proyecto: resoluciÓn de problemas
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CEIP SAN IGNACIO DE LOYOLA PROYECTO: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
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PROYECTO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
INTRODUCCIÓN
El área de Matemáticas supone un pilar básico de la enseñanza en todos los niveles educativos. Es
la única asignatura que se estudia en todo el mundo ya que, constituyen un idioma “poderoso,
conciso y sin ambigüedades” (Echenique, 2007). Idioma que se pretende sea aprendido por nuestro
alumnado, para conseguir que lo “hablen” por medio de la observación de cómo lo hacen otros, en
este caso, los docentes, familia y compañeros/as, y por su aplicación a situaciones muy sencillas,
concretas y funcionales, a través de práctica y ejercicios.
Las matemáticas deben presentarse al alumnado como un conjunto organizado de conocimientos y
procedimientos que van evolucionando a lo largo del tiempo, reforzando la utilización paralela del
razonamiento empírico inductivo, del razonamiento deductivo y de la abstracción.
JUSTIFICACIÓN TEÓRICO- LEGAL
En nuestro centro, a partir del análisis de los resultados de las distintas pruebas diagnósticas
realizadas por la Consejería de Educación y Ciencia, se han observado dificultades en el dominio
del alumnado en algunos elementos de competencia directamente relacionados con las siguientes
dimensiones del área de Matemáticas:
- Organizar, comprender e interpretar información.
- Expresarse matemáticamente.
- Plantear y resolver problemas.
Para mejorar estos aspectos nos proponemos trabajar semanalmente, independientemente de la
programación del libro, del tema o del nivel, una serie de actividades en los siguientes aspectos:
Realización de dictados numéricos: números naturales, romanos, fraccionarios, decimales,
operaciones, descomposiciones que afianzan la lectura y escritura de números, los términos de
las operaciones estudiadas y la descomposición en órdenes de unidades.
Cálculo mental: se trabajará a diario ayudando a la construcción e inducción de estrategias y
destrezas matemáticas y a interiorizar las propiedades de las operaciones.
Batería de operaciones: actividades de repaso que ayudan a memorizar los algoritmos y
recordar las operaciones en horizontal.
Resolución de problemas: estos procesos constituyen uno de los ejes principales de la
actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje matemático.
Indudablemente, este trabajo requiere unos conocimientos mínimos y sobre todo, se necesitan
situaciones que inviten a comunicarse por medio de ese idioma matemático, a esforzarse en lograrlo
y, cómo no, técnicas efectivas para adquirirlo. Una de las técnicas fundamentales de comunicación
en esta área, serán los métodos de Resolución de Problemas.
Desde nuestro centro, consideramos parte esencial en este área de matemáticas, la resolución de
problemas, ya que es cuando el alumnado experimenta la eficacia, el valor y la utilidad de las
matemáticas en el mundo que le rodea. Según recoge Santaló (1995), “enseñar matemáticas debe
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ser equivalente a enseñar a resolver problemas…y pensar en la solución de los mismos”
Pero… ¿qué entendemos cómo un problema? Podemos decir que un “problema” es una cuestión
que para resolverla requiere poner en juego diversos conocimientos, matemáticos o no, y buscar
relaciones entre ellos. Así pues, una persona que sabe resolver problemas es quien cuestiona,
encuentra, investiga e indaga soluciones a esos problemas; es quien demuestra la capacidad para
buscar una solución; es quien comprende que puede haber varias maneras de encontrar la respuesta
y es quien emplea las matemáticas de forma efectiva a las situaciones de la vida cotidiana.
Para ello el alumno/a, deberá utilizar adecuadamente el lenguaje matemático, los números, las tablas
o símbolos y explicar el razonamiento utilizado para resolver un problema de una manera u otra.
Por tanto, será capaz de pensar lógicamente, de distinguir las similitudes y diferencias en objetos o
problemas, de elegir opciones y de razonar sobre las relaciones entre las cosas.
Esta reflexión es la justificación de este proyecto, asumida tras la revisión y actualización de
nuestro Proyecto Educativo. Reflexión en la que creemos siendo la realidad del alumnado, la fuente
de motivación para el aprendizaje de las matemáticas, de forma que, a través de la resolución de
problemas, nuestros alumnos y alumnas encontrarán una vía de conocimiento y de intervención en
su entorno más inmediato, con el fin de que su aprendizaje le resulte útil para resolver situaciones
de la vida diaria. Logrado este objetivo, vamos a procurar que las matemáticas dejen de ser un área
inconexa, complicada y aburrida, de forma que la verán como algo útil, que despierte la curiosidad
y el interés, llegando a ser, incluso divertidas.
Todo ello queda amparado según la siguiente justificación legal:
INSTRUCCIÓN 13/2018, de 7 de septiembre, de la Dirección General de Ordenación
Educativa, por la que se establece el procedimiento para la configuración y el desarrollo de
talleres didácticos para la resolución de problemas matemáticos y de lectura comprensiva en
centros docentes de Andalucía en los que se imparte Educación Primaria.
INSTRUCCIONES de 8 de marzo de 2017, de la Dirección General de Participación y
Equidad, por las que se actualiza el protocolo de detección, identificación del alumnado con
necesidades específicas de apoyo educativo y organización de la respuesta educativa.
ORDEN de 4 de noviembre de 2015, por la que se establece la ordenación de la evaluación
del proceso de aprendizaje del alumnado de Educación Primaria en la Comunidad Autónoma
de Andalucía.
ORDEN de 17 de marzo de 2015, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la
Educación Primaria en Andalucía.
DECRETO 97/2015, de 3 de marzo, por el que se establece la ordenación y el currículo de la
Educación Primaria en la Comunidad Autónoma de Andalucía.
