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QUÉ SENTIDO TIENEN LAS MATEMÁTICAS: UNA PROPUESTA DE
ACERCAMIENTO A LA NOCIÓN DE DERIVADA DESDE UNA PERSPECTIVA
CRÍTICA DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA.
CESAR ENRIQUE PAEZ SOLANO
HAROLD ALBERTO HERNÁNDEZ MARTÍN
BOGOTÁ D.C
JUNIO DE 2017
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QUÉ SENTIDO TIENEN LAS MATEMÁTICAS: UNA PROPUESTA DE
ACERCAMIENTO A LA NOCIÓN DE DERIVADA DESDE UNA PERSPECTIVA
CRÍTICA DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA.
Una Tesis Presentada Para Obtener El Título De
Licenciado en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas
CESAR ENRIQUE PAEZ SOLANO
HAROLD ALBERTO HERNÁNDEZ MARTÍN
Estudiantes
JOSÉ TORRES DUARTE
Director
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN
MATEMÁTICAS (LEBEM)
BOGOTÁ D.C
2017
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Agradecimientos
Queremos agradecer a la persona que más que nuestro tutor, fue un guía en el
camino de construcción de conocimiento, no solo en este momento de nuestra vida
académica, sino en cada instante nuestra carrera. Que con su apoyo y dedicación nos fue
indicando el camino que se podría seguir para lograr todo lo que se quiere conseguir.
Gracias a José Torres Duarte por hacernos ver que hay cosas más valiosas que la
construcción de conocimientos y es la formación de seres críticos que cuestionen y aporten
a su realidad.
También queremos agradecer a la profesora Sindy Joya por permitirnos el espacio
en su salón de clase para implementar nuestra propuesta, y habernos dados su confianza
para que se diera un ambiente ameno de implementación. Por último reconocer el esfuerzo
que realizó cada uno de los estudiantes del grado 1001 del colegio Isabel II por apoyar
nuestro camino en la consecución de nuestro grado.
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Dedicatorias
Cesar Páez
Tal vez muchas personas deberían estar incluidas en este corto homenaje, porque
siempre estuvieron apoyándome en cada buena o mala decisión que tome en el transcurso
de mi carrera y en lo que desde dentro de muy poco será mi profesión, pero en este
momento quiero recordar y dedicar este trabajo a una de las personas que más a influido
en mi vida, a la persona que más que un amigo fue mi hermano Randi Sneider Salamanca
Arévalo; esto fue por usted y para usted esté donde esté quiero que lo sepa, siempre estará
en mi mente y en mi corazón.
Harold Hernández
La gloria sea para dios al permitir las circunstancias que me llevaron a estudiar en
la Universidad Distrital, encontrarme con un cuerpo de docentes con los que me siento
profundamente agradecido y por el apoyo espiritual que me brinda y sigue brindando para
poder decidir sabiamente en cada una de las eventualidades que se me presentan a diario.
Quiero dedicar la consecución de este logro a mis padres, Pastor Hernández y Rosa
Martín, trabajadores incansables quienes se levantaban y acostaban cada día preocupados
por mi bienestar. Gracias a ellos porque me formaron en el respeto, la comprensión y la
humildad. Muchísimas gracias a mi padre por enseñarme el valor del trabajo y a todos
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aquellos que se me escapan pero que fueron grandes consejeros e intervinieron en la
construcción de la persona que ahora soy.
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Tabla de Contenidos
1. Capítulo 1: Introducción ............................................................................... 12
2. Capítulo 2: Planteamiento del problema ....................................................... 15
2.1. Objetivos ............................................................................................... 17
2.1.1. Objetivo general ............................................................................... 17
2.1.2. Objetivos específicos........................................................................ 17
2.2. Antecedentes ......................................................................................... 17
2.2.1. Derivada: .......................................................................................... 17
2.2.2. Modelación matemática: .................................................................. 23
2.3. Justificación .......................................................................................... 26
3. Capítulo 3: Marco de referencia ................................................................... 27
3.1. Educación Matemática Crítica (EMC).................................................. 27
3.2. Ambientes de aprendizaje ..................................................................... 27
3.3. Perspectiva crítica de la modelación matemática ................................. 29
4. Capítulo 4: Marco metodológico .................................................................. 33
4.1. Tipo de investigación: Investigación cualitativa................................... 33
4.2. Técnica de investigación: Investigación Acción................................... 34
4.3. La espiral de ciclos de la investigación acción. .................................... 35
4.4. Propuesta de trabajo .............................................................................. 36
4.4.1. Planteando la acción ......................................................................... 36
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4.4.2. En la acción ...................................................................................... 45
4.4.3. Recolección de datos ........................................................................ 48
4.4.4. Análisis y reflexiones ....................................................................... 48
4.5. Categorías de análisis ............................................................................ 48
5. Capítulo 5: Análisis de la información ......................................................... 52
5.1. Bitácora número 1: “Haciendo parte de la familia 10-01” ................... 52
5.2. Bitácora número 2: “Haciendo parte de la familia 10-01, parte ll” ...... 56
5.3. Bitácora 3: En equipo, ¿qué tan capaz eres? ......................................... 58
5.4. Bitácora 4: “Manos a la obra” ............................................................... 65
5.5. Bitácora 5: “Recolectando información” .............................................. 80
5.6. Bitácora 6: “Investigando y obteniendo” .............................................. 84
5.7. Bitácora 7: “expongamos nuestros avances” ........................................ 95
5.8. Bitácora 8: “Haciendo matemáticas” 03 de Abril del 2017 ................ 100
5.9. Bitácora 9: “Haciendo matemáticas, parte ll” ..................................... 106
5.10. Bitácora 10-11: “Trabajemos de nuevo: retroceder, nunca rendirse
jamás” 110
5.11. Bitácora 11-12: “Acerca de la representación algebraica” ................. 127
5.12. Bitácora 13: “Despedida” ................................................................... 128
5.13. Análisis de los resultados .................................................................... 138
6. Capítulo 6: Conclusiones ............................................................................ 145
Lista de referencias ............................................................................................. 149
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Lista de tablas
Tabla 1. Ambientes de aprendizaje tomada de escenarios de investigación. (Skovsmose,
2000, pág. 10, Escenarios de investigación) ............................................................ 28
Tabla 2 Videos de contextualización y sensibilización. ................................................... 38
Tabla 3. Preguntas consumo ............................................................................................. 42
Tabla 4. Tareas en el proceso de modelación. (Barbosa, 2004, pág. 5, modelagem
matemática: O que é? por quê? Como?) .................................................................. 48
Tabla 5. Relación entre los propósitos de modelado y el tipo de discusiones privilegiadas.
................................................................................................................................... 50
Tabla 6 discursos de los estudiantes ................................................................................. 71
Tabla 7finalidad de los videos .......................................................................................... 78
Tabla 8 ejemplo con gráfica ............................................................................................ 104
Tabla 9 ejemplo número dos y gráfica ........................................................................... 105
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Lista de ilustraciones
Ilustración 1 esquema informe final ................................................................................. 46
Ilustración 2 guía de trabajo .............................................................................................. 47
Ilustración 3 Ejercicios propuestos en clase. .................................................................... 54
Ilustración 4 Sistema de ecuaciónes ................................................................................. 57
Ilustración 5 Adecuando el aula de la biblioteca. ............................................................. 66
Ilustración 6 Adecuando el aula de la biblioteca 2. .......................................................... 67
Ilustración 7. Estudiantes respondiendo pregunta. ........................................................... 69
Ilustración 8 Respuesta de una estudiante. ....................................................................... 69
Ilustración 9 Lluvia de ideas de los estudiantes. ............................................................... 70
Ilustración 10 Lluvia de ideas de los es.tudiantes 2 .......................................................... 71
Ilustración 11 Construcción de esquema narcotráfico y drogas. ...................................... 79
Ilustración 12 información Pablo Escobar ........................................................................ 82
Ilustración 13 Atentados Pablo Escobar. .......................................................................... 82
Ilustración 14 precios cocaína por kilogramo ................................................................... 85
Ilustración 15 pregunta de investigación grupo 6 ............................................................. 86
Ilustración 16 posible solución grupo 3 ............................................................................ 87
Ilustración 17Pregunta de grupo de trabajo. ..................................................................... 88
Ilustración 18 "explicación regla de tres" ......................................................................... 90
Ilustración 19 trabajo sobre la exposición ........................................................................ 92
Ilustración 20 consumidores de marihuana en Bogotá ..................................................... 93
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Ilustración 21 información consumo ................................................................................ 93
Ilustración 22 pregunta de investigación grupo 3 ............................................................. 93
Ilustración 23 Porcentaje de consumidores en Colombia. ................................................ 96
Ilustración 24 pregunta problema grupo cinco ................................................................. 96
Ilustración 25 pregunta y gráfica grupo cinco .................................................................. 97
Ilustración 26 gráfica producción de cocaína ................................................................. 109
Ilustración 27 trabajo final .............................................................................................. 110
Ilustración 28 Guía de trabajo ......................................................................................... 114
Ilustración 29 solución primer punto .............................................................................. 115
Ilustración 30 solución primer punto .............................................................................. 116
Ilustración 31 solución segundo punto ........................................................................... 118
Ilustración 32 complemento segundo punto ................................................................... 119
Ilustración 33 solución segundo punto ........................................................................... 120
Ilustración 34 solución tercer punto ................................................................................ 121
Ilustración 35 solución tercer punto ................................................................................ 122
Ilustración 36 solución cuarto punto ............................................................................... 123
Ilustración 37 solución cuarto punto ............................................................................... 124
Ilustración 38 gráfica quinto punto ................................................................................. 126
Ilustración 39 gráfica quinto punto ................................................................................. 127
Ilustración 40ecuación de la velocidad ........................................................................... 131
Ilustración 41gráfica razón de cambio ............................................................................ 133
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Ilustración 42 velocidades de producción ....................................................................... 133
Ilustración 43 soluciones a las preguntas finales estudiante 1 ........................................ 135
Ilustración 44 soluciones a las preguntas finales estudiante 1 ........................................ 136
Ilustración 45 soluciones a las preguntas finales estudiante 1 ........................................ 138
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1. Capítulo 1: Introducción
El presente documento es la presentación de un proceso de investigación
desarrollado para la obtención del grado de licenciados en Educación Básica con Énfasis
en Matemáticas bajo la modalidad de monografía, la cual se desarrolló en la perspectiva
crítica de la modelación matemática en la Institución Educativa Distrital Isabel ll de la
localidad de Kennedy con estudiantes del grado décimo. La problemática abordada fue de
narcotráfico y el problema de drogas en Colombia a partir de la formulación de la siguiente
pregunta problematizadora y generadora del escenario de investigación: ¿Acabaremos
algún día con el problema del narcotráfico y drogas en Colombia? Con esta pregunta se
abordaron contenidos matemáticos como registros de representación (tabular, gráfico y
algebraico), proporcionalidad, función lineal, sistemas de ecuaciónes lineales y función
cuadrática con la finalidad de alcanzar la noción de derivada en su relación con la
velocidad.
En el segundo capítulo aparece la problematización, pregunta que guía el trabajo
de investigación los objetivos y antecedentes al presente trabajo. En los antecedentes se
realizó una revisión histórica de la derivada y de cómo ha sido enseñada en la escolaridad;
además se hace revisión de las diferentes perspectivas en modelación matemática en
especial de las características principales de la modelación matemática en su perspectiva
crítica. Posteriormente se justificó el trabajo en tanto es una propuesta que no se ha visto
antes desde la perspectiva mencionada.
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En el tercer capítulo se desarrolla el marco de referencia que es la piedra angular
del trabajo. Este marco lo conforma la Educación Matemática Crítica con los escenarios
de investigación planteados por Skovsmose. Esta teoría y la perspectiva crítica de la
modelación matemática tiene como máximo referente a Barbosa (2003, 2004, 2006, 2007).
Aquí será posible identificar la importancia de estas teorías en la preocupación por formar
seres humanos que no sólo sean buenos matemáticamente sino también críticos, capaces
de cuestionar y transformar su realidad a partir de reconocer un protagonismo de las
matemáticas como conocimiento que no es neutral.
En el cuarto capítulo se desarrolla la metodología del trabajo, el cual responde a
una investigación de tipo cualitativo y tiene como técnica la investigación acción basada
en Stenhouse (2007), quién resalta la importancia del docente como ser capaz de cambiar
la práctica de aula a partir de comprobar la viabilidad de las hipótesis que a diario surgen
de la experiencia y lo relevante de la investigación como acto sustantivo, que recoge y
aporta en las necesidades de todos los participantes de la investigación eliminando la idea
de “conejillos de indias” en el grupo donde se aplica la misma. Se encontrará también los
diferentes tipos de discurso que surgen de las experiencias de aula bajo la perspectiva
crítica de la modelación matemática, los cuales se toman como categorías de análisis.
Finalmente se encuentra un plan de trabajo que fue el resultado de una investigación previa
realizada por los investigadores sobre el tema del narcotráfico y drogas en Colombia.
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En el quinto capítulo se anexa la experiencia luego de la implementación del plan
de trabajo, la cual fue recogida por medio de bitácoras. Luego, con base en dichas bitácoras
se encuentra el respectivo análisis de lo sucedido en el aula.
Finalmente aparecen los aspectos más relevantes como el resultado de la
investigación realizada y que fueron sintetizados como conclusiones y reflexiones.
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2. Capítulo 2: Planteamiento del problema
En lo que va de nuestro proceso de formación como estudiantes para profesor,
hemos tenido la posibilidad de realizar prácticas pedagógicas en las cuales los estudiantes
no sienten la importancia de las matemáticas como un conocimiento que además puede ser
útil en su diario vivir. Somos conscientes además de que su idea de las matemáticas es la
de una serie de procedimientos que deben repetirse y aplicarse porque el docente lo dice.
Debido a esa falta de sentido, que los estudiantes tienen hacia las matemáticas, hemos
querido pensar en una propuesta de enseñanza alternativa de las matemáticas; una
propuesta que permita a los estudiantes precisamente el uso de las matemáticas para
interpretar, analizar y/o juzgar su propio contexto. Junto a lo expuesto anteriormente
también nos interesa que se formen como seres críticos e inquietos frente a la sociedad que
los rodea y también participes de su proceso de aprendizaje.
Cabe resaltar que nuestra idea al comenzar con nuestra propuesta era la de
esquematizar, planear y organizar un currículo alternativo para la enseñanza de las
matemáticas y por tanto diferente a las ideas que hasta el momento se han desarrollado
tradicionalmente con los aportes de Luis Rico y Pedro Gómez sobre el currículo.
Comenzando además, porque “la función de la investigación y del desarrollo del
curriculum consiste en crear curricula cuyas conclusiones […] queden […] sometidas a
evaluación por parte de profesores” aclarando que “tales curricula son medios en los que
las ideas se expresan en formas que las hacen comprobables por los profesores en los
laboratorios que denominamos aulas” (Stenhouse, 2007, pág. 100). Sin embargo llegamos
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a la conclusión de hacer una propuesta de enseñanza a nivel micro o de aula, pues
desarrollar una propuesta curricular más amplia implica pensar muchas temáticas con su
respectiva organización que por tiempo no iba a ser posible desarrollar.
De esta manera y para desarrollar nuestra propuesta de enseñanza decidimos
escoger como temática a trabajar, la derivada. El tema fue escogido bajo tres criterios
principales: el primero se basa en nuestro deseo de trabajar con estudiantes de últimos años
de secundaria y la creencia en poder lograr discusiones con mayor argumentación; el
segundo fue el hecho de que la derivada es una de esos conocimientos matemáticos que en
su enseñanza son reducidos a meras técnicas o procedimientos dejando de lado ideas
construidas históricamente y aún más importante el hecho de que estas ideas hayan
resultado de las relaciones existentes entre matemáticas y contextos reales, como sucede
con la derivada. El tercero tiene que ver con que no existan suficientes trabajos bajo la línea
que ahora asumimos sobre modelación matemática desde la perspectiva crítica con
estudiantes que se encuentran en últimos años de secundaria.
Por tanto, queriendo hacer que los estudiantes encuentren sentido al aprendizaje de
las matemáticas y para poner en práctica las ideas que tenemos en mente es necesario
plantear una pregunta que oriente nuestra investigación, la cual creemos que es:
¿Cómo ayuda una propuesta de enseñanza de la derivada que tiene como estrategia
la modelación matemática desde la perspectiva crítica a hallarle sentido al aprendizaje de
las matemáticas?
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2.1.Objetivos
2.1.1. Objetivo general
Realizar una propuesta alternativa de enseñanza de la noción de derivada, teniendo
como estrategia la modelación matemática desde una perspectiva crítica.
2.1.2. Objetivos específicos
Indagar el contexto de los estudiantes para determinar el escenario de investigación
a generar y así poder realizar el acercamiento a la noción de derivada.
Realizar una investigación previa de la problemática que permita anticipar las
reacciones de los estudiantes.
Trabajar desde diferentes ambientes de aprendizaje que permitan modelar y
solucionar una situación crítica así como promover el ser crítico en los estudiantes.
Reflexionar sobre el papel de las matemáticas en la sociedad.
Realizar un análisis de los resultados obtenidos durante la experiencia.
2.2. Antecedentes
Para el desarrollo del trabajo se hace referencia a dos perspectivas, la primera
tratara de la historia o génesis de la derivada en su relación con la realidad y las maneras
en que comúnmente es enseñada; y una segunda perspectiva, la cual será la de la
modelación matemática como estrategia de enseñanza vista desde una perspectiva crítica.
2.2.1. Derivada:
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Para hablar sobre el concepto derivada y observar las maneras como es enseñado
se realizó una línea de búsqueda de información, empezando en textos y artículos de
internet, pasando por libros de carácter científico y finalmente libros de texto. De esta
manera se llega a una idea sobre el tipo de trabajo que se está realizando y cuál sería su
contribución al ámbito educativo.
En Moreno (2005) se realiza una exposición del desarrollo de la noción de la
derivada a través de la historia, en la cual se deja un apartado para hablar de Newton, la
invención del cálculo e indicar cómo Newton concebía la noción de derivada o fluxión en
su relación con la realidad. A su vez se muestra cómo se ha venido enseñando el concepto
desde los libros de texto y los planteamientos realizados en los programas de educación.
El interés de esta propuesta es evidenciar desde la historia el camino de la
epistemología y en ese sentido, presentar otras posibles epistemologías de la función
derivada, que favorecen el proceso de enseñanza aprendizaje de éste, porque la
epistemología usual del objeto puro no necesariamente responde a las necesidades e
implicaciones de las relaciones entre el objeto a enseñar, el objeto enseñado, la cultura, los
contextos de uso y demás relaciones que subyacen a su enseñanza. (Moreno, 2005, pág.
158).
Desde la cita anterior se puede decir que la base fundamental del escrito es observar
como a través de la historia se puede crear un enlace con la forma en que se está
ensañando y como están interpretando la derivada los estudiantes.
Por otra parte según Rincon (2009):
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Desde los griegos, se plantearon cuatro problemas fundamentales que al ser
resueltos en el s XVI-XVII, dieron vida a la función derivada, fueron ellos: El de la
velocidad, el de la recta tangente, el de área bajo una curva y el de máximos y
mínimos. Entre los trabajos destacados en la cultura griega, respecto a los procesos
de variación se encuentran los de: Zenón de Elea 450 a.C., de la escuela Eleática,
para quien el movimiento era imposible y consideraba que el espacio y el tiempo
eran infinitamente divisibles. De él son famosas sus paradojas: La del movimiento,
la de Aquiles, la de la flecha y la del tiempo. (Rincon, 2009, pág. 159).
De lo anterior, se puede observar que el autor expone los diferentes significados y
de qué y de cómo la unión de estos fue consolidando lo que hoy conocemos como el
concepto derivada. En esta línea, también se señala que:
Se encuentran diferencias en el rigor utilizado por los matemáticos de esta época y
en ese sentido por ejemplo se destacan los trabajos de Fermat, Descartes, Galileo y
de Barrow. En general los trabajos de estos matemáticos en el cálculo, antecedieron
al de Newton (1643-1727) en su teoría de fluxiones y al de Leibniz (1646-1716) en
la teoría infinitesimal, ambos por caminos distintos con lenguajes también diferentes
lograron darle piso a lo que hoy se conoce como cálculo diferencial e integral.
(Rincon, 2009, pág. 160).
Continuando con el desarrollo de la investigación sobre la historia de la derivada,
se presenta una tesis de Robayo (2011) que no incluye la idea de límite y que se cree es
necesaria para observarla desde todos los puntos de vista. Afirma que desde el aspecto
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educativo, la enseñanza del cálculo se ha convertido en uno de los problemas más
transcendentes en la educación, ya que presenta varias dificultades referidas a:
La concepción sobre la matemáticas del Cálculo, la mayoría de las veces esta
concepción está inscrita en la tradición axiomática - deductiva prevaleciendo las
representaciones formales. Convertir sus conceptos básicos, límite y derivada, en un
conocimiento algorítmico desde lo algebraico.(Robayo, 2011, pág. 8).
