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Presentador:
Dr. Julio Quintana-UPR Mayagüez
RECURSOS PARA FACILITADORES DEL PROGRAMA DE MATEMÁTICAS DEL
DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN DE PUERTO RICO (DEPR)
Materiales CRAIM
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
Materiales CRAIM
DIDÁCTICA MATEMÁTICA
La probabilidad y la arqueología:
un pez de antaño
Presentador:
Dr. Julio Quintana
UPR, Mayagüez
RECURSOS PARA FACILITADORES DEL PROGRAMA DE MATEMÁTICAS
DEL DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN DE PUERTO RICO (DEPR)
Dr. Jorge M. López Director CRAIM, UPR Río Piedras
© Todos los derechos reservados
Publicaciones CRAIM
2012
La Probabilidad y la arqueología: Un pez de antaño
Didáctica matemática
Escuela secundaria
Recursos para facilitadores del PM del DEPR
Director Dr. Jorge M. López
Universidad de Puerto Rico, recinto de Río Piedras
Introducción
Los materiales de la serie Didáctica Matemática para los facilitadores del Programa de
Matemática (PM) y los maestros del nivel secundario del Departamento de Educación de Puerto
Rico (DEPR) se han confeccionado para atender temas medulares del nuevo currículo a la luz de
los documentos de Estándares curriculares y las Expectativas por grado. Esta serie recopila temas
identificados, por los maestros y facilitadores de matemática, como prioritarios en la matemática
del nivel secundario y se presentan con la profundidad que requiere el nuevo currículo. Estos
materiales de la serie Didáctica Matemática, cubren los siguientes temas específicos:
1) Funciones, modelación matemática, graficación. Transformación de funciones y sus
gráficas. Funciones polinómicas, racionales, logarítmicas y exponenciales.
2) Los modelos funcionales sinusoidales, leyes de senos y cosenos. Ondas sinusoidales y
el principio de superposición.
3) Empleo de las funciones como modelos matemáticos, graficación y geometría
analítica.
4) Probabilidad y estadística. Distribuciones binomial y normal. Regresión lineal y la
recta de cuadrados mínimos. Coeficiente de correlación.
El material didáctico presentado atiende especialmente temas prioritarios contenidos en los
siguientes cursos:
I. Matemática en acción (grado 10, primer curso)
II. Aventuras matemáticas (grado 10, segundo curso)
III. Funciones y modelos (grado 11, primer curso)
IV. Matemáticas contemporáneas (grado 11, segundo curso)
V. Precálculo (grado 12)
Esperamos que estos recursos sean de utilidad y hagan más efectiva la labor de los facilitadores
del Programa de matemáticas y los maestros del nivel secundario del DEPR.
Jorge M. López
Catedrático de Matemática
Universidad de Puerto Rico
Río Piedras
9 de septiembre de 2012
Taller CRAIM*/DEPR**parafacilitarores de matematica
Una leccion de arqueologıa:
el pez lucio de antano
Jorge M. Lopez FernandezUniversidad de Puerto Rico, Rıo Piedras
Omar Hernandez RodrıguezUniversidad de Puerto Rico, Rıo Piedras
Celeste Vargas
Universidad Interamericana de Puerto Rico
Revisado 5 de julio de 2011
*Centros Regionales de Adiestramiento en Instruccion Matematica**Departamento de Educacion de Puerto Rico
1. Un yacimiento arqueologico
A menudo los arqueologos encuentran yacimientos de huesos de animalesde tiempos remotos, los cuales les permite entender mejor la evolucion delos animales a los que pertenecieron tales osamentas en vida a los animalesmodernos en que se transformaron. Por ejemplo, en las ciudades antiguas delCaribe de los tiempos de Espana, se han encontrado yacimientos arqueologi-cos que contienen restos oseos de vacas y caballos del siglo XVII. Un casoextremo de tales yacimientos es el descubierto en Dinamarca en el ano 1980,en cierto lugar del paıs donde se comprobo existio un lago de agua dulcetres siglos antes de Cristo. Los restos de vida marina en el yacimiento evi-denciaba con gran probabilidad que se trababa de un cuerpo de agua dulce,posiblemente un lago. El yacimiento en cuestion contenıa una gran cantidadde osamentas del pez Esox Lucius (un pez parecido a la percha), las cualesse remontan a epocas que datan 3,000 anos antes de nuestra era. En general,los esqueletos hallados estaban incompletos y parcialmente destruidos por elembate del tiempo. Los huesos del esqueleto que mejor se son las mandıbu-las, ya que estas, en general, constituyen los huesos mas resistentes y soncapaces de conservarse en un estado mas o menos ıntegro con el transcurrirdel tiempo. En la Figura 1 se muestra un ejemplar moderno del pez LucioExos y en la Figura 3 se muestra la mandıbula de uno de tales peces.
