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ÁLGEBRA: MATEMÁTICA DISCRETA

Parte 2ª: Teoría de Números

Profesor: José-Miguel Pacheco CastelaoCurso 2011-2012

ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA DE LA ULPGC

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Los conjuntos numéricos de la Aritmética

La Aritmética es la parte de las Matemáticas que estudia las propiedades y operaciones con números, en especial los Naturales y los Enteros:

{ }{ }

0,1, 2,3,4,...

..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,...

=

= − − − −Z

DistributivaDivisiónProducto conmutativo

RestaSumaconmutativa

SíNoSíSíSí

SíNoSíNoSí

Z

Las operaciones aritméticas elementales posibles con los Naturales y los Enteros se recogen en la tabla siguiente. Cuando decimos que una operación no es posible queremos decir que en algún caso el resultado de la misma se halla fuera del conjunto en que trabajemos. La propiedad distributiva es la igualdad a(b+c) = ab+ac que relaciona el producto con la suma,

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La ordenación de los Naturales y los Enteros

Los números naturales poseen una ordenación intuitiva, de menor a mayor en el sentido ordinario de la frase. Dicha ordenación se prolonga a los números enteros de forma completamente natural:

{ }{ }

0 2 3 4 ...

... 4 3 2 1 0 2 3 4 ...

= < < < <

= < − < − < − < − < < < < <Z

Ambos órdenes son totales (dados dos números cualesquiera, siempre es posible decidir cuál es el mayor de ellos). Además, el orden de los números Naturales es bueno (cualquier familia de números naturales tiene un primer elemento). Sin embargo, el orden de los Enteros NO es bueno: p. ej., el conjunto de los números menores que -3 no tiene primer elemento, aunque sítiene último.

El tipo de orden de los Naturales se llama (omega pequeño), y el de los Enteros se escribe como

Nótese que la suma de tipos ordinales no sigue las leyes habituales de la Aritmética. Los tipos ordinales son casos particulares de números transfinitos.

ω (que no es igual á 0)ω ω− +

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La “regla de los signos”

La conocida regla de los signos puede obtenerse a partir de las operaciones realizables con los números enteros. En general, cualquier conjunto con dos operaciones asimilables a las de los números enteros se llama “anillo”, y esta regla es cierta en todo anillo.

Dado un elemento , el elemento se llamará "opuesto de ", y es aquel elementoque sumado con da 0. La habitual expresión es simplemente una abreviatura de ( ) [esto es, restar es "sumar

a a aa a b

a b

∈ −−

+ − el opuesto"].Probemos primero que 0 0, cualquiera que sea .En efecto. Como 0+0=0, podemos poner (0 0) 0. Usando la propiedad distributiva tendremos que (0 0) 0 0 será igual á 0, luego

a aa a

a a a a

× =× + = ×

× + = × + × × es obligado que 0 0.Regla de los signos: ( ) ( )Demostración: Escribimos 0 0 ( ( )), cualquiera que sea .Por tanto, ( ) 0, luego ( ) es el opuesto de . En otras palabras,

aa b a b

a a b b ba b a b a b a b

× =× − = − ×

= × = × + −× + × − = × − ×

( ) . ( )a b a b× − = − ×

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Múltiplos y divisores

Si , el conjunto de todos los números de la forma , donde , se llama"conjunto de los múltiplos de ". Se suele escribir , ó . Cuando , diremos que es . El conju

divisor dento de lo

n n m mn n n p

n pn

∈ × ∈∈

ZZ

s múltiplos de es siempre infinito (excepto si 0), pero el de los divisores de siempre es finito.Un número entero que no tenga divisores, a excepción del 1 y de él mismo, es unnúmero primo. Los

n nn

=

primeros primos son 2, 3, 5, 7,... y los primeros no primos -que se dicen "compuestos"-, son 4 , 6, 8, 9,.... Notemos que el único primopar es el 2.Hay dos resultados fundamentales acerca de los númera) "El conjunto de los números primos es infinito"b) "Todo número entero se puede escribir como producto de un número finito de números

os primos:

El resultado b) se conoce como "Teorema Fpr

unimos"

damental de la Aritmética"

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La “división con resto”Dados dos enteros positivos y , con , entonces, o bien es múltiplo de , o no lo es.En el primer caso existirá otro entero tal que , mientras que en el segundocaso el número se encont

m n m n m np m n p

m

>= ×

rará entre dos múltiplos consecutivos de , esto es, habrá un número tal que ( 1). Este cocientepor defecto de l

recibe el nombre de de por , a división resto de ly a d es el i

nq n q m n q q

m n r m n q× < < × +

= − × .Es evidente, por su propia construcción, que 0 :Se cumple la igualdad 0 cuando es múltiplo de . Por tanto ambos casos se pueden expresar en la form

visión

a siguiente:

r n rm n

≤ < =

Algoritmo de la división con resto (ejercicio: programarlo)

Para cualquier par de números enteros y tales que , es posible hallarotros dos enteros y tales que: 1)

m n m nq r

m n q r

>

= × +2) 0

Además, y están determinados de manera única.r n

q r≤ <

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Hay infinitos números primos

Este resultado es uno de los Teoremas más antiguos de las Matemáticas, y se conocen muchas demostraciones de él. Aparece en los “Elementos” de Euclides (Libro IX, Prop. 20), hacia 300 AC, cuya demostración presentaremos aquí. Se trata de una demostración constructiva: La idea consiste en probar que dado un número cualquiera de números primos, siempre es posible construir uno más.