REAL DECRETO 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el currículo básico de
la Educación Primaria.
DECRETO 428/2008, de 29 de julio, por el que se establece la ordenación y las enseñanzas
correspondientes a la Educación Infantil en Andalucía. (BOJA 19-8-2008)
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ORDEN de 5-8-2008, por la que se desarrolla el Currículo correspondiente a la Educación
Infantil en Andalucía. (BOJA 26-8-2008)
REAL DECRETO 1630/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas
mínimas del segundo ciclo de Educación infantil. (BOE 4-1-2007)
A partir de esta introducción, justificación y base legal, establecemos los objetivos de este trabajo.
OBJETIVOS
Analizados los anteriores conceptos y partiendo de las necesidades detectadas en nuestro alumnado
a través de las distintas evaluaciones y seguimiento, se establecen los siguientes objetivos para este
programa:
Objetivo general:
Desarrollar y mejorar en nuestro alumnado la capacidad de resolver problemas matemáticos.
Objetivos específicos:
Trabajar de forma dirigida, progresiva y sistemática los prerrequisitos y estrategias necesarias
para afrontar competentemente la resolución de problemas matemáticos: lectura comprensiva,
atención, discriminación de datos, etc.
Mejorar la capacidad de razonamiento matemático en el alumnado.
Entrenar de forma sistemática las pautas para la resolución de un problema matemático:
- Aprender a entender el enunciado
- Identificar los datos del enunciado
- Identificar la pregunta
- Comprobar los datos necesarios para resolver un problema
- Elegir las operaciones adecuadas
- Realizar los cálculos
- Comprobar el resultado
Manipular distintos tipos de problemas (de cálculo mental, de lógica, encadenados, etc.) que
permitan reforzar la utilización de las operaciones básicas.
Para llevar a cabo estos objetivos, es necesario seguir una línea común de trabajo que queda
recogida en el siguiente apartado de metodología.
METODOLOGÍA
Trabajaremos en este proyecto bajo una metodología lúdica, interactiva, inclusiva, innovadora,
operativa, estableciendo tiempos en función de las posibilidades individuales; con unos recursos
materiales y personales, contando con la colaboración y participación del equipo docente, marcando
la forma de abordarlos, los pasos a seguir y la manera de presentarlos,…una línea común a seguir
para todos los ciclos.
Los principios metodológicos serán:
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Individualización, adaptado en actividades y actuaciones a las necesidades individuales,
destacando posibilidades y capacidades que fomenten la consecución de, en este caso, la
competencia matemática. La resolución de problemas debe ajustarse a un procedimiento
didáctico claro, riguroso y adaptado al tipo de problema propuesto, a la edad de los niños/as,
al curso en el que están y a los conocimientos previos y capacidades operatorias de la clase.
Interacción, propiciando relaciones empáticas que favorezcan la competencia social: docente-
alumnado, alumno/a-alumno/a, docente-familia y alumno/a-medio.
Participación e intervención, siendo el alumnado verdadero artífice de su propio aprendizaje,
fomentando la adquisición de la competencia de aprender a aprender y sentido de la iniciativa
personal, a través de la resolución de problemas.
Concreción, simpleza y redundancia, priorizando contenidos nucleares estructurados en
pequeñas tareas y través de diferentes canales sensoriales, favoreciendo la asimilación y el
procesamiento de la nueva información, ofreciendo explicaciones pautadas, progresivas y
actividades de dificultad graduada.
Juego lúdico, con la utilización del juego como recurso educativo.
Del entorno, trabajando con, en y para el entorno donde el alumnado se desenvuelve, contando,
en la medida de lo posible, con la intervención de la familia, propiciando la competencia
matemática en actividades de la vida diaria, como la compra y el uso del dinero.
Flexibilidad en el uso de tiempo y espacio, sin prisas pero sin pausas, desarrollado en cualquier
espacio del centro y del entorno.
Aprendizaje cooperativo trabajando en el aula en grupos reducidos, grupos interactivos,
tutorías entre iguales y de forma individual.
Trabajo basado en las Tres R: Rutina, Repetición y Regularización en las explicaciones,
actividades, ejercicios y tareas de clase, propiciando autonomía personal e iniciativa personal.
Como puede verse, la propuesta de centrar el aprendizaje matemático en torno a la resolución de
problemas será operativa y lúdica, siendo necesario trabajar desde la etapa de Infantil a Primaria.
Educación Infantil
En esta etapa se presentan los problemas de forma oral para realizar cálculo mental, y los
alumnos/as, en un principio, utilizan sus propias estrategias para resolverlo.
Se propone un problema, el niño/a intenta encontrar por sí mismo la solución. En caso de no
encontrarla, sus compañeros/as, explican distintas estrategias para ello, y por último, si continúan
sin obtener el resultado, será el docente el que expondrá el método de resolución de forma oral y
manipulativa.
En las primeras etapas, los niños y niñas, resuelven a menudo problemas sobre situaciones aditivas
y sustractivas de una forma natural, sin necesidad de introducir el algoritmo correspondiente,
centrándose únicamente en pensar en la situación planteada, las cuales suelen partir de sus rutinas,
centros de interés y temáticas que surgen o se están trabajando en el aula.
Dentro de la etapa de Primaria se abarcarán las siguientes consideraciones:
- Primer ciclo, el objetivo principal será la consolidación conceptual y cognitiva de las
capacidades matemáticas básicas a través del aprendizaje del número. Los problemas se irán
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insertando de forma progresiva; en el 2º nivel, con el estudio numérico hasta el millar, esta
inserción ya será relevante.
- Segundo y tercer ciclo, el objetivo de llegar a la resolución de problemas, será el eje
vertebrador del aprendizaje matemático.
