RAZ.MATEMÁTICO DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.

MAGNITUDES PROPORCIONALES MAGNITUD Es todo aquello que experimenta cambios el cual puede ser medido o cuantificado CANTIDAD Es un estado particular de la magnitud, el cual resulta de medirla o cuantificarla, expresado en ciertas unidades de medida. Ejemplo:

MAGNITUD CANTIDAD

Peso Temperatura Longitud

60 kg 35 °C 20 m

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente entre sus valores correspondientes es siempre constante. Ejemplo: Para un móvil, se tiene:

Espacio (km) 40 60 80 120

Tiempo (h) 2 3 4 6

Como:

2

40 =

3

60 =

4

80 =

6

120 = 20 = cte

Luego: (Espacio) D.P (Tiempo)

En general: Sean las magnitudes A y B

A a1 a2 a3

B b1 b2 b3

GRAFICAMENTE:

1

1

b

a=

2

2

b

a=

3

3

b

a=K

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto entre sus valores correspondientes es siempre constante. Ejemplo: Para realizar una obra, se tiene:

Obreros 4 6 8 12

Días 30 20 15 10

Como: 4.30 =6.20 = 8.15 =12.10=120= Cte. Luego: (Obreros) I.P (Días)

En general: Sean las magnitudes A y B

A a1 a2 a3

B b1 b2 b3

GRAFICAMENTE: Se cumple: a1b1 = a2b2 = a3b3

PROPIEDAD.- Sean Las magnitudes A; B y C

Si:

)(.

)(..

CteBBPIA

CteCBPDA

B

AC = k; k = Cte

EJEMPLOS 1. La magnitud A es directamente proporcional a B.

Cuando A = 51; B = 3. Halla el valor que toma B, cuando A = 34.

Resolución:

A D.P B CteB

A

Reemplazando:

B

34

3

51

B = 2

2. Se sabe que A es D.P a B e I.P a C2. Si A = 3

cuando B = 16 y C = 8, calcula B cuando A = 6 y C =4.

Resolución:

2.

.

CPIA

BPDA

B

AC 2

= k;

k = Cte Reemplazando:

B

22 4.6

16

8.3

B

16.6

4

64.3 B = 4

3. El consumo es directamente proporcional al sueldo;

el resto lo ahorra. Un señor cuyo sueldo es S/. 560 consume S/. 490. Si recibe un aumento, consume S/. 910. ¿De cuánto es el aumento?

Resolución: Sea C: Consumo S: Sueldo

Como C D.P S CteS

C

Reemplazando:

x

560

910

560

490

x: aumento 560 + x = 1040

S/. 480

4. La presión es inversamente proporcional al que contiene determinada cantidad de gas. Determine Ud. La presión a la que un gas está sometido, si cuando esta disminuye en 5 atmósferas el volumen varía en ¼ de su valor.

Resolución: Sea P: Presión V: Volumen Dato P I.P V P.V = k

Reemplazarlo: P.V = (P-5)

VV

4

1

P.V = (P-5). V4

5

4P = 5P -25 P = 25 atmósferas 5. Una rueda de 80 dientes engrana con otra rueda B

de 50 dientes. Fijo al eje de B hay otra rueda C de 15 dientes. Si A da 120 RPM, ¿cuántas vueltas por minuto da la rueda C?

Resolución:

NOTAS: Cuando dos ruedas engranan se cumple

(#dientes) I.P (Velocidad)

Cuando dos ruedas tienen eje común, se cumple que sus velocidades serán iguales

Como A y B engranan:

80.120=50.VB VB = 192RPM

Como B y C tienen eje común Vb = VC

VC = 192RPM

BLOQUE I 1. Si A y B son dos magnitudes directamente

proporcionales, entonces si A = 90, B = 30, halla B cuando A = 21 a) 63 b) 7 c) 3 d) 42 e) 10,5

2. El gasto de una persona es D.P a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo mensual es de S/. 1200 ahora S/. 200 ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de S/. 1300? a) S/.1400 b) S/.1134 c) S/.1500 d) S/.1620 e) S/.1560

3. Si A y B son dos magnitudes inversamente

proporcionales , entonces si A = 40, B = 30, halla A cuando B = 15 a) 20 b) 80 c) 4 d) 40 e) 16

4. Con una cierta cantidad de gasolina un camión sólo puede correr 60 km con 2 toneladas de carga. ¿Cuántos km podrá recorrer dicho camión con la misma cantidad de gasolina si lleva una carga de 10

Si A I.P B AB =k k; Cte

b3 b2 b1

a1

a2

a3

A

B

Hipérbola equilátera

80 50

15

A B

C

VC

VB VA = 120 RPM

b1 b2 b3

a1

a2

a3

A

B

Recta

toneladas sabiendo que el recorrido es I.P a la carga que lleva? a) 30 b) 15 c) 12 d) 32 e) 28

5. Señalar la relación en la que A y B no son

magnitudes proporcionales a) A.B = 36 b) A2 = 5B2

c) 9A + 3B = 15B d) 3A + 4B = 11A e) 9A + 9 = 18B

6. Si “A” varía a razón directa a “B” e inversamente al

cuadrado de “C”. Cuando A = 10 entonces B = 4 y C = 14. Halla A cuando B = 16 y C = 7. a) 180 b) 160 c) 154 d) 140 e) 120

7. Zoila es un taxista que acostumbra cobrar de forma

proporcional al número de pasajeros que transporta y a la distancia recorrida. Si a 2 pasajeros les cobró S/. 30 por recorrer60 km, ¿Cuánto les cobrará a 5 pasajeros por recorrer 12km? a) S/.50 b) S/.15 c) S/.30 d) S/.10 e) S/.20

8. Dos amigos van a una tienda y compran una bolsa

de chizitos que cada uno consuma. El primero consumió 35 y el segundo 21. si el primero pagó 20 céntimos más, ¿ cuánto costó la bolsa de chizitos? (Ambos terminaron la bolsa de chizitos) a) S/. 0,60 b) S/. 0,70 c) S/. 0,80 d) S/. 0,90 e) S/. 0,50

9. Una rueda de 80 dientes engrana con otra de 15

dientes, la cual está montada sobre el mismo eje que una tercera rueda. ¿Cuántas vueltas dará esta última rueda cuando la primera a dado 60 vueltas? a) 300 b) 320 c) 350 d) 400 e) 480

10. Las magnitudes proporcionales A y B guardan cierta

relación según el cuadro:

a) 27 b) 30 c) 28 d) 18 e) 32

11. Se sabe que A2 es D.P a B. Si A = 8, cuando B =

16, calcule A cuando B = 36 a) 144 b) 18 c) 12 d) 16 e) 20

12. La deformación producida por un resorte al aplicarle

una fuerza es D.P a dicha fuerza. Si el resorte de 30cm de longitud se le aplica una fuerza de 3 N su nueva longitud será de 36cm ¿Cuál será la nueva deformación del resorte sise le aplica una fuerza de 4 N? a) 36 cm b) 38 cm c) 40 cm d) 42 cm e) 60 cm

13. A es D.P a B e I.P a C2, cuando A = 10,

B = 25 y C = 4. Halla A cuando B = 64 y C = 8 a) 6 b) 8 c) 4 d) 12 e) 10

14. Suponiendo que el costo de los terrenos es D.P a

sus áreas e I.P a la distancia que lo separa de Lima. Un terreno de forma cuadrad a 28km al sur de Lima está valorizada en S/. 60000. ¿Qué precio tendrá un terreno de forma cuadrada cuyo perímetro es los ¾ del anterior y está ubicada a 7 km de Lima? a) S/. 270000 b) S/.135000 c) S/.45000 d) S/.90000 e) S/.180000

15. ¿Cuál es el peso de u diamante, cuyo precio es S/.

5500, si otro de 6 kilates es de tiene un precio de S/. 19800, además el precio de un diamante es proporcional al cuadro de su peso? (1 kilate = 0,7g) a) 7 gramos b) 12 gramos c) 10 gramos d) 70 gramos e) 14 gramos

16. Si A es D.P a B e I.P a C, cuando C = 3/2 entonces A y B son iguales, ¿Cuál es el valor de B, cuando A = 1 y C = 12? a) 6 b) 8 c) 12 d) 9 e) 16

17. Sean las magnitudes proporcionales A y B

A 2 6 10 12 30

B M 18 n 72 450

Calcula “m + n” a) 52 b) 48 c) 36 d) 60 e) 42

18. Una rueda “A” de 80 dientes engrana con otra rueda

B de 50 dientes. Fija el eje “B”, hay otra rueda C de 15 dientes que en engrana con una rueda “D”de 40 dientes. Si “A” da 150 vueltas por minuto ¿Cuántas vueltas dará la rueda “D”? a) 60 b) 80 c) 90 d) 120 e) 30

19. Una magnitud A es D.P al cuadrado de B e I.P a la

raíz de la suma de C y D cuando A = 10; B = 5; C = 9 y D = 16. ¿Qué valor tomará A cuando B = 6; C = 5 y D =4? a) 24 b) 8 c) 12 d) 10 e) 36

20. En el siguiente sistema de engranajes A, B y C

tiene 80; 40 y 60 dientes respectivamente, cuando realiza 6 vueltas , ¿cuántas habrá dado B y C?. dar como respuesta la suma de los números de vueltas.

a) 24 b) 26 c) 20 d) 22 e) 30

21. Si A es D.P a B e I.P, hallar el valor de A cuando B = 10 y C = 30, si cuando A = 24, B = 24, C =10 a) 10 b) 30 c) 24 d) 36 e) 20

BLOQUE II

22. Un albañil se comprometió enlosar en 4 días una pared cuadrada de 4 metros de lado; pero tardó 5 días más porque la pared tenía “x” metros más de lado. Halla “x”.

23. Se tiene 6 ruedas dentadas de 3, 6, 9, 12, 15, 18 dientes respectivamente. La primera engrana con la segunda y fija al eje, de esta va montada la tercera que engrana la cuarta, en cuyo eje va montada la quinta rueda, que a su vez engrana con la sexta rueda. ¿En cuánto tiempo la primera rueda dará 8000 vueltas si la sexta rueda de 250 R.P.M.?

24. Para pintar la mitad de la superficie de una esfera, una

persona demora 35 minutos ¿Qué tiempo demorarán 2 personas para pintar toda una esfera de triple radio que la anterior, si son el quíntuplo de rápidas que las anteriores?

25. Un recipiente cilíndrico de 8m de radio y 12 m de altura

abastece a 75 personas durante 20 días ¿Cuánto debe

ser el radio del recipiente de 6m de altura que abastecería a 50 personas durante 2 meses.

26. Una piscina se llenó mediante 2 grifos que arrojan 20

litros de agua por hora, en tres días, funcionando durante 6 horas al día. ¿Cuántos días se precisarán para llevar una piscina del triple de volumen que la anterior utilizando 4 grifos durante 5 horas diarias, si éstos arrojan 18 litros de agua por hora?

27. A cierto número de personas se le encargó un trabajo; si

todas hubieran comenzando al mismo tiempo el trabajo se hubiera hecho en tres días a razón de 8h/d, pero comenzaron a intervalos iguales y luego continuaran trabajando hasta que el trabajo quedó terminado. Si el pago fue proporcional al trabajo hecho por cada persona y la primera recibió once veces lo que recibió la última. Calcular en que tiempo se realizó el trabajo

28. 40 obreros se comprometen a realizar una obra en 30

días, pero luego de 10 días de trabajo se van 10 obreros trabajando así 10 días; luego de los cuales llegan “x” obreros con el doble de eficiencia para terminar 5 días antes de lo establecido. Determinar “x”

29. Un contador y tres asistentes pueden elaborar 2

balances generales en 30 días. ¿En cuánto tiempo tres contadores y un asistente pueden hacer 3 balances generales? Si el trabajo de un contador y el de un asistente están en la misma relación que los números 4 y 3.

30. Pilar reparte cierta cantidad de bombones entre sus

sobrinos en forma proporcional a sus edades que son 4, 7 y 13 años. No pareciéndoles justo el reparto después de efectuado, deciden los sobrinos hacerlo por partes iguales entregando el mayor 35 bombones al segundo, y éste “m” bombones al primero. Calcular m.

31. El consumo de carbón de una locomotora varía

proporcionalmente al cuadrado de la velocidad; cuando la velocidad es de 24 km por hora el consumo de carbón es de 2 toneladas por hora. Si el precio del carbón es de 4 dólares por toneladas y además los gastos de la máquina son 5 dólares por hora, hallar aproximadamente el valor de la velocidad para tener el menor costo posible.

PROBLEMAS PROPUESTOS 32. Si 9 bombas levantan 1050 toneladas de agua en 15

días trabajando 8 horas diarias. ¿En cuántos días más se levantan 1400 toneladas de agua si se tiene una bomba más y todas van a funcionar 2 horas menos al día?

Rpta.: 21 33. 10 campesinos siembran un terreno cuadrado de 15m

de lado en 12 días, trabajando 9 horas al día- ¿En cuántos días 30 campesinos trabajando 8 horas diarias, sembraran otro terreno cuadrado de 20m de lado?

Rpta.: 8 34. Se tienen engranadas consecutivamente a las ruedas A,

B, C, ... y P, que poseen 8, 12, 16, 20, ... y 64 dientes respectivamente. Además se sabe que la rueda A da 72 vueltas en 3 minutos ¿Cuántas vueltas dará la rueda P si todas giran durante una hora?

Rpta.: 180 35. Cinco obreros pueden hacer 12 anillos en 15 días

trabajando 7 horas al día. Si se desea 60 anillos en 25 días trabajando a razón de 5 horas diarias. ¿Cuántos orfebres doblemente rápidos se deben contratar además de los que se tienen

Rpta.: 8

RAZ.MATEMÁTICO

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.

A m 6 2 4 8

B ¾ n 3 12 48

A

B

C

MÉTODO DEL CANGREJO Y REGLA CONJUNTA

1. Al preguntarle a Pablo por su edad, él responde: “A mi edad que tengo le sumo 14, luego le resto 2 y, a esta diferencia le saco la raíz cuadrada para después multiplicarlo por 4 y a éste producto sumarle 46 y para finalmente dividirlo por 3 y así obtengo un número múltiplo de 11 menor que 30. ¿Cuántos años tendrá Pablo dentro de 5 años?