1 2 3

1 2 3

Supongamos conocidos números primos , , , ..., . Construyamos elproducto de todos ellos y añadámosle 1, con lo que obtendremos un número :

... 1. Pues bien, este número, mayor

k

k

k p p p pP

P p p p p= × × × × + que todos losanteriores, . Ello es cierto, pues da resto 1 al dividirlo porcualquiera de los primos originales, luego no tiene divisores.

es también primo

Observación: El número P no es el siguiente primo al último que tengamos. Por ejemplo, de 2, 3, 5 obtendríamos P = 31, mientras que el primo siguiente á 5 es 7.

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Más sobre números primos

La observación anterior nos muestra la dificultad de hallar números primos: No existe un método que permita el cálculo sistemático (p. ej. una ley de recurrencia o algo similar) de tales números, salvo el “cribado” de Eratóstenes:

…999897 969594939291

90898887868584838281

80797877767574737271

70696867 666564636261

60595857565554535251

50494847464544434241

40393837363534333231

30292827262524232221

20191817161514131211

10987654321El cribado consiste en ir eliminando los múltiplos de los sucesivos números, primos o no. Primero se borran los pares (gris) excepto el 2, luego los múltiplos de 3, que fue el primero no borrado, después los de 5 (el primer “superviviente” tras eliminar los de 3), los de 7 y así sucesivamente…

En la figura se ve la tabla de números primos hasta el 100 (hay 25 de ellos, 26 si contamos el 1).

La criba puede formalizarse fácilmente en un algoritmo para hallar los primos menores que cualquier entero dado n.

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El Teorema Fundamental de la Aritmética (1)

Este resultado muestra que los números primos son los elementos básicos para construir cualquier número entero. Podemos enunciarlo así:

“Todo número entero puede escribirse como producto de números primos, que pueden repetirse, y esa descomposición es única, salvo el orden del producto, que puede ser cualquiera”

Hay varias demostraciones disponibles, y vamos a presentar dos sobre la existencia de la descomposición. La parte de unicidad se deja como ejercicio.

Demostración 1ª (bastante informal, pero rigurosa). Consideremos un entero cualquiera. Si es primo, ya está probado el teorema. Si no es primo, se podrá escribir como producto de dos números, divisores suyos. Si el primer divisor no fuera primo, hallaríamos dos divisores suyos. Si no, pasamos al segundo, sobre el cual repetimos el proceso, etc. etc. Este procedimiento se continuará hasta que termina obligatoriamente, pues el número original es finito. Por tanto, el teorema es cierto.

Esta demostración puede implementarse como un algoritmo: Ejercicio.

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El Teorema Fundamental de la Aritmética (2)(C. F. Gauss (1777-1855), Disquisitiones Arithmeticae ,1801)

Demostración 2ª (por contradicción) Supongamos que hay algunos enteros positivos que NO se pueden descomponer en producto de primos. Entonces, debido a la buena ordenación de los números naturales, habrá uno que será el menor de todos ellos, llamémosle p. Éste no puede ser primo, pues entonces sería descomponible en producto de primos (con sólo un elemento, claro), lo que contradiría el ser el menor con la propiedad de no descomposición en producto de primos, así que es compuesto. Por tanto, tiene divisores. Éstos no pueden ser primos, pues en tal caso p no sería el menor de los números no descomponibles. Pero tampoco pueden ser descomponibles en primos, pues en tal caso lo sería también p. Por ello, la existencia de p es imposible, y el Teorema queda demostrado.

Observación importante sobre el “estilo” matemático: La “demostración por contradicción”se basa en la idea de que es imposible que algo tenga y no tenga simultáneamente una propiedad cualquiera. En el caso anterior, la propiedad es “ser el menor entero positivo tal que…”. De ahí obtendríamos que la hipótesis inicial de que NO ocurre algo debe ser desechada, de donde se sigue que lo contrario es cierto. Veremos al final del curso, en la parte de Lógica, más acerca de esta clase de demostraciones.

