APLICACIÓN DE UN SISTEMA DE POLEAS EN EL LEVANTAMIENTO DE

CARGAS

I. OBJETIVOS.

Reducir el desgaste físico en la construcción civil

Mejorara la velocidad en la construcción.

Conocer las ventajas de usar el sistema de poleas en la construcción civil.

Evitar segregación cuando se transporta mezclas

II. PROBLEMA.

¿Cuáles deberían ser las aceleraciones en un sistema que pretende alternar dos

cargas y cuál es la fuerza de tensión posible a soportar si la mezcla que se desea

subir pesa 40 kg, además hallar la otra carga que la ara subir? ( g=10m/s2).

III. HIPÓTESIS.

Realizando una serie de ecuaciones se podrá encontrar la aceleración y la fuerza

de tensión en un sistema de poleas.

IV. MARCO TEORICO.

1. Vectores.

VECTORES EN EL PLANO.

1.2. VECTORES EN EL ESPACIO.

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z,

perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.

Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Y

X

V

Vx

Vy

Ø

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ.

Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas

octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.

A. CONCEPTO.

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen

en un punto y su extremo en el otro.

⤍

B. COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o

componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las

coordenadas del origen.

MÓDULO DE UN VECTOR.

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector

nulo tiene módulo cero.

CÁLCULO DEL MÓDULO CONOCIENDO SUS COMPONENTES.

CÁLCULO DEL MÓDULO CONOCIENDO LAS COORDENADAS DE LOS

PUNTOS.

Distancia entre dos puntos.

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de

extremos dichos puntos.

D (ab)=

Vector unitario.

Un vector unitario tiene de módulo la unidad.

La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la

misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del

vector por su módulo.

2. Fuerzas.

En mecánica, es generalmente suficienteclasificar las fuerzas que actúan sobre

los cuerpos en dos tipos: de acción a distancia y de contacto. Del primer tipo las

fuerzas se conocen generalmente como campos de fuerza. Así existen fuerzas de

campos gravitacionales, de campos eléctricos, de campos magnéticos y otras. Es

probable que usted se extrañe que un cuerpo pueda ejercer una acción sobre otro

que está distante. Explicaciones formales existen, pero están fuera del alcance de

estos apuntes. Si usted sabe algo de Física moderna se debería extrañar también

que hablemos de fuerzas de contacto. En realidad un trozo de materia no puede

tocar a otro. La materia está formada por átomos que contienen un núcleo positivo

y están rodeados de electrones que son da carga negativa. Ellos se repelen

impidiendo que se toquen. Tampoco se puede tocar los núcleos, que son

positivos. Sin embargo esas distancias son tan pequeñas que el efecto es como si

los cuerpos se tocaran.

2.1 FUERZAS CONCURRENTES.

Un sistema de fuerzas concurrentes es aquel para el cual existe un punto en

común para todas las rectas de acción de las fuerzas componentes. La resultante

es el elemento más simple al cual puede reducirse un sistema de fuerzas. Como

simplificación diremos que es una fuerza que reemplaza a un sistema de fuerzas.

Se trata de un problema de equivalencia por composición, ya que los dos sistemas

(las fuerzas componentes por un lado, y la fuerza resultante, por el otro) producen

el mismo efecto sobre un cuerpo.

2.2 FUERZAS COPLANARES.

Las fuerzas coplanarias, se encuentran en un mismo plano y en 2 ejes, a

diferencia de las no coplanarias que se encuentran en más de un plano, es decir

en 3 ejes. Tienen dos condiciones independientes algebraicas de equilibrio.

Pueden expresarse en tres formas:

1.- ……………. (1)

La forma expresa que la suma algebraica de los componentes según los ejes x, y

(en el plano de las fuerzas) es cero.

2.- …………. (2)

Esta forma indica que la suma algebraica de las componentes según cualquier eje

y la suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas respecto a un punto es

cero (el punto debe estar en el plano de las fuerzas y la línea que lo une en la

intersección de las fuerzas, debe ser inclinado al eje tomado).

3.- …………….. (3)

En esta forma se explica, asimismo, refiriéndose a momentos respecto dos

puntos no colineales con la intersección aludida.