Figura 1: Pez Exos Lucio moderno
El pez es un depredador agresivo que puede alcanzar pesos de 25 kg y
2
Figura 2: Mandibula del pez Exos Lucio
longitudes de 150 centımetros. El habitat natural del pez incluye los cuerposde agua dulce de las zonas templadas del hemisferio norte. Con frecuencia,su color es verde olivo, el cual se transforma en amarillo claro o blanco en laregion del vientre. La parte inferior de las agallas esta desprovista de esca-mas y contiene cierta porosidad con terminaciones nerviosas muy sensitivasque forman parte del sistema nervioso lateral del animal. En el yacimientomencionado no se encontraron esqueletos completos de lucios aunque si seencontraron, como ya hemos dicho, una vasta coleccion de mandıbulas enbuen estado de conservacion. Los antropologos que investigaron el yacimien-to aspiraban a tener una idea de la distribucion de tamanos en el lago. ¿Porque crees que es importante conocer la distribucion de longitudes de los pe-ces del yacimiento? ¿De que manera piensas que esta informacion pudiese serutil para determinar si la muestra encontrada era una muestra tıpica de unlago con poblaciones de lucios? ¿Que observaciones hubiesen podido llevara los antropologos a concluir que no se trataba de una muestra tıpica delos lucios de un lago? ¿Enumera algunas situaciones que se te ocurran quepuedan explicar muestras no representativas de la poblacion de los peces dellago? ¿Que crees significa la frase “muestra no representativa”. A continua-cion presentamos una tabla de los tamanos de las 70 mandıbulas o quijadasencontradas en el yacimiento medidas en milımetros:
3
Tabla 3: Medidas (en mm) de las mandıbulas encontradasen el yacimiento arqueologico
73 32 65 71 66 45 55 54 48 7739 60 62 42 86 58 74 66 69 5255 63 61 77 79 84 80 44 77 7483 83 59 34 73 91 63 71 72 5964 69 74 29 88 35 74 79 63 5477 89 81 53 48 69 87 65 49 5860 38 78 77 73 91 62 51 87 67
2. Los Exos Lucius de un lago moderno
En un lago moderno de Dinamarca con una poblacion nutrida de peceslucios se tomo una muestra aleatoria de treinta peces, y a cada uno de ellosse le midieron tanto la longitud de la mandıbula ası como su longitud totaldel pez. Luego de efectuar las medidas lo peces se devolvieron al lago. ¿Comocrees que se les midio a los lucios la longitudes indicadas? ¿Como crees quese puede proceder en el caso de la mandıbula sin hacer dano al animal?
Figura 3: Longitud de la mandıbula versus longitud total (Ver Tabla 2)
4
Tabla 2: Exos Lucius de un lago moderno
Especimen Mandibula Longitud total(numero) (mm) (mm)
1 110 7602 81 5803 88 6124 109 7435 66 4596 77 5437 86 5888 97 6619 101 70810 111 75111 96 65912 77 55913 83 60114 74 52515 92 64316 94 65617 86 61018 72 51519 90 63020 106 72921 82 60022 76 53623 79 57124 89 62125 98 68026 82 59927 87 61328 85 60529 75 52130 89 627
En el diagrama de dispersion representado en Figura 3 se nota que es posible“adaptar” una recta para recoger la relacion que parece existir entre los pun-
5
tos de la Tabla 2. En efecto, parecerıa que hay una relacion muy clara entrelos puntos y casi nos atrevemos a tirar una recta de “mejor ajuste” “a ojo”.En efecto si trazamos la recta de mejor ajuste empleada en la estadıstica,llamada recta de los cuadrados mınimos, obtendrıamos una grafica como laque se muestra en la Figura 4.
