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Trigonometria (clase1y2.lyx)[1/50]

Trigonometría

January 17, 2006


Medida de ángulos

Antes de definir las funciones trigonométricas, vamos a introducir un nuevo sistema de medición angular, elcual llamaremos sistema circular. Su unidad es el radián, a diferencia del grado del sistema sexagesimalusual. A continuación analizaremos ambos sistemas, y mas detalladamente el sistema circular.

Sistema sexagesimalSe basa en la división del ángulo recto:1 = 1

90 ángulo recto1′ = 1

60 1

1” = 160 1′

Sistema circularEntre la longitud de un arco y su radio, existe una razón de proporcionalidad que depende solo del ángulosustentado. En efecto, según la figura

A′ A”

B”

B′

OOA′= R1 y OA′′ = R2


Medida de ángulos




60 1

1” = 160 1′


A′ A”

B”

B′



Medida de ángulos

Luego la siguiente relación se cumple:

A′B′

A′′B′′=

R1

R2

de donde se obtiene que la razón entre longitud de arco y radios es la misma, esto es :

A′B′

R1=

A′′B′′

R2.

Es claro que la relación arco-radio no varía segun el radio de la circunferencia, por lo tanto, podemosgeneralizar el uso de esta relacion para un caso específico, una circunferencia de radio R dado.

El ángulo ∠AOB medido en radianes es igual al cuociente entre el arco AB y el radio R de la circunferenciacorrespondiente, es decir :

∠AOB = θ =ABR


Ejemplo

Determinemos la medida en radianes de un ángulo recto. Para esto tracemos una circunferencia de radio R.El perímetro de la circunferencia completa es:

P = 2πR.

Luego el arco AB es:

AB =P4

=2πR

4=

π

2R.

En consecuencia, el ángulo recto α medido en radianes es:

α =ABR

=π

2.

Con esto, es fácil comprobar que el ángulo de 45 mide π4 radianes, el de 30 mide π

6 radianes y el de 60 mideπ3 radianes.


Propiedad

S

αO R

Si el ángulo α de la figura se mide en radianes entonces como α = SR entonces se concluye que:

S = Rα.

Es decir, conocido el radio de una arco y su ángulo medido en radianes, la longitud de su arco se calculasimplemente multiplicando el radio por el ángulo. Pero atención, el ángulo tiene que estar medido en radianes.

ObservaciónPara transformar la medida de un ángulo entre ambos sistemas basta con recordar la medida del ángulorecto en estos sistemas. Así:

1 : 1 rad = 90 :π

2O bien, 1 : 1 rad = 180 : π.


Convenciones

Un ángulo α se dirá recto, si α = π2 (90), extendido si α = π(180), completo si α = 2π(360). Se dirá que

α es agudo si 0 < α < π2 y se dirá obtuso si π

2 < α < 2π.

Consideremos un rayo horizontal ~OA fijo y otro movil ~OB con origen fijo en O, que inicialmente coincidecon ~OA. Si ~OB se mueve en el sentido contrario a los punteros del reloj, diremos que el ángulo ∠AOB espositivo y si ~OB se mueve en el sentido de los punteros del reloj, diremos que el ángulo ∠AOB esnegativo.Con esta convención pueden graficarse ángulos comprendidos entre −2π y 2π.

Si α > 2π, se escribe

α = n(2π) + ϕ donde ϕ ∈ [0, 2π].

De este modo el factor natural n representa un cierto número de vueltas completas de ~OB en torno de Oen la dirección contraria a los punteros del reloj y ϕ representa una fracción adicional de giro.Si α < −2π, se escribe

α = −n(2π)− ϕ donde ϕ ∈ [0, 2π].

Análogamente, en este caso, n representa un cierto número de vueltas completas de ~OB en torno de Oen la dirección de los punteros del reloj y ϕ representa una fracción adicional de giro.


Convenciones



2 < α < 2π.



α = n(2π) + ϕ donde ϕ ∈ [0, 2π].


α = −n(2π)− ϕ donde ϕ ∈ [0, 2π].



Definición

Consideremos la circunferencia de ecuación u2 + v2 = 1. Sea x ∈ R. Se determina sobre la circunferencia elpunto Px tal que ∠AOPx = x (radianes).

