procesos matemáticos generales y - asocolmeasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf ·...

93
ASOCIACIÓN COLOMBIANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA ASOCOLME Procesos matemáticos generales y desarrollo de competencias en matemáticas Medellín

Upload: others

Post on 10-Jul-2020

4 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

ASOCIACIÓN COLOMBIANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA

ASOCOLME

Procesos matemáticos generales y desarrollo de competencias en matemáticas

Medellín

Page 2: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

MEMORIAS SEXTO ENCUENTROCOLOMBIANO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA

Primera edición, 2004

ISBN: 958-97495-1-8

Asociación Colombiana de

Matemática Educativa –ASOCOLME–

Compilador:PEDRO JAVIER ROJAS GARZÓN

Edición y Diagramación:Grupo Editorial GaiaCalle 74 No. 22-70Teléfono: 482 20 61Bogotá, D.C. [email protected]

Diseño de carátula:Pedro Enrique Espitia Zambrano

Reservados derechos de autor. Prohibida la reproducción total o parcial de esta publicación mediante

cualquier proceso de reproducción, digital, fotocopia u otro, sin permiso escrito de los autores.

IMPRESO EN COLOMBIA

Page 3: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�M

EMO

RIA

S SE

XTO

EN

CU

ENTR

O C

OLO

MBI

ANO

DE

MAT

EMÁT

ICA

EDU

CAT

IVA

����������������� ���� ������������

����������� �������� �� ��� �������� �

��� ���� ���������� ����������������������

�������������� ���������� ��������������������� �������

��������������������������������������� ������

��� ����� �������������������������������������� ����

����������������� ����������������������������� ���

���� ��������� ������������������������������

�����������������������������������!�������

��������������"###������������� ����������

���� ������������������� �������� �� ���� ���

������������������ ������������ ��������������

��� ���� �������� ���������� ���� ������������

����� ��� ��������$��������

����������� �� �����������!���������������������

�������� ��������������������������������� ������������

��� ������� ����� �������� ������%

& ���������������������������� �� ���������������

��������'������"###�

& �������������������������������������������

(������� ��)***�

& ���������������������������������������+���

,� ���)**"�

& ���������������������������������,����

������)**)�

& ����������������������������� ���������� �����

'��� ��������)**-�

���.�������������������������������������������

�� ����������� �������� ������������������ �� ������!

�� �������������������,�����������/���#���0��� ��

)**1��������2���������������������������������

��������������������������������������� ������ ��

������������� ���� �������������������������

PRESENTACIÓN

�� ���3�%�$��� �������$� ������ ����4��� ����$����

����������' ������������������ �� � ����� ������

�������������������������������� ����������������

����5��������������� ������ ���� ������������ ���

����������������������������������������� ������!

�����"������������#������������� �������!

������#��������$�����������������������������!

��%����������������� ��������������������

��&���������'��������(�������� ��)����������

���*������������������"������������������������!

����������"�+�, ��������� ������� ������� ���

������ ���3����� ��������� ��������������������� �

���������������

������ �������������� �� ��� ����������������

�������� ����������� ��� ����������� ������������������ ��

��� ������������������������� �����������������

�����������������������������������������

��� ��������� ����� ���� ��"������"���#�������6��� �����

7���������8�������������������� ����� �������������

����� ���� �%�$����%��#��%�&���'������6��� ������9�� ���

: ��������;������$��������'������(�)����������*�������

�����6��� ������7�����������4������������$�������

<674$=���4��3����"����� ��$�����+��� �������:��������

��������������6��� ��������>��������

������ ������>����������$������������,������

��������?>+0$0�, ?��� ���������������� ��������

�������������������������� �����������������������

��������������� �������� ���������������� ����2� �

��� ���� �������������9���� ������������� �

�� ��������������:��������� ��������������6��� ���

������>���������������������������������������

!��� �������������������������

7� ��;��� �@�3���A�7 �����>+0$0�,

0��� � �� )**1

Page 4: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�MEMORIAS SEXTO ENCUENTRO COLOMBIANO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA

Page 5: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�M

EMO

RIA

S SE

XTO

EN

CU

ENTR

O C

OLO

MBI

ANO

DE

MAT

EMÁT

ICA

EDU

CAT

IVA

CONTENIDO

CAPÍTULO I CONFERENCIAS

Procesos de matematización para la movilización de competencias matemáticas ............................. 7

¿Multiplicación y división "o" cambio de unidad? ............................................................................. 13

Las situaciones problema como contexto para movilizar el conocimiento matemático escolar .......... 21

La exploración como actividad en el aprendizaje de la geometría ................................................... 22

Los procesos generales de la actividad matemática, las dimensionesde la comprensión y el trabajo por competencias ............................................................................. 25

La investigación en clase de matemáticas: un camino de formación ................................................. 26

Encuentro de profesores de matemática de la universidad y de laEducación Básica: Posibilidades de aprendizajes ............................................................................ 27

El concepto de infinito y la formación de profesores:Algunas consideraciones epistemológicas y didácticas ..................................................................... 29

CAPÍTULO III TALLERES

Geometría y doblado de papel ......................................................................................................... 47

De los naturales a los enteros ............................................................................................................. 50

Ecuaciones lineales con dos incógnitas: lo estático en lo dinámico y lo dinámico en lo estático ........ 51

Jugando y aprendiendo con el Logikubo ......................................................................................... 52

Algunas situaciones de aprendizaje para el desarrollo del proceso matemático de medir ................ 53

Reflexiones didácticas sobre la construcción de la magnitud amplitud angular ................................. 54

Desarrollo del pensamiento métrico en la educación Básica Secundaria ......................................... 55

CAPÍTULO II CURSOS

Sobre los lineamientos curriculares y los estándares básicos en matemáticas ................................. 35

Aspectos problemáticos asociados con la actividad demostrativa ..................................................... 41

El papel de los contextos cultural y social en la invención de problemas aritméticos verbales ......... 42

La competencia argumentativa en matemática y su evaluaciónen el proceso de enseñanza–aprendizaje ....................................................................................... 46

Page 6: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�M

EMO

RIA

S SE

XTO

EN

CU

ENTR

O C

OLO

MBI

ANO

DE

MAT

EMÁT

ICA

EDU

CAT

IVA

CAPÍTULO IV COMUNICACIONES BREVES

Propuesta para la enseñanza de las fracciones en la relaciónparte-todo en contextos continuos: una experiencia en el aula ............................................................................................... 57

Ecuaciones diferenciales ordinarias: Un enfoque dinámico y semiótico ................................................................................. 58

Experiencia de aula en torno a la expresión de la generalidad y su evaluación ..................................................................... 59

Las situaciones problemas: Punto de partida para la conceptualización en matemáticas ........................................................ 60

Enseñanza de algunos conceptos geométricos usando Cabri ................................................................................................ 61

Tecnologías computacionales en el aula: La Educación Virtual ............................................................................................... 62

Noción de dispersión más allá de los cálculos numéricos: Propuesta de actividades de aula ................................................ 63

Ecuación cuadrática y sus posibilidades recreativas ............................................................................................................. 64

Noción de punto, recta y curva en el nivel de reconocimiento visual de Van Hiele ............................................................... 64

Dificultades para la transferencia en el aprendizaje del concepto de integral ........................................................................... 65

Formación de profesores en la transición aritmética al álgebra: el caso de la variable y los universos numéricos ................. 66

Técnicas de análisis multivariado e interpretación de datos en las investigaciones enmarcadas en el modelo de Van Hiele .. 67

Conocimiento profesional del profesor de matemáticas del departamento del Cesar referido al concepto de fracción .............. 68

¿Evaluar las evaluaciones? El caso de la estructura multiplicativa en las pruebas Saber ..................................................... 69

Concepciones de estudiantes de licenciatura en matemáticas sobre los números reales ....................................................... 70

Papel y fractales .................................................................................................................................................................... 71

Algunos aspectos socio-culturales, didácticos y matemáticos al abordar la conceptualización de la medida .......................... 72

¿Son válidas las inferencias sobre la competencia matemáticade los estudiantes colombianos hechas a partir de los resultados del examen de estado? ..................................................... 73

¿Cómo se aprende en el aula de matemáticas? .................................................................................................................... 74

Propuesta didáctica para el desarrollo de nociones enmarcadas dentro del campo conceptual multiplicativo .......................... 75

La funcion exponencial mediada por la calculadora Algebraica .............................................................................................. 76

Intervención pedagógica de las nuevas tecnologías en elaula de clase: Laboratorio de matemáticas o aula didáctica de matemáticas .......................................................................... 77

Propuesta de enseñanza para el desarrollo del campo conceptual multiplicativo .................................................................... 79

Propuesta didáctica para un enfoque categórico de la noción de relación ............................................................................... 80

Construcción y análisis del concepto de límite a través de los mapas conceptuales .............................................................. 81

Herramientas semióticas y currículo de matemáticas ............................................................................................................ 82

El método de máximos y mínimos de Fermat ....................................................................................................................... 83

Fracciones en Egipto ............................................................................................................................................................. 84

La proporción en la música .................................................................................................................................................... 85

Sobre el concepto de longitud: Un instrumento de indagación para Educación Básica ........................................................... 86

Rutas pedagógicas en la formación de licenciados en matemáticas ....................................................................................... 86

Implantación de un sistema de cálculo simbólico en el primer curso de matemáticas ............................................................ 88

Lenguaje y construcción de conocimientos matematicos ........................................................................................................ 89

Estudio de las funciones trigonométricas con Cabri (una estrategia para su enseñanza) ........................................................ 90

Desarrollo del razonamiento algebraico en la Educación Básica ............................................................................................ 91

Una manifestación de la noción de límite en el marco del modelo de Van Hiele ..................................................................... 92

Page 7: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

�M

EMO

RIA

S SE

XTO

EN

CU

ENTR

O C

OLO

MBI

ANO

DE

MAT

EMÁT

ICA

EDU

CAT

IVA

CAPÍTULO I

CONFERENCIAS

#�������������!���!�'���$%����������(���'���$%��������!�%�������!�� !����

ORLANDO MESA BETANCUR

El proceso de matematización. Más importanteque el saber matemático -hoy disponible en pro-gramas de ordenadores y otros mediosaudiovisuales- es la actividad matemática, princi-palmente la llamada matematización; actividad quesuele ser pensada como una modelación de rela-ciones y operaciones sobre objetos de diferente ín-dole (materiales, signos y símbolos, proposicionesy teorías). En la matematización se realizan accio-nes de significación y de construcción de lenguajespara resolver situaciones-problema en contextosparticulares y específicos (socioculturales, econó-micos, e individuales), sin embargo, lo que se exigeen la matematización es una aplicación de compe-tencias cognitivas para alcanzar competenciasmatemáticas.

Las competencias cognoscitivas generales, cuandose interpretan en el campo de las matemáticas, re-quieren explicaciones propias para los significadosque les asignemos al pensamiento matemático, yase trate de la capacidad mental que pueda recibireste nombre o de la capacidad matemática recono-cida en la cultura. En cualquier caso es fundamentaldistinguir las capacidades mentales de las capacida-

PROFESOR-INVESTIGADOR EN DIDÁCTICA DE

LAS MATEMÁTICAS. ASESOR ICFES-MEN.EX DIRECTOR ACADÉMICO POSGRADO EN

PSICOPEDAGOGÍA, UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA.

des en uso o competencias detectables a través desu aplicación en campos específicos del aprendiza-je. La mente es capaz de comprender mucho másde lo que manifiesta. Siempre existirá un desfaseentre comprensión y comunicación; lo que, entreotras cosas, permite orientar los procesos de acom-pañamiento para cualificar los aprendizajes.

Para nuestros propósitos educativos aceptaremosunas grandes categorías que nos permiten orga-nizar el trabajo de acompañamiento formativo enel área de las matemáticas, pero pensando las ma-temáticas como una estructura organizada alre-dedor de una tipología particular para el pensa-miento matemático.

)*�������%��(������%!�����!�!�(��La Comprensión de Conceptos es la capacidadpara reconocer y asignar significados relacionadoscon los constructos matemáticos.

No se ha podido medir en forma directa ni la com-prensión ni las formas de razonamiento de algunapersona. La medición indirecta consiste en elabo-rar tareas y problemas, frente a los que previa-mente se ha acordado cuáles son los procedimien-tos y estados de complejidad para la ejecución ysolución. Si la persona responde según lo esperadose infiere que posee las competencias considera-das. En cuanto a la comprensión matemática, es-criben Godino y Batanero:1

1 Godino, J. D. (1996). Significado y comprensión de los conceptos matemáticos. En, L. Puigy A. Gutiérrez (Eds.), Proceedings of the 20th PME Conference (Vol 2, pp. 417-424). Valencia

Page 8: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

�M

EMO

RIA

S SE

XTO

EN

CU

ENTR

O C

OLO

MBI

ANO

DE

MAT

EMÁT

ICA

EDU

CAT

IVA

“Para analizar los fenómenos ligados a la comprensión delas abstracciones matemáticas es preciso elaborar respues-tas a dos cuestiones básicas: qué comprender, y cómo lo-grar la comprensión. Por tanto, un modelo de la compren-sión tendrá dos ejes principales: uno descriptivo, que indi-cará los aspectos o componentes de los objetos a compren-der, y otro procesual que indicará las fases o niveles nece-sarios en el logro de la ‘buena’ comprensión. Definir la‘buena’ comprensión y la ‘buena’ enseñanza requiere defi-nir previamente las ‘buenas’ matemáticas.

El problema de la comprensión está, por consiguiente, ínti-mamente ligado a cómo se concibe el propio conocimientomatemático. Los términos y expresiones matemáticas de-notan entidades abstractas cuya naturaleza y origen tene-mos que explicitar para poder elaborar una teoría útil yefectiva sobre qué entendemos por comprender tales obje-tos. Esta explicitación requiere responder a preguntas talescomo: ¿Cuál es la estructura del objeto a comprender? ¿Quéformas o modos posibles de comprensión existen para cadaconcepto? ¿Qué aspectos o componentes de los conceptosmatemáticos es posible y deseable que aprendan los estu-diantes en un momento y circunstancias dadas? ¿Cómo sedesarrollan estos componentes”

Como afirma Johnson2 (1987), nuestra compren-sión «es el modo [como] estamos 1 significativamente situa-dos en nuestro mundo por medio de nuestras interaccionescorporales, nuestras instituciones culturales, nuestra tradi-ción lingüística y nuestro contexto cultural” (p. 102).

Según Ibarbo3 “La comprensión matemática tienedos estamentos: a) El proceso subjetivo de com-prender, que es psicológico; y b) La estructuramatemática propiamente dicha, que es objetiva yde rango teórico, externa al sujeto. La primera ade captar la segunda para generar conocimiento.Al preparar el currículo debe hacerse pensando enesto último.

+*������!�%�����,�"�-�!����Llamaremos heurísticas a todas las competenciasrelacionadas con los procesos de búsqueda o in-vestigación, fundamentalmente cuando se enfren-ta la resolución de problemas.

Los procesos heurísticos más usados en el pensa-miento matemático y científico son la abducciónla inducción, la generalización, y el razona-miento analógico que matemáticamente está dadoen la similitud o correspondencia entre dos teorías;por ejemplo, de índole algebraico y geométrico.

El descubrimiento o invención de hipótesis, en lasciencias y en las matemáticas está relacionado con

el razonamiento abductivo como proceso fundamen-tal asociado a la creatividad. Fue Charles. S. Peircequien precisó este concepto, tan necesario para laformación científica. Lúcia Santaella4 rescata suverdadero pensamiento así:

Nacía ahí su explicación madura del método de la ciencia,que fue eficazmente sintetizada por Fann5 (1970: 31-32)de la manera siguiente:

«Cuando surgen hechos sorprendentes se busca una explica-ción. ‘La explicación debe ser una proposición tal que lleve ala predicción de los hechos observados, sea como conse-cuencias necesarias, sea al menos, como muy probables enesas circunstancias. Entonces, ha de adoptarse una hipótesisque sea en sí misma plausible y que torne los hechos plausi-bles. Este paso de adoptar una hipótesis como sugerida porlos hechos es lo que llamo abducción’ (CP 7.202, c.1901)afirmó Peirce, equiparándola con el primer estadio de unainvestigación’. En cuanto una hipótesis ha sido adoptada laprimera cosa que hay que hacer es delinear sus consecuen-cias experimentales necesarias y probables. Ese paso es unadeducción’ (CP 7.203, c.1901). El paso siguiente es la verifi-cación de la hipótesis a través de experimentos y compara-ciones de las predicciones deducidas de la hipótesis con losresultados reales del experimento. Cuando predicciones traspredicciones son verificadas por el experimento, comenza-mos a darnos cuenta de que la hipótesis puede contarse comoun resultado científico. ‘Este tipo de inferencia, comprobarpredicciones basadas en una hipótesis mediante experimen-tos, es la única que está legitimada para ser llamada propia-mente inducción’ (CP 7.206, c.1901)».

La generalización es resultado de aplicar la in-ducción a las hipótesis que fue sugerida por laabducción (interpretando a Pierce). La analogíaes el proceso para encontrar semejanzas entreobjetos, relaciones u operaciones (interpretandoa Aristóteles y a Pierce).

.*������!�%�������%!���!�!�(��Son las propias características de los procesosmediante los cuales se comprueban, experimentano ejercitan los conceptos, los sistemas, las estruc-turas y las teorías. Son la base para el diseño deproblemas y ejercicios prototipo.

/*������!�%������������%!�!�(��Pueden ser definidas como las capacidades para usarmetáforas en la comunicación de los conceptosmatemáticos. Se incluyen aquí los procesos llama-

2 Citado por Godino y Batanero.

3 Ibarbo Jairo. Notas Personales.

4 Santaella –Braga, Lúcia: la evolución de los tres tipos de argumento: abducción, induccióny deducción. Programa de Comunicación y Semiótica, Universidad Católica de Sao Paulo,Brasil, Inernet, 2003-01-01.

5 Fann, Kuang Tih (1970). Peirce’s Theory of Abduction. La Haya: Martinus Nijhoff.

Page 9: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

�M

EMO

RIA

S SE

XTO

EN

CU

ENTR

O C

OLO

MBI

ANO

DE

MAT

EMÁT

ICA

EDU

CAT

IVA

dos de visualización, que pueden ser tipificados comoicónicos o de representación matemática (fórmulas,diagramas, mapas, formas geométricas, secuenciaslógicas, etc.). Es fundamental que el sujeto conozcael significado de la metáfora puesto que el no cono-cerlo puede dar origen a desórdenes lógicos.

0* ��1"��%!�!�(���<&��������������%������%�����=2�����>Son las capacidades para validar las proposicio-nes matemáticas haciendo uso del lenguaje co-mún o de la lógica matemática. Mediante el len-guaje común las personas aducen para validar suscreencias o concepciones, pero mediante el len-guaje matemático demuestran los conceptos ma-temáticos (deducen). Las formas de razonamien-to más relacionadas con estas competencias sonla aducción, la deducción y la explicación. La ex-plicación es la construcción de una teoría paravalidar las aseveraciones.

2* ����!�(������������!�(��Son las capacidades que poseen todas las perso-nas para encontrar respuestas, por ellas mismas, opara crear problemas, ya sea utilizando informa-ciones disponibles o creando nueva información.Se distinguen de las heurísticas por el carácter in-novador que introduce, tanto la selección personalde las informaciones para encontrar las respuestaspropias, como por la creación de informaciones queno habían sido consideradas en el tema tratado.

Treffer6 distingue dos formas de matematización,la matematización horizontal y la matematizaciónvertical.

La matematización horizontal, nos lleva del mun-do real al mundo de los símbolos y posibilita tratarmatemáticamente un conjunto de problemas. Enesta actividad son característicos los siguientesprocesos: IDENTIFICAR las matemáticas encontextos generales, ESQUEMATIZAR, FOR-MULAR y VISUALIZAR un problema de va-rias maneras, DESCUBRIR relaciones y regula-ridades, RECONOCER aspectos isomorfos endiferentes problemas, TRANSFERIR un proble-ma real a uno matemático.

La matematización vertical, consiste en el trata-miento específicamente matemático de las situa-

ciones, y en tal actividad son característicos los si-guientes procesos: REPRESENTAR una relaciónmediante una fórmula, UTILIZAR, REFINAR,AJUSTAR, COMBINAR e INTEGRAR mode-los, PROBAR regularidades, FORMULAR unconcepto matemático nuevo, GENERALIZAR.

En el trabajo matemático inicial tiene mucha im-portancia la matematización progresiva de las acti-vidades perceptivas; es decir, el establecimiento delas relaciones simbólicas que representan dichasactividades, pero la matematización debe rastrearprocesos cognoscitivos, lingüísticos yepistemológicos muy variados. En este sentido, elmapa conceptual que se presenta en la figura dacuenta de una interpretación integral para los pro-cesos citados :· Clasificar y Ordenar son las dos actividades básicas para

el pensamiento lógico.

· Sistematizar es la organización de los objetos de acuerdo alas operaciones y relaciones que se efectúen con ellos, yentre ellos.

· Estructurar consiste en reconocer o asignar propiedadespara las operaciones o relaciones que se consideren en lacolección de objetos.

· La explicación se refiere a la utilización de una o variasteorías para dar existencia y sentido, tanto a los objetosde una colección como a las operaciones, relaciones, siste-mas y estructuras. En los saberes de las ciencias formales,la explicación define el nivel científico de sus objetos,métodos y demostraciones.

· Por otra parte, las relaciones entre el lenguaje común y losdiferentes lenguajes formales de los que hace uso el sabermatemático, exigen consideraciones especiales dentro de ladidáctica. En primer lugar, las actividades perceptivas sereconocen y comunican a través del lenguaje particular delas personas, adquirido en un entorno sociocultural especí-fico, pero los lenguajes formales son el resultado de unlargo y fino proceso universal, cuyo aprendizaje se logramejor con una enseñanza intencional, lenta y de refina-miento progresivo. En segundo lugar, existen muchas varie-dades de formas sintácticas y de estilos para los lenguajesformales de la matemática. Es fundamental escoger las no-taciones y denotaciones que ayuden a las representacionesmentales. De aquí que, muchas veces sea necesario sacrifi-car la concisión y la economía del lenguaje matemático,para no perder el sentido de lo que se esté trabajando.

En matemáticas, el reconocimiento de reglas, opropiedades entre las relaciones y operaciones, esuna actividad cognoscitiva fundamental. Así, porejemplo, no es posible clasificar sino se reconocela condición para la pertenencia de un objeto a unaclase, y en el caso de la geometría, las reglas queoriginan las conjeturas y el reconocimiento de laspropiedades invariantes, constituyen los elementosclaves para la comprensión.

6 Treffers, A. (1987). Three Dimensions. A Model of Goal and Theory Description inMathematics Education: The Wiskobas Project. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Page 10: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

La ejercitación, ya sea con objetos materiales, congráficos o con símbolos matemáticos, es la activi-dad que permite aprender y hacer matemáticas.Una ejercitación no meramente mecánica, sino re-flexionada. Con ella se adquiere velocidad de pen-samiento, puesto que los esquemas adquiridos seautomatizan; también se refinan los esquemas,dado que las variaciones de los problemas exigennuevas acomodaciones cognoscitivas ; y finalmenteayudan a la memoria para que no ejerza su fun-ción natural hacia el olvido.

La contrastación tiene una doble importancia:ayuda a la toma de conciencia sobre la validez delas afirmaciones y a la revisión de los procedimien-tos y algoritmos utilizados.

El planteamiento de conjeturas es el camino delos descubrimientos en matemáticas. En la geome-tría de la escuela aparecen conjeturas para moti-var teoremas y para descubrir fórmulas.

La demostración es el punto culminante de todosaber matemático. Sin llegar a ella, ninguna afir-mación pertenece a la matemática; sin embargo,en el mundo infantil, la mayoría de las demostra-ciones pueden esperar, hasta que la mente sea ca-paz de pensar en términos de hipótesis y tesis.

Finalmente, los conceptos matemáticos deberánusarse para explicar otros conceptos o pararesolver problemas que tengan algún interés parael estudiante o para la cultura.

�� ������������ ����������� �������������

Aceptamos, entonces, que la comprensión deconceptos matemáticos es la competencia funda-mental que buscamos con la enseñanza en el áreade las matemáticas. Sin embargo, las investigacio-nes de las últimas décadas, sobre las posibilidadespara aprender significativamente, han demostradoque, para la mayoría de las personas, los procedi-mientos expositivos no permiten el aprendizaje sig-nificativo, que sí se logra más fácilmente con pro-cedimientos en donde el estudiante participe acti-vamente en la construcción de sus pensamientos.En este sentido es que hoy se habla deconstructivismo en la escuela, a pesar de las múlti-ples, variadas y a veces contradictorias interpreta-ciones y prácticas con este concepto. En síntesis,la comprensión de conceptos matemáticos se in-terpreta actualmente como construcción de pen-samiento matemático. La gran ventaja de estepunto de vista radica en la libertad que da a estu-diantes y docentes para presentar concepciones

diferentes a las que aparecen en los saberes for-malizados o institucionalizados.

Las competencias académicas matemáticas que seadquieren a través del estudio constructivo de lasmatemáticas son innumerables, pero algunas pue-den ser categorizadas, previa una intención formativa;una de las múltiples opciones es la siguiente:

��������� ���� ���������� ���������� �������������� �� �������

1. Relaciones semánticas(de significantes y significados)

Se trata de conocer las diferentes concepcio-nes que han tenido o tienen los constructos ma-temáticos. Por ejemplo, el constructo número,como objeto para contar y medir, se usa desdela antigüedad, pero el número como elementode un sistema que cumple tres axiomas7 , es unresultado del pensamiento moderno.Similarmente ocurre con el concepto de geo-metría, pensado como perteneciente a relacio-nes de formas dentro del espacio físico o comouna axiomática.

En otras palabras las relaciones semánticas cam-bian históricamente y de acuerdo con las teo-rías en donde se presentan los conceptos mate-máticos.

2. Relaciones semióticas: uso de signos.

a. Signos para los objetos como los usados endiferentes culturas para los números y lasrepresentaciones geométricas.

b. Signos para las relaciones entre objetoscomo las relaciones de minorancia ymayorancia, las de semejanza, las deperpendicularidad y paralelismo, las de per-tenencia e inclusión, las de implicación ycondicionalidad, etc.

c. Signos para las operaciones de todo tipo.

��������� ���� �������� � �������� �� �������!��� � �����������

Mediante el conocimiento de las matemáticas com-prendemos cómo el hombre, usó la comparación para

7 Un sistema numérico general está definido si existe un conjunto A de objetos cualquieray dos operaciones entre ellos y que se cumplan las propiedades : conmutativa, asociativay distributiva de una operación con respecto a la otra. Con esta definición son númeroslos elementos del conjunto de partes con las operaciones unión e intersección; tambiénson números las proposiciones con las operaciones conjunción y disyunción; además demúltiple ejemplos que pueden construirse con estos axiomas. Evidentemente, estadefinición incluye a los sistemas numéricos, como casos particulares.

Page 11: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

darse cuenta de las semejanzas entre objetos y, paralograr con ellas, abstraer y generalizar; además,la misma comparación le permitió reconocer las di-ferencias, y con estas discriminar y ordenar.

La matemática no estudia ni relaciones ni opera-ciones aisladas. Estudia clases de objetos que sehan construido con criterios definidos, determinaoperaciones y relaciones de equivalencia entre loselementos de la clase y plantea las diferencias yasimetrías de una clase con otra.

��������� ���� ��������� ���"���������

Las proposiciones o aseveraciones aparecen, a ve-ces como definiciones: “todos los números pares sonde la forma 2n”, “la circunferencia es el conjunto depuntos que equidistan de otro llamado centro”; otrasveces se presentan como puntos de partida o axio-mas: “ la distancia siempre es mayor o igual quecero” pero, la mayoría de veces son el resultado deun proceso deductivo: “la suma de las medidas delos ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°).

Como puede analizarse en los ejemplos anteriores,las proposiciones se infieren por procesos de abs-tracción y generalización, objetivados en leyes yreglas de demostración que son las que configuranel proceso deductivo. La abstracción y generaliza-ción también tienen que ver con las capacidadesde análisis (descomponer, discriminar, diferenciar,separar…) y síntesis (componer, identificar lo co-mún, recoger, juntar…). En todos los casos, lasproposiciones son conclusiones o inferencias deprocesos cognoscitivos, cuyo origen puede estaren el sentido común o en reglas formales.

��������� ���� ��������� ����#��

Cuando se relacionan proposiciones para que de unamanera sintética y general se refieran un objeto deconocimiento, se dice que se está construyendo o seconstruyó una teoría. Conocemos teorías sobre losnúmeros naturales, los números enteros, los núme-ros reales, la geometría del espacio físico, la geome-tría de los movimientos rígidos, la geometría de losfractales, los juegos, etc. En general, los conceptosmatemáticos aparecen siempre dentro de teorías quelos presentan y los explican.

La sistematización debe ser uno de los objetivos dela educación matemática. Con las operaciones yrelaciones que definen los sistemas, es posible en-contrar o definir propiedades comunes en variossistemas. Estas propiedades son llamadas estruc-turales. Por ejemplo, muchas operaciones binarias

son asociativas, poseen un elemento neutro y cadauno de sus objetos operados posee un inverso. Jun-tando las tres propiedades en una operación biendefinida se tiene la estructura básica del álgebra:El grupo matemático. La gran ventaja que tieneel conocimiento de las teorías estructurales es quearma a las personas de un instrumento cognosciti-vo nuevo para aprender y crear cultura matemáti-ca. Muchos sistemas de la matemática, de otrasáreas y de la cultura, en general, pueden ser trata-dos con la estructura de grupo, ganando tiempo,extensión y profundidad conceptual. Similarmenteocurre con la construcción significativa de otrasestructuras matemáticas. La dificultad o el desco-nocimiento de didácticas apropiadas para alcanzarestos logros, no puede ser el argumento para aban-donarlos como propósitos en la formación integrale inteligente de nuestros jóvenes.

��������� ���� ��������� �������

Los sistemas y las estructuras pueden organizarsepara construir modelos que describan o expliquenprocesos o fenómenos. En educación matemática,modelar es matematizar, es decir, recurrir a las re-laciones y operaciones matemáticas para represen-tar situaciones de los entornos físicos, sociales,culturales y científicos. Es lo que ocurre cuandoutilizamos datos, para organizarlos y encontrar grá-ficas y fórmulas que permitan descubrir de quémanera se vinculan, cómo varían y cómo se pro-yectan los vínculos. Aparecen, aquí, los diferentessignificados del concepto de variable (como sím-bolo general y como representación de cambios,entre otros).

Esta interpretación no pretende reducir la mate-mática a lo meramente experimental pero, está claroque ella es modeladora de la experiencia.

$������% &�� �������'� ��������( � �������� �������

La historia que voy a contarles ocurrió un atarde-cer entre las 5 y 15 p.m y las 6 y 30 p.m del añopasado. En una cancha de fútbol habitaba un pue-blo de microbios (Microlar), !tan pequeños! !tanpequeños!, que se demorarían un mes para reco-rrer un metro.

Nacieron después de un partido de fútbol entre losprofesores de biología y los de matemáticas que,como siempre, fue un partido lleno de goles, juga-dores lastimados y el público gritando y riéndoseen la las graderías del estadio de la universidad. El

Page 12: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

portero de Biología dejó abandonado entre la gra-ma un frasco que contenía dos sustancias orgáni-cas que, al recibir la luz del atardecer, reacciona-ron creando dos tipos de microbios: los verdes ylos rojos.

En el primer segundo de la historia nacieron 10microbios verdes machos y 5 microbios rojos hem-bras y se interrumpió la creación; sin embargo,como era de esperarse, los microbios de distintocolor se enamoraron, lo que originó que se funda-ran las primeras familias de microbios, pero sólodos parejas pudieron tener hijos: la de los inquie-tos, que tubo su primer hijo cuando cumplieron elprimer minuto de su existencia, y la de los tran-quilos que esperaron hasta el segundo minuto desu existencia para tenerlos. Después del primer hijo,tenían otro hijo cada 10 segundos, durante dos mi-nutos, cuando ya no podían tener más. La duraciónde la vida de cualquier microbio era de, exacta-mente, 5 minutos, si no le ocurría ningún accidenteo enfermedad grave.

Como todo pueblo que se respete debe pasar poruna serie de dificultades para llegar a una sociedadfeliz, en Microlar los hechos ocurrieron casi así:

Durante el primer minuto de su historia vivieron enun pedazo de corcho redondo que medía tres cen-tímetros de diámetro y que flotaba sobre un líquidogris. Ellos no sabían, ni que flotaban ni cuántos eran;tampoco necesitaban conseguir alimento porque lahumedad del corcho y el oxígeno del frasco lespermitían alimentarse sin ningún esfuerzo. Pasa-ban el tiempo conversando, inventando juegos yrecorriendo su mundo; así descubrieron que si secolocaban en fila, amarrados de la colita, podíancubrir un inmenso territorio. Olvidaba contarles quecada microbio medía una milésima de milésima demilímetro. La primera vez que hicieron la fila fuecuando llevaban 4 minutos de existencia pero, sólocuando inventaron los métodos para contar - 10minutos después de su origen - supieron cuántoseran y cuánto medía la fila, a los 4 minutos de suexistencia. En el primer segundo del minuto 5° apa-reció un viento muy fuerte que produjo la muertede la mitad de la población. Esto les causó muchapena porque cada microbio tuvo que enterrar a otro,en el lugar que ocupaba en la fila. Los microbiosmás viejos se reunieron a pensar para encontrarformas que les ayudaran a enfrentar otro ataquede los vientos. Algunos pensaban ... y pensaban ...para llegar a la conclusión de que existían seresmalos, superiores, que habían enviado los vientospara destruirlos y otros seres buenos que se los

habían quitado para salvarlos. Toda la discusiónpropició que se dividiera la población en tres gru-pos, dos grandes y uno pequeño. Un grupo grandese dedicó a rendirle adoración a los seres superio-res malos, para que no volvieran a destruirlos, yotro grupo grande a los seres superiores buenospara que les ayudaran; el grupo pequeño se dedicóa estudiar los vientos para poder inventar algo queles permitiera defenderse de ellos.

Cuando pasaron varios segundos, el grupo pequeñoinventó una manera de construir casas dentro delcorcho y, después de varios fracasos, descubrieronlo que abría de ser su invento más importante: !lapuerta!. Al principio, los grupos de adoradores seenojaron, llegando a descorchar a varios de los in-ventores, es decir, los lanzaron desde la orilla delcorcho hacia el vacío eterno, pero con el tiempo re-conocieron que estaban equivocados y que las casay las puertas los protegían del enemigo loco: el vien-to. Inclusive, les propusieron a los microbios científi-cos que diseñaran y construyeran grandes espaciosen donde pudieran vivir muchos microbios juntos.

Los científicos se reunieron a pensar y pensar,hasta que descubrieron los números y las medi-das que necesitaban. Como eran tan pequeñitos,un microbio solo se demoraba todo un segundopara hacer su Habitación y su puerta; si trabaja-ban en equipos de a diez hacían 20 habitacionesen un segundo. La habitación era una cajita quemedía, de ancho 5 veces el tamaño del cuerpo, delargo 10 veces y de alto 3 veces.

Propuesta para un Taller: Elaborar pregun-tas para ejercitar y evaluar las competenciasmatemáticas presentadas considerando con-ceptos para los pensamientos: numérico,espaciotemporal, variacional, estructural yaleatorio.

��3���%�������4���1� 3����GODINO, J. D. (1996). Significado y comprensión de los con-ceptos matemáticos . En, L. Puig y A. Gutiérrez (Eds.),Proceedings of the 20th PME Conference (Vol 2, pp. 417-424). Valencia

SANTAELLA –Braga, Lúcia: La evolución de los tres tipos deargumento: abducción, inducción y deducción. Programa deComunicación y Semiótica, Universidad Católica de Sao Paulo,Brasil, Inernet, 2003-01-01.

FANN, Kuang Tih (1970). Peirce’s Theory of Abduction. LaHaya: Martinus Nijhoff.

TREFFERS, A. (1987). Three Dimensions. A Model of Goaland Theory Description in Mathematics Education: The WiskobasProject. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Page 13: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

5�"�!��������$%�6���(���$%7�7����4������"%����8

LUIS ORIOL MORA VALBUENA1

JAIME HUMBERTO ROMERO CRUZ2

)* �%!���"���$%Este artículo es un resultado de la investigación “Elpensamiento multiplicativo: una mirada de sudensidad y complejidad en su desarrollo en elaula” cofinanciado, en la fase actual, por la Uni-versidad Distrital Francisco José de Caldas,COLCIENCIAS e IDEP. En el aparte 1, ademásde ubicar el propósito de este artículo, explicitamossolo algunos aspectos metodológicos y teóricos dela investigación que, pensamos, sirven para definirel contexto de sentido para los datos que usaremosen el aparte 2.

)*))*))*))*))*) +�+�+�+�+���'���� �� ���� ����'���� �� ���� ����'���� �� ���� ����'���� �� ���� ����'���� �� ���� ���#�����#�����#�����#�����#����

No pretendemos aquí dar cuenta de la investiga-ción “El pensamiento multiplicativo: una mira-da de su densidad y complejidad en su desa-rrollo en el aula”, nuestro deseo sí es documen-tar, a través de hallazgos de investigación, algunosrequerimientos para una comprensión de la multi-plicación que supere la de suma repetida, pero quesea compatible con ella.

)*, �������� �������'����� �� �� ��"��������'�

En la investigación nos propusimos contestar a¿Qué tanto logran los estudiantes para profesor,provenientes de una cultura matemática escolartradicional, reconstruir en términos de conexidad,de posibilidad de explicitación y de sentido, sus es-quemas multiplicativos? Por lo tanto adoptamos elsiguiente objetivo general.

)*,*) ������"� �������

Diseñar un experimento de enseñanza que permitaallegar información de la ruta de enseñanza y delas rutas de aprendizaje de diez de los estudiantespara profesor, que ingresen al PCLEBM, en el do-

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

minio específico de la multiplicación, procurándo-les una base experiencial de aprendizaje desde lacual puedan interrogar su formación escolar ante-rior, haciendo conciencia de la existencia de unamanera de aprender logrando impactar su conoci-miento de la materia a enseñar.

Por los requerimientos teóricos propios de los ex-perimentos de enseñanza, para establecer una tra-yectoria de enseñanza previendo posibles rutas deaprendizaje, propusimos como primero de cuatro,el siguiente objetivo específico.

)*,*, +����� ������"� �����#����

Describir el pensamiento multiplicativo actual decada uno de diez estudiantes respecto de sus mo-delos intuitivos3 ; el sostenimiento que hacen de larelación entre las relaciones de equivalencia en lafracción como relación parte-todo; su estructura-ción de las operaciones división y multiplicación, yla relación entre sus formas argumentativas y susdesempeños con los algoritmos usuales de multipli-cación y división.

El cumplimiento de este objetivo arroja informa-ción necesaria para determinar el contenido de lasactividades a proponer a los estudiantes para pro-curarles una base experiencial de aprendizaje des-de la que pudieran interrogar su formación escolaranterior, y a la vez aporta elementos para determi-nar estrategias metodológicas de aula que puedandesencadenar la actividad de auto interrogación enlos estudiantes.

1.2.2.1 Actividades metodológicas ligadas al cum-plimiento del primer objetivo• Diseño de cuestionarios• Aplicación de cuestionarios• Recolección de la información pertinente• Análisis de la información• Diseño de entrevistas• Aplicación de entrevistas• Recolección de la información• Análisis

Las acciones realizadas a este propósito condujerona la construcción de dos cuestionarios y una entre-vista semiestructurada. El primer cuestionario diri-gido a determinar los modelos intuitivos que de mul-tiplicación y suma muestran los estudiantes de pri-

3 Ver una conceptuación en el aparte “Aspectos teóricos de la investigación”, estedocumento.

1 Miembro del grupo MESCUD.

2 Miembro del grupo MESCUD y del grupo NRD de Bologna.

Page 14: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

mer semestre y el segundo a determinar algunascomprensiones que estos estudiantes tienen de:

• la fracción como relación parte todo,

• la conexidad de esta interpretación de la frac-ción con tipos de representación gráfica yescritural de las formas b

a y a,a1a

2... a

n...

éstas

últimas finitas o infinitas,

• criterios de ordenamiento,

• criterios de intercalación y densidad,

• criterios de acumulación

La entrevista dirigida a profundizar, corroborar orechazar algunas hipótesis generadas por el estu-dio y análisis de las respuestas a los cuestionarios.

)*- �������� ��'����� �� �� ��"��������'�

En esta sección damos cuenta de algunos de losconceptos usados en el aparte 2. Específicamente,trataremos de manera relativamente breve qué esun modelo intuitivo, cuál es su papel en el aprendi-zaje y porqué es posible y correcto indagarlo a tra-vés de cierto tipo de cuestionarios.

)*-*) ���� ��� ������� �������"�� �� ����.����

Enfocamos algunos aspectos clave del marco teó-rico en el que Efraim Fischbein coloca la proble-mática de la intuición, para ello acudimos siemprea Fischbein (1987). Luego, particularizamos acer-ca de los modelos intuitivos.

1. El ser humano en tanto constructor de mundodesde el lenguaje, es un animal que, sin embar-go debe enfrentarse a un mundo del que esconciente que le es previo y del que él mismohace parte. Este doble papel que el ser humanoha podido jugar, ha ocasionado “una brecha enesta estructura naturalmente unitaria: cognicióny comportamiento” (p. 7)

2. El ser humano es conciente que puede conocery de la falibilidad de lo que conoce, pero al mis-mo tiempo es conciente que debe tomar deci-siones para actuar en ese mundo previo.“…como un efecto de formas indirectas (con-ceptuales) de conocimiento, la incertidumbre lle-ga a ser una presencia habitual en nuestro pro-ceso de toma de decisiones” ¿Mediante quémecanismos los seres humanos logramos sobre-ponernos a una incertidumbre que podría indu-cir parálisis?.

3. Una parte de la respuesta estriba en el rigor y lacoherencia de los sistemas formales de conoci-miento que ha generado una nueva forma de cer-teza “…que puede tener o no alguna relevanciapráctica. La que la lógica ofrece no es una cer-teza absoluta, valorable prácticamente sino unaforma convencional de aceptación” (p. 7).

4. Frente a la ausencia de certeza prácticamentesignificativa por el camino del conocimiento ló-gico, acudimos a creer que en realidad la he-mos alcanzado. Construimos con informacionesiniciales y parciales, conglomerados que pare-cen entidades cerradas, auto suficientes y autoconsistentes “Es la necesidad de una certezacomportamental, implícitamente significativa, noconvencional y práctica lo que crea la casi ins-tintiva creencia en la existencia de tales certe-zas últimas y, consecuentemente, la búsquedade ellas… Es esa necesidad absoluta la que his-tórica y sicológicamente, ha formado este tipoparticular de procesamiento de información.Datos disparatados o incompletos se aglutinanellos mismos a través de éste en estructuras in-trínsecamente creíbles, aparentemente coheren-tes, consistentes y compactas ”. (P. 7).

5. La función principal de la intuición es entonces lade dotar con la misma evidencia intrínseca y cer-teza comportamentalmente significativa a nues-tros razonamientos y conocimiento conceptual quela percepción le confiere a nuestro conocimientodel mundo, más inmediato, que denominamos real.“…uno tiende a creer en la absolutés del con-cepto, uno tiende a conferir sobre esta no-ción, basada en convenciones, la absolutésde un hecho dado, objetivamente existente.En nuestra terminología, esto significa conferirintuitividad al concepto” (p. 21).

6. La intuición es entonces la encargada de per-mitirnos actuaciones intelectuales productivas yes la que ponemos en juego cuando resolvemosproblemas o, más generalmente, cuando inicia-mos y realizamos un flujo de razonamiento.Debemos recalcar que la intuición no es un sen-timiento, aunque es un sentimiento lo que nos lahace producir: sentimos la necesidad “casi ins-tintiva” (p.7) de certeza comportamentalmentesignificativa y de evidencia intrínseca. La intui-ción es un sistema complejo de intuiciones.

7. Una intuición es un esquema (el sentidopiagetiano) y por lo tanto es una forma de cog-nición (cognición intuitiva) que sobrepasa las in-

Page 15: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

formaciones a mano, la realidad dada “… es másque sistema de reacciones automatizadas,más que una habilidad o sistema de habili-dades; ella es una teoría, un sistema decreencias, de expectativas aparentementeautónomas 4 ” (p. 88).

8. Sin embargo, las cogniciones intuitivas tienen unascaracterísticas específicas que las diferencian deotras formas de cognición. “La experiencia tieneun papel fundamental en la formación de intui-ciones porque en ciertas circunstancias, ella for-ma expectativas estables [pero]…la experienciapuede generar intuiciones no solo mediante ge-neración de patrones de reacciones sino tambiéngenerando sistemas organizados, de creenciasaparentemente autónomas (p. 88).

9. Como “…la fuente básica de las cognicionesintuitivas es la experiencia acumulada por unapersona en condiciones relativamente estables”(p. 85) algunas de sus características específi-cas provienen de una contradicción estructural eineludible entre los constreñimientos generadospor las limitaciones terrestres de la experienciahumana y la practicidad de los significadosintuitivos: concretud, finitud, obstáculo de dupli-cidad (prolongación de la evidencia práctica res-pecto de la unicidad de localización de los obje-tos de nuestra experiencia en un tiempo dado).

10.Existe una gran variedad de cogniciones contraintuitivas. Por ejemplo, entre las más conocidasestán el infinito actual; la no existencia de unarecta paralela a una recta dada o la existenciade infinitas rectas paralelas con un punto de in-tersección a una recta dada; la relatividad delespacio y la del tiempo; (-)x(-) = +. Frente aese tipo de cogniciones, las personas recurri-mos a interpretarlas como cogniciones intuiti-vamente más aceptables. Los modelos propor-cionan una forma frecuente de hacerlo, aunqueesto conduzca también frecuentemente a erro-res. “Cuando una persona tiene que tratar conuna noción que es intuitivamente inaceptable,tiende a producir –algunas veces deliberadamen-te otras inconscientemente- sustitutos de esanoción que son intuitivamente más aceptables.Tales sustitutos son comúnmente llamados mo-delos intuitivos” (p. 121).

11. “Un modelo intuitivo es, por su propia naturale-za, de clase sensorial. Puede ser percibido, re-

presentado o manipulado, como cualquier otrarealidad concreta” (p. 121), aunque no necesa-riamente es un reflejo directo de esa realidad -ungráfico cartesiano es un modelo intuitivo de sufunción, el modelo planetario lo es del átomo-.

