programa de as (res 2006)

8/14/2019 Programa de as (Res 2006)

1/144

Educaci

n bsica. SecundariaProgramas de Estudio 2006

Matemticas


2/144

Educacin bsica. Secundaria. Matemticas. Programas de estudio 2006 fue elaborado por personal acadmico de la Direccin

General de Desarrollo Curricular, que pertenece a la Subsecretara de Educacin Bsica de la Secretara de Educacin Pblica.

La sep agradece a los profesores y directivos de las escuelas secundarias y a los especialistas de otras instituciones por su

participacin en este proceso.

Coordinador editorialEsteban Manteca Airre

Diseo

Ismae Viafranco Tinoco

Correccin

Roberto Zavaa Riz

Formacin

Mane BritoSsana Varas Rorez

Primera edicin, 2006

SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA, 2006Argentina 28

Col. Centro, C.P. 06020

Mxico, D.F.

isbn968-9076-02-7

Impreso en Mxico

MATERIAL GRATUITO. PROHIBIDA SU VENTA


3/144

Inice

Presentacin

Introduccin

Propsitos

Enfoque

Evaluacin

Secuencia y organizacinde contenidos

Primer grado

Segundo grado

Tercer grado

Bibliografa recomendada

5

7

9

11

17

21

23

63

103

141


4/144


5/144

Presentacin

aprendiendo; impuls programas para apoyarla actualizacin de los maestros; realiz accionesde mejoramiento de la gestin escolar y del equi-

pamiento audiovisual y bibliogrco. Sin embargo, estas acciones no han sido sucientespara superar los retos que implica elevar la cali-dad de los aprendizajes, as como atender conequidad a los alumnos durante su permanenciaen la escuela y asegurar el logro de los propsi-tos formativos plasmados en el currculo nacio-nal.

Con base en el artculo tercero constitucionaly en cumplimiento de las atribuciones que leotorga la Ley General de Educacin, la Secreta-ra de Educacin Pblica plasm en el ProgramaNacional de Educacin 2001-2006 el compromi-so de impulsar una reforma de la educacin se-cundaria que incluyera, adems de una renova-

cin del plan y de los programas de estudio, elapoyo permanente y sistemtico a la profesiona-lizacin de los maestros y directivos del nivel, elmejoramiento de la infraestructura y del equi-pamiento escolar, as como el impulso a nuevasformas de organizacin y gestin que fortalecie-ran a la escuela como el centro de las decisionesy acciones del sistema educativo.

Para llevar a cabo la renovacin del currculo,cuyo resultado se presenta en el Plan y en losProgramas de Estudio 2006, se impulsaron di-versos mecanismos que promovieran la partici-pacin de maestros y directivos de las escuelassecundarias de todo el pas, de equipos tcnicosestatales responsables de coordinar el nivel, y de

especialistas en los contenidos de las diversasasignaturas que conforman el plan de estudios.En este proceso se cont con el apoyo y compro-

La Secretara de Educacin Pblica edita el Plande Estudios para la Educacin Secundaria 2006

y los programas correspondientes a las asigna-turas que lo conforman, con el propsito de quelos maestros y directivos conozcan sus compo-nentes fundamentales, articulen acciones cole-giadas para impulsar el desarrollo curricular ensus escuelas, mejoren sus prcticas docentes ycontribuyan a que los alumnos ejerzan efectiva-mente el derecho a una educacin bsica de cali-

dad.Desde 1993 la educacin secundaria fue de-

clarada componente fundamental y etapa decierre de la educacin bsica obligatoria. Me-diante ella la sociedad mexicana brinda a todoslos habitantes de este pas oportunidades for-males para adquirir y desarrollar los conoci-

mientos, las habilidades, los valores y las com-petencias bsicas para seguir aprendiendo a lolargo de su vida; enfrentar los retos que imponeuna sociedad en permanente cambio, y desem-pearse de manera activa y responsable comomiembros de su comunidad y ciudadanos deMxico y del mundo.

Durante ms de una dcada la educacin se-

cundaria se ha beneciado de una reforma cu-rricular que puso el nfasis en el desarrollo dehabilidades y competencias bsicas para seguir


6/144

miso decidido de las autoridades educativas es-tatales.

De igual manera, y con el propsito de contar

con evidencias sobre la pertinencia de los conte-nidos y de los enfoques para su enseanza, ascomo de las implicaciones que tiene aplicar unanueva propuesta curricular en la organizacinde las escuelas y en las prcticas de los maestros,durante el ciclo 2005-2006 se desarroll en es-cuelas secundarias de 30 entidades federativasla Primera Etapa de Implementacin (pei) del

nuevo currculo. Los resultados del seguimientoa esa experiencia permiten atender con mejoresrecursos la generalizacin de la reforma curricu-lar a todas las escuelas del pas.

Es innegable el valor que tiene el proceso deconstruccin curricular arriba expresado. Porello, y a n de garantizar que en lo sucesivo se

favorezca la participacin social en la revisin yel fortalecimiento continuo de este servicio, laSecretara de Educacin Pblica instalar Con-sejos Consultivos Interinstitucionales conforma-dos por representantes de instituciones educati-vas especializadas en la docencia y la investiga-cin sobre los contenidos de los programas deestudio; de las instituciones responsables de la

formacin inicial y continua; de asociaciones ycolegios, tanto de maestros como de padres defamilia; as como de organizaciones de la socie-dad civil vinculadas con la educacin bsica. Elfuncionamiento de los Consejos en la evaluacinpermanente del plan y de los programas de es-tudio y de sus resultados permitir atender con

oportunidad las necesidades y retos que se pre-senten, instalar una poltica de desarrollo curri-cular apegada a las necesidades formativas de

los ciudadanos, as como fortalecer en las escue-las la cultura de la evaluacin y de la rendicinde cuentas.

La Secretara de Educacin Pblica reconoceque el currculo es bsico en la transformacinde la escuela; sin embargo, reconoce tambinque la emisin de un nuevo plan y programasde estudio es nicamente el primer paso paraavanzar hacia la calidad de los servicios. Porello, en coordinacin con las autoridades educa-tivas estatales, la Secretara brindar los apoyosnecesarios a n de que los planteles, as comolos profesores y directivos, cuenten con los re-cursos y condiciones necesarias para realizar latarea que tienen encomendada y que constituyela razn de ser de la educacin secundaria: ase-gurar que los jvenes logren y consoliden lascompetencias bsicas para actuar de manera

responsable consigo mismos, con la naturalezay con la comunidad de la que forman parte, yque participen activamente en la construccinde una sociedad ms justa, ms libre y democr-tica.

Secretara de Educacin Pblica


7/144

Mediante el estudio de las matemticas se buscaque los nios y jvenes desarrollen una formade pensamiento que les permita expresar mate-

mticamente situaciones que se presentan en di-versos entornos socioculturales, as como utili-zar tcnicas adecuadas para reconocer, planteary resolver problemas; al mismo tiempo, se buscaque asuman una actitud positiva hacia el estu-dio de esta disciplina y de colaboracin y crtica,tanto en el mbito social y cultural en que se

desempeen como en otros diferentes.Para lograr lo anterior, la escuela deber brin-dar las condiciones que hagan posible una acti-vidad matemtica verdaderamente autnoma yexible, esto es, deber propiciar un ambienteen el que los alumnos formulen y validen conje-turas, se planteen preguntas, utilicen procedi-mientos propios y adquieran las herramientas y

los conocimientos matemticos socialmente esta-blecidos, a la vez que comunican, analizan e in-terpretan ideas y procedimientos de resolucin.

La actitud positiva hacia las matemticasconsiste en despertar y desarrollar en los alum-nos la curiosidad y el inters por investigar yresolver problemas, la creatividad para formu-

lar conjeturas, la exibilidad para modicar supropio punto de vista y la autonoma intelectualpara enfrentarse a situaciones desconocidas; asi-

mismo, consiste en asumir una postura de con-anza en su capacidad de aprender.

La participacin colaborativa y crtica resultar

de la organizacin de actividades escolares colecti-vas en las que se requiera que los alumnos formu-len, comuniquen, argumenten y muestren la vali-dez de enunciados matemticos, poniendo enprctica tanto las reglas matemticas como socio-culturales del debate, que los lleven a tomar lasdecisiones ms adecuadas a cada situacin.

Los contenidos que se estudian en la educa-

cin secundaria se han organizado en tres ejes:Sentido numrico y pensamiento algebraico; Forma,espacio y medida y Manejo de la informacin.

Sentido numrico y pensamiento algebraico alu-de a los nes ms relevantes del estudio de laaritmtica y del lgebra: por un lado, encontrarel sentido del lenguaje matemtico, ya sea oral o

escrito; por otro, tender un puente entre la arit-mtica y el lgebra, en el entendido de que haycontenidos de lgebra en la primaria, que seprofundizan y consolidan en la secundaria.

Forma, espacio y medida encierra los tres aspec-tos esenciales alrededor de los cuales gira el es-tudio de la geometra y la medicin en la educa-cin bsica. Es claro que no todo lo que se mide

tiene que ver con formas o espacio, pero s lamayor parte; las formas se trazan o se constru-yen, se analizan sus propiedades y se miden.

Manejo de la informacin tiene un signicadomuy amplio. En estos programas se ha conside-rado que la informacin puede provenir de si-tuaciones deterministas, denidas por ejem-

plo, por una funcin lineal, o aleatorias, en lasque se puede identicar una tendencia a partirde su representacin grca o tabular.

Introccin


8/144

La vinculacin entre contenidos del mismo eje,entre ejes distintos o incluso con los de otras asig-naturas es un asunto de suma importancia, puesto

que la tendencia generalizada en la enseanza hasido la fragmentacin o la adquisicin del conoci-miento en pequeas dosis, lo que deja a los alum-nos sin posibilidades de establecer conexiones ode ampliar los alcances de un mismo concepto.

En estos programas, la vinculacin se favore-ce mediante la organizacin en bloques temti-cos que incluyen contenidos de los tres ejes. Al-

gunos vnculos ya se sugieren en las orientacionesdidcticas y otros quedan a cargo de los profeso-res o de los autores de materiales de desarrollocurricular, tales como libros de texto o cherosde actividades didcticas.