Teniendo en cuenta que para Robayo (2011), la historia de la derivada está basada
fundamentalmente en;
El análisis del proceso de construcción del concepto de la derivada, remite a resolver
el problema histórico de hallar la tangente a una curva, en un punto dado. Como
referente se toman los trabajos de Fermat, Newton y Leibniz. Fermat obtuvo un
método para hallar la tangente a una curva definida por un polinomio apoyándose
en el siguiente razonamiento: sif(x) es un polinomio, entonces es un polinomio en
divisible por f(x + h) − f(x) es un polinomio en h divisible en h. Newton introdujo
el concepto de las fluxiones lo que hoy se conoce como derivadas imponiendo así su
punto de vista físico para obtener la recta tangente a una curva como el cociente
entre las fluxiones. Mientras Leibniz interpreto la tangente a una curva como en
cociente de los infinitésimos dx
dy. (Robayo, 2011, pág. 4).
Pero el trabajo el cual quiere desarrollar es cambiar la manera de enseñar la derivada
sin recurrir al concepto de límite por lo tanto según Robayo (2011):
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El propósito del proyecto es describir los fundamentos del desarrollo de la derivada
sin la noción del límite y plantear una propuesta didáctica para la enseñanza del
concepto de la derivada a partir del cociente de incrementos, dirigida a estudiantes
de último año de secundaria y/o primeros semestres de educación superior con la
cual se busca la apropiación y aplicación del concepto de la derivada en diversos
contextos. (Robayo, 2011, pág. 7).
Por lo tanto se supondría que al observar la propuesta de enseñanza del autor el
estudiante podría interpretar la derivada sin utilizar el límite y esto se cumple, pero el autor
recae en las técnicas que fue uno de los problemas al cual el mismo se refiere.
Debido a que en la Web no es mucha la información que hable de la historia de la
derivada y su relación con la educación, por lo tanto se hará referencia a un trabajo de
investigación el cual articula a las ciencias económicas con el concepto. Según (Garcia,
Moreno , Badillo, & Azcarate, 2011):
Dentro de las matemáticas, el cálculo diferencial juega un papel fundamental. En
este caso, se abordarán algunos aspectos del cálculo diferencial y su relación con
las ciencias económicas desde la evolución de la derivada en un contexto general
hasta su uso en la economía, y se finalizará con algunas aplicaciones de la derivada
con un enfoque didáctico en carreras universitarias vinculadas a la economía.
(Garcia, Moreno , Badillo, & Azcarate, 2011, pág. 169).
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En este trabajo, aunque su campo de investigación es la economía hacen mención
sobre la historia del concepto casi de la misma manera que en los textos observados
anteriormente, según (Garcia, Moreno , Badillo, & Azcarate, 2011):
Aunque se aparte de Newton y Leibniz, vale la pena mencionar que ya Fermat había
dado algunos pasos hacia el cálculo diferencial. En los años inmediatos a 1630
desarrolló un método algebraico para encontrar máximos y mínimos, el cual
comprobó en problemas sencillos de los que se tenía la solución (Grabiner, 1983).
Por otra parte, cuando Kleiner (2001) se refiere al aporte que Newton y Leibinz
hicieron al cálculo, resume en cuatro puntos el trabajo proporcionado por ellos.
Específicamente, ellos [Newton y Leibinz] a. Inventaron los conceptos generales de
derivada (‘fluxión’, ‘diferencial’) e integral. (Garcia, Moreno , Badillo, & Azcarate,
2011, pág. 141).
Y aunque se refieran a los mismos sucesos históricos, se deja clara la manera en
que para la economía se debe trabajar el concepto de derivada.
En los programas de cálculo para carreras de economía y afines está contemplado
enseñar el concepto de la derivada de una función, 𝑓, solamente desde el punto de vista de
la interpretación geométrica y de la razón de cambio, aunque el profesor tenga la libertad
de modificar e innovar en el contenido de los mismos. (Garcia, Moreno , Badillo, &
Azcarate, 2011, pág. 139).
En esta investigación cambia la manera que se refieren a la derivada, debido a su
campo de trabajo es la economía; se refieren a esta como:
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El análisis marginal es el nombre técnico con el que se conoce al cálculo diferencial
dentro de las ciencias económicas. El desarrollo histórico de la economía
matemática se puede dividir en tres periodos: marginalista (1838-1947), el de los
modelos lineales y la teoría de conjuntos (1948- 1960) y el de integración (1961
hasta nuestros días) (Arrow e Intriligator, 1981). (Garcia, Moreno , Badillo, &
Azcarate, 2011, pág. 150).
Lo que queda claro con este primer momento de recolección de información acerca
del concepto derivada, es que esta puede tener diferentes usos en las distintas ciencias, y
otras áreas de conocimiento en el que su uso es necesario, pero no solo se encontraron
investigaciones en las cuales el concepto derivada es importante. Se indagaron libros de
texto y libros científicos donde se hablara del concepto.
Real Academia de Ciencias Exactas (2001), Norma (1999), Atlas de Matemáticas
(1995) y Las Matematicas (1978) en cada uno de estos textos el resultado obtenido fue que
se utiliza la historia de la misma manera, es decir que se refieren a que el concepto de
derivada surge desde Newton y Leibniz. También se realiza un recorrido por todo lo que
fue y como se llegó al concepto actual, sin dar importancia a la génesis del concepto, pero
además sucede lo mismo en cada uno de los trabajos mencionados, la parte a la que más
importancia se le da, es a las técnicas de derivación y a su explicación.
2.2.2. Modelación matemática:
De los más de 50 trabajos encontrados en relación con la modelación matemática
tan sólo 16 de ellos se refieren a la modelación matemática desde la perspectiva crítica.
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Dentro de estos trabajos de grado, artículos de revistas y/o ponencias de eventos, la mayor
parte, son investigaciones y aportes de experiencias de aula sobre modelación matemática
desde la perspectiva socio-crítica, algunas de las cuales fueron realizadas en ciudades
colombianas como se evidencia en Camelo, García, & Martínez (2013), Bustos Motavita,
Bustos Motavita, & Novoa Parra (2013), Gutierrez Rodriguez & Rodriguez Moreno
(2015), Parra Zapata, Parra Zapata, Ocampo Arenas, & Villa Ochoa (2016) y otras. En el
país brasileño como en el caso de Cerqueira Barbosa (2006) con su artículo Mathematical
Modelling in classroom: a socio-critical and discursive perspective. Cabe agregar aquí,
que en las diversas experiencias de aula a las que nos referimos, se trabajaron temas o
contenidos matemáticos que surgieron “espontáneamente” en el proceso de modelación,
pero en dependencia de los escenarios investigados y los respectivos ambientes de
aprendizaje asociados. De Dichos contenidos matemáticos, ninguno esta en relación con el
objeto matemático Derivada.
Por ejemplo en Bustos Motavita, Bustos Motavita, & Novoa Parra (2013) se
encuentra un trabajo de investigación que sigue una metodología de investigación-Acción
con estudiantes de grado noveno y en el cual se desarrollaron ambientes de aprendizaje
para la enseñanza de la función lineal basados en la noción de escenarios de investigación
planteada por Skovsmose (2000).
Dado que el trabajo está en relación con la modelación matemática también se
encontraron trabajos de De Loiola Araújo (2009), Blomhoj (2009), Kaiser & Sriraman
(2006) y Villa Ochoa (2013) quienes presentan aportes en relación con la teoría de la
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modelación matemática y sus diferentes perspectivas, dentro de las cuales se encuentra la
socio-crítica, epistemológica, realística y cognitiva.
Dicho lo anterior, es necesario aclarar cómo podríamos juzgar lo que se conoce
como modelación matemática y para ello empezamos por definir modelo matemático. De
acuerdo con Barbosa y Alves Dos Santos (2007), “entendemos por modelo matemático
cualquier representación matemática de un fenómeno elegido para estudiar”. (Barbosa &
Alves Dos Santos, 2007, pág. 3). Siendo así, en correspondencia con Caldeira (2007) se
entiende la modelación matemática “como un proceso de obtención y validación de un
conjunto de símbolos y relaciones matemáticas que representan un objeto de estudio”. (De
Loiola Araújo, 2009, pág. 60).
De esta manera el abordaje o perspectiva socio crítico de la modelación matemática
“se refiere a dimensiones socio-culturales de las matemáticas, las cuales están
cercanamente asociadas con la etnomatemática”, además que “ésta perspectiva enfatiza el
rol de las matemáticas en la sociedad y pretende la necesidad de apoyar el pensamiento
crítico sobre el rol de las matemáticas en la sociedad, sobre el rol de y la naturaleza de los
modelos matemáticos y la función de la modelación matemática en la sociedad”. (Kaiser
& Sriraman, 2006, pág. 306).
Así también dicha perspectiva “enfatiza el pensamiento crítico en los estudiantes
como meta de enseñanza {y declara que} es indispensable las discusiones reflexivas entre
los estudiantes dentro del proceso de modelación”. (Kaiser & Sriraman, 2006, pág. 306).
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2.3. Justificación
Teniendo en cuenta los resultados de la búsqueda e indagación en los antecedentes,
y al no identificarse un trabajo que asumiera la enseñanza de la derivada mas allá de la
utilización de técnicas, se asumió el enfoque de la modelación matemática desde una
perspectiva crítica como eje principal. En este sentido se asumió que es posible realizar un
trabajo monográfico, basándose en la metodología de la investigación acción que
permitiera dar un sentido distinto al concepto matemático de derivada.
Esta propuesta partió de la creación y posterior implementación de una situación
problema relacionada con el narcotráfico, dado que el contexto cercano al colegio en donde
se implementaron los ambientes de aprendizaje, está permeado por esta problemática. El
fin último era que los estudiantes tuvieran un primer acercamiento al concepto de derivada
para que lo pudieran relacionar con su propia realidad y lograran llegar a una idea, que por
básica que fuera, posteriormente iba a ser complejizada y como se mencionó anteriormente,
iba más allá de la utilización de técnicas para pasar a conexiones con la realidad.
27
3. Capítulo 3: Marco de referencia
A continuación se describirán los aspectos más relevantes de cada una de las teorías
que permiten que las ideas son materializadas como los son:
3.1.Educación Matemática Crítica (EMC)
Inicialmente se aclaran dos conceptos básicos que aparecen en la EMC como lo son
crítica y ciudadanos críticos:
Crítica se refiere tanto a la actividad de juzgar y de salir de un dilema, como a las
connotaciones del término que provienen de la acepción de análisis, evaluación juicio y
valoración, y como a los significados derivados de la idea de acción. (Skovsmose, 1999,
pág. 16).
Además se desarrolla un nuevo significado en relación con el ser crítico, entendido
como “prestarle atención a una situación crítica, identificarla, tratar de captarla,
comprenderla y reaccionar frente a ella”. (Skovsmose, 1999, pág. 16). Este autor resalta
que la situación crítica a la que se le presta atención debe ser preferiblemente de carácter
social, ecológico, cultural o político.
3.2.Ambientes de aprendizaje
Se entiende por escenario de investigación como la invitación que un docente
realiza a sus estudiantes, ya sea a través de preguntas o explicaciones con la claridad que
el estudiante tiene que aceptar dicha invitación. Según Skovsmose, (2000), “cuando los
28
estudiantes se apropian del proceso de exploración y explicación de esta manera, se
constituye un escenario de investigación que, a su vez genera un nuevo ambiente de
aprendizaje”. (Skovsmose, 2000, pág. 8).
Reconociendo la importancia de detectar las situaciones o los escenarios de
investigación así como de determinar los ambientes de aprendizaje emergentes, que
permitan movilizar el conocimiento de los estudiantes, inicialmente tenemos en cuanta la
clasificación de los diferentes ambientes de aprendizaje que se pueden presentar según
Skovsmose (2000):
Tabla 1. Ambientes de aprendizaje tomada de escenarios de investigación.
(Skovsmose, 2000, pág. 10, Escenarios de investigación)
Formas de organización de la actividad de los estudiantes
Paradigma del
ejercicio
Escenarios de
investigación
Tip
os
de
re
fere
nci
a
Matemáticas puras (1) (2)
Semirrealidad (3) (4)
Situaciones de la vida
real
(5) (6)
El ambiente de aprendizaje de tipo 1 está en un contexto de “matemáticas puras” a
diferencia del de tipo 2 cuyo escenario de investigación se sitúa en las matemáticas.
Respecto al ambiente tipo 3 se trata de un ejercicio dentro de un contexto semirreal,
es decir la situación es “artificial” o ficticia y aunque en apariencia puede ser real, los datos
no son propiamente reales. A lo anterior se agrega que tampoco es de interés para la persona
29
que propuso el ejercicio, una investigación empírica de lo planteado, como puede que sí se
de en un ambiente de tipo 4 a partir de que los estudiantes “exploren” y “expliquen”.
El ambiente de aprendizaje de tipo 5 puede referirse a ejercicios basados en
situaciones de la vida real y el dé tipo 6 es un escenario netamente de investigación y “con
un grado mayor de realidad que lo involucrado” en un escenario de tipo 4; por lo que es
donde se halla sentido al aprendizaje de las matemáticas. Además se agrega sobre este
último escenario, que “el profesor adquiere el papel de un supervisor y pueden surgir
discusiones enfocadas en la indagación. […] La reflexión crítica sobre las matemáticas y
sobre el modelaje matemático adquiere un nuevo significado”. (Skovsmose, 2000, pág.
15).
Se agrega como algo importante el hecho de que, aunque en la perspectiva de la
educación matemática crítica el escenario de tipo 6 es el que más relevancia tiene, esto no
implica que dentro del desarrollo de una situación crítica el único escenario de aprendizaje
a trabajar o en el que debamos ubicarnos sea éste, sino que también se puede transitar entre
los diferentes tipos de ambientes de aprendizaje como resultado del trabajo en un
determinado escenario de investigación.
3.3.Perspectiva crítica de la modelación matemática
Para empezar, resulta importante hacer referencia a Giroux (1989) por considerar
que “la educación debe defenderse como un servicio público que educa a los estudiantes
30
para ser ciudadanos críticos que puedan pensar, cuestionar, tomar riesgos y creer que sus
acciones pueden transformar la sociedad en general”. (Skovsmose, 1999, pág. 46).
De esta manera y bajo la finalidad de formar seres críticos y conscientes de sus
propios procesos de aprendizaje en el aula de matemáticas, las matemáticas dejan de ser
un fin último para convertirse en el medio que permita realizar análisis, juzgar y reaccionar
frente a la sociedad que nos rodea. (Cerqueira Barbosa, 2003, pág. 6).
Bajo esta perspectiva crítica de la educación matemática encontramos la
modelación matemática como el proceso que permita a los estudiantes “reflexionar sobre
el papel de las matemáticas en la sociedad” (Cerqueira Barbosa, 2003, pág. 6), el cual es
otro de los objetivos planteados.
Así, por una parte el estudiante comprenderá que hay un vínculo entre las
matemáticas y la realidad y por otro lado, que “los modelos matemáticos no son
descripciones neutrales sobre una realidad independiente” (Barbosa, 2006, pág. 2), sino
que son de utilidad en la toma de decisiones, las cuales responden a la intención del sujeto.
Respecto a ésta perspectiva se debe aclarar lo que se entenderá por modelo y
modelación, de acuerdo con Barbosa (2007) “entendemos por modelo matemático
cualquier representación matemática de un fenómeno elegido para estudiar”. (Barbosa &
Alves Dos Santos, 2007, pág. 3). Siendo así, en correspondencia con Caldeira (2007) se
entiende la modelación matemática “como un proceso de obtención y validación de un
conjunto de símbolos y relaciones matemáticas que representan un objeto de estudio”. (De
Loiola Araújo, 2009, pág. 60).
31
Barbosa (2006) destaca que las actividades de modelación deben cumplir dos
características principales:
La actividad tiene que ser un problema (no un ejercicio) para los
estudiantes.
La actividad tiene que ser extraída de cada día u otras ciencias que no son
las matemáticas puras. (Barbosa, 2006, pág. 2)
De esta manera “Los estudiantes son invitados a tomar un problema e investigar
éste con referencia a la realidad por las matemáticas” (Barbosa, 2006, pág. 2) y en tanto es
así llevará al estudiante a hacer interpretaciones de su entorno y representaciones mentales
internas que incluso podrá exteriorizar por medio de lo que se conoce como modelos o
representaciones mentales externas a través de pinturas, fotografías, objetos, etc. En el
mismo sentido que lo plantea Salett Biembengut (2009):
Cada sensación, o percepción, que se tiene del medio, va a generar en la mente
imaginación e ideas, que a partir de la comprensión y del entendimiento, pueden
transformarse en significado, modelo, y por tanto conocimiento. Conocimiento que
permite formar imágenes y conceptos; crear objetos; dar una forma, el color, o
sentido al mundo en que se vive. En otras palabras, una vez comprendidas y
explicadas las percepciones o informaciones, la mente humana busca traducirlas o
representarlas por medio de símbolos y/o modelos. Esas representaciones mentales
pueden ser internas o externas. (Salett Biembengut, 2009, págs. 18-19).
32
En este sentido hacer un modelo es hacer una representación externa de un
fenómeno y en el proceso de obtención del modelo se pueden identificar las tres fases del
proceso cognitivo: percepción, comprensión, significado-modelo. (Salett Biembengut,
2009, pág. 21)
33
4. Capítulo 4: Marco metodológico
4.1.Tipo de investigación: Investigación cualitativa.
La presente metodología responde a una investigación cualitativa que según Taylor
y Bodgan (1987) citados por Colmenares & Piñero (2008) “se refiere en su más amplio
sentido a la investigación que produce datos descriptivos: las propias palabras de las
personas, habladas y escritas y la conducta observable” (Colmenares & Piñero, 2008, pág.
98).
Según la definición anterior la investigación realizada se considera cualitativa, pues
se produjeron datos descriptivos e impresiones, tanto de estudiantes como de profesores,
las cuales fueron palabras habladas y escritas recolectados por medio de algunos
instrumentos.
Así, para recoger los datos suficientes que permitieran sistematizar y realizar un
análisis autocrítico de la presente propuesta, se tuvieron en cuenta algunos de los siguientes
instrumentos de investigación que mencionan (Colmenares & Piñero, 2008):
los registros anecdóticos, notas de campo, observadores externos, registros en
audio, video y fotográficos, descripciones ecológicas del comportamiento,
entrevistas, cuestionarios, pruebas de rendimiento de los alumnos, técnicas
sociométricas, pruebas documentales, diarios, relatos autobiográficos, escritos de
ficción, estudio de casos, grupos focales de discusión, testimonios focalizados,
círculos de reflexión, entre otros. (Colmenares & Piñero, 2008, pág. 107)
34
4.2. Técnica de investigación: Investigación Acción
La investigación en la acción formulada por RAPOPORT “pretende contribuir
tanto a los intereses prácticos de una situación inmediata y problemática como a los
objetivos de la ciencia social, integrando una colaboración dentro de un marco ético
mutuamente aceptable” (Stenhouse, 2007, pág. 88).
La anterior es una definición que recae sobre la investigación de cualquier ciencia
social pero que para Stenhouse (2007) es muy general para ser aplicada, tal cual fue
definida, en educación y por tanto, es quien se aventura en un acto de redefinición de la
investigación en la acción.
Sin embargo para entender la definición que ahora propone Stenhouse es necesario
especificar lo que él entiende por acto sustantivo en vista de que es un término al que él se
refiere en la nueva definición. Menciona entonces que “un acto sustantivo se halla
justificado por algún cambio en el mundo o en otras personas que se juzgue como
deseable” (Stenhouse, 2007, pág. 88) lo que hace que sea diferente a hablar de acto
investigativo en tanto éste último se limita a indagar nada más. Por tanto y para completar
la idea Stenhouse dice que “en educación los actos sustantivos se hallan concebidos para
ayudar a las personas a aprender” (Stenhouse, 2007, pág. 88).
Bajo esta claridad Stenhouse define:
La investigación en la acción es el tipo de investigación en la que el acto investigador
es necesariamente un acto sustantivo; es decir, el acto de averiguar tiene que ser
35
acometido con una obligación de beneficiar a otros que no pertenezcan a la
comunidad investigadora. Esto es lo que señalamos cuando decimos que los niños
no deben ser empleados como conejillos de indias. (Stenhouse, 2007, pág. 88)
La investigación acción no es para el beneficio particular del investigador y para
sacar provecho de las demás personas en favor de una ciencia, sino para el beneficio general
de todos los que están involucrados en el acto investigador.
“Pero incumbe al profesor la misión de decidir y asumir la responsabilidad del
proceso educativo en la clase. Afirmo que bajo ninguna circunstancia puede abandonar esta
misión en manos de un investigador” (Stenhouse, 2007, pág. 89).
“La fuerza de la investigación en la acción en el curriculum y en la enseñanza reside
en el hecho de que su utilización no depende de que los profesores acepten sus hipótesis,
sino de que las comprueben” (Stenhouse, 2007, pág. 90).
4.3. La espiral de ciclos de la investigación acción.
En el siguiente apartado se hará referencia a la espiral de ciclos en la investigación
acción, los cuales constituyen un “marco metodológico que sugiere la realización de una
serie de acciones que debe desarrollar el profesorado como profesionales de la educación”
(Murillo. F, 2011, pág. 12), que de manera breve está constituido por las siguientes fases:
Planificar, actuar, observar y reflexionar.
Específicamente Murillo, F (2011) menciona que en la espiral de la investigación
acción, el grupo:
36
Desarrolla un plan de acción informada críticamente para mejorar la
práctica actual. El plan debe ser flexible, de modo que permita la adaptación a
efectos imprevistos.
Actúa para implementar el plan, que debe ser deliberado y controlado.
Observa la acción para recoger evidencias que permitan evaluarla. La
observación debe planificarse, y llevar un diario para registrar los propósitos. El
proceso de la acción y sus efectos deben observarse y controlarse individual o
colectivamente.