Sabiendo esto, será necesario definir los criterios a seguir a la hora de confeccionar los problemas,
que serán:
- Secuenciados en complejidad creciente.
- Exposición de problemas correspondientes a una misma estructura u operación matemática en
todas las variedades posibles de presentación del enunciado.
- Utilización de un vocabulario básico contextualizado.
- Prácticos, funcionales y representando la realidad en la que se mueve el alumnado.
- En la fase inicial del aprendizaje, Infantil y primer ciclo de Primaria, no solo debe permitirse
el conteo mediatizado con objetos, dedos,...etc. sino que se debe insistir en esta práctica
manipulativa, entendiendo este paso como ante sala de la interiorización del cálculo mental.
- El cálculo mental debe ser un campo a entrenar sistemáticamente y de forma planificada y
rigurosa. Se comenzará en el primer ciclo de Primaria (conviviría inicialmente con el conteo
analógico de objetos para ir sustituyéndolo progresivamente) y debe seguir en los otros ciclos
de Primaria.
- Atender, sobre todo, en las fases iniciales, Infantil y primer ciclo de Primaria, al desarrollo
lógico-conceptual matemático. Ya que, entre el alumnado, podemos encontrar desfase
importante entre los aspectos mecánicos y los lógico-conceptuales pudiendo saber contar, leer
y escribir hasta la centena o más, pero sin embargo, no dominan conceptos básicos como
anterior, posterior, mayor, menor, igual,...etc.
- No evaluar de forma preferente los niveles matemáticos de un alumno/a en base a ese dominio
mecánico en detrimento de los factores de razonamiento lógico, tendiendo a un desarrollo más
armónico entre estos dos aspectos.
En este apartado de metodología, recogemos otros aspectos que nos parecen fundamentales en el
desarrollo del proyecto de resolución de problemas, como: recomendaciones previas, pautas a
seguir y las etapas.
RECOMENDACIONES PREVIAS
Debemos resaltar que cualquier alumno/a desarrollará mayor seguridad en su capacidad matemática
si comprende los siguientes puntos importantes:
- Los problemas pueden ser resueltos de varias maneras: aunque en la mayoría haya sólo una
respuesta correcta, puede haber varias maneras de resolverlo.
- A veces las respuestas incorrectas también son útiles: analizar las respuestas incorrectas puede
ayudar a comprender los conceptos fundamentales del problema y aplicar sus destrezas de
razonamiento en busca de la respuesta correcta.
- Pedir al alumnado que explique cómo resolvió el problema: la explicación le ayudará a saber
si necesita ayuda en las destrezas de cálculo (como sumar, restas, multiplicar o dividir), o en
otros conceptos necesarios para resolver el problema.
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- ¡Arriesgarse!: deben aprender a tomar riesgos y valorar el intento de resolver un problema sin
ayuda. El alumnado debe explorar distintos métodos para resolver un problema, fomentando
que, mientras trabajan, hablen sobre lo que están pensando, así se reforzarán las destrezas
orales, manipulativas y matemáticas.
- Hacer matemáticas “en la cabeza”: porque las matemáticas no se hacen sólo con papel y lápiz.
Hacer problemas matemáticos “en la cabeza” (matemáticas mentales) es una destreza muy
útil que les servirá para hacer cálculos rápidos en las tiendas, en el kiosco, restaurantes,
papelerías, jugueterías…
- Usar calculadora para resolver problemas matemáticos en el tercer ciclo: está bien usar
calculadoras de vez en cuando, ya que, hoy día, se utilizan frecuentemente y saberlas usar
bien es importante. Tenemos que hacer entender al alumnado que para usar calculadoras
correcta y eficientemente, necesitarán fundamentos en operaciones matemáticas, de otra
manera: ¿cómo sabrá si la respuesta de la calculadora es razonable?
- Tu actitud es importante: cuando nos enfrentamos a un problema matemático es muy
importante la actitud que tenemos ante él. Debemos trabajar con nuestro alumnado ¿tienes o
no tienes ganas de intentarlo? ¿tus condiciones físicas (cansancio, sueño, etc.) son las
adecuadas? ¿tienes curiosidad? ¿te gustan los retos?...
- Es fundamental que nuestro alumnado tenga confianza en sus capacidades: no siempre es
necesario saber mucho para resolver bien un problema, pero sí necesitan pensar
correctamente, concentrarse y poner atención. Debemos enseñar a actuar sin miedo, con
confianza, con tranquilidad, sabiendo que está permitido equivocarse.
- Enseñarles a ser pacientes y constantes: no podemos permitir que abandonen a la menor
dificultad. No deben darse por vencidos; hay que ofrecerles ayuda para que tengan distintos
enfoques del problema.
- Trabajar e inculcar la necesidad de concentrarse en lo que hacen: la resolución de problemas
es una actividad mental compleja.
- Buscar el éxito a largo plazo: debemos trabajar la resolución de problemas a modo de juego,
ya que es un proceso lento, en el que los frutos tardan llegar, pero cuando lo consigues y
progresas, sientes una gran satisfacción personal.
Una vez analizadas y desarrolladas estas recomendaciones, vamos a marcar una serie de pautas que
facilitarán la resolución de problemas.
PAUTAS A SEGUIR EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para resolver problemas no tenemos, ni existen fórmulas mágicas; ni procedimientos o métodos
que, aplicándolos firmemente, lleven esencialmente a la resolución del problema, tenga o no
solución.
También hemos de tener claro, que no todas las personas tienen las mismas capacidades ante este
reto. El conocimiento y la puesta en marcha de los procesos matemáticos necesarios para llevar a
cabo la resolución de problemas, requieren planificación, entrenamiento y práctica. Es por este
motivo, por lo que resaltamos la formulación de pautas esenciales para la resolución de un
problema, que vamos a incorporar a nuestro plan de actuación en este proyecto en nuestro centro
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educativo.