A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 2. Un día domingo Juan Carlos salió de compras con sus

4 amigas. Gastó en pasajes de ida 8 soles, con la mitad del resto compró regalos para Maruja y Brisa; para Olenka le compró un regalo de 80 soles, con la mitad del nuevo resto y 40 soles más compró una cartera para Cecilia, cuando él quiso comprarse una billetera observó que le faltaba dinero, por lo que Maruja le prestó duplicándole el dinero que le había quedado, con lo cual se compró una billetera de 400 soles y se quedó solamente con 8 soles para el taxi de regreso. ¿Cuánto tenía inicialmente Juan Carlos?

A) S/.1145 B) S/.1155 C) S/.1554 D) S/.1144 E) S/.1200 3. De un salón A pasan al salón B 15 alumnos, luego del

salón B pasan 20 alumnos al salón A. Si al final A y B tienen 65 y 35 alumnos respectivamente, ¿cuántos alumnos tenía cada salón inicialmente?

A) 70; 40 B) 60; 40 C) 94; 30 D) 88; 30 E) 20; 50 4. Jorge compra cierta cantidad de naranjas. A su

hermana le regala a mitad de lo que compra más 4 naranjas, a su vecina la mitad de lo que queda más 2 naranjas. ¿Cuántas naranjas compró, si le sobran 16 naranjas?

A) 52 B) 96 C) 48 D) 80 E) 60 5. Se tiene 2 depósitos de vino A y B, de A pasan a B

tantos litros como hay en ese depósito, luego de B pasan a A tantos litros como habían quedado en este depósito. Si al final A y B tienen 16 y 20 litros respectivamente, ¿cuántos litros tenía cada depósito inicialmente?

A) 8; 28 B) 22; 28 C) 20; 16 D) 22;14 E) 25;11 6. Tres jugadores: A, B y C están jugando a las cartas. El

perdedor de cada juego duplicará el dinero de los otros dos. El primer juego lo perdió “A”, el segundo lo perdió “B” y el tercero “C”. ¿Cuánto tenía “A” al comienzo de los juegos si los tres terminaron con 80 soles?

A) 80 B) 40 C) 160 D) 130 E) 110 7. Un grupo de palomas se aproxima a un grupo de

postes. Si en cada poste se posan 3 palomas resultarían 2 postes sobrantes; en cambio, si en cada poste se posa 2 palomas haría falta 2 postes más. Es(Son) cierta(s): I. Hay 24 palomas II. Hay 12 postes III. Si hubieran dos postes más, en cada poste habrían

2 palomas A) Sólo III B) I y II C) II y III D) I y III E) Sólo l 8. Para cercar un terreno cuadrado se necesitan 240

postes. ¿Cuántos más son necesarios para cercar otro de área cuádruplo del anterior?

A) 960 B) 720 C) 360 D) 240 E) 810 9. Tengo que averiguar la cantidad de caramelos que voy

a repartir entre mis hermanos. Si les doy 12 a cada uno me sobran 8; pero si le doy 15 a cada uno al último sólo podría darle 11 caramelos. ¿Cuántos hermanos tengo?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 10. Un capitán razona: “Si ordeno a mis soldados en el

aula mater en filas de 10, me sobrarán 8 soldados, pero si los ordeno en filas de 9, me faltarían 7 para formar 6 filas más. ¿Cuántos soldados hay en el aula mater?

A) 370 B) 74 C) 68 D) 398 E) 215 11. ¿Cuál es aquel número tal que al colocarle un cero a

la derecha, éste aumenta en 504 unidades? A) 45 B) 50 C) 52 D) 54 E) 56 12. A la academia concurrían algunos con sus triciclos y

otros con sus bicicletas. El guardián para saber que no le faltaba ninguno, contaba siempre 860 ruedas y 608 pedales. Entonces: I. Si contamos los pedales de todas las bicicletas

obtenemos 104 II. La diferencia entre el número de triciclos y bicicletas

es 204 III. Hay 252 triciclos. es (son) cierta(s):

A) Sólo I B) II y lII C) Sólo II D) I y III E) l y II 13. Se trata de formar una longitud de un metro colocando

34 monedas de 5 y 10 soles una en contacto con otra y formando una línea recta. Los diámetros de las monedas son de 20 mm y 30 mm. ¿Cuántas monedas de 5 soles se necesitan?

A) 20 B) 32 C) 18 D) 26 E) 2 14. La semana que trabajo el día lunes, puedo ahorrar S/.

40, pero la semana que no lo hago tengo que retirar del banco S/. 20. Si después de 10 semanas he podido ahorrar sólo S/. 220, ¿cuántos lunes no trabajé?

A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6 15. Un librero compró 72 libros a 10 soles cada uno y le

regalan 1 por cada docena que compra, en la factura le hacen además una rebaja de 108 soles. Si vende cada ejemplar a 13 soles, ¿cuánto ganará vendiendo todos los libros?

A) 360 soles B) 204 soles C) 342 soles D) 402 soles E) 420 soles 16. En el paradero inicial de un carro suben 10 adultos y 2

niños, en el trayecto cada 5 adultos suben con 3 niños, y cada 6 adultos bajan con 4 niños llegando al paradero final con 30 adultos y 10 niños. Si cada adulto paga 1 sol y un niño la mitad, ¿cuál es la recaudación total?

A) 50 soles B) 80 soles C) 90 soles D) 115 soles E) 130 soles 17. Un ómnibus va de Lima a Barranca y en uno de los

viajes cobró un total de 228 soles. El precio único del pasaje es de 6 soles cualquiera sea el punto donde el pasajero suba o baje del ómnibus. Cada vez que bajó un pasajero subieron 3 y el ómnibus llegó a B con 27 pasajeros. Se desea saber el número de pasajeros que llevaba el ómnibus al salir de A

A) 6 B) 1 C) 4 D) 8 E) 5 18. Si doy 5 caramelos a cada uno de mis hermanos

sobran 6 caramelos, pero si doy 2 más a cada uno faltan 8 caramelos. ¿Cuántos hermanos somos?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 5 E) 9 19. Si por 20 pesos dieran 5 plátanos más de los que dan,

la docena costaría 24 pesos menos. ¿Cuánto cuesta la mano de plátanos?

A) 18 pesos B) 20 pesos C) 4 pesos D) 12 pesos E) 25 pesos 20. Un alumno ha contestado 50 preguntas de las 100 que

le propusieron. Si por cada pregunta bien contestada le dan 4 puntos, por cada equivocación le quitan 3 puntos y cada vez que no contesta le aumentan 1 punto, ¿cuántas preguntas contestó bien si sacó 40 puntos?

A) 10 B) 30 C) 20 D) 50 E) 40

TAREA 21. Luchita cada día gasta la mitad de lo que tiene más

S/. 20 .Si gastó todo en 4 días, ¿cuál es su promedio de gasto por día?

A) 200 soles B) 300 soles C) 150 soles D) 20 soles E) 60 soles 22. Cada vez que Abel visita a su tía, ésta le duplica el

dinero que él lleva. El sobrino siempre le agradece con 40 soles la bondad de su tía. Un día Abel queriendo ganar más dinero realizó 4 visitas sucesivas a la bondadosa tía, pero fue tal la sorpresa de Abel que al cabo de la cuarta visita se quedó sin ningún sol. ¿Cuánto llevó Abel al empezar la visita?

A) 30 soles B) 35 soles C) 37,5 soles D) 39 soles E) 41 soles 23. En un cesto hay cierta cantidad de naranjas, cuatro,

amigos A; B; C y D cogen en el orden mencionado, la mitad de las naranjas que encuentran más una naranja Si después que llego D y cogió las naranjas que le correspondían no dejo naranja alguna ¿cuántas naranjas se habrá llevado B’?

A) 30 B) 14 C) 8 D) 6 E) 2 24. A; B y C juegan a los dados, tal que el perdedor

duplicaba el dinero a los demás. Si pierden en el orden mencionado quedando al final cada uno con 32 soles, ¿cuánto tenía cada uno inicialmente?

A) 58; 22 y 16 B) 60; 30 y 16 C) 52; 28 y 16 D) 54; 30 y 12 E) 50; 30 y 16 25. Se tiene 48 monedas en 3 grupos diferentes. Del

primero pasan al segundo tantas monedas como hay en éste, del segundo pasan al tercero tantas monedas como hay en éste y luego del tercero, pasan al primero tantas monedas como habían quedado en éste. Si al final los tres grupos tienen el mismo número de monedas, ¿cuántas monedas tenía cada grupo inicialmente?

A) 8; 28; 12 B) 22; 14; 12 C) 8; 16; 24 D) 20;16;12 E) 30;12;18 26. En un estante están ordenados 3 tomos de una

colección; el espesor de cada pasta es 0,5 cm. y de las hojas de cada tomo 6 cm. Una polilla comienza a comer la primera hoja del primer tomo y sigue traspasándolos hasta terminar con la última hoja del tercer tomo. ¿Qué distancia recorrió la polilla?

A) 20cm B) 9cm C) 9,5cm D) 8cm E) 21 cm 27. La suma de 2 números es. 84. Los cocientes de estos

números con un tercero son 4 y 6; teniendo como residuo 1 y 3 respectivamente. Hallar la diferencia positiva de estos números.

A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 28. En un almacén se observó 90 vehículos entre motos,

automóviles y bicicletas. Si se observaron 80 motores y 300 llantas, ¿cuántas motos habían?

A) 10 B) 20 C) 60 D) 30 E) 40 29. Panchito compró cierta cantidad de caramelos; 1/3 de

ellos le regaló a Laura, los 2/5 del resto le regaló a María, 1/4 de lo que quedaba le regaló a Silvia, quedándose únicamente con 3 caramelos. ¿Cuántos caramelos compró Panchito?

A) 5 B) 60 C) 20 D) 10 E) 15 30. Martha que tiene el hábito de lavarse la cabeza

diariamente utiliza la misma cantidad de champú. Después de 15 días observa que ha consumido la cuarta parte del frasco. Veinte días más tarde observa que aún le quedan 50 centímetros cúbicos. ¿Cuántos centímetros cúbicos de champú consume diariamente en cada lavado de cabeza?

A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 7

RAZ.MATEMÁTICO

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.

OPERADORES. 1. Si: = x + 3

Calcula:

a) 55 b) 60

c) 65

d) 70 e) 80

2. Si: = x + 7

Calcula:

M =

a) x + 2 b) x + 5

c) x + 8

d) 2x + 7 e) 2x - 7

3. Si: = x + 7

Calcular:

100 operadores

a) 1015 b) 1005

c) 1000

d) 905 e) 915

5. Se define en N:

= a - 2

calcula:

30 operadores

a) 930 b) 900

c) 120

d) 780 e) 760

6. n positivo se define:

Es decir que: = 2

)1( nn

Calcula el valor de “x” en:

= 21

a) ½ b) 1 c) 2

d) 4 e) 5/2

7. Si: =

2

)3)(1( xx

Calcular el valor de “a” en:

= 24

a) 1/2 b) 1/3

c) 1/5

d) 1/7 e) 2/5

8. Si: = (x + 19)2

Calcula el valor de “a” en:

= 100

a) 2 + 1 b) 2 - 1

c) 2 /2

d) 2 e) 1

9. Si: = x .

Resolver:

E:

a) 1/x b) x2

c) x

d) 1 e) 1/2

10. Si: = (x – 135)(x + 136) ;

x

Calcular:

A = … …

40 exponentes

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2 e) -2

11. Sabiendo que:

a b = 2b – 3a ; a b = 3b + 2a

Calcular:

E = 212121

42

a) 1 b) 0 c) 16

d) 25 e) 100

12. Se define:

m * n = (m + n) mn* ; m * n > 0

Calcular el valor de:

A = (-1 * 2)(0 * 3)

)4*1(

a) 1 b) 0 c) 2

d) 3 e) 4

13. Si: = 4x + 5

Además:

= 16x - 15

Calcular:

E = -

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

14. Si: a * b = 3(b * a) – ab

Además: = m – 2

Calcular:

a) 8 b) 10

c) 12

d) 16 e) 21

15. Se define: = 3

9²

n

n ; n 3

Además:

Calcular:

a) 25 b) 22

c) 26

d) 18 e) 32

16. Si: F(n + 2) = nF(n); n Z

Además: F(2) = 2

Calcular: S = F(8) – F(4)

a) 89 b) 90

c) 26

d) 92 e) 96

17. Se define: a * b = a² - b²

Luego, se pide resolver:

A = (..(99*1)98 * 2)97 * 3)96 * 4)..)1 * 99)

a) 0 b) 1 c) 99

d) 100 e) 99!

18. Siendo: a b = a³ + 2ª

Calcular:

E = 3 (4(5 … (19 20)))

a) 32 b) 36

c) 34

d) 33 e) 35

19. Definimos:

x * y = (x – y)(x)(x + y)

calcula: 25 * 24

a) 625 b) 600

c) 1225

d) 1200 e) 1025

20. Si:

= a(a + 1)

Además:

= 156

x + 2

40

x + 2

x - 7

x - 2

15

a + 2

8

+ 8

+ 8

+ 8 . . . . . . . .

n

3x - 4

x - 1

3a - 1

a

x x - 1

x x - 1

x

x - 1

x

23

x 9

16

x

x x

x

6 * 4

m + 2

x

1 + 2a

a³ - 5

x

x + 2

x

Calcula:

a) 12 b) 11

c) 10

d) 9 e) -12

OPERACIÓN BINARIA

OPERADORES MATEMÁTICOS DEFINIDOS EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA

Sea: M = {a; b; c; d} Con su operador matemático (*) y su tabla respectiva:

* a b c d

a a b c d

b c d a b

c b c d a

d d a b c

Luego se pide calcular “x” en cada uno de los siguientes casos: (b * c) * x = (b * d) * a Rpta. ………………………… (a * x) * c = )d * b) * c Rpta. ………………………… (x * c) * (b * a) = d Rpta. ………………………… PROPIEDADES Sea el conjunto: A = {m; n; p; q} Con su operador (*) y su tabla:

* m n p q

m n p q m

n p q m n

p q m n p

q m n p q

PROPIEDAD CONMUTATIVA Si: m * n = n * m

m; n A se cumple la propiedad conmutativa Ejemplos aplicativos: Diga Ud. En cada caso si cumple la propiedad conmutativa a * b = a + 2b + 3 p * q = q – p + 2 m # n = m + n – mn

* a b c d e

a b c d e a

b c d e a b

c d e a b c

d e a b c d

e a b c d e

PROPIEDAD CONMUTATIVA Si: (m * n) * p = m * (n * p)

m; n; p A se cumple la propiedad asociativa EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO (E) Si: m * e = m = e * m

m A “e” es el elemento neutro

Obsérvese la forma práctica de encontrar “e” en tablas:

* a b c d

a b c d a

b c d a b

c d a b c

d a b c d

EXISTENCIA DEL ELEMENTO INVERSO Si: m * m-1 = e

m-1 es elemento inverso de “m”

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Dada la tabla:

# 2 3 5 7

2 5 2 3 7

3 7 3 5 2

5 2 5 7 3

7 3 7 2 5

Calcula el valor de:

P = )5#7(#)2#3(

)7#5(#)3#2(

a) 2/3 b) 3/5 c) 5/7 d) 7/3 e) 5/3 2. Dada la tabla

# 2 3 5 7

2 5 2 3 7

3 7 3 5 2

5 2 5 7 3

7 3 7 2 5

Calcula el valor de: P = {(2 * 1) * (3 * 4)}(2 * 2)

a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) 0 3. De acuerdo a la tabla

? a b c d

a a d c b

b b a d c

c a b a d

d d c b a

Diga Ud. Si se cumple las siguientes afirmaciones: ( ) a ? a = a ( ) (a ? a) ? b = c ( ) Se cumple la ley conmutativa a) VVV b) FVV c) VFF d) FVF e) FFF 4. Dado el conjunto A = {0; 1; 2; 3} y la operación S definido por la tabla. De las siguientes afirmaciones:

S 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 4

El elemento neutro es el 0

x A, existe su inverso S es cerrado Es(son) correcto(s) a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III 5. Con los elementos del conjunto. A = {a; b; c; d; e} se define la operación (*) obteniéndose la tabla adjunta.