Un elemento ms que atiende la vinculacinde contenidos es el denominado Aprendizajes

esperados , que se presenta al principio de cadabloque y donde se sealan, de modo sinttico,los conocimientos y las habilidades que todos losalumnos deben alcanzar como resultado del es-tudio del bloque en cuestin.

Aunque la responsabilidad principal de losprofesores de matemticas es que los alumnosaprendan esta disciplina, el aprendizaje ser

ms signicativo en la medida en que se vinculecon otras reas. Por ejemplo: el estudio del mo-vimiento rectilneo uniforme tiene estrecha rela-

cin con el estudio de la funcin lineal y su re-presentacin algebraica y grca; el primer temacorresponde a la asignatura de Fsica y los si-

guientes son contenidos matemticos de los ejesSentido numrico y pensamiento algebraico y de Ma-nejo de la informacin, respectivamente.

Cabe sealar que los conocimientos y habili-dades en cada bloque se han organizado de talmanera que los alumnos vayan teniendo accesogradualmente a contenidos cada vez ms com-plejos y a la vez puedan establecer conexiones

entre lo que ya saben y lo que estn por apren-der. Sin embargo, es probable que haya otros cri-terios igualmente vlidos para establecer la se-cuenciacin y, por lo tanto, no se trata de unorden rgido.

Al profundizar en el estudio de los conteni-dos de matemticas que se proponen para la es-

cuela secundaria se pretende que los alumnoslogren un conocimiento menos fragmentado,con mayor sentido, de modo que cuenten conms elementos para abordar un problema. Estosprogramas parten de los conocimientos y las habilidades que los estudiantes obtuvieron en laprimaria, para establecer lo que aprendern enla secundaria. Los contenidos en este nivel se ca-

racterizan, as, por un mayor nivel de abstrac-cin que les permitir a los alumnos resolver si-tuaciones problemticas ms complejas.


9/144

En esta fase de su educacin, por medio deleje Sentido numrico y pensamiento algebraico,los alumnos profundizan en el estudio del l-gebra con los tres usos de las literales, concep-tualmente distintos: como nmero general,como incgnita y en relacin funcional. Estenfasis en el uso del lenguaje algebraico suponecambios importantes para ellos en cuanto a laforma de generalizar propiedades aritmticasy geomtricas.

La insistencia en ver lo general en lo particu-lar se concreta, por ejemplo, en la obtencin dela expresin algebraica para calcular un trmi-no de una sucesin regida por un patrn; en lamodelacin y resolucin de problemas por me-dio de ecuaciones con una o dos incgnitas; enel empleo de expresiones algebraicas que repre-sentan la relacin entre dos variables, la cual,

para este nivel, puede ser lineal (en la que laproporcionalidad es un caso particular), cuadr-tica o exponencial.

En cuanto al ejeManejo de la informacin se re-suelven problemas que requieren el anlisis, laorganizacin, la representacin y la interpreta-

cin de datos provenientes de diversas fuentes.Este trabajo se apoya fuertemente en nocionesmatemticas tales como porcentaje, probabili-dad, funcin y en general en el signicado de losnmeros enteros, fraccionarios y decimales.

El eje Forma, espacio y medida favorece de modoespecial el desarrollo de la competencia de argu-mentacin. Por ejemplo, para construir, reproduciro copiar una gura, hay que argumentar las razo-nes por las que un trazo en particular es vlido ono, tomando como base las propiedades de dichagura. Lo mismo ocurre si se trata de determinarsi dos tringulos son congruentes o semejantes.

Finalmente, la comprensin de los diversosconceptos matemticos deber sustentarse en

actividades que pongan en juego la intuicin,pero a la vez favorezcan el uso de herramientasmatemticas para ampliar, reformular o recha-zar las ideas previas. As, por ejemplo, en el casode la probabilidad los alumnos anticipan resul-tados, realizan actividades de simulacin y explo-racin de fenmenos aleatorios y expresanpropiedades, como la independencia, la equipro-

babilidad, la complementariedad, etc. De estemodo se intenta propiciar el desarrollo del pen-samiento probabilstico.

Propsitos


10/144


11/144

11

La formacin matemtica que le permita a ca-da miembro de la comunidad enfrentar y res-ponder a determinados problemas de la vida

moderna depender, en gran parte, de los cono-cimientos adquiridos y de las habilidades y acti-tudes desarrolladas durante la educacin bsica.La experiencia que vivan los nios y jvenes alestudiar matemticas en la escuela, puede traercomo consecuencias: el gusto o rechazo, la crea-tividad para buscar soluciones o la pasividad

para escucharlas y tratar de reproducirlas, labsqueda de argumentos para validar los resul-tados o la supeditacin de stos al criterio delmaestro.

El planteamiento central en cuanto a la meto-dologa didctica que sustentan los programaspara la educacin secundaria consiste en llevara las aulas actividades de estudio que despier-

ten el inters de los alumnos y los inviten a re-exionar, a encontrar diferentes formas de resol-ver los problemas y a formular argumentos quevaliden los resultados.

El conocimiento de reglas, algoritmos, frmu-las y deniciones slo es importante en la medi-da en que los alumnos lo puedan usar, de mane-ra exible, para solucionar problemas. De ahque su construccin amerite procesos de estudioms o menos largos, que van de lo informal a lo

convencional, ya sea en trminos de lenguaje,como de representaciones y procedimientos.La actividad intelectual fundamental en estos

procesos se apoya ms en el razonamiento queen la memorizacin.Los avances logrados en el campo de la di-

dctica de la matemtica en los ltimos aosdan cuenta del papel determinante que desem-pea elmedio, entendido como la situacin o lassituaciones problemticas que hacen pertinenteel uso de las herramientas matemticas que se

pretende estudiar, as como los procesos que si-guen los alumnos para construir nuevos conoci-mientos y superar las dicultades que surgen enel proceso de aprendizaje. Toda situacin pro-blemtica presenta obstculos cuya solucin nopuede ser tan sencilla que quede ja de antema-no, ni tan difcil que parezca imposible de resol-

ver por quien se ocupa de ella. La solucin debeser construida en el entendido de que existen di-versas estrategias posibles y hay que usar al me-nos una. Para resolver la situacin, el alumnodebe usar los conocimientos previos, mismosque le permiten entraren la situacin, pero eldesafo se encuentra en reestructurar algo queya sabe, sea para modicarlo, para ampliarlo,

para rechazarlo o para volver a aplicarlo en unanueva situacin.

A partir de esta propuesta, tanto los alumnoscomo el maestro se enfrentan a nuevos retos quereclaman actitudes distintas frente al conoci-miento matemtico e ideas diferentes sobre loque signica ensear y aprender. No se tratade que el maestro busque las explicaciones mssencillas y amenas, sino de que analice y pro-ponga problemas interesantes, debidamente ar-

Enfoqe


12/144

12

ticulados, para que los alumnos aprovechen loque ya saben y avancen en el uso de tcnicas yrazonamientos cada vez ms ecaces.

Seguramente el planteamiento de ayudar alos alumnos a estudiar matemticas con base enactividades de estudio cuidadosamente selec-cionadas resultar extrao para muchos maes-tros compenetrados con la idea de que su papeles ensear, en el sentido de transmitir informa-cin. Sin embargo, vale la pena intentarlo, puesabre el camino para experimentar un cambio ra-

dical en el ambiente del saln de clases: losalumnos piensan, comentan, discuten con inte-rs y aprenden, y el maestro revalora su trabajodocente. Este escenario no se halla exento decontrariedades y para llegar a l hay que estardispuesto a afrontar problemas como los si-guientes:

Laresistenciade losalumnosa buscar porsu cuenta la manera de resolver los proble-mas que se les plantean. Aunque habr des-concierto al principio, tanto de los alumnoscomo del maestro, vale la pena insistir enque sean los estudiantes quienes encuentrenlas soluciones. Pronto se empezar a notar

un ambiente distinto en el saln de clases,esto es, los alumnos compartirn sus ideas,habr acuerdos y desacuerdos, se expresa-rn con libertad y no habr duda de quereexionan en torno al problema que tratande resolver.Ladifcultadpara leerypor lo tantoparacomprender los enunciados de los proble-mas. Se trata de una situacin muy comn,cuya solucin no corresponde nicamente a

a)

b)

la asignatura de Espaol. Muchas veces losalumnos obtienen resultados diferentes queno por ello son incorrectos, sino que corres-

ponden a una interpretacin distinta delproblema, de manera que el maestro tendrque averiguar cmo interpretan los alum-nos la informacin que reciben de maneraoral o escrita.Eldesintersportrabajarenequipo. El tra-bajo en equipo es importante, porque ofrecea los alumnos la posibilidad de expresar sus

ideas y de enriquecerlas con las opinionesde los dems, porque desarrollan la acti-tud de colaboracin y la habilidad para ar-gumentar; adems, de esta manera se facili-ta la puesta en comn de los procedimientosque encuentran. Sin embargo, la actitudpara trabajar en equipo debe ser fomentada

por el maestro, quien debe insistir en quecada integrante asuma la responsabilidadde la tarea que se trata de resolver, no demanera individual sino colectiva. Por ejem-plo, si la tarea consiste en resolver un pro-blema, cualquier miembro del equipo debeestar en posibilidad de explicar el procedi-miento que se utiliz.

Lafaltadetiempoparaconcluirlasactivi-dades. Muchos maestros comentan que sillevan a cabo el enfoque didctico en el quese propone que los alumnos resuelvan pro-blemas con sus propios medios, discutan yanalicen sus procedimientos y resultados,no les alcanza el tiempo para concluir elprograma. Con este argumento, algunosoptan por continuar con el esquema tradi-cional en el que el maestro da la clase mien-

c)

d)


13/144

13

tras los alumnos escuchan, aunque no com-prendan. Ante una situacin como stahabr que recordar que ms vale dedicar

tiempo a que los alumnos adquieran cono-cimientos con signicado y desarrollen ha-bilidades que les permitan resolver diversosproblemas y seguir aprendiendo, que a en-sear conocimientos que pronto sern olvi-dados. En la medida en que los alumnoscomprendan lo que estudian, los maestrosno tendrn que repetir una y otra vez las

mismas explicaciones y esto se traducir enmayores niveles de logro educativo.Espaciosinsufcientesparacompartirexpe-riencias. Al mismo tiempo que los profeso-res asumen su propia responsabilidad, laescuela en su conjunto debe cumplir la suya:brindar una educacin de calidad a todo el

alumnado. Esto signica que no basta conque un maestro o una maestra proponga asus alumnos problemas interesantes paraque reexionen, sino que la escuela todadebe abrir oportunidades de aprendizajesignicativo. Para ello ser de gran ayudaque los profesores compartan experiencias,pues, exitosas o no, hablar de ellas y escu-

charlas les permitir mejorar permanente-mente su trabajo.

