PROJECTE: “LA TACA DEL PRESTIGE”

Calcular l’àrea de la taca del Prestige.

La taca té la següent forma:

Estimació de l’area de la taca a escala 1:100.000

Per tal de poder mesurar l’àrea, hem pensat fer una primera estimació amb una

figura petita. Per simplificar els càlculs, dibuixarem una taca de 1,6 cm d’amplada per

4,8 cm de llargada. Això vol dir que estem aplicant la següent escala:

1km =100.000 cm 1:100.000

Els 5,5 km² és una estimació per excés, un límit superior de la mida real, ja que hem

tapat les voreres de la taca amb la unitat de mesura sempre excedint la línia.

Bermúdez, Jordi

Dalmases, Eva

Oliver, Marina

Pons, Víctor

Rosa, Pili

1,6 Km

4,8 Km

1,6 cm

4,8

cm

0,5x1= 0,5 cm²

1x1= 1cm²

Estimació de l’Àrea de la taca:

1+1+1+0,5+0,5+0,5+0,5+0,5

5 cm² 5,5 km²

Ara sabem que la taca té un àrea aproximada de 5km², però també sabem que el

càlcul és una estimació aproximada perquè amb una figura tant petita, les unitats de

mesura de 1cm² fan que la precisió de la mesura sigui molt baixa.

Per exemple, si tenim en compte la mesura de la llargada de la taca, podem fer un

càlcul estimatiu de quin serà el tant per cent d’error que podem cometre :

Si la taca amida 4,8 cm de llargada, i la unitat de mesura amida 1 cm, sabem

que l’error màxim aproximat que tindrem en mesurar aquesta longitud serà de

±1cm:

(1 / 4,8) *100 = 20

Es a dir, que la mesura que hem obtingut amb l’escala 1:100.000, pot

arribar a tenir fins un 20% d’error.

Per tant, hem decidit fer una maqueta de la taca de petroli a una escala més petita,

que ens donarà una taca més gran i ens ajudarà a minimitzar l’error.

Per tal de minimitzar la dificultat del càlcul, farem servir una escala múltiple de 10,

però que no surti de les dimensions d’un full DIN-A3. Com que la llargada de la taca

són 4,8 Km, calcularem quina escala caldria per obtenir una mida de 48 cm, que ens hi

cap al full DIN-A3:

Estimació de la precisió de la mesura a escala 1:10.000

La taca amidarà aplicant aquesta escala 48 cm de llargada. Si tenim en compte

que la unitat de mesura serà igualment un quadre d’un centímetre de costat

(equivalent en aquest cas a 0,1cm d’àrea), sabem que l’error màxim aproximat

que tindrem en mesurar aquesta longitud serà de ±1cm:

(1 / 48) *100 = 2

Volem que 48 cm de llargada representin 4,8 km.

Això vol dir que 1 cm de la maqueta seran 0,1 km

(perquè hem dividit els dos per 48).

Com que 0,1 km són 10.000cm, l’escala resultant

serà:

1:10.000

i la mesura de la taca serà de 16cm d’amplada per

48 cm de llargada.

Per conservar les proporcions irregulars de la taca,

prenem mides en diferents punts i la dibuixem:

Es a dir, que la mesura de la llargada amb l’escala 1:100.000, pot arribar a

tenir fins un 2% d’error.

OBSERVACIÓ: Hi ha dues consideracions a tenir en compte a l’hora de parlar “d’error

de mesura”:

1- Aquest error només contempla les variacions que poden donar-se en funció de

la precisió amb la que estem mesurant la representació (±1cm), i no contempla

les altres fonts d’error presents que poder haver-hi.

2- El càlcul de l’error de mesura s’ha fet respecte a la longitud de la taca. Tenint

en compte que amb les dades de longitud fem una multiplicació per obtenir

l’àrea, també estem multiplicant l’error comés en mesurar les dimensions de la

taca i, per tant, estem també variant l’error de mesura.