* a b c d e

A a b c d e

B b c d e a

C c d e a b

D d e a b c

E e a b c d

Se afirma que: 1.La operación * es conmutativa 2.El elemento neutro es “b” 3.La operación * es cerrada 4.La operación * es asociativa 5.(a * b) * c = (d * e) * a De estas afirmaciones son verdaderas

a) Sólo I b) Sólo IV c) II y III d) I, III y IV e) Todas

6. Sea la operación definida en el conjunto: A = {a; b; c}, mediante la tabla adjunta

a b c

a c a b

b a b c

c b c a

Es(son) correcta(s)

1.La operación es conmutativa

2.La operación es asociativa

3.La operación definida en A admite la existencia de un elemento inverso en A a) Sólo I b) sólo II c) Sólo III d) I y III e) Todas

7. Dada la tabla:

1 2 3 4 5

1 5 3 4 1 2

2 1 4 5 2 3

3 2 5 1 3 4

4 3 1 2 4 5

5 4 2 3 5 1

Calcular:

B = [(3-1 5-1)-1 2-1]-1 4-1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

x³ - 5

8. Dada la tabla:

* 1 2 3

1 1 2 3

2 2 3 1

3 3 1 2

Calcular: P = [(2-1 * 3-1)-1 * 2-1]-1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. La operación está definido mediante la tabla adjunta considerando que x-1 significa el inverso de “x” en la operación. Dar como respuesta el valor de “n” en la ecuación:

[(2-1 3)-1 n] [(4-1 2) 3]-1 = 1

1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) No existe

10. Si la operación * es conmutativa y tiene neutro 4, calcular: E = [(4 * 3) * (2 * 1)] * 5 Sabiendo que:

# 2 3 5

1 3 4 2

5

5 1 3 4

3 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11. Definamos en el conjunto de los números enteros, la operación “*” mediante a * b = 2(a + b). Indicar cuales de las afirmaciones siguientes son verdaderas:

1. Es conmutativa 2. Es asociativa 3. Tiene elemento neutro a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y IV e) II y III

12. Dada la operación binaria:

a # b = a + b + ab calcular el elemento neutro a) 1 b) 1/2 c) 0 d) -1 e) -2

13 . En el conjunto solución A = {0; 1; 2} se define la operación “#” tal que:

1 # 0 = 1 2 # 0 = 2 0 # 0 = 0 1 # 1 = 2 2 # 1 = 3 0 # 1 = 1 1 # 2 = 3 2 # 1 = 1 0 # 2 = 2 Decir cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son) verdadera(s): # es conmutativa El inverso de 2 es 0 El elemento neutro es el 1

a) I b) II c) III d) I y II e) I, II y III

14. Sea la operación (#), definida en los reales por: a # b =

ba

ba

.

Calcular “x”, si: x # 2 ) 2x # 3. a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 0

15. Si el conjunto A = {0; 1; 3} y definimos la operación (#) por:

# 0 1 3

0 0 1 3

1 1 3 0

3 3 0 1

De las siguientes proposiciones, determinar el valor de verdad o falsedad. ( ) 3 # 1 = 1 # 3 ( ) (1 # 0) # 3 = 1 # (0 # 3) ( ) (3 # x) # 0 = 1 x # 1 1 = 3 a) VVF b) FFF c) VFV d) VVV e) VFF

16. Dada la siguiente tabla:

* a b c D

a b d c A

b c a d B

c d b a C

d a c b D

Calcular “x” en: (a * b) * (c * x) = d * c a) a b) b c) c d) d e) e

17. Se define la operación “” en el conjunto A = {a; b; c; d} mediante la siguiente tabla de doble entrada

a b c d

a c d a b

b d a b c

c a b c d

d b c d a

Entonces podemos afirmar que: La operación es conmutativa Tiene elemento neutro a-1 b-1 = x c x = b a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) Todas

18. En la siguiente tabla es falso:

* a b c d

a a b a a

b c b b d

c d a c b

d b c d a

No es conmutativa El elemento neutro es c a * (b * d) = (d * c) * d

La operación “*” es cerrada a) I y II b) Sólo II c) II y III d) II; III y IV e) Ninguna es falsa

19. Sea # la operación definida en el conjunto A = {; ; } mediante la siguiente tabla

#

La operación # cumple x # x = x, x A La operación # es conmutativa El conjunto A tiene el elemento identidad a) I y II b) II y III c) I y III d) Todos e) Sólo I

20. De acuerdo a la tabla del operador “*” definido en el conjunto: A = {1; 2; 3}

* 1 2 3

1 3 1 2

2 1 2 3

3 2 3 1

( ) “*” es conmutativa ( ) El elemento neutro 2 ( ) El inverso de 2 es 2 a) VVF b) FFF c) VFV d) FVV e) VVV 21. En el conjunto A = {a; 2; 3; 4} se define la operación “*” mediante la tabla

* 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

4 4 3 2 1

Decir si es verdadero o falso

( ) El conjunto es cerrado para la operación “*” ( ) “*” es conmutativa ( ) El 1 es el elemento identidad a) VVF b) VFV c) VVV d) FVV e) FFF

22. De acuerdo a la tabla:

* 1 2 3 4

1 1 4 3 2

2 2 1 4 3

4 4 3 2 1

Diga Ud. si se cumple las siguientes afirmaciones: ( ) 1 ? 1 = 1 ( ) (1 ? 1) ? 2 = 3 ( ) La operativa “?” es conmutativa a) VVF b) VFV c) FFF d) FVV e) VFF

23. Se definen las operaciones binarias:

a b = + b + 1 ; a b = a – b – 1 hallar el valor de:

[(1 1) (2 2)] [0 0] a) 0 b) -1 c) -2 d) -3 e) -4

RAZ.MATEMÁTICO DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.

SUCESIÓN: Es el conjunto de términos, donde cada termino tiene un orden designado, es decir, cada uno de ellos tiene un número ordinal, de tal manera que uno de los términos designado como el primero, otro como segundo, otro como tercero, así sucesivamente. Se define también como una función, donde el dominio son los z+ y el Rango son los términos de la sucesión.

SUCESIONES NUMÉRICAS

Sean: n321 T ; ... ; T ; T ; T una sucesión numérica,

luego se denomina serie numérica a la expresión:

n321 T ... T T T y al resultado se llama valor

o suma de la serie. TIPOS DE SERIES SERIE POLINOMIAL O ARITMETICA Ejemplo : Halla el valor de la serie: S = 3 + 7 + 11 + 15 +.....+ 159

Aplicamos: 2

1 )tt(nS n

Ejemplo: Halla el valor de la serie: S= 2 + 7 + 12 + 17 +..... + 247 SERIE ARITMETICA DE ORDEN SUPERIOR (Método de las Diferencias Finitas)

Sn = t1 + t2 + t3 + t4 + t5 +... + tn

b1

c1

d1

e1

b2 b3 b4

c2 c3

d2

...CdCcCbCtSn nnnn 4321 1111

Recuerde: )!kn(!k

!nCn

k

Ejemplo: Halla el valor de “S” en:

S= 1+ 6 + 15 + 28 +......... 30 términos) SERIE GEOMETRICA

)q(

)q(tS

n

n 1

11

Ejemplo: Halla el valor de “M” en: M= 3 + 6 + 12 + 24 +........(10 términos) SUMA LIMITE: Es la suma de todos los términos de una progresión geométrica decreciente infinita.

q

tSn

1

1

1. SERIES NOTABLES Serie de los primeros números naturales:

ostérn

nmin""

...4321 =

2

)1( nn

Serie de los primeros números pares:

)1(2...8642min""

nnnostérn

Serie de los primeros números impares:

2

min""

)12(...7531 nn

ostérn

Serie de los cuadrados de los primeros números

naturales:

6

)12)(1(...4321

min""

22222

nnnn

ostérn

Serie de los cubos de los primeros números

naturales:

2

min""

33333

2

)1(...4321

nnn

osTérn

Serie de los productos binarios de los primeros

números naturales.

3

)2)(1()1(...54433221

min""

nnnnn

oastérn

PRACTICA

BLOQUE I 01. Efectúa: S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 301

a) 23801 b) 23701 c) 22801

d) 23401 e) 22108

02. Calcula: S = 20 + 22 + 24 + … + 100 a) 2300 b) 1240 c) 2460 d) 1860 e) 1740

03. ¿Cuántos sumandos presenta la siguiente serie?

S = 7 + 9 + 11 + 13 + … + 405 a) 100 b) 120 c) 140 d) 200 e) 280

04. Calcula la suma de todos los números pares

comprendidos entre 24 y 26

a) 2220 b) 2100 c) 4200 d) 4440 e) 2010

05. Halla el valor de:

(1+2+3+…+ 99 + 100) + (100+99+…+2+1)

a) 10000 b) 10200 c) 10300 d) 10100 e) 20201

06. Halla M - N, si:

M = ostér min52

.......8642

N = ostér min50

......7531

a) 250 b) 265 c) 256 d) 331 e) 337

07. Halla la suma total de:

E = 1,01 + 0,02 + 0,03 + … + 4

a) 801 b) 802 c) 803 d) 401 e) 701

08. Calcula M + N si:

1 + 2 + 3 + 4 + … + M = 190 2 + 4 + 6 + 8 + … + N = 930

a) 29 b) 39 c) 49 d) 59 e) 79

09. Halla “x” si:

1 + 3 + 5 + 7 + … + x = 15625 a) 125 b) 135 c) 145 d) 115 e) 249

10. Halla “P”

P = (a+1)+(a+3)+(a+5)+ … (“n” sumandos) Si: n - a = 2

a) n(n - 1) b)

2

)1( nn c) 2n

3

3

n

d) 2(n² - n) e) 2(n³ - 1)

11. Dado que: (1+2+3+…+n)(2+4+6+…+2n) = 6050 determina E = n² + n – 1 a) 109 b) 131 c) 126 d) 136 e) 139

12. Halla “x” si:

x+(x+4)+(x+8)+(x+12)+…+5x = 720

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

13. Hallar el valor de “A” si:

A = 3 + 24 + 81 + 192 + … + 5184

a) 18252 b) 19456 c) 14754 d) 19172 e) 18254

14. Calcula:

2² + 4² + 6² + 8² + … + 30² a) 4690 b) 4890 c) 4960 d) 4760 e) 4980

15. Halla “R” si:

R = 4 + 16 + 36 + … + 1024 + 1156

a) 7140 b) 7410 c) 6980 d) 7420 e) 9240

16. Reduce:

S = 1 - 4 + 9 - 16 + … + 225 a) 120 b) 150 c) 240 d) 300 e) 250

17. Halla el valor de “Q”, si:

Q = 2 + 8 + 18 + 32 + … + 1250 a) 12060 b) 11050 c) 16767 d) 15769 e) 14679

18. Calcula: S = 2³ + 4³ + 6³ + … + 40³

Dar como respuesta la suma de las cifras

a) 12 b) 11 c) 13 d) 14 e) 18

19. Efectúa: S = 1³ + 2² + 3³ + 4² + … + p³

a) (p + 1)² b)

2

2

1

p

c)

2

3

1

pp d)

2

2

1

pp

e)

2

3

1

p

20. ¿Cuál es la relación correcta entre los números

x = 1995(1+2+3+4+…+1996) y = 1996(1+2+3+4+…+1995)

a) y = x + 1996 b) x = y + 1995 c) x < y d) x > y e) x = y

BLOQUE II 21. Efectúa: T = 2(3)+6(4)+12(5)+…+272(18)

a) 23356 b) 23256 c) 23756 d) 23852 e) 23842

22. Halla p + q, si se sabe que:

p = 25 + 5 + 1 + ...25

1

5

1

q = 7 + ...16

7

8

7

4

7

2

7

a) 18/14 b) 184/5 c) 105/4 d) 172/6 e) 184/3

23. Halla la suma de la siguiente serie:

S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + 20.21.22 a) 62000 b) 7345 c) 81245 d) 63457 e) 53130

24. Efectúa:

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … + 10² 2² + 3² + 4² + 5² + … + 10² 3² + 4² + 5² + … + 10² . 10² a) 1000 b) 3025 c) 2750 d) 10000 e) 27500

25. Halla A + B, si:

23

11

.

1...

7.5

1

5.3

1

3

1

ba

a) 42 b) 36 c) 52 d) 48 e) 44

26. Determina el valor de “S”:

S = 32 10

3

10

2

10

1 + …

a) 1/9 b) 10/9 c) 1/81 d) 10/81 e) 11/81

27. Reduce el valor de “E”:

E = 753 3

7

3

5

3

3

3

1 + …

a) 12/36 b) 15/32 c) 17/36 d) 13/19 e) 36/41

28. Calcula:

S =

33.30

1...

