reforzamiento pre-matemática-2017-i

Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017

Lic. Luis Cañedo Cortez Página 1

TRIGONOMÉTRIA

Sistema de medición angular

Ángulo trigonométrico Es la figura que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final). Elementos.

O → vértice

OA → lado inicial

OB ∧ OC → lado final

α ángulo trigonométrico positivo (rotación antihoraria).

θ ángulo trigonométrico negativo (rotación horaria).

Sistema sexagesimal (Inglés)

NOTACIÓN EQUIVALENCIA

Un grado sexagesimal: 1°

Un minuto sexagesimal: 1’

Un segundo sexagesimal: 1’’

1° = 60’

1’ = 60’’

m 1v = 360°

Sistema centesimal (francés)

NOTACIÓN EQUIVALENCIA

Un grado centesimal: 1g

Un minuto centesimal: 1m

Un segundo centesimal: 1s

1g = 100m

1m

= 100s

m 1v = 400g

Sistema radial (circular) En este sistema la unidad se denomina RADIÁN que se define como la medida del ángulo central que subtiende un arco en una circunferencia con longitud igual al radio.

Equivalencias de conversión

m1

2 V = 180° = 200

g = rad

9° = 10g

RELACIÓN DE LOS TRES SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente. Se tiene:

𝑆

180=

𝐶

200=

𝑅

𝜋

S 180k

S C Rk C 200k

180 200R k

S 9kS C R

k C 10k9 10

20 R k20

Actividad.

1. Del gráfico, hallar: "x".

a) 24° b) 27° c) 30° d) 32° e) 36°

2. Del gráfico, hallar: xº

a) 9

b) 12

c) 15

d) 16

e) 20

3. Del gráfico, calcular "x".

A. 3 B. 7 C. 5 D. 9

4. Del gráfico, hallar "x", si: L1//L2.

a) α - β d) α - β +180º

b) α+β +180º e) α+β +360º

c) α - β +360º

5. Sabiendo que: rad a0 3b '1c"17

; calcular:

a c 1K

b

A. 5/2 B. 3/4 C. 5/3 D. 2



6. Del gráfico, calcular "x". A. 3 B. 7 C. 5 D. 9

7. Señale el valor de: θ = 𝜋

9 rad + 60g en el sistema

sexagesimal.

A. 64° B. 76° C. 69° D. 74°

8. Calcular:

g25 50 rad3E

g64 40 rad6

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. Hallar: "x" si se cumple:

a) 12 b) 17 c) 24 d) 20 e) 10

10. Sabiendo que: rad a 5b '5c ''37

; calcular:

a c

b

. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

11. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores

miden 7rad

108

y 144g. ¿Cuál es la medida

sexagesimal del tercer ángulo?

a) 28°32' b) 38°34' c) 48°22' d) 28°42' e) 38°44'

12. Calcular: g m

340 1

K1' 10"

a) 1,24 b) 2,16 c) 2,24 d) 2,4

13. Al reducir la expresión se obtiene:

2

2

2C S 2C SP

400R

a) 319 b) 309 c) 303 d) 296 e) 285

14. Siendo S, C y R lo convencional, simplificar:

a) 11,5 b) 13,5 c) 15,5 d) 27,5 e) 20

15. Calcular:

s m

340 1

K1' 10"

A. 1,24 C. 2,16 B. 2,24 D. 2,4

16. Siendo S y C lo convencional, hallar un ángulo en radianes, si:

S = n + 1

C = n + 2

a) /5 b) /10 c) /15 d) /20 e) /25

GEOMETRÍA

SEGMENTO DE RECTA Porción determinada de recta.

Notación: Segmento “AB” : AB

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Es el punto que pertenece al segmento y equidista de los extremos.

Postulado: La menor distancia entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que los une.

OPERACIONES CON SEGMENTOS Adición

Sustracción

Actividad.

1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos

"P", "Q", "R" y "S". Calcule "QR", si: PS=30, PR=20

y QS=22.


"A", "B", "C" y "D", tal que:

Calcule la longitud del segmento que une los puntos

medios de los segmentos AB y CD



3. Se tienen los puntos colineales “A”, “B”, “C” y “D”

de tal manera que: AB = 3BC y AD + 3CD = 12,

hallar “BD”.