Se definen las funciones seno y coseno trigonométrico por:

sin x = ordenada del punto Px

cos x = absisa del punto Pxes decir si Px = (a, b) ⇒

sin x = bcos x = a

En otras palabras, desde P0 = (1, 0) giramos sobre la circunferencia x radianes en dirección contraria a lasmanillas del reloj terminando sobre el punto Px . Como la medida de los ángulos no depende del radio,ocuparemos el valor R = 1. Veamos esto en la figura siguiente:

xcos(x)

sen(x)

1R

R1


Definición

Además se definen las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante por:

tan x =sin xcos x

cot x =cos xsin x

sec x =1

cos x

csc x =1

sin x

El nombre de tangente y secante se desprenden directamente de sus interpretaciones geométricas. En lafigura siguiente, tan θ = AB (cuerda tangente a la circunferencia) sec θ = OB (secante a la circunferencia).

<figura aca>

Los términos co· · · se refieren a la función referida al ángulo complementario, por ejemplocosenoθ = seno(π/2− θ). Análogamente para cotangente y cosecante.


Propiedades

Las funciones sin x y cos x son acotadas y tales que (∀x ∈ R)

−1 ≤ sin x ≤ 1 y − 1 ≤ cos x ≤ 1.

Por definición de seno (sin) y coseno (cos) vemos que sus valores son las coordenadas de un punto de lacircunferencia de ecuación u2 + v2 = 1, por lo que ambas coordenadas están acotadas.

sin2 x + cos2 x = 1 (∀x ∈ R).Esto es consecuencia inmediata de que el punto (cosx , sinx) se encuentra en la circunferencia deecuación u2 + v2 = 1.

Si cos x 6= 0, entonces tan2 x + 1 = sec2 x . Esto se obtiene al dividir la identidad anterior por cos2 x .

Si sin x 6= 0 , entonces tan2 x + 1 = sec2 x . Esto se obtiene a7cm

\overlineOA’ = R_1 y \overlineOA” = R_2 l dividir la identidad fundamental por sin2 x .

Inscribiendo apropiadamente triángulos rectángulos isosceles o equilaterosen el círculo unitario se puedeobtener la siguiente tabla de valores:

x sin x cos x tan x cot x sec x csc x0 0 1 0 - 1 -π6

12

√3

2

√3

3

√3 2√

32

π4

√2

2

√2

2 1 1√

2√

2π3

√3

212

√3

√3

3 2 2√3

π2 1 0 − 1 − 1π 0 −1 0 − −1 −3π2 −1 0 − 0 − −1


Propiedades


−1 ≤ sin x ≤ 1 y − 1 ≤ cos x ≤ 1.








12

√3

2

√3

3

√3 2√

32

π4

√2

2

√2

2 1 1√

2√

2π3

√3

212

√3

√3

3 2 2√3

π2 1 0 − 1 − 1π 0 −1 0 − −1 −3π2 −1 0 − 0 − −1


Ejercicios

Calcular:

[sin(π/6) + cos(π/6)][sin(π/3)− cos(π/3)] sec(π/4)1/2 cos(π/3) + 2 csc2(π/6)cot2(π/6) + 4 cos2(π/4) + 3 sec2(π/6)3 tan2(π/6)− 1/3 sin2(π/3)− 1/2 csc2(π/4) + 4/3 cos2(π/6)

Demostrar las siguientes identidades trigonométricas:sin xcos x + tan x

cot x + sec xcsc x =2 cot x+1

(cot x)2

sin3 α+cos3 αsin α+cos α + sin α cos α = 1

si tan α = ba ⇒ a(cos2 α− sin2 α) + 2b sin α cos α = a

(sin α− csc α)2 + (cos α− sec α)2 = tan2 α + cot2 α− 1


Grafico de Funciones Trigonométricas

A continuación se muestra gráficamente las funciones sin y cos , para asi poder identificar con facilidad susigno y crecimiento. En la figura siguiente la función sin está representada por la coordenada vertical denuestro círculo unitario, y la función cos por la coordenada horizontal.