Reflexiona sobre la acción registrada durante la observación, ayudada por
la discusión entre los miembros del grupo. La reflexión del grupo puede conducir a
la reconstrucción del significado de la situación social y proveer la base para una
nueva planificación y continuar otro ciclo. (Murillo. F, 2011, pág. 12).
4.4.Propuesta de trabajo
Respetando el marco referencial y metodológico ya mencionados, se diseñó el
siguiente plan de acción, posterior a una previa investigación de la temática a tratar por
parte de los docentes. Para este plan, se tomara como guía metodológica la espiral de la
investigación acción para referirse a cada momento de la implementación.
4.4.1. Planteando la acción
A continuación se describe el plan de tareas a desarrollar en el proceso de modelaje.
a) Presentación y Reconocimiento:
37
Se destinará una primera sesión para realizar un reconocimiento de la población
con la que se investigará, de tal manera que inicialmente los profesores que van a dirigir la
investigación, se presentaron a sí mismos y su idea de trabajo para posteriormente sostener
un diálogo con el grupo de trabajo, realizar dinámicas de grupo y así poder “conocerlos”.
En esta misma sesión se realizó unas actividades que permitan crear un ambiente de
confianza e integración pero a su vez construir normas de clase como el trabajo en equipo
y el respeto. Las actividades planteadas estarán organizadas de la siguiente manera:
b) Ubicación, contextualización y Sensibilización:
Se dedicará una sesión para generar el escenario de investigación, que en esta
oportunidad abordará el problema de drogas y narcotráfico en Colombia. Para conseguir
dicho objetivo se tendrá en cuenta algunos medios como el uso de vídeos y diálogos
38
reflexivos con el grupo de trabajo, para saber no solo su perspectiva sobre el tema si no
también su conocimiento acerca de este.
De esta manera la sesión estará distribuida así; se iniciará con una serie de preguntas
que permitirá al grupo de trabajo dar sus diferentes puntos de vista:
¿Qué creen ustedes que es el narcotráfico?
¿Qué saben ustedes acerca del narcotráfico?
¿Creen que el narcotráfico los ha afectado a ustedes o a sus familias?
¿Esta problemática es visible en su entorno y comunidades?
Luego de las preguntas y la discusión generada se dará paso a la presentación de
algunos videos que se clasificaron según la finalidad de su contenido, es decir,
contextualizar o sensibilizar.
Tabla 2 Videos de contextualización y sensibilización.
FINALIDAD VIDEOS
Contextualizar https://www.youtube.com/watch?v=zfrqyYaGlJc
https://www.youtube.com/watch?v=YBJfpiwNMvY https://www.youtube.com/watch?v=ZQ9EX6htn3Y
https://www.youtube.com/watch?v=-0Qqpadz978
Sensibilizar https://www.youtube.com/watch?v=SXubaYDu0oY&t=1s
Una vez que se discuten las preguntas y se observen los vídeos, se realiza una
reflexión alrededor de los videos y las preguntas introductorias, agregando las siguientes
preguntas:
¿Qué piensan ahora de la problemática?
39
¿Qué les impactó?
¿Qué les molesta?
¿Creen que el problema del narcotráfico algún día terminará?
¿Qué podríamos hacer?
Antes de finalizar esta sesión, se espera plantear algunas preguntas a modo de
invitación para realizar una investigación más profunda, por lo cual se espera que sean el
preámbulo para organizar grupos de trabajo por temas en la siguiente sesión.
Las preguntas formuladas por los docentes serán, qué les inquieta y les interesaría
investigar para poder responder a la pregunta ¿podremos librarnos del problema de
narcotráfico y drogas? aclarando que en la medida de lo posible deben traer preguntas para
la siguiente clase e información consultada.
Así las cosas, el grupo de trabajo tendrá hasta la siguiente sesión para decidir a qué
quisieran responder sobre ésta problemática, teniendo como claridad que será la anterior
pregunta la cual los va a guiar en todo el proceso.
Por otro lado el problema de la droga en Colombia y el narcotráfico puede ser
abordado desde tres factores, la producción, comercialización y el consumo. De esta
manera, para cada uno de éstos es posible generar escenarios de investigación en donde se
transite además por los tres tipos de ambientes de aprendizaje que responden al paradigma
de investigación planteados por Skovsmose (2000).
Se aclara que los subgrupos de trabajo podrían clasificarse a partir de tener en
cuenta si su interés está en lo que respecta a producción, comercialización y/o consumo, lo
40
que no quiere decir que vayamos a tener sólo tres subgrupos de investigación, dado que se
podrían tener dos grupos de trabajo para investigar sobre la producción, así como tampoco
se está diciendo que quienes investiguen respecto al consumo de drogas no van a estar
informados de lo que se está investigando y avanzando en el subgrupo de producción de
drogas ilícitas.
Bajo estas claridades, se pensó que para determinar los escenarios de investigación
según cada factor (producción, comercialización y consumo) podrían surgir preguntas
como las siguientes, según fuera el factor que escogiera cada grupo, haciendo una claridad,
estas preguntas no serían formuladas necesariamente por los docentes a los estudiantes, ya
que se esperaría que estos últimos lleguen a formular preguntas como estas
espontáneamente.
Producción:
¿Cuáles son las drogas ilícitas más producidas en Colombia?
¿Cuál es el comportamiento de los cultivos de dichas drogas desde el comienzo del
milenio en Colombia?
¿Cuántos Kg de dichas drogas se obtienen por cada hectárea cultivada?
¿Cuál sería entonces el comportamiento de la cantidad de droga producida desde el
comienzo del milenio?
41
Observatorio de drogas Colombia pagina 59 2016 reporte de drogas Colombia
(Dado que aún no se tienen datos de los cultivos para el 2016)
Si el comportamiento desde el 2013 continuó igual ¿Cuál fue la cantidad de
hectáreas cultivadas para el 2016?
¿Cuál es la cantidad de hectáreas cultivadas al día de hoy (2017)?
¿Cuánto terreno es cultivado por día en Colombia?
¿Todos los días se cultiva la misma cantidad?
Suponiendo que la velocidad con la que se cultiva por día por los próximos años se
mantiene a partir del 1 de abril del presente año con la velocidad que se cultive en ese día
¿Para cuándo el área de Colombia estaría totalmente cultivada?
¿Qué tan alarmante resulta entonces dejar que se cultive como se viene haciendo
desde 2013?
¿Qué se está haciendo para combatir dicho problema y qué opinas al respecto?
42
¿Podrías proponer otra estrategia?
Comercialización:
Si por cada gramo de cocaína al cultivador le pagan 1700 pesos, con una hectárea
de coca cultivada ¿Cuánto dinero podría ganar el cultivador? (sabiendo que de toda la
hectárea se toma únicamente las hojas de la planta de coca)
Si por cada gramo de cocaína al narcotraficante le pagan el doble que al cultivador,
se podría saber ¿cuánto dinero gana por hectárea?
Cicad informe de drogas 2013 página 10
Según la gráfica anterior, ¿Colombia es realmente el país que más produce cocaína
de Suramérica? y si esto es verdad podría se podría determinar ¿cuánto dinero obtiene tanto
un cultivador como un narcotraficante con los cultivos de cocaína en estos diez años?
Consumo:
En cuanto a este factor se puede hacer un abordaje a nivel macro (Bogotá) y micro
(cuerpo humano), veamos:
Tabla 3. Preguntas consumo
43
Ambiente tipo 6
A NIVEL MICRO A NIVEL MACRO
¿Cuánto demoran
estas para salir del
cuerpo?
¿En qué momento
se da su máximo
efecto después de
consumido?
¿Cuáles son las drogas más consumidas en
Bogotá?
¿Cómo ha variado la población de consumidores
de dichas sustancias en Bogotá desde el comienzo
del milenio?
¿cuáles son los efectos de cada una de éstas?
Ambiente tipo 4 y 2
(Las siguientes preguntas también podrían
plantearse en términos de la población escolar)
Suponiendo que el comportamiento se mantiene
¿cuál fue la cantidad de consumidores en 2016 y
cuál es la cantidad al día de hoy (2017)?
¿cuál es la tasa de aumento de consumidores por
día en Bogotá (o población escolar)?
¿la tasa de aumento de consumidores por día es la
misma para todos los días?
Si no se toman las medidas preventivas adecuadas
para hacer que el comportamiento que se viene
presentando en los últimos años cambie ¿Cuando
la totalidad de la población consumidora será la
misma que la bogotana (o la misma que la
población escolar)?
¿Qué tan alarmante es ésto y qué propones que
debería hacerse para combatir dicho problema?
44
c) Recolección de información:
Se pide que se organicen en grupos, preferiblemente no mayor a 5 personas. Cada
docente pasa por los grupos para charlar sobre la información consultada, las inquietudes
e interés de investigación. Durante este ejercicio y dependiendo los intereses de los
estudiantes los docentes invitarán a cada grupo a que formule una pregunta de
investigación. Posteriormente los docentes pasarán de nuevo por cada grupo intentando
analizar la viabilidad de la pregunta, ya que podría ser o muy general o tan sencilla que no
requiera de una investigación como tal. Una vez que ya se tengan las preguntas de
investigación se pedirá un plan de acción a cada grupo para abordar y responder a la
pregunta.
d) Proceso de Modelaje
Producción de modelos:
Uso de los conocimientos matemáticas en relación con la información recolectada desde
diferentes fuentes para generar modelos matemáticos.
Validación de modelos.
Generar discusiones respecto a la precisión y credibilidad de los modelos generados
¿qué tan precisos o acertados son éstos?.Este trabajo contribuirá al desarrollo del
pensamiento crítico en los integrantes del grupo de trabajo.
Profundización:
De acuerdo con los modelos social y colectivamente ya revisados y aceptados por
los grupos de trabajo:
45
Realizar una interpretación social de los modelos para abordar de nuevo la pregunta
inicial y de esta manera poder responder también a ¿qué factores asociados (del contexto
social) están también ligados a la variación (percibida en el contexto matemático)?
Ejemplo: si en determinado momento la gráfica tiene un comportamiento constante y luego
el gráfico presenta un decrecimiento ¿qué interpretación social estaría ligado a la variación
en el comportamiento del gráfico realizado?
e) Socialización y conclusiones:
Podríamos realizar preguntas para debatir sobre el papel de las matemáticas en la
sociedad y lo aprendido tanto del trabajo realizado en el contexto matemático como el
social.
f) Informe Final: Recolección e integración en un sólo informe del trabajo de cada
subgrupo de interés común donde se anexen las conclusiones finales se responda a la
pregunta inicial y se dejen ver a manera de conclusión todos los aprendizajes, gustos y
disgustos del grupo de trabajo (Balance de los alcances de la propuesta de trabajo tanto en
la parte emocional como cognitiva)
4.4.2. En la acción
Después del planteamiento e implementación de cada momento del plan de acción,
se pudo concluir sobre varios aspectos que no salieron como se esperaban, uno de estos
aspectos está relacionado con el momento en el cual los estudiantes debían realizar una
pregunta de investigación que contribuyera a responder a la situación problema de la
investigación. En este punto se vio como los estudiantes por salir del paso creaban
46
preguntas que no contribuían al proceso y no tenían relación alguna con las matemáticas;
además de esto, se presentó una situación con un estudiante, la cual entorpeció el desarrollo
de la propuesta (bitácora 10-11), por lo tanto se tuvo que hacer un cambio a lo planeado,
desarrollando una guía, la cual estaba basada en los procesos de investigación hechos por
los estudiantes, esto se obtuvo a partir de un informe final que cada grupo debía entregar
respondiendo a un esquema de trabajo propuesto por los docentes. A continuación se
mostrara el esquema del trabajo que debían presentar los estudiantes y la guía posterior
propuesta por los docentes.
Ilustración 1 esquema informe final
Estructura trabajo final
Portada
Índice
Información general (narcotráfico)
Reflexión sobre la información general y videos presentados en clase
Preguntas sobre la información general (solución a estas preguntas)
Posible pregunta de investigación
47
Reflexión sobre si sirvió o no la pregunta y porque
Preguntas especificas
Reflexión sobre las preguntas especificas
Pregunta especifica
Respuesta a la pregunta especifica
Reflexión sobre la respuesta
Como ayuda esta respuesta a la pregunta general del curso
Bibliografía
Ilustración 2 guía de trabajo
48
4.4.3. Recolección de datos
Para este apartado se realizaron 13 “Bitácoras”, las cuales cuentan con la
información más relevante de cada clase. Para la creación de estas se siguió un formato, el
cual contaba con: título de la bitácora, numero de la bitácora, fecha, descripción de la clase,
recolección de información escrita por parte de los estudiantes, transcripción de audios (en
algunos casos) e imágenes de apoyo de ser necesario.
4.4.4. Análisis y reflexiones
Se desarrolló esta fase con apoyo de las bitácoras y las muestras tomadas por los
diferentes instrumentos de recolección de información. Además se tendrán en cuanta los
tipos de discurso que se mencionarán a continuación para realizar el respectivo análisis.
4.5.Categorías de análisis
En lo que respecta a la implementación de la propuesta Barbosa (2004), expone tres
casos para la comprensión de modelos en el proceso de modelación los cuales se
diferencian teniendo en cuenta los sujetos que intervienen en lo que se llamará tareas dentro
del proceso.
Tabla 4. Tareas en el proceso de modelación. (Barbosa, 2004, pág. 5, modelagem
matemática: O que é? por quê? Como?)
CASOS
TAREAS
Caso 1 Caso 2 Caso 3
Formulación del Problema
Profesor Profesor Profesor /Alumno
Simplificación Profesor Profesor/Alumno Profesor /Alumno
Recolección de Datos Profesor Profesor /Alumno Profesor /Alumno
Solución Profesor /Alumno Profesor /Alumno Profesor /Alumno
49
Se tiene en cuenta también Biembengut (1997), que ayuda a especificar cada una
de las tareas que menciona Barbosa (2004) dentro del proceso de modelación, dicho autor
menciona que representar una situación real matemáticamente tiene unas sub-etapas o fases
dentro otras ya mencionadas. Si bien dichas etapas no son expresadas de la misma manera
que lo hace Barbosa (2004) con las tareas, sí sirven de complemento. Según Biembengut
(1997):
1a) Interacción con el asunto:
(i) Reconocimiento de la situación problema
(ii)Familiarización con el asunto que va a ser modelo-investigación.
2a) Construcción matemática
(i)Formulación del problema-hipótesis
(ii)Resolución del problema en términos del modelo.
3a) Modelo matemático
(i) interpretación de la solución-convalidación. (Biembengut, 1997, pág. 2-3)
Respecto a las interacciones en el aula Barbosa (2008) “inspirado en Skovsmose
propone las nociones de discusiones matemáticas, discusiones técnicas y discusiones
reflexivas, como parte de las rutas de modelado, definido en los siguientes términos”:
Las discusiones matemáticas se refieren a conceptos y procedimientos de
la disciplina matemática pura.
50
Respecto a las discusiones técnicas se refieren a la transformación del
fenómeno elegido para estudiar en términos matemáticos.
Las discusiones reflexivas se refieren a la naturaleza de los modelos
matemáticos y la influencia de los criterios utilizados en sus resultados.
(Barbosa, 2008, pág. 50)
En otra definición Barbosa (2006) menciona que:
Las discusiones matemáticas se refieren a los conceptos y las ideas integralmente
pertenecientes a la disciplina matemática. Las discusiones técnicas al proceso de
matematizacion de la situación en estudio. A su vez, las discusiones reflexivas se
refieren a la conexión entre los presupuestos utilizados en la construcción del
modelo matemático y los resultados, bien como la utilización de esos últimos en la
sociedad. (Barbosa, 2006, pág. 165).
A continuación se agregara una tabla en donde se especifica la relación entre los
propósitos de modelado y los tipos de discusión privilegiada.
Tabla 5. Relación entre los propósitos de modelado y el tipo de discusiones
privilegiadas.
Propósito de modelado Tipos de discusiones privilegiadas
Desarrollar conceptos/ideas matemáticas Matemáticos
Desarrollar habilidades de resolución de problemas matemáticos aplicados
Técnicos
Analizar la naturaleza de los modelos matemáticos
Reflexivos
Barbosa, 2006, pág. 169, La práctica de los alumnos en el ambiente de la modelación
matemática: un esbozo de un FRAMEWORK
51
En la tabla anterior se aclara que “la idea de privilegiar no implica la eliminación
de las otras discusiones, más nos recuerda que el tipo de discusión enfatizada y legitimada
en el contexto del aula acaba por constituir perspectivas más generales sobre el modelado”.
(Barbosa, 2006, pág. 169).
Sin embargo Barbosa también identifica otro tipo de discusiones de los alumnos
que no hacen parte de las anteriormente mencionadas, a dichas discusiones las llama
paralelas, “ellas se refiere a aquellas que ocurren en espacios de interacción mas no
pertenecen a las rutas de modelado”. (Barbosa, 2008, pág. 55).
Por otro lado Barbosa (2006) menciona que los discursos paralelos:
Se refiere a aspectos del contexto social del que fue extraída la situación problema.
Otra posibilidad conforme a lo observado… son discursos versando sobre ideas o
procedimientos matemáticos, pero que no tuvieran una clara participación en el
abordaje de la situación problema. (Barbosa, 2006, 170).
Con las anteriores categorías de análisis se revisará cada evidencia para realizar una
clasificación de la información recolectada, donde se identificó específicamente, si los
discursos presentados durante las sesiones fueron de tipo matemático, técnico o
tecnológico, reflexivo o en su defecto paralelo. Para diferenciar cada uno de los tipos de
discursos se utilizan los colores amarillo, azul turquesa, rojo y verde biche respectivamente.
Una vez sean diferenciados se agruparán por color y finalmente se presentarán las
conclusiones.
52
5. Capítulo 5: Análisis de la información
En este capítulo aparece cada una de las bitácoras donde se describe lo ocurrido en
cada una de las sesiones de implementación. En cada una de estas se subraya con diferentes
colores los tipos de discursos presentados durante las mismas, con amarrillo los discursos
matemáticos, azul los técnicos, rojo los reflexivos y verdes los paralelos. Finalmente se
realiza el análisis respectivo según cada color.
5.1.Bitácora número 1: “Haciendo parte de la familia 10-01”
La clase del día inició con una presentación de la profesora titular Sindy Joya a los
estudiantes del grado 1001. En esta presentación se les mencionó a los estudiantes que en
las clases de matemáticas al cabo de un mes y medio en promedio, se trabajaría en
colaboración con dos estudiantes para profesor de la licenciatura en educación básica con
énfasis en matemáticas de la universidad Distrital Francisco José de Caldas, Cesar Páez y
Harold Hernández.
Luego de esta corta presentación la profesora inició con su clase planeada, de
manera normal, ya que se había pactado que en las dos primeras sesiones, los estudiantes
para profesor realizarían un acompañamiento con el fin de construir una relación de
confianza previa a la implementación de las actividades destinadas a la investigación.
En esta primera clase se observaron aspectos como que había una distribución de
15 hombres y 13 mujeres en la clase. Con preguntas a los propios estudiantes se supo que
el intervalo de edades del el salón se encontraba entre 14 y 17 años de edad.
53
En los momentos en que la profesora Sindy Joya hacia su llamado de lista y
terminaba de acomodar a los estudiantes previo a iniciar con la socialización, los
investigadores1, se dieron cuenta de ciertas comportamientos e impresiones que tendrían
que ser comprobadas. Se observó que el estudiante número 28, es una persona que no se
puede estar en un solo lugar y es muy disperso; el estudiante número 29, no prestó atención
a ninguna de las indicaciones de la profesora y además se salía del salón cada vez que
quería. Estos estudiantes por consideraciones de los investigadores tendrían que estar en
constante observación.
Luego de esto la profesora se dispuso a realizar la socialización de la tarea, la cual
consistía en diez ejercicios de la temática del teorema de Pitágoras.
1 De ahora en adelante en las bitácoras de hará referencia como “los investigadores” a los
estudiantes Cesar Páez y Harold Hernández.
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Ilustración 3 Ejercicios propuestos en clase.
En el momento que la profesora inicia con la socialización de los ejercicios, divide
el tablero en partes y le asigna a estudiantes al azar que pasen y resuelvan el ejercicio que
les corresponda según el orden de asignación. Se nota algo curioso y es que ninguno de los
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estudiantes se niega a resolverlos como es muy común en estas socializaciones2, en este
momento de la clase, se pueden evidenciar aspectos como que los estudiantes que no están
atentos a las explicaciones que dan sus compañeros, todo el tiempo se encuentran
concentrados en sus celulares. De igual manera se puede observar el interés por parte del
estudiante número 24, el cual opina y participa más que sus demás compañeros. Luego de
esta explicación la profesora les recuerda de un Quiz programado y se dispone a
implementarlo. Este consistía en, representar y resolver el siguiente problema:
Una cometa está atada al suelo por una cuerda de setenta y cinco metros de
longitud, cuando la cuerda está totalmente tensa, la cometa se encuentra a una distancia
horizontal de veinticinco metros del punto de atadura ¿a qué altura está volando la cometa?
Para esto los estudiantes cuentan con 10 minutos para resolverlo, en donde se nota que los
estudiantes tienen problemas con identificar si la variable en este caso corresponde a un
cateto o a la hipotenusa.
Para terminar con el tema del teorema de Pitágoras la profesora les dejó a los
estudiantes otra tarea: traer unas fichas con las cuales los estudiantes comprendieran la
relación pitagórica en el triángulo rectángulo. Por las áreas de los cuadrados que se forman
2 En la actualidad es usual que muchos estudiantes tal vez por pena o temor no participen de este
tipo de socializaciones.
