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Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.

Bachillerato L. O. G. S. E.

Materia: MATEMATICAS IIInstrucciones: El alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.

Los ejercicios deben redactarse con claridad y lo mas detalladamente posible.

Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntua 2,5 puntos.

PROPUESTA A

1A. a) Enuncia el teorema de Bolzano. (0,5 puntos)

b) ¿Se puede aplicar dicho teorema a la funcion f(x) =1

1 + x2en algun intervalo? (1 punto)

c) Demuestra que la funcion f(x) anterior y g(x) = 2x−1 se cortan al menos en un punto. (1 punto)

2A. a) Representa graficamente las parabolas f(x) = x2−3x−1 y g(x) = −x2 +x+5. (0,5 puntos)

b) Calcula el area del recinto limitado por ambas graficas. (2 puntos)

3A. a) Clasifica en funcion del parametro k ∈ R el sistema de ecuacioneskx + y + z = kx + ky + z = kx + y + kz = k

(1,5 puntos)b) Resuelvelo, si es posible, para k = 1. (1 punto)

4A. a) Estudia la posicion relativa de la recta r ≡

x = −λy = 0z = 1 + λ

, λ ∈ R, y el plano de ecuacion

general π ≡ 2x− y + 3z = 6. (1,5 puntos)

b) Encuentra la ecuacion general de un plano π′ perpendicular a π que contenga a r. (1 punto)

(sigue a la vuelta)

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Materia: MATEMATICAS II

PROPUESTA B

1B. La velocidad de una partıcula, medida en m/sg, esta determinada en funcion del tiempo t ≥ 0,medido en segundos, por la expresion v(t) = (t2 + 2t)e−t. Se pide:

a) ¿En que instante de tiempo del intervalo [0, 3] se alcanza la velocidad maxima? (1,25 puntos)

b) Calcula lımt→∞

v(t), e interpreta el resultado obtenido. (1,25 puntos)

2B. Calcula la integral indefinida:∫

cosx

1 + sen2xdx.

(Nota: Puedes probar el cambio de variable y = senx) (2,5 puntos)

3B. Consideremos las matrices A =(

2 10 1

)y B =

(2 a− 3

b+ 2 c

). Determina los valores

a, b, c ∈ R de forma que se cumpla que el determinante de la matriz B sea igual a 8, y ademas severifique que A ·B = B ·A. (2,5 puntos)

4B. Dado el plano π ≡ x+ z = 4 y el punto P (1, 1, 0), se pide:

a) Encuentra la ecuacion general del plano π′ paralelo a π que pasa por P . (1,25 puntos)

b) Halla unas ecuaciones parametricas de la recta r perpendicular a π que pasa por P . (1,25 puntos)






PROPUESTA A

1A. a) Definicion de derivada de una funcion en un punto. (0,5 puntos)

b) Dada la funcion f(x) =

ax+ senx

2x− x2si x < 0

bx+ c si 0 ≤ x < 1

1

1 + xsi x ≥ 1

, determina los parametros a, b, c ∈ R

para que f(x) sea una funcion continua en x = 0, y ademas sea continua y derivable en x = 1. (2 puntos)

2A. a) Determina el dominio de la funcion f(x) =√

2x+ 1. (1 punto)

b) Calcula la integral definida:∫ 0

−12

f(x) dx. (1,5 puntos)

3A. Dadas las matrices M =

λ λ −14 3 λ2 1 −3

y F =

0 0 10 1 01 0 0

, se pide:

a) ¿Para que valores λ ∈ R existe la matriz inversa de M? (1 punto)

b) Para λ = 0 resuelve, si es posible, la ecuacion X ·M = 2F , donde X es una matriz cuadradade orden 3. (1,5 puntos)

4A. Dado el punto P (0, 0, 1) y la recta r ≡{x+ y + z = 3x− y = 0

, se pide:

a) Calcula la distancia desde el punto P a la recta r. (1,25 puntos)

b) Halla unas ecuaciones parametricas de una recta s que pase por el punto P y corte perpendicu-larmente a la recta r. (1,25 puntos)

(sigue a la vuelta)




PROPUESTA B

1B. Dada la funcion definida por f(x) =

∣∣∣∣∣∣3x 1 0

0 x 1−1 0 x− 6

∣∣∣∣∣∣, se pide:

a) Halla su expresion polinomica simplificada calculando el determinante. (0,5 puntos)

b) Calcula las coordenadas de su punto de inflexion y los intervalos en donde sea concava haciaarriba (∪) y concava hacia abajo (∩). (2 puntos)

2B. a) Enuncia la formula de integracion por partes. (0,5 puntos)

b) Calcula la integral indefinida:∫xLnxdx.