A. 1,5 B. 3 C. 4 D. 6

4. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y

“D” de tal manera que: AC + 2DC + BD = 40 y AB =

DC, calcular “AD”.

A. 10 B. 15 C. 18 D. 20

5. Los puntos consecutivos "A", "M", "B" y "C"

pertenecen a la misma recta. "M" es el punto medio

de AC. Hallar MB, si: AB - BC = 32 cm.

A. 8 cm B. 32 C. 18 D. 16

6. Se tiene los puntos consecutivos A, B y C. Si:

2AB = 3BC ; AC = 20. Hallar “AB”

a) 4 b) 8 c) 12 d) 15 e) 16

7. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D. Si:

AC = 12 ; BD = 18 ; AD = 23. Hallar BC.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9

8. Se tiene los puntos consecutivos P, Q, R y S. Si:

PR = 19cm ; QS = 24cm ; PS = 30cm. Hallar “QR”.

a) 7cm b) 16cm c) 15cm d) 11cm e) 13cm

9. Se tiene los puntos consecutivos P, Q, R y S. Si:

PQ = 2QR ; RS = 4.QR ; PS = 28. Hallar QR

a) 5 b) 3 c) 6 d) 2 e) 4

10. Se tiene los puntos consecutivos P, Q y R. Si:

PQ QR

2 3 ; PR = 25. Hallar PQ

a) 8 b) 10 c) 5 d) 4 e) 15

11. Se ubican en una recta las puntos consecutivos A,

B, C y D, de modo que:

AB =2

x5

, BC= x

5– 3, CD =

7

5, AD = 24cm.

Calcular el valor de x.

a) 6cm b) 12cm c) 21cm d) 15cm e) 14cm

12. Sean los puntos colineales: "O", "A", "B" y "C" tal

que: 3AB=BC. Hallar:

3OA OC

4OB

a) 0,5 b) 1,5 c) 2 d) 3 e) 1


"A", "B", "C" y "D". Si se cumple:

AB BC CD

2 3 5 . Calcular "CD", si: AD = 20

a) 6 b) 9 c) 12 d) 8 e) 10

ARITMÉTICA

TEORÍA DE CONJUNTOS

Noción de conjunto Es una colección o agrupación de objetos bien definidos, llamados elementos, los cuales pueden ser concretos o abstractos.

Ejemplo: Vocal de la palabra “murciélago”.

Número primo menor que 10.

País sudamericano que ha ganado un campeonato

mundial de fútbol.

Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C, ..., etc. Y para denotar a sus elementos se usan las letras minúsculas, a menos que dichos elementos sean, a su vez, conjuntos. Dichos elementos van separados con comas (,) o punto y coma (;) o bien indicando una propiedad común de ellos.

Notación:

A = { a; e; i; o; u]

B = { 2; 3; 5; 7}

La notación gráfica consiste en representar los elementos dentro de una figura cerrada (diagrama de Venn-Euler).

Conjuntos numéricos.

Números naturales ( )

0;1;2;3;....

Números enteros ( )

...; 3; 2; 1;0;1;2;3;...

Números racionales ( )

Son aquellos números que resultan de dividir dos números enteros, excepto de dividirlos por cero.

1 1 1 1 2...; 1; ; ;0; ; ; ;1;...

2 3 5 4 3

Números irracionales( I ) Son aquellos números no racionales cuya cantidad de cifras decimales es indeterminada.

...; 5; 2; ; ;...I e

Números reales ( ) Son aquellos números que provienen de la reunión de los números racionales e irracionales.

Relación de pertenencia Si x es un elemento del conjunto A, se dice que "x pertenece al conjunto A" y se denota: x ϵ A En el caso de no pertenecer x al conjunto A se denota: x A.

Ejercicio. Colocar el valor de verdad a cada proposición si:

A .a

.e .i

.o .u



A = {8; 3; {2}; {1, 3}}

3 A ( ) 8 A ( )

2 A ( ) 3 {1, 3} ( )

{3} A ( ) 4 A ( )

Determinación de un conjunto

Por extensión Cuando se enuncia uno a uno los elementos de un conjunto de manera explícita. Ejemplo: R = {1; 3; 5; 7}

Por comprensión Cuando se indica una característica particular y común a todos sus elementos.

