RADICALES

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• Concepto

• Operaciones

ConceptoLa operación inversa de la potenciación es la

radicación. En ella, conocidos el resultado de la potencia y

su exponente, hemos de calcular la base.Dado un número real a, se llama raíz enésima

(o radical de índice n) de a a todo número real r que verifique que r n = a.

Se escribe = r

Raíz cuadrada La raíz cuadrada de un número a es otro número b tal que, al elevarlo al

cuadrado, obtenemos el número a. = b b 2 = aDonde b es la raíz cuadrada, es el símbolo de la raíz y a es el radicando.Calcular la raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.A los números cuya raíz cuadrada es exacta se les llama Cuadrados perfectos.Observamos los mosaicos anaranjados a continuación. Con 1, 4 y 9 azulejos podemos formar cuadrados (figura). Estos números son cuadrados perfectos.

Ejemplos de Raíz cuadrada

Calculamos las raíces de los 10 primeros cuadrados perfectos:

1 = 1, porque 12 = 1

4 = 2, porque 22 = 4

9 = 3, porque 32 = 9

16 = 4, porque 42 =

16

25 = 5, porque 52 =

25

36 = 6, porque 62 = 36

49 = 7, porque 72 = 49

64 = 8, porque 82 = 64

81 = 9, porque 92 = 81

= 10, porque 102 =

100

Raíz cuadrada enteraNo todas las raíces cuadradas son exactas; en

ocasiones, el radicando es un número que no es un cuadrado perfecto. En ese caso, hablamos de raíz cuadrada entera.

La raíz cuadrada entera de un número es el mayor número entero b cuyo cuadrado es menor que el radicando a.

El resto es la diferencia entre el radicando y el cuadrado de la raíz entera.

Resto = radicando - (raíz) 2

Ejemplo de Raíz cuadrada enteraCalculamos 39. El radicando es 39, que no es un cuadrado perfecto

porque no existe ningún número cuyo cuadrado sea exactamente igual a 39.

Buscamos el mayor número entero cuyo cuadrado se aproxime a 39:

42 = 16 y 16 < 3952 = 25 y 25 < 3962 = 36 y 36 < 3972 = 49 y 49 > 39

39 ≈ 6, ya que 6 es el mayor número entero cuyo cuadrado se aproxima a 39 y es menor que él.

Resto = 39 – (6) 2 = 39 – 36 = 3.

Más de Raíz cuadrada enteraSi intentamos obtener con la calculadora la raíz cuadrada de

un número que no es cuadrado perfecto, obtendremos un número decimal. El número que aparece a la izquierda de la coma es la raíz cuadrada entera.

187 13, 6747943

La raíz cuadrada de 187 es 13; el número 187 no es un

cuadrado perfecto.Bajo el símbolo de la raíz se puede expresar cualquier

operación entre números:a + b Indica la raíz cuadrada de una suma.a – b Indica la raíz cuadrada de una resta.a . b Indica la raíz cuadrada de un producto.

Raíz n-ésima

Se llama raíz n-ésima de a, y se escribe como , a los números b que cumplan que b n = a.

= b b n = a.A la expresión se le llama radical

de índice n, el número n es el índice de la raíz y al número a se le denomina radicando.

Valor numérico de un radicalAl calcular el valor numérico de un radical debemos tener

en cuenta el valor del índice y el signo del radicando: 

Si n es par:a > 0 2 valores para la raíz, uno positivo y otro

negativo.a = 0 La raíz es 0.a < 0 No existe ningún valor b que verifique b n

= a. Si n es impar: La raíz es única, independientemente del valor del radicando.

Extracción de factores fuera del signo radicalSe descompone el radicando en factores. Si:

1. Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

2. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

3. Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Ejemplo

Reducción de radicales a índice común Para reducir radicales a índice común:1. Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será

el común índice. 2. Dividimos el común índice por cada uno de los índices y

cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Suma y resta de radicalesLos radicales semejantes tienen el mismo índice e igual

radicando.

Solamente pueden sumarse (o restarse) radicales que sean semejantes.

Ejercicios de sumas y restas de radicales

Producto de radicales Radicales del mismo índicePara multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican

los radicandos y se deja el mismo índice.

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

Radicales de distinto índicePrimero se reducen a índice común y luego se multiplican.

Cociente de radicales Radicales del mismo índicePara dividir radicales con el mismo índice se dividen los

radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índicePrimero se reducen a índice común y luego se dividen.

Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.

Potencia y raíz de radicales Potencia de un radicalPara elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el

radicando y se deja el mismo índice.

Ejemplo

Raíz de un radical La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es

el producto de los dos índices.

Ejemplo

Jerarquía de las operacionesCuando aparecen operaciones combinadas, el

orden que hay que seguir es:1. Los paréntesis.2. Las potencias y las raíces.3. Los productos y las divisiones.4. Las sumas y las restas.