Planifcacin

Una de las tareas docentes fundamentales queayuda a garantizar que el proceso de ensean-

za, estudio y aprendizaje de las Matemticassea eciente es la planeacin de clases, puessta permite anticipar expectativas en torno a la

e)

ecacia de las actividades que se plantean y ala vez en relacin con el desempeo de los alum-nos, as como de las estrategias didcticas del

profesor.Infortunadamente, en muchos casos esta ta-rea ha representado para el profesor un requisi-to administrativo, por lo que sus planes de claseno siempre reejan lo que realmente sucede enel aula.

Con el objeto de lograr los propsitos descri-tos en esta propuesta curricular, es necesario di-

sear un modelo de plan de clase que realmentesirva de apoyo para concretar las intenciones di-dcticas que el profesor plantea en su trabajodiario.

Las caractersticas de un plan de clase funcio-nal, de acuerdo con el enfoque de esta propuestacurricular, son las siguientes:

Que sea til, esto es, que le permita al pro-fesor determinar el contenido que se estu-diar en cada sesin y la actividad, proble-ma o situacin que considere ms adecuadapara que los alumnos construyan los cono-cimientos esperados.Queseaconciso, es decir, que contenga ni-camente los elementos clave que requiereel profesor para guiar el desarrollo de laclase.Quepermita mejorar el desempeo docente:cuando el profesor est planicando, ima-gina, anticipa y visualiza el desempeo delos alumnos; es decir, est conjeturando loque va a ocurrir en la clase, por ejemplo, las

posibles dicultades que tendrn los alum-nos al resolver los problemas que les pro-ponga o los procedimientos que pueden


14/144

14

utilizar. Esta reexin previa le permite alprofesor, en caso de no suceder lo que habaprevisto, hacer uso de otros recursos, consi-

derados o no considerados en su planica-cin. Consecuentemente, la tarea de la pla-nicacin no termina con la puesta en mar-cha del plan de clase; el proceso culmina con

la evaluacin de ste. Para ello es necesarioque se registren en l las observacionesque ayuden a tomar decisiones para mejo-

rar el proceso de estudio. A continuacinse presenta un ejemplo de Plan de clase,que intenta cubrir las caractersticas sea-ladas.


15/144

1

Escea: _____________________________________________________ Fecha: _______________

Prof.(a).: ___________________________________________________________________________Crso: Matemticas 3 Ee temtico: Sentido numrico y pensamiento algebraico

Apartao: 2.1. Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizandoprocedimientos personales u operaciones inversas.

Intenciones icticas:

Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas que pueden solu-cionarse mediante ecuaciones de segundo grado.

Consina:Van a trabajar en equipos para resolver el siguiente problema. Cuando encuentren la solucin,traten de asegurarse de que es la correcta. Si lo desean, pueden usar calculadora.El problema dice as: E carao e n nmero menos 5 es ia a 220. C es ese nmero?

Consieraciones previas:En caso de que el problema resulte muy fcil, habr una puesta en comn muy breve y ensegui-da se plantear el siguiente problema: El cuadrado de un nmero, ms tres veces el mismo n-mero, menos 5 es igual a 203. Cul es ese nmero?

Observaciones posteriores:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Pan e case (1/4)


16/144

1


17/144

1

Sin duda uno de los componentes del procesoeducativo que contribuye de manera importan-te para lograr mayor calidad en la prctica do-

cente es el que se reere a la evaluacin de losaprendizajes. Al margen de las evaluacionesexternas que se aplican en muchas escuelas delpas, cuya nalidad es recabar informacin so-bre el sistema educativo nacional o estatal, losprofesores frente a grupo tienen la responsabili-dad de saber en todo momento del curso escolarqu saben hacer sus alumnos, qu no y qu es-tn en proceso de aprender. Para obtener tal in-formacin cuentan con una gran variedad derecursos, como registros breves de observacin,cuadernos de trabajo de los alumnos, listas decontrol o las pruebas.

La evaluacin que se plantea combina dos as-pectos que son complementarios. El primero se

reere a qu tanto saben hacer los alumnos y enqu medida aplican lo que saben, en estrecharelacin con los contenidos matemticos que seestudian en cada grado. Para apoyar a los profe-sores en este aspecto se han denido los apren-dizajes esperados en cada bloque temtico. Enellos se sintetizan los conocimientos y las habili-dades que todos los alumnos deben adquirir alestudiar cada bloque.

Es evidente que los aprendizajes esperadosno corresponden uno a uno con los apartados deconocimientos y habilidades, pero conviene ex-

plicar por qu. En primer lugar, porque los apar-tados de conocimientos y habilidades en cadabloque no son completamente ajenos entre s, esposible y deseable establecer vnculos entre ellospara darles mayor signicado a los aprendizajes, incluso algunos de esos vnculos ya estnsealados en la columna de orientaciones didc-ticas.

En segundo lugar, porque cada apartado deconocimientos y habilidades es parte de una se-cuencia que se desarrolla en varios bloques y aveces en varios grados, de manera que al deter-minar los aprendizajes esperados, entre otrascosas, fue necesario establecer el momento ade-cuado para la evaluacin.

Con el segundo aspecto se intenta ir ms allde los aprendizajes esperados y, por lo tanto, delos contenidos que se estudian en cada grado; setrata de lo que algunos autores llaman compe-tencias matemticas y cuyo desarrollo deriva enconducirse competentemente en la aplicacinde las matemticas o en ser competente en mate-mticas. Como esta propuesta se concentra en

apoyar la prctica docente y en evitar plantea-mientos que puedan confundir, se hace referen-cia a slo cuatro competencias que tienen carac-tersticas claras y pueden distinguirse entre s: elplanteamiento y la resolucin de problemas, laargumentacin, la comunicacin y el manejo detcnicas. A continuacin se describe cada unade ellas.

Evaacin


18/144

1

Planteamientoy resolucin de problemas.Implica que los alumnos sepan identicar,plantear y resolver diferentes tipos de pro-

blemas o situaciones. Por ejemplo, proble-mas con solucin nica, otros con variassoluciones o ninguna solucin; problemasen los que sobren o falten datos; proble-mas o situaciones en los que son los alum-nos quienes plantean las preguntas. Se tratatambin de que los alumnos sean capacesde resolver un problema utilizando ms de

un procedimiento, reconociendo cul o cu-les son ms ecaces; o bien, que puedanprobar la ecacia de un procedimiento alcambiar uno o ms valores de las variableso el contexto del problema, para generalizarprocedimientos de resolucin.

Argumentacin. Cuando el profesor lograque sus alumnos asuman la responsabili-dad de buscar al menos una manera de re-solver cada problema que plantea, junto conello crea las condiciones para que dichosalumnos vean la necesidad de formular ar-gumentos que les den sustento al procedi-miento y/o solucin encontrados, con baseen las reglas del debate matemtico. Dichos

argumentos pueden ubicarse, segn las in-vestigaciones que se han consultado, en tresniveles de complejidad y corresponden atres nalidades distintas: para explicar, paramostrar o justicar informalmente o pa-ra demostrar.

Los argumentos del primer tipo son uti-lizados por un emisor, convencido de la ve-racidad de una proposicin o de un resulta-

do, para hacerla entender a uno o ms inter-locutores. La explicacin puede ser discuti-da, refutada o aceptada.

Una explicacin que es aceptada en ungrupo dado y en un momento dado se con-sidera consensuada (mostrada), con la condi-cin de que sta se apoye en criterios comu-nes para todos los interlocutores.

Una demostracin matemtica se organi-za mediante una secuencia de enunciadosreconocidos como verdaderos o que se pue-

den deducir de otros, con base en un con-junto de reglas bien denido.

Puesto que la secundaria es el ltimo tra-mo de la educacin bsica, el nfasis de laargumentacin se pondr en la explicaciny la muestra, y slo en ciertos casos, en ter-cer grado, los alumnos conocern algunasdemostraciones con ayuda del maestro, conla idea de que las utilicen para resolver yvalidar la solucin de otros problemas.Comunicacin. Comprende la posibilidadde expresar y representar informacin ma-temtica contenida en una situacin o delfenmeno, as como la de interpretarla.Requiere que se comprendan y empleen

diferentes formas de representar la infor-macin cualitativa y cuantitativa relacio-nada con la situacin; que se establezcanrelaciones entre estas representaciones;que se expongan con claridad las ideas ma-temticas encontradas; que se deduzca lainformacin derivada de las representacio-nes y se ineran propiedades, caractersti-cas o tendencias de la situacin o del fen-meno representados.


19/144

1

Manejodetcnicas. Esta competencia se re-ere al uso eciente de procedimientos y for-mas de representacin al efectuar clculos,

con el apoyo de tecnologa o sin l. Muchasveces el manejo eciente o deciente de tc-nicas establece la diferencia entre quienesresuelven los problemas de manera ptima yquienes alcanzan una solucin deciente.Esta competencia no se limita a hacer un usomecnico de las operaciones aritmticas y al-gebraicas; apunta principalmente al desarro-

llo del sentido numrico y del pensamientoalgebraico, que se maniesta en la capacidadde elegir adecuadamente la o las operacio-nes al resolver un problema; en la utilizacindel clculo mental y la estimacin, en el em-pleo de procedimientos abreviados o atajos apartir de las operaciones que se requieren en

un problema y en evaluar la pertinencia delos resultados. Para lograr el manejo ecien-te de una tcnica es necesario que los alum-nos la sometan a prueba en muchos proble-mas distintos. As adquirirn conanza enella y la podrn adaptar a nuevos problemas.El manejo de tcnicas guarda una relacinmuy estrecha con la argumentacin, en tanto

que en muchos casos es necesario encontrarrazones que justiquen un procedimiento oun resultado.