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con los lados del triángulo, en este momento se observó que aproximadamente el ochenta
por ciento de los estudiantes llevaron el material, algo inusual también, debido a la falta de
compromiso de los estudiantes en algunos casos.
Debido a la masiva colaboración con las tareas por parte de los estudiantes se le
preguntó a la profesora, cuál era su herramienta para que a los estudiantes no se les olvidara
y colaboraran. Su respuesta fue que utilizaba las redes sociales como recurso para
recordarles, específicamente la creación de un grupo de Facebook para difundir
información de este tipo.
Para terminar con la clase se les pidió a los estudiantes que realizaran la primera
actividad en su carpeta de ánima plano, y debido a que fue poco el tiempo los estudiantes
no alcanzaron a realizar nada, sino simplemente las reconocieron y observaron, con esto
concluyó la primera clase.
5.2. Bitácora número 2: “Haciendo parte de la familia 10-01, parte ll”
La clase del día se inicia, con el respectivo llamado de lista. Luego de esto la
profesora hace entrega a los estudiantes de las carpetas de ánima planos, y les pide que
terminen la primera hoja la cual deben entregar al finalizar la clase, pero para esto se toma
el trabajo de explicar la primera actividad para que los estudiantes la resuelvan y continúen
con la actividad. Para esto, la profesora inició la socialización del primer punto informando
que esto se podía resolver por medio de sistemas de ecuaciónes; ella acudió a preguntar y
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escribir en el tablero como lo decía el ejercicio, cruz más carita es igual a ciento treinta y
tres, y abajo colocó cruz menos carita igual a once, como se ve en la ilustración cuatro.
Ilustración 4 Sistema de ecuaciónes
En el momento de iniciar con la explicación del tema, tomando como variables la
cruz y la carita en este caso, los estudiantes no comprendían qué era lo que debían hacer.
De repente uno de los estudiantes dijo: “profe, ¿podemos cambiar eso por X y Y?”. Luego
de cambiar las variables por las letras mencionadas se puede ver en la ilustración cuatro,
como los estudiantes inician con el despeje de una de las variables sin mayor problema.
Luego de esta explicación, la profesora pide a diez estudiantes que se dirijan a la
biblioteca para unas cuestiones de coordinación, y les pide a las niñas del curso que salgan
junto al investigador Harold, ya que necesitaba a los hombres en el salón. Al momento que
las estudiantes salieron, la profesora motivo a los estudiantes a que planearan algo para el
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día de la mujer. En este momento quedó evidente que los estudiantes no tienen una buena
relación entre ellos, ya que por este tema hubo varios conflictos de manera verbal y se notó
el poco compañerismo que hay. Al final de uno de estos conflictos, el estudiante número
29, quien trató de tomar la vocería, se salió del salón al ver que los estudiantes no
colaboraban con la planeación de la actividad para el día de la, mujer. Al final, con la ayuda
del estudiante número 16 (estudiante con el estudiante 29 tuvo la discusión) se logró la
decisión de llevar una rosa, una chocolatina y la forma en que se iba a ser entregada a cada
niña.
Al finalizar con la organización del día de la mujer, los estudiantes debían terminar
el ánima plano y en este momento algunos estudiantes por voluntad propia se levantaron
de sus lugares y acudieron a los investigadores a que les colaboraran con la resolución de
esta actividad. En general el trabajo fue bueno, en sentido matemático y en sentido de
relaciones con el grupo. Al finalizar con el ánima plano se dio por terminada la sesión dos,
la cual finalizaba la semana de acercamiento a los estudiantes.
5.3.Bitácora 3: En equipo, ¿qué tan capaz eres?
Inicia la clase y la profesora Sindy proyecta su voz para ganar la atención de los
estudiantes y luego llamar a lista. De esta manera Sindy deja el curso en manos de los
investigadores, quienes comentan a los estudiantes que a partir del presente día los van a
estar acompañando para realizar una investigación, aclarando que ellos como estudiantes
también serán protagonistas durante la investigación. Sin más detalles los investigadores
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explican que el trabajo del día se realizará fuera del espacio de clase, en una de las canchas
del colegio. Así, bajo la recomendación de orden de la profesora todos se dirigen a la
cancha.
Llegando a la cancha el investigador Harold evita la dispersión de los estudiantes
haciendo que estos formen un “círculo” en la medida que van arribando, mientras que el
investigador Cesar escolta el grupo junto con la profesora. En fin, la idea fue evitar que se
“perdieran” estudiantes. Estando todos en “círculo” los investigadores explican que la idea
es poder conocerse un poco más y que tengan la oportunidad de enfrentar ciertos retos y
desafíos como grupo.
Para empezar, cada uno de los estudiantes se presenta y comenta qué le gustaría
hacer una vez terminen su bachillerato y para cuando terminan de hablar uno de los
investigadores advierte a sus estudiantes que tengan muy presente el nombre de sus
compañeros ya que ello será importante para una dinámica posterior. Cuando terminaron
de presentarse, uno de los investigadores dirigió una reflexión a sus estudiantes
comentando... “son muchos y diferentes los deseos de cada uno y no importa en realidad
lo que deseen hacer, lo realmente importante es que lo que hagan o deseen hacer, lo hagan
desde el corazón, con muchas ganas y motivación, trabajando duro por ello, que sientan
que realmente los hace sentir bien… en fin, que eso que hagan también sea para el bien
de los demás”.
Luego de la reflexión, lo que harían sería hacer un trabajo de calentamiento corporal
y activación de los sentidos para la buena disposición en las dinámicas futuras. Lo que
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harían, comenta un investigador, es mover el cuerpo dando saltos y en sincronía con el
siguiente canto: “un dos, aplauso aplauso”, “un dos, aplauso aplauso”… donde cada vez
que se diese un aplauso los estudiantes darían un salto. A lo anterior se agrega una variable
que consiste en que en lugar de decir “un dos” el investigador dirá “derecha”, “izquierda”,
“adelante” o “atrás” lo cual indicaría la dirección en la que, quienes participen, deberían
dar los saltos. Para ponerlo un poco más complicado, el investigador agregó otra indicación
según la cual no todos saltarían en la misma dirección, pero… ¿cómo haría esto posible?
Lo que hizo el investigador fue pedirles a los estudiantes que se enumeraran de 1 a 2 en el
“círculo” y luego indicar que los número uno saltarán de acuerdo con la indicación del
profesor, mientras que los número dos en la dirección contraria a la dada; es decir, sí el
investigador decía “derecha”, entonces los número 2 saltarían a la izquierda, o si decía
“adelante” entonces saltarían hacía “atrás”. Luego el investigador invertiría los roles y así
garantizaría el trabajo físico y trabajo de concentración por parte de todos los estudiantes.
De esta manera se desarrolla la dinámica aunque con todo lo que implica dirigir un grupo
y otras complicaciones3 realmente inesperadas, teniendo en cuenta que era el primer
acercamiento realmente directo y dirigido por los investigadores.
3 En un momento de la actividad cuando uno de los investigadores dirigía al grupo, el estudiante
número 29, se acercó a un estudiante de otro curso y empezaron a hablar. En este instante la profesora se dio
cuenta de esta conversación y se dirigió así allí a decirle al estudiante del curso que siguiera con la actividad,
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La siguiente dinámica trabajada se conoce como “manzana-pera”. En ella los
investigadores señalaban un estudiante seguido de la palabra “manzana” o “pera”. Si la
palabra era “manzana” entonces el estudiante señalado mencionaba el nombre del
compañero de la derecha, si en cambio la palabra era “pera”, entonces mencionaba el
nombre de la persona de la izquierda. La idea era que el estudiante señalado lo hiciera lo
más rápido posible. A las anteriores indicaciones se sumaba otra y era que cuando el
investigador dijera desorden entonces los estudiantes debían cambiarse de lugar pero
manteniendo el “círculo”; esto garantizaría que los estudiantes no tuviesen a su lado
siempre a los mismos compañeros. Bajo esta dinámica se trabajó un rato.
Minutos más tarde los investigadores comienzan con los verdaderos retos grupales,
empezando por uno conocido como el “nudo humano”. En este reto, cada uno de los
estudiantes que están en el “círculo” coloca su mano derecha sobre su mano izquierda,
tomando con la mano derecha la mano izquierda del compañero del lado y con la mano
izquierda toma la mano derecha del compañero del otro lado. Así todos quedaron tomados
de las manos y “atados”. El reto consistía en desatarse de tal manera que también, todos
en este momento el estudiante número 24 se dirigió hacia donde el estudiante número 28, fue acá cuando el
primer estudiante le entrega algo al estudiante número 28. En este momento la profesora los llama, pero en
cuestión de segundos le pasan algo, a otras dos estudiantes a las estudiantes número 4 y 6, la profesora de dio
cuenta y de igual manera habló con ellas, encontrando un recipiente para fumar marihuana con residuos y
quitándole al estudiante numero 29 un par de encendedores.
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quedaran mirando hacia el centro del círculo. Si en algún momento se soltaban, volvía a
empezar el reto. En este reto, los estudiantes tuvieron dos intentos fallidos porque
empezaban trabajando individualmente, sin coordinación y sin escuchar las ideas de sus
demás compañeros. Sin embargo fue en el tercer intento cuando lograron cumplir el reto.
Por lo que sucedió durante el reto se dio la posibilidad de reflexionar un poco sobre los
intentos fallido y las razones de los fallos, donde entre otras cosas se comentó… “este reto
resulta como la vida, se van a ver enfrentados a muchas situaciones que deberán resolver
y puede que tengan fallos y equivocaciones, pero no por eso deberán dejar de insistir, sino
que deben continuar hasta lograr eso que quieren, tal y como lo hicieron en este reto”.
También se formularon preguntas del tipo… ¿por qué fallaron? ¿Qué debieron haber
hecho? Desde las cuales los estudiantes resaltaron que debían aprender a escucharse por
ejemplo las ideas que otros tengan, faltó trabajo coordinado y en equipo.
A continuación se trabajaría otro tipo de nudo humano, en esta oportunidad ya no
se tomarían de las manos con los compañeros de al lado, sino con alguien que tuviesen al
frente, aclarando que cada mano debía dársele a un compañero diferente que tuviesen al
frente. Pero dado que eran muchos estudiantes, los investigadores pidieron nuevamente
que se enumeraran de uno a dos, de tal manera que los números pares resolverían el reto
en compañía del investigador Cesar, el resto con el investigador Harold. Así enfrentarían
el reto sin tener que soltarse y con la diferencia de que en esta oportunidad deberían sólo
desatar el nudo, sin importar si unos quedaban mirando al frente y otros no. En ésta
oportunidad los estudiantes desde el comienzo estaban tan juntos unos de otros, como
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Transmilenio en hora pico, que ellos no lo creían realizable e incluso decían a los
investigadores que no se podía y cuando esto sucedía aparecían las palabras alentadoras y
retadoras de los investigadores diciendo… “¿así es como piensan enfrentar su vida de aquí
en adelante?, ¿tan pronto tengan la primera dificultad se van a rendir?, ¡ustedes pueden!”.
Aunque les resultó algo complicado, después de varios minutos lograron cumplir con el
reto.
Para cuando el grupo del investigador Harold cumplió el reto el otro grupo ya había
terminado el reto y estaban inflando unas bombas que eran necesarias para el siguiente
desafío. Los otros estudiantes también decidieron ayudar a inflar las bombas y al finalizar
uno de los investigadores procedió a explicar el nuevo desafío. En este debían trasladar las
bombas, que en total eran 48, a unos 6 metros de distancia del lugar en el que se
encontraban con la condición de que no podían llevarlas ni con las manos ni tomándolas
con la boca.
Al comenzar no lo vieron tan complicado, pero se fueron dando cuenta de la
necesidad de sus demás compañeros, todos en conjunto y coordinados para poder avanzar.
El grupo decidió llevarlas como si estuviesen abrazados y con las bombas separándolos del
abrazo. Así fueron avanzando comenzando con el pie derecho de manera coordinada y
alguien guiando el avance diciendo “derecha, izquierda, derecha, izquierda…”al final
cumplirían el reto.
Debido a que el tiempo de la sesión de clase terminaba los investigadores
decidieron escoger sólo un último reto a los estudiantes. En esta oportunidad los
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investigadores hicieron que los estudiantes hicieran un “círculo” entre ellos. Para cuando
estaban así, uno de los investigadores mencionó que éste último reto involucraba algo de
conocimiento matemático teniendo en cuenta que la clase era de matemáticas. Los
estudiantes debían en vez de un “círculo” realizar un cuadrado entre ellos e incluyendo a
los investigadores. Desde el comienzo incluso sin que el investigador terminara de hablar,
una de las estudiantes tomó la iniciativa y fue ubicando a cada estudiante, empezando por
los investigadores en los lugares que ella consideraba pertinente para poder obtener al final
el cuadrado. Para cuando ella consideró que había terminado, uno de los investigadores,
muy consciente de la forma obtenida preguntó ¿están de acuerdo de que es un cuadrado?
Inmediatamente la respuesta de algunos estudiantes fue sí, a lo que el investigador preguntó
si estaban seguros y posteriormente lanzó la siguiente pregunta intentando entrar en
consciencia a los estudiantes: ¿qué características tiene un cuadrado? La respuesta inicial
fue que un cuadrado tiene cuatro lados y que éstos debían ser todos iguales, con ello
empezaron a contar cuántas personas había por lado y se dieron cuenta de que había más
personas en unos lados que en otros y para resolverlo decidieron que debían contar la
cantidad de personas que se encontraban en el momento y luego dividir por cuatro para
saber cuántas personas debían ir en cada lado y sin contar con las personas que debían ir
en cada esquina o vértice del cuadrado. Cabe resaltar que aunque al final resolvieron el reto
el trabajo en equipo, se realizó sólo hasta cuando cometieron el error inicial, ya que desde
el comienzo una estudiante guío sola el desafío sin siquiera tener en cuenta opiniones de
otra estudiante que dijo desde el comienzo que todos los lados deberían quedar iguales.
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Con ésta experiencia y las ya contadas se procedió a hacer el cierre de la sesión con
una reflexión acerca de lo que se había hecho e intentando expresar qué habían aprendido.
Así, cuando se dio la oportunidad de que los estudiantes hablaran expresaron que debían
aprender a escuchar, que faltaba comunicación entre ellos, disciplina; que fallaron en
coordinación aclarando que cuando se referían a coordinación se referían a que todos
fueran igual y no unos primero que otros; otro estudiante, tan bueno matemáticamente
como individualista y frio, también menciono que ellos como estudiantes no “sabían” ni
eran capaces de trabajar como equipo. Debido a que en su mayoría las anteriores
impresiones eran más negativas, uno de los investigadores pidió que mencionaran cosas
positivas intentando no recaer en sólo aspectos negativos, luego hubo apreciaciones como
hubo trabajo en equipo y comunicación para poder superar cada reto. También los
investigadores expresaron que la idea era que lo aprendido en ese momento no se quedara
sólo para ese momento y ese día sino que fuera algo que pudieran repetir en adelante, con
la misma disposición, ganas y con todo lo aprendido. Antes de finalizar también la
profesora Sindy se expresó agradecida por el comportamiento y disposición de los
estudiantes en cada dinámica, mencionando también que el ejercicio había estado chévere.
De esta manera volvimos al aula de clase para dar por terminada la sesión.
5.4.Bitácora 4: “Manos a la obra”
En este día los investigadores llegaban al colegio más o menos con 40 minutos de
anticipación. Debían tener listo el sonido, el video y el espacio de la biblioteca organizado
66
y adaptado para poder discutir y visualizar algunos videos alrededor del “problema del
narcotráfico y drogas” (ver ilustraciones N° 5 y 6). Con la ayuda del Bibliotecario los
investigadores adaptaron un computador portátil, el cableado de conexión con el tablero
inteligente y el reproductor de imagen y video
Ilustración 5 Adecuando el aula de la biblioteca.
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Ilustración 6 Adecuando el aula de la biblioteca 2.
Mientras esto ocurría los estudiantes salían a descanso para compartir, descansar y
algunos de ellos competir por el campeonato de microfútbol del colegio mientras algunas
de sus compañeras los animaban. Una vez finalizado el descanso, los estudiantes arribaban
por grupos al aula de la biblioteca y tomaban su asiento a la espera de que llegara el resto.
Hubo que esperar 10 minutos después de empezada la hora de clase, pero para entonces,
hasta los chicos que estaban compitiendo se encontraban en el aula.
Estando todos sentados, uno de los investigadores alzaba su voz para lograr la
atención de su público para explicar en breve el trabajo que realizarían en la sesión.
Primero, explicaba el investigador, tendrían que sacar una hoja o trozo de papel donde
tendrían que responder una pregunta: ¿Qué pueden decirme de las matemáticas, qué opinan
68
de ellas y de lo que son?4 En la segunda parte, explica el investigador, habría una primera
fase donde los estudiantes tendrían que discutir unas preguntas entre ellos, visualizar unos
videos y volver a retomar las preguntas para clarificar algunos conceptos e ideas.
De esta manera los estudiantes comenzaban a desarrollar la primera parte (ver
ilustración N° 7) y algunos estudiantes se encontraban pensativos, de seguro no sabían
cómo abordar la pregunta, así que los investigadores aclaraban que la idea no era que
explicarán algún tema que supieran de las matemáticas, sino qué opinaran de ellas en
general, de cómo las han percibido hasta entonces, incluso, si querían, podían opinar acerca
de las clases de matemáticas que habían tenido hasta el momento. 10 minutos después
empezarían a recoger las hojas como evidencia del trabajo realizado (ver ilustración N° 8).
4 Cabe hacer la aclaración, que los estudiantes del grado 1001 venían de desarrollar sus clases de
matemáticas en los años anteriores, según la profesora titular Sandy Joya con un docente el cual tenía una
visión de las matemáticas en donde lo único que importaba era el rigor. Esto para aclarar que las respuestas
que dieron los estudiantes a esta pregunta en su mayoría hacían énfasis a el rigor.
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Ilustración 7. Estudiantes respondiendo pregunta.
Ilustración 8 Respuesta de una estudiante.
Rta/ las matemáticas es una ciencia que nos ayuda a resolver problemas, es un
conjunto de números.
Ya en la segunda parte, uno de los investigadores tomaba la palabra e intentaba
explicar que desde este día empezaba el trabajo de investigación teniendo como
70
problemática o situación crítica “el narcotráfico y drogas”, donde todos serían
investigadores, incluso los estudiantes. También, decía el investigador al grupo de
estudiantes y profesora titular, que lo que se quería era que pudieran, con la ayuda de los
investigadores y la profesora Sindy, hacerse otra idea de las matemáticas, como se decía
anteriormente.
Dicho esto, el investigador pedía a los estudiantes su disposición para discutir unas
preguntas relacionadas a la situación crítica en cuestión, empezando por: ¿Qué creen
ustedes que es el narcotráfico? Mientras el investigador Cesar realizaba las preguntas y
construía un esquema de las respuestas de los estudiantes (ver ilustraciones N° 9 Y 10) el
investigador Harold daba la palabra para que los estudiantes hablaran en orden, grababa
las voces y cuando veía la posibilidad generaba otras preguntas o hacía claridades.
Ilustración 9 Lluvia de ideas de los estudiantes.
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Ilustración 10 Lluvia de ideas de los es.tudiantes 2
A continuación se presentan las impresiones y comentarios de los estudiantes:
Tabla 6 discursos de los estudiantes
Pregunta Discurso
¿Qué creen ustedes
que es el
narcotráfico?
Estudiante 11 : es una forma fácil de ganar dinero
Estudiante 12 :Ilegalidad
Estudiante 16: llevar droga a otros países… tráfico… Contrabando.
Llevar gasolina que no está autorizada de un país a otro… o en el mismo
país.
Para mí los que son de cuello blanco, serían los corruptos también.
Estudiante 23: Grupos al margen de la ley. Los que lavan dinero.
Paramilitares también.
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Estudiante 21: Red de mercancía ilegal.
Estudiante 17: Pienso que no es tan ilegal porque no la prohíben en todos
los países.
¿Creen que el
narcotráfico los ha
afectado a ustedes o
a su familia?
Estudiante 4: Políticamente sí porque ya todo el mundo sabe que los
políticos están manchados con todo.
Estudiante 16: pues ha afectado a mi familia porque en los tiempos de
pablo esco0bar, pablo escobar puso bombas por todo lado, mató a mucha
gente, entonces …pudo ser mi familia, pudo ser un amigo, pudo haber
sido cualquiera
Investigador Harold ¿qué opinan de lo que dice él?
Estudiante 6: Estoy en desacuerdo con él porque yo pienso que él se está
preocupando por las otras familias…por la sociedad… ¿le afectó?
Estudiante 18 :Pues en el barrio mío sí por lo que…más abajo donde yo
vivo queda una olla y ahí siempre pues pasan drogas y pasan
también…esto qué, mercancías que han robado o mercancías que la van
a exportar ahí al barrio
Comentarios sueltos: Maria paz. El amparo. Risas y murmullos. Bogotá.
Colombia.
¿Ustedes creen que
el problema del
Comentarios sueltos: Sí. Sí. Uuuuuu!