Dibuixem la taca a escala 1:10.000

Mida a escala 1:100.000 (cm)

Mida a escala 1:10.000 (cm)

0 4,8 48

1 1,5 15

2 1 10

3 1 10

4 0,6 6

0,5 1,3 13

1,5 1,4 14

2,5 1 10

3,5 0,8 8

4,5 0,5 5

1 2 3 4 5 4,8

Primer de tot quadriculem una cartolina DinA2

per tal de poder plasmar les coordenades calculades

a la taula anterior.

Dibuixarem la taca al llarg d’un eix central que passi

pel mig, de manera que podrem prendre mides de

la distància de la vorera de la taca per dalt i per baix

a diferents distàncies. D’aquesta manera

mantindrem al màxim la forma original de la taca.

Una vegada hem marcat tots els punts a dalt i a baix

de l’eix central, marquem la vorera de la taca a escala

1:10.000

Primer hem intentat retallar unitats de

mesura de 1cm x 1 cm i altres múltiples

més grans, per tal d’omplir la superfície

de la taca i després sumar l’àrea de

cada tros.

Però finalment hem

decidit que seria molt

més fàcil dibuixar les

unitats dintre de le

taca, numerar-les i

després contar-les.

Els espais de les voreres, els contem dibuixant

triangles i altres figures geomètriques

sencilles de les quals podem calcular l’àrea.

Anem calculant i anotant l’àrea de cada

trosset.

Per saber quin valor té l’àrea de la taca, només haurem de sumar les àrees de totes

les unitats de mesura marcades i numerades, juntament amb les figures geomètriques

marcades al llarg de la vorera. Hem recollit totes les dades en la següent taula:

Figura Nº Àrea en cm²

Figura Nº Àrea en cm²

1 2,5

18 2

2 8

19 7,5

3 8

20 1

4 4

21 1

5 3

22 3

6 3

23 3

7 1

24 8

8 3,5

25 20

9 2,5

26 120

10 2,5

27 8

11 1,5

28 112

12 1

29 4

13 7,5

30 45

14 1,8

31 15

15 2,5

32 6

16 2

33 3

17 2

34 44

SUMA TOTAL= 465,8 cm²

Finalment, només haurem d’aplicar el factor 10.000 de l’escala per saber la mesura

de l’àrea a la realitat.

----------------------

Valoració de la pràctica

Una de les dificultats que ens hem trobat, ha estat la diferència entre l’escala de

longituds i l’escala quadràtica referida a l’àrea de la taca. Primer volíem aplicar les

diferents escales als valors de superfície, però ens hem adonat que els resultats eren

incongruents amb el primer càlcul estimatiu que havíem fet.

Per altra banda, ens hem entretingut força en investigar com es pot valorar l’error

d’un resultat i quina relació que té amb la precisió de la mesura. En aquest sentit, hem

trobat que la precisió augmenta (i per tant l’error disminueix), a mesura que disminueix

la proporció :

“grandària de la unitat de mesura / grandària l’objecte amidat”

És a dir, que quan disminuïm l’escala de 1:100.000 fins a 1:10.000, fem augmentar de

tamany la representació de la taca i, com que fem servir la mateixa unitat de mesura

de “1cm x 1cm”, estem augmentant la precisió de la mesura i minvant l’error del càlcul

de l’àrea.

Pel que fa a l’anàlisi de dades, i tractant-se de cicle superior, pensem que aquesta

seria una bona oportunitat per introduir l’ús dels fulls de càlcul (com per exemple

l’Èxcel), ja que el fet de poder introduir una petita fórmula que sumés totes les àrees

mesurades, connecta els estàndards de mesura i anàlisi de dades amb l’estàndard

d’àlgebra.

Finalment, valorem l’experiència d’haver dut a terme aquesta pràctica molt

positivament pel fet que ens ha fet adonar de moltes de les situacions que viuran els

nostres alumnes davant projectes com aquest:

- Diversitat d’idees i punts de vista entorn al mateix problema matemàtic.

- Dificultats que van sorgint i com s’aborda el plantejament de solucions.

- Importància de disposar dels recursos materials i documentals necessaris.

- Beneficis pedagògics que aporta el fet d’afrontar problemes sense pauta, pel

fet que aquestes situacions desperten la imaginació i la creativitat del nen.

- Les múltiples dimensions que incorpora qualsevol projecte matemàtic, amb la

inherent connexió de tots els estàndards matemàtics.

