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PROPUESTA DIDÁCTICA PARA EL DESARROLLO DE LA

COMPETENCIA ARGUMENTATIVA Y LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA

EN GRADO NOVENO

DIEGO ARMANDO MORENO CIFUENTES

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias

Maestría en la Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Bogotá, Colombia

2016

PROPUESTA DIDÁCTICA PARA EL DESARROLLO DE LA

COMPETENCIA ARGUMENTATIVA Y LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA

EN GRADO NOVENO

DIEGO ARMANDO MORENO CIFUENTES

Trabajo final presentado como requisito parcial para optar al título de: Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Directora: Clara Helena Sánchez Botero, PhD.

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias

Maestría en la Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Bogotá, Colombia

2016

Dedicatoria

A Dios por su infinita ayuda; a mis padres Lorenzo y Eva Elisa ejemplo de vida, comprensión y apoyo que siempre me impulsan para alcanzar las metas que me propongo.

Agradecimientos Mis más sinceros agradecimientos a la profesora Clara Helena Sánchez Botero, directora de este proyecto, por su apoyo, paciencia y orientación en la realización del mismo. Gracias a ella se debe gran parte de las ideas presentadas en este trabajo para culminar con éxito esta etapa de mi vida.

Resumen y Abstract IX

Resumen El concepto de demostración en matemáticas está íntimamente ligado a la competencia argumentativa, competencia que el Ministerio de educación Nacional (MEN) propone entre las competencias básicas de matemáticas y lenguaje, y en las competencias ciudadanas para la resolución de conflictos. En este trabajo se hace un recorrido por la evolución del concepto de demostración a través de la historia destacando las contribuciones más significativas dadas en cada época, desde la antigüedad griega hasta el desarrollo de la lógica matemática. Se revisan aspectos para la enseñanza de la misma, y se escoge a la lógica informal como el área disciplinar que soporta la propuesta didáctica que fue diseñada para los estudiantes de grado noveno de la I.E.D. José María Obando en El Rosal, Cundinamarca, y pretende desarrollar la competencia argumentativa en las áreas de matemáticas y lenguaje. Palabras claves: argumentación, demostración, argumento válido, argumento deductivo, reglas de inferencia.

Resumen y Abstract X

Abstract The concept of demonstration in mathematics is intimately tied to the argumentative competition, competition that the Department of National education (MEN) proposes between the basic competitions of mathematics and language and in the civil competitions for the resolution of conflicts. In this work a tour is done by the evolution of the concept of demonstration across the history emphasizing the most significant contributions given in every epoch from the Greek antiquity up to the development of the mathematical logic. Aspects are checked for the education of the same one and it is chosen to the informal logic as the area to discipline that he supports the didactic this offer it was designed for the students of ninth degree of the I.E.D. Jose Maria Obando in El Rosal, Cundinamarca, and it tries to develop the argumentative competition in the areas of mathematics and language. Keywords: argumentation, demonstration, argument valid, argument deductive, rules of inference.

Contenido XI

Contenido

Pág Resumen ……………………………………………………………………………..IX Abstract …………………………………………………………………………….. X Lista de figuras …………………………………………………………………… XII Introducción - Planteamiento del problema ……………………………….. 1

1. Aspectos históricos y epistemológicos ……………………………….. 3

1.1 Historia de la argumentación …………………………………………. 3

1.2 Demostración en la antigüedad ……………………………………… 3

1.3 Edad media ………………………………………………………………. 17

1.4 Renacimiento ……………………………………………………………. 18

1.5 Lógica en el s. XIX …………………………………………………….. 18

1.6 Siglo XX ………………………………………………………………….. 19

1.7 Lógica informal …………………………………………………………. 20

2. Reflexiones didácticas ……………………………………………………… 21

2.1 Argumentación en el currículo colombiano ……………………….. 21

2.2 Obstáculos epistemológicos en el proceso enseñanza –

aprendizaje de la argumentación …………………………………………. 23

3. Propuesta Didáctica …………………………………………………………. 25

3.1 Descripción de la unidad didáctica …………………………….. 25

3.2 Prueba diagnóstica………………………………………………… 28

3.3 Propuesta didáctica ………………………………………………. 31

4. Conclusiones …………………………………………………………………. 113

Bibliografía

Contenido XII

Lista de figuras

Figura 1: Prueba Pitagórica de disección………………......... 11 Figura 2. Inconmensurabilidad entre el lado y la diagonal del cuadrado ……………………………………………………………………….12 Figura 3. Números triangulares………………………………....13 Figura 4. Números cuadrados…………………………………. 13 Figura 5. Números oblongos ……………………………………14 Figura 6. Demostración del teorema de Pitágoras……………23

Introducción – Planteamiento del problema 1

Introducción - Planteamiento del problema

El hombre en su cotidianidad argumenta espontáneamente; por ejemplo, en una reunión de amigos se defiende una idea, se opina de un tema particular a partir de comentarios escuchados o leídos en la prensa. En el ambiente escolar los profesores mediante una explicación magistral justifican procedimientos, o en un debate con estudiantes se defiende una posición a partir de experiencias y conocimientos personales. En el caso de los docentes, las preguntas de los estudiantes se responden con argumentos fuertes para convencer y suplir dudas de un tema concreto. Cuando se aplica un examen con preguntas abiertas, el estudiante debe justificar o dar razones de su respuesta con base en el conocimiento recibido. Algo similar sucede cuando escoge una respuesta específica de una situación con múltiples respuestas y se le pide justificar su escogencia. La argumentación en matemáticas es fundamental no solamente en el desarrollo de la disciplina cuando hay que hacer o revisar una demostración, sino en el proceso de enseñanza – aprendizaje en todos los niveles de formación. En las pruebas estándares nacionales como la prueba Saber ICFES 9 y 11 se contemplan competencias generales que se clasifican en: competencia interpretativa, competencia argumentativa y competencia propositiva. La segunda competencia se define como dar razones, explicaciones, defender puntos de vistas, aclarar diferencias y realizar críticas reflexivas. Este tipo de competencia es evaluada en diferentes preguntas en las cuales se pretende examinar en los estudiantes la argumentación formal e informal, establecer conjeturas y verificar hipótesis sobre propiedades y relaciones, generalizar procedimientos, identificar y describir relaciones. Pretende igualmente analizar la validez o invalidez de usar procedimientos, formular inferencias y justificar razonamientos en cada uno de los cinco pensamientos considerados en la matemáticas de la enseñanza básica y media: numérico, espacial, métrico, variacional y aleatorio. En las pruebas PISA con preguntas abiertas de resolución de situaciones cotidianas se evalúa la capacidad de los estudiantes de concluir una idea a partir de información conocida que avale y apoye lo concluido. El razonamiento está incluido en los cinco procesos generales que se contemplan en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas junto a formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar y formular, comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos (MEN, 98). Estos procesos están inmersos en los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas en los diferentes niveles. En los últimos seis años me he desempeñado como docente de matemáticas en la Institución Educativa Departamental José María Obando, de El Rosal, Cundinamarca, colegio de carácter oficial ubicado en el sector urbano que atiende una población flotante a causa de las temporadas de cultivo y recolección de flores, papa, cebolla y verduras que se cultivan en la región y requieren de mucha mano de obra proviene de distintas regiones del país y de Venezuela. Además varias fuentes de empleo en la región se derivan de la terminal terrestre de carga y bodegas de diferentes empresas ubicadas sobre la autopista Medellín. Contamos aproximadamente con 950

Introducción – Planteamiento del problema 2

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estudiantes en la básica y media, lo cual hace complejo los diferentes ritmos de aprendizaje y técnicas de estudio, tanto para los docentes como para los estudiantes. En las pruebas estándares nacionales como las prueba Saber ICFES 9 y 11, los estudiantes presentan bajos resultados en la prueba de lectura crítica, y en matemáticas igualmente el rendimiento académico no es el mejor. Los estudiantes están adiestrados para la mecanización de algoritmos y transcripción de conceptos, lo cual en cierta medida les dificulta desarrollar las competencias básicas: interpretativa, argumentativa y propositiva en las diferentes áreas del conocimiento. En consecuencia, se evidencian bajos niveles en la comprensión de los contenidos de un texto; mayor dificultad se presenta cuando deben analizarlo críticamente o validar sus argumentos. Es importante resaltar que el plan de estudios de la Institución requiere hacer énfasis en la competencia argumentativa en matemáticas incluyendo contenidos pertinentes como tipos de argumentos y nociones elementales de lógica matemática. Es indispensable lograr transversalidad entre las áreas que componen el currículo a través del lenguaje para desarrollar la competencia argumentativa. La mayoría de los textos de matemáticas para el nivel bachillerato no brindan una metodología adecuada para desarrollar la competencia argumentativa en matemáticas. Los textos se limitan a determinar el valor de verdad de una proposición y a realizar tablas de verdad sin mayor significación y utilidad. Por todo lo anterior surge la siguiente pregunta: ¿Qué características debe tener una unidad didáctica de matemáticas para un curso de grado noveno en donde se desarrolle la competencia argumentativa? Para responder la pregunta se propone realizar una propuesta didáctica dirigida a los estudiantes de grado noveno de la I.E.D. José María Obando. El trabajo está estructurado de la siguiente manera:

En el capítulo 1 se tratan aspectos histórico–epistemológicos de la argumentación y la lógica. El capítulo 2 trata los aspectos didácticos de la competencia argumentativa en el currículo y las dificultades del proceso enseñanza – aprendizaje de dicha competencia. Finalmente en el capítulo 3 se plantea la propuesta didáctica para desarrollar la competencia argumentativa, para luego terminar con algunas conclusiones y la bibliografía.

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PROPUESTA DIDÁCTICA PARA EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA ARGUMENTATIVA Y LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA EN GRADO NOVENO.

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1. Aspectos históricos – epistemológicos

1.1 Breve reseña histórica de la argumentación

La argumentación en sus orígenes está asociada a la dialéctica y a la retórica desarrollada en la antigua Grecia, a partir de las discusiones sostenidas por los presocráticos en el marco de la democracia griega, donde se empleaban unos mecanismos de participación ciudadana como el debate, el convencimiento y persuasión con unos jurados que dirimían dichos mecanismos. Luego, se fue estructurando como método argumentativo dialéctico denominado así por la escuela de Sócrates se fue perfeccionado posteriormente con Platón (427 – 347 a.C.), sentando las bases de la lógica de Aristóteles (384 – 322 a. C.).

La retórica se les atribuye a los sofistas, pues la consideraban como el arte de persuadir al contrario sin importar el valor de verdad del contenido de la discusión. Este arte se fue perfeccionando con el tiempo y logró mayor connotación con Aristóteles con sus estudios sobre la retórica.

“En la mitad del siglo XX se ha rescatado a la Retórica y la Dialéctica, en su sentido clásico, a partir de diversos filósofos (quienes también fueron los que la marginaron), como el polaco Chaim Perelman. Este entiende que no es posible separar la retórica-argumentación de la retórica-ornamentación, y pretende rehabilitar la retórica clásica menospreciada durante la Edad Moderna por ser considerada mero engaño o artificio. Contrariamente a Descartes, no limitará la razón al ámbito lógico-matemático, y retomará la distinción aristotélica entre: la lógica como ciencia de la demostración y la dialéctica y la retórica como arte de lo probable, es decir de la argumentación. Pero “La nueva Retórica” propuesta por Perelman amplía el campo de la retórica aristotélica: se dirige a todo tipo de auditorio, reestablece el diálogo, tomando el modelo socrático platónico. Con Perelman podemos entender a la retórica como parte de la filosofía, ya que ambas no pertenecen al campo de la demostración sino de la argumentación, y la diferencia entre retórica y filosofía es de grado: el auditorio de la retórica es siempre concreto y particular.”(Pallas, 2006, p.9)

1.2 La demostración en la antigüedad

La noción de demostración aparece desde los tiempos antiguos en la historia de la humanidad. Nace en el s. VI a. C. con algunos griegos que tomaron una actitud discursiva y “racional”, como es el caso de Heráclito (500 – 428 a.C.) y de Parménides (510 -440 a.C.). Las contribuciones de los antecesores de Aristóteles (384 – 322 a.C.) estaban enfocadas a realizar inferencias y someter a críticas dichas deducciones, a través del discurso que perseguía convencer a los demás. “Esta actitud consistía no sólo en la pretensión de dar cuenta y razón ante uno mismo y los demás hombres del mundo que nos rodea, sino en reconocer un poder relativamente público e impersonal, la fuerza de la razón, capaz de dirimir por la vía de la argumentación el caso opuesto” (Vega, 1990, p. 30).

El desarrollo de esta actitud discursiva en la cultura griega no tuvo punto de comparación con otras culturas de la época, ni con otros tiempos (escribas, egipcios, b

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babilonios e hindúes), pues representó unos modos de interpretar la realidad natural y social que se basaba en el pensamiento filosófico y científico de Occidente.

La demostración fue conocida por su conexión con la geometría, ya que los egipcios fueron pioneros en el uso de esta disciplina para encontrar verdades geométricas mediante procedimientos empíricos. Muchos de estos conocimientos junto a los de la cultura babilónica fueron retomados por los griegos para realizar pruebas de carácter deductivo. “La gran proeza de los griegos consistió en reemplazar tales estudios de tipo empírico por una ciencia a priori de carácter demostrativo” (Kneale, 1972, p. 2). Este avance marcó un logro decisivo en el pensamiento y en la matemática griega, teniendo en cuenta que la demostración no es una invención de los helénicos, sino que fue un proceso usado por matemáticos primitivos en un modo empírico diferente a probar resultados de manera sistemática como lograron los griegos.

“… la invención griega de la idea de demostración corresponde a la comparecencia de tres características: la construcción y el uso inequívoco de argumentos deductivos efectivamente concluyentes; la conciencia expresa de la capacidad demostrativa que poseen tales argumentos, en virtud de las relaciones que median entre determinadas premisas y las conclusiones que se siguen de ellas; y, la intención de organizar deductivamente un cuerpo de conocimientos al hilo de una urdimbre conceptual y teórica, y de la correspondiente trama lógica” (Vega, 1990, p. 34).

Estos tres aspectos hacen de la demostración y del método deductivo un factor necesario en la evolución de las matemáticas griegas para mostrar la superioridad del legado helénico con respecto a otras culturas primitivas, a pesar de que no se conozca documentación histórica ni indicios de formas estructuradas de demostrar en matemáticas que hayan existido previamente.

Algunos relatos consideran a Tales de Mileto, (s. VI a. C.) como el primero en “demostrar” en la historia de las matemáticas, cuando comprobó que todo círculo queda divido en dos partes iguales por su diámetro. El término “demostrar” para este matemático no es el mismo considerado por el sistema deductivo dado posteriormente por Euclides, sino que fue una demostración empírica que se obtuvo a partir de observaciones de varios círculos dibujados. Tales es más conocido por ser el primero en usar la proporcionalidad de los lados de triángulos semejantes para medir la altura de la pirámide de Keops; “hay varias versiones de cómo lo hizo: Diogenes Laercio afirma que midió su altura observando la longitud de su sombra en el momento en que la sombra de Tales era igual a su altura; también tomó como referencia otros objetos específicamente un bastón colocado verticalmente, y estableció una relación de proporcionalidad entre los lados de los triángulos determinados por la pirámide y su sombra y el bastón y la suya” (Peralta, 2010, p.2).

A Tales también se le atribuye la resolución del problema de la distancia de una nave a la costa. Los primeros geómetras griegos consideraban válido cualquier observación que les ayudara como representación de la verdad en un teorema. Mileto era una ciudad comercial en la costa oeste de Asia Menor que se vio envuelta con el comercio de las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia, en las cuales Tales pudo acceder a los conocimientos necesarios y a los avances en geometría en esas dos culturas. A Tales se le atribuyeron los siguientes teoremas que se supone demuestra


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empíricamente que son recogidos tiempos después en el libro I de los Elementos de Euclides como anotamos:

• Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro (Definición XVII).

• Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. • Los ángulos de la base de todo triángulo isósceles son iguales (Proposición V). • Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas son

iguales (Proposición XV). • Si dos triángulos tienen un lado y los dos ángulos adyacentes respectivamente

iguales, entonces los triángulos son iguales (Proposición XXVI).

Pitágoras (582 - 507 a.C.), al igual que Tales, viajó a Egipto y a Babilonia. Se dice que nació en Samos, fundó una escuela en Crotona de carácter político - religioso, con un estilo de vida que estaba caracterizado por el amor a la sabiduría. Los pitagóricos creían que los números eran la esencia de todas las cosas y que los cielos eran armonía y número (analogías entre los números y las cosas), por ello se dedicaron a estudiar las propiedades de los números, entendiendo por estos los números naturales a partir del 2.

Una de las pruebas más conocidas de esta escuela es el famoso teorema de Pitágoras, demostración geométrica que generaliza las llamadas triplas pitagóricas conocidas por los antiguos matemáticos babilonios (1800 – 1900 a. C.), considerada la civilización más avanzada antes que los griegos. Una terna pitagórica es una tripleta de números naturales ��, �, �� tal que �� + �� = ��. En la tablilla de Plimton (1800 a. C.) aparece grabada una serie de ternas de la forma (� − 1, 2, � + 1) que evidentemente cumplen la propiedad. Este conocimiento debió influir en la enunciación del teorema de Pitágoras, cuya posible prueba muestra el carácter empírico de las demostraciones matemáticas en sus inicios. A continuación, seguimos a (Acevedo, 2011).

Sea ACB un triángulo rectángulo en C y consideremos los dos cuadrados iguales que se visualizan en las figuras. Observemos que:

(I) (II)

Figura 1. Prueba Pitagórica de disección.


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i. El primer cuadrado está compuesto por un cuadrado y cuatro triángulos rectángulos iguales al triangulo inicial. El cuadrado tiene como todas las hipotenusas de los cuatro triángulos.

ii. El otro cuadrado lo componen los mismos cuatro triángulos, y los cuadrados que se generan sobre los catetos del triángulo rectángulo inicial.

Si a estos cuadrados se les quitan los triángulos, se evidencia que el área ��, que se forma sobre la hipotenusa del triángulo inicial, equivale a la suma de las áreas ��y �� de los cuadrados, que se forman sobre los catetos del mismo triángulo; es decir, �� + �� = ��, quedando demostrado el teorema.

En consecuencia, los pitagóricos generalizan las triplas pitagóricas pero de manera geométrica considerando un triángulo rectángulo y los cuadrados que se forman con sus respectivos lados. A los pitagóricos también se les atribuye haber descubierto la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con su lado, lo que da inicio a crear conjeturas y discusiones sobre la imposibilidad de hallar la longitud de la diagonal del cuadrado de manera empírica. Esa imposibilidad fue descubierta por medio de la reducción al absurdo, cuya prueba original según (Vega, 1990 p. 45 y 46), es posiblemente como sigue:

“Convengamos en que la solución del problema ha dado lugar a la figura adjunta:

Figura 2. Inconmensurabilidad entre el lado y la diagonal del cuadrado.

Si el lado DB es conmensurable con la diagonal DM, sus magnitudes se podrán representar numéricamente conforme al número de veces que mide a cada una alguna medida alícuota, exacta, común a ambas. Reducimos los números correspondientes a su menor expresión de modo que ambos términos no puedan ser a la vez números pares. Si llamamos número cuadrado al producto de dos factores iguales, a los cuadrados DBMN y AJKL corresponden números cuadrados. Como cabe apreciar en el diagrama, AJKL es el doble de DBMN, y le corresponde por ende un cuadrado par. Su lado, AJ, también será entonces un número par. De modo que DM, siendo igual a AJ, resultará asimismo par. En consecuencia, DB, será el que tenga la condición de impar. Como DBMN es el doble de ABCD, según consta por la solución del problema de su duplicación, el número cuadrado de DBMN es el doble del número correspondiente a ABCD. Luego, el número de DBMN es par y, por consiguiente, el


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número de su lado DB resulta igualmente par. Pero esto es lógicamente absurdo puesto que la deducción anterior nos había llevado a que, siendo DM par, DB tenía que ser impar. Por lo tanto, la suposición de que la diagonal DM sea conmensurable con el lado DB es una hipótesis inviable: desemboca en una contradicción manifiesta.”

Vega enfatiza que la anterior prueba requiere las siguientes nociones y proposiciones aritméticas:

i. Definiciones 1. Un número es una pluralidad (finita) de unidades. 2. Un número par es el que puede dividirse en dos partes iguales. 3. Un número impar es el que no puede dividirse en dos partes iguales.

ii. Tesis 1. La suma de cualquier pluralidad de números pares es par. 2. La suma de una pluralidad par de números impares es par. 3. La suma de una pluralidad impar de números impares es impar. 4. El producto de un número cualquiera por un número par es par. 5. El producto de un número impar por un número impar es impar.

Se siguen como corolarios:

1. Si es un número par, su cuadrado �es par y 2. Si n es impar, su cuadrado � es impar.

Para los pitagóricos la geometría y la aritmética estaban relacionadas entre sí. Su manejo de los números de acuerdo con la forma como se arreglaban visualmente, les permitió descubrir propiedades interesantes que a continuación vamos a presentar.

Observa la siguiente secuencia de puntos:

Figura 3. Números triangulares

Esa secuencia corresponde a la representación que hacen los pitagóricos de los números 1, 3, 6, 10, 15… ya que por medio de una distribución de puntos formaban un triángulo equilátero. Si se observa más detalladamente se encuentra una regularidad y es que el triángulo se obtiene del anterior añadiendo un número de puntos que corresponde al siguiente de la última fila. En términos aritméticos la secuencia correspondiente está dada por los números:

1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4


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Esta secuencia se puede generalizar observando que un número triangular ��es la suma de los primeros números naturales. Esto es �� = 1 + 2 +…+.

Ahora observa la siguiente secuencia de puntos:

1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 1+3+5+7+9

Figura 4. Números cuadrados

Esa secuencia corresponde a la representación que hacen los pitagóricos de los números 1, 4, 9, 16,… ya que por medio de una distribución de puntos formaban un cuadrado. Si se observa más detalladamente se encuentra una regularidad y es que el cuadrado se obtiene del anterior añadiendo números impares consecutivos, empezando desde el 1. En términos aritméticos la secuencia correspondiente está dada por los números:

1=1

4=1+3

9=1+3+5

16=1+3+5+7

Esta secuencia se puede generalizar observando que un número cuadrado �� es la suma de los 2 − 1 primeros números naturales. Esto es �� = 1 + 3 + 5 + 7…+ 2 − 1

Nuevamente observa la siguiente secuencia de puntos:

Figura 5. Números oblongos

1∙2=2�� 2∙3=2��=6 3∙4=�� = � ∙ � = ��

Esa secuencia corresponde a la representación que hacen los pitagóricos de los números 2, 6, 12, 20,… ya que por medio de esa distribución de puntos formaban un rectángulo. Si se observa más detalladamente se encuentra una regularidad y es que


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el rectángulo tiene por lados dos números consecutivos y + 1. Reciben el nombre de oblongos y son el doble de los números triangulares. En términos aritméticos la secuencia correspondiente está dada por los números:

2 = 2 ∙ 1

6 = 2 ∙ 3

12 = 2 ∙ 6

Esta secuencia se puede generalizar observando que un número oblongo �� =� + 1� = 2��de donde se obtiene que �� = 1 + 2+. . . + = ��

�.

Todos los aportes de los pitagóricos se lograron en el marco de la observación y generalización de propiedades aritméticas y geométricas, salvo la inconmensurabilidad de la diagonal con el lado de un cuadrado, que les generó un grave conflicto con su cosmovisión del mundo: todo es número o relaciones entre ellos. Este descubrimiento planteó un conflicto entre aritmética y geometría que condujo al desarrollo de la geometría, y el descuido de la aritmética.

La tendencia de los griegos hacia la investigación filosófica responde a muchas dudas fundamentales y preocupaciones; en particular, se ha argumentado que las ideas de demostración y de método deductivo se originó en la escuela eleática iniciando con Parménides con su Poema. Continuando con Zenón de Elea (490-430 a. C.), famoso entre otras razones, por sus cuatro paradojas sobre la imposibilidad del movimiento enunciarlas que relacionamos a continuación basándonos en (Campos, 2006)

1. La dicotomía (o la carrera): un corredor debe reconocer el espacio que media entre el punto de salida y la meta. Para ello deberá en primer lugar alcanzar el punto medio del trayecto y aún antes el punto que media entre este último y la salida… Puesto que nadie puede completar ese número infinito de tareas es necesario concluir que el corredor no puede alcanzar la meta.

2. Aquiles y la tortuga: Aquiles se dispone a correr frente a una tortuga que los dioses han enviado a modo de desafío para el de piés alados. Puesto que Aquiles se siente muy superior propone que la tortuga salga algún tiempo antes que él. La tortuga sabia acepta la ventaja y parte antes. Todo lo que Aquiles tiene que hacer es alcanzarla y luego rebasarla para llegar antes de la meta. Para ello, tiene que alcanzar el punto de la tortuga tenía en el momento en que el parte. Cuando llega allí, la tortuga ha avanzado hasta un punto más allá que Aquiles tendrá que alcanzar antes de dar caza a la tortuga. Cuando llega a este nuevo punto la tortuga ya lo ha abandonado para hallarse un punto más allá. Por tanto, si la tortuga no se detiene, Aquiles no será capaz de alcanzarla.

3. La flecha: Hemos arrojado una flecha y en estos momentos se encuentra en el aire. Nos damos cuenta, no obstante, que en cada instante la flecha ocupa una única posición que, además, equivale a la propia flecha. Es decir, en cada instante la flecha se halla en reposo con respecto al espacio que ocupa, ya que de otro modo no sería un instante de tiempo. Ahora bien, el lapso de tiempo que media entre el instante en que lanzo la flecha y este al que me llevado estas reflexiones no es sino un conjunto


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de instantes de tiempo. Puesto que hemos dicho que en cada instante la flecha permanece en reposo, habremos de concluir que en el lapso formado por esos instantes la flecha permanece igualmente en reposo.

4. El estadio: en un estadio se haya una formación de soldados en filas que permanecen en reposo y que representamos en el momento 1. De un extremo parte una columna de cuatro soldados BBBB en dirección a la tribuna. Del extremo contrario parte otra columna CCCC en dirección opuesta para alinearse también con la fila de los As. la columna de los Bs y Cs desfilan exactamente a la misma velocidad. Hay dos momentos que nos interesan:

Momento 1: AAAA BBBB CCCC Momento 2: AAAA BBBB CCCC

A los de la primera fila se les da la orden de moverse un paso a la izquierda y a los de la tercera un paso derecha, los de la segunda fila deben quedar en reposo, al cumplir la orden resulta que están a dos pasos de la fila de los C, la fila de los A. Cuando se da un solo paso se moverán.