Así pues, recogemos que un esquema a seguir en la resolución de problemas podría ser el
siguiente:
1. CONVERTIR LOS ENUNCIADOS EN SITUACIONES REALES
Permitiendo que los niños/as vivencien el problema a través de juegos y actividades como: contarlo
con sus propias palabras, simular un pequeño mercado o tienda, taller de manejo del dinero, taller
manipulativo de cantidades de objetos, de figuras, de colores, tapones…
2. DESCRIPCIÓN VERBAL DE LAS ACCIONES
A la vez que vivencian y representan el problema conviene que vayan verbalizando y describiendo
cada una de las acciones: vendo, compro, tengo más, tengo menos, cuánto falta, cuánto sobra…
3. DESCRIPCIÓN VERBAL DEL PROBLEMA
Deben verbalizar, en lenguaje y estilo propio, el problema, tanto los enunciados como la cuestión a
resolver; no se trata de memorizar o recitar el enunciado, sino que lo comprendan y lo digan con su
propio lenguaje. Será una forma para que vayan adquiriendo la habilidad de releer con detenimiento
lo que dice y pide el problema y de reflexionar sobre el enunciado. Un problema generalizado es
que el alumnado no está acostumbrado a leer-reflexionar, sino que, rápidamente pasan a plantear
las operaciones correspondientes, haciéndolo muchas veces por ensayo y error y esperando la pista
que aporte el maestro/a.
4. REPRESENTACIÓN CON ELEMENTOS MANIPULATIVOS
En esta fase ya procede que, mediante objetos manipulativos, vayan representando el problema,
cogiendo tantas fichas como caramelos dice el problema, apartar los que se comen y apartar y contar
los que quedan, etc. Esta fase es propicia para Infantil y primer nivel del primer ciclo de Primaria.
5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA.
Realizando las mismas operaciones que en la fase anterior pero, en este caso dibujándolo en gráficos
o haciendo esquemas.
6. EXPRESIÓN SIMBÓLICA.
Deben representar las expresiones matemáticas correspondientes. No sólo será plantear las
operaciones sino que será muy importante acostumbrarlos a que completen los resultados con las
consiguientes frases que aclaren cada resultado utilizando el verbo clave de la pregunta. Por
ejemplo: ¿Con cuántos caramelos se quedó Juan? Solución: Juan se quedó con 8 caramelos.
Siguiendo este esquema, el alumnado de todos los ciclos podrá servirse de estas cuatro etapas,
adaptándolas a las capacidades individuales así como a la complejidad de cada problema.
CUATRO ETAPAS ESENCIALES PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA
1º. COMPRENDER EL PROBLEMA
Para comprender el problema tendrán que leer pausadamente el enunciado. Leerlo varias veces,
hasta estar seguro de entenderlo y de que nos hemos fijado en todos los datos importantes. Hay que
tener claro en qué consiste, qué se conoce, qué se pide, cuáles son las condiciones… pero ¿cuál es
el proceso que hay que seguir en esta fase?:
- Leer con atención y despacio el enunciado: ¿cuáles son los datos?, lo identificamos en el
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enunciado y lo subrayamos de color azul. Anotamos, en el espacio determinado para ello, todos
los datos del problema.
- ¿Qué nos preguntan? ¿Qué buscamos? Identificamos la pregunta y la subrayamos de color rojo.
- Buscamos relaciones entre los datos y las incógnitas y hacemos un esquema o dibujo de la
situación.
2º. TRAZAR UN PLAN PARA RESOLVERLO
Cuando creemos haber entendido bien el problema y tener toda la información necesaria, es el
momento de elegir una estrategia para resolverlo. Existe una gran variedad de estrategias que
conviene conocer y practicar para mejorar la capacidad de resolver problemas. El proceso a seguir
en esta fase será el siguiente:
- ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos?
- ¿Se puede plantear el problema de otra forma?
- Imaginar un problema parecido pero más sencillo.
- Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de
partida?
- ¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan?
3º. PONER EN PRÁCTICA EL PLAN
Parece que ya tenemos una estrategia adecuada, ahora es necesario trabajarla con decisión y no
abandonarla a la primera dificultad. Si vemos que no nos acercamos a la solución y que las cosas
se complican, es preciso volver al paso anterior y probar con una estrategia diferente. Una vez
resuelto el problema, revisaremos el resultado y nos aseguraremos de que se ha llegado a la solución
correcta, porque, muchas veces creemos haber resuelto un problema y luego no es así. ¿Cómo lo
hacemos? el proceso a seguir en esta fase será el siguiente:
- Comprobar cada uno de los pasos. ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto?
- Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto? Acompañar cada operación
matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace (matemáticas en la
cabeza).
- Cada vez que se realiza una operación de cálculo, es necesario anotar el resultado.
- Cuando encontramos alguna dificultad y nos bloqueamos, debemos volver al principio,
reordenar las ideas y probar de nuevo.
4º. COMPROBAR LOS RESULTADOS
Supone la comparación del resultado obtenido con la realidad que queríamos resolver, por ello es
la más importante en nuestra vida diaria. Por ello, es necesario examinar el camino que hemos
seguido. ¿Cómo se ha llegado a la solución? ¿O, por qué no se ha llegado a la solución? ¿Iba bien
encaminado desde el principio? ¿Cómo llevaremos a cabo esta fase?:
Releer el enunciado y comprobar que has averiguado lo que se pedía.
Fijarnos en la solución y pensar si es o no lógica.
¿Podemos comprobar la solución?