Nota: Lnx representa el logaritmo neperiano de x. (2 puntos)

3B. a) Clasifica en funcion del parametro λ ∈ R el sistema de ecuaciones2x + y + λz = 0x − 2y + z = 0x + 3y + z = 10

(1,5 puntos)b) Resuelvelo, si es posible, para λ = −3. (1 punto)

4B. Consideremos los planos π ≡ ax+ by + 3z = c, π′ ≡ 2x− y + z = 3 y la recta

r ≡{

2x+ 3z = 0y + 2z = −4

a) Determina los parametros a, b ∈ R para que los planos π y π′ sean paralelos. (1 punto)

b) Para los valores a y b obtenidos, estudia la posicion relativa del plano π y la recta r en funcionde c ∈ R. (1,5 puntos)






PROPUESTA A

1A. Dada la funcion f(x) = 3x3 − 36x+ 2, se pide:

a) Determina las coordenadas de sus maximos y mınimos relativos. (1 punto)

b) Enuncia el teorema del valor medio de Lagrange. Analiza si es posible aplicarlo a la funcion f(x)en el intervalo [−2, 2] y, en caso afirmativo, calcula en que puntos se verifica la tesis del teorema en dichointervalo. (1,5 puntos)

2A. a) Dado un numero real a > 0, calcula el area del recinto encerrado entre la grafica de la funcion

f(x) =1

x2, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = a+ 1. (1,5 puntos)

b) Explica razonadamente que cuando a tiende a∞, dicho area tiende a cero. (1 punto)

3A. a) Clasifica en funcion del parametro k ∈ R el sistema de ecuacionesx + 100y − z = 100x − 100y + 2z = 0x + 300y + kz = 200

(1,5 puntos)b) Resuelvelo en el caso en que sea compatible indeterminado. (1 punto)

4A. a) Comprueba que las direcciones de las rectas r ≡{

x = 0y + z = 1

y r′ ≡

x = 1 + 2λy = 2 + λz = λ

,

λ ∈ R, son perpendiculares. (1 punto)

b) Halla la ecuacion general de un plano π que contenga a la recta r y sea paralelo a r′. (1,5 puntos)

(sigue a la vuelta)




PROPUESTA B

1B. El espacio recorrido por una partıcula, medido en metros, esta determinado en funcion del tiempot ≥ 0, medido en segundos, por la expresion e(t) = At2 +BLn(t+ 1) + C. Se pide:

a) Determina los coeficientes A,B,C ∈ R sabiendo que en el instante t = 0 la partıcula ha recorrido6m, la velocidad inicial para t = 0 es de 8m/sg y que la aceleracion cuando t = 1 segundo es de2m/sg2. (1,5 puntos)

b) Para los valores obtenidos de A,B y C, calcula lımt→∞

e(t)

t2. (1 punto)

(Nota: Ln(t+ 1) representa el logaritmo neperiano de t+ 1. Recuerda ademas que la velocidad esla derivada primera del espacio respecto del tiempo y la aceleracion la derivada segunda. )


1

x3 + x2dx. (2,5 puntos)

3B. a) Despeja X en la ecuacion matricial X ·A = B− 2X, donde A,B y X son matrices cuadradasde orden 3. (1,25 puntos)

b) Calcula la matriz X siendo A =

1 1 00 0 11 0 0

y B =

4 1 22 2 51 4 4

. (1,25 puntos)

4B. Calcula los parametros a, b, c ∈ R de la ecuacion del plano π ≡ ax + y + bz = c, sabiendo quepasa por el origen de coordenadas, es perpendicular al plano de ecuacion π′ ≡ x+2y = 3 y que contienea la recta de ecuaciones

r ≡

x = 1 + λy = 1 + λz = 1 + λ

, λ ∈ R.