12.9

1

9.6

1

6.3

1

a) 10/99 b) 39/33 c) 33/43 d) 37/39 e) 38/49

29. Halla:

S =

1296

65

216

19

36

5

6

1 + …

a) 1 b) 1/2 c) 1/4

d) 1/8 e)

30. Calcula:

M =

oster min300

...488475543521

a) 10800 b) 20600 c) 10300 d) 18600 e) 21500

31. Se sabe que:

1.3+2.4+3.5+4.6+…+n(n+2)=

6

)2)(1( knnn

El valor que debe tomar “k” es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7

32. Calcula:

S =

20.19

1...

4.3

1

3.2

1

2.1

1

a) 19/18 b) 18/21 c) 17/19 d) 19/20 e) 21/29

33. Calcula:

M = sumandos130

...39563754

a) 2500 b) 2655 c) 2765 d) 2800 e) 2665

34. Halla el valor de “J” si:

J = 1.2 + 2.4 + 3.6 + … +15.30 a) 3475 b) 2680 c) 3125 d) 2480 e) 2470

35. Efectúa: S = (1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+…+(1+2+ 3 +…+80)

a) 88560 b) 88660 c) 88760 d) 88360 e) 88460

36. Determina la suma de las áreas de los infinitos

cuadrados formados como muestra de la figura (el lado del cuadrado es la mitad del lado del cuadrado anterior?

a) 4a²/3 b) 16a²/3 c) 50a²/3 d) 64a²/3 e) a²/3

37. El guardián del pozo de una hacienda ha plantado a partir del pozo, cada 5 metros y en la dirección norte, un total de 30 árboles y puede sacar agua del pozo, cada vez para el riego de un solo árbol.

¿cuántos metros camina diariamente hasta regar el último árbol?

a) 4350 b) 4670 c) 4650 d) 4500 e) 4760

38. Halle la suma de los términos de la siguiente

sucesión: 2, 6, 13, 23, 36, 52, … (25 términos)

a) 8150 b) 8250 c) 11050 d) 4225 e) 11700

39. Determina la suma de los perímetros de los infinitos

triángulos equiláteros como muestra en la figura (los vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior)

a) 6ª b) 9a c) 12a d) 18a e) 20a

40. Se escriben los números impares en el orden

mostrado: Fila 1: 1 Fila 2: 3; 5 Fila 3: 7, 9; 11 Fila 4: 13; 15; 17; 19 ¿cuál es la suma de todos los números hasta la fila 20? a) 44100 b) 22400 c) 2600 d) 6050 e) 12100

41. Halla el valor de M:

M = 7,02 + 9,04 + 11,06 + … + 29,24 a) 217,56 b) 216,56 c) 216,16 d) 217,16 e) 217,46

42. Halla R.x, si:

1 + 2 + 3 + … + R = xxx

a) 35 b) 37 c) 38 d) 216 e) 108

43. Calcula “x”

27

4

)4(

1...

11.7

1

9.5

1

7.3

1

xxa) 23 b) 24 c) 25 d) 45 e) 75

44. Calcula el valor de x, si:

215

19

)2(

1...

11.9

1

9.7

1

7.5

1

xxa) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 48

45. Ricardo está apilado las canicas que tiene formando

una pirámide tetraédrica ¿Cuántas canicas tiene Ricardo como máximo sabiendo que solamente le es posible obtener una pirámide de 20 niveles? a) 1460 b) 1540 c) 1560 d) 1650 e) 1645

46. Si “n” es un número entero positivo, el valor de la

suma: 3 + 33 + 333 + … + 33……333 es:

“n” cifras

a) 4350 b) 4670 c) 4650 d) 4500 e) 4760

4a

O’

O

a

RAZ.MATEMÁTICO DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.

INDUCCIÓN BLOQUE I

1. Calcula: E

2)88....88899....999(E

100 cifras 100 cifras

2. Calcular la suma de cifras del resultado de E:

2)22....222111....1111(E

100 cifras 100 cifras

3. Calcula la suma de cifras del resultado de “L”:

22 49999999995000000000L

4. Calcula el número total de puntos de tangencia en la

siguiente figura:

5. Calcula: S:

101100

1....

43

1

32

1

21

1

xxxxS

6. Calcula el valor de E:

)sumandos100.......(7531

)sumandos100.....(8642E

7. ¿Cuál es el mínimo número de movimiento que deben hacerse para trasladar los discos de la torre “A” hacía la torre “C” y que queden en el mismo orden?. Para el traslado debe tener presente las siguientes reglas: I. Se puede emplear la torre B II. No se puede mover más de un disco por vez III. No se puede colocar un disco de mayor radio

sobre uno de menos radio

8. Si: 25acba2

Calcular: cabbcaabc

9. Hallar el número de triángulos sombreados en la

siguiente figura:

10. Si:

3518.........999999999abcd xCalcula:

dcba

dxcxbxaE

)(5

BLOQUE II 1. ¿Cuántos cuadrados pintados se contarán en F(25)?

2. Cuántos palitos se usaron para construir el siguiente aerfelo:

3. Dividir:

abcd entre cd el cociente fue 82 y el residuo 25.

Halla: a + b + c + d

4. Si: m + a + n = 25a

Calcula: namaaaman

5. ¿Con cuántos palitos se formó la siguiente figura?

6. Calcula el valor de A:

)334(700)666(445300x334)555(666A

BLOQUE III

1. Calcular “M” y dar como respuesta la suma de sus cifras:

M = (666666666666)2 a) 112 b) 148 c) 108 d) 110 e) 121

2. Calcular la suma de cifras del resultado de A:

A = cifrascifras

x100100

999....999555....555

a) 1 b) 102 c) 100 d) 90 e) 900

3. Calcular la suma de las cifras del resultado de:

A = cifrasncifrasn

x 222....222111....1112

a) n b) 3n c) 6n d) n2 e) 2n

4. En el siguiente gráfico, ¿cuántos triángulos equiláteros se formarán en total al unirse los centros de tres circunferencias vecinas inmediatas? Obs: De la forma indicada

a) 20 b) 210 c) 400 d) 441 e) 360

5. ¿Cuántas cerillas conforman el castillo mostrado? 1 2 3 4 19 20 21

a) 20 b) 21 c) 210 d) 200 e) 420

6. Hallar la suma de los elementos de la siguiente

matriz de 10 x 10

3836.....242222

3634.....222018

2422.....1086

2220.....864

2018.....642

a) 2500 b) 1900 c) 1650 d) 2000 e) 3600

7. ¿Cuántos triángulos como máximo se pueden contar

como máximo en la siguiente figura?

1 2 3 4 49 50 51

a) 5500 b) 5000 c) 5050 d) 5253 e) 5250

8. Calcula la suma de los términos de la fila 50

Fila 1 1 Fila 2 3 5 Fila 3 7 9 11 Fila 4 13 15 17 19

1 2 3 19 20 21

a) 9750 b) 12500 c) 25000 d) 75200 e) 125000

9. Calcula la suma de cifras del resultado de “A”

A =

cifras101

2999....999

a) 900 b) 925 c) 625 d) 90 e) 907

10. Si:

216118.7.6.5 aaaa

calcular:

M = sumandosa

aaaaaaaaaa ...

a) 4936 b) 4856 c) 4836 d) 4938 e) 4746

11. ¿Cuántos palitos se emplearon para construir el

siguiente arreglo? 1 2 3 4 5 48 49 50

a) 3600 b) 3675 c) 2550 d) 4725 e) 2625

12. Hallar la última cifra del resultado de E:

E = 367131 + (82519 + 1) (262-1)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Si:

100000TRESSIETE

halla: SEIS , además

I = E y T = R

a) 8128 b) 8118 c) 9229 d) 9339 e) 9119

14. Calcula:

(A - M - N)1997 si se sabe que:

19....321 MNAAAA

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

15. Hallar la suma de cifras del resultado de la siguiente

operación:

cifrasncifrasn

968....1999999....999)1(2

a) 3n b) 6n c) 6(n-1) d) 9n e) 9(n-1)

BLOQUE IV

1. Calcular la suma de todos los números de:

1 2 3 4 n

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

N

a) (n-1)2 b) (n+2)3 c) n3 d) (n+1)3 e) (n-1)3

2. Hallar el total de palabras: DIAGONAL

D I I

A A A G G G G

O O O O O N N N N N N

A A A A A A A L L L L L L L L L

a) 128 b) 64 c) 256 d) 32 e) 236

3. Hallar el total de palabras: KENYA

K

E E E

N N N N N

Y Y Y

A

a) 16 b) 19 c) 18 d) 24 e) 12

4. Hallar el número total de triángulos

a) 1000 b) 1331 c) 2221 d) 1221 e) 1321

5. Hallar: a +b + c

(21+6)(22+66)(23+666)….

10

10 6....6622 =

abcd....

a) 16 b) 12 c) 24 d) 18 e) 0

6. ¿Cuántas palabras “ROBERTO” hay en total?

R O B E R T O

O B E R T O T

B E R T O T R

E R T O T R E

R T O T R E B

T O T R E B O

O T R E B O R

a) 64 b) 120 c) 86 d) 128 e) 72

7. Halla: ababc.

Si: 3792. babc

1896. aabc

a) 22721 b) 22752 c) 32711 d) 42112 e) N.a

8. Los puntajes que obtiene un alumno e la academia, en sus exámenes son:

N° Examen Puntaje 1 ……………… 2 2 …………….... 5 3 ……………… 10 4 ……………… 17

¿Cuál fue la nota que obtuvo en el décimo segundo examen? a) 194 b) 137 c) 226 d) 145 e) 205

9. Se sigue la siguiente secuencia hasta que la suma de

los números de la esquina superior derecha e inferior izquierda sea 145. ¿Cuántos casilleros por lado tendrá la última figura?

1 4 7

1 3 2 5 8

1 ; 2 4 ; 3 6 9

a) 100 b) 144 c) 10 d) 12 e) 15

10. Observa la siguiente distribución:

10987

654

32

1

…………… ¿Cuántos números son necesarios para formar una distribución de 100 filas?

a) 5050 b) 2030 c) 2050 d) 5000 e) 5600

10

2

1 1

2

10

RAZ.MATEMÁTICO

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1. ¿Cuál es el mínimo valor de R = x2 + 6x + 11?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

Resolución:

R = x2 + 6x +11 R=

96 xx +2

R = (x+3)2 + 2

Luego: a R

⇒a2n 0 para n Z+ R mínimo = 0 + 2 = 2

2. Si un kilogramo de huevos contiene de 12 a

16, ¿Cuál es el máximo peso que puede contener 4 docenas de huevos?

a) 4 kg b) 5 kg c) 4,8 kg d) 5,5 kg e) 6 kg

Resolución:

PequeñosGrandes

huevoskghuevos 16112

Luego: 1 kg ------- 12 huevos x kg ------- 48 huevos

x = kg412

)48).(1(

3. En una urna hay 10 esferas amarillas, 12 azules y

15 verdes. ¿Cuál es el mínimo número que se debe extraer al azar de manera que se obtengan con seguridad 10 de un mismo color? a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 30

Resolución: Para tener la seguridad o certeza de un evento es

necesario asumir el peor de los casos posibles Luego: Si quiere: “10 esferas de un mismo color” 9 amarillas + 9 azules + 9 verdes + 1 bola Am Az Ve Rpta: 9 + 9 + 9 + 1 = 28

BLOQUEI 1. ¿Cuál es el mínimo valor de:

R = 6x2 + 12x – 15? a) -20 b) -21 c) 18 d) 21 e) -19

2. ¿Cuál es el mínimo valor de:

P = x2 – 6x + 10 a) 1 b) 2 c) -2 d) 4 e) 5

3. ¿Cuál es máximo valor de:

F = 20 + 10x – x2?

a) 20 b) 25 c) 40 d) 45 e) 50

4. ¿Cuál es el máximo valor de:

M = 60 – 12x – 6x2?

a) 66 b) 60 c) 56 d) 52 e) 62

5. ¿Para qué valor de “x”, la expresión tiene su mínimo

valor? A = (x+3)(2x-5)+12

a) -1/2 b) -1/3 c) -1/4 d) 1/2 e) 1/4

6. ¿Para qué valor de “x”, la expresión “P” toma su

máximo?

P =

14

362 xx

a) -1 b) -2 c) -1/4 d) -1/2 e) -3

7. Calcula el valor de x para que la región S sea

máxima

a) 2 b) 3 c) 7/3 d) 4 e) 4/7

8. En una bolsa se tiene caramelos de distintos

sabores, 5 de fresa, 4 de limón y 3 de menta I. ¿Cuál e la cantidad mínima que se debe extraer

para obtener con seguridad uno de cada sabor? II. ¿Cuántos debemos extraer como mínimo para

obtener con certeza 3 caramelos de fresa?

a) 11 y 12 b) 09 y 10 c) 10 y 10 d) 10 y 11 e) 11 y 10

9. En el aniversario de “Pitágoras” se encuentran

reunidos 480 personas ¿Cuántas personas como máximo deberán retirarse para que en dicha reunión tengamos la seguridad de que estén presentes dos personas con la misma fecha de cumpleaños? a) 114 b) 115 c) 116 d) 117 e) 118

10. En una caja hay 8 pares de calcetines de color

blanco, 8 pares de color negro, y en otra caja 8 pares de guantes blancos y otros tantos pares negros I. ¿Cuántos calcetines y guantes es necesario

sacra de cada caja al azar y como mínimo para conseguir un par de calcetines y un par de guantes del mismo color?