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Aritmética “útil”: MCM y MCD

a) Consideremos dos enteros positivos y , y sus respectivos conjuntos de múltiplos, y . El conjunto , como subconjunto del conjunto bien ordenado

, tiene un primer elemento ( , ). Éste

m nn m n m

M n m∩ ⊆Z

es múltiplo de y y es el MENOR con esapropiedad: Es el "mínimo común múltiplo" (MCM) de y .

m nn m

b) Consideremos los dos enteros positivos anteriores y , y sus respectivos conjuntos de divisores ( ) y ( ). El conjunto ( ) ( ) es finito, luegotiene un último elemento ( , ). Éste es divi

m nD n D m D n D m

d n m∩ ⊆

sor de y y es el MAYOR con esapropiedad: Es el "máximo común divisor" (MCD) de y .

m nn m

c) Consideremos los dos enteros positivos anteriores y , y sus respectivos MCM y MCD, ( , ) y ( , ). Es fácil probar que ( , ) ( , ) .

m nM n m d n m M n m d n m n m× = ×

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Cálculo del MCD y el MCM a partir del Teorema FundamentalVamos a ilustrarlo con un ejemplo. Hallemos el MCD de 336 y 136:

1

77

321

242

284

2168

2336

DivisoresNúmero

1

1717

234

268

2136

DivisoresNúmero

17222136732222336

17222136732222336

Términos comunes: tres veces 2, luego MCD (336, 136) = 8

Términos comunes (3 veces 2)y no comunes: (2, 3, 7, 17), luego MCM (336, 136) = 5712

Descomponemos los números en factores primos. Para el MCD nos quedamos sólo con los factores comunes (en el menor número posible) y los multiplicamos. Para el MCM, los comunes (en el mayor número posible), y los no comunes, y los multiplicamos.

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El Algoritmo de Euclides (1)Este algoritmo provee un método sistemático para hallar el MCD de dos enteros sin necesidad de usar el Teorema Fundamental:

1 1 1

1

1 1

Sean dos números enteros positivos . Usemos el algoritmo de la divisiónpara obtener y tales Si 0 el algoritmo acaba, y el MCD

que con 0 . .

En caso c de y es

ontrari l

o, apr a

a bq r a bq r b

b br

>= + <

=≤

2

1

2 2 1 2 2 2 1

2

1 1 1 2 2 1

1Si 0 el algoritm

iquemos el algoritmo de la divisi

o acaba, y el MCD de y es

ón á y , para hallar y tales que con 0 .

En efecto, si 0, ento: c)

n es(

r a b r

b rq r b r q r r r

ra bq r r q r r

==

+ ≤ <=

= + = + + 1 1 2 1 1

1 2

3 3 1 2 3 3

( 1), esto es, es divisor de y de y desde luego es el mayor posible.En caso contrario, continuemos el algoritmo de la división con y , para hallar

y tales que con

r r q q r a b

r rq r r r q r

= +

= + 3 20 , etc, etc...El proceso acaba forzosamente con una división exacta, pues los números iniciales son enteros positivos y los que van apareciendo sucesivamente tambiénlo son, cada vez menores. Por

r r≤ <

tanto, el último resto no nulo es el MCD de y .a b

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El Algoritmo de Euclides (2)

0…restos

…cocientes

MCD…ba :

1q 2q 3q 1nq + 2nq +

1r 2r

1r 2r

3r

nr

1nr +

1nr +

1 2 2

1

0

La ley de recurrencia para el Algoritmo de Euclides es:

k k k kr r q rr ar b

+ + +

−

= +==

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El Teorema de Bézout (1)TEOREMA: "Sean dos enteros y , y sea su MCD. Entonces existen otros dos enteros, y , tales que ".DEMOSTRACIÓN: Consideramos el conjunto de todos los números enteros del tipo . No

a b dr s d ar bs

Kax by

= +

+ s quedamos sólo con los positivos. Por la buena ordenación de , existe uno que es el menor de todos ellos, llamémosle * * *.Vamos a ver que * MCD( , ) : Si aplicamos el algoritmo de la división

d ax byd a b

= +=

(p. ej. á y *), tendremos que : * , con *, y operando sale que

* ( * *)[(1 *) ] ( * ) ** **.

Esto nos dice que , pero como *, y éste era el menor elemento de , la

a da d q r r dr a d q a ax by q

a x q b y q ax byr K r d K

= + <= − = − + =

= − + − = +∈ <

única posibilidad es que 0. Luego * es un divisor de (y de , claro). Sólo queda ver que es el mayor de los divisores comunes: Esto es fácil, pues si

fuera otro divisor común, entonces también

r d a b

D

=

dividiría a cualquier combinacióndel tipo , y en particular á *. Luego *.

: Es claro que * y *. ax by d D d

r x s y+ ≤

= =Nota

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El Teorema de Bézout (2)

"Si y son primos entre sí, existen dos enteros y tales que 1"a b r s ar bs+ =

Los números concretos r y s que aparecen en el Teorema de Bézout se obtienen invirtiendo el Algoritmo de Euclides.