(2,5 puntos)






PROPUESTA A

1A. Dada la funcion f(x) = arctg(√

x− 1)

definida para x ≥ 1, se pide:

a) Calcula y simplifica f ′(x). (1,5 puntos)

b) Explica razonadamente por que en ningun punto de la grafica de la funcion f(x) la recta tangentees horizontal. (1 punto)

2A. Calcula a ∈ R, siendo a > 0, para que el area de la region limitada por la grafica de la funcionf(x) = 6x2, el eje de abscisas y la recta x = a sea igual a 2000u2. (2,5 puntos)

3A. Dadas las matrices M =

1 2 20 2 30 0 3

y N =

1 0 00 0 12 0 1

, se pide:

a) Estudia para que valores de λ ∈ R el rango de la matriz M − λN es igual a 3. (1,25 puntos)

b) Resuelve el sistema de ecuaciones:{

3X + Y = MX + Y = N

, dondeX e Y son matrices cuadradas

de orden 3. (1,25 puntos)

4A. Dado el plano de ecuacion general π ≡ 2x+ ay − z = 4, se pide:

a) Determina, si es posible, un valor del parametro a ∈ R de modo que el plano π sea paralelo alplano de ecuacion π′ ≡ x+ y + z = 2. (1,25 puntos)

b) Determina, si es posible, un valor del parametro a ∈ R de modo que el plano π sea paralelo a la

recta r ≡

x = 1− λy = 2λz = 2 + λ

, λ ∈ R. (1,25 puntos)

(sigue a la vuelta)




PROPUESTA B

1B. Determina los valores de los parametros a, b, c ∈ R de forma que la funcion f(x) = ax2 + bx+ ccumpla que pasa por el punto de coordenadas (3, 10) y tiene un extremo relativo en el punto de coorde-nadas (1,−2). (2,5 puntos)


x+ 2√x+ 1

dx.

(Nota: Puedes probar el cambio de variable y = x+ 1) (2,5 puntos)

3B. Sabiendo que

∣∣∣∣∣∣x y z4 0 25 5 5

∣∣∣∣∣∣ = 10 , obten el valor de los siguientes determinantes:

a)

∣∣∣∣∣∣3x 3y 3z2 0 11 1 1

∣∣∣∣∣∣ b)

∣∣∣∣∣∣0 4 2y x z5 5 5

∣∣∣∣∣∣ c)

∣∣∣∣∣∣x+ 1 y + 1 z + 1

4 0 25 5 5

∣∣∣∣∣∣.(0,75 puntos el apartado a), 0,75 puntos el apartado b) y 1 punto el apartado c))

4B. Dadas las rectas r ≡

x = 2− λy = 2λz = 2 + λ

λ ∈ R y r′ ≡

x = 2 + µy = −2µz = 4 + µ

µ ∈ R, se pide:

a) Comprueba que las dos rectas se cortan en un punto calculando dicho punto de corte. (1,5 puntos)

b) Determina el angulo de corte entre ambas rectas. (1 punto)


Bachillerato L. O. E.


Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.


PROPUESTA A

1A. Dada la funcion f(x) =4x2 + 3x+ 4

2x, se pide:

a) Calcula las asıntotas verticales y oblıcuas de f(x). (1,25 puntos)

b) Coordenadas de los maximos y mınimos relativos de f(x). (1,25 puntos)

2A. Calcula las siguientes integrales:

a)∫

(cos(2x) + senx cos x) dx. (1,25 puntos)

b)∫x3 − 1

x+ 2dx. (1,25 puntos)

3A. Dadas las matrices A =(

4 5−3 −4

)y B =

(0 11 0

), se pide:

a) Resuelve el sistema matricial{

2X + 3Y = AX + Y = B

. (1,25 puntos)

b) Encuentra una formula general para Bn, donde n ∈ N. (Indicacion: Calcula las primeras poten-cias de la matriz B) (1,25 puntos)

4A. Consideremos el plano π ≡ x− z = 0 y la recta r ≡

x = 1 + aty = 1 − tz = 2t

, t ∈ R.

a) Determina el parametro a ∈ R para que la recta r y el plano π sean paralelos. (1,25 puntos)

b) Para el valor de a determinado, obten las ecuaciones parametricas de una recta r′ paralela alplano π y que corte perpendicularmente a r en el punto P (1, 1, 0). (1,25 puntos)

(sigue a la vuelta)




PROPUESTA B

1B. En cierto experimento la cantidad de agua en estado lıquido C(t), medida en litros, esta determinadaen funcion del tiempo t, medido en horas, por la expresion:

C(t) =2

3+ 10t+

10

t+

240

t3, t ∈ [1, 10]