Estudiante 16: en los colegios entran estudiantes,… pero digamos esos
estudiantes podrían en la calle ser ñeros… entonces…otros ñeros de la
73
narcotráfico se ve
en el colegio?
calle que ya son vagos que no estudian le pasan droga a los que están
adentro para dañar a los niños. Lo que yo he escuchado siempre es que
digamos les dan gratis y ya los ponen ambiciosos (adictos) a esa droga y
ahí ya comienzan a pagar para comprar su… para comprar las drogas.
Estudiante 17: es como una red de narcotráfico porque prácticamente no
se inicia desde acá, se inicia desde la calle, entonces como que los de la
calle traen influencias para que acá se empiece a ver drogadicción.
Estudiante 28: Esto va para Guillermo… porque osea, no sólo son los
ñeros los que venden, los que trafican, los que todo, ¿si? Porque también
hay gomelos… personas de casa, parís, de todo lado que, que también
venden, reciben, de todo, no son sólo los ñeros.
Con respecto a la traficación en el colegio eso ya depende de...
cada uno como, como fue criado o…cada uno si quiere o no quiere, si lo
obligan o no lo obligan y ya, depende de uno.
Estudiante 29: Pues yo estoy en desacuerdo con todo. Pues qué creo que
es el narcotráfico, el narcotráfico es el soporte económico de este país,
porque si no hubiera narcotráfico los colombianos estuviéramos pobres,
más de lo que estamos porque, estamos muy pobres, si me entiende,
porque los políticos sólo venden las cosas y venden y venden y venden y
todo lo cogen para ello, entonces con lo que se gana del narcotráfico pues
es que … le dan la plata a uno si ve, porque es que el narcotráfico es como
74
legal, porque es que ellos son los dueños de eso también, sólo que dicen
que es ilegal porque si dijeran que fuera legal, pues todo mundo haría plata
en un momentico, si me entiende (aplausos)…los que mandan dicen que
es ilegal porque si dijeran que fuera legal pues todo el mundo vendería…
pues vicio, no el vicio no, drogas, pues cocaína porque cocaína es lo que
se exporta y ya, si me entiende, eso es lo que mantiene a Colombia porque
la mejor cocaína es la de acá… pues no sé.
Pues qué le digo, pues sí no le digo que es que… el narcotráfico,
no, yo no veo el narcotráfico en mi entorno, pero lo que sí se ve es el
microtráfico, si me entiende, que es, si ve, lo que lo que se ven en estas
ollas, por lo menos en Maria paz, el amparo, la ribera, la invasión,
cincohuecos, el centro, sí pilla todo!... Lo que pasa es que… en Bogotá
hay una cosa que se llama los habitantes de calle, entonces esas personas,
hay unas personas del gobierno, bueno pues no del gobierno, de los grupos
esos que dijeron ahorita (paramilitares) que ellos vienen y mandan acá y
cogen una olla, entonces al habitante de calle le dan bazuco y con eso los
explotan, entonces pues… acá en Bogotá el microtráfico que la olla más
grande creo que era la del centro pues todo se da es por los habitantes de
calle porque ellos son los que transportan droga y nadie se da de cuenta.
Si las personas del gobierno mismo no esclavizaran a unas personas que
dependen de una sustancia pues este país no estaría como está.
75
Sí me da como como; yo no estoy en desacuerdo con eso si me
entiende, porque por lo menos yo admiro a Pablo Escobar, porque Pablo
escobar quería ayudar a la gente pobre entonces como dice el compañero,
“no es que lo que pasa es que cuando estuvo Pablo escobar con el
narcotráfico eso hubieron explosiones, hubieron muertos, hubieron de
todo, pero si ve lo que nadie dice es que esos muertos fueron de gente con
plata, ¿si me entiende?… porque Pablo Escobar no le iba a hacer un
atentado a cualquier … persona x de por ahí, tenía que ser una persona de
alto rango, entonces por eso es que si hacían un atentado entonces como
están los ricos ahí sí se mostraba por televisión, ahí sí lo recordaban a todo
momento, entonces si ve le echaban la culpa al narcotráfico pero, por lo
menos acá en Bogotá se ven las muertes de jóvenes a cada rato, porque
digamos si me entiende como le digo el bazuco es una sustancia que
dependen de ello y mucha gente entra a vender esas cosas… y por el
mismo vicio a veces faltonean a los patrones y los Matan o…hay veces
que van a comprar un moño algo y no está la plata completa y faltonean
y los matan… y esas muertes no, nadie dice nada entonces ¿si ve?, como
fueron muertes de gente que si tiene plata pues …en cambio si fueran los
pobres ahí sí no, por lo menos, ¡ahora si es que vamos a quedar más
pobres!
76
Estudiante 16: pues yo digo, lo que habíamos hablado con la profesora
de Filosofía, este tema ya lo habíamos tocado. Nosotros vimos a Jaime
garzón él era una de las personas que le decía a la gente lo que pasaba en
el país o a los políticos corruptos y ¿quién lo mató? Pablo escobar, por
decir la verdad, por decir todo lo que eran ellos. Entonces pablo escobar
es una persona que mata a sólo los ricos ahí también cayó niños, cayeron
mujeres, hombres y personas inocentes. Entonces no vamos a hacerle
tributo a una persona que quería matar gente, vender droga y ganar plata
fácil.
Estudiante 29: pues primero que todo pues no es plata fácil porque, sabe
que esos manes se tienen que esconder de la policía, del gobierno, de uno
de lo otro y pues no es plata fácil…porque por lo menos pa pasar un
cargamento, digamos pa pasar 30 kilos de cocaína, para ud pasar un
cargamento de esos a otro país tiene que hacer que le pillen un octavo o
la mitad de la parte que lleva si me entiende, digamos pa pasar 30 kilos
de cocaína, tiene que perder 10 si me entiende y esa droga el gobierno no
dice venga, eso es cocaína y la votamos al piso y que se la lleve el viento,
no, ellos la venden o se la echan porque esos también echan re arte de eso.
Entonces ee segundo, murió gente inocente pero es que… por lo menos
el gobierno mata gente inocente, por lo menos en el barrio donde yo vivo
mataron a un chino hace poquito de ahí del amparo entonces fueron los
77
de debajo de Dindalito, entonces ese barrio el mio es re chiquito,… eso
suben y bajan y la limpieza llegó ahí y entonces no llegó ni al amparo ni
a Dindalito porque ahí no pueden entrar y mandan a hacer la limpieza en
cualquier otro barrio y no aparecieron tantos muertos o tal cosa y dicen
“no esos eran los de tal” y es gente inocente porque es que la mamá y el
papá y los hermanos de esa persona que mataron, de ese ñero de ese
habitante de calle sufren porque él también es una persona…pues si ve no
hay que hacerle tributo pero es que pablo escobar hizo muchas cosas
buenas por qué creen que en Medellín lo quieren, por qué cree que hizo
un barrio, si ve por qué cree que él con la plata que se ganaba él no decía
si ve vamos a, bueno pues se la farreaba y todo pero él decía vamos a
poner una cancha de microfútbol…si él fuera otra persona diría vamos a
crear este barrio y este barrio va a quedar con la olla de pablo
escobar…..no él prefería hacer parques, ayudarle a la gente y él le quitaba
al rico para darle al pobre como hacía Robin Hood si ve y a Robin Hood
lo admiraban… estamos en una sociedad que es bruta, bueno, pues no
todos… ven que nos están robando y siguen eligiendo a la gente que nos
roba…
¿Qué opina de
periódicos,
televisión, los
Estudiante 23: Es un robo porque ahí es donde….sí hay que hacerle
reverencia a tal persona entonces nosotros le hacemos reverencia por los
78
medios de lo
comunicación’
periódicos la televisión y por todo porque eso es de un sólo dueño y él nos
quiere hacer ver lo mismo.
La discusión y opiniones entre estudiantes fue moviendo el interés del grupo en
general, además porque empezaban a darse ciertos aires controversiales respecto a las
opiniones de algunos sobre el tema e incluso una división del grupo por la divergencia
entre las opiniones. El tiempo empezaba a hacerse insuficiente y por tanto los invetigadores
se vieron en la necesidad de interrumpir en determinado momento a los estudiantes,
explicando que no es que no quisieran escucharlos, sino que aún faltaban puntos de la
programación del día por abordar, entre ellos el de la visualización de videos que incluso
aclararían algunas ideas no tan acertadas de los estudiantes, los contextualizarían,
sensibilizarían y les mostraría otros puntos de vista. A continuación específicamos el orden
y finalidad de los videos vistos, aclarando que no se interrumpió entre videos para charlar:
Tabla 7finalidad de los videos
FINALIDAD VIDEOS
Contextualizar Narcotráfico en colombia, recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=zfrqyYaGlJc
El Cdte de las FARC-EP responde sobre guerrilla y narcotráfico,
recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=YBJfpiwNMvY
Sensibilizar 10 Drogas con Efectos Aterradores que no quisieras conocer,
recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=v0m-13OokKY&t=1s
Untitled, recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=SXubaYDu0oY&t=1s
79
Los estudiantes estuvieron tomando nota de los videos y una vez finalizó la
reproducción del último, el investigador Harold propuso a sus estudiantes recoger aspectos
importantes de los videos para intentar hacer un esquema que pudieran llevarse en la cabeza
acerca del narcotráfico y drogas. El esquema lo fue diseñando el investigador en el tablero
(ver ilustración N° 11) y teniendo como centro el tema narcotráfico y drogas se desglozaron
cuatro aspectos: el primero es qué dicha temática implica a la sociedad que como se había
dicho puede ser Bogotá o Colombia; el segundo fue sobre los protagonistas en éste tema
donde se mencionarón a los paramilitares, los narcotraficantes (mafias y carteles),
campesinos, guerrilla, políticos y extranjeros; el tercero tenido en cuenta fueron las drogas
más mencionadas y conocidas donde fueron anotadas, la cocaína, marihuana, heroína y
bazuco; y el último aspecto tocado se centró en la operatividad del narcotráfico donde los
estudiantes se refirieron a los procesos de cultivación o producción, comercialización y
consumo.
Ilustración 11 Construcción de esquema narcotráfico y drogas.
80
Para cuando se acordó que no faltaba más por agregar, sin esperar que algún
estudiante mencionara algo, en la última fila un estudiante alzaba la mano, era el estudiante
numero 29 queriendo opinar de nuevo, y los investigadores no se opusieron. El estudiante
dijo: “el narcotráfico nunca va a terminar”. Lo que dijo el estudiante dio para qué los
investigadores generaran los siguientes cuestionamientos a los estudiantes: ¿Cómo
podemos saberlo realmente? ¿Acabará algún día el problema del narcotráfico? Con estas
preguntas se extendió la invitación a todos los estudiantes para tratar de responder a esta
pregunta a partir de tener en cuenta dos cosas, la primera es el esquema que acababan de
realizar y la segunda que se procure buscar información y datos de manera tal que las
matemáticas puedan ayudar a responder la pregunta.
Antes de finalizar la sesión los investigadores aclararían que la siguiente clase
debían venir con grupos conformados de no más de 5 estudiantes y además cada estudiante
debería escribir qué aprendieron en la clase que no sabían anteriormente. Bajo estas
claridades se despedirían de los estudiantes.
5.5.Bitácora 5: “Recolectando información”
La clase que se tenía planeada para el día consistía en que, cada grupo de trabajo
debía llevar información según el tema que quisiera investigar basados en la información
que se presentó la clase anterior con los videos por parte de los investigadores, para analizar
la información que cada grupo había recolectado cada uno de los investigadores pasaría
por todos los grupos, orientando el proceso de construcción de una pregunta de
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investigación por grupo, la cual tenía el fin de guiar el proceso de cada grupo, sin olvidar
que esta pregunta tiene que contribuir a construir una respuesta a la pregunta ¿Acabará
algún día el problema del narcotráfico?
En total se formaron siete grupos5, el mínimo de los grupos fue de tres estudiantes
y el máximo 5. Luego de que cada uno de los grupos estuviera organizado, se inició con
las conversaciones para observar y analizar la información y la orientación a la pregunta.
Pero en el momento de iniciar con este proceso se observó que los estudiantes habían
centralizado su trabajo de recolección de información, en llevar impreso la misma
información que podían obtener del video, cosas como cuales habían sido los mayores
narcotraficantes en Colombia, cual había sido el desarrollo de la vida de los
narcotraficantes e información de este estilo como se puede observar en la ilustración 12 y
13.
5 La distribución de cada grupo con sus respectivos integrantes y el número asignado a cada uno de
estos grupos puede verse en la metodología del presente trabajo.
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Ilustración 12 información Pablo Escobar
Este problema sucedió con casi todos los grupos, con excepción del grupo número
seis, ya que este grupo si llevó información que describía la variación del precio de cocaína
por kilogramo desde el año 1981 hasta el año 2004. Con este grupo el trabajo fue diferente,
ya que además de esta información que fue la que contribuyo para obtener la pregunta de
Ilustración 13 Atentados Pablo Escobar.
83
investigación de este grupo, tenía mucha más información. Con este grupo se hizo el
trabajo que se debía hacer con los demás guiarlo respecto a sus dudas y las dudas de este
era sobre ¿Cuál sería el precio de cocaína al 2019? Debido a esto, el grupo debía seguir
investigando y plantearse la pregunta que ayudara a responder sus dudas y darle una posible
solución.
El trabajo con los demás grupos se dio de manera diferente ya que en el momento
de hablar con los investigadores, se dieron cuenta que la información que habían
recolectado no les decía nada, sabiendo que el trabajo que debían hacer tenía un énfasis
matemático. Luego de esto ayudados con las herramientas tecnológicas que poseía cada
grupo (celular y datos móviles) se les habló a los estudiantes de que recordaran los énfasis
sobre el narcotráfico que habían mencionado los videos, los cuales eran Producción,
Comercialización y Consumo. Para que con estos eligieran un de estos para iniciar su
búsqueda de información, donde pudieran obtener cifras, números, gráficas, valores y
demás para pensar en un trabajo matemático.
Luego de que cada grupo realizó este trabajo (que era lo que se pensaba tenían que
hacer para llevar a clase ese día), se llegaron a las siguientes conclusiones por grupo:
GRUPO 1: Trabajará sobre producción.
GRUPO 2: Trabajará sobre comercialización.
GRUPO 3: Trabajará sobre consumo.
GRUPO 4: Trabajará sobre producción.
GRUPO 5: Trabajará sobre consumo.
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GRUPO 6: Trabajará sobre comercialización.
GRUPO 7: Trabajará sobre producción.
Para la siguiente clase cada grupo tendría que llevar la pregunta de investigación
formulada, y una posible solución a esta, teniendo en cuenta cual sería el énfasis de su
grupo, con esto concluyo la sesión del día 21.
5.6.Bitácora 6: “Investigando y obteniendo”
La clase del día empezó de la misma manera a todas las demás, con el respectivo
llamado a lista por parte de la profesora titular. Luego de esto se le da la indicación a los
estudiantes, con base a que en la clase anterior, su avance no había sido significativo y que
a cada grupo se le había asignado una tarea específica respecto a la recolección de
información; la clase estaría mediada por exposiciones por parte de cada uno de los grupos;
tenían quince minutos para prepararla.
Luego de que se les dio esta información los estudiantes formaron sus grupos de
trabajo y debido a que aún tenían preguntas de la forma que debían exponer su información,
los investigadores se encargaron de resolver dudas por los grupos de trabajo. Luego de esto
se definió el orden de las exposiciones debido a la claridad y la cantidad de información de
cada grupo.
En este orden de ideas, el primer grupo en exponer es el grupo número seis, el cual
trabajaría el énfasis de comercialización. La exposición de este grupo inició con una breve
reseña de información sobre el narcotráfico, reseña que se basaba en los videos llevados
85
por los investigadores e investigación por parte del grupo expositor. Continuando con su
trabajo el grupo mostró una tabla como se observa en la ilustración 14.
Ilustración 14 precios cocaína por kilogramo
En esta tabla el grupo tenía la representación del valor de un kilogramo de cocaína
iniciando en el año 1981 hasta el año 2011. El grupo presentaba esta tabla porque querían
indagar sobre el precio de la cocaína a la actualidad por eso se plantean la siguiente
pregunta.
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Ilustración 15 pregunta de investigación grupo 6
¿Si en 2013 el precio de la cocaína fue de 1.660 dólares y se sabe que dos años
después el precio es de 3.320 dólares, pero ocurre una bajada del 63.6 % cual es el precio
en el 2019?
En el momento que el grupo expositor presenta esta pregunta, pide a los demás
grupos que traten de dar respuesta a esta. En este momento, uno de los investigadores se
dirige al grupo a cargo y les pregunta que si ellos ya tienen la solución, a lo que ellos
responden que sí, que por eso querían saber cómo sus compañeros enfrentarían dicha
pregunta. En el momento que cada grupo inicia con la posible solución a la pregunta que
determinaron los expositores, el investigador Cesar informa a los estudiantes que deberán
entregar su posible solución, sumándole una pregunta que le haría al grupo que está
exponiendo.
Después de algunos minutos y al ver que ninguno de los grupos entendían la
pregunta y no tenían ninguna estrategia para resolver la pregunta, el investigador Cesar
decidió hacer una intervención: inició con la pregunta ¿Cómo iniciaran para solucionar la
pregunta? A lo que muchos estudiantes respondieron que no sería posible debido a que la
información que presenta la tabla es hasta el 2011 y que preguntan para el futuro
refiriéndose al año 2019; es acá donde nuevamente el investigador hace una nueva
intervención, diciéndoles: “son este tipo de preguntas las que queremos que todos los
grupos se hagan, alguien puede decirme este tipo de pregunta de qué tipo es”. En este
momento el estudiante número 29 hace la intervención “esa pregunta es una predicción
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algo que puede pasar”. El investigador continua “él tiene toda la razón, acá podemos hablar
de comportamientos o cosas que pueden llegar a suceder, por eso ellos se preguntan sobre
el posible precio de la cocaína en el año 2019, pero también pueden preguntárselo al año
2050, pero el problema es ¿Cuál sería ese comportamiento?” los estudiantes pensaron
durante unos segundos y uno de los integrantes del grupo (estudiante numero 24) dice “por
eso es que en la pregunta que hicimos ponemos el precio del 2013 y lo que aumenta dos
años después y damos un porcentaje de bajada”. Lo que el estudiante quería era dar a
entender la pregunta según la explicación de que era predicción y el comportamiento que
se va a suponer. Cuando el estudiante da esta explicación los demás estudiantes no
entendían qué era lo que quería decir, por eso el investigador le dice al estudiante 24 que
por favor, explique la manera en que ellos solucionaron la pregunta cómo se puede ver en
la ilustración 16.
Ilustración 16 posible solución grupo 3
3.320 𝑢𝑠𝑑 ∗ 63.6% = 2101.56
El estudiante 24 dice lo siguiente, “Nosotros tomamos el valor del 2015 que es hasta
donde decimos que sube y luego de esto lo multiplicamos por el porcentaje de bajada y eso
nos da el precio para el año 2019”. Con esta afirmación que hace el grupo el investigador
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vuelve a hacer una intervención: “muchachos ¿si entendieron?, si entendieron que alguien
me explique como lo hicieron”. Los estudiantes toman una actitud de silencio total, no
hacen preguntas, no afirman nada. Por lo que nuevamente tiene que haber una intervención
por parte del investigador “listo, por lo que noto, no entendieron bien que hicieron sus
compañeros” en este momento hace referencia a la pregunta que tomó el grupo.
Ilustración 17Pregunta de grupo de trabajo.
Y empieza a explicar de la siguiente manera “sus compañeros tienen en la tabla
¿Hasta qué año el precio de cocaína?” los estudiantes responden que hasta el año 2011, el
investigador retoma “ok, entonces empecemos a leer la pregunta que formulan sus
compañeros, teniendo en cuenta la forma en que ellos dieron solución a este, miren ellos
dicen si en 2013 el precio es 1.660 dólares ¿Pero acá ellos a que se refieren al precio por?”.
En este momento no solo el grupo expositor, sino todos se dieron cuenta de que es
importante aclarar en este caso la cantidad de cocaína a la que se está refiriendo en este
caso un kilogramo. Luego de esta claridad, se continua “como se dieron cuenta de esas
pequeñas cosas, es necesario que agreguen esos detalles a su pregunta, ahora continuemos.
Luego dice, dos años después el precio es de 3.320 dólares ¿a qué año se refiere?” esta
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pregunta aunque parece obvia, resultó difícil para muchos de los estudiantes, debido a que
no leían de manera correcta la pregunta o secuenciaban esta, no entendían la conexión a la
que sus compañeros estaban haciendo referencia, hasta que un integrante del grupo
expositor (el estudiante numero 13), realizó la intervención y aclaró que se refería al año
2015, con lo que investigador tomó para continuar “listo, ya se sabe que se toma el supuesto
valor por kilogramo de cocaína en el 2015. Ahora si seguimos leyendo, dice que sufre una
bajada del 63.6% ¿Cómo se puede interpretar esto? Y en que ayuda esto a saber cuál es el
precio en el 2019, que es lo que realmente el grupo se pregunta”. En este momento los
estudiantes nuevamente no tenían alguna posible solución, por lo que el investigador decide
devolverse a la solución que había planteado el grupo expositor, y les pregunta “en el
momento que ustedes toman y multiplican el precio por kilogramo en un año por porcentaje
¿ustedes están pensando en las magnitudes que acá interfieren?, me explico mejor: si
ustedes están multiplicando un porcentaje por dólares que les da eso, un ejemplo seria si
yo tomo centímetros y los multiplico por centímetros ¿Qué magnitud obtengo de esa
multiplicación?”. Algunos estudiantes respondieron “metros”, otros que “centímetros” y
algunos dijeron que “centímetros cuadrados”, por lo que el investigador vuelve a la
pregunta “¿ustedes están multiplicando un porcentaje por dólares que les da eso?” y los
estudiantes del grupo expositor dijeron que esa multiplicación no se podía hacer así como
así, “¿entonces que pasó? ¿Que está mal? ¿cuál sería la forma correcta de calcular ese
precio que quieren obtener?