Cuando el MCD de dos enteros es 1 (o sea, no tienen divisores comunes excepto el 1), decimos que tales enteros son primos entre sí. Aplicando el Teorema de Bézout a este caso se tiene la siguiente propiedad:

2

1 1

1 2 2

1 2 3

2 2 1 2

Veámoslo con un ejemplo: Supongamos que el MCD( , ) es : Para este caso

el algoritmo de Euclides será 0

Despejemos en la segunda ecuación: , y sustituyamo

s

a b ra bq r

b r q rr r q

r r b r q

= +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩

= −

1 2 1 2

2 2 1 2 2 1 2

en esta expresiónel valor de despejado de la primera ecuación: ( ) . Así se llega a:

(1 ) . Esto es: , 1 .r r b a bq q

r q a q q b r q s q q= − −

= − + + = − = +

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Ecuaciones diofánticas elementales

Se llama ecuaciones diofánticas a aquéllas cuyos coeficientes son enteros, tienen más de una incógnita y además se buscan soluciones enteras.

2 2 2

Ejemplos: 2 5 32 es una ecuación diofántica lineal en dos variables, 0 es una ecuación diofántica de segundo grado en tres variables.

x yx y z

+ =

+ − =

Las soluciones de una ecuación diofántica, si existen, son n-uplas de números enteros, siendo n el número de incógnitas. En la ecuación lineal del ejemplo anterior se ve fácilmente una solución, el par (1,6), pero tiene infinitas más. La ecuación de segundo grado del ejemplo también tiene infinitas soluciones, una es la terna (3,4,5). [Las soluciones de esta ecuación se llaman triples pitagóricos y representan las dimensiones de triángulos rectángulos con lados enteros].

Para resolver ecuaciones diofánticas lineales utilizaremos una combinación del Teorema de Bézout y del Algoritmo de Euclides.

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La ecuación diofántica lineal en dos variables (1)Resolución: Partimos de . Lo primero es calcular el MCD de y , llamémosle . A continuación, comprobemos si es divisor del término independiente. . Suponga

ax by c a bd d

c

+ =

En caso negativo no hay solución mos que sí es divisor. Entoncespodremos dividir toda la ecuación por , y nos quedará , donde y son primos entre sí, de forma que existen (Bézout) dos númerosenteros y tales que 1

d Ax By CA Br s Ar Bs

+ =

+ = . Multiplicamos esta ecuación por , y tendremos . Multipliquemos de nuevo todo por y recordandoque , y :

( ) ( ) , de modo que , forma n

CACr BCs C d

dA a dB b dC cc c c cdACr dBCs dC a r b s c x r y sd d d d

+ == = =

+ = ⇔ + = = =

una soluc

{ }divisores comunes de y ,

de la ecuación diofántica. De hecho , el

conjunto ( , ) . En efecto:

( ) ( ) .

g a b k

c b c ar k s kd g d g

c b c a b aa r k b s k c a k bk cd g d g g g

∈ ∈

⎧ ⎫+ −⎨ ⎬

⎩ ⎭

+ + − = + − =

Z

ión hay infinitas más

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La ecuación diofántica lineal en dos variables (2): Un ejemploSea la ecuación 10 15 35.1. El MCD de 10 y 15 es 5, que sí divide á 35. Luego .2. Dividir todo por el MCD: 2 3 7.3. Según Bézout: 2 3 1 1, 1, luego 2( 1) 3(1) 1.4. Multipli

x yd

x yr s r s

+ ==

+ =+ = ⇔ = − = − + =

hay soluciones

{ }1,5 ,

car todo por 7 y luego por 5: 10( 7) 15(7) 35.5. será ( 7,7).

15 106. : ( 7 ,7 )g k

d

k kg g ∈ ∈

= − + =

−

⎧ ⎫− + −⎨ ⎬

⎩ ⎭ Z

Una solución particular

Todas las soluciones

(38,-23

(2,1)

3

…(-1,3)(-4,5)(-7,7)(-10,9)(-13,11)…Si g=5

…(23,-13)(8,-3)(-22,17)(-37,27)…Si g=1

…210-1-2…k

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Aritmética Modular (1)Motivación

Todos conocemos la aritmética modularen la vida diaria: Contamos las horas de 12 en 12 (a veces de 24 en 24). P.ej. a las 10 de la mañana decimos: Dentro de cuatro horas serán las 2, y nos parece natural que la suma de 10 y 4 sea 2. Así, sin darnos cuenta, estamos usando aritmética en módulo 12.

Consideremos el conjunto de los números enteros positivos, y sea p un entero positivo cualquiera. Al aplicar el algoritmo de la división con p como divisor se pueden obtener prestos diferentes: {0,1,2,…,p-1}. Esto nos permite clasificar todos los números enteros de acuerdo con el resto que dejan al dividir por p. Si efectuamos operaciones permitidas con los enteros, como sumar y multiplicar, las operaciones se trasladan a los correspondientes restos, definiendo una aritmética de restos, de la siguiente manera:

Si y , entonces el resto de la suma de y al dividir por es: si esta cantidad es menor que , y el resto de dividirla por en caso de sermayor. Lo mismo vale para el produ

a a b b

a b

a pq r b pq r a b pr r p p= + = ++

cto, cambiando suma por multiplicación.