Ejemplo: 2 1/ 4R x x x

Cardinal de un conjunto Indica la cantidad de elementos diferentes de un conjunto dado. Notación: n(A) se lee: cardinal de A. Ejemplo: A = {1; 2; 5; 6; 5} → n(A) = 4

Clases de conjuntos Conjunto finito Es aquel conjunto que tiene una cantidad limitada de elementos, por lo tanto el proceso de conteo de sus elementos termina en algún momento. Ejemplo: R = {x/x es un número natural menor que 100}

Conjunto infinito Es aquel conjunto que posee una cantidad ilimitada de elementos, por lo tanto el proceso e conteo de sus elementos no termina. Ejemplo: R = {x/x es un número natural impar}

Conjunto vacío o nulo Es aquel que carece de elementos.

Notación: ; { }

Ejemplo: A = {xϵ / 0 < x < 5 x2 = 100} = { } =

Conjunto unitario Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. También llamado singleton.

Ejemplo: P = {x/x ϵ ; x 0 x > 0} = {0}

Conjunto universal Es el conjunto que contiene a todos los elementos considerados en un contexto determinado. No existe un conjunto universal absoluto y se le denota generalmente por U.

Ejemplo: A = {2x + 3 / x ϵ Z / 0 < x < 4} Un conjunto universal para A sería: U = {1; 3; 5; 7; 9; 11}

Actividad.

1. Sabiendo que el conjunto:

A = {a + b; a + 2b – 2; 10} es un conjunto unitario. Dar el valor de “a2 + b2”.

a) 16 b) 80 c) 68 d) 58 e) 52

2. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}. Indicar (V) o

(F), según corresponda:

i) {7} A ( ) iv) {9} A ( )

ii) 9 A ( ) v) A ( )

iii) 7 A ( ) vi) 10 A ( )

a) VFVFVF b) VFFVVF c) VVVFFF d) VVFFFV

3. Dado el conjunto M = {a, {b}, {m}, p}. ¿Cuántas proposiciones son falsas?

i) {b} M iv) {{b}, p} M

ii) b M v) {{b}, {m}} M

iii) {{m}} M vi) m M

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Sabiendo que los conjuntos:

A = {4a + 3b; 23} y B = {3a + 7b; 41} son

unitarios. Hallar: “a + b”

a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9

5. Sea: 2 1

/ 7 92

xM x x

Indicar la suma de los elementos de M.

a) 170 b) 85 c) 165 d) 129

6. Se tienen los conjuntos unitarios:

M = {a2 + 1; 2a} y N = {3x + y; x - y + 12} Halla: a + x + y

a) 7 b) 9 c) 6 d) 8 e) 10

7. Determine por extensión el siguiente conjunto:

T = {x/x = x12

x3

; x N}

a) {3} b) {3, 4} c) {0, 3} d) {0, 3, 4} e) {0,4}

8. ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos?

A = {x N/ x + 1 = 0} ; B = {x Z/ 3x + 1 = 0}

C = {x Q/ x2 - 7 = 0} ; D = {x R/ x4 + 4 = 0}

a) 1 b) 2 c) 3 d) F.D. e) Todos

9. Calcular la suma de los elementos del conjunto:

A = {x/x N; 10 < 3x + 2 < 18}

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 23

10. Dado el conjunto: B = {x+3/x Z, x2 < 9}

Calcule la suma de los elementos del conjunto “B”

a) 12 b) 15 c) 3 d) 9 e) 18

11. ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos?

A = {c, o, l, e, g, i, o} ; B = {t, r, i, l, c, e}

a) 64 y 32 b) 128 y 64 c) 64 y 64 d) 32 y 64 e) 128 y 32



12. Hallar la suma de elementos del conjunto:

A = {3a2 + 5 / a Z; 1 < a < 6}

a) 172 b) 182 c) 148 d) 156 e) 192

13. Dados: 2A a 9;b 2 y B 9;10

Si se sabe que A = B. Calcular a – b

a) 9 b) 12 c) -10 d) -9 e) -12

14. Si los conjuntos “M” y “N” son iguales, hallar “m + n”.

nM m ;12 , N mn;81

a) 5 b) 6 c) 7 e) 8 d) 9

15. Indique cuántos subconjuntos tiene:

M x / 2x 3 13

a) 64 b) 32 c) 128 d) 16 e) 120

16. Hallar “a + b + c”, si el conjunto “M” es unitario

2M a 3;3b c 4;6a 2;5b 7

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

17. Determinar por extensión el conjunto “A”:

2 3A x / x 12x x

a) {0} b) {0; 3} c) {0; -3; 4} d) {0; 4}

Nunca consideres el estudio como una obligación, sino

como una oportunidad para penetrar en el bello y

maravilloso mundo del saber.

