ESTRUCTURAS

• Se consideran tres categorías de estructuras :

a) Armaduras: formados por miembros de dos fuerzas, i.e., elementos rectos que están conectados en nodos localizados en los extremos de cada elemento.

b) Armazones: contiene al menos un miembro sobre el cual actúan 3 o más fuerzas.

c) Máquinas: sistemas que contienen partes móviles diseñadas para transmitir y modificar fuerzas.

ARMADURAS• Una armadura consiste de miembros rectos

conectados en nudos o nodos. Ningún miembro se considera continuo através de una articulación.

• Muchas estructuras están construidas con varias armaduras planas unidas para formar una armadura espacial. Cada armadura está diseñada para soportar aquellas cargas que actúan en su plano y pueden ser tratadas como estructuras bi-dimensionales. Pero también existen armaduras espaciales las que no se pueden analizar como planas.

Cuando las cargas sobre una armadura están aplicadas en los nudos de la armadura y si todas las barras están bien centradas en las uniones (nudos), entonces en las barras se presentaran únicamente fuerzas axiales, o sea todas las barras serán elementos con dos fuerzas que pueden estar tensadas o comprimidas.

TÉRMINOS QUE SE USAN EN ARMADURAS

ARMADURAS

Ejemplo de una estructura espacial a base de armaduras – un puente

Algunos tipos de armaduras

Armaduras típicas para techo

Armaduras típicas para puentes

Otros tipos de armaduras

SISTEMAS VARIANTES E INVARIANTES

Sistema variante es un conjunto de diversos cuerpos unidos entre si de tal manera que se pueden mover uno con respecto al otro sin que los cuerpos sufran deformaciones. Estos sistemas forman mecanismos. Un ejemplo del sistema variante es cuatro barras unidas con cuatro articulaciones. Este sistema no se puede usar para sostener cualquier tipo de carga. El sistema cambia la forma sin que los elementos sufran deformaciones.

Cuando diversos cuerpos están unidos de tal forma que no se pueden mover uno con respecto al otro sin que los cuerpos sufran deformaciones forman un sistema invariante.

SISTEMAS INVARIANTESSe usan para formar estructuras: conjunto de elementos para sostener y transmitir alguna carga como son armaduras y armazones.

El ejemplo más simple de un sistema invariante se tiene cuando tres cuerpos se unen por medio de tres articulaciones que no están en la misma línea.

Esto es la base de una armadura. Si a esto se le agregan dos barras y un nodo que no están en una misma línea, se estará formando una armadura simple.

Una armadura simple es un sistema estáticamente determinado – se pueden determinar fuerzas axiales en todas las barras usando las ecuaciones del equilibrio estático. En una armadura estáticamente determinada existe la relación entre el numero de las barras (b) y el numero de los nodos (n): b=2n-3

Si b<2n-3, el sistema no tiene suficientes barras para ser invariante y no se debe usar para sostener cargas (no será una estructura – será un mecanismo).

Si b>2n-3, el sistema será estáticamente indeterminado si es invariante – depende de la disposición de las barras.

b=17, n=10, 17=2x10-3

Armadura invariante y estáticamente determinada.

b=21, n=10, 2x10-3=17, 21-17=4

Armadura tiene 4 barras más de lo mínimo necesario para ser un sistema invariante – será 4 veces estáticamente indeterminada.

B=19, n=10, 19-17=2Armadura tiene 2 barras más de lo mínimo necesario para ser un sistema invariante – pero las barras no están dispuestas para formar un sistema invariante. En el caso de la carga mostrada, el sistema se desplomará.

EJEMPLOSb=17, n=10, 17=2x10-3

Armadura invariante y estáticamente determinada.

b=21, n=10, 2x10-3=17, 21-17=4

Armadura tiene 4 barras más de lo mínimo necesario para ser un sistema invariante – será 4 veces estáticamente indeterminada.

ANALISIS DE LAS ARMADURAS

El propósito del análisis es determinar las fuerzas en todas las barras de una armadura con tal de poder diseñarla (proporcionar las dimensiones de las secciones de las barras) para que aguanten las cargas impuestas sin romperse o deformarse demasiado.

MÉTODOS DEL ANÁLISIS:

-el método de nudos

-el método de secciones

-el método gráfico de Maxwell (en desuso)

MÉTODO DE NUDOS

Las fuerzas en las barras que llegan a un nudo deben estar en el equilibrio, o sea para cada nudo se pueden establecer dos ecuaciones de equilibrio: Fx=0 y Fy=0. En total habrá 2n ecuaciones (n=número de los nudos) y si la armadura es una estructura estáticamente determinada tendrá máximo (2n-3) barras, suficiente para determinar las fuerzas en todas las barras e inclusive se podrán determinar también las tres reacciones en los apoyos.

Para que el método sea práctico, hay que seguir cierto orden:

1.- Analizar armadura entera como si fuera un cuerpo rígido y determinar las reacciones. Chequear el cálculo de las reacciones.

