cálculo numérico – cn prof. lineu mialaret aula 2: somatório e produtório

©Prof. Lineu MialaretAula 2 - 1/30Cálculo Numérico

Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret

Aula 2: Somatório e Produtório

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

Licenciatura em Matemática

10 Semestre de 2013


Somatório (1)

Seja a seguinte soma de inteiros de 1 a 5:

Usa-se o Somatório para encurtar a escrita de dessa somas de parcelas.

Pode-se pensar nessa soma do seguinte modo: Suponha que se tenha alguma quantidade i, que inicialmente tem o valor

1 e que assume, sucessivamente, os valores 2,3,4 e 5.

A expressão resultante representa a soma de todos os valores de i. A notação para somatório é dada da seguinte forma:

5

1i

i

54321


Somatório (2)

Onde: A letra grega ∑ (sigma) representa o somatório; O número 1 é o limite inferior do somatório; O número 5 é o limite superior do somatório; e A variável i é chamada de índice do somatório.

Esse índice assume inicialmente o valor do limite inferior e depois vai crescendo, de um em um, até atingir o valor do limite superior.

Todos os valores do índice do somatório são somados, de forma que:

15543215

1

i

i

5

1i

i


Somatório (3)

Exemplo 1:

Exercício 1: Qual o valor de

?8

1

i

i

?18

1

i

i

63213

1

i

i


Somatório (4)

Nos exemplos apresentados, a expressão após o símbolo de somatório é o símbolo i, denominado de índice do somatório.Esse símbolo pode ser substituído por qualquer expressão

e os valores sucessivos do índice são substituídos na expressão.

Exemplo 2:


55)()()()()( 222225

1

2

54321i

i

?7

1

3 i

i


Somatório (5)

Para se simbolizar somatórios de forma geral, pode-se usar a seguinte especificação a seguir:

Onde não se especifica nem os limites inferior e superior e nem a expressão após o símbolo do somatório; e

A notação significa que a expressão será calculada para diferentes valores de i, variando do limite inferior até o superior, como se segue,

Há alguns casos especiais a serem considerados com relação ao valor de :

q

piia

ia

ia

qppp aaaa ...21


Somatório (6)

Caso 1:

Aqui a expressão após o sinal de somatório é a constante

0, que tem o valor 0 independente do valor do índice do somatório. A soma de qualquer quantidade de números iguais a 0 é 0.

Exemplo 3:

00

q

pi

00000005

1

i


Somatório (7)

Caso 2:

Aqui a expressão após o símbolo de somatório é uma constante, e o somatório diz que tem que se somar n cópias de uma constante, o que é igual ao valor cn.

Exemplo 4:

nccn

i

1

51111115

1

i


Somatório (8)

Caso 3:

Aqui, nesse somatório, o limite superior é menor que o

limite inferior; e a interpretação usual de somatório não se aplica; mas se convenciona que esse somatório é igual a 0.

Exemplo 5:

0

1

0i

ia

0

1

02i


Somatório (9)

O índice de somatório é uma variável muda, isto é, ela simplesmente marca o lugar do número que está sendo alterado e pode-se usar qualquer outra variável sem mudar o valor do somatório.

Exemplo 6:

3

1

3

1

6ji

ji


Somatório (10)

Pode-se mudar os limites em um somatório, o que é permitido desde que o valor do somatório permaneça o mesmo.

Exemplo 7:

Já que ambos os somatórios tem o valor 1 + 2 + 3 = 6.

2

0

)(

3

1

1ii

ii


Somatório (11)

Há algumas propriedades para somatórios. Propriedade 1:

Propriedade 2:

q

pi

q

pi

q

piibiaibia )()()(

q

pi

q

pi

q

piibiaibia )()()(


Somatório (12)

Propriedade 3:

Onde c é uma constante.

q

pi

q

piiacica )()(


Somatório (13)

Prova da Propriedade 1:

Notar que,

ap + bp + ap+1 + bp+1 + ... + aq + bq =

ap + ap+1 + ... + aq + bp + bp+1 + ... + bq

q

pi

q

pi

q

piibiaibia )()()(

termos em aitermos em bi

q

piia )(

q

piib )(


Somatório (14)

Exercício 3: Provar a Propriedade 2.

q

pi

q

pi

q

piibiaibia )()()(


Somatório (15)

Exercício 4: Provar a Propriedade 3.

