¿qué tienes que saber? - … · averigua si estas fracciones son equivalentes. a) 10 15 y 6 9 c)...
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119
4Fracciones
Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
Sugerencias didácticas
En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:
�� Calcular la fracción de una unidad y el total conocida la parte.
�� Hallar la fracción irreducible.
�� Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.
Actividades finalesSoluciones de las actividades63 ¿Qué fracción representa la parte coloreada de cada dibujo?
a) c) e)
b) d) f)
a) 4
6 b)
4
10 c)
1
7 d)
6
12 e)
2
5 f)
6
15
¿Qué tienes que saber?
84 85
¿QUÉ4 tienes que saber?
Calcula:
a) 2
5 de 100. b) El total si
2
5 son 100.
a) 2
5 de 100 = (100 � 5) � 2 = 20 � 2 = 40
b) 100 � 2 = 50 1
5 del total son 50.
50 � 5 = 250 5
5 son 250.
Cálculo de la fracción de una cantidad y del total conocida la parteTen en cuenta
�� Para calcular la fracción de una cantidad, se divide la cantidad entre el denominador y se multiplica por el numerador.
�� Para calcular el total, conocida una parte, se divide la parte entre el numerador y se multiplica por el denominador.
Fracción irreducibleTen en cuenta
�� Para calcular la fracción irreducible, se simplifica todo lo posible la fracción, dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número.
�� Para hallar la fracción irreducible mediante una sola simplificación, se dividen sus términos por el máximo común divisor del numerador y el denominador.
Halla la fracción irreducible de 36
60.
� 2 � 2 � 3
36
60 =
18
30 =
9
15 =
3
5
� 2 � 2 � 3
Dividimos por el m.c.d. (36, 60) = 12
Suma y resta de fraccionesTen en cuenta
Para sumar o restar fracciones:
1 Se reducen las fracciones a común denominador.
2 Se suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador.
Calcula 5
6+7
4–2
9.
Reducimos a común denominador.
5
6+
7
4–
2
9=
30
36+
63
36–
8
36=
30 + 63 – 8
36=
85
36
Operamos con los numeradores.
Multiplicación y división de fraccionesTen en cuenta
�� El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.
�� El cociente de dos fracciones es el producto de la primera fracción por la inversa de la segunda.
Calcula y simplifica estas operaciones.
a) 3
5�10
12 b)
3
7:10
21 Simplificamos. Simplificamos.
a) 3
5�10
12=
3 �10
5 �12=
30
60=
1
2 b)
3
7:10
21=
3 � 21
7 �10=
63
70=
9
10
Multiplicamos en línea. Multiplicamos en cruz.
Fracciones
¿Qué fracción representa la parte coloreada de
cada dibujo?
a) c) e)
b) d) f)
Calcula estas cantidades.
a) 2
3 de 126 m c)
3
7 de 140 €
b) 1
8 de 192 kg d)
7
5 de 95 L
Halla el total de la cantidad, conociendo las
siguientes partes.
a) 3
5 son 21 m c)
4
9 son 52 €
b) 1
6 son 86 kg d)
7
8 son 77 L
Fracciones equivalentes
Averigua si estas fracciones son equivalentes.
a) 10
15 y
6
9 c)
6
7 y
9
11
b) 3
7 y
6
13 d)
21
6 y
14
4
Copia y completa las siguientes fracciones para
que sean equivalentes.
a) �
15=
8
10=
20
� c)
�
3=
5
15=
2
�
b) 3
7=�
35=
12
� d)
�
9=
8
�=
14
63
Entre las siguientes fracciones encuentra grupos
de fracciones equivalentes.
63
64
65
66
67
68
Halla la fracción irreducible equivalente a cada una
de estas fracciones.
a) 36
60 c)
15
4
b) 294
126 d)
90
72
Reduce a común denominador los siguientes pares
de fracciones.
a) 2
9 y
1
6 c)
5
6 y
5
18
b) 3
5 y
2
3 d)
3
10 y
7
20
Escribe las siguientes fracciones con el menor
denominador común posible.
a) 2
9,
7
3 y
1
6 c)
2
15,
13
20 y
7
12
b) 5
4,
6
25 y
3
10 d)
7
8,
2
3 y
7
12
Ordenación de fracciones
Copia y completa con los símbolos �, � o =.
a) 7
5 �
3
5 d)
2
9 �
4
18
b) 7
5 �
7
6 e)
5
12 �
7
18
c) 3
5 �
7
10 f)
11
9 �
7
4
Ordena estas fracciones de mayor a menor.
a) 3
5,
12
5,
7
5 y
17
5 c)
9
3,
9
4,
9
6 y
9
12
b) 7
6,
7
4,
7
10 y
7
3 d)
7
8,
5
8,
9
8 y
11
8
Ordena las siguientes fracciones.
a) 1
2,
3
4y
3
2
b) 11
25,
7
5 y
2
3
c) 9
7,
17
14,
9
8 y
33
28
d) 29
24,
7
9,
5
4,
7
6 y
17
12
e) 1
2,
1
3,
3
4,
1
4 y
2
5
69
70
71
72
73
74
610
72
216
35
1525
915
144
515
721
13
3510
3050
Actividades Finales 4
4 Fracciones
120Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
64 Calcula estas cantidades.
a) 2
3 de 126 m b)
1
8 de 192 kg c)
3
7 de 140 € d)
7
5 de 95 L
a) 2
3 de 126 m = 126���3 � 2 = 42 � 2 = 84 m c)
3
7 de 140 € = 140���7 � 3 = 20 � 3 = 60 €
b) 1
8 de 192 kg = 192���8 � 1 = 24 kg d)
7
5 de 95 L = 95���5 � 7 = 19 � 7 = 133 L
65 Halla el total de la cantidad, conociendo las siguientes partes.
a) 3
5 son 21 m b)
1
6 son 86 kg c)
4
9 son 52 € d)
7
8 de 77 L
a) 21���3 = 7 → 1
5 del total son 7; 7 � 5 = 35 →
5
5 son 35 m
b) 86 � 6 = 516 → 6
6 son 516 kg
c) 52���4 = 13 → 1
9 del total son 13; 13 � 9 = 117 →
9
9 son 117 €
d) 77���7 = 11 → 1
8 del total son 11; 11 � 8 = 88 →
8
8 son 88 L
66 Averigua si estas fracciones son equivalentes.
a) 10
15 y
6
9 b)
3
7 y
6
13 c)
6
7 y
9
11 d)
21
6 y
14
4a) Son equivalentes porque 10 � 9 = 15 � 6 = 90.
b) No son equivalentes porque 3 � 13 = 39 ≠ 42 = 7 � 6.
c) No son equivalentes porque 6 � 11 = 66 ≠ 63 = 7 � 9.
d) Son equivalentes porque 21 � 4 = 84 = 6 � 14.