La metodologa didctica de los programasde Matemticas est orientada al desarrollo deestas competencias y por eso exige dejar atrs lapostura tradicional que consiste en dar la cla-se, explicando paso a paso lo que los alumnosdeben hacer y preocupndose por simplicar-

les el camino que por s solos deben encontrar.Con el n de ir ms all de la caracterizacin delas competencias y tener ms elementos para

describir el avance de los alumnos en cadauna de ellas, se sugiere a los profesores estable-cer lneas de progreso que denan el punto ini-cial y la meta a la que se puede aspirar. A conti-nuacin se enuncian algunos ejemplos de lneasde progreso que podran considerarse en la eva-luacin del logro de estas competencias.

De resolver con ayuda a resolverde manera

autnoma. La mayora de los profesores de nivel bsico estar de acuerdo en que, cuando losalumnos resuelven problemas, hay una tenden-cia muy fuerte a recurrir al maestro, incluso envarias ocasiones, para saber si el procedimientoque siguen es correcto. Resolver de manera au-tnoma implica que los alumnos se hagan cargo

del proceso de principio a n, considerando queel n no es slo encontrar un resultado, sinocomprobar que es correcto, tanto en el mbito delos clculos como en el de la solucin real, encaso de que se requiera.

Delosprocedimientosinformalesalosprocedi-mientosexpertos. Un principio fundamental quesubyace en la resolucin de problemas tie-

ne que ver con el hecho de que los alumnos utili-cen sus conocimientos previos, con la posibilidadde que stos evolucionen poco a poco ante la ne-cesidad de resolver problemas cada vez mscomplejos. Necesariamente, al iniciarse en el es-tudio de un tema o de un nuevo tipo de proble-mas, los alumnos usan procedimientos informa-les y a partir de ese punto es tarea del maestroque dichos procedimientos se sustituyan porotros cada vez ms ecaces. Cabe aclarar que el


20/144

20

carcter de informal o experto de un procedi-miento depende del problema que se trata de re-solver; por ejemplo, para un problema de tipo

multiplicativo la suma es un procedimiento infor-mal, pero esta misma operacin es un procedi-miento experto para un problema de tipo aditivo.

De lajustifcacinpragmticaa lajustifca-cin axiomtica. Segn la premisa de que losconocimientos y las habilidades se construyenmediante la interaccin de los alumnos, con elobjeto de conocimiento y con el maestro, un in-

grediente importante en este proceso es la vali-dacin de los procedimientos y resultados quese encuentran, de manera que otra lnea de pro-

greso que se puede apreciar con cierta claridades pasar de la explicacin pragmtica (porqueas me sali) a los argumentos apoyados en

propiedades o axiomas conocidos.Hay que estar conscientes de que los cambiosde actitud no se dan de un da para otro, ni entrelos profesores ni entre los alumnos, pero si real-mente se quiere obtener mejores logros en losaprendizajes, desarrollar competencias y reva-lorar el trabajo docente, vale la pena probar ydarse la oportunidad de asombrarse ante lo in-

genioso de los razonamientos que los alumnospueden hacer, una vez que asumen que la reso-lucin de un problema est en sus manos.


21/144

21

Los contenidos de cada grado estn organizadosen cinco bloques, en cada uno hay temas y sub-temas de los tres ejes descritos. Esta organiza-

cin tiene dos propsitos fundamentales; poruna parte, se trata de que los profesores y susalumnos puedan establecer metas parciales a lolargo del ao escolar y, por la otra, se pretendegarantizar el estudio simultneo de los tres ejesdurante el curso.

Los contenidos, que se han organizado enapartados, se denominan aqu conocimientos y

habilidades, lo cual signica que se privilegia laconstruccin de signicados y de herramientasmatemticas por parte de los alumnos, con baseen la resolucin de problemas. Se ha procuradoque estos enunciados sean sucientemente cla-ros, no slo en cuanto a lo que se pretende estu-diar, sino tambin en cuanto a la profundidaddel estudio. Por cada apartado se incluye unacolumna con orientaciones didcticas en la que sefundamenta la necesidad de estudiar los aspec-tos planteados en la columna de conocimientos y

habilidades y se dan ejemplos de problemas o si-tuaciones que se pueden plantear para organi-zar el estudio. Tambin se sugieren actividadescon el uso de la hoja de clculo o de geometradinmica y se establece la vinculacin con otrostemas de Matemticas o incluso de otras asig-naturas.

Secencia oranizacine contenios


22/144


23/144

1gradoer


24/144


25/144

2

Como resultado del estudio de este bloque te-mtico se espera que los alumnos:

Conozcan las caractersticas del sistema denumeracin decimal (base, valor de posi-cin, nmero de smbolos) y establezcansemejanzas o diferencias respecto a otrossistemas posicionales y no posicionales.Comparen y ordenen nmeros fraccionariosy decimales mediante la bsqueda de expre-siones equivalentes, la recta numrica, losproductos cruzados u otros recursos.Representen sucesiones numricas o con -guras a partir de una regla dada y viceversa.Construyan guras simtricas respecto deun eje e identiquen cules son las pro-piedades de la gura original que se con-servan.

Resuelvan problemas de conteo con apo-yo de representaciones grcas.

1.

2.

3.

4.

5.

Boqe 1


26/144

Sentio nmrico pensamiento aebraicoEje

Sinicao so e os nmerosT


27/144

2

Conocimientos habiiaes Orientaciones didcticas

1.1. Identicar las propiedades del

sistema de numeracin decimal ycontrastarlas con las de otros sistemasnumricos posicionales y no posicio-nales.

Los sistemas de numeracin que utilizan o han utilizado diversos

grupos sociales y culturales, como el romano, el sexagesimal de losbabilonios o el vigesimal de los mayas, si bien permiten represen-tar cualquier nmero, no ofrecen las posibilidades del sistema de-cimal de numeracin para efectuar operaciones. Aunque el estudiode este tema se inicia desde los primeros grados de primaria, esnecesario que en este curso de primer grado de secundaria se plan-teen actividades para que los alumnos analicen diferentes formas

de representar y nombrar nmeros, resaltando las ventajas y desventajas de cada sistema, as como las di -

cultades de su construccin a lo largo de la historia.En el caso del sistema decimal de numeracin es muy importante analizar el sistema oral (o escrito conletras), que a diferencia del escrito (en cifras), no es posicional y se descompone con base en potencias de mil,como puede verse en el nombre del siguiente nmero:

38 005 326 (treinta y ocho millones, cinco mil trescientos veintisis):38 (1 0002) + 5 (1 000) + 326

Si en el entorno sociocultural de los alumnos existe un sistema numrico o de medidas distinto del deci-

mal, es conveniente dedicar tiempo a analizarlo, con base en las caractersticas que ya conocen, tanto delsistema decimal como de otros sistemas.

Vncos: Espaol. Tema: Escribir una monografa en la que se integre la informacin de resmenes y notas.

Sbtema NMEROS FRACCIONARIOS y dECIMAlES

Conocimientos habiiaes

1.2. Representar nmeros fraccionariosy decimales en la recta numrica a partirde distintas informaciones, analizandolas convenciones de esta representacin.

Orientaciones didcticas

La recta numrica se utiliza como recurso para dar sentido a losnmeros fraccionarios. Cuando se aborde la representacin de es-tos nmeros deber explicarse la necesidad de asignar el cero a unpunto de la recta, de determinar una unidad y con base en stadeterminar la ubicacin de cualquier nmero. Algunos ejemplosde problemas que se pueden plantear son:

Ubiquen en la recta numrica3

4 y5

3 (previamente deben encontrarse representados 1 y5

2 ). Representen en la recta numrica 7

4y 1

2e intercalen entre ellos cinco fracciones.

Ubiquen 3.5 y 1.8 (previamente deben encontrarse representados 2.3 y 4.5).

Sinicao so e os nmerosTemaNMEROS NATuRAlESSbtema


28/144

2

El segundo ejemplo tiene que ver con dos nociones importantes: la densidad y el orden de fracciones. Respec-to a la primera nocin, se sugiere realizar una actividad que tome como referencia a la recta numrica parallevar a los alumnos a concluir que, dadas dos fracciones de valores diferentes, siempre es posible intercalarotra fraccin. La segunda nocin est presente tambin en esa actividad, ya que en cada etapa del proceso de

intercalacin estn implicadas tres fracciones, la menor, la mayor y la que se intercala. Para determinar elorden de las fracciones podrn utilizarse recursos como las fracciones equivalentes, los productos cruzadosy otros. Lo mismo puede hacerse con los nmeros decimales.

Ntese que para ubicar fracciones, las particiones dependen de los denominadores; en tanto que paraubicar decimales, siempre se puede partir en potencias de 10. En la resolucin de estos problemas se tendroportunidad de revisar conceptos y procedimientos estudiados en la primaria, como los de fracciones redu-cibles e irreducibles, la simplicacin de fracciones, la reduccin de fracciones a un comn denominador y

conversin de una fraccin a decimal y viceversa.


1.3. Construir sucesiones de

nmeros a partir de una re-gla dada. Determinar expre-siones generales que denenlas reglas de sucesiones nu-mricas y gurativas.

Para continuar el desarrollo del pensamiento algebraico iniciado en la prima-

ria con la construccin de frmulas geomtricas, se sugiere utilizar sucesionesnumricas y gurativas sencillas para encontrar la expresin general que de -ne un elemento cualquiera de la sucesin. Por ejemplo, dada la siguientesucesin de guras:

Se pueden plantear preguntas como stas:

Si la cantidad de mosaicos que forman cada gura contina aumentando en la misma forma:

Cuntos mosaicos tendr la gura que ocupe el lugar 10?Cuntos mosaicos tendr la gura que va en el lugar 20?Cuntos mosaicos tendr la gura que va en el lugar 50?

Es probable que para responder la primera pregunta los estudiantes dibujen las guras, pero para contestarla segunda, y sobre todo la tercera, observarn que deben encontrar una regla, que en principio puedanenunciar verbalmente y luego de manera simblica, hasta llegar a la expresin algebraica usual.

Sbtema PATRONES y FRMulASTema

Signicado y uso de las literales

1 2 3 4 5

Tema


29/144

2


1.4. Explicar en lenguaje na-tural el signicado de algu-nas frmulas geomtricas,interpretando las literalescomo nmeros generales con

los que es posible operar.