Albert Einstein (1879-1955)

Razonamiento Matemático

CUATRO OPERACIONES

Método del cangrejo En este tipo de problemas se comienza a resolver desde el final, es decir, a partir del último resultado regresando hasta el inicio del problema, haciendo en cada caso la operación inversa a las operaciones indicadas.

Ejemplo: Si a la edad que tiene tu padre lo multiplicas por 6; luego lo divides entre 10 y el cociente lo multiplicas por 4, añadiendo enseguida 42, obtendrías 162. ¿Cuál es la edad de tu padre?

Resolución:

Rpta: La edad de tu padre es 50 años Nota: Este procedimiento también se puede realizar en forma horizontal, colocando arriba las operaciones directas y abajo las inversas.

Ejercicios:

1. Si al doble de un número entero positivo, lo disminuimos en 3, lo elevamos al cuadrado, para luego multiplicarlo por 4; y a este resultado le quitamos 3; elevando lo que resulta al cuadrado, obtenemos como respuesta 1. Halla el número.

Rpta.: El número es 2.

http://www.proverbia.net/citasautor.asp?autor=327



2. Un número se multiplica por 3, luego al producto se le resta 6 y al resultado se le divide entre 2, para luego sacarle raíz cuadrada. Finalmente el último resultado es elevado al cubo, y se obtiene 27. ¿Cuál es el número original?

A) 8 B) 6 C) 10 D) 9 E) 4

3. Un estudiante gastó todas las hojas de su cuaderno en 2 días y lo hizo de la siguiente manera: cada día gastó la mitad de hojas en blanco que le quedaban, más 6 hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno?

Rpta. 36 hojas

4. A un cierto número lo dividimos entre 4, al resultado hallado le sumamos 8, a este resultado los multiplicamos por 3, a este nuevo resultado le restamos 8, a este resultado le extraemos la raíz cuadrada, obteniendo como resultado final 5. Halla dicho número.

a) 12 b) 10 c) 14 d) 9

5. En un lejano pueblo todos veneran a un santo

milagroso, pues triplica el dinero de los fieles con la sola condición de entregarle S/.40 de limosna por cada milagro. Si después de acudir a él por tres veces consecutivas, Henry termina con S/.560. ¿Cuánto tenía al principio?

a) S/. 40 b) S/. 42 c) S/. 45 d) S/. 47

6. Mi propina la multiplico por 3, a este producto le aumento S/.28, a la suma la dividimos por 2, al cociente obtenido le agrego 5 y al resultado le extraigo la raíz cuadrada, obteniendo finalmente 5 como resultado. ¿Cuánto dinero tenía de propina al inicio?

A) S/.4 B) S/.6 C ) S/.8 D) S/.10 E ) S/.12

7. Si al número total de patas de conejo que hay en un corral se le multiplica por 3, al producto se le extrae la raíz cúbica y luego al resultado se le resta 3, a la diferencia se la eleva al cubo, obteniendo un número al cual luego de sumarle 3 y dividirlo entre 3, se obtiene 10 como resultado final. ¿Cuántos conejos hay?

A) 13 B) 16 C ) 18 D ) 15 E ) 20

Método del rombo En este método los datos se ubican en los vértices de un rombo, en donde se indican mediante flechas la forma cómo operar.

Ejemplo:

Debo pagar S/.490 con 31 billetes de S/.10 y S/.20. ¿Cuántos billetes de S/.10 debo emplear?

Resolución:

Ejercicios:

1. A una función de cine asistieron un total de 350 personas entre niños y niñas. Recaudaron S/.1550 debido a que cada niño pagó S/.5 y cada niña S/.4. Calcula la diferencia entre el número de niñas y niños. Rpta. 50

2. En la factoría “Yayito” hay entre bicicletas y autos

300 vehículos, y el número de llantas es 800. ¿Cuántos autos hay?