II. ¿Cuánto debe extraerse como mínimo para conseguir un par de guantes y un par de calcetines utilizables?

(Sacar primero calcetines y después guantes)

a) 18 y 34 b) 16 y 30 c) 15 y 30 d) 18 y 35 e) 15 y 35

11. en una caja hay 15 lapiceros de diferentes colores,

1 azul, 2 verdes, 3 celestes, 4 negros y 5 rojos. ¿Cuántos lapiceros se deben extraer al azar como mínimo para tener la certeza de conseguir uno de cada color? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

12. Ángela tiene en una urna 10 fichas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es el mínimo número que ha de extraer para la seguridad de haber sacado 3 con numeración consecutivas? a) 11 b) 8 c) 7 d) 5 e) 3

13. Calcula el área máxima de un rectángulo de

perímetro 100 metros a) 250 b) 625 c) 1250 d) 100 e) 750

14. En una conferencia entre los expositores se tiene 12

hombres y 10 mujeres, de los cuales se elige uno por uno y al azar. ¿Cuántas elecciones tendrá que realizar como mínimo para tener la seguridad que entre los elegidos se encuentre: I. Un hombre II. Una pareja mixta a) 10 y 14 b) 11 y 12 c) 12 y 13 d) 11 y 13 e) 11 y 10

15. Una librería tiene 9 tiendas distribuidas en toda la

ciudad. Si en total cuenta con 100 empleados y ninguna tienda tiene menos de 7 ni más de 13 de ellos, ¿Cuál es el menor número de empleados que puede haber en 3 tiendas? a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

16. En una caja hay 12 pares de guantes de color

blanco y 5 pares de guantes de color negro I) ¿Cuántos guantes se deben extraer como

mínimo para tener con seguridad 2 pares de guantes blancos utilizables?

II) ¿Cuántos guantes se deben extraer como mínimo para tener la certeza de obtener 3 pares de guantes negros y 4 pares de guantes blancos utilizables?

a) 28; 26 b) 25; 30 c) 30; 24 d) 24; 32 e) 26; 28

17. En una caja hay 10 pares de de medias blancas y

12 pares de medias negras I. ¿Cuál es el menor número que se deberá extraer de manera que se obtenga con seguridad un par utilizable? II. ¿Cuántos debemos extraer como mínimo para obtener 5 pares de medias negras? a) 4; 25 b) 5; 30 c) 6 ; 20 d) 3; 30 e) 8; 25

18. En una urna hay 20 bolas rojas, 16 bolas blancas y

23 bolas azules. ¿Cuántas bolas hay que sacar como mínimo para tener la seguridad d haber extraído 3 bolas de uno de los colores? a) 9 b) 7 c) 3 d) 6 e) 49

8

8 x

19. En una caja hay 12 bolas azules, 15 blancas, 18 verdes y 20 rojas. ¿Cuál es el mínimo número de bolas que se deben sacar para tener la certeza de haber extraído 13 bolas de uno de los colores? a) 48 b) 49 c) 51 d) 52 e) 50

20. A la orilla de un lago se encuentra un campesino

con una canoa, una cabra, un lobo hambriento y u paquete de alfalfa. ¿Cuántas veces como mínimo debe cruzar el lago, si en la canoa sólo entran 2 elementos? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

BLOQUE II

21. Se tiene 10 monedas de S/. 1; 23 de S/. 0,50 y 30

de S/. 0,20. ¿Cuántas se deben extraer al azar como mínimo para obtener 10 monedas del mismo valor en 2 de los 3 valores? a) 39 b) 28 c) 49 d) 40 e) 42

22. Se compra libros a precios que varían entre 10 y 15

soles, y se venden a precios que varían entre 30 y 42,5 soles. ¿Cuál es la mínima ganancia que se puede obtener al vender 40 libros? a) 60 soles b) 600 soles c) 800soles d) 950 soles e) 500 soles

23. Entre las ciudades A y B hay 5 garitas de peaje,

cuyos precios están dados en soles dentro de los círculos. ¿Cuál es la diferencia entre el máximo y el mínimo costo que representa ir de A a B sin pasar 2 veces por una misma garita? a) 14 b) 16 c) 19 d) 21 e) 12

24. Celia de da a su hija Juana, como propina, 5 soles

cada viernes, 10 cada sábado y 15 cada domingo. ¿Cuál es la máxima cantidad que Juana podrá recibir durante un mes de 30 días? a) 150 b) 140 c) 155 d) 145 e) 135

25. Se dispone de pesas de 1; 2; 4; 8; 16; 32; etc, kg

cada una. ¿Cuál será el mínimo número de pesas necesarias para equilibrar un peso de 393 kg? a) 12 b) 5 c) 13 d) 8 e) 4

26. En una caja hay 20 bolas cuyos pesos son: 1 g; 3 g;

5 g; 7g; …; 39; respectivamente. Cuánto se extraen cierto número de bolas y el peso total de las bolas de la caja disminuye en 375 g. ¿Cuántas bolas quedan en la caja como mínimo? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

27. Se tiene 6 candados: A, B, C, D, E y F y 3 llaves: X,

Y y Z si se sabe que cada llave sólo abre un candado. ¿Cuál es al mínimo número de intentos en que puede determinarse con seguridad qué llave corresponde a qué candado? a) 11 b) 10 c) 12 d) 13 e) 9

28. Si m peras pesan entre n y s gramos (n<s), ¿Cuál

es máximo número de pares que pueden haber en T kilogramos?

a)

m

Tn1000 b)

n

Tm1000 c)

m

Ts1000

d)

s

Tm1000 e)

n

Ts1000

29. ¿Cuántas filas se pueden formar como máximo con

12 personas, si encada una debe haber cuatro de ellas? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2

30. Pepe tiene una colección de “x” tomos de libros el

más ancho tiene y cm de espesor y el más delgado tiene z cm de espesor. Si Pepe va a construir un estante para colocarlos, ¿Cuál será la máxima longitud que tendrá dicho estante para que quepan todos los libros? a) (x+y)z b) (x-1)y+z c) xy-z d) (x-1)z+y e) (x-y)z-y

BLOQUE III

31. En una caja hay 12 bolas azules, 15 blancas, 18

verdes, 20 rojas. ¿Cuál es el mínimo número de bolas que se deben sacar para tener la certeza de haber extraído 13 bolas de uno de los colores?

a) 48 b) 50 c) 52 d) 51 e) N.A.

32. En una bolsa hay caramelos de 4 sabores distintos.

¿Cuántos debe tomarse como mínimo para tener la seguridad de haber extraído 5 del mismo sabor?

a) 18 b) 20 c) 17 d) 16 e) 15

33. En una caja hay 8 pares de calcetines de color

blanco, 8 pares de color negro; y en otra caja 8 pares de guantes blancos y otros tantos pares negros. I. ¿Cuántos calcetines y guantes es necesario sacar

de cada caja al azar como mínimo para conseguir un par de calcetines y un par de guantes del mismo color?

II. ¿Cuántos debe extraerse como mínimo para conseguir un par de guantes y un par de 20 calcetines utilizables?

a) 6 ; 10 b) 6 ; 20 c) 8 ; 10 d) 10 ; 20 e) 7 ; 10

34. En una caja hay 12 pares de guantes de color

blanco y 5 pares de guantes de color negro. I. ¿Cuántos guantes se deben de extraer como

mínimo para tener con seguridad 2 pares de guantes blancas utilizables?

II. ¿Cuántos guantes se debe extraer como mínimo

para tener la certeza de obtener 3 pares de guantes negros y 4 pares de guantes utilizables blancos?

a) 28 ; 26 b) 25 ; 30 c) 30 ; 24 d) 24 ; 30 e) 26 ; 28

35. En el sistema Rondom de un equipo de sonido

consiste en que la máquina relaciona aleatoriamente un disco compacto (CD) cualquiera y de este produce al azar 1 de sus temas. El equipo contiene 5 CD de “Chopping” con 6 temas diferentes c/u; 9 CD de Mozar con 8 temas distintos 4CD de Wagner con 8 tomos distintos. ¿Cuántos temas tendrá que reproducir como mínimo para tener la

seguridad de que entre ellos se halla escuchado dos temas de cada compositor?

a) 105 b) 110 c) 106 d) 100 e) 108

36. En la reunión de padres de familia del colegio San

Antonio de Abad se encuentran 300 personas. ¿Cuántas personas como mínimo deberán llegar para que en dicha reunión tengamos la seguridad de que estén presenten 2 personas con la misma fecha de cumpleaños? (Asumir que se trata de un año bisiesto)

a) 68 b) 67 c) 57 d) 48 e) 65

37. En un cartapacio hay 10 borradores, 16 tajadores y

20 lapiceros. ¿Cuántos útiles se deben extraer como mínimo para tener la seguridad de haber extraído 2 borradores y 3 tajadores?

a) 36 b) 34 c) 38 d) 30 e) 35

38. En una urna hay 10 esferas amarillas, 12 azules, 13

verdes. ¿Cuál es el mínimo número que se debe extraer al azar de manera que se obtenga 10 de un mismo color?

a) 30 b) 28 c) 35 d) 40 e) 25

39. En una caja hay 24 lapiceros de diferentes colores,

10 azules, 2 verdes, 3 celestes, 4 negros y 5 rojas. ¿Cuántos lapiceros se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de conseguir uno de cada color?

a) 22 b) 20 c) 23 d) 21 e) N.A.

40. Angela tiene en una urna 16 fichas numeradas del 1

al 16. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que se han de extraer para tener la seguridad de haber sacado 3 con numeración consecutiva?

a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 9

41. Un muchacho tiene en un bolsillo 5 chapitas

premiadas de la gaseosa A y 6 chapitas premiadas de la gaseosa B. ¿Cuántas chapitas tendrá que sacar de una en una para tener con certeza un par de la misma marca?

a) 6 b) 4 c) 2 d) 3 e) 1

42. Pepe va a una ciudad en busca de un amigo. En el

camino pierde la dirección, sin embargo, recuerda que en esa ciudad los números telefónicos son de 3 cifras, que el número de su amigo, empieza con 4, que es impar y que además, la suma de sus cifras es 12. ¿Cuántas llamadas como mínimo tendrá que hacer para dar con el teléfono de su amigo?.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 12

43. La edad promedio de 4 hombres es 65 años.

Ninguno de ellos es mayor de 70 años. ¿Cuál es la edad mínima que cualquiera de los hombres puede tener?

a) 67 años b) 65 años c) 54 años d) 50 años e) 45 años.

RAZ.MATEMÁTICO

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. FRACCIONES

FRACCIÓN PROPIA

Si: a < b = b

a es una fracción propia (numerador

menor que el denominador). FRACCIÓN IMPROPIA

Si: a > b = b

a es una fracción impropia (numerador

mayor que el denominador). FRACCIONES EQUIVALENTE “Si a los dos términos de una fracción se les multiplica o divide por una misma cantidad, la fracción no varía”. Ejemplo:

35

21

5

3 son equivalente (se ha multiplicado al

numerador y denominador por 7)

5

6

25

30 son equivalentes (se ha dividido al numerador y

denominador por 5) VARIACIÓN DEL VALOR DE UNA FRACCIÓN

Si: f = b

a es una fracción propia; entonces:

a) b

a

mb

ma

b) b

a

mb

ma

Si: f = b

a es una fracción impropia; entonces:

a) b

a

mb

ma

b) b

a

mb

ma

MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD

Este método se aplica en aquellos problemas que relacionan: obra, trabajo, caños, grifos, piscinas, desagües, etc.; donde no se conoce la magnitud del trabajo o tarea pero si es conocido el tiempo total que se necesita para hacer dicha obra. El procedimiento consiste en determinar el avance por unidad de tiempo, para lo cual basta tomar la inversa al tiempo total. Ejemplo: Si José hace una obra en 8 días, ¿qué parte de la obra hace en 1 día?

Rpta.: En un día hace 8

1 de la obra

Ejemplo: Si un trabajo se hace en 6 horas, en 1 hora hace

6

1 de la obra

De manera similar, si deseamos calcular el tiempo total hasta invertir el avance por unidad de tiempo. Ejemplo: Si en 1 hora hace 1/3 de una obra, todo lo hace en 3 horas.

Ejemplo: Un caño en 1 hora llena 1/7de un tanque, todo lo llena en 7 horas. Ejercicio: Ricardo hace un trabajo en 5 días y Roberto en 3 días. ¿En qué tiempo lo hacen juntos? Resolución: Ricardo en 1 días hace 1/5 de la obra Roberto en 1 día hace 1/3 de la obra

Luego juntos en 1 día hace: 15

8

3

1

5

1 de la obra

Tiempo total =

8

15 días.

1. Si 1/5 de “x” es igual a los 2/5 de y, ¿qué parte de (2x +.y) es (x -y)? a) 1/5 b) 1/10 c) 7/10 d) 3/2 e) 3/10

2. Sumar a 1/5 los 7/6 de 3/4. Si a este resultado se le

multiplica por los 5/3 de 4/5 de 10 obtenemos

a) 143

1 b) 13

3

1 c) 14

3

2

d) 13 e) 15 3. Calcula el valor de un número sabiendo que si a la

cuarta parte de sus 2/5 se le agrega los 2/5 de sus 5/8 y se resta los 3/8 de su quinta pare, se obtiene121 a) 280 b) 440 c) 220 d) 880 e) 420

4. Una piscina está llena hasta sus 5/6 partes. Si se sacara 20 000 litros, quedaría llena hasta sus 2/3 partes. ¿Cuántos litros faltan para llenarla? a) 20000 b) 30000 c) 40000 d) 36000 e) 120000

5. Se vende 1/3 de un lote de vasos. Si se quiebran 30 y quedan todavía 5/8 del lote, ¿de cuántos vasos constaba el lote? a) 620 b) 650 c) 670 d) 720 e) 750

6. Un envase contiene 48 litros de agua. Si se retiran

3/8 del contenido, luego los 2/3 del resto y por último los 3/5 del nuevo resto, ¿cuántos litros quedan? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

7. Se vendieron 1/5 de las entradas para una función

de cine, el día de la función se vendió 1/3 de las que quedaban, quedando por vender 48 entradas. ¿Cuál es la capacidad del cine? a) 72 b) 84 c) 90 d) 108 e) 112

8. Un alumno hace 1/3 de su asignatura antes de ir a

una fiesta, después de la fiesta hace 3/4 del resto y se va a dormir. ¿Qué parte de la asignatura le queda por hacer? a) 1/2 b) 1/6 c) 1/12 d) 2/3 e) 7/12

9. El sueldo de un profesor se incrementa en 1/5 y

luego disminuye en 1/5 de su nuevo valor. ¿Qué sucedió con el sueldo de dicho profesor? a) No varía b) Disminuyó 1/5 c) Aumenta en 4/5 d) Disminuye en 1/25 e) Aumenta 1/10

10. De un tonel del 400 L de vino se extrae 1/4 de lo

que no se extrae, luego 1/4 de lo que ya se había extraído. ¿Cuánto sé extrajo en total? a) 200 b) 250 c) 280

d) 350 e) 430

11. Una pelota cae desde una altura de 54 m y en cada rebote se eleva una altura igual a los 2/3 de la altura de la cual cayó. Hallar el espacio total recorrido por la pelotita hasta tocar por cuarta vez la superficie a) 160 b) 206m c) 208m d) 190m e) 186rn