¿Hay otro modo de resolver el problema?
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¿Puede haber otra solución?
Acompañar la solución de la explicación que muestre lo que se ha hallado.
Utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas.
Revisar la solución desde el principio tratando de entender que funciona y por qué funciona.
Mirar a ver si se puede hacer de un modo más simple.
TIPOS DE PROBLEMAS
PROBLEMAS
ARITMÉTICOS
DE PRIMER NIVEL
Una sola operación
para su resolución
Aditivos- Sustractivos
De cambio
De combinación
De comparación
De igualación
1.2. De
Multiplicación-
división
Isomorfismo de
medidas, de
correspondencia o
razón.
De comparación
multiplicativa o factor
multiplicativo.
De producto
cartesiano
DE SEGUNDO
NIVEL o problemas
combinados
Por la estructura del
enunciado.
Combinados
fraccionados.
Combinados
compactos.
Por el tipo de
operaciones a realizar.
Combinados puros.
Combinados mixtos.
Secuencia temporal y
orden de datos.
Combinados directos.
Combinados
indirectos.
DE TERCER NIVEL Son aquellos en los que los datos del enunciado
vienen dados en forma de números decimales,
fraccionarios o porcentuales.
EJEMPLOS- ACTIVIDADES PREVIAS
PROBLEMAS DEL PRIMER NIVEL
ADITIVOS-SUSTRACTIVOS: PROBLEMAS DE CAMBIO (adición y sustracción)
Se parte de una cantidad inicial que es modificada por otra para dar lugar al resultado. En todos los
problemas la cantidad de lápices de Carlos es modificada de forma incremental o decremental.
1. Carlos tenía cuatro lápices. Irene le dio tres lápices más. ¿Cuántos lápices tiene ahora Carlos?
(a+b=? Implica aumento)
2. Carlos tenía tres lápices. Irene le dio unos cuantos más. Si ahora Carlos tiene 7 lápices.
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¿Cuántos lápices le dio Irene? (a+?=c. Implica aumento)
3. Carlos tenía unos cuantos lápices. Irene le dio tres lápices más. Ahora Carlos tiene siete lápices.
¿Cuántos lápices tenía al principio? (¿+b=c . Implica aumento)
4. Carlos tiene siete lápices y da tres a Irene. ¿Cuántos lápices le quedan a Carlos? (a-b=? Implica
decremento)
5. Carlos tenía siete lápices y da algunos a Irene. Ahora le quedan tres lápices. ¿Cuántos lápices
dio a Irene? (a-?=c. Implica decremento)
6. Carlos tenía una caja de lápices. Dio tres lápices a Irene. Ahora le quedan cuatro lápices.
¿Cuántos lápices había en la caja? (a-b=? Implica decremento)
PROBLEMAS DE COMBINACIÓN (sólo hay aditivos)
Partimos de dos cantidades que se unen para obtener el resultado. Es el típico caso en el que las
partes se unen para formar el todo y el todo se puede descomponer en sus partes)
1. Teresa tiene cuatro caramelos y Ignacio tiene cinco caramelos. ¿Cuántos caramelos tienen entre
los dos? (a+b=? Implica aumento)
2. En un prado hay seis vacas pastando, cuatro son negras y el resto blancas. ¿Cuántas vacas
blancas hay? (a+?=c Implica aumento)
3. En clase hay siete escolares esperando al profesor. Algunos son chicos y tres son chicas.
¿Cuántos chicos hay? (¿+b=c Implica aumento)
PROBLEMAS DE COMPARACIÓN (En estos problemas hay una comparación, normalmente
con la fórmula “más que”, “menos que”, entre las cantidades que aparecen en el problema, lo que
implica un aumento o disminución. La incógnita puede situarse bien en la diferencia entre las
cantidades comparadas, bien en el conjunto referente o en el conjunto comparación)
Con aumento:
1. Fátima tiene cinco lápices y Gonzalo tiene tres lápices. ¿Cuántos lápices tiene Fátima más que
Gonzalo? (Diferencia desconocida)
2. Fátima tiene seis lápices. Tiene dos más que Gonzalo. ¿Cuántos lápices tiene Gonzalo?
(Referente desconocido)
3. Fátima tiene cuatro lápices. Gonzalo tiene tres lápices más que Fátima. ¿Cuántos lápices tiene
Gonzalo? (Comparación desconocida)
Con disminución:
1. Fátima tiene tres globos. Gonzalo tiene siete globos. ¿Cuántos globos tiene Fátima menos que
Gonzalo? (Diferencia desconocida)
2. Fátima tiene cinco globos. Tiene dos menos que Gonzalo. ¿Cuántos globos tiene Gonzalo?
(Referente desconocido)
3. Fátima tiene ocho globos. Gonzalo tiene tres menos que Fátima. ¿Cuántos globos tiene
Gonzalo? (Comparación desconocida)
PROBLEMAS DE IGUALACIÓN (En estos problemas se pretende igualar las dos cantidades
propuestas modificando una de ellas, bien produciendo un aumento o una disminución de la misma)
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Aumento de una de las cantidades para la igualación:
1. Luis tiene siete cromos y Ángel tiene cuatro cromos. ¿Cuántos cromos necesita Ángel para
tener los mismos que Luis? (Igualación desconocida)
2. Luis tiene cuatro cromos. Si le dan tres cromos más tendrá los mismos que Ángel. ¿Cuántos
cromos tiene Ángel? (Igualar conjunto conocido)
3. Ángel tiene ocho cromos. Si a Luis le diesen tres cromos más tendría los mismos que Ángel.