Figura 4: Recta de ajuste de los cuadrados mınimos
En el resto de esta unidad nos dedicaremos a discutir los detalles de comodeterminar la recta de mejor ajuste que se ha graficado en la Figura 4. Es-ta es la llamada “recta de regresion”. Esta recta se emplea con frecuenciaen la estadıstica y se caracteriza por minimizar la suma de los cuadradosde las distancias verticales entre la recta y los puntos medidos. Ademas, larecta de regresion nos proporciona la posibilidad de estimar posibles ubica-ciones de puntos que corresponden a medidas no realizadas. Por ejemplo, siquisieramos preguntarnos la longitud aproximada de un lucio con una longi-tud de mandıbula que no aparece en la Tabla 2, podrıamos leer la segundacoordenada del punto de la recta cuya primera coordenada es la longitud demandıbula de interes. Lo mismo podrıamos hacer para la determinacion dela longitud de la mandıbula de un pez cuya longitud no aparece en la Tabla
6
2.
3. El trasfondo matematico
El problema de buscar la recta de mejor ajuste a los datos de la Tabla 2 esuno muy interesante y que requiere el desarrollo de un vocabulario y una no-tacion para poder escribir eficientemente las ideas que discutiremos. Tambiennecesitaremos (ver proxima seccion) recordar algunos datos sobre las parabo-las, especıficamente datos relativos a la determinacion de los maximos o losmınimos de ciertos tipos de parabolas.
3.1. Sucesiones
Supondremos en la discusion que sigue que tenemos una sucesion denumeros a1, a2, · · ·an · · · , es decir, que para cada entero n ≥ 1 tenemos unnumero real asociado an. Dicho de otra manera, lo que tenemos no es otracosa que una funcion a : I → R donde I = {n | n un entero y n > 0} y R re-presenta el conjunto de los numeros reales. La convencion es que una funcioncomo la indicada, es decir, cuyo dominio es I se escribe como (ai)
∞i=1.
Ejemplos 1.
a. Los primeros terminos de la sucesion
(
1
n
)∞
n=1
son
1,1
2,1
3· · ·
b. Los primeros terminos de la sucesion
(2j)∞j=1
son
2, 4, 8, 16 · · · ,
7
y los primeros terminos de la sucesion
(2j−1)∞j=1
son
1, 2, 4, 8, 16 · · · ,
c. Nota que las sucesiones (ai)∞i=1 y (ak)
∞k=1 son una misma sucesion. Esto
dice que siempre es posible hacer cambios juiciosos en los ındices de lassucesiones. Sin embargo, (ak)
∞k=1 y (ak)
∞j=1 podrıan ser sucesiones muy dis-
tintas. Explica por que la segunda sucesion es, en todo caso, una sucesionconstante, es decir, asume un solo valor.
d. Algunas sucesiones estan definidas recursivamente, es decir, un terminodado se define empleando uno o mas de los terminos anteriores. Por ejem-plo,
a1 = 0; a2 = 1
an+1 =1
2(an−1 + an) para todo n ≥ 2. (1)
Dicho en palabras, el valor de un termino es el promedio del valor de losdos terminos anteriores. Los primeros terminos de esta sucesion son:
0, 1,1
2,3
4,7
8,15
16· · ·
¿Puedes describir en palabras lo que parece estar ocurriendo? ¿Puedesver a que numero se acercan los terminos de la sucesion? ¿Por que? Lasrelaciones indicadas en (1) definen la sucesion (an)
∞n=1 inductivamente.
Esta sucesion se puede tambien definir explıcitamente, es decir, sin tenerque emplear los terminos anteriores a un termino dado para especificarsu valor. Puedes verificar que que la sucesion definida en este ejemplo sepuede especificar explıcitamente mediante la relacion:
an =2n−1 − 1
2n−1para todo n ≥ 1.