90
Al finalizar con esta pregunta, cada grupo empezó a buscar la mejor forma de dar
la respuesta a la pregunta formulada por el investigador. Pero este, al notar que no había
alguna respuesta por parte de los estudiantes, decidió incentivar con otra pregunta,
“¿ustedes saben qué es una regla de tres?, ¿en este caso se podría usar para ayudar a
responder la pregunta de sus compañeros?” en este momento de nuevo los estudiantes no
entendían lo que se quería hacer, por lo que el investigador nuevamente tomó la iniciativa
y les dijo “miren si yo tomo el precio del año 2015, los 3.320 dólares y necesitamos saber
el precio para el año 2019, podemos saber este valor de inmediato o teníamos que hacer un
proceso?” el estudiante numero 24 respondió que como ellos estaban tomando después del
2011 cada dos años el valor que se iba a obtener era el del 2017 y con este ya se podía
obtener el del 2019, pero que no sabía cómo. Entonces el investigador Cesar les explicó de
la siguiente manera como podrían utilizar la regla de tres con los valores que tenían, “si
decimos que los 3.320 dólares son el 100 % y tenemos que hubo una bajada del 63.6%
¿Cómo obtendríamos el valor correspondiente al segundo porcentaje?” entre todos se llegó
a la siguiente conclusión que se ve en la ilustración 18.
Ilustración 18 "explicación regla de tres"
63.6% ∗ 3320 𝑢𝑠𝑑
100%= 𝑥
91
En este punto se hizo énfasis más que en el valor que se obtuviera era en la relación
que se debía hacer con las magnitudes, para que de esta manera el grupo expositor se diera
cuenta por medio de todo el proceso que realizó el investigador, cual había sido su error.
Para continuar con esto, se le pidió a todos los estudiantes que realizaran una gráfica
de los valores dados por el grupo para que tuvieran una mayor claridad o otra
representación sobre el comportamiento del precio de la cocaína, para que tal vez de esta
manera comprendieran mejor lo que se trataba de hacer con la regla de tres y las demás
preguntas que se habían hecho con el grupo.
92
Ilustración 19 trabajo sobre la exposición6
Con esta gráfica, los estudiantes ya podían tener una primera idea del
comportamiento, debían observar que era lo que pasaba del 2011 en adelante y observar el
comportamiento hasta su posible predicción.
Luego de esto se dio por terminada la exposición del primer grupo (grupo número
seis), y se les dejó claro a todos los grupos que el fin que este grupo fuera el primero, era
que todos debían hacerse preguntas de investigación de predicción. Por último, con este
grupo se le dijo que al final de la clase se le darían otras indicaciones para que siguiera con
su trabajo.
Se continuó la clase con el segundo grupo expositor (el grupo número tres) donde
su énfasis seria el consumo. La manera de exponer de este grupo fue más rápida y concisa
ya que con la experiencia del primer grupo ya sabían que debían decir. El grupo presento
información sobre el consumo de marihuana a nivel Colombia, en un rango de edad. Luego
explicaron que en lo que habían leído, a ellos les había interesado saber cuál era la cantidad
de consumidores en el Bronx de Bogotá, y para esto presentaron esta tabla y la información
más relevante para realizar su pregunta de investigación, ilustraciones 20 y 21.
6 Este es uno de los trabajos que se le pidió a los grupos hiciera por cada exposición, este fue el
único que se creyó conveniente debido a que los otros no cumplían con lo que se había pedido.
93
Ilustración 20 consumidores de marihuana en Bogotá
Ilustración 21 información consumo
Basados en esta información, que para ellos fue la más importante plantearon una
pregunta de predicción la cual es:
Ilustración 22 pregunta de investigación grupo 3
94
¿Disminuye o aumenta la cantidad de consumidores en Bogotá con la intervención
del Bronx al año 2017?
Con esta pregunta, el investigador Cesar realiza al grupo las siguientes
intervenciones, “con la información que tienen podrían responder su pregunta, y si la
respuesta que me van a dar es negativa, por qué no piensan en la posibilidad de ver como
se aumenta la cantidad de consumidores por medio de porcentajes como se vio en el grupo
anterior”.
Con el segundo grupo la exposición fue más corta ya que el trabajo se podía hacer
de manera similar a lo que se había realizado con el primer grupo. Luego de esto, se pidió
a los integrantes de los grupos expositores se quedaran un momento después de que todos
sus compañeros salieran del salón. Cuando los estudiantes habían salido del salón, se
quedaron solo los estudiantes requeridos. La profesora titular y el investigador Cesar, se
les informó que como cada grupo está trabajando cosas diferentes, el paso a seguir de igual
manera difiere. Para el primer grupo, las indicaciones iniciaron a partir de una pregunta
que hizo el investigador, “¿ese porcentaje que ustedes toman de bajada es real?”, a lo cual
los estudiantes del grupo respondieron que no, que fue un dato que ellos tomaron al azar.
El investigador intervino, “ustedes ya saben cómo pueden determinar el porcentaje miren
los porcentajes que pueden obtener entre año y año y hagan un promedio, no se les olvide
que nosotros estamos trabajando con datos reales, y ya con eso traten de responder la
pregunta de la misma manera como lo hicimos en la sesión de hoy”. Con el grupo dos las
indicaciones fueron “esos datos que ustedes tomaron según lo que dijeron en la exposición
95
son reales, ¿pueden buscar algunos datos más de años anteriores?, para que el rango sea
mayor y si lo que quieren determinar si va aumentar o disminuir usen lo de los porcentajes
del grupo anterior y realicen un gráfica de la información obtenida y una gráfica de como
posiblemente aumente o disminuya el consumo en el 2017.
Con esto, dio por termina la sesión del día 27, recordando que se les dijo a los demás
estudiantes que en la siguiente sesión se continuarían las exposiciones.
5.7.Bitácora 7: “expongamos nuestros avances”
Como se había enunciado en la sesión anterior, esta sesión seria para continuar por
las exposiciones por grupo teniendo en cuenta que los estudiantes habían tenido un día para
prepararlas. Por lo que se dio el respectivo llamado de lista, por parte de la profesora titular
y se inició con la exposición del tercer grupo (grupo número cinco) donde su énfasis seria
consumo.
Este grupo intento hacer las cosas de una manera diferente, ya que no inició con
información acerca del narcotráfico si no que se remitió a hablar sobre la problemática que
querían abarcar y sus posibles preguntas de investigación.
Debido a charlas con los investigadores este grupo en específico, fue el primero en
tomar gráficas particulares, para empezar su trabajo de investigación y dar una posible
pregunta de investigación. Como se puede ver en la ilustración 23, toman una gráfica que
representa la cantidad de personas que consumían marihuana desde el año 1992 hasta el
2013 y tomando diferentes rangos de edad para cada año.
96
Ilustración 23 Porcentaje de consumidores en Colombia.
Según la gráfica y ya que cada grupo debía hacer una pregunta predictiva la de este
grupo fue:
Ilustración 24 pregunta problema grupo cinco
¿En la tabla 2 nos dice que el 16% de los jóvenes entre 18 y 24 años fumaron o
probaron marihuana en el 2013. Este porcentaje seguirá subiendo al pasar de los años de
esta edad?
97
En este momento el investigador Harold hace una pregunta, “cuál sería su estrategia
para resolver esta pregunta o ya tienen alguna solución?”. En este punto los estudiantes
dijeron que aún no habían pensado una forma de dar solución a esta pregunta, pero entonces
querían mostrar otra gráfica y la pregunta predictiva que habían sacado de esta.
Ilustración 25 pregunta y gráfica grupo cinco
¿De acuerdo a la tabla 3, si en el 2001 la edad promedio es de 10 a 15 años y en
1932 era de 23 a 25 años, en el 2017 seguirá bajando el promedio de edad de los jóvenes
que consumen por primera vez marihuana?
Esta pregunta para los investigadores era más interesante, pero debían hacer unos
cambios en la redacción pero sería apropiada para la investigación, y aunque no sabían de
qué manera resolver aun la pregunta los investigadores llegaron a la conclusión que debían
llevar avances para la siguiente sesión de clase.
Luego se continuó con el grupo número dos de esta sesión, cuyo énfasis seria la
comercialización, este grupo era uno de los que en el primer encuentro con los
investigadores tenia menor claridad lo que querían trabajar y esto se vio reflejado en la
98
exposición, ya que el grupo pasó al tablero y colocó rutas de envío de cocaína desde
Colombia hasta el resto del mundo y cuanta distancia había en este trayecto. Fue en este
momento cuando el investigador Harold hizo la pregunta, “esto que tienen acá (refiriéndose
al cuaderno con la información) como ayuda a responder la pregunta general de la
investigación, ¿algún día terminara el narcotráfico?”, fue acá cuando un integrante del
curso, el estudiante numero 29 empieza a dar múltiples opiniones personales, sin sustentos
algunos como lo hizo en la sesión de la socialización de los videos, y fue esto mismo lo
que le respondió el investigador Harold, que desde dónde sustentaba sus afirmaciones, a lo
cual el estudiante no pudo responder. En este momento, tanto el investigador Harold como
los integrantes del grupo, se molestaron y concluyo la exposición.
Se le pidió a otro grupo que siguiera con su exposición, pero en este momento el
estudiante número 11, hizo una intervención, la cual se debía a su inconformidad con la
manera en que se estaba desarrollando la clase de matemáticas desde las sesiones que
habían llegado los investigadores, que a él no le parecía que estuviéramos trabajando en
matemáticas, que si íbamos a seguir con el trabajo, por qué todos no investigaban sobre lo
mismo, y en este punto muchos de los estudiantes iniciando por el grupo que acaba de
exponer empezaron un apoyo por la propuesta. Cuando sucedió esto, el investigador Cesar
levantó la mano y exclamó a los estudiantes que si estaban de acuerdo con lo que estaba
diciendo su compañero que botaran y se tomarían soluciones, pero que primero el
estudiante numero 11 diera sus razones de porque pensaba eso y que era lo que quería. La
intervención del estudiante hacia preguntas como: que el no entendía por qué habíamos
99
escogido ese salón en específico y no otro, que si la investigación era para una nota de la
universidad, ellos que ganaban y por último, qué matemáticas ellos estaban aprendiendo
que eso era perder el tiempo. Acá ambos investigadores tomaron la palabra y entre ambos
dieron las respuestas, se le dio entender que la población escogida fue al azar y por
colaboración de la profesora titular, que como había podido ser ese decimo del colegio
había podido ser cualquier otro, pero ese en particular se elegido por el horario adecuado
para el investigador Cesar, se le dio a entender que era un trabajo de grado en donde ellos
llegarían a formar conocimientos matemáticos no basado en metodologías tradicionales y
la última pregunta se le dijo que el fin era que llegaran, comprendiera y trabajaran un
pensamiento matemático especifico que al final de la investigación lo entenderían. A lo
que nuevamente el estudiante reprocho que por que no se hacia este mismo con todo el
colegio, en este punto tanto la profesora titular como los demás estudiantes se empezaron
a molestar debido a que las respuestas habían sido concretas, y la profesora titular intervino
diciendo que la investigación debía ser en grado decimo.
La discusión llevo más de la mitad de la clase debido a que el estudiante por más
que se le explicaran no entendía las razones, luego de esto se les pidió que para la próxima
clase llevaran su pregunta de investigación a trabajar y una posible solución y con ese
concluyó la sesión.
100
5.8.Bitácora 8: “Haciendo matemáticas” 03 de Abril del 2017
Durante el día los investigadores tuvieron la oportunidad, de charlar con cinco
grupos diferentes a quienes se les realizó un seguimiento de su proceso de investigación y
se les hicieron sugerencias respecto a sus intereses con miras a poder realizar un trabajo
matemático además del social. En esta oportunidad los investigadores aprovecharon
también para recordarles que debían ir registrando todo lo que iban haciendo en una especie
de trabajo o informe. Los grupos fueron atendidos en el siguiente orden:
GRUPO 6:
El grupo presentó un trabajo de aproximadamente 40 páginas, centrado en la
comercialización del narcotráfico. El trabajo que fue presentado seguía una estructura en
el sentido de que guardaba un orden en la manera de abordar y explicar la información que
hasta el momento el grupo había investigado y analizado. Incluso el trabajo tenía tabla de
contenido e integraba algunas herramientas que ofrece el programa WORD, aspecto que
causó interés en los investigadores, quienes después de cuestionar a los integrantes del
grupo, encontraron que uno de los hermanos de uno de los estudiantes apoyo y asesoró al
mismo para montar la presentación del trabajo. Sin embargo, también se notó que sólo se
había colocado información histórica, definiciones, alguna otra información con cifras por
decirlo así aisladas (a nivel mundial) y dos problemas que el grupo pensó a partir de una
tabulación del valor del kilo de coca en dólares durante cierto tiempo, que específicamente
va hasta el año 2015.
101
A este grupo en particular, se les felicitó y animó por el esfuerzo que hicieron al
traer un informe estructurado. Posteriormente se les invitó a hacer como trabajo para el día
siguiente, una conversión de los precios de la coca que tiene en la tabulación (los cuales
son precios pero en el mercado de estados unidos, lo cual es mucho más caro que en
Colombia) pero ahora al precio de comercialización en el mercado colombiano para los
mismos años. Entonces los investigadores sugirieron para eso, que partieran del precio del
kilo de coca en Estados Unidos (que ya tiene en la tabulación) y empezara a deducir cuánto
disminuía ese precio hasta llegar al precio en Colombia para cada uno de los años que tenía
en la tabulación.
GRUPO 3:
Ellos comenzaron por centrar su investigación en el consumo en Bogotá,
específicamente en el Bronx. Han trabajado e investigado sin embargo aún no se han dado
a la tarea de pasar a limpio o en digital lo que han encontrado. La pregunta de ellos fue:
¿aumentó el número de consumidores con la intervención del Bronx el año pasado?
Ellos están pensando en relacionar dos variables que serían años y número de
consumidores (de marihuana), haciendo de esta manera un estudio anual. Para esto ellos
encontraron un texto que se llama “NOCHE Y NIEBLA” y a partir de él ellos hicieron una
tabulación. La tarea que se les encomendó fue que realizaran una representación gráfica de
esos datos pero en el plano cartesiano y que a partir de ello respondieran (en su orden):
¿Cómo ha variado entonces la población de consumidores de coca en
Bogotá desde el año 2000?
102
Suponiendo que el comportamiento se mantiene ¿cuál fue la cantidad de
consumidores en 2016 y cuál es la cantidad al día de hoy en Bogotá
(2017)?
¿La tasa de aumento o disminución de consumidores por día es la misma
para todos los días?
Si no se toman las medidas preventivas adecuadas para hacer que el
comportamiento que se viene presentando en los últimos años cambie
¿cuándo la totalidad de la población consumidora será la misma que la
Bogotana?
GRUPO 4:
A este grupo en específico les ha interesado como Pablo Escobar manejaba la parte
comercial y cuánto producía, por lo que ellos tendrían el foco en la parte de la
comercialización y producción del narcotráfico por Pablo Escobar. Ellos también ya
tienen en digital información sobre Pablo Escobar con algunas cifras pero que están
aisladas y que no les permite hacer un trabajo matemático aparte del estadístico en lo que
respecta a la recolección de datos. Este grupo tiene información sobre la historia de Pablo
Escobar, por lo que se les sugirió que agregarán eso en las primeras partes del informe que
deberán entregar como producto de la investigación realizada. En vista de que además ellos
están más preocupados por la nota y que no han trabajado como grupo y en lo matemático
entonces se les propuso lo siguiente:
103
“Ellos mostraron que Pablo Escobar trabajó desde 1970 hasta 1990; entonces en
vista de que los otros grupos ya se están direccionando por la vía de determinar variables
para establecer representaciones gráficas (un tipo de representación de funciones) en plano
cartesiano de las variables y sus comportamientos, se les propuso que investigarán con
mayor especificidad año a año desde 1970 hasta 1990 ¿Cuánta cocaína movía? Y en la
medida de lo posible que representarán gráficamente las cifras que encontrarán, en una
hoja milimetrada, como las que tenían en ese momento sobre el puesto con un trabajo que
la profesora les propuso”.
GRUPO 5:
Ellos, como se expuso la clase anterior, encontraron información que relaciona la
edad promedio en la que las personas empiezan a consumir (basado en un estudio hecho
en Colombia) y cómo ha venido cambiando el promedio de edad con el pasar de los años.
Ellos ya tienen una representación gráfica. Sin embargo y como les sucederá a la mayoría,
la representación gráfica que tienen es un conjunto de puntos separados o lo que podríamos
llamar una función discreta. Además que ellos manejaron el promedio de edad para cada 6
años. En vista de eso y queriéndolos llevar a pensar en un comportamiento gráfico más
continuo en cuanto al tiempo, por lo menos año a año y realizar un acercamiento a la
representación algebraica en su relación con la representación gráfica, los investigadores
trabajaron con ellos en un cuaderno de uno de los integrantes del grupo en el contexto del
siguiente problema en el que los estudiantes escogieron la empresa y el producto del que
se trataría en el mismo:
104
La empresa productora de lápices FABER CASTELL registró los siguientes datos
de la cantidad de lápices que produjo en el año 2016. A continuación se les presentaron los
datos aunque no con registros mensuales y se les pidió que completaran los datos por mes
incluyendo los que se encuentran entre los datos que les fueron dados. Al final se les pidió
también la respectiva representación gráfica y esto fue lo que obtuvieron:
Año 2016:
Tabla 8 ejemplo con gráfica
Una vez hecho esto les fue propuesta la siguiente representación tabular y gráfica,
luego se les pidió que la completaran con los meses faltantes, incluyendo el mes x:
Año 2017:
TIEMPO
(meses)
CANTIDAD
(lápices)
Mes 1 100
Mes 2 200
Mes 3 300
Mes 4 400
Mes 5 500
Mes 6 600
Mes 7 700
Mes 8 800
Mes 9
…
900
Mes x Y=100x
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10
Producción de lapices por mes
105
Tabla 9 ejemplo número dos y gráfica
Posteriormente los investigadores indicaron al grupo que si terminaban eso,
entonces ya podrían devolverse a lo que estaban investigando y tratar de pensar cómo
podrían establecer cuál sería el promedio de la edad en que las personas empezaban a
consumir en los años que no tenían datos.
GRUPO 7:
Este grupo se centró en la producción en el narcotráfico. Ellos mostraron unas
cifras de la cantidad de hectáreas dedicadas para el cultivo de coca en los años 2013 y 2014
que fueron 48.000 y 69.000 respectivamente, cifras que recogieron de un artículo escrito
por el espectador. Además la pregunta principal que se habían planteado fue: ¿cuál fue la
cantidad o comportamiento de los cultivos de coca en los años 2015 y 2016?
TIEMPO
(meses)
CANTIDAD
(lápices)
Mes 1
Mes 2 100
Mes 3
Mes 4 200
Mes 5
Mes 6 300
Mes 7
Mes 8 400
Mes 9
…
Mes x
106
Debido a ello y la correlación estrechísima con la investigación previa que los
investigadores habían realizado, los investigadores decidieron sugerirles buscar la página
de la institución Observatorio de Drogas Colombia y que buscaran el documento que
tiene como nombre “reporte de drogas Colombia 2016”, uno de los cuales sería la fuente
principal a la que acudió el periódico el Espectador para redactar el artículo de opinión que
los estudiantes leyeron. Luego se les propuso que lo leyeran para intentar responder no solo
la pregunta que ya tenían formulada, sino también las siguientes en su respectivo orden:
¿Cuál es el comportamiento de los cultivos de coca año a año desde el año 2000?
¿Cuántos kilogramos de coca se obtienen por cada hectárea cultivada?
¿A cuánto equivale una hectárea? Y ¿cuánto es una hectárea en comparación con
el área que tiene el colegio?
5.9.Bitácora 9: “Haciendo matemáticas, parte ll”
En esta ocasión los investigadores, junto con la profesora de matemáticas, se
sentaron juntos para atender a cada grupo respetando una decisión a la que se vieron
obligados a tomar los investigadores debido a algunas eventualidades realmente
inesperadas (ver bitácora 10-11) que se presentaron durante la experiencia que hasta el
momento se había tenido y que en últimas haría que los investigadores no pudieran finalizar
su trabajo de investigación con los estudiantes, al menos de forma presencial en las sesiones
siguientes.
107
Esta decisión incluía tener que formular a cada grupo algunas preguntas que les
permitiera realizar un abordaje matemático desde esta sesión en adelante, es decir en la
semana santa y posiblemente algunas otras clases, pero, claro está, sin la presencia de los
investigadores en el colegio.
Bajo esta claridad, en esta sesión los investigadores se limitaron a atender a cada
grupo para mirar avances y clasificar a cada grupo según el centro de interés de su
investigación, que según los investigadores podría ser, el problema del consumo drogas
ya sea a nivel nacional o de la ciudad, la producción de drogas o la comercialización de
las mismas. Adicionalmente a algunos grupos se les sugirió mirar publicaciones de
instituciones como la ODC (observatorio de drogas Colombia).