¿Cuántos cromos tiene Luis? (Igualar conjunto desconocido)
Disminución de una de las cantidades para la igualación:
1. Ángel tiene siete cromos y Luis tiene cuatro cromos. ¿Cuántos cromos debería perder Ángel
para tener los mismos que Luis? (Igualación desconocida)
2. Ángel tiene siete cromos. Si perdiese tres cromos tendría los mismos que Luis. ¿Cuántos
cromos tiene Luis? (Igualar conjunto conocido)
3. Ángel tiene cuatro cromos. Si Luis perdiese cinco cromos tendría los mismos que Ángel.
¿Cuántos cromos tiene Luis? (Igualar conjunto desconocido)
Este tipo de problemas se pueden escalonar de menor a mayor dificultad para el alumnado. Ésta
escala nos sirve para decidir el orden en que debemos trabajarlos en el aula.
Para la adición la gradación es la siguiente (de menor a mayor dificultad):
1.- Combinación con conjunto total desconocido (1)
2.- Cambio con resultado desconocido (1)
3.- Igualación en el conjunto desconocido (3)
4.- Cambio con conjunto de cambio desconocido (2)
5.- Igualación en el conjunto conocido (2)
6.- Combinación con parte inicial desconocida (3)
7.- Cambio con comienzo desconocido (3)
8.- Comparación con referente desconocido (2)
9.- Comparación con diferencia desconocida (1)
10.- Igualación con cantidad comparada desconocida (1)
11.- Combinación con parte desconocida en el segundo sumando (2)
12.- Comparación con conjunto de comparación desconocido (3)
El número entre paréntesis del final indica el nº de problema dentro de cada categoría.
Para problemas de sustracción, según Bermejo, la dificultad tiene una escala similar a la de los
problemas aditivos.
PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN
ISOMORFISMO DE MEDIDAS, DE CORRESPONDENCIA O RAZÓN
Son los más simples y los que nos sirven para introducir la multiplicación y división. En estos
problemas se reitera una misma cantidad (multiplicando) un número de veces (multiplicador) y
como resultado obtenemos un total de esa cantidad (producto). Según desconozcamos la cantidad
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por grupo, el número de grupos o el total podemos hacer la siguiente clasificación dentro de esta
modalidad:
PROBLEMAS DE GRUPOS IGUALES: desconocemos el total, desconocemos la cantidad por
grupo, desconocemos en número de grupos. Se resuelve con una multiplicación Se resuelve
con una división (partitiva) Se resuelve con una división. Por ejemplo:
- Ana tiene 4 bolsitas iguales. En cada una hay cinco cromos. ¿Cuántos cromos tiene Ana?
- Ana tiene 20 cromos metidos en cuatro bolsitas que contienen cada una la misma cantidad.
¿Cuántos cromos contiene cada bolsita?
- Ana tiene 20 cromos repartidos en bolsitas. En cada una de ellas ha puesto cinco cromos.
¿En cuántas bolsitas tiene Ana sus cromos?
La división la introduciremos con situaciones en las que se desconozca la cantidad por grupo
(división partitiva), que es la idea que corresponde a los repartos equitativos. En Segundo Ciclo de
Educación Primaria introduciremos las situaciones en las que se desconozca el número de grupos.
PROBLEMAS DE TASAS: el término tasa hace referencia a la relación entre dos medidas
como kilómetros por hora, Euros por litro, gramos por litro, centímetros por metro, etc. Entre
estas medidas se establece una relación de varios a uno, como cuando se dice “este coche
circula a 60 Km por hora”. Normalmente usamos la palabra “por” o “cada” para indicar esa
relación. En los problemas de tasas intervienen tres cantidades: un número de objetos, el total
y la tasa que les afecta. Por ejemplo:
- “El coche de Luis circula a 60 Km/h. Si está andando 3 horas. ¿Cuántos Km ha recorrido?”
- “En un supermercado venden la leche a 85 céntimos por litro. ¿Cuánto costarán 5 litros de
leche?”
- “Hemos comprado 10 barras de pan por las que hemos pagado 6,50 €. ¿A cuánto hemos
pagado la barra de pan?”
- “Cada litro de gasoil vale 0,989 euros. ¿Cuántos litros podemos echar al depósito con 20
euros?”
- Hay que observar que la dificultad del problema también se ve influida por el uso de
cantidades expresadas con números naturales o expresadas con números decimales.
Según desconozcamos la tasa, el número de grupos o el total podemos hacer la siguiente
clasificación dentro de esta modalidad:
Desconocemos el Total
Desconocemos la Tasa
Desconocemos el número de grupos
Se resuelve con una multiplicación
Se resuelve con una división (partitiva)
Se resuelve con una división (cuotitiva)
Por ejemplo:
El coche de Luis circula a 60 Km/h. Si está andando 3 horas. ¿Cuántos Km ha recorrido?
El coche de Luis ha recorrido 180 km en tres horas. ¿A qué velocidad ha circulado en Km por
hora?
CEIP SAN IGNACIO DE LOYOLA PROYECTO: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
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El coche de Luis ha estado circulando a 60 km por hora y en total ha recorrido 180 km. ¿Cuántas
horas ha estado andando?
Los problemas de Tasas se introducirán en el Segundo Ciclo de Educación Primaria, siempre
ligados a situaciones del entorno del alumnado y adecuándolos a su dominio de la numeración, del
cálculo mental y los algoritmos. En Tercer Ciclo seguiremos practicando este tipo de problemas
usando cantidades continuas para darle sentido al uso de los números decimales.