8
e. (Sucesion de Fibonacci) El matematico italiano Leonardo Fibonacci na-cio en la ciudad de Pisa, Italia en el ano 1170. Fibonacci se conoce porun famoso problema que propuso sobre la reproduccion de una poblacionde conejos. En el problema de Fibonacci se colocan una pareja de conejosrecien nacidos, un macho y una hembra, en una isla y se supone que lapareja de conejos demora un mes en madurar sexualmente, que al alcanzarla madurez sexual tienen una pareja de conejos cada ano, cuya gestaciontoma exactamente un mes, y que cada pareja nacida pasa por el mismoproceso antes de tener descendientes. El problema planteado por Fibo-nacci requiere que se determine el numero de conejos en la isla luego detranscurridos dos anos a partir de la fecha en la que se coloco la primerapareja de conejos en la isla.
Figura 5: Leonardo de Pisa
Si n ≥ 0 es el numero de meses transcurridos desde la colocacion de laprimera pareja de conejos en la isla, entonces la cantidad de conejos al finaldel mes n esta dada por
f0 = 1; f1 = 1;
fn+2 = fn+1 + fn para todo n ≥ 3. (2)
La formula (2) es una formula recursiva y la pregunta de Fibonacci es cuales el valor de f23 (explica por que no es f24). Un resultado hermoso de lamatematica provee una formula explıcita para el calculo de los numeros quecorresponden a un termino arbitrario de la sucesion de Fibonacci. La formula
9
Figura 6: Los conejos de Fibonacci
es la siguiente:
fn =
(
1 +√5
2
)n
−(
1−√5
2
)n
√5
,
para todo n ≥ 1. La cantidad
φ =1 +
√5
2
es la famosa razon dorada, y ademas, se puede verificar que
1−√5
2=
1
φ.
Por lo tanto, la formula anterior se podrıa expresar tambien como
fn =1√5
[
φn + (−1)n+1
(
1
φn
)]
.
3.2. Sumatorias
Lo interesante de las sucesiones es que las podemos emplear para definir sussumas parciales. Si (ak)
∞k=1 es una sucesion, definimos las suma parcial de los
10
primeros N terminos de la sucesion (ak)∞k=1 como
N∑
i=1
ai = a1 + a2 + · · ·+ aN ,
para todo entero N ≥ 1.
Ası pues,
1∑
i=1
ai = a1
2∑
i=1
ai = a1 + a2
3∑
i=1
ai = a1 + a2 + a3, etc.
La notacion de sumatorias1 es muy util para expresar sucintamente muchasrelaciones matematicas. Por ejemplo, la ley distributiva se puede expresarempleando esta notacion mediante la relacion
a ·N∑
i=1
ai =n
∑
i=1
a · ai ;
aquı a es un numero real cualquiera.
Ejemplos 2.
a.∑5
k=1 2k = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 = 62.
b. La expresion
N∑
k=1
ak + b
1o, como tambien se dice, la notacion “sigma ” en alusion a la letra “Σ”, o la letra delalfabeto griego que corresponde a la ese mayuscula (S) del alfabeto latino.
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significa lo mismo que
( N∑
k=1
ak
)
+ b
c. Sin embargo,
N∑
k=1
(ak + b) =
( N∑
k=1
ak
)
+
( N∑
k=1
b
)
=
( N∑
k=1
ak
)
+N · b (¿Por que?).
Por convencion, esta ultima expresion se escribe como
N∑
k=1
(ak + b) =
N∑
k=1
ak +N · b (omitiendo el parentesis). (3)
d. Observa la siguiente formula:
N∑
k=1
(ak + bk) =
N∑
k=1
ak +
N∑
k=1
bk. (4)
¿Por que es (3) un caso especial de (4)?
La notacion sigma tambien admite variantes evidentes, por ejemplo,
q∑
k=p
ak = ap + · · ·+ aq =∑
p≤k≤q
ak (aquı p ≤ q).
Ejercicio 1. Emplea la notacion sigma para escribir las siguientes sumas:
a. 1 + 2 + 3 + · · ·+ 10;
b. 1 + 2 + 3 + · · ·+ 100;
c. 1 + 3 + 5 + · · ·+ 99;
12
Figura 7: Carl Friedrich Gauss
d. 1 + 2 + 4 + 16 + · · ·+ 512;
e. 1 + (1/2) + (1/4) + · · ·+ (1/1024).
Ejercicio 2 (cambio de ındices). Explica el significado de la siguiente formu-la:
(q−p)∑
j=0
aj+p =∑
p≤k≤q
ak (aquı p ≤ q).