Una vez los investigadores determinaban a cuál de los tres centros de interés se
estaba dirigiendo cada grupo, a partir de enterarse de lo que habían hecho, formulaban
preguntas como las que se presentan a continuación, aclarando que fue dependiendo de los
respectivos intereses de investigación de cada grupo:
Producción:
¿Cuál es el comportamiento de los cultivos de dichas drogas desde el
comienzo del milenio en Colombia?
¿Cuántos Kg de dichas drogas se obtienen por cada hectárea cultivada?
¿Cuál sería entonces el comportamiento de la cantidad de droga producida
desde el comienzo del milenio?
108
Si el comportamiento desde el 2013 continuó igual ¿Cuál fue la cantidad
de hectáreas cultivadas para el 2016?
¿Cuál es la cantidad de hectáreas cultivadas al día de hoy (2017)?
¿Cuánto terreno es cultivado por día en Colombia?
¿Todos los días se cultiva la misma cantidad?
Suponiendo que la velocidad con la que se cultiva por día por los próximos años se
mantiene a partir del 1 de abril del presente año con la velocidad que se cultive en ese día
¿Para cuándo el área de Colombia estaría totalmente cultivada?
¿Qué tan alarmante resulta entonces dejar que se cultive como se viene haciendo
desde 2013?
Comercialización:
Si por cada gramo de cocaína al cultivador le pagan 1700 pesos, con una hectárea
de coca cultivada ¿Cuánto dinero podría ganar el cultivador? (sabiendo que de toda la
hectárea se toma únicamente las hojas de la planta de coca)
Si por cada gramo de cocaína al narcotraficante le pagan el doble que al cultivador,
se podría saber ¿cuánto dinero gana por hectárea?
109
Ilustración 26 gráfica producción de cocaína
Según la gráfica anterior, ¿Colombia es realmente el país que más produce cocaína
de Suramérica? y si esto es verdad podría se podría determinar ¿cuánto dinero obtiene tanto
un cultivador como un narcotraficante con los cultivos de cocaína en estos diez años?
Consumo:
Suponiendo que el comportamiento se mantiene ¿cuál fue la cantidad de
consumidores en 2016 y cuál es la cantidad al día de hoy (2017)?
¿Cuál es la tasa de aumento de consumidores por día en Bogotá (o población
escolar)?
¿La tasa de aumento de consumidores por día es la misma para todos los días?
Si no se toman las medidas preventivas adecuadas para hacer que el
comportamiento que se viene presentando en los últimos años cambie ¿Cuando la totalidad
110
de la población consumidora será la misma que la Bogotana (o la misma que la población
escolar)?
¿Qué tan alarmante es esto y qué propones que debería hacerse para combatir dicho
problema?
Luego de que fueron atendidos los grupos, los investigadores también hicieron
público la estructura del informe que ellos esperaban recibir de cada grupo; esto fue escrito
en el tablero como lo muestra la imagen:
Ilustración 27 trabajo final
.
5.10. Bitácora 10-11: “Trabajemos de nuevo: retroceder, nunca rendirse jamás”
Como se puede observar en la bitácora anterior, se les pidió a los estudiantes un
trabajo final, para obtener resultados de todo el proceso que se había realizado hasta el
111
momento, pero de este trabajo no se obtuvieron los resultados esperados, por lo tanto no se
quiso dejar el proceso que se llevaba con los estudiantes. Pero cabe aclarar que se pensó
terminar con este trabajo no solo por el tiempo de implementación, si no también se decidió
dejar hasta ese punto por que como se narró en bitácoras anteriores uno de los
investigadores tuvo un altercado con uno de los estudiantes del grado donde se estaba
implementado la investigación, se pensó que este problema quedaría así y que el colegio
tomaría las repercusiones necesarias para arreglar este problema, pero esto no sucedió de
esta manera, aunque la institución educativa siguió con los parámetros que la ley de
educación colombiana sugiere para casos como este, luego de varias reuniones con el
estudiante involucrado, no se logró mayor cosa, su comportamiento siguió igual y en cierta
medida fue empeorando, hasta el punto que el estudiante en cuestión llego a amenazar
verbal y física mente a la coordinadora del colegio, también dejando claro su descontento
y sus intenciones amenazantes con el investigador Cesar y refiriéndose a que todo era culpa
de este por entrometerse en su actividad ilícita dentro de la institución, por ende se le fue
notificado de lo ocurrido al profesor José Torres, el cual es el supervisor de este trabajo por
parte de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, cuando se le comenta la
situación al profesor en cuestión, decide irrefutablemente que los investigadores no
vuelvan al colegio por problemas de seguridad, lo que conllevaba dejar el trabajo de
investigación hasta este punto y no poder concluir el proceso con los demás estudiantes.
Este decisión tomada por el profesor aunque era lo mejor para los investigadores
pues no fue del todo aprobada por ellos. Las amenazas por parte del estudiante ocurrieron
112
dos semanas antes a semana santa, y fue del conocimiento tanto de los investigadores como
de la profesora titular y el profesor supervisor de la universidad días antes a que los
estudiantes salieran a este receso escolar, por lo que el trabajo final que debían entregar los
demás estudiantes deberían entregarlo al reingresar de este receso y la profesora titular los
recogería y haría llegar a los investigadores para su análisis y revisión. Se pensó que esta
sería la manera en cómo iba a terminar dicha investigación pero en semana santa ocurrieron
varios sucesos que no dejarían que las cosas concluyeran así.
En el receso de semana santa, los investigadores dialogaron con la profesora titular
la que les informo que en la institución educativa habían sucedido los siguientes sucesos;
la coordinadora del colegio entablo en el ministerio de educación la demanda de lo
ocurrido, basada en su versión y aunque nadie vio la amenaza que sufrió por parte del
estudiante, la bitácora realizada por los investigadores donde relataban el primer altercado
con el estudiante sirvió para tener más pruebas en contra de él. Esto termino con el cambio
de la coordinadora de colegio por su protección y el no ingreso del estudiante a la
institución educativa, sin embargo el estudiante en cuestión no fue expulsado, la solución
del ministerio fue realizar un cambio de institución educativa debido a que el estudiante
tiene derecho a la educación.
Debido a esta noticia los investigadores decidieron dar aviso al profesor encargado
de la universidad, y dialogar de lo ocurrido, tomando ciertas decisiones, como volver al
colegio para terminar el proceso bajo ciertas medidas de seguridad. Debido a la ruptura que
se había presentado con los estudiantes por la entrega del trabajo final y la semana de receso
113
se decidió continuar con el proceso de una manera diferente, ya que al realizar el análisis
de los trabajos no se logró llegar a lo que se esperaba matemáticamente hablando, aunque
se sabe que en la perspectiva de trabajo, las matemáticas no son un fin sino un medio para
comprender el mundo, el trabajo se hubiera podido dejar hasta ese punto y analizar las
reflexiones de los estudiantes acerca del problema del narcotráfico, se decidió realizar una
actividad en donde se tomaran los trabajos finales de los estudiantes, analizarlos y de esta
manera tratar de llegar al fin no solo reflexivo y critico por parte de los estudiantes hacia
el problema del narcotráfico, sino también el fin matemático, por lo que se les hizo entrega
a los estudiantes de la siguiente guía de trabajo, aclarando previamente por parte de los
investigadores que la última sesión no se habían presentado debido a problemas en la
universidad (esto porque los estudiantes no se enteraron de lo sucedido).
114
Ilustración 28 Guía de trabajo
Cada estudiante recibió una guía, la cual deberían empezar a resolver, los datos que
en esta se presentan son datos semi reales, ya que se tomaron datos reales del observatorio
de drogas Colombia, y se modificaron a conveniencia para que los estudiantes de alguna
manera llegasen a el concepto matemático planeado.
En el momento en que los estudiantes empezaron a realizar la guía sucedió algo
que los investigadores no esperaban y fue que más del 80% de los estudiantes entendieron
sin mayor dificultad el primer punto que debían realizar, y se habla de que no lo esperaban
ni los investigadores ni la profesora titular ya que el resto del proceso fue algo lento y como
se había mencionado antes el trabajo entregado no era lo que se esperaba.
115
Los estudiantes avanzaron de tal manera que en menos de 20 minutos ya habían
terminado el primer punto, y fue tal la sorpresa debido a que muchos grupos en sus
preguntas de investigación específicas tenían preguntas de predicción como la numero uno
del taller, pero en este proceso lo realizaron de las siguientes maneras:
Ilustración 29 solución primer punto
¿Cuál es la cantidad de hectáreas cultivadas para el año 2016?
AÑO HECTAREAS
CULTIVADAS
DIFERENCIAS
2011 69 000
2012 48 000 -21 000
2013 48 000
2014 69 000 21 000
2015 96 000 27 000
2015 129 000 33 000
116
Primero sacamos as hectáreas y los años cultivados en esos años, luego busqué las
diferencias de cantidad por año y entre las diferencias busqué la diferencia y dio 6 (6000)
por tanto tenía qu buscar un número que de diferencia me diera de diferencia 6.
Ilustración 30 solución primer punto
69 000−48 000
21 000 Es la diferencia de cuanto bajo del año 2011 al 2012.
48 000−69 000
−21 000 Es la diferencia de cuánto subió del año 2013 al 2014.
69 000−96 000
2+7 000 Es la diferencia de cuánto subió del año 2014 al 2015.
117
21 000−27 000
6 000 Es la diferencia de las diferencias de los aumentos de los años.
27 000+ 6 000
33 000 Este es el aumento del próximo año que es el 2016.
96 000−33 000
129 000 Estas son las hectáreas cultivadas en el 2016.
Como se puede ver en las dos ilustraciones anteriores que corresponden a dos
grupos de trabajo diferentes7, se ve que los estudiantes entendieron cuál será la mejor
manera para responder preguntas de predicción de este tipo y aunque en los trabajos no
mostraron soluciones o posibles soluciones, se puede entender que todo el proceso
realizado con los estudiantes los ayudo a pensar un poco más sobre cómo utilizar las datos
dados. Pero el porqué de esta pregunta no era sola mente observar si los estudiantes de
alguna manera podían dar solución a preguntas predictivas, se quería observar la manera
en que relacionaban los datos dados, que tipo de representaciones utilizaban para llegar a
la solución de la pregunta, y lo más importante encontrar la relación entre los datos para
hallar las diferencias y luego entender que necesitaban la siguiente diferencia, entendiendo
7 Los grupos de investigación que realizaron al principio de las sesiones, en la mayoría de los
casos se mantuvieron, aunque hubo ajustes, porque en este punto de la investigación se analizaran en
general todos los grupos y no de manera específica por énfasis (comercialización, producción y consumo)
ya que todos debían realizar la misma guía.
118
que hallando las diferencias no era necesario para dar la respuesta a la pregunta tenían que
saber usar lo encontrado.
En esta sesión los estudiantes continuaron con este ritmo hasta llegar al punto cinco,
resolviendo los puntos de las siguientes maneras.
Ilustración 31 solución segundo punto
Á𝑟𝑒𝑎1 = 28𝑚 ∗ 16𝑚 = 448𝑚2
Á𝑟𝑒𝑎2 = 100𝑚 ∗ 100𝑚 = 100𝑚2
119
Ilustración 32 complemento segundo punto
448 ∗ 22 = 9.856
La cancha cabe 22 veces y sobran 144 metros. Primero buscamos el área de la
cancha y de la hectárea, luego de eso sume 26 tres veces y me dio 84 y sume 16 seis veces
y medio 96; busque un número que 448 ∗ ___ me diera un poco menos de 10000.
120
Ilustración 33 solución segundo punto
228𝑥16
448𝑚2 Es el área de la cancha.
100𝑥100
10000𝑚2 Es el área de la hectárea.
10000𝑚2
448𝑚2 22 canchas que caben en una hectárea.
448𝑚2 ∗ 22 = 9856𝑚2 Son lo que ocupa la cancha en la hectárea.
10000𝑚2 − 9856𝑚2 = 144𝑚2 Es lo que sobra de las 22 canchas.
En las dos respuestas que dan los estudiantes se puede observar que estos empiezan
por encontrar el área de algo que conocen o que está en su entorno, que en este caso es una
cancha de microfútbol, para luego encontrar el área de algo desconocido como lo es una
hectárea y después realizar la comparación ya sea multiplicando o sumando las áreas de
canchas de micro futbol hasta acercarse a el área de la hectárea, o dividiendo el área de la
hectárea en el área de la cancha de microfútbol, esta pregunta fue realizada con el fin de
que los estudiantes dimensionen o tengan una idea de cuanta cocaína fue sembrada en el
país con el paso de los años.
Con la tercera pregunta lo que se quería era que los estudiantes teniendo una idea
previa de cuanto era una hectárea se dieran una idea o una representación mental de la
cantidad de hectáreas sembradas en un año especifico en Colombia, utilizando nuevamente
el área de algo que ellos conocen como es la cancha de micro futbol.
121
Ilustración 34 solución tercer punto
Busque el área como lo hice anteriormente y multiplique 445 hasta que me diera
un número cerca de 47030 sin pasarse de 48000.
122
Ilustración 35 solución tercer punto
48000𝑚2
448𝑚2 107 canchas que caben en una hectárea.
448𝑚2
𝑥107𝑚2
47936𝑚2. Son lo que ocupa las canchas en la hectárea
48000𝑚2
−47936𝑚2
64𝑚2 .Es lo que sobra de las 107 canchas.
Los estudiantes realizaron el mismo proceso aunque como se ve en la primera
ilustración de la solución del tercer punto, colocan que el área es igual a cien por cien
obteniendo cuarenta y ocho mil, en lo cual cometen un error de escritura ya que el área ya
la saben que es cuarenta y ocho mil, y si quisieran escribir el área como la multiplicación
de dos números en ese caso lo asociaron mal, pero los demás cálculos quedaron correctos.
Se puede concluir que los estudiantes al resolver la pregunta número dos y tres, se
vieron muy inquietos por lo grande que podía ser el lugar o el espacio donde se estaba
sembrando cocaína en Colombia.
123
Para la pregunta cuatro debían hacer nuevamente una predicción lo que les resulto
mucho más fácil, debido a que ya tenían y sabían el comportamiento de los datos.
Ilustración 36 solución cuarto punto
Año Hectáreas
2011 69000
2012 48000
2013 48000
2014 69000
2015 96000
2016 129000
2017 168000
Hice lo mismo que en el punto uno que era hal39ler los números de diferencia entre
año y año ya 129 000 le sumo 39 porque 33 le sumo 6 da 39 y la diferencia de 33 y 39 es
6.
Hice lo mismo
27
33 6
39 6
124
Ilustración 37 solución cuarto punto
129000𝑚2
+39000
168000𝑚2 Hectáreas del año 2017
168000 𝑚2
448 𝑚2 = 375 Canchas que caben en una hectárea
448 𝑚2
𝑥 375 𝑚2
168000𝑚2 Son lo que ocupa las canchas en al hectárea
Para los estudiantes resulto sencillo encontrar la solución, y como se ve en la
segunda ilustración de la solución del cuarto punto, los estudiantes siguieron haciendo la
comparación con la cancha de futbol, se cree que para tener una idea más clara de la
cantidad de canchas que caben en estas hectáreas, aunque cometen un error al comparar el
resultado con una sola hectárea, “375 canchas que caben en una hectárea”, ya que la
cantidad de hectáreas en ciento sesenta y ocho mil.
Con esto concluye la primer sesión, ya que los estudiantes realizaron unas
representaciones gráficas que era lo que debían hacer en el quinto punto, pero ellos debían
llevar unas cartulinas con cuadriculas para realizar la gráfica.
125
En la sesión del día siguiente los estudiantes llegaron con sus cuadriculas y debían
realizar la representación gráfica de los datos desde el 2011 hasta el 2017. Este punto el
cual se pensó no tardarían tanto los estudiantes tuvo varios inconvenientes, como que todos
los grupos no llevaban terminada la cuadricula, o no llevaban pegadas las cartulinas para
empezar con la representación y ente tardaron casi un cuarto de la sesión, cuando
terminaron de realizar esto y empezaron a realizar la representación gráfica en su cuaderno
tuvieron dificultades con la escala que debían usar para que esta quedara de manera
correcta.
Los estudiantes al momento de iniciar con la gráfica luego de solucionar el
inconveniente de las escalas tuvieron problemas con los ejes del plano cartesiano ya que
según ellos, nunca les habían explicado que era un plano y la manera correcta de indicar
coordenadas en el plano, lo que quiere decir que no sabían en que eje debía ir el tiempo o
las hectáreas, por lo cual para todo esto hubo una pequeña intervención por parte de los
investigadores obteniendo los siguientes resultados.
126
Ilustración 38 gráfica quinto punto
127
Ilustración 39 gráfica quinto punto
Con la representación gráfica terminada se finalizó la segunda sesión.
5.11. Bitácora 11-12: “Acerca de la representación algebraica”
En la sesión anterior los investigadores pidieron a los estudiantes que siguieran
haciendo la guía y que trataran de alguna forma de solucionar el sexto punto, pero los
estudiantes no encontrar alguna forma de solucionar este.
Dado lo anterior los investigadores tomaron marcadores y procedieron a explicarles
a los estudiantes una forma de obtener la expresión general que representara el conjunto de
datos ya obtenidos. Cabe a aclarar que durante la explicación los investigadores hacían
pausas para pedirle ayuda a los estudiantes en lo que respecta a la realización de
128
procedimientos de despejes de variables u operaciones entre números racionales que se
fuera dando como necesaria.
La explicación realizada estuvo basada en uno de los posibles procesos para obtener
la representación algebraica de una parábola a partir de conocer algunos de sus puntos,
específicamente 3 puntos y esto se hizo por medio de la resolución de sistemas de
ecuaciónes lineales.
La explicación se desarrollaba cuando ya faltaba poco tiempo para terminar, por lo
que los investigadores se vieron obligados a pensar en una forma de terminar la explicación
sin tener que hacer todo el trabajo, es decir, dejándoles la idea de lo que debían hacer para
que ellos mismos lo hicieran. Dicha forma o estrategia que los investigadores pensaron,
fue realizar el siguiente video:
https://www.youtube.com/watch?v=XWfo5fuumXU
5.12. Bitácora 13: “Despedida”
La clase inicia y los investigadores luego de saludar a los estudiantes se disponen a
pasar por cada grupo de trabajo averiguando qué tanto avanzaron desde la última clase, en
la cual alcanzaron a desarrollar el quinto punto de la guía, correspondiente a la gráfica del
comportamiento de la producción de cultivos de coca en los últimos años en el plano
cartesiano. Los investigadores querían ver si cada grupo logró establecer la expresión
algebraica correspondiente a los datos que habían organizado tubularmente y que habían
representado gráficamente en la clase anterior.
129
Pronto se dieron cuenta que fue difícil para los estudiantes establecerla a pesar de
las instrucciones dadas la clase anterior y el recurso del video realizado por los
investigadores como complemento a la explicación. Dado que no fue posible para ellos
establecer una expresión tampoco fue posible para la mayoría resolver los puntos 7, 8 y 9
de la guía ya que requerían saber la cantidad de hectáreas cultivadas para varios tiempos
que no tenían un valor discreto y en este aspecto la expresión algebraica era de gran ayuda.
A pesar de ello hubo algunos estudiantes que se atrevieron a dar respuestas a los mismos
puntos, basados en el hecho de que podían unir, en la gráfica claro está, dos de los puntos
conocidos por una línea recta y así establecer de manera aproximada el valor
correspondiente en hectáreas de los tiempos en cuestión. Sin embargo y de forma muy
consciente, uno de los investigadores puso a discusión con los demás la respuesta dada por
este grupo de estudiantes además de la forma en que habían procedido en la gráfica para la
obtención de las respuestas por medio de las preguntas ¿cómo pueden estar seguros de que
en ese tiempo el comportamiento de las hectáreas es de acuerdo con la línea recta que
trazaron? ¿Será que en la vida real las cosas se comportan así o será que hay otra forma de
comportarse?
Posterior a las preguntas planteadas los estudiantes pensaron por un momento y
después uno de los investigadores tomó la palabra para hacerles caer en cuenta de la
necesidad de la expresión algebraica en esa tarea, dado que con la expresión sólo se
necesitaba reemplazar la x por el valor del tiempo que se daba en cada una de las preguntas
7, 8 y 9 es decir asumiendo que el año 2012 fue expresado como 2, entonces se
130
reemplazaría en la expresión por 𝑥 = 2.5, 𝑥 = 9/4 𝑦 𝑥 = 11/4 respectivamente. Para
continuar aclarando esta parte entonces fue necesario hacer explicita una ecuación que se
aproximaba al comportamiento de los datos que se tenían y la cual era:
𝑓(𝑥) = 7500𝑥2 − 40500𝑥 + 102000
En la cual 𝑥 representa el tiempo y 𝑓(𝑥) representa la cantidad de hectáreas
cultivadas. Así las cosas solo restaba reemplazar como ya se había recalcado.
Después de esto los investigadores pidieron a los estudiantes analizar el décimo y
último punto de la guía que les preguntaba: ¿Con qué velocidad se cultivaron las hectáreas
entre los años 2012- 2013 y 2013- 2014?