Con el objeto de que los alumnos interpreten las literales que aparecen en lasfrmulas como nmeros generales y no como simples etiquetas que evocanlas dimensiones de las guras, es necesario plantear preguntas que apuntenhacia la generalizacin de procedimientos. Por ejemplo:

Dada una gura que representa un marco cuadrado que mide 15 cm porlado, cmo se puede saber el permetro del marco? (ntese que no se tratade calcular el permetro sino de enunciar el procedimiento). Suponiendo

que el lado del marco midiera 28 cm, cmo se determina el permetro del marco? Y si midiera 35 cm?En general, cmo se determina el permetro de cualquier cuadrado?

Como en el caso de las sucesiones numricas y gurativas, se insiste primero en que los alumnos expresenen forma verbal el procedimiento o frmula en cuestin y luego algebraicamente.

La idea de que es posible operar con la literal que representa una medida cualquiera se subraya cuandose pide a los alumnos que, por ejemplo en el caso del cuadrado, representen la frmula del permetro me-diante una suma o un producto (l + l + l + l o bien 4l). De este modo se inicia tambin el trabajo con expresio-nes algebraicas equivalentes.

Puede seguirse un proceso similar para otras frmulas sencillas, como las del rea del cuadrado y delrectngulo, y las del permetro de otros polgonos en los que dos o ms lados sean del mismo tamao (porejemplo, polgonos regulares como el tringulo equiltero, los rombos, rectngulos y romboides).

Es necesario no caer en la tentacin de decirles cul es la regla general de la sucesin, sino animarlos aprobar distintas alternativas hasta que encuentren una que les satisfaga.

El estudio que aqu se plantea respecto a los nmeros naturales deber continuarse en segundo grado alestudiar los nmeros con signo.

Forma, espacio meiaEje

TransformacionesTema


30/144

30

TemaMOVIMIENTOS EN El PlANOSbtema


1.5. Construir guras si-

mtricas respecto de uneje, analizarlas y explicitarlas propiedades que seconservan en guras talescomo: tringulos isscelesy equilteros, rombos, cua-drados y rectngulos.

En la primaria los alumnos llegan a explicitar las propiedades de la simetra

axial sin utilizar la nomenclatura formal. En este grado se pretende que, dadauna gura, analicen las propiedades que se conservan al construir su simtri-ca respecto de un eje (igualdad de lados y ngulos, paralelismo y perpendicu-laridad). Por ejemplo:

Dada la gura ABCD y su simtrica ABCD obsrvese que AD//BC comoAD//BC

Qu otros segmentos son paralelos en la gura original? Se conserva esta misma relacin en la gurasimtrica?

Qu se puede decir acerca de la medida de los ngulos de la gura original y su simtrica?Cmo son las diagonales de la gura original? Y de la simtrica?

Activia compementaria: Propiedades de la simetra axial, en Geometra dinmica. emat, Mxico, sep,2000, pp. 58-59.

Maneo e a informacinEje

Anisis e a informacinTema

RElACIONES dE PROPORCIONAlIdAdSbtema


1.6. Identicar y resolversituaciones de proporcio-nalidad directa del tipovalor faltante en diver-sos contextos, utilizandode manera exible diver-sos procedimientos.

Aunque este tipo de problemas se plantea desde la primaria, se trata ahora deprofundizar en el anlisis de los procedimientos que se utilizan y de avanzaren la formulacin de las propiedades de una relacin de proporcionalidad.Adems de los procedimientos que emplean los alumnos de manera espont-nea, conviene empezar a destacar el factor de proporcionalidad constante, esdecir, que hay un factor por el cual se puede multiplicar cualquier elementodel conjunto x, para obtener el correspondiente del conjuntoy. Es convenien-


31/144

31

te que en este primer bloque los factores constantes sean enteros o fracciones unitarias. Un ejemplo de losproblemas que se pueden plantear es:

Si una vela de 25 cm de altura dura encendida 50 horas:

Cunto tiempo durara encendida otra vela del mismo grosor, de 12 cm de altura?

Si los alumnos tienen dicultades para resolver este problema, el maestro puede ayudarles planteando lassiguientes preguntas:

Cunto durara una vela de 1 cm?Cunto durara una vela de 10 cm?Y una de 11 cm?


1.7. Elaborar y utilizar pro-cedimientos para resolverproblemas de reparto pro-porcional.

ste es otro tipo de problemas en el que se pone en juego el razonamientoproporcional, cuyo estudio se inicia en este grado, de manera que es impor-tante favorecer el uso de procedimientos informales y discutirlos, incluso silos alumnos tienen en cuenta otros criterios ajenos a la proporcionalidad, talescomo la amistad, la edad, etc. Un ejemplo tpico de estos problemas es el si-

guiente:

Tres amigos obtienen un premio de $1 000.00 en la lotera. Cmo deben repartrselo segn lo que gastcada uno si uno de ellos puso $12.00, el otro $8.00 y el tercero $15.00?

Una variante del problema anterior, donde deben hacerse algunos clculos para obtener la informacin ne-cesaria, sera sta:

Supongan ahora que el premio es de $1 500.00; si uno de ellos aport una sptima parte del costo del bi-llete y los otros dos amigos, el resto en partes iguales, qu cantidad le corresponde a cada uno, si repar-ten el premio proporcionalmente?

Se sugiere buscar ejemplos que consideren diversos contextos culturales.

Representacin e a informacinTema


32/144

32

dIAgRAMAS y TABlASSbtema


1.8. Resolver problemas

de conteo utilizando di-versos recursos, tales comotablas, diagramas de rboly otros procedimientos per-sonales.

Los alumnos han utilizado tablas y diagramas de rbol en la primaria para

resolver problemas de conteo. En este grado se trata de sistematizar estos re-cursos y encontrar regularidades que permitan acortar caminos para encon-trar soluciones. La dicultad de estos problemas tiene que ver, entre otrasvariables, con la cantidad y el tipo de elementos que se van a combinar. Algu-nos ejemplos sencillos son:

Andrea, Bety, Caro y Daniela se citan en una cafetera. Las cuatro amigas llegaron a la cita de una enuna. Determinar todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado.

Conviene plantear variantes de este problema para que los alumnos identiquen regularidades en los pro -cedimientos de solucin y logren hacer generalizaciones. Una variante podra ser: Si Caro es la amiga quelleg primero, determina todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado las otras tres.

En una caja hay cinco chas marcadas con los nmeros 1, 3, 5, 7 y 9. Se extrae una cha de la caja y seanota su nmero. La cha extrada se regresa a la caja y nuevamente se realiza una extraccin. Cuntosnmeros diferentes de dos cifras es posible formar? Una variante de este ejemplo es: Cuntos nmeros

diferentes de dos cifras se pueden formar si la primera cha que se extrae no se regresa a la caja?


33/144

33


Resuelvan problemas que implican efec-tuar sumas, restas, multiplicaciones y di-visiones con fracciones.Resuelvan problemas que implican efec-tuar multiplicaciones con nmeros deci-males.

Justiquen el signicado de frmulasgeomtricas que se utilizan al calcular elpermetro y el rea de tringulos, cuadri-lteros y polgonos regulares.Resuelvan problemas de proporcionali-dad directa del tipo valor faltante, confactor de proporcionalidad entero o frac-cionario y problemas de reparto propor-cional.

1.

2.

3.

4.

Boqe 2


34/144


Sinicao so e as operacionesTemaPROBlEMAS AdITIVOS


35/144

3

PROBlEMAS AdITIVOSSbtema



aditivos con nmeros frac-cionarios y decimales endistintos contextos.

En este grado los alumnos consolidarn el uso de los algoritmos al resolver

problemas, con base en la equivalencia de fracciones, a la vez que echarnmano de recursos sucientemente exibles como el clculo mental y la esti-macin. Por ejemplo, al resolver la operacin:

Los alumnos deberan saber que la suma es aproximadamente 112, puesto que

715 es casi

12,

140 es casi cero

y19

20

es casi uno.En el clculo estimativo con nmeros decimales deber distinguirse entre problemas en los que interesa

considerar la parte decimal y otros en los que sta puede no tenerse en cuenta, sin que ello afecte el resultado.Por ejemplo, si se estima el monto a pagar en la compra del supermercado, dejando de lado los centavos,puede haber una diferencia considerable con el resultado exacto, puesto que casi todos los precios incluyen90 o 99 centavos.

Al igual que con los nmeros fraccionarios, los alumnos deben distinguir entre los problemas en los quees suciente una estimacin y los que exigen un resultado exacto. Se aprovechar el proceso de resolucinde problemas para, en caso necesario, revisar las nociones de nmeros fraccionarios, sus usos y signicados

en diversos contextos.

Vncos. Msica. Tema: Con qu se hace msica? Construir con sonidos. Se sugiere utilizar los valores delas notas musicales para interpretar y construir compases.

PROBlEMAS MulTIPlICATIVOSSbtema


2.2. Resolver problemasque impliquen la multipli-cacin y divisin con n-meros fraccionarios en dis-tintos contextos.

ste es un contenido nuevo para los alumnos, puesto que no se incluye en losprogramas de primaria. Los problemas que llevan a efectuar multiplicacioneso divisiones se ubican en el contexto de la proporcionalidad. Por ello el estu-dio de estas operaciones se relaciona estrechamente con el ejeManejo de la in-

formacin. Para plantear un problema que implique multiplicar o dividir, pue-de buscarse una relacin proporcional entre dos magnitudes y decidir cul de

estos trminos se va a calcular. Algunos ejemplos de problemas que se pueden plantear son:

Tres nios tienen 2 34 l de jugo de naranja cada uno. Cuntos litros tienen en total?

Una lancha recorre 3812 km en 1

34 horas. Qu distancia puede recorrer en una hora?


36/144

3

En un examen aprobaron partes de los estudiantes que lo presentaron. Si lo presentaron 240 alumnos,cuntos lo aprobaron?

Los casos ms complejos son aquellos donde ambos trminos de la multiplicacin o de la divisin son frac-

ciones y es muy importante que los alumnos tengan la posibilidad de justicar los resultados con procedi-mientos distintos de los algoritmos, como en el siguiente caso:

Las partes de un terreno se usaron para construccin y el resto para jardn; del jardn tiene pasto y el

resto otras plantas. Qu parte del terreno completo tiene pasto?