Decimos que k = j + p es un “cambio de ındices”.
Ejercicio 3 (inversion del orden de los sumandos).
q∑
j=p
aj =
q−p∑
k=0
aq−k (aquı p ≤ q).
Explica por que este es un caso especial del ejercicio anterior.
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Ejercicio 4. Se cuenta que a la temprana edad siete anos el matematicoGauss empleo la siguiente formula:
100∑
k=1
k = 5, 050.
El razonamiento de Gauss sirve para demostrar mas aun:
N∑
k=1
k =N(N + 1)
2.
para todo entero N ≥ 1. Explica el significado de esta ultima formula,empleala para deducir la relacion descubierta por Gauss a los siete anosy usa la misma para calcular
∑N
i=1000 i.
Ejercicio 5. Considera la formula:
100∑
k=1
k2 =N(N + 1)(2N + 1)
6.
Explica el significado de esta ultima formula y empleala para deducir larelacion
∑10i=1 i
2 = 305. Verifica tu mismo la relacion y emplea la formulasugerida para hallar los valores de
∑100i=1 i
2 y∑1000
i=1 i2 =.
3.3. Valores mınimos de una funcion cuadratica
Como sabes, una funcion cuadratica es una funcion de la forma
f(x) = ax2 + bx+ c,
donde a, b y c son numeros reales. En la Figura 8 se presenta la grafica deuna tal parabola en el caso en que se toma a > 0. Si se tuviese a < 0 entoncesla parabola abrirıa hacia abajo.
Ahora queremos determinar el valor mınimo de la funcion cuadraticaf(x) = ax2 + bx + c en el caso, claro esta, a > 0. El razonamiento es muysencillo como veremos. Escribiendo la relacion en la forma
f(x) = ax2 + bx+ c
= a
(
x2 +b
ax+
b2
4a2
)
+
(
c− b2
4a
)
= a
(
x+b
2a
)2
+
(
c− b2
4a
)
, (5)
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Figura 8: y = 2x2 − 6x+ 1
vemos que
f(x) = a
(
x+b
2a
)2
+
(
c− b2
4a
)
≥ c− b2
4a,
ya que a(x+b/2a)2 ≥ 0 para todo valor real de x. Por consiguiente, podemosconcluir que el valor mas pequeno que puede asumir la funcion y = f(x) esc− b2/4a y que tal valor ocurre cuando el primer termino de (5) es cero, esdecir, cuando x = −b/2a. Este resultado es muy importante y lo honramosde manera especial como un
Teorema 1. la funcion cuadratica
f(x) = ax2 + bx+ c,
donde a, b y c son numeros reales con a > 0 asume su valor mınimo cuando
x = −b/2a. Ademas, su valor mınimo, f(−b/2a), vale
c− b2
4a.
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3.4. La recta de regresion o de mejor ajuste
Antes de comenzar a combinar todo nuestro conocimiento previo sobresumatorias y sobre los valores mınimos de ciertas parabolas queremos plan-tear el problema que queremos considerar. Supondremos que hemos tomadociertas medidas, digamos (x1, y1), · · · , (xn, yn); por ejemplo, en la tabla de laslongitudes de las mandıbulas (xi) y las longitudes (yi) de los lucios moder-nos de la muestra discutida anteriormente, vemos que los valores de i varıandesde el primer valor (i = 1) hasta el ultimo valor (i = 30), es decir nuestrovalor de n es 30. En la Figura 10 hemos representado graficamente los datos(x1, y1) · · · (xn, yn) para un valor de n = 5. Supondremos que la recta de me-jor ajuste2 tiene ecuacion y = mx+ b. Ası pues la distancia vertical entre unpunto de los datos, digamos, (xi, yi), y el punto correspondiente de la recta(xi, mxi + b) se ha representado como di en la grafica (i = 1, · · ·5). Ası pues,la distancia di esta dada por |yi −mxi − bi| para cada ındice i.