Rpta. 100 3. Un entomólogo tiene una colección de 27 insectos,

entre moscas y arañas. En total se cuentan 186 “patitas”. ¿Cuántas moscas hay en la colección?

A) 12 B) 18 C) 15 D) 9 E) 16 4. En una prueba de ingreso un alumno gana 2 puntos

por respuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas obtiene 76 puntos, ¿cuántas contestó equivocada? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10



5. Para recaudar fondos para la promoción de quinto se llevó a cabo una función de teatro en el colegio “SLG”. Cada estudiante pagó S/. 25 por el ingreso y cada adulto S/. 40. Determina la cantidad de estudiantes asistentes a la función si la recaudación total asciende a S/. 12 300 y el total de asistentes es de 420 personas. A) 300 B) 250 C) 320 D) 280 E) 310

6. Un microbusero recaudó S/. 820, en uno de sus recorridos; habiéndose gastado 320 boletos entre pasajes entero y medio pasaje; los primeros cuestan S/. 3 y los últimos S/. 1,60. Además el número de universitarios supera al número de niños en 20 y tanto los niños como los universitarios son los únicos que pagan medio pasaje.

Son ciertas: I. Suponiendo que los niños no pagan; el

microbusero estaría perdiendo S/. 56 II. Hay 60 universitarios. III. Se gastó 240 boletos en pasaje entero.

A) I y II B) II y III C) Todas D) Solo I E) Solo II

Método del rectángulo

En este tipo de problemas participan dos cantidades excluyentes, que se comparan en 2 oportunidades originándose en un caso ganancia y en otro pérdida.

Para poder aplicar este método, el problema debe presentar las siguientes características: Deben participar dos cantidades excluyentes, una mayor que la otra, y deben compararse entre sí las dos cantidades, originándose en un caso, un sobrante (o ganancia) y en otro, un faltante (o pérdida).

Ejemplo:

Para ganar S/. 200 en la rifa de una grabadora se imprimieron 640 boletos, sin embargo solo se vendieron 210, y se originó una pérdida de S/. 15. Determina el valor de la grabadora.

Resolución:

Usamos el método del rectángulo:

boletos pérdida

640 +200 (–) (–) 210 –15

Precio de cada boleto 200 15 2150,5

640 210 430

Precio de la grabadora = 640 x 0,5 – 200 = S/. 120

Ejercicios:

1. Para ganar S/.30 en la rifa de una pelota se hicieron 80 boletos, pero no se vendieron más que 70, originándose una pérdida de S/.20. ¿Cuánto valía la pelota? Rpta. S/.370

2. Los alumnos del profesor “Lucho” deciden

obsequiarle una Laptop. Si cada uno diera S/.100, faltarían S/.320; pero si cada uno da S/.120, sobrarían S/.120. ¿Cuánto cuesta la Laptop?

Rpta. La Laptop cuesta S/.2 520 3. Un campesino pensaba así: “Si vendo todos los

sacos de arroz a S/.35 cada uno, perdería S/.120, pero si los vendo a S/.42 cada uno, ganaría S/.90. ¿Cuál es el costo de todos los sacos de arroz?

A) S/.1 800 B) S/.1 400 C) S/.1 200 D) S/.1 170 E) S/.1 320 4. Pepe tiene tanto dinero como para comprar 24

chocolates y aún le sobra S/.15, pero si quisiera comprar 36 chocolates, le faltaría S/.9. ¿Cuánto dinero tiene Pepe?

A) S/.56 B) S/.52 C) S/.48 D) S/.72 E) S/.63

5. Si una señora compra 3 macetas con el dinero que

tiene, le sobraría S/.12. Entonces, decide comprar una maceta más y le sobra solo S/.4. ¿Cuánto tenía la señora?