Es importante que los alumnos vean la relacin que existe entre la multiplicacin y la divisin, tanto por lava de los problemas como por medio de las operaciones. En el primer caso se puede ver que a partir de tresdatos tales como:

1 kg de jamn cuesta $80; compr 212 kg de jamn; en total pagu $200.

Se pueden formular dos problemas de divisin y uno de multiplicacin.

En el segundo caso conviene que los alumnos se den cuenta de que la divisina

b

c

dequivale a la multi-

plicacin .


2.3. Resolver problemasque impliquen la multi-plicacin de nmeros de-cimales en distintos con-textos.

En la primaria, los alumnos utilizaron la multiplicacin de nmeros decima-les al resolver problemas de proporcionalidad directa, en particular medianteel uso del valor unitario. En ese contexto reexionaron sobre el signicado deesa operacin y de su resultado. Ahora se trata de fortalecer esos signicadosy extenderlos a otros contextos. Para ello puede pedirse a los alumnos queelaboren una tabla que represente una situacin de proporcionalidad directa.

Por ejemplo, la siguiente:

Una lancha recorre 7.20 metros por segundo. Qu distancia recorrer en 2 segundos? Y en 1.9, 1.8,1.7, , 1.1 segundos? Y en 0.9, 0.8, 0.7, , 0.1 segundos?Por qu unos productos son mayores y otros menores que 7.20?

Otros contextos en los que se usa la multiplicacin de decimales y en los que conviene reexionar sobre elsignicado de los factores y el producto se ejemplican enseguida:

El hierro pesa 0.88 veces lo que pesa el cobre. Una pieza de cobre pesa 7.20 gramos. Cunto pesa unapieza de hierro del mismo tamao? Por qu el resultado es menor que 7.20 gramos?Hallar el rea de una tarjeta rectangular que mide 7.20 por 4.5 cm.


Formas eomtricasTemaRECTAS y NgulOSS bt


37/144

3

RECTAS y NgulOSSbtema


2.4. Utilizar las propieda-

des de la mediatriz de unsegmento y la bisectriz deun ngulo para resolverdiversos problemas geo-mtricos.

Se sugiere explorar las ideas que tienen los alumnos de recta, semirrecta y

segmento. En caso de haber confusin, es necesario que el maestro expliquecul es la diferencia entre ellas, de manera que haya un lenguaje comn en laclase. En relacin con la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ngulo,se sugiere que los alumnos, a partir del trazo, describan las caractersticas decada una de estas guras y elaboren deniciones. El maestro puede apoyarloscon preguntas y contraejemplos hasta que logren deniciones precisas. De es-ta manera, los alumnos podrn utilizar la denicin que mejor convenga se-

gn el problema que se les presente y argumentar su uso segn la situacin. Ejemplos:

Dibujar un segmento y su mediatriz. Construir un tringulo con dos de sus vrtices en los extremos delsegmento. El tercer vrtice sobre la mediatriz. Qu tipo de tringulo es?Dado un segmento y su mediatriz, dibujar un rombo.Dada una circunferencia, localizar su centro.Las diagonales de un cuadriltero son los segmentos que unen dos vrtices opuestos. En el cuadrado, las

bisectrices y las diagonales coinciden. Dibujar otro cuadriltero con esta propiedad.

Activia compementaria: Mediatriz de un segmento, en Geometra dinmica. emat, Mxico, sep , 2000,pp. 38-39.

FIguRAS PlANASSbtema


2.5. Construir polgonos

regulares a partir de dis-tintas informaciones.

El desarrollo de esta habilidad no slo es importante en s misma, sino que

ayuda a consolidar el conocimiento sobre las propiedades de las guras.Se sugiere presentar una variedad de maneras de construir polgonos. Porejemplo, haciendo un nudo con una tira de papel; con comps, regla y trans-portador (a partir de la medida del ngulo central); con regla graduada y

transportador (a partir de la medida de un ngulo interior); con regla y comps (se basa en el trazo de me-diatrices, bisectrices y perpendiculares); con escuadras graduadas.

Se puede iniciar el estudio planteando las siguientes actividades:

Construyan un hexgono regular, teniendo en cuenta que en esta gura el radio de la circunferencia quela circunscribe es igual a la medida de un lado. Qu instrumentos de geometra se necesitan para hacerdicha construccin? Dividan el hexgono regular en tringulos congruentes que tengan un vrtice comn


38/144

3

(centro de la circunferencia circunscrita). Qu tipo de tringulos se forman al subdividir el hexgono?Justiquen la respuesta.Construyan un polgono regular de 3, 4, 6 y 8 lados con base en el ngulo central.Construyan un cuadrado inscrito en una circunferencia considerando su dimetro. Cmo construyen un

octgono a partir del cuadrado inscrito?

Activia compementaria: Construccin del paralelogramo, en Geometra dinmica. emat, Mxico, sep,2000, pp. 50-51.Vncos: Espaol. Tema: Revisar reportes sobre observaciones de procesos, por ejemplo, observar y descri-

bir los procesos que se siguen para construir polgonos regulares.

EjeMeiaTema

juSTIFICACIN dE FRMulASSbtema


2.6. Justicar las frmulasde permetro y rea detringulos, cuadrilteros ypolgonos regulares.

Si bien este tema se aborda desde primaria, en este grado es importante quelos alumnos aprendan a reconstruir las frmulas, si no las recuerdan, para locual es necesario que tengan diversas experiencias en la transformacin deunas guras en otras mediante el recorte y pegado o la unin de guras, asabiendas de que el rea se conserva o se duplica. Por ejemplo, al unir dostrapecios issceles congruentes se forma un romboide cuya base es la suma de

las dos bases del trapecio y la altura se mantiene. Esto explica por qu la frmula es base mayor ms basemenor por altura entre dos.


Anisis e a informacinTemaRElACIONES dE PROPORCIONAlIdAdSbtema


2.7. Identicar y resolversituaciones de proporcio-nalidad directa del tipovalor faltante en diver-sos contextos, utilizandooperadores fraccionarios

y decimales.

En este caso se trata de continuar el trabajo realizado en el bloque 1, pero vol-viendo an ms compleja la tarea mediante el uso de factores constantes deproporcionalidad fraccionarios. El desarrollo de esta habilidad va de la manocon la resolucin de problemas que implican multiplicar o dividir nmerosfraccionarios del eje Sentido numrico y pensamiento algebraico. Conviene hacernotar la relacin que existe entre la constante de proporcionalidad y el valorunitario. Por ejemplo: por cada uno equivale a por . A continuacinse muestra un ejemplo de los problemas que se pueden plantear:

h h


39/144

3

Los lados de un tringulo miden respectivamente 5, 8 y 11 cm. Si en un tringulo hecho a escala de ste,el lado correspondiente a 5 cm mide 8 cm, cunto deben medir los otros dos lados?

En caso de que en el grupo no surja el uso del factor de proporcionalidad, que en este caso es85, por el cual

se puede multiplicar las medidas originales para obtener las nuevas medidas, el profesor puede sugerir esteprocedimiento y solicitar a los alumnos que lo prueben con otros problemas similares.


2.8. Interpretar el efecto dela aplicacin sucesiva defactores constantes de pro-

porcionalidad en situacio-nes dadas.

El desarrollo de esta habilidad favorece la comprensin del factor constantefraccionario, que ahora se puede ver como la composicin de dos operadores

enteros. Por ejemplo, por 3

4 puede interpretarse como la composicin de

por 3, entre 4, o bien, entre 4, por 3. Esta misma idea puede extenderse ados o ms factores fraccionarios o para la multiplicacin por decimales: por

0.17 equivale a por17100

y esto a su vez a por 17, entre 100. Para el desa-

rrollo de esta habilidad resultan adecuados los problemas de escala, en loscuales se pueden plantear diversos problemas, como los siguientes:

Una fotografa se reduce con una escala de y enseguida se reduce nuevamente con una escala de .

Cul es la reduccin total que sufre la fotografa original?Una fotografa se ampla con una escala de 3 a 1 y enseguida se reduce con una escala de . Cul es elefecto nal en relacin con la fotografa original?

Puede vincularse este tema con los problemas de rea del eje Forma, espacio y medida. Por ejemplo, si la foto-grafa original es un rectngulo de 216 cm2, qu rea tendr la fotografa reducida?

Vncos: Biologa. Tema: La nutricin como proceso vital. La elaboracin de dietas balanceadas es un buen

contexto para disear problemas de proporcionalidad directa.


40/144


41/144

41


Resuelvan problemas que implican efec-tuar divisiones con nmeros decimales.Resuelvan problemas que impliquen eluso de ecuaciones de las formas: x + a = b;ax + b = c, donde a, b y c son nmeros na-turales y/o decimales.Resuelvan problemas que implican el clcu-lo de porcentajes o de cualquier trmino

de la relacin: Porcentaje = cantidad base tasa.Resuelvan problemas que implican el clcu-lo de cualquiera de los trminos de las fr-mulas para calcular el rea de tringulos,romboides y trapecios. Asimismo, que ex-pliquen la relacin que existe entre el per-

metro y el rea de las guras.Interpreten y construyan grcas de ba-rras y circulares de frecuencias absolutasy relativas.Comparen la probabilidad de ocurrenciade dos o ms eventos aleatorios para to-mar decisiones.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Boqe 3


42/144


Sinicao so e as operacionesTemaPROBlEMAS MulTIPlICATIVOSSbtema


43/144

43



que impliquen la divisinde nmeros decimales endistintos contextos.

Son dos los componentes fundamentales de esta habilidad: saber efectuar la

operacin que modela el problema e interpretar correctamente el resultado.El primer componente implica que los alumnos enfrenten una diversidad decasos en los que sea pertinente usar la propiedad de multiplicar el dividendoy el divisor por el mismo nmero, a sabiendas de que el resultado no cambia.

Esta propiedad se vincula con la equivalencia de fracciones y con la idea de proporcin.El segundo componente se reere al signicado de los nmeros decimales, que se ha trabajado amplia -

mente en la primaria, pero vale la pena repasar porque muy probablemente muchos alumnos siguen pen-sando que, por ejemplo, 2.5 horas son dos horas con cinco minutos, cuando en realidad se trata de dos horas

con treinta minutos.A diferencia de la divisin con nmeros fraccionarios, en este caso hay muchos problemas cercanos alentorno de los alumnos que ellos mismos pueden plantear. Por ejemplo:

Una cinta elstica puede alargarse hasta 3.3 veces su longitud original. Cuando est totalmente alargadaalcanza una longitud de 13.86 metros. Cul es su longitud normal?Una canica pesa 0.026 kg. Cuntas canicas tendr una bolsa que pesa 1.222 kg? (suponemos que todaslas canicas pesan lo mismo).

