Relaciones lineales

Herramientas matemáticas para la FísicaFísica

Prof. Elba M. Sepúlveda, MA.Ed.

Reflexión

Las matemáticas son el Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.

Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano.

Los tipos de gráficas lineales son:

• Lineal ascendente– Pendiente positiva

• Lineal horizontal– Pendiente igual a – Pendiente positiva

• Lineal descendente

– Pendiente igual a cero

• Lineal vertical

Y

X

Y

X

• Lineal descendente– Pendiente negativa • Lineal vertical

– Pendiente indefinidaY

X

Y

X

Razones para construir gráficas

• Cuando tienes un conjunto de datos

• Cuando tienes una ecuaciónconjunto de datos ecuación

Masa (g) Alargamiento (cm)

0 3.5

10 4.9

Y=5X +1

Deseamos tener una

4

10 4.9

20 6.3

30 7.7

40 9.1

Deseamos tener una imagen que describa cómo se comportan los datos.

La ecuación general de una relación lineal es:

• y = mx + b

• Donde m = pendiente

• Tabla de datos paray=x+1• Donde m = pendiente

• y b = intercepto

• y= x + 1

• y = (2) +1 = 3• y = (1) +1 = 2

y=x+1

X Y

2 3

1 2

0 1• y = (1) +1 = 2• y = (0) +1 = 1

• y = (-1) +1 = 0• y = (-2) +1 = -1

0 1

-1 0

-2 -1

Se pueden analizarlas gráficas

• Con una tabla de datos se construye unagráfica.gráfica.

• Se puede observa lo siguiente:– La gráfica es lineal ascendente– Cruza el eje de y en y=1 (a esto le llamamos

intercepto)intercepto)– El incremento en los datos es que cada vez

que se aumenta un número en x hay un aumento de un número en y.

Observa la gráfica• Análisis de la

gráfica

Gráfica de y vs x

6

8(Y)

gráfica• Pendiente m=1• Intercepto b=1• Ecuación general:• y = mx + b0

2

4

6

(x)• Ecuación

específica:• y = x +1-4

-2

0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(x)

7

Veamos otro ejemplo:

• Instrucciones: – Determina la ecuación de la recta que pasa

por los puntos indicados.

– Trata de contestarlo antes de ver la respuestarespuesta

– Recuerda seguir un procedimiento ordenado

Determina la ecuación…

• Determina la

Gráfica de Y vs X

8

(Y)

• Determina la pendiente

• Determina el intercepto

• y la ecuación que pasa por los puntos

2

4

6

8

pasa por los puntos• P1 (-2,-1)• P2 ( 2, 7 )

-2

0

2

-4 -2 0 2 4

(x)

9

Solución:

• Pendiente

Gráfica de Y vs X

10

(Y)

X Y

2 7• Pendiente

0

5

(x)

2 1

2 1

7 ( 1) 82

2 ( 2) 4

y yym

x x x

−∆= =∆ −

− −= = =− −

2 7

1 5

0 3

-1 1

-2 -1

• Intercepto y ecuación

-5

0

-4 -2 0 2 4

(x)

10

1

1

( 1)

( 2)

2 3

y y ym

x x x

y x

− − −= = =− − −

= +

Problemas adicionales

• Dada la siguientetabla de valores,

• Dibuje la gráfica de y = - ¾ x + ¼ tabla de valores,

dibuje la gráfica y determine la pendiente, el intercepto y la ecuación

y = - ¾ x + ¼ • Haga la tabla de

valores• Determine la

pendiente y el intercepto

X Y

2 1

1 -0.5

0 -2

-1 -3.5ecuación intercepto

• Demuestre el resultado

-1 -3.5

-2 -5

Soluciones• y = 1.5 x –2• m= 1.5 b= -2

Gráfica 1 de Y vs X

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

(Y)

• m= 1.5 b= -2

• m = -¾ b= 1/4

-8

-6

(x)

Gráfica 2 de Y vs X

2.00

3.00

X Y

2 -5/4

1 - ½ • m = -¾ b= 1/4

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

-4 -2 0 2 4

(x)

(Y)

1 - ½

0 ¼

-1 1

-2 7/4

12

Otros problemas...

• Resuelve: Dada las siguientes ecuaciones haz una tabla de valores, ecuaciones haz una tabla de valores, dibuja la gráfica, determina la pendiente y el intercepto.

• a) X + Y = 1• b) X = 5• b) X = 5• c) 4X – Y + 1 = 0• d) Y = -2

Solución

• a) X + Y = 1• b) X = 5

A

B

• b) X = 5• c) 4X – Y + 1 = 0• d) Y = -2

• a) Y = -X+1, m=-1, b=1

C

D• a) Y = -X+1, m=-1, b=1• b) X = 5 , m=indefinido, b=no hay• c) Y = 4X + 1, m=4, b=1• d) Y = -2, m=0, b=-2

Referencias

Murphy, J. T. Zitzewitz, P.W., Hollon J.M y Smoot, R.C. (1989). Física: una y Smoot, R.C. (1989). Física: una ciencia para todos [traducción Caraballo, J. N. Torruella A. J y Díaz de Olano, C. R.]. Ohio, Estados Unidos: Merril Publishing Company.

Zitzewitz, P.W. (2004). Física principios y Zitzewitz, P.W. (2004). Física principios y problemas [traducción Alonso, J.L.yRíos Martínez, R.R.]. Colombia: McGraw- Hill Interamericana Editores, S. A. de C. V.

Preparado por:Prof. Elba M. Sepúlveda, MA. Ed.©2010