12.Hay varias clases de modelos intuitivos, paranuestros propósitos expondremos algunas ideassobre los analógicos y los paradigmáticos asícomo los tácitos y los explícitos.

• Analógico: producto del reconocimiento de unasemejanza estructural entre dos sistemas quepertenecen a sistemas conceptuales diferentes.El papel principal del modelo, estriba en la ayu-da que brinda para la interpretación del sistemaoriginal o la solución de un problema formuladoen el sistema original. “Es un medio heurísticode generación de hipótesis. Provee una estruc-tura intuitivamente accesible, en la que se faci-litan operaciones mentales que podrían ser difí-ciles en el sistema original.”. (p. 142).

• Paradigmático: es un elemento o una subclasede una clase a la que también pertenece el ori-ginalmente dado. El papel principal del modeloestriba en la posibilidad de la construcción y for-mulación de los juicios intuitivos pues “…con-tribuye como una heurística a la inmediatez delas cogniciones intuitivas” (p. 143) “…si uno tie-ne que usar un concepto en relación a otros enun proceso productivo de razonamiento, esteconcepto nunca trabaja como un constructopuramente lógico. El significado subjetivamentea él atribuido, sus potenciales asociaciones, im-plicaciones y distintos usos están tácitamenteinspirados y manipulados por algún ejemplaraceptado como representativo de la clase total.Son tales ejemplos particulares los que confie-ren su genuina capacidad productiva sobre losconceptos…” (p. 143).

• Tácito: en tanto sistema de expectativas apa-rentemente autónomas de las condiciones espe-cíficas de realización de la clase de experienciasque lo ha producido, un modelo intuitivo tácito seproduce automáticamente, y por otra parte, la ac-ción de sustitución de la noción intuitivamente in-aceptable ocurre tácitamente imponiendo sus re-glas comportamentalmente significativas sobre elsustituido. Los esfuerzos mentales del individuocognoscente se dirigen sobre el sustituto y no ocu-rre una reinterpreación del logro de tales esfuer-zos en términos del original, puesto que, su es-tructura objetiva ha desaparecido de la mirada4 De las condiciones que permitieron su generación.

Page 16: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

del individuo. Sin embargo, en tanto el flujo de unrazonamiento es posible por la presencia en él deaceptaciones automatizadas, “Una hipótesis…esque los modelos intuitivos tácitos –paradigmáticos o analógicos- juegan un pa-pel fundamental en todo proceso de razona-miento productivo.” (p. 122).

• Explícito: la diferencia fundamental de este tipode modelo intuitivo con el anterior, está dadapor la conciencia con la que el individuocognoscente hace la imposición de las reglascomportamentalmente significativas de este mo-delo sobre el sustituido.

)*-*, ������ ��� ������� ���

En el marco de esta investigación, entendemosaprendizaje como modificación incremental de unesquema. Según Piaget (1980, p.24) “Toda acciónque es repetible o generalizada a lo largo de aplica-ciones a nuevos objetos engendra …un ́ esquema´”.Por lo tanto un esquema de acción expresa, Piaget(1971, p. 251) “el conjunto estructurado de carac-teres generalizables de la acción, es decir aquellosque permiten repetir la misma acción o aplicarla anuevos contenidos”

El concepto de esquema propuesto por Piaget hasido retomado por Dubinsky (1991, p.102) como“…una colección más o menos coherente deobjetos y procesos” que von Glasersfeld (1980,)caracteriza desde un punto de vista funcional: unarreglo de tres partes, una situación experiencial;una actividad o procedimiento específicos de lapersona y un resultado, en ésta última aparece re-saltado el tenor anticipatorio y propositivo del es-quema, carácter que (Piaget, 1971, p. 195) ha se-ñalado, “la anticipación no es otra cosa que …laaplicación del esquema (o esquemas) a una situa-ción nueva antes que ésta suceda como acto”.

Los esquemas se producen y transforman en laconfrontación de clases de situaciones problemano solubles en primera instancia para quienes lasabordan mediante un proceso de abstracción re-flexiva que Dubinsky (1991, p.99) describe usandoel tipo de “objeto” que logra dominar “…difiere dela abstracción empírica en que trata la accióncomo opuesta a los objetos, y difiere de la abs-tracción seudo empírica en que no trata tantocon las acciones mismas sino más bien con lasrelaciones entre las acciones”. En ese último ni-vel se genera los esquemas que dan cuenta que se

ha producido un aprendizaje en matemáticas; esdecir, la abstracción reflexiva es el modo de pro-ducción de aprendizaje en matemáticas y por lotanto, interviene también en la definición de la na-turaleza del pensamiento matemático.

Vergnaud (1990) comparte estas descripciones ypresenta en Teoría de los campos conceptuales, al“esquema” como “la organización invariante dela conducta para una clase de situaciones da-das” afirmando que en ellos es “donde hay quebuscar los conocimientos-en-acto del sujeto, esdecir los elementos cognoscitivos que permitena la acción del sujeto ser operatoria”. Organi-za los conocimientos en acto o “invariantesoperatorias”, contenidos en los esquemas, en dosclases según su papel en la solución y enfrenta-miento de situaciones: “conceptos–en–acto” y “teo-remas–en–acto” y en tres tipos desde el punto devista lógico: proposiciones, funciones proposicionalesy argumentos.

)*-*,*) �� ����� �� ��� �������

�������"�� �� �� ������� ���

En tanto cogniciones intuitivas, confierenautoevidencia y cerradura a los razonamientos; esdecir, el que razona tiene el sentimiento de que harazonado bien, aunque así no sea. Por otra parte, entanto modelo, actúa sobre las situaciones llevándo-las a ser como el modelo. Si el modelo es tácito, lapersona que de él dispone no es consciente de algu-nos aspectos estructurales que el modelo impone ala situación a pesar de que esta persona puedaverbalizar en qué aspectos de la situación se basapara comprenderla de la manera en que lo hizo.

Finalmente, los modelos intuitivos tácitos puedenser primitivos, esto es construidos en la confronta-ción de situaciones iniciales y sostenidos por el usodurante largos periodos de tiempo

Si los modelos intuitivos tácitos y primitivos estánligados a la comprensión de situaciones y objetosque tienen preferiblemente ocurrencia escolar, sesigue que tal modelo está distribuido socialmente yque grupos de personas y libros de texto lo usan demanera exitosa y habitual. Pero, dado su origen deformación, los modelos intuitivos, tácitos y primiti-vos aplicables en ciertas situaciones matemáticasiniciales, tendrán que ser insuficientes porque exis-tirá una nueva clase de situaciones que subsuma laclase de situaciones iniciales pero que sin embargola supere estructuralmente.

Page 17: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

)*-*- /�'�� �� ������� ������� ��� ������� �������"��0

Harel, Behr, Post y Lesh (1994) investigaron apartir de un cuestionario en el que plantearon pro-blemas controlando en el enunciado tipo de nú-mero, contexto, texto, estructura semántica, sin-taxis, categorizándolos, según las reglas del mo-delo intuitivo que el resolutor debería cambiar,extender o violar, para efectos de realizar un de-sempeño considerado correcto. Aquí queremosresaltar que los resultados, indican que estos ti-pos de problema multiplicativo con multiplicadoresmenores que 1, llegaron a ocasionar bajo desem-peño de futuros profesores que ya habían tomadocursos normales de cálculo y álgebra, así comode profesores en ejercicio.

)*-*-*) /�� ���#���� ������� ��� �������

�������"�� �������� �������������0

Dada la naturaleza de los modelos intuitivos, estosaparecen cuando hay que enfrentar situaciones alas que se debe dar una respuesta. En situacionesde aula en las que hay un contrato didáctico esta-blecido o en situaciones en las que existe un con-trato de investigación establecido, las personas in-dagadas asumen de manera sincera el compromi-so de contestar respetando el contexto. Por lo tan-to, si el compromiso se ha establecido, el cuestio-nario es suficiente para propiciar que emerjan losmodelos intuitivos pero no lo garantiza. Además deesta facilitación, falta procurar que la respuesta dadaocurra casi sin reflexión y una manera de hacerloes presionar por el tiempo mínimo de respuesta.

Ahora bien, dadas las condiciones impuestas paracontestar al cuestionario, no se puede colegir delas respuestas el estado de conocimiento de los queresponden, solo se puede colegir que bajo escasezde tiempo hicieron lo que mejor pudieron hacer.Para determinar el estado de conocimiento podríarecurrirse a una entrevista que discurra sobre lasrespuestas en el cuestionario.

+*�����%����������������%�����6���%���(������!���

Situación 1. Mora, Rojas y Barón (1999, p.138)muestran que algunos estudiantes escriben lo quese les plantea visualmente como relación parte-todocomo si fuese una relación parte-parte. Hecho aná-logo, describen también Lesh, Landau y Hamilton(1983, p. 284). En estas condiciones, es natural quetales estudiantes efectúen la suma

4

3 +5

2 así:

45

23

++ =

9

5 , que corresponde a la siguiente represen-tación visual:

Situación 2. El asunto presentado en la situación1, sin embargo no parece obedecer únicamente ala interpretación de la relación parte-todo comoparte-parte puesto que, aún escribiendo parte/todo,la representación visual que sigue

podría corresponder a7

3 + 7

2 =77

23

++ =

14

5 .

En tal caso, sucedería que 7

3 +7

2 ≠7

5

Situación 3. Es famoso el problema planteado enTahan Malba (1999, pp. 17-20). Resumiendo, diceque un padre deja como herencia, de un lote de 35camellos, al hijo mayor la mitad, al mediano la ter-cera parte y al menor la novena parte. Beremizacudió en ayuda de los hermanos que no podíanponerse de acuerdo; si le permitían agregar al lotede camellos, el camello de su amigo acompañante,él podría solucionarles el problema. Los hermanosconsintieron y Beremiz logró el reparto y la satis-facción de todos los involucrados:

Hijo Parte de lote heredada

Solución de Beremiz

Mayor Media (17 y un poco)

Mitad de 36 que es 18

Mediano Tercera (11 y un poco)

Tercera de 36 que es 12

Menor Novena (3 y un poco)

Novena de 36 que es 4

De los dos camellos sobrantes Beremiz devuelve uno a su acompañante, el otro lo recibe como pago por resolver el lío. ¡Todos quedaron conformes!

Todas las soluciones hasta aquí planteadas tienenen común que, en algún momento durante el pro-ceso, las personas que actúan, de manera concienteo no, cambian el todo de referencia. Así, en las dosprimeras situaciones, se mezclan varios todos sintomar las precauciones del caso. En la tercera si-tuación, además de cambiar el todo a repartir, nisiquiera el primer todo queda totalmente repartidoentre los hermanos.

Situación 4. Cuando pedimos a nuestros estudian-tes convertir medidas, usualmente les pedimos algocomo convertir 1,75 m3 a cm3. Aparecen respues-tas como: 175cm3; 5,359375cm3; 17.500cm3;1’750.000 cm3. Podemos estar de acuerdo en quela ausencia de un algoritmo para realizar la con-versión es un hecho que explica la variedad de res-puestas obtenidas. Sin embargo, esta ausencia no

Page 18: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

explica la renuencia de algunos estudiantes paraaceptar la respuesta correcta; a ellos les pareceimposible que precisamente esa sea ¿cómo puedeser tan grande?

Situación 5. Otro tipo de problema clásico, asocia-do a conversión de medidas, lo ejemplificamos conel siguiente enunciado: A una tienda llegó un pedidode una gruesa de pacas de cigarrillos. Sabiendo queuna gruesa tiene 12 pacas, una paca tiene 12 cajas,una caja tiene 10 paquetes y un paquete tiene 20cigarrillos ¿Cuántos cigarrillos pidió la tienda?

La respuesta más común es 28.800 cigarrillos.Pero, no aparecen respuestas como: hay tantos ci-garrillos como en 1440 paquetes o en 144 cajas…

Situación 6. En el cuestionario, realizado duran-te la investigación, para hallar modelos intuitivosprimitivos de los estudiantes, uno de los proble-mas es: De los habitantes coreanos solo los hom-bres van al ejército, pero no van las mujeres, nilos niños, ni las niñas. Si las mujeres son docemillones trescientos cincuenta mil, y los niños yniñas son en total quince millones doscientos mil,¿cuántos habitantes coreanos hay?

20 estudiantes cambiaron el todo al responder su-mando los datos numéricos dispuestos.

15 estudiantes no lo cambiaron, pero de ellos 8 die-ron la respuesta correcta, 5 respondieron “no sepuede” y 2 no contestaron.

Situación 7. En el cuestionario, realizado durantela investigación, para establecer comportamientosde los estudiantes respecto de fracciones en orde-namiento, intercalación, densidad y puntos de acu-mulación, se pide:

Dividir la siguiente figura en siete partes de igual área

De 35 estudiantes 7 cambiaron el todo de tamaño,12 borraron la partición inicial, 8 hicieron lo pedido,8 cambiaron la medida de área por la de conteo.

¿Qué puede significar para un estudiante + si nopuede realizar lo pedido?

$����� �������"� 1�� �� ��� ��������� �� ���� ��������

�� ����� ��� �����������

Aparece dispuesto un único modelo de suma Parte1 + Parte 2 = Total

1. Manteniendo siempre las partes disyuntas.

2. Una regla menos aplicada es la existencia deexactamente dos partes y un total

3. El total no es objeto de reflexión pues a su inte-rior no ocurren transformaciones

Por la aplicación indiscriminada de 1, el problema11 fue contestado mal por el 100%

Por la aplicación indiscriminada de 2, el problema9 fue contestado mal por el 80%

Por la aplicación indiscriminada de 3, el problema1 fue contestado mal por el 71%

Por la ausencia de conservación del todo, el pro-blema 14 fue contestado mal por el 98%

Dada la importancia para la investigación, es ne-cesario enfatizar sobre dos vínculos entre aspec-tos del pensamiento multiplicativo y el aditivo aquíhallados:

Los problemas 11, 14 tienen en común la existen-cia de unidades pertenecientes a más de una delas colecciones que finalmente entran en juegopara la suma. Al visualizar estos problemas, des-de el esquema parte todo, tales unidades jueganel papel de dos unidades. Contrastando con el tipode soluciones en el problema 2, aparece que ex-cepto una, todas las otras respuestas correctasfueron obtenidas restando dos veces la mismacantidad. La respuesta excepcional ocurrió me-diante una sola resta de dos veces una mismacantidad perteneciente a una intersección. Con lodicho, sucede que en todos los casos solo el 2%de los estudiantes identifica, anticipando, la medi-da de la intersección conscientemente.

������ �� ��� ������� �������"�� $�2�

En la literatura se reporta la existencia de un mo-delo intuitivo para la multiplicación y la división: lamultiplicación agranda y la división achica, por sussiglas: MADA. Veamos su aparecimiento en lasolución de un problema simple propuesto en elcuestionario:

Situación 8. 457 recolectores de oro decidierondistribuirse en partes iguales los 10 kilogramos de oroque recolectaron durante un mes de trabajo. ¿Cuán-tos kilogramos de oro le corresponden a cada uno?

De los 35 estudiantes 21 respondieron (10÷350), 1acudió a regla de tres, 2 cambiaron a multiplica-ción, 11 invirtieron los operandos (350÷10)

Page 19: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

Un aspecto importante a recalcar es que en estosmodelos se puede establecer la presencia de unaespecie de teoría implícita de formulación general“la multiplicación agranda, la división achica” queguía a los estudiantes su decisión y los conduce ala adquisición implícita de reglas de funcionamien-to como: el dividendo es más chico que el divisorpero es más grande que el resultado y el divisor esentero. O reglas como: el multiplicador siempre esentero o el resultado es más grande que cada unode los factores.

Estos modelos intuitivos son exitosos para una grancantidad de situaciones: todas aquellas que esténcontextualizadas en una estructura aritmética comoZ+, que puede verse como anillo ordenado con iden-tidad, un anillo euclidiano.

Al examinar los textos de primaria que circulan enColombia desde 1980, se observa que siempre leproponen a los niños de segundo y tercero de prima-ria situaciones verbales, numéricas o gráficas com-patibles con una concepción de multiplicación comogrupos iguales que se repiten, que entonces sonabordables pero que también se pide, implícitamen-te, abordar como situaciones de sumando repetido.He ahí una explicación de la construcción de MADAen nuestros estudiantes. Sin embargo ¿explica estehecho la presencia de MADA aún en estudiantesque han tratado con estructuras de cuerpo, en lasque no se cumple más que exista una multiplicacióndiferenciada de una división dada la presencia deinversos multiplicativos y de unidad?

En los textos de cuarto, quinto grados el problemade la multiplicación ya casi nunca aparece estudia-do explícitamente, aunque tratan suma, producto ymultiplicación de fracciones junto a problemas deproporcionalidad. En ningún texto estudiado existeuna reflexión explícita o un grupo de actividades oproblemas conducente a provocar la reflexión so-bre este nuevo significado de la multiplicación y dela división. Tal vez se da por hecho que no existeuna nueva significación y que lo único que cambiason los objetos sobre los que ellas operan. En rea-lidad, de los más de 30 textos estudiados solo laAritmética de Baldor propone una definición demultiplicación que trasciende la de suma repetida:

Def 1: “La multiplicación es una operación de com-posición que tiene por objeto dados números lla-mados multiplicando y multiplicador, hallar un nú-mero llamado producto que sea respecto del multi-plicando lo que el multiplicador es respecto de launidad.” (p.90)

Ej 4 x 3 = ?

1

3 =

4

?

pero cuando se refiere a la multiplicación entrenaturales pone la siguiente definición:

Def 2: Cuando el multiplicador es un número natu-ral, la multiplicación es una suma reiterada queconsta de tantos sumandos iguales como unidadestiene el multiplicador (p.91)

Ej 4 x 3 = ?

4 + 4 + 4 = ?

y, ¿qué vínculo existe entre estas definiciones? Nolo explicita a pesar que es relativamente fácil en-contrarlo. Establecer el vínculo no está entre lasprioridades didácticas del autor.

Aun en los textos de álgebra escolar casi todas lasoperaciones ocurren en Z[x] y la multiplicaciónaparece en tanto forma, con pocos referentes con-cretos en otros contextos.

.*�����%������������������"���������"%����Situación 9. Un tipo de actividad que serviría paraabordar la discusión acerca de MADA con los es-tudiantes puede ser la de recuperar la unidad vincu-lando contextos gráficos y simbólicos. Por ejemplo:a) Si es un tercio de la unidad

¿cuál es la unidad?

b) Si es dos tercios de la unidad

¿cuál es la unidad?

c) Si es tres medios de la unidad

¿cuál es la unidad?

Pues bien, cuando hemos puesto este tipo de acti-vidades a estudiantes para profesor y aun a profe-sores en ejercicio, reiterativamente encontramosporcentajes de éxito cercanos a los siguientes: de1/3 a 1, 98%; de 2/3 a 1, 66%; de 3/2 a 1, 33%

¿Qué puede significar para una persona c

a xd

b sino puede realizar lo pedido? o ¿Qué puedesignificarle

c

a x d

b = 1? o ¿ c

a ÷d

b ?

Un hecho que llama la atención es que en el curso,grado 7°, de uno de los profesores que no podíarecuperar la unidad desde 3/2, el 25% de sus estu-diantes sí pudo hacerlo.

Page 20: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

/*�5�%"���9��"��!��%�������!��%�3����������8De la teoría de modelos intuitivos se desprende queMADA es un modelo intuitivo paradigmático, ycomo se colige de lo investigado en los libros detexto de aritmética en Colombia, para nosotros tam-bién es primitivo; por lo tanto, genera el efecto pri-macía. Es decir, es una de las cogniciones cuyaperseverancia y resistencia al cambio son tan fuer-tes que siguen estables aún bajo la aceptación deevidencia dirigida en su contra, como si el individuoque de ellas dispone se rehusara a interrogarlas.En términos de Kruglansky y Ajzen (1983, p.23) elefecto primacía “…refleja el fenómeno decongelamiento epistémico por el que la persona cesa,en algún punto, de generar hipótesis y de aceptaruna proposición dada actualmente plausible comocierta. El congelamiento epistémico es una carac-terística inevitable del proceso de enjuiciamientoen razón del carácter potencialmente interminablede la generación de cognición. La secuencia epis-témica debe parar en algún punto, al menos que elindividuo esté desposeído de todo conocimientocristalizado necesario para tomar una decisión yactuar”. De todo lo dicho en este párrafo se dedu-ce la imposibilidad de anular MADA y la dificultadque no la imposibilidad de cuestionarlo.

Lo hemos dicho antes, el modelo MADA es com-patible con la multiplicación y la división en anilloseuclidianos y por lo tanto para reflexionar sobre lano pertinencia de este modelo se requiere sobre-pasar estas estructuras. Una posibilidad aparece-ría pronto con las fracciones pero bajo la condiciónde tener una comprensión adecuada desde la es-tructura aritmética del producto y de la división defracciones que las diferencie como operacionespero que las integre en tanto la equivalencia entre

c

a ÷d

b y c

a x d

b .

Desde el punto de vista de las situaciones, pode-mos por ejemplo preguntar por la relación entre laspreguntas ¿cuánto de la unidad es un tercio de cua-tro quintos de unidad? ¿cuánto de la unidad es untercio de cinco cuartos de unidad? ¿cuánto de cua-tro quintos de la unidad cabe en un tercio de launidad? A continuación está la solución gráfica delas dos primera preguntas. En ellas se ve la necesi-dad de reconocer y conservar el todo, así comorecuperar la unidad tanto de fracciones mayoresque ella como de fracciones que le son menores.

Vemos a partir de lo descrito a través de las 9 si-tuaciones a qué tipos de cogniciones profesores yestudiantes debemos afrontar. Pero, precisamen-te, desde estos tratamientos de la multiplicación yla división se ve que estas operaciones ni achicanni agrandan, el todo se conserva y lo “único queocurre es que la situación puede describirse desdedistintas unidades, es decir que efectivamente ocu-rren cambios de unidad y por lo tanto, según la uni-dad que se escoja para la descripción ocurre que lanumerosidad final depende en proporción inversaal tamaño de la unidad escogida, y entonces se re-cupera la idea que el producto agranda y que ladivisión achica. Esta es la compatibilidad y la supe-ración de esta concepción con MADA.

��3���%�������4���1� 3����FISCHBEIN, E. (1987). Intuition in Science and mathematics. Aneducational approach. Dordrecht :Reidel

LESH, R; LANDAU, M and HAMILTON, E. (1983). Conceptual modelsand applied mathematical problem-solving research. Grants SED 79-20591 and SED 80-17771. In: Acquisition of mathematics concepts andprocesses :Academic Press. pp. 263-344.

MORA, O; ROJAS, P y BARÓN, C. (1999). Los Niños y Las Fraccio-nes. En: La enseñanza de la matemática escolar y la formación del profe-sor. Grupo de Matemáticas Escolares de la Universidad Francisco José deCaldas. Serie Cuadernos de Matemática Educativa. Vol 1. pp. 125-146.Bogotá: Ed. Gaia.

PIAGET, J. (1980). The psychogenesis of knowledge and its epistemologicalsignificance. In: Language and learning: The debate between Piaget andChomsky (Massimo Piattelli, Ed) Cambridge :Harvard University

PIAGET, J. (1971). Études de épistemologié genétique. Vol XIV. Paris:P.U.F.

TAHAN, M. (1999). El hombre que calculaba. Bogotá: Panamericana.(Ana Murillo, trad.)

KRUGLANSKY, A & AJZEN, I. (1983). Bias and error in humanjudgment. In: European Journal of Social Psychology. Feb. 1-43

von GLASERSFELD. (1980). The concept of equilibration in aconstructivist theory of knowledge. In: Autopoiesis, communication andsociety (Benseler, Hejl and Kock, Eds) New York:Campus

HAREL, BEHR, POST and LESH (1994). The impact of the numbertype on the solution of multiplication and division problems: Furtherconsiderations. In: The development of multiplicative reasoning in thelearning of matematics (Harel and Confrey, Eds) New York :StateUniversity of New York. pp. 363-384.

DUBINSKY, E. (1991). Reflective abstraction in advanced mathematicalthinking. In: Advanced mathematical thinking (Tall, Ed) Dordrecht:Klower. pp. 95-123.

Page 21: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

������!"����%������4�����������%!�:!��������(���'��������%������%!���!�� !�����������

JOHN JAIRO MÚNERA CÓ[email protected]

En los Lineamientos Curriculares (MEN1 , 1998)se proponen una serie de elementos para el mejo-ramiento del currículo de las matemáticas escola-res; en los que se resalta la importancia de los con-tenidos básicos, las situaciones problema comocontextos para el aprendizaje y la movilización deprocesos matemáticos generales.

Esta ponencia centrará la atención en lo que sonlas situaciones problema, procurando mostrar comoen una intervención pedagógica basada en esteenfoque aparecen implícitos los conocimientos bá-sicos y el desarrollo de procesos de pensamiento.Por lo tanto se procederá en cuatro momentos: pri-mero, se expondrá una o dos situaciones problema,con sus posibilidades de exploración de conceptosmatemáticos; segundo, se presenta unos breveselementos que orientan procedimentalmente unaclase de matemáticas desde el enfoque problémico,en tercer lugar se exponen algunos referentesconceptuales, y finalmente, se exhiben una serie dereflexiones a las que han llegado los estudiantes deeducación básica después de vivir la experiencia deaprender matemáticas a través de esta propuesta.

)*���4���������!"����%��+

Situación 1: Con base en este arreglo de mosai-cos se discutirán diferentes acercamientos a lasrelaciones matemáticas implícitas. Encontrar el to-tal de mosaicos de la figura enésima.

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

Situación 2: 80 personas se encuentran en un bailey se saludan entre sí estrechándose la mano ¿Cuán-tos apretones de mano (saludos) hubo en total?

Con base en este problema se muestra diferentesmaneras de abordarlo generando niveles de com-plejidad y relación con diferentes tipos de pensa-miento matemático.

+*���3���%!�����%���!"����

Una situación problema la podemos interpretarcomo un espacio dotado en actividad matemática,en la cual, los estudiantes al intentar resolver losinterrogantes interactúan con los conocimientosimplícitos y dinamizan la actividad cognitiva, ge-nerando procesos de reflexión conducentes a la ad-quisición de nuevos conceptos. Es decir, en el casode las matemáticas, una situación problema la pode-mos entender, como un espacio para generar y mo-vilizar procesos de pensamiento que permitan laconstrucción sistemática de conceptos matemáticos.

“La situación problema debe permitir al estudiantedesplegar su actividad matemática a través del desa-rrollo explícito de una dialéctica entre la exploración yla sistematización. Esto implica que la situación pro-blema debe tener, como parte de los elementos que laconstituyen, dispositivos que permitan a los alumnosdesarrollar, de manera autónoma, procesos de explo-ración tales como la formulación de hipótesis, su vali-dación, y si es del caso, su reformulación”. (Obando,G; Múnera, J, 2003, p. 186).

El diseño de situaciones problema requiere del do-minio del saber específico, que se supone debenaprender los estudiantes, para recontextualizarlo deacuerdo a los saberes previos y las condicionescognitivas de los educandos; para luego decidir lasactividades que hacen posible la interacción entreel estudiante los conceptos y el profesor. Es decirse trata de tomar el saber disciplinar y reorganizar-lo de acuerdo a las condiciones del contexto, estoes, en términos de Guy Brosseau, hacer una trans-posición didáctica.

Como se puede interpretar en las líneas anterio-res, los contenidos matemáticos siempre van aestar presentes, lo que hace el enfoque problémicoes poner en un segundo plano la presentación li-neal y acrítica de los mismos, para involucrarlosen un espacio de interrelaciones donde los estu-diantes al interactuar con éstos construyen demanera significativa los conceptos. MyriamAcevedo, describe los contenidos matemáticos

1 Sigla del Ministerio de Educación Nacional

2 Las preguntas orientadoras de estas situaciones pueden consultarse en: MUNERA C,John, 2001, p. 30.

Page 22: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

����:�������$%�������!�(������%��������%��'�;�������1����!�-�

CARMEN SAMPER DE CAICEDOCECILIA LEGUIZAMÓN DE BERNAL

ORLANDO AYA CORREDORLORENZO MARTÍNEZ HERNÁNDEZ

)*��%!���"���$%En la formación profesional del futuro educador deMatemáticas se hace necesario combinar el cono-cimiento disciplinar con la reflexión pedagógica. Estaidea se convirtió en el principio directriz del nuevoproyecto curricular de la Licenciatura en Matemáti-cas, en la Universidad Pedagógica Nacional. Poreso, en el marco teórico que sustenta la línea deGeometría (Samper et al, 2001), se sugieren condi-ciones de enseñanza y aprendizaje de la matemáti-

ca, que brinden a los futuros profesores de esta dis-ciplina una visión amplia y bien fundamentada deésta, y la habilidad para diseñar e implementar am-bientes propicios para la enseñanza y el aprendiza-je. Se establece entonces que en los espacios aca-démicos de la línea es necesario crear ambientesdonde, a través de actividades, el estudiante puedaexplorar e investigar acerca de los conceptos y re-laciones geométricas, objeto de estudio.

Teniendo lo anterior como horizonte, se desarrolló,durante el primer semestre de 2003 un proyecto deinvestigación, cuyo objetivo era determinar la inci-dencia que tiene el uso de actividades de carácterexploratorio en el aprendizaje de la geometríaeuclidiana, estudiada como un sistema axiomático, yel impacto pedagógico que este tipo de actividadessuscita en los estudiantes. Este experiencia se cen-tra en el análisis de resultados del desempeño de losestudiantes y pretende socializar el proceso y losresultados de dicha investigación, con miras a invi-

UNIVERSIDAD

PEDAGÓGICA

NACIONAL

básicos como “la orientación conceptual que debetener el currículo, que parte de reconocer no sólolas relaciones entre conceptos asociados a unmismo pensamiento, sino las relaciones con con-ceptos de otros pensamientos” (2003, p 24).

.*�����%!��(�%��$%��%�����"��

En adelante se describen las formas de procederque ha caracterizado la intervención a través desituaciones problema:

3.1 Trabajo grupal: los estudiantes se organizanen equipos y emprenden un trabajo de discu-sión con base en la situación planteada.

3.2 Socialización colectiva: después de un tiem-po adecuado (una o dos sesiones de clase, aveces más) se realiza una plenaria, orientadapor el profesor, en la que cada equipo haceaportes frente al trabajo realizado. Lo que per-mite comparar las diferentes estrategias lle-vadas a cabo. En este espacio se organizansistemáticamente las relaciones matemáticasy conceptos que estaban implícitos en la si-tuación. Este momento es también conocidocomo la institucionalización del saber.

3.3 Espacio de ejercitación: Es de aclarar queel énfasis de las tareas aquí planteadas es for-

talecer la fluidez conceptual de los estudian-tes, más que el planteamiento, como ocurreconvencionalmente, de ejercicios para aplicaralgoritmos mecánicamente. Claro está, apa-rece la necesidad de aplicar procedimientos,propiedades y algoritmos ya construidos.

3.4 Indagación de resultados: desde los mismosprocesos generados en el desarrollo de las ac-tividades, la evaluación aparece implícita: a tra-vés de la asesoría a los pequeños grupos, seobserva los avances en las conceptualizacio-nes de los alumnos y a partir de la plenaria co-lectiva se hacen aportes asociados a los con-ceptos involucrados.

��3���%�������4���1� 3����ACEVEDO, Myriam. (2003). Los Procesos en la propuesta deestándares básicos de calidad. En: Quinto Encuentro Colombianode Matemática Educativa. Memorias. Memorias. Bogotá. Ed. Gaia.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. (1998).Lineamientos curriculares, Matemáticas. Santafé de Bogotá.

MÚNERA C, John Jairo. (2001). Las Situaciones Problema comoFuente de Matematización. En: Cuadernos Pedagógicos, Nº 16.(Agosto). Universidad de Antioquia. Facultad de Educación.

OBANDO, Gilberto y MÚNERA, John. (2003). Las situacionesProblema como estrategia para la conceptualización matemática.En: Revista Educación y Pedagogía. Vol. XV, Nº. 35, (enero-abril).Universidad de Antioquia. Facultad de Educación. Pp. 185 – 199.

Page 23: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

tar a los educadores a que en el aula realicen activi-dades de índole exploratorio, como herramientas parala construcción de conocimiento matemático.

+*���!"�����%(��!�1�!�(�Para el desarrollo de las actividades de aula, objetode la investigación, se escogió como tema uno delos conceptos primordiales de la geometría plana:la semejanza de triángulos. Se seleccionaron dosgrupos de estudiantes del Proyecto Curricular deLicenciatura en Matemáticas de la Universidad Pe-dagógica Nacional que cursaban paralelamentegeometría euclidiana en el primer semestre de 2003,con el propósito de establecer diferencias entre losresultados de aprendizaje, cuando se usan dosmetodologías distintas para abordar un tema

,*) $��������#�

En el Grupo B se siguió la dinámica tradicional deenseñanza a través de la presentación magistral detemas que se desarrollaron siguiendo la secuenciaestablecida en un texto guía. Los alumnos no teníanla responsabilidad de participar activamente en elproceso de aprendizaje. El contrato didáctico, enforma implícita, convirtió al profesor en la fuenteprincipal del conocimiento. El desarrollo conceptualdel tema, en el grupo B, se ciñó a la propuesta suge-rida por el texto guía. Ésta consistió, inicialmente, enenunciar la definición de triángulos semejantes ydemostrar que una recta paralela a un lado de untriángulo determina, en los otros dos lados del trián-gulo, segmentos proporcionales a éstos. A partir deeste teorema, se demostraron los criterios que de-terminan la semejanza entre dos triángulos. Los es-tudiantes debían resolver los problemas propuestosen el texto guía, cuyas soluciones se discutían enclase. Se terminó el estudio del tema en cuestióncon la discusión de semejanza en triángulos rectán-gulos y área de triángulos semejantes.

En contraste, la metodología aplicada a lo largo delsemestre, en el Grupo A, buscó promover un am-biente de aprendizaje, donde el estudiante, a travésde la exploración, descubría las relaciones geomé-tricas, objeto de estudio. Para este grupo, se dise-ñó el taller “Otro Camino Hacia la Semejanza”el cual propició la exploración mediante el uso dela geometría dinámica, herramienta didáctica quepermite la obtención de regularidades, con la simu-lación y el análisis de múltiples situaciones, en tiem-po reducido. El taller introdujo el tema de semejanzaa través de la presentación de una situación proble-ma que debía ser explorada haciendo uso de la geo-

metría dinámica con el software Cabri Géomètre.Para responder a las preguntas planteadas, los estu-diantes debían realizar una exploración, haciendo usode la geometría dinámica. Esta tipo de actividadespotenció la elaboración de conjeturas que apunta-ban a los conceptos involucrados en la semejanzade triángulos, a la solución de problemas de aplica-ción y a la formulación de los teoremas clásicos co-rrespondientes. De este modo, la geometría dinámi-ca permitió el paso de la geometría empírica a lateórica, proporcionando evidencias que convencíana los estudiantes de la validez de sus conjeturas, lasque procedieron a demostrar haciendo uso del siste-ma axiomático ya construido

.*��% ������������"�!����Para analizar los resultados de aprendizaje y llevara cabo el estudio investigativo, se elaboraron dospruebas, las cuales se aplicaron a los dos grupos.Las pruebas formaron parte de las evaluacionesprevistas dentro del proceso valorativo normal delos estudiantes, de acuerdo con el esquema esta-blecido en el espacio académico. También se apli-có una encuesta con el fin de determinar, por unlado, el impacto de las actividades realizadas en elproceso de formación de los estudiantes como pro-fesionales de la educación y, por otro, su posiciónreflexiva frente al proceso didáctico llevado a caboen el abordaje de las temáticas.

-*) �������� �� ���������� �� ��� �"����������

Con las dos evaluaciones se pretendía valorar laapropiación, por parte del estudiante, del conceptode semejanza de triángulos. La primera evaluaciónse aplicó cuando ambos grupos conocían la defini-ción de triángulos semejantes y el criterio A.A.A desemejanza de triángulos. La segunda evaluación seaplicó cuando se habían estudiado los demás crite-rios de semejanza y las relaciones a las que ésteconcepto da origen en triángulos rectángulos.

+������ �"������'�

Con el primer item de esta evaluación se buscabadeterminar si los estudiantes podían hacer una apli-cación directa del tema estudiado, estableciendo lasemejanza de dos triángulos. Con el segundo, sepretendía determinar si podían hacer el enlace en-tre la semejanza de triángulos y relaciones aritmé-ticas entre longitudes de segmentos.

De acuerdo a los resultados, se clasificaron losalumnos en tres categorías según los parámetrosque se dan a continuación.

Page 24: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

Categoría I Estudiantes que lograron demostrar lasemejanza de los triángulos propuestos en el enun-ciado e identificar otro par de triángulos semejantespara demostrar el segundo item de la evaluación.

Categoría II Estudiantes que sólo pudieron esta-blecer la semejanza entre los triángulos dados enel enunciado.

Categoría III Estudiantes que no lograron demos-trar la semejanza de los triángulos propuestos en elenunciado.

������ �"������'�

La segunda evaluación constaba de tres pregun-tas, con la primera, se esperaba que los estudian-tes relacionaran la proporcionalidad entre las me-didas de los lados con el concepto de triángulossemejantes y rectas paralelas.

Teniendo en cuenta las respuestas, los estudiantesfueron clasificados en tres grupos de acuerdo conlos siguientes criterios:

• Grupo alto: Consta de aquellos estudiantes quepudieron resolver satisfactoriamente el proble-ma, haciendo la construcción solicitada y dandolas justificaciones correspondientes.

• Grupo intermedio: Se incluyen aquí aquellosestudiantes que propusieron construcciones queno eran del todo correctas.

· Grupo bajo: Corresponde al grupo de estudian-tes que no hicieron propuesta de solución.

En esta ocasión, en el grupo A se obtuvieron mejo-res resultados.

Con la segunda punto, se pretendía contrastar lacapacidad de análisis, tanto geométrica como al-gebraica, y la habilidad del estudiante para identifi-car triángulos semejantes. Los criterios de clasifi-cación para este item fueron los siguientes.

• Grupo alto: Consta de los alumnos que identifi-caron correctamente los triángulos semejantes,establecieron las proporciones correspondientespero les faltó el análisis algebraico requerido.

• Grupo intermedio: Formado por los estudian-tes que identificaron correctamente los triángu-los semejantes pero no establecieron las pro-porciones correspondientes.

• Grupo bajo: Estos son los alumnos que no lo-graron identificar triángulos semejantes.

Nuevamente se observaron diferencias entre los re-sultados obtenidos por el grupo A y el grupo B (Grá-

fica 3). En general, se notaron serias deficiencias enel manejo algebraico de la situación planteada.

El tercer punto difiere de los anteriores, pues enforma explícita se nombran dos triángulos seme-jantes, lo cual ubicaba a los estudiantes directa-mente en el tema motivo de estudio. Ellos debíandemostrar su capacidad para manejar los diferen-tes criterios de semejanza de triángulos.

La clasificación realizada, de acuerdo a las res-puestas, fue la siguiente:

• Grupo alto: En este grupo están los estudian-tes que resolvieron correctamente el problema.

• Grupo intermedio: Conformado por aquellosestudiantes que establecieron la semejanza en-tre los dos pares de triángulos necesarios pararesolver el problema.

• Grupo bajo: Son aquellos estudiantes que so-lamente identificaron un par de triángulos se-mejantes.

En esta pregunta surgió la necesidad de incluir unacuarta categoría conformada por aquellos estudian-tes que no abordaron el problema. En general, losestudiantes del grupo A muestran, en esta evalua-ción, un mejor desempeño, que los del grupo B.

-*, �������� �� �� ��������

Aun cuando se evidenciaron resultados levementemejores en el aprendizaje y dominio del tema Se-mejanza de Triángulos por parte del grupo A fren-te al grupo B, los investigadores indagaron sobreefectos de otra índole. Para tal efecto se diseñó laencuesta LA “EXPERIMENTACIÓN” EN ELAPRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA. Las res-puestas a las preguntas se clasificaron teniendo encuenta dos aspectos: la formación disciplinar y laformación pedagógica y didáctica.

Con base a la encuesta se observo que los comen-tarios de los estudiantes del grupo B se refirieron,principalmente, a la incidencia del profesor en suaprendizaje y al desarrollo tradicional de la clase,limitando la perspectiva del papel protagónico delestudiante en el proceso de su aprendizaje, al colo-car la responsabilidad en el profesor. Algunos desus comentarios son los siguientes: se enunciaronteoremas y resolvieron ejercicios, es simplementeuna clase dictada, faltó elaboración y desarro-llo de más ejercicios. Dos estudiantes expresanla ausencia de metodología que permitiera un me-jor aprendizaje: el enfoque debió haber sido más

Page 25: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

reiterativo y más deductivo, se vio superficial-mente el tema y faltó didáctica que facilitara elaprendizaje. En este grupo hay criterios opuestosreferentes a la metodología, pues algunos estudian-tes expresan su conformidad mientras que otros no.

En cuanto al uso de la geometría dinámica los es-tudiantes del grupo B pese a que no usaron herra-mientas alternativas, (calculadoras, computador) enla enseñanza de la Geometría, consideran que esun estímulo para el aprendizaje.

Los estudiantes del grupo A, se refieren, en sus co-mentarios, a las bondades del uso de la geometríadinámica y a los aspectos que ésta favorece en elaprendizaje, como, por ejemplo, la interacción en elproceso de construcción de conceptos y la visuali-zación de aspectos que no pueden verse con simplepapel y lápiz. Comentan que el aprendizaje de ma-nera experimental hace los objetos geométricos más“palpables”, facilita la verificación e impulsa la for-mulación de conjeturas. Es una herramienta exce-lente para vincular muchos conceptos.

En otra pregunta de la encuesta se pretendía clasi-ficar, en orden de importancia para su aprendizaje,las siguientes estrategias didácticas: discusión par-ticipativa estudiante – profesor, introducción de te-máticas a través de resolución de problemas, talle-res para trabajo en grupo, uso de herramientas al-ternativas y explicaciones del profesor. La estrate-gia que más destacaron fue la discusión participa-tiva estudiante – profesor, evidencia de la necesi-dad de descentralizar el proceso de la presenta-ción magistral de las temáticas. En el grupo A, nin-gún estudiante destacó, como aspecto relevante, la

introducción de temáticas a través de la resoluciónde problemas, hecho que resulta paradójico, dadoque fue a través de este mecanismo que se intro-dujo el tema de semejanza. En el grupo B, ningúnestudiante destacó, como aspecto prioritario, eldesarrollo de talleres para trabajo en grupo.

/*���%��"���%��La exploración permitió la elaboración de conjetu-ras que apuntaban a los conceptos involucrados enla semejanza de triángulos, la solución de proble-mas de aplicación y la formulación de teoremasclásicos correspondientes.

Se sugiere incluir como parte de la formación profe-sional del docente de matemáticas el uso reflexivo ysignificativo de la geometría dinámica, a través detalleres donde se puedan realizar procesos de cons-trucciones geométricas o acercamientos a propie-dades y relaciones geométricas, que permitan eldescubrimiento de éstas, así como la formulación yvalidación de conjeturas. Para lograrlo, el estudiantedebe tener manejo ágil del recurso tecnológico.

��3���%�������4���1� 3����CLEMENTS, D. Y BATTISTA, M. (1992). “Geometry andspatial reasoning”. En: GROUWS, D. (ed.). Handbook of researchon mathematics teaching and learning: a project of th NationalCouncil of teachers of Mathematics, NCTM, New York.

SAMPER DE CAICEDO, Carmen; LEGUIZAMÓN de Bernal,Cecilia; CAMARGO, Leonor; DONADO, Alberto. Hacia laconstrucción de un currículo para el área de Geometría de laLicenciatura en Matemáticas. Tea Tecne, Episteme y Didaxis,v. 10, p.99-112, 2001.

�������������1�%��������������!�(�������!�� !���9��������%���%���������������%��$%6����!��4�;�����������!�%����

CARLOS EDUARDO VASCO U.

���"��%La conferencia analiza el trabajo por competen-cias en la enseñanza de las matemáticas desde elpunto de vista de las cuatro dimensiones de la com-

UNIVERSIDAD DEL VALLE prensión (contenidos, métodos, formas y praxis) yde los cinco procesos generales de la actividadmatemática según los Lineamientos Curricularesdel área de Matemáticas de 1998: la resolución yel planteamiento de problemas; el razonamiento; lacomunicación; la modelación, y la elaboración, com-paración y ejercitación de procedimientos.

Page 26: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

����%(��!�1���$%��%�����������!�� !�����%�����������9������

DIANA JARAMILLO1

���"��%Tradicionalmente la formación de profesores queenseñan matemáticas ha estado inserida en el pa-radigma de la racionalidad técnica. En ese para-digma, la enseñanza es concebida como una cien-cia aplicada y el profesor como un técnico que debeaplicar los conocimientos científicos, generalmen-te, producidos por otros. Así, el papel del profesores tomar ese conocimiento e inserirlo en las men-tes de los estudiantes. En ese tipo de racionalidad,la institución escolar debe ser, antes de cualquiercosa, <<eficiente y eficaz>>. Ese modelo hace quela relación entre la <<formación>> recibida por elprofesor y la práctica pedagógica que él desarrollase constituya en una dicotomía. En esta dicotomía,de un lado, están las instituciones que <<forman>>al docente, con sus discursos, sus teorías y sus prác-ticas y, de otro lado, están la escuela y la prácticapedagógica de ese docente.

Intentando romper con ese paradigma y con los<<clichés>> que de él se derivan, otros caminosde formación se vienen gestando, a partir de inves-tigaciones, en el ámbito nacional e internacional.Esos caminos retoman como elementos centralesde la formación del profesor de matemática su ex-periencia —personal/profesional/académica— y suideario pedagógico2 . En esos otros caminos cobranvida ideas como la del “profesor reflexivo” y la del“profesor investigador”. Pero, ¿qué es la reflexiónde los profesores?. Reflexionar, ¿para qué?. Re-flexionar, ¿sobre qué?. ¿Qué es la investigación delos profesores?. ¿Cómo los profesores se puedentornar investigadores?. ¿Investigar sobre qué?.