Sinicao so e as iteraesTemaECuACIONESSbtema


3.2. Resolver problemasque impliquen el plantea-miento y la resolucinde ecuaciones de primergrado de la forma x + a = b;ax = b; ax + b = c, utilizan-do las propiedades de laigualdad, con a, b y c n-meros naturales o deci-males.

Las ecuaciones son una herramienta bsica para la resolucin de problemascuando los procedimientos aritmticos resultan poco ecaces. En este grado elesfuerzo debe enfocarse a que los alumnos logren identicar el valor descono-cido del problema, lo representen con una literal, planteen la ecuacin corres-pondiente, interpreten la ecuacin como una expresin que sintetiza las rela-ciones entre los datos y la cantidad desconocida del problema y, nalmente,que sean capaces de resolver la ecuacin. Hay que tener en cuenta que losalumnos se enfrentan por primera vez a la necesidad de traducir el texto delproblema al cdigo algebraico y a la resolucin de ecuaciones. Se sugiere en-tonces planear una sucesin de actividades que favorezca el uso de procedi-mientos informales y poco a poco familiarice a los estudiantes con el uso de

las propiedades de la igualdad. Un ejemplo interesante del tipo de problemas que se pueden plantear es elsiguiente:

Pienso en un nmero. Cuando lo multiplico por 7 y le resto 9, obtengo 5. Cul es el nmero?


44/144

44

Pienso en un nmero. Cuando lo multiplico por 7 y le resto 9, obtengo 5. Cul es el nmero?Pienso en un nmero. Cuando lo multiplico por 3 y le aado 14, obtengo 15.5. Cul es el nmero?Pienso en un nmero. Si lo divido entre 4 y le resto 10, obtengo 15. Cul es ese nmero?

La gran ventaja de este tipo de problemas es que se pueden simplicar o complejizar tanto como se quiera,

de modo que los alumnos vean las ventajas de utilizar ecuaciones.

Activia compementaria: Ecuaciones (1), en Hoja electrnica de clculo. emat,Mxico,sep, 2000, pp. 61-62.


Formas eomtricasTemaFIguRAS PlANASSbtema


3.3. Construir tringulos ycuadrilteros. Analizar lascondiciones de posibili-dad y unicidad en lasconstrucciones.

A diferencia de las construcciones geomtricas que se realizan en primaria,con base en procedimientos especcos, en este grado se trata de anticipar,probar y justicar los datos que son necesarios y sucientes para llevar a cabouna construccin. Por ejemplo:

Dados dos segmentos que deben ser iguales a dos lados de un tringulo,se pueden dibujar dos tringulos distintos? Cuntos tringulos distintos se pueden dibujar con base en

esta informacin?Si en un grupo de 40 alumnos cada uno dene tres segmentos para construir un tringulo, cuntos trin-gulos distintos podran construirse en el grupo?Dados dos segmentos que representan la base y la altura de un romboide, se puede construir un romboi-de? Cuntos romboides distintos se pueden construir con base en esta informacin?Dados tres segmentos tales que la suma de las longitudes de dos de ellos es igual a la longitud del tercersegmento, es posible construir un tringulo?

MeiaTema ESTIMAR, MEdIR y CAlCulARSbtema


3.4. Resolver problemas queimpliquen calcular el per-metro y el rea de tringu-los, romboides y trapecios.

Realizar conversiones demedidas de supercie.

Adems de resolver problemas en los que los alumnos tengan que utilizar lasfrmulas para calcular permetros y reas de tringulos y cuadrilteros, esconveniente vincular este conocimiento con otros conceptos, por ejemplo, conlas ecuaciones, como en estos ejemplos:

Si el rea de un tringulo es 27 cm2 , y la altura 9 cm, cunto mide labase?

Si uno de los lados de un rectngulo es 12 cm ms largo que el otro y su permetro mide 48 cm, cul es


45/144

4

g g q y p , su rea?

Con la variacin se pueden establecer vnculos a partir de situaciones como las siguientes:

Encuentren las medidas enteras de los lados de todos los rectngulos cuya rea es 24 cm 2 y calculen elpermetro de cada uno.Si uno de los vrtices de un tringulo se desplaza sobre una recta paralela a la base, qu sucede conel rea de cada uno de los tringulos que se forman? Qu sucede con el permetro? Por qu creen quesuceda esto?Si la base menor de un trapecio se desplaza sobre una recta paralela a la base mayor, qu sucede con elrea de cada uno de los trapecios que se forman? Qu sucede con el permetro?


Anisis e a informacinTemaRElACIONES dE PROPORCIONAlIdAdSbtema



del tipo valor faltante uti-lizando procedimientos ex-pertos.

Los alumnos ya han resuelto una gran variedad de problemas del tipo valor

faltante mediante procedimientos muy diversos. Conviene entonces haceruna especie de recapitulacin para subrayar el uso de procedimientos exper-tos tales como: el valor unitario, la constante de proporcionalidad y la muynombrada regla de tres. En este ltimo caso es importante que los alumnos

conozcan al menos una explicacin de dicha regla, que puede ser mediante la igualdad de cocientes en lassituaciones de proporcionalidad directa.

PORCENTAjESSbtema


3.6. Resolver problemasque impliquen el clculode porcentaje utilizandoadecuadamente la expre-sin fraccionaria o deci-

mal.

El desarrollo de esta habilidad tiene un antecedente muy importante en laprimaria y un campo de trabajo privilegiado por su amplio uso social. De ma-nera que vale la pena utilizar situaciones de la vida real, tales como el clculodel iva, el aumento de precios y salarios, las operaciones bancarias, etc., pa-ra profundizar en este tema. Los tipos de problemas que se pueden plan-

tear son:Aplicar el porcentaje a una cantidad:Cunto es el 12% (12/100) de 25?

Determinar qu porcentaje representa una cantidad respecto a otra:


46/144

4

Qu porcentaje es 12 de 25?

Determinar la base de un porcentaje (desglosar el iva):

Si 575 es el total a pagar, incluido el 15% de iva, cul es la cantidad sin iva?Es conveniente plantear problemas en los que el porcentaje es mayor que 100, como el siguiente:

Un productor de pia vende su cosecha al distribuidor en $0.75 el kilogramo. En el supermercado se ven-de a $4.50 el kilogramo. En qu porcentaje se incrementa el precio?

Se sugiere vincular el desarrollo de esta habilidad con el estudio de las ecuaciones de primer grado que seplantea en el segundo apartado del eje Sentido numrico y pensamiento algebraico, y con el ltimo apartado quecorresponde al subtema Diagramas y tablas de este mismo bloque.

Activia compementaria: Anlisis de textos, en Hoja electrnica de clculo. emat,Mxico,sep, 2000, pp. 142-143.

Representacin e a informacinTemadIAgRAMAS y TABlASSbtema

Conocimientos habiiaes Orientaciones didcticas3.7. Interpretar y comuni-car informacin mediantela lectura, descripcin yconstruccin de tablas defrecuencia absoluta y re-lativa.

El desarrollo de esta habilidad sirve, en primer lugar, para que los alumnosaprendan a distinguir entre la informacin que ofrece una frecuencia absolutay una relativa. Por ejemplo, saber que siete alumnos de un grupo no sabendividir, puede ser mucho o poco en funcin del total de alumnos; pero si envez de siete alumnos fuera el 7%, diramos que es poco, independientementedel total.

En cuanto a la comunicacin de informacin, es conveniente plantear pre-

guntas que logren despertar el inters de los alumnos para realizar un estudio completo de la situacin,desde la organizacin para recopilar los datos hasta el anlisis y la presentacin de resultados, de maneraque las tablas o grcas que se utilicen como medios de representacin sean motivo de anlisis por parte delos alumnos.

Se sugiere vincular este tema con el estudio de porcentajes que se plantea en el primer apartado de esteeje y bloque.

Vncos: Geografa. Tema: Lectura, interpretacin y representacin de informacin en grcas, cuadros,

textos, estadsticas, fotografas, imgenes, mapas, planos y croquis.

gRFICASSbtema


47/144

4


3.8. Interpretar informa-cin representada en gr-cas de barras y circularesde frecuencia absoluta yrelativa, provenientes dediarios o revistas y de otrasfuentes. Comunicar infor-macin proveniente de es-tudios sencillos, eligiendo

la forma de representacinms adecuada.

Al analizar la informacin que se presenta en grcas circulares es convenien -te reexionar en torno a la relacin entre los porcentajes sealados y las frac-ciones de rea del crculo que ocupan. Las situaciones que llevan a esta re-exin de manera obligada son aquellas en las que las cantidades correspon-den a un todo (no son porcentajes) y se pide una representacin circular.En tales casos es necesario calcular los porcentajes y traducirlos a ngulos,sabiendo que 360 corresponden al 100%, o bien, establecer directamente unarelacin proporcional entre las cantidades y los ngulos. En este caso al totalle corresponden 360.

Es importante considerar que en un problema los todos pueden ser dis-tintos. Por ejemplo:

En un grupo de 50 alumnos, 60% son mujeres y 40% son hombres. De estos ltimos, 10% usan lentes.Cuntos alumnos del grupo usan lentes?

En los porcentajes de mujeres y hombres el todo es el total de alumnos que hay en el grupo, mientras queen el porcentaje de alumnos que usan lentes el todo es el 40% del grupo.

Vncos: Espaol. Tema: Interpretar la informacin en tablas, grcas y diagramas. Geografa, unidad te -mtica 3: Composicin actual de la poblacin en Mxico y su comparacin con las tendencias demogrcasde otros pases del mundo.

Anisis e a informacinTemaNOCIONES dE PROBABIlIdAd


48/144

4

NOCIONES dE PROBABIlIdAdSbtema


3.9. Enumerar los posiblesresultados de una expe-riencia aleatoria.Utilizar la escala de laprobabilidad entre 0 y 1 yvincular diferentes formasde expresarla.Establecer cul de dos o

ms eventos en una expe-riencia aleatoria tiene ma-yor probabilidad de ocurriry justicar la respuesta.