En las paradojas está en conflicto si el espacio y el tiempo son continuos o discretos. Para ellos una magnitud es continua si podía dividirse indefinidamente como hay cuatro paradojas éstas se resumen en el siguiente cuadro:

Tiempo infinitamente divisible

Tiempo finitamente divisible

Espacio infinitamente divisible Espacio finitamente divisible

Aquiles y la tortuga Flecha

Dicotomía Estadio

En resumen según (Vega 1990, p. 76), la formación de la idea de demostración y método deductivo en Grecia se constituye de manera gradual gracias a los avances de la filosofía, la dialéctica y las matemáticas: la filosofía se centraba en el origen del universo desde un principio material (los cuatro elementos naturales: aire, fuego, agua y tierra) para Tales, Heráclito, Parménides y otros filósofos de la escuela Jónica que también trataron de interpretar el cosmos. Surgieron esfuerzos por comprender la naturaleza del pensamiento y sus formas de conceptualización y teorización; la dialéctica muy vinculada con la tradición filosófica, usada en las discusiones argumentadas para dirimir diferencias de opinión, de propuestas y conflictos. Las


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proposiciones de oposición son sometidas a tácticas de refutación del adversario desarrollando derivaciones absurdas a partir de las conclusiones dadas (reducción al absurdo). Este tipo de diálogos fomentaba el desarrollo del lenguaje discursivo. La idea de demostración es de raíz matemática, fue evolucionando progresivamente para la solución de problemas geométricos, y se realizaron pruebas deductivas a partir de resultados conocidos para concretar nuevos conocimientos o descartar proposiciones incompatibles, con las “verdades” aceptadas. Los aspectos van configurando tres presupuestos importantes de las ideas de demostración y de método deductivo, a saber: 1) una perspectiva epistemológica sobre las construcciones y los objetos intelectuales, así como una conciencia de su índole intencional y de su capacidad explicativa; 2) el interés en conocer las formas y dominar las posibilidades del lenguaje discursivo; 3) un esfuerzo por lograr pruebas deductivas y por organizar el conocimiento disponible - al menos dentro de ciertos ámbitos - de un modo coherente y más o menos sistemático.

Platón (427 – 347 a. C.) discípulo de Sócrates, fuertemente influenciado por el enfoque de Parménides, que niega que a través de los sentidos se pueda generar conocimiento, aprendió las matemáticas de los pitagóricos generando en la Academia platónica un especial interés en la matemática como paso fundamental para llegar a la verdad. Los diferentes avances logrados fueron hechos en su mayoría por sus discípulos que se enfocaron en tratar de darle un carácter deductivo a la geometría, los cuales posteriormente fueron base de la recopilación hecha por Euclides (330 – 275 a. C.) en sus Elementos.

Aristóteles (384 – 322 a. C.) discípulo de Platón, le atribuye a Zenón, así como a Sócrates, el caso de la reducción al absurdo en los inicios de la dialéctica con fines metafísicos. Según Aristóteles, “una reducción al absurdo o a lo imposible, puede describirse así: (i) Parte de la suposición a excluir. (ii) Incluye alguna otra premisa auxiliar, reconocida o asumida como cierta y fuera de cuestión. (iii) Concluye en una contradicción o en una incompatibilidad lógica manifiesta. (iv) El proceso deductivo es lógicamente válido. (v) En consecuencia, hay que descartar la suposición en virtud de la cual se ha llegado a la conclusión de ese absurdo lógico” (Vega, 1990, p. 82).

Un ejemplo de este tipo de razonamiento se usó para probar la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con su lado; esa inconmensurabilidad es irracional en el sentido en que no hay una razón entre números positivos que se le pueda asignar. Traduciendo al lenguaje algebraico, la demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal con el lado de un cuadrado es lo que hoy entendemos como la prueba de la

irracionalidad de √2, que demostraremos a continuación (tomada de González, 2003).

Teorema: √2"#$ú&"'()''��)(�*.

Demostración: Supongamos que √2 es racional. Si √2 es racional entonces puede

expresarse como +, siendo - y . enteros y q ≠ 0. Supongamos que

+, es irreducible, es


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decir que - y . no tienen ningún factor común. Si √2 = +, entonces 2 =

+0

,0, luego -� es

par y por lo tanto - tiene que ser par, decimos que - = 2'1.

La idea de demostración es precisada por Aristóteles como relata Vega (1990 p. 100 y 101) en la siguiente cita: “La teoría aristotélica de la noción de demostración se halla expuesta en dos tratados del Organon o instrumento de la ciencia, los llamados Primeros Analíticos: que se ocupan de la estructura lógica de la demostración. Toda demostración envuelve una deducción lógicamente válida y concluyente. Los rasgos distintivos de la demostración no son precisamente de orden lógico: la validez es a lo sumo una condición necesaria pero insuficiente. La demostración aparte de la condición lógica de tener - o ser reducible a - una forma silogística, debe cumplir otras condiciones epistemológicas y metodológicas. De ellas se ocupan los Segundos Analíticos”.

Aristóteles también tiene un tratado sobre retórica y sobre falacias, lo que lo hace, sin duda, fuente muy relevante para la historia de la lógica informal. El gran aporte de Aristóteles a la lógica en su teoría del silogismo, se encuentra en el Organon, en los Primeros y Segundos Analíticos.

La teoría del silogismo es el primer sistema formal que se conoce para abordar el estudio de los argumentos deductivos. Proporcionaremos una idea muy general y simplificada de la teoría que se encuentra en (Sánchez, 2008).

Un silogismo es un argumento de tres proposiciones: dos premisas y una conclusión; cada una de ellas debe tener una de las siguientes formas llamadas proposiciones categóricas:

A: Todos los S son P Universal afirmativa E: Ningún S es P Universal negativa I: Algún S es P Particular afirmativa O: Algún S no es P Particular negativa. Una proposición categórica es una proposición que afirma o niega (cualidad) una relación entre dos términos (clases), y cuantifica (cantidad) particular o universalmente los términos de la misma. Por ello resultan cuatro las formas de proposiciones categóricas. Las letras A, E, I, O fueron asignadas en la época medieval para aplicar ciertas reglas nemotécnicas, que permiten recordar cuáles son los silogismos válidos. La teoría aristotélica del silogismo presenta dos características principales en su concepción: primero como un sistema con su propio lenguaje y conjunto de proposiciones ordenado y cerrado con respecto a una relación de consecuencia entre ellas; y segundo la idea de demostración científica, la base de la «lógica tradicional» que dominó hasta principios del siglo XX.

1 Lema: si -� es par entones - es par. Suponemos que - no es par, entonces - = 21 + 1 para algún 1, entonces -� = 41� + 41 + 1. Entonces -� no sería par contradiciendo la hipótesis.


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“Podemos entender por demostración el término «apódeixis», la exposición argumentada y lógicamente concluyente de por qué un tipo de cosas es tal como es y nunca podrá ser de otra manera. Una ciencia demostrativa es un conjunto finito y ordenado de demostraciones que versan sobre un sector determinado de la realidad. Y, en suma, una argumentación es una demostración científica, si es una demostración directa que forma parte de una ciencia como la descrita. Pues bien, la idea de demostración científica es el eje principal de esta reconstrucción, es la que ante todo determina las peculiaridades lógicas y metodológicas de la concepción aristotélica, como luego tendremos ocasión de comprobar, en vez de ser una noción predeterminada por su vinculación a un contexto sistemático de carácter lógico o de carácter metodológico” (Vega 1990, p. 104).

La idea de demostración para Aristóteles es un argumento deductivo que muestra por qué algo es necesariamente así. Esto a la vez impone dos límites críticos sobre las demostraciones: nada puede ser demostrado excepto lo que es necesariamente así, y nada puede ser demostrado excepto lo que tenga una causa o explicación. La lógica aristotélica se basó en las leyes de no contradicción y tercero excluido.

Un siglo después de la muerte de Aristóteles aparecen los estoicos (s. II a. C.), escuela fundada por Zenón de Citio (335 - 263 a. C.), que fue sucedido por Cleantes (330 - 232 a. C.) y finalmente Crisipo (280 - 205 a. C.), quien encabeza la escuela estoica. En ese tiempo se tenía conocimiento de la lógica aristotélica y se empezaba a conocer la lógica estoica, que dentro de los círculos académicos comenzaba a generar confusión entre estas dos teorías. Las contribuciones de una y otra sobre la lógica se constituyen en una base para la enseñanza de la lógica y la metodología científica. La información de los estoicos es muy fragmentada al punto de no contar con textos lógicos de la Stoa antigua (s. III a. C.). Sin embargo, la historia reconoce las Investigaciones lógicas de Crisipo con fuerte influencia de los megáricos (s. IV a. C. escuela fundada por Euclides de Megara, discípulo de Sócrates), y los mejores trabajos sobre lógica se dan posterior a Crisipo. “Las fuentes principales para el estudio de la lógica estoica son, por tanto, posteriores al momento de su producción. En el s. II d. C., Apuleyo (125 – 199 d. C.) y Galeno (129 – 200 d. C.) incorporaron materiales estoicos en sus manuales de lógica, y en el siglo siguiente, Sexto Empírico y Diógenes Laercio contribuyeron a la preservación de algunos interesantes apartados del legado.”, (Kneale 1972, p. 110).

La concepción estoica sobre la idea de la demostración comparada con el planteamiento aristotélico muestra puntos en común y distantes. Entre las similitudes se encuentra que desde ambos puntos de vista, se considera la demostración como una argumentación lógicamente concluyente, manteniendo su proyección lógica y discursiva, como su proyección epistémica y explicativa. Entre sus diferencias se puede mencionar que ambas concepciones se desarrollaron paralelamente, ya que los estoicos hacen una conexión con la dialéctica informal de los eleatas y de las escuelas socráticas «menores» especialmente la influencia que ejerció la «escuela megárica», como si la mediación platónica y sobre todo la lógica aristotélica apenas hubieran existido.


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“Pero entre la demostración aristotélica y la estoica hay diferencias de linaje y de inclinación que saltan a la vista. El programa aristotélico guardaba cierta afinidad con el espíritu de las pruebas matemáticas que se daban en su entorno, sobre todo con la deducción directa de teoremas geométricos. Ese programa también venía marcado por la consideración del saber científico como epistéme y por la referencia a las ciencias, epistémai, como cuerpos de conocimiento cuya organización deductiva había de reflejar el orden de inteligibilidad de lo conocido. La concepción estoica muestra afinidades e intereses muy distintos.”(Vega 1990, p. 198)

Otra característica de ésta, es la introducción de los conectores “y”, “o” e “implicación”: (una proposición que forma el antecedente de un condicional correcto y revela el consecuente). Es decir «si α, entonces β», cuyos miembros proposicionales, «α» y «β» son ambos verdaderos (se trata de un condicional «que no empieza con una verdad y termina con una falsedad»). Se supone que el consecuente refiere algo oculto, ignorado o no evidente en principio, que viene a ser manifestado o conocido a través de ese funcionamiento del antecedente como un signo. (Vega, 1990 p. 203). Además, el valor de verdad de las proposiciones compuestas a partir de estos conectores está determinado por el conocimiento de la verdad o falsedad de sus partes.

Por otro lado, la filosofía estoica constaba de tres partes: la física, la ética y la lógica. “Las tres son dimensiones específicas pero indisolubles de un mismo lógos: conforman uno y el mismo lógos la racionalidad lógica que vincula antecedentes y consecuentes, la racionalidad física que establece conexiones causales, la racionalidad ética que rige la armonía y la coherencia de nuestras acciones”(Vega 1990, p. 204). Por lo anterior, resulta evidente la superioridad de los estoicos con respecto a Aristóteles, ya que elaboraron con detalle la lógica y los conocimientos semánticos que corresponden al desarrollo del lógos.

Ya mencionadas las particularidades de la escuela estoica y sus representantes, podemos pasar a la contribución estoica a la demostración, muy cercana a lo que hoy conocemos como cálculo proposicional.

La idea estoica de la demostración es atribuida a Crisipo y a la tradición genuinamente estoica. Está constituida por las siguientes características según (Vega 1990 p. 206): (i) es una argumentación; (ii) es concluyente o deductivamente válida (iii) es verdadera; (iv) es demostrativa o reveladora de una conclusión no patente; y (v) esta virtud demostrativa reveladora descansa en una relación de pertinencia que las premisas guardan con la conclusión.

Aristóteles con sus silogismos construye cuerpos de conocimientos; los estoicos con sus esquemas inferenciales, esquemas de deducción sobre los argumentos, y las pruebas informales en geometría realizadas en tiempos de Platón constituyen los antecedentes de la prueba en la geometría euclidiana. Todo aquello que sirve de medio para obtener o establecer otra cosa puede considerarse elemento de este resultado; bajo esta concepción son elementos los lemas asumidos, los teoremas probados y los problemas resueltos cuando se utilizan en la prueba de nuevos teoremas o en la solución de problemas ulteriores; e.g., en los Elementos de Euclides la construcción previa de un triángulo equilátero (libro I, proposición 1) puede


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considerarse elemento de la obtención de una recta igual a otra recta dada (1, prop. 2).”(Vega 1990 p. 271-272).

Los Elementos de Euclides (330 - 275 a. C.) es la compilación de una tradición de tratados elementales matemáticos que colecciona y desarrolla elementos de geometría, empezando por Hipócrates de Khios (470-400 a. C). Todos los Elementos preeuclídeos se abordaban metodológicamente desde la resolución de problemas o como teoremas que con el tiempo se trataba de organizar de manera sistemática. Particularmente en la geometría, a partir de unas determinadas proposiciones y resultados esenciales se hará el desarrollo deductivo de un grupo de proposiciones.

La investigación en la matemática griega distinguía entre la resolución de problemas y la demostración de teoremas; en la primera, el procedimiento más defendido era la reducción del caso considerado a otro más simple y, en general, a una clave (o, como hoy diríamos, una «fórmula») de solución más o menos aceptada. La segunda vía propiciaba la consideración de unas proposiciones primeras o primordiales cuyo alcance venía a ser más general y sistemático. “«En los problemas la demostración sirve al propósito de confirmar una construcción..., mientras que en los teoremas, la demostración merece atención por sí misma habida cuenta de su capacidad para revelarnos la naturaleza de lo investigado». Así que, a primera vista, la prueba de las proposiciones «problemáticas» guarda una relación más estrecha con ciertos postulados y la prueba de las proposiciones «teoremáticas» depende más sustancialmente de las definiciones.”(Vega, 1990 p. 275).

Estos indicios condujeron a la axiomatización que se presenta en los Elementos de Euclides. Esta obra está compuesto por 13 libros que contienen 132 definiciones, 5 postulados, 5 axiomas y 465 proposiciones. El libro I contiene 23 definiciones, las 5 nociones comunes o axiomas, los 5 postulados, y 48 teoremas de los cuales 14 son problemas y 34 son teoremas. El libro II trata de 14 proposiciones, 2 de ellas problemas y el resto teoremas dirigidos a ilustrar el alcance del desarrollo elemental de la aplicación de áreas, conocida actualmente como álgebra geométrica. El libro III se basa en 11 definiciones y contiene 37 proposiciones de las cuales 5 son problemas y los demás teoremas; relativos a la geometría del círculo. El libro IV empieza con 7 definiciones y contiene 16 proposiciones, todos ellas son problemas relativos a la construcción de polígonos regulares. El Libro V contiene el excepcional aporte de Eudoxo sobre el estudio de la proporción; parte de 18 de definiciones y consta de 25 teoremas. El libro VI con 4 definiciones, estudia 33 proposiciones, comprendida en 8 problemas y los demás teoremas sobre la teoría de la proporción a la geometría plana.

La teoría aritmética de los Elementos está desarrollada en los libros VII, VIII y IX que contienen 102 proposiciones y en 23 definiciones se dan las nociones de número algunos mencionamos a continuación:

Definición 1: « La unidad es aquello en virtud de lo cual cada una de las cosas es llamada una». Definición 2: «un número es la pluralidad compuesta de unidades». Definición 3: «un número es parte de un número, el menor del mayor, cuando mide el mayor».


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El libro X trata de la conmensurabilidad e inconmensurabilidad de magnitudes, consta de 16 definiciones distribuidas en tres grupos a través del libro incluyendo 115 teoremas. Los libros XI, XII y XIII tratan la geometría del espacio que parte de 28 definiciones con 75 proposiciones, 63 de ellas teoremas y los restantes problemas. A continuación se detallará la práctica de la demostración en los Elementos. El patrón general de prueba practicado en los Elementos de Euclides señalado por Vega (1990) consiste en que el desarrollo de toda proposición, si es cabal y completo, comprende los siguientes pasos:

1. Enunciado, 2. Exposición, 3. Determinación o delimitación, 4. Preparación, 5. Demostración y 6. Conclusión. Todos estos pasos no se encuentran necesariamente pero se consideran esenciales: el enunciado, la demostración y la conclusión. Un ejemplo de la demostración clásica de los Elementos y teniendo en cuenta los pasos básicos, es la demostración del teorema de Pitágoras, proposición 47 del libro I. A continuación daremos el esquema de prueba del teorema de Pitágoras en los Elementos de Euclides, dado por (Sánchez, 2015):

Enunciado: En los triángulos rectángulos el cuadrado que subtiende el ángulo recto es igual a los dos cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto.

Enunciado particular: Sea ACB el triángulo rectángulo que tiene el ángulo recto ACB. Digo que el cuadrado sobre AB es igual a los cuadrados sobre BC y AC.

Figura 6. Demostración del teorema de Pitágoras

Demostración:

1. Cada uno de los ángulos ECA y ACB es recto; y en el punto C las dos rectas CE y CB no situadas en el mismo lado de la recta CA hacen ángulos adyacentes iguales a dos rectos, por lo tanto, CE está línea recta con CB (T14).


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2. Y puesto que DAC es igual al ángulo BAK, por ser ambos rectos (P4), añádase el ángulo CAB a cada uno de ellos, entonces los ángulos resultantes DAB y CAK son iguales (NC3).

3. Dado que AB=AK y AD=AC (Def. de cuadrado) los lados AB y AD, del triángulo DAB son iguales a los lados AK y AC del triángulo CAK; entonces el triángulo DAB es igual al triángulo CAK (de 1 y 2 y T4). Por tanto la base DB es igual a la base CK.

4. El paralelogramo AHKJ es doble del triángulo CAK porque tiene la misma base AK y están entre las mismas paralelas AK y CJ (T41). El cuadrado DACE es doble del triángulo DAC porque tienen la misma base AD y están entre las mismas paralelas (T41). Pero dobles de cosas iguales son iguales, el cuadrado DACE es igual al paralelogramo AHKJ(*).

5. De la misma manera si se unen A con G y C con I con J, con un razonamiento análogo al anterior puede verse que el paralelogramo HBJI es igual al cuadrado CNGF. Por lo tanto, todo el cuadrado ABKJ es igual a los cuadrados DACE y CBGF (NC2).

6. Por lo tanto el cuadrado sobre AB es igual a (la suma de) los cuadrados sobre los lados AC y CB.

7. Que era lo que se quería demostrar.

En la demostración dada se ha especificado a cuál teorema, definición, postulado o axioma fueron usados en la demostración.

1.3 La demostración en la edad media

En el siglo XI se dio la reconquista de España y Sicilia por parte de los árabes. Esto supuso una renovación y revitalización del mundo cristiano. En particular, abrió la posibilidad de que los cristianos pudieran absorber una gran cantidad de conocimiento griego y de otras latitudes como de los hindúes y los babilónicos que habían sido preservados por los árabes. Los textos que más influenciaron el pensamiento europeo en esta época fueron los de Aristóteles, pero, debe decirse, que fueron introducidos y aceptados de manera poco crítica. Por otro lado, las ideas griegas fueron integradas por los escolásticos en una doctrina que mezclaba ideas de Aristóteles y de los sagrados evangelios.

Las concepciones medievales de la demostración se manifiestan dentro de la tradición clásica. Todo el legado proviene inicialmente de las contribuciones dadas por Aristóteles en su tratado de los Analíticos en torno a las dimensiones lógica, epistemológica de la prueba y del saber demostrativo; la estoica, considerando los aspectos lógicos y epistemológicos de la inferencia y la argumentación demostrativa; estudios basados en el libro de los Elementos y la Microtegni (obra árabe).

Los medievales se basaron en los planteamientos antiguos dejados por Aristóteles en sus tratados que en consecuencia lograron investigaciones de manera metalógica, es decir describiéndolas mas no construyendo fórmulas lógicas que de cierto modo no


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lograron avanzar pues fueron carentes de un lenguaje simbólico para las inferencias; se quedaron en detalles semánticos y filosóficos.

1.4 Renacimiento

Con la fuerza de los avances científicos del renacimiento renace la huella de las pruebas matemáticas de la mano de Rene Descartes (1596 - 1650), quien rompe el pensamiento medieval. “Descartes promovió el método deductivo y el poder de la razón, y además propuso una visión mecanicista en el conocimiento de la realidad. Se trataba de entender que todos los fenómenos de la naturaleza se podían describir a través de leyes de la mecánica” (Ruíz, A. p.241 2003). Por otro lado tenemos a Leibniz (1646 - 1716) quien propuso una lógica simbólica que haría reducir el razonamiento a un tipo de cálculo bajo la inspiración de las pruebas algebraicas y otros elementos combinatorios y analíticos, que permite nuevas vías de deducción apoyado de nuevas lógicas subyacentes. “En el presente contexto su contribución mayor estriba en reconocer un nuevo estándar de la prueba y del rigor demostrativos: de acuerdo con este patrón, una demostración consiste en una secuencia lineal y formalmente concluyente de proposiciones que comienza con definiciones o verdades de razón reducibles a ecuaciones de términos (conceptos) idénticos, y procede a través de una serie infinita de pasos lógicos y de sustituciones de términos definidos hasta llegar a la conclusión” (Vega 1997 p. 323). Su idea fracasó, aunque su visión fue grande, y su planteamiento estaba muy lejos de ser realizable en la construcción de un lenguaje simbólico que superara la silogística aristotélica.

1.5 Lógica del s. XIX

En el siglo XIX comienzan a cambiar las cosas. Es de destacar aportes como el de George Boole (1815 - 1864) con su obra Análisis matemático de la lógica en (1847) la que algebriza la teoría del silogismo aristotélico: trabaja con dos valores, verdadero (1) y falso (0). Augustus De Morgan (1806 - 1871) propone nuevas formas de simbolizar operaciones lógicas en el libro Lógica formal también de 1847, donde retoma la idea de Leibniz de elaborar la lógica como un cálculo, y logra crear las reglas de equivalencias que actualmente conocemos como leyes de Morgan. Estos personajes lograron contribuir con nuevas formas simbólicas en el lenguaje de la lógica que conocemos actualmente como álgebra de proposiciones. De esa forma se pudo descubrir una cantidad asombrosa de nuevos tipos de deducción o inferencia, y también con sus aportes consiguió dar un paso importante en la superación de los planteamientos aristotélicos y estoicos.

Finalizando el siglo XIX se empiezan a manifestar nuevas tendencias en la lógica; la primera se “interesaba por la convalidación de argumentos y la detención de falacias, mediante esquematizaciones de formas lógicas dentro del discurso común o académico” y la segunda posee algunos intereses característicos: “la construcción de lenguajes simbólicos artificiales; el estudio formal y sistematico de la deducción matemática; y la investigación de estructuras y de modelos matemáticos” (Vega 1996


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p.8). El trabajo de Gottlob Frege (1848 - 1925) en su obra Begriffsschrift propone una lógica simbólica clásica que superaría la brecha entre los aristotélicos y estoicos en una síntesis superior lo cual marcaría el comienzo de la lógica contemporánea. Frege hizo grandes aportes a lo que hoy conocemos como lógica matemática: cálculo proposicional completando los conectores no, y, si…entonces dados previamente por los estoicos; reglas para el empleo de los cuantificadores universales y existenciales. “La Begriffsschrift de Frege fue en 1879, el primer tratado de lógica en el que la matemática fue presentada de manera completa, comenzando por un cálculo de proposiciones semejante al de Crisipo y procediendo luego en el debido orden a desarrollar un cálculo de clases” (Kneale, 1972 p. 394). Frege intentó demostrar que la aritmética era reducible a lógica: cada verdad aritmética puede formularse utilizando sólo las nociones de la lógica y probadas utilizando sólo axiomas y reglas de inferencia de la lógica, por ello su interés en desarrollar una lógica más acorde con el razonamiento de las matemáticas.

1.6 Siglo XX

“Por desgracia, el opúsculo de Frege, que marcaba un hito en la evolución de la lógica y abría una nueva época para ésta, pasó desapercibido entre los matemáticos y filósofos” (Kneale, 1972 p. 403). Transcurrieron veinte años para que Bertrand Rusell (1872 - 1970) aprovechara el instrumento lógico, analítico y notacional de Frege para intentar constituir una base firme para la lógica clásica lo cual fue desarrollado ampliamente junto con Alfred North Whitehead (1861-1947) en la obra Principia

Mathematica. “En ella se capitalizaron desarrollos de la lógica iniciados por Boole para dotar a la lógica de un simbolismo adecuado que la liberaría de las ambigüedades contenidas en el lenguaje natural y sus connotaciones intuitivas anexas. Esto se logró independientemente del programa de Frege que perseguía un propósito similar, pero que no fue ampliamente consultado y difundido debido a la complejidad del simbolismo empleado.” (González, M. p. 22, 2003)

Personajes que complementan la idea de Leibniz del cálculo lógico son Giuseppe Peano (1858 - 1932) y David Hilbert (1862 - 1943); con ellos las matemáticas son rigorizadas. Peano realiza un proceso de axiomatización de la aritmética basado en las nociones primitivas de número, cero, y sucesor y junto a cinco axiomas en su Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita (1910 - 1913), emplea los símbolos actuales de pertenencia, contenencia, existencia, unión e intersección entre conjuntos.

David Hilbert, creador de la escuela formalista, publicó en 1899 su obra Fundamentos

de la Geometría en la que presenta una nueva formulación de la geometría euclidiana con una estructura que ha pasado a llamarse axiomática formal. A partir del s. XX con todos los avances mencionados desde Boole hasta Hilbert, particularmente con el surgimiento de la teoría de conjuntos, la «conjuntización» de las matemáticas y el desarrollo de las estructuras algebraicas, surgiría la llamada «matemática moderna».


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1.7 Lógica informal

A partir de los años 60 los profesores de lógica de Estados Unidos y Canadá marcan el retorno de los estudios sobre retórica y argumentación dando nacimiento a una nueva disciplina conocida como lógica informal, retórica contemporánea o pensamiento crítico a causa de que los profesores evidenciaban en sus procesos de enseñanza que sus estudiantes no respondían a las habilidades de analizar y realizar argumentos correctos. El movimiento reconoce en Stephen Toulmin (1922- ), Catherine Olbrechts-Tyteca (1930 - ), y Chaim Perelman (1912- ) los fundamentos de la “nueva retórica”.