PROBLEMAS DE SITUACIONES COMPARATIVAS: intervienen dos cantidades del mismo
tipo (referente y comparado) que se relacionan por un factor de comparación. Si la cantidad
que hace de referente es más pequeña que la comparado, entonces estamos ante una
comparación de aumento, que vendrá expresada normalmente con la expresión “n veces más”
o “n veces mayor”. Por el contrario, si el referente es mayor que la cantidad que hace de
comparado, estamos ante una situación de disminución que vendrá expresada con la fórmula
“n veces menos” o “n veces menor”. Estos problemas, admiten fórmulas distintas como: El
doble (dos veces más), el triple (tres veces más), la mitad (dos veces menos), la tercera parte
(tres veces menos)… De esta forma, podemos clasificar las situaciones de este tipo en
situaciones de aumento o disminución. Además, distinguiremos los problemas según los datos
conocidos y desconocidos.
DE COMPARACIÓN MULTIPLICATIVA O FACTOR MULTIPLICATIVO
PROBLEMAS DE COMPARACIÓN
Desconocemos el Comparado
Desconocemos el factor de comparación
Desconocemos el Referente
Situaciones que implican Aumento
Se resuelve con una multiplicación
Se resuelve con una división cuotitiva (hay que averiguar el número de grupos)
Se resuelve con una división partitiva (hay que averiguar los elementos que hay en un grupo)
Por ejemplo:
Ana tiene 5 Euros. Luis tiene tres veces más. ¿Cuántos Euros tiene Luis?
Ana tiene 5 €. Luis tiene 15 euros. ¿Cuántas veces es mayor la cantidad de Euros de Luis que la de
Ana?
Luis tiene 15 €. Tiene tres veces más que Ana. ¿Cuántos euros tiene Ana?
Situaciones que implican Disminución
Se resuelve con una división partitiva
Se resuelve con una división cuotitiva
Se resuelve con una multiplicación
Por ejemplo:
Luis tiene 15 €. Ana tiene tres veces menos euros que Luis (la tercera parte). ¿Cuántos euros tiene
Ana?
Luis tiene 15 € y Ana tiene 5 €. ¿Cuántas veces menor es la cantidad de Ana que la de Luis?
Ana tiene 5 €. Tiene 3 veces menos que Luis. ¿Cuántos € tiene Luis?
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Los problemas de comparación presentan más dificultades para el alumnado que los de grupos
iguales y los de tasas, ya que hay que tener un mayor dominio de las situaciones de grupos iguales
para poder abordar correctamente las comparaciones. Además hay que dominar el vocabulario
implicado en estas situaciones (doble, mayor, menor, tercio…), aunque, no todas las situaciones
expuestas en este tipo de problemas implican el mismo grado de dificultad. Aquellas en las que hay
que averiguar el referente son, en general, las más complicadas y también presentan más dificultad
las situaciones que implican disminución que las de aumento, puesto que el alumnado siempre
tiende a establecer comparaciones en forma de aumento y no como disminución.
La introducción de este tipo de problemas se hará cuando el nivel del alumnado lo permita por haber
conseguido un dominio suficiente de las situaciones de grupos iguales y tasas.
PROBLEMAS EN SITUACIONES SIMÉTRICAS PROBLEMAS DE PRODUCTO DE
MEDIDAS
Nos encontramos con situaciones en las que el producto de medidas está definido (por ejemplo en
el cálculo de áreas, en el cual, el producto de un largo por un ancho en un rectángulo nos proporciona
otra medida bidimensional que es el área). Tenemos que tener claro que, en general, el producto de
medidas no está definido (por ejemplo el producto de gramos por gramos no nos proporciona otra
medida bidimensional).
Desconocemos el área
Desconocemos alguna medida unidimensional (factor)
Se resuelve con una multiplicación
Se resuelve con una división
Por ejemplo:
El patio de mi casa es rectangular. Tiene 5 metros de ancho por 7 m de largo. ¿Cuál es su área?
El patio rectangular de mi casa tiene 35 m2 de área. Si tiene 5 metros de ancho. ¿Cuántos m tiene
de alto?
Este tipo de problemas van parejos al cálculo de áreas y volúmenes, los introduciremos en el Tercer
Ciclo de Educación Primaria.
ANEXOS
EVALUACIÓN
Para que este proyecto tenga efectos positivos, será necesario recoger datos sobre su impacto en el
aprendizaje del alumnado y de reformular si es preciso, aquellos aspectos que no están dando los
frutos deseados en el desarrollo del mismo.
Así, entendiendo que la resolución de problemas es un proceso, para evaluar cada uno de los
problemas resueltos por nuestros alumnos/as tendremos en cuenta que:
1. El niño/a ha seguido y desarrollado, adecuada y correctamente, cada uno de los pasos
mencionados antes, pues esto nos indicará que ha habido una comprensión global de dicho
problema.
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2. Otras cuestiones relacionadas con la claridad, el orden y la limpieza expositiva, la ortografía o
la caligrafía.
Para ello habrá que considerar:
1. Lee todo el problema.
2. Subraya en rojo…. la pregunta, el verbo de la pregunta, las palabras claves de la pregunta.
3. Subraya en azul los datos relevantes y necesarios.
4. Piensa la operación (u operaciones) que lo resuelven y hazlas.
5. Responde con una frase que incluya…. el verbo de la pregunta y la palabra más importante de
la pregunta.
Todos estos aspectos, se evaluarán con los siguientes instrumentos:
Seguimiento de cuadernos
Fichas de problemas
Participación oral en clase
Intervención en pizarra
Observación
Pruebas escritas
BIBLIOGRAFIA
BERMEJO, Vicente: “Cómo enseñar matemáticas para aprender mejor”. Recurso educativo
elaborado a través de los Convenios Internet en la Escuela e Internet en el Aula, Proyecto CIFRAS
entre el MEC y las Comunidades Autónomas Ed. CSS. Madrid
ECHENIQUE URDIAIN, Isabel: Matemáticas. Resolución de problemas. Teoría. Educación
Primaria. Universidad de Navarra.