A) S/.32 B) S/.30 C) S/.28 D) S/.36 E) S/.42 6. Un grupo de amigos va al estadio y sucede lo

siguiente: para entrar todos a oriente (40 soles la entrada) faltaría dinero para 3 de ellos, pero para entrar todos a popular (30 soles la entrada) tendrían para una entrada más. ¿Cuántos amigos son? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

Regla de la con junta

Esta regla consiste en formar con los datos una serie de equivalencias con la salvedad de que en una misma columna no deben existir dos datos de la misma especie. Luego se multiplican ordenadamente estas equivalencias y se halla el valor de la incógnita. Ejemplo: Por una sandía me dan 4 manzanas, por 2 manzanas recibo 3 mangos. ¿Cuántas sandías me darán por 24 mangos?



Resolución:

Rpta.: Me darán 4 sandías.

Ejercicios.

1. Sabiendo que 6 kilogramos de sandía cuesta lo mismo que 4 kilogramos de papaya, 3 kilogramos de papaya valen lo mismo que 2 kilogramos de plátanos; 5 kilogramos de plátanos cuestan 18 soles. ¿Cuánto costarán 10 kilogramos de sandía?

A) 24 soles B) 20 soles C) 18 soles D) 22 soles E) 16 soles 2. En una feria, por 8 melocotones dan 5 peras, por

cada 10 peras dan 3 piñas; por cada 4 piñas dan 1 docena de naranjas; si 5 naranjas cuestan S/.16. ¿Cuánto pagará por 12 melocotones?

Rpta. S/.21,60

3. En la librería “Joselito” 14 lapiceros cuestan lo

mismo que 6 plumones, 8 plumones lo mismo que 5 motas, 3 motas cuestan S/.35. ¿Cuánto tengo que gastar para adquirir 16 lapiceros?

Rpta. S/.50

4. Un carpintero cobra lo mismo por confeccionar 4 sillas o 3 sillones, también cobra lo mismo por confeccionar 9 sillones o 2 mesas. Si 3 mesas cuestan S/.450, ¿cuánto cuestan 6 sillas?

A) S/.100 B) S/.120 C) S/.220 D) S/.150 E) S/.180

Geometría Ángulo

Bisectriz de un ángulo.

OM : Bisectriz

Clasificación de los ángulos.

Ángulos Convexos Áng. No-Convexo

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS CONVEXOS

a) Según sus Medidas :

a.1 ∢ Agudo a.2 ∢ Recto

a.3 ∢Obtuso a.4 ∢Llano

a.5 ∢ De una Vuelta

b) Según sus lados y la suma de sus medidas.

b.1 ∢ Adyacentes

b.2 ∢ Consecutivos

A

O B

º

Notación:

∢AOB : Ángulo AOB ó

AOB :

Ángulo AOB

m∢AOB : Medida del ángulo AOB

→ m∢AOB = º

M

A

B

°

° O

O sea :

m∢AOM = m∢MOB = º

°

°

0º < º < 180º 180º < º < 360º

°

°

0° < ° < 90°

° = 90°

º º

90° < º < 180°

º = 180°

°

º = 360°

º º

º

º

º º

º



b.3 opuestos por el vértice

b.3 ∢ Complementarios

Cº = 90º - º

b.4 ∢ Suplementarios

Sº = 180º - º

Ejercicios:

1. AOB y BOC son consecutivos;

m AOC = 80° y m AOB = 48°. Si OMes

bisectriz del AOC, calcular: m MOB.

a) 6° b) 8° c) 10° d) 12°

2. EL doble del complemento de un ángulo equivale

al complemento de la mitad del ángulo. Hallar

dicho ángulo.

a) 60° b) 30° c) 40° d) 80°

3. Hallar “α”, si: m POQ – m QOR = 64°.

(OM : Bisectriz del POR)

a) 32° b) 30° c) 36° d) 42°

4. Calcular “x”

a) 40º

b) 70º

c) 100º

d) 110º

e) 150º

5. Se tiene un ángulo en el cual la suma de su

complemento y su suplemento es tres veces el

valor del ángulo, calcular el suplemento del complemento del ángulo en mención.

a) 120º b) 124º c) 144º d) 126º e) 108º

6. Reducir la siguiente expresión:

E = º162º36

º54

SSSCCC

SSSSSCCCCC

a) 3

1 b)

2

1 c) 3 d) 2 e) 1

7. Si a un ángulo le restamos su suplemento resulta

ser el triple de su complemento, calcular el complemento del ángulo.

