GEOMETRIA DESCRIPTIVA

EXPOSITORING. QUIROZ GONZALES, William

CAPITULO 1INTRODUCCIÓN:

CONCEPTOS FUNDAMENTALESDE PROYECCIONES

Desde tiempos remotos el hombre en todas las culturas, ha representado los aspectos de la naturaleza mediante dibujos y grabados. Esta necesidad toda vez que las representaciones exigían mayor exactitud corroboran que en Occidente durante el siglo XV pintores y arquitectos fueran sistematizando las reglas del dibujo y la arquitectura, destacando León Battista (1404-1472), Leonardo Da Vinci (1452-1519) y Piero Della Francesca (1416-1492). Este último escribe en 1472 el primer tratado sobre perspectiva, consignando elementos de juicio sobre proyecciones de “elevación” y “planta”, utilizados

entonces en el diseño arquitectónico. Albrecht Dürer (1471-1528) profundiza las reglas de Piero y perfecciona el empleo de las proyecciones ortogonales horizontal y vertical de los objetos, echando las bases de una nueva geometría, que posteriormente en el siglo XVIII sería llamada Geometría Descriptiva.

I. EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

A lo largo de aquellos siglos muchos científicos utilizaron el método de Albrecht Dürer, entre ellos el astrónomo Johann Kepler (1571-1630); Amedeo Francois Fréziers (1682-1773), que aplica las reglas de Dürer para con la doble proyección ortogonal, obtener secciones planas de cuerpos cónicos, aplicando el mismo método para encontrar las intersecciones de superficies de revolución (cilindro, cono, etc.); Lagrange, en 1773 aplica estos conocimientos a sus estudios de Geometría Proyectiva.

GASPAR MONGE (1746-1818)Interpreta y sistematiza el método de Dürer, todo lo que plasma en su célebre obra; GEOMETRIE DESCRIPTIVE en 1789, que lo inmortaliza y da nombre a esta rama de la geometría. En esta obra, G. Monge desarrolla las reglas y procedimientos de las proyecciones, mediante el método de la proyección ortogonal, tomados sobre planos de proyección mutuamente perpendiculares, los que luego son abatidos sobre una superficie bidimensional. Siendo esta metodología una sencilla forma de elaborar planos, e indudablemente aplicable a proyectos de carácter militar, el gobierno francés reservó a que dicho conocimiento así sistematizado trascendiera, sus fronteras declarándolo por muchos años como “secreto militar ”

GASPAR MONGE

Eminente ingeniero y geómetra francés, fundó la Escuela Politécnica de París durante la época de la Revolución Francesa. Posteriormente, en la época Napoleónica, fue director de proyectos de la Escuela Militar de Meziers, desempeñándose además como hombre público y de estado. Luego de la restauración de los borbones en Francia, es objeto de persecución. Muere en la pobreza en 1818.

La Geometría Descriptiva sistematizada por Gaspar Monge, con ligeras modificaciones para hacerla más práctica y objetiva, llega a nosotros a través de dos normas que se practican a nivel mundial: el ASA y el DIN.

2. DEFINICIÓN DE LA GEOMETRIA DESCRIPTIVA.

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Es la ciencia del trazado geométrico que nos permite resolver y desarrollar las relaciones de una estructura tridimensional. Hace uso de la proyección ortogonal sobre planos de proyección mutuamente perpendiculares, que luego son abatidos sobre una superficie bidimensional.

Es la disciplina básica para el Ingeniero y arquitecto, es decir es el “lenguaje de Ingeniero”, ya que es necesario representar en un plano lo que el proyectista imaginó para luego materializar el proyecto.

Al estudiante de Ingeniería es necesario acostumbrarlo al uso de instrumentos y a imaginar los objetos geométricos representados por sus proyecciones.

Es familiarizar al futuro técnico o ingeniero con las reglas de esta rama de la geometría. Su importancia radica en las múltiples y variadas aplicaciones en la ingeniería del diseño: en el diseño de elementos de máquinas, en el levantamiento de planos topográficos, en la minería, la arquitectura, en las matemáticas para el análisis vectorial, en el diseño de tolvas de variada configuración, en las conexiones de tuberías, en la industria naval, aeronáutica, en la ingeniería civil, en el diseño de canales, puentes, etc.