67 Copia y completa las siguientes fracciones para que sean equivalentes.
a) �
15=
8
10=
20
� b)
3
7=�
35=
12
� c)
�
3=
5
15=
2
� d)
�
9=
8
�=
14
63
a) 12
15=
8
10=
20
25 b)
3
7=
15
35=
12
28 c)
1
3=
5
15=
2
6 d)
2
9=
8
36=
14
6368 Entre las siguientes fracciones encuentra grupos de fracciones equivalentes.
610
72
216
35
1525
915
144
515
721
13
3510
3050
6
10=
3
5=
15
25=
9
15=
30
507
2=
21
6=
14
4=
35
105
15=
1
3=
7
21
121
4Fracciones
Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
69 Halla la fracción irreducible equivalente a cada una de estas fracciones.
a) 36
60 b)
294
126 c)
15
4 d)
90
72
a) 36
60=
3
5 b)
294
126=
7
3 c)
15
4 d)
90
72=
5
470 Reduce a común denominador los siguientes pares de fracciones.
a) 2
9 y
1
6 b)
3
5 y
2
3 c)
5
6 y
5
18 d)
3
10 y
7
20
a) 9 = 32, 6 = 2 � 3; m.c.m. (9, 6) = 18; 18���9 = 2, 2
9=
2 � 2
9 � 2=
4
18; 18���6 = 3,
1
6=
1� 3
6 � 3=
3
18�
4
18y
3
18
b) m.c.m. (5, 3) = 15; 15���5 = 3, 3
5=
3 � 3
5 � 3=
9
15; 15���3 = 5,
2
3=
2 �5
3 �5=
10
15�
9
15y
10
15
c) 6 = 2 � 3, 18 = 2 � 32; m.c.m. (6, 18) = 18; 18���6 = 3, 5
6=
5 � 3
6 � 3=
15
18�
15
18y
5
18
d) 10 = 2 � 5, 20 = 22 � 5; m.c.m. (10, 20) = 20; 20���10 = 2, 3
10=
3 � 2
10 � 2=
6
20�
6
20y
7
2071 Escribe las siguientes fracciones con el menor denominador común posible.
a) 2
9,
7
3 y
1
6 b)
5
4,
6
25 y
3
10 c)
2
15,
13
20 y
7
12 d)
7
8,
2
3 y
7
12a) 9 = 32, 6 = 2 � 3; m.c.m. (9, 3, 6) = 18
18���9 = 2, 2
9=
2 � 2
9 � 2=
4
18; 18���3 = 6,
7
3=
7 � 6
3 � 6=
42
18;18���6 = 3,
1
6=
1� 3
6 � 3=
3
18
4
18,
42
18y
3
18b) 4 = 22, 25 = 52, 10 = 2 � 5; m.c.m. (4, 25, 10) = 100
100���4 = 25, 5
4=
5 � 25
4 � 25=
125
100; 100���25 = 4,
6
25=
6 � 4
25 � 4=
24
100; 100���10 = 10,
3
10=
3 �10
10 �10=
30
100
125
100,
24
100y
30
100c) 15 = 3 � 5, 20 = 22� 5, 12 = 22 � 3 � 5; m.c.m. (15, 20, 12) = 60
60���15 = 4, 2
15=
2 � 4
15 � 4=
8
60; 60���20 = 3,
13
20=
13 � 3
20 � 3=
39
60; 60���12 = 5,
7
12=
7 �5
12 �5=
35
60
8
60,
39
60y
35
60d) 8 = 23, 12 = 22 � 3; m.c.m. (8, 3, 12) = 24
24���8 = 3, 7
8=
7 � 3
8 � 3=
21
24; 24���3 = 8,
2
3=
2 � 8
3 � 8=
16
24; 24���12 = 2,
7
12=
7 � 2
12 � 2=
14
24
21
24,
16
24y
14
2472 Copia y completa con los símbolos �, � o =.
a) 7
5 �
3
5 b)
7
5 �
7
6 c)
3
5 �
7
10 d)
2
9 �
4
18 e)
5
12 �
7
18 f)
11
9 �
7
4
a) 7
5>
3
5 c)
3
5=
6
10<
7
10 e)
5
12=
15
36>
14
36=
7
18
b) 7
5>
7
6 d)
2
9=
4
18 f)
11
9=
44
36<
63
36=
7
4
4 Fracciones
122Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
73 Ordena estas fracciones de mayor a menor.
a) 3
5,
12
5,
7
5 y
17
5 b)
7
6,
7
4,
7
10 y
7
3 c)
9
3,
9
4,
9
6 y
9
12 d)
7
8,
5
8,
9
8 y
11
8
a) 17
5>
12
5>
7
5>
3
5 c)
9
3>
9
4>
9
6>
9
12
b) 7
3>
7
4>
7
6>
7
10 d)
