La razón áureaEl número de

oroPor :Vicente Baranda Cantalapiedra

Nivel: 3º de E.S.O.

En ésta presentación podrás ver:El rectángulo áureoEl número de oroCómo construir un rectángulo áureoCómo obtener el número de oroLa espiral de Durero Cómo construir la espiral de DureroEl número áureo en el pentáculoEl número de oro en el arte, la arquitectura, lanaturaleza…Test de autoevaluaciónPractica lo aprendido

Una de las figuras geométricas más presentes en nuestra vida son los rectángulos

• La pizarra de tu aula es rectangular

• La puerta de tu habitación es rectangular

• La pantalla del televisor es rectangular

Pero resulta que hay algunos rectángulos que tienen una curiosa propiedad. Veamos cuál es

El rectángulo áureo Un rectángulo áureo tiene la siguiente propiedad: Si se dibuja en él, el mayor cuadrado posible y se recorta el rectángulo obtenido, el primer rectángulo y el segundo tiene los lados proporcionales , es decir ,tienen la misma forma. OBSERVA LA SIGUIENTE ANIMACIÓN

a

b

c

d

Estos dos rectángulos tienen los lados proporcionales

c

b

d

a

Repetir animación

El rectángulo áureo Un rectángulo áureo tiene la siguiente propiedad: Si se dibuja en él, el mayor cuadrado posible y se recorta el rectángulo obtenido, el primer rectángulo y el segundo tiene los lados proporcionales , es decir ,tienen la misma forma.

a

b

c

d

Estos dos rectángulos tienen los lados proporcionales

c

b

d

a

Veamos que ésto no ocurre con cualquier rectángulo

Estos dos rectángulos tiene la misma altura pero distinta base, por tanto no son proporcionales

El número de oro

• Si en un rectángulo áureo dividimos la longitud del lado largo entre la longitud del lado corto nos da el número de oro

a

b...6180339,1

b

a

Como construir un rectángulo áureo

Dibuja un cuadrado y desde el punto medio de la base traza un segmento hasta el vértice D

Aquí tienes tu rectángulo áureo

D

M

Con centro en M, traza un arco de circunferencia y prolonga la base del cuadrado. La altura del rectángulo es la misma que la del cuadrado

El número de oro se obtiene de una manera sencilla partiendo de un cuadrado de lado 2 u.m. y construyendo el rectángulo áureo

Partimos de un cuadrado de lado 2 u.m., con lo que el segmento desde el punto medio de la base hasta D mide , aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo

D

M

2

La base del rectángulo es por tanto 1+ y la altura 2 2

55

1

5

5

Si en el un rectángulo áureo dividimos la longitud del lado largo entre la longitud del lado corto nos da el número de oro

1+

...6180339,12

51

Comprueba que si partes de un cuadrado de lado 1 u.m., la base del rectángulo mide exactamente u.m.

5

1

La espiral de DureroEn 1525, tres años antes de morir, el genial pintor renacentista y gran enamorado de las Matemáticas, Alberto Durero (1471-1528) publica una obra titulada Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas. Es un precioso libro en el que pretende enseñar a los artistas, pintores y matemáticos de la época diversos métodos para trazar diversas figuras geométricas.En esta obra Durero muestra cómo trazar con regla y compás algunas espirales y entre ellas una que pasará a la historia con su nombre: la Espiral de Durero.En la siguiente diapositiva aprenderemos a trazar ésta espiral

Cómo construir la espiral de Durero

Repetir animación

Simplemente se trata de construir una sucesión de rectángulos áureos y unir los vértices diagonalmente opuestos de los cuadrados

Cómo construir la espiral de Durero

El número áureo en el pentáculo

Existe la relación del número áureo también en el pentáculo, un símbolo pagano,que adoptaron los Pitagóricos, más tarde acogido por la iglesia católica para representar a la Virgen María, y también por Leonardo da Vinci para asentar en él al Hombre de Vitruvio.(Aparece en la portada)Gráficamente el número áureo es la relación entre el lado del pentágono regular y la recta que une dos vértices no consecutivos de éste. Si se toma como unidad un lado del pentágono cuyas diagonales forman la estrella, cualquier línea que marca los brazos de la estrella mide Φ.

1

El número de oro en el arte, la arquitectura, la naturaleza…

El número de oro aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, etc..

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.

En la Gran Pirámide de Keops, aparece varias veces el número áureo, una de ellas es que el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es igual a 2 veces el número de oro

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción  de Luca Pacioli editado en 1509. Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia.. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.

En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas.Aquí tienes la espiral de Durero  

Y tú llevas un rectángulo áureo en tu cartera

En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea. ¿Intuición? Tampoco se sabe si fue consciente de ello, pero en su Quinta Sinfonía  Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la sección áurea .

Test de autoevaluación

1) El número áureo es un número:

a) Natural

b) Decimal periódico

c) Irracional

2) Si construimos una sucesión de rectángulos áureos podemos trazar

a) La espiral de Durero

b) La estrella pitagórica

3) ¿En qué importante edificio que sale en esta presentación aparece el rectángulo áureo?

a) El partenón

b) La pirámide de Keops

Test de autoevaluación

4) En las proporciones armoniosas del cuerpo humano que plasmó Leonardo Da Vinci se cumple:

a) La razón entre la altura del hombre y la distancia de la base al ombligo es el número de oro

b) La razón entre el radio de la circunferencia y la distancia de la base al ombligo es el número de oro

5) En esta presentación se ponen dos ejemplos de compositores que utilizaron la razón áurea en sus composiciones:

a) Mozart y Verdi

b) Bethoven y Vivaldi

c) Mozart y Bethoven

Practica lo aprendidoRealiza los siguiente ejercicos en tu cuaderno de trabajo.

1. Dibuja un cuadrado de 1 dm de longitud y a partir del mismo construye un rectángulo áureo.

2. En el rectángulo anterior demuestra que la base del mismo es exactamente el número áureo

3. Traza una sucesión de rectángulos áureos y la espiral de Durero

4. Dibuja un pentágono regular de lado 1 dm. ¿Qué segmento mide Φ dm.?. Traza una sucesión de pentáculos a partir de los sucesivos pentágonos?

5.Comprueba que tú D.N.I. es un rectángulo áureo