OBJETIVO DEL CURSO

PROYECCION Si consideremos un punto R , un observador y el plano X. El ojo del observador y el punto R determinan la línea visual (rayos proyectantes) que se interceptará con el plano X determinando Rx que de ahora en adelante se llamará proyección. “PROYECCIÓN ES FIJAR MEDIANTE LA PROYECTANTE RRX LOS PUNTOS DEL OBJETO EN EL PLANO DE PROYECCIÓN X”

R = ObjetoX = Plano de ProyecciónRX = Proyección del punto R en el Plano de ProyecciónRRX = Proyectante

X

RX R

Las rectas visuales parten de un punto (foco de proyección) (se supone cercano al objeto), formando un haz divergente y denso de 'rayos visuales'. El tamaño de la proyección depende de la distancia entre el foco, el plano y el objeto proyectado Una aplicación particular de este tipo de proyecciones son las proyecciones en perspectiva

TIPOS DE PROYECCIONES

a. PROYECCION CONICA:

XAX BX

CXDx

A B

D C

Los rayos proyectantes son paralelos entre sí formando estos un ángulo cualquiera con el plano de proyección.

El tamaño de objeto puede ser igual al de la proyección siempre y cuando el objeto ( plano ) sea paralelo al plano de proyección. Se usa en sombras iluminación etc.

b. PROYECCION CILINDRICA O PARALELA

X

AX

BX

CX

A

B

C

C. PROYECCION ORTOGONAL, PERPENDICULAR O RECTANGULARLos rayos proyectantes son paralelos y además perpendiculares al plano de proyección.

El tamaño de la proyección es menor al tamaño del objeto ( plano ver figura) y será del mismo tamaño siempre y cuando el objeto y el plano de proyección sean paralelos. Se usa en geometría descriptiva

XAX

BX

CX

DX

A

B

C

D

TIPOS DE PLANOS DE PROYECCIÓN

De todo lo anterior deducimos que los planos de proyección ocupan dos posiciones fundamentales:

En Arquitectura consideramos las posiciones:a) Ojo del observador — Objeto — Plano de proyección.

En Ingeniería consideramos las posiciones:b) Ojo del observador — Plano de proyección — Objeto.

Los planos principales son tres y son los siguientes:Plano principal Horizontal (H)Plano principal Frontal (F)Plano principal de Perfil o lateral derecho (P).

Teniendo en cuenta que los tres planos son perpendiculares forman cuatro triedros (cúbicos, cuadrantes); considerando el trabajo en Geometría Descriptiva. Especialidad Ingeniería el tercer cuadrante (III) y para Arquitectura el primer cuadrante (I).

LINEA DE PLIEGUE: Es la intersección de dos planos de proyección.

a. PLANOS PRINCIPALES

Si se tiene dos planos α y β mutuamente perpendiculares, se generan cuatro diedros consecutivos: I, II, III y IV diedros, como se muestra. Ahora, si intersectamos estos planos, se observa la formacion de cuatro espacios (diedros) o cuadrantes. Los objetos se proyectan sobre estos planos, que se denominan planos principales de proyección, generando de esta manera los dos sistemas de proyección ortogonal, rectangular o perpendicular del primer y tercer cuadrante.

SISTEMAS DEL PRIMER Y TERCER DIEDRO

PLANO βPLANO α

III

III IV

En relación a los planos principales de proyección H, F y P, el observador ocupa una posición, que los planos principales de proyección que son mutuamente perpendiculares entre si se encuentran entre el observador y el objeto. Esta disposición cumple el sistema del Tercer diedro, sistema utilizado en los Estados Unidos, Inglaterra, Países Bajos, Canadá y en la mayoría de los países donde los Estados Unidos tienen influencia económico—tecnológico. Genéricamente se le conoce con la sigla ASA, que corresponde a las iniciales de AMERICAN STANDARD ASOCIATION.

SISTEMA DEL PRIMER CUADRANTE O NORMA DIN

En relación a los planos H, F y P, el observador ocupa una posición tal, que el objeto se encuentra entre el observador y los planos de proyección.Esta disposición reciproca de planos de proyección perpendiculares entre si, cumple con el sistema del PRIMER CUADRANTE O PRIMER DIEDRO; sistema utilizado en los paises de Alemania, Unión Soviética y otros de Europa.Se le conoce con el nombre de SISTEMA DIN, que corresponde a las iniciales de DEUTSCHE INDUSTRIE NORMEN,SISTEMA DEL TERCER CUADRANTE O NORMA ASA