ECHENIQUE URDIAIN, Isabel: Taller de resolución de problemas. Práctica. Educación Primaria.
Universidad de Navarra.
SEGARRA, Luis. El Quinzet. Cálculo mental y global. 2003.
“Cada problema que resolví se convirtió en una regla que más adelante me sirvió para solucionar
otros problemas”
Descartes
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MODELO DE HOJA DE SEGUIMIENTO DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEL ALUMNADO
CICLO: NIVEL: EVALUACIÓN TRIMESTRAL ________________
ALUMNADO
Lee el
enunciado
correctamente
Identifica el
enunciado
Comprende
el enunciado
Identifica la
pregunta
Comprende la
pregunta
Realiza un
esquema/
dibujo
Plantea una
o varias
estrategias
En caso de
error, reinicia
el proceso
Revisa el
resultado
Escribe la
respuesta
HOJA DE SEGUIMIENTO DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEL ALUMNADO
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En blanco: Superado. Una diagonal: En proceso. En cruz: No supera
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MODELO DE HOJA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN CASA
RESOLVEMOS PROBLEMAS
Leo el enunciado del problema y subrayo datos. Si hay alguna palabra que no entiendo, pregunto o busco en el diccionario
Dibujo // Esquema Datos
Pienso cómo resolverlo, detallo las operaciones y su resultado
Calculo y realizo aquí las operaciones, si no las puedes hacer mentalmente
Escribe la solución contestando a los datos de la pregunta. Recuerda y fíjate en el verbo
Comprueba: piensa, ¿es lógica la solución?
Inventa otro problema parecido, trabájalo de forma oral, escríbelo y resuélvelo en tu cuaderno
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MODELO RÚBRICA DE SEGUIMIENTO DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS INDIVIDUAL
Nombre:
NO CONSEGUIDO NECESITA AYUDA ADECUADO EXCELENTE
Lee el enunciado
correctamente
No lee el enunciado Lee el enunciado con
bastantes errores
Lee el enunciado con
algunos errores
Lee el enunciado
correctamente
Identifica el enunciado No identifica el enunciado Identifica el enunciado con
bastantes errores
Necesita ayuda para
identificar el enunciado
Identifica el enunciado de
forma adecuada
Comprende el enunciado No comprende el enunciado Comete bastantes errores en
la comprensión del
enunciado
A veces comprende el
enunciado con ayuda
Comprende el enunciado sin
ayuda
Identifica la pregunta No identifica la pregunta Comete errores para
identificar la pregunta
Identifica la pregunta con
ayuda
Identifica la pregunta
Comprende la pregunta No comprende la pregunta Comprende la pregunta con
bastante ayuda en la lectura
Solo a veces comprende la
pregunta
Comprende la pregunta
Realiza un esquema/ dibujo No realiza un esquema/
dibujo
Requiere bastante ayuda
para realizar esquema/
dibujo
A veces es capaz de realizar
esquema/ dibujo
Realiza un esquema/ dibujo
Plantea una o varias estrategias No plantea una o varias
estrategias
Le cuesta bastante plantear
estrategias
A veces plantea alguna
estrategia diferente
Plantea una o varias
estrategias
En caso de error, reinicia el
proceso
En caso de error, NO reinicia
el proceso
Pocas veces, en caso de
error, reinicia el proceso con
ayuda
En caso de error, reinicia el
proceso con alguna ayuda
En caso de error, siempre
reinicia el proceso
Revisa el resultado No revisa el resultado De vez en cuando, revisa el
resultado con ayuda
Con alguna ayuda, revisa el
resultado
Siempre revisa el resultado
Escribe la respuesta No escribe la respuesta Alguna vez, escribe la
respuesta con guía o ayuda
oral
Escribe la respuesta con
alguna ayuda
Escribe la respuesta
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PROYECTO: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
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PASOS Y FICHA PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1. Lee el enunciado del problema detenidamente, en silencio.
2. Subraya los verbos que aparecen en el enunciado en verde.
3. ¿Cuál es el escenario del problema? Piensa y cuenta con tus palabras lo que sucede.
4. Localizo los datos con los que cuento y subrayo de azul. Coloco los datos en su lugar.
5. Me paro en la pregunta ¿Qué dice la pregunta? ¿Qué tengo que averiguar? Subrayo de rojo la
pregunta fijándome bien en el verbo.
6. ¿Qué tengo que hacer para averiguarlo? Pienso y reflexiono en la operación que tengo que realizar.
¡OJO! Puedo necesitar más de una operación.
7. Resuelvo. Hago las operaciones en su lugar (si no caben utilizo papel para reciclar).
8. Compruebo el resultado ¿Es lógico?
9. Contesto en el apartado de solución. Recuerda utilizar el verbo que aparece en la pregunta.
10. Si no me ha salido bien, vuelvo al punto uno y presto más atención.
Datos:
Pregunta: ¿Qué quiero saber? Me fijo en el verbo para contestar
Operaciones:
Solución: Recuerdo que el verbo de la pregunta, aparece en la respuesta
¡OJO!
Reviso y pienso si la respuesta tiene sentido
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PROYECTO: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
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ANEXOS
1. Problemas aritméticos escolares. Grupo de trabajo Matelebrija. Problemas de primer nivel.
Aditivos y sustractivos
- Cambios
- Combinación
- Producto cartesiano
2. Método Quinzet
3. Resolución de Problemas Isabel Echenique Urdiain. Gobierno de Navarra
4. Modelos para resolver problemas matemáticos. Metacognición y creatividad. Fernández
Bravo, J.L. Editorial Edelvives
5. Método DECA, editorial Santillana