Figura 9: Recta de mejor ajuste
Nota que las distancias di se pueden tomar como indicadoras de las des-viaciones de los datos de la recta que proponemos. Ası pues, un criterio
2de acuerdo a ciertos criterios que se indicaran a continuacion
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para hallar la recta de mejor ajuste es el de requerir que la suma totalde las distancias totales
∑n
i=1 di tenga el valor mınimo posible. Sin embar-go, este criterio, a pesar de ser muy sugestivo e intuitivo, presenta algu-nas dificultades de ındole matematica al tratar de deducir las consecuenciasde tal condicion. Sin embargo, para cada ındice i, esta claro que el valordi visto individualmente tendra su valor mınimo si y solo si su cuadradod2i = |yi − mxi − bi|2 = (yi − mxi − bi)
2 tiene el valor mınimo posible.Ası pues, en lugar de tomar este criterio, se tomara como criterio para ladeterminacion de la recta de mejor ajuste aquella para la cual la cantidad
n∑
i=1
(yi −mxi − b)2 (6)
asume su valor mınimo. En otras palabras, deseamos hallar los valores espe-ciales de m y b de suerte que (6) asume el valor mas pequeno posible. A talrecta de mejor ajuste tambien se le conoce como la recta de regresion o larecta de cuadrados mınimos. El valor de m se conoce como el coeficiente de
correlacion de Pearson.
3.4.1. Deduccion de las formulas
Ahora determinaremos las formulas para m y para b asociadas a unarecopilacion de datos (x1, y1), · · · , (xn, yn). Es importante notar que los pro-medios o las medias de los datos medidos habran de tener una importanciaespecial, como veremos, en la siguiente deduccion. Recuerda que los prome-dios de los datos x1, · · · , xn y de el de los datos y1, · · · , yn, en sımbolos x yy respectivamente, estan definidos por las relaciones
x =1
n
n∑
i=1
xi (7)
y =1
n
n∑
i=1
yi. (8)
Claro esta, podemos escribir las relaciones (7) y (8) mediante las relaciones∑n
i=1 xi = nx y∑n
i=1 yi = ny. Ahora te pedimos que observes que cada unode los sumandos en (6) tiene la siguiente expansion:
(yi −mxi − b)2 = y2i +m2x2i + 2mbxi + b2 − 2mxiyi − 2byi
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Sumando estas expresiones sobre todos los posibles ındices i = 1, 2 · · ·n yempleando las propiedades estudiadas sobre las sumatorias, tenemos
∑
ni=1(yi −mxi − b)2
=n
∑
i=1
[y2i +m2x2i + 2mbxi + b2 − 2mxiyi − 2byi]
=
n∑
i=1
y2i +m2
n∑
i=1
x2i +
n∑
i=1
2mbxi +
n∑
i=1
b2 −n
∑
i=1
2mxiyi −n
∑
i=1
2byi
=
( n∑
i=1
x2i
)
m2 +
( n∑
i=1
2bxi −n
∑
i=1
2xiyi
)
m+
( n∑
i=1
y2i −n
∑
i=1
2byi + nb2)
.
La ultima expresion representa la ecuacion de una parabola en la variablem de manera que por el Teorema 1 en la pagina 15, podemos inferir que elvalor mınimo de
∑n
i=1(yi −mxi − b)2 ocurre cuando
m =
∑n
i=1 2xiyi −∑n
i=1 2bxi
2∑n
i=1 x2i
=
∑n
i=1 xiyi − b∑n
i=1 xi∑n
i=1 x2i
=
∑n
i=1 xiyi − bnx∑n
i=1 x2i
Por consiguiente,
( n∑
i=1
x2i
)
m+ (nx)b =n
∑
i=1
xiyi. (9)
18
De manera analoga podemos escribirn
∑
i=1
(yi −mxi−b)2
=n
∑
i=1
[b2 + (2mbxi − 2byi)− 2mxiyi + y2i +m2x2i ]
=
n∑
i=1
b2 +
n∑
i=1
(2mbxi − 2byi)−n
∑
i=1
2mxiyi +
n∑
i=1
y2i +
n∑
i=1
m2x2i
= nb2 + 2mnbx− 2bny − 2mn
∑
i=1
xiyi +n
∑
i=1
y2i
= nb2 + (2mnx− 2ny)b+
( n∑
i=1
y2i − 2mn
∑
i=1
xiyi +n
∑
i=1
m2x2i
)
Lo interesante de la expresion anterior es que representa una parabola en b,de manera que por el Teorema 1 en la pagina 15 podemos inferir que el valormınimo de
∑n
i=1(yi −mxi − b)2 ocurre cuando
b =−(2mnx− 2ny)
2n
=2ny − 2mnx
2n= y −mx.