En esta conferencia planteo algunas posibles respues-tas a dichos interrogantes y discuto la relación que sepuede dar entre esas adjetivaciones del profesor. Deigual forma, y a modo de ejemplo, muestro el caminode formación que una profesora asume al desarrollaruna investigación en su ámbito escolar, específica-mente en su clase de matemática. La investigaciónreferida se titula “La producción de textos como par-te del proceso de evaluación escrita en matemáti-cas”3 . Finalmente muestro, a modo de conclusiones,y entre otras, que la reflexión e investigación —comocaminos de formación— posibilitan que el profesorde matemáticas se constituya en un <<sujeto de co-nocimiento>>. Es decir, mediado por la reflexión einvestigación, el profesor se constituye en un indivi-duo que continuamente está construyendo, producien-do y (re)significando conocimientos a partir de su pro-pia práctica profesional y de la interacción/interlocu-ción con otros sujetos. Conocimientos no apenas parasí mismo y sus alumnos sino, también, para sus cole-gas y para la comunidad de educadores matemáticosde la cual hace parte. De esta forma, el profesor su-pera la visión propia de la racionalidad técnica de serun consumista pasivo y ejecutante del conocimientogenerado por otros.

��3���%�������4���1� 3����ALARCÃO, I. Ser professor reflexivo. In: ALARCÃO, I. (Org.).Formação reflexiva de professores, estratégias de supervisão.Porto: Porto Editora, 1996.

FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à práticaeducativa. 7 ed. São Paulo: Paz e Terra, 1998 (original de 1996).

GOLDSMITH, L.; SHICFTER, D. Understanding Teachers inTransition: Characteristics of a Model for the Development ofMathematics Teaching. In: FENNEMA, E. e NELSON, B. (Ed.).Mathematics Teachers in Transition. Mahwah: LawrenceErlbaum Associates, 1997.

JARAMILLO, D. (Re)constituição do ideário de futuros professoresde matemática num contexto de investigação sobre a prática peda-gógica. Campinas: Editorial da Unicamp. Tesis de Doctorado, 2003.

LYTLE, S.L. y COCHRAN-SMITH, M. Aprender de la investi-gación de los docents: una tipología de trabajo. In: ANGULORASCO, J.F.; BARQUIN RUIZ, J.; PÉREZ GÓMEZ, A.I. (Ed.).Desarrollo profesional del docente: política, investigación ypráctica. Madrid: Akal, 1999.

MACIEL, D. A avaliação no processo ensino-aprendizagem deMatemática, no ensino médio: uma abordagem formativa sócio-cognitivista. Campinas: Editorial da Unicamp, tesis de maes-tría, 2003.

RAYMOND, A. Inconsistency between a beginning elementaryschool teacher’s Mathematics beliefs and teaching practice. In:Journal for Research in Mathematics Education. v. 28, n. 5, p.550-576, 1997.

ZEICHNER, K.; LISTON, D. Enseñar a reflexionar a los futu-ros docentes. In: ANGULO R., J.F. y otros (Ed.). Desarrolloprofesional del docente: política, investigación y práctica.Madrid: Akal, 1999.

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL

DE SANTANDER

1 Profesora de la Escuela de Matemáticas de la Universidad Industrial de Santander (UIS).Doctora en Educación: Área de Educación Matemática (UNICAMP). Área de investigación:formación inicial y continuada de profesores que enseñan matemáticas. Correo electrónico:[email protected]

2 “El ideario pedagógico del [futuro]profesor de matemáticas es una amalgama que se refierea las creencias, las concepciones, los conocimientos, los saberes, las ideas, lossentimientos, los valores del [futuro]profesor de matemáticas sobre la matemática, suenseñanza y su aprendizaje, y de la práctica pedagógica en general. Ideario que es resultado—de forma consciente o inconsciente— de los sentidos producidos por cada [futuro] profesor,sentidos dirigidos hacia la docencia, sobre las experiencias y los acontecimientos queviene sufriendo a lo largo de la vida. [...]. El ideario pedagógico del [futuro] profesor estásiempre en reconstitución en/y por la ínter-subjetividad. Sin embargo, el ideario pedagógicode cada [futuro]profesor es subjetivo, personal e intransferible” (Jaramillo, 2003, p. 236).

3 La investigación está siendo realizada por la Licenciada Sandra Evely Parada Rico ysus estudiantes de 7º grado en una escuela de la ciudad de Floridablanca. Este trabajo,del cual soy orientadora, apunta a ser la monografía de la profesora en el programa deEspecialización en Educación Matemática de la UIS.

Page 27: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

�%�"�%!���������3�����������!�� !���������"%�(��������6��������"����$%�� ��������� �������������2�����?�;��

ALFONSO JIMÉNEZ ESPINOSA1

Este trabajo tiene básicamente dos objetivos. Elprimero, entender cómo en un ambientecolaborativo de mutualidad, de intercambio y dereflexión entre profesores de Matemática de bási-ca y media y de la Universidad se da un procesode (re)significación y de reciprocidad de saberes yprácticas. El segundo, analizar cómo se ponen enacción los saberes construidos durante la forma-ción inicial o la práctica profesional y cómo sonproducidos nuevos saberes, en un ambiente de es-tudio e investigación que envuelve la exploración yel desarrollo de la práctica escolar, mediado por lareflexión teórica de la Educación Matemática.

El término (re)significación es usado en ese contex-to de intercambio y de aprendizaje con el otro, comoun proceso de producción de (nuevos) significadosy (nuevas) interpretaciones sobre lo que sabemos,hacemos y decimos... El proceso de (re)significaciónactúa, por tanto, sobre las experiencias y los sabe-res en acción que vienen siendo producidos por lossujetos que se encuentran para hablar sobre los mis-mos. Él sucede por el propio proceso de compartir yde construir colectivamente.

La (re)significación de saberes y prácticas puedeser observada como proceso permanente de ten-sión entre esos saberes y prácticas diferenciadas:por un lado, aspectos, particularidades y saberesde la experiencia de clases de Matemática lleva-dos por los profesores de los colegios, y por otro,los aspectos teóricos llevados por los académicosuniversitarios. La (re)significación aparece a tra-vés del proceso de interlocución donde escuchar,argumentar y contra-argumentar son fundamenta-les, en la práctica de un discurso con característi-cas de lúdico y/o polémico.

Se aspira a mostrar la importancia de la reflexióncolectiva tanto para los profesores de matemáticade nivel básico y medio, como para los académi-cos. Sin embargo, cuando el objeto de reflexión esla práctica discursiva que ocurre en el salón de cla-se, las discusiones se enriquecen y contribuyen máspara los procesos de (re)significación y de recipro-cidad de saberes de la acción pedagógica en Ma-temática. El texto aquí presentado se hizo con baseen algunos apartes de mi tesis de doctorado2 .

La investigación intentó dar respuesta a preguntas,que como formador de profesores siempre me hice,tales como: ¿Cómo será posible que los profesoresde matemática de los niveles básicos y de la uni-versidad aprendan conjuntamente sobre la comple-jidad de la práctica docente en los colegios y sobreel proceso de educación continua de profesores?,¿Qué significados sobre esos dos elementos –prác-tica y formación– pueden ser compartidos?, ¿Cómose da el proceso de intercambio y (re)significaciónrecíproca de saberes, y prácticas?, y, ¿Cómo seconstruyen nuevos saberes, en la interacción deprofesores y académicos?.

La investigación se adelantó en el acompañamien-to en un trabajo colaborativo con un grupo consti-tuido por profesores de matemática de básica ymedia y académicos universitarios3 . El grupo teníacomo objeto de estudio la reflexión sobre la prácti-ca pedagógica de sala de aula de matemática delos profesores de básica y media con la mediaciónde lecturas, experiencias investigativas de aula ynarrativas escritas por los profesores y, principal-mente, la reflexión teórica sobre estudios del áreade la Educación Matemática.

La hipótesis de trabajo consideró que ese tipo de en-cuentro colaborativo escuela – universidad es uno delos mejores espacios para (re)significar la prácticapedagógica en Matemática, tanto de los profesorescomo de los académicos formadores de profesores.

A continuación se discuten algunos presupuestos yelementos teóricos que fundamentaron la investi-gación. Luego se describen aspectos del procesometodológico usados en la recolección de informa-ción y en el análisis de la misma, luego se presen-tan apartes de episodios de encuentros del Grupo y

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL

DE SANTANDER

1 Docente investigador de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (UPTC)– Tunja. Doctor en Educación Matemática de la Universidade Estadual de Campinas(UNICAMP) – São Paulo, Brasil. E-mail: [email protected],[email protected]

2 Tesis sustentada en la Facultad de Educación de la Universidad Estadual de Campinas(UNICAMP) el 26 de noviembre de 2002, bajo la dirección del Dr. Dario Fiorentini.

3 Grupo de Investigación – Acción en Álgebra Elemental (GPAAE), vinculado al Centro deEstudios, Memoria e Investigación en Educación Matemática (CEMPEM) de la UNICAMPhasta finales de 2002, cuando su nombre cambió por Grupo de Sábado.

Page 28: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

analizados en la investigación y finalmente se dis-cuten algunos de los principales resultados.

El contexto actual de la formación de profe-sores. Se puede decir que, hoy entre los investiga-dores del área de la formación de profesores y dela Educación Matemática, además de la preocupa-ción con la investigación sobre los saberes produ-cidos por los profesores, se escucha con frecuen-cia un discurso donde se presenta como necesariotambién valorizar esos saberes e incorporarlos a laliteratura relativa a la formación de profesores. Esdecir que actualmente parece existir un consensoentre investigadores para pensar e investigar laformación de profesores en una perspectiva dife-rente del modelo de la llamada Racionalidad Téc-nica. La investigación en esa área ha producidomuchos trabajos sobre el pensamiento del profe-sor, sobre los saberes por ellos producidos4, sobreel profesor reflexivo5, sobre el profesor como in-vestigador6, etc. Sin embargo, para romper con laRacionalidad Técnica, el enfoque de investigacióntambién necesita cambiar, es decir, dejar de inves-tigar a los (o sobre los) profesores para investigarcon los profesores7.

Este nuevo enfoque de la investigación está en con-cordancia con diversos elementos de cambios so-ciales en esta época llamada por los sociólogos, pos-modernidad. Este movimiento cuestiona principiosy presupuestos de la modernidad, tales como razón,racionalidad, progreso y ciencia, entre otros8. En esecontexto pos-moderno, [...] el sujeto es fundamen-talmente fragmentado y dividido... el sujeto noes el centro de la acción social. Él no piensa,habla y produce: él es pensado y producido (Sil-va, 2000, p. 113). En ese contexto se (re)valorizala subjetividad y el aprendizaje colectivo y coopera-tivo, por ejemplo, entre profesores y académicos.

El pos-modernismo no solo rechaza, también inclu-ye, tolera y privilegia el mestizaje de culturas, deestilos, de modos de vivir y de saberes. [...] re-chaza distinciones categóricas y absolutascomo la que el modernismo hizo entre “alta” y“baja” cultura (Ibíd., p. 114). En esta perspec-tiva los saberes práctico-pedagógicos de los profe-sores, adquieren gran importancia cuando se de-

sea (re)pensar la propia formación de profesores.En ese contexto han surgido estudios sobre el pen-samiento del profesor y los saberes producidos porellos, sobre el papel de la reflexión del profesor,sobre el profesor como investigador y sobre el tra-bajo colaborativo entre la universidad y los otrosniveles de la educación.

Algunos estudios que investigan espacios apropia-dos para el aprendizaje con el(los) otro(s) han dis-cutido sobre los elementos importantes presentesen el diálogo y en los procesos comunicativos, comoespacio para el aprendizaje. Este es el caso deltrabajo de Cestari et al. (2000). Esas investigado-ras destacan que el aula es esencialmente un es-pacio de comunicación muy especial donde los par-ticipantes relatan mutuamente enunciados de for-ma directa para el(los) otro(s).

Para estas autoras, la mutualidad9 -es una condi-ción esencial para el establecimiento del diálogo yun elemento importante para el aprendizaje. Des-tacan la importancia que los profesores de Mate-mática adecuen, en sus aulas, contextos de mutua-lidad, y destacan tres indicadores de esa mutuali-dad: permitir la emergencia de la duda y de la cu-riosidad para estimular a los alumnos a hablar; te-ner apertura y disposición para aceptar las contri-buciones de los alumnos; y valorar las respuestasde los alumnos. Esas investigadoras avanzan alentender el salón de clase como espacio de mutua-lidad con la posibilidad de aprender, no solo del otro,sino con el otro. Esa concepción de sala de auladifiere ampliamente de la educación tradicional, lla-mada por Paulo Freire (2002) bancaria. La con-cepción de aula como espacio de mutualidad, lle-vada a la educación continua de los profesores,permitiría la posibilidad que la universidad, comoformadora de profesores, aprenda con ellos sobresus prácticas pedagógicas.

��3���%�������4���1� 3����CESTARI, M. L. & KNUTSON, P. Constructing mutualities inthe clasrroom: Discursy e practices in teachers training inNorway. III Conference for Socio Cultural Research, StateUniversity of Campinas, S.P. Brazil 16-20 july, 2000.

CLANDININ, J. Teacher Education as Narrative Inquiry. In:Learning to teach, teaching to learn: Stories do Collaboration inTeacher Education. CLANDININ, J., DAVIES, A., HOGAN P. &KENNARD, B. (Edit.). New York: Teachers College Press, 1993.

4 Clandinin, (1993) ; Tardif, (2000); Fiorentini, (2000 y 2001); Jiménez, (2002).5 Zeichner, (1993); Shön, (1992), Zeichner y Liston (1999); Kemmis (1999); Elliot (1999), etc.6 Elliot, (1999); Hopkins, (1989); Cochram -Smith & Litle (1999), etc.7 Fiorentini (2001).8 Hargreaves (1998) y Silva (2000).

9 La mutualidad se da en un espacio de comunicación donde se tiene una serie de acuerdos,algunos generalmente implícitos, y en el cual se comparte conocimeinto e informaciónsin restricciones y se hace libremente (Cf. Cestari, et al. 2000).

Page 29: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

COBB, P. Perspectivas experimental, cognitivista e antropoló-gica em educação matemática. Tradução do Prof. Dr AntônioMiguel. Campinas SP: Zetetiké, Vol 4 (6). p. 153-180. Julho/dezembro de 1996.

COCHRAM-SMITH, M. & LYTLE, S.. Relationships ofknowledge and practice: Teacher learning in communities.Review of Research in Education, 24. Washington: AmericanEduational Research Association, 1999.

CONTRERAS, J. El sentido educativo de La investigación. In:Desarrollo Profesional del Docente: Política, investigación y prác-tica. Angulo, J., Barquim, J., y Pérez A. (Eds). Madrid: Akal, 1999.

ELLIOT, J. La relación entre <comprender> y <desarrollar>el pensamiento de los docentes. In: Desarrollo Profesional delDocente: Política, investigación y práctica. Angulo J., Barquim,J., y Pérez A. (Eds). Madrid: Akal, 1999.

FIORENTINI, D.., NACARATO, A. e PINTO, R. Saberes daexperiência docente em matemática e educação continuada.Quadrante: Revista teórica e de investigação. Associação deprofessores de matemática de Portugal, 8(1,2) 33-40, 1999.

FIORENTINI, D. Pesquisando “com” professores: reflexõessobre o processo de produção e ressignificação dos saberes daprofissão docente. In: Investigação em Educação Matemática,Perspectivas e Problemas. Matos J. e Fernandes E. (Ed.). Lis-boa: Associação de Professores de Matemática, 2000.

HARGREAVES, Andy. Os professores em tempos de mudança:o trabalho e a cultura dos professores na idade pós-moderna.Lisboa: McGraw-Hill de Portugal, 1998.

HOPKINS, D.. Investigación en el aula: guía del profesor. Co-lección IIE. Barcelona: PPU, 1989.

JIMÉNEZ, A. La formación continuada de profesores de matemá-tica: una experiencia. Bogotá: Revista EMA, 6 (3), 250-263, 2001.

JIMÉNEZ, A.. Quando professores de Matemática da escola e dauniversidade se encontram: re-significação e reciprocidade de sabe-res. Campinas (São Paulo): Tese de doutorado, Faculdade deEducação, Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), 2002.

KEMMIS, S. La investigación-acción y la política de la re-flexión. En: Angulo, J., Barquim, J., y Pérez A. (Eds). Desarro-llo Profesional del Docente: Política, investigación y práctica.Madrid: Ediciones Akal, 1999.

SCHÖN, Donald. La formación de profesionales reflexivos:Hacia un nuevo diseño de la enseñanza y el aprendizaje en lasprofesiones. Barcelona: Ediciones Paidós, 1992.

SILVA, Tomas Tadeu da. Documentos de identidade: umaintrodução às teorias do currículo. Belo Horizonte: Autêntica,2000. 2ª edição, 1ª reimpressão.

ZEICHNER, Kenet. A formação reflexiva dos professores: idéiase práticas. Lisboa: Educa, 1993.

ZEICHNER, K. Y LISTON P. Enseñar a reflexionar a los futu-ros docentes. En: Angulo, J., Barquim, J., y Pérez A. (Eds).Desarrollo Profesional del Docente: Política, investigación ypráctica. Madrid: Ediciones Akal, 1999.

�����%���!������%3�%�!��6���3������$%�������3���������5%���� ��������������2��"����5���� @� ���#"���

MARTHA BONILLA ESTÉVEZJAIME ROMERO CRUZ

PEDRO JAVIER ROJAS GARZÓN.

)*��%!���"���$%Este escrito surge de la indagación dirigida porD'Amore, realizada por miembros de los grupos NRD(Bologna-Italia); ASP (Cantón Ticcino-Suiza) yMESCUD (Bogotá-Colombia) en el marco de la in-vestigación interinstitucional "Il Senso dell'Infinito"1

Puesto que el cuerpo de datos cualitativos utiliza-dos en este documento fue obtenido en la investi-gación mencionada, es necesario ubicar sucinta-mente tanto los propósitos de la misma como algu-nos aspectos de la metodología empleada.

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

Sobre el propósito. En la investigación antedichanos preguntamos si puede declararse que existe algoanálogo al "sentido del número", pero referido al in-finito, es decir, algo como un "sentido del infinito".

Para tal fin se seleccionó dos ámbitos de indaga-ción. El primero, D1, se refiere a un carácter intuiti-vo y lingüístico; el segundo, D2, a uno más elabora-do y técnico. Así, el primero involucra a estudiantescon formación matemática no especializada o a per-sonas no dedicadas estrictamente a la matemática.El segundo incluye personas con una cierta compe-tencia matemática, cercana a la de los estudiantesque estudian matemáticas superiores o a personascultas en matemáticas (como, por ejemplo, profeso-res de matemática de escuela secundaria).

En particular para D2, sobre el que haremos énfa-sis en este escrito, motivados en que:

"Es bien sabido que el axioma euclidiano del todo y las partes (eltodo es mayor que las partes) vale solo para conjuntos finitos.Esto obviamente no vale en el caso de conjuntos infinitos, es tancierto esto que, la propia característica usada para definir conjuntosinfinitos lo incorpora (Un conjunto es infinito cuando es posibleponerlo en correspondencia biunívoca con una parte propia suya).Una vez aceptado este paso, reservado a sujetos de discretacompetencia matemática, se sabe de la literatura que elaplastamiento (Arrigo, D'Amore, 1999, 2002) es un enemigo difícil

1D'Amore et al. (2004) "Il senso dell'infinito" La matematica e la sua didattica. Pitagora:Bologna. Próximo a aparecer.

Page 30: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

de superar. Por aplastamiento entendemos la falsa concepciónsegún la cual todos los conjuntos infinitos son equipotentes entresí. Sabemos bien que esta convicción viene reforzada por lasdemostraciones de que N, Z, Q son efectivamente equipotentesentre ellos, no obstante la aparente imposibilidad invocadaintuitivamente cuando para N, Z y Q se proponen alguno de losmodelos figurados usuales. En este punto, los estudiantes terminancon la creencia de que demostraciones análogas valen para todoslos conjuntos infinitos. Para entender el pasaje entre lanumerabilidad infinita n (de N, Z, Q, por ejemplo) y la infinitacontinua c (de R y de los complejos, por ejemplo), ocurre unamaduración, una competencia, una capacidad crítica de alto nivel",

se estableció algunas cuestiones¿Qué nivel de competencia requiere para afirmar como se haceusualmente que n < c? ¿Cuántos profesores de matemáticas losaben o lo saben entender? ¿Cómo lo ven los estudiantes decursos universitarios? " (D'Amore, et al 2004)2

Sobre aspectos metodológicos. La metodología uti-lizada privilegió la aproximación cualitativa, indagandoen diferentes grupos de sujetos a través del uso decasos y entrevistas clínicas, aspectos relativos a laspreguntas y objetivos de la investigación. En total seinvolucraron 1007 sujetos pertenecientes a D1: 130colombianos, 298 italianos y 579 suizos, y 36 sujetosde D2: 20 colombianos y 16 italianos.

Los casos utilizados corresponden a "historias" querelatan conversaciones entre sujetos; se solicita alos estudiantes o profesores participantes la elec-ción entre las opciones presentadas y una argumen-tación para ello. Para el caso de las entrevistas clíni-cas se construyó para cada uno de los entrevistadosun derrotero particular que tenía en cuenta lo res-pondido por él en cada uno de los casos.

+*�#���$��!�������!�������!�Como formadores de profesores hemos estado in-teresados en indagar sobre aquellos obstáculos quese presentan en los estudiantes para profesor y enlos profesores en ejercicio, a propósito del aprendi-zaje de ciertos conceptos matemáticos. Estos obs-táculos constituyen una dificultad a superar en losprogramas de formación para profesores de mate-máticas y por lo tanto se constituyen en una valio-sa fuente para los procesos de construcción y dedesarrollo curricular.

Como mostraremos, parte de estos obstáculos pro-vienen de un tipo de formación impartida. En esteescrito nos interesa exponer algunas comprensio-

nes que de infinito tienen algunos profesores y es-tudiantes para profesor, a la vez que presentar unaposible explicación de ese estado de comprensiónmanifestado.

Aspectos metodológicos. Para el cumplimiento delpropósito descrito en (2), acudimos además de lohallado en la investigación, a la tipología de obstá-culos propuesta por Brousseau (1983) para agru-par y diferenciar los obstáculos según su origen:epistemológico y didáctico.

La noción de obstáculo epistemológico la conside-ramos adecuada a nuestra intencionalidad ya queellos (los obstáculos) surgen, emergen y se supe-ran en el proceso de aprendizaje por la confronta-ción que entre adquisiciones nuevas y comprensio-nes viejas establece el alumno en los procesos deinteracción didáctica. Así, un obstáculo es un esta-do del conocimiento que está relacionado con cons-trucciones anteriores y que para muchas contex-tos resulta exitoso pero que fuera del mismo puedegenerar respuestas incorrectas (no adecuadas) opoco precisas; es un conocimiento que puede re-sultar altamente persistente y resistente de ser trans-formado y que por tanto debe ser tematizado oconvertirse en objeto de reflexión por el estudiante(o el aprendiz) para que tenga posibilidades de serreorganizado o reelaborado.

Actualmente muchos de los currículos de mate-máticas, en particular los de formación de profeso-res, están organizados de tal manera que en unasecuencia lineal se presentan trozos del saber ins-titucionalizado, y se deja al estudiante la responsa-bilidad de la integración de los conocimientos vie-jos con los nuevos así como su desestructuración.Este hecho produce, como lo intentamos mostraren este artículo, simbiosis entre lo nuevo y lo viejo,es decir, obstáculos, que de manera particular parael concepto que nos ocupa -el infinito-, se encuen-tran en personas con formación matemática de altonivel que están ancladas en conocimientos adquiri-mos en la época escolar anterior y que, por no sertematizadas y reflexionadas, persisten aunque aveces parezcan contradictorias.

Este referente nos sirve para dar un matiz a lasrespuestas que los participantes en la investigaciónsobre el sentido del infinito dieron. Tomamos acácomo objeto de análisis las respuestas de estudian-tes para profesor (de séptimo semestre en adelan-te) de la Licenciatura en matemáticas, de profeso-res recién egresados y de profesores en ejercicio,estudiantes de la Especialización en Educación

2Puesto que el artículo está en prensa, pero será publicado este año, no es posible aúnsaber la página de lo extractado. Esto explica que en la información dispuesta no estéla página correspondiente.

Page 31: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

Matemática, quienes formaron parte de lo que de-nominamos al ámbito D2. Como ya se mencionóasumimos que un obstáculo se construye en situa-ciones escolares anteriores, para mostrar este as-pecto retomamos algunos de las respuestas dadaspor estudiantes pertenecientes a D1, pues debido aque ellos no han tenido formación explícita sobre elinfinito muestran en sus respuestas algunos de losconocimientos que consideramos explicaciones pri-marias que al no ser tematizadas (para diferenciar-las, ampliarlas o refutarlas) en situaciones de apren-dizaje posteriores, se convierten en obstáculos quese manifiestan en los profesores con formaciónmatemática avanzada. Denominamos a estos obs-táculos de origen didáctico ya que son adquirimosen el contexto escolar precisamente por la elec-ción de la propuesta educativa establecida.

Para categorizar los obstáculos de origen episte-mológico acudimos a las nociones matemáticas im-plicadas en el concepto de infinito y que han sidoreportadas, en diferentes textos, como dificultadeshistóricas en la formación de las mismos, ya que serelaciona con la naturaleza misma del conocimien-to matemático.

Nuestra investigación se enmarca en un enfoquede tipo cualitativo cuya intención es aportar cono-cimiento de tipo descriptivo, explicativo o predictivosobre algunos de los fenómenos que ocurren enrelación con las matemáticas escolares, su ense-ñanza y aprendizaje.

En tal sentido, para describir los obstáculos quemanifiestan los estudiantes para profesor y los pro-fesores en ejercicio acudimos a sus explicacionessobre el infinito dadas en la entrevista clínica o enrespuesta a alguno de los casos propuestos, peropara explicarla acudimos a las rupturas oacomodaciones que establecen entre un conoci-miento nuevo y uno viejo, lo cual haremos descri-biendo las explicaciones que los estudiantes conmenor formación matemática dan al infinito e in-tentando mostrar la conexión entre esos dos cono-cimientos, es decir entre las nuevas formas de "de-cir" sobre el infinito y las viejas formas de "enten-der" el infinito.

De ese estado de rupturas o acomodaciones pode-mos concluir que el tipo de trabajo que se les hapresentado influye en la aparición y permanencia delos obstáculos, y que por tanto es necesario cons-truir situaciones de aprendizaje en las cuales se re-cupere para el estudiante el sentido del aprendizajebuscando que se haga conciente de esas diferentes

formas de comprender un objeto matemático y delas limitaciones y ventajas de cada una de ellas.

.*�<����'1����%�������En algunas de las entrevistas realizadas, nos en-contramos con aseveraciones como las siguientes3.La primera de ellas efectuada con un profesor enejercicio (P

1), que terminó su pregrado en mate-

máticas hace aproximadamente 5 años, quien en laentrevista nos responde

E: Hablando de conjuntos numéricos y los cardinales a ellosasociados, usted ¿puede asociarle a los racionales un cardinal?

P1: Si no puedo a los naturales, mucho menos a los racionales

E: ¿y con los reales, igual?

P1: No, yo puedo establecer equipotencias entre algunos de esosconjuntos, pero ahí más no.

E: dígame dos conjuntos entre los que pueda establecerla

P1: En enteros positivos y racionales

E: ¿Para usted eso no es suficiente para designar cardinalidad?

P1: Pero en la relación de equivalencia... son iguales

E: ¿En qué son iguales?

P1: En relación de equivalencia

E: En relación de equivalencia, ¿respecto a qué son iguales?

P1: En cantidad de elementos

E: Sabiendo que eso es así, que son iguales en cuanto a cantidadde elementos, estaría ahí definiendo una equivalencia entreconjuntos, insisto ¿no es suficiente para decir del cardinal de esosdos conjuntos?

P1: Recordemos primero que en estas situaciones, uno lo primeroque establece es equivalencia y luego orden y estamos hablandode eso, la equivalencia se puede detectar, es lo primero, es lomás sencillo para detectar, y luego pues uno trata de buscarequivalencias para establecer el orden, prioridad, para establecermayor, menor, bueno todos esos elementos. Entonces en estosconjuntos uno puede establecer primero equivalencia porque esmucho más sencillo, uno puede hacer una correspondencia, perode ello establecer quién es el último y cuántos hay, eso se mehace cosas diferentes.

Las respuestas de un profesor de matemáticas (P2),

con más de 10 años de experiencia:P2: Hasta aquí prácticamente estaba la demostración y estácorrecto, pero no sé, eso no me convence porque no puede ser0, 9= 1, no es … puede ser una millo…. millo…..millonésima,pero le va a faltar algo, entonces ¿por qué motivo aquí dio queera igual a 1?..algo debe estar funcionando mal aquí…

…. Entender el concepto de infinito, es decir siempre va a haberuno más, uno más.

Las respuestas de un profesor recientemente gra-duado (menos de un año)

3 Para lo que sigue usaremos como convención E para entrevistador, Ei para estudiantepara profesor y Pj para profesor en ejercicio.

Page 32: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

P3: yo he tenido la oportunidad de, de leer … sobre lo que hizo …Cantor, sobre … cardinal de los números naturales, los reales,…él llamaba el cardinal de los naturales como ℵ 0…… pues, no sesi sea un número, o sea no tengo claro si podría llegar ser unnúmero natural … si ℵ 0 fuera un número, podría yo decir quesería un número muy grande, … que se escribe de alguna formasobre el infinito

…algún número natural muy grande … cualquiera que puedadecir en este momento será muy pequeño, en comparación atodos los que hay, que son muchísimos

…no está en el, conjunto de los números naturales…digamossería un número que catalogaríamos como números, infinitos,podríamos decir así

Las respuestas de un estudiante para profesor(quinto semestre)

E1: a los naturales podemos agregar uno más, uno más, mientrasque en los reales ya se verá el infinito desde otra forma que nosolo como agregar uno más, sino también como dividir y dividirtodo lo que uno quiera.

En la literatura que versa sobre la comprensión delinfinito y lo infinito se encuentran tematizadas dis-tintas tipologías de dificultades que diversos tiposde estudiantes manifiestan cuando tratan con con-ceptos matemáticos (Fischbein (1979), D'Amore(1996), Arrigo y D´Amore (1999) y Tall (2001)).

Obstáculos epistemológicos. En cuanto a los obs-táculos epistemológicos referidos al concepto deinfinito hemos encontrado, tanto en la literatura,como en la indagación, varios tipos:

1. El modelo de infinito como proceso sin fin.Esta idea claramente expresada por P

2 refleja la

acepción de lo infinito en su sentido potencial, liga-da a la numerosidad de los naturales (como el con-junto infinito por excelencia), hallada a partir de lainducción (uno más, el siguiente). También la en-contramos reflejada en afirmaciones ligadas al pro-ceso de dividir expresada por E

1.

En estas afirmaciones encontramos ideas sobre elinfinito enmarcadas en la posibilidad de continuarreiterando un proceso (finito) tantas veces comose quiera, bien sea desde el punto de vista de larealización física o la realización mental. Para mu-chos de los entrevistados resulta claro que el pro-ceso se puede continuar realizando "infinitamen-te", aunque desde el punto de vista de lo "concreto"este sería imposible. Tal es el caso de las respues-tas dadas por estudiantes para profesor, a pregun-tas como las siguientes:

¿Se puede continuar al infinito? ¿Se puede continuar al infinito?

E2: Sí, porque si tomamos la figura, podemos seguir el trazo de talforma que podamos realizar "una especie de espiral cuadrangular"de manera que lo pueda extender tanto como se quiera, nuncallegaría al infinito pero se comporta de esa forma…"

E3: Considero que es posible aunque físicamente llegará unmomento en el cual parecerá que se detuvo en un punto, siacercamos una lupa nos daremos cuenta que podríamos continuarcon el procedimiento tanto como quisiéramos".

Se puede continuar al infinito?

0 1 2 3 4 5 … 1 ½ 1/3 ¼ 1/5 … 0 ½ 2/3 ¾ 4/5 … E4 Sí, porque los considero números naturales y siempre en estasucesión tienden al infinito…

E4 Sí, porque los considero como un número racional y siempretienden a infinito

2. La aceptación del axioma euclidiano que ca-racteriza el todo como mayor que la parte. Essin duda una de las características de los conjuntosfinitos que los estudiantes trasladan a la noción deinfinito, que además es compatible con la teoría deconjuntos estudiada en la matemática escolar. Esteaxioma, se constituye así en uno de los obstáculosnecesarios de superar a fin de comprender una delas características fuertes de los conjuntos infinitosy es precisamente que podemos encontrar resulta-dos como los siguientes: i) Hay tantos pares comonaturales. ii) Hay tantos puntos en un segmento de10 cm como en la recta completa. iii) Hay tantosnúmeros múltiplos de 45 como naturales.

Las respuestas a nuestras preguntas son revelado-ras de este obstáculo.

¿Donde hay más puntos, en un segmento de longitud 10cm o enuno de longitud 20 cm?

P4. Si uno relaciona un punto de ese primer segmento se diez,con los infinitos de acá [del segmento de longitud 20] pero,relacionándolos uno a uno, .. entonces podría decir que faltaríaesa otra parte del segmento y puntos por relacionar con los delanterior, porque los del anterior ya se habrían acabado… habríaesa contradicción de que este segmento tiene infinitos puntosigual que este…

¿Donde hay más números en los enteros o en los naturales?

P2: …porque el segmento es parte del cuadrado y la parte nunca

es igual al todo [después de la visualización de una biyecciónentre dos segmentos de diferente longitud, se pregunta] .. ¿Porqué ahí no se cumple que la parte es siempre menor que el todo?

3."Lo mismo" y "cuántos" Aquí nos apoyamos enlas siguientes definiciones. Dos conjuntos son equi-valentes por cardinalidad si se puede establecer unacorrespondencia uno a uno y sobre entre ellos y, el

Page 33: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

cardinal de un conjunto es la característica que tie-ne en común con todos los conjuntos con los quees equivalente (en el sentido definido anteriormen-te) y que lo distingue de aquellos con los que no loes. Este hecho que efectivamente se continúa cum-pliendo en los conjuntos infinitos, pone en cuestiónla idea de que es necesario "contar", como se re-fleja en el caso de P

1 antes citado

Para el caso finito, se diferencia entre "tener lomismo" (en tanto se establece una biyección entreconjuntos) y poder afirmar "cuántos hay" en cadauno, pues se tiene la experiencia con los númerosdel conteo. Por ejemplo, respecto al número devocales de nuestro alfabeto actual, decimos hay"5", y no, hay tantos como dedos en una mano.Pero para el caso infinito esta diferencia se consti-tuye en obstáculo, pues ante la ausencia de nom-bres cotidianos para designar cuántos hay, el reco-nocer igualdad por biyección no es visto como po-sibilidad de asignar cardinal, y menos aún pensaren diferentes cardinales infinitos. Veamos la si-guiente afirmación:

P1: [entre n y 1/n] yo puedo hacer una correspondencia ahí, pero¿quién y cuál es el cardinal?, pues no es posible determinar

4. El efecto aplastamiento de los cardinalestransfinitos. Tal como lo caracteriza D'Amore, seda cuando se asume que todos los conjuntos infini-tos tienen el mismo número de elementos, de loque se concluye que no es posible encontrar orden,puesto que no hay sino uno: el infinito. Este hechoestuvo también presente en las afirmaciones reali-zadas por los entrevistados,

P2: [n no puede ser distinto a c] el infinito es uno solo… porquelo infinito es lo infinito… si usted tiene uno tiene otro y otro….

Este obstáculo está ligado a la imposibilidad de acep-tar, como nuevo conocimiento, la existencia otrosnúmeros transfinitos, y a reconocer la existencia deuna regla, diferente a la de uno más, para construirel siguiente de un número, es decir, una regla quesimultáneamente haga posible construir y ordenar.

5. Los números y sus propiedades. Entre los en-trevistados encontramos, pocos en verdad, que nosucumben el efecto aplastamiento pero que aúndudan de la existencia de los números infinitos comocardinales. Asociado a este obstáculo encontramosla discusión sobre la existencia de un objeto mate-mático, que para nuestro caso asumiremos con P

3

como la posibilidad de definir una estructura mate-mática, con sus elementos y propiedades, que para

el caso del número ℵ 0 implicaría construir un con-junto no unitario, en el cual definir operaciones ypropiedades de orden.

P3: si À0 fuera un número …..para que sea un número debe serque lo pueda operar, que lo pueda construir, de alguna forma quepertenezca a algún conjunto, que haya más como él

Obstáculos didácticos. Nos parece interesante eneste aspecto y a la vez muy ilustrativo destacaruna afirmación de un entrevistado:

P1: Entonces uno mentalmente esa idea, de que infinito no esoperable, primero que todo, bajo ninguna circunstancia, cuandouno ve cálculo, el infinito, más que operarlo uno trata de evitarlo.¿Si?, busca formas de no dejar indeterminaciones o límitesestructurales, busca la forma de saltarlo, ¡claro! porque es que, deninguna manera… no sé; se condiciona al individuo digamos alestudiante le dicen, infinito entonces haga esto, si usted ve unaintegral de infinito hasta dos, busque un límite y ta , ta, ta, separeen dos y calcule, entonces también esa misma información a unolo va llevando, que si hay infinito, córrase y búsquese otro caminoy sáltese, porque también va quedando el mito de que no esoperable, entonces aquí estoy llevando esa misma idea.

Como lo dijimos anteriormente nos interesa resal-tar las relaciones entre las explicaciones dadas porlos estudiantes para profesor, que aún no han rea-lizado discusiones relativas al infinito y mucho me-nos acerca de la diferenciación entre infinito po-tencial e infinito actual y las dadas por los indivi-duos con formación matemática avanzada que ha-bían realizado aproximaciones teóricas y demos-traciones del infinito.

Un primer obstáculo lo encontramos en la "idea"de los números naturales como un conjunto infinito(con infinitos elementos), construible a partir de laposibilidad de añadir siempre uno más. Conocimien-to que resulta útil para construir una idea sobrecardinal, en conjuntos finitos, como el número deelementos de un conjunto que se halla a partir delconteo uno a uno. Sin embargo, dicho conocimien-to se constituye en obstáculo para la construcciónde cardinales infinitos (ver, por ejemplo, lo expre-sado por E

4 y E

6, conectado a las afirmaciones de

P1), en tanto el esquema que se construye, de en-

contrar el cardinal por conteo de uno en uno y quelos cardinales se dan en ese conjunto, resulta im-posible en este caso.

En el ámbito curricular el tratamiento de los con-juntos numéricos como N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C,refuerza la idea que un subconjunto propio de unconjunto tiene menor cardinalidad que dicho con-junto. No se reconoce la posibilidad de ser diferen-tes en una medida pero iguales en otra (encardinalidad). Aspectos como los dichos por P2,

Page 34: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�����

������

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

cuando asume que en los enteros hay más núme-ros que en los naturales, apoyado en la representa-ción de la línea recta -es decir en lo perceptivo-, sepresentan muy frecuentemente.

El hecho que en conjuntos finitos la existencia deuna inyección no sobreyectiva garantice que el do-minio de la inyección es menos numeroso que sucodominio (como en el caso de la construcción denúmeros naturales) genera un modelo intuitivo quesuele extenderse al caso infinito, donde la existenciade una tal función no garantiza que todas las in-yecciones sean no sobreyectivas. Precisamente, laexistencia simultánea de una función inyectiva nosobre y otra inyectiva y sobre es una característicade los conjuntos infinitos (aunque vale decir, queencontrar dicha biyección suele ser difícil), mientrasque en el caso finito la existencia de una niega la otra.

Finalmente, es importante tener en cuenta que, aún"superado" el efecto aplastamiento, la demostra-ción de que el cardinal de los naturales es menorque el continuo no es fácil, pues además de reque-rir aceptar la demostración por reducción al absur-do, requiere reconocer, por ejemplo, que:

• Salvo casos especiales, los decimales se pue-den escribir de manera única como.

• Si dos expresiones decimales difieren en el n-ésimo decimal, exceptuando los casos especia-les, corresponden a números diferentes.

• Los detalles de dicha demostración requierenconceptos como sucesiones equivalentes, don-de está implícito el trabajo con el infinito de losnaturales.

/*���%��"���%��Hemos tratado de mostrar que aún en personascon relativa formación matemática que han enfren-tado escolarmente el infinito, se presentan algunosobstáculos epistemológicos que implican la incom-prensión del infinito, primordialmente del infinitoactual, lo que para nosotros implica que permane-cen en una noción demasiado intuitiva de éste ycon una gran incomprensión no solo sobre la temá-tica misma sino seguramente sobre desarrollos

matemáticos a los que es necesario esta noción: elcálculo, el análisis, etc.

Dado que el infinito, es particularmente una temá-tica de la matemática escolar, es decir, que el con-texto de discusión, presentación y tal vez compren-sión, es primordialmente escolar, proponemos quelos obstáculos sean incorporados como temáticasen la formación de profesores, si deseamos que suacción profesional propicie aprendizajes con senti-do en sus alumnos. Con esta apreciación quere-mos insistir en que en la formación de los profeso-res requiere del abordaje tanto del contenido mate-mático (epistemológico), que de suyo es complejo,como de posibles explicaciones, significaciones,comprensiones que sus alumnos puedan tener enun momento determinado y que corresponderían aobstáculos epistemológicos o a rupturas inconclu-sas o a estadios nuevos de conocimiento. Estasreflexiones pueden ser utilizadas por el profesorpara construir situaciones que pongan en cuestióndichos conocimientos y les posibilite a los estudian-tes la ruptura con lo viejo y la apropiación de lonuevo, como un hecho conciente del individuo.

Otros análisis y conclusiones, relacionadas con estainvestigación, serán objeto de un próximo artículo.

��3���%�������4���1� 3����ARRIGO, G. & D'AMORE, B. (1999). Lo veo, pero no lo creo:Obstáculos epistemológicos y didácticos para la comprensióndel infinito actual. En: Educación Matemática (México). 11(1), pp. 5-24.

__________ (2002). "Lo vedo ma non ci credo…", Secondaparte. Ancora su ostacoli epistemologici e didattici al processodi comprensione di alcuni teoremi di Georg Cantor. In: LaMatematica e la sua didattica (Bologna, Italia). 1, 4-57.

BROUSSEAU G. (1983). Les obstacles épistémologiques et lesproblèmes en mathématiques. In: Revue Recherches enDidactique des Mathématiques. Vol 4, n°2, pp. 165-198. Lapensée sauvage. Grenoble.

D'AMORE, B. (1996). El infinito: Historia de conflictos, desorpresas, de dudas. En: Epsilon (España), 36. pp. 341-360.

D'AMORE, B. et al. (2004). Il senso dell'infinito. In: Lamatematica i la sua didattica. Bologna: Pitagora

FISHBEIN, E.; TIROSH, D. & HESS, P. (1979). The intuition ofinfinity. In: Educational Studies in Mathematics, 10. pp. 3-40.

TALL, D. & TIROSH, D. (2001). Infinity -the never- endingstruggle. In: Educational Studies in Mathematics, 48 (2 y 3),pp. 129-136.