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Aritmética Modular (2)

En la tabla de sumar vemos que todo elemento x tiene su opuesto –x, entendiendo por opuesto aquel elemento que sumado con él dé 0. En la de multiplicar vemos que todo elemento x distinto de 0 tiene su inverso 1/x, entendiendo por inverso aquel elemento que multiplicado con él da 1. En otras palabras, en la aritmética módulo 5 son posibles las cuatro operaciones elementales de la Aritmética. Se dice que tenemos un cuerpo numérico.

La aritmética módulo p queda totalmente determinada por las tablas de sumar y multiplicar para los p restos posibles {0,1,2,…,p-1}. Lo ilustramos con un ejemplo: La aritmética módulo 5 tiene las siguientes tablas:

321044

210433

104322

043211

432100

43210+

12344

24133

31422

43211

4321x

414

223

332

141

---001/x-xx

22

Aritmética Modular (3)

Observamos que en la aritmética módulo 6 existen elementos que no poseen inverso: Son el 2, 3 y 4. Estos números (en módulo 6, claro está) se llaman “divisores de 0”. Si nos fijamos, o son divisores del módulo (2 y 3) o contienen alguno de sus divisores (el 4). Por tanto, si el módulo no es primo siempre habrá divisores de cero, que no tienen inverso, y la operación de dividir no será posible.

En aritmética modular son posibles las operaciones de sumar y restar, cualquiera que sea el módulo p. Lo mismo es cierto para el producto, pero no para la división. Consideremos el módulo 6 y construyamos la tabla de multiplicar, apuntando los inversos:

123455

240244

303033

420422

543211

54321x

55

---4

---3

---2

111/xx

: En lugar de la expresión "en la aritmética módulo ", diremos simplemente "en ".p

pNotación

23

Aritmética Modular (4)Si del conjunto {0,1,2,…,p-1} eliminamos los divisores de 0, obtendremos el llamado conjunto reducido de restos módulo p . Por ejemplo, para p = 6 el conjunto reducido es el {1,5}. Observamos que está formado por los elementos de {0,1,2,…,p-1} que son primos con 6. Esta situación es válida para cualquier módulo p.

El cardinal del conjunto reducido de restos módulo se escribe ( ), y se conocecomo (o la función) de Euler. Cuando es primo, ( ) 1. DEFINICI

p pel indicador p p p

ϕϕ = −

ONES Y NOTACIÓNCuando dos números enteros a y dan el mismo resto al dividir por el módulo se les llama "congruentes módulo ", y lo escribimos ( ). Esta expresión es una "congruencia módulo ".D

b pp a b p

p≡

adas dos congruencias ( ) y ( ),se pueden sumar, restar o multiplicar término a término para obtener las nuevas congruencias ( ) ( ) ( ) y

( ). La división es posible sólo si no hay divi

a b p c d pa c b d p

ac bd p

≡ ≡± ≡ ±

≡ sores de 0.En realidad, las congruencias y las operaciones con ellas son exactamente lo mismo que las tablas definidoras de la aritmética módulo .p

24

Resultados matemáticos sobre congruencias (Teorema “pequeño” de Fermat)

{ }Supongamos que es primo. Entonces en se cumple que:

"si denota los elementos del conjunto 1,2,3,..., 1 , entonces, si es uno

cualquiera de ellos, todos los productos son distintos entre

p

j k

k j

p

a p a

a a

−

sí"

En efecto, si hubiera dos productos iguales, y , su diferencia ( )

sería 0. De ahí deducimos que necesariamente es , pues en caso contrario

y ( ) serían divisores de 0,

k j k i k j i

j i

k j i

a a a a a a a

a a

a a a

−

=

− lo cual es imposible por ser primo.

Una consecuencia directa, cuya demostración se verá en la página siguiente, es que la potencia ( 1)-ésima de cualquier es 1.

Si escribimos este resultado en fp

p

p a− ∈

1

orma de congruencia tendremos:

Se conoce este resultado como "Teorema pequeño

de

Fermat"1( )pa p− ≡

25

La demostración citada en la página anterior

Veamos un resultado previo: "Si es primo, la factorial ( 1)! es congruente con 1 módulo ". En efecto, ( 1)! 1 2 3 ... ( 1). Si pasamos este producto a módulo p, observamos que 1 es inverso de s

p p pp p

− −− = × × × × −

í mismo, y 1 también lo es Por tanto, los números entre 2 y 2 se cancelanentre sí dos á dos. Luego ( 1)! 1 1 ( ).Sea ahora un elemento cualquiera y formemos el producto siguiente

(1

.

:

)

p

p pp p p

a

a

− −− ≡ − ≡ −

∈

× × 1(2 ) (3 ) ... (( 1) ). Por un lado, este producto vale ( 1)!, y por otro escongruente con ( 1)! Esto último es fácil de ver, pues los productos de por los demás elementos de son, de nuev

p

p

a a p a a pp a

−× × × × × − −−Z

1

1

o, los mismos elementos de en otro orden, según lo visto

en la página anterior.Por tanto, ( 1)! ( 1)! ( ). Multiplicando esta congruencia por 1 obtenemos la congruencia de Ferma ,

t 1 (

p

p

p

a p p p pa

−

−

− ≡ − −

≡

Z

).

