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PROGRESIONES

Progresiones aritméticas

Similar a los ejercicios 6, 7 y 8 propuestos

Similar a los ejercicios 9, 10 y 11 propuestos

Similar a los ejercicios 12, 13, 14 y 15 propuestos

Similar al ejercicio 16 propuesto

Progresiones geométricas

Similar a los ejercicios 18, 19 y 20 propuestos

Similar a los ejercicios 21 y 22 propuestos

Similar a los ejercicios 23, 24 y 25 propuestos

Similar a los ejercicios 26 y 27 propuestos

Fin

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PROGRESIONES

Si el tercer término de una progresión aritmética es –50 y la diferencia es 6, ¿cuáles son los diez primeros términos de la progresión? Escribe el término general.

___ , ___ , –50 , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , …

Hay que ir sumando 6 para obtener los términos siguientes

–50 + 6 = –44

–44

–44 + 6 = –38

–38

–38 + 6 = –32

–32

–32 + 6 = –26

–26

–26 + 6 = –20

–20

–20 + 6 = –14

–14

–14 + 6 = –8

–8

Hay que ir restando 6 para obtener los términos anteriores–50 – 6 = –56

–56

–56 – 6 = –62

–62

Término general: an = a1 + (n–1)dan = –62 + (n–1)6an = –62 + 6n – 6an = –68 + 6n

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PROGRESIONES

Sabiendo que el cuarto término de una progresión aritmética es 15 y que el décimo es 36, obtén los diez primeros números que forman la progresión. ¿Cuál es el término general de esta progresión?

___ , ___ , ___ , 15 , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , 36 , …

Hay que calcular la diferencia:Como se conocen a4 y a10 podemos escribir a10 = a4 + (10 – 4)d

36 = 15 + (10 – 4)d36 = 15 + 6d36 – 15 = 6d21 = 6d21/6 = d3´5 = d

A partir del número 15 vamos sumando 3´5 y completando la progresión.

18´5 22 25´5 29 32´5

Los primeros términos se obtienen a partir del 15 restando 3´5.

11´584´5

Término general: an = a1 + (n–1)dan = 4´5 + (n–1)3´5an = 4´5 + 3´5n – 3´5an = 1 + 3´5n

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PROGRESIONES

En una progresión aritmética el cuarto término es 11 y el noveno 31. Calcula la suma de los 150 primeros términos de la progresión.

a4 = 11

a9 = 31 a9 = a4 + (9 – 4)d

31 = 11 + 5d31 – 11 = 5d20 = 5d20/5 = d 4 = d

Primero se calcula d:

a4 = a1 + (4 – 1)d

11 = a1 + 3·411 = a1 + 1211 – 12 = a1

-1 = a1

Ahora se calcula a1:

a150 = a1 + (150 – 1)d

a150 = –1 + 149·4a150 = –1 + 596a150 = 595

Ahora se calcula a150:

Ya se puede calcular la suma: S150 = ––––––––––––(a1 + a150)·150

2= ––––––––––––

(–1 + 595)·150

2

S150 = –––––––594·150

2= ––––––

89100

2= 44550

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PROGRESIONES

¿Cuántos números se han sumado de una progresión aritmética si el resultado ha sido 855, el primero era 8 y el último 30?

Sn = –––––––––(a1 + an)·n

2

855 = –––––––––(8 + 30)·n

2

855 = ––––38·n

2

––––– = n1710

38

45 = n

Sn = 855

a1 = 8

an = 30

855·2 = 38·n

1710 = 38·n

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PROGRESIONES

Escribe los seis primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que la razón es 2 y que el tercer término es 12. ¿Cuál es el término general?

___ , ___ , 12 , ___ , ___ , ___ , …

Hay que ir multiplicando por 2 para obtener los términos siguientes

12 · 2 = 24

24

24 · 2 = 48

48

48 · 2 = 96

96

Hay que ir dividiendo por 2 para obtener los términos anteriores12 : 2 = 6

6

6 : 2 = 3

3

Término general: an = a1 · rn–1

an = 3 · 2n–1

an = 3 · –––2n

21

an = –– · 2n3

2an = 1´5 · 2n

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PROGRESIONES

Sabiendo que el segundo término de una progresión geométrica es 36864 y que el quinto es 15552, encuentra los nueve primeros términos de la progresión. ¿Cuál es el término general?

_____ , 36864 , _____ , _____ , 15552 , _____ , _____ , _____ , ______ , …

Hay que calcular la razón:Como se conocen a2 y a5 podemos escribir a5 = a2 · r

5 – 2

15552 = 36864 · r3

––––– = r315552

36864

0´421875 = r3

3 0´421875 = r

0´75 = r

A partir del número 36864 vamos multiplicando por 0´75 y completando la progresión.

27648 20736 11664 8748 6561

El primer término se obtienen a partir del 36864 dividiendo por 0´75.

49152 4920´75

Término general: an = a1 · rn – 1

an = 49152 · 0´75n – 1

an = 49152 · –––––0´75n

0´751

an = ––––– · 0´75n49152

0´75an = 65536 · 0´75n

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PROGRESIONES

Averigua cuánto suman los veinticinco primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que el primer término es 5 y que el cuarto es 40.

a1 = 5

a4 = 40 a4 = a1 · r4 – 1

40 = 5 · r3

Primero se calcula r:

–– = r340

5

8 = r3

3 8 = r

2 = r

Ahora se calcula a25:

a25 = a1 · r25 – 1

a25 = 5 · 224

a25 = 5 · 16777216

a25 = 83886080

Ya se puede calcular la suma: S25 = –––––––––a25 · r – a1

r – 1= ––––––––––––––

83886080 · 2 – 5

2 – 1

S25 = –––––––––––––167772160 – 5

1= 167772155

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PROGRESIONES

Suma todos los términos de una progresión geométrica sabiendo que el primer término es 21 y que el tercer término es 3´36.

a1 = 21

a3 = 3´36 a3 = a1 · r3 – 1

3´36 = 21 · r2

Primero se calcula r:

–––– = r23´36

21

0´16 = r2

0´16 = r

0´4 = r

Ahora se calcula la suma:

S∞ = –––– a1

1 – r

S∞ = –––––– 21

1 – 0´4= ––––

21

0´6= 35

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