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RAZÓN ÁUREA: UNA CONEXIÓN

MATEMÁTICA CON LA NATURALEZA.

CATHERIN V. RAMÍREZ BENÍTEZ

JOSE DAVID GARCÍA YEPEZ

SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN

EDGAR JAVIER CARMONA

UNIVERSIDAD DEL QUINDIO

JUNIO DE 2012

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TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN

2. ANTECEDENTES

3. JUSTIFICACIÓN

4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

5. OBJETIVOS

5.1 OBJETIVO GENERAL

5.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS

6. METODOLÓGIA

6.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN

6.2 TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE

DATOS

7. HIPÓTESIS

8. MARCO TEÓRICO

8.1 PRELIMINARES Y DEFINICIONES

8.2 CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA RAZÓN AUREA

8.3 RECTÁNGULO AUREO

8.4 ESPIRAL DE DURERO

8.5 PENTAGONO ESTRELLADO

8.6 RECTÁNGULO √5

9. ALGUNAS APRÓXIMACIONES DE PHI

9.1 SUCESIÓN DE FIBONACCI

9.2 RAZÓN AUREA EN LA NATURALEZA

9.3 RELACIÓN DE LA SUCESIÓN DE FIBONACCI CON LA

NATURALEZA

9.3.1 EL PROBLEMA DE LOS CONEJOS

9.4 LA ESPIRAL DE DURERO EN ALGUNOS SERES VIVOS

9.5 APARICIÓN DEL NÚMERO DE ORO EN DISTINTOS

ASPECTOS.

9.5.1 LA RAZÓN AUREA EN LA MÚSICA

9.5.2 LA RAZÓN AUREA EN EL ARTE

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9.5.2.1 LA RAZÓN AUREA EN LA CERÁMICA

9.5.3 LA RAZÓN AUREA EN EL CUERPO HUMANO

9.5.3.1 LA RAZÓN AUREA EN EL HOMBRE VITRUVIO

9.5.4 LA RAZÓN AUREA EN EL ARTE

9.5.4.1 LA OBRA DE LA ÚLTIMA CENA

9.5.4.2 LA MONA LISA

9.5.4.3 VENUS DE GIORGIONE

9.5.4.4 OBRA DE SEURAT

9.5.5 LA RAZÓN AUREA EN LA ARQUITECTURA

9.5.5.1 EL COLISEO ROMANO

9.5.5.2 EL BUDA

9.5.5.3 EL PARTENÓN

9.5.5.4 EL EDIFICIO DE LAS NACIONES UNIDAS

10. CONCLUSIONES

11. BIBLIOGRAFÍA - WEBGRAFÍA

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RESUMEN

En este trabajo se hará un acercamiento al estudio del numero Phi desde el aspecto

de la geometría y del análisis matemático. Además se mostraran diferentes

contextos en los cuales se pueden encontrar aproximaciones al número Phi,

conocido también como: proporción aurea, numero de oro, número divino, sección

aurea y razón aurea como a lo largo del trabajo seguiremos llamando.

Este numero Phi a estado presente en la Geometría desde la antigüedad, es así

como Euclides en sus elementos lo define como la división de un segmento en

media y extrema razón y a partir de esta relación se puede construir un rectángulo

áureo, como mas adelante se mostrará. Para el análisis matemático varias han sido

las aproximaciones al numero Phi, una de ellas es la Sucesión de Fibonacci que es

la que específicamente trataremos en el trabajo.

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1. INTRODUCCIÓN

Es bien sabido que para una cultura como la nuestra no resulta raro abordar el

tema de la razón aurea, claro esta que distintas miradas se pueden tener de ella

dependiendo el camino de formación académica que se tenga, y puede ser de tipo

filosófico, científico, artístico, estético y matemático, que es desde este ultimo

aspecto como es de esperarse al que se hará mayor énfasis en el desarrollo del

trabajo.

