resoluciÓn de sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes departamento de matemáticas

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES MEDIANTE

DETERMINANTES

Departamento de Matemáticas

Ecuaciones lineales

11 1 12 2 1 1· · ................ ·n na x a x a x b

Una ecuación lineal con n incógnitas, es una ecuación polinómica de grado 1.

1 2,, ............ nx x x

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución (o soluciones).

Si multiplicamos o dividimos los dos términos de una ecuación por un número distinto de cero, la ecuación que resulta es equivalente a la primera.


Solución de una ecuación lineal con n incógnitas es un conjunto de números reales que al sustituir a las incógnitas verifican la ecuación.

nsss ,......,, 21

11 E·E

Sistemas de ecuaciones lineales


Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de ecuaciones lineales que tienen solución (o soluciones) comunes.

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

· · ................ ·

· · ................ ·

.......... .......... ................ ......... .....

· · ................ ·

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Si el sistema se llama homogéneo. 0ib i



Si un sistema tiene solución se llama compatible.

Si la solución es única, se llama compatible determinado.

Si tiene más de una solución se llama compatible indeterminado.

Si un sistema no tiene solución se llama incompatible.

Solución de un s. de m e. l. con n incógnitas es un conjunto de números reales que al sustituir a las incógnitas verifican, a la vez, todas las ecuaciones.

nsss ,......,, 21

Dos sistemas son equivalentes cuando tienen la misma solución (o soluciones).


1º)

2

1

E

E

2

1 0·

E

E

2º)

2

1

E

E

2

21

E

EE

3º)

1

2

1

E

E

E

2

1

E

E


4º)

21

2

1

EE

E

E

2

1

E

E

Criterios de equivalencia:

RESOLUCIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES: MÉTODO DE GAUSS

Consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro escalonado de la forma:

3333231

2232221

1131211

bzayaxa

bzayaxa

bzayaxa

333

22322

1131211

bza

bzaya

bzayaxa

= nº distinto de 0

Nº de ec. = nº de incógnitas

Solución única

0 0

0 0

00 0

Ecuación imposible

No hay solución

0 0

0

Nº de ec. <nº de incógnitas

Infinitas soluciones

00


Matrices asociadas a un sistema de ecuaciones lineales


Matriz del sistema: Es la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones.

mn2m1m

n22221

n11211

a.....aa

......................

a.....aa

a.....aa

Matriz ampliada con los términos independientes:

mmn2m1m

2n22221

1n11211

ba.....aa

..........................

ba.....aa

ba.....aa

Sistemas de ecuaciones lineales: Notaciones

Notación ordinaria:

3333231

2232221

1131211

bzayaxa

bzayaxa

bzayaxa


3

2

1

333231

232221

131211

b

b

b

z

y

x

aaa

aaa

aaaNotación matricial:

Notación vectorial:

3

2

1

33

23

13

32

22

12

31

21

11

b

b

b

z·

a

a

a

y·

a

a

a

x·

a

a

a

Teorema de ROUCHÉ


La condición necesaria y suficiente para que un sistema S sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes coincida con el rango de la matriz ampliada con los términos independientes.

ran = ran

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3333231

2232221

1131211

baaa

baaa

baaa

S: es compatible si: 3333231

2232221

1131211

bzayaxa

bzayaxa

bzayaxa

REGLA DE CRAMER

Si tenemos un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas con

(ran(A) = ran(A´)= 3),

3333231

2232221

1131211

bzayaxa

bzayaxa

bzayaxa

el sistema es compatible y su solución es:

33323

23222

13121

aab

aab

aab

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaax =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

33331

23221

13111

aba

aba

aba

y =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

33231

22221

11211

baa

baa

baa

z =



Resolución de sistemas de ecuaciones lineales



Hay infinitas soluciones:

Soluciones:

Los planos se cortan en una recta

Hacemos z =

,3

71,

31



Solución: (3,-2,1)



Solución: (0,-1,2)



Solución:


Calculamos el rango de A:


ran A = ran A´= 2 < nº incógnitas S es compatible indeterminado

Buscamos un menor de orden 3 distinto de 0

Como todos son iguales a 0

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