Page 35: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�&��

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

CAPÍTULO II

CURSOS

�������� ����� ���

�%!���"���$%��������������� ������������������� ���� ���� �������� �� �� ����� �� ��������� ��� ����� �������������� ����� ��� ���� ��� !������� �������������"�#������$��$��������%��� ����� ��� �"����� ���� ����"&���� '��$�� ������ ���(��� ����� ��� �������������������������"��� ��� ��� ����� ���$�)��� $���� ����$� ��������� ���)��� ����������&���������*����� ������� %��+� �����,

�� ���� ����� ���� -� ��� ����� ��� ��� $������ ����� �������� ������ ��$�� ���.�����/��� ������"������������� ��� $������$������ ����� ��� ���� ���-����� ��$�������- ����%������������ ��)� ���������������������� ��"��.�������$�� ��������������������������$�����������������'���$��� ������$���(�0������������ ��� �������� �1 ����&��� %���$����������������� ������ ����� �0�� �� ���� $���� ��2��� �1 ���(��"������ �������$��.����,

��4���������%�����%!���"����"������6�������! %�����4 �������%���!�� !����

3�� ��������������$ �����$����� ���� ���� �����������0���� ������.������������� ��� �����������)���������� ��� �������� �� �������� �������$�� ����������������������������)������� ����������$���������������$ ���(��"����������������'����������%���������� ����"������$������ ���&������1.��������� ������&������$������%����� ����� �&�����������������$��0��'������.������ ���)�� ���� ���������.��� ����'��������&������������"���������������������� ������ ��� ����)���'������$��� ����0�����������������%��,

���� ���$�� �������� �1 ���(��"��������$������������������� ��%-���������� �������$��.����.����� ��� �����"� ��� ��.� ��� ��� ��.�0�� '������ ��&.��������������������'���$��� � ���������$ ���(��"�'������������������%�� ��������&��� %�,

4�����������&������ ����� �� �1 ��� ��� �� ���%-���������� �������$��.����,�4��� ���"�$���.��������$����� ��$�� �������/

������������������������������������������������� ����!"���#�#�"������# ����������"�����������#$�#$�# %��������&�#�� � ����'#����(������������$����� ����$����#"���������$���$)���� *�������������#�#����"�����#������#��"��������"���#������$�����#+#, ������(����$������������ ������������� ��#�#��$��������� �����&��������� ����(��� ������"����� �� �"������"����� �� -���������"�����+

./"���� 01 �(���� � 2334 ���546

4��� ���"�$��.��������2�����&��� %��$����������������$���'������������ ���� �������������������������� ���"�������%����1 ���������,��������-� ��$��� ��'������$��&�������� %����� ��� �������� ��%-�������2���� %���������&������$���(�0�������������$ ���'����������'���)����

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

����&�#�������)������� ��/���$)����# 7��"��������"������ 8�����#����������!"��+

2�#�����"$����#��"������#"���������'#���������������)*�������#����9�����/���#���������"��������������:-���:;;<<<+$����"������+*��+��;�#�������#;

Page 36: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�&��

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��5��,����� ���� ��������� �� ������$��������� ��� ����$�������&��.���������$��.���������$�������������������"����$��.���������������������$������ ������ ��� ������ ��%-����� ����� %������ ��� ����������������$���������� ���� ����������0� ������ �������$��.����,

��� ���5����� � ������� $��.����� ����� ���������� ��� �����$����$������0��&������������ ����� ��� �"����� ���� ����"&���� �� ��%-��������������������&������������������������� ���� ���������'������������$��������������������$���.������� ����� ���� $���� ��� ����� �� �������/� ������ ����"�����$ ����$���$�� �������������������'������'��������������������5��,���2��� ����� ��� �"����� ��� $����� ��������������&�� ����'������+�����$�����/

�������� ��$�������$�������$��)��������������&�������5���������,

����&������&����$���'������� ���"�$��.������$�� ������� $��$��� ��$������� ���� ����$ ����� ����������������� ���$����$� ��������� �� ��� ���� ���� ������ ����$ �����,��� ��������$�����"���������������(������ ��%-������ ��������$��.��������$���������������� ��� ���������$ ������������� ��� ������������1� �������$��� ��������� ����������� ��� �����1� � ��,

���� ���$�� ��������� �������.����������� ��� ��������� ��� ��$�.�������$��������#��$���������� ����%�������� �����&�(��������������)���������� ��� ���,�*��� �� ��������� ������������1$�)� �������&�(��"��������$������ ��� ��$�� �� ������ �������� �� ��� ����� ���

��$ �����������$��������$��$����������$����� ��������� ����$����� �� �� ��%�� �0�� ��&�(�������������/��������$ �������& �������������$���� ����������0�.�����'������(���� ��� ������ � ����� ���� $����� ���� ����� ��%�������� ���",

��4��������%�����%!�(�������%�����$����� ��%�������� ���'��%��������� �� ��� ���� ��� ��������%����"���������.�,����� ��� ����6���$����� ��%�������$����������.�����$��1������� �������������������$�������������'��� � ��$����������

���� ���� �����'���������������%���.���� � �������� ���������'�����%��)���������������0� ��������$� ����������%����"������ �������������������� �����& �������������.$������������ ������������������7��8������� !�,

3�)� $����� ������ ��2�� ������ ��� ���$������ ��$����� �� %��������� ��� ����� ��� �� � ��� �����$���� ��"���������.0� ����� ��� ������������������������&�.��! ������� ���������$�� ��������&��������������������������� ������������"� ��� � ������� ��� %����",��� �������$�� ����������������� �1 ���������������� ��� �������������������������������%����� �

���� � �������$��.������ �� � ��'��� �&�������� ����$ ������� �� ���(�� ���� 2������ ���� ����"&������ ��%-�������������������5���$���$��� ������������������ ���������2������ ��$�� � ��$��������$���� ��"���������� ������.������ ����� ��� ���,��� �� ������"� ��� �� ������0�����������(����������������2��2�������� ������������� ��� ������������� ������,

��$�������&����$���'������&��$������� ������������� �������$����� ���� ��� �����$������ ���(����� ������� ��� ���� ������ &��$��� ���� ����������� ��� �����$����� ��,�*��� � ������� ��� �����������������������������.������.�����.�� ���� �&���������� ����$����� �������� ���$����� ��&������ �� ���$�����"� ��� ����(��$��

�/����� �� ���=������"��

/����# �� /��������#

�����������

���������� ������

7��$�����������"�#�(��$���$)����

��#���#�(����������"$��

��#���#�(���������/��#���

��#���#�(���������/��#���

"����$,�

/�����#$�#�������#��>���������

����������#�������������$���$)���������"$��:���(����������������*����# &��$"��������-�����#�# ��#��������������#�������� ����������%��&��$"������������(��� ���(���������*��������������# ���+

4����#��$�����&���������"��&"����� ��$����"�������������#����#��*�(�����# �����������*�)&���#���������#"�����#���#�$(����� ��$����"��������&��$"��#�������$������������#������#

Page 37: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�&��

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

������ �,������������������$�������������$��������� ��� %����"� � ��� %���.����� ��� �.��� ���������� )�����$�������������������������$������������$����� ���� ��� ��� �&����������&��.���������������������������,

8����������������������� �1 ������������� �������������.���������&���� ��$���������������� %������ ��� ��������� ��� ��$���� ��%���'��������������������$����� ����&�.������0����������1����%���������&�������9����9����'��$�������� ��������.����%�(�������������&����� �����������������������������&������9����&�������9�� ����������$��$��������������� ������������������ ��� �������#��� !�,

*����������������� ����������&�.�������������������������$�����������%����"�$��� ��%���'����� � $�����$����� ��%������������ ���� $������$������ ���� ��� ��/���-�������$�������- ������� ��)� ��,��� �����������$���������(���/���������������� ���������$�� �������$���������.:�'�����������%���"������%�(�����&��������.� ��� ������������ ���$���������������� ������� ��� �����%��� ����������������%�����"������.�;������� ��������� �����������������2������ ���$������������� ��������� ��%-������������������������� ������������� ����"������%����",

��4��������%�����%!���=!����6����!������������������$����� ���- ���� ��� ������� �� ��� ���$����"�&������'��� ������$��������.���������&� ������������ ����"��������������� �����&������$����������$���"����� ���������� �1 ��,�<� �� ��.-� �� �� ���������� ��� ����������������� �����������& ��������� ����"����$��1���"�����&����'�����������$�������������� ���� �����������,

��������������� �������������������� ��� ����������������������� ������������������� ���� ��������$����� ���- ������������ ������������������ ��������� ������ ����"���� ���������$ �����$����������������%��"����������& �����;����������"���������������������$� ������� ���� ��;������&��"���-���;������ ���"�����$�$������� ������������������������",�=������� �����2����'����������$ ��$� � ��$�����������������������$����� ���- ����������������& ��,

>�. ����� �� ��� ������ �����%��� ��� ��.��� ����& ���$��������� �.� ��������&���'���%��)����

��������� � %������ ������& ����$�������������,,���� ��.-��������������� ���:�������$�������;������� �������������%������������2��%���.�����?�������� ������� ���$�� �,

�� ��-��������������$ �������& �����$������������$ ���(��"�$������������������������� �� ������ �� $�����$����� �����������)������ ��������� ��� ���/���%�(��������������$������ ���- ��������� ���� �"������������� ����������������������&�� ����$��������(������� �������������������������������������� ���������-� ������� ������������ ������������$ ������& ������� ����$���������������"���� ���������� ��� ��� ��� ����"���� ���� ����$ ��� ���������������������$��� � ��� ��� �� ��������������������������)������������������� �����&����������� �� ��� ���������� ������������������� ��������&�,

����� ������������-�����������$���������������"��� �.�����$�� ��������$�� � ����������� �$����� ��2��������������������$����0��$���������$�� �����$����� ����-������������������$ �������& ���������$���������������"������%���$��������������������������$ ������� �%��� �� ���� �� �������-������ ��$������ ��� ���� �������������������� ����,

��4��������%�����%!��%"�=����=��� ����� ��� �1$����� ����� �������������"#����������������� ����.������������ �������������� �� ��� ���������� ��� ����� ��� ����������������*����� ��#��-������������%��-��������.�������������.������(���������� ����������@� �����#��-����,�3�)������������� ����$���������������@� �����#��-���������$������������������2�.�������$�������$����������:�������������������- ��������� � %�������� � %��������(���� ����������$��1������������&�������$���$������ �(�����������2������ ��������������"�� $�������� �� �� ��$�� ��"���� ��� �������"����� �1 ��������������0�����$�� ������) ������ ��������������)�$�� �$����� %��� ������ �������������������%� ���$�������%���$�������������������,

?�����#�$������"$'����#���&���������$����#�����*������!"������"�����#���#�(����#�@$���#%��#����������#�"��������-�(������% �� ������������"#���#����$����#�����&��$�#&����(��#����-�����"����#$���$)����#%������#���������#�����*��#@����#��$�������@$���#%����������#?./�����#- �AA2 ��$������=�/ �A5A6+

Page 38: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�&��

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

�������� ������������������� ��� �����$��.�������$��������#������� !��������2�������� ���� $�� ���� ��� ��� ���� ����� ��������������� ��� $��$��� '��� ��� �� ���� ��� ���:������ ��.�� 2������� ������ ��� ����������� ���$����� ����-���,�*����������� ������� ���"���������$���"����$���� ��"�������������� ������&�������������:��������������������� �� �$�������� �� ��� ��� ����� �� �����-���,

�� ��� �� ���� �� ��� �� �������� ��� &����'��� ���� ���� �� �������$�� ���� ��� �� ����������$������ ����� ���� ��� ������������� ���$���$�� �%���������$�����������������$ ����������� �1 ���� ������ �������������������� ���� ��� �� ������ ������&�����,

3�������'�������������� �������$�� ����������������:��������$����������������� �1� ����&��� %�������$����� ����-�����%���������� ��%-����������- ���������������������� ����� ��������������������� ���"���������$������������� ���"����$��1���"������.�� �������������� ����"�����$ ������������$��������� �� ��� ���� ��� ����� �� %�� ���� $��� %����.��� ���.��������� %������ ���� ����&��������������"����$��.�����,�+&������ �������$����'�����������&����� ��������������"�.�����������������������������������$����� ��� �� $�������� �����$ %���� �1$��� %������&��� � %���� ��.��� ���.������� ��������$� ����� ��� ��������������������� �������-������������� ��������������"�������������&������������.������� �1 ����� )������������%����� ����������������,

���*����� ��#��-������@� �����#��-������ ������.������ ���������'��������� ��� ���%����2���������� ����"�����:������������$���� ��"���������������'����1� ��� �����������)�����������$��������'���������� :����������������������� ������ �������-����,�*��� �����$��%��2��� ����������$ �� � %��������:������'������5����'������������ ���������$�(������$������������������������� ����'����$�(������ ��������$�� �������� ����������������$���"���� �����$���������� ��� ����������$��$���������������������������,����� ���� ����� ��� �� �� �&��� ��������� ��� �. ��������������� ���,����������� ��,�3�&�� ���,4����������:���������� ����������$��1�������,����#��� !�,

��4��������%�����%!����������6����!�����1���=!�������������������� ������������������$�� �����&���� �)���� %����� ��%-�����������������%���������������� ������ ������2�������.���%�������� �������.��(���������$ ������$������ � ��������$��������������$�����"������.��������$���������-� ����.�������)�����������:� �����.������$� �,

���������$���$�� %��$���&�- ������������)� ���������$�� ��������$�����$�� ������&������*�&� ��'������5�������$������������� ����"�������������&���- �����$������$�������������� ��� ��$���� '��� �� �� �� ��� �������� �� �� ���� ��� �������� ��'���������������$����$�"1���;���&��-��$�������&������.0� ���$��%������ ������ �����.�����������������$������������������$�%������ � �,� *���� -� �� ��� ����"� ���$�� �� �$������� ��������0� ��������$�� �������$���'��������������� ������-����.��� ��������������.�0� �������� ���������� ���,������ ������������ ��� �������6��$������0��7�����������������%�������.��$�������������� �&�� �����������$���������%�(������� ���� �� �����-�,

����#�#&"���$����������*����B�������#������������#�����������C�D�#!"� ������$������ ��*��$���,� �������*��'����������!"�#���������#�������#�#�������#�#�����#��������-�#������������*��#������������+����C����#��������$��� ��# ���������# ������*���# �� "�� &�*"�� % #�����#������$���� ��# ���%������# % �"��������# ��# !"� #�����#��"���# ��#� #�$"��)���$����+ �� �&���� ��# ���$���#���������#!"�����C��"������������%�����#�����*�)&���$����#����#���������� #��������� ����� ������� %������"����++++

����$��������#���������#���%������#���$��������#��"�������"��*��$���,�����#���������������#"���� !"����������$�����#����������#������+����#�������������#"������#������#"���#����������"�������$��������������#�����#�"���#����#����#�(��#%���#��"��"�������#������������#����������!"��#�)��������"��������!"���#���#��������E���)#%�����-�E��!"������������#���(#��"��#+�����# �A55 �253+

*������$�� �������� ����"�������$�����������������'����� ��%���������� � �������0� �����������.0� ���'���������%������� ��������.����������� ����� ��$�������� ��� '��� �� �� �� ��$����������� ��)� ��������� ����������- ������� ���%-������������������ ��� ��������$������������������� ����������������������������� ����"������������������������������"���������"������� ����������� ��������� ����,

3�)�$��������&���� �)�������� ����������������$��� ����� ������� ��� ������������ 2��.������������������������'�������������������� �(����,

Page 39: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�&��

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

�������� ��$���$�� %��� � ������������� ��������������� ������� ������ ������������������ ��� ����������� ����&������ ��������������� ��������������������������� �$��"&������� � ������1"��� ��� ����������$��$�������������������$�����%� ���������$���"�����������"������������,�*�������� ������������ ������������� ����.���"�����5���������$����'�����������������'���?�����?��%���2��������������������$����������������$��������-��������������� ���5�������� ��$����� �� ����'��� �������������� ��� %�������%�������� ��.-�����������"����-� ������2����$���,�#" ������������� ���� �1 ����� ��.�0�� �� ��� �$�� � �� ����- ����� ��� ����� ������"�����'������'����$�� �������������������� ��������.0� ���%�����������������$����������.���"���������������� �%��������� ���.0� ������� ����$���,

*�� ������ ������������'���������$��0(������� ����������$���� ��"�������$��������2������������������ �(��"��$����������������� ��������� ������������0�������'���������������� �������'��� ����������'��� ����0��,��� ���&�������� ������������ � %���������� � %�����������2����$���������%���$��$������������������� �������.0� ��,������ �������� ���$����$�"�&���- ���������$��0(�����2��������$��$���������������.0� �������.�������������������"������������������������� ���&������������ ��.-�� ���������������� ���������� ���&�������� �� �� ��%-����� �����������A���������- �����,������ ��������� ��$��$��������������'�����.�������%�� ��������������� ������������������&���� �)����� ��������� ��������������&���� �)���������,

��� ��.�0������(��������� ��������$��� ����������(��"����$����� ��� �&���������� ��������������$����0��$������������������������������������������,�� ���� �������$�����������/����.����"�����$�������'�� ������ ����������������������� �����(����� �������������� �)��������� �����(�,

��4��������%�����%!����!�� �!���6����!����������!��

B8��������������"������#�"��,�"��#��$���$)����#�#����&������������#�������������#�$�������������� ���"��-��#�������#����������*����#��#�*�� ����������� �����"��"��%�@�����&��$������#�����������+������,��������(�(������%#"�������������#&���$���#���������# -�����#��"���"�����$����$���$)����!"�����*"��$����� ��*����$����%$��������������$��������������"$(��+7���$���#!"���"���$�������������������# ��*���#��������� #����������#��� ���#���,#����$���������%�#���������#��"��$�����#�$�������

��$����@����#��%�#�����$��,#����##�(������#&���$���#����#�������#+��#��$����#�����#���,#����-��&����������������$�����������������"$(�����������#��$���(����*,� ��$������� �� �����$,� �� �#�����*,� �� ���������*,� �����*F,#����+++ %�@�$)# -�����$�������#�������#��������������$�#$�$���$)����D./�� �AA56+

3��&����'������������������� �����$����� �����������$�����%����� ���� ������ �� ����������������� ��������������� ����� ��� ����-� ���$��$�������� �1 ���(��"��� ��%-��������� �������$��.������������������$������������������� ��� ���� ����$ ��� ���� %��� ��� $����� ��� ���� ��,� =���� ������ ��� '��� $��� ����$������ ���� ��"��������� ���)� ���������2������ �� ������ ���$���� ����������0��������"������������������0������$���"������������"�'���������������) �������0����$��.���������� ��������������� �� ��$�� ������%� ���$�������$����������������������������������&�����,

���� ���� �������$����� ���� ���� �������� ���������� ��������&�(���������� �������������������� ��� ������ ��%-���������&�������0��/��� ���������� ��� ��� ��������"�� �� ��� ���������������������"��������������������� ��� ��� �����������������(��,

3�)�� ��� $����� �0����.�� ���� �� ��������$�� �� ����"���������������������������������� ���������� �,����&��������������"����$��.���� �������������'�����'����� �� ��� ���������������������",������ ����������������$ ���$���$������ ��� �� ��)� ��������$ %�� �� �������� ���� ��� ���������� ���� ���$���$��.���� ����'����������� ������&�����,

@�.��������&�����0��������� ���2�������"�������0��� ��������� �� ����� ��&��������$ ���(������������$����������" ��������� ��%-������������������������������$��.�.������������ ��)� ��,�3�)�$������ ��%-�������� ���������(�������$�� ��� ��������0��&����������$�� ��� ���������$�.������,�� �,�����������"������ ������������� ��� ������������ �����(������������� �,������$��.���� ���� ������������������������������)������$�.��(���� �,���� ��� ���� ��"�����$��.����� �����$���� ��&���� ��� �������"�������������������$����������������������"� ������ �� �� ��� ����� $���$�����������) ���� ����� ��������������$��� � �������$��������� �����$�� ������������������$�� � ���$������������������������%������������,

���$����� ���� ���� ����������� ���������� ����� ��� ����$���� ��������� �� ������ ��

Page 40: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�&��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

$���� �������������������� ��� ���������$����$����������.��������.�������� ��� ���������������� ��������'����� �������$ ����$������������5�,

����%���������%��"��$%3�)�$�������������������) ��������$�����$�� ���'��� el pensamiento numérico� ��� %�� ��&�(��������������� ��� ������� %����������� ��� ��������� $��� %���� ���������� ������� ����$����������2�.������������ ��(�����-���������$������������ ���������������������& ���� ���� ���;el pensamiento variacional� ������ ��� �� ���� ��%����"����$�� �������� �����-����������$��1�������������%����������"��������$���������������������"��������& �����������&�.��������� �����."�������"����&���������%���.������������ �� ��� ���� ��� %����"� �� %����� $��� %������.���.���� �������.������ %�������$��$���������;�el pensamiento métrico�� ����������� �������� ����"���������$ �������&� ����������$���"��������$����������������%���"���� ���"������& ������������"�������������������������$� ���������� � ���� ���� ����������� ����������������$� �"��������"������&��"���-���������$�$������� ���������������� �������";�el pensamiento espacial������� ��"$ ��� ��� ���� ��������� &���- ����� ��������� ���&��������� ���&����������$�� ������1$������"��� ��$���� ��"�������$�����$���� �������� ����&����������'���������&���� �)���� %���$�� ������ ���� �� ���������� ���2���� ���� �� ����������$ �������2�� �� ���&����� ������ �������."��������������;� y el pensamiento estadístico� ������ ��$���$�� %������ �� ��� ��������������",��� ���0�����&�(����������.��� ������������ %������$������ ����-������%��������������%��������� �������)���������� ��� ���,

3�����������������������0�������$ ����������������� ������������� ����������� ����$�� ��������.��� ���.������� �����& ����������,��� ��������������$� �����%� ���$� ����"&�������������$ ��������& ��������������2�����$�� �� ���$����&������$���������������$ ���(��"�������-�����%�����������$������� ��)� ������$����$��� ����� ����- ���,��� �� �$�� ������� ������ ���� � ��'������.�����'����������)�������������������� ��.��� ���.������� �� �1 ��� �&��� %�������� �������$��.���������-� ������������� ���$������� �� ��� �������& ����,

B���� �������$�� � ����� �����'������-������ �����& ������������ ���.�� ��� $���$�� %�

������� ����� �������&�(���������)�����������.��������.��������$���������� �- ���,�� ������$��$����� ���.��� ��� $��������� ����� ���� ��% ����$�� ���/������$����� ��%������������� ���������������������2������ ��%-���������������� ��� (��"���&�����(��"����� ���������%����"����$��� � ������������"����$��������������%����"�� �����& �������� ������������0�������� �����.����������������������� ���������� %����� ��&�.��;������$����� ����-���������� �������-����������:��������������������� �� �$��������� ��� ���$������� ������ �������������& ������������.������.����&�- ��������&�����"����������$�� �������$��������&�.����������� ����,

3�)�$����������������������������� ����1$��� ������ � ������� $��.����� ������� ��� ��������� ��� %������$ �������� ����"&���$���������$���� ��"���� ���� �� �������.����������� ���� ���,�*�����$��� ��'����� ��$�� ������� ��������� ��/� C�"��� ��&���� ��� ���5����� � ������$��.����� '��� ���� ��� �� �&������� ��� ���������$ ���������$��� � ���'���$��� ��������������������$���� ��"���������� �����������������������"����� �&����D�4� � ��������$���� ���������$��������� ���$������$�� %��� -�������� ����$��.������������������������ ��������"��� ��� �������$�)�,

��3���%�������4���1� 3�����+#+@=�A+E���� ��4�3�+F#�#3�+E#3�,� ���������������� ���� ����� � � ����� ������������,� @� ��-� ��� ��&� �������� $� �!�,

�+#+@=�A+E������4�3�+F#�#3�+E#3�,���������� ������ ������������,� @� ��-� �����&� ��� � !,

#�=�,���������� ������ ���� �� ��� ��� �����,� =������"��� ��$�5��� ��� G��-����)��H�%���(� B,� �� G��:���������A���)&��(,@�������3���(�� ��� ������"��� ��� ��� =>3��@,� ����,

?E�+#E�� G��;��3=3#�AE�������,�������� �������������� �������� ����� �������� III,�&�,��J�����J&���J����� ����� ���J�� ?������� � �,

?3�8�K��?����,���� ����������� �� ��������� ��� �� �������� ����� �� �� �� ��� ��!�� ��� �� ���������� ��� �� ��� ���������,� ������� ��� ��� ����� ��� ���,�3$�� ��� ��A����1����,�������*����� �� +����@�(� ����$,�,� *�������������,�3�&�� �,� ����,

83@�E��������� �,�� � ����������� ��������� �� ������ ������ �� ������ ���� ����,��������� ���� ��&����� + ��������/� =�����&)������$� �������� �� �������)����� ����� ��� ����,� @� �� ��� ��,� 2 $/JJIII,��������,&�%,��J���&� �,� � �

E�3#�E�K��?�.�� �;��4#�A3�� G�2� G���,���� �����������" ���� ���� ���������� ����� �� ������� �!���������������,� A�%� �� ������"� �� $���&�&)�,�������)/�4%������� ��3 �'����B���� ������������",�8��,�L8���,�!M����������.����� !� $$� ��!�� ,

Page 41: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�&��

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

������ =/��� 8����=�/�� G/��� �� =�=���

=�� ��0GH /����G ����=� ����I =��G=�

�4;�!�(�@��.�(��� �� ���� $���������� ������� ��� ��$�� ��$��.���� ���������$������"�������0�� ����"������� �1 �����&���� �)��$��������$�� �����&��������'���$���)�� ������&:����� ��$�� %��������� ����"������.� �������$���(�0���'��2��������������&���� �)��������� ��� ������%������������ %��������� �� %�����������,

��%!�%����, ����� ��(��"��������� %��������� �� %���

�����������&���� �)�,�, +�� ����"������&������$�� ���$��.���� ���

���������������$������"�������0�� ����",!, �����$�"��������.� ����%���.���������� �

%��������� �� %�����������,

��!�����1-���������������.�����1$��������������$���������������� %������$��$��� ������&��$��$�� ��$� ��'���$����%���� ��������"������ �������� $���������� ��� �� ��� ��� ��� �� ������ ��&���� �)��$���,

��>"���!��3�����������0������$��&�������.��������������������&�����,

#��1������$%������"���������������%��

+������ ����'�%

Actividad 1. =��.�0����?��$�/�3�$�� ���������������&���- ����'��� ���$��$���� ����&��$������ ��� ������&���� �)������.������� %���$�������������$�� �$� �������� ����������� ���"�$����$�� ������ ���2��������������������$����������� ��� ���� �� ��� ��� �� -��������� &����������.����"�������0�� ����"�����,

�����!������4��� !����������������%������!�(���������!��!�(�

Actividad 2.� *�����,������"� �� $���� ��"��� ��� ��������"���� ���� $���������� ��&:� ������������$ ����������$��$��� �,

Actividad 3.� ��������,�Cómo ver la activi-dad demostrativa en el aula. ���&��$�� ���$����.���$���� �������$��$��� ������"���%�������� %���������� �� %����������������� ��� ���,

������ ����'�%

Actividad 1.�=��.�0����&��$�/�@��$��$����������$�� �$� ������ ��������$��&� ��� ����������������%�������������� �������������&���- ���������������$�����0�� �����������$��� ������.���������$�� �����������������'������ ����������$� �����$�� ��,����$�-��������(�������&����$������������� �� ��� ������&���� �)�$����.������ �%�������������� ����� �������������(���� �,

Actividad 2. *������$���� �1 ����� ��&������� �������� ������������'������ ��.�0����������&�� ��� %���,

Actividad 3. *���� ��"���������&�� �����$��� ���$��.���� ���/N ������'����������"�0�� ��������1� ����N ��������'������'���������� ���������0�� ����"�N $��.���������)$���������&���������$��$���"

'������$���N ���&��������������"������1"�����������

��������������N ���� ����� �������������������.���� ��

'�����������������%������������������N $������0��&������$��������"����������&�.��,

3������ ����'�%

Actividad 1. =��.�0����?��$�/�@��$��$����������$�� �$� �������� %��������������� ��.�0����������� ������������.0� �����'���%%������&����� ��$�� �������� ��.� ����� �$���(�0��'��$��$�������� %��������� �� %�,

Actividad 2. ��������/�El papel enunciadoen la actividad demostrativa.

��3���%�������4���1� 3����>3##3�?� �� �,� ����#�� �$� �������� ���� �$� �������%� ���������&'������ ���� @ ����� ��� 2��� ���� OO�� M� P� �!,

@3�*�A���;��3�3A?E���;���?4+K3�F#���,�� !�,�������������� � � ��!���������� ��� � � �� �� ���������� ��� �� ����������'�4%������� *���&"&���#�����,

UNIVERSIDAD

PEDAGÓGICA

NACIONAL

Page 42: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�&��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

����� ��=J �+/I��/ =�>��� =+

����.0� %������� ���������������� �������������������������� ��� ���������������"����$��.��������� ����$���.��� �1 ������ ��� (������'���� �������"����������� � ��$����1$����������� ����������������������$�������$��� ���������������.�������������"����$��.�����,

�����"��$%�������4������%�����"��������!�� !�������� ��������������������������� ���$���������5�(����������� ��� ������ ���������������"� ��� $��.������ ����� ����� ������� �� ����� ��� �������������� � ��������0��%�� �.�������� ������ ������������ �����&)����� �������5�(�,�3�$����� ��� ������������ ����������� ����������� ������������������������������(��������(�����$�������$����������$�������5���$������$���&����������� ���������%�����������$��� ���������������"����$��.�������&���$���� ��������� ���������� �����'�������(��$�������&��������� ������������"����$��.����;���� ��$�� ��"����������� ��*�&����-����������,�%��������������.������������"����$��.������������0���������$��� ���$���� ��������� ���� ������ ����'������������������$����"���������� ����'������$��%��� ���2�� ������(�������&�����"��������������$������"����������� ���&��� %��$�������'����$����,

���$��� ������� ����������:����������"���$��.������%��.����� ��� ��� ����.�� ��� �������"������0��������$��� ���$���� ����$��.������ ��$���� �����$�-���������1$����"�$���$�� �����$��������������� ����������&�� ��;����$���� ����("�'����������������� ��������� ������������������ ���$����'�������������"������� ���$����$����������������������&�� ���,������������ ���$���.�����&�����$�������'��$��� �� ��%��� ��� �$����"� �� ����(��,��� ��$��� ���������%���������� ��� ������� ������

������������������%!�:!���"�!"����6���������%����%(�%��$%�������4��������!�=!�����(��4����

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

�� &������ �1 ���������������$��.�����%��.����������������������������"�'���2������- ������� %��$���������%���$��.��������'�����������"����. �������(��������������$���������������� �����-���������$��.����,

��.�� ��5����� '��� ��'��� ���� �������� ��� ���$��.�������������������� �1 ����� �������������0�����&���� ��� ��.���M�$�'�� ������&����� ��,,,�������0����������$�� ���������������5�(�$��$�� ��� ��� �������"���� $��.������ ���������/$������� �� ��� ����������:������� $���.������%���'���������.���������� ����&:����&�������0��&��$�� ���� �������������������������*�&���-��������M�,

�����'���������������%��"���������������������"����$������������'������%�� &��"����:��������������'���������������'������ ����������5����������$���������������������1$���������� �- �����$���������������� ���*�&��-��������M��,

����("������ ������������������$��.�������$�� ��'�������� �����������������"����$��.����������������� ��������$������������������� �����'����1$�)� ��� ������0���������������$��� � �����������5�����2�%����������������������������������� �������������� ��� ���������������%�$��.��������%��������"&��������� �� ������ ����'���������$�����������������$���������%���$���.������$����$�������� ���������'�������$������������.�������$��.����,��2�%������� ��5����'��������� ��� ����$�������%�����6�"&���7��$��������������.�������� ��� ����(��"���� ���������$��$�������������"����$��.������������������'����.������������������ ���������%��$��.��������������������,

����� ���$�)��� �� ����-�������� �����%� �� �������� ����������������$�����������������"���$��.������������0�� ���%�������������������������$����� ���� ��� ��,�Q�������������� �������& %����� ����������������"����$��.�������$��������&���������� ������1 ��������������".�����$����������/

����#��*�%��$���������������#$���$)����#������������&�!"��� ��#��"���������(��$�#+7��$"�� % ��#"�������(��$�#��������#��#��"������#���������#%$���$)����# ���$���%��������#"�����#�����������"�������������$�����������(��$����*����./���#���������"�������������� ��#��"�����@$���24K4 �AAL6

@���.��&������������(���$���� ������������������"����$��.���������������������������������������2������(������ ���� ����� ��$������.�

Page 43: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�&��

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

������� ����1$��������%�������������$��� ������� ��������������$��$��� �����*������������������'���$�����.������'���2���'����$�����$������.��������%�����$��.����,�����&������������$��$��� �����*�����2��'������������������$��)������ �������'���������������������$���"�������������� �� ��� ��������������"�'������ ���������������� ����������������������� ��� ������ ����� �,����'����)�$���������� � �����������������$���������'���$���� ��� �������"���$��.�������� �- ����%��.��������2����������- �����$�������&��������$�����������"�����$��.����,=��������������� ����������������.��������������"����$��.������'����1$���������� ���",

%��;������������������!���������"�!"�������%����%(�%��$%�����%"%������������ ������ 2�� �� ��� �5�� � ��� ���� �� ������������ %������ ��������������&� ����$��������$��&�����$��������%�����"�������6������7�������� ���������������,�3�)��$����������.����"��� ���6*���.��������������$� �����������7�����&��0������ ��� �����$����!9���M9������&���0����� ��� �������������$����R9����9�����%��"����&��$�����%�� &��"�������4%�������#���������������.�,�������.����"�������$���.��.����� ��� ��2����� ��� ���� ����� �������������������������&�����������,

���$���.��� �� ���� ��� ��� ���5���� �� ���� ���$����� �/���� ���������'������%����%)%�����������%���������$������.����.�� �����$����R9���9���$��"������������������'����$�����������������������������������������������������������.� �������� ������� ��� ����������$�� �������$��� ��$��,�����$��.�������'���.�������.��0��������������"������$��"���������������� �������$�� %���� �� )������ ���"������� �� )� ������ $����� ��� ����� �� ��������� ����� ���� ��� ����������� �����&�����/����������:�������������$��������������&��0���������$���� �������� ���� ����������� ���� $������� ��� $������������� ��� ���� �,���$�� ���������$�������"��.�� �� ���� ���� ����� ��'���������.�0���������5����� ���� %�� �� ���� � ������������ ��� ������ ��%� ����������%�����$��.�����������������������2��� ����������� �������& %������%����������� ����������� ���������$�������(��������$� ������ ��� ����������������� �1 ��

� ���"����������� �1 ����������������1$����������������� ��� ����������������������������,����$����� ����'���������.���������$���� ������������ ��� ���'������� ���"����(�������������.�0�������(���"&��������2�����&���0�������������$��� ����.�� ��,

3��$��$������ ��� ������������%�����"������$����.��'�������� ��� ��$��������0��&������������ �������$ ��������$������� �����'���2���$���������������������2��2��'������������:� ������'�������������2���������� ��(������������$�� ���������.���2�������������.���$������.�������,*������$�����������������'������ ��������S�����������������%���$��.�����T������ ����$������� �����$��0�������$��.���� ��$������ $������1$��������$��%����������,�4������� �������� ���������������&���������� ���'��������� ���� ������������ -����$��.�����$���������$���������� -����$��.������������� ��� �������1$�� �������������������.0� %���'������ ���������� ���'������� ��� �� ���������������� ���������������� �����$��.����,��������� ��.:�'��������� ���$������&������� �� -������������������������ �����������������������$���������'��%%��������� ������,

4��0��$�����$���� � %��������� ��������������������� ������������������ ����������������"�'������.������5�����'� ���������� �������� �����/�6+%� ����������%����$��.�����'��������$���������� ���"7�����5��$��$��/

B�������������������� �������������������������������������G��"����:���*"�����#"#&�$������#D

���� ������������� ��� ������� �������� ��������� �1 ��������$���.������� ���"�����(���"&������&����$����0��$����$������ �������'������������.���%��&���� C'�-� ��"��������D,@��$��������������$��.��������$�����������������������$������������ ������������������������,�3�'�������������������$������������������������� ����(������� �����-���������5��� ������� �������&�������������1$���"�$���.�����������-����������� ���"�������%���������������� �,

*����� ����5��������&�������������1$���"�$���.��������������������������� ���'������� ������� �������

Page 44: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�&��

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

����� ��������� ���� ����5����.������������ ����"�����������

���5�����$������������� ���������1$�� ����������������� ���� �� �� ��� $���� ����������� $�������� ����� �$������� �� �.����� ��� 6�� �����&)�7�$������$�����. ������������"��$����$����"�� ���$��� �,

4������ "��$�� � ������ ������������������� %�����$�$���'��������$�5������� �� ������ ���� ��� ����������� ��� ��$�������;� $���� �� ��)(� ���$������� ��� ����� ��"� ��� �������� ���� ��� ��$���.��������� �.��"����&�)���������'���������� ��.������������ �����0��$�������) �������������������������(�����$��� ����������������� �� %��� ���������$�� ����� ���$�.����"���� �������� ���������������.����������������� �������������.�������$���(�0���������������"����$���.�������$�������������$����'�������5����������$��.������ $��$���.�,

�� �������������%�������������������� ���'�����5����'������������1$���"�$��.��������%�����������1$���������������������������$���� ���.-�����0��$������������� ��� ����&����������1$��������������&���� ����������������������1$��������������&��0���� ��� ��,

E ����5����$��$�����������'���������$����������������"��$������������� ��%-�������� ��� ������ ��,��� ����������"���%����������������������� �� ������ ��� ���������� ��%-��������������$������������%�������$��.���������������������� ��� ���/������� ����'�������1�� ��� ���������'�����������������%��.���������$��&� ��$��� ������1$�)� ��� �,���������"����� ��������� ��������$����"�4��0��$��� ��.-���$���� �� %������� �� $������&�������������&�� �/

�� ������������$��0�����%����������$ ��"����$������� ��� ���� ���������� �1$�� ��� ���� �� �� ��$��� ���� ����� �� ��$���$���� ���� ������������������.��������������������������� �$���"� �� ��� $���.�,���� ��������"�'��� ���.���� ��5�����%�������$ ��"������������ $����������������� ����$���.��;�$���� ��� �����"� ����. ��

Page 45: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�&��

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

$���������������� ����-����������.������ ��!�5�������������������$���"��������$����"����� $����"���� ��%-��������������. ������������"�!�1���U�!V

*���� ���$�� ��������$������������������������ ���������$���"�'���$���� ���������� ��� ������$� �������� ��������� ���������� ��� ����,�����������$�� ������������$���.���������������"���� ��� $� �"� ��qué problema numérico tehabrías enfrentado,���� � ���� ���0��������������� ������"�&��� �������������'����������������� ��� ��������� �����������������������$���� ��������������������$��.�����,�3�$��������� ������� ��������5������$������������� ��������$� �"�������������������$�������&���������� ��,

��%���������%���1�%�����������0��$����$���� �����������$�� ����� �������� �����$�������&�������$�$����������������� ��� ����'�������� �.�������������$���������������������� ���� ���$� ������� ��� ������� ����� ��� ����� ����������������"����$��.�����,*��� ��� ��("����$�$������ �� �����������$����������(������������� �� ������� ��������������������� ���"���������� ��� ����$��������$�������%����'������������������ ���"������������������������������ $����& %���� ��.-���� $�� ������� �� � �� ��5�����'�������� ������� '��� �� ��.��%��������� �� �'������'���������� ���������'������2����$:.�����$��������������1$���"����%���������������������5����#����*�������A�&��� !�����&����� �� ����������� ��� ��,

����&������&���� �������������5�����2�%��������������$������������������"����� ������������ ������ ��� ��� ����� ���� �"&�������%�������������������1$���������'����������������� -�����$��.���������� ����������������.0� %���������������5��$�������������� ��������� ��������&���������� -���,

�� ������ ��&��� ���� ������ ����(���� ��.��� �� ��������$��� ��������$��&� ���.�� �����$������� ������ ���� ���������� '��� $���� �� ��� ��&��0�� �����������$���(�0����������� ��� ���,������� �����'�����������%�� ��������� � ����������� ��$�������'������$��� �������� %���$����� ������ � ��������� �� ����� ��� ���$��� ���.����������$��&�����,

*���:� ������������������$ ���'��������$��.����������������� ������������%�����"��1 ������������� ������.0� %���������������1����%�����������$�������������$� �������������� ��� ����$���������� �� ������� ���'����� ��� ������ ����� ���������� ������������ �������������������������5��������� ��� ����������� ����������.���'�� ��.-������� ������������,

��3���%�������4���1� 3����3��8��E���,;�?3A�W3��?,���� ��� ������ ��� �� ����������� ������������� �� � � ����� ��%� ��� ���" ���� ��� �(�������� �� ��������,� �� /�>��)�� ��� ��� ���� ��� ��� �%�����"� $������ �&���LL+,�4%�������#������ ��������.�,� ����,

3��8��E���,;�?3A�W3��?,�)����������������� ���� ���� �� �������������,� @���� ��)�� ��� ������"� �3�����)���������&� �,� �

?+�<#�K�� A���)&��(�� G��'�),���� ������ ������������'4�� �&���"� ���*���$�� %��,��� ����� @) ���,������� ���R,

�� ���� ��� ������"�#�����,�*�� ����� +,-,� ��� .������� /001'

�� ���� ��� ������"�#�����,����������/������������������ ���'� /000'

@���� ��)�� �����������3�����)�������� �����&� �� ������,�*��� ����� ��� ������ ����������� ����� ��� ������2�������������� �� ������,� @�&���� �$����"� ������ $���� �������'� ��� �-$ ��� �� �%��,� ��������� �,

@���� ��)�� �����������3�����)�������� �����&� �� �� �,�*��� ����� ��� ������ ����������� ����� ��� ������2�������������� �� ������'� =������� �$����"������,� &������ �-$ ����#�%��,� ���������3,

@���� ��)�� �����������3�����)�������� �����&� �� �� ��� ��,*�� ����� ��� ������ ����������� ����� ��� ������2������������ �� ������'� ���� �� �$����"�����������,

Page 46: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

�&��

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��8���G >�>���� �/J�� � ����G �M�� ��G�

���"��%���������������� �"�����'�������(�������1$�� ���������.��2��2��2��'����������� �������0���������� �� ����� �� �����1���� ��.��� ��&�������������������'��� �������$��������'�������%���������.����������"����������,

����������� ����� ���'��� ���������� ���'��� ��2���� ����� ����:� ���� ������ ��� ����5���������.��$��������� �����������$� � ���������� ��������%����%����� )���������������$��������&������������� �������'���2��������&�����������������������������",�@���.��&�����'�����&���������$�������������������� ���� ����(��������$��&� ��������2���%�������C�� ���"�����$�����$��� ����������"����������D

6�������� ���������$��������$���&"&�������1�� �7;������ ��'�������$����������� ������� %� ��%������2���%���.���,�� ��������� ����'�� ���'���%��� ��� ���� ��0� ��� 6%%����2�����7'��������$�������$�� �$�/��������� ����������� ��� ������������ �� %��������$���������������� �,� �� ���� '��� ���'���%��� ��� ���� �� �&��)������ ���/�����$��.������������.0� %��������� �����������- ���������������������������������&��(��"�������%�����"���$���:� �������'������������������ ����/������ �1 �����������������$���������������&��$�,

����'���� ���� ��� ��.�� '��� ��� '��� �� ����%�������������$����������� ������� %���������� �����$��0���$��������� ���������������'�������%������%%����������������������,�=���������)������$��.�����'������$�����������,,,�$��������������������'���%%������������"����2(��6���0������%������%� ���� �������������$�������7,

���������������������$��0������ �� ������$�������������'���2�������$������ ������������$������ ��� ���� ��� ������ �� ���� $��� ���� �������������"����� +������ ����@���� ��)�����������"������:�������������� ������������� � ��������2�� ��$������'�����&����������$�5���

��������!�%�����1"��%!�!�(���%���!�� !���6��"��(��"���$%��%���������������%����%'�?����%��'�;�

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

��� ��.�0�� �� ��� ���� �� ��� ���� $��$�������� �����.�����&��������� ��������� ��.�0���� )�����%�� &� %��'���2���������(�������� �����&�����5�����'������� ���� �1 ������$������� ������/���������������������$� ������� ��� ��������$�� ���������'������+�����2������������argumentación matemática,

���� ���������.���������������&�� ��� ��� ���/

N ������������$���$���&"&������.������$������������������ %���,

N ������������ $���$���&"&���� ��.��� �����$��������������2�.������,

N ����� ������ ��� ������������������ �1 ������.��,

N �������$ ��������$� ������ ��� ��,N ���63�&��� ��7����� ��� ��,N 4��$��$��� ��$����������������������$� ���

��&��� � %������ ��� ��,N 4��$��$��� ��$�����%�������������� ���������

(�����������&��� ��"��� ��� ��,

��3���%�������4���1� 3����3A=+�+�83�=,+,� � � ������ ������ ����� �� � ���" ���� �� �� ��������,��� ����� *��.��� �� ������",����>�.��,� ���M,

��A�X��K� @,� A�&���;� A��4@=+��E�A,��������,�3������ ������� ����� �� � 4������!�2�'� ��,� *��.��� �� ������",� ��.�,���V,

�A+=E��>,� ��?E#KH��K��8,���� ����� ������ � ����� �� 56�,�� ����� *��.��� �� ������",� ���R,� =���� +�� ++� �� +++,� ��.�

����� %�� ��� �� ����� ���� +��*,� *���&�&)�,� �� ����� *��.��� �������",� ���O,���.�,

?3���?E���������;� �F*�K��3�,� � ,����������������� ����� ����� �����"���� �� ������ ��� �� (�"� ����� #������������������������ ����� ��� � � ����� ��� ����������� �� ��������������������,� =���� ��� ��$����(��",� 4%������� ��3 �'��,

?3���?E��������;� *<A�K��A���,���� ��������� ��������������%� ���� ��������� ����� ����� ��,� @�$���� ��.��� ��$������� ��� ��� �%�����"� ����� %�,������ ����,�4��3,

*��A3K3�� B���� *� ���� �� �,��$����� ��� ������ ����� � ������� �� �� �������� �������,��� ��� ���,���#,���&� �,

A4�+#@=�+#�� @,� �,� � � ���" ���� ��� �� ��������� �� ��������� �� ������ �� �� ������� ��� ����,� 3 ���&)�� ��� ��$�����&)�� �%��� %�� �� $���&"&��,�����:� ,� ����,

=3�WK+#3�#,���� ����� ��� �� ��� ��!�,� ��,� *��&����,������:,����,

=EAA3�E�� *��2�������)���,� �� �������� ����� � � ������� �� ��� �� ���������%� ���� ��������� ����� ��# �$������ ������������� �� �������� ���������,� 4%������� #�������������.�,� ���4..���,���&� �,

83�8�A����A��)��(��������� ���� �,�7��������� ����� ������"���� �� ������ ��� �� (�"� ����� ����� #����������� 8� ���������������� ���� "��� ���� ��������� ��� 9 ��"��� ��� �� 5�������6��������,� =���� ��� ����,������� ��� ���>�.��,���.�,

K+����A��Y,����� ������� ��� ������ ����� ��� �� ��� ���!�� ��� �����������,� ��,� *��.��� ��������",���.�� ����,

Page 47: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

3�

���

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

=���G /��� 0�/���� �+������ /��G�>� ��G�

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

&����!�-��6���4������������

�3*W=4�E�+++

=3���A�@

���"��%�� �� ������$�� ������ �������&��������Z����$� ���������?���� �)�������$�������������$��������� ������ �(��"�������$�$�����1��������������2���)� ��,�Z���� �������"����.��������.����������$ ��� 2��� ��� �� ���&���� �)��� �� �.������ ����������� ��� ���� -��������������� ���� ��� ���$��$��"�����������Z��&��0��&���- ������'�������.��������$�$������$��� �����������Z���%����(���"��������$ ���&���- ���������&�.�����,

�%!���"���$%�� �� ��.�0�����&���������� � �� ����&���������.������� �1 ��� �(�������������5�(�����������&�����&����������� ����� ��� �����$�� �����;����� ��� �)� �� ���$��2��� �� ���2��� ��� �� �� ����&� ������������2��������$��� �������� �1� ��� ���������� �����$�5��� ���������� ��� ���� � �� �� ��� ��. ����� ��� ���5�(��$������� ����������������������%��� ���,

3�)���������������&������ ������� ��� �"����������� %������������������������� ���������������������� �����������������������$���������$� ����$���&"&�������& %���$����� ��/���juego����������������������matemática recrea-tiva� ������������������ ������ )�?������������� ���&�������?�(���$������� �������� ��$����;���$������� �����������%�(���������� ��.�

.��&���)�� ��.��� ��� doblado de papel�papiroflexia��pajaritas de papel�� Origami����� ��.-����������������������,

��� $���� �� ��.�0�� �����0�� ���� ����� �� ���$�����$�����/������ %����&�� ��� ��������.����������$�$��������������������$��������$����&"&����$��������������������� ��� �������������$������� �5��� ����������� �� ���������� �� ����� � %�������2�������$ ����� ��� �����$�)�� �������2���� %�����:���,

������������������ ����������$������������.������� �������������� �������%���������$����"����������$��$��� ������ �������������� $��������� �������� %������������(������������ ���� ��;�%���������������%���$���������0�� ����$���&������ ����������������� %������$�$����-1���$�������%��������$�)� ���������$ ����� ��� �����'��������.���,

@����$�-���� ��� ��������� ��� �� ���� ����� �������$ ����� ��� ���� ��.�0���������� ���� �������E�&������ �������&��������'������������� ��� ����� ������0����'�$�����$����� ���������&����$�� �� ��� �� ��� ��&������� �� ��$�(��� ���$���������$�������$��1���"� � %��$��������� ����������� �$��������������������������"������������������ ���� ��� ��,

@"�����)� ������������������ %�����:������������$���$������� �� ���&����.���'�����$�������������$���-�������)�&���$�� ������$� ������&��� %���$�)� �����������,

���E�&����������� %��������� ��$��������� ���� ���$��2������� ������� ��� ����'�����$����� ���.������ ������ ��� �������������� ����� ��� ����2��������������������� ����0���)�������������.�������������������� ��� ����'��

Page 48: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

3�

���

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

���� �����������������(�&� �������������������"�$���%��������%� ��)������������,

����� ������E�&������������$���'���$��� ���������������$�� �������/

N ������������ ����������$��(�

N �������%����

N �������"�%���� ���

N ��� ��(�������

N �������������� ���������� ��� $�&��������������������$����� ������,

3������� ���E�&��� ������� �����$������&�������������� ����� - ������������� ��"���� )� ����������$�� ���:���������0��&��������,

4���������������������'������$�������$��� � ����� ����������������"�'��� ������������� ��� ������������ ������ �����$�����������������E�&���������$�������������'������-��$���������������$��$�������������� ��� �������� ��� ������� ��.-�2�����������������&��0�� �� ������������ ����simbólico��������������"&��,

��� ����$���.��������E�&���������5����2���������� ��� ���������������������� ��� ��$���������$�����������%������������ � (�����������������(�������1$�������������������)�.�������������$���.���,����5�������������� �������� ����$���������$�(����&�������(���������������������������� �� ������ ��� ���)����� ���$��� ��,�Q� �������$�� � ����������������������� %������ ������� ����� ���� ��� ��$)� �� $����� �� $�� �� ��� �������.���%�����������������%�,

B���� ���E��3A���� ��������$�� ��������������������$ �������������$����%����������$��������������,

*��� ���������"���������&�����&���- ������� ���%-��������.��������$�$������������1&����������� �� ����������������"���������������������$��������$����� ���������� �����������$�� %��,��$�������'�������$�� �$� ��������������������$���&�&)������������$ ���&���- �����������������������'�������� ��������.��������$�$��,

�4;�!�(��1�%����3�'���� �� ������ �:���� ���� �������.���������E�&������ ���������)������&��0��������&��"��������� %����������������������$�� �$� ��,

A�������������� ��������������&��������$���$�������������������� ��� ���,

�����������������&��"���������,

�4;�!�(��������-3������ ������������2�.���������������$��$��������

�� ��������,

.� �����������������$����������.���%��",

�� ������������2�.�������������&��0�,

�� A���� ���������&��������.�������$��%��� �,

�� �����������������$�������%�����$������ �.������� ���������� ��� ���������,

�� �� ������������������������$�������������� �������$����� �� ����� �� %���� ���������������"&��������� %�,

&� *�� ������ ��� %�����������$������������ ����������&���� �)���������� ��� ���,

2� ��������%�������������$�� ���������$��$��� ��,

� A���(������ �������&���- ����,

0� ������������2�.�������$���� ��&��� � �����������������.����"�����������,

[� ������������2�.���������&��) ����,

�� �����������������$���������������",

��!�����1-����.����"�&������������������������&����������$���� � %��� �� $�� �� ��� ���� ����� ��� ������.������� ���������� �������$�������%����������������������$�� �$� ��,

#��� ��� ���� ������ ��� ��� �)����/� $����� $�����.��������&�����$��&���$����%��%�����$����,�3�)���&�����������$�� ������������������ ����������� � ��$������������������1"��������(���� �,

@��������������� ��$�� ��"�����"�&���������� ����$��$����������� %��������E�&��,

��� ������ ��� $��$��� �� ��� ����������� �� ��%-�� ��� ���������������� �� �&��$�������5������$��������'�����'�������������������'������5�������'��� �$����,

��� �������������$����$����aprender haciendo��&��$����������� �&����������� ��/�docen-cia, la investigación, la práctica, el jugar y elpreguntar����� �����2������ ���� ��������1� ��"�������$���.��,

Page 49: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

3�

���

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

*�����$ �(�������� �� �&������ ����������$�� ������&�� ��������������� ��/

�3�A�@E�4�+F#���� *AE����3@�� ������ ��$����� %����&������� ��%-������$����� ����� %��������� ��%���$������� �����&� %��� ����� identificar, comparar, clasificar,resumir, representar, relacionar variables yelaborar conclusiones. ��2��� $������� ����'����������������������$����������& %�����análisis, síntesis, evaluación y creatividad.

