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©Prof. Lineu MialaretAula 16 - 1/34Cálculo Numérico

Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret

Aula 16: Sistemas de Equações Lineares (4)

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

Licenciatura em Matemática

10 Semestre de 2013


Seja o sistema linear Ax = b. Um processo de fatoração para a resolução do sistema

linear acima consiste em decompor a matriz A (matriz dos coeficientes) num produto de dois ou mais fatores, e resolver uma sequência de sistemas lineares que conduz à solução do sistema original.

Ou seja, Caso possa se fazer a fatoração A = CD, o sistema linear

Ax = b pode ser escrito como (CD)x = b.Se y = Dx, então resolver o sistema linear Ax= b é o

mesmo que resolver o sistema linear Cy = b e em seguida solucionar o sistema Dx = y.

Os processos de fatoração são vantajosos pois permitem resolver qualquer sistema linear que tenha a matriz A como matriz de coeficientes.

Fatoração LU (1)


A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais empregados para se resolver sistemas lineares. Nessa fatoração, a matriz L é uma matriz triangular inferior

com diagonal unitária e a matriz U é uma matriz triangular superior.

Fatoração LU (2)


A obtenção dos fatores L e U por fórmulas dificulta o uso de estratégias de pivoteamento, e por esta razão, para se obter esses fatores será usado o processo de Gauss.

Para exemplificar, seja o seguinte sistema linear e a respectiva matriz A, apresentados a seguir,

Cálculo dos Fatores L e U (1)


Os multiplicadores da 1ª iteração do processo de Gauss são apresentados a seguir,

Para se eliminar x1 da linha i (i = 2,3,...), multiplica-se a linha 1 por mi1 e subtrai-se o resultado da linha i.



Os coeficientes aij(0) são alterados para aij

(1) , onde

Isso equivale a pré-multiplicar a matriz A(0) pela matriz M(0) onde M(0) é



Ou seja,



Portanto, M(0)A(0) = A(1) (que é a mesma matriz obtida no final da 1ª iteração do processo de Gauss).

Supondo que a22(1) não seja zero, o multiplicador m32 será

Para se eliminar x2 da linha 3, multiplica-se a linha 2 por m32 e subtrai-se o resultado da linha 3.

Os coeficientes aij(1) são alterados para



As operações efetuadas na matriz A(1) são equivalentes a pré-multiplicar A(1) por M(1), onde



Portanto, M(1)A(1) = A(2) (que é a mesma matriz obtida no final da 2ª iteração do processo de Gauss).

Tem-se então que



É fácil verificar que



Então,

Ou seja,



Sintetizando, Fatorou-se a matriz A em duas matrizes triangulares L e U,

sendo que o fator L é triangular superior com diagonal unitária e seus elementos lij para i > j são os multiplicadores mij obtidos no processo de Eliminação de Gauss; e

O fator U é triangular superior e é a matriz triangular obtida no final da fase de triangularização do Processo de Eliminação de Gauss.


L U


Teorema da Fatoração LU (1)


Teorema da Fatoração LU (2)


Exemplo 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU.

Usando-se o Processo de Gauss, para se triangularizar a Matriz A, tem-se na Etapa 1



Então tem a seguinte manipulação de linhas

A matriz A(1) é



Como a21(1) e a31

(1) são nulos, pode-se guardar os multiplicadores nessas posições



Na 2ª Etapa tem-se

Tem-se então


Multiplicadores nas posições aij = 0


Os fatores L e U são

Solucionando-se L(Ux) = b


Lembrar do Teorema da Fatoração LU


Solucionando-se L(Ux) = b


Lembrar do Teorema da Fatoração LU


Exercício 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU.



Exercício 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU.

Solução:



A estratégia de pivoteamento parcial na fatoração LU requer a permutação de linhas na matriz A(k), quando necessário.

Para isso, é necessárioDefinir o que é uma matriz de permutação;Como usar o pivoteamento parcial na fatoração LU; e Analisar quais os efeitos das permutações na solução dos

sistemas lineares Ly = b e Ux = y.

Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (1)


Uma matriz quadrada de ordem n é denominada de Matriz de Permutação quando ela pode ser obtida a partir da Matriz Identidade de ordem n permutando-se suas linhas (ou colunas).

Fazendo-se a pré-multiplicação de uma matriz A por uma matriz de permutação P obtém-se a matriz PA com as linhas permutadas e esta permutação de linhas é a mesma efetuada na matriz identidade para se obter a matriz P.



Exemplo 2:



Exemplo 3: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU com pivoteamento parcial.

Usando-se o Processo de Gauss, tem-se na Etapa 1

Ou seja, deve-se fazer a permutação das linhas 3 e 1



Ou seja, deve-se fazer a permutação das linhas 3 e 1

Fazendo-se a eliminação na matriz A´(0) tem-se



Na 2ª Etapa, tem-se,

Então deve-se fazer a permutação das linhas 2 e 3, obtendo-se



Fazendo-se a eliminação tem-se,

Os fatores L e U são



Solução dos sistemas lineares,



Exercício 2: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU com pivoteamento parcial.



Exercício 2: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU com pivoteamento parcial.

Solução:


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