Informe 1: Dominio y Recorrido de una Función Lineal

5. Propuesta: ¿Cómo Solucionar la problemática?

Todo nace de realizar el paso algebraico de elevar al cuadrado incorrectamente o al menos sin

considerar las restricciones que conlleva en la función √ , ante esta situación y

como se observó el caso es posible obtener soluciones invalidas, por ejemplo definiendo el

recorrido como todos lo reales siendo que el recorrido partía desde 2.

Analicemos una situación similar:

Resolver:

√

√

Elevando al cuadrado ambos lados de la

igualdad

Resolviendo y obteniendo x

√

Evaluando x=7 en la ecuación √

La respuesta x=7 parecía convincente después de un “correcto” trabajo algebraico, sin embargo es

una solución inválida pues al sustituirla en la ecuación original se obtiene una contradicción. Es

decir en algún paso del procedimiento existe un error.

Explicación:

Sabemos que √ es igual a -2,

Sabemos √ es positivo,

Ningún valor de x resultará en una expresión que sea negativa en este caso -2.

Por lo tanto la solución a la simple ecuación es que “no existen soluciones” o valores para x que nos

den como resultado un número negativo.

Como se ha explicado antes el elevar al cuadrado requiere de un cierto análisis para no caer en

errores, sin embargo no todo está mal y existe a diferencia de este camino corto, un camino mucho

más largo que requiere la articulación tanto algebraica como gráfica de la función, veamos:

Trabajo previo

Durante el desarrollo de clases pasadas la profesora enfatizó dos conceptos claves que dan respuesta

a encontrar las restricciones del recorrido:

a) En una actividad acerca de la función , los alumnos descubrieron que esta

función no podía tener inversa ya que cada imagen excepto el cero tenía dos pre-imágenes,

si bien la profesora no les explicó directamente el concepto implícito de que la función no

era biyectiva, y por lo tanto la función no tendría inversa. Sin embargo los alumnos si

trabajaron y entendieron que restringiendo el dominio y el recorrido, era posible encontrar

la inversa y además hicieron el ejercicio práctico de graficar el lado derecho de la parábola,

es decir restringiendo el dominio a [ [ . Una vez realizado esto y por medio de doblar

una hoja de papel sobre la diagonal , y luego calcando o dibujando la parábola en la

otra mitad del papel, es posible obtener la inversa √ .

b) En otra actividad la profesora logro que los estudiantes descubrieran que el menor valor de

, produce también el menor valor de .

Volviendo a la función √ , y su recorrido encontrado algebraicamente que era

, veamos más gráficamente nuestra función y su supuesta función inversa

√

Realizando el mismo ejercicio de la parábola , elijamos un brazo de ella es decir

restringiendo el conjunto de salida y el conjunto de llegada se tiene que [ [ ,

obtenido una gráfica así:

Ahora veamos los comportamientos de las gráficas de y su inversa :

Finalmente la función queda determinada de la

siguiente manera:

[ [ [ [