Parece extraño como esta razón aparece en múltiples ocasiones en la naturaleza

como patrón de formación y crecimiento de animales incluido el ser humano y

plantas. También, específicamente en el arte y la arquitectura, el hombre ha

preferido objetos construidos bajo la razón aurea es el caso de construcciones

como: la pirámide de Gizeh, el Paternón y el coliseo Romano, las pirámides

históricas Mexicanas de Teotihuacán, el Tajin y Chichen Itzá y obras artísticas

como el cuadro de Dalí llamado el mito de Leda.

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Así, parece que la naturaleza con cierto aire de misterio sigue un patrón

relacionado con la razón aurea y que como un acto consciente el ser humano usa

objetivamente esta proporción para darle características especiales a sus trabajos.

El desarrollo de la investigación implica un estudio de la razón aurea y de algunas

de sus relaciones matemáticas y geométricas.

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2. ANTECEDENTES

Determinar el origen preciso de la razón aurea es complejo. Por lo general, la

aparición de esta se sitúa en Alemania, en el siglo XIX, encontrándose como

diversos personajes que van desde matemáticos como es de esperarse hasta artistas

lo han tratado. La razón aurea, es una proporción determinante a la hora de

intentar encontrar una explicación matemática a la belleza, de simplificar ésta a un

número o por que no a una formula.

En términos generales podemos decir que de esta razón se hablaba desde tiempos

antiguos, los egipcios la descubrieron buscando medidas que les permitieran

dividir sus tierras de forma exacta. De Egipto paso a Grecia y de allí a Roma.

Pitágoras (569 a.C) escogió para su escuela la estrella pentagonal, figura geométrica

que muestra en todas sus relaciones la razón aurea. Platón (347 a.C) por su parte,

hace referencia a ella en su obra Timeo y argumente que “es imposible combinar

bien dos cosas sin una tercera, hace falta un ligazón entre ellas que las ensamble”...

Euclides (380 a.C) en su obra principal Los Elementos, extenso tratado de

matemáticas sobre geometría, proporciones y propiedades de los números entre

otros, muestra quizás la primera fuente documental sobre la razón aurea, así como

su cálculo y trazado geométrico.

Mucho tiempo después, hacia el (1445- 1514) el monje Luca Pacioli escribe su

tratado más representativo sobre la divina proporción. En la misma época artistas

como Leonardo Da Vinci (1452-1519) y Durero hicieron una relación de número

áureo y las proporciones humanas y destacaron la armonía que presentaban las

obras creadas bajo la razón aurea. Así también Kepler (1517-1630) se refiere a la

razón aurea “...en la geometría podemos encontrar dos tesoros... uno es el teorema

de Pitágoras y otro la división proporcional...”

Después de un largo periodo en el que cayo en el olvido esta regla divina, hacia el

siglo XIX con el Alemán Zeysing retoma el concepto en su obra, dice: “Para que un

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todo dividido en partes desiguales, parezca hermoso, desde el punto de vista de la

forma, debe haber entre la parte menor y la mayor, la misma razón que entre la

mayor y el todo”. A partir de este siglo en el que pintores y artistas volvieron a

buscar la belleza en el arte por medio de la utilización de la razón aurea.

En la actualidad se puede encontrar el uso de la razón aurea en la ingeniería, el

arte, el diseño y hasta en la medicina en mayor escala, buscando siempre imprimir

a sus trabajos cierta aproximación a la belleza, armonía y equilibrio.

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3. JUSTIFICACIÓN

Los griegos entre otras cosas utilizaban relaciones entre los números para buscar

con ellos proporciones armoniosas en las esculturas humanas. A estas proporciones

ideales las llamaban canon. Uno de los primeros cánones fue el del escultor griego

Lisipo que consideraba que la estatura completa de un hombre era de ocho

cabezas: la cabeza más el cuerpo que debía medir siete cabezas. Lo que eso

demuestra es que desde tiempos históricos el estudio de las proporciones tuvo gran

relevancia, que hoy, aun no se dimensiona y que se prefiere relevar de forma

inexplicable de los programas académicos. El trabajo de investigación tiene su

interés en el sentido de que muestra un numero “” que debería competir en

popularidad y aplicaciones con otros números como “” o “e“, una prueba o

comprobación para todos aquellos incluso para los escépticos que tildan a las

matemáticas de ser frías y planas.