12. Cierta tela después de lavada se encoge 1/5 de su

longitud y 1/6 de su ancho. ¿Cuántos metros deben comprarse para que después de lavada se disponga de 96 m2 sabiendo que el ancho originales de 80 cm a) 160m b) 180m c) 200m d) 210m e) 220m

13. De un total de 40 personas, se sabe que 12 son

varones y el resto mujeres. De las mujeres la cuarta parte son niñas. Determina qué parte de las mujeres son adultas. a) 21/28 b) 25/25 c) 16/23 d) 22/27 e) 23/28

REDUCCIÓN A LA UNIDAD 36. Una cañería llena una piscina en 12 horas y otra

cañería la llena en 60 horas. ¿En qué tiempo puede llenarse la piscina, si las dos funcionan simultáneamente? a) 5h b) 10h c) 12h d) 36h e) 72h

37. Tres hombres hacer, un trabajo en4 horas.

Sabiendo que el primero lo haría en 9 horas y el segundo en 12 horas, ¿qué tiempo tardaría el tercero trabajando solo? a) 14h b) 15h c) 18h d) 17h e) 16h

38. Un caño llena un pozo en 3 horas y otro lo vacía en

6 horas. ¿En qué tiempo se llenará el pozo, si se abre el desagüe una hora después de abrir el caño? a) 3h b) 3,5h c) 4h d) 5h e) 6h

39. Dos albañiles pueden construir, un muro en 20 días,

pero trabajando por separado uno tardaría 9 días, más que el otro. ¿Qué tiempo tardará este otro? a) 36 días b) 40 días c) 45 días d) 48 días e) 54 días

40. Dos grifos A y B llenan juntos un tanque en 30

horas. Si el grifo B fuese de desagüe se tardaría en llenar el tanque 60 horas. ¿En cuánto tiempo llenará la llave B el tanque estando éste vacío? a) 100h b) 110h c) 120h d) 80h e) 90h

41. A y B hacen una obra en 6dias; B y C en 4 días y A

y C harían la misma obra en 3 días; ¿En cuánto tiempo haría la obra “A” solo? a) 4dias b) 5dias c) 8dias d) 15dias e) l2dias

42. A y B pueden hacer una obra en 20 días; B y C

pueden hacer la misma obra en 15 días y A y C la pueden hacer en 12 días. ¿En cuánto tiempo harán la obra A; B y C juntos? a) 10 días b) 14 días c) 15 días d) 18 días e) 20 días

43. Si César es el triple de rápido que Arturo, ¿en qué

tiempo harán una obra si trabajan juntos, sabiendo que Arturo hace toda la obra en 6 horas? a) 1h 20m b) 1h 30rn c ) 1h 45m d) 1h 10m e) 1 h

44. Alfredo en “a” días puede hacer los m/n de una obra, pero Carlos en “n” días puede hacer los m/a de la misma obra. Si trabajan juntos, ¿cuántos días demoraran para hacer toda la obra? a) 2m/an b) an/2m c) an/m d) n/ma e) am/2n

RAZ.MATEMÁTICO

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. TANTO POR CUANTO

Nos indica une relación entre una parte y la unidad que ha sido dividida en 100 partes iguales. Es decir:

100

1

100

1

100

1

…

100

1

100

1

Luego:

1 parte < > 100

1 = 1% (uno por ciento)

2 parte < > 100

2 = 2% (dos por ciento)

3 parte < > 100

3 = 3% (tres por ciento)

100 parte <>100

100=100% (cien por ciento)

Observamos que:

1% = 100

1 a % =

100

a

1100

100%100

Observación:

* El 7 por 40 < > 40

7

* El 5 por 45 < > 45

20

* El 35 por ciento < > 100

35

* El “a” por “b” < > b

a

* El 90 por mil < > 1000

90

Tanto por ciento de tanto por ciento * El 20% del 10% de 40% es:

100

10.

100

20 . 40% = %

10

8 = 0.8%

* El 50% del 30% de 60% es:

100

30.

100

50 . 60% = 9%

* El a% del b% de c% es:

100.

100

ba . c% = %

10000

abc

Tanto por ciento de una cantidad

* El 20% del 30% = 100

20 . 30 = 6

* El 60% del 10% de 500

es = 100

10.

100

60 . 500 = 30

Operaciones con porcentaje * 20%A + 30%A = 50%A * 70%B - 30%B = 40%B * m+10%m = 100%m + 10%m = 110%m

1 * N – 30%N= 70%N * 2A + 10%A = 210%A * 20% más = 120% * 5% menos = 95% Relación parte – todo

%100.Todo

Parte

Ejemplos: ¿Qué tanto por ciento es 12 de 40?

40

12 . 100% = 30%

¿Qué porcentaje de 80 es 25?

80

25 . 100% = 31.25%

¿Qué porcentaje de “A es “B”?

B

A . 100%

En una reunión de 60 personas, el 20% son hombres y el resto mujeres. ¿qué porcentaje de las mujeres son los hombres?

Resolución: N° personas:

60 =

)(48

)(hom1260.100

20

mujeres

bres

Luego:

48

12 . 100% = 25%

Observación:

Pierdo Queda

10% 90%

75% 25%

8% 92%

40% 60%

Gano Tengo

20% 120%

30% 130%

80% 180%

100% 200%

DESCUENTO Y AUMENTOS SUCESIVOS Ejemplo 1 ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos

sucesivos del 10% y 30% de una cantidad? Ejemplo 2 ¿A qué aumento único equivalen tres aumentos sucesivos de 10%; 20% y 50}% de una cantidad? APLICACIÓN COMERCIAL Ejemplo: Aurelio compró una computadora en S/. 400 (precio de costo: PC) y decide ofrecerle en $500 (precio fijado: PF) sin embargo al momento de venderlo lo hace por S/. 420 (precio de venta PV) se realiza un descuento de (500 – 420 = 80 soles), y se obtuvo una ganancia de 420 – 400 0 20 soles, (ganancia por S/. 5 o sea se ganó realmente 20 – 5 = 15 soles (ganancia neta GN) Veamos: Luego del gráfico:

* DPPFV

* BCVGPP GB = GN + Gastos

Si hay pérdida: PPPCV

Ejemplo: Para fijar el precio de venta de un artículo se aumentó su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 40%. ¿qué tanto por ciento del costo se ha ganado? Resolución: Sea precio de costo: S/. x 1° PF = x + 80%x PF = 180%x 2° D = 40%PF 3° PV = 60%(PF) = 60%(180%x) = 108%x Luego: PV - PC + G 108%x = x + G = 8%x

Ganancia es el 8% del costo

PRACTICA 1. El 40% del 50% de x es el 30% de y. ¿Qué

porcentaje de (2x+7y) es (x+y)? a) 25% b) 12,5% c)20% d) 10% e) 22,5%

2. Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%, ¿a qué

único descuento equivalen? a) 48% b) 52% c) 44% d) 58% e) 54%

3. Tres descuentos sucesivos del 10%, 30% y 50%

equivalen a un único descuento de: a) 31,5% b) 52% c) 68,5% d) 47,6% e) 54%

PF =

Pc = GH = Gasto

s = D =

GB =

PV =

Unidad

100 partes iguales

4. Dos incrementos sucesivos del 20% y 30%, ¿a qué aumento equivale? a) 44% b) 50% c) 60% d) 55% e) 56%

5. Tres aumentos sucesivos del 10%, 60% y 80%

equivalen a un único incremento de: a) 200% b) 116% c) 216,8% d) 126,8% e) 178,2%

6. Si la base de un triángulo se incrementa en 30% y la

altura disminuye en un 20%, ¿cómo varia el área? a) -10% b) +4% c) -4% d) -2% e) +2%

7. Si el lado de un triángulo equilátero aumenta 30%,

¿cuál es la variación del área? a) +3% b) +40% c) +53% d) 69% e) +44%

8. En un triángulo la base se reduce en 10% mientras

que la altura se aumenta en 10% entonces el área: a) Se reduce en 99/200 b) No varía c) Aumenta 10% d) Se reduce en 1% e) Depende de las medidas

9. Si x aumenta en 44%. ¿qué ocurre con x1/2?

a) Aumenta en 20% b) Aumenta en 120% c) Aumenta en 44% d) Aumenta en 144% e) Aumenta en 12%

10. Si la longitud de una circunferencia aumenta

40%.¿qué ocurre con el área del circulo. a) Aumenta 96% b) Aumenta 120% c) Aumenta 12% d) Aumenta 144% e) Aumenta 30%

11. Si a un círculo le disminuyen 36% de su área, ¿en

qué porcentaje habrá disminuido su radio? a) 60% b) 10% c) 20% d) 80% e) 30%

12. En una tienda se hace al cliente dos descuentos

sucesivos del 10% y el 20% y aun gana el 40% del costo. Si el departamento de compras de dicha tienda compra un artículo en S/.360, ¿qué precio fijará para su venia? a) s/. 700 b) s/. 600 c) s/. 500 c) s/. 400 e) s/. 320

13. Si el lado de un cuadrado se triplica ¿en qué

porcentaje aumenta el área? a) 800% b) 900% c) 500% d) 600% e) 300%

14. El precio de un artículo se rebajo en 20%, para volverlo al precio original el nuevo precio se debe aumentar en: a) 25% b) 20% c) 24% d) 30% e) 50%

15. El radio de un círculo se duplica. ¿En qué

porcentaje aumenta el área?

a) 200% b) 400% c) 300% d) 240% e) 320%

16. Indicar V ó F:

( ) Siempre el 20% más el 30% es el 50% ( ) El 20% del 80% de un número es equivalente

al 16% del número ( ) La sexta parte, del cuádruplo de un número

más el 20% de dicho número es equivalente al 70% de dicho número

a) FFF b) VFV c) FVV d) FVF e) VVV

17. Si pierdo el 30% del dinero que tengo y ganara el

28% de lo que me quedaría perdería 156 soles. ¿Cuánto tengo? a) S/. 1450 b) S/.1400 c) S/.1750 d) S/.1500 e) S/. l550

18. Un boxeador debe retirarse cuando tenga un 90%

de triunfos. Si hasta el momento ha peleado 100 veces y ha obtenido 85 victorias, ¿cuántas peleas como mínimo debe realizar para poder retirarse? a) 50 b) 35 c) 48 d) 52 e) 30

19. Se rebaja el precio de un artículo en 10% y 20%

sucesivamente. ¿En qué tanto por ciento debe incrementarse el previo rebajado para que el nuevo precio sea 8% más que el precio original? a) 84% b) 50% c) 63% d) 59% e) 75%

20. Si Jorge tuviera el 25% más de la edad que tiene

tendría 65 años. ¿Qué edad tuvo hace 4 años? a) 56 años b) 48 años c) 46 años d) 42 años e) 52 años

21. En una reunión se sabe que el 30% del número de

hombres es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son hombres? a) 62% b) 53,5% c) 57,1 % d) 82,5% e) 42%

22. Si el 80% del 50% de M es el 30% de “N” ¿qué

porcentaje de (2M+ 7N) es (M + N)? a) 14,5% b) 20.5% c) 19,5% d) 20% e) 18%

23. En la siguiente expresión

pw

zyxE

.

.. 2

Si “z’ disminuye en 19%, “y” aumenta en 40% y “p” disminuye en 30%, ¿en qué porcentaje varía E? a) Aumenté en 190% b) Disminuyó en 190% c) Aumentó en 152% d) Aumentó en 135% e) Disminuyó en 98%

24. Un arquitecto ha provisto un recubrimiento de

losetas circulares para una cierta pared. Si todas las losetas son iguales, ¿cuál es el mínimo porcentaje de área de la pared que puede ser cubierto con dichas losas?

a) 78,5% b) 91% c) 75% d) 50% e) 800 por 1000

RAZ.MATEMÁTICO

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. ANÁLISIS COMBINATORIO

I. COMBINACIONES Se denomina combinaciones de “n” elementos tomados de “r” en “r”; al total de grupos de “r” elementos cada uno, que pueden tomarse con los “n” elementos de tal manera que cada grupo se diferencia de otro en por lo menos un elemento.

Su representación es: n

rC , y se lee combinaciones de “n”

en “r”, donde: n = Número total de elementos r = Número de elementos de cada grupo

Su fórmula:

COMBINATORIA CON REPETICIÓN

Ejemplo: ¿Cuántos productos diferentes, cada uno de tres factores podrán obtener con los números 2; 5; 7 y 9?

Resolución: Según el enunciado, nada se opone a que en cada producto haya 2 ó 3 factores iguales, luego los diferentes productos serán las combinaciones con repetición de 4 elementos tomados de 3 en 3.

6

3

134

3

4

3 CCCR 20

productos diferentes

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS

1. nCn 1

2. 10 nC

3. 1n

nC

4. nC n

n 1

5. 1

11

n

r

n

r

n

r CCC

6. 1

1

n

r

n

r Cr

nC

7. n

r

n

r Cr

rnC 1

1

8. n

rn

n

r CC

9. yxCC n

y

n

x x + y = n

10. 12... 121

nn

n

n

n

nn CCCC

11. Si n = par

1

1531420 2......

nn

n

nnnn

n

nnn CCCCCCCC

II. VARIACIONES Se denomina variaciones o combinaciones de “n” elementos tomados de “r” en “r” al total de grupos de “r” elementos cada uno, que pueden formarse con los “n” elementos de tal manera que cada grupos se diferencie del otro en por lo menos un elemento, o por el orden en el cual se han dispuesto sus elementos. Por ejemplo, si tenemos los elementos a, b y c las variaciones de estos tres elementos tomados de dos en dos será:

1. Considerando la diferencia de por lo menos un

elemento: ab; ac; bc tres grupos 2. Considerando el orden: ba; ca; cb tres grupos

Osea, las variaciones de tres elementos en grupos de dos es: 6

Osea : Número total de elementos es 3 Número de elementos de cada grupo es 2 Luego : Número de variaciones de 3 en 2, es igual a 6

En resumen: V3

2= 3.2 = 6

En general, si: n = Número total de elementos r = Número de elementos de cada grupo

VARIACIONES CON REPETICIÓN Son aquellos cuyos elementos pueden repetirse una o varias veces, se representa por:

Donde:

grupocadadeelementosdeNúmeror

elementosdetotalNúmron

III. PERMUTACIONES Se llama permutación de “n” elementos al total de grupos diferentes que se pueden formar con los “n” elementos de manera que cada grupo tenga los “n” elementos y sólo difieren en el orden de sus elementos.