2-empezar el análisis de los nudos con un nudo donde habrá máximo dos fuerzas incógnitas y después seguir siempre con el nudo que tiene máximo dos incógnitas. Así se pasa por todos los nudos. Cuando se llega al último nudo ya se conocerán todas las fuerzas, sin embargo se analiza también el último nudo para chequear el cálculo. Si se hubiera cometido algún error en los cálculos, se manifestará analizando el último nudo (no habrá el equilibrio).

EJEMPLO

DCL Cálculo de las reacciones

kNxxBM yA 3041565012

10

kNAF xx 150

kNAF yy 2030500

CHEQUEO:

065041512200 xxxM B OK

En la armadura dada, hay dos nudos con solamente dos barras (dos incógnitas). Son los nudos A y B. Se puede empezar con cualquiera de los dos. Se escoge nudo A y se dibuja partícula A aislada para en seguida analizar su equilibrio y calcular fuerzas en las barras.

NUDO A

kNNNF

kNsen

NF

AAx

Ay

30cos150

2520

0

13

1

Con

Conocido NA1 se puede pasar a analizar nudo 1.

NUDO 1

kNNF

kNsen

senNF

x

y

302cos250

2525

0

12

13

Conocidos NA3 y N13 se pasa al nudo 3.

NUDO 3

kNNF

kNsen

senNF

Bx

y

5.22cos5.37cos25300

5.372550

0

3

23

NUDO 2Solamente queda una incógnita en este nudo y sería suficiente una sola ecuación de equilibrio, sin embargo se usarán las dos ecuaciones – para chequear los valores obtenidos.

05.22cos5.37215300

5.375.37

0 2

kNxF

kNsen

senNF

x

By

Ya se conocen las fuerzas en todas las barras aunque aún falta analizar el nudo B. Se analiza el equilibrio del último nudo solamente para verificar los resultados.

OK

NUDO B

05.22cos5.37

05.3730

x

y

F

senF OK

OK

Finalmente se presentan los resultados en un esquema de la armadura. Los números sobre cada barra son valores de las fuerzas axiales en la barra.

Las flechas indican como actúa la barra sobre el nudo y con esto se puede saber si la barra estará tensada o comprimida. Si la flecha indica hacia el nudo significa que lo comprime y por lo tanto la misma estará en compresión, pero si jala desde el nudo, estará tensando y la misma estará tensada.

Nudos en condiciones especiales

1.- Nudo con solamente dos barras y sin carga: puede estar en el equilibrio solamente si las fuerzas en ambas barras son cero. Nudos B y F en la armadura mostrada abajo están en esta condición.

00

00cos0

1

22

NF

NNF

y

x

Ejemplo

2.- Nudo con tres barras donde dos barras tienen la misma línea de acción y nudo sin carga. En estos nudos el equilibrio se dará solamente si las barras que tienen la misma línea de acción tienen las fuerzas iguales, mientras la tercera barra tendrá fuerza 0. Nudos J y H en la armadura mostrada abajo.

21

33

0

00cos0

NNF

NNF

y

x

3.-Nudo con cuatro barras de las cuales dos y dos tienen la misma línea de acción y en el nudo no hay ninguna carga. Este nudo puede estar en el equilibrio únicamente cuando las barras que tienen la misma línea de acción tienen fuerzas iguales.

N1 = N2

N3 = N4

Se puede comprobar que el equilibrio se dará cuando:

Reconociendo los nudos en condiciones especiales, el cálculo de una armadura puede ser más simple.

METODO DE SECCIONES

Es muy útil cuando se quiere determinar fuerza en una sola barra. En tal caso se hace una sección cortando la barra que nos interesa y como máximo dos barras más (pueden cortarse más de tres barras en total, pero en tal caso hay que saber algo respecto a las fuerzas en las barras). Las barras cortadas n o deben ser concurrentes ni paralelas. Entonces se analiza el equilibrio de la armadura seccionada. Las fuerzas en las barras cortadas deben tener el valor justo necesario para mantenerlo (equilibrio).

Ejemplo: Se considera la armadura mostrada y para la carga mostrada se determinará la fuerza en la barra EG usando el método de secciones. Previamente se determinaron las reacciones en los apoyos de la armadura.

Se hace una sección (n-n) de tal manera que la barra en cuestión resulte cortada y algunas otras. Ahora se analizará el equilibrio de una de las dos partes cortadas (cualquiera).

Fuerzas en las barras cortadas son incógnitas y deben tener valores justo necesarios para mantener en el equilibrio la parte cortada. La magnitud de la fuerza en la barra EG se obtendrá de la ecuación: 0FM

kNxxN EG 3522045.272

1

El mismo corte se puede aprovechar para obtener valores de NFG y NFH

kNNF FGy 61.1045cos

5.27200

kNx

NM FHG 5.272

25.270

ARMADURAS COMPUESTAS

Cuando varias armaduras simples se unen forman una armadura compuesta.

