r-h
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método de R-H estabilidadTRANSCRIPT
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Captulo 4: ESTABILIDAD
El Concepto de Estabiliad
Un sistema lineal e invariante en el tiempo, SLIT, es
estable si ante una entrada limitada o acotada
responde con una salida limitada o acotada.
< ; 0
< ; 0
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Concepto de Estabilidad
Estable Neutral Inestable
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Consideremos la siguiente funcin de transferencia de lazo cerrado:
Donde las a y las b son constantes y m n.
()
()=
+ 1
1 + 22 + + 1 + 0
+ 11 + 22 + + 1 + 0
La Ecuacin Caracterstica (EC) del Sistema es:
+ 1
1 + 22 + + 1 + 0 = 0
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Una condicin necesaria y suficiente
para que un Sistema realimentado sea
estable, es que todas las races de la
EC esten ubicadas en el semiplano
izquierdo de Laplace.
Concepto de Estabilidad
Nota.- Las races de la EC son los polos de lazo cerrado del sistema realimentado.
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Estabilidad Absoluta
Se refiere a la condicin de un Sistema de ser
estable o no.
Estabilidad Relativa
Se refiere al grado de estabilidad del Sistema. Si
un Sistema es estable, entonces se puede
determinar su grado de estabilidad o estabilidad
relativa.
Tipos de Estabilidad
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Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz
Si no se cumplen, el sistema es inestable. Si se cumplen, pasaremos
a analizar la estabilidad del Sistema.
Si todos los coeficientes de la ecuacin caracterstica
de un sistema de control realimentado tienen el
mismo signo y son diferentes de cero, diremos que
se esta cumpliendo los dos requisitos necesarios,
pero no suficientes para que el sistema sea estable.
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Arreglo de Routh-Hurwitz
31
31
1
1
31
42
1
3
31
2
11
3211
1
0
531
3
531
2
531
1
42
01
2
2
1
1
1
1
1
0
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
nn
nnnnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
n
n
n
n
n
n
bb
aa
bc
aa
aa
ab
aa
aa
aa
aaaab
hs
cccs
bbbs
aaas
aaas
asasasasa
Ecuacin Caracterstica,
Arreglo de Routh
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El criterio de Routh-Hurwitz establece
que:
El nmero de races de la Ecuacin
Caracterstica con parte real positiva en el
plano de Laplace es igual al nmero de
cambios de signo de la primera columna
del arreglo de Routh-Hurwitz.
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Casos del Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
Caso 1: Ningun elemento de la primera columna es cero.
0
0
1
0
1
1
02
2
bs
as
aas
Ejemplo.- Sea la EC:
Un sistema de segundo orden es estable si la EC es un polinomio completo y
todos sus coeficientes tienen el mismo signo.
22 + 1 + 0 = 0
El arreglo R-H es:
1 =10 (0)2
1= 0
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Caso 2: Ceros in la primera columna del arreglo R-H con algunos elementos de la fila que contiene al cero diferentes de cero.
0010
00
010
06
1042
1121
0
1
1
1
2
1
3
4
5
s
ds
cs
bs
s
s
Ejemplo.-
Hay 2 cambios de signo en la primera columna del arreglo R-H, el sistema es
inestable (2 polos de lazo cerrado con parte real positiva.)
5 + 24 + 23 + 42 + 11 + 10 = 0
1 =2 2 1(4)
2= 0 =
1 =4 2(6)
=
12
1 =61 10
1
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Caso 3: Ceros en la primera columna del arreglo R-H, y los otros elementos de la fila que contiene al cero tambin son ceros.
0
0
2
41
0
281
2
3
Ks
s
Ks
s
K
El sistema es estable con 0 < K < 8. El sistema es oscilante con
K = 8. En la fila de 1 del arreglo R-H todos los elementos de la fila son ceros.
Ejemplo.- Sea la EC: 3 + 22 + 4 + = 0
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Usemos la ecuacin auxiliar U(s) = 0; para determinar las races que generan la respuesta oscilante del sistema. La ecuacin auxiliar la formaremos con los coeficiente de la fila 2.
= 22 + 0 = 22 + 8 = 2 2 + 4 = 2( + 2)( 2)
La tercera raz de la EC se halla dividiendo la EC entre U(s), y es (s + 2).
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PROBLEMA
Una lnea de llenado de botellas usa un mecanismo alimentador tipo tornillo, Como se muestra en la figura. El tacmetro se usa para mantener un control de velocidad preciso. Determine y grafique el rango de K y p para tener una operacin estable.
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Problema: El diseo de control de giro de un vehculo de dos carriles contempla la seleccin
de dos parmetros K y a (ver Fig.). Los carriles se operan a velocidad diferente para hacer
girar al vehculo. Seleccione K y a, tal que el sistema sea estable y el error para una entrada
rampa sea menor o igual al 24% de la magnitud de la rampa de entrada.