La determinacin del espacio muestral en una situacin de azar se relacionaestrechamente con los problemas de conteo. La dicultad que enfrentan losalumnos para enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoriainuye poderosamente en el clculo de la probabilidad de un evento. Por estose sugiere plantear problemas en los que se vincule el conteo con la probabili-dad. Por ejemplo:

Si en un saln hay 10 mujeres y 20 hombres y en otro hay 15 mujeres y

5 hombres, cuntas parejas distintas se pueden formar tomando una per-sona de cada saln? (Problema de conteo)Cul es la probabilidad de que al seleccionar, al azar, una persona de cadasaln, se alternen un hombre y una mujer? (Problema de probabilidad)

Adems, es conveniente realizar diversas actividades con el propsito de reexionar y discutir sobre las ra -zones por las que se obtienen resultados diferentes al utilizar la probabilidad emprica o frecuencial y laprobabilidad clsica o terica.

Con el n de favorecer la reexin sobre la escala de valores de la probabilidad y la comparacin de pro -babilidades de dos o ms eventos, conviene plantear preguntas como las siguientes: Se podra dar el casode que el nmero de eventos favorables sea mayor que el nmero de eventos posibles? Cul es el mayorvalor que puede tener la medida de la probabilidad? Y el menor valor? Qu signica que un fenmenotiene probabilidad cero de ocurrir? Y qu signica que la probabilidad sea uno? Si un fenmeno tiene pro -

babilidad uno de ocurrir, hablamos de azar? La recta numrica y el primer cuadrante del plano cartesianoson buenos recursos grcos para reexionar sobre las preguntas anteriores.


49/144

4


Identiquen, interpreten y expresen, alge-braicamente o mediante tablas y grcas,relaciones de proporcionalidad directa.Resuelvan problemas que impliquen elclculo de la raz cuadrada y potencias denmeros naturales y decimales.Construyan crculos que cumplan conciertas condiciones establecidas.

Justiquen y usen las frmulas para calcu -lar el permetro o el rea del crculo.

1.

2.

3.

4.

Boqe 4


50/144


Sinicao so e os nmerosTemaNMEROS CON SIgNOSbtema


51/144

1


4.1. Plantear y resolver

problemas que impliquenla utilizacin de nmeroscon signo.

La importancia de este tema radica en el hecho de conocer un nuevo tipo de

nmeros que permite resolver problemas para los cuales no hay solucin enlos nmeros naturales y en la diversidad de contextos en los que se utilizan,tales como temperaturas, ganancias y prdidas, plano cartesiano, etctera.

Un ejemplo de problema que se puede plantear es el siguiente:

Con base en la informacin de la tabla, resuelve las siguientes situaciones:Indica las diferencias entre las temperaturas mximas y mnimas.Ordena de menor a mayor las temperaturas mximas y las mnimas en cada ciudad.

Ciudades Temperatura Temperaturamxima mnima

A 14 6

B 5 7

Adems de los enteros, otros nmeros con signo que debern utilizarse en este grado son las fracciones y losdecimales. La recta numrica es un recurso til para dar sentido a estos nmeros, y deber emplearse como

apoyo en la elaboracin y justicacin de procedimientos para compararlos y ordenarlos. Los problemas quese planteen supondrn el conocimiento de las convenciones: la posicin del cero, la unidad de medida y elorden. Por ejemplo, se puede pedir a los alumnos que ubiquen en la recta numrica el 1 y

34, a partir de la

posicin de otros nmeros que se les proporcionen, digamos 1 y 32

. Se sugiere adems introducir las nocio-nes de nmeros opuestos y valor absoluto.

Sinicao so e as operacionesTemaPOTENCIACIN y RAdICACINSbtema


4.2. Resolver problemasque impliquen el clculode la raz cuadrada y lapotencia de exponente na-tural de nmeros natura-

les y decimales.

Los alumnos deben comprender que la raz cuadrada de un nmero que no escuadrado perfecto constituye una aproximacin. Se puede recurrir a contex-tos geomtricos para discutir este hecho; por ejemplo, cabe preguntar cul esla medida del lado de un cuadrado de 40 cm2 de rea.

Algunos recursos de aproximacin a la raz cuadrada de nmeros natura-

les y decimales mediante algoritmos son, por ejemplo, el uso de procedimien-tos recursivos y de ensayo y error. Es conveniente que los alumnos comparen

las soluciones alcanzadas con los resultados que obtengan al emplear la calculadora. Se sugiere generalizarla idea de que la potenciacin y la radicacin son operaciones inversas, puesto que si un nmero se eleva


52/144

2

la idea de que la potenciacin y la radicacin son operaciones inversas, puesto que si un nmero se elevaa una potencia n y al resultado se le extrae la raz n dicho nmero no se altera.

Adems de la realizacin directa de clculos, se pueden proponer problemas como los siguientes:

Comparen, sin realizar las operaciones correspondientes: 0.52 y 0.052; la raz cuadrada de 0.09 y 0.0625

Activia compementaria: Raz cuadrada y cbica, en Hoja electrnica de clculo. emat,Mxico,sep, 2000,pp. 59-60.

Sinicao so e as iteraesTemaRElACIN FuNCIONAlSbtema


4.3. Analizar en situacio-nes problemticas la pre-sencia de cantidades rela-cionadas y representaresta relacin mediante unatabla y una expresin al-gebraica. En particular laexpresin de la relacin deproporcionalidad y = kx,asociando los signicadosde las variables con lascantidades que intervie-nen en dicha relacin.

En los bloques anteriores los alumnos han producido expresiones algebraicasal denir reglas de sucesiones numricas o al expresar frmulas geomtricas.Ahora se trata de expresar algebraicamente una relacin entre dos cantidadesque varan. La proporcionalidad directa es un caso particular de las funcioneslineales, que al representarse grcamente en el plano cartesiano da como re-sultado una recta que pasa por el origen.

Como en los casos anteriores, se sugiere que antes de que los alumnos re-presenten algebraicamente una relacin, la identiquen y la expresen verbal -mente; esto les ayudar a que la simbolizacin tenga signicado. El uso derepresentaciones tabulares facilita descubrir las regularidades que se mani-estan entre las cantidades relacionadas. Por ejemplo:

A una cisterna le quedan 50 litros de agua. Al abrir la llave de llenado, caen10.5 litros por minuto. Elaboren una tabla que represente la relacin entre

el nmero de minutos y la cantidad de agua que hay en la cisterna. Si se representa con la letra xel n-mero de minutos y con la letray el de los litros, qu expresin algebraica representa (modela) esta si-tuacin?

Si los alumnos tienen la posibilidad, pueden utilizar la hoja electrnica de clculo para resolver este proble-ma. El cdigo utilizado en las frmulas escritas en Excel es muy similar al algebraico, por lo que constituyeun lenguaje intermedio entre ste y el natural. Se sugiere contrastar la situacin anterior con la siguiente:

Luis tiene cinco aos y su hermana Patricia tiene dos ms que l. Elaborar una tabla y una expresin al-gebraica que represente la relacin entre ambas cantidades a partir del nacimiento de Luis.

Ntese que las dos situaciones anteriores pueden representarse mediante una expresin algebraica de laforma y = ax + b. Es importante que los alumnos contrasten y expresen las diferencias entre estas situaciones


53/144

3

y p q y py las de proporcionalidad (y = kx) del ejeManejo de la informacin en este mismo bloque. Tambin se puedenrealizar actividades que impliquen la elaboracin de tablas a partir de la expresin algebraica de una fun-cin lineal.

Activia compementaria: Variacin lineal (1), en Hoja electrnica de clculo. emat, Mxico, sep , 2000,pp. 53-55.


Formas eomtricasTemaFIguRAS PlANASSbtema


4.4. Construir crculos apartir de diferentes datoso que cumplan condicionesdadas.

Usualmente un crculo se construye a partir de la medida del radio, pero esimportante que los alumnos sepan determinar esta medida con base en otrosdatos y ubicar el centro del crculo para que ste cumpla con ciertas condicio-nes. Por ejemplo:

Dados tres puntos no alineados, tracen la circunferencia que los contiene.Dada una cuerda, construyan el crculo al que sta pertenece. Es nica la solucin? Cuntos crculos sepueden construir si se trata de la mxima cuerda?

Activia compementaria: Cuerdas, en Geometra dinmica. emat,Mxico, sep, 2000, pp. 134-135.

MeiaTemajuSTIFICACIN dE FRMulASSbtema

Conocimientos habiiaes Orientaciones didcticas4.5. Determinar el nmeroPi como la razn entre lalongitud de la circunferen-cia y el dimetro.

Justicar la frmula para el

clculo de la longitud de lacircunferencia y el rea del

crculo.

Aunque este aspecto se trabaja en la primaria, es necesario que en este gradose profundice en el anlisis sobre la relacin entre la circunferencia y su di-metro y que los alumnos se familiaricen con la diversidad de problemas quese pueden plantear. Por ejemplo:

Cunto aumenta la longitud de la circunferencia si la longitud del dime-tro aumenta al doble? Y si aumenta al triple? Y si aumenta cuatro veces?Qu conclusin se obtiene de este hecho?

Determinen la relacin entre las longitudes de los dimetros de dos crculos cuyas circunferencias miden12 y 24 m, respectivamente.


54/144

4

y p

Este tipo de problemas permite vincular la geometra con la proporcionalidad directa.La justicacin del rea del crculo puede hacerse grcamente o mediante clculos algebraicos derivados

de la frmula para calcular el rea de polgonos regulares.

ESTIMAR, MEdIR y CAlCulARSbtema


4.6. Resolver problemas que

impliquen calcular el reay el permetro del crculo.

Como ocurre con el estudio de las otras guras, no slo se trata de calcular el

rea y el permetro, sino tambin, conocidos el permetro y el rea, se debecalcular la longitud del radio o del dimetro, as como resolver problemasde clculo de reas sombreadas (corona circular); tambin se debe analizar la

relacin entre la longitud del radio y el rea del crculo, como punto de contraste con la relacin entre la lon-gitud del dimetro y la longitud de la circunferencia.

Activia compementaria: Relacin entre l

programa de as (res 2006)

Documents