Para que una armadura compuesta pueda transmitir cualquier tipo de carga sin cambiar la forma debe formar un sistema invariante. Esto depende de las uniones entre las armaduras simples y de los vínculos con la superficie firme.

Una unión rígida (invariante) entre dos armaduras simples se obtiene por medio de mínimo tres barras que no deben ser concurrentes ni paralelas (caso A) o por medio de una articulación y una barra cuya línea no debe pasar por la articulación mencionada (caso B).

caso Acaso B

Cuando la unión se forma por medio del número mínimo de vínculos necesarios (tres) y si la unión con la superficie firme tiene también el número mínimo de vínculos (tres, ni concurrentes ni paralelos) se tiene un sistema invariante, completamente restringido y estáticamente determinado.

Si hay más vínculos que el mínimo necesario, el sistema será estáticamente indeterminado o hiperestático y las ecuaciones de equilibrio no serán suficientes para determinar las fuerzas en todas las barras.

Existen relaciones (formulas) entre el número de las barras (b), el número de nudos (n) y el número de las posibles reacciones (r) que nos indican si una armadura es un sistema invariante, estáticamente determinado o indeterminado. Pero en estas formulas no se puede confiar porque la invariabilidad del sistema depende también de la disposición de los elementos. Por esto, para asegurarse, además de comprobar las formulas, hay que inspeccionar el sistema por otros medios.

FORMULAS rnb 2 sistema VARIANTE

rnb 2 sistema estáticamente indeterminado, ¿SERÁ INVARIANTE?

rnb 2 Posiblemente estáticamente determinado e invariante. REVISAR.

EJEMPLOS b=30, n=16, r=3, 30>2x16-3=29

Armadura hiperestática de grado 1 (30-29=1) (una barra más de lo mínimo necesario en la unión entre las dos armaduras simples = una incógnita más que el número de las ecuaciones del equilibrio).

b=10, n=7, r=3, 10<2x7-3=11

Sistema variante, la unión entre dos armaduras simples, por medio de una articulación (equivale a dos barras) únicamente, no es suficiente.

Para convertir este sistema en uno invariante se le puede agregar una barra más que une las dos armaduras simples (E-G o A-B) o se puede cambiar el apoyo en B por uno inmóvil.

ARMAZONES O MARCOS

Armazones son estructuras que tienen elementos sometidos a tres o más fuerzas.

Los elementos pueden estar unidos por articulaciones, por barras o por soldadura.

Son sistemas invariantes y estacionarios y generalmente se usan para soportar y transmitir cargas. Para poder diseñar estos sistemas (definir dimensiones de sus elementos para que aguanten los esfuerzos que se presentarán durante la transmisión de la carga) es necesario conocer las fuerzas que se transmiten a través de las conexiones entre los elementos. Estas fuerzas se determinarán analizando cada elemento por separado. Por ejemplo:

El armazón mostrado está armado uniendo tres cuerpos. Uno de estos cuerpos está sometido a solamente dos fuerzas (CF) y en vez del cuerpo se podría considerar como un elemento de unión.

DCL del sistema completo

lbxxGM YA 500930036500009

10

lbAF xx 9006003000

lbGAF yyy 5000

Cuerpos por separado:

yyyy

xxxx

xxA

ACEF

ACEF

xCxExxM

0

6003000

612930036000

xxx

yy

FCF

FCM

0

00

Analizando el equilibrio del armazón completo y otros dos cuerpos se tiene suficientes ecuaciones para determinar todas las incógnitas. Resolviendo se tiene:

lbF

lbE

x

x

750

750

Se determinaron todas las incógnitas aunque no se necesitó analizar todos los cuerpos. Sin embargo el último cuerpo (EFG) también debe estar en el equilibrio y para chequear los valores obtenidos se analiza el equilibrio del último cuerpo:

005005000

07507500

0067509500127505.469120

yyyy

xxx

yxyxG

FEGF

FEF

xxxxFxFxExEM

0

500

y

y

F

lbE

Máquinas• Las máquinas son estructuras diseñadas para

transmitir y modificar fuerzas. El principal objetivo es transformar fuerzas de entrada en fuerzas de salida.

• Dada la magnitud de P, determine la magnitud de Q.

• Crear un DCL de la máquina completa, incluyendo la reacción ejercida por el alambre.

• La máquina es una estructura no rígida. Usar solo uno de los componentes como CL.

• Sumando momentos alrededor de A,

Pb

aQbQaPM A 0

En la figura se muestra una plataforma hidráulica para automotores, ésta se compone de dos bastidores semejantes al representado. El cilindro hidráulico EF está en la mitad de los dos bastidores. Un automóvil de 20 kN, con el centro de gravedad en el punto G, se sustenta en la posición mostrada (cada bastidor soporta 10 kN). Calcule

a) La fuerza que el vástago del cilindro EF ejerce sobre cada uno de los miembros AB.

b) Las reacciones del apoyo A.

Problema de un examen