2.3 FUERZAS PARALELAS.

Si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son

paralelas, la resultante tendrá un valor igual a la suma de ellas con su línea de

acción también paralela a las fuerzas, pero su punto de aplicación debe ser

determinado con exactitud para que produzca el mismo efecto que las

componentes. En los siguientes ejemplos se determinará en forma gráfica en

punto de aplicación de la resultante de dos fuerzas paralelas con igual y diferente

sentido:

En la figura se tiene una barra de 90 cm de longitud, soportando una fuerza de 20

N y otra de 30 N. La resultante evidentemente es la suma de las dos fuerzas, o

sea 50 N, pues actúan en forma paralela y con el mismo sentido. Para encontrar el

punto donde debe actuar la resultante, se produce de la siguiente forma, tal como

se ve en la figura: se traza una paralela de F2 sobre F1 en el mismo sentido,

después una paralela de F1 a partir del origen de F2 pero en sentido contrario. Se

traza una línea uniendo los extremos de F1 y F2 de tal forma que en punto preciso

en que la línea corta la barra, se tendrá el origen o punto de aplicación de la

resultante a 54 cm de F1.

Las fuerzas paralelas son aquellas que actúan sobre un cuerpo rígido con sus

líneas de acción en forma paralela, como se ve en las figuras siguientes:

La resultante de dos o más fuerzas paralelas tiene un valor igual a la suma de

ellas con su línea de acción también paralela a las fuerzas. Cuando dos fuerzas

paralelas de la misma magnitud pero de sentido contrario actúan sobre un cuerpo,

se produce el llamado par de fuerzas en el que el resultante es igual a cero y su

punto de aplicación está en el centro de la línea que une a los puntos de

aplicación de las fuerzas componentes.

3. DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE(DCL)

Un diagrama de cuerpo libre o diagrama de cuerpo aislado debe mostrar todas las

fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Es fundamental que el diagrama de

cuerpo libre esté correcto antes de aplicar la Segunda ley de Newton, Fext = ma

En estos diagramas, se escoge un objeto o cuerpo y se aísla, reemplazando las

cuerdas, superficies u otros elementos por fuerzas representadas por flechas que

indican sus respectivas direcciones. Por supuesto, también debe representarse la

fuerza de gravedad y las fuerzas de fricción. Si intervienen varios cuerpos, se hace

un diagrama de cada uno de ellos, por separado. A continuación se muestra

algunos sistemas (izquierda) y los correspondientes diagramas de cuerpo aislado

(derecha). F (ó T) representa la fuerza trasmitida por la cuerda; N la normal; mg el

peso y f la fuerza de roce o de fricción

3.1 REGLAS BÁSICAS.

A. FUERZA DE GRAVEDAD (W, mg).

La fuerza de gravedad se grafica verticalmente hacia abajo y se le ubica en el

centro de la gravedad (C.G) del cuerpo o sistema.

Su valor se calcula:

………… (4)

Ejemplo:

B. CUERDAS TENSAS.

Se hace un corte imaginario y se grafican las fuerzas internas tensión (T).

POLEAS FIJAS Y MÓVILES

En forma práctica se hará el corte

imaginario sobre la misma figura,

quedando

De la forma práctica aprendida anteriormente:

C. ARTICULACIONES, PASADORES LISOS O PINES.

“A”: polea fija de masa

“B”: polea móvil ingrávida (no tiene

peso)

Los puntos “1”,”2” y”3” pertenecen a la misma cuerda,

por tanto soportan la misma tención (T).

En la polea móvil observar, si hay equilibrio:

D. FUERZA DE COMPRESIÓN ( ).

Aparece muy comúnmente en las barras. De modo similar a la cuerda se hace un

corte imaginario:

E. FUERZA ELASTICA.

Aparasen en los materiales elásticos. Es común encontrar en los resortes cuando

son comprimidos o estirados.

La fuerza elástica se calcula según la ley de Hooke.

K: constante de rigidez del resorte (N/m)

X: deformación (m)

Resorte estirado

Resorte comprimido

F. SUPERFICIES LISAS (u = 0).

(En los puntos de contacto), la interacción se grafica perpendicularmente a las

superficies en contacto.

G. SUPERFICIE ASPERA O RUGOSA (u 0)

En este caso la interacción se grafica inclinada con cierto Ángulo respecto a la

normal.

