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©Prof. Lineu MialaretAula 8 - 1/22Cálculo Numérico

Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret

Aula 8: Noções Básicas sobre Erros (2)

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

Licenciatura em Matemática

10 Semestre de 2013


Sistema Binário (1)

• No sistema binário, cada número é representado de uma forma única, mediante uma combinação de símbolos 0 e 1, que, representa uma combinação de “estados 1” e “estados 0” dos bits que formam um conjunto ordenado. Designa-se por bi cada bit deste conjunto ordenado, no qual o

índice i corresponde ao número da casa que o bit está ocupando. Seguindo a lógica de que cada posição em número decimal vale 10

vezes mais que a posição imediatamente a sua direita e 10 vezes menos que a posição imediatamente a sua esquerda. No sistema binário cada casa vale 2 vezes mais que aquela que

está imediatamente a sua direita e 2 vezes menos que a que está a sua esquerda.

Desta forma, tem-se que, se o valor da primeira casa da direita for 20, a segunda valerá 20 x 2 = 21, e assim consecutivamente para a esquerda. Os valores das casas ficam claros no seguinte esquema a seguir.



• Se b0, b1, b2,..., são os bits que se coloca em cada posição, a quantidade representada valerá:



• Para evitar a representação mediante o somatório, adota-se a convenção de separar mediante vírgulas as casas b0 e b-1, de tal modo que a representação fique:

• Em que bi = 0 ou 1.



• Exemplo 1: O número binário 10011,00 representa a seguinte

quantidade



• A partir do conhecimento sobre a base, pode-se saber quantos números ou caracteres podem ser representados de acordo com o número de bits utilizados. Sabe-se, por exemplo, que com um bit pode-se representar

dois valores diferentes, 0 e 1. Se houver 2 bits, então se pode representar 4 diferentes

valores com as combinações dos valores possíveis de cada bit. Isto é, chamando-se o primeiro bit de b1 e o segundo de b2,

podemos ter todos valores possíveis da combinação de valores b1b2.

Como tanto b1 quanto b2 podem assumir o valor 0 ou 1, tem-se as seguintes possíveis combinações, mostradas a seguir:



• Da mesma forma, caso se tenha 3 bits, pode-se combinar os valores destes três bits e obter-se 8 diferentes valores: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 e 111.

• Logo, pode-se concluir que, quando se tem 1 bit consegue-se representar 2 valores distintos (21 valores); Quando se tem 2 bits, consegue-se representar 4 valores

distintos (22 valores). Quando se tem 3 bits, pode-se representar 8 valores diferentes

(23 valores). Logo, para um número n de bits, pode-se representar 2n valores

distintos. Com isso, com 8 bits pode-se representar 28 = 256 valores

distintos.


Conversão de Bases (1)

• Conforme visto nos sistemas de numeração apresentados, cada um deles possui uma certa proximidade com os outros. Isto torna possível que valores representados em um dado sistema

possam ser convertidos para outro sistema. Isto é necessário porque o ser humano trabalha no sistema

decimal e o computador, no sistema binário. Por isso, deve-se poder converter valores decimais em valores

binários. Da mesma forma, deve-se poder entender os dados gerados pelo

computador, o que nos leva a converter valores binários em decimais.

Como, muitas vezes valores hexadecimais são usados para representar dados a serem armazenados na memória, de forma a facilitar o trabalho do programador, também deve-se saber converter valores decimais para hexadecimais e valores hexadecimais para valores binários, que são os valores realmente armazenados na memória.


Conversão de Bases (2)

O caminho contrário é igualmente importante. Converter valores de um sistema de numeração para outro é um processo chamado de conversão de bases.

Os conceitos vinculados à conversão de base são necessários à construção dos computadores.

Basicamente estes conceitos são usados para a construção de circuitos digitais que, juntamente com as chamadas portas lógicas são combinados formando o coração do processador, a ULA (Unidade Aritmética e Lógica), e todas as outras partes que o formam.

Por meio de uma série de circuitos que fazem somas, subtrações, comparações, entre outros, os bits podem ser interpretados e arranjados da forma que se quiser.


Decimal X Binário (1)

divisordividendo

resto

quociente

Método da Divisão Sucessiva



• Exemplo 2: Transformar (197)10 em binário.


Faz-se a leitura de todos os restos da direita para esquerda, que fica da seguinte forma: 1 0 1 1 0 0 1 0 1


• Exemplo 3: Transformar (357)10 em binário.



Método da Multiplicação Sucessiva



• Exemplo 4: Transformar (0,1875)10 em binário.



• Exemplo 5: Transformar (0,1)10 em binário.

ou


• Sintetizando, decimal para binário



Binário X Decimal (1)

• A conversão de binário em decimal corresponde simplesmente a utilizar a ideia vista anteriormente de associação de valores a cada posição (casa) do número a partir da base 2, de forma que cada posição mais à esquerda vale duas vezes mais que a anterior. O valor de cada posição é multiplicado pelo valor do bit da

posição.

• Exemplo 6: Converter (11001)2 em decimal.


Binário X Decimal (2)

• Exemplo 7: Converter (01100001)2 em decimal.

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