11
8>
9
8>
7
8>
5
874 Ordena las siguientes fracciones.
a) 1
2,
3
4y
3
2 c)
9
7,
17
14,
9
8 y
33
28 e)
1
2,
1
3,
3
4,
1
4 y
2
5
b) 11
25,
7
5 y
2
3 d)
29
24,
7
9,
5
4,
7
6 y
17
12
a) 1
2=
2
4,
3
4,
3
2=
6
4�
6
4>
3
4>
2
4�
3
2>
3
4>
1
2
b) 11
25=
33
75,
7
5=
105
75,
2
3=
50
75�
7
5>
2
3>
33
75�
7
5>
2
3>
11
25
c) 9
7=
72
56,17
14=
68
56,
9
8=
63
56,
33
28=
66
56�
72
56>
68
56>
66
56>
63
56�
9
7>
17
14>
33
56>
9
8
d) 29
24=
87
72,
7
9=
56
72,
5
4=
90
72,
7
6=
84
72,17
12=
102
72�
102
72>
90
72>
87
72>
84
72>
56
72�
17
12>
5
4>
29
24>
7
6>
7
9
e) 1
2=
30
60,
1
3=
20
60,
3
4=
45
60,
1
4=
15
60,
2
5=
24
60�
45
60>
30
60>
24
60>
20
60>
15
60�
3
4>
1
2>
2
5>
1
3>
1
4
123
4Fracciones
Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
75 Realiza estas operaciones.
a) 2
5+
4
5 b)
1
12+
3
4 c)
5
9+
1
4 d)
7
12�
5
12 e)
9
14�
2
21 f)
7
9�
1
6
a) 2
5+
4
5=
6
5 c)
5
9+
1
4=
20
36+
9
36=
29
36 e)
9
14�
2
21=
27
42�
4
42=
23
42
b) 1
12+
3
4=
1
12+
9
12=
10
12=
5
6 d)
7
12�
5
12=
2
12=
1
6 f)
7
9�
1
6=
14
18�
3
18=
11
18
76 Calcula. a) 3 +2
5 b)
12
7�1 c) 4�
6
5 d)
2
9+ 1
a) 3 +2
5=
15
5+
2
5=
17
5 b)
12
7�1 =
12
7�
7
7=
5
7 c) 4�
6
5=
20
5�
6
5=
14
5 d)
2
9+ 1 =
2
9+
9
9=
11
977 Resuelve las siguientes operaciones y simplifica el resultado.
a) 1
3+
5
6+
2
9 c)
3
4+
5
12�
1
6 e)
5
7+ 2�
3
2 g)
7
4�
1
3+ 2
b) 5
3�
2
9�
1
2 d)
7
15�
3
10+
5
6 f)
16
12�1+
5
9 h)
10
18�
5
12+ 2
a) 1
3+
5
6+
2
9=
6
18+
15
18+
4
18=
25
18 e)
5
7+ 2�
3
2=
10
14+
28
14�
21
14=
17
14
b) 5
3�
2
9�
1
2=
30
18�
4
18�
9
18=
17
18 f)
16
12�1+
5
9=
48
36�
36
36+
20
36=
32
36=
8
9
c) 3
4+
5
12�
1
6=
9
12+
5
12�
2
12=
12
12= 1 g)
7
4�
1
3+ 2 =
21
12�
4
12+
24
12=
41
12
d) 7
15�
3
10+
5
6=
14
30�
9
30+
25
30=
30
30= 1 h)
10
18�
5
12+ 2 =
20
36�
15
36+
72
36=
77
36
86
4 Fracciones
87
Operaciones con fracciones
Realiza estas operaciones.
a) 2
5+
4
5 d)
7
12�
5
12
b) 1
12+
3
4 e)
9
14�
2
21
c) 5
9+
1
4 f)
7
9�
1
6
Calcula.
a) 3 +2
5 c) 4�
6
5
b) 12
7�1 d)
2
9+ 1
Resuelve las siguientes operaciones y simplifica el
resultado.
a) 1
3+
5
6+
2
9 e)
5
7+ 2�
3
2
b) 5
3�
2
9�
1
2 f)
16
12�1+
5
9
c) 3
4+
5
12�
1
6 g)
7
4�
1
3+ 2
d) 7
15�
3
10+
5
6 h)
10
18�
5
12+ 2
Multiplica y simplifica el resultado.
a) 7
10�5
2 c)
8
7�
21
10
b) 7
9�
6
14 d)
12
15�4
5
Divide y simplifica el resultado.
a) 3
8:
5
12 c)
7
10:
3
5
b) 4
10:
2
5 d)
7
3:14
4
Calcula y simplifica.
a) 2
5�1
3�6
8 d)
3
5�12
7: 6
b) 2
7:
3
14:
2
3 e)
1
5: 9 �
5
3
c) 1
2:
1
4:
1
8 f) 4 :
1
6�3
2
75
76
77
78
79
80
Vicente anota la fracción de sus ingresos que gasta
cada mes. Cuando consulta sus notas, no entiende
una de las fracciones. Sabe que el denominador es
un 7, pero duda acerca de si el numerador es un
6 o un 8. ¿Cuál puede ser? Justifica la respuesta.
Leire quiere cambiar el color de las paredes de su
habitación. Compra un bote de 10 L de pintura,
pero solo utiliza 4
5 del total. ¿Cuántos litros de
pintura le han sobrado?
Rubén ha gastado 2
7 de sus ahorros en un
reproductor de MP3. ¿Cuánto dinero tenía
ahorrado?
Después de una fiesta, han sobrado 2
3 de
empanada de carne, 3
5 de pizza de jamón,
7
9 de
la bandeja de canapés y 1
8 de tarta. ¿Qué porción
han comido de cada cosa?
Luna tiene 5 días para realizar un trabajo. Ha
planificado qué parte va a realizar cada uno.
1.er día 2.º día 3.er día 4.º día 5.º día
1
5
3
10
3
15
2
15
1
15
¿Completará el trabajo en estos 5 días?
En un colegio hay un total de 960 alumnos.
Después de las clases, 2
8 de los alumnos practican
algún deporte, 1
5 recibe clases de música,
3
10
estudian idiomas, y el resto, no tiene ninguna
actividad extraescolar.
a) ¿Cuántos alumnos practican deporte después
del colegio?
b) ¿Qué fracción de alumnos asiste a clases
extraescolares?
c) ¿Cuántos alumnos no tienen actividades
extraescolares?