��%���������%�3�%������$��������������� ��� ������.�����2������������(��$���2�������� ��� %����� ����"&����'�����$��� ������� ��� �������������$ �������������$�������������������� ��������%�(������������$���(�0����������� ��� ���,

�����&������'�����&��������� ����� �����%�������� ��� %���$����������5�(��������$����(�0������ ���� ������� ��� ���;������$�5)�����&��������'������ ������ ��� �������� ���������� ��� �����������0��&��'���$��� ��$� ���������������������2�.������,

������� ��$�������������� ��$����)������������� ���2�������"��1� � ��� ������E�&�������&����� �)���������� ��� ���;������$���&�&)���� %�������&������$��� ������� ��� ����'����������� ������� ��(����������������������� %���������&��"�&���� ��������� �����$�����������������������������,

>���������������������� �����E�&�������&����� �)���������� ��� ���������� ��������$�� ����������� ���������������������������$����������&� %��������� ��� ���� ���'���$������� �.��������������� �������$ ����.� ��� ������$�������������� ���$��������������$�� ���� �����������"����$��.�����,

�������%� ������� ��� ��������M���������� ����� �� )�����Euclidian Construction and theGeometry of Origami���������������� �(��$�������� �������� �����������&���� �)������E�&��$���� ��� �������� ��������� �����%��� ��������&���������:.����������� �� �����������&���,

@���� ������A�.�� �?��� ��2�\&����'���2(���� ������� ����������������������������������� )����/

B���-��#��*�����#�����##-�"���"���-������������#�����*�$����-�&"�"��+����%��#� <����-����-��$��%$���������#���*��#"��#���(��������&��$�-�#%#��$����#�"�%�&�-�*��$���%�&���*�$�D+

��3���%�������4���1� 3����AEY�=,� @�����,�?���� ��� �1������� � *�$��� B���&,�#�IQ��[,� ��%��,� ��VV,� �O�$,

�3A@E#��A������,� ��>E@=�=��A��A�.�� � *,��������� ��?����� �)��3� �) ��,������,����?��I�>��,� ���M�� $,� V�M,

?�A�=@�>�]?�A�� A�.�� ,� ������� ��� ��� ��� ��� 2�&���� ��� ��� ��&��,� +��� 2��� �����&�(�,�8��,� V���#�,� M,����.��� ���M�� $,!MR� �� !R ,

>4���� =2������ ?���� ��� ��� ��� ��� %�� ��&������������� �#� �(�� 6����� + ��� ���� ���#������ ���)��������� ��������� ���� 3(������ :�)�30;<��E�&���4@3��#�I�Q��[����M��� !��!�,

>4K+=3�� >���[�� 31��� �� ��%���$�� � ��� ��&��&���� �������������� �#� �(�� =���� 5����������� � �������� �#)������� 6����� ���� 3�(�� ����� >,� >�( �� ��,� �������� �O!��M�,

>4K+=3��>���[�� =2�� ���� �� ��� �� &%�� �&��� ���%��� .� 2�� &���� ��� ��� ��&�������������� �#� �(�� =���� 5����������� �������� �#� )������� 6����� ���� 3�(�� ����

>,� >�( �� ��,� �������� ��M���O,

>4K+=3�� >���[�� 4���� ��&� &���� ��� 2���&2� ��&���1���/� �� � 2�� ��� � ���'�� �� �� 2��� ���� .��� �2����D����������� �#� �(�� =���� 5����������� � ���#������ ���)��������� ��������� ���� 3(������ :�)�30/<�� G,� @� 2� ��,�� �� �2E�&��� @��� �� �������� !R�R ,

>4K+=3��>���[��������� ��@������=2����&�.������$�$�������&� ���&��������������� �#� �(�� =���� 5����������� ���������� �#� )������� 6����� ���� 3�(�� ����

>,� >�( �� ��,� �������� ��M����,

���?4K�H#���&���,� *���� $�������0��,� ��������,� ��.��,����,� ��V$,

^^^,�3%� ������� ��� ���,� ��������,� ��.��,� ����,� �VR$,

�#?����*� ��,�E�&��/�������&����2� ��(�,�#�I�Q��[,���%��,���O,� �O�$,

?3A�#�A����� ,�#��%��� $��� ��$����� ��� ���,������,3��(�,� ��R�,� !�V$,

_#�+@@��A��+��&���,�E�&��/�$�$���$��&���,������,��,�,3,�,��������,� ����,� ���$,

�+K�3#E�� �������,� +��&���� ����� %�� �� �����"��� ���� ��/� ��� ��� ����"� ������ ���� :����� ��� ��$���� �� ��� �$���.��� ���2�� �� ��?����,���������,�?��+@3,� ���!,� $� �! ,

�E#@3�8��*E@3�3��E�����,����� �������� �&`)� ���� ������� ��� ��,� +�������"� �� *���&�&)�� �O��M,�������),�4�%������� ���3 �'��,� ���V,� $$� !�!�!�V,

�E#@3�8��*E@3�3��E������ �� G3A3�+��E��F*�K��������������,� ��� $������ ��� ��.���� $�$��,���� ������� �� ��&����$���������� ��� ���,� �/� A�%� �� ������"� �� *���&�&)�,������)/�4%������� ���3 �'���� B���� ��� ���������",�8��,L8��#9,� !M�� ������.���� � !,� $$,����M,

�E#=AE���� G�2,�E�&��� ������ ,�#�I�Q��[,���%��,� ���!,$� � ���,

Page 50: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

3�

���

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

������$���"��������:������� ��������$��� ������������������ ����$� ����"&����'����������� ��&�����������$��0���/�������$ ��"�������1� ������������� �������&� %�����������$���"����&����"������� �� ��� ���� ���� ��,��� �����$�� ����������.0� ��������2����.� ���$��������� ��� ����$����������� ��5���2�� ��'�������� �������&�"���� ��$�� ��" � %����$�����$��� ��������� ����"�������$���� �� ��� :�����,

������&��������$����"��������:�������&� %����������������������$��������� ��� ���������������������������� ����$�������������$ �.������:��������� � ��'������1$����.��������������� �,�@"���2�� ��'��������&�"���� ��$�� ��"��� ����:������� ������������ ������ ���� %��������������.�������1� �����������:�������&� �%������������������,�*����0��$����������������'������ ��$��� ����������P�M�&�������� )&�������������'������2������������� ��$��� ������PM�&����������'����� ��%������� ���1$�������'����� ��$��� ������ �������M�&������$�����.�0������� ��$��� ������� ��������,� +&����� �� ������ ������'�����������)�������.��� �%���������� ��&� %�����P!�$� ������ ��%��������'����1$�������'������������ �������������)������$�)������$������������������� ������������$�����������5�� ������'���"� ����$� ��$�����.�0�,

������������ �������������� ���� ������������$���(�0���������:������� ��������������2���� ���� �����2��������&������V���R�������������"�.���������.����2��2��2��'���-� ���������� ��%-���������&�(��"�������������������$����������)&����$���$���������� ��� ��,�@���.��&���� ������ � �����������(��"��������:������� ������������ ���� �����.��)������$��� ������ ������������������������%�������������������� �(��������&����������)�������������� � %�������$��1���"���� ���� ������-���,��� ��$������������� ��%-��������� �����$��$���������%����� ����������0��&�/�$������&����'�������.���;����������/����$������ �����������2����$�-� ������$�&���������;��� ����� ���/� ������"��� ��)� ����.���������$�� ��� �������&�����������������������)������$�)�;�� �,

���$������� ��� � ������� ����� ���� � ���������� ���'������$��$��������)��$��.�����������(��"����$��$��� �����������'��������� ��.�0���� ����:������� ����������� ����$�������&���

7��N� ��G� ��>���������� ����� ��

�������%�!"�������������%!����

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

����������������"�.����;��������� �����$�� ������'������� �����������$�������� �� ��� ����������'����$����������$��0��������� ���� ���,

3�)�$��������� �� ���������$�� ������� ����'�������� ���������"&����������:������� ������� ������ �� ��� �����������& ������������������ � �� '��� -� ��� ������$���� ��������� �����$�� ������$� ��������������������.��������� ���������& ��,��� ����������:������� ������ ��%������� ��� ����������$���"���� �������������.����������$�� %����$���� ���"� ��-���,�3������ $��� �� ��������� ��:������������ �����.���� ����������� ������� %�/�������.���� ������������� %���� ��������$������������������������$��$�����'�����������������&�������������$� ������������������� ���������$�� ������������������� ��,

B���� ���������0�������������"��1� � ���� ��������& �������������& ����������������.���������������������� �.���������&�� ��������"/�M

i + C = M

f�� �����M

i =���& ��� ����

Mf = ��& ��� ������C = ���.���2����'��� ��

�$����"������������ �����%������������$����"����������$��� �������:������� ������,��&�������������0� �����:������� �����������$�����"� ��� �����1� ��� ���%��$���� �'������� �� ���'��� ��������� ��� �� �� ��� �������� '��� ����� �������$�������������� �������2���$����"�� ���)�� cerrada, ��� ����� ��� ����� �� (-x)� $�����&:�x�$�� ���� ����N����1� �,��� ����&����������������������$���"�������0� �����:������ ������������0� �����:������� �����Z,

#��1"%!���������%�����������3��:�$%�, ����:������� ������� ��������$���� ��

����������� �������$����$��� ����$����� ����������������:� $������& �����������$���0��$����������������%�������� �,

� C������� ���'�������:������� ����� ��.- ����� �� $������ �����$��� ��D

., ������������������� %��������$��� ��� �����C'�-������ ��)� ������.�� ����������& �����������������'������������:������� ����D

�, �� ����� ��� ���� �&� %�� ��� ���$��� �� �� ��� ����������������1$����",

�, C���������$� �����%� ������$ �����������:�������� ������'�-��&�������$����� �������&����������D

!, C����������������������������� ������ ������:������� �������������:������� ����D

O, @�L������:������&� %���&���'������������ ����-�������:�����PL,

Page 51: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

3�

���

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

0��� �8��O��� ���8��0�GO �8�G /����� �8�

FUNDACIÓN COLEGIO UIS,BUCARAMANGA – SANTANDER

��"����%�����%��������%�����%�$1%�!���������! !����%������% �����6������% �����%������! !���

������2������&�����5��� �� ��� ���5�(����� ����� ��� �������%���&���������$�����$��������&��"�� %�� &��"����1$���� ��"������������������.0� �����2���������� ���������� %� ��� ����� ������)�$������$���������.������������$�"� ���������������� ��� ��������������)�����.�������� � ��,������)���������2���������������%�����'������������5�(���������� ��� �����'���2�&������������� �����(�����)&�������$��������������� ����"�������������;���� ���'�������&��������%�"�����$��������������� ��� ���'��������0��2������� �&���"���������� ��.��������� �1 �����$����������������$�� ������������� �������������������� ��� ���,� ,

*���� 2����� �1$�)� �� ��2�� ���'��� ��� $��$��������0��$�������� ������������������������������ �"& ��� $���� �� ��� ��������&�������'������'���&������� �����2�������$���������� �������2�������������2��������&�������������� ��������� ���&������ �������� ������ ����;� ���� ����������� �������$�� �����$������� ����2�� ��� ���2�������������������������$������������(���� ����&�����(��"��� �(�������$������ ��%�������!,����� ��%-����������%���1�$������'��������0����������$���"�����$�������������������������1�a�.��U��,

�����.� ����� ��.�0��'������ ��'��������������$���� ��� �$���� ��"������ �����'������ ��������� ������������ ����"���0� ������������ ����� ��%-���������$� ����������������������� ��%��������$� ����,��� ��&��� (�����������$��"���������� ��� �����������������������������.���������� ���������$������������� �����"����&����"�����&�������� ���$������,

2 /���#����� �� ��"������ �������� .�AA56+ �� � ��/�����+ �����$�����#="����"����#+N�����/���$)����#+

4/���#���������"��������������.�AA56+���G/�����>��=����IG�G��/G������=�GI�����=�G+�����$�����#="����"����#+N�����/���$)����#+

���=�������� �����5����$����'�������$�������������� � ��������(�����$�&����$��� ������������� ��)� �����������.� ����� ��.�0��'���$�%��&������� ����"������ %����������� ������ ���%-���������1$����������������� ����2���������������������$������������(���� �����������������$����� ��%�������,�3������ ��������$�� ������������������������ ������������1$��������$���������������,����=����������%�"������������������&�� ���$�� ��/

�, +��&��"���.�����������,

�, ����������������������������"& �������� �1 ���� ��� �������������������� � ���,

!, >����������$���"�����$��������������������1�a�.��U��������� � ���������������,

O, + ��$�� ��"�&����������$� �"������� � ��������������,

M, ��������"�������������$� ��,

V, ����$� �"������$��� �,

R, ���&�����(��"�����$� �",

�, ������������$��&� ��,

��%��"���%���, ���$��.����� ��%-����������&��"�������1$���

�� ��"���������� ��������� ��� �������%��� �� ����� ��� �� �� �&��� $������� ��� ��$�������������5�(��2���������������������$��������������$� �������������� ��� ��,

., ���� ���� �� $������� %���������&��������.� ��������.����"���0� ��� ������$����������������� ��� �����������������&����������)$�����$��� ��'������$���������$������������$�� ������ ���� �� ��� ����� ������ �� ���%�(� ����'�����������%�"�����$������������� ��� %������������ �,

#��1"%!��*���:� ��������0��$��&� ����.�� ������%��������� ���1$��������'�����.�����&��� (����.���������������$��������������"��� ��� ��/

�, C�"������ �������� ���������$�������$���&��� (���������1"�� ������$� �"������������"����� ��������$��� �,

., C�"���������$��%��2��������������$� �"�$�������� ��������������"���������$ �����$���

�/���#���������"��������������.�AA56+8��8�>>�G������=���=�/�����/��/��=� �� � �G=8�� I P=� 8� �G��8=�8� =8���=8��+�����$�����#="����"����#+N�����/���$)����#+

Page 52: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

3�

���

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

$���������� &���- ���� �� ��� ����0�(�� �� ��&����D

�, Cb�-�%� �0������� ��������. ������$��$������� %������$��������� ��(������������������$���������������$��$������������ ������� ���$������������$� �"D

��3���%�������4���1� 3�����+#+@=�A+E���� ��4�3�+E#�#3�+E#3�,� ���������������� ���� ������������,� @� ��-� ��� ��&� �,� ����

Y3@>+#?=E#�3,G,� ���!,�=���������� ������������,� B����� ����� %�� ���������

K4��=3� �,��������� �� ��������� ��� ����� ��� ��"���,���$����"� =����������,� ���M

3��_@3#�AE8�3,��,����������%� �� ���������� ������� �����#����,� 3��(�� �� ����,

=�����������.��������4�E�@E�3��������5������-��*� �>�������������������EA�#K����$������ ������ ��������� ����������������"������-������������� �����E?+_4�E,���������������.���=A+E=EQ���'��"�������������$������"$���������.�,�����E?+_4�E������0��&��'��������������� �� ���� ��.-����$��� ���$�����������%�(�'����������������$� ������$����������2�.���������� �������$����� ����$����,

���"��%N ��&������� ������5�(����� ���&���� �)���� ��

��������.�����$�������� :��������������$����(�0�������)� �������"�������$�������������$��)��� ��������������� �&�����$����,��� ����������.���������������1� ����%��)������ � ��������&���� �)����������&����� ����������,

N ����%�� &�������� ������������ ����������� ��� ���������0������ �(��"������ �������������������������'��������� ��� ���$��������'���� �$�� � �������$ ����� ��� ������� ��%-���������.���%��"����$����"�� ���������",

N � ��������� �������$��������1$�����"���������$ ���&���- ������������ ���������� ��.��'�������"��������������$���%�������.���&�����$�&��������������'������������������$��$��,

P8�� =8����

@"1�%���6�����%���%����%������1�A"4��

N 3�� ��.�0��������� ��.������$��$������������������/

N �����$���������%�"���$�������������� ���� ��;� ���2�.�����$�����.�0��� ��$���� �����$���������.0� ��� ����������;����2�.����$���� ��$�� ��� ������ ��� �� ���� ��$���� �������2��2���$���� ����$������,

N � ��������0� ������������ ��.���2����������&��� �� ��.��0� �� �������� ��6�E?+_4�E7����������������3��������'����� �������%��$�� ��,

N 3�'����1� ��� ��� $����� ��$���� ���������� �� ������� �(����������� ����$���� ����������- ����,

N ��� ��.�0������� �� $������� �����$�����$���� ����������������$� ����

N ���$����$�"�����������������$����������1�� �������������� ���5��

N ���$������"��� �������.0� ����.���%��������$������$����&��������� ���� �

N ����������� ������.0� ��������������� ���$� ������%� ������������ ��������� ����

N ���$�����"��������������������������.�����$������

N ��������.��� ���������$�"��������������� ����.0� ���'���$����������� ��,

��3���%�������4���1� 3�����+�_@E#���,;��AEY#���,;�?+�@E#��E,/����3$���(�0���������� ��� ���,� �� ����� ��.��� @,3,�������� ����

BA3#_����,/����[ [� ����?���� ��,� @$�[ ����3[������2��8����&�>����.��&�������� �

?4=+�AA�K��3,/� ���� A�$���� ������ *����� ��� ����$��� !����������� �� ������5�(�� ��� ���?���� �)����$����,�A�%�� �� ��3�� ������ %��,!�� ��!��� ,

� =���$(�� ����������+ Proyecto Matemática Educativa (1997-2004). http://colombiaaprendiendo.com

Page 53: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

3�

���

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

=���G 08��� �8Q8� ��G�I� =��G�� /�� /+

0�P� ���� �����G �J

UNIVERSIDAD

PEDAGÓGICA

NACIONAL

��1"%�����!"����%���������%��'�;���������������������������������!�� !������������

��3���%!���!�$��������������������� �������$��$��� ������������������������� ����:������ �������$�� %�������������������$�����������������������$��������-�����@� �����#��-��������$��� �������� ���������&��������� �������*����� ������������������� �������� ��� ����������4%�������*����&"&���#���������������.������������+&����)������ ���������� �����&)�����%�� &��"$��$��������������"��� ��� ��,�=����� ������&)����������� �� �"����� ���� ������$�� ��/N ��� ����$ ���(��"� ��� ������� ��� ��� ���

�� ��� ��������������$�� �"������%�� �&� %��������.0� ������� �������������������� ��������.����� ��� ����$����������� ��� �������������� �������� ����

N ��� ���)�������� ���$���"����� ���$��$���� ��$����2�%����������������

N ��� ���)����� � ����������� ���� ������$�����������������!��

'���$��� ������� ��(����B�������������������������������������������������������

��� ����!������������������������������������������������

�����"����� #� �� ������ ��� �������� ��� ����$�����#�� ��

������������������� ��������� ��"��������������������� ��

��������������������������������������������������������#����

����%���������"��������������������� ��������!.���*"� �AA56

��� +&���)������ ��� ��� ����������� �� ��� �������� �� ��.��/N B����+/�3�����$������,N B����++/�����$�"�����������$���,N B����+++/��1$���� ��",N B����+8/�3�������$�� �������%�����"

����������++�������%�� &��"�������������� ������������$���(�0������������������������� ���� ������ ����-� ������������������� ������������ ��������������� �.�����������&�� ��� �/

B&�������������� ������������'��������������������������������������(��������������������������������������������������

��������������)������������������������#���'����*�#���

���%�����������%������+����������������������������������

���������������������"����������������!�.���"##��" �A5L ���������=������ �A556 ��,������������� ���������������%���)������������������������*��������������������������������

����������������������'�������������������������������!

.=������ �A556

����� �����������$���(�0����� ����� ������&�� �����$�� ��/N �����%����"���������&������0��&�,N �����%����"�����$��.����,N �����%����"�����������",N ��������������������,N �������������������������,N ����$���.�����0�� �����������������,N ���� �����(��"����.������$������$�������,

���"��%*���� �������&����� �����������$���(�0��'������$������������� ��� �)��������&�.���������$�� ���� ������� ��� ����������4%�������*���&"&��������������������� ������ ��� ������ ������ ������ ������ �������� ���� ���� ��� ����� �� ����$��������-����@� �����#��-������������$���$"� ����� ����� ��� ������� %�������� ��� �������������� �����$���������;�� �����-� ����������$��$���"�������� ���"���� �������������������������,����$��$��� ���� ��.����������$����� ����%�� &��"�������������������4%��������� � �����/�63� %������$����������������������$������ ���"&��/����$��������� ��� ����������7

3��� ���"� ��������.��.��%��� �� ���� ������� �����������$���(�0������������������%�� &��"����������������%�����������.����������� � ������� �� �����,����������"������2����� ��������.����"���'��������������'��������$��� ���%����������$� �����&�����������%�����"���������$ �����:���������������� �����&������������$�������������� ������������������ %������ ��� ����������,

������'� )% $���� �#��������� "�* ��������������������

���� �������� �� ��� �&����������$��������������� � ���)����������� ��� ���� ����������������"���������2�� �����&����������������"������� �������:������$������$���� ���������

������'� ,% 2� ��� ���������� ������������������ � ��� �4����� ������������

���� ��������� ������������������ ������ ���$�������$�� �������������. ������&�����0���$���� ��� :������ ���������/� los números

Page 54: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

3�

���

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

irracionales cuadráticos,� @�� .����� ��.�0��� ����� ��$���� ��"� $���� ������ ��� ���� :��������������������� ����'���$��� �����.��������0� ������������"����������$�� ��� �������&���������������� ����� �����$��$����������������$����� ����� �� $����� �1$������,�@����� ��� ��� I�������%�� $���� ��� ���� ��&����$��1����������:�����'�����$���� ����� ����������� �� ����� $���� ��� ����� ��� ��&���� ���� ���� ��&���� ����� ��� �� ��&� ���� ���� %��������� ����������� �.��,

������'� -% �4����� ������������

A��������������?���� �)��������������������� ��$�� ��"���������� ������$�����������0� ����:������2��������� ����������� ��&�������$������������������ ������:������� ������������������������������������ ���;�$������$���������%���:������ ������������������������2�� ��������� ������������%��������������� ���������$�������,�@��% ��������$�� ��$� �������� ���������&��������$�����&����:���������������.�������0� ��������$�� ���������("�������$��.����������� ������&������������,

��3���%�������4���1� 3����ARTIGUE, M. (1989) 5�����������������'�En: Ingeniería Di-dáctica en Educación Matemática. Ed. Gómez, Pedro. Una em-

presa docente. Universidad de los Andes. pp.33-59.

BOYER, C. (1986) >������� ��� �����������'�Editorial Alian-za Universidad. Madrid.

CENTENO, J. (1988) ?@����� ����� ��� A���� B��C� A����B��C�Editorial Síntesis. España.

CASTRO, I. (2003) Razonamiento griego con regla y compás.Pontificia Universidad Javeriana

CHAMORRO, C. y BELMONTE, J. (1994) � � ���" ���� ��� �������%������������ ������������ ���� �. Ed. Síntesis. Madrid.

FARIAS, E. et al (1999).� D?@����� ����%� �����EF�� �� ��������� �� #����EG������������ ��� ���������H' En Rev.Zetetiké. Vol. 7. Nº 12. CEMPEM. Brasil

KLINE, M. (1992) � � ��������������������� ��� �� �����I������ �� ������� ���'�Alianza Editorial. Madrid.

LLINARES, S. (1995) ������������ ���#����� � �� � ���#������ ���������%� ������������� ������� �� ����$��� ��� �� ������ �� �� ������ ��� #����� En memorias VI Encontro deInvestigaçao Matemática' Portugal.

LUQUE, C. et al. (2001) 7��� ����$������� �� �� �@���������� �� �������'�Universidad Pedagógica Nacional. Bogotá.

______, (2004) � � ���������������� ��� ��#���'�Universi-dad Pedagógica Nacional. Bogotá.

______, (2004) 7��� ��������� ��� �� �@����� ��� �� ��������''�Universidad Pedagógica Nacional. Bogotá.

RIGO, M. (1994) � ������� (������� �� ���������� ��� ���������� �� � �������� ���������'� En Rev. EducaciónMatemática. Vol 6. No.1-2. Agosto.

ROMERO, I. (1997) ��� ����������� �� � �@����� ��� � ��� ���� ��!�� ��������%� ���� �$��������� ��� ������������ ����'Colección Mathema. Ed. Comares. Granada España.

______, (1996). “��� ����������� �� � �@����� ��� � ��� �� ���� ��!�� ��������”. En Rev. Epsilon. Vol. 12. Nº 34.

______, RICO, L. (1999). “*������������ �� ���������� �� �@����� ��� '� 7��� �$��������� �������� ��� ��������”. EnRev. EMA. Vol. 4. Nº 2.

SÁNCHEZ, C. (1997) ���������������� ���@����� ��� �� XIVColoquio Distrital de Matemáticas y Estadística, UPN, Bogotá.

����������)��������������� ���'��������� ���.��� ��� �� ��� ������ ������ ������& ��������������� ������'����$�������$�������������� ��"���� �����& ����� ���������� ���$���� ����$��$��� ���� ����"&������ ����� ��� &�����,*�������'�������0��$������������&��������)�$������& ���������������& ��������������$���'��������0��������������$� ���$������& ����������������$� ����&������� ���� ���,

@�.�������������'������������������)���� ���� �$���� �� �� ���$��$��� ����� ��� �����1��

���� ������ �+ G8N�� �

G��� ��=�� G+ /��08�2

��3��:��%������ �!������4��������%�!�"���$%��������1%�!"�������!"���%1"���

��.��������������� ���$�� � ������������������.��� ���%�.�������� �� ��$��������� ���'��� ��'���%�������������$ ����$��)������������& ����$� ����&����,����$����� ���'�����$�� ������$������ ��������� �)��'������-���! �^��'����������������.0� ������� ��������&�����������$�� �&���- �������- ���^�$��$������������������������ �������� ��%-����������������������������&������%�������2����(&������ ���� ���������(������$��0������$ ���'�������� ���$���������.������%�������$������ ������������.������������5�(�,���������������B����� 2�������!���$������������'������������ ������$������$��������$��������������� � ���1$������������$ ����� ���,

#���$�����$��� ��������������$��.���� ���&���������������$ �������& ������������������� ����"���������& �����$� ����&������� ���

UNIVERSIDAD

PEDAGÓGICA

NACIONAL

1 Profesor del Departamento de Matemáticas de la U. P. N.

2 Estudiante de la Maestría en Docencia de la Matemática de la U. P. N.

3 El currículo propuesto en textos escolares del concepto de la amplitud angular y su medida.

Page 55: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

3�

���

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

5#���>"=���%�����%!���=!����8������������������& ������������ �1 ������������'����������������1"���.����������������� �������� ��� ����������������;�����������$������ ������������ ��$������2������� �������� ��� ������$����&������� �� ������ ��� ��� ���%������� ������$���������������"���� � ���� ���������������$��0���������:����%���� ����������%���"� ��� �������� �� 2�.����� ������������$ ����� ����������& ���������������������������� ����������������������������,

���$���� ���� )�������������� ���������� ��.�0����%�� &��"�����(�������� �������5��������� ����� ������� �)�� �������� ��� ������ ��� ����4%����������3 �'���;�$�� ������ ������������� ��� �"����� ���� ����"&���� ��� ����� ������ �������������"������������������& �������'����� �.���������������������$�������������5�(�� �� ��� �$���(�0�� ��2��� ��� ��� �������� ��������������������� �������.���������� ��� �����%&� ��������$�)�,

0�GRG /�J �8��O��� /�G/�J ����G >���G >G=�UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

�����������������%�����%!��=!������%������"����$%� ��������"%�����

�%�"%���%!�:!��,��!$����+����� ������2�����������������������������2� ������������� ��� ����$������ ��������)��������$�����'������2��.�������� �������� ���� �����.��"���� ��������$ �������$�� %������ ����� ��� ����������������������& ���������������������$�������(����.� ��������$� ����"&���'������.���$� ������ ��� ��� ����"����� �������$ ����� ��� �������$�������� �������$�������������������,

Un obstáculo epistemológico está constituido por aquellosconocimientos que deben su solidez al hecho de funcionar bienbajo ciertos dominios de la actividad pero que se muestraninsuficientes y conducen a contradicciones cuando se los aplicacon otros contextos, (Brousseau, citado por De la Torre).

4���� �.��"��$�� � ���������&��&���������������������������� ���� ��� ��������� ��"��� ���)�������������������& ������� ��������$��� "�$�����(��������2���� ���� ������������� ��� �������������������������%�(�'�����$����������$��.��������&�����'�(���$�����������.���� �����������������.��������������������$��.�����$�������$ ������� ���� �����$����������� ���� ����������� �������� ������� ���)������� �����-���,

���������������&��� �������%���������� ����-�����.�&"��������� ��� ����&��&�����$���������� ����)�������&�����$���������& ����&���- ����;����������1��'��� �������������

%-���������� ��� ������ �v.g., $����$�"�� ���$�����"������"���� ���"�,�����$������ ��.������'��������$������������� ����"���������&� �������$����$�"�0��&����$�$��������� ����������$�������� �����'����� ����������&����'��� ������� ��� $����$ .���� $��� ���� �� ���;$-������$����0��$����������&�������%�"��������.���"������$� ����.������������� ����� ��,

*���� ���$�� ��������'������$�� ����������������$��&� ���������� ��� ��������������$��.������������ ������ ���$�� �������&��������������� ������2��2�����'��� ��� ������ ����&����$����� �� ����� ��� �������� %�� ��$������ �������$ ������&����'������$�&����0��&�,

#���$��&� ����� ��.-�������������2��2�����'������������ ���)���� ��� �����.�� �������������"����� ���������'���$��� �0��$������ �1 �� �����Los Elementos� ������������ ��� 2�&���������� �� ���� �������� ����� ��� $���� ���&��������������.��,

�� ���� �����������2��$��� ��������������� ��������� ��������$��.�������$���� �������������������&�����$������'����������(��"����� �� ������$�� ������'����������� ��������1������&���&����������������1$������$���������������2����(&���'���2����� �����������������%%�����������1$�������'�������2�&������ �������.������$��.���� ������������5�(������.0�� ����� ��� �����'������������&�����$�������������������� ��� �%��,

*���������������������� ���������$��$�����$������$���������"��� %������'����.�������&����������$��.���� ��������� �������������"���������(�����������&�������",

��3���%������4���1� 3���FREUDENTHAL, H. (1983) ������� � �(������� ���� �#���(������ � �������. Dordrecht Kluwer Academic Publishers.

Page 56: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

3�

���

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

�����& ����� ��;������ �� �.�������:������������ ������&���- ��������& ����������%�������� � �,�� ���� ������� ���� �� ����� �� ������� ��������:������'������������ ��

�� �� �� ��� �� �"������� ������& ���������������������$��� "��$������$�� ���������� ������� ���)���������$��$���������$�������&�������������(��������&������&��,�3������$��� "��$�������������&�������$�����������.��� �������� ����������� ��0���� ���� .�����$���� ��� ���)���������������:������������,

�%�"%���%!�:!����!�� !���Magnitud. A�&������ �� ���&����� ���������& ������������������� �.� ����������������.0� ���'���$�����%������� ��������� � %����� ���������������� � %��������� �;�����$�������������2�.��������& ������� ����������������& �������$��������� ��$��� �,���������&���� �����2�.�������������& ���������� ����������������������������.0� ��,

3�&�.������ ���������������& ���������semigrupo conmutativo y ordenado, formadopor clases de equivalencia que son sus canti-dades: ���������0� �������%��)��������� � �����������& ��������-��$�������������������"�����'�%�������U��������$����"�� ����������a�;�������������������������1%����- ������ ��� %���$������������"�����'�%��������������� %������� � %���������� %��$�������$����"� �����a�,

@��������0� �������2����������������"����'�%������������$����"��a����������������$���������������������'���6��������� �������������������& ��7�����&������ ��$�O������ ������-� ���$�����������������:�'���2����'����������� ������.��������������&����.���,

>�� �� �'�)� $������� ������� '��� ���a�� ��� ����&��$������ � %���������� ���� ��,

Cantidad de magnitud,������� -����6�� ��������& ��7����������������'������'��� �������:� ����� ��������� ��� &������� ����)��� ����������.0� ���'��� ������������� ��������& ��� ������������������ �'�%�����,������ �����������& ������$��������$������ ���);� ��� ������ '��� �� ���� ����� ��� �����$�������������������"������������ �������������������� ���������������$��������.�0����������"�≤ ����������������� ��� ��)���������$��$������/�A�����1%���� ��- ����� ��� %�,

b������������ ������& ����������� ��� $� ����%� ����&�.����������6�����&��$������ � %��������� ���� ��� � ���� ���������7,

Medida. @� ����� ��� �� ���� �����& ��� 6�7����'�����'���$�� �������������������������� 6e7� '��� $�� ����� �� ��� � ����

eraMaRr .,/ =∈∀∈∃ ���������'���6�7���������������6�7�������$�� ������������� em a ��U��

@��$�������������6��������������e7�������������� ��'���$�� ���������� ���'������ $�����$����� r R+∈ � ����������$������1$����������'����� ���������& ���������� ����������6����'����� ���������& ���$����������1$��������������$����� ������ r R+∈ �$�������� �����0�����������������������6�����&������ ��$�M��,

�%�"%���%!�:!����� �!���@�����$ �����&���)������ ���������� ������&)��$������ �� %�� &��"�$��������.��� ���"/6��������&�����&����� � ������$����������$���������5�(���.�������������� ��������%�� &�������'���2��� �(������ �����&)����1 �������������������������� �����&)�����%�� &��"����$��)���7��3� &�������M�,

��� &���)������ ���������� �����&)����� �%�� &��"��� ��.�������/

� 4���'����������������(���������� �������������������������.����������$�"������(��"���.����%��"���������������������������5�(�,

� �����&� �����������������.������������������%�����"�������'����� ���������/������&� ���$����������������� �������������������%������"���� �����.���������������� ��"��� ��������������$�����������������$�� ����,

���� ����(���������� ����$��$��� ����2�������$����������� ����������� ���/

“Una situación didáctica es un conjunto de relaciones establecidasexplícitas y/o implícitamente entre un alumno o grupo de alumnos,un sistema educativo y un medio” (Grecia Gálvez).

��3���%�������4���1� 3����ARTIGUE, M. 5���������� �������J�pp 33-59. En: ARTIGUE,M. et al. Ingeniería didáctica en educación matemática. Méxi-co: una empresa docente e Iberoamericana, 1995.

DE LA TORRE, A. 4��������� �� ���� ������ ��� 4�B������,U. de A., Medellín, 1993.

__________. ������� �!����� �� � ������ �� �� � ������. Uni-versidad de Antioquia, Medellín, 2003.

HEATH, Thomas L. 3(�� �(������� "��K� �#� �� ��L� � �����.Dover publications, N. Y. 1993.

LUENGO, G, Ricardo y Otros, GRUPO BETA, Pr�������� ������M��������� �� 6���2��!�, Matemática: cultura y aprendi-zaje, Nº 14, Síntesis, Madrid 1990.

MEN, Colombia, ��������� ����� ������������, Santaféde Bogotá, Mayo, 2003

MEN, COLOMBIA, ������������ ������ �������������,Magisterio, Bogotá, 1998. 129p.

Page 57: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

CAPÍTULO IV

COMUNICACIONESBREVES

���$���� �� ��.�0�� ��� ��� ����� ������� ��� &�� "���%��������.��������&��������1 ��������+� ���"������ %��B�������?���)���������'�����������(�������$�� ������$����������������"����� ���� �����&� ����*��� ��� �������8�����%������"���-$ �������� ������'���2����$�� ������$�����������"������������ ������������"�����������-��������� ��� ����������4%�������� � ���SB�������G��-����������T,

�����.0� ������� �������� ��&�����������������"���� (��������������"�*�� ����=�������� �1 ���� �����.��������������%�� &�����������(�����$��������������R���2��������������=�&��������$��$��������������� ������������������%�������0���$�)� ������������� �.� ��������������"$��$��� ���$���*�&� ���*��������RV�,��������������������������������� ������$��$�������������������� %��������$�� ��������� ���"�$��.�����/�S������ ����"���������������$�� ������&���������.������������� �&�����'�����$���� ����

#���"��!�����������%����%'��������3������%����%���������$%����!�B!�����%��%!�:!�����%!�%"���%����=2���������������%��

>����I ��=J� �J �O�� P�=��� ��=��� ����������� 7������ �8��=���#�"������#���������"������"������

�)#������O�&�#�#��/���$)����#

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO

JOSÉ DE CALDAS

�����������%�(�������$�� ������ ��������������&���������$�����������"�����,���2�������������������������$�� �������� ���������$��$��� ���$�����&��$�����3�������/�+ ������"��A��� ��� ����"��*�����(��"���+� �����(��"�������-�����������$�������.0� %��$��$��� ��$���������� ���� ��/�S����$ ������������������ %���������� ��.� ��������������"���������������"�$�� ��P� ��������� �1 ���� ��T,

���� ���� ��$�������������5�(���$���(�0�� �����%������.������%�����"��� �����.�������$���&������� ��������������� ������$��������������'���"����� ����&����"�������������������.�����������������%���.����'��� ��%���������$��� ���������������$��$��� ���2������������������� ����- �������� ���� �����$������������%�����"$��$��� ��$���?�-�(� ����R����$���� ��)��. �������� ���������������������������&�� ��;

�, ���� �c���������� ��� ����� &��������&��� ���� �.� ��������������"����� ������ ������$��� ��$���$�� �����$���.������� �����$�������%�������:��������$�� ���$����������$�� �� ���'��� ���� ��&��� ����� ��� �����%��"���� ���,�������0������� ���� �.� ���$��� "'������$�� ������� %������'��������������������������$���"������&��������������������'����������,

�, ���� �(��"������ �1 ����� ����.�������� �� %������ ����� ��� ��� ��.���� $�$��� �� ����$����"����� �&�����$��� ��'���������� ��� ������������� ����� �1 ����������$�����������-������%��.������������%�(����$��������������� �������$ ��������������",

Page 58: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

!, �����������'��� ���$���� ��"���� ���� ���������� ��� $���� � %�� ���� ���������� �����������2�������$������."���������(������� ��� �� � ��� ���� ��$���� ������ ������ ���%��.��������� ���������&�������'���$���� ���������� ��� �����������������."����%��.�������-�����$���������0��� �� �����"������$���"����������������,

O, ���� �(��"������ ���������� �1 ����� ����"�$��.������������������$���������'����"��������$����������������� %��������������"�$�� ���� ����������� ������"����$�����������&��) �������$��� ����'��������� ����

��� �������� ����$��������������� �������������$�� ����� ��� ���,

��3���%�����4�4���1� 3����DICKSON, L., BROWN, M. y GIBSON, O ( 1991). � � ��������!�2�� ��� �����������. Madrid: MEC y Labor.

LLINARES, S. y SÁNCHEZ M. (1997). =������%� ��� �� ������ ������ ����. Madrid: Síntesis

GIMÉNEZ, J. (1997). ��� ������ ��� ���������'� 7��� ������������ ��� ���������. Madrid: Síntesis.

GODINO, J. y otros ( 2002a). ������� ��� ���������� �� ��������� ����� ������.

GODINO, J. y otros (2002b). M��������� �� �� �������� ����������.

���"��%

�������������������������������������������)����������%��������������.�������2�����5�����������$��$���� ��������'�����."��������������-��������2������6métodos7�$�����. ���� �������"��1$�� �,�����1$���������%��������.��������$�� ��� ��������������������� ���*� ���4%�������G�%����;������$��$���� ��.�0������$���������'���$��%���������$������ ��-��$��������� ��� ���������������'������" ���$���������5���������� �����������$���(�0�����������$�� ������������� ���� ��$����'��������� ��� �� �%��������$�� ���������$��������������������������������������������$���$�� %�������,

�%!���"���$%

���� �� ��.�0�� ������� ��� ���� ����� �������� ��%�� &��"�'����������� "��������$�� ��� �������������������� ���*� ����4%������G�%�����������$���������� ��� ������'� �������� ���������B���� ������+&���)�������������

��"����%�����3���%����������%�������A����9�1%����#����@�����"��

9���� 7+ =G��� �+

� �("������'������" ���$�������(�������$��������� ��$�� � %���'������$�����0��&��������%������ $������� ������������ ��������������������������������������������,��� ���$������������" ������ ����$�� �����������$� ������������������ I������ ��.,

@������ ������������ ������� ����$��$��� �����8��&���;����I��� ������?�������� ����� ������ �(��������� ����� &����� �� ������� �������������� -��������������[����E&.�����RR�'��� ������ ��� ������ $���� ����� �� %���,� @����� ��� � ����&�����0��$������� ������ %������� �$��$��� ����������� ��� ��������0�� ����" �"������ ��������������������������)��������&������������$������������������� ��� ��,

��3���%�����4�4���1� 3����BLISS, Joan and Ogborn, Jon (1977) 6������L� �������� ���������������� ���� London: Heinemann Educational Books.

GODINO, Juan D; BATANERO Carmen Batanero. =������6�������� ��� �� ��� ��!�� �� �������!�2�� ��� �����������.Ponencia presentada en el IX Seminario de Investigación e Edu-cación Matemática (SIEM) de la Sociedad Portuguesa de Investi-gación en Educación Matemática. Guimaraes, Noviembre de 1998.

KAPUT, J.: (1991). ?�������� ���� *������������� �����������#�����������������, en: E. Von Glasersfeld (de):Radical constructivism in mathematics education (pp 53-74).Dordrecht: Kluwer A.P.

LAKOFF, George & NUÑEZ, Rafael E. N(���� ���(��������� #���%� >�&� ��"������ ����� "����� ���(������ ����"����. Basics Books.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD

JAVERIANA, CALI

1Tareas, talleres, quices, exámenes y proyectos.

Page 59: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��-� �� $���� ��"� ��� �1$����� ��� �1$�������� ����� ����(��� en el primer semestre de 2004con los estudiantes de grado octavo (803 y 804),del I.E.D. Alberto Lleras Camargo �������������� ��� ������6�1$���"����&��������7,

����� �����.��� ��� ���� �� �� �����.����.��������������������� ��� ��������"��������1�$���"����&������������$�� ����������������������������������� %�����������'������ ��.�0"���$� �������������� �;� ����������������� ��$��$������������� �������M�,

��� �������� ��� �� %������ ���� ��� ����� $��� ������� ����$�� ���� ���������$��� ��� &��$����3��'�����$��$������ ���&��$�������� %������/�3� %���������+ ������"��3� %��������A��� ��� ����"��3� %���������*�����(��"��3� %���������+� �����(��",�@�����������$�������&��$�������'������������'��� $������ %��������.)�������&��� �$���� ����$�����&������� ����.0� %�/

“Desarrollar en los estudiantes la capacidad de formularexpresiones de generalidad, a través de las fases propiasdel proceso de generalización: ver, decir y registrar.”