Notación:

P(n) se lee: permutaciones de “n” elementos

PERMUTACIÓN CIRCULAR Son agrupaciones donde no hay primer ni último término por hallarse todos en una línea cerrada

PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN

El número de permutaciones distintas que se pueden formar

con “n” objetivos, entre los cuales hay “” iguales entre sí,

…., y finalmente “” iguales entre sí, es:

n = + + …… +

PRACTICA BLOQUE I

ENUNCIADO: “Lalo tiene 6 pantalones, 4 camisas y 5 pares de zapatos, todos de diferentes colores entre sí”

45. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse?

a) 15 b) 240 c) 60 d) 120 e) 72

46. ¿De cuántas maneras diferentes puedes vestirse, si

3 de los pantalones fuera iguales? a) 120 b) 60 c) 80 d) 12 e) 720

47. ¿de cuantas maneras puede vestirse, si la camiseta blanca siempre la usa con e l pantalón azul? a) 95 b) 80 c) 120 d) 61 e) 91

48. Si deseas viajar a Chile y dispones de 3 barcos, 5

aviones y 4 buses (todos diferentes entre sí). ¿de cuántas maneras puedes realizar dicho viaje? a) 11 b) 60 c) 12 d) 42 e) 51

BLOQUE II ENUNCIADO: “De Lima a Ica existen 4 caminos diferentes, de Ica a Tacna 5 caminos también diferentes” 49. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima

a Tacna, pasando siempre por Ica? a) 9 b) 20 c) 12 d) 40 e) 625

50. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima

a Tacna y regresar, si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida? a) 400 b) 380 c) 240 d) 399 e) 401

51. De un grupo de 15 personas que estudian sólo 2

idiomas cada uno, se sabe que 4 de ellos estudian inglés y alemán, 5 inglés y francés y los otro sólo alemán y francés. Si se quiere escoger 2 personas que hagan juntos la traducción de una lectura a cualquiera de los 3 idiomas mencionados. ¿De cuántas formas se puede elegir? a) 28 b) 72 c) 92 d) 48 e) 120

52. Un juego consiste en un juego cuadriculadote 4x4.

¿De cuántas formas distintas pueden colocarse 2 fichas, sin que estén en la misma columna ni en la misma fila? a) 64 b) 56 c) 132 d) 144 e) 256

53. 5 viajeros llegan a una comunidad en la que hay 6

hoteles. ¿De cuántas maneras pueden ocupar sus cuartos debiendo estar cada uno en los hoteles diferentes? a) 60 b) 24 c) 120 d) 720 e) 30

54. Se tiene en una urna con fichas azules y verdes,

para ganar 1 sol, es necesario sacar fichas azules y seguidas ó 2 fichas verdes de cualquier forma. ¿De cuántas maneras se puede ganar 1 sol? a) 7 b) 2 c) 6 d) 8 e) 9

55. Dos varones y tres chicas van al cine y encuentran

5 asientos juntos, en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las tres chicas no quieren estar una al costado de la otra? a) 10 b) 16 c) 18 d) 15 e) 12

56. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir

una persona que tiene 6 ternos (iguales), 5 pares de medias (3 iguales), 2 pares de zapatos, 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas (3 iguales)? a) 420 b) 168 c) 288 d) 840 e) 2880

57. Para ir de “A” hacia “B” existen 6 caminos y para ir

de “B” a “C”existen 5 caminos. De cuántas maneras se puede:

- Ir de “A” hacia “C” pasando por “B” - Ir de “A” hacia “C” pasando por “B” y regresar - Ir de “A” hacia “C” pasando por “B” y regresar

en un caminos diferente

!)!(

!

rrn

nCn

r

1 rn

r

n

r CCR

V n

r=

)!(

!

rn

n

VRn

r= nr

P (n) = n!

PC (n) = P(n – 1) = (n – 1)!

P ....;;

n =!.....!!

!

n

Dar como respuesta la suma de los tres resultados a) 1500 b) 1530 c) 1350 d) 1850 e) 1580

58. Si Juan tiene 4 camisas, 5 pantalones y 3 pares de

zapatos, ¿De cuántas maneras se podría vestir combinando sus prendas?

- Si la camisa azul la debe emplear con su pantalón negro

- Si el pantalón lo debe emplear con la camisa blanca

- Si la camisa verde no la emplea ni con el pantalón blanco ni con el celeste

- Si el pantalón crema no le emplea ni con la camisa blanca ni con la camisa verde.

Dar como respuesta la suma de los resultados a) 264 b) 246 c) 156 d) 462 e) 126

59. De cuantas maneras pueden sentarse 5 personas:

- En una fila de 5 asientos - En una fila de 5 asientos con Juan en el centro - En una fila de 5 asientos con Raúl en un

extremo - En una fila de 5 asientos con Luis y María

siempre juntos Dar como respuesta la suma de los resultados a) 180 b) 240 c) 160 d) 200 e) 120

60. Un barco lleva 8 banderas para hacer señales:

- Cuántas señales se podrían enviar empleando sólo 3 de ellas

- Cuántas señales se podrían enviar con 4 de ellas empezando con el rojo y terminando con el azul

- Cuántas señales se podrían enviar con 5 de ellas si el blanco y el azul deben estar en los extremos

Dar como respuesta la suma de los resultados a) 1000 b) 1760 c) 670 d) 1002 e) 1200

61. ¿De cuántas maneras se pueden escoger en el

tablero de 6x6 una casilla blanca y una negra que no estén en una misma línea horizontal y vertical? a) 701 b) 720 c) 216 d) 920 e) 1020

62. Si Julia tiene para vestirse; 5 pantalones, 3

minifaldas, 2 polos y 8 pares de zapatos, ¿De cuántas maneras podría vestirse, si todas las prendas son de colores diferentes? a) 512 b) 510 c) 720 d) 729 e) 448

63. Si de “A” hacia “B” hay 5 caminos y de “B” hacia “C”

8 caminos, ¿De cuántas maneras se pueden ir de “A” hacia “C” pasando por “B” y regresar en una ruta diferente? a) 1100 b) 1120 c) 1210 d) 1102 e) 1200

64. Un club tiene 12 miembros de los cuales 6 son

hombres. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros: presidente, vicepresidente y vocal pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente debe ser u hombre? a) 210 b) 360 c) 420 d) 462 e) 576

BLOQUE III

65. ¿De cuántas maneras diferentes 2 peruanos; 4

argentinos y 3 colombianos pueden sentarse en fila, de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? a) 864 b) 1700 c) 892 d) 688 e) 1728

66. 6 personas deben levantar un cilindro circular recto lleno de agua, abierto en la parte superior, ¿De cuántas maneras se pueden colocar alrededor del cilindro? a) 60 b) 24 c) 120 d) 720 e) 840

67. Una familia con 3 hijos salen al campo. Una vez que

llegaron al campo prenden una fogata. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar los miembros de esta familia alrededor de la fogata, de modo que los padres siempre estén juntos? a) 12 b) 24 c) 48 d) 96 e) 60

68. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse una

consonante y una de las letras de la palabra PROBLEMA? a) 4 b) 7 c) 12 d) 15 e) 20

69. De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 8

personas en un automóvil con capacidad para 5, sabiendo que Eulogio siempre es el conductor a) 35 b) 210 c) 21 d) 120 e) 840

70. ¿Cuántos números diferentes de 5 cifras pueden escribirse con los 5 primeros números naturales, sin que se repita ninguno de ellos? a) 60 b) 24 c) 120 d) 720 e) 12

71. Una persona tiene 4 camisas (celeste, crema,

blanco y azul), 4 pantalones de los mismos colores y 4 chompas también de los colores mencionados. ¿De cuántas maneras puede vestirse cuidando que la camisa, pantalón y chompa sean de colores diferentes? a) 12 b) 24 c) 30 d) 36 e) 61

72. Se tiene 7 jugadores de fulbito. ¿Cuántos equipos

se pueden formar sin cambiar de arquero? a) 1260 b) 252 c) 522 d) 440 e) 4320

73. En una oficina hay 4 escritorios que pueden ser

ocupados c/u hasta por 2 personas. Si hay 3 secretarias, ¿De cuántas maneras pueden sentarse? a) 24 b) 42 c) 56 d) 336 e) 72

74. Con seis pesas de a; b; c; d; e y f kg. ¿Cuántas

pesadas diferentes pueden obtenerse tomadas aquellas de tres en tres? a) 15 b) 20 c) 120 d) 60 e) 30

BLOQUE IV

75. Se va a colorear un mapa de cuatro países, con

colores diferentes para cada país. Si hay disponibles 6 colores diferentes ¿De cuántas maneras diferentes se puede colorear el mapa? a) 36 b) 72 c) 240 d) 360 e) 420

76. ¿De cuántas maneras diferentes se pudieron

sentarse en la última cena, alrededor de la mesa, Jesucristo y los doce apóstoles? Obs. : Asumir que la mesa s circular a) 13! b) 12! c) 11! d) 10! e) 14!

77. ¿Cuántas comisiones integradas por un chico y una

chica pueden formarse de cinco chicos y de ocho chicas, si cierto chico rehusa trabajar con dos d las chicas? a) 40 b) 32 c) 36

d) 38 e) 42 78. Tenemos 7 bolas numeradas y se quiere saber de

cuántas maneras se podemos sacar primeros dos bolas, luego 3 y finalmente 2 en ese orden. a) 120 b) 210 c) 420 d) 720 e) 56

79. Cierto día oscuro en la maternidad de Lima nacen

cuatro pares de mellizos, idénticos; dos pares de mellizas idénticas; nueve niños y 11 niñas. Se utiliza una tinta no indeleble para escribir sus nombres. Al día siguiente (aún oscuro) la tinta desaparece. ¿De cuántas maneras es posible mezclar los niños? a) 32! b) 32! . 31! c) 32! . 2! d) 32!/6! e) 32!/(2!)6

80. El equipo de fulbito de “Promedio21” tiene 10

jugadores. ¿Cuántos equipos diferentes de 6 jugadores cada uno podría formase, sabiendo que en todos ellos siempre tiene que estar como “capitán”el mismo jugador? a) 140 b) 126 c) 15120 d) 9360 e) 1120

81. ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden formar uniendo los vértices de un hexágono? a) 10 b) 12 c) 18 d) 20 e) 24

82. ¿De cuántos paralelogramos se pueden formar al

cortar un sistema de 7 rectas paralelas, por otro sistema de 4 rectas paralelas? a) 21 b) 72 c) 63 d) 120 e) 126

83. ¿De cuántas formas se podrían ubicar en una fila 4

hombres y 3 mujeres, si éstas deben ocupar los lugares pares? a) 120 b) 121 c) 144 d) 72 e) 36

84. ¿De cuántas formas pueden ubicarse los 5

delanteros de un equipo de fútbol si los extremos permanecen invariables? a) 120 b) 60 c) 6 d) 22 e) 24

85. Dados: 5 ingenieros, 4 periodistas y 3 matemáticos,

escoger un comité de 6 personas que tenga 3 ingenieros, 2 periodistas y un matemático. ¿De cuántas maneras se podrá hacer? a) 180 b) 182 c) 190 d) 200 e) 360

86. ¿Cuántos números de 3 cifras distintos existen?

a) 900 b) 810 c) 648 d) 721 e) 878

87. Hay dos obras de 3 volúmenes cada una y otras dos

de dos volúmenes cada una. ¿De cuántas maneras pueden colocarse todos los libros en un estante, de modo que no se separen los volúmenes de cada obra? a) 3456 b) 3600 c) 96 d) 3920 e) 3645

88. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra MISSISSIPPI? a) 11! b) 10! c) 20240 d) 340340 e) 34650

89. En una biblioteca hay 8 libros de geografía, 14 de

álgebra, 10 de física y de 5 de química. ¿De cuántas maneras puede un estudiante seleccionar 4 libros, de manera que se uno de cada curso mencionado? a) 3200 b) 1800 c) 2700 d) 4360 e) 5600

RAZ.MATEMÁTICO

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. PROBABILIDADES

1. Se lanzan 3 dados simultáneamente calcular ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? a) 6 b) 12 c) 18 d) 216 e) 36

2. Al lanza 2 dados ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado del primer dado sea mayor que el segundo?

a) 6

1 b)

2

1 c)

3

1

d) 30

1 e)

12

5

3. Determinar la probabilidad de que al extraer 2 Cartas

de una baraja; estas sean espadas

a) 13

1 b)

2

1 c)

17

1

d) 28

3 e)

25

4

4. En una bolsa se tiene 9 caramelos de limón y 3 de

fresa. Si se extraen al azar 2 Caramelos. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 caramelos de Limón?

a) 13

6 b)

11

6 c)

11

5

d) 11

3 e)

11

9

5. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres

monedas se obtengan tres caras o tres sellos?

a) 2

1 b)

3

1 c)

4

1 d)

5

1 e)

6

1

6. Si lanzamos 2 dados. ¿Cuál es la probabilidad de que

la suma de los valores sea 7?

a) 2

1 b)

3

1 c)

6

1 d)

12

1 e)

4

1

7. Se tiene una Urna que contiene 6 bolas blancas y 10 bolas negras. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar 2 bolas; éstas sean de color blanco?

a) 2

1 b)

3

1 c)

4

1 d)

8

1 e)

6

1

8. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola de

una caja donde hay 3 bolas rojas, 7 bolas blancas y 6 bolas negras esta no sea roja?

a) 16

11 b)

16

13 c)

16

7

d) 16

9 e)

16

3

9. Se extrae una baraja normal. Calcular la probabilidad de obtener un número par.

a) 4

1 b)

9

2 c)

13

6

d) 12

5 e)

20

7

10. Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras; otra

contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Si se extrae una bola de cada Urna. Calcular la probabilidad de que ambas sean de color negro?

a) 8

1 b)

4

1 c)

8

3

d) 3

2 e)

6

1

11. Una Urna contiene 30 bolas numeradas del 1 al 30.

¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar al azar una bola, resulte par ó múltiplo de 5?

a) 2

1 b)

3

2 c)

5

3

d) 7

4 e)