Halla cual es la cantidad mınima de agua en estado lıquido y en que instante de tiempo se obtiene,en el intervalo comprendido entre t = 1 hora y t = 10 horas. (2,5 puntos)

2B. a) Representa graficamente la region del primer cuadrante limitada por las graficas de las funciones

f(x) =1

xy g(x) =

1

x2, y la recta x = 2. (0,5 puntos)

b) Calcula el area de dicha region. (2 puntos)

3B. a) Clasifica, en funcion del parametro λ ∈ R, el sistema de ecuacionesλx + 2y − z = λ3x − y − z = 15x + y − 2z = 3

(1,5 puntos)

b) Resuelvelo, si es posible, para λ = 2. (1 punto)

4B. Dados los puntos de coordenadas A(0, 1, 0), B(1, 2, 3), C(0, 2, 1) y D(k, 1, 1), donde k ∈ R:

a) Determina el area del triangulo de vertices A,B y C. (1 punto)

b) ¿Para que valores del parametro k el tetraedro cuyos vertices son A,B,C y D tiene un volumende 5u3? (1,5 puntos)






PROPUESTA A

1A. a) Determina el valor del parametro a ∈ R, para que la funcion f(x) = (x−a)ex tenga un mınimorelativo en x = 0. Razona que, de hecho, es un mınimo absoluto. (1,25 puntos)

b) Para el valor de a obtenido, calcula los puntos de inflexion de la funcion f(x). (1,25 puntos)

2A. Calcula la integral∫

x2 − 3x+ 1

x3 − 5x2 + 8x− 4dx. (2,5 puntos)

3A. Dadas las matrices A =

1 −1 02 3 k1 4 k0 5k 1

, X =

xyz

y O =

0000

se pide:

a) Calcula en funcion del parametro k ∈ R el rango de la matriz A. (1 punto)

b) ¿Existe algun valor de k ∈ R para el cual el sistema A ·X = O sea incompatible? (0,75 puntos)

c) ¿Para que valores de k ∈ R el sistema A ·X = O es compatible indeterminado? (0,75 puntos)

4A. Dadas las rectas r ≡{x− y = 1y + z = 1

y s ≡

x = ty = 1− tz = t

, t ∈ R, se pide:

a) Determina su posicion relativa. (1,25 puntos)

b) Halla el angulo que forman sus vectores de direccion. (1,25 puntos)

(sigue a la vuelta)




PROPUESTA B

1B. a) Enuncia el teorema de Bolzano y el teorema de Rolle. (1 punto)

b) Demuestra que la ecuacion ex + x7 = 0 tiene al menos una solucion real. (0,75 puntos)

c) Demuestra que, de hecho, dicha solucion es unica. (0,75 puntos)

2B. Sean las funciones f(x) = x2 y g(x) = a, con a ∈ R, a > 0. Calcula el valor del parametro a

para que el area encerrada entre las graficas de las funciones f(x) y g(x) sea32

3. (2,5 puntos)

3B. a) Clasifica, en funcion del parametro m ∈ R, el sistema de ecuacionesx − y + z = 12x − 3y = −1x + 2y + mz = m+ 3

(1,5 puntos)b) Resuelvelo, si es posible, para m = 7. (1 punto)

4B. Consideremos el plano π ≡ x− ky = 0, y la recta r ≡{x+ y − z = 3x− y = 1

a) Halla el valor del parametro k ∈ R para que el plano π y la recta r sean paralelos. (1,5 puntos)

b) Para el valor de k obtenido, calcula la distancia desde la recta r al plano π. (1 punto)






PROPUESTA A

1A. a) Definicion de funcion continua en un punto. (0,5 puntos)

b) Determina el valor del parametro a ∈ R para que la funcion

f(x) =

ax2 si x ≤ 3

√x + 1− 2

x− 3si x > 3

sea continua en x = 3. (2 puntos)

2A. Calcula las siguientes integrales indefinidas:

a)∫

1 + 8x

1 + x2dx. (1,25 puntos)

b)∫

(x2 + x) cos x dx. (1,25 puntos)

3A. He pensado en tres numeros, de manera que la suma de los dos primeros es igual al tercero. Si altriple del primer numero le resto el doble del segundo vuelvo a obtener el tercero. Si al doble del primerole resto la mitad del segundo tambien obtengo el tercero. Por ultimo, si al doble del primero le resto elsegundo y sumo uno, de nuevo vuelvo a obtener el tercer numero.