=��.-����$��� ������ ���������������� ������������ ��� �����$�� �������-� ��� �� �����&�������2���������"���������1$����������&���������,

���� �����������&�� ���&��$�������� %��������&������'��������� ��� ������$�����������&��������������&� ������� ������������� �(��������$���.������ ���������� ����������� ��)� ��������������������%� ����'�������� ����������%������ ������ ����"�����1$�������&�������������'��������� ��� �(�.���)�.����,

��� ����� ���� ��� �������������� �������� �)�-����� �� ���.:�'�����������- ������� �%�����

�:�����%��������"����%!��%��������:�����$%������1�%���������6��"��(��"���$%

�"��$��������������������������$��.����.���%������$������������(�����$��������� ��� ������$�� ������������� ������. ������������������������� %�������������;����$��������'����&���������$��� ���� ������?�-�(��G,�������������������� ����������� ����$��������'���������� ����-� � ��.�0�/�+����� ��$��������������������� %���������� ���������$������������������ �����)������������"�'���������.����������2�.)������������� ��� ��������� %���;��������$������ -� �� ��� ��&�.��������� �������$� �0�,���&������� ��� (����-� ��������"�� �(�.������ ��� $������� �� ��� �������� ��.����� �����������������&������$�����$��������� ��� ����$������������� �����$������,�3�����(������������������ �� %������� ����������$�������$������ ������� ��.�0���������������������� ��� ���������&����������� �������$� ����. ����,

B���� �� ����������� ���%����� ������ �����.������������ ��� ����������������������&� �������(�����$�������������� ���%������� �%����&����� �� ����$�� ���� ���������$���������� ��������M�/

#+8���4#E/ A�$���� ��"� �"��,

#+8����E@/ *���.���� '��� �$�������&������@����$���.���

#+8���=A�@/ *���.�������)�.����,

#+8����43=AE/ @�����)�.����,

��3���%�����4�4���1� 3����BROUSSEAU, G. =���������� �� ������� ��� �� �������� �� �� ���������. 1986

CHARNAY, R. �������� ������������. Capitulo III. Apren-der (por medio de) la resolución de problemas.

GIMENEZ, J. ��� ������ ������������' Una integraciónde perspectivas. Editorial síntesis. (1991)

GOMÉZ, P. *������ �� ���������� � � ����� �: Brousseau, G.(1986). Fondements et méthodes de la didactique desmathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques,7(2), 33-115. (1993).

GRUPO AZARQUIEL. 5���� �� ���������� ����� ��� ��� � ���"��. Editorial Síntesis. 1989.España

KIERAN, C. � � �������!�2�� �� �� ��� ��!�� �� � � ��"��� �� ��.Traducción de Vilma Mesa. Una empresa docente. 1994.

LOSADA, A; MORENO, H. ����������� ����� �� ����� � �� �. Ed SEM. 2001. Bogotá D.C.

MASON, J. y OTROS. *���� (���� � � 9 ��"��. UniversidadPedagógica y Tecnológica de Colombia. Colombia. 1985

MEN. 5��������� ��� ����� ����� ���' 2002. Bogotá D.C.

SOCAS, M., y OTROS.� 5��������� � � ��"��. Ed Síntesis. 1989.España.

����I ��� ��8�� �/�GMG=� �=P��N ��M�

��� 0����P ��S ���=M�N���� �8���� �8������

�#�"������#���������"������"�������)#������O�&�#�#��/���$)����#

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

Page 60: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

���"��%

����.0� %���� ��������� �� ��.�0��$���&"&�����$���� �������1$���������������%������������� ��"��������� ��� �����������'������2��%������$���� �������������&��@� ��B���� ��%-��������� �� �&����������6���5�(��*��.�-���7,

������ ��-��'������� �������&:����� ������ ���� 0"%����2���� ��� �� ������� ������ ��� ���$����� ��.����� �� $�� �� �� '��� ���� ������� ��� 2����������������� ���'����� ��������"������ �����$��.�������� ����������)����������; ��.-����$���� ������� �����������$���"���&��� ��"���$��$���"���$�������� �����������������2�����$�����$������������"�������1"�� �����"���� ��� %���������.�������'���&������.�0���%������������� ������-���,

*�� ��������� ����������������� ����������������������� ��.�0�������(�����$�������$���������?�.�� ��E.����K�$� ����G2��G�����:���������4%����������3 �'������������ �������H�������� ��� ������������&��@� ��B�����8������$�������5������ �������$��.���� ������������ �� �"�����'�������������������������'����%���������$���������� ���������������������� ����$�������&�������������"��������$��.�����,����$� ����$�� ����������$������$ �����������)������ %��"$��������.�������$�� �������������� ��'���������������� ���$����$�����(������'������'��������������5��,

#��� ��� ��-��������� ����&����$�� ���� ����%������������������������������� �������$���.���� ������$�$��������� �����������5�(���������� ��� �����'���$��.� ������� ��� ����"���������)�����'�����%����������$���"�����$����� ���� ��� ������������ ��� ��,

����� ���� �� �&�/

N @���� �.���������������"��������$����������������������� ��� �������������"������

������!"����%������4�������%�"�����2��"����2���������2"%���?���������"��#"���

��T�G ������G ��=��� G�=��G�=���G G��8��� �N� G���

9��/�� ������ �G����

�������� �� ��%-������� ��.�0��'���$�� ������ �������$��.�������������������������$�� ���������� ������ ���.��������� �.����0����� �������$��.����,

N @��.���������� ��� ����"����������)�����'����%����������$���"������$����� ����� ��� ������������ ��� ��,

N @��$��$������ ��%��"��&��� %��������� ��� ����������������$������������� �����"������������$ ��,

N ����������� �������$�� ����������������� ������� ��� ���� �� ��%-�� ��� ����� ����������1$���%���$���������������$ �,

N @�����.���������$�� �&"�������$���������������"�������������������������'��������� ���� ���������� ���� � �������$��.��������1$�������$���� ������� ����2����$��&� ��,��������� �� ���'��������2����� ������ ��� ������ ��"�����&���������������������������,

N @�� ��&��� ��� ����������������� �� ��� ���� �� ��'������������$�������������������$���.����������� ����� �� ��� ��� ����"�����$ ���$���$�� ����������� ��� ��,

�����$������������������"������� ��������� ��� ���� �"������.���� �������$��$��� ������%�� &��"����)��������&�����0��$����$���&������*�����������2����� ���'���$��� ������ �������� �������$��.��������������� ��� %������$� �������� ����"&���$��������$���� ��"��������� �������.����������� ��� ���,

��3���%�����4�4���1� 3����MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL, ���������������� ���. 1988. Santa Fe de Bogotá.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL, ������������� ���. 2003. Santa Fe de Bogotá.

MÚNERA, J y OBANDO, G. ��� 6��������� ���" ���� ������������� ����� �� �������� �!��������������. 2003. EnRevista Educación y Pedagogía. Vol. XV, No. 35. M e d e l l í n ;Universidad de Antioquia.

RODRÍGUEZ, Jorge. � � ���"�2�� ��� ��������� ���" ���'�En:Memorias del 5º Encuentro Colombiano de Matemática Educa-tiva. Bucaramanga. 2003.

SANTOS, L. ��������� ��������� ��� �� *�� ����� ��� ���" ����� ��� � � 4������!�2�� ��� �� ���������. 1997. México:Iberoamérica.

NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS.��������� ������ ���� �� ��� ��� ������ ����� �� ����������������. Edición en Castellano. Sevilla: THALES.

COLEGIO SANTA FE

VALLEDUPAR- CESAR

Page 61: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

���"��%

��� �1$������ ��� ������ 6Enseñanza de algunosconceptos geométricos usando Cabri7��$���� ���������&������%������� �����$���&�����6��.��?-��� ��7� ������$��$��� ���������������������+� ��"������ %��=-����+���� ����*�������� ��������%�����8������$��;� ����������������������������=+���$�����������������$� �����,

���������� ���$� �������� ������� �� ��������"����������� ������ ���������"��%��������������"������,������ ��� ����1����������� � ���� ������$� ��������� ��� �������%���"� ���� ������ �;� ��� ������ �� �� ���$���(�0�����$������� �����(��� �������������������$������������ ����"�������� ��$��� ��"���������$�������������� �1 ����'�������&�,�4���������$� ������$��� ��&�����������������%� ������� ��� ��,�=��.�0�����������������$� ������$��� �����$������������������������������������� ��� ���� ����1$�����"���������� �����������������������1$���%�������������%����������� ��� (��",

��� ��.�0�� ���������.0� %��$��$��/�+�$����� ��������$���������%��� �����&)������ ��%-�����$��&�������.��?-��� �������������5�(��������&��������$ ������&���� �)�������� ���������������������&���������������������������������%�����������$� ������������� ������� �"�� ��$�� ��"���$������"�����������$��5���%���������%��� �.���,�������%�����"���������������������$�� ���/������ %��"������� ���� �;������$������$��������(��������� %������$���$��� ����������;�!����0� �����������$��1���"������.����"��������������$��$���������$��� �������� ��������&���- ����,

��������$�5���%������������ �"�'��������������&����������� ��&��0���� ��� ����� �����������"������������� ��������������$������$�������������������(������ ��������&���- ������� ���$�� ��"���� �%������ ��$���� �����,�3�&���$��$�������%���������$��������� ��� ���/����3�&������ ���$��������;�.��=��&�����'��� �������� �� ����� ������������� ��� $��$�����������$�������&����;�������� ������� ���"���&������ �����������.�������$��������� ��� ��/

�%����%'�������1"%����%���!���1���=!�����"��%�����4��

=�G� /�0��O �8�G ��� ��=JINSTPECAM - VALLEDUPAR

NIVEL DE COMPETENCIA

DESEMPEÑO EVALUADO

Reconocer figuras geométricas y atributos medibles (segmentos y ángulos) de figuras como paralelas, transversal, cuadriláteros, círculos. y triángulos : Identificar los efectos de transformaciones.

1

RECONOCIMIENTO Y DISTINCION

Reconocer, leer y distinguir diferentes representaciones (figuras geométricas) y usar la medidas de segmentos y ángulos en contextos con significados. Interpretar y describir las figuras geométricas construidas

Deducir a partir de la observación las propiedades de los cuadriláteros. Reconocer las propiedades de la circunferencia y sus elementos. Identificar tipos de polígonos regulares inscritos en una circunferencia a partir de las medidas de lados y ángulos.

2

INTERPRETACIÓN

Verificar la validez de algunos teoremas a través de la medición de segmentos y ángulos.

3

PRODUCCION

Resolver problemas geométricos usando teoremas y propiedades de las figuras geométricas construidas.

��"���� �� ����������� � �������7�

��%��"���%��

����� �� �&��� �(������������$��������$��&������.��$���� ����������� ������&�� ��/�����!�!c������("����%�����������$� ������������������������ ������� ����"�����&��������������� '�� ��������(����������� �,,,�������������������� ��������� ��������������������������,����� c�����("����%��������$� ���������������� ���������$� � ����� ��$�� �������������� �������%�������$��$����������$�� ������������������� ���� �.� ������.�����������&�������� �����,�@"��������� c����%�����$������"����.�0�������'��������������������"���$��.��������$������$��$��������� ������������������������������������������� ����,

��3���%�����4�4���1� 3����MORENO, L y WALDEGG, (2002): =������������� ���������� �� � ����� �� ������������ en : Serie Memorias del Semi-nario Nacional Formación de Docentes sobre el uso de NuevasTecnologías en el Aula de Matemáticas; p.p 40-66; Bogotá.

MORENO, L. (2002): 5����M��������� �� ������� �� �������������������� � ���"���M������� en : Serie Memorias del Semi-nario Nacional Formación de Docentes sobre el uso de NuevasTecnologías en el Aula de Matemáticas; p.p 141-150; Bogotá.

ACEVEDO, M y GARCÍA G.(2000): ��� ��� ������ ��� �� ����������� ������������� �� � � ����� �: un problema de cohe-rencia y consistencia en Competencias y proyecto pedagógico.Universidad Nacional de Colombia; p.p. 139- 188.

Page 62: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��%���1-�������"!����%�����%�����"����)��$�%����-��"%��

=���G ��=� �+PROFESOR UNIVERSIDAD DE CALDAS

“La matemática es un lenguaje universal que permite laeconomía del pensamiento a través del símbolo”.

��������� ��)� ���������� ������������ I���������� %��%� ����������2$�� �1 ����������� ���� %������������ %���,�<� ���$���)���������������$������� ��� ��� ��� ���� 2$��������� '��� ���� �� ���� ����� ����.��������)����� ���� %�����������&������%����������������,����2$�� �1 ����������� ���������������'������.��������&:��������"�������� ��,����2$�� �1 ���� ���$��$��$���� ��%�����%)������������� ��'���&�����������$�������������������$��$��,��� ������� ���)� ����&����'��������:� $�������1��������2$�� �1 ��� ���.��'�����%�������2����'���-� ���'������������� ����� %�,����2$�� �1 ������� ��� ����������$��$�������� ������'���$��� ���$�(���$������2���$� ����� ��,�Q� ��.-���.������� �������������'��������� �������&����$� �������'����� ����������������$�������������1 ����������2�� ��������������������������� ��$����������$������$������������������%�����������������"������$����� �����.���,�� ���&����'�������'�����.������������������ �1 ��$�������%����������������%�� �����2$�� �1 ���� ��������� ���� ���� �1���.���� ���� ����$�� �,������1����1$���� ���� ��� ���� �1 �,

�� ��������&������������$���������������������������"�%� ���� ����������� �������"&��,�@���$������%�&��"���� ������!���1���$��$���������������������������$�����1�����'������ ��������$����'�� ����& %��$�������������������������� ������������"&��,���������������$���������1��� ������������ ��������������"�����$��� ����������� �- ���.����$������&��������$���(��0������������$� ��������"&����� ��� ��������.��� ����$������$ ����������� �� �����$��������� ����"&���,�������5�(�� ���������������"�&������%���������������������%����������������� �.�������%����������$������d,���������������$� ����1$�)� ��� ������� ����.�������������"�������������� ��� ����������"&����$����$�������&��������������������� ����"&���,��� �������� ��������� �������������@2�������!�,�@�����'���-� ������ ��� ����������� �)��'������� �$�� �$����0��������&���LL���'����� �����2����5���������� ������������ �"����& ��,

*����%��%������ ����������������"�%� ����������.��.���%���'�������� ��1��$��$��� ������.������$�������������6.��������� �����%��%�� �7,����� ��.������������ ��� ����2������ ���������$���%� ���������$��$"� �����$��$��������������� ��� ������.� ��������������%���� ����%� ���,��� ������%��������-��������%�����&��&������/�, *�&��������$� �����$�����1��$��$��,�����

$� �����'�����.������������������� ��� ��$�������.���� �1 �� � -��������� ����"&����;�����$� �������%�(��$�� �$� %�����$���������,

�, 3&����$����� ��'������ �� ��� �����0�������$��$��� �������-���,

!, ��("��������������� �"������������������ ���������� ��� ���%� ������������ � ����,���������������� �"���������������$�����������%� ���,

O, B�����$����� ���'���$��$�������$���(�0�����.��� %�,�����������������&���������%� ���,

M, @����� �2� � ����� ��� ����� �� �����%��� �0������������(������� ��$�,

V, ���%����������������)���� ��� ������� � �����$� ����,

R, 4�.�������� ���$����������1��$��$��,

3�����/��� ��������.:�'����������������� -��������$��)������&����������..�� ����%� ���,

����%�����"������������%� �����������(����� ��������/�����%�����"��%��&� ������������$���'�������� ��� ����������������$� ������� �1 �����%�(��� ��%-����� ��.�0�������� �����&������ ����������� �����,���� �%�����"� ��%��&� ��%��:�� ��� ���$���"� ��� ��� ���� �� ��� $�������� ��)� ���'��� ������ ��� ����.���������������$��� �,�Q�$���:� �������%�����"������������� ��%-����� ��� ������$���������� ����������%�����"����&�������(����� ������%����'����� ����������$��,

����%)������'����$�������������1��$��$�������%������� ��� ������1������������;��� ������� ���������$���"���� ��� ��� ��� �� ���,������.0� ������� ������$��)������������������$��������� �������$� ����,�4����1���������������2$�� �1 �� �� ������������ �� ������'�����$����� �������������1��$��$��,�@���$��$����������� ��)� �������'����� ���.���������� �����%��%� ���� ������� �"��� �����.� "������>����>����$������&�������������1��$���$��,�������1��������������������������2$�� �1 ����������� �������'����� ������.0� �������� ������:� $���,�=��.-��������������1�����1�������'������%� ����'����"����.������"����������������$��$��� ���.0� �������� ������ $������� %�,

Page 63: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

3Resolución de Problemas, Matemáticas escolares asistidas por computador, Romero 1998.

����$%������������$%�� ����� �������� ��"����%"�=���������2%��"����� �"�&���������� �%��

/��I/ �� � � /+�8 N���� =G��G

���"��%

����� ��)� ��������$�� ����������)���������� ���� ���������%�� ��������� �����%��$��������������"���������� �������������������'���&���$�� �������������"�������'���������� ����'������� ��� ��$��������� ��� ������ ��$�� ��"���� ��.�����&���������� ���� $��������$���� ��"�������$�����������������������"�� �1 ������������ �������-�������������-����������&����������2������������ %�������� ����,

@�&:��� ����� ��� ������ ��-��$���������5��(����� ����� ��)� ����� ������ ���������"��� ���� ����%����&���������$���������������������� ���)� ��������������������2������ ��: ������%�� &��"����� -���������%���$������������$�������$����������"������������������������������ ��������$� ��������$��(�����������������$��.�����������������".

��0�� �� ��� ����� ������ ���&�� ��� ����������������� ���� 0"%�������2����� %����������������������������2�.������������ ��(������$������ ��'�������$��� ����������� ���������������2����������������� ��)� ����%����������������� ���"������'������$���������� ��,���������1$�������������A���������#�� O�� �������������� ���$����� �� ��� ��� ���� $��$��� ��������������� &��� )�� ��� '��� ���� �� ��� ��� ���������� ���.������ ����� ������"��� ���'����������� ������ ������ ��)� ���������6la necesidadsocial de formar ciudadanos capaces de com-prender información codificada en lenguaje es-tadístico7�$���� �� � ������������� ���� )��������������������� ��2�������&�����,

@���.��&������������������.������������������� ���������� ������� �����"����������������������$����� ���� ��)� �����$�� �������� ������������� ���������$ �������$���";���������%���������������$����� ����.����������������������� ������$� ����"&���'���$��.�� ��������������������� ��� ��������$�)��������� ������� ��� �����������$���������������� %�

������'���$�%��&�������������������$����� ��� ��)� ��;� $��� �� �� ��("� �� ��� �������� ���� ������� �������$������������'����������������������$��$���������� �����'���$���� ������� ��� �����������$���"������&���������$ ��� �� ��)� ���,

=��������� �� ��� ����)����� ����� ��� �������� ������ ����������������2����� (�������� ����� ������$������������������������"���� ��)� ������ ��-��������2��2��2�������������$�������� �������������������� �������� ��������������� ������$�� ��� �������������� �����$����"���� ������ ���'���P��0� ��� ������� ��P����� ��(�������0��������������� �.�����,

������:���� ������������ ��� ����'�������.�������� �������'�����'������������������$��� ��� ����������������0� �������� ����������� ��:���� �����$���������� ��������� ������$���"�������$�����������������0� ��������� ���������'���$��%��� ����������2��$��$��������� ���� � ������� ���������� �� ����'���$�����.���%������$�����&����"�'���$��������&���� �������$������������� ���"���$��)���,

���� ���� ����$���� ���� �������$��.�����'��%������������"������$���"���'����$��'������������ �����0����&��) �����$��� ����'�������� ��� �������������2�.�������$�������������� �����%������� �������������'������ �������$��������� ������� ���������'����������&����������$ �� �&����������� � %������&���������������"���������$ �������$���",

=���������� ������ ������$���� ������������� ���� � ���� ��� '��� 2���� $�� �� ��� ��� ��$��$��� ��'������$�� ������������:����������������� ��� �������������� � %���������$ ������$���";��� ��%-������ �������$��.�����'��2���������5��������������$���$�� %�������������"����$��.���������A,��2����!,

��3���%�����4�4���1� 3����BATANERO, C. (2001) �������� ��� �� ��������'�Granada:Universidad de Granada.

BATANERO, C. Godino, D. (2001) 4�� ��� �������� �� ����������'�Granada: Universidad de Granada.

Ministerio de Educación Nacional (1998) ������������ ������� ���. Santa Fe de Bogotá: MEN.

ROMERO, J. (1998) *�� ����� ��� ���" ���������������� ���� ������� ���� ���������'�Bogotá: Universidad Dis-trital Francisco José de Caldas. Material multicopiado.

SERRANO, C. y Otros (2002) ����������� � �������� �� ���������; pp. 58-69'�En: Estándares Curriculares-Área Matemáti-cas: Aportes para el análisis, aportes para el análisis. Colección:Cuadernillos de Matemática Educativa. Bogotá: ASOCOLME.

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO

JOSÉ DE CALDAS

1 Didáctica de la Estadística (2001)

2 Pensamiento Estadístico y Tecnologías Computacionales (2004)

Page 64: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��"���$%��"��� !����6�"������4��������� ������!�(��

������ /��G�>� ��G�

���"��%

��� �����" cbxax ++2 � ��� ��� ��� ���� ���$�����- �������������%� ������� ��� ���;����� ������� ���������� �������������"�������$����.���;����0��� �������.����������&�������.���$��������. ������������"������$� ���������)������ ���������������������������2$-�.������������ ����������"���������$��,

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

�� ���� ������������ �$���� �����$�������/� �������� ������� $����"���%�"��$� ����"�����������";� �� ��� ������ �� ��� �&� %��� ��������������������:���������$��0��

*���� ���� ��� ��� �� �� �2������ ��� ���$������� �������$����%������� ���������� ������$��)�������������������� ���������$����"�������� ���� ��������� %�����������������) ������������ ��- �������&���� �)�������������������,

��3���%�����4�4���1� 3����Álgebra Superior de Hall and Knight

El método de las diferencias finitas de George Boole.

����$%�����"%!�9����!��6�"�(���%����%�(����������%�B�����%!��(��"��������%�<����

����� >�=���� �G���� �+=���G /��� 0�/���� �+

=���G ��T���� ��0��G =+

���"��%�� %�� &������ ���� ������������������� %����%��>���� ����2���1 �����������$ ���������������� ��� ��,����� ����� ������$�������������:���������������$������������ ��%� �����)������������� �������� ���'�������(����&�����$������������ ���$�� %������$� �����&�� ����� ���� ���%���$������ ������ �� �� ����� �� ������ �������$��$����������������������.������ ��������,����� ���%�� &����������.���%"�'����&���:���������������'����� ���$����������� ��� �� ������ ���$��&� ��� ��������������� ��� ����� ���$�� %��������� �������%�(����%��������(���� �,

�� ���� )�����$�� �����%��&������$��$��� ����� ����"&�������������������������&��������5����� %�

��������&���������������'���$������� �.����������$���"������������ ���������� ���$�������(��� �� �%�(����%��� ��� ��(���� �� �����$ ��������������� ��� ��,

������������$�� �$��"/�A�$�� �����%�� &���"�J�%��",

��3���%�����4�4���1� 3����CAMPILLO, H., Pedro. ��� ������ ��� ����������� ����� ������� ��� �� ���� �� ��� ����>�� �. Tesis Doctoral, UniversidadPolitécnica de Valencia, Valencia, España, 1999.

CLEMENS, Stanley, ��� � . M��������'����� �� ������� �� � ������ ��� ���" ���. Addison-Wesley, Delaware, E.U.A., 1989.

DE LA TORRE, Andrés. ���� �!����� �� � ������ �� �� � �������. Ed. Universidad de Antioquia, Medellín, 2003.

ESTEBAN D., Pedro. ������� ����������� �� � ������� ������$������� �� � ���� � ����� �� ��� O���>�� �. Valencia: TesisDoctoral, Universidad Politécnica de Valencia, Valencia, Espa-ña, 2000.

ESTEBAN D., Pedro, Llorens, José Luis. Aplicación del mode-lo de van Hiele al concepto de recta tangente a través del “hazde secantes”. Matemáticas & Educación, Universidad Tecnoló-gica de Pereira. Vol. 3, No. 1 y 2, 1999.

VAN HIELE, Pierre M. 6�������� ���� 5���(�'� 4� 3(����� �#���(������ ��������. Developmental Psychology Series,Academic Press, Inc., Orlando, 1986.

ZIMMERMAN W., & S. Cunningham. O��� �!������ ��� 3��(������� ��������� ���(�����. MAA Notes 19. MathematicalAssociation of America, Washington, 1990.

1 Los esposos van Hiele, lo expusieron por primera vez en 1958 en sus tesis doctorales.Inicialmente, se formuló para la enseñanza de la geometría elemental y, posteriormente, hasido extendido a conceptos del Análisis Matemático, en estudios liderados por el profesorPedro Pérez Carreras, Catedrático de la Universidad Politécnica de Valencia, España.

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

UNIVERSIDAD EAFIT

Page 65: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��3��"�!�������������!��%�3�B��%�����%��������%��'�;�������%���!������%!�1���

�7��G� �M/� /8����

������5�(����������$ ����� �&����$������ ���� ���'�����$�(���� ������%��� ������.���������%��������'������ ����"&���,�>� "������ ����� ������"���������$ ����� �&�����������"������ ����������������$�����2����������$��� ��� ����������$ ��������%�����$�������$���������������$ �������)� ����������������������3$"� ������R!�;� ��.-����$���� ���2������$ ������������ ���"����������"� ��� ����� �$�������� 2��� �� �)�� ��%����(�������� ��%-���������$� ������=��-&������R�������� �����������������$ �������� ������ ��%-��������������A�������2���%����������������������������,

3��� �(����������$ ����������.�0��������%������$� �����$�� ���$���� ���������� �&������������&������ ��� �� ���� ����&� ��/

�, C�"��������%������ �&����������$�� ��������������.�0��������%�D

�, C�"���&�����(������ �&����������$���������(���� ������������������%���������& �����������%��� ��.�0���� �D

!, C�"�����&���� ��� ������������������$ ���� �&���D

�����$����� ����&� ���������$ ����� �&�������������. ���$�����������������$�� �����������������'�������'�������� �����$�� �%�����$��� ��������������������������� ���� ��� �&���� �������� ��� � ���%���,@�.������'�)�����$��.������'�������������$� ������ ���%������$�� %�������2��2�����'��������"���.�������� ��,

*���� �� �� ��� �� ��� ����� ����� �� � ��� ���$���(�0���� ��������)������$ ���'�������������A������� �������������� �&�������%�� -����������������������1$���"/

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA

ESCUELA NAVAL DE CADETES

������� �1 ������������������ ���� ������������������������ �&���������������������"�������)� ����$����/

b

A = ∫ f(x)dx = F(b) - F(a)

a

������1B�1��U� ∫� �� �� �������

��������� ���'���B�������%�.�����'����������'��Be�1��U���1�;���$�� ������'�)�������������� ������������ ��������������� �&���,

A����� �� ��$�� �� ��� $����� ����&� ��� ���'��'�������&������$�� ���$�������������������� ����������&���� ����&� �,

32��������$� �����%� ��'����������$�������� ���� �� ���'������ ��������������������������.0� ��&���- ���������������� ����� ������������������&:���$������� ��������=��-&��������,�C*��'�-���$����������������� ���'��$����� ��$����$���� ��� �� ��� �� ��� ��������� �������������$���������������"�'���$��� ���������� ����� ������� ��� ��$�'��5��D����CA����� ��$�������� �.������&�������1��� ���������$ ������� ����� ��� ��$�'��5�D�@�2�����?�� �������,

��� �&�������������� ���$���� �� ���������� ��/�������� �&������������&�� ���������'���������������������������%�)������� �������=��-&������M�;��� ����.� ����"���������$ ����� �&����� ��$���� ��� ��.-� ��������� ��/�������"�� �&�������� ��%������� �&���"���������������;������%�(���� �������� ����� ���&��������������$ ������$�� �"����������$������� �������� ��������A������&:�������'������ �)� �,@����� ����$�� ������� �������� ������� ��������$ ���$��������.� ������������$ ����� �&���,

*�������$��������:� ��� ����&� ��������������'����� ��������������$���(�0�������������������$������������� �1 ���� ����������������0� ���������������$�� ������������ ������ ����� �1 ������� ������ ������,�,�@����������$������- ��������� �&���"���������� �������������������������� �&��������������*��[��@����"�������,

@��� ��� ��&��� ��� ����������� ��� �$���(�0�� �����$�� �����'����� ����������:� ��������$����(�0��������.�������$�������������������$���(�0���������������2������� ���������,

@�����2��������������$����'����������� ����� �������������������$ ����� �&������ ����������� ���$�������&���������.� ����"���������$ ���� �&���������&�����������������$����"������ ��������������������������� ������%�����������$ ���$��%��,�#��� ��� ��.�0������ ����.��$���

#���� ����� � ����� �� �.������ ��� ���1"��& %��� ������'�����.0������)�.���������� ��&���������$�� �������2��������&���������������'���������������������������� �������1$������$������ �&���������������������������,���������)�

Page 66: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

C������$%�������3��������%���!��%����$%����!�=!������ �1�4�����������������&���� ��@�����%��&�������%�B����

7������ �8������ �+

�4;�!�(����, �����.������(����������1�������� ���� �

�� ����������1$���������������� ����������� ����"������.0� ���� ��� ���:����������������� ��� ���$����$�������,

�, 3��(��� �"����� ����������� ������������1�$���������������������������=����"�3� ��- ��������&�.��,

��3���%!���!�$����������� ����"������&��������������"����%����.����� ��%��������� �����.� ���������& %����$� ����"&���������� ��������������������$�����������������(��"����$������� ������&���������������������������&�.������������������5���������� ������$�.�������$�%����������� � ���$ ��,

@&�������*�� �1 ������V������$��.���������� �����%����������������"����%���.��� ���������"������ �����. ���� ��$�� ��"���� ���� ������ �����$������������������"��������� �- �����������������%��������-�������� ���� ��������)������������������������.�����������������������������������$������� ���'�������� :������5��,

�����$���� ���� �1 �������&��������1$�������������������� ���� ��$��.���� ������������

���"� ���� ���$��������������� ��� ����� �$�� ������������ ����"������&����������:���������������$�� ��������������������"����� ���� ��� ��� ������ ����� ��� ��� �������� ���� �������"�.��������-��������� ��� �������)�����������(�����$�$������������ ��������" ������ ��$���� ��"� ��� ������� ��� ���� �� ��� ������1"����� ��,

���"�!��������������3�%������������� ��$�������������$������������ ��� ���� ��� ��$���� '��� ���� $�� �$� �������1�����.��������$������������ �����&� %����������� ����"������&���������:�������������������$��.���������� ��.�0�����������,

3�%���������%�� &��"������������������$�����"�����������1"����� ��������������� ����� ��������&�����"������%����$���(�0����� ���������������"�� ��������%��������-����������������%���.�����$�� �������������"������������������ ��� %�,

Participantes/��� ��� ��� $���� $��������� $��������������0������������������"�.��������������������������$���������

��3���%�����4�4���1� 3����LURDUY, Orlando y ROMERO, Jaime (1999). ���������� ��� ��������� #��������������#����. En: GRUPO MESCUD(1999). Enseñanza de la Aritmética y formación de profesores.Bogotá: ASOCOLME-Gaia.

LLINARES, Salvador y SÁNCHEZ, María. (1986). =������% �� �� ����� ����������. Madrid: Síntesis.

ROJAS, Pedro y otros (1999). ��� #������� �� �� �� �. En:GRUPO MESCUD (1999). Enseñanza de la Aritmética y for-mación de profesores. Bogotá: Universidad Distrital. Ed. Gaia.

________ (1996). 3�������� ���������� � � � ��"��. Bogotá:Universidad Distrital Ed. Gaia.

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

������'������������$��&���%��� ���%��������� ���������� ������� �� ��� ��0���2�� �� ���$��������������$ ���� �&������������������������ ��$�������������������� ����� ���%�����'����������$��.��������������.���������$�����"����� ����������$ �,

��3���%�����4�4���1� 3����APOSTOL, T. (1973). Calculus vol I. Reverté

PERKINS, D. y SOLOMON, G. Transfer of learning. Internationalencyclopedia of education. Second edition. Pergamon pres.

PURCELL, Edwin y otros. (2001). �� � �. Ed. Prentice Hall.

SCHNEIDER-GILOT, M. (1988). ��� �"2���������$� D����H� � D�� ���H� ��� � � � ��� ���������. (Tesis doctoral). UniversitéCatholique de Louvain.

TUREGANO, P. (1991). ��������� �������� ����� �� ������� ��#�����. IV Jornada de enseñanza de las matemáticas. Castellón.

__________ (1995). � � ����� �� �� �� ��#�� ����� ��� ��������!�2�� �� � � � �� ������� . Ensayos, 10. Universidad de Castilla-La Mancha.

__________ (1997). � � �������!�2�� �� � ������� ��� ������� .En: Suma, nº 20.

___________ (1998). �� � ����� �� �� ������� '� 7�� ������� ��� � ����$��� ��������. En: Enseñanza de las ciencias 16 (2).

Page 67: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

TECNOLÓGICO DE ANTIOQUIA

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

UNIVERSIDAD EAFIT

=�%���������% ������"�!�(��������� �%!�����!���$%�����!����%�����%(��!�1����%����%���������%����������������%�<����

������� =�����G 8�����=���G /��� 0�/���� �M�� ����� >�=���� �G���� �8���

���$�����$�� ������� �������$������� �����$������$���������� ����"������ �� ��� ���� ��)�� ���������.��������� ���'���2��%�����������%��� &����������������������1 ��"��������������%��>����������$ ��������������� ��� ���'���%������������������$��/������������O�������$��������R���G���������� ����� �.���� ��������=������� ����#�%������� �������� ����� -����������������� ������$�����������&�� ���_�������,�3������� ��� ���� ��.������:� ��� %�� &���"����� ��������E�+�������4��3��������������$���G������������.�������� ��� �������'���������$��"�3B��������2������ ���� ��� %��$����%������������ �����������������$���G���������� �,���� -�������$�������2�� ��������� ��2��$��� ����%����������2$" ����$��$��� ��������&����� ���$�� ��������2��� �����������.0� %���$��$��� ������ ����� ����,

���� �1$������� � ����������2��$��� �����$�� ���� ������$����� �/�4���� �����&)����� ��� %�� $���� ��� ���5�(���� ��� �$���(�0�� �������$ ����� �)� �����������2�� �����$��.����$����������� �� ���� ���������� ������0����",3'�)�� $�� ������ ��� ���5�� ��� �� �� � ���� ������ ��� ������� ��� ������ ���$��� ��� ��� ���� ��������.��������� ���$�������� �� �������� �������������� ��������3B��,

���� -����������������� ����$������.����������"��������$���'�-�����������������������0� �����%���.���,�*���������� �����'������������������ ��������"��� ��� ���� ��� .�� � �

��$���(������� ������ -���������������� � ��$�� ��"������ ���'���$��� �� �� ��� ����������� ������0� �����$��0�����%���.�������$�� ������������ ������� � %����������%�(���. ����������"��������������� ����%���.�����������$�� �������0� ����%��%����,�����������������0�/�6El mayor problema que se ha planteado has-ta fechas muy recientes, al estudio simultáneo deun gran número de variables, ha sido la dificul-tad de captar el conjunto sin perder la red finade interrelaciones específicas3 ”.

��3���%�����4�4���1� 3����CRIVISQUI, Eduardo. ����������� ��� ��������� ���� ��#������. Seminario de Métodos Estadísticos Multivariados.Medellín, agosto 25 al 29 de 1997.

__________ “4�� ��� #������ � ��� ��������������@ ��� �”Presentación del Análisis Factorial de Correspondencias Sim-ples (AFC) y Múltiples (AFCM). Memorias del Seminario deMétodos Estadísticos Multivariados. Medellín Agosto 25 al 29de 1997. PP. 105-182.

CORNEJO, L. M. 3����� ��� ������������ ��� %� � � ��� ����� ������������. Barcelona. P.P.U. 1998.

ESCOFIER, Brigitte y JÉROME Pages. 4�� ���=������ ��6���� �� ���@ ��� �. Bilbao: Servicio Editorial Universidad del PaísVasco. 1992. 285 pag.

JARAMILLO, López, C.M., ��� ������ ��� ����� ��������������� �� ������ ��� �� ���� �� ��� O��� >�� �� Tesis doctoral,Universidad Politécnica de Valencia, 200.

JARAMILLO, L. Carlos Mario y CEBALLOS U. Leonardo.«4� ������ �� � 4�� ��� =������ � ������������������@ ���� �� ��� �� �� ������� ��� �� ���� �� ��� ��!����������� ��� ������� ��� ����������� �� �� �!� �� � ���� �� ��� O��� >�� �».Informe de Investigación Facultad de Ciencias Exactas y Natu-rales centro de investigaciones Cien. U. De A. 2002. 67 p.

JARAMILLO L, Carlos M.; HERRERO Pedro. T������������������� �� ��������������� ����� ��� �� ������ ��� ���� ������� � � ����$��� ��� O���>�� ��� 3(� �, 16(3). España.

JARAMILLO L. Carlos Mario y PÉREZ C. Pedro. «��� �������� ����������� ��� ���� ����� ����� �� ������ ��� �� ���� �� ��O���>�� �». En Educación Matemática vol. 13 No. 1 Abril de2001. Ed.l Iberoamérica pp. 68 –80. México.

JOHNSON, Richard A. and DEAN W. Wichern. “4���� �#�� ����������4�� ��.” Applied Multivariate Statistical Analysis.New Jersey: Prentice Hall 1998.

YAÑEZ, Sergio. “4�� ��� ��� ������ �� �� �����������” Cur-so: Análisis Multivariado. Notas de clase. Medellín, Abril de1999.

2 Proyecto de investigación: Una metodología alternativa para la enseñanza y el aprendizajedel concepto de límite, COLCIENCIAS (código: 1115-11-12704), Grupo de EducaciónMatemática e Historia (UdeA-Eafit), Director: Andrés de la Torre Gómez, 2002.

3 Cornejo, L. M. Técnicas de investigación social: el análisis de correspondencias, P. P.U, Barcelona, 1988, p. 6.

1 Universidad de Antioquia, 2002, investigador principal: Carlos Mario Jaramillo López,coinvestigador: Leonardo Ceballos Urrego.

Page 68: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��%������%!�����3����%���������3����������!�� !�������������!���%!�������������3����������%���!�����3�����$%

�8=� /����� �� /I���IG /�G��� =�������>�� G���� G����

�������$ ����������"�������%�������������"��� $���������� ����� ��� ���,��� �� 2�� �������$�� ��������2�������2�� ��$���������� ��� ��������������������������������$����������$�5������������������&������������ ���������������� ��.������������ ��� ��

������ ��������� �$�� � �� �� ����$����������������"����$��������������(��������������'�-��� ��� �����"� �� ��� $�$��� '��� �����$�5�� �� ���� ��� ����������� ������������'������2�������.�����������&��������2� ������������� ��� ������������ �����������$�����'��� �����$�$���$���$����� ��� ���� �&������� '��� ���$ �� �� �����$�����������$������������������"�� �����$�� ������ �������������("����������� �����������������������'��������$���� �����������������'��������$��������� �� ��� �,

����������������$�� ���������"�������$�������������"����$����������'���$��������%�����.���$������0����� ��� $����������� �� ����� %�� �� ����&"�����&��$������� ������%�� &��"����������"��� ��� ��� �?��3=����� ���4%������*�$����������������� ������(������ �� ��.�0������� %����������� ��$�������������$������������ ��� ������� ��� ������"�.����� �&���� �� ������������������.0� ��������5�(���$���(�0�,*���� �� �������� ��&��� ����������� ������ �$����������������$��������������� ��� �������!9��V9�&���������������"�.���������������2��������$�������$���������.������ ����$��.��������� ����� ��� ����������������$���(�0�������������,

@��.������� �������� ��������� ���� ��� �����'������ �� ��� �����������$����������� �� ����� %���������������������������$�� ��� ������������$����'��� ��� ������������-��������� �� ��&"

����$�)�����������$���.������� ��������������������������"��$�&��������2��$��) ���� ��� ������$��������$ �(������� ���"���� ����,

��%������%!�����3����%���������3����������!�� !������������� ����'������������� ��������������"�$����$����������'��� ���%�������� ���������$��� �����'������$��� ��2�������� ��������$���.������$��$�������'��2���������$����������������$�5��������������� ������ �����$�����������5�(���$���(�0����������� ��� ��������������������.������������ ��$�������������$�������������� ��� ���,

*���������������� ��E�%������ ����������� ������������������� ��$�������������$�������������� ��� ���� ����������$�� ��/�������� ���������� ��� �����������$����������� ���������� ��� ������������������� ��������������)���������� ��� ������������������� ��������$���&�&)��&����������������� ����� ��������� ���,

����"�!����@����$��������(�������.0� %��$��$��� ���$��'����$�� ������������� ��(��"����������� ��$���������� ���� $�������� ����� ��� ���� �������� �������������������� ����� ��� ������$���.���������������"���� ����������� %��������� ���)������������"���$�� ��� ��������$���� ������ ��������������"��������4%���������������&"���$���������� ����$��) ������ ��&��� ���� ������������������$��.��������� �����,

��3���%�������4���1� 3����BONILLA Estevez, Martha, SANCHEZ Heredia, Neila y otros(1999). ��� ��� ��!�� ��� �� ���������� �� ��� �� �� #��������� � ���#���' Cuadernos de matemática educativa. Editorial Gaia.

MORCOTE Herrera, Oliverio (2001) � � ����������� ���#������ � ��� ���������� ����� ���#���� ��� ���� ������������ ��"��� #������. Universidad de Granada .

UNO Revista de Didáctica de la Matemática (1995). Grao .

LINARES, S. y SANCHEZ M. (1988). =������: La relaciónParte-todo. Madrid, Síntesis.

VASCO, C. � � ��(���� ���� #���������� �����?. Un nuevoenfoque para la didáctica de la matemática.

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

Page 69: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

5�(��"��������(��"����%��8����������������!�"�!"���"�!������!�(���%������"�4�����4��)

0P�� P��>�� ����� =PN>�

������:� �����5�������� ���$�)�������� ����2���$���������$�5���������$��$"� �������0����������������� ���������"�������� ������ �� �&��'������&�.����2��$��� ��������2����������$�����������0����� �;�� ������-� �������������0� ������� ������������$������� ������0��� ���'�������� ��������������������� ��$���������������������0�����������������������-����,�4����� ���� $��$����� ������ ��� $�����.���'�-���0�������������$���.���@3��A��-� �������%� ���������2������ ��'������ �������"���.����������$� �����'��������� ��� �������������������������,

3�&������ ���������������������������������$�����&��$����� ��.�0����.����� ����������%�����"���*A�3���� �������&����'��������.��������$�������� �$������$�� ��"���������� ������������������%�����"���3�-������ ����������.���������1$���� ��"���������������%�����"������.����"����� ���� ����������"���� -�������������$������������� ���������$��$������� �$�����%�����"������� ���;�����%�����"�'������$����� ������$��) ���������� ���� ���������- ���������� -������ &������� $��&� ��� ������� ��� ������.������%����(��$�� ������$�� ������2������������������������������%�� &��"��� ���,@���������� ��.-�'����� ������� ����2�� ���2�������� ��� �� �� ����$��������� ������������������%�����"���������&"��� ����������������.�����'����� ������ ��� ��%������������%���������������$������� ��������������,

���� ������ ���������������.���������$��.�������������%�����"���������%�����������������.���$���� ��������$��$��� ��$������������������%����(�������$���.��@3��A�� �������������$�� �������������$��.��������� $����� $��� %�'���2����$�� �����-� ��,�*������ ���� �����������

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

������%����(������������$ ��� ����'����.�&����%��������������� �&���� ��������%��������$�.�����.�������.���� ��0�� ����������� ���$�� ��������������� �������������������� �(�����������"�����&����� ��%-���������$����"����� ���� �,�*������ ��$��$"� ������� �����&)���������� ��� �� ���� ������� �:� $���� � ������ �����%)�����������,

*��������� ��������� ��������� �&��)����������������������-1������ ��� ���������� ����� ���� ����.��������������� ����������(������M������.�������$��.�������������� ��� �����������������$���������'������������$���$�� %��&��.���������� ��(�������$��.�������� ����������� �����;����� ��.�0��������(������������.�������� ��$�� ����������������� � ������������� $�����"���������� ����������.�������-� �;����� ���.�0��������� �����A�������M�����.�������������������$���� ��"��������� $��� %��������$�� �����?���������������.���$��.��������� $��� %����� �� ������ �� � �������� ���� �� ����� ��8��&��������������.��������� $����"������������"� ����������� �������� ���� ���,��� ������ �&��)���$��� ���. ����������"�������������� $������$��.������$���� ������������ ���� ���$������ ��� ����������������� ������� ������$�� ��������$���.����������������������$�5������������� ��� ����������"��������� ��� ������� $��� %�,

�� ����������� �%������ ��� �� ��� ������ $��� %����$�� �����$���.��������$(���$�$�������%������������������� ��������������$������%����������������������(�������������"��. ������ ��%-���������$���.������� �� $����� ������"�$����� ����� %�� &������� ��%� �����$��&� ����.�� ����'���$��� ���%������� ����� ��)� ���� ��� ��� ���$� ���� ��� ����� ��� ��� �� �� �� �� ��� ���,

��3���%�������4���1� 3����FERRER, G y ARREGUI, P. (2001). ��� ����"�� 5����������� �� ��� 4������!�2�� ��� 4������ ������� �� �� 5������ ��� ��� ����� ��� �� �������% Criterios Para Guiar Futuras Aplica-ciones. Edición N° 26. PREAL.

GREER. B. (1992). ��� �������� �� ���� ��� �����'� ���������� �� ��� 6��������. En Documento de Trabajo 1999. Bogota:Universidad Distrital Francisco José de Caldas

MAZA C. (1991). �� ��� ���� �� �������. Madrid: AprendizajeVisor.

_______ (1995). 4��������� �� ������������' Barcelona: Paidós.

VERGNAUD G. (1991). � � �� �� ������������ �� ��*�� ����'México: Trillas.1 Este estudio se lleva a cabo como trabajo de grado para optar al título de Magíster en

Docencia de las Matemáticas en la Universidad Pedagógica Nacional.