Es así que “la lógica informal se dedica al estudio de los argumentos de la vida cotidiana, dados en lenguajes naturales en cualquier ámbito. Procura dar herramientas para el análisis crítico de los mismos como son: estructura de un argumento, explicitación de premisas, valoración de premisas, reparación de argumentos, reconocimiento de falacias, etc. Adicionalmente, la lógica informal estudia la argumentación en general, tomando de referencia la lógica matemática, razón por la cual se convierte en un paso previo al estudio de la lógica matemática, como modelo simbólico y como el estudio de la argumentación deductiva” (Sánchez, 2009 p. 2.).

El papel que ejerce la argumentación sobre el proceso de enseñanza de las matemáticas, las dificultades que presenta la argumentación en el lenguaje natural y en las diferentes ramas del conocimiento son presentados en el siguiente capítulo.


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2. Aspectos didácticos

2.1 La argumentación en el currículo colombiano. El Ministerio de Educación Nacional relaciona la argumentación como competencia en los siguientes documentos. Lineamientos curriculares de matemáticas: dentro de la organización del currículo de matemáticas se proponen tres grandes aspectos, uno de ellos llamado procesos generales, el cual está estrechamente relacionado con el aprendizaje del razonamiento matemático que tiene presente la edad de los estudiantes y su nivel de desarrollo cognitivo. “Que cada logro alcanzado en un conjunto de grados se retoma y amplía en los conjuntos de grados siguientes. Así mismo, se debe partir de los niveles informales del razonamiento en los conjuntos de grados inferiores, hasta llegar a niveles más elaborados del razonamiento, en los conjuntos de grados superiores.” (MEN, 1998, pág 54) Además, conviene enfatizar que el razonamiento matemático debe estar presente en todo el trabajo matemático de los estudiantes, y por consiguiente, este eje se debe articular con todas sus actividades matemáticas. Razonar en matemáticas tiene que ver con:

• Dar cuenta del cómo y el porqué de los procesos que se siguen para llegar a conclusiones.

• Justificar las estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas.

• Formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contraejemplos, usar hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar otros hechos.

• Encontrar patrones y expresarlos matemáticamente. • Utilizar argumentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las

matemáticas, más que una memorización de reglas y algoritmos, son lógicas y potencian la capacidad de pensar.

En los grados superiores el objetivo es argumentar de manera formal proporcionándole elementos que permiten ejercitar el cerebro para verificar la validez de argumentos, la negación de la conclusión, el silogismo hipotético, argumento inválido, el razonamiento inductivo, el razonamiento deductivo y métodos de demostración. Es necesario que en las diferentes conversaciones o debates originados en la vida cotidiana se analicen las afirmaciones a partir de los principios lógicos que sustentan la argumentación.

Como pauta de evaluación se pretende indagar si el estudiante:

• Formula hipótesis, las pone a prueba, argumenta a favor y en contra de ellas y las modifica o las descarta cuando no resisten la argumentación.

• Sigue argumentos lógicos, juzga la validez de un argumento y construye argumentos lógicos sencillos y válidos.


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• Analiza situaciones de la vida diaria. • Disfruta y se recrea en exploraciones que retan su pensamiento y saber

matemático, y exigen la manipulación creativa de objetos, instrumentos de medida, materiales y medios.

• Hace inferencias a partir de diagramas, tablas y gráficas que recogen situaciones del mundo real; estima, interpreta y aplica diferentes medidas.

• Detecta y aplica distintas formas de razonamiento y métodos de argumentación en la vida cotidiana, en las ciencias sociales, en las ciencias naturales y en las matemáticas; analiza ejemplos y contraejemplos para cambiar la atribución de necesidad o suficiencia a una condición dada.

• Hace preguntas y elabora proposiciones hipotético-deductivas.

Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas: nuevamente se menciona el razonamiento como una estructura, la cual pretende el desarrollo del razonamiento lógico desde los primeros grados apoyados de los modelos y materiales físicos e interactivos, logrando interpretar o transformar lo que es percibido logrando descubrir regularidades o patrones de acuerdo con las estructuras cognitivas que han sido desarrolladas. Ya en los grados superiores se evidencia el funcionamiento cognitivo en términos de estructura lógico – matemática; puede trabajar directamente con proposiciones y teorías, cadenas argumentativas e intentos de validar o invalidar conclusiones, pero suele apoyarse también intermitentemente en comprobaciones e interpretaciones en esos modelos, materiales, dibujos y otros artefactos.

Estándares Básicos de Competencias Ciudadanas: capacitan a los jóvenes para la convivencia, la participación democrática y la solidaridad. Se desarrollan en la educación básica primaria, básica secundaria y media técnica. La propuesta de estándares para básica secundaria y media menciona la argumentación para la formación ciudadana en el estándar de convivencia y paz con el uso de la competencia de conocimientos específicos y la competencia comunicativa, así:

• Argumento y debato sobre dilemas de la vida cotidiana en los que distintos derechos o distintos valores entran en conflicto; reconozco los mejores argumentos, así no coincidan con los míos.

La competencia argumentativa requiere el desarrollo de habilidades en el lenguaje. De acuerdo a los estándares básicos de competencias del lenguaje, al terminar el grado noveno el estudiante:

• Reconoce el lenguaje como capacidad humana que configura múltiples sistemas simbólicos y posibilita los procesos de significar y comunicar.

• Analiza los aspectos textuales, conceptuales y formales de cada uno de los textos que lee.

• Lee con sentido crítico obras literarias de autores latinoamericanos. • Interpreta elementos políticos, culturales e ideológicos que están presentes en

la información que difunden los medios masivos y adopto una posición crítica frente a ellos.


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Y con relación a la acción argumentativa dentro de la competencia comunicativa, al terminar el grado noveno el estudiante debe demostrar:

• Produce textos orales de tipo argumentativo para exponer sus ideas y llegar a acuerdos en los que prime el respeto por mi interlocutor y la valoración de los contextos comunicativos

• Utiliza el discurso oral para establecer acuerdos a partir del reconocimiento de los argumentos de sus interlocutores y la fuerza de sus propios argumentos.

• Caracteriza y utiliza estrategias descriptivas y explicativas para argumentar sus ideas, valorando y respetando las normas básicas de la comunicación.

• Utiliza un texto explicativo para la presentación de sus ideas, pensamientos y saberes.

• Utiliza el dialogo y la argumentación para superar enfrentamientos y posiciones opuestas.

En el propósito de lograr estas observaciones de los distintos documentos del MEN es importante revisar las dificultades que se presentan en la educación básica y media con respecto a la argumentación. A esto dedicaremos el siguiente apartado. 2.2. Obstáculos epistemológicos en el proceso enseñanza – aprendizaje de la argumentación.

La relación argumentación – demostración es inevitable en la clase de matemáticas, pero la primera dificultad que ofrece en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la demostración, es la relación entre la didáctica desarrollada por el profesor y los estudiantes, ya que en esta instancia el docente asume el rol de juez para indicar si es válido o no, lo que los estudiantes construyan en clase. De ese modo el estudiante se sentiría encasillado en un modelo conductista donde debe seguir las pautas estrictas válidas dadas por su docente sin tomar vías alternativas que tal vez conducirían a la validez de sus procesos de aprendizaje.

“La superación de esta dificultad inherente a los sistemas didácticos puede ser investigada en situaciones que permiten la devolución a los estudiantess de la responsabilidad matemática sobre sus producciones, lo que significa la desaparición del docente de los procesos de toma de decisión durante la resolución de un problema en favor de un esfuerzo de construcción de medios autónomos de prueba por parte de los alumnos.” (Balacheff, 1999).

Para devolver a los estudiantes la responsabilidad matemática se considera como solución poner en práctica la argumentación que se desarrolla con la interacción entre los mismos estudiantes, familiares, y la sociedad en general, relegando al docente el rol de guía para la construcción propia de conocimientos. Pero este paso de interacción social hace limitar la consecución en los estudiantes de la estructura formal de la demostración. Según investigaciones de Balacheff, la argumentación confirma el carácter productivo y esencial de la interacción social. Sin embargo esos trabajos también revelaron que por su misma naturaleza, estos tipos de interacción fomentan procesos y comportamientos sociales que se oponen a la construcción de


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una problemática matemática, o en general científica, de la prueba por parte de los estudiantes.

Anteriormente se han analizado las dificultades lingüísticas entre la relación de argumentación y demostración; ahora falta analizar la complejidad cognitiva de estos dos componentes. La argumentación se constituye en obstáculo epistemológico al aprendizaje de la demostración, pues argumentar es un proceso espontáneo discursivo que lo hace distante a la demostración en el aspecto de no identificar las modificaciones y funcionamiento de los conocimientos específicos del quehacer matemático contenidos en el discurso y a la vez transformar el funcionamiento del mismo discurso. Balacheff (1999) considera que “el desarrollo de la argumentación aun en sus formas más elaboradas no abre los ojos hacia la demostración. Un aprendizaje específico e independiente es necesario en lo que concierne al razonamiento deductivo" y que la demostración requiere un aprendizaje "específico e independiente.", “sugiere la posibilidad de una argumentación matemática a la cual los alumnos accederían mediante la práctica de discusiones reguladas por normas sociomatemáticas que emergerían de las interacciones entre el docente y los alumnos (el docente es visto como un representante de la comunidad matemática). En esta aproximación, la construcción de una racionalidad matemática (la demostración no se enseña como tal) y la argumentación están estrechamente ligadas.”

Con base en todas las reflexiones anteriores, presentamos nuestra propuesta didáctica para aportar en la solución de las dificultades del proceso enseñanza – aprendizaje de la argumentación en matemáticas.


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3. PROPUESTA DE LA UNIDAD DIDÁCTICA

Los estudiantes de grado noveno con el proceso de enseñanza y aprendizaje de la lógica deben desarrollar la competencia matemática de razonamiento y argumentación. Las dos componentes esenciales del razonamiento matemático son la inducción mediante la realización de generalizaciones y conjeturas, y la deducción para probar teoremas. Por lo tanto, escogimos como aspecto disciplinar a la lógica informal en el desarrollo de las diferentes guías.

3.1 DESCRIPCIÓN DE LA UNIDAD DIDÁCTICA

La argumentación es el mecanismo que relaciona la información concreta con las abstracciones y generalizaciones; es decir, es el proceso que relaciona datos, siguiendo las reglas del pensamiento crítico, para sostener, defender una idea. De esta manera, podemos decir que el propósito principal de los textos argumentativos es legitimar explícitamente la información que proporciona el texto, por medio de datos empíricos, razonamientos o pruebas. En otras palabras, la función primordial de la argumentación es persuadir al lector de lo que se afirma por medio de razones. Por lo tanto, es importante destacar los aprendizajes esperados:

� Identificar los diferentes tipos de textos del lenguaje escrito, particularmente los argumentos.

� Reconocer las premisas y la conclusión de un argumento. � Identificar y determinar el valor de verdad de una proposición en diferentes

contextos. � Reconocer las proposiciones simples y compuestas. � Simbolizar proposiciones compuestas usando variables proposicionales y los

conectivos lógicos, y determinar su valor de verdad. � Reconocer el conectivo principal en las proposiciones compuestas de

compuestas. � Establecer cuándo una proposición compuesta es una tautología, contingencia

o contradicción. � Determinar cuándo dos proposiciones compuestas son lógicamente

equivalentes y cuándo una implica a la otra. � Probar la validez de un argumento mediante la asignación de valores de

verdad a las premisas y a la conclusión. � Reconocer las reglas de inferencia básicas. � Emplear la regla de la condicional y el método de reducción al absurdo para

probar las proposiciones condicionales. � Deducir conclusiones de un conjunto de premisas dadas. � Identificar las expresiones que contienen cuantificadores. � Hallar la negación de proposiciones cuantificadas.

En las actividades que se presentan en esta sección pretendemos que los estudiantes desarrollen la competencia argumentativa a través de los aprendizajes esperados mencionados previamente y del proceso de enseñanza aprendizaje de la pedagogía activa que parte de los conocimientos previos de los estudiantes y que posibilita la construcción de conocimientos nuevos por si solos.


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De acuerdo con lo anterior, se propone la siguiente guía de actividades, en las cuales en cada caso se da la teoría necesaria para realizarla.

1. Reconocimiento de argumentos 2. Reconocimiento de las premisas y la conclusión de un argumento 3. Aproximación al cálculo proposicional

3.1 Proposición 3.2 Proposiciones compuestas (conectivos lógicos) 3.3 Proposiciones compuestas de compuestas (tablas de verdad) 3.4 Implicación y equivalencia 3.5 Argumentos válidos e inválidos 3.6 Reglas de inferencia 3.7 Regla de la condicional y método de reducción al absurdo.

4. Manejo de cuantificadores.

La propuesta didáctica se establece como un proceso formativo; desde el primer momento se tienen en cuenta los preconceptos de los estudiantes (prueba diagnóstica) para luego confrontar con la teoría; el aprendizaje se refuerza en cada momento con diversos ejercicios de manera individual y grupal, por lo tanto, la evaluación no se considera como un momento final del aprendizaje. Desde esta perspectiva, el proceso de evaluación requiere establecer los objetivos que el estudiante debe alcanzar y las competencias que debe desarrollar sucesivamente. También, las guías de aprendizaje hacen un seguimiento permanente que asegure el éxito del aprendizaje.

El esquema de las guías de aprendizaje evidencia las competencias y objetivos en cada una. Por este motivo, cada una de las guías de aprendizaje está organizada de la siguiente manera:

I. Expresa tus ideas (registro de preconceptos) II. Confronta tus ideas (exposición de contenidos conceptuales) III. Expresa lo aprendido (actividades individuales de comprensión de los

contenidos) IV. Actividad grupal (actividades que construyen explicaciones) V. Evaluación individual VI. Trabajo en casa (actividades profundización)

Los instrumentos para verificar los aprendizajes esperados en los estudiantes son:

� La prueba diagnóstica que indaga los conceptos previos. � El registro de las actividades de clase. � El avance de la guía � La corrección en el cuaderno.

Actividades didácticas Las características a destacar en las guías de aprendizaje son las siguientes:

• Las lecturas, fragmentos e imágenes que obedecen a la edad e intereses de los estudiantes.


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• El enfoque de las guías se sustenta en la aplicación de la pedagogía activa. • Transversalidad de conocimientos con el área de lenguaje en el componente

lingüístico y en la competencia comunicativa. • Importancia del desarrollo de los procesos de pensamiento. • Uso de TIC´s en la elaboración de tablas de verdad en proposiciones

compuestas.


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3.2 Prueba diagnóstica

Con el fin de identificar los conocimientos previos de los estudiantes acerca del razonamiento matemático y argumentación, se diseñó la siguiente prueba:

PRUEBA DIAGNÓSTICA I.E.D. JOSÉ MARÍA OBANDO EL ROSAL CUNDINAMARCA

Responde las siguientes preguntas con las cuales queremos tener una idea de tus concepciones acerca de lo que es razonar, argumentar, y el uso de la lógica para tratar ciertos tipos de razonamientos o argumentos. No se preocupe por la calificación, ya

que es un diagnóstico que nos permite determinar el nivel de razonamiento. Nombre: ________________________________Grado: ____ Fecha: _______

1. Con sus palabras diga qué entiende por razonamiento __________________________________________________________________________________________________________________

2. De los siguientes textos indica con una X cuáles crees que son argumentos: a. Facebook ofrece una opción que muchos desconocen: los usuarios de

esta red social pueden iniciar una partida de ajedrez con cualquiera de sus amigos.

b. Si se firma un acuerdo de paz con la guerrilla de las FARC, entonces se da un paso importante hacia la construcción de la paz en Colombia y se reactiva la economía del país.

c. La película de animación Kung Fu Panda 3 ha sorprendido a muchos, pues en audiencia supera a las nominadas a los Oscar. En Colombia se estrenará el 10 de marzo.

d. Los videojuegos son catalogados como perjudiciales y no dudan en decir los siquiatras que empeoran la educación de los niños. Y eso es una gran mentira pues los videojuegos estimulan una parte del cerebro, que mejoran la psicomotricidad en los niños y la rapidez mental en los jóvenes. El punto malo de este tema, es que pueden ser adictivos como todas las otras formas de ocio.

e. Algunos comen sólo dulces y postres, y eso no está nada bien. Hay que comer de todo. Comiendo sólo dulces, se te estropearán los dientes y, además, abusar del azúcar no es bueno ni para tu estómago ni para tu salud en general. ¡Por si fuera poco, puedes engordar!

3. Explique qué caracteriza a un argumento para haber señalado los que señaló en el punto anterior.

4. De un ejemplo de un argumento sencillo. _________________________________________________________


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_________________________________________________________ _________________________________________________________

5. En los puntos que siguen a continuación usted debe sacar una conclusión de las proposiciones (premisas) dadas:

a) Si una persona está enferma y toma un medicamento, entonces se siente mejor. Carlos está enfermo y se tomó el medicamento. Luego __________

b) Durante los cinco días anteriores ha llovido mucho, y hoy está lloviendo. Así que puedo concluir que _______________________

c) Todos los computadores personales permiten digitar el símbolo @. Yo tengo un computador personal. Entonces ______________________

d) Nuestra casa está hecha de madera comprimida. Mis dos vecinos siguientes tienen casas hechas de madera comprimida. Por tanto, _________________________________________________

e) Juan Manuel Santos es colombiano y es presidente. Por lo tanto, _________________________________________________

f) Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Por lo tanto, _______________________________________________

g) James es colombiano y es futbolista. Carlos es colombiano y es futbolista. Camilo es colombiano y es futbolista. Freddy es colombiano. Por consiguiente, Pedro ________________________

h) Todos los felinos son mamíferos. Todos los gatos son felinos. Por ende, ________________________________________

i) Si Felipe trabaja, no puede ir a la fiesta. Felipe trabaja o va a la fiesta. Felipe fue a la fiesta. En consecuencia, ______________

j) Si Juan estudia mucho, entonces no reprobará matemáticas. Si no entrena baloncesto, entonces estudiará. Reprobó matemáticas. Por tanto, ________________

k) 2401 es divisible por 7 o por 11. 2401 no es divisible por 11. En consecuencia, _____________________________

l) Los computadores son útiles y divertidos, y los computadores son usados frecuentemente. Si los computadores son difíciles para usar, entonces no son divertidos. Si los computadores no son bien diseñados entonces son muy difíciles para su uso. Entonces, ________________________________________

m) Si a Miguel le gusta la pizza entonces a él le gusta la cerveza. Si a Miguel le gusta la cerveza entonces no le gustan las anchoas. Si le gusta la pizza entonces le gustan las anchoas. A Miguel le gusta la pizza. Por lo tanto, ____________________________

6. Observe la lista de igualdades que se dan a continuación: 37 x 3 = 111 37 x 6 = 222 37 x 9 = 333 37 x 12= 444 A. La siguiente igualdad sería: 37 x = B. Y la siguiente?


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C. Cuál sería la igualdad cuando el segundo factor es 30? x ____=_________

_______________________________________________________ D. ¿Cuál patrón encuentras en las igualdades anteriores? Expréselo en

palabras, y si puede expresarlo en una fórmula mejor. ______________________________________________

__________________________________________________________ __________________________________________________________

7. Se construye una estructura invertida con cubos comenzando con uno en el primer piso, luego cuatro en el segundo piso, nueve en el tercero, luego 16 y así sucesivamente. A. Escriba la secuencia numérica hasta el décimo piso: _____________

_______________________________________________________

. B. Haga el gráfico correspondiente.

C. ¿Cuál patrón tiene la secuencia de los cubos que conforman cada piso? ________________________________________ _______________________________________________ D. Encuentre una fórmula general para calcular el número de cubos en

función del número de pisos de la estructura ___________________ __________________________________________________________


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3.3 Secuencia didáctica

Guía de aprendizaje No. 1 Tipos de texto Área de Matemáticas

I.E.D. JOSÉ MARÍA OBANDO EL ROSAL – CUNDINAMARCA

Asignatura: Álgebra Grado: Noveno Tema: Tipo de textos Competencias: Identifica la estructura de

un texto y algunos elementos textuales. (narrativo, informativo, argumentativo).

Nombre del estudiante Curso Fecha

Objetivos 1. Identificar diferentes tipos de textos del lenguaje escrito. 2. Diferenciar distintos tipos de textos. Recursos: Cuaderno, periódico o revista, colores, tijeras, pegante. Tiempo: 4 horas de clase. Conceptos claves: texto descriptivo (narrativo, informativo y argumentativo), texto directivo, y texto expresivo.

I. EXPRESA TUS IDEAS Observa las siguientes imágenes y lee el texto en cada uno. Luego opina si se trata de una información, una explicación o una narración.

______________________ ____________________ ______________________

La deforestación es uno de los problemas más graves del mundo. Como consecuencia de esto, aumenta la destrucción del suelo debido a la erosión, la pérdida de biodiversidad, y el efecto invernadero.

El elefante mide aproximadamente 4 metros de altura. Este mamífero se puede encontrar en la sabana africana y se agrupa en manadas.

La niña caminaba tranquilamente por el bosque cuando el lobo la vio y se acercó a ella. El lobo mandó a Caperucita por el camino más largo y llegó antes que ella a casa de la abuelita.


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II. CONFRONTA TUS IDEAS

Tipos de textos

Un texto es un conjunto de proposiciones (oraciones, enunciados) relacionados entre sí que tienen como objetivo comunicar algo. Una primera clasificación de los textos depende de lo que se busca con ellos; es lo que se llama función del texto. En este caso se consideran esencialmente tres tipos de textos:

a) textos descriptivos que relatan hechos o acontecimientos de la actualidad (informativos), o relatan hechos, situaciones o acontecimientos con carácter literario (narrativos), o expresan opiniones para sustentar o rebatir alguna idea con el fin de persuadir a un lector.

b) textos directivos que pretenden una reacción en la conducta del lector, y c) textos expresivos que manifiestan por escrito los sentimientos de una

persona.

Un texto complejo puede contener varios tipos de texto. Enseguida daremos ejemplos: Texto 1: “La oposición de Venezuela marchó para exigir la celebración del referendo revocatorio este año. El gobierno de Nicolás Maduro, presionado por los peores índices de la historia, usa todas las estrategias para cerrarles el paso a los intentos por sacarlo del poder” (El Espectador, 19 Mayo de 2016). Análisis: este es un texto de tipo informativo ya que relata la situación política de Venezuela Texto 2: “Una mañana, tras un sueño intranquilo, Gregorio Samsa se despertó convertido en un monstruoso insecto. Estaba echado de espaldas sobre un duro caparazón y, al alzar la cabeza, vio su vientre convexo y oscuro, surcado por curvadas callosidades, sobre el cual casi no se aguantaba la colcha, que estaba a punto de escurrirse hasta el suelo. Numerosas patas, penosamente delgadas en comparación al grosor normal de sus piernas, se agitaban sin concierto”. Análisis: Texto de tipo narrativo, que describe el aspecto físico de Gregorio Samsa personaje de Kafka, en su obra La metamorfosis. Texto 3: “El pensamiento es una función del alma inmortal del hombre. Dios ha dado un alma inmortal a cada hombre y mujer, pero no a otros animales o a las máquinas. Por lo tanto, ninguna máquina o animal puede pensar.” Análisis: Texto de tipo argumentativo; la conclusión “ninguna máquina o animal puede pensar” se infiere de las anteriores oraciones en el texto. Texto 4: “Entre 2001 y 2011 se crearon en Colombia 2676 nuevos programas de educación superior y sus egresados obtienen menores salarios. ¿Quién tiene la culpa de la mala calidad? ” Análisis: Texto de tipo directivo pues con la pregunta busca una reacción en el lector.


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Texto 5: “Es el cabello liso y ondeado, su frente, cuello y mano son de nieve, su boca de rubí, graciosa y breve, su tierno y albo pie por la verdura al blanco cisne vence en la blancura” (Poema épico, Arauco Domado, Canto V) Análisis: texto de tipo expresivo donde se presenta una imagen idealizada de una mujer. Texto 6: “La señora Potter era hermana de la señora Dursley, pero no se veían desde hacía años; tanto era así que la señora Dursley fingía que no tenía hermana, porque su hermana y su marido, un completo inútil, eran lo más opuesto a los Dursley que se pudiera imaginar.” Análisis: Texto de tipo argumentativo ya que pretende responder o explicar a la pregunta por qué o cómo algo es de cierta manera.

III. EXPRESA LO APRENDIDO

Responde a qué tipo de texto crees que corresponde cada uno de los textos que siguen a continuación: A. Colombia es un país de desigualdades a todo nivel, y el tema alimentario no se queda atrás. De acuerdo a la encuesta ENSIN (2010), uno de cada seis niños en Colombia presenta sobrepeso u obesidad. La situación empeora en adultos: uno de cada dos presenta exceso de peso y uno de cada seis es obeso. ________________________________________

B. En época de crisis es normal que los pocos puestos de trabajo se adjudiquen a los hombres, ya que desde siempre han sido ellos el sostén de la familia. _________________________________________________________ C. La adicción a las drogas en Medellín crece. Es un hecho. ¿Cómo podemos proteger y alentar a nuestros niños para que crezcan lejos de ese influjo tan destructivo? Hay algo: se llama familia. ______________________________________

“A ti, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura, que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina” (A la divina proporción, R. Alberti) ____________________________


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E. Analiza la imagen y el texto

_________________________________________________________

F. Los talibanes han decidido cerrar los colegios para niñas en las regiones que controlan, con el argumento de que el Islam prohíbe la educación de las mujeres porque son deficientes desde el punto de vista intelectual y religioso.

_________________________________________________________

G. El que alguien sea justo resulta de una imposición, pues toda persona sin las restricciones y exigencias de la ley buscará satisfacer sus deseos. _________________________________________________________

H. Los jóvenes crecen dirigidos por un programa asfixiante de recursos técnicos exteriores que busca hacerlos competitivos en el mercado laboral: varios idiomas, academias de música, ofimática y cibernética, etc. Al mismo tiempo se les instruye en la cultura de lo lúdico: televisión, PlayStation, Wii, iPad, redes sociales, etc.