Una de la fuerzas es la llamada fuerza de rozamiento (f).

Según la observación ( )

4. CONDICIONES DE EQUILIBRIO.

4.1 LA PRIMERA LEY DE NEWTON.

Un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio traslaciones si y sólo si la suma

vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.

Cuando un cuerpo está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que actúan

sobre él es cero. En este caso, Rx como Ry debe ser cero; es la condición para

que un cuerpo esté en equilibrio:

………………. (5)

4.2 LA SEGUNDA LEY DE NEWTON.

Se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta

aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho

cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que

podemos expresar la relación de la siguiente manera:

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen,

además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley

de Newton debe expresarse como:

N: fuerza de reacción normal

f: fuerza de rozamiento

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por

N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo

de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2, o sea,

1 N = 1 Kg · 1 m/s2

La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para

cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete

que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a. Vamos a

generalizar la Segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los

que pueda variar la masa.

Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física

es la cantidad de movimiento que se representa por la letra p y que se define

como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:

La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal. Es una

magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg.m/s. En términos

de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la

siguiente manera:

La Fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la

cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir:

De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante.

Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad

de movimiento y que como se deriva un producto tenemos:

Como la masa es constante

Y recordando la definición de aceleración, nos queda

F = m a………….. (6)

Tal y como habíamos visto anteriormente.

Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de

movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la cantidad

de movimiento. Si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es cero, la Segunda

ley de Newton nos dice que:

Es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es

cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo

(la derivada de una constante es cero). Esto es el Principio de conservación de

la cantidad de movimiento:si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es nula,

la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo.

5. POLEAS

5.1 DEFINICION.

Una polea, garrucha, carrucha, trocla, trócola o carrillo, una de las máquinas

simples, es una rueda, generalmente maciza y acanalada, que con el concurso de

una cuerda se usa como elemento de transmisión en máquinas y mecanismos

para cambiar la dirección del movimiento o su velocidad y formando conjuntos —

aparejos o polipastos— para además reducir la magnitud de la fuerza necesaria

para mover un peso. Según definición de Hatón de la Goupillière «la polea es el

punto de apoyo de una cuerda que moviéndose se arrolla sobre ella sin dar una

vuelta completa»[1] actuando en uno de sus extremos la resistencia y en otro la

potencia.[2]

5.2 TIPOS.

A. POLEA SIMPLE FIJA.

Asumiendo que la polea y la cuerda no tienen peso y que la cuerda arrastra la

polea sin deslizar sobre ella, si O es el centro de la polea y P y R las direcciones

de los cabos de potencia (extremo del que tiramos) y resistencia (de donde cuelga

el peso) respectivamente, M y N serán los puntos de tangencia a la circunferencia

de la polea donde podrán suponerse aplicadas ambas fuerzas.

La polea a todos los efectos puede asimilarse entonces a una palanca angular

cuyo fulcro (punto de apoyo) es el punto O y cuyos brazos de palanca son OM y

ON de modo que en virtud de la ley de la palanca:

Dado que la polea es cilíndrica ambos brazos de palanca serán iguales al radio de

la polea y por tanto:

P = R

Es decir, el uso de la polea simple fija no comporta ninguna ventaja mecánica

(ahorro en la fuerza necesaria) ya que las magnitudes de potencia y resistencia

son iguales, aunque se podrá mover el peso jalando la cuerda en la dirección que

resulte más cómoda.

La fuerza que ha de soportar el eje de la polea, Q, será la resultante de las fuerzas

aplicadas P y R. Suponiendo ambas fuerzas aplicadas en O, y siendo 2α el ángulo

que forman los cordones:

Y en el caso de que ambos cordones sean paralelos (α=0, cos α=1):

La fuerza que deberá soportar el eje de la polea y la estructura de la que cuelgue

ésta será el doble del peso que se desea levantar.