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4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Definir o precisar lo que es belleza es difícil pero su relación esta ligada a los

principios de armonía y buen orden. Crear algo bello de alguna manera implica

una representación perfecta, esta en la naturaleza, en lo artístico; música, pintura,

arquitectura…

La presente investigación pretende exponer como, para los que tildan a las

matemáticas de ser frías y planas, y de enmarcarlas en un ambiente aislado, cómo

un sorprendente numero de connotaciones misteriosas… uno de los que esta

contenido en las mas bellas y variadas creaciones de la naturaleza.

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5. OBJETIVOS

5.1. OBJETIVO GENERAL:

Demostrar la relación de la naturaleza con el mundo de los números

mediante la razón aurea.

5.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Identificar la aparición de la razón aurea en diferentes campos del saber.

Realizar un análisis matemático de la razón aurea.

Conocer los estudios y aplicaciones que se han realizado acerca la razón

aurea.

Identificar los personajes que a lo largo de la historia han abordado la razón

aurea.

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6. METODOLOGÍA

6.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN

La investigación está ubicada dentro de la metodología de investigación

documental, apoyándonos en documentos obtenidos a través de fuentes

bibliográficas e información relevante obtenida desde páginas en internet.

6.2 TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS

En función del logro de los objetivos de este estudio, se emplearon instrumentos y

técnicas orientadas a obtener información o datos a través de la siguiente técnica:

• Revisión Documenta

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6. HIPÓTESIS

La razón aurea y las aproximaciones al numero de oro se encuentra directamente

relacionado con la formación proporcional o crecimiento de los seres vivos,

también esta inmerso en creaciones artísticas, arquitectónicas, en si existe una

proporción que resulta estética en toda la naturaleza.

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7. MARCO TEÓRICO

7.1 PRELIMINARES Y DEFINICIONES

La razón aurea puede entenderse haciendo el siguiente análisis: sea AB un

segmento que a su vez se corta en dos segmentos desiguales, que puede

interpretarse como: el segmento FB es al segmento AF como el segmento AF es a la

totalidad entonces al segmento AB (Fig. 1).

A F B

Se verifica entonces la proporción

AF / FB = AB / AF o mejor escrito AF/ FB = (AF+FB)/AF.

Si hacemos: AF = x

FB = 1

Tenemos entonces una ecuación de segundo grado, así: eligiendo la solución

positiva tenemos que:

X =

Este es el número de oro, que se designa con la letra griega (phi), que

corresponde a un número irracional.

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7.2 CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA RAZON AUREA

En la construcción geométrica del número de oro se inicia con el

segmento de mayor longitud AB para construir un segmento menor BC tal que

(Fig. 1).

Fig. 2

7.3 RECTÁNGULO AUREO:

Es un rectángulo en el que la razón entre el lado de mayor longitud y el de menor

longitud es igual a = 1, 618... .Una propiedad de este rectángulo es que al

construir un cuadrado sobre el lado de menor longitud, el rectángulo BCDE que

queda después de la construcción también es un rectángulo áureo semejante al

inicial como se muestra en la Figura 3. Este proceso se puede realizar

indefinidamente y los rectángulos formados van a conservar esta propiedad.

Además las superficies de los cuadrados y las superficies de los rectángulos forman

una progresión geométrica cuya razón es Fig. 4.