SISTEMA DEL PRIMER CUADRANTE O NORMAS DIN

SISTEMA DEL TERCER CUADRANTE O NORMA ASA

SISTEMA DEL PRIMER CUADRANTE DIN

DEPURADO SISTEMA DIN

F P

F

H

H

A

B C

D

G S

TI

E

MO

N

R

L

KJ

Q

AHDHNHO

HEHM

HJHQ

U

HRHT

HSHGHL

HCHBHU HK

HI

FAFJ

FEFD

FIFB

FQFO FRFU

FMFN FLFK

FGFC

FTFS

PSPT

PJ PI

PQ PRPO PU

PM PL

PE PG

PD PC

PA PB

PN PK

SISTEMA DEL TERCER CUADRANTE ASA

DEPURADO SISTEMA ASA

F P

F

H

H

A

B C

D

G S

TI

E

MO

N

R

L

KJ

Q

AHDHNHO

HEHM

HJHQ

U

HRHT

HSHGHL

HCHBHU HK

HI

FAFJ

FEFD

FIFB

FQFO FRFU

FMFN FLFK

FGFC

FTFS

PSPT

PJ PI

PQ PRPO PU

PM PL

PE PG

PD PC

PA PB

PN PK

b. PLANOS AUXILIARES

Son aquellos planos de proyección que por su posición no son Principales.

Planos Auxiliares de Elevación: Es aquel plano auxiliar que es perpendicular al plano principal horizontal (no es necesariamente paralelo al plano frontal.)

HF

H

1

Planos Auxiliares de Inclinación: Es aquel plano auxiliar que es perpendicular al plano principal frontal (no es necesariamente paralelo al plano principal horizontal.)

H

F

1

Planos Auxiliares referidos al plano Horizontal: (Plano 1perpendicular al plano H, plano 2 perpendicular al plano 1)

HF

2

1

Planos Auxiliares referidos al plano Frontal: (Plano 1perpendicular al plano F, plano 2 perpendicular al plano 1)

HF

1

2

c. PROYECCIÓ DE UN PUNTO EN LOS PLANOS PRICIPALES DE PROYECCIÓN

Tenemos el punto A y lo proyectamos a los 3 planos principales (H, F, P)La distancia desde el punto objeto a sus proyecciones en los planos H, F y P, respectivamente, se les denomina: cota, alejamiento y apartamiento.

COTA: es la distancia perpendicular del punto objeto al plano Horizontal (H).ALEJAMIENTO: es la distancia perpendicular del punto objeto al plano Frontal (F).APARTAMIENTO: es la distancia perpendicular del punto objeto al plano Perfil (P).

LINEA DE REFERENCIA

DEPURADO Cuando los planos de proyección están contenidos en un solo plano es lo que denominamos depurado.

Como podrá al mirar, imaginarse el estudiante AH, AF, AP, son las proyecciones en el espacio que toma la posición que nos indica su cota, su alejamiento, su apartamiento en el depurado.Es decir, que las proyecciones del objeto nos muestra la posición del objeto en el espacio respecto a un sistema de planos de proyección. Se ha logrado trasmutar un problema espacial en un plano

ABATIMIENTO Y DEPURADO

LINEA DE REFERENCIA

LINEA DE REFERENCIA

LINEA DE REFERENCIA

H

F

H

FH

F

F P

F P F PAH

AP

AF AF

AF

AP

AP

AHAH

Líneas de referencia. En el depurado, las

proyecciones adyacentes de un punto tienen su línea de

referencia alineada perpendicularmente a través de

la línea de pliegue común. Las líneas de referencia de

proyecciones adyacentes de dos o más puntos, son paralelas

entre sí.

Posición relativa entre dos puntos.Para determinar la posición de un punto B lo relacionamos con otro punto

A, cuya posición la suponemos conocida.Las proyecciones ortogonales de los puntos en los planos principales de

proyección, indica que un punto se encuentra más arriba o abajo, a la derecha, o a la izquierda, delante o detrás de otro punto cuyaposición es conocida, cuando el observador se encuntra frente a un plano principal de proyeccion.

Así el punto B, de acuerdo a sus proyecciones en H se halla más atrás y a la derecha de A, y el plano frontal nos indica además que B se halla 'más arriba'. Luego la posición delpuntoBes atrás, a la derecha y arriba del punto A.

d. POSICIONES RELATIVAS ENTRE PUNTOS, ORIENTACIÓN

Posición de orientación.Como podrá deducir el lector, solamente es posible definir en

el plano horizontal una posición para las diferentes posiciones de orientación. Por convenio, el Norte de la BRÚJULA, indica la posición 'hacia atrás' en el plano H. La fig. nos hace observar la dirección de las cuatro posiciones cardinales. Ejemplo: el punto B se halla en una dirección 45° al Nor-Este del punto A, cuya notación es: N45°E, como se indica en el depurado.