_________________________________________________________

I. Como luchadores que son los ciclistas colombianos, sabrán que la estupidez que ronda en Colombia no los puede hacer caer. Adelante, hermanos deportistas, sigan soñando, sigan luchando, salgan del país para prepararse. ¡El cielo celebra por cada colombiano luchador que prefiere ser un ejemplo de bien! _________________________________________________________

J. La policía capturó dos miembros de los “ateos”, como bautizaron a cuatro hombres que al parecer se dedicaban a robar la ofrenda en varias de la ciudad de Bogotá. Desde Agosto del año pasado, cuando robaron $18 millones en un templo de Fontibón, las autoridades les seguían la pista a Óscar y el negro –los capturados-, que conformaban la banda junto a un hombre arrestado hace un mes y otro que sigue prófugo. (El espectador No 37.189 del 2016) _________________________________________________________

K. Asomaba el sol por el eje X cuando los numéricos habitantes de la ciudad de Tales se preparaban para asistir a la boda entre un ábaco convergente y la variable independiente y finita Fi-Fi. Era el padre de Fi-Fi un ilustre parámetro jefe del partido de los incrementos, y su madre había sido mantisa en las tablas logarítmicas, pero tuvo que dejarlo debido a una hipótesis repentina que degeneró en tesis y estuvo a punto de anularla. (Boda matemática, J. Quezada)

_________________________________________________________


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IV. ACTIVIDAD GRUPAL (grupos de tres estudiantes) Compara con tus

compañeros las respuestas dadas en los ejercicios anteriores.

De acuerdo con los conocimientos adquiridos redacta tres textos, indicando a qué tipo de texto corresponde con los siguientes temas:

• El fútbol • Las redes sociales • Los videojuegos

Luego comparte en clase con tus compañeros la lectura.

V. EVALUACIÓN (INDIVIDUAL) En cada casilla escribe el tipo que corresponda a lo estudiado.

Texto Tipo de texto Toda la vida Juan estuvo en contacto con químicos dañinos para la salud. Debido a ello sufre de cáncer en los pulmones.

Fue mostrado el nuevo descapotable de Mercedes, basado en el GTR Coupé, y el cual se lanzará oficialmente en la versión 2016 del Salón de París.

Conecta el cable HDMI a uno de los puertos "Salida HDMI" en tu decodificador de satélite o de cable, reproductor de DVD, Blu Ray o consola de videojuegos.

Te escribo en esta carta lo que quiero decirte desde hace tiempo. Quiero decírtelo pero no puedo hacerlo frente a frente porque me enredo en tu mirada, me distraigo con tus labios y me envuelvo en tu sonrisa. Y entonces se me olvida decírtelo.

Las guerras siempre empiezan mucho antes de que se oiga el primer disparo; comienzan con un cambio del vocabulario en los medios de comunicación.

A los dieciséis años, cada individuo debe elegir si permanecer en la facción de sus padres o cambiarse. Si se cambia, tendrá que renunciar a volver a ver a su familia.

La madre de Andrés no se cuidó durante su embarazo, por eso Juanito es un niño débil y con bajo peso.

¿Por fin el metro? Tanto se ha anunciado el metro para Bogotá que uno no sabe si esta vez será una realidad.

¡Hey!

Repasa los conceptos

claves.


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VI. TRABAJO EN CASA

A. Busca en periódicos, en internet o en revistas un tipo de texto de los

estudiados en clase, señala la clasificación y compártelos en clase.

Te lo aseguro, en esta guía aprendí

a identificar los tipos de textos. ¿No

te parece interesante?


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Guía de aprendizaje No. 2 Argumento Área de Matemáticas


Asignatura: Álgebra Grado: Noveno Tema: Argumento Subtema: Premisas y conclusión.

Competencia: Lee e interpreta un artículo, editorial o texto científico, identificando el argumento.


Objetivos 1. Reconocer las premisas y la conclusión de un argumento. Recursos: Cuaderno, periódico o revista, colores, tijeras, pegante. Tiempo: 4 horas de clase. Conceptos claves: premisa, conclusión, argumento deductivo, argumento inductivo.

I. EXPRESA TUS IDEAS

De acuerdo con tus conocimientos, responde con tus propias palabras A. ¿Qué entiendes por un argumento? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ B. ¿Qué es una premisa de un argumento? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ C. ¿Qué es una conclusión de un argumento? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ D. En los siguientes textos indica con color rojo la(s) premisa(s) y con color verde la conclusión.

i. El libro Cien años de soledad tiene una trama interesante. Los personajes

de Cien años de soledad están llenos de energía. El estilo de narración de Cien años de soledad es claro, ágil y fantasioso. Por lo tanto, Cien años de soledad es un gran libro.


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ii. En este líquido he echado azúcar y se ha disuelto; he echado harina y se ha disuelto; también se ha disuelto la sal y lo mismo ha ocurrido cuando he echado cosas grandes como galletas, papeles, e incluso un trozo de plástico. Estoy casi seguro de que este líquido lo disuelve casi todo.

iii. Al llegar a casa estabas sudando y respirabas muy deprisa. Eso sólo pasa

cuando se hace un gran esfuerzo físico. Evidentemente, o viniste corriendo o hiciste ejercicio antes de entrar.


Es importante definir los conceptos que serán fundamentales en el desarrollo de las actividades.

Argumento: Es un conjunto de proposiciones en las que se intenta establecer una de ellas, la conclusión, con base en otras denominadas premisas.

Indicadores de premisas. Para reconocer un argumento, nos encontraremos con frecuencia alguna de las expresiones de la lista que nos indican que nos encontramos ante premisas.

Expresiones claves Dado que Se deduce de Pues Se infiere de Puesto Como es indicado por… Ya que De donde Como Como se demostró por En tanto que Vista del hecho de que… Por cuanto Puede ser derivado de … En vista de que Debido a que Porque Seguido de … En razón de Como es indicado por

Indicadores de conclusión. La conclusión es la proposición que se sustenta sobre la base de las premisas. Las expresiones del siguiente cuadro nos anuncian que nos encontramos ante la conclusión de un argumento.

Expresiones claves Por lo tanto Por esta razón De ahí que Así Luego Lo cual prueba que Se sigue que Lo que demuestra que En consecuencia Por consiguiente Entonces Concluyo que Implica que Por ende Se deduce que Correspondientemente Indica que Podemos inferir que Se infiere que Nos lleva a …

Teniendo en cuenta las expresiones claves para identificar las premisas y la conclusión de un argumento, lo veremos en los siguientes ejemplos:


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1. Entre 2001 y 2011 se crearon en Colombia 2.676 nuevos programas de educación superior y sus egresados obtienen salarios inferiores como es indicado por los programas nuevos atraen estudiantes con menor preparación. Se infiere que, los nuevos programas se crearon en áreas de conocimiento que requieren menos inversión y a su vez generan menos retorno económico.

En el argumento anterior se resaltaron en negrilla las palabras claves; se identifican dos premisas y la conclusión. A continuación se especificará más claramente con P las premisas y con C la conclusión. P1: Entre 2001 y 2011 se crearon en Colombia 2.676 nuevos programas de educación superior y sus egresados obtienen menos salarios. P2: Los programas nuevos atraen estudiantes con menor preparación. C: Los nuevos programas se hayan creado en áreas de conocimiento que requieren menos inversión y a su vez generan menos retorno económico. 2. Debe observarse que los hombres deben ser acariciados o si no aniquilados; se

vengarán de los pequeños daños, pero no podrán hacerlo de los grandes; por lo tanto, el daño que inflijamos a un hombre debe ser tal que no necesitemos temer su venganza. (MAQUIAVELO; El príncipe)

P1: Debe observarse que los hombres deben ser acariciados o si no aniquilados. P2: Los hombres se vengarán de los pequeños daños, pero no podrán hacerlo de los grandes. C: El daño que infligimos a un hombre debe ser tal que no necesitemos temer su venganza. 3. Las armas nucleares menos destructivas son las más peligrosas, ya que facilitan

el desencadenamiento de una guerra nuclear, dado que los organismos internacionales vigilan estrictamente la producción de armas de explosión masiva.

P1: “Las armas nucleares menos destructivas son las más peligrosas” C: “Las armas nucleares facilitan el desencadenamiento de una guerra nuclear” P2: “Los organismos internacionales vigilan estrictamente la producción de armas de explosión masiva.” 4. “Muéstrate escrupuloso en la verdad, aunque la verdad sea incómoda, pues más

incómoda es en cuanto tratas de ocultarla” (Bertrand Rusell)

C: “Sea escrupuloso en la verdad, aunque la verdad sea incómoda” P:”La verdad es más incómoda cuando tratas de ocultarla”. 5. Los youtubers pueden ser definidos como personas que crean canales y suben

videos a Youtube, en los cuales hablan sobre diferentes temas. De este modo, los youtubers demuestran el interés de las nuevas generaciones por las redes, para mantenerse conectados en grupos de identidad. La mayoría de estas personas son bloggers, gamers, expertos en belleza o humoristas, quienes influencian opinión, generan moda y tienen miles de seguidores.

P1: Los youtubers pueden ser definidos como personas que crean canales y suben videos a Youtube, en los cuales hablan sobre diferentes temas. C: Los youtubers demuestran el interés de las nuevas generaciones por las redes, para mantenerse conectados en grupos de identidad.


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P2: Los youtubers son bloggers, gamers, expertos en belleza o humoristas, quienes influencian opinión, generan moda y tienen miles de seguidores.

Tipos de razonamiento

En general, un argumento tiene la forma 3�, 3�, . . ., 34/5, donde los 3�, … , 34 son premisas y Q es la conclusión. La lógica estudia principalmente la relación entre premisas y conclusión.

Los razonamientos se clasifican tradicionalmente en dos tipos diferentes: deductivos e inductivos.

Los razonamientos (argumentos) deductivos son aquellos en donde la verdad de las premisas garantiza la verdad de la conclusión. En este caso se dice que el argumento es válido, en caso contrario son inválidos.

Ejemplos:

1. Si amar es una invención humana, entonces amar es un atributo natural de los humanos. Amar es una invención humana. Por lo tanto, amar es un atributo natural de los humanos.

P1: Si amar es una invención humana, entonces amar es un atributo natural de los humanos. P2: Amar es una invención humana. C: Amar es un atributo natural de los humanos. 2. Si “South Park” es una serie de dibujos animados con lenguaje obsceno, entonces no es apto para todo el público. “South Park” es apto para todo el público. Por lo tanto, “South Park” no es una serie de dibujos animados con lenguaje obsceno.

P1: Si “South Park” es una serie de dibujos animados con lenguaje obsceno, entonces no es apto para todo el público. P2: “South Park” es apto para todo el público. C: “South Park” no es una serie de dibujos animados con lenguaje obsceno. Los razonamientos (argumentos) inductivos son aquellos en los que la plausibilidad o credibilidad de las premisas hacen muy probable la verdad de la conclusión. Los argumentos inductivos no se tratan como válidos e inválidos sino que se consideran con los apelativos de fuerte o débil según el grado de probabilidad que sus premisas confieran, a la verdad de su conclusión. Hay dos tipos de argumentos inductivos: por generalización y por analogía.

Ejemplos:

1. El plomo es buen conductor de electricidad y calor. El cobre es buen conductor de electricidad y calor. En consecuencia, todos los metales son buenos conductores de electricidad y calor.

P1: El plomo es buen conductor de electricidad y calor. P2: El cobre es buen conductor de electricidad y calor. C: Todos los metales son buenos conductores de electricidad y calor.


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RECUERDA

2. Kevin es adolescente y dejó de crecer a los 20 años. Miguel es adolescente y dejó de crecer a los 20 años. Lina es adolescente y dejó de crecer a los 20 años. Podemos inferir que todos los adolescentes dejan de crecer a los 20 años.

P1: Kevin es adolescente y dejó de crecer a los 20 años. P2: Miguel es adolescente y dejó de crecer a los 20 años. P3: Lina es adolescente y dejó de crecer a los 20 años. C: Todos los adolescentes dejan de crecer a los 20 años.

3. La gente sabe que tiene que llevar su carro a la revisión de forma regular. Los

cuerpos de las personas son similares a los de los carros. Por lo tanto, la gente también debería acudir al médico y una revisión de forma regular.

P1: La gente sabe que tiene que llevar su carro a la revisión de forma regular. P2: Los cuerpos de las personas son similares a los de los carros. C: La gente también debería acudir al médico y una revisión de forma regular. 4. Es difícil saber medir el dolor que sienten los animales, porque el dolor es subjetivo

y los animales no pueden hablar. C: Es difícil saber medir el dolor que sienten los animales P: Porque el dolor es subjetivo y los animales no pueden hablar


De los siguientes argumentos, indica las premisas, y la conclusión y además menciona si crees que el argumento es deductivo o inductivo.

A. Todos los elementos químicos del grupo VIII se denominan gases nobles. El Helio es un gas noble y pertenece al grupo VIII. El Argón es un gas noble y hace parte del grupo VIII.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

B. La alcaldía de El Rosal mediante resolución prohíbe el consumo de cigarrillo

en lugares públicos. Los establecimientos públicos que infrinjan la norma, deberán pagar hasta diez salarios mínimos vigentes. Podemos inferir que, la alcaldía considera importante el cuidado de la salud pública y que los niños y jóvenes no imitan la conducta dañina para la salud.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ C. Los videojuegos estimulan la rapidez mental de observación, la memoria visual

a corto plazo, la imaginación espacial y hasta la inhibición y control de las emociones. De ahí que los videojuegos son una herramienta tecnológica que estimula el cerebro. En cuanto que amplían la habilidad de cambiar una tarea a otra e, incluso desarrollar varias a la vez.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Los argumentos consisten en premisas y conclusión. Quizás existan muchas premisas pero sólo hay una conclusión.


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D. En el pasado, me he dado cuenta que mi perro ladra cada vez que hay un

extraño en el jardín. Mi perro ladra ahora, por lo que no es, probablemente, un extraño en el jardín.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

E. La clonación humana, al igual que al aborto, los anticonceptivos, la pornografía,

la fertilización in vitro y la eutanasia, es intrínsecamente perversa y, por lo tanto, nunca debe permitirse.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ F. El libro Cien años de soledad tiene una trama interesante. Los personajes de

Cien años de soledad están llenos de energía. El estilo de narración de Cien años de soledad es claro, ágil y fantasioso. Por lo tanto Cien años de soledad es un gran libro.

__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ G. La mayoría de las redes sociales pretenden interactuar con amigos distantes.

Facebook es una herramienta que permite compartir información de manera sencilla con millones de personas. Por esta razón, Facebook es una red social. ______________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________

IV. ACTIVIDAD GRUPAL (grupos de tres estudiantes) De acuerdo con los conocimientos adquiridos redacta un argumento en tu cuaderno por cada tira cómica:

A.

B.


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C.

D. Lees la siguiente columna de opinión tomada de (Diario ADN 22 sept. 2016), y en tu cuaderno responde las preguntas al final del texto.

Colombia es un país de intocables.

Ejemplos hay muchos y repetidos. Lo que no ha aparecido nunca es una explicación sociológica, ni siquiera política, de por qué la intocabilidad se trasmite de generación a generación o de productos, personas y grupos sociales a otros que nunca debieron haber pensado en ser intocables. Hay sin embargo uno de esos intocables que ha durado casi un siglo y parece que va a seguir igual: la cerveza. Desde cuando los Kopp fundaron Bavaria se bebieron la fábrica que don Rufino José Cuervo y su hermano habían montado, la cerveza ha sido a más de protegida por las leyes y gobiernos, un producto intocable a la hora de las tasas impositivas. Como por muchos años vendieron la tesis de que la cerveza era la salvación de la brutalidad que producía la chicha de maíz, persiguieron las chicherías hasta acabarlas. Y por estos días, cuando se aprueba una nueva Ley de Licores y se le carga la mano al vino y hasta a los aguardientes, a la cerveza no la tocan y la dejan sin que pague los tributos que todo otro producto alcohólico soporta. ¿Si en la Ley de Licores decretan pagar $ 220 por cada grado alcohólico, qué libera a la cerveza de pagar ese mismo tributo porque apenas dizque tiene 4 grados? El cuentico de seguir presentando a los bebedores de cerveza como la plebe que no se debe castigar con impuestos porque se rebela, está pasado de moda. El que quiera tomar cerveza debe pagar lo mismo por grado alcohólico que quien tome whiskies o aguardiente. Con ese embeleco lo único que


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demuestran es que protegen descaradamente a los 2 o 3 dueños de las cervecerías y a los demás nos joden, subiéndonos el IVA. A. ¿Cuál conclusión se puede obtener de la columna de opinión? B. ¿Cuáles son las premisas que apoyan la conclusión?

V. EVALUACION (INDIVIDUAL)

Dados los argumentos que se dan continuación, indica si es inductivo o deductivo, además con color rojo señala las premisas y con color verde la conclusión.

a) Si José toma su medicina, se siente mucho mejor. José toma su

medicina. Por lo tanto, se sentirá mejor. b) Todos los seres humanos son animales. Los animales sienten dolor

cuando se los golpea, como los seres humanos sienten dolor y gritan cuando se los golpea. Los animales gritan cuando se los golpean.

c) Prohibido juzgar, porque todos somos pecadores. d) El que ama no desconoce a Dios, ya que Dios es amor. e) Si llueve, el patio se moja. El patio no está mojado luego no ha llovido. f) Los últimos cuatro discos de Adele han alcanzado la lista de los diez mejores

de la revista Billboard, por esta razón su actual disco también llegará a los diez mejores.

g) Según estudios realizados por la organización mundial de la salud, el tabaco produce cáncer en un tanto porciento elevado de la población. Está comprobado que la gente que fuma tiene menos capacidad pulmonar, lo que disminuye su calidad de vida. De ahí que, fumar afecta a la salud.

h) Si un número diferente de 2 es divisible por 2 entonces no es primo. Este número diferente de 2 no es divisible por 2. Luego es primo.

i) Mañana volverá a llover, puesto que ha llovido durante los últimos cinco días y hoy también está lloviendo.

j) El 95% de adultos mayores de 65 años tienen síntomas depresivos. Pablo tiene 72 años. Por ende, Pablo tiene síntomas depresivos.

VI. TRABAJO EN CASA B. Consulta en internet o en el periódico una columna de opinión o noticia que

te parezca interesante. En ella identifica las premisas y conclusión, y también escribe tu punto de vista.

En esta oportunidad lograste

conocer el argumento identificando

las premisas y la conclusión.

Si estudias a conciencia los

conceptos, responderá muy bien

la evaluación


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Guía de aprendizaje No. 3 Proposiciones Área de Matemáticas


Asignatura: Álgebra Grado: Noveno Tema: Proposición. Competencia: Reconoce la proposición

que posee una unidad en su significado en diferentes tipos de textos.


Objetivos 1. Identificar y determinar el valor de verdad de una proposición en diferentes contextos. Recursos: Cuaderno, periódico o revista, colores, tijeras, pegante, marcadores. Tiempo: 3 horas de clase. Conceptos claves: proposición, oración.


A. De acuerdo con tus conocimientos, marca con X en la columna respectiva si la expresión dada es falsa o es verdadera.

Expresiones Verdadero Falso Gabriel García Márquez fue un escritor El Bolívar es la moneda oficial de Colombia Medellín es la ciudad de la eterna primavera Shakira es una cantante colombiana 4+3=5 El cubo tiene ocho caras

B. De acuerdo con tus conocimientos donde una oración es una relación entre un

sujeto y un predicado, analiza las oraciones y escribe en la columna correspondiente el sujeto y el predicado. Oraciones Sujeto Predicado Roberto está trabajando en Arauca El computador es muy útil


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Cali es una ciudad hermosa Tengo frío

II. Confronta tus ideas

En la comunicación con otras personas usamos un lenguaje oral o escrito para expresar enunciados como los siguientes:

• Colombia es un país ubicado en Suramérica. • Los peces poseen respiración branquial. • ¡Que viva Bob Marley! • Facebook es una red social para conocer amigos. • Los gases invernadero afectan el clima de nuestro planeta. • Aplique sobre una superficie plana y lisa este producto.

Proposición es una afirmación de que algo es, o no es. Todas las proposiciones deben ser verdaderas o falsas.

De ahí que por definición quedan descartadas las preguntas, las exclamaciones, las órdenes y otras expresiones. Ejemplos. Son proposiciones:

• El símbolo del agua es H2O. • 2 es un número par. • 21 es divisible por 4. • La biología es una ciencia natural. • David Guetta grabó un nuevo disco. • Habló el alcalde.

No son proposiciones:

• ¡Que hermosa mujer! • ¿Cómo te llamas? • Vas a la tienda y me traes una libra de arroz, por favor. • 6 + 7 = 8. • Hola. • ¿Bailamos? • A las 7:00 pm. • Encienda el equipo. • Suelte la tecla del dispositivo, el indicador luminoso permanecerá encendido. • Tengo que hacer la tarea.


A. Señala con una X las proposiciones.

� Las ballenas son mamíferos. � Tony Blair es el actual primer ministro de Reino Unido. � Hoy es un buen día.

Una oración proporciona un mensaje completo, conformado por dos partes: sujeto y predicado. En el sujeto se expresa de quién se habla y en el predicado se dice qué acción realiza el sujeto.


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� Todos los estudiantes de 902 asistieron hoy a clases. � Colombia tiene 32 departamentos. � 18 no es múltiplo de 3. � √81 = 3. � ¡Vete a dormir! � España limita al sur con Portugal. � 6 + 8 = 15. � Los ángulos de un triángulo equilátero son congruentes. � La suma de dos números negativos siempre es negativa. � ¡Me encanta el novio de Shakira! � ¿Dónde quedan las Islas Margarita? � Quisiera salir a dar un paseo. � Introduzca el código 1111.

B. Indica el valor de verdad de las proposiciones señaladas en el ejercicio anterior.

C. Relaciona cada expresión de la columna izquierda con una expresión de la

derecha para formar tres proposiciones verdaderas y dos proposiciones falsas. Luego escríbelas en tu cuaderno.

1. 21 a. es la capital de Córdoba 2. El hombre b. es múltiplo de 6 3. Los dinosaurios c. es divisible por 4 4. 18 d. es un animal racional 5. Cartagena e. se extinguieron hace 5000 años.

D. En el siguiente párrafo identifica las oraciones contenidas (usa colores).

Facebook es una red social de la que ya disfrutan mil millones de habitantes de todo el planeta. Desde sus inicios hace ya varios años, esta herramienta social ha significado un cambio muy específico en lo que las relaciones interpersonales se refieren. Facebook ha conseguido con sus aciertos y errores, formar parte de nuestra cotidianidad o tal y como afirma su creador, Mark Zuckerberg “Hacer el mundo más abierto y conectado”.

IV. ACTIVIDAD GRUPAL (Todos) Sentados en círculo, cada estudiante expresará una proposición que se anotará en el tablero, una vez que todos hayan participado, determinarán si son falsas o verdaderas.

Mi pantalón es

de color verde


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V. EVALUACIÓN (INDIVIDUAL)

Escribe una proposición falsa y una verdadera para cada imagen.

Cada vez avanzamos un poco en

esta oportunidad identificamos

proposiciones.


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Guía de aprendizaje No. 4 Proposiciones simples y compuestas

Área de Matemáticas I.E.D. JOSÉ MARÍA OBANDO

EL ROSAL – CUNDINAMARCA

Asignatura: Álgebra Grado: Noveno Tema: Proposición simple y compuesta. Competencia: Emplea conectivos

lógicos para ligar proposiciones y párrafos de un texto.


Objetivos 1. Reconocer las proposiciones simples y las proposiciones compuestas. Recursos: Cuaderno. Tiempo: 4 horas de clase. Conceptos claves: proposición simple, proposición compuesta, conectores. I. EXPRESA TUS IDEAS

A. Lee los siguientes enunciados. Luego determina cuál crees que es una proposición

simple y cuál es proposición compuesta. Coloca al frente una S o una C según el caso. • Juan práctica baloncesto. • Ni Diana ni Felipe fueron los ganadores. • Lee pero no entiende. • Yo miro la luna sin embargo hace frio. • Chaplin fue un famoso cineasta. • La selección Colombia es cuarta en las eliminatorias, por lo tanto va al mundial. • El oxígeno lo tomamos todos los seres vivos. • El gobierno mantiene los mecanismos de control. • El teléfono Sansung Galaxy 7 tiene un procesador de doble núcleo.

B. De acuerdo con lo anterior, escribe cuáles características diferencian una

proposición simple de una compuesta. _________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________


Una proposición simple es una afirmación que consta de una sola oración gramatical, es decir no tiene palabras de enlace.

Ejemplos de proposiciones simples.

• Robert estaba harto de soñar. • El señor Dursley era el director de una empresa que fabricaba taladros. • Felipe enseña matemáticas a una clase de 15 estudiantes.


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• Juan escribe versos de amor. • Llueve a cántaros en Cali. • Andrea esta alegre hoy. • El hombre se comunicó por medio de la pintura. • Mañana iré al cine. • La música alimenta el espíritu.

Ejemplos de proposiciones que no son simpes:

• Pedro compró una cometa y un balón. • Una naranja pesa 0,28 Kg o pesa 0,33 Kg • Si Liliana desea balancear su dieta, debe trotar 30 minutos diarios.

Una proposición compuesta es una afirmación conformada por dos o más proposiciones simples que se conectan mediante las palabras “y”, “o”, “si… entonces”, “si y sólo sí” y “no” o relacionadas.

Existen en la lengua castellana formas y expresiones que reflejan las relaciones lógicas que se establecen en la estructura de las oraciones. Estos elementos son los conectores, entidades lingüísticas que relacionan entre sí los enunciados, para lograr la cohesión textual. Señalan, además, las relaciones lógico-semánticas que mantienen la coherencia global para facilitar la comprensión del texto. Los conectores textuales son adverbios, preposiciones, conjunciones y frases. Los conectores más usuales son:

Conectores (forma básica) Sinónimos Negación No P

Es falso que, no ocurre, no es el caso que, no es cierto que.

Conjunción P y Q

Además, también, más, aún, por otra parte, sobre todo, así mismo, igualmente, Pero, sin embargo, no obstante, aunque, por el contrario, por otra parte, aun cuando, al contrario de, de otra manera, en contraste.

Disyunción P o Q

O (u), es la que se emplea por defecto. O bien, ya sea que…o.

Condicional Si P entonces Q.

Por consiguiente, por esta razón, de ahí que, en consecuencia, así que, puesto que, por tanto, por cuanto, por este motivo.

Bicondicional P si y sólo si Q.

Es equivalente, es lo mismo que, significa que, es igual a que, es condición necesaria y suficiente, siempre y cuando.

Ejemplos de proposiciones compuestas. Subrayado está el conector o conectores.

• Harry Potter se ha quedado huérfano y vive en casa de sus abominables tíos y

del insoportable primo Dudley. • Si la sociedad de los hombres ha de ser siempre como ahora, entonces la

corrupción es eterna. • Jesús es feliz si y sólo si ve su película favorita. • No es el caso que Fernando tenga una gran nariz y el cabello rojo. • Si √2 es un número irracional entonces es un número real.


