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©Prof. Lineu MialaretAula 18 - 1/23Cálculo Numérico

Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret

Aula 18: Sistemas de Equações Lineares (6)

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

Licenciatura em Matemática

10 Semestre de 2013


Os métodos numéricos destinados a resolver sistemas lineares são divididos em dois grupos: Os Métodos Diretos; e Os Métodos Iterativos.

Os Métodos Diretos são aqueles que, exceto por erros de arredondamento, fornecem a solução exata de um sistema de equações lineares, caso ela exista, por meio de um número finito de operações aritméticas.

Os Métodos Iterativos são aqueles que geram uma sequência de vetores {x(k)}, a partir de uma aproximação inicial x(0). Sob certas condições, a sequência converge para a solução x*, caso ela exista.

Introdução


Seja o sistema linear Ax = b, onde se tem,A: matriz de coeficientes, n x n;X: vetor das variáveis, n x 1; eB: vetor dos termos constantes, n x 1.

Esse sistema é convertido, sob a aplicação de alguma sistemática, num outro sistema do tipo x = Cx + g, onde a matriz C é n x n e o vetor g é um vetor n x 1.

Tem-se então que a função φ(x) = Cx + g é uma função de iteração dada na forma matricial.

Métodos Diretos (1)


Sistemática utilizada:Parte-se de x(0) (vetor aproximação inicial) e se constrói, de

forma consecutiva, os vetores a seguir,

A aproximação x(k+1), é calculada pela fórmula a seguir,

Ou seja,



Critérios de Parada: As iterações são repetidas até que o vetor x(k) esteja

suficientemente próximo do vetor x(k-1) .A distância entre esses dois vetores é dada por,

Dada uma precisão qualquer, o vetor x(k) será escolhido como , solução aproximada da solução exata, se d(k) < .


x


Critérios de Parada: Pode-se também efetuar o teste de erro relativo,

Critérios de Parada:Adicionalmente, o número máximo de iterações

(execuções da sistemática) pode ser usado também como critério de parada.



Seja o sistema linear original apresentado a seguir,

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (1)


Supondo que aii ≠ 0, i = 1,...n, isola-se o vetor x mediante a separação pela diagonal, conforme mostrado a seguir, para se obter x = Cx + g,

E dessa forma tem-se x = Cx + g, onde



Exemplo 1: Resolver o sistema linear apresentado a seguir,

pelo Método de Gauss-Jacobi, com



Uma iteração genérica é,

Tem-se na forma matricial, , então



Na primeira iteração (k = 0), tem-se,

Ou seja,



Fazendo-se o cálculo de dr(1), tem-se

Na próxima iteração, tem-se



Na iteração seguinte, tem-se,

Solução do sistema linear original, com erro menor que 0,05 obtida pelo Método de Gauss-Jacobi é,



Observação Importante:



Teorema: Critério das Linhas.



Exemplo 2: Seja o sistema linear apresentado a seguir,

E a matriz A, apresentada a seguir,



Tem-se que,

E pelo Critério das Linhas, tem-se a garantia de convergência para o método de Gauss-Jacobi.



Exercício 1: Seja o sistema linear apresentado a seguir,

Resolver pelo método de Gauss-Jacobi e testar o Critério das Linhas.




Testar o Critério das Linhas.




Permutar a 1ª linha com a 2ª linha e testar o critério das linhas.



Observação:Sempre que o Critério das Linhas não for satisfeito, deve-

se tentar uma permutação de linhas e/ou colunas de forma a se obter uma disposição para a qual a matriz dos coeficientes satisfaça o Critério das Linhas.

No entanto nem sempre é possível obter tal disposição.


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