5

2

12. Se extrae un bolo de un total de 10; los cuales están

numerados del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad que dicho bolo sea múltiplo de 3; si se sabe que fue par?

a) 2

1 b)

3

1 c)

4

1 d)

5

1 e)

6

1

13. Un industrial de confecciones, sabe que por

experiencia pasada, que la probabilidad de que un pedido esté listo para ser distribuido es 0,80 y que estará listo, para entregarse a tiempo es 0,72.¿Cuál es la probabilidad de que este pedido se entregue a tiempo, dado que estuvo listo su envió?

a) 0,80 b) 0,85 c) 0,08 d) 0,90 e) 0,95

14. Si una bolsa de caramelos de los cuales 7 son de limón y 5 son de menta. Si extraemos 3 caramelos, una por uno sin reposición ¿Cuál es la probabilidad de que el primero sea de limón y el segundo, sea de menta y el tercero de limón?

a) 44

7 b)

11

5 c)

12

7 d)

44

5 e)

44

9

15. Carlos rinde un examen parcial y la calificación es de

0 a 20.¿Cuál es la probabilidad de que tenga una nota par mayor que 14?

a) 21

4 b)

20

3 c)

7

1 d)

8

1 e)

7

2

16. Se arrojan dos dados balanceados uno negro y otro

rojo. Halle la probabilidad de obtener la suma igual a seis ó la obtención de un número 2 en el dado negro.

a) 17

3 b)

17

4 c)

18

5 d)

18

7 e)

3

1

17. Halle la probabilidad de obtener al menos un 4 en dos

lanzamientos de un dado balanceado.

a) 16

1 b)

36

1 c)

36

11d)

36

5 e)

36

7

18. Yazmín; Helen y 4 amigas más van a ser ubicadas en

una banca de 6 asientos. ¿Cuál es la probabilidad de que Yazmín y Helen se sienten juntas?

a) 2

1 b)

3

1 c)

4

1 d)

5

1 e)

6

1

19. Tres cazadores disparan simultáneamente contra una

liebre. El primero consigue hacer blanco 3 veces de cada 5; el segundo 3 veces de cada 10 y el tercero solamente 1 vez de cada 10. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos, uno de los tres cazadores alcance a la liebre?

a) 250

9 b)

250

7 c)

250

187

d) 250

63 e)

250

21

20. En una caja hay 160 bolas iguales, numeradas del 1

al 160. Una persona extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída tenga un número que sea múltiplo de 4?

a) 2

1 b)

3

1 c)

4

1 d)

6

1 e)

8

1

21. Considerando que la semana empieza el lunes. ¿cuál

es la probabilidad de que al escoger Roberto 2 días del mes de Abril para salir con su enamorada; estos resulten ser días consecutivos y de la misma semana; si además el 1ro de Abril fue Lunes?

a) 145

7b)

145

3c)

145

8

d) 145

16 e)

154

7

22. Un alumno tiene la probabilidad de aprobar

estadística 0,40 y de aprobar física es 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar solo uno de dichos cursos?

a) 0,44 b) 0,56 c) 0,66 d) 0,34 e) 0,76

23. Una pareja planifica tener 4 hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que entre ellos haya a lo más 3 niños?

a) 16

1 b)

16

3c)

16

15d)

32

15 e)

8

5

24. Una pareja y sus cuatro hijos salen al campo. Una vez

que llegan prenden una fogata y se sientan alrededor de ésta. ¿Cuál es la probabilidad de que los padres estén siempre juntos?

a) 2

1 b)

3

1 c)

5

1d)

5

2

e) 5

3

25. Una caja contiene 5 tubos defectuosos y 7 no defectuosos. Se extraen 3 a la vez. Se prueban dos de ellos y se encuentra que son no defectuosos. ¿cuál es la probabilidad que el otro también sea no defectuoso?

a) 2

1 b)

3

1 c)

4

1 d)

6

1 e)

5

1

26. Una caja contiene 20 bolas numeradas del 1 al 20.

Las 6 primeras son negras y las restantes son rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola salga negra ó numero par?

a) 20

3 b)

20

7c)

20

11 d)

20

13 e)

20

1

27. Se arrojan 5 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de

obtener 3 sellos y 2 caras?

a) 16

5 b)

32

5 c)

16

3 d)

32

3 e)

35

4

28. De una baraja de naipes de 52 cartas, se extraen 2

cartas al azar. ¿cuál es la probabilidad de que las cartas extraídas sean uno rey y una jota?

a)663

4b)

663

2c)

1326

1d)

663

8e)

13

4

29. En una fiesta donde asistieron 90 personas; resulta

que 70 fuman; 50 beben y 15 no fuman ni beben; si de éstas personas se eligen una de ellas al azar. ¿Cuál es la probabilidad que beba y fume?

a) 3

2b)

2

1 c)

5

1 d)

7

4 e)

8

3

30. La probabilidad de que Ruth estudie computación es

0,75 y la probabilidad que estudie enfermería es 0,50. Si la probabilidad de que estudie computación ó enfermería es 0,85 ¿Cuál es la probabilidad de que estudie sólo una de estas carreras? a) 0,21 b) 0,35 c) 0,45 d) 0,56 e) 0,64

31. Se tiene 5 libros; 3 de R.M y 2 de R.V.; ordenados en un estante. ¿cuál es la probabilidad de que los Libros de R.V. sean separados por los 3 libros de R.M.?

a) 0,20 b) 0,25 c)0,30 d) 0,50 e) 0,10

32. La probabilidad de que Bárbara estudie para el examen de Ingreso es 0,3. Si estudia la probabilidad de que ingrese es 0,7 pero si no estudia, la probabilidad es sólo 0,4. Si Bárbara ingreso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya estudiado?

a) 2

1 b)

3

1 c)

4

3 d)

7

3 e)

7

4

33. Enrique, Juan y Robert ejecutan un penal; las

posibilidades para hacer gol, son 3

1;

2

1 y

4

1

respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos haga un gol?

a) 2

1 b)

3

1 c)

4

1 d)

4

3 e)

3

2

34. Durante todas las noches del mes de octubre; Susana

escucha música ó lee un libro. Escucha 21 noches y lee un libro 15 noches. Si se elige una de esas noches al azar y Susana escucha música ¿Cuál es la probabilidad de que lea un libro?

a) 31

5 b)

3

1 c)

3

2 d)

21

16 e)

21

5

35. Ocho amigos juegan al golf; 5 jóvenes y 3 adultos. Si

los jóvenes tienen la mitad de habilidad de los adultos. ¿Cuál es la probabilidad de que un juego gane?

a) 8

5 b)

9

5 c)

2

1 d)

11

5 e)

13

5

36. En una ánfora se colocan bolas numeradas con todos

los números de 3 cifras. Si se extrae un bolo. ¿cuál es la probabilidad de que no se extraiga un numero capicúa?

a) 10% b) 30% c) 40% d) 45% e) 90%

37. Se escriben todas las palabras de 8 letras empleando todas las letras de la palabra MEDICINA. Señale la probabilidad de que la letra “ I ” aparezca al inicio y la final.

a) 28

1 b)

3

1 c)

4

1 d)

4

3 e)

7

1

38. Se escoge aleatoriamente un número de 10 cifras,

cuya suma de sus cifras es 88. Calcular la probabilidad que sea par.

a) 11

3 b)

5

3 c)

55

9 d)

11

9 e)

5

9

39. 6 Empleadores de una empresa han dejado sus

tarjetas de identidad en una caja que no contiene nada más. Al terminar el día, cogen sus tarjetas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de los empleados elijan sus tarjetas correctas?

a) 12

1 b)

8

1 c)

6

1 d)

24

1 e)

35

3

40. Seis personas se sientan al azar, alrededor de una fogata. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 personas ocupen lugares continuos?

a) 0,3 b) 0,4 c) 0,6 d) 0,7 e) 0,9

1. Se lanzan simultáneamente una moneda y un dado. Calcular la probabilidad de obtener una cara y un número par?

a) 3

1 b)

4

1 c)

6

1 d)

3

2 e)

4

3

2. Se lanzan 2 monedas y un dado ¿cuál es la

probabilidad de que aparezcan dos sellos y un número impar?

a) 0,5 b) 0,125 c) 0,25 d) 0,6 e) 0,11

3. Se lanza un par de dados. Si los números que

resultan son diferentes. Hallar la probabilidad de que su suma sea impar.

a) 5

3 b)

10

3 c)

10

7 d)

3

1 e)

8

2

4. En un Ómnibus viajan 16 Varones, 18 damas y 20

niños ¿Cuál es la probabilidad de que el primero en bajar sea un niño?

a) 53

15 b)

53

18 c)

27

10 d)

53

38 e)

53

35

5. Una caja contiene 12 cartas rojas, 6 blancas y 8

negras, se saca una sin mirar, ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea roja?

a) 20

12 b)

13

6 c)

7

5 d)

13

9 e)

13

3

6. 9 amigos se sientan al azar en circulo. ¿Cuál es la

probabilidad de que 2 de ellos queden juntos?

a) 2

1 b)

3

1 c)

4

1 d)

8

1 e)

5

1

7. 6 parejas de casados se encuentran en una

habitación, si las 4 personas se escogen al azar, encontrar la probabilidad de que se escojan 2 parejas de casados.

a) 2

1 b)

3

1c)

17

1 d)

33

1e)

5

2

8. Hallar la probabilidad de que al lanzar tres dados,

la suma de los números que se obtengan sea igual a 10.

a) 2

1 b) 0,25c) 0,125 d)

4

3e) 0,7

9. En un casting se seleccionan a 5 varones y 7

mujeres; de los cuales se aceptarán a 4 de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo aceptado sea mixto?

a) 9

1b)

90

1c)

99

1 d)

97

90e)

99

91

10. En una fiesta donde asistieron 90 personas, resulta

que 60 fuman, 40 beben y 10 no fuman ni beben; si de éstas personas se eligen una de ellas al azar. ¿Cuál es la probabilidad que beba y fume?

a) 3

2 b)

9

2c)

15

1d)

2

1 e)

5

2

11. Determinar la probabilidad que aparezca una bola

blanca al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 bolas blancas , 3 rojas y 5 azules: A)1/4 B)1/3 C)1/5 D)1/2 E)N.A

12. Una caja contiene 5 bolas rojas, 4 bolas blancas y

3 bolas azules, Si se extraen 5 bolas al azar, determinar la probabilidad de que 3 sean rojas y 2 sean blancas:

A)1/11 B)3/22 C)4/33 D)5/33 E)2/33

13. Seis parejas de casados se encuentran en una

habitación, si las 4 personas se escogen al azar, encontrar la probabilidad que se escojan 2 parejas de casados

A)1/22 B)1/33 C)2/33 D)4/33 E)N.A.

14. Una clase contiene 10 hombres y 20 mujeres de

los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen ojos castaños, encontrar la probabilidad de que una persona escogida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños:

A)1/3 B)2/5 C)2/3 D)3/4 E)1/6

15. En una bolsa. Se tienen 5 caramelos de fresa, 4 de

limón y 2 de naranja , si extraemos 3 caramelos al azar ¿Cuál es la probabilidad de sacar por lo menos 1 caramelo de cada tipo?

A)8/33 B)4/33 C)5/23 D)3/23 E)7/23.

16. Con 7 médicos y 4 ingenieros se debe formar un

grupo de 6 miembros ¿Cuál es la probabilidad que el comité incluya al menos dos ingenieros?

A)53/65 B)51/71 C)51/72 D)53/73 E)36/81

17. Cual es la posibilidad de elegir una palabra donde no haya 2 vocales ni 2 consonantes juntas de todas las palabras que se forman la palabra morena:

A)1/10 B)9/10 C)1/20 D)19/20 E)N.A

18. Se va ha seleccionar un grupo de tres personas a partir de un grupo de cinco, denotadas por A, B, C, D, E. cuál es la probabilidad y posibilidad de:

A) que sea seleccionado B. B) que sea seleccionado A y B C) que no sea seleccionado A ó C D) que uno de ellos no sea seleccionado

19. Entre los 200 empleados de un departamento hay

150 graduados, 60 del total consagran parte de su tiempo por lo menos a trabajos de estadística y 40 de los graduados dedican parte de su tiempo por lo menos a trabajos de estadística. Si se toma al azar uno estos empleados ¿Cuál es la probabilidad de que no sea graduado y no trabaje en estadística?

A)0,20 B)0,15 C)0,10 D)0,05 E)N.A.

20. Al lanzar 3 monedas Cual e la probabilidad de

obtener A) 3 caras o 3 sellos B) al menos 2 sellos C) a lo mas 2 sellos D) 2 sellos E) por lo menos los resultados de dos

monedas sean iguales

21. En una urna se tienen 4 canicas rojas, 5 verdes y 3 amarillas. Si se extraen 3 una por una. Cual es la probabilidad (con reposición y sin reposición) de: A) que las 3 sean diferentes B) que dos sean rojas y una verde C) que dos sean verdes y una amarilla D) que dos sean amarillas

22. Cual es la probabilidad de que al lanzar dos dados , la suma de puntos sea:

A)8 B)menor que 5 C)mayor que 8 D)5ó6

23. Dos dados del tienen el mismo color en las caras

opuestas de cada uno de ellos y en cada dado aparecen los colores ; rojos , blanco y azul. Al lanzar el par de dados ¿cual es la probabilidad ? A) de que los colores resultados sean

diferentes B) ¿de que no aparezca blanco? C) ¿de que aparezcan del mismo color?

24. Cual es el precio adecuado a pagar para participar en un juego en el que se puede ganar 50 y 10 soles con probabilidad de 0,2 y 0,5 respectivamente?

A)S/.25 B)S/.20 C)S/.15 D)S/.10 E)N.A.

25. En un negocio arriesgado un hombre puede

obtener una ganancia de 1000 soles o sufrir una perdida de 500 soles la probabilidad de una ganancia (ó perdida) esperada en esa aventura?

A)S/.200 B)S/.300 C)S/.400 D)S/.350 E)N.A.

26. La probabilidad conocida de que un hombre de 30

años sobreviva un año es 0,99 Una compañía de seguros ofrece a ese hombre venderle una póliza de seguros de vida de un año de 10000 soles a una prima de 110 soles ¿Cuál es la ganancia esperada de la compañía? A)S/.50 B)S/.40

C)S/.30 D)S/.20 E)S/.10