86
87
88
89
90
91
Realiza las siguientes operaciones.
a) 12
5�
1
2+
1
3
�
����
����� c) 3�
3
4+
5
6
�
����
�����
b) 2 +1
2
�
����
������ 1�
1
3
�
����
����� d)
8
3�
7
6�1+
5
4
�
����
�����
Calcula y simplifica el resultado.
a) 2
5+
3
4�2
5 d)
1
2�
3
5: 2
b) 7
3� 6 +
7
2 e)
5
4:
1
2�
5
3
c) 3�2
5:
1
3+
7
4 f)
7
2+
5
3�2�
3
4:
1
2
Realiza las operaciones propuestas.
a) 1+3
2�
7
4�
5
3
�
�����
�
����
b) 4
3�
1
2:
3
5�
1
10
�
����
�����
c) 2
3�
4
5�
1
2
�
�����
�
����+
5
6�
1
3
�
�����
�
����
:1
2
d) 3
7�
7
2�
1
3
�
�����
�
����+ 2�
1
6
Calcula.
a) 2
3+ 2� 3 �
1
2
�
�����
�
�����5
3�1
b) 3
5� 1�
5
2: 3
�
����
�����
:2
7�
3
2
Problemas con fracciones
Germán ha hecho un pequeño huerto en la azotea
de su casa. Para regarlo, tiene un depósito con
450 L de agua.
a) Si ha gastado 2
3 del depósito, ¿cuántos litros
de agua utilizó?
b) ¿Cuántos litros quedan?
81
82
83
84
85
En un punto limpio hay cuatro bidones para reciclar
aceite usado.
a) Si las fracciones indican la parte del bidón que
está llena, ¿cuál de ellos contiene más aceite
usado? ¿Y menos?
b) La capacidad de cada bidón es de 1 760 L.
¿Cuántos litros de aceite usado hay en total en
los cuatro bidones?
María ha comprado 12 botellas de aceite de 3
4
de litro.
a) ¿Cuántos litros de aceite tiene en total?
b) Si quiere comprar los mismos litros de aceite,
pero en botellas de 1
3 de litro, ¿cuántas tendría
que adquirir?
Con una jarra de leche de 5
4 de litro se llenan
5 vasos. ¿Qué capacidad tiene cada vaso?
En una biblioteca, los libros están clasificados de la
siguiente forma:
Novelas Consulta Poesía Sin clasificar
2
5
1
4
3
10?
a) ¿Qué parte del total de libros de la biblioteca
está sin clasificar?
b) Si en la biblioteca hay 432 novelas clasificadas,
¿cuántos libros hay en total?
c) ¿Cuántos libros hay sin clasificar?
d) Se estima que de los libros sin clasificar, 2
3 son
novelas. ¿Cuántas novelas habría en total en la
biblioteca?
e) ¿Cuántos libros sin clasificar que no son novelas
habría en la biblioteca?
92
93
94
95
Actividades Finales 4
4 Fracciones
124Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
78 Multiplica y simplifica el resultado.
a) 7
10�5
2 b)
7
9�
6
14 c)
8
7�
21
10 d)
12
15�4
5
a) 7
10�5
2=
35
20=
7
4 b)
7
9�
6
14=
42
126=
1
3 c)
8
7�
21
10=
168
70=
12
5 d)
12
15�4
5=
48
75=
16
2579 Divide y simplifica el resultado.
a) 3
8:
5
12 b)
4
10:
2
5 c)
7
10:
3
5 d)
7
3:14
4
a) 3
8:
5
12=
36
40=
9
10 b)
4
10:
2
5=
20
20= 1 c)
7
10:
3
5=
35
30=
7
6 d)
7
3:14
4=
28
42=
2
380 Calcula y simplifica.
a) 2
5�1
3�6
8 c)
1
2:
1
4:
1
8 e)
1
5: 9 �
5
3
b) 2
7:
3
14:
2
3 d)
3
5�12
7: 6 f) 4 :
1
6�3
2
a) 2
5�1
3�6
8=
12
120=
1
10 d)
3
5�12
7: 6 =
36
35: 6 =
36
210=
6
35
b) 2
7:
3
14:
2
3=
28
21:
2
3=
84
42= 2 e)
1
5: 9 �
5
3=
1
45�5
3=
5
135=
1
27
c) 1
2:
1
4:
1
8=
4
2:
1
8=
32
2= 16 f) 4 :
1
6�3
2= 24 �
3
2=
48
3= 16
81 Realiza las siguientes operaciones.
a) 12
5�
1
2+
1
3
�
����
����� b) 2 +
1
2
�
����
������ 1�
1
3
�
����
����� c) 3�
3
4+
5
6
�
����
����� d)
8
3�
7
6�1+
5
4
�
����
�����
a) 12
5�
1
2+
1
3
�
�����
�
�����=
12
5�
3
6+
2
6
�
�����
�
�����=
12
5�
5
6=
72
30�
25
30=
47
30
b) 2 +1
2
�
����
������ 1�
1
3
�
����
�����=
42
2+
1
2
�
����
������
3
3�
1
3
�
����
�����=
5
2�
2
3=
15
6�
4
6=
11
6
c) 3�3
4+
5
6
�
�����
�
�����= 3�
9
12+
10
12
�
�����
�
�����= 3�
19
12=
36
12�
19
12=
17
12
d) 8
3�
7
6�1+
5
4
�
�����
�
�����=
8
3�
14
12�
12
12+
15
12
�
�����
�
�����=
8
3�
17
12=
32
12�
7
12=
25
1282 Calcula y simplifica el resultado.
a) 2
5+
3
4�2
5 c) 3�
2
5:
1
3+
7
4 e)
5
4:
1
2�
5
3
b) 7
3� 6 +
7
2 d)
1
2�
3
5: 2 f)
7
2+
5
3�2�
3
4:
1
2
a) 2
5+
3
4�2
5=
2
5+
6
20=
8
20+
6
20=
14
20=
7
10 d)
1
2�
3
5: 2 =
1
2�
3
10=
5
10�
3
10=
2
10=
1
5
b) 7
3� 6 +
7
2=
42
3+
7
2=
84
6+
21
6=
105
6=
35
2 e)
5
4:
1
2�
5
3=
10
4�
5
3=
30
12�
20
12=
10
12=
5
6
c) 3�2
5:
1
3+
7
4= 3�
6
5+
7
4=
60
20�
24
20+
35
20=
71
20 f)
7
2+
5
3�2�
3
4:
1
2=
7
2+
10
3�
6
4=
42
12+
40
12�
18
12=
64
12=
16
3
125
4Fracciones
Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
83 Realiza las operaciones propuestas.
a) 1+3
2�
7
4�
5
3
�
�����
�
���� b)
4
3�
1
2:
3
5�
1
10
�
����
����� c)
2
3�
4
5�
1
2
�
�����
�
����+
5
6�
1
3
�
�����
�
����
:1
2 d)
3
7�
7
2�
1
3
�
�����
�
����+ 2�
1
6
a) 1+3
2�
7
4�
5
3
�
�����
�
����= 1+
3
2�
21
12�
20
12
�
�����
�
����= 1+
3
2�
1
12= 1+
3
24=
24
24+
3
24=
27
24=
9
8
b) 4
3�
1
2:
3
5�
1
10
�
����
�����=
4
3�
1
2:
6
10�
1
10
�
����
�����=
4
3�
1
2:
5
10=
4
3�
10
10=
4
3�
3
3=
1
3
c) 2
3�
4
5�
1
2
�
�����
�
����+
5
6�
1
3
�
����
�����:
1
2=
2
3�
8
10�
5
10
�
�����
�
����+
5
6�
2
6
�
����
�����:
1
2=
2
3�
3
10+
3
6:
1
2=
6
30+
6
6=
6
30+
30
30=
36
30=
6
5
d) 3
7�
7
2�
1
3
�
�����
�
����+ 2�
1
6=
3
7�
21
6�
2
6
�
�����
�
����+ 2�
1
6=
3
7�19
6+ 2�
1
6=
57
42+ 2�
1
6=
57
42+
84
42�
7
42=
134
42=
67
21
84 Calcula.
a) 2
3+ 2� 3 �
1
2
�
�����
�
�����5
3�1 b)
3
5� 1�
5
2: 3
�
����
�����
:2
7�
3
2
a) 2
3+ 2� 3 �
1
2
�
�����
�
�����5
3�1 =
2
3+ 2�
3
2
�
�����
�
�����5
3�1 =
2
3+
4
2�
3
2
�
�����
�
�����5
3�1 =
2
3+
1
2�5
3�1 =
2
3+
5
6�1 =
4
6+
5
6�
6
6=
3
6=
1
2
b) 3
5� 1�
5
2: 3
�
�����
�
�����:
2
7�
3
2=
3
5� 1�
5
6
�
����
�����:
2
7�
3
2=
3
5�
6
6�
5
6
�
����
�����:
2
7�
3
2=
3
5�
1
6:
2
7+
3
2=
3
5�
7
12+
3
2=
36
60�
35
60+
90
60=
91
60
85 Germán ha hecho un pequeño huerto en la azotea de su casa. Para regarlo, tiene un deposito con 450 L de agua.
a) Si ha gastado 2
3 del depósito, ¿cuántos litros de agua utilizó?
b) ¿Cuántos litros quedan?
a) 2
3 de 450 = 450���3 � 2 = 150 � 2 = 300 Ha utilizado 300 L de agua.
b) 450 � 300 = 150 Quedan 150 L de agua.
86 Vicente anota la fracción de sus ingresos que gasta cada mes. Cuando consulta sus notas, no entiende una de las fraccio-
nes. Sabe que el denominador es un 7, pero duda acerca de si el numerador es un 6 o un 8. ¿Cuál puede ser? Justifica la
respuesta.
El numerador debe ser menor que el denominador para que sus gastos no superen sus ingresos, así que el numerador
puede ser 6.
87 Leire quiere cambiar el color de las paredes de su habitación. Compra un bote de 10 L de pintura, pero solo utiliza 4
5 del
total. ¿Cuántos litros de pintura le han sobrado?
4
5 de 10 = 10���5 � 4 = 2 � 4 = 8; 10 � 8 = 2 Le han sobrado 2 L de pintura.
88 Rubén ha gastado 2
7 de sus ahorros en un reproductor de MP3. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado?
2
7 son 70 €
70���2 = 35 → 1
7 son 35 €
35 � 7 = 245 → 7
7 son 245 €
4 Fracciones
126Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
89 Después de una fiesta, han sobrado 2
3 de empanada de carne,
3
5 de pizza de jamón,
7
9 de la bandeja de canapés y
1
8
de tarta. ¿Qué porción han comido de cada cosa?
Han comido 1
3 de empanada de carne,
2
5 de pizza de jamón,
2
9 de la bandeja de canapés y
7
8 de tarta.
90 Luna tiene 5 días para realizar un trabajo. Ha planificado qué parte que va a realizar cada uno.
1.er día 2.º día 3.er día 4.º día 5.º día
1
5
3
10
3
15
2
15
1
15
¿Competará el trabajo en estos 5 días?
1
5+
3
10+
3
15+
2
15+
1
15=
6
30+
9
30+
6
30+
4
30+
2
30=
27
30< 1
No completará el trabajo porque la suma de las fracciones no es igual a la unidad.
91 En un colegio hay un total de 960 alumnos. Después de las clases, 2
8 de los alumnos practican algún deporte,
1
5 recibe
clase música, 3
10 estudian idiomas, y el resto, no tiene ninguna actividad extrescolar.
a) ¿Cuántos alumnos practican deporte después del colegio?
b) ¿Qué fracción de alumnos asiste a clases extraescolares?
c) ¿Cuántos alumnos no tienen actividades extraescolares?
a) 2
8 de 960 = 960���8 � 2 = 120 � 2 = 240 Practican deporte 240 alumnos.
b) 2
8+
1
5+
3
10=
10
40+
8
40+
12
40=
30
40=
3
4 Asisten a clases extraescolares
3
4 de los alumnos.
c) 1
4 de 960 = 960���4 = 240 No tienen actividades extraescolares 240 alumnos.