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Fig. 3 Rectángulos áureos Fig. 4 Rectángulos áureos

ACDF Y BCDE

7.4 ESPIRAL DE DURERO:

Alberto Durero (1471-1528), matemático y pintor publica en 1525 una obra titulada

“instrucción sobre la medida con regla y compas de figuras planas y solidas. En esta

obra se muestra como trazar con regla y compas algunas espirales entre ellas la

espiral gnómica que esta basada en el número de oro o mejor en los rectángulos

áureos y se conoce como la espiral de Durero (fig. 5)

Fig. 5: espiral de Durero y triángulos de oro.

7.5 PENTÁGONO ESTRELLADO:

Se forma uniendo de dos en dos los vértices del pentágono regular, obtenemos el

pentágono estrellado, también llamada estrella de cinco puntas, pentagrama,

rectángulo o pentalfa; símbolo de la antigua Escuela Griega de Matemáticas,

fundada por Pitágoras. Fig 6 Pentagrama en la escuela pitagórica.

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7.6 RECTANGULO √5:

Si se hace la construcción del rectángulo áureo hacia los dos lados de un

cuadrado, el área total del rectángulo es √5, es decir, sus lados están en proporción

1 a √5 como se muestra en la parte superior de la Figura 2.

Fig. 3: rectángulo √5

8. ALGUNAS APROXIMACIONES AL VALOR DE PHI

a. SUCESIÓN DE FIBONACCI:

Leonardo Fibonacci, nace en Pisa en torno al 1170 y muere en el 1240

presumiblemente en el mismo lugar. Viajó por Egipto, Siria, Grecia y Sicilia; en

donde conoció la matemática empleada en estas regiones. De todas sus obras, la

más conocida Líber abacci (1228), es un compendio de todos los conocimientos de

aritmética y álgebra que adquirió en sus viajes y que han tenido una función

fundamental en el desarrollo de la matemática en Europa Occidental y en

particular en la numeración indo-arábiga, que remplazó a la latina y fue conocida

en Europa a través de este libro.

Pero lo que ha recordado desde entonces a este matemático italiano, ha sido una

sucesión de números a la que se le ha dado el nombre de Serie de Fibonacci.

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La sucesión de Fibonacci inicia con el 1, y cada término siguiente es la suma de los

dos anteriores así:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...,

8.2 LA RAZON AUREA EN LA NATURALEZA:

En esta sección se mostraran algunos ejemplos en los que aparece la razón aurea.

Se empezara con la sucesión de Fibonacci y su relación con la naturaleza, luego la

espiral de Durero en algunos organismos vivos, después se hará un análisis de las

proporciones del cuerpo humano, en la música, arte, arquitectura.

8.3 RELACION DE LA SUCESIÓN DE FIBONACCI CON LA

NATURALEZA

8.3.1 EL PROBLEMA DE LOS CONEJOS:

El problema de los conejos fue propuesto en el año de 1202 y lo resolvió Fibonacci,

este problema se enfoca en la cantidad de parejas de conejos que nacen generación

tras generación, es decir, la cantidad de parejas de conejos que habrá en una granja

luego de trascurrido un año, teniendo en cuenta lo siguiente (fig. 6):

Fig. 6 Problema de los conejos.

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- Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes, es decir

cada pareja al mes tiene una pareja de conejos.

- El periodo de gestación de los conejos es de un mes.

- Los conejos no mueren.

- La hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos opuestos.

Fig. 7

De la figura 7 se puede notar que cada mes, el número de parejas es la suma de los

dos meses anteriores, (formula recurrente)

La sucesión de los números de parejas de conejos es la sucesión de Fibonacci.

8.4 LA ESPIRAL DE DURERO EN ALGUNOS SERES VIVOS

La forma de la espiral de Durero aparece en muchas conchas de moluscos como la

del Nautilus Pompilius de la figura 8. Este molusco existe en los mares de filipinas.

Fig. 8. Concha molusco

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Formas espirales en las superficies de conos de pino que da lugar a los

números de Fibonacci.

