hemos visto cómo se han aplicado conceptos matemáticos (provenientes al fin y al cabo de la naturaleza, delpensamiento abstracto del Hombre, etc.) al entretenimiento con un juego de dados, a la Estética, a la ComposiciónMusical y a la creación de un lenguaje preciso para la Musicología y la Música entre otros. Desde luego que laAcústica, la cual utiliza a la Matemática, es parte de la Física y de la Música.

Algunos piensan que la Matemática es un juego simple que sola y fríamente interesa al intelecto. Esto sería el olvidarla sensación de la belleza matemática, de la armonía de los números y las formas, así como de la eleganciageométrica. Esta es ciertamente una sensación de placer estético que todo verdadero matemático ha sentido y porsupuesto que pertenece al campo de la emoción sensible. La belleza y la elegancia matemática consisten de todos loselementos dispuestos armónicamente tales que nuestra mente pueda abarcarlos totalmente sin esfuerzo y a la vezmantener sus detalles.

Esta armonía,es, de inmediato, una satisfacción de nuestras necesidades estéticas y una ayuda para la mente quesostiene y guía. Y al mismo tiempo, al poner bajo nuestra visión un todo bien ordenado, nos hace entrever una ley overdad matemática. Esta es la sensibilidad estética que juega un papel de filtro delicado, la cual explica

http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_06_07/io5/public_html/Ejemplos/bela%20bartok%20-%20allegro%20barbaro.mp3

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suficientemente el porqué el quecarece de ella nunca será un verdadero creador.

El genio de Mozart consistió en escoger las mejores o más bellas frases musicales de toda la enorme gama deposibilidades para crear su Música. La creación de nueva Matemática no consiste en hacer combinaciones nuevas deentidades matemáticas ya conocidas, sino solamente en tomar las combinaciones útiles, las cuales son una pequeñaproporción. Si solamente fuera la rutina de aplicar reglas, las combinaciones obtenidas serían exageradamentenumerosas, inútiles o extrañas.

Poincaré escribe a principios del siglo XX, que una demostración matemática no es una simple yuxtaposición desilogismos, sino silogismos colocados con cierto orden y que el orden en que son colocados es mucho más importanteque los silogismos por sí solos. Comenta que no tiene miedo de que alguno de éstos se le olvide pues cada uno deellos tomará su lugar en el arreglo sin el menor esfuerzo. También describe el proceso de creación [M]: primero serealiza un trabajo consciente acerca del problema, después deja madurar esas ideas en el subconsciente, luego aparecela solución, quizás cuando menos se espera, y finalmente ésta se escribe.

El Arte y la Ciencia son una actividad exclusivamente humana. Mucho más de la mitad del cultivo del conocimiento,es decir, de la cultura, lo constituye el conocimiento científico. Este es un hecho ampliamente ignorado por lamayoría de la gente que piensa que la cultura solamente está constituida por conocimientos literarios o artísticos. Es

un gran error ver a la cultura de este modo.

Si en lugar de preguntarnos ¿qué relación existe entre la Música y la Matemática? Nos preguntáramos ¿qué relaciónexiste entre los matemáticos y los músicos? Podríamos decir que algunos matemáticos adoran la Música, muchos conun enfoque similar a la medida estética de Birkhoff. A muchos matemáticos les agrada el orden mental, ven a laMúsica como si fueran matemáticas pero sin tener que lidiar con una lógica inflexible. Gustan más deMozart que de Stockhausen, Schoenberg o Bartok. Sin embargo a muchos músicos no les agrada la Matemática,generalmente por que no la conocen. Hay otros músicos a quienes sí les agrada la Matemática (Mozart, Bartok,Ponce, entre otros).

Si nos preguntamos más que cómo se relacionan, en qué se parecen, podría decir que, para los que ven a la Ciencia yal Arte como una actividad olímpica en donde se trata de ser altamente competitivos, productivos y pertenecer a las

grandes ligas comerciales, la Matemática y la Música se utilizan como un medio y no como un fin. Así, algunosmúsicos se empeñan en tocar el mayor número de notas en el menor tiempo posible y ya se imaginarán ustedes elequivalente entre los matemáticos.

Recordemos que la ciencia y el arte son actividades esencialmente humanas. La Matemática es una de las "BellasArtes" que posee el don de ser al mismo tiempo la más elaborada y sofisticada de todas las ciencias. Esta es una frasemuy difícil de comprender para la mayoría de las personas. Sin embargo, la ciencia es una manera eficaz y elegantede comprender el universo. La ciencia se auto corrige. Nuestra vida y nuestro destino están indisolublemente ligadosa la ciencia. Es esencial para nuestra simple supervivencia que comprendamos la ciencia. Para quien la comprende, laciencia es un placer. Hemos evolucionado de tal modo que el hecho de comprender nos proporciona placer, porque elque comprende tiene mayores posibilidades de sobrevivir.

La Matemática, a diferencia de la Música, no es para espectadores. Es un lenguaje que, o bien se habla, o bien no seentiende absolutamente nada. No hay estadios de matemáticas para un gran público. Entonces, ¿qué relación existeentre la Matemática y la Música? J.J. Sylvester escribe en 1864: “May not Music be described as the Mathematic of Sense, Mathematics as Music of the reason? The soul of each the same?” Es decir, "¿Acaso no puede describirse laMúsica como la Matemática de lo sensible y la Matemática como la Música del entendimiento? El alma de cada una,la misma". Ambas se crean, se recrean, podemos apreciarlas y disfrutarlas. Una ventaja o desventaja, según se quieraver, es que para la Matemática no existe un instrumento musical donde tocarla, ésta se queda a nivel de partitura,podría decir, que va directamente de pensamiento a pensamiento.

Se podría decir que la relación más importante entre la Matemática y la Música es, que ambas son "Bellas Artes".Poseen características similares. Están relacionadas en el sentido de que la Matemática provee una base científicapara comprender la Música y la Musicología y para que esta última pueda considerarse una ciencia, no una rama de laliteratura poética común y corriente.

Ya para acabar se podría establecer una vez más, que la Matemática es una de las "Bellas Artes", la más pura de ellas,que tiene el don de ser la más precisa y la precisión de las Ciencias.

relaciones entre la música y las matemáticas

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