U. DE SANTIAGO DE CHILE DEP. DE MATEMATICA Y C.C.CONTROL 2B

ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍAPrimer Semestre 2013

Problema 1Hallar la solución general de la ecuación

y00 � (2 cotan(x) ) y0 + (5 + 2 cotan2(x)) y = sen(x)

usando el cambio de variable y = z sen(x)

Solución.-Hallar la solución general de la ecuación

y00 � (2 cotan(x) ) y0 + (5 + 2 cotan2(x)) y = sen(x)

usando el cambio de variable y = z sen(x)Solución: Con el cambio sugerido, se tiene

y = z sen(x)y = z0 sen(x) + z cos(x)y = z00 sen(x) + 2z0 cos(x)� z sen(x)

Reemplazando en la ecuación se obtiene

z00 sen(x) + 4z sen(x) = sen(x)

.................................................................................................................. 1.0Resolver esta última ecuación equivale a resolver z00 + 4z = 1La parte homogénea de esta última ecuación es z00 + 4z = 0 la cual es de

coe�cientes constantes con ecuación característica asociada k2 + 4 = 0 =)k = �2i, de donde la solución general de la homogénea es

zh(x) = C1 cos(2x) + C2 sen(2x)

.................................................................................................................. 0.5Para encontrar una solución particular de la ecuación completa z00+4z =

1 , usamos el método de los coe�cientes indeterminados. En este caso unasolución particular es de la forma

zp = A

.................................................................................................................. 0.4Reemplazando en la ecuación se obtiene A =

1

4de donde zp(x) =

1

4De este modo, la solución general de la ecuación para z es

z(x) = zh(x) + zp(x) = C1 cos(2x) + C2 sen(2x) +1

4

1

.................................................................................................................. 0.5Por lo tanto, la solución general de la ecuación original es

y(x) =

�C1 cos(2x) + C2 sen(2x) +

1

4

�sen(x)

.................................................................................................................. 0.6Problema 2Una fuerza de 10N estira un resorte 0.125 m.Después, al extremo libredel resorte se �ja una masa de 5Kg.a) Encuentre la ecuación del movimiento si la masa se suelta desdeun punto que está 0.4 m arriba de la posición de equilibrio,con unavelocidad dirigida hacia abajo de 1.2 m/s.b) Escriba la ecuación del movimiento en su forma alternativa.c)¿Cuantas oscilaciones completas realiza el cuerpo durante unintervalo de 8� segundos?

Solución.-a) De los datos del problema se tiene

10 = 0:125k ) k = 80

x (0) = �0:4 x0 (0) = 1:2m=s m = 5

.................................................................................................................. 0.4Por lo tanto la ecuación que modela el sistema esPlanteamos la ecuación diferencial:

5x� (t) + 80x = 0

.................................................................................................................. 0.8resolviendo De donde :

x (t) = C1 cos (4t) + C2 sin (4t)

.................................................................................................................. 0.4Aplicando condiciones iniciales se tiene

C1 = �0:4 C2 = 0:3

Luego :

x (t) = �0:4 cos (4t) + 0:3 sin (4t)

.................................................................................................................. 0.5b)

A =

q(�0:4)2 + (0:3)2 = 0:5

2

tan � =

��0:40:3

�) tan � =

��43

�) � = arctan

��43

�= �0:927 30

Luego :x (t) = 0:5 sin (4t� 0:92730).................................................................................................................. 0.5c)

Período =2�

4=1

2� ) n

�

2= 8� ) n = 16 oscilaciones por segundo.

.................................................................................................................. 0.4

3