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51

• �� + 16 = 25 es lo mismo que � = −3(� = 3. • Las estrellas tiene luz propia, por el contrario, los planetas son opacos. • La tierra gira en torno al sol, asimismo, lo hacen los demás planetas del

Sistema Solar.

III. ¡EXPRESA LO APRENDIDO!

1. Determina cuáles de las siguientes proposiciones son simples y cuáles son compuestas. Si es compuesta, marca el conector o los conectores.

� El profesor de matemáticas tenía tres disparos muy evidentes en el pecho. � Los videojuegos mejoran la sicomotricidad y la rapidez mental en los jóvenes. � La esmeralda es la piedra preciosa más abundante en Colombia. � Los metales son buenos conductores de electricidad entonces producen

energía. � El magnesio cuando se quema, produce una luz brillante blanca. � El helecho se reproduce por esporas. � Bogotá no es la capital de Colombia si y sólo si Lima no es la capital de Perú. � Homero le gusta la cerveza o las rosquillas. � La camisa negra es una canción de Carlos Vives. � Llueve, así que, habrá buena cosecha pero se demora en recoger la cosecha. � No iré de excursión ya que, no me dejan no obstante el próximo año iré. � El perro da saltos puesto que, su amo llegó a casa. � María tiembla por eso, tiene frío.

2. Identifica los conectores que aparecen en el siguiente párrafo:

3. Lee el siguiente texto. El restaurante

Después de una dura mañana en la Facultad de Tecnología, Álvaro, Daniel, Paco, Enrique, Carmen y Luís se encuentran en el comedor. Sabemos que:

� Daniel, Carmen y el aficionado al pescado aprecian el vino blanco. � Paco mira con envidia a las personas que eligieron jabalí y pato a la naranja. � Álvaro y Daniel están situados frente a los que degustan la tortilla de patata y

el pato a la naranja. � Álvaro, Paco y Enrique han elegido cada uno un plato de carne. ¿Quién ha pedido bistec y caracoles?

Alicia no sintió el menor daño y se puso en pie de un brinco. Miró hacia arriba, pero estaba muy oscuro. Le pareció ver sobre su cabeza, a varios metros de altura, un círculo giratorio algo menos negro que la negrura envolvente. Hacia delante, sin embargo, se veía un punto de luz, que era el final de un largo pasadizo. Lo recorrió a toda prisa, y desembocó en un amplio vestíbulo, iluminado por una hilera de lámparas colgantes del techo. (Malditas matemáticas, pág. 23)


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Ahora debes poner al frente una V si la proposición es verdadera o una F si consideras que es falsa.

Proposiciones:

1. Daniel come caracoles y Carmen pescado. 2. Paco ha elegido bistec o caracoles. 3. Álvaro está al frente de Carmen entonces Daniel está al frente de Enrique. 4. Enrique que come pato aprecia el vino. 5. Álvaro que come jabalí es envidiado por la persona que come bistec.

IV. TAREA EN CASA

Recorta un artículo de la sección deportiva de un periódico e indica en él los conectores.

En esta ocasión estudiamos la

proposición simple y la

proposición compuesta.


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Guía de aprendizaje No. 5 TIPOS DE PROPOSICIONES

COMPUESTAS Área de Matemáticas


Asignatura: Álgebra Grado: Noveno Tema: Proposiciones compuestas Subtemas: Negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.

Competencia: Define el valor de verdad en las proposiciones compuestas.

Nombre del estudiante Curso Fecha Objetivo: Simbolizar proposiciones compuestas usando variables proposicionales y los conectivos lógicos, y determinar su valor de verdad. Recursos: Cuaderno, periódico, revista o libro de lectura. Tiempo: 10 horas de clase. Conceptos claves: negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. I. EXPRESA TUS IDEAS

De acuerdo con lo trabajado en la guía anterior sobre el reconocimiento de las proposiciones simples y las proposiciones compuestas, realiza los siguientes ejercicios:

A. Niega las siguientes proposiciones

• El símbolo químico del agua es H20

_______________________________________________________ • Bogotá es la capital de Colombia

_______________________________________________________ B. ¿Cuáles conectores lingüísticos logras identificar en las siguientes proposiciones?

• Cuba es un país comunista o demócrata. • Einstein creó la teoría de la relatividad pero no la bomba atómica • Si James fue el goleador del mundial, entonces recibe la bota de oro. • Juan hace deporte siempre y cuando sí esté sano. • Si Lina cumple con sus tareas, sale con su novio. • Juan descansa si y sólo si duerme ocho horas diarias. • Ya sea comunista o ya sea capitalista somos iguales ante la ley.


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¿Qué es?

Tabla de verdad es la forma de determinar los valores de verdad de una proposición compuesta, si se conocen los valores de verdad de las proposiciones simples que la

II. CONFRONTA TUS IDEAS 2.1 Negación

Los siguientes ejemplos ilustran formas de negar una proposición dada:

Proposición Valor

de verdad

Negación :3 Valor de verdad de :3

P: Las ballenas son mamíferos.

V

� Las ballenas no son mamíferos

� Es falso que las ballenas son mamíferos

� No es verdad que las ballenas son mamíferos

F

P: James Rodriguez juega en el Barcelona F.C.

F

� Es falso que James Rodriguez juega en el Barcelona F.C.

� James Rodriguez no juega en el Barcelona F.C.

V

P: La pirámide es un cuerpo redondo.

F

� No es verdad que la pirámide es un cuerpo redondo

� La pirámide no es un cuerpo redondo

� No es el caso que la pirámide es un cuerpo redondo.

V

III. EJERCICIOS INDIVIDUALES.

A. Escribe las negaciones de las siguientes proposiciones.

1. Scooby Doo es la mascota de Shaggy.

_________________________________________________

2. Esta tarde hace más frio que ayer. _________________________________________________

3. Pitágoras nació en Grecia. ________________________________________________

4. 10 es un número primo.

________________________________________________

5. New York es llamada la capital del mundo.

Dada una proposición 3, la negación de ella, denotada por :;, es falsa si ; es verdadera y :3 es verdadera si 3 es falsa. Esta definición se resume en la siguiente tabla de verdad.

3 :3 V F F V


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_________________________________________________

6. En Colombia hay guerrilla. ________________________________________________________

B. Según tus conocimientos, encuentra 3 dado :3.

1. 5 no es un número impar.

____________________________________________

2. Es falso que Buenos Aires es la capital de Chile. ____________________________________________

3. No es verdad que el banano sea una fruta. _____________________________________________

4. No ocurre que un ángulo agudo sea igual a 90o. _____________________________________________

5. El cubo no tiene 8 aristas. _____________________________________________

6. Es falso que <== 0,75 .

_____________________________________________

7. La palma de cera no es el árbol nacional. _____________________________________________

8. No es verdad que Snapchat sea una red social. ______________________________________________

C. Indica el valor de verdad de cada una de las proposiciones del ejercicio B.

2.2 Conjunción

¿Qué es?

Los conectivos son

las palabras de

enlace usadas para

unir dos o más

proposiciones

Se llama conjunción de dos proposiciones dadas 3, 5 a la proposición de la forma 3 y 5, que se simboliza 3 ∧ 5 la cual es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falsa si alguna es falsa. La definición de la conjunción se resume en la siguiente tabla de verdad.

3 5 3 ∧ 5 V V V V F F F V F F F F


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Ejemplos:

Proposiciones Conjunción 3 ∧ 5. Valor de verdad

3: En el pueblo llueve. 5: En el pueblo hace frio. Suponemos que 3 es verdadera y 5 es F.

En el pueblo llueve y hace frio. En el pueblo llueve pero hace frio. En el pueblo llueve no obstante, hace frio. En el pueblo llueve sin embargo, hace frio. En el pueblo llueve, hace frio.

F

3: William trabaja 5: William estudia en la noche. Suponemos que 3 es V y 5 es V.

William trabaja aunque estudia en la noche. William trabaja y estudia en la noche. William trabaja pero estudia en la noche. William trabaja no obstante estudia en la noche.

V

En el siguiente cuadro damos ejemplos de conjunciones en la primera columna y en la segunda señalamos las partes simples que las componen.

Conjunción 3 ∧ 5. Partes simples Juan llegó al colegio sin embargo olvido su lonchera. Juan llegó al colegio y olvido su lonchera. Juan llegó al colegio pero olvido su lonchera.

3: Juan llegó al colegio 5: Juan olvidó su lonchera

Vamos al cine a pesar del mal clima. Vamos al cine sin embargo hay mal clima. Vamos al cine aunque hay mal clima.

3: Nosotros vamos a cine 5: Hay mal clima.

III. ¡EXPRESA LO APRENDIDO! Considera las siguientes proposiciones: 3: La falla de San Andrés se encuentra en California. 5: La falla de San Andrés mide unos 900 kilómetros de longitud. @: La falla de San Andrés es la zona de encuentro entre dos placas tectónicas. 1. Traduce al español correctamente cada una de las formas proposicionales

siguientes. Te damos como ejemplo el A. A. 3 ∧ 5: la falla de San Andrés se encuentra en California y mide unos 900

kilómetros de longitud. B. 5 ∧ @ C. 3 ∧ @ D. :3 ∧ 5 E. :@ ∧ 5 F. :5 ∧ :3 G. :�5 ∧ 3�

2. Determina el valor de verdad de las anteriores formas proposicionales usando las

dos tablas de verdad que ya conocemos, la de la negación y la de la conjunción, si


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suponemos 3, 5 y @ son verdaderas. Te damos como ejemplo la E, como @ es V, :@ es F, y como 5 es V, entonces :@ ∧ 5 es F.

3. Determina el valor de verdad de las siguientes formas proposicionales, considerando que: 3: La suma de los ángulos internos en un triángulo es igual a 180o 5: El triángulo acutángulo tiene un ángulo recto. A. 3 ∧ 5 B. 3 ∧ :5 C. :3 ∧ 5 D. :3 ∧ :5

4. De acuerdo con tus conocimientos, en cada una de las proposiciones siguientes:

a) halla las partes simples y darles un nombre 3 o 5. b) Determina un valor de verdad.

A. James Rodríguez es futbolista y Shakira no lo es. B. 17 es un número primo y 27 es un número compuesto. C. La guitarra es un instrumento de cuerda y la trompeta es un instrumento de

viento. D. El flúor es un metal y el hierro es un metaloide. E. 21 no es divisible por 4 y 18 no es múltiplo de 45. F. La tierra es un planeta del sistema solar y la luna no es un planeta.

Te damos el ejemplo con A. 3: James Rodríguez es futbolista. 5: Shakira es futbolista. Simbolización 3 ∧ :5. Valor de verdad V, porque 3 es V y 5 es F.

2.3 Disyunción

Ejemplos. Proposiciones Disyunción 3 ∨ 5 Valor de

verdad 3: El fluor es un metal alcalino. 5: El fluor es un halógeno. Suponemos que 3 es V y 5 es V.

El fluor es un metal alcalino o es un halógeno. O bien el fluor es un metal alcalino, o bien es un halógeno. Al menos el fluor es un metal alcalino o

V

Una disyunción es una proposición de la forma 3 o 5 que simbólicamente se expresa 3 ∨ 5. Es importante tener en cuenta que una disyunción es falsa, únicamente cuando son falsas las proposiciones que la componen; en los demás casos es verdadera. La definición de 3 ∨ 5 es dada por la siguiente tabla de verdad.

3 5 3 ∨ 5 V V V V F V F V V F F F


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es un halógeno. 3: Obtuve un 4 en matemáticas 5: Obtuve un 5 en la prueba de inglés. Suponemos que 3 es V y 5 es F.

U obtuve un 4 en matemáticas u obtuve un 5 en la prueba de inglés. Obtuve un 4 u obtuve un 5 en la prueba de inglés. Al menos obtuve un 4 u obtuve un 5 en la prueba de inglés.

V

3: 25 no es número compuesto. 5: 25 es un número par. Suponemos que 3 es F y 5 es V.

O bien 25 no es número compuesto o bien es un número par. 25 no es número compuesto o es un número par. O 25 no es número compuesto o es un número par.

V

3: El tratado de libre comercio con Corea es favorable para los caficultores. 5: El tratado de libre comercio con Corea es favorable para los floricultores. Suponemos que 3 es F y 5 es F.

El tratado de libre comercio con Corea es favorable para los caficultores o para los floricultores. O el tratado de libre comercio con Corea es favorable para los caficultores o para los floricultores. Al menos el tratado de libre comercio con Corea es favorable para los caficultores o para los floricultores.

F


1. Lee el siguiente texto. Indica las disyunciones que allí se encuentran. Generalmente, cuando se habla de la situación de orden público en el Medio Oriente, se cita el terrorismo del estado islámico en Europa o de la fabricación de bombas de destrucción masiva por parte de Irán. O Irán incrementa el precio de petróleo o la escasez de alimentos en Egipto empeora, Jordania pide ayuda estadounidense o Arabia Saudita compra 500 aviones de guerra más. La situación es tan compleja en Medio Oriente que se puede avecinar una guerra entre los países del Medio Oriente o Estados Unidos intervenga con el fin de acabar con el estado islámico. A. ______________________________________________________________ B. ______________________________________________________________ C. ______________________________________________________________ D. ______________________________________________________________

2. Encuentra las partes simples en las siguientes proposiciones y simbolízalas

utilizando las letras P, Q, R y S. Ejemplo: Ben Afleck personifica a Batman, o al hombre araña. 3: Ben Afleck personifica a Batman 5: Ben Afleck personifica al hombre araña. A. Batman es un superhéroe o un villano de Gotham City B. Los superhéroes no son fenómenos o son extraterrestres. C. O bien el villano no es una persona malvada o bien el villano no es un

sicópata. D. Como mínimo los héroes tratan de salvar vidas o hacer cumplir la justicia.


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E. Batman no tiene superpoderes o recurre a fabricar armas letales.

3. De acuerdo con tus conocimientos asigna un valor de verdad a cada parte simple y deduce el valor de verdad de la proposición compuesta.

2.4 Condicional

La condicional Si P entonces Q también se puede expresar con las expresiones: sólo si Q entonces P; P es suficiente para Q; P solo si Q; Q es necesaria para P; No P a menos que Q; Si P, Q. Consideremos las siguientes proposiciones condicionales: Proposiciones Condicional 3 → 5 Valor de

verdad P: 4 divide a 3. Q: 3 es par. Suponemos que P es F y Q es F.

Si 4 divide a 3, 3 es par. Si 4 divide a 3, entonces 3 es par. 4 divide a 3 es suficiente para que 3 sea par.

V

P: Manuel saca 4,5 en matemáticas. Q: Manuel salva el año. Suponemos que P es V y Q es F.

Si Manuel saca 4,5 en matemáticas entonces salva el año. Manuel salva el año es condición necesaria que saque 4,5 en matemáticas. Si Manuel saca 4,5 en matemáticas, salva el año.

F

P: El automóvil marcha. Q: El automóvil tiene gasolina en su tanque. Suponemos que P es F y Q es V.

El automóvil marcha sólo si hay gasolina en su tanque. El automóvil no marcha a menos que tenga gasolina en su tanque. El automóvil tiene gasolina en su tanque es necesario para que marche.

V

P: Venezuela se retira de la OEA. Q: Venezuela convoca a nuevas elecciones presidenciales. Suponemos que P es V y Q es V.

Venezuela se retira de la OEA es condición suficiente para que se convoque a nuevas elecciones presidenciales en Venezuela. Si Venezuela se retira de la OEA, entonces convoca a nuevas elecciones presidenciales.

V

Una condicional es una proposición de la forma Si P entonces Q, que se simboliza P→Q donde P se llama el antecedente y Q se llama el consecuente. La condicional entre dos proposiciones 3 y 5 es falsa solo cuando el antecedente 3 es verdadero y el consecuente 5 es falso, en los demás casos es verdadera. La definición se resume en la siguiente tabla de verdad.

3 5 3 → 5 V V V V F F F V V F F V


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60

En el siguiente cuadro en la primera columna se encuentra una condicional y en la segunda sus partes simples.

Condicional 3 → 5 Antecedente y consecuente Si me hacen el préstamo en el banco, compró casa

A: Me hacen el préstamo en el banco C: Compro casa

Sólo si consigo boletas, voy al partido de futbol.

A: Voy al partido de fútbol. C: Consigo boletas.

Juan asistirá a los entrenamientos, si le conviene el horario.

A: A Juan le conviene el horario C: Juan asistirá a los entrenamientos.

¡EXPRESA LO APRENDIDO!

1. Si P y Q son proposiciones verdaderas, y R y S son proposiciones falsas. Utiliza la tabla de verdad de la condicional y determina los valores de verdad de las siguientes formas proposicionales. Ejemplo:

A. @ → C Reemplazamos las proposiciones por los valores dados, luego revisamos en la tabla de verdad de la condicional de la fila en la que tanto el antecedente como el consecuente son falsos y obtenemos como resultado verdadero, así:

@ → C F V F

B. :3 → C; reemplazamos las proposiciones por los valores dados, luego

obtenemos el valor de verdad de :3 y finalmente aplicamos la condicional para obtener:

3 :3 → C V F V F

C. 3 → 5 D. @ → 5 E. :3 → :5 F. @ → :3 G. C → :C H. :�@ → C�

2. Considera las proposiciones:

P: A Nicolás le gustan los videojuegos. Q: Nicolás sabe resolver problemas rápidamente. R: A Nicolás no le gustan las matemáticas.

Escribe en palabras las formas proposicionales que se indican a partir de las interpretaciones dadas a las partes simples que las componen.

A. 3 → 5 B. @ → :3

P Q P → Q V V V V F F F V V F F V


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C. :�5 → @� D. :5 → 3 E. :@ → :5

3. Si P, Q y R son verdaderas, y A, B, C son falsas, determina el valor de verdad de

las formas proposicionales dadas utilizando las tablas de verdad para la negación, disyunción, conjunción y la condicional. Te damos un ejemplo.

DE → :�F ∨ 5�G → D�E ∧ 3� → �F ∧ H�G tiene valor de verdad V.

Inicialmente reemplaza las proposiciones por los valores de verdad asignados, luego determina el valor de verdad del conectivo correspondiente empezando con los paréntesis más internos y continuando hacia el externo de la misma manera que en álgebra se resuelven los paréntesis.

F ∨ 5 :�F ∨ 5� E → :�F ∨ 5� E ∧ 3 F ∧ H �E ∧ 3� → �F ∧ H�

V F F V F F F F V F DE → :�F ∨ 5�G → D�E ∧ 3� → �F ∧ H�G V V V

A. 3 → @ B. 3 → :5 C. :�5 → @� D. �5 → E� ∨ �3 → F� E. �E → F� ∧ �H → 3� F. :�5 → :@� ∨ :E G. �3 → 5� → �@ → E� → �F → :H� H. :�E ∨ F� → :�3 ∧ @�

2.5 Bicondicional

Ejemplos.

Proposiciones Bicondicionales P↔Q Valor de

verdad P: El triángulo es un poligono. (V) Q: El triángulo tiene tres lados. (V)

El triángulo es un polígono si y sólo si, tiene tres lados. El triángulo es un polígono siempre y cuando tenga tres lados.

V

P: La naranja no es rica en La naranja no es rica en vitamina C, si y V

Una bicondicional es una proposición de la forma 3 si y sólo si 5, la cual es verdadera cuando P y Q son ambas verdaderas o ambas falsas, y es falsa en caso contrario. La bicondicional de P y Q, que se denota P↔Q. Se resume en la siguiente tabla de verdad.

3 5 3 ↔5 V V V V F F F V F F F V


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62

vitamina C. (F) Q: La naranja no es una fruta cítrica. (F)

sólo si, es una fruta cítrica. La naranja no es rica en vitamina C siempre y cuando sea una fruta cítrica.

P: Felipe va de vacaciones. (V) Q: Felipe aprueba todas las materias. (F)

Felipe va de vacaciones si y sólo si, aprueba todas las materias. Felipe va de vacaciones siempre y cuando aprueba todas las materias.

F

Ejemplos. Reconoce las partes simples dada la bicondicional.

Bicondicional Partes simples Los estudiantes estarán contentos siempre y cuando no haya clases.

P: Los estudiantes estarán contentos. Q: Hay clases.

6 − ℎ = 0si y sólo si 6 = ℎ. P: 6 − ℎ = 0 Q: 6 = ℎ

42 es múltiplo de 6 es una condición necesaria y suficiente para que 42 sea el producto de 6 por 7.

P: 42 es múltiplo de 6 Q: 42 es el producto de 6 por 7.

¡EXPRESA LO APRENDIDO! 1. Construye las bicondicionales a partir de las proposiciones simples dadas. Luego, determina su valor de verdad, suponiendo que las proposiciones son verdaderas.

P: Colombia clasifica al mundial de Rusia 2018. Q: Colombia finaliza entre los primeros cuatro de las eliminatorias. R: Colombia demuestra el mismo rendimiento de las eliminatorias pasadas. A. 3 ↔ 5 B. :5 ↔ :@ C. :3 ↔ :@ D. 3 ↔ :5

2. Determina las partes simples de las bicondicionales dadas. A. El rio Magdalena aumenta su cauce siempre y cuando llueva fuerte. B. Álvaro va al cine siempre y cuando no sea la película de Star Wars 7. C. Un triángulo es rectángulo si y sólo sí el triángulo tiene un ángulo recto. D. La tierra es un planeta si y sólo sí el sol gira alrededor de la tierra.

IV. ACTIVIDAD GRUPAL

1. Sean 3: A Nicolás le gustan los videojuegos. 5: A Nicolás no le gustan las matemáticas. @: Nicolás sabe resolver problemas rápidamente. Interpreta en correcto español las siguientes formas proposicionales.

A. 3 ∨ 5 B. :�3 ∧ 5� C. 5 ∧ @ D. :3 → @ E. :5 → :3


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F. 3 ↔ 5 G. :5 ↔ @

2. Supongamos que A es verdadera, que B es falsa, que C es falsa y que D es verdadera. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas? Te damos un ejemplo.

A. (E ↔ F�∧ :H Inicialmente reemplaza las proposiciones por los valores de verdad asignados, luego determina el valor de verdad del conectivo correspondiente empezando con los paréntesis más internos y continuando hacia el externo de la misma manera que en álgebra se resuelven los paréntesis.

A B C E ↔ F :H �E ↔ F�∧ :H V F F F V F

B. E ∨ H C. :L ∨ :HD. :�E ∧ F�E. �H ∧ L�∨ FF. E → HG. F ↔:LH. �E ∧ H� ∨ �F ∧ L� I. D:�E ∧ F� ∨ �H ∧ L�G → :L J. �L → E� ↔ �F → H� K. :QD�E ↔ H� ∧ �:F → L�G ∨ �:H ↔ E�R L. DE → :�F ∨ H�G → D�E ∧ L� ∨ �F ∧ H�G

3a. Simboliza las proposiciones dadas, señalando las partes simples que la componen.

A. La tierra es un planeta y la luna es un satélite natural de la tierra. B. Colombia es un país tropical pero tiene variedad de climas. C. Diana compra un Chevrolet si y sólo si vende su carro viejo. D. Jorge tiene buen abogado, entonces será absuelto. E. Si hay escasez de alimentos en la Guajira, hay desnutrición en los niños. F. El búho es un ave nocturna o se alimenta de ratones. G. El perro es una animal doméstico y cazador. H. Argentina no está ubicado en América ni en África.

3b. Si asignamos valores de verdad de tal manera que A, C, E, G sean V y B, D, F y H sea V cuáles serían los posibles valores de las partes simples que la componen.

RESUMEN

Conectivos lógicos:

Negación no: :

Conjunción y: ∧

Disyunción o: ∨

Condicional si … entonces … :→

Bicondicional … si y sólo sí … : ↔

Interesante aprender los tipos de

proposiciones compuestas y

como hallarles su valor de verdad

sabiendo el valor de las partes

simples que las componen.


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Guía de aprendizaje No. 6 PROPOSICIONES COMPUESTAS DE COMPUESTAS



Asignatura: Álgebra Grado: Noveno Tema: Proposiciones compuestas de compuestas Subtemas: conectivo principal, tablas de verdad, tautología, contingencia, contradicción.

Competencia: utiliza correctamente las tablas de verdad para encontrar el valor de verdad de variadas proposiciones compuestas.


Objetivos: 1. Reconocer el conectivo principal en las proposiciones compuestas de compuestas y hacer las tablas de verdad correspondientes. Recursos: Cuaderno, computador. Tiempo: 18 horas de clase Conceptos claves: Conectivo principal, tabla de verdad, tautología, contingencia, contradicción, implicación, equivalencia. I. EXPRESA TUS IDEAS

De acuerdo con la guía anterior, simboliza las siguientes proposiciones usando los conectivos lógicos estudiados y señala el que crees es el conectivo principal.

A. Felipe estudia Física o Filosofía, pero no ambas a la vez

B. Si Ana es premiada con un viaje, es que estudió matemáticas y aprobó el

examen final

C. Juan abrirá la puerta y saldrá a la calle, sólo en el caso de que, si viene María con el coche, no venga con ella Pedro

D. Si el consumo de petróleo continúa creciendo, entonces la importación de petróleo aumentará o las reservas nacionales se agotarán.

E. Si no estuvo aquí el asesino, entonces no llegó a verle o lo supo demasiado tarde


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2.1 Proposiciones compuestas de compuestas

Cuando en las proposiciones compuestas hay varios conectivos, es muy importante reconocer cual de ellos es el conectivo principal. En el lenguaje natural los símbolos de puntuación, en particular la coma, son claves para saberlo. Cuando se simboliza una proposición, los paréntesis harán ese papel.

Detengamonos en las proposiciones de la sección anterior, observa y compara con lo que respondiste en la sección anterior:

A. Felipe estudia Física o Filosofía, pero no ambas a la vez. Si consideramos que:

3: Felipe estudia Física 5: Felipe estudia Filosofía. Esta proposición compuesta se simboliza �; ∨ S� ∧ :�; ∧ S�, y podemos reconocer que la conjunción es el conectivo principal pues “conecta” �; ∨ S� con :�; ∧ S�.

B. Si Ana es premiada con un viaje, es que estudió matemáticas y aprobó el examen

final. Si consideramos que:

3: Ana es premiada con un viaje, 5:Ana estudió matemáticas @: Ana aprobó el examen final.

La proposición compuesta se simboliza ; → �S ∧ T� y el conectivo principal es la condicional, donde ; es el antecedente y �S ∧ T� es el consecuente.