a) 45º b) 36º c) 54º d) 90º e) 72º

8. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, de manera que:

m AOB m BOC m COD

3 4 5 y m AOD= 48º

Calcular: mCOD - mAOB

a) 4º b) 8º c) 12º d) 16º e) 18º

9. Calcular : SSSCCCº, si : CCCSSSSCCº = 40º

a) 10º b) 20º c) 40º d) 140º e) 70º

10. Sean los ángulos consecutivos AOB y BOC, se

trazan las bisectrices OM del ∠AOC y ON del

∠BOC. Si el ∠MON mide 20º. Calcule: m ∠AOB

a) 30º b) 32º c) 36º d) 40º e) 45º

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante

Si: 21 L//L es intersectada por la transversal L .

Ángulos Alternos (iguales)

a) Internos: = ; =

b) Externos: = ; =

Ángulos correspondientes (iguales)

= ; = ; = ; =

Ángulos conjugados (suplementarios)

1. Internos: + = 180° ; + = 180°

2. Externos: + = 180° ; + = 180°

Propiedades:

1. Si: 21 L//L

Se cumple:

x = +

º

º

º + º = 90°

mº nº

mº + nº = 180°

α θ α = θ

α

M

Q

O

P

R

º

º º

º

X°

40º

x



En general: ( 21 L//L )

Se cumple:

+ + + = + +

2. Si: 21 L//L

Se cumple

+ + = 360°

3. Si: 21 L//L

Se cumple:

+ + + + = 180°

x = + + +

Ejercicios:

1. En la figura: L1 // L2. Calcular el valor de:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

2. En la figura: DE//AB ; calcular x.

A) 110°

B) 120°

C) 130°

D) 140°

E) 150°

3. Calcule “x”, 1 2L // L

a) 18º b) 36º c) 12º d) 24º e) 32º

4. Si: 1 2L // L , calcule “x”.

a) 70º b) 48º c) 60º d) 40º e) 72º

5.

6. En la figura 21 L//L , EFCEyBACB . Hallar

la mDFE.

A) 10° B) 15° C) 20° D) 35° E) N.A.

7. Hallar x, si L1 // L2

A) 38º

B) 43º

C) 50º

D) 53º

E) 57º

8. Hallar , si L1 // L2

A) 100º

B) 110º

C) 120º

D) 130º

E) 140º

x

A B

C

D E

x° 20°

50°

L1

L2

80°

C

A

B

D F L2

L1

x 20°

E

75°

18°

10°

20°

x L1

L2

3

L2 L1

100º



C

B A

b a

c

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

de triángulo rectángulo

Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.

Definimos con respecto a :

Seno de b

a

H

COsen

Coseno de b

c

H

CAcos

Tangente de tanCO a

CA c

Cotangente de cotCA c

CO a

Secante de c

b

CA

Hsec

Cosecante de a

b

CO

Hcsc

Por ejemplo: 3

1sen csc = 3

Propiedad:

sen α x csc α = 1

cos α x sec α = 1

tan α x cot α = 1

Teorema de Pitágoras.

En todo triángulo rectángulo se cumple:

“La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”

a2 + c2 = b2

Propiedad de la tangente y cotangente

tan α = 𝑠𝑒𝑛 𝛼

cos 𝛼 ; cot α =

cos 𝛼

𝑠𝑒𝑛 𝛼

Ángulo mitad:

Actividad:

1. Se sabe que tanx = 0,333… Calcular:

R= sen2x – cos2x + cot2x

a) 22/9 b) 8,2 3/8 d) 2,8 e) 1

2. Si: sec θ = 1,25 ; además: Csc β = 4cot θ + csc θ

Calcular: cot β

a) √3 b) 2√3 c) 3√3 d) 4√3 e) 5√3

3. Se tiene un triángulo rectángulo ABC. Calcular: b b c

P senA senC tgAa c a

a) a+b+c b) 2a c) b d) 2c e) 3

4. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se

cumple que: 3tanA = 2cscC.