B. POLEA SIMPLE MOVIL.

Teniendo en cuenta que ahora la resistencia obra directamente sobre la polea

estando uno de los extremos de la cuerda fijo, deben verificarse las mismas

condiciones de equilibrio antes consideradas, es decir, aplicando de nuevo la ley

de la palanca obtendremos que:

P = Q

Es decir, al igual que el caso anterior las fuerzas que obran en ambos

extremos de la cuerda son iguales. Por otro lado, ya que la resultante de

ambas fuerzas actuantes sobre la cuerda debe ser igual a la resistencia que

pende del eje de la polea:

Y despejando:

Puesto que el valor del coseno varía entre 0 (α = 90º) y 1 (α = 0º), cuanto menor

sea el ángulo α y mayor su coseno, tanto menor será la fuerza necesaria para

mover el peso y mayor la ventaja mecánica del uso de la polea; el máximo se dará

cuando ambos ramales sean paralelos:

Con esta disposición —la más eficiente— el peso se reparte por igual entre los

dos ramales de la cuerda de la que pende la polea de modo que la fuerza que

hemos de realizar es la mitad del peso que deseamos levantar, sin embargo ahora

para levantar el peso un tramo h la longitud de cuerda que debemos halar es el

doble, 2h.

En el caso particular de que el ángulo α sea de 30 grados — y su coseno 1/2— la

ventaja mecánica desaparece y la potencia ha de ser igual a la resistencia. Si el

ángulo es aún mayor la ventaja mecánica toma un valor menor que la unidad y la

potencia necesaria es ya mayor que la resistencia.

5.3 SISTEMA DE POLEAS

De las conclusiones de los análisis de las poleas fijas y móviles se desprende que

desde un punto de vista mecánico la eficiencia de un sistema de poleas

dependerá del número de poleas movibles que emplee en tanto el uso de poleas

fijas no comporta ventaja mecánica alguna. Además, la ventaja máxima se

obtendrá cuando los ramales sean paralelos.

Teniendo esto en cuenta la disposición más eficiente de un conjunto de poleas es

la mostrada en la figura de la izquierda.

Cada sucesiva polea movible divide por la mitad la resistencia aplicada: el ramal

de la primera polea que es a su vez resistencia de la segunda polea soporta una

fuerza igual a la mitad del peso; igualmente el ramal de la segunda polea, a su vez

resistencia de la tercera polea soporta una cuarta parte del peso, etc. Si se

emplean n poleas movibles, la ventaja mecánica será:

La importante desventaja de este sistema de poleas es que usualmente no se

dispone de indefinidos puntos fijos de anclaje sino de uno sólo por lo que las

configuraciones más usuales consisten en la utilización de dos grupos, uno fijo y

otro móvil, con igual número de poleas y estando éstas dispuestas en cada grupo

bien en el mismo plano o sobre el mismo eje

5.4 POLEA DIFERENCIAL.

Una polea diferencial se compone de dos poleas de distinto radio caladas sobre el

mismo eje y recibe esta denominación porque la potencia necesaria para elevar el

peso es proporcional a la diferencia entre dichos radios; más aún, la máquina no

funciona si los radios no son distintos. La cuerda, mejor cadena, es cerrada y se

pasa primero por la garganta de la polea mayor (1-2) y luego por la polea móvil

que sustenta la resistencia (2-3), retorna a la polea diferencial pasándose por la

garganta de la menor (3-4) y finalmente se enlaza con el ramal sobre el que se

aplica la potencia (4-1). Al aplicar la potencia en la dirección indicada en la figura,

los ramales 1 y 3 descienden mientras que 2 y 4 ascienden.

La resistencia, que ahora denotaremos Q para distinguirla de los radios R y r de la

polea diferencial, está sostenida por dos ramales que supondremos paralelos (2 y

3) que se repartirán la carga estando a una tensión Q/2 mientras en la tira de la

polea (1) actúa la potencia P. La condición de equilibrio es que la suma de los

momentos de las fuerzas actuantes sobre la polea respecto de su eje sea igual a

cero:

A igual conclusión hubiéramos llegado calculando directamente el brazo de

palanca d de la resistencia, ya que si la polea móvil pende libremente quedará

centrada entre los puntos de apoyo de los ramales 2 y 3, es decir:

d=

La ventaja mecánica es inversamente proporcional a la diferencia de radios de las poleas

de modo que cuanto menor sea dicha diferencia mayor será la ventaja mecánica y menor

la fuerza necesaria para elevar el peso. En el caso límite, cuando R = r, el sistema se

encuentra en equilibrio sin necesidad de realizar ninguna fuerza (P = 0) si bien, por mucho

que tiremos de la cuerda o cadena la carga no se elevará ya que la longitud de cuerda

halada será la misma en los cuatro ramales.