C. Juan abrirá la puerta y saldrá a la calle, sólo en el caso de que, si viene María con el coche, no venga con ella Pedro. Si consideramos que:

3: Juan abrirá la puerta. 5: Juan Saldrá a la calle @: Maria viene con el coche. C: María viene con Pedro. La proposición se simboliza �; ∧ S� ↔ �T → :U�, cuyo conectivo principal es el bicondicinal que entrelaza las expresiones entre paréntesis.

D. Si el consumo de petróleo continúa creciendo, entonces la importación de petróleo aumentará o las reservas nacionales se agotarán. Si consideramos que:

P: El consumo de petróleo continúa creciendo. Q: La importación de petróleo aumentará. R: Las reservas nacionales de petróleo se agotarán.


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La proposición se simboliza ; → �S ∨ T�, y el conectivo principal es la condicional.


1. Determina el conectivo principal en las siguientes afirmaciones:

A. Juan no se apellida Jiménez, pero Pedro sí.

B. Joyce viajaba rumbo a Medellín para visitar a sus abuelos.

C. Santiago juega a los naipes o practica fútbol, y le fascina ir a cine.

D. Aunque Natalia repruebe el examen, tendrá oportunidad de nivelar y pasar el examen.

E. O bien tu hermana habla alemán o, toca el clarinete si le dan clases.

F. O arreglas tu habitación o, no vas a elevar cometa y no te regalo el perro.

2. Halla las partes simples de las proposiciones dadas. Simbolízalas e indica el conectivo principal.

a) Andrea escucha música y barre la casa, o Andrea hace sus tareas y no

escucha música.

b) El dentista fue en su día arquero o delantero, juega de defensor o volante.

c) Si Miguel es profesor, no puede ser cierto que no sepa leer ni escribir.

d) 24 es un número par o es múltiplo de 6, pero no es divisible entre 10 ni entre 14.

e) El perro, tanto como el gato son animales domésticos si y sólo sí no son

salvajes.

f) Si Alberto y Nidia van al concierto, entonces sus hijos quedan solos en casa o al cuidado de sus abuelos.

g) No es el caso que Hernán fume o beba, si y sólo sí Hernán tiene hijos y

conduce.

h) El seguro automóvil responde en caso de golpes, incendio o robo pero no en caso de terrorismo.

En guías anteriores hemos trabajado como asignarle el valor de verdad a una forma proposicional dando valores específicos a cada una de sus partes simples. Ahora establecemos cómo hallar el valor de verdad de una forma proposicional en todos los posibles casos de combinaciones de V o F de las partes simples, eso se llama una tabla de verdad.


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2.2 Tablas de verdad Una tabla de verdad es la forma de determinar los valores de verdad de una proposición compuesta, dados los valores de verdad de las proposiciones simples que la conforman. Recordemos: Una proposición simple P tiene dos posibles valores de verdad:

3 V F

Para dos proposiciones simples P y Q, se presentan cuatro posibilidades de combinación de sus valores de verdad:

3 5 V V V F F V F F

Las tablas de verdad correspondientes a los conectivos lógicos se establecieron en la guía anterior, por lo tanto se resumen a continuación.

De manera similar, si se tienen tres proposiciones simples P, Q y R existen ocho posibilidades de combinar sus valores de verdad:

3 5 @ V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Negación 3 :3 V F F V

Disyunción 3 5 3 ∨ 5 V V V V F V F V V F F F

Condicional 3 5 3 → 5 V V V V F F F V V F F V

Bicondicional 3 5 3 ↔5 V V V V F F F V F F F V

Conjunción 3 5 3 ∧ 5 V V V V F F F V F F F F


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De manera general para 4 proposiciones simples diferentes, el número de posibilidades de combinar sus valores de verdad es �4 que se reflejan en las filas de la tabla de verdad.

Ejemplos. 1. Construyamos la tabla de verdad de �:3 ∨ 5� ∧ 3. Claramente tienen dos partes simples P y Q y el conectivo principal es la conjunción, así que la tabla es:

3 5 :3 :3 ∨ 5 �:3 ∨ 5� ∧ 3 V V F V V V F F F F F V V V F F F V F F 1 2 3

La tabla se puede resolver a través de señalar con números en las columnas el proceso seguido. En la tabla de verdad se mostró en la columna 1, la negación de P; en la columna 2, la disyunción. Luego en la columna 3 se escribe la conjunción de las columnas anteriores, 1 y 2. 2. Construyamos la tabla de verdad de �:3 → 5� → :@ Claramente hay tres partes simples P, Q y R y el conectivo principal es la condicional. Así que la tabla es:

3 5 @ :3 :3 → 5 :@ �:3 → 5� → :@ V V V F V F F V V F F V V V V F V F V F F V F F F V V V F V V V V F F F V F V V V V F F V V F F V F F F V F V V 1 2 3 4

El proceso seguido en la construcción de la tabla se puede analizar a través de los con números de las columnas. III. ¡EXPRESA LO APRENDIDO!

1. Hacer la tabla de verdad de cada una de las formas siguientes:

A. 3 → :5

Tabla 1.

3 5 V V V F F V F F

Posibles

combinaciones.

Posibilidades

de tres

proposiciones

.

3 5 @ V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F


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B. 5 → :5 C. :5 ↔ @ D. �3 ∧ :5� ∧ :@ E. :�3 ∨ 5� ∨ @ F. �3 → :5� → @ G. :3 ↔ �:5 ↔ :@� H. :D�@ → 5� ∧ :�3 ∨ :@�G

2. Ahora aprende y resuelve tablas de verdad usando AnallogicA AnallogicA es un software libre matemático en el cual puedes generar tablas de verdad a partir de proposiciones compuestas. El programa te muestra el desarrollo de cada ejercicio, también puedes comparar la implicación o equivalencia entre dos proposiciones y además verificar si la proposición compuesta es una tautología, contradicción o contingencia, conceptos que veremos en las siguientes guías.

Para acceder a AnallogicA, ingresa a un navegador de internet y descarga el programa en el sitio: www.souceforge.net/projects/anallogica/files/latest/download

i. Instálalo en el equipo. ii. Haz clic en Inicio y luego clic en el icono de AnallogicA. iii. Haz clic en el botón listo para entrar a la opción edición.

iv. El área de trabajo es la siguiente:


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v. En la barra de entrada se digitan las proposiciones donde los conectivos lógicos y paréntesis se encuentran en botones en la parte superior, por ejemplo:

vi. Haz clic en el botón hacer o enter, para obtener la tabla de verdad de la proposiciónD�; → S� ∧ ;G → S (ejemplo 1)

vii. Luego, la tabla de verdad aparecerá de la siguiente manera:

viii. En la parte inferior derecha aparece una descripción de la proposición ingresada de la siguiente manera: 8.1 Si la proposición es tautología, contingencia ó contradicción 8.2 Cantidad de operadores binarios que es lo mismo que la cantidad de

conectores lógicos.


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8.3 Cantidad de operadores unarios es equivalente a la cantidad de negaciones.

8.4 Cantidad de variables lógicas, que indica la cantidad de proposiciones. 8.5 Cantidad de combinaciones, indica las opciones de verdadero y falso.

2. Utiliza el programa AnallogicA para construir la tabla de verdad de los ejercicios propuestos en la sección anterior y compáralos con los que realizaste sin esta herramienta TIC.


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Guía de aprendizaje No 7 Tautología – Contradicción - Contingencia



Asignatura: Álgebra Grado: Noveno Tema: Software de cálculo proposicional AnallogicA.

Competencias: Interactúa con lenguajes matemáticos e informático o digital, facilitando la construcción de conocimiento de manera autónoma.


Objetivos: 1. Establecer cuando una proposición compuesta es una tautología, contingencia o una contradicción. 2. Determinar cuándo dos proposiciones compuestas son lógicamente equivalentes y cuando una implica a la otra.

1. Construyamos la tabla de verdad D3 ∧ �5 ∨ @�G ↔ D�3 ∧ 5� ∨ �3 ∧ @�G 3 5 @ 5

∨ @ 3∧ �5∨ @�

3∧ 5

3∧ @

�3 ∧ 5�∨ �3 ∧ @�

D3 ∧ �5 ∨ @�G ↔ D�3 ∧ 5�∨ �3 ∧ @�G

V V V V V V V V V V V F V V V F V V V F V V V F V V V V F F F F F F F V F V V V F F F F V F V F V F F F F V F F V V F F F F V F F F F F F F F V 1 2 3 4 5 6

Si observamos el resultado en la columna 6 de la tabla de verdad anterior, encontramos que en todas las filas el valor de verdad es V. En este caso la forma proposicional recibe el nombre de tautología. 2. Construyamos la tabla de verdad para la proposición:

D�:3 ∧ 5� → @G ↔ D@ ∧ :�3 ∨ :5�G

3 5 @ :3 :3∧ 5

�:3 ∧ 5�→ @

:5 3∨ :5

:�3∨ :5�

@∧ :�3∨ :5�

↔

V V V F F V F V F F F V V F F F V F V F F F V F V F F V V V F F F V F F F F V V V F F F F V V V V F F F V V F


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F V F V V V F F V F F F F V V F V V V F F F F F F V F V V V F F F 1 2 3 4 5 6 7 8

Como la última columna está compuesta únicamente por F, la proposición recibe el nombre de contradicción. Los ejemplos de tablas de verdad dados en la guía anterior en donde en la última columna encontramos valores V y valores F reciben el nombre de contingencias.

En resumen toda forma proposicional es una tautología, una contradicción o es una contingencia.


1. Determina en cada caso si se trata de una tautología, una contradicción o una contingencia.

A. 3 ∨ :3 B. 3 ↔ :3 C. :3 ∨ :5 D. :�3 ∧ 5� E. :5 → :3 F. �3 ∧ 5� → 3 G. �:3 ∧ 5� ∧ @ H. �:3 → :5� ∧ :@ I. D�3 ∧ 5� → @G → D3 → �5 → @�G J. :D:�3 → 5� ∨ :�3 → @�G

2.3 Implicación y equivalencia

Implicación: Dadas dos proposiciones P y Q decimos que P implica Q, y se

denota 3⇒5, en el caso en que 3 → 5 es una tautología.

Ejemplo 1: Si Carlos se porta bien en el colegio entonces puede jugar con su X-box. Carlos se portó bien. Por lo tanto, Carlos puede jugar con su X-box. Las partes simples son: 3: Carlos se porta bien en el colegio 5: Carlos puede jugar con X-box. La forma proposicional es: D�; → S� ∧ ;G → S. Cuya tabla de verdad es:

3 5 3 → 5 �3 → 5� ∧ 3 D�3 → 5� ∧ 3G → 5 V V V V V V F F F V

RECORDAR QUE:

Una tautología es una

proposición que siempre es

verdadera.

Una contradicción es una

proposición que siempre es

falsa. Contingencia es una

proposición que a veces es

verdadera y a veces falsa.


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F V V F V F F V F V 1 2 3

Observamos que todos los valores en la columna 3 son V lo cual indica que estamos en presencia de una tautología. En este caso decimos que D�3 → 5� ∧ 3G implica Q y

lo podemos simbolizar como D�; → S� ∧ ;G ⇒ S.

Ejemplo 2: Vladimir juega fútbol o estudia. Vladimir no estudia. Entonces Vladimir juega futbol. La forma proposicional correspondiente es: D�3 ∨ 5� ∧ :5G → 3 y su tabla de verdad es:

3 5 3 ∨ 5 :5 �3 ∨ 5� ∧ :5 D�3 ∨ 5� ∧ :5G → 3 V V V F F V V F V V V V F V V F F V F F F V F V 1 2 3 4

Encontramos una tautología en la columna 4. Por lo tanto, D�; ∨ S� ∧ :SG ⇒ P. Equivalencia: Dadas dos proposiciones P y Q, decimos que la proposición

P es equivalente a Q y la simbolizamos P⇔Q, si se verifica que ; ↔ S es una tautología.

Observemos las siguientes proposiciones.

a) Si llueve, entonces yo dormiré si y sólo sí no llueve o yo dormiré. su forma proposicional es: �3 → 5� ↔ �:3 ∨ 5�, y su tabla de verdad es una tautología como se ve en el siguiente cuadro:

3 5 :3 �3 → 5� ↔ �:3 ∨ 5� V V F V V V V F F F V F F V V V V V F F V V V V 1 2 4 3

Por lo tanto podemos apreciar que �3 → 5�⇔ �:3 ∨ 5�. Observe además que las tablas parciales de 3 → 5�� y de :3 ∨ 5�� son iguales. b) Observa la siguiente tabla de D�3 → 5� → �:3 ∨ 5�G ∧ D�:3 ∨ 5� → �3 → 5�G

3 5 :3 D�3 → 5� → �:3 ∨ 5�G ∧ D�:3 ∨ 5� → �3 → 5�G V V F V V V V V V V V F F F V F V F V F F V V V V V V V V V


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75

F F V V V V V V V V 1 2 4 3 8 5 7 6

Observa que los valores de verdad correspondientes a las dos partes de la (4) y (7) son iguales y que la tabla de la bicondicional es una tautología. Luego se tiene que

tanto �3 ↔ 5�⇔ �3 → 5� ∧ �5 → 3�, como que D�3 → 5� → �:3 ∨ 5�G ⇔ D�:3 ∨ 5� →�3 → 5�G.

Nota: No debemos confundir una condicional con una implicación lógica, ni una bicondicional con una equivalencia lógica.

III. ¡Expresa lo aprendido! 1. Para cada par de proposiciones, determine si la primera implica o no la segunda. Te damos un ejemplo:

A. Si los carros contaminan entonces estamos en problemas, y los carros contaminan; estamos en problemas.

Considere 3: Los carros contaminan.

5: Estamos en problemas. Forma proposicional de la premisa es: D�; → S�∧PG y la de la segunda Q, que relaciona en dos proposiciones dadas cuya tabla de verdad es:

3 5 D�3 → 5� ∧ 3G → 5 V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V 1 2 3

Al hacer la tabla de D�; → S�∧PG → Q que ; → S obtenemos una tautología. Luego caso D�; → S�∧PG ⇒ Q. Ahora sigue el método usado para A, para realizar los ejercicios que siguen.

B. 3: Beethoven era músico o un pintor, y él no era un músico. 5: Beethoven fue un pintor.

C. 3: Si yo como carne de chigüiro voy a enfermar, o si como caracoles voy a enfermar.

5: Si como carne de chigüiro o caracoles voy a enfermar.

D. 3: Si Lucas reprobó matemáticas entonces no tendrá vacaciones y estudiará duro.

5: Lucas tendrá vacaciones.

E. 3: Miguel era un piloto o era un profesor, y él no era piloto. 5: Miguel fue un profesor.


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2. Para cada par de proposiciones, determine si las dos proposiciones son equivalentes o no. Sugerencia: simbolice cada una de ellas y determine si tienen o no la misma tabla de verdad.

A. No es cierto que me gustan las manzanas y naranjas; no me gustan las manzanas y no me gustan las naranjas.

B. Esta camisa tiene rayas, y tiene mangas cortas o cuello redondo; esta camisa tiene rayas y tiene mangas cortas, o cuello redondo.

C. Rebeca estaba enferma entonces no pudo corregir los exámenes; Rebeca no estaba enferma o pudo corregir los exámenes.

D. Es falso que Lucia no está nerviosa; Lucia está nerviosa.

IV. ACTIVIDAD GRUPAL.

1. En grupos de tres y usando las tablas de verdad de los conectivos lógicos muestra que las siguientes proposiciones son verdaderas mediante la construcción de tablas de verdad respectivas.

A. �; → S� ∧ ; ⇒ Q B. (P → Q) ∧¬Q ⇒ ¬ P C. :�; ∨ S�∧ :; ⇒ S D. (P∨Q) ∧¬Q ⇒ P E. �; → S� ∧ �S → T� ⇒ ; → S F. (P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P∨R) ⇒ Q∨S G. ;[�S ∨ T� ⇔ (P∨ Q)∨R H. ; ∨�S → T� ⇔ (P∨Q) ∧ (P∨R) I. :�; ∨ S� ⇔ ¬P∧¬Q J. :�; → S� ⇔ ; ∨ :S. K. :�; ↔ S) ⇔ (P∧¬Q) ∨ (¬P∧Q). L. ; ∧ S ⇔ S ∧ ; Te damos el ejemplo de la A. Como �3 → 5�∧ 3 ⇒ Q es tautología tenemos que A es verdadera.

3 5 3 → 5 �3 → 5�∧ 3 �3 → 5�∧ 3 ⇒ Q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V

2. Elabora la tabla de verdad con ayuda del programa AnallogicA para determinar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:

A. :�; ∧ S� ∧ :; → S B. �; → S� ∧ :; → S C. D�; → S� ∧ �T → U�G → :; ↔ S D. �; → S� ↔ �:S → :;� E. D; → �; → S�G → S F. ; → D�; → S� → SG G. �; ∧ S� ∧ �; → :S� H. ; ↔ D; ∧ �; ∨ S�G I. :�; → S� → �; ∧ :S�


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J. [(P → Q) ∧ P] → Q K. D; → �; → S�G → S L. ; → D�; → S� → SG N. �; ∧ S� ∧ �; → :S� O. ; → D:; → �S ∨ :S�G P. ; → D; → �S ∧ :S�G Q. �; → ;� → �S ∧ :S� R. D; → �S → T�G → D�; → S� → �; → T�G S. D; → �S → ;�G → D�S → S� → :�T → T�G T. QD�; → S� ∧ �T → U�G ∧ �; ∨ T�R → �S ∨ U� U. QD�; → S� ∧ �T → U�G ∧ �S ∨ U�R → �; ∨ T� V. :�; ∧ S� ↔ �:; ∨ :S� W. D; ∧ �S ∨ T�G ↔ D�; ∧ S� ∨ �; ∧ T�G

3. Cuáles de las formas proposicionales del ejercicio anterior son implicación y cuáles son equivalencia lógica?

4. Determina si la primera proposición equivale o implica la segunda proposición, usando AnallogicA.

A. �; ↔ S� , �; → S� B. �; → S� , �; ∧ S� C. �; ∨ S� , �:; → S� D. :�; ∧ S� , �:; ∨ :S� E. �:; ∧ :S� , :�; ∨ S� F. �; → :S� , �:; ∨ :S� G. �; → :S� , �:S → ;� H. ; → �; → S� , S

5. Decide si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifica tu respuesta usando la tabla respectiva.

A. :�; ∧ S� ⇔ ; ∧ :S B. �; → S� ∧ S ⇒ ;

V. TRABAJO EN CASA

Halla las posibles relaciones de implicación y equivalencia entre las proposiciones compuestas (elabora la tabla de verdad de las cuatro proposiciones dadas en AnallogicA y luego evalua la implicación y la equivalencia).

A. 3 ↔ 5 B. 3 C. �:3 ∨ 5� ∧ �:5 ∨ 3� D. 3 ∧ 5


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Ejemplo: Realizamos las tablas de verdad de las proposiciones A y C en AnallogicA.

A. C.

Comparamos los dos resultados obtenidos y observamos que son iguales en la tabla de verdad, por lo tanto es una implicación y una equivalencia lógica a la vez.

Nota: Para AnallogicA los símbolos ⇒ 7 ⇔ asumen los conectivos de la condicional y bicondicional que manejamos.

Para recordar:

Tabla de implicaciones

En resumen, a continuación presentamos un grupo de implicaciones que serán de gran utilidad posteriormente,

1. (P → Q) ∧P ⇒ Q 2. (P → Q) ∧¬Q ⇒ ¬ P 3. P∧Q ⇒ P 4. P∧Q ⇒ Q 5. P ⇒ P∨Q 6. Q ⇒ P∨Q 7. (P∨Q) ∧¬P ⇒ Q 8. (P∨Q) ∧¬Q ⇒ P 9. P ↔ Q ⇒ P → Q 10. P ↔ Q ⇒ Q → 11. (P → Q) ∧ (Q → P) ⇒ P ↔ Q 12. (P → Q) ∧ (Q → R) ⇒ P → R 13. (P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P∨R) ⇒ Q∨S


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Tabla de equivalencias

Paso a paso aprendemos a simbolizar

proposiciones compuestas, construir

tablas de verdad, y tomar decisiones

según los resultados obtenidos.

A continuación presentamos algunas equivalencias lógicas que son particularmente útiles, como veremos más adelante. 1. ¬ (¬ P) ⇔ P 2. P∨Q ⇔ Q∨P 3. P∧Q ⇔ Q∧P 4. P∨(Q ∨R) ⇔ (P∨ Q)∨R 5. P∧(Q ∧R) ⇔ (P∧ Q)∧R. 6. P∧ (Q∨R) ⇔ (P∧Q) ∨ (P∧R) 7. P∨ (Q∧R) ⇔ (P∨Q) ∧ (P∨R). 8. P → Q ⇔ ¬P∨Q. 9. P → Q ⇔ ¬Q → ¬P 10. P ↔ Q ⇔ Q ↔ P. 11. P ↔ Q ⇔ (P → Q) ∧ (Q → P). 12. ¬ (P∧Q) ⇔ ¬P∨¬Q. 13. ¬ (P∨Q) ⇔ ¬P∧¬Q. 14. ¬ (P → Q) ⇔ P∧¬Q.

15. ¬ (P ↔ Q) ⇔ (P∧¬Q) ∨ (¬P∧Q).


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Guía de aprendizaje No. 8 ARGUMENTO VÁLIDO E INVÁLIDO Área de Matemáticas


Asignatura: Álgebra Grado: Noveno Tema: Argumento válido, premisas consistentes, premisas inconsistentes, argumento inválido.

Competencia: Analiza la validez o invalidez de los argumentos deductivos dados.


Objetivos: 1. Determinar la validez de un argumento mediante la asignación de valores de verdad a las premisas y a la conclusión Recursos: Cuaderno. Tiempo: 12 horas de clase Conceptos claves: argumento válido, argumento inválido, premisas inconsistentes, premisas consistentes.


1. Simboliza cada uno de los siguientes argumentos e indica si crees que la conjunción de premisas implica a la conclusión. Te damos un ejemplo: A. Si llueve hoy entonces, llevamos paraguas. Está lloviendo hoy. Por lo tanto, no

llevamos paraguas.

Análisis: el argumento está compuesto de dos premisas ; , ;� y la conclusión Q. Cada una de estas proposiciones las simbolizamos teniendo en cuenta las partes simples que la componen. En este caso: R: Llueve hoy. S: Llevamos paraguas. El argumento tiene la siguiente forma.

; :T → U ;�::U S::T

Al hacer la tabla de verdad 3� ∧ 3� → 5, observamos que es una tautología. Luego 3� ∧ 3� ⇒ 5.

5 3� 3� 3� ∧ 3� 3� ∧ 3� → 5 @ C :@ :C @ → C �@ → C� ∧ :C D�@ → C� ∧ :CG → :@ V V F F V F V V F F V F F V F V V F V F V F F V V V V V


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Por lo tanto en el argumento las premisas implican la conclusión.

B. O bien José compra un carro o bien compra una casa. José no compró el carro. Por lo tanto, José compró la casa.

C. Si Juan votó en las elecciones municipales, tiene derecho a descansar media jornada laboral. Juan no votó en las elecciones municipales. Por lo tanto, Juan no tiene derecho a descansar media jornada laboral.

D. Los teléfonos inteligentes son útiles o divertidos. Si los teléfonos inteligentes son útiles, entonces sirven para llamar en caso de emergencia. Si los teléfonos inteligentes son divertidos, entonces sirven para navegar en internet. Por lo tanto, los teléfonos inteligentes sirven para llamar en caso de emergencia o para navegar en internet.


2.1 Validez de argumentos

Un argumento ; , ;�, ;<, … ,/S es válido siempre que las premisas son verdaderas y la conclusión necesariamente verdadera. Esto se puede demostrar probando que la tabla de verdad de �; ∧ ;� ∧ ;< ∧ …∧ ;�� → S es una tautología o sea que la conjunción de las premisas implica la conclusión. En caso contrario el argumento es inválido. Para demostrarlo basta encontrar en la tabla de verdad de �; ∧ ;� ∧ ;< ∧ …∧ ;�� → S una fila con el valor de verdad Falso.

Para determinar si un argumento es válido o inválido procedemos como sigue: i. Hallar la forma del argumento. ii. Hallar la tabla de verdad de �3� ∧ 3� ∧ 3� ∧ …∧ 34� → 5. iii. Si el resultado es una tautología el argumento es válido y si no lo es, el argumento es inválido. Ejemplos:

Consideremos los siguientes argumentos: A. Si Juan está en el mundial de clubes de la FIFA 2016, entonces está en Japón. Juan está en el mundial de clubes de la FIFA 2016. Luego, Juan está en Japón.

Tomemos a ; 7;�como las premisas y a Q como conclusión: ; : Si Juan está en el mundial de clubes de la FIFA 2016, entonces está en Japón. ;�: Juan está en el mundial de clubes de la FIFA 2016. �: Juan está en Japón. La forma del argumento es 3 → 5,3/H donde

3: Juan está en el mundial de clubes FIFA 2016 5: Juan está en Japón


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Hacemos la tabla de verdad de D�3 → 5� ∧ 3G → 5.

3� Q 3� 3� ∧ 3� 3� ∧ 3� → 5 3 5 3 → 5 �3 → 5� ∧ 3 D�3 → 5� ∧ 3G → 5 V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V

Como D�3 → 5� ∧ 3G → 5 es una tautología y el argumento es válido. Con frecuencia la forma de los argumentos se establece de manera vertical así: �. 3 → 5�.35

B. Si Miguel no se despierta temprano, entonces llegará tarde al trabajo. Si Miguel no se despierta temprano, entonces lo despiden inmediatamente. Por lo tanto, Miguel no lo despidieron inmediatamente, entonces no llego tarde al trabajo. Las partes simples del argumento anterior son: ; : Si Miguel no se despierta temprano, entonces llegará tarde al trabajo. ;�: Si Miguel no se despierta temprano, entonces lo despiden inmediatamente. S: Miguel no lo despidieron inmediatamente, entonces no llego tarde al trabajo.

i. La forma del argumento es la siguiente:

�.:E → F�.:E → H:F → :H

ii. La tabla de verdad de �:E → F� ∧ �:E → H� → �:F → :H� es:

3� 3� 5 3� ∧ 3� 3� ∧ 3� → 5 A B C :E :F :H :E → F :E → H :F → :H V V V F F F V V V V V V V F F F V V V V V V V F V F V F V V F V F V F F F V V V V V V V F V V V F F V V V V V F V F V F V V F V F V F F V V V F F V V F V F F F V V V F F F F V

iii. En consecuencia la condicional �:E → F� ∧ �:E → H� → �:F → :H� no es una tautología, luego el argumento es inválido.