8.5 APARICION DEL NUMERO DE ORO EN DISTINTOS ASPECTOS

8.5.1 LA RAZON AUREA EN LA MUSICA:

Desde la antigüedad la escuela pitagórica siempre se preocupo por explicar

cualquier fenómeno y en si la naturaleza por medio de números. Su interés por la

música no fue la excepción, la enmarcaban en el concepto de armonía, que significa

proporción de las partes de un todo. Pitágoras descubrió la resonancia de la

cuerda tensa y estableció relaciones de los sonidos que relacionaba con los números

enteros. Lo que se dice es que, Pitágoras descubrió la armonía al escuchar el

sonido de los martillos producidos por un herrero. El peso de estos martillos se

correspondía con los números 12, 9, 8, 8, 6 el peso de cuarto martillo daría el tono,

y el del primer martillo que era el doble menor, daba la octava. El peso de los otros

dos, que son la media aritmética y armónica de los dos anteriores daría la quinta y

la cuarta.

Ya que los Pitagóricos llevaban como símbolo de su escuela al pentagrama hace

pensar que estos conocían las propiedades y características armónicas de esta

figura y por tanto la razón aurea.

En un teclado de un piano por ejemplo, se tiene que este tiene proporciones

armoniosas y áureas; se tiene 5 teclas negras, 8 teclas blancas y están en grupos de

2 y 3. La serie 2/3/5/8 es el inicio de la serie de Fibonacci y las proporciones de

todos estos números giran en torno a la razón aurea, tal como esta en la figura 3

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Así también, los que conocen de música aseguran y sustentan que en muchas de

las obras de Bela Bartok (1908) existen movimientos pentatónicos relacionados

con el sonido.

Fig. 3: Armonías musicales en el piano

Proporción aurea y sucesión de

Fibonacci en composiciones de Bartok.

8.5.2 LA RAZON AUREA EN EL ARTE

El número de oro aparece en los más inimaginables elementos, de formación

natural o por creaciones del ser humano. A continuación se hará una descripción

de los ambientes y muestras más representativas donde aparece el numero de oro.

8.5.2.1 EN LA CERÁMICA:

La obra de cerámica mostrada en la figura se puede inscribir en dos conjuntos de

rectángulos áureos que rotan conjuntamente alrededor del eje longitudinal de la

vasija. Los rectángulos áureos más pequeños contienen los hombros, la cabeza y

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las asas. Mientras que los rectángulos áureos con mayor área contienen la parte

más voluminosa. Por otra parte, la razón entre el ancho de la abertura y la altura

total es el número; esta cratera corresponde a una obra de finales de la edad de

bronce.

8.5.3 EN EL CUERPO HUMANO

8.5.3.1 EL HOMBRE DE VITRUVIO:

El hombre de Vitruvio de Leonardo Da Vinci mostrado en la Figura 2 recoge

algunas ideas claves del pensamiento renacentista. En esta imagen aparece un

hombre inscrito en un cuadrado y en un círculo, e intenta mostrar las proporciones

áureas que hay en un cuerpo humano.

Consideremos en él algunos aspectos:

1. h es la altura total y a es la altura del ombligo, medida desde la planta de los

pies, o también la longitud desde la parte mas alta de la cabeza hasta la

punta de los dedos de las manos, medida con los brazos estirados y pegados

al cuerpo.

2. b es la distancia desde la parte superior de la cabeza al codo, y b es la

sección aurea de a.

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3. c es la longitud desde el codo hasta la punta de los dedos, y también el

ancho de hombros. d, que es la sección aurea de c, es la longitud desde el

codo hasta el comienzo de la mano en la muñeca, y también el ancho de la

cintura.

4. e es la distancia entre el ombligo y la rodilla, y su sección aurea f , es la

distancia desde la rodilla a la planta de los pies.