( 1) es inverso de sí mismo en , pues ( 1)( 1) ( 2) 1 1 ( ).

La expresión ( 1)! 1 ( ) se llama "congruencia de Wi

lson".p

p

p p p p p p

p p

− − − = − + ≡

− ≡ −

NOTA 1:

NOTA 2:

26

Resultados matemáticos sobre congruencias (Teorema de Euler)

Supongamos ahora que no es primo. Entonces en se tiene la siguiente propiedad:

"Denotemos por los elementos del conjunto reducido de restos módulo . Su

número es ( ). Si es uno cualquiera

p

j

k

p

a p

p aϕ , todos los productos son distintos entre sí"

En efecto, si hubiera dos productos iguales, y , su diferencia ( )

sería 0. De ahí deducimos que necesariamente es , pues en caso

k j

k j k i k j i

j i

a a

a a a a a a a

a a

−

= contrario

sería divisor de 0, lo cual es imposible por pertenecer al conjunto reducido(obsérvese que no tiene por qué pertenecer al conjunto reducido).

Una consecuencia directa, análoga a la

k

j i

aa a−

( )

( )

congruencia de Fermat es que se tiene 1.En forma de congruencia queda:

Se conoce este resultado como "

Teorema de u

E1( )

p

p

a

a p

ϕ

ϕ

=

≡"ler

27Res

ulta

dos m

atem

átic

os so

bre

cong

ruen

cias

(Teo

rem

a ch

ino

del r

esto

)1 1 2 2

Supongamos el problema de "hallar todas las soluciones del siguiente sistema de congruencias cuyos módulos son primos entre sí dos á dos:

( ), ( ), ...., ( ); MCD( , ) 1 para todo par k k i jx r p x r p x r p p p≡ ≡ ≡ =

1 2

, ".

Si construimos el producto ... y lo vamos dividiendo por los sucesivos obtendremos una familia de números tales que MCD( , ) =1 para todo .

Ello significa que, en la aritmética

k

j j j j

i j

P p p pp P p P j

=

1

módulo , tiene inverso multiplicativo,

llamémosle . Ahora, consideremos el número entero y pasémoslo

a . El número así hallado es del sistema.En efecto, por el al

j j

k

j j j jj

P

p P

I X r P I

x=

= ∑una solución

1

goritmo de la división sabemos que existen números y

tales que . Si dividimos esta expresión por los sucesivos

obtenemos exactamente los restos .

EJEMPLO:5 (7), 3 (11),

k

j j jj

j j

Q x

x X PQ r P I PQ

p r

x x

=

= − = −

≡ ≡

∑

1 2 3

1 1 2 2 3 3

3

1

8 (13); 7 11 130 1001;1001/ 7 143, 1001/11 91, 1001/13 77;143 3 (7) 5, 91 4 (11) 3, 77 12 (13) 12;

5 (143 5) 3 (91 4) 8 (77 12) 12059;

Resto de dividir 12059

j j jj

x PP P PP I P I P I

X r P I

x=

≡ × × = == = = = = == ≡ ⇒ = = ≡ ⇒ = = ≡ ⇒ =

= = × × + × × + × × =

=

∑entre 1001

las soluciones: Todos los números congruentes con 47 módulo 1001.47 (una solución particular)=

Todas

28

Aplicaciones (I)

Cuando es primo, se pueden estudiar y resolver sistemas de ecuaciones linealescon varias incógnitas igual que en el caso habitual estudiado en cursos anteriores.Véamoslo con un ejemplo:

Estudiar y re

p

7

3 4 5solver en , si fuera posible, el sistema

2 5 1Como 7 es primo, podemos proceder por cualquier método. El determinante de la matrizde coeficientes es 3 5 4 2 7 0 (7), luego su rango es 1

x yx y+ =⎧

⎨ + =⎩

× − × = ≡ . Añadiendo la columnade términos independientes vemos que también la ampliada es de rango 1. Por tantoa) (rangos iguales), y b) (rango < nº incógnitas).Si nos quedamos c

hay soluciones hay más de una on la 1ª ecuación, despejamos , consideramos como parámetro,

5 4tenemos las posibles soluciones ( ): 5(5 4 ) :3

x yyx y−

= = −sólo son 7, no infinitas

3210654x

6543210y NOTA: Aunque p no sea primo, hay casos en que también pueden resolverse sistemas…

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Aplicaciones (II) Dígitos de control

En la actualidad, cualquier objeto suele estar codificado mediante una serie de números que reflejan algunas propiedades, p. ej, fabricante, modelo, precio…

Es fácil cometer errores al transcribir una y otra vez los códigos, y por ello se introducen a veces unos números suplementarios llamados “dígitos de control”, para comprobar que la copia no tiene errores. Estos números se calculan mediante algoritmos sencillos de aritmética modular aplicados al código original.