Enseguida se procedió de la siguiente manera, primero leyeron en voz alta la
pregunta, luego la pensaron por un momento hasta que afirmaron no entender ni saber
cómo responder la pregunta y posteriormente uno de los investigadores se apropió del
tablero, marcadores y la situación, para que junto a los estudiantes lograran responder a la
pregunta. En este proceso, el investigador comenzó por preguntarles si alguna vez habían
calculado velocidades. El silencio que se apodero del salón indicaba que no, por lo que
luego se les pregunto si en física no habían trabajado con problemas de velocidades de
carros. Los estudiantes dijeron sí, por lo que el investigador aprovecho también para hacer
retroceder en el tiempo a los estudiantes y pensar en un momento en el cual se puede
identificar la velocidad a la que anda un auto. El momento al que recurrió el investigador
fue el de los vehículos de transporte público. Decía que dentro de éstos se encuentra un
medidor, que precisamente mide la velocidad del auto mientras va andando y de lo cual se
131
tiene consciencia si alguna vez se ha tenido la oportunidad de viajar en estos. El
investigador decía que la velocidad podía ser cualquiera pero que por lo general estaba
expresada de alguna manera y esa era, por ejemplo, kilómetros por hora. En ese instante el
investigador preguntó a los estudiantes si había alguna fórmula que conocieran o hubieran
visto y que sirviera para calcular o expresar la velocidad. Un estudiante mencionó la
siguiente expresión que el investigador colocó en el tablero como se puede apreciar en la
siguiente ilustración:
Ilustración 40ecuación de la velocidad
𝑉 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑉 =𝑥
𝑡
𝑉 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖=
20𝑚
𝑠
T= tiempo, X=hectáreas cultivadas.
132
El estudiante decía que en la expresión, x representaba distancia y t representaba
tiempo, lo que hizo el investigador fue hacer una reinterpretación de la misma ecuación
pero en el contexto de la situación que estaban trabajando por lo que al final junto con los
estudiantes se concluyó que x representaría, tal y como lo muestra la imagen, las hectáreas
cultivadas. Posteriormente el investigador tomo la misma ecuación ya con la nueva
interpretación y la expresó en una forma más detallada, tal y como lo muestra la imagen en
la parte superior. En esta ecuación 𝑥𝑓 representaba hectáreas finales y 𝑥𝑖 representaba
hectáreas iniciales de la misma forma con el tiempo y para aclararlo usó la gráfica
construida en el tablero de la situación que estaban trabajando y así explicar desde un
contexto gráfico, la misma ecuación, tal y como lo muestra la ilustración 41 además el
investigador le pidió a los estudiantes que de acuerdo con la ecuación y lo que habían
entendido de la misma resolvieran el punto diez de la guía y le dieran el resultado, los
cuales fueron posteriormente anotados por él en el tablero como lo muestra la ilustración
42 donde 𝑉1 = 21000 ℎ𝑒𝑐𝑡/𝑎ñ𝑜 es la velocidad entre los años 2012-2013 y 𝑉2 =
33000 ℎ𝑒𝑐𝑡/𝑎ñ𝑜 la velocidad entre los años 2013-2014. Antes de ir a las imágenes resulta
importante mencionar que luego de anotadas las respuestas en el tablero, algunos
estudiantes se dieron cuenta de que el valor de cada velocidad era el mismo que habían
obtenido antes a través del cálculo de las diferencias entre la cantidad de hectáreas
producidas año a año.
133
Ilustración 41gráfica razón de cambio
Ilustración 42 velocidades de producción
𝑉 =48000 − 48000
3 − 2= 0
ℎ𝑒𝑐𝑡
𝑎ñ𝑜
134
𝑉 =69000 − 48000
3 − 2= 21000
ℎ𝑒𝑐𝑡
𝑎ñ𝑜
Como puede apreciarse en la ilustración 41 el investigador recurrió a rectas que
pasaban por dos puntos de la gráfica y triángulos bajo las rectas trazadas para dar a entender
la ecuación de la velocidad descrita dejando ver la interpretación gráfica de la misma y la
posible forma de hallarla gráficamente.
Con lo anterior y ya para finalizar no sólo la clase sino la investigación junto a los
estudiantes, los investigadores les formularon unas últimas preguntas (en diversos
contextos) a los estudiantes y las cuales la profesora titular se encargaría de recibir ya
respondidas en los días siguientes. Dichas preguntas fueron:
¿Cuál es la velocidad con la que se cultivan hectáreas de coca en un tiempo 𝑥 =
4.5?
¿Qué podemos interpretar de la respuesta a la pregunta 3 de la guía?
Si el comportamiento de los cultivos de coca continua de la misma forma
(es decir, de acuerdo con los modelos matemáticos obtenidos)
¿Qué tan alarmante resulta entonces dejar que se cultive como se viene
haciendo?
¿Qué se está haciendo para resolver dicho problema? ¿Qué estrategia
propones para solucionarlo?
¿Qué son las matemáticas y qué sentido tienen?
135
A continuación se presentan algunas respuestas que los estudiantes dieron tanto a
la guía como a las preguntas enunciadas anteriormente y algunas otras anotaciones que
realizaron los estudiantes:
Ilustración 43 soluciones a las preguntas finales estudiante 1
¿Qué aprendimos de todo lo hecho en clase?
A parte del narcotráfico y lo que se cultiva año a año y vimos los mayores
narcotraficantes y supimos más acerca d ese tema, aprendimos a resolver preguntas que
no nos ponían siempre sino variamos de las “matemáticas” en nuevas cosas que también
puede ser bueno en todo caso alguno.
¿Qué podemos interpretar de la respuesta a la pregunta 3 de la guía?
Pues hallamos el área multiplicamos, dividimos, calculamos hasta que nos diera
una respuesta cercana a la pregunta y a la que tocaba a hacer para encontrar ciertas
canchas de futbol en ciertos espacios.
136
Ilustración 44 soluciones a las preguntas finales estudiante 1
¿Qué tan alarmante resulta entonces dejar que se cultive como se viene
haciendo?
Pues como va aumentando sería algo muy malo porque a los jóvenes se les hará
común hacerlo y a que hay mucha producción y puede que eo los incentive a drogarse.
137
Y si lo quieren hacer sólo una vez no podrían, pues los efectos les gustarían y se
volverán drogadictos y ya será muy difícil convencerlos a que no lo hagan y/o dejen de
hacer.
¿Qué se está haciendo para resolver dicho problema? ¿Qué estrategia propones
para solucionarlo?
Creo que yo particularmente no tendría solución a este problema de cultivar
ciertas hectáreas en ciertos lugares. Sería como en las zonas de cultivo construir algo o
poner algo que imponga un nuevo cultivo en el territorio.
Se están haciendo “la paz” que se trata de un acuerdo de cultivos ilícitos en
Colombia. La habana nos dice: “hemos llegado a un acuerdo sobre el cuarto punto de la
agenda contenido en el acuerdo general para la terminación del conflicto y la construcción
de paz estable y duradera.
¿Qué son las matemáticas y qué sentido tienen?
Las matemáticas son unas ciencias que están llenas de números, símbolos y más.
Que nos ayudan a resolver problemas prácticos del día a día, las matemáticas son todo
aquello que nos cuesta entender para resolver nuestras vidas de una manera fácil.
Las matemáticas tienen mucho sentido pues nos ayudan a muchas cosas que
probablemente nos sirven para toda la vida pues las necesitamos siempre.
138
Ilustración 45 soluciones a las preguntas finales estudiante 1
Que el narcotráfico no es nada bueno, que después de criticar cada vez es más
difícil salir de ello y que igualmente así cada vez haya más seguridad y riesgos con eso
cada vez hay más personas metidas y cada vez más territorios cultivados mayormente de
coca.
5.13. Análisis de los resultados
Ahora según el resaltado por colores que corresponde cada uno a una categoría de
análisis se dará una conclusión acerca de estas:
Discursos Matemáticos: Como se pudo observar en las bitácoras y el análisis
realizado en estas, y según la definición de esta categoría de discurso, este tipo de discurso
deja de ser relevante en la mayor parte de la investigación, debido principalmente a la
perspectiva crítica de la educación matemática, pero debido a que esta era una de las
mayores preocupaciones al basarse en dicha teoría, dado que no es usual encontrar trabajos
bajo esta perspectiva en los que los investigadores estén interesados esencialmente en un
139
contenido matemático, dado que en esta su preocupación principal es el carácter social y
la formación de ciudadanos críticos dentro de la clase de matemáticas.
No es de extrañar que la menor cantidad de discursos extraídos de las bitácoras
fueran de carácter matemático, dado que desde un comienzo nuestra finalidad recaía más
en generar un sentido al aprendizaje de las matemáticas, el cual se da en la relación entre
las matemáticas y la realidad y no en la concentración del trabajo en un contexto puramente
matemático.
Algunos de los contenidos matemáticos utilizados fueron: definición de cuadrado,
magnitudes, proporcionalidad, plano cartesiano, pendiente de una recta, variación y razón
de cambio. También cabe aclarar que los contenidos matemáticos anteriormente
nombrados, no surgieron de manera espontánea, ya que en el momento de la creación del
escenario de investigación, se tenía claro cuál era la noción a la que se quería llegar, que
en este caso sería a la de derivada y por eso se suponían ciertos conceptos que debían ser
aclarados por los investigadores o intuidos por los estudiantes, para que de alguna manera
dieran solución a la situación problema y de manera análoga crearan dicha noción.
Las pocas ocasiones en donde se hace uso de los discursos matemáticos son en los
momentos en que se da la necesidad de explicar algunos conceptos.
Discursos Técnicos: Este tipo de discurso fue el que más se evidencio en los
análisis, teniendo en cuenta que en todo momento los estudiantes debían realizar una
reflexión de cómo usar conocimientos y procedimientos matemáticos para relacionarlos
con la situación problema.
140
En los diferentes discursos de este tipo, aparecen en su mayor parte preguntas
generadoras, que llevaran a los estudiantes a pensar la manera en que podrían relacionar la
información sobre la problemática y traspasarla para que sea vista de forma matemática,
esto para que realicen reflexiones sobre la situación real, pero con contenidos matemáticos,
en el momento que los estudiantes trataban de realizar dicho proceso se encontraban con
la dificultad de no poder exteriorizar su pensamientos matemáticamente.
Se puede encontrar que hay momentos en donde la intervención de los
investigadores se apartaba de la situación propuesta, esto con el fin de que por medio de
ejemplos semi reales los estudiantes tuvieran una idea tal vez más clara de lo que se pedía
debían hacer con las preguntas técnicas.
Por último se quiere hacer referencia a la relación entre el concepto al que se quería
llegar y la situación problema. En este momento se mostrara de forma concisa como se fue
dando el acercamiento a la noción de derivada.
Lo primero que se realizó, fue escoger una problemática en la cual por medio de
preguntas se pudiera guiar a los estudiantes a un acercamiento conceptual de la derivada,
cabe aclarar que hubo la necesidad de que dichas preguntas fueran basadas en datos semi
reales para motivar la construcción de modelos matemáticos asociados, aclarando que si se
hubiera basado en preguntas sobre datos reales, la construcción del modelo dependería de
muchas variables y por ende su construcción no sería posible.
Aceptada la invitación a investigar por medio de las preguntas anteriores por parte
de los estudiantes, aparecieron diferentes tipos de modelos matemáticos, empezando por
141
la representación tabular, las cuales construyeron por medio de información encontrada en
distintos medios sobre la problemática. Luego de esto se formularon preguntas de tipo
predictivo como: ¿Cuál es la cantidad cultivada para el 2017?, preguntas como esta
hicieron que el estudiante comenzara a usar sus conocimientos matemáticos con los datos
recolectados, para que en este caso observara diferencias entre los datos y regularidades
entre las mismas, para poder responder a la pregunta predictiva. Es de aclarar que los datos
dados a los estudiantes en el segundo momento de la investigación (inconvenientes que se
aclaran en la bitácora 10-11) eran semi reales, debido a que por parte de los investigadores
se realizó una modificación en estos, para que los estudiantes encontraran una regularidad
en el momento de hallar las diferencias entre los datos, esto con el fin de que estos valores
encontrados después los pudieran comparar con otro constructo matemático.
Cuando los estudiantes encontraron la regularidad entre los datos y basados en la
pregunta de predicción los estudiantes podrían responder dichas preguntas basados en otro
tipo de representación el cual era la gráfica, teniendo en cuenta que se tomaban no solo
preguntas de carácter predictivo sino preguntas como: ¿Cómo se puede representar
gráficamente el comportamiento entre los años 2011 y 2017?
Para concluir sobre el acercamiento de la noción de derivada y reconociendo como
docentes investigadores que la derivada tiene un significado asociado a la realidad que es
la velocidad, se plantean preguntas que generan las siguientes necesidades:
La ecuación
Discursos técnicos
142
Entender la razón de cambio
Las preguntas fueron: ¿en un tiempo x cual sería la cantidad de hectáreas
cultivadas?, ¿con que velocidad se cultivaron las hectáreas entre los años 2012-2013 y
2013-2014?
Se obtuvo como resultado satisfactorio la siguiente apreciación; “algunos
estudiantes se dieron cuenta de que el valor de cada velocidad era el mismo que habían
obtenido antes a través del cálculo de las diferencias entre la cantidad de hectáreas
producidas año a año” es acá donde se realiza la comparación entre constructos
matemáticos que se mencionaba anteriormente.
Discursos Reflexivos: Las ocasiones en las que se vio este discurso, era en el
momento que se les pedía a los estudiantes que aterrizaran lo que habían encontrado en los
discursos técnicos y lo pusieran en el contexto de la situación real, en este apartado se
encontraron características como; los discursos eran motivados por la necesidad de que los
estudiantes reflexionaran sobre lo complejo de la problemática en este caso el narcotráfico
y las drogas, otra característica de este, es que la mayoría de las veces que se le hacía
referencia lo antecedía una pregunta, ya que fueron muy pocas las ocasiones en donde los
estudiantes tomaron la iniciativa para dar su punto de vista sobre la situación
Además de esto se nota por parte de los estudiantes que hay cierta preocupación
por la cantidad de droga (cocaína y marihuana) que se está cultivando en los últimos años
y que sumado a los análisis matemáticos de este comportamiento, les deja la impresión que
este problema no tendrá una pronta solución, y el sentimiento que les queda a los
143
estudiantes con la indagación e investigación matemática para con la problemática es de
resignación, ya que no pueden ver cuál sería su contribución a lo que está sucediendo y no
creen que pueda cambiar.
Discusiones Paralelas: Acá se logró evidenciar todos aquellos conocimientos que
traían los estudiantes sobre la temática a trabajar, que estuvieran o no de acuerdo entre ellos
fue algo que a través de algunas de las actividades se fue observando.
En el momento que se les propuso a los estudiantes realizar una discusión sobre lo
que pensaban sobre la problemática del narcotráfico, en un primer momento la respuesta
que estos dieron fue casi nula, ya que al no ver el incentivo por parte de los investigadores
no le daban la importancia necesaria al debate, lo cual cambio en el momento que se les
planteo que no importaba la inclinación, fuera de apoyo o de rechazo, sino que su
intervención era importante para el constructo que se quería hacer. Fue acá cuando se
sintetizo todo la información aportada por los estudiantes en un primer esquema, en el cual
se podía observar que las opiniones del curso estaban divididas. Luego de esto y con la
ayuda de videos tanto de contextualización como de sensibilización, se volvió a preguntar
a los estudiantes que opinaban nuevamente sobre esto, y en este punto la intervención de
un estudiante el cual tenía una opinión a favor del narcotráfico, genero tención en el grupo
por la manera en que su discurso apoyaba totalmente las practicas a las que se recurre para
conseguir dinero por medio de este mecanismo.
En el desarrollo de las sesiones posteriores y cuando los estudiantes por medio de
la investigación propia encontraban más información sobre este problema, sus puntos de
144
vista iban transformándose, esto sucedió en casi todo el curso, pero al estudiante que se le
hizo mención anteriormente por lo enfático de su discurso, cada vez que realizaba una
intervención trataba de persuadir a sus compañeros, tal era la convicción del estudiantes
que se llegó a presentar una situación con uno de los investigadores por culpa del micro
tráfico que este estudiante manejaba dentro del colegio, teniendo como consecuencia el
traslado de coordinadora de la institución y múltiples amenazas a los investigadores para
interrumpir el desarrollo de la investigación.
Al final se observó que la problemática trabajada ayudo a que varios de los
estudiantes crearan un punto de vista más crítico, esto gracias a toda la información a la
que estuvieron expuestos.
145
6. Capítulo 6: Conclusiones
Para empezar con las conclusiones que dejó este trabajo de investigación se quiere
hacer referencia a este párrafo de una de las bitácoras. “Algunos estudiantes se dieron
cuenta de que el valor de cada velocidad era el mismo que habían obtenido antes a través
del cálculo de las diferencias entre la cantidad de hectáreas producidas año a año”.
Esta conclusión a la que llegaron algunos de los estudiantes es fundamental en el
trabajo que se quería desarrollar, ya que en las maneras en las que se trabaja en esta
perspectiva es bien sabido que las matemáticas muchas veces dejan de tener el papel
principal, para dárselo a la problemática social, y este era el reto que se tenía en esta
investigación, tratar de construir un escenario de investigación en donde desde el principio
se le apuntara a un concepto o en este caso a una noción matemática concreta, debido a que
el resultado fue el esperado se puede decir que es posible trabajar desde esta perspectiva
teórica sin descuidar la construcción del conocimiento matemático por parte de los
estudiantes.
Para nosotros fue relevante dadas las condiciones de lo que queríamos conseguir
matemáticamente realizar una investigación previa frente a la problemática a trabajar para
anticiparnos a las respuestas que podían dar los estudiantes y cuáles serían nuestras
estrategias para ir guiando a los estudiantes a llegar a la noción esperada.
Consideramos que no es pertinente para quienes quieren lograr un conocimiento
matemático para sus estudiantes desde esta perspectiva pensar que, dicho conocimiento
146
matemático surge espontáneamente a partir de solo generar el escenario de investigación,
pues fue un primer intento realizado en esta trabajo que lastimosamente no dio los frutos
esperados y que por esto se le dio una mirada a la perspectiva de forma diferente.
La siguiente respuesta dada por un estudiante: “Las matemáticas son unas ciencias
que están llenas de números, símbolos y más. Que nos ayudan a resolver problemas
prácticos del día a día, las matemáticas son todo aquello que nos cuesta entender para
resolver nuestras vidas de una manera fácil. Las matemáticas tienen mucho sentido pues
nos ayudan a muchas cosas que probablemente nos sirven para toda la vida pues las
necesitamos siempre”.
Esta definición logro que el estudiante llegara a pensar que hay un papel que juegan
las matemáticas para la resolución de problemas del día a día.
También es importante resaltar que por la experiencia que se tuvo en esta
investigación, el sistema educativo colombiano presenta fallas en la manera en que es
distribuida la cantidad de alumnos no solo por colegio, sino también por cada curso, esto
para hacer referencia a que este tipo de trabajos seria menos complejo y se obtendrían más
resultados si se trabajara con menos estudiantes. Lo que de igual manera nos lleva a pensar
que en el país hacen falta más infraestructura educativa, para atender a la demanda de
estudiantes que tiene el país.
También se quiere concluir sobre cada uno de los objetivos planteados en la
investigación y de esta manera establecer un balance de si se logró o no el objetivo general
147
planteado. Para empezar aunque no fue posible realizar la indagación previa sobre el
contexto de los estudiantes debido a que el colegio fue escogido al azar, si fue posible
establecer el escenario de investigación en marcado en el contexto del problema del
narcotráfico y las drogas que casualmente afectaba no solo a la institución si no al curso
con el que se investigó, por medio del micro tráfico y el consumo.
En otro de los objetivos se menciona la investigación previa por parte de nosotros
como investigadores y cabe resaltar que este fue uno de los aspectos más importantes, ya
que donde no se hubiera realizado este ejercicio hubiese sido muy complicado actuar frente
a todas las situación que surgían diariamente con los estudiantes, también consideramos
que es bueno no siempre estar dispuesto a improvisar en las sesiones.
Respecto a los ambientes de aprendizaje que propone Skovsmose (2000), en el
proceso de modelaje se presentaron ambientes de tipo 1, 3,4 y 6, sin embargo somos
conscientes de que no se alcanzó a lograr una formación de un ciudadano critico en
términos de lo propuesto por Skovsmose (1999) ya que siempre hubo disidencia y apatía
de los estudiantes respecto a su pensamiento sobre el problema del narcotráfico y su forma
de pensar y concebir el trabajo en una clase de matemáticas. Para finalizar con los objetivos
planteados podemos decir que se pudo plantear e implementar una propuesta alternativa de
enseñanza en donde estuviera involucrado el concepto de derivada, además de la ejecución
de la investigación se puede decir que se implantó en algunos estudiantes ese ser reflexivo
y crítico el cual por medio en este caso de la clase de matemáticas pudo estudiar una
problemática que está inmersa en el mundo en el que el habita.
148
Para finalizar queremos hacer énfasis en este último apartado ya que en el momento
de clasificar los diferentes tipos de discursos para el análisis hubo poca claridad, al tomar
las definiciones de Barbosa (2004, 2006). De esta manera se quiere hacer una
reinterpretación de dichos discursos que nos ayudaron a realizar el análisis de la
investigación.
Discurso técnico: Refiere a preguntas y discusiones con conclusiones o reflexiones
matemáticas basadas en la problemática a trabajar.
Discurso reflexivo: Se entiende como las preguntas que llevan a las reflexiones de
las implicaciones sociales basadas en los modelos matemáticos construidos, haciendo de
igual manera referencia a todas aquellas preguntas que llevan a concientizar sobre una
problemática social.
149
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