Los rostros de alguna manera considerados bellos también poseen diferentes

relaciones áureas, La Figura 1 muestra un rostro relajado, con una sonrisa

natural, los puntos formados por las pupilas y los extremos de la boca determinan

un cuadrado, cuyo lado, h, coincide con la altura de la oreja.

La sección aurea de h, a, es el ancho de nariz, distancia entre cejas, distancia entre

ojos, distancia entre el extremo de la boca y la barbilla. La sección aurea de a, b , es

la distancia entre orificios nasales y también la longitud del ojo. La sección aurea de

b, c, es la distancia entre nariz y boca y también el ancho del ojo.

La longitud total de la cara y el ancho total de la cara están en la proporción aurea;

es decir, el rostro se puede inscribir en un rectángulo áureo.

Fig. 2

Fig. 1

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8.5.4 LA RAZON AUREA EN EL ARTE

8.5.4.1 LA OBRA DE LA ULTIMA CENA:

El artista italiano del Renacimiento Leonardo da Vinci (1452-1519), considero la

razón aurea en muchas obras, una de ellas La ultima cena, que aun se conserva. En

ella el rectángulo 5 se centra en el Cristo; además su traza determina otro

cuadrado central que esta en proporción aurea con las longitudes sobrantes a los

lados. En el cuadrado central, se inscribe un cuadrado mas pequeño donde se

pueden encontrar 4 rectángulos áureos y a su vez la imagen de Cristo se inscribe en

otro rectángulo áureo delimitado por la ventana del fondo como se puede ver en la

Figura 4.5.

8.5.4.2 LA MONA LISA

La aplicación más directa que hace de estas proporciones la encontramos en La

Gioconda (fig. 1) donde la relación áurea la encontramos en las proporciones del

cuadro, en las dimensiones del rostro, en el espacio que hay entre el cuello y la

mano y en el que hay entre el escote del vestido y el final de la mano.

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(fig. 1)

8.5.4.3 VENUS DE GIORGIONE:

De Giorgione destacamos su Venus (fig.2). La relación 9/12/16 está aquí tomada

hacia la izquierda y hacia la derecha sobre cada lado del lienzo, como ya hizo

Mantegna sobre el Parnaso. Centrado en este arco se encuentra el arco sobre el que

reposa Venus, división que en otro sentido, establece la horizontal del paisaje.

(fig. 2)

8.5.4.4 OBRA DE SEURAT:

En la figura 1 se muestra la obra Le Chahut del artista francés Georges Seurat,

iniciador de una corriente artística denominada el neoimpresionismo, realizada en

el _ultimo tercio del siglo XIX. En esta obra se considera en primer lugar los dos

ejes AB y CD que dividen la tela simétricamente vertical y horizontalmente; a

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continuación, las divisiones según la sección aurea: EF, GH, IJ y KL; las líneas de

los rectángulos secundarios ST, UV, MN, OP.

Finalmente, las diagonales GJ, AL, 1L, CH, que dan las inclinaciones de las cabezas

de los bailarines, del movimiento de las piernas, y la dirección del mástil del

contrabajo.

fig. 1

8.5.5 LA RAZON AUREA EN LA ARQUITECTURA Y ESCULTURA

8.5.5.1 EL COLISEO ROMANO:

Fue terminado por Domiciano en el año 82 d. C. La estructura del Coliseo tiene 48

metros de alto, 188 m. de largo y 156 m. De ancho. El estudio proporcional del

Coliseo muestra que el plano se encuadra en dos rectángulos áureos y que el ancho

de la elipse gigante que forma la pared exterior se relaciona con el ancho de la

arena central en la proporción de 5 generada por dos rectángulos áureos

recíprocos como se muestra en la Figura.