C. Si Angola logra la estabilidad, entonces Botswana o Chad adoptarán políticas neoliberales. Pero Botswana no adoptará una política más neoliberal. Por lo tanto, Angola no logrará estabilidad. Tomemos a ; 7;�como las premisas y a Q como conclusión:


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; : Si Angola logra la estabilidad, entonces Botswana o Chad adoptarán políticas neoliberales. ;�: Botswana adoptará una política más neoliberal. �: Angola logrará estabilidad.

i. La forma del argumento es la siguiente: �. 3 → �5 ∨ @��.53

ii. La tabla de verdad de QD3 → �5 ∨ @�G ∧ :5R → :3 es:

Q 3� 3� 3� ∧ 3� 3� ∧ 3� → 5 3 5 @ 5 ∨ @ 3 → �5 ∨ @� D3 → �5 ∨ @�G ∧ 5 V V V V V V V V V F V V V V V F V V V F V V F F F F F V F V V V V F V F V F V V F V F F V V V F V F F F F V F V

iii. Como QD3 → �5 ∨ @�G ∧ :5R → :3 es una tautología, el argumento es válido.

D. Si el gobernador está en favor de los albergues públicos, entonces quiere restringir el ámbito de la empresa privada. Si el gobernador fuera comunista, quería restringir el ámbito de la empresa privada. Luego si el gobernador está en favor de los albergues públicos, entonces es comunista.

La forma de este argumento es la siguiente: �.3 → 5 �.@ → 5 3 → @

La tabla de verdad de D�3 → 5� ∧ �@ → 5�G → �3 → @� es.

3� 3� 5 3� ∧ 3� 3� ∧ 3� → 5 3 5 @ 3 → 5 @ → 5 3 → @ D�3 → 5� ∧ �@ → 5�G → �3 → @� V V V V V V V V V V F V V F V F V F V F F V F V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F V F V F F V V F V F V F F F V V V V V

En este caso la condicional D�3 → 5� ∧ �@ → 5�G → �3 → @� no es una tautología y por tanto el argumento es inválido.


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III. ¡Expresa lo aprendido!

1. Para cada uno de los siguientes argumentos: a) Simbolízalos b) Determina si es válido o no, justifica tu respuesta.

A. Si Soacha es aburrido, entonces es difícil de encontrarlo. Si Soacha no es

pequeño, entonces no es difícil de encontrarlo. Soacha es aburrido. Por lo tanto, Soacha es pequeño

B. El asesino del profesor fue el director o la ex novia. La ex novia lo asesino. Por lo tanto el asesino del profesor fue el director.

C. Si el nuevo CD de “The Killers” es rock o pop, entonces no es prolongado y

no es sinfónico. El nuevo CD de “The Killers” es pop. Por tanto, el CD no es prolongado.

D. Si Felipe se hubiera arrastrado, habría dejado un rastro de sangre. Felipe

no se arrastró. Por lo tanto Felipe no dejo rastro de sangre.

E. Adela busca el asesino con Lucas o con Nico. Adela busca el asesino con Lucas. Por lo tanto no busca el asesino con Nicolás.

2.2 Consistencia de premisas

Un conjunto de proposiciones es consistente si pueden ser ciertas todas al mismo tiempo. Para probar la consistencia de un conjunto de premisas es suficiente con mostrar la existencia de una asignación de valores de verdad en la que todas las premisas sean ciertas.

Ejemplos:

A. Determinar si el siguiente conjunto de proposiciones es consistente o no:

�.3 → 5�.5 → @�.3

Observe: 1) Para que 3 → 5 sea V, se requiere que P y Q sean V. 2) Como Q ya es V, entonces R debe ser V para que 5 → @ sea V. 3) Como P se le asignó V en la primera premisa, esto es suficiente para afirmar que el conjunto de premisas es consistente, en efecto P: V, Q:V y R:V, en las proposiciones 1), 2) y 3) son simultaneamente verdaderas.

B. Determinar si el siguiente conjunto de proposicioness es consistente o no:

�.3 ∧ :5�.3 → @�.5 → :@


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Observe: 1) Para que 3 ∧ :5 sea V se requiere que P sea V y :5 sea V esto es, se requiere que 5 sea F. 2) Como P ya tiene el valor de V, R debe ser V para que 3 → @ sea V. 3) Como Q es F y R es V, entonces :@ es F y 5 → :@ es V. luego, el conjunto de premisas es consistente, en efecto si P: V, Q: F y R: V se tiene que las proposiciones son consistentes. C. Verificar que si el siguiente conjunto de premisas es consistente o no:

�.3 ∧ :5�.3 → 5

Observe: 1) Si asignamos a P el valor de V y a Q el valor de verdad F, para que :5 sea V y 3 ∧ :5 es V. 2) Como P ya tiene el valor V y Q el valor de F, entonces 3 → 5 es F. Por lo tanto, el conjunto de premisas es inconsistente, en efecto se puede usar tablas de verdad para detectar las proposiciones inconsistentes asi:

3 5 :5 3 ∧ :5 3 → 5 �3 ∧ :5� ∧ �3 → 5� V V F F V F V F V V F F F V F F V F F F V F V F 1 2 3 4

Es evidente que las proposiciones del conjunto son todas falsas y por lo tanto las premisas son inconsistentes. D. Ecopetrol fue estafado y Petrobras no está implicado. Si el número de estafados

fue cuatro, entonces Petrobras está implicado. O el número de estafados fue cuatro o un empleado de Ecopetrol es cómplice.

�.3 ∧ :5�.@ → 5�.@ ∨ C

Observe: 1) Para que 3 ∧ :5 sea V, se requiere que P tome el valor de V, Q el valor de F y :5 sea V. 2) Como el valor de Q es F, entonces requiere que R sea F para que @ → 5 sea V. 3) Como el valor de R es F, se requiere que S sea V para que @ ∨ C sea V. Esto es suficiente para afirmar que el conjunto de premisas es consistente, en efecto con P: V, Q: F, R: F y S: V, tal que las proposiciones dadas son verdaderas.


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Al estudiar si un conjunto de premisas es consistente o no, una manera de trabajar es hacer una tabla de verdad como la del ejemplo C y en el momento en que sus filas se encuentra un valor V resuelve el problema. Para el caso del ejemplo A la tabla de verdad correspondiente es:

3 5 @ 3 → 5 5 → @ �3 → 5� ∧ �5 → @� �3 → 5� ∧ �5 → @� ∧ 3 V V V V V V V V V F V F F F V F V F V F V V F F F V F V F V V V V V F F V F V F F F F F V V V V F F F F V V V F

Y en tres filas se cumple lo buscado. III. ¡EXPRESA LO APRENDIDO!

Verifique que cada conjunto de premisas es consistente.

A.

�.3 ∧ :5�.3 ∧ �3 ∧ 5�

B.

�.:3 ∨ 5�.:�5 ∨ @��.@ ∨ 3

C. �.@ → :5�.:5 ∧ :C�.�:@ ∧ 5� ↔ �5 ∨ C�

D. �.�5 ∧ @� ∧ :�C ∧ @��.�:@ ∨ :5� ↔ �C → :@�

E. �.3 → 5�.5 → @�.C → :@].3 ∧ C

IV. TRABAJO GRUPAL.

1. Para cada uno de los siguientes argumentos sigue las instrucciones dadas para determinar si es válido o inválido:

A. Si la comida esta verde, entonces esta cruda. Si la comida huele mal,

entonces esta vencida. La comida es de color verde o esta vencida. Por lo tanto, la comida esta cruda o huele mal.

B. Si Susana le gusta el pescado, entonces a ella le gusta la cebolla. Si Susana

no le gusta el ajo, entonces a ella le gusta la pimienta. Ella le gusta el


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pescado o el cilantro. Ella no le gusta la pimienta. Por lo tanto, Susana le gusta el cilantro.

C. Si tus precios son bajos, entonces tus ventas serán altas; y si vendes

mercancía de calidad, entonces tus clientes estarán satisfechos. De modo que si tus precios son bajos y vendes mercancía de calidad, entonces tus ventas serán altas y tus clientes estarán satisfechos.

D. No es el caso que Freddy practique a la vez guitarra y saxofón. Si Freddy no

toca guitarra y el no toca saxofón, entonces él toque tanto bajo y batería. Si el toca batería, entonces toca bajo. Por lo tanto Freddy toca bajo.

E. Si en El Rosal hace frio, entonces los rosalunos se resguardan en sus casas.

Los rosalunos se resguardan en sus casas. Luego, en El Rosal no hace frio.

2. En cada uno de los siguientes argumentos, decida si las premisas son consistentes o inconsistentes, y justifique su respuesta.

A. Si las bacterias pueden bailar, entonces ellas son amables. Si las bacterias

hacen que la gente se enferme, entonces ellas no son amables. Las bacterias pueden bailar y hacer que la gente se enferme. Por lo tanto, la gente es amable.

B. Si jabalíes son inteligentes, entonces ellos son interesantes. Los jabalíes no

son interesantes o son furtivos. No es el caso de que los jabalíes sean agradables o no son inteligentes. Por lo tanto jabalíes son furtivos

C. Si Juan trabaja en el computador, entonces Pedro va al cine, y si Martha

escucha música, entonces Jairo juega futbol. Juan no trabaja en el computador o Pedro va al cine, si y sólo si, Martha no escucha música y Jairo no juega futbol.

D. Si el día tiene 24 horas o la hora tiene 60 segundos, entonces el año tiene

365días y algunos meses tienen 30 días. Si la hora no tiene 60 segundos, entonces el año tiene 365 días o el día tiene 24 horas. Si el año tiene 365 días, entonces algunos meses tienen 30 días. El año no tiene 365 días.

Pues, identificar si un argumento

es válido o inválido.

Miguel, ¿Qué aprendiste en

esta guía?


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Guía de aprendizaje No. 9 REGLAS DE INFERENCIA Área de Matemáticas


Asignatura: Álgebra Grado: Noveno Tema: Reglas de inferencia

Competencia: Juzga la validez de un argumento y construye argumentos lógicos sencillos y válidos.


Objetivos: 1. Reconocer algunas reglas de inferencia del cálculo proposicional. 2. Deducir conclusiones de un conjunto de premisas dadas, usando reglas de inferencia Recursos: Cuaderno. Tiempo: 20 horas de clase Conceptos claves: argumento válido, regla de inferencia, demostrar.


1. Escribe una conclusión de las premisas dadas.

A. Si el niño duerme, es feliz. El niño duerme. Por tanto _________________. B. Si Álvaro ha perdido el tren, entonces se ha quedado en Medellín. No se ha

quedado en Medellín. Por tanto __________________________________. C. Si no hace frío, Ana no toma café. Ana toma café. Luego ______________. D. Lucía es bióloga. Lucia es médica general. Entonces

____________________________________________________________.

E. Si llueve, la calle se moja, y si hace frío, encendemos la calefacción. Llueve o hace frío. Por tanto _____________________________________.

Recordemos la definición dada de argumento deductivo en la guía 2 donde se definió que los deductivos son aquellos en los cuales la verdad de las premisas garantiza la verdad de la conclusión. Esto se da precisamente cuando el argumento es válido.


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F. Si German bebe cerveza, no podrá manejar su carro. Si no maneja su carro, solicitará un servicio de taxi. Por lo tanto ___________________________________________________________.

2. Ahora halla la forma de cada uno de los argumentos y compáralos con las implicaciones recogidas en la tabla de la página 92. II. CONFRONTA TUS IDEAS

Las implicaciones de la tabla página 92 las vamos a aprovechar para convertirlas en argumentos válidos Reglas de inferencia básicas

1. Modus Ponendo Ponens: Sabemos que 3 → 5/∧ 3 ⇒ 5, eso

significa que se tiene como premisas una condicional 3 → 5 y se afirma su antecedente 3, se puede deducir como conclusión el consecuente 5 de la condicional. En forma simbólica podemos expresar esta regla así: 3 → 5 3 5 Los siguientes argumentos ilustran la regla del Modus Ponens: A. Si Mario Vargas Llosa es escritor peruano, escribió “El sueño del Celta”. Mario

Vargas Llosa es escritor peruano. Por lo tanto, Vargas Llosa escribió “El sueño del Celta”. 3�: Si Mario Vargas Llosa es escritor peruano, escribió “El sueño del Celta”. 3�: Mario Vargas Llosa es escritor peruano. 5: Vargas Llosa escribió “el sueño del Celta”.

La forma del argumento es: 3 → 5 3 5

Luego efectivamente la conclusión se deduce de las premisas.

B. Si Juan Manuel es el presidente de Colombia, vive en la Casa de Nariño. Juan Manuel es el presidente de Colombia. Por tanto, vive en la casa de Nariño. Las partes simples del argumento son P y Q, y las premisas y conclusión son: 3�: Si Juan Manuel es el presidente de Colombia, vive en la Casa de Nariño. 3�: Juan Manuel es el presidente de Colombia. 5: Juan Manuel vive en la casa de Nariño. La forma del argumento es la misma del argumento anterior. Luego la conclusión se deduce correctamente de las premisas.

C. Si no llueve, entonces visito a mi novia. No llueve. Por lo tanto visito a mi novia. La forma del argumento es: :3 → 5 :3 5

El nombre en latín de modus ponendo ponens significa que esta regla de inferencia es el método (modus), que afirma (ponens) el consecuente, afirmando (ponendo) el antecedente.


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Luego la conclusión se deduce de las premisas debido a la regla del Modus Ponendo Ponens.

3�: Si no llueve, entonces visito a mi novia. 3�: No llueve. 5: Visito a mi novia.

D. Si 6 es un número racional e 7 es un número racional, entonces 6 + 7 es un número racional. Si 6 es un número racional e 7 es un número racional. Por tanto, 6 + 7 es un número racional. La forma del argumento es: �3 ∧ 5� → @ �3 ∧ 5� @ Evidentemente tiene la forma del Modus Ponens. Las partes simples del argumento son P, Q y R, y las premisas y conclusión son: 3�: Si 6 es un número racional e 7 es un número racional, entonces 6 + 7 es un número racional. 3�: Si 6 es un número racional e 7 es un número racional. 5: 6 + 7 Es un número racional.

2. Modus Tollendo Tollens: Sabemos que 3 → 5/∧ :5 ⇒ :3, eso significa que se tiene una condicional 3 → 5 y se niega el consecuente, se obtiene como conclusión la negación del antecedente. Viene expresado el argumento así:

3 → 5 :5 :3

Los siguientes argumentos que ilustran la regla del Modus Tollens: A. Si Eva ha perdido el vuelo, se ha quedado en Bogotá. No se ha quedado en

Bogotá. Por lo tanto, Eva no ha perdido el vuelo. La forma del argumento es: 3 → 5 :5 :3 Evidentemente tiene la forma de Modus Tollendo Tollens. Luego la conclusión se deduce de las premisas. Las partes simples del argumento son P y Q, y las premisas y conclusión son: 3�: Si Eva ha perdido el vuelo, se ha quedado en Bogotá. 3�: No se ha quedado en Bogotá. 5: , Eva no ha perdido el vuelo.

En latín Modus

Tollendo Ponens dice algo acerca de la regla. Dice que negando (tollendo) un miembro de la disyunción se afirma (ponens) el otro miembro.


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B. Si llueve, no hay clase de educación de física. Hay clase de educación física. Por lo tanto, no llovió La forma del argumento es: 3 → :5 5 :3 Evidentemente tiene la forma de Modus Tollendo Tollens. Luego la conclusión se deduce de las premisas. Las partes simples del argumento son P y Q, y las premisas y conclusión son: 3�: Si llueve, no hay clase de educación de física. 3�: Hay clase de educación física. 5: No llovió

C. Si el número natural 6 es divisible por 5, termina en 0 o en 5. Es falso que termine en 0 o en 5. Luego, el número natural 6 no es divisible por 5. La forma del argumento es: 3�:3 → �5 ∨ @� 3�::�5 ∨ @� 5::3 El argumento tiene claramente la forma de Modus Tollendo Tollens. Luego la conclusión se deduce de las premisas. 3�: Si el número natural 6 es divisible por 5. 3�: Es falso que termine en 0 o en 5. 5: El número natural 6 no es divisible por 5.

3. Modus Tollendo Ponens: si se tiene una disyunción 3 ∨ 5, se niega una de sus partes, se obtiene como conclusión la afirmación de una de sus partes de la disyunción. La forma del argumento es así:

3 ∨ 5 3 ∨ 5 :3 :5 5 3

Los siguientes argumentos son válidos e ilustran la regla del Modus Tollendo Ponens:

A. José tiene un cuaderno o un lápiz. José no tiene un cuaderno. Por lo tanto,

José tiene un lápiz. La forma del argumento tiene claramente forma de Modus Tollendo Tollens luego, la conclusión se deduce de las premisas:

3 ∨ 5 :3 5 3�:: José tiene un cuaderno o un lápiz.

En latín modus tollendo tollens se aplica a los condicionales; negando (tollendo) el consecuente, se puede negar (tollens) el antecedente del condicional


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3�:: José no tiene un cuaderno. 5:: José tiene un lápiz.

B. Esteban estudia en El Rosal o en Subachoque. No estudia en Subachoque.

Luego, Esteban estudian en El Rosal. La forma del argumento es: 3�: Esteban estudia en El Rosal o en Subachoque. 3�: No estudia en Subachoque. 5: Esteban estudian en El Rosal. Mismo esquema del argumento anterior que evidencia la forma del Modus Tollendo Ponens

C. Estoy gordo o delgado. No estoy delgado. Por lo tanto, estoy gordo. La forma del argumento tiene claramente forma de Modus Tollendo Tollens luego, la conclusión se deduce de las premisas: 3�: Estoy gordo o delgado. 3�: No estoy delgado. 5: estoy gordo.

4. Silogismo hipotético: si se tiene dos condicionales de la siguiente forma en las premisas 3 → 5 y 5 → @, podemos sacar como conclusión 3 → @. Viene expresada mediante la implicación: D�3 → 5� ∧ �5 → @�G → �3 → @�, y se escribe también como:

3�:3 → 5 3�:5 → @ 5:3 → @

Ejemplos:

A. Si Manuel gana el concurso entonces obtendrá una beca. Si obtiene la beca,

estudiará en España. Por lo tanto, si Manuel gana el concurso entonces, estudiará en España. Las partes simples del argumento son P, Q y R, y las premisas y conclusión son: 3�: Si Manuel gana el concurso entonces obtendrá una beca. 3�: Si obtiene la beca, estudiará en España. 5: Si Manuel gana el concurso entonces, estudiará en España. La forma del argumento es: 3�:3 → 5 3�:5 → @ 5:3 → @

B. Si el volcán nevado del Ruíz hace erupción, no podemos visitar el parque de los Nevados. Si no podemos visitar el parque de los Nevados entonces, permanecemos en el hotel. Por lo tanto, si el volcán nevado del Ruíz hace erupción entonces, permanecemos en el hotel.


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Las partes simples del argumento son P, Q y R, y las premisas y conclusión son: 3�: Si el volcán nevado del Ruíz hace erupción, no podemos visitar el parque de los Nevados. 3�: Si no podemos visitar el parque de los Nevados entonces, permanecemos en el hotel. 5: Si el volcán nevado del Ruíz hace erupción entonces, permanecemos en el hotel. La forma del argumento es: 3�:3 → :5 3�::5 → @

5:3 → @

C. Si bajo los precios, venderé mucho. Si venderé mucho, agotaré la mercancía rápido. Luego, si bajo los precios, agotaré la mercancía rápido. Las partes simples del argumento son P, Q y R, y las premisas y conclusión son: 3�: Si bajo los precios, venderé mucho. 3�: Si venderé mucho, agotaré la mercancía rápido. 5: Si bajo los precios, agotaré la mercancía rápido. La forma del argumento es: 3 → 5 5 → @ 3 → @

5. Silogismo disyuntivo: si se tiene una disyunción 3 ∨ 5 y dos condicionales de la forma 3 → @ y 5 → C, podemos sacar como conclusión una disyunción @ ∨ C. En forma simbólica podemos expresar esta regla mediante la implicación

D�3 ∨ 5� ∧ �3 → @� ∧�5 → C�G → �@ ∨ C� y se escribe también como: 3 ∨ 5 3 → @ 5 → C

@ ∨ C Ejemplos: A. El cielo azul me pone contento y el cielo gris me pone triste. El cielo está

azul o gris. Por tanto, estoy contento o triste.

Las partes simples del argumento son P, Q y R, y las premisas y conclusión son: 3�: El cielo azul me pone contento. 3�: El cielo gris me pone triste. 3�: El cielo está azul o gris. 5: Estoy contento o triste. La forma del argumento es:


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3 → @ 5 → C3 ∨ 5

@ ∨ C

B. Si llueve, la calle se moja. Si hace frio, preparo café. Llueve o hace frio. Por lo tanto, o la calle esta mojada o preparo café.

Las partes simples del argumento son P, Q y R, y las premisas y conclusión son: 3�: Si llueve, la calle se moja. 3�: Si hace frio, preparo café. 3�: Llueve o hace frio. 5: O la calle esta mojada o preparo café. La forma del argumento es: 3 → @ 5 → C3 ∨ 5

@ ∨ C

6. Simplificación: si se tiene una conjunción, podemos concluir cualquiera de sus partes. 3 ∧ 5 3 ∧ 5

3 5 Ejemplos: A. Gabriel fue escritor y periodista. Luego, Gabriel fue escritor.

Las partes simples del argumento son P y Q las premisas y conclusión son: 3�: Gabriel fue escritor y periodista. 5: Gabriel fue escritor. La forma del argumento es: 3 ∧ 5

3

B. Jaime ni es político ni es actor de cine. Por tanto, Jaime no es político.

Las partes simples del argumento son P y Q las premisas y conclusión son: 3�: Jaime ni es político ni es actor de cine. 5: Jaime no es político. La forma del argumento es: :3 ∧ :5

:3

C. La economía del país empeora y el desempleo aumenta. Por tanto, el desempleo aumenta. Las partes simples del argumento son P y Q las premisas y conclusión son:


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3�: La economía del país empeora y el desempleo aumenta. 5: El desempleo aumenta. La forma del argumento es: 3 ∧ 5

3

7. Adjunción: si se tiene una proposición, podemos concluir una disyunción entre la proposición dada y otra proposición.

3 3 ∨ 5 Ejemplos: A. Colombia es un país de sur américa. Entonces, Colombia es un país de sur

América o de centro América.

La forma del argumento es: 3�: Colombia es un país de sur américa. 5: Colombia es un país de sur América o de centro América. La forma del argumento es: 3 3 ∨ 5

B. German bebe cerveza. Por tanto, german bebe cerveza o vino. C. Helena toca trompeta. Luego, Helena toca trompeta o violín.


1. ¿Qué reglas de inferencia se utilizan en los siguientes argumentos?

A. Alicia estudia matemáticas. Por tanto, Alicia estudia o bien matemáticas o

bien ingeniería. B. Heriberto estudia química e ingeniería. Por tanto, Heriberto estudia química. C. Si hay tormenta, se cierra la playa. Hay tormenta; por tanto, se cierra la

playa. D. Si hay paro de profesores, se cerrará el colegio. El colegio no está cerrado

hoy. Por tanto, no hay paro de profesores. E. Si voy a nadar, entonces estaré al sol demasiado tiempo. Si estoy al sol

demasiado tiempo, me quemaré. Por tanto, si voy a nadar me quemaré. F. Todos los monos son desordenados, luego, los monos son desordenados o

son peludos. G. Si no llueve entonces se perderá la cosecha, si se pierde la cosecha

entonces no se podrá cancelar la deuda entonces, si no llueve, no se podrá cancelar la deuda.

H. Si Isabel es italiana, es europea. Isabel no es europea. Entonces no es europea

2. Para cada uno de los siguientes conjuntos de premisas, ¿qué conclusión se puede deducir? Indica la reglas de inferencia utilizadas para obtener la conclusión.

A. Lucas esta gordo o delgado. Lucas no está gordo.


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B. Nicolás estudia o se queda jugando. Nicolás está estudiando.

C. Si el director lo asesino, entonces el director está tensionado. El director no

está tensionado.

D. Dayana gana diez millones de pesos en la lotería de Cundinamarca. Si Dayana gana diez millones de pesos en la lotería de Cundinamarca, Roberto se tomará la vida con calma.

E. Estoy soñando o estoy alucinando. No estoy soñando. F. Si ceno comidas picantes, entonces tengo sueños extraños. No

tengo sueños extraños.

G. Voy a estudiar o a jugar. Si estudio, participo en la competición de matemáticas. Si juego, me divierto.

H. Felipe caminaba trastabillando entonces llego a caerse de

rodillas. Felipe caminaba trastabillando.

I. Si el profesor de matemáticas recibió tres disparos entonces el profesor perdió abundante sangre. El profesor perdió abundante sangre entonces va a morir en cuestión de segundos.

Más reglas de inferencia.

8. Doble negación: la doble negación equvale a la afirmación de la proposición. Por

ejemplo “es falso que Gustavo no deje dormir sus hermanos”, es equivalente a decir que Gustavo deja dormir sus hermanos. La forma equematica de la regla es la siguiente:

:�:3� 3

9. Negación de una conjunción: la negación de la conjunción de dos proposiciones es equivalente a la disyunción de las negaciones de las dos proposiciones mientras. Por ejemplo “No se da el caso que Ernesto visite el zoológico y juegue golf con sus amigos” Es equivalente a las siguientes posibilidades: “Ernesto ni visita el zoológico ni juega golf con sus amigos”; “Ernesto visita el zoológico pero no juega golf con sus amigos”; “Ernesto no visita el zoológico pero si juega golf con sus amigos” la forma de la regla es:

:�3 ∧ 5� :3 ∨ :5

10. Negación de una disyunción: la negación de la disyunción de dos proposiciones es equivalente a la conjunción de las negaciones de las dos proposiciones. Por ejemplo “Es falso que María tenga 34 años o su cabello es dorado” es equivalente a que “María no tiene 34 años ni tiene el cabello dorado”.

:�3 ∨ 5� :3 ∧ :5

Las reglas de inferencia: son verdades lógicas por definición (definen las conectivas) que nos permiten trasformar las premisas dadas hasta alcanzar la conclusión.


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97

Como consecuencia de las dos reglas anteriores surge la negación de “ni, ni” que con el ejemplo “No se da el caso que un club de futbol no se clasifique a las finales y no pueda contratar nuevos jugadores”. Es equivalente a que “el club de futbol clasifica a las finales o contrata nuevos jugadores”.