Onde c é uma constante.

q

pi

q

piiacica )()(


Somatório (16)

Exercício 5: Seja a soma dos valores de transações de cartões de credito apresentadas a seguir, 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100. Colocar essa soma em formato de somatório.


Somatório (17)

Pode-se ter somatórios duplos (ou triplos, etc.). Exemplo 8:

Exercício 6: Expandir o somatório acima.

n

jij

m

ia

11


Somatório (18)

Exercício 6: Expandir o somatório abaixo.

Solução:

n

jij

m

ia

11


Produtório (1)

Seja a seguinte multiplicação de inteiros de 1 a 5:

Usa-se o Produtório para encurtar a escrita de dessa multiplicação de parcelas.

Pode-se pensar nessa multiplicação do seguinte modo:Suponha que se tenha alguma quantidade i, que

inicialmente tem o valor 1 e que assume, sucessivamente, os valores 2,3,4 e 5.

A expressão acima é o resultado da multiplicação de todos os valores de i.

A notação para produtório é dada da seguinte forma:

5

1i

i

12054321


Produtório (2)

Onde:A letra grega ∏ (pi) representa o produtório;O número 1 é o limite inferior do produtório;O número 5 é o limite superior do produtório; e

A variável i é chamada de índice do produtório. Esse índice assume inicialmente o valor do limite inferior

e depois vai crescendo, de um em um, até atingir o valor do limite superior.

Todos os valores do índice do produtório são multiplicados, de forma que:

120543215

1

i

i

5

1i

i


Produtório (3)

Exemplo 8:


?8

1

i

i

?18

1

i

i

63213

1

i

i


Produtório (4)

Nos exemplos e exercícios apresentados, a expressão após o símbolo de produtório é o símbolo i, o denominado índice do produtório.Esse símbolo pode ser substituído por qualquer expressão

e os valores sucessivos do índice são substituídos na expressão.

Exemplo 9:


55)5()4()3()2()1( 222225

1

2 i

i

?5

1

3 i

i


Produtório (5)

Para se simbolizar produtórios de forma geral, pode-se usar a seguinte especificação:

Onde não se especifica nem os limites inferior e superior e a expressão após o símbolo do produtório; e

A notação significa que a expressão será calculada para diferentes valores de i, do limite inferior até o superior, como se segue,

Há algumas propriedades de produtórios para serem consideradas a seguir.

ia

q

piia

qppp aaaa ...21


Produtório (11)

Propriedade 1:

Exemplo 10:

!...43211

nnan

ii

24!443214

1

i

ia


Produtório (12)

Propriedade 2:

Exemplo 11:

16222222 44

1

i

nn

i

cc 1


Produtório (13)

Propriedade 3:

Exemplo 12:Para

)(...)()()( 3211

cacacacaca n

n

ii

60)23()22()21()23()22()21(23

1

i

ia

2;3;2;1 321 caaa iii

usando-se a soma


Produtório (14)

Propriedade 4:

Exemplo 13: Para

n

ii

nn

ii acca

11

48)321(2)23()22()21(2 33

1

i

ia

2;3;2;1 321 caaa iii


Produtório (15)

Propriedade 5:

Exemplo 14:Para

n

iinn

n

ii aaaaaaaa

12121

1

log)log(...)log()log()...log()log(

;6;4;2 321 iii aaa

68,178,060,030,0log)6log()4log()2log()2log()log(3

1

3

1

i

ii

i aa 64


Produtório (16)

Exercício 9: Verificar se é verdadeira a equação abaixo.

n

ii

n

ii

n

iii baba

111

cálculo numérico – cn prof. lineu mialaret aula 2: somatório e produtório

Documents