Àrea de la representació a escala 1:10.000: 465,8cm²

Àrea de la taca del Prestige a la realitat: 4,658 Km²

Anàlisi del projecte “LA TACA DEL PRESTIGE”

Continguts matemàtics treballats al projecte de “La taca del Prestige” en relació

amb els Estàndards Matemàtics de la NCTM.

ESTÀNDARD CONTINGUT TREBALLAT

Nombres i Operacions

● Comprendre la relació existent entre les fraccions i els nombres decimals.

● Operacions amb nombres decimals. ● Les fraccions (3/4 parts de la taca). ● Enquadraments.

Àlgebra Anàlisi del canvi en contextos diversos, pel que fa als canvis que es produeixen quan es fa un canvi d’escala en la representació.

Comprendre patrons i relacions, assolint que el sumatori de les àrees de les subdivisions de la taca donarà com a resultat l’àrea total de la taca.

Geometria ● Càlcul d’àrees. ● Enquadraments. ● Instruments d’orientació (GPS). ● Traçar una ruta amb cartes de navegació. ● Utilització de mapes (quan mesurem el rumb). ● Meridians i paral·lels.

Mesura Creació d’un sistema d’unitats.

Concepte de precisió i error.

Diversitat d’escales.

Àrea màxima.

Àrea mínima.

Sentit de les unitats.

Enquadraments.

Raonabilitat de càlculs.

El camp de futbol com a unitat de mesura.

Magnitud, longitud, àrees i amplitud.

Mesurar rumbs.

Longitud i latitud.

Amplitud d’angles.

Magnitud temps (hores, minuts i segons).

Relació entre magnituds (longitud i superfície).

Instruments de mesura.

La milla com a unitat de mesura.

Anàlisi de dades i probabilitat

Recollida de valors d’àrea de les subdivisions de la taca en taules.

Anàlisi de la precisió de les dades de mesura i de l’acceptabilitat de l’error en els resultats.

Resolució de problemes

● Construcció de rellotges de sol per buscar l’hora solar. ● Canvis de grau provoquen canvis d’hora. ● Construcció d’una taula que esdevé una eina matemàtica per fer

canvis d’escala.

Bermúdez,

Jordi

Dalmases, Eva

Oliver, Marina

Pons, Víctor

Rosa, Pili

Estratègies emprades en el moment de desenvolupar la taca de Prestige.

Utilitzar un referent conegut (la rajola de la classe) per fer un càlcul estimat de

l’àrea.

Cobrir la superfície amb figures geomètriques típiques.

Estimació màxima.

Representació de l’escala utilitzant una taula de conversió de l’escala.

Reducció de la figura a figures geomètriques.

Adequació de l’escala.

Enquadrament.

Calcular l’àrea externa de la taca i el rectangle màxim.

Raonabilitat de resultats.

Calcular el perímetre amb una cinta que el segueix.

Crear una escala a la mida del paper.

Inventar una unitat

Trobar l’escala.

Calcular l’àrea del rectangle màxim.

Cobrir amb figures geomètriques la superfície no taca.

Restar del total.

Tornar a les mesures reals.

Raonament i demostració

● Raonament d’estratègies per mesurar àrees. ● Esbrinar l’hora solar. ● Planificació del projecte (mapa conceptual).

Comunicació ● Realització d’un mural. ● Comunicar les diferents estratègies emprades. ● Explicació dels càlculs desenvolupats en les distàncies per

calcular el rumb. ● Redacció del què hem aprés a l’hora de treballar el tema de les

hores. ● Recollir el procés que han seguit de manera individual.

Connexions Connexions entre mesura i geometria.

Connexions entre mesura i nombre i operacions.

Connexions entre comunicació i raonament.

Representació Passar d’una escala petita a una més gran per poder dibuixar la taca del Prestige.

Aplicació de plantilles.

Dibuixar el rumb.

Dificultats amb què ens hem trobat

Donar l’escala amb les mateixes unitats.

Escala en superfície.

Relació longitud - superfície.

Conversió d’escales.

Canvi d’unitat en superfície.

Relació perímetre - àrea.