Signos Por CuadrantesI II III IV

sin + + − −cos + − − +tan + − + −

Crecimiento por cuadrantes

I II III IVsin Crece Decrece Decrece Crececos Decrece Decrece Crece Crecetan Crece Crece Crece Crece

PeriodicidadesLas funciones sin y cos son periódicas de periodo 2π, es decir, sin(2π + x) = sin x y cos(2π + x) = cos x .La función tan es periodica de periodo π, es decir: tan(π + x) = tan x .





sin + + − −cos + − − +tan + − + −





Independencia de sistemas de coordenadas

Consideremos dos sistemas de coordenadas en el plano. El primero OXY es típico, donde el eje OX eshorizontal y el eje OY es vértical. El segundo O′X ′Y ′ tiene origen en O′ = O y los ejes O′X ′ y O′Y ′ formanun ángulo α con respecto a los ejes OX y OY respectivamente. Se dice que O′X ′Y ′ corresponde a unarotación del sistema OXY en un ángulo α.

Y

X

Y ′

X ′α

α

Y

XO O′


Independencia de sistemas de coordenadasTracemos una circunferencia unitaria con centro en O y consideremos dos puntos P y Q en de modo talque ∠POX = α y ∠QOX = β.

Con esto calculemos la distancia PQ en ambos sistemas:

En el sistema OXY

P = (cos α, sin α)

Q = (cos β, sin β).

Luego:

PQ2

= [cos β − cos α]2 + [sin β − sin α]2

= cos2 β − 2 cos β cos α + cos2 α

+ sin2 β − 2 sin β sin α + sin2 α

= 2− 2 cos β cos α− 2 sin β sin α.

En el sistema O’X’Y’

P = (1, 0)

Q = (cos(β − α), sin(β − α)).

Luego:

PQ2

= [1− cos(β − α)]2 + [0− sin(β − α)]2

= 1− 2 cos(β − α) + cos2(β − α) + sin2(β − α)

= 2− 2 cos(β − α).




En el sistema OXY



Luego:

PQ2






P = (1, 0)

Q = (cos(β − α), sin(β − α)).

Luego:

PQ2

= [1− cos(β − α)]2 + [0− sin(β − α)]2


= 2− 2 cos(β − α).


Independencia de sistemas de coordenadas

Como la distancia PQ es independiente del sistema de coordenadas utilizado, podemos escribir que:

2− 2 cos β cos α− 2 sin β sin α = 2− 2 cos(β − α)

de donde se deduce que:

Diferencia de ángulos en coseno

cos(β − α) = cos β cos α + sin β sin α.

Esta fórmula contiene una tremenda cantidad de información. Dependiendo de los ángulo α y β vamos aobtener una variada cantidad de identidades trigonométricas que luego ocuparemos para complementarnuestra demostración en curso.


Propiedades importantes

La ecuación anterior no arroja una gran cantidad de información que veremos a continuación.



Evaluando en β = 0 obtenemos cos(−α) = cos 0 cos α + sin 0 sin α = cosα, es decir cos(−α) = cosα, loque significa que la función cos es par.

Evaluando α = π/2 obtenemos cos(β − π/2) = cos β cos π/2 + sin β sin π/2 = sinβ, es decir:

cos(β − π/2) = sinβ.

Llamemos γ = β + π/2. Ocupando lo anterior, cos(β − π/2) = sinβ y evaluando β por γ tenemos:

cos(γ − π/2) = sinγ

cosβ = sin(β + π/2).

Evaluemos ahora en α = −π/2. Con esto obtenemoscos(β + π/2) = cos(β − (−π/2)) = cos β cos(−π/2) + sin β sin(−π/2) = −sinβ, es decir:

cos(β + π/2) = −sinβ.



Como cos(β + π/2) = −sinβ, llamamos γ = β − π/2 y reemplazando β por γ , tenemos:

cos(γ + π/2) = −sinγ

cosβ = −sin(β − π/2)

−cosβ = sin(β − π/2).

Ahora veamos un pequeño truco, analizemos la paridad de sin.

sin(−α) = sin(−α + π/2− π/2)

= sin((−α + π/2)− π/2) Usando la propiedad recién vista

= −cos(−α + π/2) Por paridad de cos tenemos

= −cos(α− π/2) Por la segunda propiedad nos queda

= −sinα

En consecuencia, sin es impar.