92 En un punto limpio hay cuatro bidones para reciclar aceite usado.
a) Si las fracciones indican la parte del bidón que está llena, ¿cuál
de ellos contiene más aceite usado? ¿Y menos?
b) La capacidad de cada bidón es de 1 760 L. ¿Cuántos litros de
aceite usado hay en total en los cuatro bidones?
a) Ordenamos las fracciones de mayor a menor:
m.c.m. (16, 44, 22, 11) = 176
9
16=
99
176,
25
44=
100
176,
13
22=
104
176,
7
11=
112
176�
7
11>
13
22>
25
44>
9
16 El bidón naranja es el que contiene más aceite usado, y el azul, el que menos.
b) 9
16+
25
44+
13
22+
7
11=
99
176+
100
176+
104
176+
112
176=
415
176
415
176 de 1 760 = 1 760���176 � 415 = 10 � 415 = 4 150
Hay 4 150 L de aceite usado en los cuatro bidones.
127
4Fracciones
Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
93 María ha comprado 12 botellas de aceite de 3
4 de litro.
a) ¿Cuántos litros de aceite tiene en total?
b) Si quiere comprar los mismos litros de aceite, pero en botellas de 1
3 de litro, ¿cuántas tendría que adquirir?
a) 12 �3
4=
36
4= 9
Tiene 9 L de aceite en total.
b) 9 :1
3= 27
Tendría que adquirir 27 botellas.
86 Con una jarra de leche de 5
4 de litro se llenan 5 vasos. ¿Qué capacidad tiene cada vaso?
5
4: 5 =
5
20=
1
4
Cada vaso tiene una capacidad de 1
4 de litro.
95 En una biblioteca, los libros están clasificados de la siguiente forma:
Novelas Consulta Poesía Sin clasificar
2
5
1
4
3
10?
a) ¿Qué parte del total de libros de la biblioteca está sin clasificar?
b) Si en la biblioteca hay 432 novelas clasificadas, ¿cuántos libros hay en total?
c) ¿Cuántos libros hay sin clasificar?
d) Se estima que de los libros sin clasificar, 2
3 son novelas. ¿Cuántos novelas habría en total en la biblioteca?
e) ¿Cuántos libros sin clasificar que no son novelas habría en la biblioteca?
a) 2
5+
1
4+
3
10=
8
20+
5
20+
6
20=
19
20
Los libros no clasificados son 1
20 del total.
b) 432 son 2
5; 432���2 = 216 → 216 son
1
5; 216 � 5 = 1 080 → 1 080 son
5
5 Hay 1 080 libros en total.
c) 1
20�1080 =
1080
20= 54
Hay 54 libros sin clasificar.
d) 2
3�54 =
108
3= 36 ; 432 + 36 = 468
Hay 468 novelas en total.
e) 54 � 36 = 18
Hay 18 libros sin clasificar que no son novelas.
4 Fracciones
128Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
Matemáticas vivas
Los décimos de la loteríaSugerencias didácticas
En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta
una situación cotidiana, el sorteo de lotería de Navidad, en la que intervienen las fracciones.
En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-
petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Utiliza el lenguaje matemático, Piensa y razona, Resuelve, Comunica,
Utiliza las TIC, Argumenta o Representa.
Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa
es Lápices al centro, de Nadia Aguiar y María Jesús Talión.
Para desarrollar esta tarea, los alumnos elaborarán un sorteo de lotería y realizarán un informe con los datos imprescindibles
del sorteo.
Soluciones de las actividades
Comprende1 Fíjate en el décimo de lotería de la foto.
a) ¿Cuál es la serie y la fracción del décimo?
b) ¿Qué fracción de un billete representan tres décimos de lotería?
c) ¿Qué fracción de la emisión se destina a gastos de gestión y administración y al Tesoro Público?
d) ¿Puede existir un décimo de lotería que tenga el número 12 en la casilla de la fracción?
a) Serie 131 y fracción 2.ª. c) 1�7
10=
3
10 → Se destinan
3
10.
b) Representan 3
10 de un billete. d) No, porque solo hay 10 décimos.
4MATEMÁTICAS VIVAS
88 89
4Los décimos de la lotería
COMPRENDE
Fíjate en el décimo de lotería de la foto.
a. ¿Cuál es la serie y la fracción del
décimo?
b. ¿Qué fracción de un billete
representan tres décimos de
lotería?
c. ¿Qué fracción de la emisión
se destina a gastos de gestión
y administración y al Tesoro
Público?
d. ¿Puede existir un décimo de
lotería que tenga el número 12
en la casilla de la fracción?
1
PIENSA Y RAZONA
RELACIONA
Beltrán ha comprado estos décimos y participaciones de lotería de Navidad.
�� Un décimo repartido a partes iguales con su padre.
�� Un décimo compartido con cuatro amigos.
�� Una participación de 5 € del número de su club deportivo.
�� Una participación de 2 € de la panadería del barrio.
a. ¿Cuánto dinero se ha gastado?
b. ¿Qué fracción del décimo representa la participación
que ha comprado en la panadería?
c. Si toda la lotería que ha comprado fuese del mismo
número, ¿qué fracción de un décimo tendría?
2
RESUELVE
Los premios de la lotería de Navidad son los siguientes.
Número de premios Importe (por décimo)
Primer premio 1 400 000 €
Segundo premio 1 125 000 €
Tercer premio 1 50 000 €
Cuarto premio 2 20 000 €
Quinto premio 8 6 000 €
a. ¿Cuál de estas personas ha ganado más dinero en la lotería?
�� Olivia tiene medio décimo del segundo premio.
�� Darío lleva dos quintas partes de un décimo con el primer premio.
�� Leo tiene un décimo completo y la mitad de otro premiados con un cuarto premio.
b. El año 2013 fue el primero en el que los premiados de la lotería con un premio superior a 2 500 € tenían
que pagar 1
5 del dinero recibido en impuestos.
Prepara una tabla donde quede reflejado el importe del premio correspondiente a cada décimo, la parte
que se paga en impuestos y el premio real, es decir, sin los impuestos de un décimo premiado.
Te puede servir como modelo la siguiente tabla, que incluye solo el primer premio.
Importe Impuestos Importe tras impuestos
Primer premio 400 000 €1
5 de 400 000 € = 80 000 €
4
5 de 400 000 € = 320 000 €
3
REFLEXIONA
ARGUMENTA
UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO
El 22 de diciembre se realiza cada año el sorteo de Navidad. Muchas personas compran décimos que luego cambian o reparten entre familiares y amigos.