Para ilustrarlo consideremos algunos ejemplos. En España el DNI es un código de 8 cifras, y el dígito de control es una letra mayúscula, distinta de I,Ñ,O,U. Por tanto, hay 23 letras disponibles. El algoritmo de cálculo de la letra es una combinación del algoritmo de la división y una permutación fija de los restos. Es así: Se obtiene el resto de la división del número del DNI por 23, y se toma la letra de acuerdo con la siguiente tabla:

EKCLHVQSZJNBXDPFYMGAWRTletra

222120191817161514131211109876543210resto

Desde luego, ahora habrá que probar algún TEOREMA para ver que hemos hecho algo positivo…

30

Aplicaciones (III) Algunos teoremas sobre dígitos de control.

Al conjunto DNI+letra se le llama NIF. Tenemos un primer resultado interesante: “Dados dos NIFs que tengan la misma letra, es imposible que sólo difieran en uno de los números”.Dicho de otro modo, si equivocamos una cifra, saltará el aviso de error porque la letra también cambiará.

7 7

0 0En efecto, escribamos los números en la forma 10 y 10 , y sea el lugar en

que difieren ambos. Como los dos llevan la misma letra, su diferencia ha de ser múltiplo de 23. Pero si los

n nn n

n nA B k

= =

× ×∑ ∑

restamos, lo que queda es ( )10 , que nunca puede ser múltiplo de 23,pues 23 no divide a ninguna potencia de 10 y tampoco a la diferencia de números entre 0 y 9.Luego han de diferir en más de un n

kk kA B−

úmero.

Otro resultado que justifica la existencia del dígito de control: “Si al teclear el DNI se permutan dos cifras, la letra variará (y tendremos un aviso de error)”

Sean y las dos posiciones cambiadas al teclear, siendo el orden correcto.Si no cambiara la letra, la diferencia entre el número correcto y el equivocado sería múltiplo de 23. Pero la diferenci

i j i j>

a es ( )10 ( )10 , que por el mismo

argumento del teorema anterior no es divisible por 23.

i ji j j iA A A A− + −

31

Aplicaciones (IV) Otro ejemplo de dígito de control

El European Article Number (EAN-13) es un código de 13 cifras usado habitualmente para identificar productos de cualquier clase, que suele presentarse en forma de código de barras para su lectura automática. Las doce primeras son el código en sí, y la última es el dígito de control. El algoritmo es diferente al del DNI, por tanto los teoremas correspondientes han de ser probados de nuevo: ejercicio.

En este caso, el algoritmo comienza sumando los números del código a partir de la izquierda, pero multiplicando los de posición par por 3. Tras ello, la última cifra b del número obtenido define el código de control así:

10 . Si 0, éste es el dígito.b b− =

57SUMA:313131313131Multiplicar por

3D.C.:920025234303Código:

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Aplicaciones (V) Criterios de divisibilidadAl descomponer un número entero en factores primos se plantea si existirán criterios rápidos para comprobar si es divisible por los sucesivos primos. Aunque éste es un problema de poco interés práctico, es interesante ver que existe una manera sistemática de obtener todos los criterios de divisibilidad:

0

Sea un número entero positivo cualquiera escrito en la forma 10 , y sea

un número primo. El resto de la división de por se halla fácilmente, pues bastacon calcular los restos de las di

rn

nn

m A

p m p=

×∑

visiones de cada 10 , y tras sumarlos pasar a .

Pero el resto de 10 es el producto del resto de por el de 10 , que pasaremosá . Esto es, es divisible por equivale a decir que:

nn p

n nn n

p

A

A Am p

×

×

Z

0

[(resto de ) (resto de 10 )] 0 ( )

Los restos de las potencias 10 se llaman "restos potenciales módulo

"

r

nn

n

n

A p

p=

× ≡∑

Nota: para p>10, los restos de los coeficientes son ellos mismos…

33

Aplicaciones (VI) Obtención de criterios de divisibilidad…

0

0

0

Sea 2, y sea 10 . Todos los restos potenciales son nulos, excepto para 0,

que vale 1. Así pues , [(resto de ) (resto de 10 )] 0 (2) se reduce a que

0 (2), que es la conocida reg

rn

nn

rn

nn

p m A n

A

A

=

=

= × =

× ≡

≡

∑

∑

0 0

la " es divisible por 2 si acaba en 0 ó cifra par".Cuando 3, los restos potenciales son todos 1, luego la regla para dividir por 3

es [(resto de ) (resto de 10 )] (resto de ) 0 (3) , o r r

nn n

n n

mp

A A= =

=

× = ≡∑ ∑ sea, "si sumamos los

números representativos de las cifras (o sus restos módulo 3) y sale múltiplo de 3..."El caso 5 presenta todos los restos potenci

a

les nulos e

xce

pto p

a

arp =

0

0, luego la sumase reduce á 0 (5), que da la conocida regla " es divisible por 5 si acaba en 0 ó 5"El caso 7 es más complicado, pues los restos son (en orden creciente de ):1,3, 2,6, 4,5,1,3, 2,6

nA m

p n

=≡

=

7

, 4,5,..., ó también 1,3, 2, 1, 3, 2,1,3, 2, 1, 3, 2,... si lo ponemosen . En este caso la regla dirá: "El número de las unidades, más el triple del de lasdecenas, más el doble del de las centenas, men