La función tan, al ser el cuociente entre una función par y otra impar, es fácil ver que esta es impar:

tan(−α) =sin(−α)

cos(−α)

= − sin α

cos α= −tanα








sin(−α) = sin(−α + π/2− π/2)




= −sinα




cos(−α)

= − sin α

cos α= −tanα


Suma y resta de ángulosRegresando a nuestra demostración anterior, sabemos que cos(β − α) = cos β cos α + sin β sin α

Además poniendo −α en lugar de α se obtiene:

Suma de ángulos en coseno

cos(β + α) = cos β cos α− sin β sin α

Por otro lado

sin(β + α) = cos(π/2− (β + α))= cos((π/2− β)− α)= cos(π/2− β) cos α + sin(π/2− β) sin α= sin β cos α + cos β sin α

Con lo cual tenemos:

Suma de ángulos en seno

sin(β + α) = sin β cos α + cos β sin α

Finalmente poniendo −α en lugar de α se obtiene:

Diferencia de ángulos en seno

sin(β − α) = sin β cos α− cos β sin α


Regla de los cuadrantes

Ahora que sabemos calcular sin(α± β) y cos(α± β), veamos que sucede cuando se le otorga el valor de 2π auno de estos angulos. Sabemos que sin(2π) = 0 y que cos(2π) = 1, por lo tanto:

sin(2π + α) = sin αcos(2π + α) = cos α

sin(2π − α) = − sin αcos(2π − α) = cos α

Ya vimos que sucede cuando uno de los ángulos es 2π, lo que significa dar una vuelta completa. Ahoraanalizaremos que sucede cuando deseamos un cambio de cuadrante, es decir, sumarle π o bien π/2, por lotanto:

1 sin(π + α) = − sin αcos(π + α) = − cos α

2 sin(π − α) = sin αcos(π − α) = − cos α

3 cos(π/2− α) = sin αsin(π/2− α) = cos α

4 cos(π/2 + α) = − sin αsin(π/2 + α) = cos α


Identidades útiles

Otras identidades bastante útiles se desprenden directamente de la suma y resta de angulos en las funcionessin y cos y son las siguientes:

1 tan(x + y) = tan x+tan y1−tan x tan y

2 tan(x − y) = tan x−tan y1+tan x tan y

3 sin(2x) = 2 sin x cos x4 cos(2x) = cos2 x − sin2 x

= 2 cos2 x − 1= 1− 2 sin2 x

5 sin2 x = 12(1 + cos 2x)

cos2 x = 12(1− cos 2x)

6 | sin x2 | =

√12(1− cos x)

| cos x2 | =

√12(1 + cos x)

7 | tan x2 | =

√1−cos x1+cos x

tan x2 = sin

1+cos x

tan x2 = 1−cos x

sin x


Regla final

Cada vez que se desee calcular una función Trigonométrica en un ángulo α de la forma α = Ω± ϕ dondeΩ = ±π/2, ±π, ±3π/2, ±2π, ±(2π + π/2), . . ., es decir, ángulos que representan a puntos sobre los ejes, seobtiene lo siguiente:

f (Ω± ϕ) =

s · f (ϕ) si Ω representa a un punto ubicado en el

eje de las X .s · cof (ϕ) si Ω representa a un punto ubicado en el

eje de las Y .

Donde s representa el signo que debe anteponerse, el cual se obtiene graficando el ángulo Ω± ϕsuponiendoque ϕ esta entre 0 y π/2, y mirando en el circulo trigonométrico el signo de la función f correspondiente alcuadrante.


Regla final

En la función f (Ω± ϕ) anterior, cof (ϕ) representa a la co-función de la función trigonométrica correspondiente.Es decir:

f = sin ⇒ cof = cos

f = cos ⇒ cof = sin

f = tan ⇒ cof = cot

f = cot ⇒ cof = tan

f = sec ⇒ cof = csc

f = csc ⇒ cof = sec .

Ejemplotan(−5π/2 + π/6) = − cot(π/6)sec(3π − α) = − sec(α)


Ejercicios

1 Calcular y reducirsin(π/2− α) cos(3π/2 + β) tan(π/2 + β)

sec(3π/2− β) cos(α + 2π) sin(α + 3π/2)

2 Demostrar que:sin2(π/2− θ)

csc θ· sec θ

cot(π/2 + θ)= − cos2 θ

3 Demostrar que:sin ϕ sec(π/2− ϕ)− cot φ cot(π/2− φ) = 0


Ejercicios




csc θ· sec θ



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