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Integrantes:

GARCIA TALLEDO RALHUGO ANDRES SERRANOUniversidad Tcnica de ManabMtodo de Runge-Kutta INTRODUCCION.Unaecuacin diferenciales unaecuacinen la que intervienenderivadasde una o ms funciones. Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias, aqullas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Y Ecuaciones en derivadas parciales, aqullas que contienen derivadas respecto a dos o ms variables. Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de laingenierapara el modelado de fenmenos fsicos. Su uso es comn tanto enciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales como son la fsica, qumica,biologa omatemticas.La resolucin de ecuaciones diferenciales es un tipo deproblema matemticoque consiste en buscar una funcin que cumpla una determinada ecuacin diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un mtodo especfico para la ecuacin diferencial en cuestin o mediante una transformada.

Como se dijo anteriormente, las ecuaciones diferenciales juegan un papel importante en varias ramas del estudio prctico y experimental, teniendo como problema que algunas ecuaciones no se pueden resolver exactamente, con lo cual hay que acudir a mtodos de aproximacin para tener una idea general de la solucin al problema. Entre los mtodos creados para la resolucin de ecuaciones diferenciales por aproximacin est el Mtodo de Runge Kutta el cual se va a estudiar en el presente trabajo, mostrando su fundamentacin, aplicaciones y ejemplos de su estructura.

OBJETIVOS.

3.1 OBJETIVO ESPECFICO. Aprender a resolver Ecuaciones Diferenciales lineales de primer orden a travs del mtodo de Runge-Kutta.

3.2 OBJETIVO GENERAL. Conocer ventajas y desventajas del mtodo. Comparar el mtodo de Runge-Kutta con la solucin de la ecuacin resuelta por mtodos de integracin. Identificar la exactitud del mtodo.

Mtodo de Runge-KuttaEl mtodo de Runge Kutta es un mtodo numrico de resolucin de ecuaciones diferenciales que surge como una mejora del mtodo de Euler, el cual se puede considerar como un mtodo de Runge Kutta de primer orden

Los Runge-Kutta no es slo un mtodo sino una importante familia de mtodos iterativos tanto implcitos como explcitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias

estas tcnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matematicos alemanes Carl David Tolm Runge y Martin Wilhelm Kutta.

La versin de segundo orden de la ecuacin es

Donde Los valores de a1, a2, p1yp11 son evaluados al igualar el trmino de segundo orden de la ecuacin dada con la expansin de laserie de Taylor. Se desarrollan tres ecuaciones para evaluar cuatro constantes desconocidas. Las tres ecuaciones son:

Versin en Segundo orden del mtodo Runge kutta

Aplicacin de Mtodo del punto medio (Runge-Kutta de Segundo orden):

Donde

Algoritmo para Matlabfunction w=RK_punto_medio(funcion, alfa,a,b,n)%RK_Punto_Medio('funtion',alfa,a,b,n)% funcion : Nombre de la funcin f(t,y) de la derivada% a,b : Extremos del intervalo. [a,b]% n : Numero de iteraciones. (para la particin)% alfa : Condicin inicial en el instante t0=aw(1)=0.1;h=(b-a)/n;t(1)=0.2;%h=0.3;%n=7;for i=1:n t(i+1)=a+i*h; ftiwi=feval(funcion,t(i),w(i)); tih=t(i)+h/2; wih=w(i)+h/2*ftiwi; hf=feval(funcion,tih,wih); w(i+1)=w(i)+h*hf;enddisp([' t_i', 'w_i'])disp([t(1:n)',w(1:n)'])plot(t,w,'r',t,w,'*')

Ejercicio de 2do Orden de Runge-KuttaEn el programa Matlab a travs de este algoritmo se procedi a solucionar el siguiente problema:Resolver por medio del mtodo Runge Kutta la siguiente ecuacin:Z=v^3-2*v*u^2;Para resolver este problema matemticamente las variables sern sustituidas donde: w = v ; t = u

En el programa se obtuvo el siguiente resultado: RK_Punto_Medio('fprima',0.1,0,2,7) t_i w_i 0.2000 0.1000 0.2857 0.0936 0.5714 0.0842 0.8571 0.0621 1.1429 0.0341 1.4286 0.0139 1.7143 0.0057ans = Columns 1 through 7 0.1000 0.0936 0.0842 0.0621 0.0341 0.0139 0.0057 Column 8 0.0039

Grafica del ejercicio de 2do orden de Runge-Kutta:

Para el resultado son seis ecuaciones con ocho incgnitas, por lo tanto se deben suponer dos valores con antelacin para poder desarrollar el sistema de ecuaciones. Una versin ampliamente usada es:

Versin en tercer orden del mtodo Runge Kutta:

Donde

Algoritmo para Matlab:function w=RK_ORDEN3(funcion, alfa,a,b,n)%RK_Punto_Medio('funtion',alfa,a,b,n)% funcion : Nombre de la funcin f(t,y) de la derivada% a,b : Extremos del intervalo. [a,b]% n : Numero de iteraciones. (para la particin)% alfa : Condicin inicial en el instante t0=aw(1)=1;h=(b-a)/n;t(1)=2;%h=0.3;%n=7;for i=1:n t(i+1)=a+i*h; k1=h*feval(funcion,t(i),w(i)); k2=h*feval(funcion,t(i)+h/2,w(i)+k1/2); k3=h*feval(funcion,t(i)+h,w(i)+2*k2-k1); w(i+1)=w(i)+1/6*(k1+4*k2-k1); enddisp([' t_i', 'w_i'])disp([t(1:n)',w(1:n)'])plot(t,w,'r',t,w,'*')Ejercicio de 3er orden Runge-Kutta En el programa Matlab a travs de este algoritmo se procedi a solucionar el siguiente problema:Resolver por medio del mtodo Runge Kutta la siguiente ecuacinZ= 2*v^2*u-u^3Para resolver este problema matemticamente las variables sern sustituidas donde: w = v ; t = u

En el programa se obtuvo el siguiente resultado:t_iw_i 2.0000 1.0000 0.2857 -0.7243 0.5714 -0.6627 0.8571 -0.6283 1.1429 -0.6716 1.4286 -0.8100 1.7143 -0.9989ans = Columns 1 through 7 1.0000 -0.7243 -0.6627 -0.6283 -0.6716 -0.8100 -0.9989 Column 8 -1.1488

Grafica del ejercicio de 3er orden de Runge-Kutta:

Solucin ejercicio de Runge Kutta 3er orden

La primera derivada ofrece una estimacin directa de la pendiente en xi: Donde (xi, yi) es la ecuacin diferencial evaluada en xi y yi. La estimacin se sustituye en la ecuacin: Esta frmula se conoce como mtodo de Euler (o de Euler-Cauchy o de punto pendiente). Se predice un nuevo valor de y usando la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de x) para extrapolar linealmente sobre el tamao de paso h.

MTODO DE EULER

Mtodo de EulerPlanteamiento del problema. Con el mtodo de Euler integre numricamente laEcuacin.

Desde x = 0 hasta x = 4 con un tamao de paso 0.5. La condicin inicial en x = 0 es y = 1.Recuerde que la solucin exacta est dada por la ecuacin:y = 0.5x4 + 4x3 10x2 + 8.5x + 1Solucin. Se utiliza la ecuacin (25.2) para implementar el mtodo de Euler:y(0.5) = y(0) + (0, 1)0.5donde y(0) = 1 y la pendiente estimada en x = 0 es:(0, 1) = 2(0)3 + 12(0)2 20(0) + 8.5 = 8.5Por lo tanto,y(0.5) = 1.0 + 8.5(0.5) = 5.25La solucin verdadera en x = 0.5 es:y = 0.5(0.5)4 + 4(0.5)3 10(0.5)2 + 8.5(0.5) + 1 = 3.21875As, el error es:Et = valor verdadero valor aproximado = 3.21875 5.25 = 2.03125O, expresada como error relativo porcentual, et = 63.1%. En el segundo paso,y(1) = y(0.5) + (0.5, 5.25)0.5= 5.25 + [2(0.5)3 + 12(0.5)2 20(0.5) + 8.5]0.5= 5.875

Mtodo de HeunUn mtodo para mejorar la estimacin de la pendiente emplea la determinacin de dos derivadas en el intervalo (una en el punto inicial y otra en el final)dos derivadas se promedian despus con la finalidad de obtener una mejor estimacin de la pendiente Recuerde que en el mtodo de Euler, la pendiente al inicio de un intervalo. en todo el intervalo

Se utiliza para extrapolar linealmente a yi+1:

En el mtodo estndar de Euler debera parar aqu. Sin embargo, en el mtodo de Heun la y0i+1 calculada en la ecuacin no es la respuesta final, sino una prediccin intermedia.Por consiguiente, la distinguimos con un superndice 0. La ecuacin se llama ecuacin predictora o simplemente predictor. Da una estimacin de yi+1 que permite el clculo de una estimacin de la pendiente al final del intervalo:

Mtodo del punto medio (o del polgono mejorado) La figura 25.12 ilustra otra modificacin simple del mtodo de Euler. Conocida como mtodo del punto medio (o del polgono mejorado o el modificado de Euler), esta tcnica usa el mtodo de Euler para predecir un valor de y en el punto medio del intervalo.

Comparacin de la solucin verdadera con la solucin numrica usando los mtodos de Euler y de Heun para la integral de y = 2x3 + 12x2 20x + 8.5.