Si coincidimos la esquina inferior izquierda de nuestra lámina de trabajo con el origen de coordenadas cartesianas en el primer cuadrante, podremos determinar convencionalmente las proyecciones de un punto mediante la notación: A(x1, PF, PH), donde x1 indica la posición de latitud del origen de coordenadas del punto A, cuyas proyecciones AF y AH están distantes PF y PH unidades sobre el eje “X”, dispuestos paralelamente al eje “Y”

f. GRAFICACION DE UN PUNTO POR COORDENADAS

PH

PF

X1

AH

AF

LAMINA DE TRABAJOY (Cm)

X (Cm)

g. GRAFICACION DE UN PUNTO POR COTA, ALEJAMIENTO Y APARTAMIENTO

Se trazan las líneas de pliegue H-F y F-P mutuamente perpendiculares, las cuales serán fijas.

Se ubican las proyecciones del punto de la siguiente manera:

•El primer dígito, que es la cota del punto, a partir de la línea de pliegue H-F en el plano frontal.

•El segundo dígito, que es el alejamiento a partir de la línea de pliegue H-F en el plano horizontal.

•El tercer dígito , que es el apartamiento a partir de la línea de pliegue F-P en el plano frontal, el punto estará ubicado tanto en el plano horizontal como en el plano frontal alineado mediante la línea de referencia que tenga el apartamiento dado por el tercer dígito.

ale

jam

ien

to

alejamiento

cota

apartamiento

HF

F P

PROYECCIONES PRINCIPALES DE UN SÓLIDO

El objeto se proyecta a los planos principales de proyección como se indica en la figura. Luego se hace los rebatimientos de los planos principales Horizontal y de perfil.

La visual de los tres observadores permiten hallar las proyecciones principales del sólido

Se observa que el plano P ha rotado 900 y se ha puesto a nivel del plano F (bisagra F/P) El plano H a rotado 900 y se apuesto a nivel del plano F (bisagra H/F) Los planos H, F y P están en un mismo plano. (depurado)

SOLIDO EN PROYECCION ISOMETRICA

SOLIDO EN PROYECCION ISOMETRICA

PLANOS PRINCIPALES DE PROYECCION

PLANOS PRINCIPALES DE PROYECCION Y SOLIDO

PROYECCIONES PRINCIPALES

PROYECCIONES PRINCIPALES DE UN SOLIDO

PROYECCIONES PRINCIPALES

PROYECCIONES PRINCIPALES

PROYECCIONES PRICIPALES

F P

F

H

H

A

B C

D

G S

TI

E

MO

N

R

L

KJ

Q

AHDHNHO

HEHM

HJHQ

U

HRHT

HSHGHL

HCHBHU HK

HI

FAFJ

FEFD

FIFB

FQFO FRFU

FMFN FLFK

FGFC

FTFS

PSPT

PJ PI

PQ PRPO PU

PM PL

PE PG

PD PC

PA PB

PN PK

EJEMPLO

H

F

F P

SOLUCION

A

B

C

D

Q

O

N

M

G

E

X

L

V

S

K

J

U

T

IR

A

Y

A

B

C

D

Q

O

N

M

G

E

X

L

V

S

K

J

U

T

IR

A

Y

DEPURADO

HF

F P

AF

AHYH

D H Q H

G HTH

E H IH

JHUH

R H Z H

LHVH

N HB H CHOH

MH X H

KHSH

BFDFCF

QFOFMFNF

XFYF

KFLF

Z FVF

GFEF

IFJF

YFUF

APGP

RF SF

DPEPBPCP

QPIP

NPOPMP L P

XPVP

SPUP

RPTP

YP Z P

KPJP

EJEMPLO

H

F

F P

EJERCICIO

Determinar el SÓLIDO OPTIMO, la ubicación del observador y la vista auxiliar 1, conociendo las proyecciones mostradas

DEPURADO

H

F

P1

12

91°

51°

SOLUCION

1

30°30°

IJ

LK

G

B

E

N

Q

O

M

R

D

CA

H

F

P1

KH

I H

GH

L HJ H

EH DH

NH

QH

I F

KF

J F EF NF

QF

DF

CFBF

F P

RH

CHBH AH

MHOH

MF

GFL F

OF

AF RF AP

BP

EP

DP

CP

NPGP I P

KP

MP

J PL P

OPQP

RP

I 1

J 1

L 1

G1

K 1

N1

E 1

Q1

O1

M1

R1

C1

B 1

D1

A 1