Antecedentes Desde a Antigüidade, os artistas ocupáronse de

atopar unha razón que producira unha forma ideal para figuras e estructuras.

Un exemplo "simple" de proporción numérica aplicada á arte é o canon de Policleto, escultor grego do s. V a. C.  Na súa estatua "Doríforo" ("o que porta a lanza") amosa que o corpo humano perfecto foi creado de tal xeito que a súa altura é oito veces a cabeza. Esta é unha proporción conmensurable, é dicir, que emprega números enteiros

O Doríforo de Policleto (s. V a.C.). Museo Nacional, Nápoles.

Con todo, os grandes logros artísticos da Grecia clásica teñen que ver coa utilización de proporcións inconmensurables: aquelas que se expresan mediante números irracionais.

Existirá algunha regra fixa que sinale unha proporción ideal entre os elementos que integran a obra artística? Si. Descubrírona e aplicárona os artistas desde a máis remota antigüidade; fixárona os gregos en fórmula matemática, e non foi regra arbitraria establecida ó azar, senón froito dun constante estudio da natureza.

Viron, en efecto, que na natureza, e na mesma figura humana, se daba esta proporción de liñas constante, polo que aseguraban que esta era obra da divinidade ó dar o ser ás criaturas.

Os egipcios xa coñecían esta proporción mediante análise e observación; e empregárona na arquitectura da pirámide de Keops (2600 a.C.)

Esta proporción pasou de Exipto a Grecia, e de alí a Roma.

Sección Áurea - Regra de Ouro

A sección áurea foi usada por filósofos, científicos e artistas que remataron por chamala, no Renacimiento, proporción divina.

Coñecida como a regra de ouro, esta razón consiste nunha liña dividida en dúas partes tal que a liña curta teña a mesma proporción coa liña longa que mantén a liña longa coa liña orixinal.

A construcción xeométrica para atopar o número de ouro é sinxela e verémola a seguir.

Abondará con dividir un segmento calquera en dúas partes, a e b, de xeito que a razón entre a totalidade do segmento e a parte a sexa igual á razón entre a parte a e a parte b .

Expresado matematicamente:

Onde:

Logo, podemos despexar a en virtude da fórmula xeral das ecuacións de 2º grao, tendo en conta que a > 0 :

Finalmente, dividindo todo por b obtemos:

O número de Ouro A este número inconmensurable chámaselle

número de ouro ou razón áurea. Represéntase polo símbolo e o seu valor é, aproximadamente, 1,61803...

O símbolo para a razón áurea foi proposto polo matemático estadounidense Mark Barr. A letra foi elixida como homenaxe ó escultor grego Fidias (s.V a. C) que adoitaba usar a razón áurea nas súas esculturas.

Φ

Φ

O nome de "número de ouro" débese a Leonardo da Vinci.

Os gregos obtiveron este número ó topar la relación entre a diagonal do pentágono regular e o seu lado. Isto fai posible construír un pentágono regular usando regra e compás.

...61803,1251 =+=

ABAC

Ó trazar as diagonais dun pentágono regular resulta a estrela pentagonal, pentáculo ou estrela de Italia: era o símbolo da escola pitagórica e servía ós seus membros para recoñecerse entre si.

Tamén se atopa a razón áurea nunha figura de resonancias míticas e relixiosas: o pentágono estrelado. Se observamos a seguinte figura, é evidente que as diagonais do pentágono que dan lugar á estrela se cortan na sección áurea. O pentágono, asemade, é a base para construír o corpo sólido perfecto, o dodecaedro. Platón, no Timeo, afirma que o dodecaedro é a materia da que está feita o elemento perfecto, o éter, e simboliza ademais a perfección do Universo.

Dodecaedro

A razón áurea atópase en todo tipo de manifestacións artísticas. Desde Mesopotamia, Exipto e Grecia, ata os nosos días. Foi estudiada por Pitágoras, Euclides e Vitrubio. No Renacemento investigárona Uccello, Della Francesca, Paccioli e Alberti. Miguel Anxo, Rafael, Leonardo e Durero empregárona con moita frecuencia, e mesmo pintores modernos, como Mondrian, manéxana a cotío. Úsase igualmente, desde tempos remotos, na escultura e na arquitectura.

Presencia de en el Arte

No “home ideal" de Leonardo, o cociente entre o lado do cadrado e o radio da circunferencia que ten por centro o embigo, é o número de ouro.

O home de Vitrubio

de Leonardo da Vinci

Φ

Leonardo da Vinci estudiou en profundidade a aparición da razón áurea no corpo humano.

Se queres comprobalo, podes medir desde o teu ombro ata a punta dos dedos da man estirada. O resultado divídelo pola medida desde o cóbado ata a punta estirada dos dedos. Canto cres que vale esta proporción?

Φ Naturalmente, o seu valor é . Intenta facer o mismo coa medida

desde a cadeira ó chan, dividíndoa entre a medida desde o xeonllo ó chan.

Tamén podes probar a dividir a túa altura total pola medida resultante desde o teu embigo ó chan. Todos estes estudios de Leonardo son froito de concienzudas medidas e traballos sobre cadáveres que desenterraba.

Existen relacións baseadas na razón áurea nalgunhas das máis célebres estatuas gregas, como o Hermes de Praxíteles (390-330 a. C.).

Hermes con Dioniso neno

Aparece na Venus de Milo. En España, na Alhambra, en edificios renacentistas como O Escorial ... e na propia Natureza, nas espirais das cunchas de certos moluscos.

Venus de Milo

Museo do Louvre, París

O cadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza séculos de tradición matemática e simbólica, especialmente pitagórica. Trátase dunha filigrana baseada na proporción áurea, pero elaborada de tal xeito que non é evidente para o espectador. No boceto de 1947 advírtese a meticulosidade da análise xeométrica realizada por Dalí, fundada no pentáculo místico pitagórico.

Leda atómica de Salvador Dalí

Os gregos tamén a empregaron nas súas construccións, especialmente no Partenón. A súa fachada está edificada sobre rectángulos áureos.

Partenón de Atenas

Na natureza aparece a proporción áurea tamén no crecemento das plantas, as piñas, a distribución das follas, dimensións de insectos e paxaros, e a formación de caracois.

Presencia de na NaturezaΦ

 

O número áureo na música En varias sonatas para piano de Mozart, a

proporción entre o desenvolvemento do tema e a súa introducción é a máis próxima posible á razón áurea. Intuición?

Tampouco se sabe se foi consciente, mais na súa Quinta Sinfonía, Beethoven distribúe o famoso tema seguindo a razón áurea. 

A matemática é a ciencia da orde e a medida René Descartes

AUTOR: Yoisell Rodríguez TRADUCCIÓN E ADAPTACIÓN: Alfonso Blanco