Por lo tanto,
x ·m+ b = y. (10)
Ası pues, empleando 9 y 10 tenemos un sistema de dos ecuaciones en dosdesconocidas m y b:
( n∑
i=1
x2i
)
m+ (nx)b =
n∑
i=1
xiyi
x·m+ b = y.
En otras palabras, tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dosdesconocidas (m y b), las cuales escribimos como
Am+ (nx)b = C (11)
x ·m+ b = y, (12)
19
donde A =∑n
i=1 x2i y C =
∑n
i=1 xiyi. Como recordaras, hay varios metodospara resolver este sistema. Si multiplicamos la ecuacion (12) por nx y se larestamos a la ecuacion (11) obtenemos la ecuacion:
(A− nx2)m = C − nx y,
es decir,
m =C − nx y
A− nx2 .
Por lo tanto, la formula para la pendiente de la recta de mejor ajuste estadada por:
m =
n∑
i=1
xiyi − nx y
n∑
i=1
x2i − nx 2
. (13)
Desde luego, una vez conocido el valor de m podemos emplear la relacion(12) para hallar el valor de b. Dejamos los detalles al estudiante interesado.
Ejercicio 6. Demuestra que otra expresion para m es la siguiente:
m =
n
n∑
i=1
xiyi −( n∑
i=1
xi
)( n∑
i=1
yi
)
n
n∑
i=1
x2i −
( n∑
i=1
xi
)2.
3.5. Analisis de los datos del pez lucio en el lago mo-derno
Ejercicio 7. Emplea la Tabla dos y una calculadora para demostrar que re-dondeando a dos sitios decimales (µi representa la medida de una mandıbula
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del pez i y λi el largo de el mismo pez (i = 1, · · · 30):
µ = 87.93
λ = 616.83
30∑
k=1
µi = 2638
30∑
k=1
µ2i = 235954
30∑
k=1
λi = 18505
30∑
k=1
λ2i = 1.16× 107
30∑
k=1
µiλi = 1.65× 106.
Ejercicio 8. Demuestra que la recta de regresion esta dada por
λ = 6.26µ+ 66.28.
¿Cual es el coeficiente de correlacion?
Ejercicio 9. Emplea la recta de regresion para predecir las longitudes delos peces cuyas mandıbulas fueron halladas en el yacimiento arqueologico.Completa laTabla 3 y discute los supuestos que harıan de este procedimientouno fiable. Explica las razones que puedas identificar que podrıan hacer deeste procedimiento uno de dudosa validez cientıfica. ¿Sabes de otros animalesde hoy que son, al igual que el Lucio y la cucaracha, fosiles vivientes, es decir,animales con muy poco cambio evolutivo a traves de los siglos?. ¿Puedeshallar alguna evidencia de este fenomeno en el caso del pez Lucio?
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Figura 10: Daatos estadısticos de la recta de cuadrados mınimos
A continuacion presentamos un grafico con los datos estadısticos de larecta de cuadrados mınimos. Tabla 3: Medidas (en mm) de las longi-tudes que corresponderıana las mandıbulas encontradas en el yacimiento arqueologico deacuerdo a la recta de regresion asociadas a los peces del lago mo-derno.
µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ73 32 65 71 66 45 55 5439 60 62 42 86 58 74 6655 63 61 77 79 84 80 4483 83 59 34 73 91 63 7164 69 74 29 88 35 74 7977 89 81 53 48 69 87 6560 38 78 77 73 91 62 5169 52 77 74 72 59 63 5458 87 67 49 48 77
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Ejercicio 10. Dibuja un histograma que ilustre la longitud promedio delos peces modernos que corresponden a mandıbulas pequenas, mandıbulasmedianas y mandıbulas grandes (inventa algun criterio para clasificar lasmandıbulas como pequenas, medianas o grandes). Has lo mismo con em-pleando la recta de cuadrados mınimos hallada en el ejercido anterior paradeterminar las longitudes que tuvieron en vida los peces cuyas mandıbulasfueron halladas en el yacimiento arqueologico. ¿Observas alguna diferencia?¿Que puedes concluir?
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