Calcular: M = √5 tgA + 6secC

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

5. Sabiendo que: 23+tg = 43; donde "" es un

ángulo agudo, calcular: C = 2sec2 + 10sen2

a) 17 b) 19 c) 21 d) 25 e) 29

6. En el triángulo ABC, recto en “B”, se sabe que:

5 Cos A = 3; hallar el valor de:

12 tan A cot AR

5sec A

a) 6 b) 3 c) 5 d) 9 e) 12

7. En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°) se verifica que:

a b 7

a b 5

Hallar: E = SenA + SenB

a) 37

7 b)

5√37

37 c)

7√37

71 d)

7√37

37 e)

5

37

8. Si: 2sen2cos cos

; hallar:

N=Cosθ+Cotθ

a) 5√3

4 b)

5√15

4 c)

2√3

3 d)

3√3

2 e)

5√3

2

9. Si: 3 cot8tan tan

; hallar:

N= sen2θ + Tan2θ

a) 15 b) 4/15 c) 15/4 d) 3/13 e) 13/3

C

B A

b a

c

Elementos:

- a: cateto opuesto al

ángulo - c: cateto adyacente

al ángulo . - b: hipotenusa

I N V E R S A

S

inversas

tan 𝜃

2 = csc θ – cot θ

cot 𝜃

2 = csc θ + cot θ



10. Sabiendo que:

2 2

2 2

a bsen

a b

El valor de: T = ab(sec θ – tan θ), es:

a) 0 b) a2 c) b2 d) – a2 e) – b2

11. Si A y B son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Simplíficar:

senA cos AT csc B csc A

csc B sec B

A) 4ab B) 3bc C) 2 D) a E) b

12. Del triángulo rectángulo mostrado, calcular la tangente del mayor ángulo agudo:

A) 2,4 B) 3,5 C) 5,2 D) 6,5 E) 60

13. Hallar: E = 2 cot 𝜃

2 – 3

a) √3 b) 2 √3 c) √5 d) √7 e) 2 √5

14. A partir del gráfico mostrado, calcular;

N = tg 𝜃

2 + cot

𝜃

2

A) 4 B) 2,5 C) 8 D) 10 E) 12

Propiedades de las razones trigonométricas.

Reciprocas.

Complementario.

sen = cos

tg = ctg

sec = csc

Ejercicios de aplicación.

1. Si : tan 3x . cot(x + 40°) = 1. Calcular : Cos 3x

a) 1 b) ½ c) 3 d) 3 /2 e) 3/5

2. Hallar “x” si : cos(2x – 10°) sec(x + 30°) = 1

a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°

3. Si: sen 7x sec 2x = 1.

Calcular:

E = tg2 6x + tg(x + 42º - y) . tg(3x + y + 8°)

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

4. Determine “x” :

sec(2x - 8) = sen 40° csc 40° + º75ctg

º15tg

a) 17° b) 20° c) 28° d) 30° e) 34°

5. Calcular: º50csc

º40sec3

º70ctg

º20tg2

º80cos

º10senE

a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2

sen . csc = 1

cos . sec = 1

tg . ctg = 1

Siempre y cuando:

=

Siempre y cuando:

+ = 90°

(Complementarios

)

a

b

c



Razones trigonométricas de ángulos notables. Estas razones se obtienen a partir de triángulos rectángulos notables donde la proporción entre sus lados y la medida de sus ángulos interiores es conocida.

Triángulos notables.

Triángulos aproximados.

Ejercicios de aplicación. 1. Calcular: E = (sen30º + cos60º)tg37º

a) 1 b) 2 c) ¼ d) 3/4 e) 4/3

2. Determine el valor de “m” para que “x” sea 30º.

1m

1mx2cos

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

3. Del gráfico hallar: ctg

a) 1,6 b) 1,7 c) 0,4 d) 0,6 e) 1,4

4. Calcular: E = (sec245º + tg45º) ctg37º - 2cos60º

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

5. Calcular: “x” 3xsec53º - tg45º = sec60º(sec45º + sen45º)csc30º

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Calcular: E = (tg60º + sec30º - sen60º)sec60º

a) 25/12 b) 25/24 c) 49/12 d) 49/24 e) 7/18

7. Calcular: º45sen

º30cosº37senº60secº30tgE

2

a) 5

3 b)

5

311 c)

5

33 d)

3

35 e)

5

32

a

a

45

45

a 2a

60º

30º

a

5a 3a

37º

53º

4a

25a 7a

16º

74º

24a

a

8º

82º

7a

x + 3

2x + 1 5x - 3

45º

reforzamiento pre-matemática-2017-i

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