Page 70: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��%������%��������!"���%!���������%���!"����%���!�� !�B������4�������%D������������

0�P� ���� �����G �+�I� =��G�� /�� /+

���"��%�����.������ ���� �� %������ ����(��������� ����$���������%������"����&����� �$��������� ���%�� &��"����$�� �������$���� ������������ �&��)��������������������$��������� ��(����������$�������������� ��� ����������� ��������� ��� ���� ��.���:������ ��������'���2������$�� �������� ��� ��.�0�����%�� &��"�$����$ ������ ) ���������&)� ���������������������� ��� ���,����$�� � �� ��5����� '��� �� �� ��.�0���� %�� &��"� ��� ��� $�� .������ �������������������$��� ���� ��$�� � %����1$���� ���������$ %�������� � %����� � %�,�*������������������� �� �.������� ���� �����,���$����� ��&��������%"�����.�������������"����������� �"���;$������������������ �����.����� �������� )��������������������������.0� %������� ��.�0������������������ ��(������� -���������$������������ ������ ��$�� ������ ����$�"��� ��$���� ��"����.������������$��������:����������$���� �������2� ������������$ ���������� �1 �����$��&��������%��� ����,������&��������������������%������"������ "������������"������������ ����������5���������� ���� �������.���%��"������� �&��(��"���������"��� �.����"��������� ��� ����&�����$���������.�� ���� ����� �������� ��.�0�������������������$�������������� ���� ����������� ���� ���� ��� ���� ��.��� ��� :����������,����:� �����������������������"�����������������������%�� &��",

��$������ � ����� ��5��������� ������ ����������� ��� ���������� �������������"���������� �������������5���������� ���� ���$��������������"���������� �������� ����������"��$���������������� �.����� ����������� �������%����(�������.�����$���������������%���.������������������������ �&��)��������������$��� ���$����������������������$��� ������������ ��� �������������������� ��,

���&���$���� ������� ���� ����� ������. ����� �$�� �������� �.����"�����������������"����������$��� ������ ���� �� ��� ��� �� ��� �$����"�������� ���� ����������"����$������$����������&����&���������� $�������$ %�,�B���� �����.���������$�������� �������� �����������������������������$�������.������:����������'��

��������� ��� �������������� �������� ���� ������� ���4%�������*���&"&���#���������$�-������� �������� �(����� ������$ ������� �� ��� ����� ��� B����� ��"� ���� *����� ���������������.��������������$������� ��������������� ����2� "��������:������������������������ ������ �1 ���������)�����,

���"�!����@���� �.������� ���� ����$�����'��� ��� ����� ��� ������������� �����������/�Los númerosreales como campo ordenado, Los números rea-les como unión entre conjuntos numéricos y Losnúmeros reales como puntos de la recta.� �� ������$�������������$�����1�� ��� �������&��������������$�����2� "������1 ��)��������� ����2� ���&����������:�����������������������$��������� �����1 ��)����������� �1 ��,���� �������� ����%�� &�������$���� ���������� ��������� �� �� ���.������� ���� �%����������� ������ ���������������:��������������������&�����������'����������0� %������������2��2������� �.���� �� �� �� ����$ ��� ����� $��� ���� �� ���� �����,�*���� ���$�� ��� ��������� ���������� ���'��� ���� �� ��� ��� ������������ $���� �� �%�� &��"���$���� �� ������2������&���������%���.������ �.������������$���� �0���$������������������� ��������������������������%���.����$��� ���� ������� ��������",�*��:� ������.�������� ��'��������� ��� ��� ������$��$��� ��&���� ����$ ������� -� ��� ���%�����������$���������5�(������)��� ������$��� ����$����0��$����������������������$�����������$�������������������"�.�������������$������2��%� �����$����������������� ��� ��������������$������������$���������5�(����������� �1 ������������,

��3���%�������4���1� 3����FLORES, P. (1998). ���������� �� ������� ��� �� #��������#����� �"��� ������������� �� ��� ��!�� �� �������!�2�Investigación durante las prácticas de enseñanza. MATHEMAcolección. Granada.

MEDINA, A. (2001) 5������� �� � ������� ��� ������ ��� ����������� ������������. Tesis de Maestría. Universidad Pedagógi-ca Nacional. Bogotá, D.C.

ROMERO, I. (1997)� ��� ����������� �� � �@����� ��� � ��� ���� ��!�� ��������%� ���� �$��������� ��� ������������ ����'Colección Mathema. Ed. Comares. Granada.

RUIZ, L. (1993) ���������� ��� �� � ����� ��� ���������"��� �� ������ ��� #�����%� 4�� ��� ������� ����� �� ��������. Tesis doctoral. Universidad de Granada. Granada.

SFARD, A. (1991) )�� �(�� ��� � ������� �#� ���(������ ��������%� *�# ������ ��� ������ ���� �"2��� �� ��##��������� �#� �(�� ���� ���' En: Educational Studies in mathematics.Vol. 22. Traducción de Edgar Alberto Guacaneme. 2000.

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

Page 71: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

#�����63���!����

=�8�� ����=� ��08�� �+0���� ���� �N� �+

=�� �/��G� ��0G /+

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

@��$���� �����$��$��� ��������5�(��P��$����(�0������������������&���� �)������ �������$��$��������� %����$���������� ����"����� �������������� �������$�� ���� �������'������������������������� ����������������� ����,���� ��.�0������� �� �� ���� ����� ��.��� ��0� ��� ���� �������4�.����� ��� �����������������������&�� �����������������$���@�� �����M�,���������� ��$���� ������$������$�� ���������"�������� ������&����������� %����������� ��0� ������� �������$���:� ������&�������������,

���$��$��� ��$�� ������� �������� ������$�������$������� ��� %��� �(����������� ���������� ��� 2�0��� ��� $�$��� �� ������ ���� �.0� �� ����������������.����$�������%�� &��"�������$ ����������� ��� ����������������� ������-������ ���������� ������� �)� ���� ����"��� ���������������"���� ������ ���� ���,

�����&���$������� ���� ��� ��0� ������ ���� �������.����������� ����'����������������&�������$� �� ��� %��� �� �� �������� ����� %�(����� $��'��5���2�� ��'��� ����$��$��������)���������$��$������������� ��� �$����"���� ��� ��&��,��� ���&�������$����0��$���������&������ ���'���2�������$��������� �������������������� ����������� ��������������%-� ����������2�0����.����������&����.����� ��.��� ��� ��%��$���(�� ��� ������$ ������������$�������2�� ��'������$�$�����$��� �,

������ ��� �.��� ��� ��0� �� �� ��� �1����� �������������"�������$����;� ���������������0�������&����%������1$���.�����$������2�����������$��������&� �,

���� ��0� ������� ������������� %���� ������ ���$�������.���������������������(���.����(�$��� ������������������ ���������������$ ����� ����"����� ���������;������������� �������� -� ��� -����� ����� ���$�-�� ��� ����(��� ��

�� %���������� ������.������2�������������$�������������������",����� ��0� ������� �����������������$��������1$�����"��������"��� ���� ��� ���������� ����$��$�������&���- ����������� ���%��� ���� ����,

��� ��.�0��������� ��0� ������� ������$��� ������������ ���� $��$������� .������ ��� ���� ���� ����� �� �(������$������� ��.�0��$��� ���������������������������$�$������������������� �����$�������$�������'������������&��������$�����(��"������� �������������������%�����& %����������� ���� ��,

����$����"������ ��$��$��� ��$�����2������������� ���%���������� %����$����0��$�������������1$����������$��������� ��� ���'��� ����.�&�0���� ��� ����2�������������������������$ ����� ��� ������$��$����������2������1$������������������� ��%��,�3�$�� ����������&�����. ����������� ��0� ����������������������$ ���� ��� ������&���- �����$��$������� ����)��������� ��� ���,

3�&���� "$����'������$���������$��������1$������"��������"������������� �(��������������� ������ ������� ��0� ������� �������/����������"��������&��0��������������������� ������������ ����"�������.�������&������������"���������������%�������&�����.�����������"�� �����:����������0��������:�������� �����������&� ����$��)�� ����������%���������:����������0��&�������� ������������� ����$����,�*����� ���%�������$�������� ���'����������� �����������1� �������� ����� ���$���������$��� ���������������������%����(����������&���� �$��� ���� ��� ��� ����"�� $��� �0��$���� �� ���� ��0� ������ ����,

��3���%�������4���1� 3����SIMMT, E y DAVIS, B. “=���� �����%�4� ���� #��� �$� ���������� M�������� ���� ������� ���(�����H. En: MathematicsTeacher. Vol.91. No.2. Febrero de 1998

OTTO, H y JURGENS, H. (1991). =���� � #��� �(�� �� ������������� ��������' Vol. 1 . New York: Springer Verlag.

SPINADEL de, Vera. DM��������� =���� � �� M���������� ������H. En: Educación y pedagogía. No.35. Vol.XV. (ene-ro-abril), 2003.pp.85-91.

Fractales en el encuentro de geometría (2000). UniversidadPedagógica Nacional. Universidad Distrital Francisco José deCaldas. Grupo Vialtopo. Cuadernillo.

Page 72: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��� �������������������������������� ����������� ������� ��� ������&������$�� ���'��� ���%������������$ ���(��"���������������'��$���)���� �.�������'��������������� ��"���$���������������������������$� ���������.����������������������������,

�����%�"�2� "������������������������ ����� ���������� $���������� �����'����%��������� ���2�������"�� �������������������� %������� ���������2��.��,�4����$�����������.�����2� ������� ������� ������ &��������$��� ���.����%���'�����������������������������2�����������������$����� ������� %��������������'��� ��'���%���������2�������� ����������������$���� ����� %������$��$���������������������������������� ��� ��,�������$�� �������������������������2������ ���������� �����.�.�"������&$������2������&��&������$�� ����������0"������ ��.�0������ ���������� .������� �� �.������ ��&���������'���$��� ������ ��������������"�����%� ��$��"�����������2���� ��$����������� ������ �,���� ��%-������.���%������������'��������&�"���� �����$���������� ��$���'�%��� ��������/��)����������������� �� �5��,�A����� �� �� ���� ������ ��.�0������& ����$��)�� ������������� �������$��� ������ ������$����������������& ������������ �������$���� �������%������������ ���������������$��� ��,���� �����.�����������)�������� ������(������������$��������������$�������� �������0������ �����%���� � �,��� �� ������������ .����.����$�������������������������� ����������%�����$����� ������� ���������'������&���"�����$���"������ ������� ������ �(���������������������������.�,

3�$�� �� ��� �� ��� �� %�������������"� ���$�� ��"������������ &��������������������������� ��� ���/�=��������� ���)������������ ���:������� �����������(�����������������������"�����%��'�(�������:���������$��0���������������.��� ����� ��� ��� $��$�������&���- ����,����� ���������� ���)���������:�������������������

��1"%��������!��������B�"�!"�����9���� �!�����6��!�� !���������4�������� ��%���!"���'���$%������������

G��� =/���I��=I =G���

�� �� ���� $�������� ��� ��������,��2������������ ��������,

4��������������������������� ���������������.������������� ���������"��� ��� ���� �� ���%-�����%�� &����������� �������������)������������2��������G��-�?�(���(����)��?�������Y����&&��?�����?���)�����&���?���������� ��� ���;�$��� ���%�������$���������������������� ����"������ ����$��������������$����0���$������)�������������2�������$���� ������ ���������������������������� ��� ������&�.������G��-�?�(���(����)���������������$ ����� )���������$���� ����$�� ���� �����������'�������������� ����������������������������$ ������� ��������& �������������� ��� 2��� �����������$ ���(��"������������,��� ����� ������$��$���2������ ������� $�� �"���������$ �����'���$��� ��&������ ��.�0����������� ��������������,

������������������$ ���� ��� ������2���������� ��� ������������'������������ �������������&��,�����$� �����&)������� ������$ ����� ��� ����$������ ���������&���������� ������������& �������������:������$��� ��'���6����� �����2�� ��$�� �����.0� ��� ���������$����������&:������& ����� ���������2���������������:����������� ����������$�����������:�������� ����������������������$��.������������������� ���� �����������& ���������� ������$�� ������� ����'������� �����.�/� ��� �� ������� ������ ���������������",�����$���"�2� "������ �� ���)����������������������������� ���� �� ��� ���� ������� $��� "������ ������& ������ ���7��2����������M�,

*���� ���$�� ����������&����� ��������&���L+L����(������%�������� ���$��.���������������'��������������������%�����������������&�������������������������������0� ��������& �����������%�������������������$��������$��1����"�������������� �&������������ ���� ���,@��2(������������� ������"���������$ �����������������0� ��������$����������"���������$���>������.��&���2������ ���� ��� �'�)������ ������ ����� �������%�����$����� ���� ��� ��/� ��� ��� ���=���)����������������������$ ���� ��� �����������.0� ������� ��������������,���� � ����� ������ ���'��� ��'��� ��������������������� ���������� ������:���%������� ��� �(��������������(��"������ ��%�� ������������.�����;��������$�"����������� �������������.������2���%���������2�� "����� ���2����'������������$ ���(��"�������� ��� ����� ����� ��� ��,

Page 73: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��� ������� �����'��� ����������$����������2� ������������2������ ����� ������� ����������.0� ������� ����������$���������������5�(���$���(�0��� �� �� ����� ��� ��� ������������.0� ����� �� ����� �� ���%�(�� ��� �.���%��� ������)����������� �����������$�� ��������� ��� �����$��$��� ���$�������5����$���)������ ��������� ��������.����������$�"����������'���������)�����$��$����������� ��������������������������.0� ����� �� ���� �������� ��� �.���������������$����� � %������������������1$��������� ���� ������2� "����� �����2��������������.��$��&� ��������������������$�"�����������'������ ����)�����$��$���$���������������� �� ��.�0���������,

��3���%�����4�4���1� 3����CHAMORRO C., y otros. � � ���" ���� ��� ��������. EditorialSíntesis (1991).

__________� � � ������������ �� ��� ��� ������������ �� ���������� ��� �������� ��� �� ���������' Ed. Pearson-Prentice(2003).

_________ 4���$������� �� �� ������� ��� ���������� ��� ���� ��!�� ��������. Revista UNO, Didáctica de las Matemáti-cas, N°.3 (1995).

GUACANEME E., 3��� ����������� D������� �������� ��� ����������� �� ���������� ����%� ���� ����$������� �� �� ����������������� �� ���� �� �� �� ��$��� �� ���� �������������. Cali-Colombia (2001).

LEBESGUE H., ������������� �����������. Ed. Limusa (1995).

WALDEGG G., ��� �����"����� ��� 6����� 6������ �� �� ���������� �� � ������� ��� ������' Revista Educación MatemáticaCINVESTAV(Agosto,1996).

�����������������1����������%�����"�����%��������� ��������� %�������.������������)�������%�������������%�,�4���$�� ������� ��%�� �����'���$����%�� &���������������%����(������������� ���������� ���$���.�����������������$��$������1 �)����������$���.����������������������������������������'������ �����$�� �����������������������������������'���-� ���&������� ����$��������'��� ���$��$��������,

���%�� &��"��'�)���$�� ����$�� �������� ��������$��.��������������� �����������$� ����� ��� ������������ ��� ��������.�����������:���� ���� ��'����������$��������������� ��)� ������ �� ������������$���.������ ������1��������� ���;�'��������� ��������� �����'���$������� ��������������'�������� ��� ��2�����������.0� ����� ��� ��������� �������������"

5��%�( �����������%3���%������4�����������!�%�����!�� !�������������!"���%B!��������4��%���,��,�������!�������������"�!���������:���%������!���8

/�J ��G ��� N�� �+08��� P������ ��/��� �+UNIVERSIDAD DE LOS LLANOS

��������.�����������$��0��� �����(���������������,�=��.-���� ��$���.����� ������ �� ������������� ��$�� ������&��� �����$��$����������� ���$������%�����������$� ������ ��� ������.��%����)�����$���$��&� �����$����'�����'��� ��� �� ������� ����� ��� ��� ������ ���������������������0� �,

������ ������ ��$������ ���������%����(������������������ �������$�� �������������� ���������1�����������$���.��������������������������$ ������'���������� � ����������������������� ������� ������'������������� ���'��������0����%�����������& ��� ��� �� �� $���.�;� $��� ����� ����$����$��$���� �� ��� -�������� ������ ���� ���,

��3���%�������4���1� 3����GARCÍA, G. (2003). ������ �� �� ��� ������ ������������.Bogotá: Ed Magisterio.

PEDRAZA, F. y GARZÓN, L. Instituto Colombiano para elFomento de la Educación Superior. Nuevo Examen de Estado.Matemáticas.

RAVELA, P. (2002). A�������������� �� *�� ����� �� ������� ������ �� ��� ��� ������ ��������� ��� 4������ ������C�En: www.preal.cl. Programa de Promoción de la Reforma Edu-cativa en América Latina y el Caribe, PREAL.

ROCHA, M. (1998). �$������ ��� ������ ����� ������� �� ��������� �������. Pruebas de Matemáticas. Bogotá . ICFES

WEBB, N.L. (1992). 4������ �#� �(�� 6������'� P��& ����� �#���(�����: step Toward a Theory. En: >���"��K� �#� *����(������(�����'� 3��(���� ���� ��������'�New York: DouglasA. grauws Maçmilan Publishing company.

Page 74: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

������:� ����! ��5������2����� �������������%�� &������ ������������������"��� ���� �������.������ ��������$���$�� %���������5�(�� ������������ ��� ���,�*����������-� �����2����������������� ��� %���'����� ������� ���"������ ������5�(��� ���������$���(�0�,4������������������$���(�0���� ��%-���������� ��������$��.������ $� ��������� �� �������� �� ��.�0���� "���������� ��� ����������������$�������������$���(�0���&��� %��������������� ���$���������� ��� ��,����$���� ��������� ������ ������$���$�� %�� �"������.�������$����(�0����������������� ��� ����.�������������� �������$��.������ ����������� ��� � ������� ���)�� ��� ����Campos Conceptuales� �����������Situaciones Didácticas,

Resolución de Problemas: La Actividad Mate-mática. *���� � ��� �����%��� ���$��&� ��'����� ���� �� �� �������� ���2�� �����������������2��������! ��5������ ����$���"���� ����������"��� ��� ��������$��������� �����������1�������.������'����&����2������� ��� ���;�$����������.�������2�������������2� ��������������'��������� ��� ����&������� ��� �������������������2����������������2����� �����$�������������������������$��� �����$��&� ���'���2����� ������������ ���� � ���$��.�����;��� ������2�$��� ���$�� ����'�������$���(�0������������������.������������������������������'�������� ��� ���� �����������$� �������������� �����'������$��%��� ������������"������� ���"�$��.�����'������������ �����%�����,

���� ���� �����������������������"����$��.��������� ��������$���(�0����������� ��� �������&������� �&�������������������&����'���$�������$����������������� ��� %������������ ���� �� � ����� ����������������&���������'���"�$��&���%������ ������������������� ��� �����$�$��������$�������$ ��;�$�������� ������� ��.�� ������ �� ��� �� '��� -� �� ��&���� ����'������������ ������ ��� ����� ����� ���� ��� ��$�����$��.���� (��;����������$��������

5�$����������%����%����"��������!�� !����8

7��=�G=� 0>��� =/��������� /�=��

�� ��������������������������$���"�������� ����"���������$���� ��������� �� �&�����& %������ �(����� ���0��$�����������$�����%�(����������%����� � ����,����������� ����V��� ��� ���$�� ������/

[...] sabemos que hacer matemáticas implica ocuparse deproblemas. Sólo se hacen matemáticas cuando nos ocupamosde problemas, pero se olvida a veces que resolver un problemano es más que una parte del trabajo; encontrar buenas preguntases tan importante como encontrar soluciones. Una buenareproducción por el alumno de una actividad científica exigiría queintervenga, que formule, que pruebe, que construya modelos,lenguajes, conceptos, teorías, que los intercambie con otros, quereconozca los que están conformes con la cultura, que tome losque son útiles, etc.

��������� �%�� ��� ��$��� ��$�����'����$��� ��������������"����$��.����������� ���$���$��� %�����$�������(��� ������������������������� �������������� ��� ������������������������"������������ ��'��������� ����;�������������������������� �������� ����������� �������� �������� �������� �$���������� ��� ����.���,

���� ��������� ����8��&��������!������������������"��6¡Hacer matemáticas es resolverproblemas!7����������������$��� ��$�������������� "�C�"������2���������� ��� ���D�Q��'�������&��� ����������&�(��"�������������0���&����$�$����$�� � ���$��� ��'���������� %����� ��� ��������$���.���� ���� ���������� �����"�^���� �� �� ����� �^� ��� ���%��� ���������(���� ������������������� ��$��"������������ ������������������",

��3���%�������4���1� 3����BROUSSEAU, G. (1986). =��������� ��� ���(���� ��� �������B��� ������(�����B��. En Recherches en Didactiquedes Mathématiques.7 (2) 33 – 115.

____________ (1993) �����#������� *� �� �� �������; pp 65–94' En: Parra C. et al. Didáctica de las Matemáticas. Ed PaidosEducador.

CHARNAY. (1988). 4�������� :���������� ��<� �� *�� ����� �����" ���. En Grand N, revista de matemática, ciencias y tec-nología para los maestros de la escuela primaria y pre-primaria.No 42, enero.

CHEVALLARD. (1997) ��� 3���������� �������'��� � 6�"��6�"��� � � 6�"��� ��señado. Ed AIQUE.

SANTOS T. (1997) ��������� ��������� ��� �� *�� ����� �����" ���� ��� � � 4������!�2�� ��� �� ���������. México:Iberoamérica.

VERGDNAUD. (1993) ��� 3������ ��� ���������������� �.En Lecturas en Didácticas de las matemáticas Escuela Francesa.CINVESTAV – IPN México.

IED FEDERICO GARCÍA LORCA

IED GENERAL PÁEZ- MATER ALMIRABILIS

Page 75: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

���$���� ���� )����� ���������.0� %�������������������$��$��� �������������� ���� �������������������������������������� �����������$������$ ������� $��� %�� ���������/���("��$��$���"����$�� ���������������"����$��.�������� $����� $��� %��'���$��� ��$� ������������������������$����� ����-���,

����$���� ��"���������������� �����$���������$�� �0���������� ���� ������������� ����������������� ��� ����(������ ��� +� ��"������ %��� � ���A�$:.�������*����������3��0���������5��;���������������� ����.������� ��������������������������4���������&� ���,������� �� �����������&����������!,������� ��� �������%����-$ ��������� ���� �����������������������M��5��,

=��.-�� ����� ��$��$��� ����$��������.���%��������� ��(�����&������ �������$���(�0��'�������� ��� ����&���������� ����������%���$��.���������� $����� $��� %����� �.����������� ������������%�� &��"/�6A� �������$���(�0�7'�������(�����&��$����@�4��������4%�������� � ���B�������G��-����������,

�� ������ ���$��$��� �� ��� ����("� ��� ������������ %������ ���������� �� ����� ��� ����$��� �����$������&��$�����3��$��� � ��$���� ���� %���������� ������"���� ������������������������� �������� %������&"� ��������� ��� ����"�$�����(��"���� �����(��"���� ���������

#���"��!����� �!�������������������������%����%���%�����������%!��������������%���!"����"�!������!�(�

/�J 7����� �8�SG��I 0P��� P���N���

�G=� ������

������� ���$�� �����.����������� ���$��.�������� $����� $��� %������� ������2����� �.������,

�� ����������� %���������&"� ������ ��.�0������$��.���������� $��������������������������� $��$����� �����������;������ ������ %�����'���2����$�� ����������� %��������� ������"������������������ ������$��.���������� $������������� ��� ������� �� ���� ���$�� %����.�� �&��)���� �� ���� �� %��������� ���� ��� �����"���� ��.�0�������$��.���������� $��$����� �������������������.�� �&��)����� ����� ���������� ������� ������� �� ����.������� �� ������� %���������$�����(��"���� ������(��"������$����'��������� ��� ���������%��$���.������'����.���������$ ��������("���$��$����",

����- ����'�����&��������� �� ������ %�������� ��.��������������'�������������"����$��.������� ����2����� ����!�� �� ��� ����� �� ��� ���&���� � ���� ��� ����� ��)� ���� ���������� ��"��&��� ����%�����"�����������������������$��������� ��,

��3���%�������4���1� 3����CHAMORRO, C. y otros. � � ���" ���� ��� ��������.. Madrid:Síntesis, 1994

CHARNAY, Roland. 4�������� ���� ������ ��� �� ��� ����� �����" ���; pp. 51-63. En: Parra, C. y Saiz, I. (Comp.). Didác-tica de las Matemáticas: Aportes y reflexiones. Buenos Aires:Piados, 1993.

DUVAL, Raymond. 6������ �� ����������� (�����. Cali:McGraw Hill, 1990

CASTRO, E. ��������� ���������� � ������ �� �� ����� �!����. Bogotá: una empresa docente, 1999.

GRUPO DECA. Orientación para el diseño y elaboración deactividades de aprendizaje y de evaluación. Sin año de publica-ción.

MEN. ������������ ����� ���� �� ��������������. Santa fede Bogotá: Ministerio de Educación Nacional, 1998.

VERGNAUD, G. (1991). � � �� ��� ������������ �� �� ��� �����%� ���" ���� ��� �� ��� ��!�� ��� �� ���������� ��� ���� �� ��������. México: Trillas.

ESTUDIANTES UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

Page 76: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

���"��%���� �� ����������1$��������1 ���������������$���� ����������(����������� ������. ������������������� ��� ���������������������� ���"$��.����/

“Supongamos que un mango tiene 3 millones debacterias a las 8 am del día 8 de octubre y que cadabacteria se divide en dos cada hora, a las 9 am delmismo día el numero de bacterias es de 6 millones, alas 10 am el numero de bacterias es de 12 millones,a la 1 de la tarde es de 96 millones de bacterias.¿Encuentre la expresión matemática que modela estarelación? ”

�� ���� %������������������������"��������.0� ���� $� ����� &�������� �� ��� $����� �%��������������$����� �����.���� ����������� ��� ���������&�����0��������������5���������+� ����������� %���=-���������$���(���#��������$�������� ������������8������$����$�� ��� ��������������� ��%-�������$���(�0����������"��1$�������������$�������������������&����������&�.������ �(���������� ������ ����������$���� ��"�������.0� �������������.������ ��� ��%�(��"� ��� ��� ���� ����$ ���%��������������� ���"�$��.����,

A��� ���%�� &��������.������� ���)�����& �%��������������"��� ��� ���2������� �����'������$���(�0��������$��� ������������� ��� ���������� %�������%������������������������� �1� ����������� �������������'��� �����&������ ��������� ������������������������'����� ���������� �����(������������ ����� ����,�������� ���)����& %������������������&:����������������� ���������%������$���)�����$����������� ��������� ������ �������������� ���%����$����0��$������� ��� ��������� ������������������ �����%������������$��������������� ��;�$�������� ��������'�(������� ���� ��'�����$���.������� ������� ��.�0����������������1$�� � %�������$�������,����� ��������� �������� ���)�����& %���2��������������$�� ��

���3"%���%��:��%�%����������������������"���������1�4�����

/�=���G 7+ �8����������� 0+ �����G 7����G

0���� ���� ����������� �/I� >��� N�>�� G���� G����

GRUPO DE ESTUDIO

EN NUEVAS TECNOLOGÍAS

DEPARTAMENTO DEL CESAR

�������$��$����������"�� ���� ���'���$���������1$�������������&�� ��������6=������ ���& %���� ���������$������ ���� ��'���$������������ ���������."���7,

��������������������&�)����� ��.�0������������"+� ���� ��� ������ ������ �����$���� ��� ����$���"���������$ �����B��"��1$���������'����� ��%-����� �� ��������������� ��� ���������$��������$���������&������1$������$� ��������������������������1$������/

Q�U�� ��;�Q�U�! �����Q�U�! �J����;��Q�U�! ;�Q�U�! L�$������������ �.�������� ������%���������������� ��.��� �������,�+&����� �����&������$�� �����1�$�������������� ��/�!�U�!1� �;��!�U�!1�� ;��V�U!1�����2�� �����&������������'�������1$���"�$����)�� ����Q�U�� � �1�!���Q�U�!�1�� � �� ��� %������� ������� ������ ��%-����������&���"�� �(����������������������.���%����'������������������&�������� �.��,�3�� ��.�0�����������1$�� ����&� �%��� ��� $���� ��������� ����� �� ��&���� �� ���� ���� $��'��������0�.�� ���������� �� ��%�������� $��� %�;� �� ���������� ��&����1$�������'���������R��������:��������.�� ������������,M��������� $������%����(�.��'��� ���1$���"�QU!1����U�!J��U��,M�����������.�� �����,��� ��� ������ �������� ���$���� ����$���� �������$��������������������������%"����� �.����������������� ��� ���������� ���",��� ������� ���������0"��� ����2������� � ���$��'���$���$�������%�(�2�.)�����$������������$ �� ������$��0��� &������ �� ��������� ��� �� �������� ��$����� ��"������������������$�����%����(�������������.0� ��� �.������&�����������&�.�����,

��%��"���%���������������� �� ��.�0������������������������� ��� ��������9�&�����G��������������5������������� ����������� %������������� ������$��� "�������������&�� �����$�� ��/

N ������� �����$����������������� ����� �����������$���� ��"�� �.������&����������&��

Page 77: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

.������$��� "��������� ��� ��� ��$�� ����������������������"�������%����"�������.�� � ��� ���� %���.���� %���������� � ��$��:��������.�� ��������&���������� ������������������� ���"�$��.����,

N ��������"�� ���������������@ ���"��� �����������%� ���������������������� ��� ����2����$�� ������ ������ ��� ������� ��&��������� %��"�$������(���� �������$��.����������������$� �����%� ���� ��� ������������ ������$��.��������%������������ � �����&������0�� �����'������)����)�������������$(���$�$��,

N ����������� ��$�� ��"���� �.�����&���������1$���������&�.�����������������.0� ����$��.� ������� ��� �������0������$���"

������%���.������ �������%���.����%������������&������������%�(��"����������������$ �������$��0��,

��3���%�������4���1� 3����MORENO, L y WALDEGG, G. 2002. 6��������� ?����� � ��������%�7�� ���?����� 3��� ����� ��� � � 4� �� �������������' Serie Memorias. MEN

MORENO A. y LUPIAÑEZ, ���� �� .��� ���'� 3��� ����� �*������������� 6�������� ��� � � 4������!�2�� ��� ������������. Artículo, en Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula deMatemáticas. MEN 2002.

LEHMANN, JAY. 5������������ 4 ��"��. Prentice may, UpperSaddle River NJ07458

RICO, Luis y otros.� ��� ������������������ ��� �� ��� ��!���������. Editorial Horsori, España. 1997.

�%!��(�%��$%�����1$1����������%"�(���!��%���1-����%����"�������������)� ���"���������"��#"�������%�����#"��� �����"��#"���

/��8�� N���� /����� �+���#(,���� ������� /����I

������ �� =��=��

Es necesario partir de una pregunta pertinen-te: C�"�����$ ��� ��� � ��"��� ��� ��-����� ������������������� ������������� ��� ���������&������)����$���(�0���&��� %�D

4�&���%��)������� ���������"�������������������� ������ ��������� �����.�����'���$���� ���� ����(���������)����������1������.������$����&"&��;��� ��2��2��2��'�������$���������� ��������%�� �������1$�� ������� ������&�������������$����2�.� �����$�������5����� �� �&���'��$��.� �����%�.��������������������,�������1�� ��������� �� $��������� ���� �1$����� ��&������������%�������������������������",

@����$ ��������$��$�����*����*�&�3�������'��Spara nuestros alumnos de clases elementaleslo concreto empieza por ser el mundo observa-ble, lo que impresiona directamente sus senti-

dos, y al mismo� tiempo el que los invita a ac-tuarT�� �����2�.������������$ ���'�������� �������� ���$�����0�&�����$�$����������������������������5�(���� ��� ��,���0�����$���.���S�� �����T�����&��$�� ������'��������.0� �����$��� ��������������������"�'���$��������������������.����� ��������������������$ ��������� �������������%�����������������$���(�0�,�*�� ����$��������������������������������$�����&���%������������� �������� ���2����� ��������� �����%������������%�������� ������������ �&��)�����expe-rimentación regular y viva,�4������������������� �������%�� ����-� ���������������������'�������2������ ���� ����"&��,

������ ��� ��������������� ����������������� ����� ������$�����$���������������������$�������� ���������� �����"������tablero y la tiza��2��'���������� ��%��� 2��(� ��� ������ ���� ��%�� �����&)������2��������'�������������������� ������� ����� ��,

����� ��� ��������Laboratorio� ������������$����&"&������� �(��"������� ����,�� ������$����� ��� ���������.��� ���/�Sun espacio de com-portamiento y una forma�de producción;��������������$������"������������������ %����%��� &��������.��������� ����"��������$ ���������������"����$��.�����������%��"���&�(� %�����$��� ����$� �����$������� ������%�� &���"����� -������������.����"��� �,

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

Page 78: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

*����'�������$��.�������� ��� ���������.��� ����2���'�����$�����������$������&�(�������'��$��������� ��������'����-���$�� ���������� %����������%�� &��",�>���'����� ������������ �������� ������$��&�����"����� ����'�������������2���%�� &��������������������$�����������������$�� ���$�� � �,�*������������������'���� ���� ������ $������ ��(����'����.�&�$�������������Laboratorio/�������������&)�������$����(�0�����������$���&�&)����������� ��� ���,

�����$���(�0����� ������ ��� ������.���� ��������������������%�(����%�����������������"���� $����� �,��� �� �� ��� ����(��������%�(���'�����&��������� ���)���$����"&�������*�&� ����$�������$��������������$��&���"�� �������� �$���'��������%���� ���������$�������,

���$����� �������� �����������.0� ������� �.�������������"������ ����"�����$����� ����� ��� ������������ ��� ���'������.���� �� $���������� �,��������$����$����'����������� �� ���� :����������� ��� �����$������ �(������� ���������� �����������������������$ ������proceso de enseñanza – aprendizaje a travésde talleres dirigidos, de experiencias libres, deldesarrollo de las guías de intervención�� ��� ��$���� ��"������������$ ����� ��� ������$�� �����- �����2���)� ���������� ����'������� ��������%��%�� ����������� ��� ��������������� �����.����,������.� � ���������� ������$��� ������������� %����������� ��� ������ �����������$�������� ��� ����� �� ������ �����$���������� %���% ������� ������&��������$������������ ������$���������� ���������� ������� ������� ������������1�� ��;��������$����$����aprender hacien-do����������������� %���$��.� ������������������������$� �������2�.��������� ��� ��������� ��������$��������������resolución de problemas����%��������$�������$����������.������������������������$���������� �,

�������.��� ���������� ����������� �������������&�� ����� ����������� ������ ���� ���/����'����"&�������&�� ��������������� �&�������.����� ������&��$����$���������� ������0��&�������"&���$�'�� �������� ��)� ������&�� ������#�$�����.�����0��&��������&�.���&���- ����� �&�����&���- ����.��� ����������;� ������� ����� ��������$������������������$�� %���&�)������ ��%��",

�����.��� ��������� ���������������$��������������������"��������.� ��% ������������1"��:�����������������������1�� �����������%��%�"�������������1&���������� ������� ������� ��,

����'�����������$�� � �����Saprender a apren-derT����0���$���������$ ���.����'������'���%�����������&��������������� �$������,�@�2����2��'������� ��� ���������0����� ����������� ��������%����������� ����������������������������0��&��������.��,,,����� �������� �,

�����!����������

Con el proyecto se pretende lograr que losestudiantes de las diferentes zonas del paíscuenten con un espacio para la configuracióny profundización de los conceptos matemáti-cos, para desarrollar investigaciones en nue-vas metodologías y didácticas.

@��.����� ������ �� ��$���� $���� ��� �����"��� ���1$�����"��$��������0��� ��"��������2�.��������$�������������������������$� ���������,���������� �� ����Lineamientos Curriculares y en losEstándares de Calidad $�� ���������&�������%���%�������������0�������������$ ����������$���� ��"���� �������$��.������$��$������'��2�����$�����������������%�������,

��2��� ����������$��) ��������� %�������$�)����������$�)������ �����������%���������������������$���� �����1$���������$���� ������%����� �����&)���$����������5�(���������������� �1�� ���� �� �� ��� ��� '�� ��� '��� ��� �� �&�����(������������$���������-����,�3�����%���������� ��������(�������� ����"���������.��� ���������� ��� ��������������&������%������������:��� ������$���������������� ����� �������������������������*��������������� �������������� ��� �������&��"��������� ���������� ��� ���,

#��$��������� ��������$�������������%���������� %���$�� ������$���������%�������������������������������������� %��'����.�&��$�����������"� �&�����������������$���������,������ �������������&���������� ���������%��"���������� ��� �������������$���$�� %��������� ���������%��������%��������������� ��� �����%������������� ������������������ �����,

Page 79: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

@��$���� �����$��$��� ��������5�(����.��������$������$ ������� $��� %�����$��)����� ���$�� �����$��.�����������("���$��$���"������������ ���� ��� ������� �� ��� %�� &��"�Mate-máticas y su aprendizaje en la educación bási-ca del Distrito Capital: Caracterización de lasrutas de aprendizaje en el aula�������&������&���$����@�4��������4%��������� � ���B�������� G��-����������,��� ��$��$��� �� ����� �� �$����� ������ ����� ������� ��� �������-$ ��&�������������&������������������*�� ����� ����&� ��������0��������������5��,�������$��.���"����!V��� ��� ����������������������� ������������!��5��,

��������������� ����� ����� � ���� �"������ �� �� �� ����� �����B��� ���� ��� *����� �� ��8��&������������?����������������� �5������V�,@��$���� ������� �&��(��"�������� $���������$���� ���������$��.��������� $��� %����������������&��"���������� ���$�� � ��$������������������ ��.�0����������� ��� ��,�����- ����'������� ���$���� ����$������������������������������������� �������$���$�� %�������� ���)����� ������� ���� ���� $��$��� ��� $�������������� ����$���?� -���(�������,��� ���� ����������� ��������������� ���������� ��������'������������"����$��.��������$�� ����������&��� ����� %������/

N Situaciones de acción/� ����������� �������� �������� ���"�$��.���������(����accio-nes ����� �������&������� ��.����$�������� ������������",������� %����������(�����$���.� ������&������������������� �� �&���� ��(�����$��������� ��� �����������%���$��.�������� $����� $��� %��� ���� ��� �� %������ ���.����������� $������$��.�������� �&��(����$���8��&��������/����������������������$����� �������������.�������������� ��������������.������;���� $����"���%�"�$�� %���%�"���� %�� ���������� ��$�������$��� ���� ���������$��.�����;������ �1 ��������������-�������������������������$������������$�$������������& �����������&�������������� ��� ��������������������������,

N Situaciones de formulación/� ��%������ ��� ���'���"����������������&��0����1$�)� �������������%����������������������������������� %�������� � ����������$����������� ������"����������,������� %������'�������� �&�� �����$�� �����.������ ��&������� �������� �����'���$���� ���������� ��� ����������%���$��.��������� $����� $��� %�,�����$�����"� ��� �%�� �� ��� �� �� �� �1 ��1$����������(������&������"������� ��������������������������������������$���������.���'���$����� ��������$���$� ���������������������������������&��������� ��������$�����������������$����������"������"����& ������������"����%����"����&���� $��$������� ��� ��� $��$���"� ��������/����������$������.�)%����������� ��)���������� � �����$��$���������,

N Situaciones de validación e institucionaliza-ción/��������$������������� ��� ���'����1$�� ������� �� �&�����������"���������������$���.�����������("���$��$���"����&������1$�� ��$���.�������� �1$����������$���� �� ���:���������� ������������������2��������������������� �������$ ���� ���������������&������$����������� ����� ������,

B���� ����������6� � ��7����������������� �������� ������ �������� %�������������������������.�������� �������$��.�����'�����'����������$����"������� ��.�0������������������������� �������,

Consideraciones finales.����� � ���������� ����"����$��� ������ �������&����������������� �����������'���������� ������ ��� ����������.������ ���������� $����� $��� %��������$��$���� ��$����������������1"���������.����������������"��:������������������ ��������������� ����������� ������������ �����������$�����2��2�����-����������������.� ������ � ���� ����� �$��.� ������ ��� ��������� ��������$��$�����������������������"���� �����������&�����������$�������,������ ������� ����������� �������� ��� 2��2�� ������ ���������������������%������������5������$��$���������������������'������ �� %�,� Cb�-� �� ��%�� �� ��� $���� ��� �����������������$������$ ������� $��� %�� ���������� �� ��� �� �.����� ����� ��������� ���� � %�������� �� �� �&��� � %���&��������$��� ����5��$���� �����%��� $��.��������� ��("���$��$���"D=��.-� �������������������'��� ������� �����(��������� �� �&���'����&��������� ��� ��$������&������������� �������������� �����'��

#���"��!������%����%'�������������������������������%���!"����"�!������!�(�

�/��� �M�� ��� ����J�8� /�=�� ��0G

ESTUDIANTES UNIVERSIDAD

DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

Page 80: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��� $���� �� ���$���� ����&����� ������� ��� ��������$������ ���� ��.�0��'���2���� �� ��� �������������'������'������������������� ��� �,

��3���%�������4���1� 3����CASTAÑO, J. >�2�� ���������� ,, Colección MATEMÁTI-CAS: Serie lo numérico. Bogotá: MEN. Abril-Junio de 1996.

GARCÍA G., SERRANO C. (1999) ��� ���������� ��� �� ����������� ������ ���� ���������� 6��� � �� �� ���� ' Bogotá:ASOCOLME.

FIOL M. y FORTUNY, J. (1990) ������������� ��������������� #����� �� � � �@����. Madrid: Síntesis.

LAMON S. *�!��� �� ���������%� =���������� �������������7����!����� ��?�������; pp. 89-120. En: Guershon Harel yJere Confrey (Eds.)(1994). 3(�� ���� ������� �� ��� ������*�������� ��� ��������� �#����(����� Cap. 4'� ?�&�Q��K%�StateUniversity of New York Press. [Traducción libre: Pedro J. RojasG. y Cecilia Barón P., Universidad Distrital.

PERRY, P. (2003) 3���#������ �� ��� ��!�� ��� �� ����������� ����� ��� �� ��� �%� ��� (���� ����� ��� ����. Bogotá: unaempresa docente. Bogotá: una empresa docente.

VERGNAUD, G. (1991). � � �� ��� ������������ �� �� ��� �����%� ���" ���� ��� �� ��� ��!�� ��� �� ���������� ��� ���� �� ��������. México: Trillas.

#���"��!����� �!���������"%�%3�>"����!�1$����������%���$%����������$%

����� ������ ��� �+

@��$�� ������� ��������������$�� �����������������������.��������� ��������� �����&������'��������$�������'����������� ����������=���)������ �&��)����$�������������"���������"������������� �� ������� ������'�-��������� �&"��������� � ������$��$�������.��������������"����������",������ �����'������$��$������.�����$������� ���� ���������&�� �������� ��)� ���/

N �� ������������ ������� ��� �������� ������$�������&������ ��������������"������������",

N *������� �'������� ��'�� ��������������� ����� �����'������������ ��.�0��,

N @�5����� �� ��������������� ���� ��&������$��������������� �������&��,

N 4��%�(��� ������������ ����������������������.���� ����������� %���������0���������������&�� ��������������/

N ����� ��������������"������������������"���� ��.�0�������$���������������$�� �������������� ���$�������%��������� %����������0� ���� ������:��������������������)& ���������2����������������� ���,@����������.��� ����0���������������%����������� ��������� ���$����� ���������������������������� ��� ����$����.����������������(��"���������%������$ �,

N 3��� ���"������$�(����� �(����� ����0������� �� nombre de la noción� '��� ���� �� �� �����,

N 4��%�(�������(������������.�������$����������$���� ������simbolización�������%�����$ ������� �(������������0�������$�� ���������$�������&�����)������� ��������&�����$�����&��������abstracción�'������ ������� ��������1$���������������� ��,

N 3��� ���"� �����������0�������������� $���� �� ��� ����$ �� �� ������ � ��������#��K��b��A��Af��$������&��������&���&��������abstracción. ���&�� ���$������� �������������definición�������������������0� ����. �����L,

N �����$��������� ���������� �������pri-mer nivel ��� �� ��� ���� �� ���,

N 4�segundo nivel ������� �������������"��� ����� ����$������conjeturación������� $��$�������� ���demostración �� �� ����&�������generalización���� ������ �1 �������particularización ���0��$������$��)����$����.������ ���aplicación,

N ������� ��.�0�� �����������.��� ����0�������,�?�������� �� ��� ����� �� ��� %���������� ��������(��������0��������������� ���� ���&����������� ���� �.���������$�-������0� �����������.�����2�� �����&��������0� ����. �����L,

N ��� ���� ����� ��)� ���� ��5�������2�� �� �2�������� ��������� �$�������3$���(�0������� ��� ����'���K,������ �������� ���.���� �����$�� ���� ������G,�*�&� ,������ �������������� ��.�0������ �������$��$��� ������� ������� ������ ��� �������&��,

N ����1$���� ��"������� ������������(������ ��� ����%��� �����$������ �� ����������������� �������������$���"��2�������������������$��$������������,�����%�����"�������$���.���$��� ��������� �������� ����

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA

Y TECNOLÓGICA COLOMBIA

Page 81: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

���������� �%������$���� �0����2����������$�� ����-.����'�����'���������������,

N ������$���"�����%������ ��.�0��� ��.��������� ������$���� ����������� ��>=���$�������� ����������� ���������$���(��0��� �(�.��������*�&��Y�.�������������$���� ��� ��"������ %�,

N ��������(��"�����$����� ���������(������ ��1$������� �� �%� ����� ��� ���� ��������G����������� ��� �������� ��)� ����4*=���@�������������������� ��� ������B)���������������� �����'����� � �������� ���� �������� ��)� �������� ������?���� �)���3� �- �������� ������=�$���&)��,

�;������N ��� ���� ����� ��)� ���� � �������� ��� $�������

������@����(���� )�(�2����&�����2�� ���$����� �����.���=���)��+ � %�������0� ��������$��&������������� ���� ���� ��� �������B)����������4*=��=�0�,�����$��$��� ������ ���� �� ���������������$���0�����������������"�.����������"���������������"����'�%������� � ��������.�����������������"���$����������0� � ���.�������$�����������0� � ���&�����(���������������"�������"��������0� �����$�� ��,

N 3� ����� ���� ����$��������������(��"������������������� ��)� ������$����� �� �����

64#�=A3=3�+�#=E��3=�?FA+�E�����3#E�+F#����A��3�+F#/�4#3�*AE*4�@�=3��+�H�=+�37,�3��)�������������$���������� ���0���������0� �����������$ ���������� �� �����2�� �� ����� �� ('�����;� $���� ���.��0� ��� ���� ������ ��� ������ ������ �����1�����)������$������ )������1����������g����$������������"����������.��������0� ���$��$�����������������1�%���������1%�����- ��������- ������ ��- ���� ��� %��� ��� %������������ �'�%������.������� � �����,�@��$��$����� ��������� ��(�����������$ ���(��"��� -������� ��&"�����$������������$�"��������,

��3���%�������4���1� 3����ADÁMEK, J., 3(����� �#����(������ � 6�������, D. Reidel,Dordrecht, Praga, 1983.