�� Un décimo es el documento mínimo necesario para participar en el sorteo de la Lotería Nacional.
�� Un billete son diez décimos de un mismo número y serie.
�� La serie es cada una de las sucesiones de billetes numerados del 00000 al último.
�� La fracción identifica a cada uno de los diez décimos de un mismo billete, de manera que un décimo sea distinguible de cualquier otro, aun teniendo el mismo número y perteneciendo a la misma serie.
Los 7
10 de la emisión se destinan a premios, y el resto va a parar a gastos de gestión y administración,
y al Tesoro Público.
TRABAJO
COOPERATIVO
UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO
129
4Fracciones
Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
Relaciona2 Beltrán ha comprado estos décimos y participaciones de lotería de Navidad.
�� Un décimo repartido a partes iguales con su padre.
�� Un décimo compartido con cuatro amigos.
�� Una participación de 5 € del número de su club deportivo.
�� Una participación de 2 € de la panadería del barrio.
a) ¿Cuánto dinero se ha gastado?
b) ¿Qué fracción del décimo representa la participación que ha comprado en la panadería?
c) Si toda la lotería que ha comprado fuese del mismo número, ¿qué fracción de un décimo tendría?
a) 1
2 de 20 = 20���2 = 10;
1
4 de 20 = 20���4 = 5; 10 + 5 + 5 + 2 = 22 → Se ha gastado 22 €.
b) 2
20=
1
10 → Representa una décima parte del décimo.
c) 1
2+
1
4+
5
20+
1
10=
10
20+
5
20+
5
20+
2
20=
22
20=
11
10 → Tendría un décimo entero y una décima parte de otro.
Reflexiona3 Los premios de la lotería de Navidad son los siguientes.
Número de premios Importe (por décimo)
Primer premio 1 400 000 €
Segundo premio 1 125 000 €
Tercer premio 1 50 000 €
Cuarto premio 2 20 000 €
Quinto premio 8 6 000€
a) ¿Cuál de estas personas ha ganado más dinero en la lotería?
�� Olivia tiene medio décimo del segundo premio.
�� Darío lleva dos quintas partes de un décimo con el primer premio.
�� Leo tiene un décimo completo y la mitad de otro premiados con un cuarto premio.
b) El año 2013 fue el primero en el que los premios de la lotería superiores a 2 500 € tenían que pagar 1
5 del dinero
recibido en impuestos.
Prepara una tabla donde quede reflejado el importe del premio correspondiente a cada décimo, la parte que se paga
en impuestos y el premio real, es decir, sin los impuestos de un décimo premiado.
Te puede servir como modelo la siguiente tabla, que incluye solo el primer premio.
Importe Impuestos Importe tras impuestos
Primer premio 400 000 €1
5 de 400 000 € = 80 000 €
4
5 de 400 000 € = 320 000 €
a) 1
2 de 125 000 = 125 000���2 = 62 500 → Olivia ha ganado 62 500 €.
2
5 de 400 000 = 400 000���5 � 2 = 80 000 � 2 = 160 000 → Darío ha ganado 160 000 €.
20 000 + 1
2 de 20 000 = 20 000 + 20 000���2 = 20 000 + 10 000 = 30 000 → Leo ha ganado 30 000 €.
Darío ha ganado más dinero.
4 Fracciones
130Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
b) Importe Impuestos Importe tras impuestos
Primer premio 400 000 €1
5 de 400 000 € = 80 000 €
4
5 de 400 000 € = 320 000 €
Segundo premio 125 000 €1
5 de 125 000 = 25 000 €
4
5 de 125 000 € = 100 000 €
Tercer premio 50 000 €1
5 de 50 000 = 10 000 €
4
5 de 50 000 € = 40 000 €
Cuarto premio 20 000 €1
5 de 20 000 = 4 000 €
4
5 de 20 000 € = 16 000 €
Quinto premio 6 000 €1
5 de 6 000 € = 1 200 €
4
5 de 6 000 € = 4 800 €
Trabajo cooperativo
Respuesta abierta.
131
4Fracciones
Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
90
4 Fracciones
CÁLCULO MENTAL Estrategias para OPERAR CON FRACCIONES
� Suma y resta de fracciones
Una estrategia para sumar o restar un número entero y una fracción es expresar el número entero como fracción, multiplicándolo y dividiéndolo por el denominador de la fracción dada.
3 +2
3= 3 �
3
3+2
3=9
3+2
3=11
3
12
5� 2 =
12
5� 2 �
5
5=12
5�10
5=2
5
CM1. Utiliza esta técnica para resolver las siguientes operaciones.
a) 3�3
4 b)
7
4+ 2 c)
12
7�1 d) 2 +
1
7
� Multiplicación y división de fracciones con números iguales
Una técnica para multiplicar o dividir fracciones con algún término igual es simplificar antes de operar.
3
5�2
3=
3 �2
5 � 3=2
5
7
4:7
3=
7 �3
4 � 7=3
4
CM2. Aplica esta estrategia a las siguientes operaciones.
a) 3
4�4
7 b)
1
5:
7
5 c)
5
4�13
5 d) 7 :
7
3
Observa que calcular la fracción de una fracción es lo mismo que multiplicar fracciones.
Calculamos 1
4 de
2
3.
2
3
1
4 de
2
3=
1� 2
4 � 3=
2
12
Para calcular la fracción de una fracción, multiplicamos las fracciones.
AVANZA
A1. Halla las siguientes fracciones de fracciones.
a) 1
3 de
2
7 d)
2
5 de
5
6
b) 1
2 de
1
5 e)
3
7 de
4
5
c) 2
3 de
1
4 f)
2
3 de
2
9
A2. Un depósito está lleno hasta la mitad de su
capacidad. Si se consumen dos tercios, ¿qué
parte del depósito se ha gastado?
A3. En el desayuno, Verónica consumió 3
4 de
una botella de leche, y en la merienda, 2
3
de lo que quedaba. ¿Qué parte de la botella
queda llena de leche?
Fracción de una fracción
Sugerencias didácticas
En la sección Avanza de esta unidad se introduce la fracción
de una fracción para completar lo aprendido en la unidad
sobre fracciones y su aplicación en situaciones cotidianas.