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8.5.5.2 EL BUDA:

En el canon tibetano de Buda mostrado en la figura se puede encuadrar en 3

rectángulos áureos, uno dentro del otro. El rectángulo de mayor área encierra toda

la figura, desde el punto superior de la cabeza hasta la base, incluyendo las rodillas;

el rectángulo que le sigue en área al mayor, se extiende desde la parte superior de la

cabeza hasta las piernas, tocando la mano derecha y el codo; y el rectángulo de

menor área encierra la cabeza. Aparecen también dos triángulos que van desde el

mentón hasta las piernas y dibujan un pentágono central y dentro de el una estrella

pentagonal, los vértices del pentágono coinciden con el mentón, la cintura y las

axilas.

8.5.5.3 EL PARTENÓN:

El Partenón de Atenas es un templo construido en el siglo V a. C.; según Matila

Ghyka, J. Hambridge curador de Antigüedades griegas del Museo de Boston realizo

una análisis de la simetría dinámica" de la fachada de este templo, la cual se puede

encuadrar en un rectángulo áureo, en este rectángulo se marcan las principales

proporciones por medio de cuatro diagonales. En la figura, se ilustra la forma en la

que este procedimiento puede ser llevado a cabo.

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8.5.5.4 VEL EDIFICIO DE LAS NACIONES UNIDAS:

El edificio de la ONU, de líneas muy simples, es un gran prisma. Esta la fachada,

que a menudo nos muestran los medios de comunicación, es un enorme rectángulo

Áureo que se explico en la primera sección.

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9. CONCLUSIÓN

En resumen podemos enunciar algunas conclusiones relevantes. De acuerdo al

planteamiento inicial de la investigación, en relación a lo expuesto y argumentado

a lo largo del mismo, los objetivos pactados para una investigación de estas

características se han conseguido; entre otras:

9.1 La razón aurea esta presente en los mas diversos ámbitos: música, arte,

arquitectura, escultura; en los patrones de crecimiento de plantas y

animales, incluso el hombre.

9.2 La razón aurea representa por tanto una fuente inagotable de relaciones que

existe a nuestro alrededor y de las cuales muchas veces no estamos

conscientes.

9.3 Es sorprendente que características como: belleza, armonía y equilibrio sean

impresas en cualquier elemento que tenga el numero áureo.

9.4 A lo largo de la historia han sido muchos los matemáticos, artistas y

escultores que en sus distintas labores tal vez como un acto inconsciente se

han encontrado el número de oro.

9.5 El numero de oro, como una expresión irracional de numerosas propiedades

geométricas, aritméticas y algebraicas.

9.6 La belleza matemática de parece transmitirse a toda obra que lo contenga,

convirtiéndolo en un generador por excelencia de belleza.

En síntesis se puede considerar que lo expuesto en este trabajo de investigación

sirve como argumento en contra de todo escéptico que señale a las matemáticas

como una ciencia fría y sin uso real.

Así también, se muestra un tema matemático que un docente no tiene en cuenta en

el planeamiento de actividades, y que puede servir como apoyo a temas más

generales como las magnitudes directa e inversamente proporcionales.

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10. BIBLIOGRAFÍA – WEBGRAFÍA

a. C. Bonell, La divina proporción, las formas geométricas, Univ.

Politecnica de Cataluña, Barcelona, 2000.

b. M. Livio, La proporción aurea; la historia de phi, Ariel S.A.,

Barcelona, 2002.

c. FUBINI, Enrico: La estética musical desde la antigüedad hasta el

S.XX, Ed. Alianza, Madrid, 2ª edición.

d. Existen una gran cantidad de páginas web que profundizan en la

razón aurea. Las que a continuación se relacionan algunas fueron

muy importantes para la elaboración del trabajo y de las demás

obtuvimos imágenes:

i. http://berchet.enet.it/ricerche/sezioneaurea/sez5.htm

ii. http://www.arquitectum.edu.mx/bibliografia/biblio-EH.html

iii. http://www.enigma-tico.com/fibonacci.html

iv. http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib

.html

v. http://www.cnice.mecd.es/recursos/secundaria/matematicas/

phi/index.htm

vi. http://goldennumber.net/classic/history.htm