5.4 MOVIMIENTOS DEPÉNDIENTES.

Cuando se tiene dos cuerpos unidos por cuerdas u otros dispositivos como

poleas, el movimiento de uno de ellos depende del otro, pues si uno de ellos se

mueve a una cierta distancia, el otro también avanza una distancia que está

determinada por la primera o guarda relación con ella.

A continuación daremos algunos casos más frecuentes que se presentan y que

además nos servirán para resolver los problemas en una forma práctica y

eficiente.

A. RELACION ENTRE DOS CUERPOS UNIDOS POR UN CABLE.

Cuando dos cuerpos están unidos por un cable o cuerda, si uno de ellos se mueve

con una aceleración, el otro se mueve con la misma aceleración. Este fenómeno

se da aun cuando el movimiento se da en diferentes direcciones para cada uno de

los cuerpos, caso que se presenta cuando existe la presenta de una polea como el

ejemplo que se presenta a continuación:

Para un cuerpo de masa que recorre una distancia de “X”, el cuerpo de masa

también recorrerá la misma distancia “X”

B. RELACION ENTRE TENSIONES DE UNA POLEA.

Para una polea de masa “ ” que se desplaza con una aceleración “a”

Si la polea es ingrávida, es decir no tiene peso:

C. RELACION DE ACLERACIONES DE CABLES EN POLEAS.

Para visualizar como se inueven los cables conectados a una polea en

movimiento, ubiquemos los puntos “0”, “1” y “2” tal como se indica en la figura:

…………… *

Suponiendo que partían del reposo,

( ). Por cinemática

Reemplazando en *:

……………… (7)

Aplicando la segunda ley de newton:

Si el movimiento se da en los ejes coordenados como el caso grafico que da en la

dirección del eje “X”:

Nota: la polea se mueve con la misma aceleración que el punto “0” del cable.

Las aceleraciones estarán

relacionadas mediante la

fórmula:

……. (8)

V. METODOLOGIA.

DATOS:

- MASA DE B = 40 kg

- GRAVEDAD = 10 m/s

1. APLICAMOS EL DCL:

T

T T

2T 2 T

T

4T

400N

B A

2. Encontramos la tensión analizando en B:

………(5)

3. Hallamos la masa del bloque A: (para el equilibrio)

………(5)

kg

4. Hallamos la aceleración en B:

…. (6)

Segundo caso: dinámico:

DATOS:

- Masa de B = 40kg , masa de A = 50kg

- g = 10 m/s²

T

TT

2T 2T

T

4T

400 N 500 N

B A

1. Encontramos la tensión analizando en B:

………(5)

2. Hallamos la aceleración en :

…. (6)

3. Hallamos la aceleración en B:

…. (8)

Pero:

m/s²

…. (8)

Pero:

m/s²

VI. RESULTADOS.

La tensión que se ejerce en la carga A es 100N

La tensión que se ejerce en la carga B es 400N

Después de haber desarrollado las ecuaciones llegamos a que la

aceleración con que sube la carga B es 2 m/s² y la aceleración en A es de -

8 m/s²

VII. CONCLUCIONES.

Gracias al sistema de poleas se puede reducir el desgaste físico en los obreros

al transportar las cargas.

Nos ayuda a realizar la construcción en tiempo mínimo.

Nos dimos cuenta que con un sistema de poleas es más fácil subir cargas con

un menor esfuerzo

El transporte a través de un sistema de poleas nos permite evitar la segregación

en el transporte de las mezclas en alturas mayores.

Conocer las ventajas de usar el sistema de poleas en la construcción civil.

Evitar segregación cuando se transporta mezclas

VIII. BIBLIOGRAFIA.

JORGE MENDOZA DUEÑAS. Física. Edición X 2005.

ALONSOFINN. Física. Vol. I: mecánica.

SERWAY BEICHNER. Física para ciencias e ingeniería. Edición V.

Anexos

Materiales utilizar para la maqueta

Representación del edificio para el sistema de poleas