− − − − − −Z

os el de los millares, menos el triple delde las decenas de millar, etc etc, ha de ser múltiplo de 7"

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Aplicaciones (VII) Algo sobre mensajes cifrados

Por supuesto, hay una enorme cantidad de métodos de cifrado, y la ciencia que los estudia se llama Criptografía.

El Código de César es el método más simple de enviar un mensaje cifrado. Para ello, una vez escrito el mensaje, se sustituye cada letra por la que ocupe k lugares más allá en el alfabeto, que supondremos de 26 letras. Cuando se sobrepase la letra Z, se vuelve a la letra A. Por tanto, el cifrado consiste en sumar k módulo 26. El descifrado, por tanto, será restar k módulo 26.

Ejemplo: Con k=2, la frase hoy compro zapatos se cifra como jqae qort qbcr cvqu(habitualmente se omiten los espacios y luego se distribuyen las letras cifradas en grupos iguales, en este caso, de cuatro elementos). Si el receptor conoce la clave secreta k=2, el descifrado es sencillo. Si no, deberá emplear un tiempo en hallarla antes de poder leer el mensaje.

La idea básica de todo cifrado consiste en hacer que un hipotético receptor no autorizado, p. ej. un espía, no pueda “desencriptarlo” o “romperlo” en un tiempo razonable.

El código de César era difícil de romper cuando casi nadie sabía leer y escribir y la Aritmética era una ciencia al alcance de muy pocos. Hoy día es una curiosidad histórico-matemática.

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Aplicaciones (VIII) Más sobre mensajes cifrados

El Código RSA es el método más utilizado actualmente para el tráfico de información. También se basa en propiedades de la aritmética modular, pero además se diferencia del sistema de César en que es un sistema de clave pública, no secreta. Ello significa que cualquiera puede enviar un mensaje cifrado al receptor, pues éste hace público cómo cifrarlo. Sin embargo, sólo él sabe cómo descifrarlo. Veamos cómo funciona:

(N)

El receptor elige dos números primos grandes, y , construye su producto , y hace público este número. Calcula la función de Euler ( ) ( ) ( 1)( 1) y elige un número en

, siendo un

P Q n PQN PQ P Q e

eϕ

ϕ ϕ=

= = − −Z

(N)

elemento del conjunto reducido. También hace público este número, de modo que

el par ( , ) es la "clave pública" de cifrado. Como pertenece al conjunto reducido, posee un inverso en , que será

N e ed ϕZ la "clave privada" de descifrado, que sólo conoce el receptor.

Para mandar un mensaje al receptor, el emisor calcula módulo , y envía el resultado al receptor.

Una vez recibido, el mensaje se d

e

e

x x N

x ( )escifra haciendo en . El resultado se deduce

de que 1 ( ( )), por aplicación del Teorema de Euler.

de edNx x x

ed Nϕ

= =

≡

NOTA: RSA se considera seguro porque aunque se conozca N, la obtención de P y Q, a pesar de ser teóricamente posible, consume tal cantidad de tiempo de ordenador que carece de sentido su cálculo: P y Q tienen cada uno más de cien cifras en su expresión en base 10…

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Apéndice: Sobre el tiempo de ejecución de un algoritmo

NOTA: Si se trabaja con números de 100 cifras, o más, se entiende la seguridad de RSA…

Hemos visto que el objetivo de la Criptografía es dificultar el descifrado de mensajes, y que la dificultad se mide mediante el tiempo necesario para encontrar la clave. Si ésta se busca mediante algoritmos informáticos, se hará necesario estudiar cuánto tiempo tarda un algoritmo en ejecutarse.

El tiempo de ejecución de un algoritmo depende de varios factores, pero esencialmente del tamaño de los datos de entrada. Por ejemplo, para sumar n números hay que hacer noperaciones (sumas). Se trata de un algoritmo lineal. Para ordenar n números desordenados es necesario efectuar (en el peor de los casos, claro) nxn comparaciones, y algunas operaciones más (colocar y/o intercambiar): Se trata de un algoritmo cuadrático.Imaginemos un ordenador que funciona a 1megaflop/s (1 millón de instrucciones por segundo). Entonces, para un millón de datos numéricos tendríamos esta tabla:

1 segundo1.000.000Sumarlos

unos 11 días1.000.000.000.000Ordenarlos

Tiempo de ejecución

Nº de instruccionesOperación