a) Plantea un sistema de ecuaciones que recoja la informacion anterior y clasifıcalo. (1,5 puntos)

b) Determina, si el problema tiene solucion, los tres numeros que he pensado. (1 punto)

4A. Consideremos las rectas r ≡

x = 1 − aty = b + tz = 2t

, con t ∈ R, y s ≡ x− 2 =y − 2

−1=

z + 6

2.

a) Determina los parametros a, b ∈ R para que las dos rectas se corten perpendicularmente en unpunto. (1,5 puntos)

b) Calcula, para los valores de los parametros obtenidos en el apartado anterior, las coordenadas delpunto de corte. (1 punto)

(sigue a la vuelta)




PROPUESTA B

1B. Calcula los siguientes lımites

a) lımx→1+

(2x + 1

x + 2

) 1x−1

(1,25 puntos)

b) lımx→0

sen x− x cos x

2x3(1,25 puntos)

2B. a) Representa graficamente la region limitada por las graficas de las funciones f(x) = x2, g(x) =1

x,

el eje de abscisas y la recta x = e. (0,5 puntos)


3B. Consideremos la matriz A =(

1 0 k0 k 1

), con k ∈ R. Demuestra que el rango de la matriz

A ·At es siempre igual al rango de la matriz At ·A, cualquiera que sea el valor de k. (Recuerda que At

representa la matriz transpuesta de la matriz A) (2,5 puntos)

4B. a) Dada la recta r ≡{

x + y + z = 02y − z = −1

y el punto P (0, 1, 0), obten las ecuaciones parametri-

cas de una recta r′ que pase por el punto P y corte perpendicularmente a r. (1,25 puntos)

b) Encuentra las coordenadas del punto P ′ simetrico de P respecto de la recta r. (1,25 puntos)






PROPUESTA A

1A. Determina el valor del parametro a ∈ R, a > 1, de forma que el area del triangulo de verticesA(0, 0), B(0, a) y C(

a

a− 1, 0) sea mınima. (2,5 puntos)

2A. Calcula las siguientes integrales:

a)∫x ln(x) dx. (Indicacion: ln(x) representa el logaritmo neperiano de x). (1,25 puntos)

b)∫ √

x

1 +√xdx. (1,25 puntos)

3A. a) Despeja X de la ecuacion matricial X ·B − I = X ·A+A , donde X,B,A e I son matricesde tipo 3× 3. (1,25 puntos)

b) Calcula la matriz X de tamano 3 × 3, solucion de la ecuacion, siendo A =

1 2 10 2 10 0 1

,

B =

2 2 00 3 20 0 2

e I =

1 0 00 1 00 0 1

. (1,25 puntos)

4A. a) Analiza, en funcion del parametrom ∈ R, la posicion relativa de los planos π1 ≡ 2x−y+z = 0,π2 ≡ y + z = m y π3 ≡ mx+ y − z = 8. (1,25 puntos)

b) Razona que, independientemente del valor del parametro m, los planos π2 y π3 son perpendicu-lares. (1,25 puntos)

(sigue a la vuelta)




PROPUESTA B

1B. Dada la funcion f(x) =x2

2− x, se pide:

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1,25 puntos)

b) Asıntotas verticales y oblıcuas. (1,25 puntos)

2B. a) Representa graficamente la region encerrada por las graficas de las funciones f(x) = x2−2x−2y g(x) = −x2 + 2x− 2. (0,5 puntos)


3B. a) Enuncia el teorema de Rouche-Frobenius. (0,5 puntos)

b) Considera el sistema A ·X = B, donde A es una matriz 3× 4 , X =

xyzt

y B es una matriz

con una sola columna. ¿De que dimensiones es la matriz B? (0,50 puntos)

c) ¿Puede el sistema ser compatible determinado? (0,75 puntos)

d) Si el sistema es incompatible y el rango de la matriz A es dos, ¿cual es el rango de la matrizampliada (A|B)? (0,75 puntos)

4B. Dados los puntos P (1, 1, 2) y Q(1, 1, 0), y la recta r ≡{x+ 2y = 1y + z = 0

, se pide:

a) Ecuacion general del plano π que contiene al punto P y a la recta r. (1,25 punto)

b) Halla la distancia desde el punto medio de los puntos P y Q al plano π calculado en el apartadoanterior. (1,25 puntos)

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