Soluciones de las actividades
A1. Halla las siguientes fracciones de fracciones.
a) 1
3 de
2
7 d)
2
5 de
5
6
b) 1
2 de
1
5 e)
3
7 de
4
5
c) 2
3 de
1
4 f)
2
3 de
2
9
a) 1
3�2
7=
2
21 d)
2
5�5
6=
10
30=
1
3
b) 1
2�1
5=
1
10 e)
3
7�4
5=
12
35
c) 2
3�
1
4=
2
12=
1
6 f)
2
3�2
9=
4
27
A2. Un depósito está lleno hasta la mitad de su capacidad. Si se consumen dos tercios, ¿qué parte del depósito se ha gastado?
2
3 de
1
2=
2
3�1
2=
2
6=
1
3 Se ha gastado
1
3 del depósito.
A3. En el desayuno, Verónica consumió 3
4 de una botella de leche, y en la merienda,
2
3 de lo que quedaba. ¿Qué parte de
la botella queda llena de leche?
1�3
4=
1
4 → Queda
1
4 de la botella después del desayuno.
2
3�
1
4=
2
12=
1
6 → Toma
1
6 en la merienda.
3
4+
1
6=
9
12+
2
12=
11
12 → Quedan
1
12 de la botella llena de leche.
Cálculo mental. Estrategias para operar con fraccionesSugerencias didácticas
Para finalizar la unidad se trabajan estrategias de cálculo mental para realizar operaciones con fracciones, basadas en el razo-
namiento ¿Cómo puedo utilizar el concepto de fracción unidad para simplificar las operaciones entre fracciones?
Soluciones de las actividades
CM1. Utiliza esta técnica para resolver las siguientes operaciones.
a) 3�3
4 b)
7
4+ 2 c)
12
7�1 d) 2 +
1
7
a) 12
4�
3
4=
9
4 b)
7
4+
8
4=
15
4 c)
12
7�
7
7=
5
7 d) 2 �
7
7+
1
7=
14
7+
1
7=
15
7CM2. Aplica esta estrategia a las siguientes operaciones.
a) 3
4�4
7=
3 � 4
4 �7=
3
7 b)
1
5:
7
5=
1�5
5 �7=
1
7 c)
5
4�13
5=
5 �13
4 �5=
13
4 d) 7 :
7
3=
7 � 3
7= 3
Avanza. Fracción de una fracción
4 Fracciones
132Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
1. Comprueba si son equivalentes los siguientes pares de fracciones.
a) 2
3y
3
4 b)
6
15y
8
20
a) 2 � 4 ≠ 3 � 3 → 2
3y
3
4 no son equivalentes.
b) 6 � 20 = 120 = 15 � 8 → 6
15y
8
20 son equivalentes.
2. Ordena de menor a mayor estas fracciones.
4
5
5
6
7
8
Reducimos las fracciones a común denominador.
5 = 5, 6 = 2 � 3, 8 = 23; m.c.m. (5, 6, 8) = 120
4
5=
96
120;
5
6=
100
120;
7
8=
105
120�
4
5<
5
6<
7
8
3. Realizas estas sumas y restas de fracciones.
a) 3
5+
4
3�
2
10 b)
7
3�
1
5+
4
6
a) 3
5+
4
3�
2
10=
18
30+
40
30�
6
30=
52
30=
26
15
b) 7
3�
1
5+
4
6=
70
30�
6
30+
20
30=
84
30=
14
5
4. Calcula y simplifica el resultado.
a) 3
5�7
2:
2
10 b)
7
6:
1
2�3
5
a) 3
5�7
2:
2
10=
21
10:
2
10=
210
20=
21
2
a) 7
6:
1
2�3
5=
14
6�3
5=
42
30=
7
5
5. Antonio tiene ahorrado 180 €. Si se gasta en un videojuego los 2
5, ¿cuánto dinero le queda ahorrado?
2
5 de 180 = 180���5 � 2 = 36 � 2 = 72
El videojuego le ha costado 72 €.
180 � 72 = 108
Le quedan ahorrados 108 €.
PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A
133
4Fracciones
Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO
1. Escribe dos fracciones que sean mayores que 5
7 y menores que
6
7.
Respuesta abierta, por ejemplo:
Hallamos fracciones equivalentes.
5
7=
15
21y
6
7=
18
21�
15
21<
16
21<
17
21<
18
21�
5
7<
16
21<
17
21<
6
7
2. Encuentra fracciones con denominador 90 que sean equivalentes a:
3
5
7
2
4
3
90���5 = 18 → 3
5=
3 �18
90=
54
90
90���2 = 45 → 7
2=
7 � 45
90=
315
90
90���3 = 30 → 4
3=
4 � 30
90=
120
90
3. Realiza las siguientes operaciones.
a) 4
5+ 2�
7
3 b)
4
3�1+
2
7
a) 4
5+ 2�
7
3=
12
15+
30
15�
35
15=
17
15
b) 4
3�1+
2
7=
28
21�
21
21+
6
21=
13
21
4. Opera y simplifica.
a) 3�1
2�4
3+
5
3: 1+
1
2
�
�����
�
����� b)
3
5+ 2 :
1
4�
3
2�
4
5
�
����
�����
a) 3�1
2�4
3+
5
3: 1+
1
2
�
�����
�
�����= 3�
4
6+
5
3:
2
2+
1
2
�
�����
�
�����= 3�
4
6+
5
3:
3
2= 3�
4
6+
10
9=
54
18�
12
18+
20
18=
62
18=
31
9
b) 3
5+ 2 :
1
4�
3
2�
4
5
�
����
�����=
3
5+ 8�
15
10�
8
10
�
����
�����=
3
5+ 8�
7
10=
6
10+
80
10�
7
10=
79
10
5. María tiene una bolsa con canicas verdes y rojas. De ellas, 2
7 son verdes y 15 rojas. ¿Cuántas canicas hay en la bolsa?
1�2
7=
5
7�
5
7 son rojas.
5
7 son 15 canicas; 15���5 = 3 →
1
7 son 3 canicas; 7 � 3 = 21 →
7
7 son 21 canicas.
Hay 21 canicas en la bolsa.
PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B