programación lineal resolución gráfica (1)

1Investigación Operativa - Carmen Ortiz Z – Luis Seccatore.

Resolución Gráfica

Programación Programación LinealLineal

Resolución Gráfica (1)Resolución Gráfica (1)



Variables de Decisión:

x1 = cantidad de vitsódico que se debe fabricar (toneladas)

x2 = cantidad de vitpotásico que se debe fabricar (toneladas)

Producción de Fertilizantes

Dos productos: Vitsódico y Vitpotásico

Tres Recursos:

- potasio: 18 kg

- sodio: 14 kg

- mezcladora: 15 h-maq



Restricciones

Disponibilidad Potasio: se puede utilizar en la producción total hasta 18 [kg]

1 x1 + 4 x2 18

Disponibilidad Sodio: se puede utilizar en la producción total hasta 14 [kg]

2 x1 + 2 x2 14

Disponibilidad Mezcladora: se puede utilizar hasta 15 [hrs] a la semana

2 x1 + 3 x2

Variables de Decisión:

x1 = cantidad de vitsódico que se debe fabricar (toneladas)

x2 = cantidad de vitpotásico que se debe fabricar (toneladas)



No negatividad: x1, x2 0

Función objetivo

Max ingresos totales

Ingreso total = z = 300 x1 + 500 x2 (Miles de $ = M$)

Max z = 300 x1 + 500 x2



Modelo de Programación Lineal

Max z = 300 x1 + 500 x2

s.a.

1 x1 + 4 x2 18 (1)

2 x1 + 2 x2 14 (2)

2 x1 + 3 x2

x1, x2 0



x2

x1

1 x1 + 4 x2 18 (1)

2 x1 + 2 x2 14 (2)

2 x1 + 3 x2 x1, x2 0


Resolución Gráfica 1 x1 + 4 x2 18 (1)

2 x1 + 2 x2 14 (2)

2 x1 + 3 x2 x1, x2 0

x2

x15 10 15 20

5

10



2 x1 + 2 x2 14 (2)

2 x1 + 3 x2 x1, x2 0

x2

x15 10 15 20

5

10



2 x1 + 2 x2 14 (2)

2 x1 + 3 x2 x1, x2 0

x2

x15 10 15 20

5

10Espacio/ conjunto factible


Resolución Gráfica Max z = 300 x1 + 500 x2

s.a.

1 x1 + 4 x2 18 (1)

2 x1 + 2 x2 14 (2)

2 x1 + 3 x2 x1, x2 0

x2

x15 10

5

Z = 1500

Z = 1800

Z = 2460


Resolución Gráfica Max z = 300 x1 + 500 x2

s.a.

1 x1 + 4 x2 18 (1)

2 x1 + 2 x2 14 (2)

2 x1 + 3 x2 x1, x2 0

x2

x15 10

5

Z = 2460

Solución óptima

z* = valor óptimo = $ 2460

x1* = 1.2 ton

x2 * = 4.2 ton

1.2

4.2



Recursos Utilizados

x1 = 1.2 y x2 = 4.2, entonces se utiliza:

Potasio 18 kg ( Sobra = 0 )

Sodio 10.8 kg ( Sobra = 3.2)

Mezcladora 15 h-m ( Sobra = 0)

Definición: Variable de Holgura = diferencia entre el lado derecho y el

lado izquierdo de una restricción.

Restricción es activa variable de holgura igual a cero. Restricción es no activa variable de holgura es distinta

de cero.



Min / Max z = c x

s.a.

A x = b

x 0

Restricciones generales

Restricciones de signo

Conjunto factible = { x / x verifica restricciones generales

y de signo }



Problema infactible Max z = 4x1 + x2

s.a. 3x1 + 6x2 18 (1) x1 + 2x2 8 (2)

x1, x2 0

x2

x1

3

6

(1)

4

8

(2)

Tipos de Soluciones de un P. Lineal



Problema infactible Max z = 4x1 + x2

s.a.3x1 - 6x2 18 (1)

2x1 + x2 6 (2) x1, x2 0


x2

x1

(1)

(2)

3

6

-3

6



Max z = 2x1 + 2x2

s.a. x1 + 3x2 9 (1) 2x1 + x2 6 (2)

x1, x2 0

Problema con solución óptima única

x2

x1

3

9

6

3

(2)

(1)




Max z = 2x2 + x3

s.a. x1 + x2 + x3 4 x2 2 x3 3

x1, x2 , x3 0



x3

x2

2

4

2 4

4x1



-x1 + 3x2 9 (1) 3x1 + x2 6 (2)

x1, x2 0

x2

x1

3

2


Conjunto factible no acotado



Min z = x1 + x2

-x1 + 3x2 9 (1) 3x1 + x2 6 (2)

x1, x2 0



¡¡ Solución óptima finita!!

x2

x1

3

2



Max z = x1 + x2

-x1 + 3x2 9 (1) 3x1 + x2 6 (2)

x1, x2 0



x2

x1

3

2

Problema no acotado

(z* )



Max z = 2x1 + x2

s.a. -x1 + 3x2 9 (1)

2x1 + x2 6 (2)

x1, x2 0 x2

x1

3

6

3


Problema con infinitas soluciones óptimas



c x

c x


Problema con infinitas soluciones óptimas



x2

x15 10 15 20

5

10

Max z = 300 x1 + 500 x2

s.a.

1 x1 + 4 x2 18 (1)

2 x1 + 2 x2 14 (2)

2 x1 + 3 x2 x1, x2 0Vértices factibles

AB

C

ED



PUNTO x1 x2 z

A

B

C

D

E

0 4.5 2250

7 0 2100

0 0 0

Vértices Factibles

24601.2 4.2

1 23006



PUNTO x3 x4

A

B

C

D

E

0 5 1.5

0 4.2 0

8 0 0

11 0 1

18 14 15

Variables de Holgura

x5

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