E.T.S.I.I. Departamento de

Física Aplicada a la Ingeniería

Industrial

1. Dos conductores cilındricos y coaxicos, de eje z y radios a, b presentan densidades opuestas λa, λb

(λb = −λa) de carga electrica por unidad de longitud segun z. Determine, en funcion de ρ, el campoelectrico en la zona a < ρ < b.Aplicando el teorema de Gauss a un cilindro de eje z, radio ρ y altura h, situado entre las cargas setiene

λa

ε0h = 2πρhEρ ⇒ ~E =

λa

2πε0ρ~uρ

2. Determine el ındice de reflexion Γ de una lınea de transmision sin perdidas terminada en una impedancia resistiva RL. Loscoeficientes de autoinduccion y de capacidad por unidad de longitud son L y C, respectivamente .

El coeficiente de reflexion se obtiene aplicando condiciones de continuidad para los fasores que definen la tension Vs(0) yla intensidad Is(0) en el punto de alimentacion de la carga, teniendo en cuenta que Vs(z) = V0,+e− jβz + V0,− e jβz, que Is(z) =

Z−10

(V0,+e− jβz − V0,− e jβz

)y que Vs(0) = RLIs(0):

V0,+ + V0,− =RL

Z0

(V0,+ − V0,−

)⇒ V0,− =

RL − Z0

RL + Z0V0,+ ⇒ Γ =

RL − Z0

RL + Z0=

RL −√

L/CRL +

√L/C

ϕNI

κ

3. Un circuito magnetico presenta una reluctancia R(ϕ) = a + b cos2 ϕ que depende delgiro ϕ de un bloque de hierro κ en torno a un eje fijo z. El circuito se magnetiza medianteun devanado de N vueltas por el que circula una corriente electrica de intensidad I.Determine el momento en el eje z de las fuerzas ejercidas por el campo sobre κ.

Nz =N2I2

2∂ 1R

∂ϕ=

N2I2

(a + b cos2 ϕ)2 b cosϕ senϕ

4. Se tiene una densidad de corriente electrica que en coordenadas esfericas esta dada por el campo ~J(r) = kr3 ~ur. Determine laderivada con respecto al tiempo de la carga electrica contenida en la esfera r ≤ a.

De la ecuacion de continuidad

∂κ

∂ t= −∇ · ~J ⇒

d Qd t

=

$∂κ

∂ td V = −

$∇ · ~J d V

y aplicando el teorema de Gauss-Ostrogradsky a la ultima integral,

d Qd t

= −

~J · d ~S = −4πka5

5. Un nucleo ferromagnetico de un material caracterizado por el ciclo de histeresis de lafigura es sometido a un proceso cıclico en el que se recorre el ciclo de histeresis conuna frecuencia f = 50 Hz. El material ocupa un volumen V = 10−3 m3, Bs = 0, 5 T,Hc = 102 A/m. Determine la potencia media disipada por histeresis.La potencia disipada por ciclo y unidad de volumen es 4BsHc, por lo tanto

PH = 4 × 0, 5 × 102 × 10−3 × 50W = 10 W

Bs

−Bs

Hc

−Hc

B

H

6. Una onda electromagnetica plana, definida en el subespacio z < 0por su campo electrico ~Ei(z, t) = E0 cos(ωt − βz) ux se propaga enel sentido del vector ~uz e incide desde un medio material 1 sobre

un medio 2 de constantes: ε1 = 9ε2 = 9ε0, µ2 = µ1 = µ0. Hallela amplitud del campo electrico reflejado en funcion de E0.

La continuidad de las componentes tangenciales de ~E, ~H nos per-mite escribir

Ei + Er = Et

Ei − Er = η1/η2Et⇒ Er =

η2 − η1

η2 + η1Ei =

12

Eiz

Ei(z, t)

1 2

Er(z, t)

x

Et(z, t)

7. La superficie esferica r = a se encuentra uniformemente cargada con una densidad σ. Dicha superficie, con su carga, gira entorno a su centro con una velocidad de rotacion ~ω = Ω~uz, lo que determina un campo de velocidades ~v = ~ω × ~r. Halle elmomento magnetico ~m definido.

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La densidad de corriente superficial queda ~γ = σΩ~uz × r~ur = σΩa sen θ~uϕ, con lo que el momento magnetico debe tener ladireccion de ~uz y valor

mz =12σΩa2

∫ 2π

0

∫ π

0a2 sen3 θd θ dϕ =

4πσΩa4

3

8. Un conductor por el que circula una corriente electrica de intensidad I se devana en torno a unnucleo cilındrico infinito, de eje z y radio R, segun una helice circular de paso p R. Determine lainduccion magnetica en los puntos del interior del cilindro.Al aplicar Ampere, sabiendo que fuera del solenoide el campo es nulo, tenemos

~H = H~uz , H = I/p⇒ ~B = µ0Ip~uz

9. Un material magnetico presenta una magnetizacion M = K uϕ en una corona cilındrica 0 ≤ z ≤ a, a ≤ ρ ≤ 2a. Halle la densidadde corriente volumınica de magnetizacion.

La densidad solicitada es:

Jm = ∇ ×M =Kρ

∣∣∣∣∣∣∣∣uρ ρuϕ uz

∂ρ ∂ϕ ∂z

0 ρ 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ =Kρ

uz

10. Un sistema electromecanico esta constituido por dos circuitos electricos: C1, fijo y recorrido por unacorriente de intensidad I1 y atravesado por un flujo Φ1, y C2, que puede girar un angulo α en torno aun eje fijo z, es atravesado por un flujo Φ2 y es recorrido por una corriente intensidad I2. Si la energıanecesaria para establecer el conjunto de corrientes del sistema es

Um =12

(AΦ2

1 − 2BΦ1Φ2 cosα + CΦ22

)Halle el momento axico en z de las fuerzas que el campo ejerce sobre el circuito movil en funcionde los flujos Φ1,Φ2, de las constantes conocidas A, B,C y de α.A partir del balance

−d Um = I1

−d Φ1︷︸︸︷E1d t +I2

−d Φ2︷︸︸︷E2d t +Nzαd t

, se tiene: I1 =

∂Um

∂Φ1= AΦ1 − BΦ2 cosα

I2 =∂Um

∂Φ2= CΦ2 − BΦ1 cosα

Nz = −∂Um

∂α= −BΦ1Φ2 senα

b

b

b

b

by

z

x

α

α

C2

C1