:�3: ∧ :5� 3 ∨ 5

11. Negación de una condicional: Sea P y Q proposiciones, se puede expresar simbólicamente como :�; → S� es equivalente a ; ∧ :S. Dado el ejemplo “es falso que, si Claudia olvida pagar los servicios, le suspenderán los servicios” es equivalente a que “Claudia olvida pagar los servicios pero no le suspenderán los servicios”. La forma esquemática de la regla es:

:�3 → 5� 3 ∧ :5

12. Negación de la bicondicional: Sea P y Q proposiciones, se puede expresar simbólicamente :�; ↔ S� es equivalente a �3 ∧ :5� ∨ �:3 ∧ 5�. Por ejemplo, afirmar que “Es falso que, Mateo reprobó sexto grado si y sólo si perdió tres o más áreas” es equivalente a que “Mateo reprobó sexto grado pero no perdió tres o más materias o que Mateo no reprobó sexto grado y perdió tres o más áreas”.

:�3 → 5� 3 ∧ :5

IV. ¡EXPRESA LO APRENDIDO!

Obtenga conclusiones de cada una de las premisas y diga que regla utilizó. A. No se da el caso que, las leyes de la reforma económica sean aplicables a

la realidad. El Estado sea responsable de la economía del país. B. Es falso que, el segundo no sea la medida principal del tiempo. C. No ocurre que, el sol es el centro del sistema solar si y sólo si la tierra gira

alrededor del sol. D. No se da el caso que, o bien que los animales son vertebrados o bien

invertebrados E. Es falso que, si los estudiantes están en el colegio entonces, hay clases

normales. F. No se da el caso que, √2 no es un número racional y −2no es un número

natural. G. No ocurre que el calor no dilata los cuerpos. H. No es cierto que ni vaya al fútbol ni vaya al cine.

Comprobación de la validez de los argumentos utilizando reglas de inferencia.

Las reglas de inferencia son argumentos válidos que nos permiten relacionar lógicamente las premisas dadas con la conclusión. El procedimiento a seguir es el siguiente: 1. Reconocer las premisas y la conclusión.


98

98

2. Simbolizarlas. 3. Reconocer relaciones entre premisas usando reglas de inferencia. 4. En último lugar, tiene que aparecer la conclusión que queremos demostrar.

Ejemplos: Para comenzar analicemos algunos argumentos ya mencionados

a)

�.3 → 5�.5 → @�.3@

Para concluir R, se necesitan dos pasos, cada uno permitido por el Modus Ponendo Ponens (MPP). Estos dos pasos son las líneas 4 y 5 escritas a continuación: �.3 → 53^_àbc�.5 → @3^_àbc�.33^_àbc].5d33�. e�.f. @d33�. e].

b)

�.3 → 5�.:5�.:3 → @@

Para deducir R, se necesitan dos pasos; la línea 4 por Modus Tollendo Tollens (MTT) y la línea 5 por el Modus Ponendo Ponens (MPP), como se observan a continuación:

�.3 → 53^_àbc�.:53^_àbc�.:3 → @3^_àbc].:3d��. e�.f.@d33�. e].

c)

�.5 ∨ C�.C → ��.:�5

Para concluir Q son necesarios dos pasos; en la línea 4 se aplica Modus Tollendo Tollens (MTT) y en la línea 5 Modus Tollendo Ponens (MTP), escritas a continuación:

d)


99

99

�.5 ∨ C3^_àbc�.C → �3^_àbc�.:�3^_àbc].:Cd��. e�.f.5d33�. e].

�.:@ → C3^_àbc�.C → 3 ∧ 53^_àbc�.@ → �3^_àbc].:�3^_àbc5

�.:@ → C3^_àbc�.C → 3 ∧ 53^_àbc�.@ → �3^_àbc].:�3^_àbcf.:@ → 3 ∧ 5Cg�. e�.�.:@d��.e].h.3 ∧ 5d33f. e�.i. 5Ch.

SH: Silogismo hipotético. S: Simplificac.

e)

�.:C ∨ :@3^_àbc�.:@ → :�3^_àbc�.:C → 33^_àbc].:33^_àbc.∴ :� ∧ :3

�.:C ∨ :@3^_àbc�.:@ → :�3^_àbc�.:C → 33^_àbc].:33^_àbcf.:� ∨ 3CL�. �. e�.�.:�d�3f. e].h.:� ∧ :3E]. e�.

SD: Silogismo Disyuntivo, A: adjunción.

V. ACTIVIDAD GRUPAL

1. Deduce la conclusión de las premisas dadas en cada uno de los esquemas e

indica la regla de inferencia usada.

A. 1. �3 ∧ 5� → @ 2. �3 ∧ 5� B. 1. �:3 ∨ 5� → �@ ∧ :C�

2. �:3 ∨ 5�

C. 1. 3 → :5


100

100

2. 5

D.

�.E ∨ F�.E → H�.F → L

E. �.E → :H�.:H → :L

F. 1. :3 ∨ 5

2. 3

2. Escribe la regla de inferencia que justifica cada línea de la deducción para obtener la conclusión.

A. Concluir �3 ∧ 5� ∧ C de:

�.33^_àbc�.53^_àbc�.@ ∧ C3^_àbc].C_________________________f.3 ∧ 5_________________________�.�3 ∧ 5� ∧ C_________________________

B. Concluir Q de:

�.3 → �@ ∧ C�3^_àbc�.�@ ∧ C� → :�:5�3^_àbc�.33^_àbc].@ ∧ C_________________________f.:�:5�_________________________�.5_________________________

C. Concluir 3 ∧ 5 de:

�.@ → 33^_àbc�.@3^_àbc�.@ → 53^_àbc].3_________________________f.5_________________________�.3 ∧ 5_________________________

D. Concluir Q de:

�.:3 ∨ 53^_àbc�.:3 → @3^_àbc�.:@3^_àbc].:�:3�_________________________f.3_________________________�.5_________________________


101

101

E. Concluir Q de:

�.:@ → C3^_àbc�.C → 3 ∧ 53^_àbc�.@ → �3^_àbc].:�3^_àbcf.:@ → 3 ∧ 5_________________________�.:@_________________________h.3 ∧ 5_________________________i.5_________________________

3. Complete en cada una de las líneas en blanco de acuerdo a la regla mencionada.

A. Concluir �@ ∨ C� ∧ 3 de:

�.3 ∧ 53^_àbc�.@3^_àbc�._____________Elm.�.]._____________C.�.f._____________Hn4mo4paó4�. e].

B. Concluir :� de:

�.� → 33^_àbc�.3 → @3^_àbc�.:@3^_àbc]. __________d��.e�.f. _________d��.e].

C. Concluir Q de:

�.C → �3 ∨ 5�3^_àbc�.C3^_àbc�.:33^_àbc]. __________d33�.e�.f. _________d�3�.e].

D. Concluir C de:

�.:F3^_àbc�.E → F3^_àbc�.:E → H3^_àbc]. __________d�3�.e�.f. _________d33�.e].

E. Llueve o salgo a la calle. Llueve, me quedo viendo televisión. Salgo a la

calle, llevo paraguas. No llevo paraguas, por lo tanto me quedo viendo televisión. �.3 ∨ 5�.3 → @�.5 → C].:C

f. _______CL�, �e��. _______d�3fe]


102

102

Ánimo que ya superaste lo

más complejo.


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103

Guía de aprendizaje Guía No 10 OTRAS REGLAS DE INFERENCIA



Asignatura: Álgebra Grado: Noveno Tema: Otras reglas de inferencia. Subtemas: Regla de la condicional, reducción al absurdo.

Competencia: Detecta y aplica distintas formas de razonamiento y métodos de argumentación en la vida cotidiana.


Objetivo: Emplear la regla de la condicional y el método de reducción al absurdo para probar una proposición de la forma ; → S.

Recursos: Cuaderno. Tiempo: 8 horas de clase. Conceptos claves: Regla de la condicional, método de reducción al absurdo.

I. CONFRONTA TUS IDEAS.

Regla de la condicional

Para probar la proposición ; → S; de un conjunto de premisas ; , ;�, … ;�se toma P como nueva premisa y se usan las reglas de inferencia hasta obtener Q. este tipo de inferencia se llama la regla de la condicional y es fundamental en la demostración matemática.

Veamos los siguientes ejemplos:

1. Si bajo los precios, venderé mucho. Si venderé mucho entonces se agotarán los productos. Por lo tanto si bajo los precios, se agotarán los productos.

La forma del argumento es 3 → 5, 5 → @/ 3 → @ su demostración es la siguiente:

1�3 → 53^_`abc2�5 → @3^_`abc

3�3Coro_bsn4�5d331745�@d33275��3 → @@H375

Por lo tanto la conclusión se deduce de las premisas y el argumento es válido.

Suponer el antecendente de la conclusión.


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104

2. Si vamos a Colombia entonces, si recorremos el eje cafetero entonces visitamos Montenegro. No viajamos al Quindío o vamos a Colombia. Recorremos el eje cafetero. Por lo tanto si viajamos al Quindío entonces visitamos Montenegro.

La forma del argumento es t → �u → v�,:w ∨ t,5/w → v y solución sería el siguiente:

1�t → �u → v�txyz{|}2�:w ∨ ttxyz{|}��utxyz{|}

4�Cw~�~y|��5�3��t2y46�5 → @�tt1y57�@�tt6y3C → @v�4y7

Por lo tanto la conclusión se deduce de las premisas y el argumento es válido.

II. ¡EXPRESA LO APRENDIDO!

Muestre que las premisas llevan a la conclusión, usando la regla de la condicional de los siguientes argumentos.

A. Las matemáticas son difíciles o no les gusta a muchos estudiantes. Si los números son fáciles, entonces las matemáticas no son difíciles. En consecuencia, si a muchos estudiantes les gusta las matemáticas, los números no son fáciles.

B. Si se provocan a los tiburones entonces, si detectan sangre, atacaran. No existen amenazas o se provocan a los tiburones. Detectan sangre. Luego, existen amenazas entonces atacaran.

C. Si voy a Medellín, entonces tengo viajar en bus o en avión. Si voy en bus, gasto mucho tiempo. Si voy en avión, gasto mucho dinero. Por lo tanto, si voy a Medellín, gasto mucho tiempo o gasto mucho dinero.

Método de reducción al absurdo

Para probar una proposición 5 de un conjunto de premisas ; , ;�, …;� mediante el método de reducción al absurdo se sigue el siguiente procedimiento:

i. la proposición Q y se introduce como nueva premisa.

ii. se usa las reglas de inferencia hasta obtener una contradicción entonces, una proposición de la forma @ ∧ :@.


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Veamos los siguientes ejemplos:

1. Demostrar :3 de las siguientes premisas: 3 → 5, @ ∨ :5, :�3 ∧ @�. Seguimos el procedimiento indicado:

1�3 → 53^_àbc2�@ ∨ :53^_àbc3�:�3 ∧ @�3^_àbc4�3w~�~y|��5�5�tt1y46�@d�32757�:3 ∨ :@�d38�:@d�33749�@ ∧ :@��. 6y810�:3�y��|. 10

2. Probar 5 → :@ de las siguientes premisas:

1�3 ∨ :53^_àbc2�@ → :33^_àbc3�:�5 → :@�4�5 ∧ @w~�~y|��5�5w. �6�@C. �7�3d�31748�:3d332759�3 ∧ :3Adj6y710�:3LeyAbs. 9

III. Trabajo grupal

Muestre que la conclusión, se deduce de las premisas usando el método de reducción al absurdo en los siguientes argumentos.

A. Si una caída repentina en la tasa de interés preferencial produce un repunte en créditos de libre inversión, entonces con seguridad aumentará la inflación. Pero si una disminución del dólar en circulación produce la caída repentina en la tasa de interese preferencial, entonces una pronta inflación es igualmente es segura. Por lo tanto la inflación pronto estará sobre nuestra economía.

B. Si los niveles de precipitación permanecen sin cambio y el calentamiento global se intensifica, los niveles oceánicos aumentarán y algunos puertos marítimos se inundarán. Pero los puertos marítimos no se inundarán si el calentamiento global se intensifica. Por lo tanto, o los niveles de precipitación no permanecen sin cambio o el calentamiento global no se intensificará.

C. Si Colombia sigue endeudándose y los dineros no son bien invertidos, entonces vamos a la quiebra económica. No vamos a la quiebra económica o habrá más impuestos. Es falso, que si los dineros no son bien invertidos, entonces habrá más impuestos. En consecuencia Colombia no sigue endeudándose.

Negación de la conclusión.

Recordemos la negación de algunas proposiciones:

1. :�:3�⇔ 3

2. :�3 ∨ 5�⇔:3 ∧ :5

3. :�3 ∧ 5�⇔:3 ∨ :5

4. :�3 → 5�⇔3 ∧ :5

5. :�3 ↔ 5�⇔ �3 ∧ :5� ∨ �:3 ∧ 5�


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Guía de aprendizaje No. 11 CUANTIFICADORES Área de Matemáticas


Asignatura: Álgebra Grado: Noveno Tema: Función proposicional, cuantificadores. Subtemas:

Competencia: usa expresiones que contienen cuantificador en el lenguaje cotidiano.


Objetivos: 1. Identificar las expresiones que contienen cuantificadores. 2. Hallar la negación de proposiciones cuantificadas. Recursos: Cuaderno. Tiempo: 8 horas de clase. Conceptos claves: predicado, proposiciones abierta cuantificador universal, cuantificador existencial y negación de cuantificadores.

I. Expresa tus ideas

Escribe sobre la línea una de estas expresiones: para todo, todos, cualquier, existe,

uno, algún y algunos, adecuada en cada caso para que sea verdadera, según tu criterio. Considera los siguientes objetos del laboratorio de química

A. _____________ los instrumentos pertenecen al laboratorio de química. B. _____________ instrumento mide la temperatura de sustancias C. _____________ instrumentos son imprescindibles para determinar el punto de

ebullición de ciertas sustancias líquidas. D. _____________ un instrumento para medir la masa. E. _____________ experimento de sustancias son usados los instrumentos. F. _____________ mide la aceleración centrípeta de un cuerpo


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II. Confronta tus ideas

Proposición abierta

Una proposición abierta es un enunciado que depende de una o varias variables dentro de un universo determinado, de modo que se convierte en una proposición cuando se le da valor a las variables.

La proposición James juega futbol tiene dos componentes principales desde el punto de vista gramatical:

��&"# "#�$��(*)#��(*(&�)�(

Sujeto/ Término Predicado

Estas partes ya fueron estudiadas en la guía 3 en el tema de composición de una proposición gramatical. El término sujeto denota a un individuo particular o a cualquier cosa individual o general de la que pueda predicarse un atributo; el término predicado designa algún atributo que se dice que posee ese sujeto.

Vamos a simbolizar estas proposiciones de la siguiente manera:

Supongamos que el universo está formado por futbolistas.

A. Falcao es colombiano. B. Ospina es colombiano. C. Bacca es colombiano. D. Cuadrado es colombiano.

Las cuatro anteriores proposiciones tienen el mismo predicado “ser colombiano” y todas satisfacen la expresión ��6�: “6 es un colombiano”, que llamamos proposición abierta.

“6 es un colombiano” no es una proposición ya que no se puede asignar un valor de verdad puesto que 6 no es un individuo determinado, pero ��6� es susceptible de convertirse en proposición al sustituir la variable 6 por individuos (elementos) de un contexto (universo) determinado que hace proposiciones cerradas. En este caso al reemplazar la 6 por Falcao, Ospina, Bacca, resultan proposiciones verdaderas, pero al sustituirla por Messi es falsa, pues aunque Messi es futbolista no es colombiano. Si cambiamos el universo por deportistas, se tendrá un nuevo análisis. Ejemplos:

• ��6�: “6 es un divisor de 8”

Observe ��2�: 2 es un divisor de 8; es verdadera, ��5�: 5 es un divisor de 8; es falsa y ��32�: 32 es un divisor de 8; es falsa

• La proposición Miguel de Cervantes Saavedra fue un escritor. El universo sería escritores, por lo tanto la proposición abierta correspondiente es: ��6�: 6 es escritor español


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• Aristóteles fue un filósofo. El universo son los filósofos, la proposición abierta correspondiente es: ��6�: 6 es griego. Compuestas con proposiciones abiertas

Con las proposiciones abiertas también se pueden hacer negaciones, conjunciones, disyunciones, condicionales y bicondicionales. Dadas ;�6�, S�6�, podemos operarlas usando los conectivos lógicos estudiados para obtener expresiones de las formas: :;�6�; ;�6� ∨ S�6�; ;�6� ∧ S�6�; ;�6� → S�6�; ;�6� ↔ S�6�. Ejemplos.

A. Falcao es un futbolista colombiano. Consideremos como universo los futbolistas y es proposición abierta ��6�: “6 un futbolista” y ��6�: “6 es colombiano”. Sea ��6�: ��6� ∧ ��6�. Observe que si reemplazamos la x por Falcao la x por Falcao ��*��(� es V Mientras que si ��"##)� es F, pues, ��"##)� es V, pero ��"##)� es F.

B. Con las mismas proposiciones abiertas del ejemplo anterior, apliquemos la disyunción ��6�: ��6� ∨ ��6�. Observe que si ��')��;��ó� es V. Pues bien ��')��;��ó� es F o C��')��;��ó�"#�.

C. 2 es un número primo pero no es un número compuesto. Universo: números naturales. ��6�: ;�6� ∧ :��6�: 6 es primo y 6 no es compuesto. Observe que ��2� es V.

D. El triángulo es un rombo o un trapecio. Universo: polígonos ��6�: T�6� ∨ ��6�: 6 es un rombo o un trapecio. Observe que ��')á $*(� es F.

E. 6 es par si y sólo si 6 es divisible por 2. Universo: Números naturales. ��6�: ;�6� ↔ ��6�. Observe que ��6� es V

F. Si el zancudo se alimenta de sangre, entonces el zancudo es un insecto.

Universo: insectos. ��6�: ¡�6� → ¢�6�: 6 se alimenta de sangre, entonces 6 es un insecto. ��8��$£(� es V.


1. Halla la forma de las siguientes proposiciones teniendo en cuenta el método descrito en la sección anterior.

A. 2 es un número par y primo. B. El rectángulo ABCD es un cuadrilátero.


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C. 10 es un número compuesto. D. Es falso que 28 sea múltiplo de 3. E. Si 21 no es número par, entonces 21 no es primo. F. O bien Messi es futbolista de Barcelona o bien no es futbolista del Real

Madrid. G. Marcela es alta y delgada.

2. Usa las siguientes proposiciones (proposiciones abiertas) para construir 5 proposiciones abiertas.

A. U�6�:6 es un animal que sale a la superficie del agua. B. ;�6�:6 es un planeta. C. ¤�6�:6 es un ave nocturna. D. ¤�6�:6 es un nobel de literatura. E. ¥�6�:6 es un gas noble F. ��6�:6 es un deporte de equipo. G. ��6�:6 es un cantante colombiano. H. ;�6�:6 es un número par. I. ;�6�:6 es un polígono regular.

CUANTIFICADORES

A las expresiones: para todo, todos, cualquier, existe, algún y algunos, se les denomina cuantificadores. Los cuantificadores se clasifican en dos grupos: cuantificadores universales y cuantificadores existenciales.

El cuantificador existencial

“Para algún x se verifica ;�6�” “Existe x tal que se cumple ;�6�” “Para al menos un x se satisface ;�6�" Son proposiciones que se escriben como ”∃6;�6�”. Ejemplos: Escribe simbólicamente las proposiciones:

• Observa la proposición “Hay animales carnívoros”, consideramos: Universo: animales ��6�: x es carnívoro. Luego �∃6��6� simboliza la proposición la proposición “Hay animales carnívoros”

• Observa la proposición “Existe un número entero 6 tal que: 6 − 2 = 4”,

consideramos: Universo: los números enteros ��6�: 6 tal que: 6 − 2 = 4. Luego �∃6��6� simboliza la proposición dada.

• Algunos mamíferos viven en el agua, consideramos: Universo: animales M(x): x mamífero. Luego �∃6�¨��6� ∧ ©�6�ª simboliza “Algunos mamíferos viven en el agua” • Algunos números naturales son primos y pares, consideramos:


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Universo: números naturales P(x): x es primo; Q(x): x es par. Luego �∃6�¨;�6� ∧ S�6�ª. • Si hay autos eléctricos, son ecológicos. Universo: automóviles. E(x): x es eléctrico; F(x): x es ecológico. Luego �∃6�¨��6� → ��6�ª

El cuantificador Universal

“Para todo x se verifica ;�6�” “Para cualquier x tal que se cumple ;�6�” “Para cada x se satisface ;�6�" Son proposiciones que se escriben como ”∀6;�6�”. Ejemplos:

• Sea P: Todas las personas son mortales. Observa: Universo: personas ��6�: 6 es mortal. se simboliza �∀6��6�. • Sea Q:Todos los mamíferos son carnívoros. Observa: Entender la proposición de la siguiente manera: todos los animales, si son mamíferos, entonces son carnívoros. Universo: todos los animales ��6�: 6 es mamífero; ��6�: 6es un carnívoro. se simboliza �∀6�¨��6� → ��6�ª.

• Ningún perro es ave a. Universo: perros b. P(x): x es perro; A(x): x es ave. Se simboliza �∀6�¨;�6� → :¡�6�ª. • Sea R: Ningún número natural es divisible por 0. Observa: Universo: números naturales N(x): x es natural; D(x): x es divisible por 0. se simboliza �∀6�¨¤�6� → :��6�ª.

Dadas las proposiciones ¡�6� y ¬�6� se presenta la noción de proposiciones categóricas y su respectiva simbolización en el cálculo de predicados, que se reducen a las siguientes formas:

• �(£(#*(#¡#(¬#)&�ó*)��&"�""#:∀6�¡�6� → ¬�6�� (Universal afirmativa)• ¤) ú¡"#¬#)&�ó*)��&"�""#:∀6�¡�6� → :¬�6�� (Universal negativa)• ¡* $(#¡#(¬#)&�ó*)��&"�""#:∃6�¡�6� ∧ ¬�6��(Existencial afirmativa)• ¡* $(#¡(#(¬#)&�ó*)��&"�""#:∃6�¡�6� ∧ :¬�6��(Existencial negativa)


111

111

Ejemplos.

Construir las cuatro anteriores proposiciones con las siguientes proposiciones abiertas.

Sea ¡�6�: la persona 6 vive en Bogotá Sea ¬�6�: la persona 6 conoce Monserrate.

• ∀6�¡�6� → ¬�6�� significa que “toda persona que vive en Bogotá, entonces conoce Monserrate”

• ∀6�¡�6� → :¬�6�� significa que “toda persona que vive en Bogotá, entonces no conoce Monserrate”

• ∃6�¡�6� ∧ ¬�6�� significa que “existe una persona que vive en Bogotá y conoce Monserrate”

• ∃6�¡�6� ∧ :¬�6�� significa que “existe una persona que vive en Bogotá pero no conoce Monserrate”.

Negación de los cuantificadores

La negación (contradictoria) de las cuatro proposiciones categóricas se muestra a continuación.

Proposición Contradictoria Todos los A son Algunos A no son B Ningún A es B Algunos A son B

Algunos A son B Ningún A es B Algunos A no son B Todos los A son B

Ejemplos:

Proposición Contradictoria Todos las personas son pobres Algunos personas no son pobres

Ningún animal es volador Algunos animal es volador Algunos metales son conductores Ningún metal es conductor

Algunos billetes no son falsas Todos los billetes son falsos Hay animales cuadrúpedos Ningún animal es cuadrúpedo

Todos los ángulos son congruentes Algunos ángulos no son congruentes

IV. Trabajo grupal

1. Representa aplicando el cuantificador adecuado, las siguientes expresiones en forma simbólica.

A. Hay animales carnívoros B. La gente es amable C. Todos somos inteligentes D. Alguien me dio un regalo E. Hay números impares F. A nadie le gusta el helado G. Cada número natural es entero H. Todos los animales necesitan agua para vivir


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I. Todas las plantas tienen flores J. Solamente los pishing roban información bancaria.

2. Supone que todos los valores 6 son todas las personas. Sea ¡�6�: “6 viaja a Cartagena”, sea ¬�6�: “6 le gusta la playa” y sea ��6�: “6 conoce el Castillo de San Felipe”. Interpreta las siguientes proposiciones en palabras.

A. ∀6�¡�6�� B. ∀6�¬�6�) C. ∃6�:��6�� D. ∀6D¡�6� ∧ ¬�6�G E. ∃6D¬�6� → ��6�G F. ∀6D¡�6� ↔ :¬�6�G

3. Simboliza las siguientes proposiciones.

A. Existen cuadrados que no tienen sus lados iguales B. Existe un castillo llamado San Felipe. C. Todas las vacas son lecheras D. Algunas vacas tienes machas blancas y negras. E. No hay animales de color azul F. Todas las plantas producen flores, si y sólo sí producen semillas

4. Escribe la negación de cada una de las expresiones.

A. Existen países industrializados B. Algunos estudiantes son brillantes C. Todos los países latinoamericanos tiene deuda externa D. Existen peces mamíferos E. Todos los niños son sinceros F. Cada casa tiene una puerta metálica G. Por lo menos una persona en New York visita el Empire State.

¡Espero hayas aprovechado el tiempo

para entender los cuantificadores!


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5. Conclusiones Este trabajo contiene una propuesta didáctica para desarrollar la competencia argumentativa en los jóvenes de grado noveno. Para ella consideramos necesario involucrar lecturas de interés para la edad de estos estudiantes, transversalizar la temática con el área de lenguaje y manejar software matemático que facilite los procesos de enseñanza - aprendizaje de los conceptos básicos de la lógica y la argumentación. Para la elaboración de una secuencia didáctica es necesario identificar los conocimientos previos que tienen los estudiantes; para este caso se diseñó una prueba de entrada que determina niveles previos de razonamiento y argumentación de los estudiantes en diferentes contextos, la cual fue clave en el diseño de la propuesta didáctica. La argumentación no es un proceso general exclusivo de las matemáticas sino de otras áreas del conocimiento que suele usarse como competencia ciudadana en la apropiación y resolución de conflictos de la vida cotidiana. La argumentación está incluida en la competencia comunicativa la cual se establece para explicar ideas de manera escrita o verbal dando objeciones u opiniones basado en razones debidamente fundamentadas. En diferentes situaciones orales, se expone el punto de vista, argumentando, llegando a acuerdos y conclusiones. La diferenciación y la comprensión de los diversos tipos de textos le permite a los jóvenes analizar el contenido de un escrito desarrollan una postura crítica y capacidad argumentativa frente a sus estudios y la vida en general. Es preciso indicar que dada la complejidad de las guías de aprendizaje, tuve que prepararme seriamente en argumentación y lógica y no elaboré una prueba de salida, aunque sí desarrolle con mis estudiantes varios aspectos de los aquí propuestos, con buena aceptación por parte de ellos. Seguiré con este trabajo que confió dará muy buenos resultados con mis estudiantes y espero les sirva a otros en su quehacer docente.


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