ADÁMEK, J., HERRLICH, H., STRECKER, G., 4"����� ���������� ���������, John Wiley & Sons, New York, 1990.

CASTELNOUVO, E., �������� ��� �� ���������, Trillas,México,1985.

JIMÉNEZ, A., “��� ���������� ��� ������������ �� �� ������������������”, Ponencia presentada en el Primer Simposiode Didáctica de la Ciencia y la Matemática, Universidad delTolima, 2004.

MUÑOZ, J., 5���������� �� �� 3������ ��� ���2����, Universi-dad Nacional de Colombia, Bogotá, 2002.

PINZÓN, A., ���2����� �� ��������, Harla. México, 1973.

SUÁREZ, M., “3��"�2�� ���M����� �"��� 3������ ������2����”,Notícula Matemática, UPTC, 2002.

��%�!�"���$%�6��% �����������%���!������-��!����!��(=����������������%���!"����

����� >�=���� �G���� �+���G�� ��J� >G=� +

0���� ����I

���$��$��� �� ���������.0� %�������� ����1�$���������$� �����'���������$�������$ ������$������ ������������5�(��������$���(�0���������� ��� ���,��� ���1$�����"�$�������������� �� �'������� ����� ��)� ���� $��$��� ��� ������$������$ ��������������1����� �������$ ���'��$�����������&�����$��$�������%����������%���

����� ����� ���%����� 0����'������ � ��� '��� �� ��%�(�����$��$���������%�"���.������&����������$���"�'���$������ � ��$���������� ������ ��� �����.�����������$ ������� �,

��3���%��������4���1� 3����DUARTE, Pedro Vicente. ������� ����������� �� � ��������� ����$������� �� � ���� �� ����� �� ��� ����>�� �. PhD thesis,Universidad Politécnica de Valencia, 2000.

GUTIÉRREZ, Jaime. 7��� ��������� ��� #������������� ����� ���� ��!�� ��� �� ���������% El modelo de van Hiele. Teoría ypráctica en educación matemática, Volumen 1(4):295–384, 1990.

MAYA Arnobi & DÍAZ, Nohora'������ �������� �� Elabo-ración y Aplicación. Retina, Bogotá D.C, 2002.

NOVAK, Joseph D. & GOWIN, Bob. 4����������� �� ��������.

MARTÍNEZ, Roca y otros.� ����� ������� �' Una técnicapara aprender. Narcea, Madrid, 1999.

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

Page 82: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

*�������������"��� ��� ����������������� ������&)�����$� ������2������%� ��$�� ������ ��-���%�� &� %�������'������$�� ������$���(�0���������� ��� ���������� ����5�����5���������� ����������������;������'���� ��� �����&)�����$� �������$��.� ������� ����� �� ��� �����������.0� ���� ��� �������� ����������$���� ��"��� ���� ���$���� ���������" ����'������ ������������ ��.�����$����� ����������� ����"������������ ����������� ��� ������$�5�(��������������������� ������ %��������& %������ ��$���� ��"2��� ����� ��� ������/� ������"�� �� ��� �����%���"�������&� �������" �������%��������,

���� ������������� &����������� �=+���� *���� �J�8���&��� �����2������ �������������$����'�������� ��� ���������������� %������������������� ��� �������"� � ��� ���� ��$���� ������%������������."���������) ����,��� ���2������� ����'������ ������������ ���� �����������"����%��$������ �.����������������"��� ���%-������� ���������&��,��������������������� ���� ������ �������� %���Y���I�� !�,����2������ ������" ������$�� ���� %���������.��� %����� ��� ������"��� ��� � ����"�� ��� ���$� ��������� ����������� �������&���������������,

3�$�� �� ������ � ���"�$��.����� ��� �.����� ���� ����/�6+�� ���������� ����- �����$���������������� �����������������������7� �.�������-�����&�������� �����"�����$� ������ ������"� ���."�������) ���/�����"&������;��� ���� ���������������� ������=+����*����������� ��� �������%���&����������+� ��"������ %�� 6������?�����������?� -���(7�����$�����8������$���������,

���� ���"�$�� ����/�������$�����8������$����� ����������%�����%������,�@���� ����� ����������%����3�%��������$�������1$���"��1�a!��U�����������������%������$���P1�a����U���,�C���"��� �����.���.������ ���������'��� ��&���� �� ��� ������.���%)��D,

<�������%!�������$!�����6�"��-�"��������!�� !����

������ �/I� >��� �=���G 7+ �8������

����� 0+ �����G 7����G0���� ���� �����

N�>�� G���� G����

GRUPO DE ESTUDIO EN

NUEVAS TECNOLOGÍAS

DEPARTAMENTO DEL CESAR

���� ������������ ���$���� ��� ����������������������� %���������/��1$�����"��.�����1$������"���&������%�"����%�����"�����$��������������"� �� $������� �� � �����(��"� ����� ����,��� ���� %�����������("����� ��$������2�� ������������� ���� �� ��� �������� ����� $�������$��������������������������2������� ��'��������.��� �(���$������������������ ���"� �&�������� �����%��� ���� ���������,������ ��� ��������������$�0���6y”�$����6%��7����&���������.���%������ �.��,

������� ��� �������� ����'���6������������(��������� �����.���������������������� �.���$���1UV�� ������$���� &������ %������� $���� ���� ���6�7����U�����U�;���������"��V���,������&������������ �.������%���������������"7,��� ��6����� �7������������ ��$�� ��"����������&� ����������%���",

Page 83: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

����� %����$��$����������5�����5���$����$���������� �$���������$������� �����."����,

��%��"���%�����$�-���������(���������(������� ��.�0����������������$��������� ��� �������� �������������������"������� ���"�$�� ���������$�����$��� ���������&�� ������������/

N *���� ��� ����������� ������������� ������ ��� ������ ����2������ ������" ���������%�� �����$���������������� ��� ��� �����������)�����,���� �����&)�����$� �����������������=+����*�����J��8���&��� ������ (������1$������"��� ��� ����������� %������ ��� ��,

N �����%���"������&� �������" ����$��.� ������� ����"����������� �������������� ����������$���"���������.0� ����� ��� ���,

N ������ ��� �����$���������$�����$����"����1$��������� ���6�� ��7����.���%�����

$������� �����) �����."��������������&�����������(�������.��������1$������,

N ��� %����(��"� �� ��$���� �����6�0��� �.���7������2������ ������ ���� �����" ��������� �$�� ������ ���������"�� ��� ���������$�����$�������������$�����������& %��,

��3���%�������4���1� 3����DUVAL, R. (1999). 6������ �� ����������� (�����. Traduc-ción al español a cargo de M. Vega, realizada en la U. del Valle,del original francés del mismo título publicado por P. Lang,Suiza en 1995.

LUPIAÑEZ, J. L. & MORENO A., L.(1999). 3��� ����� ��������������� �������� ��� � � �������!�2�� ��� ������������. CINVESTAV, IPN, México.

MORENO A. L. – SACRISTÁN A. I. (1996). *������������������� �� �� ������ �������. Revista EMA, Vol. 1.No. 2, 83-96, Bogotá.

MORENO A. L. (2002).� ��� ���������������� �$��������� .Cinvestav, México.

WINSLOW, CARL. (2003). 6������� �� ��� ��� ���� ��� � #���(�� ������� �#� ���(�����.(NOMAD_ICME10.pdf).

����=!�������� :����6��-%��������C����!

G����� ��=M� >G=�=���G /��� G8�G=R� +

���"��%�� ��������� ���)�����������������8� ����� ��$�� �������'���*�$$��������.)�������único �singular, B���� ���������������$������- ����&�������$���� ����� �����"������1�������)����,��� ���- �����'����$������$���$������%�(������������Mhetodus ad disquirendam maximamet minimam et de tangentibus linearumcurvarum, �����$������� ��$����� �� ��&���) �������$��%� ����� ���������� ������� ��� %��� �� ����� B���� � ������� ��� -���� ��adigualdad�� ��.�0����$������� �,

��� ������ ��%�&���� ���"��� �����B���� �$����� �����Methodus��2�������$�������2��� ��$��� ������ ����"���� �� -����� ��� �������

� ������� ������ ���� ������� ������'��� �� ��Methodus���.�������������������������%����'�����&�����������,

��� $��$"� ����� �� �� ��.�0�� ��� 2����� �� �� ����� ���������� ��������������B���� ��1$��������Methodus� ����- ���������1�������)��������� ���� ��� ��� �����.������� ��������"���� ���$�� ������'���2���������&������ �������������- ���,

��3���%�����4�4���1� 3����GONZÁLEZ Urbaneja, Pedro M. ��� ����� �� � � � ���#�������� � ��� � � �� �� RO55' Alianza Editorial, S. A., Madrid,1992, p. 152.

http://matmedia.ing.unina.it/Antologia/I grandi momenti/invencione. 04/03/2004.

EVES, H. 4�� 5����������� ��� �(��>������ �#����(�������Holt,Rinehart and Winston, New York, 1969, p. 326.

GRATTAN – Guinnes, I., �� � � � �� �� �� ������� ��� ��2�����/1,S� 8� /0/S%� 7��� ����������� (��������Alianza Editorial,Madrid, 1984, p. 41.

BOYER, Carl B. 3(��>������ �#� �� � �� ���� ��� �������� ���� ������� :� �(��������� �#� �(���� � �<� Dover. New York,1949, p. 156.

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

Page 84: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

k3

2

k5

2

Número (n)

Fracción Adición Número

(m) Fracción Adición

1 2

3 1 1

2 6+ 1

2

5 1 1

3 15+

2 2

9 1 1

6 18+ 2

2

15 1 1

9 45+

3 2

15 1 1

10 30+ 3

2

25 1 1

15 75+

4 2

21 1 1

14 42+ 4

2

35 1 1

21 105+

5 2

27 1 1

18 54+

5 2

45 1 1

27 135+

C������%����%��1��!�

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

�G= ��/ �J �I� =��G�� /�� /+

@��$���� ����&������0� �������.��� ���� ��������������.��������� �� ��� ��'��������&$����2���)����� &`����,��� ���� ������ ��� �"������ ��2������� ������"� �� ���� ���������� �������� �����������$�$������A2����������������������,��� ���� ����� ������ ���$���� ����&������� �����0� �����2����������$�� ����$���� ��"������������������������������$������������������������������� ������� ���������� �����"�����&����������$���� ������������� ����������������������������������"�� ���,

�� �� ��.�0������������� �����������1$�����"���$�� ��������$��&� �/�C�"��� ��.�0�.�������&$����� ������������D��$�� ������������$���������-���� @� ����� #��-������ ���� *����� ���������������� �������� ��� ����������4�%�������*���&"&���#���������������������$������ ����� ��� ��� � !�� $��� ��� $��������� ������� �(����������� ��� �&�� ������?��$����H�&�.����'���0� ���������$����������������G������'���3������ G�2���3�����=�������)�(����2���������� �������$��$��� ������ ���$����� ����$��������-���������������� �������$������ ����� %�� &��"�6Actividades matemáticaspara el desarrollo de procesos lógicos: El pro-ceso matemático de medir7��������$��������� ������+%�� &������������4%�������*���&"�&���#������$�������$������� ��� O,

��1"%�����1"����������%���������������,�%�3��� ���"�����1 ������&������&����������'��$���� ����� �.�����$��������$�������&$���Ahmes/

���$������'��� ����.���%�����'��� ���� ����������� ��� �����

k3

2 � �� ���1$����������������"������� ���������� ������ $���� C�"����� �������������������$�� �������������"������������������������������:� $������ ���D������ �.�������������n����!k��$�� ��('���������m����Mk�$�� �� �����2��,

�������� ��������������������������k3

2��������

���� '��� �� 2������� k� U� �n� �� ��� ������ '��/

)12(3

2

−nU�

)12(6

1

24

1

−+

− nn,

��� ��&����&��$�� ��� ������ ���� ������������ ��������

k5

2 ��������������$������������'�����2������k�U��m����� ������'��/� )12(15

1

)12(3

1

)12(5

2

−+

−=

− mmm

E.%��� ��� ���$��.���2������ ��&����������$������������������������ pk

2�������p������:����

$������$���� ��������� ���� ��� ����� ����� ������������"���� �������������� �������� �� �����������0������.�� ����$�� ����������������������� ������� �,

#����������"����� ��&���� ���2��������&��$��"��� ��������� ��� ������-��������������������$���� ������������������������������������������$���������������� ����� ����"���� ������ ���$����� ���&�����$�����������.���$��������������"���������������&$�����$����������������� ����/���$��������&�������:�����������������'���������������$���������� ����� ������ ������������:�������"�� ���;���)����$������� &�������� �������������� ������2�� ����� ��������������������������&������&������������"���-������������������������������������������������������������� ���$��.����.���%���'��� �1� ����� ��� � ���� $������$����� ���:������� ������;���2��:����������������&���������,

��3���%�������4���1� 3����BOYER, C. >������� ��� �����������. Editorial Alianza Uni-versidad. Madrid. 1986.

REY, A. ����������)������ � ����� ��� ��M�����' Unión Tipo-gráfica Editorial Hispano Americana. México, 1959.

SLOLEY, R.W. � � ������� ��� ������' Universidad de Oxford.Glanvilley ed. Pegasso Madrid 1944.

SMITH, D.� >������ �#����(�����'�Vol.II. Dover Publications.New York. 1958.

NEWMAN, J. Sigma, � � ������ ��� �� ���������. Vol. 4.Ediciones Grijalbo. Barcelona. 1994.

Page 85: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

�����������$%��%�����D��������G =N����G �M��

0�P� /��� �O�� �8 /N�

P���� �����$�� ������� ��.�0������1$�����"��������� ����������� ��� ������������������������������� �������&��� �$�� ����� �������� ��$��$������������������ �����������'�����.�� ������ ������$ ������������ �������� �����2�������$��%��2������$��� ������%����������� ��� ���� ������� ���$����� ��� ���5�(���� ����� ��� ������������������ ����:���������.�0�,�=��.-���� �������%����� �������������$������$����"�� �������������$ �����$���$���������,

���5��������$��$��� �� ����%������ �� ��� �%���$������� ��.�0����������� ��"�������'������������$��$������������5�������-$ ���&������ ��� ��� ������"� .����,��� $��$��� �� �� ��� ��� �������� ����.��'���/��:������$��$���"��.�0����$��$���"������� ���"�$��.����,

����������������� ����.��'�������$��.� ��������� ����"���� ��������$ ����� ��� ������������ �&����� ��� ���� ����� ��� �"�����$��$���������$���������:����������.�0�,����$�����$��� ����������� ������ ��.�0������(�����������:����������$��$���"�� � ����������������� ��"2� "���������� �"�����$����"�$��� ������� �������������������� �����,

���$��$�������������������$ ���� ����������� ��� ������� ���� ������ ��� �� ��� �������"�.�����'��� ����:� $�����$�����������$��������� �� ���� ������� �������� �� ���� �� ���������%����� ���,��1� ����������������������.���� ����"&������� ���������1$������� ���� ������������� ��� (���$�����������h$������������� ���'����������0����� ���$�������� ��$�� ��"���1$����"����$����"��:������� ������������������ ��� ��h,

�� ��� (�������������������$��.����������������5������� �� �&������ �������$��.������'�����$��� ������� ��� ��������$ ���(������������������$�����������$����� ������ ����$��&�� ����������%����$��.�����;������'��������5�������������������2� "����������.����� ��� ��,

*��$������ ���5��� ��� $��$���������� ������ ����$���$�� %���'������������&��� %���$���

����� ��� ����� ��%-���������.���%��"����1$������"����� �������$��.���� ����'���������$����������� ���������&����������������$��.�������2�������0� ������%�����������&�����(����������������������$���� ������$�� �$� %�,

����� �����$�� ���� %��"�������5�����0"%����$��� ��� � �� ��������'��� �.������ ��� ������� �������"�������$��$�����������������.�0�������:����$��� �������:� $�����&��������� ���$�� �������������$ �������� ��� ��-���� ��%-���������'��� �&�������� ������$����,

�������$������� ��.�0������(���� ������$� �����$�� �������� &��������"��� ��� ����� ���������������������� ����.��� ��� ��� ���������.��&������$����$��%��2������ ������5�(������� �� ���,

3��������������%��"�'������$��.������$����(�0���&��� %���������� ��� �����������%� �������� &���.����(����% ������;��������������$���.����������������������� ��,

���$��$��� �� ��������'������ ������$��$��������$���(�0�� �&��� %������ ����$ ����$��$����������� �� ��%-�� ��� ��� �&���"� ��� ����������������%�������"���������� �1 ������$����"������2������$ ����������������������,

�:������*��$���",�@��$���� ����&���������� ��������� ������������:�����'���$��� ���$�������������$ ����������"�������$�� ������� � ������ ������������������0����������������������������� � ��2���&-���������2� ���&-������ ��(��������%����������� %�����������&����������������������������$ �������("���$��$���"�������� �&��������������$���"��������� ������%������������ ����������;�����/����$�����&������ ���$��������$��$��������������������������� �������� ������ ���$�������������������%���$����%�(���2�������$��$���"�%����,

��3���%�������4���1� 3����LIVINUS Ugochukwu Uko, ���������� �����. Universidadde Antioquia, 2000.

NEWMAN, James. Sigma: � ������� ��� �����������. Bar-celona: Grijalbo, 1983.

PAPPAS, Theoni. � � ������� ��� �����������. España: Jue-gos, 1997.

PINILLA, Germán. �)�*���5������������� � T. Voluntad.1997.

INSTITUCIÓN EDUCATIVA

GONZALO RESTREPO JARAMILLO

Page 86: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��4��������%���!������%1�!"���A�����"�%���"��������5����2����$�%�����#���

����I /���� ���� �+/�J �8 =���� �+

���� /���� ����J�8�

@��$���� ���� � ���� ����� ��&��"�� ����$��$"� ����������������'�-��� ����������$����"�������� ���������� ��� ��������$�� ����concepto de longitud�� ���� ������� �����$��������0�� ������2���$������� ���������� ����;���&������������%������$����$������������������� �����'��� ���� ��� ���� �� ��� ��� ��� �� ��� �� �������'����$�'���������������������conceptolongitud����'���$��.�.���� ��&����������$��5���.�0���������$�� ����� "$����������",

��� � ���� ����� ������'�)���� �����5��������&����$��&� ���������������������"��:� $����� ���� �.�� ���� $��$����$���� ���(���$����������� �� �&������%���������.��$��������� ��� ��,���&��������������� ���� ���������. ���� ��� ������� ���������������$��$"� ����� �.������������ ����������$���"���������$ ����������& ����& ������'����� ��������� ��� ��� �� ��%-����� �������$��.������������ �� �&������%�����"�$���������� �1 ���(����������� ������������ ���� ���$���������%�(�������$��$"� ������� �.����������������"��������������������. ���.� ���� ���� ��� ��,������� �����������$���"���� ������������ �� � ���� ������������ �����

������.���J�2����������� ��� ��������� �1 ���� ���� ��������.����������� �����������"���������� ����"���������$ �������& ��,

*���� ���$�� ����������. ������� %����� ��� ����� �������&��"�$������$�� �����������������������%�� &���������� � ��$��.� ���� �.�������&������(����$�������������������� ��� ������������� �$����� '��� �$��� ��� �� ����� ��'�)%�������'��� ��� �������� �1$���.���,����1$�����"������������� ���) �������������� ���������$��� �����������������$�����������������$��� ��������'���������� �������(����%������������� ����� �� ���� �� ��� ��� �� $�����$�� ���� ����5����� %������'�����������$� ���������$���������� ���%� ��� ���� ��&������ ��)�$����0��$���$�����$�� ����� �������������$� ������������������ � %������ ��$��������������$����"��$��1���"��� �� ���"�� �������� �� ��� ���� � %���� ��%-������������"�������������,

��3���%�������4���1� 3����BELMONTE, J. y CHAMORRO, M. � � ���" ���� ��� ���������. Madrid: Síntesis, 1994.

CASTRO, E. y otros. ��������� ��� � � �� ��������. Madrid:Síntesis, 1989.

CHAMORRO, M. Dificultades en el aprendizaje de las magnitu-des. En: UNO, N° 3. Barcelona: Graó, 1995. 81 p.

____________. ��#�� ����� ��� � � �������!�2�� ��� ������������. En: Memorias Aulas de Verano. España: FER. EDIGRAFOS,2001, 79 p.

DICKSON, Linda y otros. El aprendizaje de las matemáticas.Barcelona: Labor, 1991.

GIMÉNEZ, J. Evaluación en Matemáticas, una integración deperspectivas. España: Síntesis, 1997.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. LineamientosCurriculares. Área de matemáticas. Bogotá: Magisterio, 1998.

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

�"!�������1$1������%���3������$%���� ����%�������%���!�� !����

=�8�� G� � /I =�=��� ���8� /M� �� �+ �8�G ����� �G=���

���4%�������*���&"&���#����������$����� ���������������"����������������� ��������� ��������%��� ����������%�� &��"����.��� ��� ������"���� $���������� ����� ��� ����

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

���"� �� ����� ��� ��%��Proyecto curricular Li-cenciatura en Matemáticas ���$�� ��� �� ���� ��� ����4*#��� ���� �� ��� ����� ���$�����������������'�������$����������������$�� ��� �%����������������$�������������"�����$����������������������"��� ��� �������$�)�,���������������������� ��$����� ���������������2�������� ���� ���������������%������ ��������������$����������������$����� ������ ��� ��������� �� ��� �� ������ ��� ������$������ � ��� �����������������0����"�������$�� ���� ���$���$��� ��������Proyecto,��� ����&��� �� ��.-�$� �����$��������$��������������� ��"�������

Page 87: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��������� ��%�����"�����Proyecto�'����� ������ ���������������$�� ��� ������� ��� ���,

�� ��%�� &��"��'����������� �������������(�������� ���5��� �������� ��"���%���������� ��� $���&"&���� ���$ ����� �� ��� ������"���������������� ��� ���,������������������� ��.�������� ����� ��$�� ������� ������ ���� ������ ����� ����"&�����$���&"&��������� �������"���������'������$�����0��&������������������������$�� %�����$���������-��������'���������%� ���$���� ���Proyecto curricular Licencia-tura en Matemáticas.

����� �����&)���������������$���� ��� %�� &��"$���������%� �����������$��1���"�� �&�����'���%����������.���%������������������ ������� �� ��������������� ���������� %���� � �������������,�*������ �����������2������&������ �����$����������-�����������������)������������"���$��)���������������)������ �����&)�������������)�����$���&�&)�,�>�� ��������� ������0��������%�� &���"�2������������������������ ������������������"�����&������������2��$��� ����� �.����������� �&��)���'�����������.������ ���",

���$��������������������� ������� ������$� ���'������$���.�������������������$�����.��������;���������.�����$�������'������������������������������� ����"�����������'����.��'������� "$������� ������������������ ������� �����������������2�������� ��� �������� ��&����� ���� ��������� %��������$��)�������������&� �����������0� �'��� ��%�����������0��������� ����,

��� ��&���� �� �&��)�� ��� ��� �� ��� ��� �� �� �&�&����������%�����"�$�������$�����"�'���������/��- ������ -������� ���� ��������������������� �� �������� ��� �%�����"�'��� ��� �.���%����� �������� ��� �,

����� ����"��������$�"���������&�(��"�)��������������������������������� ��������������������������������� %������������'�������$�� �$� �����%������������������������ ���������� �&��)����� ��%-�������������������� ��������� � ���������� �����&)����$��������������������� �������������,

���%�� &��"��� ����������������$���(�0��$�� �������$��� �����'�������%������� ��������������� ������$� ����B�������B��[������R;

#�=���������� ������'�����������,�=����������$.��������!��� �������G�I���[�����O���$���$�����$��$��'��� �������� ������ ����"������ ���� ������ �� �� ��%-�� ��� �&����� ����������� ���/��� ��$��$��6������ ���������� �1 ��� �������� ����� �� ������������� ����$���(�0�������� �����$�$����� ����������&��0�������$���(�0������ ��������$���(������������ ��� ��� ���� %����������� �7,������������ �����'������������ ����� �������$������� $������1$�������������'������%����������$������,�*����3��������*����� �� ��� �����������"�� �����"��������(��"�� ���$����������� ���������������"��������������$�������������$��������,�������������������������������Proyec-to curricular, ���� �����.� ��������.������������������������� )��������������� ����������� ����� ������ ��� ��� ���.�� ��� ��.�0��%����������� ��.�0�����$��� %��������%�(���������1"�����$��$�������&��������������'��$��� ���������������������&�������������� ���� �����.������� ���� ��� ����$����� �%�������,�3�)�������������� �&��)�������'��������&��(��������"���.��������� ���� ���������������������������������$���.����&��������������� �������� ���� ������ �,

��� ��$����� �$�� ���� $���� ��� Proyectocurricular� ��� ��� ������"���� ������������� ���� �������$���� ������$���� ������������������������������������- �������$�)���$����������������(�������� �����) ����������$����"��$�� ��$��"�������(&��� ��.�0�����'�$������ ���)�,@�� �� ��$��� � ��������'� �� �� �&��)��'������&����������� ��%�������1$�)� ���������$�� �$� �������������$��������-�������������������������"�2��������������������� ����������� �����$���������,

��3���%�������4���1� 3����ANDRADE, L. y PERRY, P. (2002). ��� #�������� ��� ���#�����%� ��� ����� �����(�� ������������' Epsilón, 52, 147-172.

CARPENTER, T., Fenema E.y FRANKEN, M. (1997).� 5���������M��������������������%� ���� "��� ����� �� ��#����� �� �� ��� ��!�� ������������� ��� ��������. Revista EMA, 3 (1),pp. 3-32.

Departamento de Matemáticas-UPN (2002). *�#������� �� �������� ����� ��� ����������� ������������' Condicionesiniciales (documento institucional). Bogotá.

JAWORSKI, B. (1994). 5���������������(������ ���(���'� 4����������� ��B����. London: The Falmer Press.

Page 88: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��� ������"������ ������������������."��������������������$�����1$���������$�� ���������$�����������������"��� ��� ������� )������������ ��� ����$���� ��$��.���� ��������%����)�����'���%��������������� �����������$�����������2�� �� ������ �������������� -����,

�����4%�������3� "�������E���� ����������2������� ��������1$������$�� ��������� ������"�������� �����������������."��������$���������������� ��� ����.������������B����� ������+&���)�,

�����$���� ��"�������� ��������������.�0����������������� ������(��������1$����������������� �����$������������&�����������&�)������ ���.�0����)����������� �� �&��������$����$�����&��� � ��� �������$���"���������� ��� �������� �����������������."���,

�%!���"���$%

�������������� ��� ����.������'����������������������)�������������� ��������+&���)������$�)��.����� ���� ��� ����.�����/�����:���������������&�.�������1$���������&�.����������&�.�������������,�������'��� ��������'������� �(������������ ���$������� �������������� ��������������������$���������$��� %������$������&��

�����%!���$%����"%���!�������� ��"�����4$������%�����������"���������!�� !����

/��8�� =��� 9���� 7+ =G��� ��G9��� ����J�8�

P���N� /���S�UNIVERSIDAD AUTÓNOMA

DE OCCIDENTE, CALI

� ��"�������$������ �����.���� �������������$ �����$������� ���$��$����������� ��� ��,

������������������� �����������������."������������������ %������������� ��������$ ���������� ��������������%�������� �����������$���� ��"�������$� ����������������������������� ����� � ���� �� �������������������������$���� ��"��� ���� �����%������"����� ���� �����%����(��"���������������$���� ���.�0��������$����1$���"��� ���,

��������� �����$��������� � �������$������"���� �� ��� ���� �� ��� ��� ����� ���� ����� ��� �� ��%� ����$�������2����$��%���'�������1$������� �%��-1 ���� � ��'���$��� "���$��������1�$�����"���������$ ����.�����������������$����$�� %�� � ��&�������������-���������$������� �.������%)������� �����&� ������."������&�����������-�������%��.����,

�����$���� ��"�������� ������6progreso7����� �����$��������� ��� ������&���������������� ������'�������� �������� ��� ������������ ������� 6transferencia”� ��� ���� ������ ���� �� ��&����� ����� ����� $���� ��� ���� �� +&����� �� ������ �����&������������������� �������$��� ������������������� �����������������."��������$���������������� ��� ����.�����,

��3���%�������4���1� 3����BERT K. Waits y FRANKLIN Demana. 3(�� �� �� �#� ����(����� � ����� ������(������ *�#���� ����������� �#� �(�� 3(���5����������� ' DERIVE/TI-92 Conference.

BLUMER, H (1969) 6��"� �� ������������� %� ���������� ������(��'� Englewood Cliffs, NJ.: Prenctice Hall [ Elinteraccionismo simbólico: perspectiva y método. Barcelona:Hora, 1982]

BROWN, T.:(1996). 3(�� �(����� ���� �#� �(�� ���(����� �����' Educational Studies in mathematics, 31, 115-150.

KAPUT, J.:(1992). 3�(�� ���� ���� ���(������ ������������ M���&��D.A (ed). Handbook of research on mathematicsteaching and learning) pp515-556). New York: MacMillan. P.C.

Page 89: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

��� �����1"� �"����'��� ���$���� �� ���������� �����$���������� ��� ��������������"�'�����$�� ����� ��&��0���� ������ ��� ���,�="$������.��������������������� ��� �"�����$��$���� ���$���A��������%�������M�� �����������'������1 ���� ���������'����.���������$��$���������� ���������2�������",

�, 6No hay noesis sin semiósis”,�#��2���$������������$����� �������$������"�������� ����������$���� ��"����" ��,��������� ��)� ���������� ��$���� ��"����" ������ ����$������ ��������� ������&�(�������� ���������� �������" ��,������������ ���� ���� ��������������������������$���� ��������������������"�'���������$���(�0�����2������������������&��0��������� ����$���������������"�����%�(��"����������� �,

�, 6El conocimiento matemático posee un ca-rácter paradójico”.������ ��� ���������������������'��������'��������� �(��"�����%��������� ��������" ����$���������$���� ��"�������.0� ������� ���,���������������� �������.0� ���� ��� ����������������� �����%������ $��������&� ��� ��'�����$���� �����$�� ����� ��������.0� �;����������&������� �����$���� ������$����)������ ���� ����������"����$�� ���� ��$������� ����������$ �� � �����������.0� �,

!, “El aprendizaje de las matemáticas exigeuna coordinación de registros”,��� �� ��� ������������������������������"�� ����� ������� ��$���� ��"� ���" ��,��� �� ������$�������������.����������$��.��������$�����0��&��%�������&� ���������$���� ��"/����%���"������$���� �����,��� ���$����"���� ���� �����6la transformación de la re-presentación de un objeto, de una situacióno de una información dada en un registro,en una representación de éste mismo ob-

��%1"�;��6���%�!�"���$%�����%������%!�����!���!����

XABIER FABIAN ROLDAN FIGUEREDORUBÉN DARÍO ACOSTA VELÁSQUEZ

LILIANA XIMENA GONZÁLEZ GOYENECHEMARÍA VICTORIA REALES MORENO

GRUPO DE INVESTIGACIÓN

INTERDISCIPLINARIA EN PEDAGOGÍA

DEL LENGUAJE Y LAS MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

jeto, esta misma situación o de la mismainformación en otro registro”� ���%���@��"�����*����� ��>������ �,$,OV����� ��� ����������������� �� %��������� �� ���� �,,�*��� �0��$����$����2����� �$��2��"�����.0� ��6���"7��������������������$�����&� ���� ����� �.����� &�������� ��������� ���&���� ������������� ��:� �������&� ���'����� ���� ��� $���� �� �� ���� �� %���� ���$���(�0����������� ��� �������$��� ���� ������������&� ����'���������� �,��� ��$������ ���������$������$���������� ���"���� ����������� ���� �� ����� ���" ������&����$��������������"���������&���� ��������������������������&� ������ ������������ ���� ��$���� ����������"�� ��� �������&� �������" ���,

*���� �� ��� �� �� $��.������� ��� ������"��� ���� �����.������� �������$����������������� �%����������%��� �����-� ����������$��.�������&��������������'������$������ ���������������$��$������ ���� ��&� ������ ��� ���� ,������� %������ ��� ���������&��0��� ��.�0������������ �����������$�����������������(��"�$��$����������&���� ����,�*������������ ��5������B�������������%���'�������������$�����$�������� �������" ���$��� �����������������2����� ���� ����� ���������� ��&��,�*������%��� �� �����������/����������"�A������������������&��"�����.0� �������������"�3$��� ���������� ����"���������������$�� ����!���������"�����1$��"�������%����%�����"��������������$��$�������������������2��� ������ ���������� �&�������;���O�� ��� ���"���A����1%����� '��� $��� �� ��� ��&��"� ��� ��� � �����%����������������������$����"��� � ���,��� ��� ������� ��� ����%� ��� �� �������� �� '��� ��� ��%�� �� �� �� ����� ����������$������ ������ ����� ��� ��� �������� ��$�� ������'������������������'������&� ����� ��$���� ��"�� '��� ���$�� �� �����"� ��� ����&���� ����,�������&��0������� ��� ���� ���� �� ���:� ��� �� ��� ���� $��$�� ��� ��� ��&��� ������ ��� '��� 2���� ��� ������ �������;� ��$����&����"�������&��0��� �������� �5�������&��0������$�� �������� ��&�����������&�������:����������&���� �����������������������������.&`����,������'������������"����������� �����.&�����������&���� ��������&����������������$����� �1 ���(������'������� ��� �����������������������������&����%�������$����"����������$��������� %������ ��� ��,

1 Registro de representación. Para Duval (1995) es un sistema semiótico que involucra lastres actividades cognitivas fundamentales ligadas a semiósis como son: formación deuna representación identificable, el tratamiento de una representación y la conversión deuna representación. Además considera que esta categoría representa los grados de libertadde los que puede disponer un sujeto para objetivarse el mismo una idea confusa. Losdistintos registros de representación semiótica se diferencian no solo por la naturaleza desus significantes sino por el sistema de reglas que autorizan su asociación y por elnúmero de dimensiones en que puede efectuarse esta asociación.

2 La discursividad puede ser comprendida como la posibilidad decir algo acerca delmundo y más allá de la lengua. Benveniste (1966: 128-130)

Page 90: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

B���� ����������������$�� ���������������1" �����$�����������$��������������%���$���$�������$���(�0����������� ��� �����'���$���� �� ���$������ ������ �� ����� ��� ������� �������� ��)� ���� ������ ��� �� �� �������� ����,@�� � �� � ����� �.��� ��� ���$��$���� .�����$��.������������������������������0� ��� ���������������,�@�� ��� ��������)� ������ ����"����������� �������$�� �� ������������.�� ������������������� ���,

��3���%�������4���1� 3����DUVAL R., 1995, 6������ ��� ������ (������'� *������������B��� ��� ������������ ���� ���� ' Berne: Peter Lang,Collection Exploration. Traducción: Semiósis y pensamientoHumano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Cali:Peter Lang y Universidad del Valle, instituto de educación ypedagogía , Grupo de Educación Matemática,1999

________. 1999, ��� ���" ���� #��������� �� ��� � � ��������!�2�� ��� ������������ �� �� #����� ��������� �� � ������ ���������. Curso del doctorado en educación con énfasis en edu-cación matemática. Cali: Universidad del Valle, instituto de edu-cación y pedagogía , Grupo de Educación Matemática.

���$��&�������.�������������������%��� �����&)��������������������$�������� �������������"#������ ���#�� ��� �� ��� �1$�� � %�� �� ���� ��������������� %������$�)������� ������ ���� ��������� ������.�� �������������,��������$��� ��� �����@����� �"��� ���� +� ������ ��� ����-������.� � �������4%����������@�����������������$�� ��� ������� ��� ������B)��������$��&������������� �������� ��� ����������1�� ��� �� �� ��� ��&� ���� 6#��%���=������&)��7����2�����.����������:��������$��$���� ������ ���5�(������%������ �������� ������ ���� ���� ��� ��� ������ ��� $��&��������$� ���������-� ���������������,

�����������2��������� ������������������������� �&���- ����������$������� ��������

������� ���������� ��2��2��$������2���� ����� ������� �� �1 ��������� ��� ���� ������ ��� 2�� ���.������� �� �� ������ $��� ������'�������� ��

�� ����$�� �������������&���- ������������� �����$������� �����/�����&����������������� �&���- ������������������ ������%�������������$�����&������ �.������� �����"�������������$������� ��� �&������ � ���� ���� ����� ��

��!"�����������3"%���%��!��1�%��=!��������%���4��<%�����"��"�5���2����%� ����C��?�>

���U ���J� >+�>� ��� ��

��>�� �>���� >+

UNISUCREINSTITUCIÓN EDUCATIVA

JOSÉ YANCES M. CHINÚ

�)� �����%��-������������%� �0���'������.����� ������%��� �����&)���� ��$�� ������ ��� ��� �I��������� %���3�A+�?�E�<=A��++,

3� ��%-������ ������������� ������$��.����������������$��&��������$� ��������.�� $���� ��� ����������������$����� ��%����������$������ �;��� �����������$�� ��� ��&������������������������������ �&���- ����������$������� �������&���������������������$����2��������������"�����0��6�7���.������������� ������������,

+����� ���� �� ������ ��� ����("������6����������������*���4%��� ���7�'�������������4%�����������@������������1$��� �������$��������&����#����������� ��� ����3�� ����$������$� ����������2����$�� �������$���� ��������������� ������ ��������� �������� ��� ��������$�)�,

��!�(������N �� �����"� ���� %����� ��� ���� ������

�&���- �����$������&�����&������ �.���,

N �� �����"��������&�������������������� �&���- ���������&������&� %��,

N �� �����"��������&�������������������� �&���- �����%�����,

N *��$��� ������������� � ������ �����,

��3���%�������4���1� 3����BOYER Carl B. >������� ��� �����������, Alianza Ed, VersiónEspañola, Cap X , Madrid, 1986

ESTEBAN Piñero, Mariano y otros. 3������������'�Madrid:Ed. Síntesis, 1ª ed., 1998.

MEN, 7�� ��� �� ������ ���� ����� ��� � � �� �� ��������������� ������������, Bogotá, 2002

MORENO G. Vladimir y RESTREPO L. Mauricio, ALFA 10,����� ����43��935�46� ����� �������� "���� ��������� ������� ������� . Ed. Norma, Bogotá, 2001.

Page 91: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

��

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

�����������������������������(���� ����&�.������ ��� ������"� .����� �$���� �� $��$������� ��(����,��� ���0������$����$������ ��&������������ �������("���������%������$�� ���������������������������������������&�.�������� �����(������� �����(���������$��������'������������������$��$��,

*�����������=��������� ���$��$����������"��������(���� ����&�.��������������������������� ��� ���) ������� ��&�.���� ����- ������� ����������������������� ����(���� �,��� ���- ���������.����������$���&����������� ���"$��� ��$������$��.����������������������������� ��� ����- ������� ������ $���� �����%��$��.�����,�*��� ��� � ��� $���)�� ���� �����������������$��$��� ��$����&����������5����������� ������������ ���� �� %������ ��$�%��&��� �� �����5�(��������&�.��,

+&����� ���$�� ���'��������.0� �����&�.�������$�%��&���$��� ��� ���5�(�� ���������%���.����%����"������������"����������"������2�%����";�&����� ������.:�'���������������� ������1$��������'�%��� ����������������&����'���&�������$����"�� �� ���������%���"�����&� ���������$���� ��"��� �,

B��������������$������$�� ��������� ������$�� ����� ��������������������������$���(�0��������&��.����������'���"�����������$� �����������������@� ������ ��� ������@&�����&�.����,���� ������$� ������������ ����������� ��� �����������2��������� ��������������&������$������������.����"������2��@� ������ ��� ������@&���,����@�@���&�.����� ������ �������$�� �����@�?��� �- �������������'������ ���������"� ����������$�� ������������������ ������ -������$� -������ �������� �- �����������&�.��;� ���$������� �� �����&�(��"���������� ���������������������$���� �� ��������������'��$��� ������(������������"�� ����,

�����������������'�%����%!���1�4�������%������"����$%� ����

/�J ��=J� /��M� �+�8 ����P >��I�G =P+

GRUPO DE EDUCACIÓN

MATEMÁTICA DEL IEPUNIVERSIDAD DEL VALLE

����� ���������$���������������@�@���&�.��������� ��� ����.��������������$ ������������$������� �������@�@��� �- ��;����$�������� ������ ��$� ���������B�����$��$���������������$���������'���"������%������$� �������� ��� ���/��� ����'���"������%�������$� �����������$����� ���������������"���������$ �������������$������� ������@�@����������$� ��������������������&����,

������������@�@���&�.��������$���� ��� �����������$ ����������� ��������������'��� �1� ���'�����$��)���������������������������� �������������.� ��� ���$������������2���,

?��������B����!�����������������������$��� �������������������������'���������������62��.������������(���� ����&�.����7�����$� ���2������������������'������ � ��������������� ���� ������������������� ����&�.���������� ��$���� �� ��� ������������ ���$��&� �� �������������������� ������������&�.�����.���������������.��)����&���� ���� ��"���������� ��� �������.��� ��������- ����� ���)�� ���� ����������$�����������������2���2�.������,

��$�������&����$�� �������� �1 �������������"���$��.���������������$��$���$�������%�������.� �����������������2�.������������(���� �,�3����$�� ���������'���6����$��.������������������� ��� ��������������������$��$�����$���"���������������&��0��������&�.�����)����������2�.�������������� %��7,����������1$�������������� ��� �����������$���������� �- ��������$���.������$���������� �(��������������$�"�� ��� ����������$���,

���� �������������6�������&�.�����7�'������$��$����������.0� ����������1"���������(���� ���� %��������� %������&�����������%���.���������"������$���� ��"������$��$���",

����$�������������(���� ����� %��������� �%��������������������� ��� �����.���� ����$����0��$�����$� �"�������$�� ��� ����$�� ���������������������$�� �������������������$�� �����������&��������.���. ����� �������$�� ��������;�����.���������� ���&�����(��"��������� ���$���������&�.���������� ���$���� �,

����$��.�������������������������� �������'��.���� �������.��(���������.���(�����$����� ������������� ������������� �����$�����(������������������������&���������$��� ������� ����"��������������"�����'�%�����,

���� ���� ����������"����%���.������$����� �������������� �����%��$������� ����"������ �1 TORRES, L. Desarrollo de competencias en el estudio del álgebra en la escuela. EN:

Memorias. 4º Encuentro Colombiano de Matemática Educativa. Manizales, AsociaciónColombiana de Matemática Educativa. 2002 pp 34-35

2 FILLOY, E. Aspectos Teóricos del Álgebra Educativa. Op.cit., p 983 GREENES, C. y FINDELL, C. Developing students’ algebraic reasoning abilities. EN:National Council of Teachers of Mathematics Yearbooks. Reston, 1999

Page 92: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

��$&��������� 5��6�

MEM

OR

IAS

SEXT

O E

NC

UEN

TRO

CO

LOM

BIAN

O D

E M

ATEM

ÁTIC

A ED

UC

ATIV

A

�- ��������&�.��,�*��� � ������ ��$���.���'������ �� ��� ��� ���� ���� ����� �� $��.������ ��������2����"����$�&����0��&����������� � ����&�������� �.�.����������/�������"& �������:�����&�����(�����������" ������ �,

����� ��������������(���� ����&�.�����$����� ���������������$��.����������(����������

�� ���� )��������$����� ��������%�� &��"���������������������������� ���������������������� �)�� ��������"��� ��� ��� �� ���4%���������3 �'����������)������.��������$��$"� ���������.�� ��� �1$������ ����� %�� �������� ������"�����)� ������ ������������������������ �&������'������%���$������ ������������ � ��� �����$ ����� ������$��� ��� �� ��������������%����������(���� ������� ������$ �������� �1 ������������������ %�����%��>���,

%����%�3��!���$%������%���$%�����-��!���%�������������������������%�<����

7��� /�J 08��� P8�������� ��0���� �����S�

=���G /��� 0�/���� �M�� UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

��3���%�������4���1� 3����LLORENS, J. L., Pérez Carreras, P. 4���$������� �#� ����>�� �L���� � ��� �(�� 6����� �#� ��� � 4����$�������, Int. J. Math. Edu.Sci. Technol. 28, No. 5 (1997), 713-726.

CAMPILLO Herrero, P., Pérez Carreras, P. ���?����� ���������������� ����� ��U����� ��� ��?��� �� ��� ����>�� ���Divulga-ciones Matemáticas, v. 6, No. 1 (1998), 69-80.

DE LA TORRE, Andrés. ��� ���� �!����� �� � ������ �� �� ������%� �� ������� ���� � � ���� �� ��� ����>�� �. Valencia. Uni-versidad Politécnica de Valencia. 2003. 250p.

ESTEBAN Duarte, Pedro Vicente. ������� ����������� �� ������� ��� ����$������� �� � �� ������ �� � ���� �� ��� ���>�� �. Valencia. Universidad Politécnica de Valencia. 2003. 550p.

JARAMILLO López, C. M. ��� ������ ��� ����� ��������������� �� ������ ��� �� ���� �� ��� ����>�� �. Valencia. Universi-dad Politécnica de Valencia. 2003. 256p.

NAVARRO Domínguez, A. 7�� ������� ��� �� ����������� ����������� ��� � ����� �� ��� ����>�� �� �� �� �������������� ���������� ������ ����, Tesis doctoral. Sevilla Universidad deSevilla. 2002. 222.p.

VAN-HIELE Pierre, Structure � ���� 5���(��� �� 3(����� �#���(������ ��������' 4����� Press, Orlando, 1986.

1 Proyecto COLCIENCIAS: “Una metodología alternativa para la enseñanza y el aprendizajedel concepto de límite” Código: 1115-11-12704

��� ����$��$������.0� ��� ��&�.������ ��$�� �� ��$��.��������$��)����,

B���� �����$�� ��������������1$������$��$������'�$������>� ���������� �������H�&�.������?��$�����������"��� ��� �������+�*�4%�����$�����������"������ ������������ ��,

Page 93: Procesos matemáticos generales y - ASOCOLMEasocolme.org/images/eventos/6/memorias.pdf · matemáticas. Las competencias cognoscitivas generales, cuando se interpretan en el campo

Grupo Editorial Gaia

[email protected]